プロセス
1 オームの法則
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「オームの法則を用いた電気抵抗の導出」です。電気回路の最も基礎となる法則を確認します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則: 電圧 \(V\)、電流 \(I\)、抵抗 \(R\) の間に成り立つ関係式 \(V=RI\)。
- 物理量の定義: 電圧（電位差）、電流、抵抗のそれぞれの意味と単位。
- 有効数字: 測定値の精度に合わせた数値の扱い方。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた数値（電圧、電流）を物理量記号（\(V, I\)）に対応させます。
- オームの法則 \(V=RI\) を、求めたい物理量 \(R\) について解いた形に変形します。
- 数値を代入し、有効数字に注意して計算を行います。
思考の道筋とポイント
物理の問題を解くときは、まず「何が与えられていて」「何を求めるのか」を明確にすることが第一歩です。
- 情報の整理: 問題文にある「\(1.5 \, \text{V}\)」は電圧 \(V\)、「\(0.25 \, \text{A}\)」は電流 \(I\) です。
- 目標の設定: 求めたいのは「抵抗」なので、抵抗 \(R\) を求める式が必要です。
- 法則の適用: 電圧、電流、抵抗を結びつける「オームの法則」を適用します。
- 計算の工夫: 小数の割り算が登場しますが、分数を活用することで計算ミスを減らせます。
この設問における重要なポイント
- オームの法則の変形: 基本形は \(V=RI\) ですが、抵抗を求めたいときは両辺を \(I\) で割って \(R = \frac{V}{I}\) と変形して使います。
- 単位の確認: 電圧がボルト \([\text{V}]\)、電流がアンペア \([\text{A}]\) のとき、計算結果の抵抗はオーム \([\Omega]\) になります。
- 数値の感覚: \(0.25 \, \text{A}\) という電流は \(1 \, \text{A}\) の \(\frac{1}{4}\) です。小さな電流しか流れないということは、それなりの抵抗があるか、電圧が小さいかのどちらかです。
具体的な解説と立式
問題文より、導体に加えた電圧 \(V\) と、そのとき流れた電流 \(I\) は以下の通りです。
$$ V = 1.5 \, \text{V}, \quad I = 0.25 \, \text{A} $$
求める導体の抵抗を \(R \, [\Omega]\) とします。
オームの法則 \(V = RI\) が成り立つので、この式を抵抗 \(R\) について解く形に変形して立式します。
$$ R = \frac{V}{I} $$
使用した物理公式
- オームの法則:
$$ V = RI $$
（\(V\): 電圧 \([\text{V}]\)、\(R\): 抵抗 \([\Omega]\)、\(I\): 電流 \([\text{A}]\))
立式した式に数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{1.5}{0.25} \\[2.0ex]
\end{aligned}
$$
ここで、小数の割り算を直接行う代わりに、\(0.25\) が分数で \(\displaystyle\frac{1}{4}\) であることを利用すると、計算が非常に簡単になります。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{1.5}{\displaystyle\frac{1}{4}} \\[2.0ex]
&= 1.5 \times 4 \\[2.0ex]
&= 6.0
\end{aligned}
$$
問題文の数値（\(1.5\) と \(0.25\)）はいずれも有効数字2桁なので、答えも有効数字2桁で表記します。
したがって、
$$ R = 6.0 \, \Omega $$
抵抗とは、文字通り「電流の流れにくさ」を表す量です。
オームの法則 \(R = \frac{V}{I}\) は、「\(1 \, \text{A}\) の電流を流すために、どれだけの電圧（勢い）が必要か」を表していると考えることができます。
今回の問題では、\(1.5 \, \text{V}\) の電圧で \(0.25 \, \text{A}\) しか流れませんでした。\(0.25 \, \text{A}\) は \(1 \, \text{A}\) の \(\frac{1}{4}\) です。
もし \(1 \, \text{A}\) （今の4倍の電流）を流そうと思ったら、電圧も今の4倍必要になりますよね。
だから、\(1.5 \, \text{V} \times 4 = 6.0 \, \text{V}\) 必要です。この「\(6.0\)」という数字が、そのまま抵抗値 \(6.0 \, \Omega\) になります。
計算式で \(0.25\) で割ることは、\(4\) を掛けることと同じ意味を持っています。
2 消費電力の計算
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「抵抗で消費される電力の計算」です。前問の結果を利用し、適切な公式を選択して電力を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則: \( V = RI \)
- 消費電力の定義式: \( P = IV \)
- 消費電力の変形公式: \( P = I^2R \) および \( P = \frac{V^2}{R} \)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 前問（問1）の結果から、導体の抵抗値 \( R \) を確認します。
- 与えられた物理量（電圧 \( V \)、抵抗 \( R \)）に最適な電力の公式を選択します。
- 数値を代入し、計算を行います。
思考の道筋とポイント
- 情報の引き継ぎ: 問題文に「1の導体」とあるため、問1で求めた抵抗値 \( R = 6.0 \, \Omega \) を使用します。
- 条件の整理: 新たに与えられた電圧は \( V = 3.0 \, \text{V} \) です。
- 公式の選択: 求めたいのは消費電力 \( P \) です。現在わかっているのは電圧 \( V \) と抵抗 \( R \) なので、電流 \( I \) を経由せずに直接計算できる公式 \( P = \frac{V^2}{R} \) を採用するのが最も効率的です。
この設問における重要なポイント
- 電力の公式の使い分け: 消費電力 \( P \) を求める公式は3つあります。状況に応じて使い分けることで計算が楽になります。
- \( P = IV \): 電圧と電流がわかっているとき（基本定義）。
- \( P = I^2R \): 電流と抵抗がわかっているとき（直列回路などで便利）。
- \( P = \frac{V^2}{R} \): 電圧と抵抗がわかっているとき（並列回路や本問のようなケースで便利）。
具体的な解説と立式
問1より、導体の抵抗は \( R = 6.0 \, \Omega \) です。
加えた電圧は \( V = 3.0 \, \text{V} \) です。
電圧 \( V \) と抵抗 \( R \) を用いて消費電力 \( P \) を求める式を立てます。
$$ P = \frac{V^2}{R} $$
使用した物理公式
- 消費電力:
$$ P = \frac{V^2}{R} $$
（\( P \): 消費電力 \([\text{W}]\)、\( V \): 電圧 \([\text{V}]\)、\( R \): 抵抗 \([\Omega]\)）
立式した式に数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
P &= \frac{3.0^2}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{9.0}{6.0} \\[2.0ex]
&= 1.5
\end{aligned}
$$
有効数字は2桁なので、そのまま答えます。
$$ P = 1.5 \, \text{W} $$
電気製品の「ワット数」を計算する問題です。
抵抗 \( R \) と電圧 \( V \) がわかっているときは、わざわざ電流を計算しなくても、\( P = \frac{V^2}{R} \) という式一発で求められます。
電圧 \( 3.0 \, \text{V} \) を2乗して、抵抗 \( 6.0 \, \Omega \) で割るだけです。
ちなみに、電圧が \( 1.5 \, \text{V} \) から \( 3.0 \, \text{V} \) へと2倍になると、電力は \( 2^2 = 4 \) 倍になります（問1の条件で計算すると \( P \approx 0.38 \, \text{W} \) なので、確かに約4倍になっています）。
思考の道筋とポイント
- 基本への立ち返り: 消費電力の定義は「電圧 \(\times\) 電流」です。
- 段階的な計算: まずオームの法則を使って、回路に流れる電流 \( I \) を求めます。
- 定義式の利用: 求めた電流 \( I \) と与えられた電圧 \( V \) を使って、\( P = IV \) を計算します。
この方法は計算の手間は増えますが、回路に流れる電流の値も把握できるという利点があります。
この設問における重要なポイント
- オームの法則: 電流を求めるために \( I = \frac{V}{R} \) を使います。
- 一貫性の確認: どの公式を使っても、物理的に正しい手順であれば同じ答えになることを確認します。
具体的な解説と立式
まず、オームの法則を用いて電流 \( I \, [\text{A}] \) を求める式を立てます。
$$ I = \frac{V}{R} $$
次に、求めた電流 \( I \) と電圧 \( V \) を用いて消費電力 \( P \, [\text{W}] \) を求める式を立てます。
$$ P = IV $$
使用した物理公式
- オームの法則: \( I = \frac{V}{R} \)
- 消費電力: \( P = IV \)
まず、電流 \( I \) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{3.0}{6.0} \\[2.0ex]
&= 0.50 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
次に、この電流値を使って電力を計算します。
$$
\begin{aligned}
P &= 0.50 \times 3.0 \\[2.0ex]
&= 1.5
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ P = 1.5 \, \text{W} $$
こちらは「まず電流がどれくらい流れるか？」を計算してから、電力を求める方法です。
\( 3.0 \, \text{V} \) の電圧で \( 6.0 \, \Omega \) の抵抗に電流を流すと、\( 0.50 \, \text{A} \) の電流が流れます。
電力は「電圧 \(\times\) 電流」なので、\( 3.0 \times 0.50 \) を計算して \( 1.5 \, \text{W} \) となります。
メインの解法と同じ結果になりましたね。
3 抵抗率の導出
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「導体の抵抗と抵抗率の関係」です。導体の形状（長さや太さ）と材質が、電気抵抗にどのように影響するかを数式で扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 抵抗の公式: 導体の抵抗 \(R\) は、長さ \(L\) に比例し、断面積 \(S\) に反比例する。
- 抵抗率: 物質そのものが持つ電気の流れにくさを表す物性値 \(\rho\)。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 抵抗 \(R\)、抵抗率 \(\rho\)、長さ \(L\)、断面積 \(S\) の関係式（公式）を立てます。
- その式を、求めたい物理量である抵抗率（ここでは \(\rho\) と置きます）について解きます。
思考の道筋とポイント
- 未知数の設定: 求めたい抵抗率を \(\rho\)（ロー）と置きます。単位は問題文にある通り \([\Omega \cdot \text{m}]\) です。
- 公式の想起: 抵抗 \(R\) が、長さ \(L\)、断面積 \(S\)、抵抗率 \(\rho\) を使ってどのように表されるか、基本公式を思い出します。
- 式変形: 思い出した公式は通常 \(R = \dots\) の形ですが、今回は「抵抗率は何か」と問われているため、\(\rho = \dots\) の形に変形する必要があります。
この設問における重要なポイント
- 比例と反比例のイメージ:
- 導体が長いほど、電流は通りにくくなります（抵抗 \(R\) は長さ \(L\) に比例）。
- 導体が太い（断面積が大きい）ほど、電流は通りやすくなります（抵抗 \(R\) は断面積 \(S\) に反比例）。
- 抵抗率の意味: 同じ形状でも、銅と鉄では抵抗が異なります。この「材質による違い」を表す比例定数が抵抗率 \(\rho\) です。
具体的な解説と立式
求める導体の抵抗率を \(\rho \, [\Omega \cdot \text{m}]\) とします。
円柱状の導体の抵抗 \(R\) は、抵抗率 \(\rho\)、長さ \(L\)、断面積 \(S\) を用いて次のように表されます。
$$ R = \rho \frac{L}{S} $$
この式を、求めたい \(\rho\) について解く形に変形します。
使用した物理公式
- 抵抗の公式:
$$ R = \rho \frac{L}{S} $$
（\(R\): 抵抗 \([\Omega]\)、\(\rho\): 抵抗率 \([\Omega \cdot \text{m}]\)、\(L\): 長さ \([\text{m}]\)、\(S\): 断面積 \([\text{m}^2]\)）
立式した式を \(\rho\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R &= \rho \frac{L}{S} \\[2.0ex]
\end{aligned}
$$
両辺に \(S\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
RS &= \rho L \\[2.0ex]
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割って、左右を入れ替えます。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{RS}{L}
\end{aligned}
$$
したがって、求める抵抗率は
$$ \frac{RS}{L} \, [\Omega \cdot \text{m}] $$
電気の流れを「トンネルを通る車」や「水道管を流れる水」に例えると分かりやすいです。
- トンネルが長い（\(L\) が大きい）と、通り抜けるのに時間がかかり、渋滞しやすくなります（抵抗 \(R\) が大きくなる）。
- トンネルが広い（\(S\) が大きい）と、たくさんの車が一度に通れるので、スムーズに流れます（抵抗 \(R\) が小さくなる）。
これを式にすると \(R \propto \frac{L}{S}\) となります。
このときの「通りにくさの係数」にあたるのが抵抗率 \(\rho\) です。
今回の問題は、この関係式を逆算して、「抵抗 \(R\) と形（\(L, S\)）が分かっているとき、その材質の抵抗率 \(\rho\) はどう計算できるか？」を答えるものです。
思考の道筋とポイント
- ゴールの確認: 最終的な答えの単位は \([\Omega \cdot \text{m}]\) にならなければなりません。
- 手持ちの材料: 与えられた物理量の単位は、抵抗 \(R \, [\Omega]\)、断面積 \(S \, [\text{m}^2]\)、長さ \(L \, [\text{m}]\) です。
- パズル: これらをどのように掛けたり割ったりすれば、ゴールの単位 \([\Omega \cdot \text{m}]\) が作れるかを考えます。
この設問における重要なポイント
- 次元解析: 物理式が正しいかどうかは、両辺の単位（次元）が一致しているかでチェックできます。逆に、単位から式の形を推測することも可能です。
具体的な解説と立式
求める抵抗率の単位は \([\Omega \cdot \text{m}]\) です。
与えられた物理量の単位を組み合わせます。
- \(R\) の単位: \([\Omega]\)
- \(S\) の単位: \([\text{m}^2]\)
- \(L\) の単位: \([\text{m}]\)
これらを使って \([\Omega \cdot \text{m}]\) を作るには、
$$ [\Omega] \times \frac{[\text{m}^2]}{[\text{m}]} = [\Omega \cdot \text{m}] $$
という組み合わせが成立します。
これを物理量記号に戻して立式します。
$$ \rho = R \times \frac{S}{L} $$
使用した物理公式
- 次元解析（単位の整合性）:
$$ [\text{左辺の単位}] = [\text{右辺の単位}] $$
本問では: \([\Omega \cdot \text{m}] = [\Omega] \times \frac{[\text{m}^2]}{[\text{m}]}\)
単位の組み合わせから導いた式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{RS}{L}
\end{aligned}
$$
これは公式から導いた結果と一致します。
もし公式を忘れてしまっても、単位を見るだけで答えを作ることができます。
答えの単位は「オーム・メートル（\(\Omega \cdot \text{m}\)）」です。
これは「オーム（\(\Omega\)）」と「メートル（\(\text{m}\)）」の掛け算です。
手元には「オーム（ \(R\) ）」「平方メートル（ \(S\) ）」「メートル（ \(L\) ）」があります。
\(R\) に \(S\) を掛けると \(\Omega \cdot \text{m}^2\) になってしまい、\(\text{m}\) が1つ多いです。
そこで \(L\) で割ってあげれば、\(\text{m}\) が1つ減って \(\Omega \cdot \text{m}\) になりますね。
だから答えは \(\frac{RS}{L}\) だと分かります。
4 合成抵抗の計算
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「抵抗の直列接続と並列接続における合成抵抗の計算」です。まず個々の抵抗値を求め、それをどのように接続するかによって全体の抵抗値がどう変化するかを理解します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則: \( V = RI \)
- 直列接続の合成抵抗: \( R = R_1 + R_2 + \dots \)
- 並列接続の合成抵抗: \( \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、問題文の条件（電圧と電流）から、ニクロム線1本あたりの抵抗値を求めます。
- 次に、その抵抗を2本直列につないだ場合の合成抵抗を計算します。
- 最後に、その抵抗を2本並列につないだ場合の合成抵抗を計算します。
思考の道筋とポイント
- 準備（抵抗値の算出）: 問題文には「ニクロム線の抵抗は何オーム」とは書かれていません。まずは「\( 5.0 \, \text{V} \) で \( 0.25 \, \text{A} \)」という情報から、オームの法則を使って抵抗値を求める必要があります。
- 直列接続の計算: 抵抗を直列につなぐということは、電流の流れる道のりが長くなることを意味します。抵抗値は単純な足し算になります。
- 並列接続の計算: 抵抗を並列につなぐということは、電流の流れる道幅が広がることを意味します。抵抗値は逆数の和を使って計算します。
この設問における重要なポイント
- 直列接続: 抵抗器を直列に接続すると、合成抵抗は個々の抵抗の和となり、必ず元の抵抗より大きくなります。
- 並列接続: 抵抗器を並列に接続すると、電流の通り道が増えるため流れやすくなり、合成抵抗は必ず元の抵抗より小さくなります。
具体的な解説と立式
まず、ニクロム線1本の抵抗 \( R \, [\Omega] \) を求めます。
電圧 \( V = 5.0 \, \text{V} \)、電流 \( I = 0.25 \, \text{A} \) なので、オームの法則より
$$ R = \frac{V}{I} $$
次に、この抵抗 \( R \) を2本直列に接続したときの合成抵抗 \( R_{\text{直}} \, [\Omega] \) を求めます。
$$ R_{\text{直}} = R + R $$
最後に、この抵抗 \( R \) を2本並列に接続したときの合成抵抗 \( R_{\text{並}} \, [\Omega] \) を求めます。
$$ \frac{1}{R_{\text{並}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} $$
使用した物理公式
- オームの法則: \( R = \frac{V}{I} \)
- 直列合成抵抗: \( R_{\text{合成}} = R_1 + R_2 \)
- 並列合成抵抗: \( \frac{1}{R_{\text{合成}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \)
まず、ニクロム線1本の抵抗 \( R \) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{5.0}{0.25} \\[2.0ex]
&= \frac{5.0}{\displaystyle\frac{1}{4}} \\[2.0ex]
&= 5.0 \times 4 \\[2.0ex]
&= 20 \, \Omega
\end{aligned}
$$
1. 直列接続の場合
$$
\begin{aligned}
R_{\text{直}} &= 20 + 20 \\[2.0ex]
&= 40
\end{aligned}
$$
よって、直列接続の合成抵抗は \( 40 \, \Omega \) です。
2. 並列接続の場合
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_{\text{並}}} &= \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{20} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{10}
\end{aligned}
$$
逆数をとって、
$$ R_{\text{並}} = 10 $$
よって、並列接続の合成抵抗は \( 10 \, \Omega \) です。
抵抗を「トンネルの通りにくさ」と考えてみましょう。
- 直列接続は、トンネルを縦に2つつなげるようなものです。長さが2倍になるので、通りにくさ（抵抗）も2倍になります。だから \( 20 + 20 = 40 \, \Omega \) です。
- 並列接続は、トンネルを横に2つ並べるようなものです。車線が2倍に増えるので、車は2倍通りやすくなります。つまり、通りにくさ（抵抗）は半分になります。だから \( 20 \div 2 = 10 \, \Omega \) です。
思考の道筋とポイント
- 特殊ケースの認識: 今回は「同じ抵抗値 \( R \)」を「同じ個数（2個）」接続します。
- 法則の適用: 同じ抵抗を接続する場合、わざわざ公式に代入しなくても、以下の法則ですぐに答えが出せます。
- 同じ抵抗 \( R \) を \( n \) 個直列につなぐ \(\rightarrow\) 合成抵抗は \( n \times R \)
- 同じ抵抗 \( R \) を \( n \) 個並列につなぐ \(\rightarrow\) 合成抵抗は \( \frac{R}{n} \)
この設問における重要なポイント
- 計算の効率化: 抵抗値が同じ場合、並列計算の面倒な分数計算（逆数の和）を回避できます。特に並列接続で「半分になる」という感覚は、検算にも非常に役立ちます。
具体的な解説と立式
ニクロム線の抵抗は \( R = 20 \, \Omega \) です。
これを \( n = 2 \) 本接続します。
直列接続の合成抵抗 \( R_{\text{直}} \) は、抵抗が \( n \) 倍になるので、
$$ R_{\text{直}} = n \times R $$
並列接続の合成抵抗 \( R_{\text{並}} \) は、抵抗が \( \frac{1}{n} \) になるので、
$$ R_{\text{並}} = \frac{R}{n} $$
使用した物理公式
- 同じ抵抗 \( R \) を \( n \) 個接続する場合:
- 直列: \( R_{\text{合成}} = nR \)
- 並列: \( R_{\text{合成}} = \frac{R}{n} \)
数値を代入します。
直列接続:
$$
\begin{aligned}
R_{\text{直}} &= 2 \times 20 \\[2.0ex]
&= 40 \, \Omega
\end{aligned}
$$
並列接続:
$$
\begin{aligned}
R_{\text{並}} &= \frac{20}{2} \\[2.0ex]
&= 10 \, \Omega
\end{aligned}
$$
メインの解法と全く同じ結果が、より少ない計算量で得られました。
同じ抵抗を2つ使うときは、計算がとても簡単になります。
- 直列なら「2倍」するだけ。
- 並列なら「2で割る（半分にする）」だけ。
もし3つ並列につないだら、抵抗は「3分の1」になります。この法則を知っていると、テストの時に時間を大幅に節約できます。
5 内部抵抗と端子電圧
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「内部抵抗を含む直流回路の計算」です。実在する電池の性質を理解し、回路全体を流れる電流と、電池の両端の電圧（端子電圧）を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電池のモデル化: 電池は「起電力 \(E\)」と「内部抵抗 \(r\)」が直列に接続されたものとして扱います。
- 閉回路のオームの法則: \(I = \frac{E}{R+r}\)
- 端子電圧の式: \(V = E – rI\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R\) を直列接続とみなして合成抵抗を求め、回路全体を流れる電流 \(I\) を計算します。
- 次に、起電力 \(E\) から内部抵抗での電圧降下 \(rI\) を差し引いて、端子電圧 \(V\) を求めます。
思考の道筋とポイント
- 回路のイメージ: 電池の中に小さな抵抗（内部抵抗 \(r\)）が隠れていると考えます。回路全体で見ると、外部につないだ抵抗 \(R\) と、この内部抵抗 \(r\) は直列につながっています。
- 電流の計算: 直列回路なので、全体の抵抗は \(R + r\) です。これに電圧（起電力）\(E\) がかかっているとして、オームの法則を使います。
- 端子電圧の計算: 「端子電圧」とは、電池のプラス極とマイナス極の間の電圧のことです。電流が流れると、内部抵抗で電圧が少し下がります（電圧降下）。本来のパワー（起電力）から、このロスを引いたものが、実際に外に取り出せる電圧（端子電圧）になります。
この設問における重要なポイント
- 起電力 \(E\) と端子電圧 \(V\) の違い:
- 起電力 \(E\): 電池が電荷を運ぶ能力そのものの大きさ（ポンプの能力）。
- 端子電圧 \(V\): 電流が流れている状態で、電池の両端に現れる電圧。内部抵抗による電圧降下 \(rI\) の分だけ、起電力より小さくなります（\(V = E – rI\)）。
- 回路全体の捉え方: 内部抵抗 \(r\) は、電池の外にある抵抗 \(R\) と直列接続されているとみなせます。
具体的な解説と立式
問題文より、各物理量は以下の通りです。
起電力 \(E = 1.6 \, \text{V}\)、内部抵抗 \(r = 0.20 \, \Omega\)、外部抵抗 \(R = 3.0 \, \Omega\)。
まず、回路全体を流れる電流 \(I \, [\text{A}]\) を求めます。
回路全体の合成抵抗は \(R + r\) なので、オームの法則より以下の式が成り立ちます。
$$ I = \frac{E}{R+r} $$
次に、乾電池の端子電圧 \(V \, [\text{V}]\) を求めます。
端子電圧は、起電力から内部抵抗での電圧降下を引いたものなので、以下の式で表されます。
$$ V = E – rI $$
使用した物理公式
- 閉回路の電流:
$$ I = \frac{E}{R+r} $$ - 端子電圧:
$$ V = E – rI $$
（\(E\): 起電力、\(r\): 内部抵抗、\(I\): 電流）
まず、電流 \(I\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{1.6}{3.0 + 0.20} \\[2.0ex]
&= \frac{1.6}{3.2} \\[2.0ex]
&= 0.50
\end{aligned}
$$
よって、電流は \(0.50 \, \text{A}\) です。
次に、この電流値を用いて端子電圧 \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= 1.6 – 0.20 \times 0.50 \\[2.0ex]
&= 1.6 – 0.10 \\[2.0ex]
&= 1.5
\end{aligned}
$$
よって、端子電圧は \(1.5 \, \text{V}\) です。
電池を「力持ちのポンプ（起電力）」と「少し詰まったパイプ（内部抵抗）」のセットだと想像してください。
ポンプは \(1.6 \, \text{V}\) の力で水を押し出そうとしますが、水（電流）が流れると、詰まったパイプを通るときに摩擦で勢いが少し削がれてしまいます。
今回、\(0.50 \, \text{A}\) の水流が流れたことで、\(0.20 \times 0.50 = 0.10 \, \text{V}\) 分だけ勢いが落ちてしまいました。
その結果、電池の外に出てくるときには、\(1.6 – 0.10 = 1.5 \, \text{V}\) の勢いしか残っていないことになります。これが端子電圧です。
思考の道筋とポイント
- 視点の転換: 電池の端子電圧 \(V\) は、回路図を見ると、そのまま外部抵抗 \(R\) の両端にかかる電圧と等しいことがわかります。
- 法則の適用: したがって、複雑な電池の式を使わなくても、外部抵抗に対して単純なオームの法則 \(V = RI\) を適用すれば、端子電圧を求めることができます。
この設問における重要なポイント
- キルヒホッフの第2法則: 回路を一周したときの電位の変化はゼロになります。「電池で上がった電圧（端子電圧）」は「外部抵抗で下がる電圧」と必ず等しくなります。これを利用すると計算が簡単になり、検算にも使えます。
具体的な解説と立式
端子電圧 \(V\) は、外部抵抗 \(R\) にかかる電圧と等しいため、オームの法則を用いて以下の式を立てます。
$$ V = RI $$
使用した物理公式
- オームの法則: \(V = RI\)
求めた電流 \(I = 0.50 \, \text{A}\) と、外部抵抗 \(R = 3.0 \, \Omega\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
V &= 3.0 \times 0.50 \\[2.0ex]
&= 1.5
\end{aligned}
$$
メインの解法と同じ結果 \(1.5 \, \text{V}\) が得られました。
電池の中身（内部抵抗）のことを考えるのが少しややこしい場合は、「電池の外側」に注目しましょう。
電池がつながっている相手は \(3.0 \, \Omega\) の抵抗だけです。
そこに \(0.50 \, \text{A}\) の電流が流れているのですから、オームの法則 \(V = RI\) を使えば、抵抗にかかっている電圧は \(3.0 \times 0.50 = 1.5 \, \text{V}\) だとすぐに分かります。
電池はこの電圧を供給しているわけですから、端子電圧も当然 \(1.5 \, \text{V}\) になります。
6 キルヒホッフの第2法則
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「キルヒホッフの第2法則（電圧則）の立式」です。回路を一周したときの電位の変化に注目し、電圧の関係式を立てる練習を行います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- キルヒホッフの第2法則: 任意の閉回路において、起電力の和は電圧降下の和に等しい。あるいは、回路を一周したときの電位変化の総和はゼロである。
- 起電力の向き: 電池の負極（短い線）から正極（長い線）へ通るとき、電位は上がる。
- 電圧降下の向き: 抵抗を電流の向きに通るとき、電位は下がる。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 回路図から、電流 \(I\) の向きを確認します。
- 回路を一周する向き（ループの向き）を決めます（通常は電流の向きに合わせると簡単です）。
- そのループに沿って、「起電力の和」と「電圧降下の和」をそれぞれ書き出し、等号で結びます。
思考の道筋とポイント
- ループの選定: 図の回路は一つしかループがないので、電流 \(I\) の矢印に合わせて時計回りに一周することを考えます。
- 起電力の確認:
- 電池 \(E_1\) は、時計回りに進むと負極から正極へ通るので、電位を上げる（プラスの）働きをします。
- 電池 \(E_2\) も、時計回りに進むと負極から正極へ通るので、電位を上げる（プラスの）働きをします。
- よって、起電力の総和は \(E_1 + E_2\) です。
- 電圧降下の確認:
- 抵抗 \(R_1\) を電流 \(I\) が流れると、\(R_1 I\) の電圧降下が起きます。
- 抵抗 \(R_2\) を電流 \(I\) が流れると、\(R_2 I\) の電圧降下が起きます。
- よって、電圧降下の総和は \(R_1 I + R_2 I\) です。
- 立式: キルヒホッフの第2法則に従い、「起電力の和 = 電圧降下の和」の形にします。
この設問における重要なポイント
- 電池の向き: 電池の記号（長い方がプラス、短い方がマイナス）を正しく読み取り、ループの向きに対して電位が上がるのか下がるのかを判断することが最重要です。今回は2つの電池が直列に、互いに強め合う向き（順方向）に接続されています。
- 法則の表現: キルヒホッフの第2法則には2通りの表現があります。
- \((\text{起電力の和}) = (\text{電圧降下の和})\)
- \((\text{一周したときの電位変化の総和}) = 0\)
どちらを使っても結果は同じですが、教科書や模範解答では 1 の形式がよく使われます。
具体的な解説と立式
回路を電流 \(I\) の向き（時計回り）に一周して考えます。
この閉回路における起電力の和は、2つの電池がともに電流を流す向きに接続されているため、以下のようになります。
$$ E_1 + E_2 $$
一方、抵抗での電圧降下の和は、それぞれの抵抗でのオームの法則 \(V=RI\) の和となるため、以下のようになります。
$$ R_1 I + R_2 I $$
キルヒホッフの第2法則より、これらは等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$ E_1 + E_2 = R_1 I + R_2 I $$
使用した物理公式
- キルヒホッフの第2法則:
$$ E_1 + E_2 + \dots = R_1 I_1 + R_2 I_2 + \dots $$
（左辺：起電力の和、右辺：電圧降下の和）
この問題は立式そのものが解答となるため、計算過程はありません。
式を整理する必要も特になく、
$$ E_1 + E_2 = R_1 I + R_2 I $$
がそのまま答えとなります。
（もちろん、\(E_1 + E_2 = (R_1 + R_2)I\) とまとめても正解です）
この回路を「流れるプール」に例えてみましょう。
- 電池 \(E_1, E_2\) は、水を高いところへ持ち上げる「ポンプ」です。今回は2つのポンプが協力して、水を合計 \(E_1 + E_2\) の高さまで持ち上げています。
- 抵抗 \(R_1, R_2\) は、水が流れ落ちる「滑り台」や「水車」です。水はここを通るたびに高さ（エネルギー）を失います。\(R_1\) で \(R_1 I\) だけ落ちて、\(R_2\) で \(R_2 I\) だけ落ちます。
- キルヒホッフの法則は、「一周して元の場所に戻ってきたら、高さは元通り」という当たり前のことを言っています。つまり、「ポンプで上がった高さ」と「滑り台で落ちた高さ」は必ず同じになります。
だから、\((\text{上がった分}) = (\text{落ちた分})\)、つまり \(E_1 + E_2 = R_1 I + R_2 I\) という式になります。
思考の道筋とポイント
- スタート地点の設定: 回路上の任意の点（例えば電池 \(E_1\) のマイナス側）を基準（高さ0）とします。
- 一周の旅: 時計回りに一周しながら、電位が上がったらプラス、下がったらマイナスとして足していきます。
- ゴールの確認: 一周して元の場所に戻ったら、電位の合計変化量はゼロになるはずです。
この設問における重要なポイント
- 符号のルール:
- 電池の負極 \(\rightarrow\) 正極: \(+E\) （上がる）
- 抵抗を電流と同じ向きに進む: \(-RI\) （下がる）
- 抵抗を電流と逆向きに進む: \(+RI\) （上がる）
この方法は、複雑な回路網でループの向きと電流の向きが一致しない場合に特に威力を発揮します。
具体的な解説と立式
電池 \(E_1\) の負極側からスタートし、時計回りに一周して電位の変化を追います。
- 電池 \(E_1\) を通ると、電位が \(E_1\) 上がります: \(+E_1\)
- 抵抗 \(R_1\) を電流の向きに通ると、電位が \(R_1 I\) 下がります: \(-R_1 I\)
- 電池 \(E_2\) を通ると、電位が \(E_2\) 上がります: \(+E_2\)
- 抵抗 \(R_2\) を電流の向きに通ると、電位が \(R_2 I\) 下がります: \(-R_2 I\)
元の位置に戻ったので、これらの総和はゼロになります。
$$ +E_1 – R_1 I + E_2 – R_2 I = 0 $$
使用した物理公式
- キルヒホッフの第2法則（電位変化の総和）:
$$ (\text{一周したときの電位変化の総和}) = 0 $$
立てた式を整理します。
$$ E_1 + E_2 – (R_1 I + R_2 I) = 0 $$
負の項を右辺に移項します。
$$ E_1 + E_2 = R_1 I + R_2 I $$
これにより、メインの解法と同じ式が得られました。
こちらは「登山」のイメージです。
登山口から出発して、山を登ったり（電池）、谷を下ったり（抵抗）しながら歩き回ります。
どんなルートを通っても、最終的に登山口に戻ってきたら、標高の変化はプラスマイナスゼロですよね。
「\(E_1\) 登って、\(R_1 I\) 下って、\(E_2\) 登って、\(R_2 I\) 下ったら、元の高さに戻った」
これを式にしたのが \(E_1 – R_1 I + E_2 – R_2 I = 0\) です。
これを整理すると、「登った分の合計」＝「下った分の合計」という式になります。
7 半導体のキャリア
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「不純物半導体の仕組みとキャリア」です。現代のエレクトロニクスを支える半導体の最も基本的な性質を理解します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 真性半導体: ケイ素（Si）など、単一の原子で構成され、価電子が共有結合を作っている結晶。
- 不純物半導体: 真性半導体に微量の不純物を混ぜて、電気伝導性を高めたもの。
- キャリア（電荷の運び手）: 電流の担い手となる荷電粒子のこと。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- p型、n型それぞれの名称の由来（Positive/Negative）から、キャリアの電荷を連想します。
- 結晶構造の中で電子が余っているか、不足しているかを考え、キャリアを特定します。
思考の道筋とポイント
- 用語の確認: 「キャリア」とは、電気（電荷）を運ぶ粒子のことです。金属では自由電子がこれにあたります。
- 名称からの連想:
- n型半導体の「n」は Negative（負） の頭文字です。負の電荷を持つ粒子といえば「電子」です。
- p型半導体の「p」は Positive（正） の頭文字です。正の電荷を持つ粒子のように振る舞うものといえば「ホール（正孔）」です。
- 構造からの理解:
- ケイ素（Si、14族、価電子4個）に、リン（P、15族、価電子5個）を混ぜると、結合に使われない電子が1個余ります。これがn型のキャリアです。
- ケイ素（Si、14族、価電子4個）に、ホウ素（B、13族、価電子3個）を混ぜると、結合に電子が1個足りない穴ができます。これがp型のキャリアです。
この設問における重要なポイント
- n型半導体: 15族元素（ドナー）を添加。電子が過剰になり、電子がキャリアとなる。
- p型半導体: 13族元素（アクセプター）を添加。電子が不足して穴（ホール）ができ、ホールがキャリアとなる。
- ホールの振る舞い: ホール自体は単なる「電子の欠損」ですが、周囲の電子がそこに移動してくることで、あたかも「正の電荷を持った粒子」が移動しているかのように振る舞います。
具体的な解説と立式
この問題は知識を問うものなので、計算式はありません。それぞれの半導体の定義に基づいて解答します。
p型半導体:
価電子が4個のケイ素（Si）やゲルマニウム（Ge）の結晶に、価電子が3個のインジウム（In）やガリウム（Ga）などの不純物を混ぜると、共有結合において電子が不足する場所が生じます。この電子の抜け穴をホール（正孔）と呼びます。ホールは正の電荷を持っているかのように振る舞い、電流の担い手（キャリア）となります。
n型半導体:
価電子が4個のケイ素（Si）などの結晶に、価電子が5個のヒ素（As）やアンチモン（Sb）などの不純物を混ぜると、共有結合に使われない電子が余ります。この余った電子は自由に動き回ることができるため、電子（自由電子）が電流の担い手（キャリア）となります。
使用した物理公式
- 特になし（物性物理の基礎概念）
計算はありません。
- p型 \(\rightarrow\) Positive（正） \(\rightarrow\) ホール
- n型 \(\rightarrow\) Negative（負） \(\rightarrow\) 電子
名前の頭文字で覚えるのが一番早いです。
- n型は「negative（ネガティブ＝マイナス）」なので、マイナスの電気を持つ「電子」が主役です。
- p型は「positive（ポジティブ＝プラス）」なので、プラスの電気を持つように見える「ホール」が主役です。
ホールの動きは「満席の映画館の空席」に例えられます。
右隣の人が空席に移動すると、空席は左に動いたように見えますよね。実際には「人（電子）」が動いているのですが、全体として見ると「空席（ホール）」が逆方向に動いているように見えます。これがp型半導体の中で起きていることです。
思考の道筋とポイント
- 基準: 半導体の主役は14族（Si）で、価電子は4個です。
- 比較:
- 15族（Pなど）は価電子5個 \(\rightarrow\) 1個多い \(\rightarrow\) 電子があまる \(\rightarrow\) n型
- 13族（Bなど）は価電子3個 \(\rightarrow\) 1個少ない \(\rightarrow\) 穴ができる \(\rightarrow\) p型
この設問における重要なポイント
- 族番号と電子の数: 周期表の位置関係から、電子が余るか不足するかを判断します。
具体的な解説と立式
周期表において、ケイ素（Si）は14族です。
- これより右側の15族元素を混ぜると、電子が増えるので「電子」がキャリア（n型）。
- これより左側の13族元素を混ぜると、電子が減るので「ホール」がキャリア（p型）。
使用した物理公式
- 特になし（周期表の性質）
なし
「右に行くと電子が増える、左に行くと電子が減る」とイメージしましょう。
増えたら電子が主役（n型）、減ったら穴（ホール）が主役（p型）です。
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