未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「x-tグラフ：平均の速さと瞬間の速さ」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「x-tグラフと速さの関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「8.0秒間の平均の速さ」とは、時刻 \(t=0\) s から \(t=8.0\) s までの時間における平均の速さのことです。これは、この間の物体の位置の変化量（変位）を、かかった時間で割ることで求められます。x-tグラフ上では、始点（\(t=0\) s）と終点（\(t=8.0\) s）の2点を結ぶ直線の傾きに相当します。
この設問における重要なポイント

• 平均の速さ \(\bar{v}\) は、位置の変化量 \(\Delta x\) を時間変化 \(\Delta t\) で割ったものである。(\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\))
• グラフから、計算に必要な始点と終点の座標（時刻と位置）を正確に読み取ることが重要。

具体的な解説と立式
平均の速さを \(\bar{v}\) [m/s] とします。平均の速さは、ある時間区間における位置の変化量を、その時間区間で割ることで求められます。初めの時刻を \(t_1\), 位置を \(x_1\)、後の時刻を \(t_2\), 位置を \(x_2\) とすると、平均の速さは次の式で表されます。
$$ \bar{v} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} \quad \cdots ① $$
問題のx-tグラフから、時刻 \(t_1=0\) s と \(t_2=8.0\) s における位置をそれぞれ読み取ります。

• 初めの時刻 \(t_1 = 0\) s のとき、初めの位置 \(x_1 = 0\) m
• 後の時刻 \(t_2 = 8.0\) s のとき、後の位置 \(x_2 = 12\) m

これらの値を式①に代入して、平均の速さを求めます。

読み取った値を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v} & = \frac{12 – 0}{8.0 – 0} \\[2.0ex]& = \frac{12}{8.0} \\[2.0ex]& = 1.5
\end{aligned}
$$
したがって、平均の速さは \(1.5\) m/s となります。

平均の速さは、「全体で進んだ距離」を「かかった時間」で割ることで計算できます。グラフから、0秒から8.0秒の間に、物体の位置は0mから12mまで変化していることがわかります。つまり、8.0秒間で12m進んだわけです。したがって、平均の速さは \(12 \div 8.0 = 1.5\) m/s となります。

この物体の8.0秒間の平均の速さは \(1.5\) m/s です。これはグラフの始点と終点を結ぶ直線の傾きを計算したものであり、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「時刻 4.0 秒における瞬間の速さ」を求める問題です。x-tグラフにおいて、ある時刻の瞬間の速さは、その時刻の点におけるグラフの接線の傾きに等しくなります。問題の図には、\(t=4.0\) s の点における接線がすでに描かれているため、この直線の傾きを計算すれば、それがそのまま答えとなります。
この設問における重要なポイント

• 瞬間の速さ \(v\) は、x-tグラフの接線の傾きに等しい。
• 接線の傾きを求めるには、その直線が通る2点の座標をグラフから正確に読み取る必要がある。

具体的な解説と立式
時刻 \(t\) における瞬間の速さ \(v\) [m/s] は、x-tグラフのその時刻の点における接線の傾きとして定義されます。
$$ v = (\text{x-tグラフの接線の傾き}) \quad \cdots ② $$
問題の図に描かれている、\(t=4.0\) s の点における接線の傾きを求めます。この接線が通る、読み取りやすい2点の座標をグラフから探します。

• 点A: (\(t_A = 0\) s, \(x_A = 4.0\) m)
• 点B: (\(t_B = 6.0\) s, \(x_B = 12\) m)

これらの2点の座標を用いて、接線の傾きを計算します。

読み取った2点A, Bの座標を用いて、式②の傾きを計算します。
$$
\begin{aligned}
v & = \frac{x_B – x_A}{t_B – t_A} \\[2.0ex]& = \frac{12 – 4.0}{6.0 – 0} \\[2.0ex]& = \frac{8.0}{6.0} \\[2.0ex]& = \frac{4}{3} \approx 1.333\dots
\end{aligned}
$$
有効数字を2桁で答えるため、小数第2位を四捨五入して、瞬間の速さは \(1.3\) m/s となります。

ある瞬間の速さは、グラフのその点での「傾き具合」を表します。グラフには、時刻4.0秒の点での傾きを表す直線（接線）が描かれています。この直線の傾きを計算すればOKです。この直線は、例えば「時刻0秒、位置4.0m」の点と「時刻6.0秒、位置12m」の点を通っています。つまり、横に6.0秒進む間に、縦に (12 – 4.0) = 8.0m 上がっているので、傾き（速さ）は \(8.0 \div 6.0 \approx 1.3\) m/s となります。

時刻 4.0 秒における瞬間の速さは \(1.3\) m/s です。これはグラフに描かれた接線の傾きから求めたものであり、妥当な値です。問題文の有効数字が2桁であることから、\(1.3\) m/s と答えるのが適切です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• x-tグラフの傾きの物理的意味:
  • 核心: この問題のすべては、x-tグラフ（位置-時間グラフ）において、「傾き」が「速さ」を意味することを理解しているかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    • 平均の速さは、ある時間区間での全体の変化率なので、グラフ上の2点を結ぶ直線の傾きで表されます。
    • 瞬間の速さは、ある一瞬の変化率なので、グラフ上の1点における接線の傾きで表されます。この違いを明確に区別することが最も重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • v-tグラフからの読み取り: 速度-時間グラフが与えられた場合、傾きは「加速度」を、グラフと時間軸で囲まれた面積は「移動距離（変位）」を表します。x-tグラフとの意味の違いを混同しないことが重要です。
  • 接線が描かれていない問題: 瞬間の速さを問う問題で、接線が描かれていない場合もあります。その場合は、問われている点の「ごく近く」の2点を読み取り、その間の平均の速さを計算することで、瞬間の速さを近似的に求めることがあります。あるいは、定規を使って慎重に接線を引いて傾きを読み取る必要があります。
  • 負の速度: グラフの傾きが負になる区間があれば、それは物体がx軸の負の向きに進んでいることを意味します。「速さ」は速度の大きさ（絶対値）なので正の値で答えますが、「速度」を問われた場合は符号（プラス・マイナス）を含めて答える必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、縦軸と横軸が何を表しているか（x-tグラフか、v-tグラフか、など）を必ず確認します。これが全ての基本です。
  2. 「平均」か「瞬間」か: 問題文が「平均の速さ」を求めているのか、「瞬間の速さ」を求めているのかを正確に把握します。
  3. 座標の読み取り:
     • 「平均」の場合：指定された時間区間の始点と終点の座標をグラフから正確に読み取ります。
     • 「瞬間」の場合：指定された時刻の点を見つけ、そこに引かれている接線（または自分で引いた接線）が通る、読み取りやすい2点の座標を探します。格子点（目盛りの線が交差する点）を通る箇所を探すのがコツです。
  4. 傾きの計算: 読み取った2点の座標を使って、\(\frac{\text{縦軸の変化量}}{\text{横軸の変化量}}\) を計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 平均と瞬間の混同:
  • 誤解: 時刻 4.0秒の瞬間の速さを求めるのに、原点(0,0)と曲線上の点(4.0, 約7.5)を結んでしまう。
  • 対策: 「平均」は区間（2点）、「瞬間」は一点（接線）と、言葉の定義とグラフ上での操作をセットで覚えましょう。「時刻4.0秒における」と聞かれたら、グラフの t=4.0 の点に指を置き、「ここでの傾きは？」と自問自答する癖をつけると良いです。
• 座標の読み取りミス:
  • 誤解: 接線の傾きを計算する際、接線上の点ではなく、元の曲線上の中途半端な点を読んでしまう。
  • 対策: 瞬間の速さを求める際は、一度「元の曲線は忘れて、描かれている直線（接線）だけに注目する」と意識を切り替えることが重要です。直線なので、どこか2点が分かれば傾きは計算できます。最も読み取りやすい（目盛りにぴったり合っている）2点を探しましょう。
• 縦軸と横軸の取り違え:
  • 誤解: 傾きを計算する際に、\(\frac{\Delta t}{\Delta x}\) のように、分母と分子を逆にしてしまう。
  • 対策: 傾きは「yの増加量 / xの増加量」と中学校で習った基本に立ち返りましょう。この問題では「縦軸(x)の変化量 / 横軸(t)の変化量」です。単位で考えても、速さの単位 [m/s] になるためには、[m]を[s]で割る必要がある、と確認できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均の速さ \(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\):
  • 選定理由: 「平均」という言葉の日常的な意味、すなわち「総移動距離 ÷ 総所要時間」を数式で表現したものがこの式です。物理現象を最も直接的に表現しています。
  • 適用根拠: x-tグラフは、時間 \(t\) の経過とともに位置 \(x\) がどう変化したかの記録そのものです。したがって、ある時間区間 \(\Delta t\) での位置の変化 \(\Delta x\) をグラフから読み取り、割り算をすることは、平均の速さの定義をそのまま実行していることに他なりません。
• 瞬間の速さ \(v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\) (接線の傾き):
  • 選定理由: 「瞬間の速さ」とは、スピードメーターが指すような、その一瞬一瞬の速さです。これは、平均の速さを計算する時間間隔 \(\Delta t\) を限りなくゼロに近づけたときの速さ（極限値）として数学的に定義されます。
  • 適用根拠: この数学的な操作（微分）は、グラフ上では「接線を引いてその傾きを求める」ことに対応します。なぜなら、接線はその点での「変化の勢い」を最もよく表す直線だからです。グラフの傾きが急なら速く、緩やかなら遅い、という直感とも完全に一致します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 読み取った座標を明記する: グラフから読み取った座標を、計算式の近くに「点A: (0 s, 4.0 m)」「点B: (6.0 s, 12 m)」のようにメモする癖をつけましょう。これにより、どの数値を使って計算しているかが明確になり、見直しが容易になります。
• 単位を意識した立式: (1)の計算で \(\bar{v} = \frac{12 \text{ [m]} – 0 \text{ [m]}}{8.0 \text{ [s]} – 0 \text{ [s]}}\) のように、計算の途中でも単位を書き込むと、最終的な答えの単位を間違えることがなくなります。
• 分数の計算は慎重に: \(8.0/6.0\) のような計算では、まず2で約分して \(4.0/3.0\) とし、それから割り算を実行するなど、段階を踏むとケアレスミスが減ります。
• 有効数字の確認: 問題文で与えられている数値（8.0秒、4.0秒）は有効数字2桁です。したがって、計算結果もそれに合わせるのが基本です。(1)の \(1.5\) m/s、(2)の \(1.3\) m/s は、どちらも有効数字2桁で適切です。\(1\) m/s や \(1.33\) m/s と答えると減点される可能性があるので注意が必要です。

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