今回の問題
mevhanical#02【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「ストロボ写真のデータ分析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ストロボ写真の読解: 一定時間間隔ごとの物体の位置を記録したもので、隣り合う点の間隔はその区間の平均の速さに比例します。
- 平均の速さの定義: 平均の速さは、物体の総移動距離を、その移動にかかった総経過時間で割ることで求められます。(\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\text{総移動距離}}{\text{総経過時間}}\))
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、与えられた各フラッシュ光の瞬間の位置データを比較し、物体Aと物体Bの位置関係が逆転する区間を特定します。
- (2)では、指定された区間における各物体の総移動距離を計算し、その比を求めることで平均の速さの比を導き出します。
問(1)
思考の道筋とポイント
「物体Bが物体Aを追い抜く」という現象を物理的に捉えることがポイントです。これは、ある瞬間まで物体Aが物体Bより前方にいた（\(x_A > x_B\)）のが、次の瞬間には物体Bが物体Aより前方にいる（\(x_B > x_A\)）状態に変わることを意味します。与えられた位置データをフラッシュ光の番号順に比較し、この位置関係の逆転が起こる区間を見つけ出します。
この設問における重要なポイント
- 「追い抜く」とは、2物体の位置関係が逆転することであると理解する。
- 与えられた複数の位置データを、一つずつ丁寧に比較する正確さが求められる。
- 「間」で起こる現象なので、2つの連続したフラッシュ光の瞬間を比較対象とする。
具体的な解説と立式
各フラッシュ光の番号を \(n\) としたとき、物体Aの位置を \(x_A(n)\)、物体Bの位置を \(x_B(n)\) とします。
追い抜きが起こる区間は、\(x_A(n) \ge x_B(n)\) という関係が、次のフラッシュ光の瞬間 \(n+1\) で \(x_A(n+1) < x_B(n+1)\) となる、\(n\) 番目と \(n+1\) 番目の間です。
与えられた位置データをリストアップし、この条件を満たす \(n\) を探します。
物体Aの位置 \(x_A\):
\(x_A(1)=1\), \(x_A(2)=5.1\), \(x_A(3)=8.8\), \(x_A(4)=11.5\), \(x_A(5)=14\), \(x_A(6)=15.9\), \(x_A(7)=17\), \(x_A(8)=17.6\)
物体Bの位置 \(x_B\):
\(x_B(1)=0\), \(x_B(2)=3.2\), \(x_B(3)=6.2\), \(x_B(4)=9.2\), \(x_B(5)=12.1\), \(x_B(6)=14.8\), \(x_B(7)=17.5\), \(x_B(8)=20.1\)
各フラッシュ光の瞬間における物体Aと物体Bの位置を比較します。
- \(n=1\): \(x_A(1) = 1\), \(x_B(1) = 0\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=2\): \(x_A(2) = 5.1\), \(x_B(2) = 3.2\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=3\): \(x_A(3) = 8.8\), \(x_B(3) = 6.2\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=4\): \(x_A(4) = 11.5\), \(x_B(4) = 9.2\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=5\): \(x_A(5) = 14\), \(x_B(5) = 12.1\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=6\): \(x_A(6) = 15.9\), \(x_B(6) = 14.8\) → \(x_A > x_B\) (Aが前)
- \(n=7\): \(x_A(7) = 17\), \(x_B(7) = 17.5\) → \(x_A < x_B\) (Bが前)
6番目の瞬間ではAが前にいますが、7番目の瞬間ではBが前に出ています。したがって、追い抜きはこの間で起こりました。
A君とB君の競争を、コマ送りの写真で見てみましょう。それぞれのコマでの位置が記録されています。1コマ目から6コマ目までは、A君がB君より前にいます。ところが、7コマ目を見ると、今度はB君がA君よりも前に出ています。つまり、B君がA君を追い抜いたのは、6コマ目と7コマ目の間ということになります。
データ比較により、6番目と7番目のフラッシュ光の間で位置関係が逆転していることが明確に確認できました。これが物体Bが物体Aを追い抜いた区間です。
問(2)
思考の道筋とポイント
物体Aと物体Bの「平均の速さの比」を求める問題です。平均の速さは「総移動距離 ÷ 総経過時間」で計算されます。この問題では、1番目から8番目までの区間を考えるので、両物体にとって「総経過時間」は共通です。したがって、平均の速さの比は、それぞれの「総移動距離」の比に等しくなります。各物体の総移動距離をデータから計算し、その比を求めます。
この設問における重要なポイント
- 比較する時間区間が同じ場合、平均の速さの比は総移動距離の比と等しくなる。
- 1番目からN番目のフラッシュ光の間の経過時間は、フラッシュの間隔を \(\Delta t\) とすると \((N-1)\Delta t\) となる。
- 「AはBの何倍か」という問いは、比 \(\displaystyle\frac{A}{B}\) を計算することに対応する。
具体的な解説と立式
物体Aの平均の速さを \(\bar{v}_A\)、物体Bの平均の速さを \(\bar{v}_B\) とします。
1番目から8番目までの総経過時間を \(T\) とすると、これは物体A, Bで共通です。
物体Aの総移動距離を \(\Delta x_A\)、物体Bの総移動距離を \(\Delta x_B\) とすると、
$$ \bar{v}_A = \frac{\Delta x_A}{T}, \quad \bar{v}_B = \frac{\Delta x_B}{T} $$
よって、求める速さの比は、
$$ \frac{\bar{v}_A}{\bar{v}_B} = \frac{\Delta x_A / T}{\Delta x_B / T} = \frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} \quad \cdots ① $$
となります。
\(\Delta x_A\) と \(\Delta x_B\) は、それぞれ8番目の位置と1番目の位置の差から計算できます。
$$ \Delta x_A = x_A(8) – x_A(1) $$
$$ \Delta x_B = x_B(8) – x_B(1) $$
使用した物理公式
- 平均の速さ: \(\bar{v} = \displaystyle\frac{\text{総移動距離}}{\text{総経過時間}}\)
まず、各物体の総移動距離を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x_A &= x_A(8) – x_A(1) = 17.6 – 1 = 16.6 \\[2.0ex]\Delta x_B &= x_B(8) – x_B(1) = 20.1 – 0 = 20.1
\end{aligned}
$$
次に、式①にこれらの値を代入して、速さの比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\bar{v}_A}{\bar{v}_B} &= \frac{16.6}{20.1} \\[2.0ex]&\approx 0.8258…
\end{aligned}
$$
問題では「およそ何倍か」と問われており、与えられたデータの有効数字は2桁または3桁です。ここでは有効数字2桁で答えるのが適切と考え、小数第3位を四捨五入します。
$$ \frac{\bar{v}_A}{\bar{v}_B} \approx 0.83 $$
A君とB君が、最初のコマから最後のコマまでに、それぞれどれだけ進んだかを比べます。時間はどちらも「フラッシュ7回分の時間」で同じです。A君は (17.6 – 1) = 16.6 だけ進みました。B君は (20.1 – 0) = 20.1 だけ進みました。同じ時間で進んだ距離の比が、そのまま平均の速さの比になります。だから、A君の速さ ÷ B君の速さ = 16.6 ÷ 20.1 を計算すると、約0.83になります。
計算の結果、物体Aの平均の速さは物体Bの平均の速さのおよそ \(0.83\) 倍であることがわかりました。移動距離がBの方が大きいため、比が1より小さくなるのは妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 平均の速さの概念的理解:
- 核心: この問題は、平均の速さが「総移動距離 ÷ 総経過時間」という定義に基づいていることを深く理解しているかを問うています。
- 理解のポイント: 特に(2)では、比較する時間 \(T\) が共通であるため、\(\bar{v}_A : \bar{v}_B = \Delta x_A : \Delta x_B\) となり、速さの比較が移動距離の比較に帰着する点を見抜けるかが重要です。これにより、未知の時間間隔 \(\Delta t\) を計算する必要がなくなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 区間ごとの速さの変化: 各フラッシュ光の間の区間距離 (\(x(n+1) – x(n)\)) を計算することで、物体の速さが時間とともにどのように変化しているか（加速、減速、等速）を分析する問題。
- グラフ化: 与えられた位置データを元にx-tグラフを作成し、グラフの傾きから各区間の速さや瞬間の速さを考察する問題。
- 衝突・合体: 2つの物体の位置が等しくなる時刻や位置を求める問題。追い抜きの問題はその一種と見なせます。
- 初見の問題での着眼点:
- データの整理: まず、与えられた数値を表の形に整理し、視覚的に分かりやすくします。
- 問われている物理量の定義の確認: 「平均の速さ」「追い抜く」など、問われている言葉の物理的な定義を再確認します。
- 共通条件の発見: 2つの物体を比較する問題では、時間や初期位置など、何が共通で何が異なるのかを明確にすることが解法の糸口になります。
- 比を問われたら: 速さの比や力の比などを問われた場合、定義式を分数で表すことで、共通の物理量（この問題では時間 \(T\)）が約分されて消えないか検討します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 時間間隔の誤算:
- 誤解: 1番目から8番目までの間隔を「8回」と数えてしまう。
- 対策: 植木算の考え方と同じです。N個の点（フラッシュ光）の間隔は \((N-1)\) 個です。必ず「点の数 – 1」と覚えるか、指で数えて確認しましょう。
- 比の計算の取り違え:
- 誤解: 「AはBの何倍か」(\(\frac{A}{B}\))と問われているのに、無意識に大きい方を小さい方で割って \(\frac{B}{A}\) を計算してしまう。
- 対策: 「(A)は(B)の(何)倍」という日本語の構造を、\(A = B \times (\text{何})\) という数式に変換する癖をつけましょう。これにより、求めるべきは \(\frac{A}{B}\) であることが明確になります。
- 有効数字の処理ミス:
- 誤解: 計算結果を電卓の表示のまま書き写してしまう。
- 対策: 計算に用いた元データの有効数字を確認し、答えの有効数字をそれに合わせる意識を持ちましょう。一般に、かけ算・割り算では最も有効数字の桁数が少ないものに合わせます。この問題では「およそ」とあるので、2桁程度で答えるのが妥当です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 平均の速さ \(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{T}\):
- 選定理由: これは物理法則というより「定義」そのものです。ある時間 \(T\) の間にどれだけ移動したか \(\Delta x\) を測り、単位時間あたりに換算したものが平均の速さであり、運動のペースを大局的に捉えるための最も基本的な指標です。
- 適用根拠: (2)でこの定義式を2物体に適用し、比を取ることで、未知数である総経過時間 \(T\) を消去できるという計算上のメリットが生まれます。これは、問題の本質が「同じ時間でどれだけ進んだか」という距離の比較にあることを見抜くための論理的なステップです。物理的な洞察が、計算を簡略化する道筋を示してくれます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 途中計算を書き出す: \(\Delta x_A = 17.6 – 1 = 16.6\) のように、移動距離を求める計算をきちんと書き出しましょう。暗算で済ませようとすると、特に桁数の多いデータではミスが起こりやすくなります。
- 立式を先に: \(\frac{\bar{v}_A}{\bar{v}_B} = \frac{\Delta x_A}{\Delta x_B}\) のように、具体的な数値を代入する前に、文字式で関係性を導出しましょう。これにより思考のプロセスが明確になり、どこで間違えたかの確認も容易になります。
- 概算で見当をつける: \(\frac{16.6}{20.1}\) を計算する前に、「16/20 = 4/5 = 0.8」のように、おおよその値を予測します。計算結果がこの概算値から大きく外れていれば、どこかで計算ミスを犯した可能性が高いと気づくことができます。
- 問いを再確認する: 計算が終わった後、もう一度「AはBの何倍か」という問いを読み返します。自分の計算が \(\frac{A}{B}\) なのか \(\frac{B}{A}\) なのかを最終チェックすることで、単純な取り違えを防げます。
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