「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅶ 章 25】発展例題～発展問題615

発展例題

発展例題51 年代測定

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性同位体を用いた年代測定」です。生物の遺骸などに含まれる放射性炭素（\({}^{14}\text{C}\)）の量が、時間の経過とともに規則的に減少していく性質を利用して、その生物がいつ死んだか（炭素の取り込みを止めたか）を推定する方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

年代測定

思考の道筋とポイント
植物が生きている間は、大気中の二酸化炭素を取り込み続けるため、体内の \({}^{14}\text{C}\) と \({}^{12}\text{C}\) の比率は大気中と同じ一定値に保たれています。しかし、枯れて炭素の取り込みが止まると、安定な \({}^{12}\text{C}\) は減りませんが、放射性同位体である \({}^{14}\text{C}\) は \(\beta\) 崩壊して減少していきます。
問題文より、現在の \({}^{14}\text{C}\) の数は、生きていた頃（大気中と同じ比率）の \(1/3\) になっています。
この情報と半減期の公式を結びつけ、経過時間 \(t\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• \({}^{12}\text{C}\) の数は変化しないため、比率の変化はそのまま \({}^{14}\text{C}\) の数の変化を表す。
• 半減期 \(T = 5.7 \times 10^3\) 年。
• 現在の数 \(N\) は初期数 \(N_0\) の \(1/3\) 倍。
• 指数方程式を解くために対数を利用する。

具体的な解説と立式
ある時刻 \(t\) における放射性同位体の数 \(N\) は、初期数 \(N_0\)、半減期 \(T\) を用いて次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
N &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}
\end{aligned}
$$
ここで、問題文より、現在の \({}^{14}\text{C}\) の数は初期の \(1/3\) なので、\(N = \displaystyle\frac{N_0}{3}\) です。
また、半減期 \(T = 5.7 \times 10^3\) 年です。
これらを式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{N_0}{3} &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5.7 \times 10^3}}
\end{aligned}
$$
両辺を \(N_0\) で割って整理すると、以下の式が得られます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{3} &= \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5.7 \times 10^3}}
\end{aligned}
$$

求めた式の両辺の常用対数（底が \(10\) の対数）をとります。
$$
\begin{aligned}
\log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) &= \log_{10} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5.7 \times 10^3}} \right)
\end{aligned}
$$
対数の性質 \(\log_{10} (A^B) = B \log_{10} A\) と \(\log_{10} (1/A) = -\log_{10} A\) を利用して変形します。
左辺:
$$
\begin{aligned}
\log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) &= \log_{10} (3^{-1}) \\[2.0ex] &= -\log_{10} 3
\end{aligned}
$$
右辺:
$$
\begin{aligned}
\log_{10} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5.7 \times 10^3}} \right) &= \frac{t}{5.7 \times 10^3} \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{t}{5.7 \times 10^3} \log_{10} (2^{-1}) \\[2.0ex] &= -\frac{t}{5.7 \times 10^3} \log_{10} 2
\end{aligned}
$$
したがって、方程式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
-\log_{10} 3 &= -\frac{t}{5.7 \times 10^3} \log_{10} 2
\end{aligned}
$$
両辺に \(-1\) を掛け、\(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\log_{10} 3 &= \frac{t}{5.7 \times 10^3} \log_{10} 2 \\[2.0ex] t &= 5.7 \times 10^3 \times \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}
\end{aligned}
$$
与えられた数値 \(\log_{10} 2 = 0.30, \log_{10} 3 = 0.48\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
t &= 5.7 \times 10^3 \times \frac{0.48}{0.30} \\[2.0ex] &= 5.7 \times 10^3 \times \frac{48}{30} \\[2.0ex] &= 5.7 \times 10^3 \times 1.6
\end{aligned}
$$
数値部分の計算を行います。
$$
\begin{aligned}
5.7 \times 1.6 &= 9.12
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
t &= 9.12 \times 10^3
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
t &\approx 9.1 \times 10^3\,\text{年}
\end{aligned}
$$

放射性炭素 \({}^{14}\text{C}\) は、サイコロを振って特定の目が出たら消えるように、時間が経つにつれて一定の確率で減っていきます。その数が半分になる期間（半減期）は決まっています。
この木片では、\({}^{14}\text{C}\) が元の \(1/3\) にまで減っていました。半分（\(1/2\)）になるには \(5700\) 年かかりますが、\(1/3\) は \(1/2\) よりさらに少ないので、\(5700\) 年よりも長い時間が経っているはずです。その正確な時間を、対数という数学の道具を使って計算しました。

計算結果 \(9.1 \times 10^3\) 年は、半減期 \(5.7 \times 10^3\) 年よりも長くなっています。\(1/3\)（約 \(0.33\)）は \(1/2\)（\(0.5\)）より小さく、\(1/4\)（\(0.25\)）より大きいので、経過時間は半減期の1倍（\(5700\) 年）と2倍（\(11400\) 年）の間になるはずです。\(9100\) 年はこの範囲に収まっており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射性崩壊の法則（半減期の式）
  • 核心: 放射性同位体の原子核数は、時間が経過するにつれて指数関数的に減少します。その減少の速さを特徴づけるのが「半減期 \(T\)」であり、時間 \(t\) 後の残存数 \(N\) は \(N = N_0 (1/2)^{t/T}\) というシンプルな式で記述されます。
  • 理解のポイント:
    • 確率的な現象: 個々の原子核がいつ崩壊するかは予測できませんが、大量の原子核が集まると、全体としては規則的な減少パターン（半減期ごとに半分になる）を示します。
    • 環境に依存しない: 放射性崩壊の確率は、温度や圧力、化学結合の状態（燃やしても凍らせても）に影響されません。だからこそ、信頼性の高い「時計」として年代測定に利用できるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 残存割合から時間を求める: 本問のように「\(1/3\) になった」「\(10\%\) になった」という条件から経過時間を求めるパターン。常に対数計算が必要になります。
  • 時間から残存割合を求める: 「半減期の3倍の時間が経過したときの残存量は？」といった問題。\(t=3T\) を代入すれば \((1/2)^3 = 1/8\) と即座に求まります。
  • 半減期そのものを求める: 「\(X\) 年後に \(1/5\) になった。半減期は？」というパターン。これも同じ式を変形して \(T\) を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準となる量（\(N_0\)）を確認する: 何と比較して減ったのか（大気中の比率、生きている植物など）を問題文から読み取ります。
  2. 「比率」を数式にする: 「\(A\) が \(B\) の \(1/x\) 倍」という情報を \(N = N_0/x\) という等式に変換します。
  3. 対数の底を確認する: 問題文で与えられている対数が常用対数（\(\log_{10}\)）か自然対数（\(\ln\)）かを確認し、それに合わせて計算を進めます。物理では自然対数を使うことも多いですが、高校物理の計算問題では常用対数が一般的です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 半減期の意味の誤解:
  • 誤解: 「半減期が \(T\) 年だから、\(T/2\) 年経てば \(1/4\) 減る（\(3/4\) 残る）」と直線的に考えてしまう。
  • 対策: 減少は直線（一次関数）ではなく、指数関数的です。\(T/2\) 年後の残存量は \((1/2)^{0.5} = 1/\sqrt{2} \approx 0.71\) 倍であり、\(0.75\) 倍ではありません。必ず公式 \(N = N_0 (1/2)^{t/T}\) を使いましょう。
• 対数計算のミス:
  • 誤解: \(\log(1/3)\) を \(\log 1 – \log 3\) と展開せず、そのまま計算不能になったり、符号を間違えたりする。
  • 対策: \(\log(A/B) = \log A – \log B\)、\(\log(A^n) = n \log A\) という対数の基本公式を復習し、確実に変形できるようにしましょう。特に \(\log 1 = 0\) は頻出です。
• \({}^{12}\text{C}\) の役割の誤解:
  • 誤解: \({}^{12}\text{C}\) も減ると考えてしまう、あるいは計算に \({}^{12}\text{C}\) の数を直接使おうとする。
  • 対策: \({}^{12}\text{C}\) は安定同位体であり、数は変わりません。あくまで「基準（分母）」として存在しているだけで、計算の主役は減っていく \({}^{14}\text{C}\)（分子）であることを意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（\(N = N_0 (1/2)^{t/T}\)）:
  • 選定理由: 「半減期」と「残存量」の関係を記述する公式はこれしかありません。
  • 適用根拠: 問題文で「半減期」が与えられ、「数が減少する」現象を扱っているため、この公式の適用は自明かつ必然です。
• 数学的道具の選択（対数）:
  • 選定理由: 未知数 \(t\) が指数の位置（肩の上）にあるため、それを地上（係数）に下ろすためには対数を取る必要があります。
  • 適用根拠: \(1/3 = (1/2)^x\) のような方程式は、\(x\) が整数でない限り、対数を使わずに解くことは困難です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま変形する:
  • いきなり数値を代入せず、\(t = T \times \displaystyle\frac{\log(\text{残存率})}{\log(1/2)}\) のように、\(t = \dots\) の形まで文字式で変形してから、最後に数値を代入しましょう。これにより、計算の見通しが良くなり、途中の転記ミスも防げます。
• 概算による検算:
  • 結論の吟味でも触れましたが、「\(1/3\) は \(1/2\) と \(1/4\) の間だから、答えは \(1T\) と \(2T\) の間になるはず」という直感的な見積もりは非常に強力な検算手段です。もし計算結果が \(3000\) 年（\(1T\) 以下）や \(20000\) 年（\(2T\) 以上）になったら、即座に計算ミスを疑うことができます。

発展例題52 コッククロフトとウォルトンの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「人工核変換とエネルギー保存則」です。歴史的に有名なコッククロフトとウォルトンの実験を題材に、核反応式、質量欠損、そして反応におけるエネルギー保存則の適用方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題文から反応に関与する粒子を特定します。
反応前: 加速した陽子（\({}_1^1\text{H}\)）と、静止したリチウム原子核（\({}_3^7\text{Li}\)）。
反応後: 2個のヘリウム原子核（\({}_2^4\text{He}\)）。
これらを矢印で結び、質量数と原子番号が保存されているか確認します。

この設問における重要なポイント

• 陽子の表記: \({}_1^1\text{H}\)
• リチウムの表記: \({}_3^7\text{Li}\)
• ヘリウムの表記: \({}_2^4\text{He}\)
• ヘリウムが「2個」生成されることに注意。

具体的な解説と立式
反応前の粒子は \({}_3^7\text{Li}\) と \({}_1^1\text{H}\) です。
反応後の粒子は \(2\) 個の \({}_2^4\text{He}\) です。

質量数の保存を確認します。
$$
\begin{aligned}
\text{左辺} &: 7 + 1 = 8 \\[2.0ex] \text{右辺} &: 4 \times 2 = 8
\end{aligned}
$$
（一致）

原子番号の保存を確認します。
$$
\begin{aligned}
\text{左辺} &: 3 + 1 = 4 \\[2.0ex] \text{右辺} &: 2 \times 2 = 4
\end{aligned}
$$
（一致）

したがって、核反応式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
{}_3^7\text{Li} + {}_1^1\text{H} &\longrightarrow 2{}_2^4\text{He}
\end{aligned}
$$

（立式のみで完了するため、計算過程はありません）

リチウムという原子核に、加速した陽子（水素の原子核）をぶつけました。すると、それらが合体して分裂し、2つのヘリウム原子核になりました。この変化を化学反応式のように書きました。

保存則が満たされており、妥当な式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
反応前の質量の総和と、反応後の質量の総和をそれぞれ計算し、その差（質量欠損）を求めます。
単位は原子質量単位 \(\text{u}\) のままで答えます。

この設問における重要なポイント

• リチウムの質量: \(7.0144\,\text{u}\)
• 陽子の質量: \(1.0073\,\text{u}\)
• ヘリウムの質量: \(4.0015\,\text{u}\)
• ヘリウムは2個分引くことを忘れない。

具体的な解説と立式
反応前の質量 \(M_{\text{前}}\) は、
$$
\begin{aligned}
M_{\text{前}} &= 7.0144 + 1.0073
\end{aligned}
$$
反応後の質量 \(M_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
M_{\text{後}} &= 2 \times 4.0015
\end{aligned}
$$
質量欠損 \(\Delta M\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= M_{\text{前}} – M_{\text{後}}
\end{aligned}
$$

まず \(M_{\text{前}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
M_{\text{前}} &= 7.0144 + 1.0073 \\[2.0ex] &= 8.0217\,\text{u}
\end{aligned}
$$
次に \(M_{\text{後}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
M_{\text{後}} &= 2 \times 4.0015 \\[2.0ex] &= 8.0030\,\text{u}
\end{aligned}
$$
質量欠損 \(\Delta M\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= 8.0217 – 8.0030 \\[2.0ex] &= 0.0187\,\text{u}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で科学的表記にします。
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= 1.87 \times 10^{-2}\,\text{u}
\end{aligned}
$$

反応前の材料の重さの合計と、反応後の完成品の重さの合計を比べました。すると、反応後の方がわずかに軽くなっていることがわかりました。この軽くなった分（質量欠損）を計算しました。

正の値が得られ、質量が減少していることが確認できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた質量欠損 \(\Delta M\) がエネルギーに変換されます。
手順は以下の通りです。
1. \(\text{u}\) 単位の質量を \(\text{kg}\) 単位に換算する。
2. \(E = \Delta Mc^2\) でエネルギー（\(\text{J}\)）を求める。
3. \(\text{J}\) 単位のエネルギーを \(\text{eV}\) 単位に換算し、さらに \(\text{MeV}\)（\(10^6\,\text{eV}\)）にする。

この設問における重要なポイント

• 単位換算係数:
  • \(1\,\text{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)
  • \(1\,\text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}\)
• 光速 \(c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}\) の2乗を忘れない。

具体的な解説と立式
質量欠損 \(\Delta M\)（\(\text{u}\)）をエネルギー \(E\)（\(\text{J}\)）に換算する式は、
$$
\begin{aligned}
E[\text{J}] &= (\Delta M \times 1.66 \times 10^{-27}) \times c^2
\end{aligned}
$$
これを \(\text{eV}\) に換算する式は、
$$
\begin{aligned}
E[\text{eV}] &= \frac{E[\text{J}]}{1.60 \times 10^{-19}}
\end{aligned}
$$
最後に \(\text{MeV}\) にします。

まず \(E[\text{J}]\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E[\text{J}] &= (1.87 \times 10^{-2} \times 1.66 \times 10^{-27}) \times (3.00 \times 10^8)^2 \\[2.0ex] &= 1.87 \times 1.66 \times 10^{-29} \times 9.00 \times 10^{16} \\[2.0ex] &= 1.87 \times 1.66 \times 9.00 \times 10^{-13}
\end{aligned}
$$
数値部分を計算します。
$$
\begin{aligned}
1.87 \times 1.66 \times 9.00 &= 3.1042 \times 9.00 \\[2.0ex] &= 27.9378
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
E[\text{J}] &= 27.9378 \times 10^{-13}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に \(\text{eV}\) に換算します。
$$
\begin{aligned}
E[\text{eV}] &= \frac{27.9378 \times 10^{-13}}{1.60 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &= \frac{27.9378}{1.60} \times 10^6
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
27.9378 \div 1.60 &= 17.461125
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
E[\text{eV}] &= 17.46… \times 10^6\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
\(10^6\,\text{eV} = 1\,\text{MeV}\) なので、
$$
\begin{aligned}
E[\text{MeV}] &= 17.46…\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
E &\approx 17.5\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

消えた質量がどれだけのエネルギーに変わったかを計算しました。ジュール（\(\text{J}\)）で計算した後、原子の世界でよく使われる電子ボルト（\(\text{eV}\)）、さらにその100万倍のメガ電子ボルト（\(\text{MeV}\)）に単位を直しました。

約 \(17.5\,\text{MeV}\) というエネルギーが得られました。核反応で放出されるエネルギー（Q値）として妥当な大きさです。

問(4)

思考の道筋とポイント
この反応におけるエネルギー保存則を考えます。
「反応前の運動エネルギー」＋「反応で発生したエネルギー（質量エネルギー）」＝「反応後の運動エネルギー」
という関係が成り立ちます。
反応前の運動エネルギーは陽子の \(0.6\,\text{MeV}\)（リチウムは静止しているので \(0\)）。
反応で発生したエネルギーは(3)で求めた \(17.46\,\text{MeV}\)。
反応後の運動エネルギーは、2個のヘリウム原子核の運動エネルギーの和です。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則の立式。
• (3)の計算結果（丸める前の値 \(17.46\)）を使うこと。
• 2個のヘリウムの運動エネルギーは等しいと仮定されているので、求めるエネルギーを \(E’\) とすると、反応後の総運動エネルギーは \(2E’\) となる。

具体的な解説と立式
陽子の運動エネルギーを \(K_{\text{p}} = 0.6\,\text{MeV}\)、反応エネルギーを \(Q = 17.46\,\text{MeV}\) とします。
ヘリウム原子核1個の運動エネルギーを \(E’\) とします。
エネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{p}} + Q &= 2E’
\end{aligned}
$$

数値を代入して \(E’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0.6 + 17.46 &= 2E’ \\[2.0ex] 18.06 &= 2E’ \\[2.0ex] E’ &= \frac{18.06}{2} \\[2.0ex] E’ &= 9.03\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

「最初持っていた勢い（陽子のエネルギー）」と「反応で新しく生まれたエネルギー」の合計を、2つのヘリウム原子核が山分けしました。2つは同じエネルギーを持ったので、合計を半分こすれば1個分のエネルギーがわかります。

\(9.03\,\text{MeV}\) という値が得られました。陽子の入射エネルギー \(0.6\,\text{MeV}\) に比べて、出てくるエネルギーが圧倒的に大きいことがわかります。これが核反応の特徴です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 核反応におけるエネルギー保存則
  • 核心: 核反応を含む物理現象全体において、エネルギーの総量は保存されます。具体的には、「反応前の粒子の運動エネルギー」と「質量欠損によって生じた核エネルギー（Q値）」の和が、「反応後の粒子の運動エネルギー」に等しくなります。
  • 理解のポイント:
    • 質量の役割: 質量は「凍結されたエネルギー」であり、反応によってその一部が解凍されて運動エネルギーに変わるとイメージしましょう。
    • Q値の定義: \(Q = (\text{反応前の質量} – \text{反応後の質量})c^2\) です。\(Q > 0\) なら発熱反応（運動エネルギーが増える）、\(Q < 0\) なら吸熱反応（運動エネルギーが減る）となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 運動量保存則との連立: 本問では「2個のヘリウムのエネルギーが等しい」という条件が与えられていましたが、一般には運動量保存則とエネルギー保存則を連立させて、生成粒子の速度や飛び出す角度を求める問題が出題されます。
  • しきい値エネルギー: 吸熱反応（\(Q < 0\)）の場合、反応を起こすために必要な最低限の入射エネルギー（しきい値）を求める問題があります。この場合もエネルギー保存則が基本となります。
  • 光子（ガンマ線）の放出: 反応後にガンマ線が放出される場合、そのエネルギー \(h\nu\) もエネルギー保存則の右辺（反応後）に加える必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子のリストアップ: 反応前と反応後に何がいるかを書き出し、質量数と電荷の保存を確認して反応式を確定させます。
  2. 質量の精算: 反応前と反応後の総質量をそれぞれ計算し、その差（質量欠損）を求めます。
  3. エネルギー収支の立式: 「入ってきたエネルギー（運動エネルギー＋質量エネルギー）」＝「出ていくエネルギー（運動エネルギー＋質量エネルギー）」という式を立てます。質量エネルギーの差を \(Q\) として扱うと計算が楽になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ヘリウム2個分の忘れ:
  • 誤解: 反応後の質量計算や運動エネルギー計算で、ヘリウムが2個生成されていることを忘れ、1個分として計算してしまう。
  • 対策: 反応式の係数「2」を大きく丸で囲むなどして強調し、質量計算では \(2 \times 4.0015\)、エネルギー計算では \(2E’\) とすることを徹底しましょう。
• 単位換算の桁ミス:
  • 誤解: \(\text{u} \to \text{kg}\)、\(\text{J} \to \text{eV}\)、\(\text{eV} \to \text{MeV}\) の換算係数を掛け間違えたり、指数の計算をミスしたりする。
  • 対策: 単位換算は「1」を掛ける操作です（例: \(\displaystyle\frac{1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg}}{1\,\text{u}} = 1\)）。単位が約分されて消えるように分数を配置すれば、掛けるべきか割るべきかを間違えません。
• 相対論的質量の混同:
  • 誤解: 運動している粒子の質量が増加するという相対論的効果を考慮すべきか迷う。
  • 対策: 高校物理の範囲では、質量欠損の計算には「静止質量」を用います。運動エネルギーは \(K = \frac{1}{2}mv^2\) （または保存則から求まる値）として扱い、質量の速度依存性は通常無視します（ただし、問題文で指示がある場合は従います）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (3)での公式選択（\(E=mc^2\)）:
  • 選定理由: 質量欠損をエネルギーに換算するための唯一の公式です。
  • 適用根拠: 核反応によって質量が失われ、それがエネルギーとして放出される現象を定量的に評価するために不可欠です。
• (4)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 反応前後の運動エネルギーの関係を問われているため。
  • 適用根拠: 外力が仕事をせず、熱の出入りもない孤立系（ミクロな反応系）では、全エネルギーが保存されるという物理学の大原則に基づきます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定数計算のパッケージ化:
  • \(1\,\text{u}\) が何 \(\text{MeV}\) に相当するか（約 \(931.5\,\text{MeV}\)）を覚えておくと、検算に役立ちます。
  • 計算: \(1.66 \times 10^{-27} \times (3.00 \times 10^8)^2 / (1.60 \times 10^{-13}) \approx 931.5\)
  • これを知っていれば、(3)は \(0.0187 \times 931.5 \approx 17.4\,\text{MeV}\) と一瞬で見積もることができ、面倒な指数計算のミスをチェックできます。（ただし、記述式答案では問題文の数値を使って丁寧に計算過程を示す必要があります。）
• 有効数字の管理:
  • 途中計算では1桁多く（ガードデジット）残し、最後に丸めることを徹底します。特に(3)の結果を(4)で使う場合、丸めた値（\(17.5\)）を使うと誤差が大きくなる可能性があるため、\(17.46\) を使うのが鉄則です。

発展問題

610 セシウムの半減期と放射能

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊と放射能の強さ」です。放射性同位体であるセシウム137（\({}^{137}\text{Cs}\)）を例に、原子核の数が時間とともにどのように減少するか（半減期）、そしてその崩壊の激しさ（放射能）がどのように定義され計算されるかを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
放射性同位体の原子核数は、半減期 \(T\) ごとに半分になります。これを一般化した式 \(N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}\) に、問題で与えられた半減期 \(T = 30\,\text{年}\) を代入します。

この設問における重要なポイント

• 半減期 \(T = 30\,\text{年}\)。
• 初期数 \(N_0\)。
• 経過時間 \(t\)（年）。
• 公式の形を正しく覚えていること。

具体的な解説と立式
放射性崩壊の法則より、時間 \(t\) 経過後の原子核数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}
\end{aligned}
$$
ここで、半減期 \(T = 30\,\text{年}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}
\end{aligned}
$$

（立式のみで完了するため、計算過程はありません）

セシウム137は30年経つと数が半分になります。60年経てば半分の半分（1/4）、90年経てばさらにその半分（1/8）になります。これを数式で表すと、「1/2を何回掛けたか」という形になります。\(t\) 年間には \(t/30\) 回の半減期が含まれるので、\((1/2)\) を \(t/30\) 乗します。

半減期の定義通りの式が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた式に、具体的な数値を代入して計算します。
初期数 \(N_0 = 2.00 \times 10^{25}\) 個、経過時間 \(t = 10\) 年です。
指数の計算において、問題文で与えられた近似値 \(2^{\frac{1}{3}} \approx 1.26\)（または \(2 \div 1.26^3 \approx 1\) という文脈からの逆算）を利用します。
※問題文のヒント「\(2 \div 1.26^3\)」は少し変則的ですが、文脈から \(2^{1/3} \approx 1.26\) または \(1/2^{1/3} \approx 1/1.26\) を意味していると読み取れます。ここでは \(2^{1/3} \approx 1.26\) を使って計算します。

この設問における重要なポイント

• \(t = 10\) を代入すると、指数部分は \(\frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) となる。
• \(\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}\) である。
• \(2^{\frac{1}{3}} \approx 1.26\) を用いて計算する。

具体的な解説と立式
(1)の式に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= 2.00 \times 10^{25} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{10}{30}}
\end{aligned}
$$
これを整理すると、
$$
\begin{aligned}
N &= 2.00 \times 10^{25} \times \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}
\end{aligned}
$$
ここで \(2^{\frac{1}{3}} \approx 1.26\) を用います。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{2.00 \times 10^{25}}{1.26}
\end{aligned}
$$

割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{2.00}{1.26} \times 10^{25} \\[2.0ex] &= 1.5873… \times 10^{25}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
N &\approx 1.59 \times 10^{25}\,\text{個}
\end{aligned}
$$

30年で半分になるセシウムですが、まだ10年しか経っていません。半分（0.5倍）までは減らず、少し減った状態です。計算すると、元の量の約 \(1/1.26\) 倍（約0.79倍）になっていることがわかります。

10年は半減期（30年）の1/3なので、数は半分よりは多く残っているはずです。計算結果 \(1.59 \times 10^{25}\) は初期値 \(2.00 \times 10^{25}\) より少し減った値であり、妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
放射能の強さ（ベクレル）を求めます。
問題文にある公式 \(I = \frac{0.693}{T} N\) を使います。
ここで最も重要なのは、単位の整合性です。ベクレル（\(\text{Bq}\)）は「1秒間あたりの崩壊数」なので、半減期 \(T\) も必ず「秒」単位に直してから代入しなければなりません。
原子核数 \(N\) には、(2)で求めた「10年後の個数」を使います。

この設問における重要なポイント

• 半減期 \(T = 30\,\text{年}\) を秒に換算する。
• \(1\,\text{年} = 3.15 \times 10^7\,\text{s}\)。
• 原子核数 \(N\) は(2)の計算結果（丸める前の値 \(1.587 \times 10^{25}\)）を使う。
• 有効数字3桁で答える。

具体的な解説と立式
まず、半減期 \(T\) を秒単位に換算します。
$$
\begin{aligned}
T[\text{s}] &= 30 \times (3.15 \times 10^7)
\end{aligned}
$$
次に、放射能の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{0.693}{T[\text{s}]} \times N
\end{aligned}
$$
これらを組み合わせると、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{0.693}{30 \times 3.15 \times 10^7} \times (1.587 \times 10^{25})
\end{aligned}
$$

まず分母（半減期の秒換算）を計算します。
$$
\begin{aligned}
T[\text{s}] &= 30 \times 3.15 \times 10^7 \\[2.0ex] &= 94.5 \times 10^7 \\[2.0ex] &= 9.45 \times 10^8\,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に \(I\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{0.693}{9.45 \times 10^8} \times 1.587 \times 10^{25} \\[2.0ex] &= \frac{0.693 \times 1.587}{9.45} \times 10^{25-8} \\[2.0ex] &= \frac{1.099791}{9.45} \times 10^{17}
\end{aligned}
$$
数値部分の割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
1.099791 \div 9.45 &\approx 0.11638…
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
I &= 0.11638… \times 10^{17} \\[2.0ex] &= 1.1638… \times 10^{16}\,\text{Bq}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
I &\approx 1.16 \times 10^{16}\,\text{Bq}
\end{aligned}
$$

「放射能の強さ」とは、「今この瞬間に、どれくらいの勢いで原子核が壊れているか」を表す数字です。原子核がたくさんあればあるほど、また半減期が短ければ短いほど（壊れやすければ壊れやすいほど）、この勢いは強くなります。
ここでは、10年後に残っているセシウムの数を使って、その時点での「壊れる勢い（ベクレル）」を計算しました。時間の単位を「年」から「秒」に直すのがポイントです。

\(10^{16}\,\text{Bq}\) という非常に大きな値になりましたが、原子核の個数が \(10^{25}\) 個と膨大であるため、妥当な値です。1秒間に \(10^{16}\) 個も壊れていますが、全体が \(10^{25}\) 個もあるので、全体がなくなるまでにはまだまだ長い時間がかかります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射能の強さと原子核数の関係（\(I = \lambda N\)）
  • 核心: 放射能の強さ \(I\)（ベクレル）は、その瞬間に存在している放射性原子核の数 \(N\) に比例します。その比例定数 \(\lambda\)（崩壊定数）は半減期 \(T\) と逆比例の関係（\(\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}\)）にあります。
  • 理解のポイント:
    • 直感的な理解: 「原子核の数が多いほど、あちこちで崩壊が起きる（\(I \propto N\)）」「寿命（半減期）が短いほど、頻繁に崩壊が起きる（\(I \propto 1/T\)）」という2つの要素で放射能の強さが決まります。
    • 単位の重要性: ベクレル（\(\text{Bq}\)）の定義は「個/秒」です。したがって、この公式を使うときは、半減期 \(T\) を必ず「秒」に換算しなければなりません。これが最大の落とし穴です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊定数 \(\lambda\) を用いる問題: 問題によっては半減期 \(T\) ではなく崩壊定数 \(\lambda\) が与えられることがあります。その場合は \(I = \lambda N\) を直接使います。また、\(N = N_0 e^{-\lambda t}\) という指数関数の形（自然対数の底 \(e\) を使う形）で崩壊の法則を表すこともあります。
  • モル数からの計算: 原子核の個数 \(N\) が直接与えられず、「セシウム \(1\,\text{g}\)」のように質量やモル数で与えられる場合があります。このときは、アボガドロ定数 \(N_{\text{A}}\) を使って \(N = (\text{質量}/\text{原子量}) \times N_{\text{A}}\) と計算してから公式に代入します。
  • 放射能の減衰: 放射能 \(I\) も原子核数 \(N\) と同様に、時間とともに半減期 \(T\) で減少します。つまり、\(I = I_0 (1/2)^{t/T}\) という式も成り立ちます。これを使えば、原子核数を経由せずに直接放射能の変化を計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間の単位をチェック: 半減期が「年」「日」「分」のどれで与えられているかを確認し、ベクレル計算の際は必ず「秒」に直す準備をします。
  2. 近似値の利用: \(2^{1/3}\) や \(\log 2\) などの近似値が与えられている場合、計算のどこかで必ずそれを使う場面が出てきます。どのタイミングで使うかを見極めましょう。
  3. 有効数字の管理: 指数計算や巨大な数の割り算が多くなるため、途中計算での桁落ちに注意し、ガードデジット（余分な桁）を持って計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 半減期の単位換算忘れ:
  • 誤解: 公式 \(I = \frac{0.693}{T} N\) の \(T\) に、そのまま「30（年）」を代入してしまう。
  • 対策: 「ベクレル＝秒」という結びつきを強く意識しましょう。公式の \(T\) の横に \([\text{s}]\) とメモ書きする習慣をつけるとミスを防げます。
• 原子核数の取り違え:
  • 誤解: (3)の計算で、10年後の原子核数 \(N\) ではなく、初期の原子核数 \(N_0\) を使ってしまう。
  • 対策: 設問が「いつの」放射能を求めているかをよく読みます。「10年後の」とあれば、当然 \(N\) も「10年後の値」を使わなければなりません。
• 指数の計算ミス:
  • 誤解: \((1/2)^{10/30}\) を \((1/2) \times (1/3)\) のように計算してしまう。
  • 対策: 指数法則 \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) を正しく理解し、\(2^{1/3}\) という形に変形できるようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（\(N = N_0 (1/2)^{t/T}\)）:
  • 選定理由: 半減期と経過時間から残存数を求めるための基本公式です。
  • 適用根拠: 放射性崩壊の確率的な性質から導かれるこの式は、あらゆる放射性同位体に適用可能です。
• (3)での公式選択（\(I = \frac{0.693}{T} N\)）:
  • 選定理由: 放射能の強さ（崩壊率）を求めるための定義式から導かれる関係式です。
  • 適用根拠: 崩壊定数 \(\lambda\) と半減期 \(T\) の関係 \(\lambda T = \ln 2 \approx 0.693\) を用いて、\(I = \lambda N\) を書き換えたものです。問題文でこの式が与えられている場合は、迷わずこれを使います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の処理:
  • \(10^{25}\) のような巨大な数は、係数部分（\(1.587\) など）と指数部分（\(10^{25}\)）を完全に分離して計算します。最後にまとめて合体させることで、桁のミスを減らせます。
• 定数計算の確認:
  • \(0.693\) は \(\ln 2\) の近似値です。もし関数電卓などが使える環境（大学など）であれば \(\ln 2\) をそのまま使いますが、入試では与えられた数値（\(0.693\)）を正確に使います。勝手に \(0.7\) などと丸めてはいけません。

611 放射性崩壊

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊と原子核の運動」です。ラジウムの崩壊を例に、半減期の計算、崩壊に伴う運動量保存則、エネルギー計算、そして崩壊系列における質量数と原子番号の変化を総合的に扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ラジウムの原子数が元の \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\) 倍になる時間を求めます。
半減期の公式 \(N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}\) を利用します。
\(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\) を \(2\) のべき乗（または \(1/2\) のべき乗）の形で表すことがポイントです。

この設問における重要なポイント

• 半減期 \(T = 1.6 \times 10^3\) 年。
• 残存割合 \(\displaystyle\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)。
• 指数法則 \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{1.5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1.5}\) を利用する。

具体的な解説と立式
半減期の公式より、時間 \(t\) 後の原子数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}
\end{aligned}
$$
問題文より、\(N = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} N_0\) なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2\sqrt{2}} N_0 &= N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1.6 \times 10^3}}
\end{aligned}
$$
両辺を \(N_0\) で割り、左辺を指数の形に変形します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2\sqrt{2}} &= \frac{1}{2 \times 2^{\frac{1}{2}}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} \\[2.0ex] &= \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3}{2}}
\end{aligned}
$$
したがって、方程式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3}{2}} &= \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1.6 \times 10^3}}
\end{aligned}
$$

指数の部分を比較して \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2} &= \frac{t}{1.6 \times 10^3} \\[2.0ex] t &= \frac{3}{2} \times 1.6 \times 10^3 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 1.6 \times 10^3 \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^3
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
t &= 2.4 \times 10^3\,\text{年後}
\end{aligned}
$$

数が半分になるのに1600年かかります。今回は「半分（\(1/2\)）になって、さらにその \(1/\sqrt{2}\) 倍（約0.7倍）」になるまでの時間を求めます。\(1/2\sqrt{2}\) は \((1/2)^{1.5}\) なので、半減期の1.5倍の時間がかかるとわかります。

半減期の1.5倍の時間なので、\(1.6 \times 1.5 = 2.4\) となり、計算結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
静止していたラジウムが崩壊して、\(\alpha\) 粒子（ヘリウム原子核）とラドン原子核に分裂します。
外力が働かないため、運動量保存則が成り立ちます。
分裂後の2つの粒子は互いに逆向きに飛び出し、その運動量の大きさは等しくなります。
質量比から速さの比を求め、さらに運動エネルギーの比を求めます。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: \(0 = m v – M V\) （逆向きに飛ぶので符号に注意）。
• 質量数: ラジウム \(226\)、\(\alpha\) 粒子（ヘリウム）\(4\)、ラドン \(226 – 4 = 222\)。
• 質量比は質量数の比に等しいとする。

具体的な解説と立式
\(\alpha\) 粒子の質量を \(m\)、速さを \(v\)、ラドンの質量を \(M\)、速さを \(V\) とします。
質量数は、\(\alpha\) 粒子が \(4\)、ラドンが \(222\) なので、
$$
\begin{aligned}
m : M &= 4 : 222
\end{aligned}
$$
運動量保存則より、
$$
\begin{aligned}
0 &= m v – M V
\end{aligned}
$$
よって、運動量の大きさは等しくなります。
$$
\begin{aligned}
m v &= M V
\end{aligned}
$$
ここから速さの比 \(\displaystyle\frac{v}{V}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v}{V} &= \frac{M}{m}
\end{aligned}
$$
次に、運動エネルギー \(K_{\alpha} = \frac{1}{2}mv^2\) と \(K_{\text{Rn}} = \frac{1}{2}MV^2\) の比 \(\displaystyle\frac{K_{\alpha}}{K_{\text{Rn}}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{K_{\alpha}}{K_{\text{Rn}}} &= \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}MV^2} \\[2.0ex] &= \frac{m}{M} \left( \frac{v}{V} \right)^2
\end{aligned}
$$

まず、速さの比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v}{V} &= \frac{222}{4} \\[2.0ex] &= 55.5
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v}{V} &\approx 56\,\text{倍}
\end{aligned}
$$
次に、運動エネルギーの比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{K_{\alpha}}{K_{\text{Rn}}} &= \frac{m}{M} \times \left( \frac{M}{m} \right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{M}{m} \\[2.0ex] &= 55.5
\end{aligned}
$$
同様に有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\frac{K_{\alpha}}{K_{\text{Rn}}} &\approx 56\,\text{倍}
\end{aligned}
$$

重いラドンと軽い \(\alpha\) 粒子が分裂して飛び出すとき、軽い \(\alpha\) 粒子の方が圧倒的に速く飛び出します。運動量の大きさは同じですが、質量が小さい分、速さは大きくなります。計算の結果、速さは質量の逆比（約56倍）になり、運動エネルギーも同じく約56倍になることがわかりました。軽い粒子ほど多くのエネルギーを持って飛び出すのです。

速さも運動エネルギーも、質量の逆比になるという物理的に正しい結果が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
与えられた運動エネルギー \(K = 7.7 \times 10^{-13}\,\text{J}\) と質量 \(m = 6.6 \times 10^{-27}\,\text{kg}\) から、速さ \(v\) を計算します。
その後、光速 \(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\) に対する割合（パーセント）を求めます。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーの公式 \(K = \frac{1}{2}mv^2\) を \(v\) について解く。
• 平方根の計算において、\(\sqrt{3}=1.73, \sqrt{7}=2.64\) を利用する。
• 有効数字2桁で答える。

具体的な解説と立式
運動エネルギーの式より、
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
これを \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2K}{m}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{2K}{m}}
\end{aligned}
$$
求めた \(v\) を光速 \(c\) で割り、100を掛けてパーセントにします。
$$
\begin{aligned}
\text{割合} &= \frac{v}{c} \times 100
\end{aligned}
$$

数値を代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2 \times 7.7 \times 10^{-13}}{6.6 \times 10^{-27}} \\[2.0ex] &= \frac{15.4}{6.6} \times 10^{14} \\[2.0ex] &= \frac{154}{66} \times 10^{14} \\[2.0ex] &= \frac{7}{3} \times 10^{14}
\end{aligned}
$$
平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{7}{3}} \times 10^7 \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \times 10^7
\end{aligned}
$$
近似値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.64}{1.73} \times 10^7 \\[2.0ex] &= 1.526… \times 10^7\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
次に、光速に対する割合を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v}{c} \times 100 &= \frac{1.526 \times 10^7}{3.0 \times 10^8} \times 100 \\[2.0ex] &= \frac{1.526}{3.0} \times 10^{-1} \times 100 \\[2.0ex] &= 0.5086… \times 10 \\[2.0ex] &= 5.086…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\text{割合} &\approx 5.1\%
\end{aligned}
$$

\(\alpha\) 粒子のエネルギーから速さを逆算しました。計算の結果、秒速約1500万メートルというものすごい速さであることがわかりました。それでも光の速さ（秒速3億メートル）に比べると、約5%程度の速さです。

光速の5%程度であれば、相対論的効果（質量の増加など）を無視して古典力学の範囲で計算しても大きな誤差は出ないため、ここまでの計算手法は妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
ラジウム（\({}_{88}^{226}\text{Ra}\)）が鉛（\({}_{82}^{A}\text{Pb}\)）になるまでの崩壊過程を考えます。
\(\alpha\) 崩壊の回数を \(x\)、\(\beta\) 崩壊の回数を \(n\)（問題文で指定）とします。
質量数と原子番号の変化について連立方程式を立て、\(x\) を消去して質量数 \(A\) を \(n\) で表します。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\) 崩壊1回につき：質量数は \(-4\)、原子番号は \(-2\)。
• \(\beta\) 崩壊1回につき：質量数は変化なし（\(0\)）、原子番号は \(+1\)。
• 初期状態：質量数 \(226\)、原子番号 \(88\)。
• 最終状態：質量数 \(A\)、原子番号 \(82\)。

具体的な解説と立式
\(\alpha\) 崩壊を \(x\) 回、\(\beta\) 崩壊を \(n\) 回行ったとします。
質量数の変化について式を立てます。
$$
\begin{aligned}
226 – 4x &= A \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
原子番号の変化について式を立てます。
$$
\begin{aligned}
88 – 2x + n &= 82 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
この2式から \(x\) を消去し、\(A\) を \(n\) の式で表します。

式②より \(2x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
88 + n – 82 &= 2x \\[2.0ex] 2x &= 6 + n
\end{aligned}
$$
式①を変形して \(2x\) を代入しやすい形にします。
$$
\begin{aligned}
A &= 226 – 2(2x)
\end{aligned}
$$
これに \(2x = 6 + n\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
A &= 226 – 2(6 + n) \\[2.0ex] &= 226 – 12 – 2n \\[2.0ex] &= 214 – 2n
\end{aligned}
$$

ラジウムが鉛になるまでに、何回か変身（崩壊）を繰り返します。質量数が減るのは \(\alpha\) 崩壊のときだけなので、質量数の変化を見れば \(\alpha\) 崩壊の回数がわかります。一方、原子番号は \(\alpha\) 崩壊で減り、\(\beta\) 崩壊で増えます。この2つのルールを組み合わせてパズルを解くように計算すると、最終的な鉛の重さ（質量数）が \(\beta\) 崩壊の回数を使って表せます。

得られた式 \(A = 214 – 2n\) は、\(\beta\) 崩壊の回数 \(n\) が増えるほど質量数 \(A\) が減ることを示唆しているわけではありません（質量数は \(\beta\) 崩壊では変わらないため）。これは、原子番号を \(82\)（鉛）に合わせるために、\(\beta\) 崩壊が増えればその分 \(\alpha\) 崩壊も増えなければならず、結果として質量数が減るという相関関係を表しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則とエネルギー分配
  • 核心: 静止した原子核が崩壊して2つの粒子に分裂するとき、運動量保存則により2つの粒子は「逆向き」に「等しい大きさの運動量」を持って飛び出します。
  • 理解のポイント:
    • 質量の逆比: 運動量 \(p = mv\) が等しい（\(m_1 v_1 = m_2 v_2\)）ため、速さの比は質量の逆比（\(v_1 : v_2 = m_2 : m_1\)）になります。
    • エネルギーの逆比: 運動エネルギー \(K = p^2 / 2m\) も質量の逆比（\(K_1 : K_2 = m_2 : m_1\)）になります。つまり、軽い粒子（\(\alpha\) 粒子など）ほど、圧倒的に大きなエネルギーを持ち去ります。
• 崩壊系列の規則性
  • 核心: 放射性崩壊はランダムに起きるわけではなく、質量数と原子番号の変化には厳密なルール（保存則）があります。
  • 理解のポイント:
    • \(\alpha\) 崩壊: ヘリウム核（\({}_2^4\text{He}\)）を放出 \(\to\) 質量数 \(-4\)、原子番号 \(-2\)。
    • \(\beta\) 崩壊: 電子（\({}_{-1}^0\text{e}\)）を放出 \(\to\) 質量数変化なし、原子番号 \(+1\)（中性子が陽子に変わるため）。
    • これらを連立方程式として扱うことで、崩壊回数や最終生成物を特定できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊回数の特定: 「ウラン238が鉛206になるまでに \(\alpha\) 崩壊と \(\beta\) 崩壊は何回起きたか？」という問題。質量数の変化から \(\alpha\) 崩壊の回数を確定させ、その後に原子番号の収支から \(\beta\) 崩壊の回数を求めるのが鉄則です。
  • 反跳エネルギーの計算: ガンマ線を放出した際の原子核の反跳エネルギーを求める問題。これも運動量保存則 \(p_{\text{核}} = p_{\gamma}\) を用いて解きます。
  • 半減期のグラフ読み取り: 縦軸に対数をとったグラフ（片対数グラフ）では、崩壊曲線が直線になります。その傾きから半減期や崩壊定数を読み取る問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「静止」の確認: 「静止した原子核が崩壊」という文言があれば、即座に運動量保存則 \(0 = p_1 + p_2\) を想起します。
  2. 質量の大小関係: 質量差が大きい分裂（\(\alpha\) 崩壊など）では、軽い粒子がエネルギーの大部分を持っていくことを直感的に予測しておくと、計算ミスの検算になります。
  3. 近似計算の指示: \(\sqrt{3}\) や \(\sqrt{7}\) などの近似値が与えられている場合、最終的な数値計算で必ず使うことになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 半減期の計算ミス:
  • 誤解: 「\(1/2\sqrt{2}\) 倍」を「半減期の \(2.5\) 倍」などと勘違いする。
  • 対策: 必ず \(2\) のべき乗（または \(1/2\) のべき乗）の形に直して指数を比較しましょう。\(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} = (1/2)^1 \times (1/2)^{0.5} = (1/2)^{1.5}\) と丁寧に変形します。
• 運動エネルギー比の取り違え:
  • 誤解: 「質量が大きい方がエネルギーも大きい」と直感的に思ってしまう。
  • 対策: \(K = p^2/2m\) の式を思い出し、\(m\) が分母にあることを確認します。同じ運動量なら、軽い（\(m\) が小さい）方がエネルギー \(K\) は大きくなります。
• \(\beta\) 崩壊の原子番号変化:
  • 誤解: \(\beta\) 崩壊で原子番号が減ると勘違いする（電子が出るからマイナス？）。
  • 対策: \(\beta\) 崩壊は「中性子 \(\to\) 陽子 \(+\) 電子」という変化です。原子核の中に陽子が増えるので、原子番号は \(+1\) されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 外力が働かない分裂現象において、速度やエネルギーの関係を導くための最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: 崩壊前の運動量が \(0\)（静止）であるため、崩壊後の運動量の和も \(0\) にならなければなりません。
• (3)での公式選択（\(K = \frac{1}{2}mv^2\)）:
  • 選定理由: 運動エネルギーから速さを求めるための定義式です。
  • 適用根拠: 求めた速さが光速に比べて十分小さい（数％程度）ため、相対論的なエネルギー式（\(E = mc^2 / \sqrt{1-(v/c)^2}\)）を使う必要がなく、古典力学の式で十分な精度が得られます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の順序:
  • 崩壊系列の問題では、必ず「質量数の式」から先に解きます。\(\beta\) 崩壊で質量数が変わらないため、\(\alpha\) 崩壊の回数 \(x\) が質量数の式だけで独立して求まるからです。その後に原子番号の式に \(x\) を代入して \(y\)（\(\beta\) 崩壊回数）を求めます。この順序を固定化しましょう。
• 平方根の計算:
  • \(\sqrt{7/3}\) のような計算では、\(\sqrt{2.333…}\) と小数にしてから開平するのではなく、\(\sqrt{7}/\sqrt{3} = 2.64/1.73\) と与えられた近似値をそのまま分数で計算する方が精度が高く、計算も楽です。

612 核反応と運動エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「原子核崩壊におけるエネルギー分配」です。静止した原子核が2つに分裂する際、発生したエネルギー（Q値）がどのように2つの粒子に分配されるかを、運動量保存則とエネルギー保存則を用いて導出します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静止していた原子核がAとBに分裂します。
運動量保存則より、AとBの運動量の大きさは等しくなります（向きは逆）。
運動エネルギー \(K\) を運動量 \(p\) と質量 \(m\) で表すと \(K = \frac{p^2}{2m}\) となります。
これを利用して \(K_{\text{A}}\) と \(K_{\text{B}}\) の比を求め、総エネルギー \(Q\) をその比で分配します。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: \(0 = p_{\text{A}} + p_{\text{B}}\) （ベクトル和）、大きさは \(|p_{\text{A}}| = |p_{\text{B}}| = p\)。
• エネルギー保存則: \(K_{\text{A}} + K_{\text{B}} = Q\)。
• 関係式 \(K = \frac{p^2}{2m}\) の利用。

具体的な解説と立式
分裂後の原子核A、Bの運動量の大きさをそれぞれ \(p_{\text{A}}, p_{\text{B}}\) とします。
分裂前は静止していたので運動量は \(0\) です。
運動量保存則より、
$$
\begin{aligned}
0 &= \vec{p}_{\text{A}} + \vec{p}_{\text{B}}
\end{aligned}
$$
したがって、運動量の大きさは等しくなります。
$$
\begin{aligned}
p_{\text{A}} &= p_{\text{B}} = p
\end{aligned}
$$
運動エネルギー \(K\) は \(K = \frac{p^2}{2m}\) と表せるので、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{A}} &= \frac{p^2}{2M_{\text{A}}}, \quad K_{\text{B}} = \frac{p^2}{2M_{\text{B}}}
\end{aligned}
$$
これより、運動エネルギーの比は質量の逆比になります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{A}} : K_{\text{B}} &= \frac{1}{M_{\text{A}}} : \frac{1}{M_{\text{B}}} \\[2.0ex] &= M_{\text{B}} : M_{\text{A}}
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{A}} + K_{\text{B}} &= Q
\end{aligned}
$$
この総エネルギー \(Q\) を、質量比の逆（\(M_{\text{B}} : M_{\text{A}}\)）に比例配分します。

比例配分の計算を行います。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{A}} &= \frac{M_{\text{B}}}{M_{\text{A}} + M_{\text{B}}} Q \\[2.0ex] K_{\text{B}} &= \frac{M_{\text{A}}}{M_{\text{A}} + M_{\text{B}}} Q
\end{aligned}
$$

静止した物体が2つに割れるとき、軽い破片ほど勢いよく（速く）飛び出し、重い破片はゆっくり動きます。計算してみると、エネルギーの取り分は「相手の質量」に比例することがわかります。つまり、自分が軽ければ軽いほど（相手が重ければ重いほど）、全エネルギー \(Q\) の大部分を独り占めできるのです。

軽い粒子（質量 \(M\) が小さい方）の運動エネルギーが大きくなるという物理的直感と一致する結果が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)の結果を具体的な数値計算に適用します。
ただし、今回は \(Q\) が直接与えられておらず、代わりに \(\alpha\) 粒子の速さが与えられています。
そこで、まず \(\alpha\) 粒子の運動エネルギー \(K_{\alpha}\) を計算し、次に(1)で導いたエネルギー比の関係 \(K_{\text{Pb}} : K_{\alpha} = m_{\alpha} : M_{\text{Pb}}\) を利用して、鉛（Pb）の運動エネルギー \(K_{\text{Pb}}\) を求めます。
最後に単位を \(\text{MeV}\) に換算します。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\) 粒子の質量 \(m_{\alpha} = 6.6 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)。
• \(\alpha\) 粒子の速さ \(v = 1.6 \times 10^7\,\text{m/s}\)。
• 質量比は質量数の比に等しい: \(m_{\alpha} : M_{\text{Pb}} = 4 : 206\)。
• エネルギー比は質量の逆比: \(K_{\text{Pb}} = \frac{m_{\alpha}}{M_{\text{Pb}}} K_{\alpha}\)。

具体的な解説と立式
まず、\(\alpha\) 粒子の運動エネルギー \(K_{\alpha}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
K_{\alpha} &= \frac{1}{2} m_{\alpha} v^2
\end{aligned}
$$
次に、(1)の結論（エネルギーは質量の逆比に分配される）を利用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{K_{\text{Pb}}}{K_{\alpha}} &= \frac{m_{\alpha}}{M_{\text{Pb}}}
\end{aligned}
$$
よって、鉛の運動エネルギー \(K_{\text{Pb}}\) は、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}} &= \frac{m_{\alpha}}{M_{\text{Pb}}} K_{\alpha}
\end{aligned}
$$
質量比は質量数の比 \(4 : 206\) を使います。

まず \(K_{\alpha}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
K_{\alpha} &= \frac{1}{2} \times (6.6 \times 10^{-27}) \times (1.6 \times 10^7)^2 \\[2.0ex] &= 3.3 \times 10^{-27} \times 2.56 \times 10^{14} \\[2.0ex] &= 3.3 \times 2.56 \times 10^{-13}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に \(K_{\text{Pb}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}} &= \frac{4}{206} \times K_{\alpha} \\[2.0ex] &= \frac{2}{103} \times (3.3 \times 2.56 \times 10^{-13}) \\[2.0ex] &= \frac{16.896}{103} \times 10^{-13}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
16.896 \div 103 &\approx 0.1640…
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}} &= 0.1640… \times 10^{-13} \\[2.0ex] &= 1.640… \times 10^{-14}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}} &\approx 1.6 \times 10^{-14}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

次に、これを \(\text{MeV}\) に換算します。
\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) なので、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}}[\text{eV}] &= \frac{1.640 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &= \frac{1.640}{1.6} \times 10^5 \\[2.0ex] &= 1.025 \times 10^5\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
\(\text{MeV}\)（\(10^6\,\text{eV}\)）にするため、\(10^{-6}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}}[\text{MeV}] &= 1.025 \times 10^5 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 0.1025\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{Pb}} &\approx 0.10\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

まず、飛び出した \(\alpha\) 粒子のエネルギーを計算しました。次に、(1)でわかった「軽い方がエネルギーをたくさん持っていく」というルールを使って、重い鉛の原子核がどれだけのエネルギーをもらったかを計算しました。鉛は \(\alpha\) 粒子の約50倍も重いので、もらえるエネルギーは約50分の1しかありません。

鉛の運動エネルギーは \(\alpha\) 粒子のエネルギーに比べて非常に小さくなりました。これは重い原子核がほとんど動かない（反跳エネルギーが小さい）という事実と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則とエネルギー分配の法則
  • 核心: 静止した物体が内力のみによって2つに分裂する場合、運動量保存則により2つの破片は「逆向き」に「等しい大きさの運動量」を持ちます。その結果、運動エネルギーは質量の逆比に分配されます。
  • 理解のポイント:
    • \(K = p^2/2m\) の威力: 運動エネルギー \(K\) を \(p\) と \(m\) で表すこの式は、分裂問題において最強のツールです。\(p\) が共通（定数）とみなせるため、\(K \propto 1/m\) という関係が一瞬で導けます。
    • エネルギーの独占: 質量差が大きい分裂（\(\alpha\) 崩壊など）では、軽い粒子が全エネルギー \(Q\) のほとんど（\(M/(M+m) \approx 1\)）を持ち去り、重い粒子はわずかなエネルギー（\(m/(M+m) \approx 0\)）しか得られません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光子の放出（原子核の反跳）: 原子核がガンマ線を放出して反跳する場合も、運動量保存則 \(p_{\text{核}} = p_{\gamma}\) が成り立ちます。ただし、光子の運動量は \(p_{\gamma} = E/c\) となる点に注意が必要です。
  • 3体分裂: まれに3つの粒子に分裂する問題が出ますが、その場合は運動量ベクトルが三角形（閉じたベクトル図）を作ることを利用します。
  • ロケットの推進: 燃料ガスを噴射して加速するロケットも、微小な分裂の連続とみなせます。基本原理は同じ運動量保存則です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「静止」からの分裂か？: 初速度が \(0\) なら、必ず \(p_{\text{A}} + p_{\text{B}} = 0\) となり、計算が大幅に簡略化されます。
  2. 質量比の確認: 質量数（\(4\) と \(206\) など）が与えられていれば、それをそのまま質量比として使って良いという指示があるか確認します（通常はOKです）。
  3. \(Q\) 値の正負: \(Q\) が与えられていない場合、質量欠損から \(Q\) を求める必要があるかもしれません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー比の逆転:
  • 誤解: 「重い方がエネルギーも大きいだろう」と直感的に判断して、\(K_{\text{A}} : K_{\text{B}} = M_{\text{A}} : M_{\text{B}}\) としてしまう。
  • 対策: \(K = p^2/2m\) の式を常に頭に浮かべ、\(m\) が分母にあることを確認します。「軽い方が速くてエネルギーも大きい」と呪文のように唱えましょう。
• 単位換算の桁ズレ:
  • 誤解: \(\text{J} \to \text{eV}\) の換算で、\(1.6 \times 10^{-19}\) を掛けるのか割るのか迷う。
  • 対策: \(1\,\text{eV}\) は非常に小さなエネルギー（約 \(10^{-19}\,\text{J}\)）です。したがって、\(\text{J}\) から \(\text{eV}\) に直すと数値は巨大になる（\(10^{19}\) 倍される）はずです。逆に \(\text{eV}\) から \(\text{J}\) に直すと数値は極小になります。この感覚を持っていれば、掛け算と割り算を間違えません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(K = p^2/2m\)）:
  • 選定理由: 運動量 \(p\) が保存される（等しい）という条件を、直接エネルギー \(K\) の関係式に変換できるため、最も効率的です。
  • 適用根拠: \(K = \frac{1}{2}mv^2\) と \(p = mv\) から代数的に導かれる恒等式であり、常に成立します。
• (2)での計算戦略（比の利用）:
  • 選定理由: まともに \(K_{\text{Pb}} = \frac{1}{2} M_{\text{Pb}} V^2\) を計算しようとすると、まず \(V\) を求めなければならず、計算量が倍増します。(1)で導いた「エネルギー比＝質量逆比」を使えば、\(K_{\alpha}\) に分数を掛けるだけで済みます。
  • 適用根拠: (1)の結論は一般的な分裂現象に適用できるため、具体的な数値計算でもそのまま使えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比例配分の検算:
  • \(K_{\text{A}} + K_{\text{B}} = Q\) になることを必ず確認しましょう。
  • \(\displaystyle\frac{M_{\text{B}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}} Q + \frac{M_{\text{A}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}} Q = \frac{M_{\text{B}}+M_{\text{A}}}{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}} Q = Q\) となり、正しいことがわかります。
• 指数の処理:
  • \(10^{-13}\) や \(10^{-19}\) といった指数は、計算用紙の隅に小さく書くのではなく、数値と同じ大きさでハッキリと書きましょう。特に割り算の指数法則（引き算）での符号ミス（\(-13 – (-19) = +6\) など）は頻出です。

613 質量欠損と結合エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「結合エネルギーと核反応エネルギー」です。原子核を構成する核子（陽子と中性子）が結合する際に放出される「結合エネルギー」の概念を理解し、核分裂や核融合によってエネルギーが放出される理由を、結合エネルギーの変化から説明できるようになることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「核子1個あたりの結合エネルギー」とは、原子核全体の結合エネルギーを核子数（質量数）で割ったものです。
したがって、原子核全体の結合エネルギーを求めるには、この値に核子数を掛ければよいことになります。
鉄の同位体 \({}^{56}\text{Fe}\) の質量数は \(56\) です。

この設問における重要なポイント

• \({}^{56}\text{Fe}\) の核子数（質量数）は \(56\)。
• 核子1個あたりの結合エネルギーは \(8.79\,\text{MeV}\)。
• 有効数字3桁で答える。

具体的な解説と立式
原子核全体の結合エネルギー \(E\) は、核子1個あたりの結合エネルギー \(E_{\text{個}}\) と核子数 \(A\) の積で表されます。
$$
\begin{aligned}
E &= E_{\text{個}} \times A
\end{aligned}
$$
これに数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
E &= 8.79 \times 56
\end{aligned}
$$

掛け算を実行します。
$$
\begin{aligned}
E &= 8.79 \times 56 \\[2.0ex] &= 492.24
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
E &\approx 4.92 \times 10^2\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

鉄の原子核は56個の粒（陽子と中性子）でできています。1粒あたり \(8.79\,\text{MeV}\) のエネルギーでくっついているので、全体ではその56倍のエネルギーで固く結びついています。

計算結果 \(492\,\text{MeV}\) は、核子1個あたり約 \(9\,\text{MeV}\) で核子数が約 \(50\) なので、\(9 \times 50 = 450\) 程度という見積もりと合致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
まず、問題文の記述に従って核分裂の反応式を完成させます。
次に、反応に関与する各粒子の結合エネルギーを計算します。

• ウラン \({}^{235}\text{U}\): 表の値 \(1.78 \times 10^3\,\text{MeV}\)（原子核全体のエネルギーとして与えられている）。
• 中性子 \({}^{1}\text{n}\): 単独の核子なので結合エネルギーは \(0\)。
• バリウム \({}^{141}\text{Ba}\): 表の値 \(1.17 \times 10^3\,\text{MeV}\)。
• クリプトン \({}^{92}\text{Kr}\): 表の値 \(7.83 \times 10^2\,\text{MeV}\)。

放出されるエネルギー \(Q\) は、「反応後の結合エネルギーの総和」から「反応前の結合エネルギーの総和」を引いたものです。
※結合エネルギーは「安定化の度合い」を表すので、反応によってより安定になる（結合エネルギーが増える）と、その差分が熱などのエネルギーとして外に出ます。

この設問における重要なポイント

• 反応式: \({}^{235}\text{U} + \text{n} \longrightarrow {}^{141}\text{Ba} + {}^{92}\text{Kr} + 3\text{n}\)
• 中性子の結合エネルギーは \(0\) であること。
• 放出エネルギー \(Q = (\text{後の結合エネルギー和}) – (\text{前の結合エネルギー和})\)。
• 桁数（\(10^3\) や \(10^2\)）を揃えて計算すること。

具体的な解説と立式
反応式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
{}^{235}\text{U} + \text{n} &\longrightarrow {}^{141}\text{Ba} + {}^{92}\text{Kr} + 3\text{n}
\end{aligned}
$$
反応前の結合エネルギーの和 \(E_{\text{前}}\) は、ウランの結合エネルギーのみです（中性子は0）。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{前}} &= 1.78 \times 10^3
\end{aligned}
$$
反応後の結合エネルギーの和 \(E_{\text{後}}\) は、バリウムとクリプトンの結合エネルギーの和です（中性子は0）。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{後}} &= 1.17 \times 10^3 + 7.83 \times 10^2
\end{aligned}
$$
放出されるエネルギー \(Q\) は、
$$
\begin{aligned}
Q &= E_{\text{後}} – E_{\text{前}}
\end{aligned}
$$

まず \(E_{\text{後}}\) を計算します。指数を \(10^3\) に揃えます。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{後}} &= 1.17 \times 10^3 + 0.783 \times 10^3 \\[2.0ex] &= (1.17 + 0.783) \times 10^3 \\[2.0ex] &= 1.953 \times 10^3\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$
次に \(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= 1.953 \times 10^3 – 1.78 \times 10^3 \\[2.0ex] &= (1.953 – 1.78) \times 10^3 \\[2.0ex] &= 0.173 \times 10^3 \\[2.0ex] &= 1.73 \times 10^2\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます（問題文の数値の精度や引き算による桁落ちを考慮）。
$$
\begin{aligned}
Q &\approx 1.7 \times 10^2\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

ウランという巨大な原子核が割れて、バリウムとクリプトンという中くらいの原子核になりました。グラフを見るとわかりますが、中くらいの原子核の方が「核子1個あたりの結合エネルギー」が大きく、より安定しています。つまり、不安定な状態から安定な状態へ変化したわけです。このとき、より強く結合することで余ったエネルギーが外に放出されます。その量を計算しました。

核分裂によって約 \(200\,\text{MeV}\) 程度のエネルギーが放出されるというのは、核物理学の定説通りの結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
グラフの左側（質量数が小さい領域）に注目します。
質量数が小さい原子核（重水素など）同士が融合して少し大きな原子核（ヘリウムなど）になると、グラフのカーブに沿って「核子1個あたりの結合エネルギー」が急激に大きくなります。
結合エネルギーが大きくなるということは、より安定な状態になることを意味し、その差分のエネルギーが放出されます。

この設問における重要なポイント

• グラフの読み取り: 質量数が小さい領域では、質量数が増加すると核子1個あたりの結合エネルギーが増加する。
• エネルギー放出の原理: 反応によって結合エネルギーの総和が増加すると、その分だけエネルギーが放出される。

具体的な解説と立式
（論述問題のため数式はありません）
グラフより、質量数が小さい領域（鉄 \({}^{56}\text{Fe}\) より左側）では、質量数が増加するにつれて「核子1個あたりの結合エネルギー」が大きく増加することが読み取れます。
軽い原子核同士が融合（核融合）してより重い原子核になると、核子1個あたりの結合エネルギーが増加し、原子核全体の結合エネルギーも増加します。
エネルギー保存則により、この増加した結合エネルギーに相当するエネルギーが、反応エネルギーとして外部に放出されます。

グラフの左端を見てください。山を登るようにカーブが上がっていますね。これは、小さな原子核同士がくっついて少し大きくなると、粒（核子）たちがより強く結びつくことを意味しています。強く結びつくときには、余分なエネルギーを捨てて身軽になります。これが核融合エネルギーです。

グラフの特徴（鉄付近で最大となる山型）に基づいた正しい論述です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 結合エネルギーとエネルギー放出の原理
  • 核心: 核反応においてエネルギーが放出される（発熱反応になる）条件は、「反応後の結合エネルギーの総和」が「反応前の結合エネルギーの総和」よりも大きくなることです。
  • 理解のポイント:
    • 安定化＝エネルギー放出: 結合エネルギーとは「バラバラの状態から結合するときに放出されるエネルギー」です。つまり、結合エネルギーが大きいほど、その原子核はエネルギー的に低い（安定な）状態にあります。高いエネルギー状態から低いエネルギー状態へ移るとき、その差額が熱や光として放出されます。
    • グラフの山型構造: 「核子1個あたりの結合エネルギー」のグラフは、質量数60付近（鉄）で最大となる山型をしています。そのため、鉄より軽い核は融合して（山を登って）エネルギーを出し、鉄より重い核は分裂して（山を登って）エネルギーを出します。すべての原子核は鉄を目指していると言えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量欠損からの計算: 本問では結合エネルギーの値が直接与えられましたが、質量（\(\text{u}\) や \(\text{kg}\)）が与えられる場合もあります。その場合は、\((\text{反応前の質量和} – \text{反応後の質量和})c^2\) で計算します。結果は同じになります。
  • 核融合の計算: 重水素と三重水素が融合してヘリウムになる反応など。これも手順は全く同じで、反応前後の結合エネルギーの差を計算します。
  • グラフの読み取り問題: グラフから特定の原子核の結合エネルギーを読み取り、反応エネルギーを概算させる問題。目盛りの読み取り精度に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. データの形式を確認: 与えられているのが「原子核全体の結合エネルギー」なのか、「核子1個あたりの結合エネルギー」なのか、あるいは「質量」なのかを最初に見極めます。
  2. 中性子の扱い: 中性子や陽子単独では結合エネルギーはゼロです。計算式に含めるのを忘れないように（あるいはゼロとして扱うように）注意します。
  3. 桁数の管理: 核エネルギーは \(\text{MeV}\) 単位で \(100\) 程度の値になることが多いですが、\(10^2\) なのか \(10^3\) なのか、指数のズレに気をつけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 結合エネルギーの定義の取り違え:
  • 誤解: 「結合エネルギーが大きい＝エネルギーが高い（不安定）」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「結合エネルギー＝借金の額」とイメージしましょう。借金（結合エネルギー）が多いほど、完済して自由（バラバラ）になるのが大変です。つまり、結合エネルギーが大きいほど、がんじがらめに結合していて安定なのです。
• 引き算の順序ミス:
  • 誤解: \(Q = (\text{反応前}) – (\text{反応後})\) としてしまい、符号が逆になる。
  • 対策: 質量で計算する場合は \((\text{前}) – (\text{後})\) ですが、結合エネルギーで計算する場合は \((\text{後}) – (\text{前})\) です。「より安定になる（結合エネルギーが増える）とエネルギーが出る」という理屈を覚えておけば、大きい方から小さい方を引くという判断が自然にできます。
• 核子数の掛け忘れ:
  • 誤解: 「核子1個あたりの結合エネルギー」をそのまま原子核のエネルギーとして使ってしまう。
  • 対策: 単位が \(\text{MeV}\) なのか \(\text{MeV}/\text{nucleon}\) なのかを確認します。グラフの縦軸は通常「1個あたり」なので、必ず質量数を掛けて「全体」のエネルギーにしてから足し引きします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（掛け算）:
  • 選定理由: 「1個あたり」の量から「全体」の量を求めるには、個数を掛けるのが算数の基本です。
  • 適用根拠: 定義そのものです。
• (2)での公式選択（差分計算）:
  • 選定理由: エネルギー保存則に基づき、反応前後のエネルギー差が外部に放出されるため。
  • 適用根拠: 核反応においてもエネルギー保存則は厳密に成立します。質量エネルギーを含めた全エネルギーの収支を考える際、結合エネルギーの変化分が運動エネルギーや光エネルギーとして現れます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の統一:
  • \(1.17 \times 10^3 + 7.83 \times 10^2\) のような計算では、必ず指数を大きい方（\(10^3\)）か小さい方（\(10^2\)）に揃えてから足し算します。\(1.17 + 0.783 = 1.953\) と計算するのが安全です。
• 有効数字の桁落ち:
  • \(1.953 – 1.78 = 0.173\) のように、近い数同士の引き算では有効数字の桁数が減ります（桁落ち）。この問題では結果的に2桁残りましたが、場合によっては1桁になることもあります。途中計算では多めに桁を取り、最後に丸める習慣をつけましょう。

614 恒星内部の核融合反応

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「恒星内部での核融合反応（ppチェイン）」です。太陽などの恒星が輝き続けるエネルギー源である核融合反応のプロセスを、質量とエネルギーの等価性、核反応の保存則に基づいて定量的に解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
反応②と③の空欄（ ）に入る原子核を特定します。
核反応の前後で「質量数の和」と「原子番号の和」が保存されることを利用します。
陽子 \(\text{p}\) は \({}_1^1\text{H}\)、重水素 \({}^2\text{H}\) は \({}_1^2\text{H}\)、ヘリウム \({}^4\text{He}\) は \({}_2^4\text{He}\) です。

この設問における重要なポイント

• 陽子 \(\text{p}\): 質量数 \(1\)、原子番号 \(1\)。
• 重水素 \({}^2\text{H}\): 質量数 \(2\)、原子番号 \(1\)。
• ヘリウム \({}^4\text{He}\): 質量数 \(4\)、原子番号 \(2\)。
• 保存則を用いて未知の核種の質量数と原子番号を決定する。

具体的な解説と立式
反応②について考えます。
$$
\begin{aligned}
{}_1^2\text{H} + {}_1^1\text{p} &\longrightarrow (\quad)
\end{aligned}
$$
左辺の質量数の和: \(2 + 1 = 3\)
左辺の原子番号の和: \(1 + 1 = 2\)
したがって、右辺の原子核は質量数 \(3\)、原子番号 \(2\) でなければなりません。
原子番号 \(2\) はヘリウム（\(\text{He}\)）なので、求める原子核は \({}_2^3\text{He}\) です。

念のため反応③でも確認します。
$$
\begin{aligned}
2(\quad) &\longrightarrow {}_2^4\text{He} + 2{}_1^1\text{p}
\end{aligned}
$$
右辺の質量数の和: \(4 + 2 \times 1 = 6\)
右辺の原子番号の和: \(2 + 2 \times 1 = 4\)
左辺は未知の原子核が2個あるので、1個あたりの質量数は \(6 \div 2 = 3\)、原子番号は \(4 \div 2 = 2\) となります。
これも \({}_2^3\text{He}\) と一致します。

（立式のみで完了するため、計算過程はありません）

重水素と陽子がくっついて何ができるかを考えます。重さは \(2+1=3\)、電気の量は \(1+1=2\) になります。電気の量が2というのはヘリウムのことなので、重さが3のヘリウム（ヘリウム3）ができたことがわかります。

反応②と③で矛盾なく同じ原子核 \({}_2^3\text{He}\) が導かれました。

問(2)

思考の道筋とポイント
反応① \(\text{p} + \text{p} \longrightarrow {}^2\text{H} + \text{e}^+ + \nu_{\text{e}}\) において、放出されるエネルギー \(E_1 = 0.68 \times 10^{-13}\,\text{J}\) が与えられています。
このエネルギーは質量欠損 \(\Delta M\) に相当します。
まず \(E = \Delta Mc^2\) から \(\Delta M\) を求め、次に「反応前の質量和」から「反応後の質量和」を引いたものが \(\Delta M\) になるという関係式を使って、重水素 \({}^2\text{H}\) の質量を求めます。

この設問における重要なポイント

• \(E = \Delta Mc^2\) を用いて質量欠損を計算する。
• 反応前の質量: \(2 \times m_{\text{p}}\)。
• 反応後の質量: \(m_{{}^2\text{H}} + m_{\text{e}^+}\) （ニュートリノの質量は無視）。
• 質量欠損 \(\Delta M = (\text{反応前}) – (\text{反応後})\)。
• 有効数字5桁という高い精度が求められているため、途中計算での桁落ちに注意する。

具体的な解説と立式
まず、エネルギー \(E_1\) に相当する質量欠損 \(\Delta M\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= \frac{E_1}{c^2}
\end{aligned}
$$
次に、質量欠損の定義式を立てます。重水素の質量を \(m_{\text{H}}\) とします。
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= (2m_{\text{p}}) – (m_{\text{H}} + m_{\text{e}^+})
\end{aligned}
$$
これより、\(m_{\text{H}}\) は次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{H}} &= 2m_{\text{p}} – m_{\text{e}^+} – \Delta M
\end{aligned}
$$

まず \(\Delta M\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= \frac{0.68 \times 10^{-13}}{(3.00 \times 10^8)^2} \\[2.0ex] &= \frac{0.68 \times 10^{-13}}{9.00 \times 10^{16}} \\[2.0ex] &= 0.07555… \times 10^{-29} \\[2.0ex] &= 7.555… \times 10^{-31}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$
次に \(m_{\text{H}}\) を計算します。
与えられた質量:
\(m_{\text{p}} = 1.6726 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)
\(m_{\text{e}^+} = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg} = 0.000911 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)
\(\Delta M \approx 7.56 \times 10^{-31}\,\text{kg} = 0.000756 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)
全ての項を \(10^{-27}\) のオーダーに揃えて計算します。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{H}} &= 2 \times 1.6726 \times 10^{-27} – 9.11 \times 10^{-31} – 7.555 \times 10^{-31} \\[2.0ex] &= 3.3452 \times 10^{-27} – (0.000911 + 0.0007555) \times 10^{-27} \\[2.0ex] &= 3.3452 \times 10^{-27} – 0.0016665 \times 10^{-27} \\[2.0ex] &= 3.3435335 \times 10^{-27}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$
有効数字5桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{H}} &\approx 3.3435 \times 10^{-27}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$

反応でエネルギーが出たということは、その分だけ質量が減ったということです。まず、出たエネルギーから「減った質量」を計算しました。次に、「反応前の合計質量」から「減った質量」と「陽電子の質量」を引くことで、残りの「重水素の質量」を求めました。非常に細かい計算が必要な問題です。

陽子2個分の質量（約 \(3.345 \times 10^{-27}\)）よりわずかに軽い値が得られました。結合エネルギーの分だけ軽くなっているため、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
反応①、②、③を組み合わせて、4個の陽子からヘリウムが生成される全体反応式を作ります。
反応③でヘリウムが1個できるためには、反応②（\({}^3\text{He}\) を作る反応）が2回起こる必要があります。
反応②が2回起こるためには、反応①（\({}^2\text{H}\) を作る反応）も2回起こる必要があります。
したがって、全体反応は \((\text{反応①} \times 2) + (\text{反応②} \times 2) + (\text{反応③} \times 1)\) となります。
発生するエネルギーも同様に足し合わせます。

この設問における重要なポイント

• 反応式の係数合わせ: 中間生成物（\({}^2\text{H}\) と \({}^3\text{He}\)）が消えるように足し合わせる。
• エネルギーの加算: \(E_{\text{全}} = 2E_1 + 2E_2 + E_3\)。

具体的な解説と立式
各反応式とエネルギーは以下の通りです。
① \(\text{p} + \text{p} \longrightarrow {}^2\text{H} + \text{e}^+ + \nu_{\text{e}} \quad (E_1 = 0.68 \times 10^{-13}\,\text{J})\)
② \({}^2\text{H} + \text{p} \longrightarrow {}^3\text{He} \quad (E_2 = 8.80 \times 10^{-13}\,\text{J})\)
③ \(2{}^3\text{He} \longrightarrow {}^4\text{He} + 2\text{p} \quad (E_3 = 20.6 \times 10^{-13}\,\text{J})\)

全体反応を作るために、① \(\times 2\) ＋ ② \(\times 2\) ＋ ③ を計算します。
左辺: \(2(2\text{p}) + 2({}^2\text{H} + \text{p}) + 2{}^3\text{He} = 6\text{p} + 2{}^2\text{H} + 2{}^3\text{He}\)
右辺: \(2({}^2\text{H} + \text{e}^+ + \nu_{\text{e}}) + 2({}^3\text{He}) + ({}^4\text{He} + 2\text{p}) = 2{}^2\text{H} + 2\text{e}^+ + 2\nu_{\text{e}} + 2{}^3\text{He} + {}^4\text{He} + 2\text{p}\)

両辺から共通する \(2{}^2\text{H}, 2{}^3\text{He}, 2\text{p}\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
4\text{p} &\longrightarrow {}^4\text{He} + 2\text{e}^+ + 2\nu_{\text{e}}
\end{aligned}
$$
となり、問題文の条件と一致します。
したがって、総エネルギー \(E_{\text{全}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &= 2E_1 + 2E_2 + E_3
\end{aligned}
$$

数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &= 2(0.68 \times 10^{-13}) + 2(8.80 \times 10^{-13}) + 20.6 \times 10^{-13} \\[2.0ex] &= (1.36 + 17.6 + 20.6) \times 10^{-13} \\[2.0ex] &= 39.56 \times 10^{-13} \\[2.0ex] &= 3.956 \times 10^{-12}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &\approx 3.96 \times 10^{-12}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

最終的にヘリウムを1個作るには、途中の材料（重水素やヘリウム3）を揃えるために、最初の反応と2番目の反応をそれぞれ2回ずつ行う必要があります。それぞれの反応で出るエネルギーを合計すると、一連の反応全体で放出されるエネルギーが求まります。

約 \(4 \times 10^{-12}\,\text{J}\) （約 \(25\,\text{MeV}\)）という値は、ppチェイン反応のエネルギーとして知られている値と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で求めたのは「ヘリウム1個（＝水素4個分）」が生成されるときのエネルギーです。
恒星全体で1年間に放出される総エネルギーが与えられているので、そこから逆算して「1年間に反応した水素原子核の個数」を求め、さらにそれを質量（\(\text{kg}\)）に換算します。

この設問における重要なポイント

• 1回の反応セット（水素4個消費）で \(3.956 \times 10^{-12}\,\text{J}\) 放出。
• 総エネルギー \(E_{\text{年}} = 1.20 \times 10^{34}\,\text{J}\)。
• 反応回数 \(N_{\text{回}} = E_{\text{年}} / E_{\text{全}}\)。
• 消費される水素の個数 \(N_{\text{H}} = 4 \times N_{\text{回}}\)。
• 消費される水素の質量 \(M_{\text{H}} = N_{\text{H}} \times m_{\text{p}}\)。

具体的な解説と立式
1年間に起こる反応セットの回数 \(n\) は、
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{1.20 \times 10^{34}}{3.956 \times 10^{-12}}
\end{aligned}
$$
1回のセットで4個の水素（陽子）が消費されるので、消費される水素の総数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= 4n \\[2.0ex] &= 4 \times \frac{1.20 \times 10^{34}}{3.956 \times 10^{-12}}
\end{aligned}
$$
消費される水素の総質量 \(M\) は、これに陽子1個の質量 \(m_{\text{p}}\) を掛けて求めます。
$$
\begin{aligned}
M &= N \times m_{\text{p}} \\[2.0ex] &= \left( 4 \times \frac{1.20 \times 10^{34}}{3.956 \times 10^{-12}} \right) \times 1.6726 \times 10^{-27}
\end{aligned}
$$

数値を整理して計算します。
$$
\begin{aligned}
M &= \frac{4 \times 1.20 \times 1.6726}{3.956} \times 10^{34 – (-12) – 27} \\[2.0ex] &= \frac{8.02848}{3.956} \times 10^{19}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
8.02848 \div 3.956 &\approx 2.0294…
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
M &= 2.029… \times 10^{19}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
M &\approx 2.03 \times 10^{19}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$

恒星が出している莫大なエネルギーを、1回の反応で出るわずかなエネルギーで割ることで、何回の反応が起きたかを計算しました。そこから消費された水素の個数を求め、さらに重さに直しました。

\(10^{19}\,\text{kg}\) という質量は地球の質量（\(10^{24}\,\text{kg}\)）よりは小さいですが、膨大な量です。しかし恒星の質量（\(10^{30}\,\text{kg}\)）に比べれば微々たるものであり、恒星が長寿命であることを示唆しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
恒星に含まれる水素の総質量を、1年間に消費される水素の質量で割ることで、寿命（年数）を求めます。

この設問における重要なポイント

• 水素の総質量 \(M_{\text{全}} = 2.00 \times 10^{30}\,\text{kg}\)。
• 1年間の消費量 \(M_{\text{年}} = 2.029 \times 10^{19}\,\text{kg}\)（(4)の途中結果を使用）。
• 有効数字1桁で答える。

具体的な解説と立式
寿命 \(T\) は、
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{M_{\text{全}}}{M_{\text{年}}}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2.00 \times 10^{30}}{2.029 \times 10^{19}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2.00}{2.029} \times 10^{11} \\[2.0ex] &\approx 0.9857… \times 10^{11}
\end{aligned}
$$
有効数字1桁で答えるため、四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
T &\approx 1 \times 10^{11}\,\text{年}
\end{aligned}
$$

「貯金総額（水素の総量）」を「年間の出費（消費量）」で割って、「何年で破産するか（寿命）」を計算しました。

約1000億年という寿命が算出されました。実際の太陽の寿命（約100億年）より長いですが、これは「全ての水素が消費される」という単純化した仮定（実際には中心部の水素しか使われない）や、エネルギー放出率が一定であるという仮定に基づいているためです。オーダーとしては妥当な範囲です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 核反応の保存則とエネルギー収支
  • 核心: どんなに複雑な核反応であっても、各段階において「質量数」と「原子番号」は保存されます。また、反応全体でのエネルギー収支は、各段階のエネルギーの総和となります。
  • 理解のポイント:
    • 反応の連鎖: 恒星内部の反応（ppチェインなど）は単発ではなく、連鎖的に起こります。化学反応式のように反応式を足し合わせることで、中間生成物を消去し、全体の反応式（\(4\text{p} \to \text{He}\)）を導くことができます。
    • エネルギーの源泉: 最終的に放出されるエネルギーは、反応前（水素4個）と反応後（ヘリウム1個）の質量差（質量欠損）に由来します。途中のプロセスがどうであれ、始状態と終状態が決まれば総エネルギーは決まります（ヘスの法則に似ています）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • CNOサイクル: 炭素などを触媒として水素がヘリウムになる別の反応経路。これも反応式を足し合わせると、結局は \(4\text{p} \to \text{He}\) になり、放出エネルギーもほぼ同じになります。
  • 核分裂連鎖反応: ウランの核分裂で生じた中性子が次のウランに当たり…という連鎖。これも「1回の分裂で出るエネルギー \(\times\) 分裂回数」で総エネルギーを計算します。
  • 太陽定数からの推定: 地球に届く太陽光のエネルギー（太陽定数）から、太陽全体の発熱量を求め、そこから水素の消費量を逆算する問題。本問の(4)(5)と同じ流れになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 未知の粒子は保存則で特定: 反応式の左右で数字（質量数、原子番号）を合わせれば、必ず正体がわかります。
  2. 係数に注目して反応式を合成: 「中間生成物を消す」ことを目標に、反応式を何倍かして足し引きします。本問では \({}^3\text{He}\) を消すために①と②を2倍しました。
  3. 桁数の管理: \(10^{30}\) や \(10^{-27}\) といった極端な数字を扱うため、指数部分の計算ミスが命取りになります。指数だけを先に計算してオーダーを確認する癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 質量の取り違え:
  • 誤解: 水素原子核（陽子）の質量と、水素原子（電子込み）の質量を混同する。あるいは、重水素の質量を求める際に陽電子の質量を引き忘れる。
  • 対策: 問題文で与えられているのが「原子核」の質量なのか「原子」の質量なのかを厳密に確認します。本問はすべて「原子核」や「素粒子」の質量で統一されていますが、原子の質量で与えられた場合は電子の質量補正が必要になることがあります。
• 反応回数のカウントミス:
  • 誤解: ヘリウム1個を作るのに、反応①は1回だけでいいと思ってしまう。
  • 対策: 反応式を合成するプロセスを省略せず、必ず紙に書いて係数を確認しましょう。「\({}^3\text{He}\) が2個必要だから、それを作る反応②も2回、さらにその材料の \({}^2\text{H}\) を作る反応①も2回…」と遡って考えます。
• 有効数字の桁落ち:
  • 誤解: 質量欠損の計算で、最初から有効数字3桁程度で計算してしまう。
  • 対策: 質量欠損は「大きな質量同士のわずかな差」なので、桁落ちが激しくなります。問題文で「5桁で求めよ」と指示がある通り、途中計算では可能な限り多くの桁（ガードデジット）を残して計算します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（\(E = \Delta Mc^2\)）:
  • 選定理由: エネルギーから質量欠損を逆算する唯一の手段です。
  • 適用根拠: 特殊相対性理論により、エネルギーと質量は等価であり、相互に変換可能です。
• (4)(5)での計算手法（比例計算）:
  • 選定理由: 物理現象というよりは、単なる数量計算（算数）の問題です。
  • 適用根拠: 「1回あたり \(E\) ジュール」「全体で \(E_{\text{全}}\) ジュール」なら、回数は \(E_{\text{全}}/E\) である、という単純な比例関係が成立するためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の分離計算:
  • \(1.20 \times 10^{34} / (3.96 \times 10^{-12})\) のような計算では、\(1.20/3.96\) と \(10^{34 – (-12)}\) を別々に計算し、最後に合体させます。これを暗算やごちゃ混ぜでやるとミスのもとです。
• 単位の確認:
  • 「年」と「秒」の換算は頻出です。本問では(4)で「1年間」のエネルギーが与えられていますが、もし「1秒間（ワット）」で与えられていたら、秒数（\(3.15 \times 10^7\)）を掛ける必要があります。常に単位を意識しましょう。

615 電子・陽電子の対消滅

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電子と陽電子の対消滅」です。物質と反物質が出会って消滅し、その質量がすべてエネルギー（光子）に変換される現象を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静止した電子（質量 \(m\)）と陽電子（質量 \(m\)）が対消滅します。
反応前の全エネルギーは、2つの粒子の静止質量エネルギーの和 \(2mc^2\) です（運動エネルギーは0）。
反応後は2つの \(\gamma\) 線光子が生成されます。
運動量保存則より、2つの光子は互いに逆向きに等しい大きさの運動量を持つため、エネルギーも等しくなります。
したがって、全エネルギー \(2mc^2\) が2つの光子に等分されます。

この設問における重要なポイント

• 電子と陽電子の質量は等しく \(m\)。
• 対消滅前の全エネルギーは \(2mc^2\)。
• 生成される2つの光子のエネルギーは等しい。

具体的な解説と立式
対消滅によって失われる全質量は \(2m\) です。
この質量がすべてエネルギーに変換されるので、発生する全エネルギー \(E_{\text{全}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &= 2mc^2
\end{aligned}
$$
生成される2つの光子のエネルギーは等しいので、光子1個のエネルギー \(E\) は、
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{E_{\text{全}}}{2} \\[2.0ex] &= mc^2
\end{aligned}
$$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= 9.1 \times 10^{-31} \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[2.0ex] &= 9.1 \times 10^{-31} \times 9.0 \times 10^{16} \\[2.0ex] &= 9.1 \times 9.0 \times 10^{-15}
\end{aligned}
$$
数値部分を計算します。
$$
\begin{aligned}
9.1 \times 9.0 &= 81.9
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
E &= 81.9 \times 10^{-15} \\[2.0ex] &= 8.19 \times 10^{-14}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
E &\approx 8.2 \times 10^{-14}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

電子と陽電子が出会うと、お互いの質量が完全に消滅して、純粋なエネルギー（光）に変わります。アインシュタインの有名な式 \(E=mc^2\) を使って、そのエネルギーの量を計算しました。2つの光ができるので、エネルギーは半分こになります。

計算結果は正の値であり、オーダーも妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた光子のエネルギー \(E\) を用いて、運動量 \(p_{\gamma}\) を求めます。
光子のエネルギーと運動量の関係式 \(E = cp_{\gamma}\) （または \(p_{\gamma} = E/c\)）を使います。

この設問における重要なポイント

• 光子の運動量 \(p_{\gamma} = E/c\)。
• (1)の計算結果（丸める前の値 \(8.19 \times 10^{-14}\)）を使用する。

具体的な解説と立式
光子1個の運動量の大きさ \(p_{\gamma}\) は、
$$
\begin{aligned}
p_{\gamma} &= \frac{E}{c}
\end{aligned}
$$

数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
p_{\gamma} &= \frac{8.19 \times 10^{-14}}{3.0 \times 10^8} \\[2.0ex] &= \frac{8.19}{3.0} \times 10^{-22}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
8.19 \div 3.0 &= 2.73
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
p_{\gamma} &= 2.73 \times 10^{-22}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
p_{\gamma} &\approx 2.7 \times 10^{-22}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}
\end{aligned}
$$

光は質量を持ちませんが、エネルギーと運動量は持っています。エネルギーを光の速さで割ることで、運動量を求めることができます。

妥当な値が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は電子が運動量 \(p\) を持って運動しています（陽電子は静止）。
反応前の全運動量は、電子の運動量 \(p\)（\(y\) 軸方向）のみです。
反応後は2つの光子が \(x\) 軸に対して角度 \(\theta\) で対称に放出されます。
運動量保存則（\(x\) 成分と \(y\) 成分）とエネルギー保存則を連立させて解きます。

この設問における重要なポイント

• 対称性: 図より、2つの光子の運動量の大きさは等しく、\(y\) 軸に対して対称に放出されると考えられる（\(x\) 成分が打ち消し合うため）。
• 運動量保存則:
  • \(x\) 成分: \(0 = p_{\gamma} \cos\theta – p_{\gamma} \cos\theta\) （自明）
  • \(y\) 成分: \(p = 2 p_{\gamma} \sin\theta\)
• エネルギー保存則:
  • 反応前: 電子の全エネルギー（静止エネルギー \(mc^2\) ＋ 運動エネルギー \(K\)）＋ 陽電子の静止エネルギー \(mc^2\)。
  • 反応後: 2つの光子のエネルギー \(2E_{\gamma}\)。
  • ここで、電子の運動エネルギー \(K\) は \(p^2/2m\) と近似できる（問題文の誘導より）。

具体的な解説と立式
光子1個のエネルギーを \(E_{\gamma}\)、運動量を \(p_{\gamma} = E_{\gamma}/c\) とします。

1. 運動量保存則（\(y\) 成分）
反応前の運動量は \(p\)。
反応後の運動量の \(y\) 成分は、2つの光子の \(y\) 成分の和 \(2 p_{\gamma} \sin\theta\)。
$$
\begin{aligned}
p &= 2 p_{\gamma} \sin\theta \\[2.0ex] &= 2 \frac{E_{\gamma}}{c} \sin\theta \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

2. エネルギー保存則
反応前の全エネルギーは、電子の運動エネルギー \(\frac{p^2}{2m}\) と、電子・陽電子の静止エネルギーの和 \(2mc^2\) です。
反応後の全エネルギーは、2つの光子のエネルギー \(2E_{\gamma}\) です。
$$
\begin{aligned}
\frac{p^2}{2m} + 2mc^2 &= 2E_{\gamma} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①と②から \(E_{\gamma}\) を消去して \(\sin\theta\) を求めます。

式①より、
$$
\begin{aligned}
E_{\gamma} &= \frac{pc}{2\sin\theta}
\end{aligned}
$$
これを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p^2}{2m} + 2mc^2 &= 2 \left( \frac{pc}{2\sin\theta} \right)
\end{aligned}
$$
左辺を通分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p^2 + 4m^2c^2}{2m} &= \frac{pc}{\sin\theta}
\end{aligned}
$$
\(\sin\theta\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \frac{pc}{\frac{p^2 + 4m^2c^2}{2m}} \\[2.0ex] &= \frac{2mpc}{p^2 + 4m^2c^2}
\end{aligned}
$$

動いている電子が静止した陽電子に衝突して対消滅する場合、もともと電子が持っていた「勢い（運動量）」は消えずに残ります。そのため、生まれた2つの光子は真横（\(x\) 軸方向）ではなく、電子が進んでいた方向（\(y\) 軸方向）に少し傾いて飛び出します。その角度 \(\theta\) を、運動量とエネルギーの保存則を使って計算しました。

得られた式 \(\sin\theta = \frac{2mpc}{p^2 + 4m^2c^2}\) について考えます。
\(p \to 0\) のとき、式は \(0\) になります。つまり \(\theta \to 0\) です。
これは、運動量がなければ光子は互いに逆向き（\(x\) 軸上、つまり \(\theta=0\)）に飛ぶという(1)の結果と一致します。
次元を確認すると、
分子: \([M][ML/T][L/T] = [M^2 L^2 / T^2]\)
分母: \([M^2 L^2 / T^2]\)
となり、無次元量になっているので正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 対消滅と保存則
  • 核心: 物質（電子）と反物質（陽電子）が衝突して消滅し、その質量がすべてエネルギー（光子）に変換される現象です。この過程において、「全エネルギー」と「全運動量」は厳密に保存されます。
  • 理解のポイント:
    • 質量の消失: 反応後、質量を持つ粒子はいなくなり、質量ゼロの光子だけになります。質量保存の法則は成り立ちませんが、質量エネルギーを含めたエネルギー保存則は成立します。
    • 光子の生成数: 運動量保存則を満たすため、通常は2個以上の光子が生成されます。1個だけでは運動量を保存できない（重心系で見ると運動量ゼロの状態から運動量を持つ光子が生まれることになり矛盾する）からです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 対生成: 対消滅の逆反応で、高エネルギーの光子が原子核の近くで電子と陽電子のペアを生み出す現象。これもエネルギー保存則 \(h\nu = 2mc^2 + K_e + K_p\) で解きます。
  • コンプトン効果: 光子と電子の弾性衝突。エネルギー保存則と運動量保存則を連立させる点は同じですが、質量が消滅しない点が異なります。
  • 崩壊現象: パイ中間子が崩壊して光子になる問題など。静止した粒子が2つの光子になる場合、光子のエネルギーは粒子の静止エネルギーの半分になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子の状態確認: 静止しているのか、運動しているのか。運動しているなら、その運動エネルギーを考慮する必要があります。
  2. 保存則の列挙: エネルギー保存則と運動量保存則（ベクトルなら成分ごと）の式を必ず立てます。
  3. 光子の関係式: \(E = h\nu\)、\(p = h/\lambda\)、\(E = cp\) の3点セットは常に使えるようにしておきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動エネルギーの近似式:
  • 誤解: 電子の速さが光速に近い場合でも、古典的な運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) を使ってしまう。
  • 対策: 本問のように問題文で指示がある場合を除き、高速粒子の場合は相対論的エネルギー \(E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}\) を使うのが原則です。ただし、入試問題では誘導に従うことが最優先です。
• 光子の運動量とエネルギーの混同:
  • 誤解: 光子の運動量を \(mv\) のように質量を使って表そうとする。
  • 対策: 光子に質量はありません。光子の運動量は必ず \(p = E/c\) または \(p = h/\lambda\) で表します。
• 角度の定義:
  • 誤解: \(\theta\) がどの軸との角度なのか（\(x\) 軸か \(y\) 軸か）を見誤り、\(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図をよく見て、成分分解の矢印を書き込みましょう。\(y\) 軸方向の運動量保存則を立てる際、図の \(\theta\) が \(x\) 軸との角なら \(y\) 成分は \(\sin\theta\) になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(E = mc^2\)）:
  • 選定理由: 質量がエネルギーに変わる現象を記述する唯一の公式です。
  • 適用根拠: 電子と陽電子の質量が完全に消滅し、光子になったため。
• (3)での連立方程式の解法:
  • 選定理由: 未知数が \(E_{\gamma}\) と \(\theta\) の2つあり、式が2本（エネルギー保存と運動量保存）あるため、連立して解くことができます。
  • 適用根拠: 求めたいのは \(\sin\theta\) なので、\(E_{\gamma}\) を消去する方針で式変形を行います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認:
  • (3)の答え \(\displaystyle\frac{2mpc}{p^2 + 4m^2c^2}\) の次元を確認します。分母は \((\text{運動量})^2\)、分子は \((\text{質量}) \times (\text{運動量}) \times (\text{速さ}) = (\text{運動量})^2\) となり、全体で無次元（単なる数値）になります。\(\sin\theta\) は無次元量なので、次元的に正しいことが確認できます。もし \(c\) が一つ足りなかったりすると、次元が合わなくなります。
• 対称性の利用:
  • 図の対称性から、2つの光子のエネルギーと運動量の大きさが等しいこと、および \(y\) 軸に対して対称な角度で放出されることは計算せずとも利用して構いません（記述式では一言「対称性より」と添えると良いでしょう）。これにより未知数を減らせます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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