「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 19】基本問題476～482

基本問題

476 電熱器の消費電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電力と電力量の計算および単位換算」です。電気製品がどれくらいのエネルギーを消費するかを計算する、実生活にも関連する基礎的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電熱器に加えた電圧 \(V\) と流れた電流 \(I\) が与えられているので、電力 \(P\) を求める公式 \(P=VI\) を直接適用します。有効数字に注意して答えを出します。
この設問における重要なポイント

• 電圧 \(V = 100\,\text{V}\)
• 電流 \(I = 1.5\,\text{A}\)
• 電力 \(P\) の単位はワット（\(\text{W}\)）です。

具体的な解説と立式
電力を \(P\)、電圧を \(V\)、電流を \(I\) とします。
電力の定義式より、
$$ P = VI $$
この式に与えられた数値を代入します。

$$
\begin{aligned}
P &= 100 \times 1.5 \\[2.0ex] &= 150 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^2\,\text{W}
\end{aligned}
$$
有効数字は2桁なので、\(1.5 \times 10^2\,\text{W}\) と表記します。

「電力」とは、電気の「パワー」のことです。電圧（電気を押し出す圧力）が高く、電流（流れる電気の量）が多いほど、パワーは強くなります。ここでは \(100\,\text{V}\) の圧力で \(1.5\,\text{A}\) の流れを作っているので、単純に掛け算をしてパワー（ワット数）を求めました。

答えは \(1.5 \times 10^2\,\text{W}\) です。家庭用の電化製品として妥当な数値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電力量（エネルギーの総量）を求めます。
前半は単位がジュール（\(\text{J}\)）なので、時間はSI単位である「秒（\(\text{s}\)）」に直して計算します。
後半は単位がキロワット時（\(\text{kWh}\)）なので、ジュールで求めた値を換算するか、あるいは別解のように単位の定義に従って計算します。ここでは模範解答通り、換算する方法をとります。
この設問における重要なポイント

• 時間 \(t = 10\,\text{分}\)
• ジュールの定義: \(1\,\text{J} = 1\,\text{W} \times 1\,\text{s}\) （秒単位）
• キロワット時の換算: \(1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \times 3600\,\text{s} = 3.6 \times 10^6\,\text{J}\)

具体的な解説と立式
【電力量（\(\text{J}\)）の計算】
電力量を \(W\)、電力を \(P\)、時間を \(t\)（秒）とします。
時間は \(10\,\text{分}\) なので、秒に換算すると \(10 \times 60\,\text{s}\) です。
電力量の公式は、
$$ W = Pt $$

【電力量（\(\text{kWh}\)）の計算】
求めた \(W\,[\text{J}]\) を \(1\,\text{kWh} = 3.6 \times 10^6\,\text{J}\) で割って単位を変換します。
$$ \text{電力量}[\text{kWh}] = \frac{W\,[\text{J}]}{3.6 \times 10^6} $$

1. 電力量（\(\text{J}\)）の計算
(1)より \(P = 1.5 \times 10^2\,\text{W}\) です。
$$
\begin{aligned}
W &= (1.5 \times 10^2) \times (10 \times 60) \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^2 \times 600 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^2 \times 6.0 \times 10^2 \\[2.0ex] &= (1.5 \times 6.0) \times 10^{2+2} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^4\,\text{J}
\end{aligned}
$$

2. 電力量（\(\text{kWh}\)）の計算
$$
\begin{aligned}
\text{電力量}[\text{kWh}] &= \frac{9.0 \times 10^4}{3.6 \times 10^6} \\[2.0ex] &= \frac{9.0}{3.6} \times 10^{4-6} \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^{-2}\,\text{kWh}
\end{aligned}
$$

まず、「ジュール（\(\text{J}\)）」でエネルギーを計算します。ジュールは「1秒間」を基準にするので、10分間を600秒に直してから、パワー（電力）と掛け算しました。
次に、「キロワット時（\(\text{kWh}\)）」に直します。これは電気料金の請求書などで見る単位です。\(1\,\text{kWh}\) は \(3600000\,\text{J}\) というとても大きなエネルギーの塊なので、先ほど計算したジュールの値をこの数で割って、何個分に相当するかを求めました。

電力量は \(9.0 \times 10^4\,\text{J}\)、および \(2.5 \times 10^{-2}\,\text{kWh}\) です。
\(100\,\text{W}\) 程度の電球を短時間つけただけなので、\(\text{kWh}\)（通常数時間〜数日単位で使う量）としては小さな値になるのは妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電力と電力量の定義と関係
  • 核心: 「電力（\(P\)）」は瞬間のパワー（仕事率）であり、「電力量（\(W\)）」はそのパワーを一定時間出し続けたときの総エネルギー（仕事）であるという関係性を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 電力 \(P=VI\): 電圧（押し出す力）と電流（流れる量）の積で決まります。単位はワット（\(\text{W}\)）またはジュール毎秒（\(\text{J/s}\)）です。
    • 電力量 \(W=Pt\): 電力に時間を掛けたものです。グラフで言えば、縦軸に電力、横軸に時間をとったときの「面積」が電力量に相当します。
• 単位系の一貫性（SI単位系と実用単位系）
  • 核心: 物理計算では、式の両辺で単位が揃っている必要があります。特に時間 \(t\) の単位を「秒（\(\text{s}\)）」にするか「時間（\(\text{h}\)）」にするかで、得られるエネルギーの単位が「ジュール（\(\text{J}\)）」になるか「キロワット時（\(\text{kWh}\)）」になるかが変わります。
  • 理解のポイント:
    • 物理の基本: \(1\,\text{J} = 1\,\text{W} \times 1\,\text{s}\) （秒を使う）
    • 生活の実用: \(1\,\text{kWh} = 1\,\text{kW} \times 1\,\text{h}\) （時間を使う）

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジュールの法則（発熱量）: 電熱線から発生する熱量 \(Q\) を求める問題も、本質は電力量 \(W\) と同じです。\(Q = Pt = VIt = I^2Rt\) などの式変形が頻出です。
  • 電気料金の計算: 「\(1\,\text{kWh}\) あたり27円」といった条件で、使用した電気代を計算させる問題。これはまさに(2)の \(\text{kWh}\) 計算の実践編です。
  • バッテリーの容量: 「\(mAh\)（ミリアンペア時）」や「\(Wh\)（ワット時）」といった単位が出てくる問題。これらもすべて「電流×時間」や「電力×時間」という積の形をしており、考え方は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 単位に注目する: 求められている答えの単位が \(\text{J}\) なのか \(\text{kWh}\) なのか、あるいは \(\text{cal}\)（カロリー）なのかを最初に見極めます。
  2. 時間の単位を合わせる: \(\text{J}\) なら秒に、\(\text{kWh}\) なら時間に、最初に時間を変換しておくとミスが減ります。
  3. オームの法則との連携: 電圧 \(V\) や電流 \(I\) が直接与えられず、抵抗 \(R\) が与えられている場合は、オームの法則 \(V=RI\) を使って \(P=I^2R\) や \(P=V^2/R\) に変形してから計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 時間の単位変換忘れ:
  • 誤解: 公式 \(W=Pt\) の \(t\) に、問題文にある「10分」をそのまま「10」として代入してしまう。
  • 対策: 物理公式（SI単位系）の標準は「秒（\(\text{s}\)）」です。「分」や「時間」を見たら、反射的に「秒」に直す習慣をつけましょう（ただし \(\text{kWh}\) を求める場合を除く）。
• \(\text{kW}\) と \(\text{W}\) の混同:
  • 誤解: \(\text{kWh}\) を計算する際、電力を \(\text{W}\) のまま計算してしまい、桁が3つずれる。
  • 対策: 接頭辞「k（キロ）」は \(1000\)（\(10^3\)）を意味します。\(150\,\text{W} = 0.15\,\text{kW}\) のように、計算前に単位を変換してメモしておくと安全です。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 計算途中で数値を丸めてしまい、最終的な答えに誤差が出る。あるいは、答えの桁数を問題文の精度（有効数字）と合わせない。
  • 対策: 途中計算は桁数を多めにとり、最後に四捨五入します。この問題では \(1.5\)（2桁）や \(100\)（3桁とみなせるが通常は2桁に合わせる）なので、答えも2桁にします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(P=VI\) の選択理由:
  • 選定理由: 問題文で与えられている情報が「電圧 \(V\)」と「電流 \(I\)」であり、求めたいのが「電力 \(P\)」だからです。これら3つを直接結びつける定義式がこれしかありません。
  • 適用根拠: 抵抗 \(R\) が不明なので、\(P=I^2R\) などは使えません（もちろん \(R=V/I\) で求めてから使うことは可能ですが、遠回りです）。
• \(W=Pt\) の選択理由:
  • 選定理由: (1)ですでに「電力 \(P\)」を求めており、さらに「時間 \(t\)」が与えられているため、これらを掛け合わせるだけで「総量（電力量）」が出せるからです。
  • 適用根拠: 電流や電圧が時間とともに変化しない（一定である）ため、単純な掛け算（長方形の面積計算）として処理できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数表記（\(10^n\)）を活用する:
  • \(3600000\) のようなゼロが多い数字は、書き写し間違いの元です。\(3.6 \times 10^6\) のように指数を使って管理しましょう。割り算の際も \(10^4 / 10^6 = 10^{-2}\) のように指数法則を使えば、桁のミスを劇的に減らせます。
• 単位を書いて計算する:
  • 式の中に数値だけでなく単位も書き込みます。
  • 例: \(150\,\text{W} \times 600\,\text{s} = 90000\,\text{J}\)
  • これにより、「\(\text{W} \times \text{s} = \text{J}\)」という次元の確認ができ、もし時間を「分」のまま計算していたら単位がおかしくなることに気づけます。
• 別解で検算する:
  • (2)のように、\(\text{J}\) から換算する方法と、直接 \(\text{kW} \times \text{h}\) で計算する方法の2通りで解いてみて、結果が一致するか確認します。アプローチが異なる方法で同じ答えになれば、その答えはほぼ確実に正解です。

477 抵抗率と抵抗値

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「抵抗率と抵抗値の関係、および並列回路の計算」です。物体の形状（長さや太さ）が電気の流れにくさにどう影響するかを理解し、それを回路計算に応用する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問

思考の道筋とポイント
まず、抵抗PとQの抵抗値の関係を数式化します。「同じ材質」ということは抵抗率 \(\rho\) が等しいことを意味します。これと長さ・断面積の比率を使って、\(R_P\) が \(R_Q\) の何倍かを特定します。
次に、回路図を見てPとQが並列接続であることを確認し、合成抵抗の公式を使って全体の抵抗を \(R_Q\) の式で表します。
最後に、電源電圧と全電流の値を使ってオームの法則を立て、方程式を解きます。
この設問における重要なポイント

• 抵抗 \(R\) は長さに比例し、断面積に反比例する（\(R \propto \frac{L}{S}\)）。
• PはQの3倍の長さ、1/4倍の断面積である。
• 並列回路の合成抵抗 \(R\) は \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_P} + \frac{1}{R_Q}\) で求められる。
• 回路全体の電圧 \(V=1.2\,\text{V}\)、全電流 \(I=0.20\,\text{A}\)。

具体的な解説と立式
1. 抵抗値の比率を求める
抵抗Qの抵抗値を \(R_Q\)、長さを \(L\)、断面積を \(S\)、抵抗率を \(\rho\) とします。
抵抗の公式より、
$$ R_Q = \rho \frac{L}{S} $$
抵抗Pの抵抗値を \(R_P\) とします。問題文より、Pの長さは \(3L\)、断面積は \(S/4\) です。
$$ R_P = \rho \frac{3L}{S/4} = \rho \frac{3L \times 4}{S} = 12 \rho \frac{L}{S} $$
よって、\(R_P\) と \(R_Q\) の関係は以下のようになります。
$$ R_P = 12 R_Q \quad \cdots ① $$

2. 合成抵抗を求める
PとQは並列に接続されています。回路全体の合成抵抗を \(R\) とすると、
$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_P} + \frac{1}{R_Q} $$
これに式①を代入します。
$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{12R_Q} + \frac{1}{R_Q} $$

3. オームの法則を適用する
回路全体にかかる電圧は \(V=1.2\,\text{V}\)、流れる全電流は \(I=0.20\,\text{A}\) です。
オームの法則 \(V = RI\) より、
$$ 1.2 = R \times 0.20 $$
この式から合成抵抗 \(R\) の値が求まるので、それを先ほどの合成抵抗の式と結びつけて \(R_Q\) を求めます。

まず、合成抵抗の式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R} &= \frac{1}{12R_Q} + \frac{12}{12R_Q} \\[2.0ex] &= \frac{13}{12R_Q}
\end{aligned}
$$
よって、合成抵抗 \(R\) は、
$$ R = \frac{12}{13} R_Q $$
次に、オームの法則の式 \(1.2 = R \times 0.20\) にこれを代入します。
$$
\begin{aligned}
1.2 &= \frac{12}{13} R_Q \times 0.20 \\[2.0ex] 1.2 &= \frac{2.4}{13} R_Q
\end{aligned}
$$
この方程式を \(R_Q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R_Q &= 1.2 \times \frac{13}{2.4} \\[2.0ex] &= \frac{1.2}{2.4} \times 13 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 13 \\[2.0ex] &= 6.5\,\Omega
\end{aligned}
$$
最後に、式①を用いて \(R_P\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
R_P &= 12 \times 6.5 \\[2.0ex] &= 12 \times \frac{13}{2} \\[2.0ex] &= 6 \times 13 \\[2.0ex] &= 78\,\Omega
\end{aligned}
$$

まず、抵抗PとQの形を比べました。PはQより3倍長く、太さ（面積）は1/4しかありません。長いほど通りにくく、細いほど通りにくいので、PはQよりも \(3 \times 4 = 12\) 倍も電気が通りにくい（抵抗値が大きい）ことがわかります。
次に、この2つを並列につないだときの「全体の通りにくさ（合成抵抗）」を計算し、回路全体の電圧と電流のデータと照らし合わせることで、基準としたQの抵抗値を割り出しました。

Pの抵抗値は \(78\,\Omega\)、Qの抵抗値は \(6.5\,\Omega\) です。
\(R_P = 12 R_Q\) の関係が満たされており（\(6.5 \times 12 = 78\)）、合成抵抗 \(R = \frac{12}{13} \times 6.5 = 6.0\,\Omega\) となり、\(V=RI\) （\(1.2 = 6.0 \times 0.20\)）も成立しています。物理的に矛盾はありません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 抵抗の形状依存性（抵抗率の公式）
  • 核心: 導体の抵抗 \(R\) は、その材質（抵抗率 \(\rho\)）だけでなく、形状（長さ \(L\) と断面積 \(S\)）によって決まるという法則 \(R = \rho \frac{L}{S}\) を理解し、使いこなすことです。
  • 理解のポイント:
    • 長さ \(L\) に比例: 導体が長いほど、電子が原子核と衝突する回数が増えるため、通りにくく（抵抗が大きく）なります。
    • 断面積 \(S\) に反比例: 導体が太い（断面積が大きい）ほど、電子が通れる「道幅」が広くなるため、通りやすく（抵抗が小さく）なります。
• 並列回路の特性と合成抵抗
  • 核心: 並列接続された抵抗器群において、電圧は共通であり、電流は抵抗値に応じて分配されるという性質を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 電圧の等価性: 並列部分の両端の電位差は、どの経路を通っても同じです。
    • 合成抵抗の公式: \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) という逆数の和の関係は、電流の通りやすさ（コンダクタンス）が足し合わされることを意味しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 金属線の引き伸ばし: 「金属線を体積を変えずに2倍の長さに伸ばした」という問題。長さが2倍になると、体積一定（\(V=SL\)）なので断面積は1/2倍になります。結果として抵抗は \(2 \div (1/2) = 4\) 倍になります。この「断面積の変化」を見落とさないことが鍵です。
  • 抵抗率の温度変化: \(R = R_0(1 + \alpha t)\) のような式で、温度によって抵抗が変わる問題。これも基本となる \(R\) の値を決定する要素の一つです。
  • 複雑な回路網: 対称性のある回路やブリッジ回路などでも、まずは「直列か並列か」を見抜き、合成抵抗を計算する基礎力が問われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 比率計算の準備: 抵抗値そのものが与えられていなくても、長さや断面積の「比」が与えられていれば、抵抗値の「比」を決定できます。まずは基準となる抵抗（今回は \(R_Q\)）を一つ決め、他をその倍数で表しましょう。
  2. 回路の接続状態の確認: 図を見て、電流の分岐点と合流点を探します。分岐してから合流するまでの経路が並列接続です。
  3. 未知数の設定: 求めたい値を \(x\)（今回は \(R_Q\)）とおき、オームの法則やキルヒホッフの法則を使って方程式を立てるという、代数的なアプローチを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 断面積と半径の混同:
  • 誤解: 「直径（または半径）が \(1/2\) 倍になった」という条件を、「断面積が \(1/2\) 倍」と早とちりしてしまう。
  • 対策: 断面積 \(S\) は円の場合 \(\pi r^2\) なので、半径が \(1/2\) 倍なら断面積は \((1/2)^2 = 1/4\) 倍になります。「半径・直径」なのか「断面積」なのか、問題文を一言一句正確に読み取りましょう。
• 合成抵抗の計算ミス:
  • 誤解: 並列合成抵抗の公式 \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) を計算した後、逆数を取るのを忘れて \(R = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) の値のまま答えにしてしまう。
  • 対策: 計算の最後に必ず「単位」や「値の大きさ」を確認します。並列合成抵抗は、必ず元の個々の抵抗よりも小さくなるはずです。もし大きくなっていたら、逆数をとり忘れています。
• 比例・反比例の取り違え:
  • 誤解: 「断面積が小さいほど抵抗は小さい」と直感的に間違える。
  • 対策: 水道管やトンネルをイメージしましょう。「細い管ほど水は流れにくい（抵抗大）」「狭いトンネルほど渋滞する（抵抗大）」という物理的イメージを持てば、断面積と抵抗が反比例することは明らかです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(R = \rho \frac{L}{S}\) の選択理由:
  • 選定理由: 問題文に「長さ」「断面積」「材質（抵抗率）」というキーワードが出てきたら、これらを結びつける公式はこれしかありません。
  • 適用根拠: 抵抗PとQの抵抗値の具体的な数値は不明ですが、この公式を使うことで、両者の「相対的な関係（比率）」を定量的に導き出すことができます。
• オームの法則 \(V=RI\) の選択理由:
  • 選定理由: 回路全体の「電圧」「電流」「抵抗」の関係を解くための最も基本的なツールです。
  • 適用根拠: 回路全体を一つのブラックボックス（合成抵抗 \(R\)）と見なせば、外部からかけた電圧 \(1.2\,\text{V}\) と流れ込んだ電流 \(0.20\,\text{A}\) は、このブラックボックス全体の特性に従います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • いきなり数値を代入せず、\(R_P = 12R_Q\) のように文字の関係式のまま合成抵抗の計算を進めます。分数の通分などがやりやすくなり、計算ミスが減ります。
• 比率の検算:
  • \(R_P = 78\), \(R_Q = 6.5\) と出たら、\(78 \div 6.5 = 12\) となるか確認します。これが最初の設定（長さ3倍、断面積1/4倍）と一致していれば、比率計算は合っています。
• 別解アプローチでの確認:
  • 余裕があれば、別解のように「電流の比」からも計算してみます。並列回路では「抵抗の逆比に電流が流れる」という直感的なチェックも有効です。\(78\,\Omega\) と \(6.5\,\Omega\) なら、電流は \(1:12\) になるはずです。

478 抵抗の消費電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直列・並列回路における消費電力の比較」です。抵抗のつなぎ方によって、電圧や電流がどう分配され、結果として消費電力（明るさや発熱量）がどう変化するかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図(1)を見ると、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は並列に接続されています。並列回路の最大の特徴は「電圧が等しい」ことです。したがって、どちらの抵抗にも電源電圧と同じ \(2.0\,\text{V}\) がかかります。
電圧 \(V\) と抵抗 \(R\) がわかっているので、電力の公式の中で \(V\) と \(R\) を使うもの、すなわち \(P = \frac{V^2}{R}\) を選ぶのが最適です。
この設問における重要なポイント

• 並列接続なので、\(R_1\) にも \(R_2\) にも \(V = 2.0\,\text{V}\) の電圧がかかる。
• 抵抗値は \(R_1 = 10\,\Omega\)、\(R_2 = 30\,\Omega\)。
• 公式 \(P = \frac{V^2}{R}\) を用いる。

具体的な解説と立式
抵抗 \(R_1\) での消費電力を \(P_1\)、抵抗 \(R_2\) での消費電力を \(P_2\) とします。
電圧 \(V=2.0\,\text{V}\) は共通です。
それぞれの電力は以下の式で表されます。
$$ P_1 = \frac{V^2}{R_1} $$
$$ P_2 = \frac{V^2}{R_2} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
P_1 &= \frac{2.0^2}{10} \\[2.0ex] &= \frac{4.0}{10} \\[2.0ex] &= 0.40\,\text{W}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_2 &= \frac{2.0^2}{30} \\[2.0ex] &= \frac{4.0}{30} \\[2.0ex] &= 0.133\dots \\[2.0ex] &\approx 0.13\,\text{W}
\end{aligned}
$$
次に、比 \(P_1 : P_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
P_1 : P_2 &= 0.40 : \frac{4.0}{30} \\[2.0ex] &= \frac{4.0}{10} : \frac{4.0}{30} \\[2.0ex] &= \frac{1}{10} : \frac{1}{30}
\end{aligned}
$$
両辺に \(30\) を掛けて整数比にします。
$$
\begin{aligned}
P_1 : P_2 &= 3 : 1
\end{aligned}
$$

並列つなぎでは、どちらの抵抗にも同じ電圧がかかります。このとき、抵抗が小さい（通りやすい）方にはたくさんの電流が流れるので、パワー（電力）も大きくなります。
\(R_1\) は \(R_2\) の \(1/3\) の抵抗値しかないので、3倍の電流が流れ、結果として3倍の電力を消費します。

\(P_1 = 0.40\,\text{W}\)、\(P_2 = 0.13\,\text{W}\)、比は \(3:1\) です。
抵抗値が小さい \(R_1\) の方が電力が大きくなっているため、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図(2)を見ると、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は直列に接続されています。直列回路では、電源電圧 \(2.0\,\text{V}\) が抵抗値の比に応じて分配（分圧）されます。
模範解答のアプローチに従い、まず各抵抗にかかる電圧 \(V_1, V_2\) を求め、その後に \(P = \frac{V^2}{R}\) で電力を計算します。
この設問における重要なポイント

• 直列接続なので、電圧は抵抗値の比に分配される（分圧の法則）。
• \(R_1 : R_2 = 10 : 30 = 1 : 3\)。
• 全体の電圧 \(V = 2.0\,\text{V}\)。

具体的な解説と立式
まず、各抵抗にかかる電圧 \(V_1, V_2\) を求めます。
分圧の法則より、
$$ V_1 = V \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} $$
$$ V_2 = V \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} $$
次に、求めた電圧を使って電力を計算します。
$$ P_1 = \frac{V_1^2}{R_1} $$
$$ P_2 = \frac{V_2^2}{R_2} $$

まず電圧を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= 2.0 \times \frac{10}{10 + 30} \\[2.0ex] &= 2.0 \times \frac{10}{40} \\[2.0ex] &= 2.0 \times \frac{1}{4} \\[2.0ex] &= 0.50\,\text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_2 &= 2.0 \times \frac{30}{10 + 30} \\[2.0ex] &= 2.0 \times \frac{3}{4} \\[2.0ex] &= 1.5\,\text{V}
\end{aligned}
$$
次に電力を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_1 &= \frac{0.50^2}{10} \\[2.0ex] &= \frac{0.25}{10} \\[2.0ex] &= 0.025 \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^{-2}\,\text{W}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_2 &= \frac{1.5^2}{30} \\[2.0ex] &= \frac{2.25}{30} \\[2.0ex] &= \frac{0.225}{3} \\[2.0ex] &= 0.075 \\[2.0ex] &= 7.5 \times 10^{-2}\,\text{W}
\end{aligned}
$$
最後に比を求めます。
$$
\begin{aligned}
P_1 : P_2 &= 2.5 \times 10^{-2} : 7.5 \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= 2.5 : 7.5 \\[2.0ex] &= 1 : 3
\end{aligned}
$$

直列つなぎでは、抵抗が大きいほど、電気を流すのにより大きな力（電圧）が必要になります。\(R_2\) は \(R_1\) の3倍の抵抗があるので、3倍の電圧がかかります。
直列では流れる電流は同じなので、電圧が大きい（＝抵抗が大きい）方が、より多くの仕事をすることになり、電力も大きくなります。

\(P_1 = 2.5 \times 10^{-2}\,\text{W}\)、\(P_2 = 7.5 \times 10^{-2}\,\text{W}\)、比は \(1:3\) です。
抵抗値が大きい \(R_2\) の方が電力が大きくなっており、直列回路の特性と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電力公式の使い分け（\(P=VI=I^2R=V^2/R\)）
  • 核心: 3つの公式は数学的には等価ですが、物理的な状況（何が一定か）に応じて使い分けることで、計算の見通しが劇的に変わります。
  • 理解のポイント:
    • 並列回路: 電圧 \(V\) が共通 \(\rightarrow\) \(P = \frac{V^2}{R}\) を使うと、\(P\) は \(R\) に反比例する（抵抗が小さいほど明るい）。
    • 直列回路: 電流 \(I\) が共通 \(\rightarrow\) \(P = I^2R\) を使うと、\(P\) は \(R\) に比例する（抵抗が大きいほど明るい）。
• 回路接続と物理量の分配
  • 核心: 回路のつなぎ方によって、電圧と電流がどのように分配されるかを直感的に理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 並列: 電圧は等しく分配され（\(V_1=V_2=V\)）、電流は抵抗の逆比に分配される。
    • 直列: 電流は等しく分配され（\(I_1=I_2=I\)）、電圧は抵抗の正比に分配される（分圧）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電球の明るさ比較: 「\(100\,\text{W}\) の電球と \(40\,\text{W}\) の電球を直列につないだらどっちが明るい？」という定番問題。定格電力（\(100\,\text{V}\) での電力）から抵抗値を求め、直列時の電力 \(P=I^2R\) を比較します。抵抗が大きい（定格電力が小さい）\(40\,\text{W}\) 球の方が明るくなるという直感に反する結果を導けます。
  • 送電線の電力損失: 送電線（抵抗 \(r\)）での損失を減らすために電圧を上げる問題。送電電力 \(P=VI\) が一定なら、電圧 \(V\) を上げると電流 \(I\) が減り、損失 \(P_{\text{loss}} = I^2r\) が激減するというロジックも、この公式選択の応用です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「何が共通か」を探す: 回路図を見て、抵抗同士が並列なら「電圧共通」、直列なら「電流共通」と即座に判断します。
  2. 比率だけで解けるか確認する: 具体的な数値（\(2.0\,\text{V}\) など）を使わずに、抵抗の比率（\(1:3\)）だけで電力比（\(3:1\) や \(1:3\)）が出せる場合が多いです。検算としても有効です。
  3. 極端な場合を想定する: もし片方の抵抗が \(0\) だったら？無限大だったら？と考えると、電流や電圧の振る舞いが見えやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の丸暗記と誤用:
  • 誤解: 「電力は抵抗に反比例する」と \(P=V^2/R\) だけを覚えていて、直列回路でも「抵抗が小さい方が電力大」と答えてしまう。
  • 対策: 「電圧一定なら反比例、電流一定なら比例」と、条件付きで覚える癖をつけましょう。
• 分圧・分流の計算ミス:
  • 誤解: 直列回路の電圧分配で、抵抗の逆比で分けてしまう（並列の電流分配と混同する）。
  • 対策: 「抵抗が大きい＝通りにくい＝押し通すのにより強い力（電圧）が必要」という物理的イメージを持ちましょう。直列では抵抗が大きいほど電圧を食います。
• 単位の次元:
  • 誤解: 計算結果の単位を間違える。
  • 対策: \(P\) の単位はワット（\(\text{W}\)）またはジュール毎秒（\(\text{J/s}\)）です。\(V^2/R\) の計算なら \((\text{V})^2 / \Omega = \text{W}\) となることを確認します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列で \(P = V^2/R\) を選ぶ理由:
  • 選定理由: 並列回路では、各抵抗にかかる電圧が電源電圧そのもの（既知の値）になるため、未知数である電流を計算する手間が省けるからです。
  • 適用根拠: \(V\) が定数として扱えるため、\(P\) と \(R\) の関数関係（反比例）が直接見えます。
• 直列で \(P = I^2R\) を選ぶ理由（別解）:
  • 選定理由: 直列回路では電流が一本道で共通なため、一度電流さえ求めてしまえば、各抵抗の電圧を個別に計算するステップを省略できるからです。
  • 適用根拠: \(I\) が定数として扱えるため、\(P\) と \(R\) の関数関係（比例）が直接見えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算を活用する:
  • \(P_1 : P_2\) を求める際、\(0.40 : 0.13\) のように小数で計算するのではなく、\(\frac{V^2}{10} : \frac{V^2}{30} = \frac{1}{10} : \frac{1}{30} = 3 : 1\) のように、文字式のまま約分してから数値を代入すると、計算量もミスも減ります。
• 指数の活用:
  • \(0.025\) を \(2.5 \times 10^{-2}\) と書くことで、桁数の間違いを防げます。特に \(P_1 : P_2\) の比較では、指数部（\(10^{-2}\)）が揃っていれば仮数部（\(2.5\) と \(7.5\)）だけの比較で済みます。
• 合計値での検算:
  • (2)で \(P_1 + P_2 = 2.5 \times 10^{-2} + 7.5 \times 10^{-2} = 10.0 \times 10^{-2} = 0.10\,\text{W}\)。
  • 一方、全体で計算すると \(P_{\text{total}} = \frac{V^2}{R_{\text{total}}} = \frac{2.0^2}{40} = \frac{4.0}{40} = 0.10\,\text{W}\)。
  • 一致するので、個別の計算も合っていると確信できます。

479 抵抗の消費電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直並列混在回路における消費電力の計算」です。回路の一部が並列、一部が直列になっている場合、電流や電圧がどのように分配されるかを正しく把握し、適切な電力の公式を選択する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
まず、回路図を見て電流の流れを追います。電源（図には描かれていませんが左側から供給）からの電流 \(5.0\,\text{A}\) は、まず抵抗 \(R_1\) を通り、その後に分岐して \(R_2\) と \(R_3\) に流れます。
1. \(R_1\) の電力: 流れる電流が \(5.0\,\text{A}\) と確定しているので、\(P=I^2R\) で即座に求まります。
2. \(R_2, R_3\) の電力: \(5.0\,\text{A}\) の電流が \(R_2\) と \(R_3\) に分かれます。並列回路では、抵抗値の逆比で電流が分配されます。それぞれの電流 \(I_2, I_3\) を求めてから、\(P=I^2R\) で計算します。
この設問における重要なポイント

• \(R_1\) に流れる電流は \(I_1 = 5.0\,\text{A}\)。
• \(R_2\) と \(R_3\) は並列なので、電流は抵抗の逆比に分配される（\(I_2 : I_3 = \frac{1}{R_2} : \frac{1}{R_3} = R_3 : R_2\)）。
• \(I_2 + I_3 = 5.0\,\text{A}\)。

具体的な解説と立式
1. \(R_1\) の消費電力 \(P_1\)
抵抗 \(R_1 = 10\,\Omega\)、電流 \(I_1 = 5.0\,\text{A}\) なので、
$$ P_1 = I_1^2 R_1 $$

2. \(R_2, R_3\) の電流 \(I_2, I_3\)
抵抗 \(R_2 = 20\,\Omega\)、\(R_3 = 30\,\Omega\) です。
電流の比は抵抗の逆比になるので、
$$ I_2 : I_3 = \frac{1}{20} : \frac{1}{30} = 3 : 2 $$
全電流 \(5.0\,\text{A}\) を \(3:2\) に分けるので、
$$ I_2 = 5.0 \times \frac{3}{3+2} $$
$$ I_3 = 5.0 \times \frac{2}{3+2} $$

3. \(R_2, R_3\) の消費電力 \(P_2, P_3\)
求めた電流を用いて、
$$ P_2 = I_2^2 R_2 $$
$$ P_3 = I_3^2 R_3 $$

\(P_1\) の計算
$$
\begin{aligned}
P_1 &= 5.0^2 \times 10 \\[2.0ex] &= 25 \times 10 \\[2.0ex] &= 250 \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^2\,\text{W}
\end{aligned}
$$

\(I_2, I_3\) の計算
$$
\begin{aligned}
I_2 &= 5.0 \times \frac{3}{5} = 3.0\,\text{A} \\[2.0ex] I_3 &= 5.0 \times \frac{2}{5} = 2.0\,\text{A}
\end{aligned}
$$

\(P_2, P_3\) の計算
$$
\begin{aligned}
P_2 &= 3.0^2 \times 20 \\[2.0ex] &= 9.0 \times 20 \\[2.0ex] &= 180 \\[2.0ex] &= 1.8 \times 10^2\,\text{W}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_3 &= 2.0^2 \times 30 \\[2.0ex] &= 4.0 \times 30 \\[2.0ex] &= 120 \\[2.0ex] &= 1.2 \times 10^2\,\text{W}
\end{aligned}
$$

まず、一番手前の抵抗 \(R_1\) は、全体の電流 \(5.0\,\text{A}\) がそのまま通るので、パワー（電力）は非常に大きくなります。
次に、電流は \(R_2\) と \(R_3\) の二手に分かれます。\(R_2\) の方が抵抗が小さい（通りやすい）ので、こちらに多くの電流（\(3.0\,\text{A}\)）が流れ、\(R_3\) には少なめ（\(2.0\,\text{A}\)）が流れます。それぞれの電流がわかれば、あとは公式に当てはめるだけでそれぞれのパワーが計算できます。

\(P_1 = 2.5 \times 10^2\,\text{W}\)、\(P_2 = 1.8 \times 10^2\,\text{W}\)、\(P_3 = 1.2 \times 10^2\,\text{W}\) です。
抵抗が最も小さく、かつ全電流が流れる \(R_1\) ではなく、抵抗値との兼ね合いで \(P_1\) が最大になっています（\(P \propto I^2R\) なので \(I\) の影響が大きい）。並列部分では抵抗が小さい \(R_2\) の方が電流が多く流れ、電力も大きくなっています（並列では \(P \propto 1/R\)）。これらは物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直並列混在回路の解析手順
  • 核心: 複雑に見える回路も、「直列部分」と「並列部分」に分解して考えることで、単純な基本回路の組み合わせとして処理できるという視点を持つことです。
  • 理解のポイント:
    • 電流の追跡: 電流は水流のようなものです。一本道（直列）では減らずにそのまま流れ、分岐点（並列）では抵抗の大きさに応じて分かれます。
    • 電圧の分配: 電圧は落差のようなものです。直列では抵抗に応じて段々畑のように電圧が下がり、並列では同じ高さ（電位差）が保たれます。
• 電力公式の適切な選択
  • 核心: \(P=VI\), \(P=I^2R\), \(P=V^2/R\) の3つの公式の中から、計算の手間が最も少なく、かつミスが起きにくいものを選ぶ判断力です。
  • 理解のポイント:
    • 電流 \(I\) が既知・共通なら: \(P=I^2R\) （直列回路や、全電流がわかっている箇所）
    • 電圧 \(V\) が既知・共通なら: \(P=V^2/R\) （並列回路や、電圧降下がわかっている箇所）

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路の平衡条件: 抵抗がたすき掛けに等しいとき、真ん中の検流計に電流が流れないという問題。これも「電位が等しい」という並列回路の概念の応用です。
  • 可変抵抗を含む回路: スライド抵抗器を動かして抵抗値を変えたとき、電球の明るさがどう変わるかという問題。全体の合成抵抗の変化 \(\rightarrow\) 全電流の変化 \(\rightarrow\) 各部の電圧・電流の変化、という順序で論理的に追う必要があります。
  • 家庭用配線: コンセントはすべて並列接続です。ドライヤーと電子レンジを同時に使うとブレーカーが落ちるのは、並列接続が増えるほど合成抵抗が下がり、全電流が増えるからです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路図を指でなぞる: 電源から出発して、電流の流れるルートを指でなぞります。「ここで分かれて、ここで合流する」という構造を身体的に把握します。
  2. わかっている値を書き込む: 問題文の数値（\(5.0\,\text{A}\) や \(10\,\Omega\)）を図に直接書き込みます。視覚化することで、オームの法則が使える箇所（\(R\) と \(I\) が揃っている場所など）が見えてきます。
  3. 部分から全体へ、全体から部分へ: \(R_1\) のように情報が揃っている部分から攻めるか、合成抵抗を求めて全体像から攻めるか、柔軟に行き来します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 分流の比率ミス:
  • 誤解: 抵抗が \(20\,\Omega\) と \(30\,\Omega\) のとき、電流も \(2:3\) に分けてしまう。
  • 対策: 「抵抗が大きいほど電流は流れにくい」という基本に立ち返ります。抵抗比が \(2:3\) なら、電流比は逆の \(3:2\) です。必ず「逆比」であることを確認しましょう。
• 合成抵抗の計算ミス:
  • 誤解: 並列合成抵抗を \(R = R_1 + R_2\) と足してしまう、あるいは \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) の逆数を取り忘れる。
  • 対策: 「和分の積」（\(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\)）の公式を使うと、逆数の取り忘れを防げます。また、計算結果が「元の抵抗の中で一番小さいものよりさらに小さくなっているか」を確認します（\(12\,\Omega\) は \(20\,\Omega\) より小さいのでOK）。
• 有効数字の不統一:
  • 誤解: 途中の計算で \(1.8 \times 10^2\) を \(180\) と書き、最後にそのまま答えにしてしまう（有効数字の指示を見落とす）。
  • 対策: 問題文の数値が \(5.0\)（2桁）、\(10\)（2桁）なので、答えも \(2.5 \times 10^2\) のように2桁の科学的表記にするのが無難です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(R_1\) で \(P=I^2R\) を選ぶ理由:
  • 選定理由: \(R_1\) には回路全体の電流 \(5.0\,\text{A}\) がそのまま流れることが自明だからです。電圧を求める必要がありません。
  • 適用根拠: 未知数（電圧）を介さず、既知数（電流と抵抗）だけで直接計算できる最短ルートです。
• 並列部で \(P=V^2/R\) を選ぶ理由（別解）:
  • 選定理由: 並列部分は電圧が共通なので、一度電圧 \(V_{23}\) を求めてしまえば、\(R_2\) と \(R_3\) の両方の電力を同じ \(V\) を使って計算できるからです。
  • 適用根拠: 電流を個別に分流計算する手間（比の計算）と、合成抵抗から電圧を出す手間を天秤にかけ、後者が楽だと判断した場合に有効です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 検算の習慣化:
  • \(I_2 + I_3 = 3.0 + 2.0 = 5.0\,\text{A}\) となり、全電流と一致するか確認します。
  • \(P_2 + P_3\)（並列部の合計電力）を計算し、\(P_{23} = I_{\text{total}}^2 R_{23} = 5.0^2 \times 12 = 300\,\text{W}\) と一致するか確認します（\(180+120=300\) でOK）。
• 単位を意識する:
  • \(P\) の計算結果が異常に大きくないか（家庭用なら数百W〜数kWが普通）、抵抗値が負になっていないかなど、物理的な感覚で数値をチェックします。

480 抵抗の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「対称性を持つ複雑な回路（立体格子）の解析」です。一見すると複雑な立体回路ですが、対称性を利用することで驚くほどシンプルに解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電流がA点から入り、立方体の各辺を通ってG点から出ていきます。このとき、立方体の形状と抵抗の配置が対称的であることに着目します。A点から見て、隣り合う3つの点（B, D, E）は幾何学的にも電気的にも全く対等な関係にあります。同様に、分岐後の点や合流前の点についても対称性を利用して電流値を決定します。
この設問における重要なポイント

• 入力端子Aから見て、接続されている3本の抵抗（AB, AD, AE）は対等であるため、電流は3等分される。
• 中間の分岐点（B, D, E）において、さらに接続されている2本の抵抗（例：DからはCとHへ）も対等であるため、電流はさらに2等分される。
• 出力端子Gへ向かう3本の抵抗（CG, FG, HG）も対等であり、対称性から同じ大きさの電流が流れる。

具体的な解説と立式
まず、A点での電流の分岐を考えます。
全電流 \(I\) がA点に流れ込み、3方向（AB, AD, AE）に分かれます。回路の対称性より、これら3つの経路に流れる電流の大きさはすべて等しくなります。
したがって、AD間を流れる電流 \(I_{AD}\) は、
$$
\begin{aligned}
I_{AD} &= \frac{1}{3}I
\end{aligned}
$$
次に、D点での電流の分岐を考えます。
AD間を通ってきた電流 \(I_{AD}\) は、D点でさらに2方向（DC, DH）に分かれます。G点（ゴール）に対する位置関係を考えると、C点へ行く経路とH点へ行く経路は対称的であり、対等です。
したがって、電流は2等分されるので、DH間を流れる電流 \(I_{DH}\) は、
$$
\begin{aligned}
I_{DH} &= \frac{1}{2} I_{AD}
\end{aligned}
$$
最後に、G点への合流を考えます。
G点には、3方向（CG, FG, HG）から電流が流れ込み、合流して \(I\) となって出ていきます。G点から見た回路の対称性（逆流させて考えるとわかりやすい）により、これら3つの経路を流れる電流の大きさは等しくなります。
したがって、HG間を流れる電流 \(I_{HG}\) は、
$$
\begin{aligned}
I_{HG} &= \frac{1}{3}I
\end{aligned}
$$

それぞれの電流値を計算します。
AD間の電流：
$$
\begin{aligned}
I_{AD} &= \frac{I}{3} \quad \text{[A]}
\end{aligned}
$$
DH間の電流：
$$
\begin{aligned}
I_{DH} &= \frac{1}{2} \times \frac{I}{3} \\[2.0ex] &= \frac{I}{6} \quad \text{[A]}
\end{aligned}
$$
HG間の電流：
$$
\begin{aligned}
I_{HG} &= \frac{I}{3} \quad \text{[A]}
\end{aligned}
$$

水流に例えるとわかりやすいでしょう。A地点から大量の水（電流 \(I\)）が流れ込みます。目の前には同じ太さのパイプが3本あるので、水はきれいに3等分されて流れていきます。これがAD間の電流です。
次に、その3等分された水流の一つがD地点に到達すると、今度は2本のパイプに分かれています。ここでも条件は同じなので、水はさらに半分こ（元の \(1/6\)）になります。これがDH間の電流です。
最後に、ゴールであるG地点の手前を見てみましょう。3本のパイプから水が集まってきて、最終的に元の水量に戻って出ていきます。3本のパイプはどれも同じ条件なので、集まってくる直前の水量はどれも全体の \(1/3\) ずつだったはずです。これがHG間の電流です。

AD間は \(I/3\)、DH間は \(I/6\)、HG間は \(I/3\) となりました。
合計を確認してみると、A点では \(I/3 \times 3 = I\) で保存されており、D点では \(I/3\) が入って \(I/6 \times 2 = I/3\) が出るので保存されています。G点でも \(I/3 \times 3 = I\) となり、矛盾はありません。

問(2)

思考の道筋とポイント
A点からG点までの全体の電圧（電位差） \(V_{AG}\) を求めます。電位差はどの経路を通っても同じになるので、計算しやすい経路を一つ選びます。ここでは、(1)で電流を求めた経路 A \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) H \(\rightarrow\) G を採用します。各区間の抵抗値はすべて \(r\) なので、オームの法則 \(V=rI\) を使って各区間の電圧降下を計算し、それらを足し合わせます。
この設問における重要なポイント

• 電位差は経路によらず一定であるため、代表的な経路を一つ選んで計算すればよい。
• 各区間の電圧降下は、その区間の抵抗値と流れる電流の積である。
• 全体の電圧 \(V_{AG}\) は、各区間の電圧降下の和となる。

具体的な解説と立式
経路 A \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) H \(\rightarrow\) G における電圧降下の和を立式します。
各区間の抵抗値はいずれも \(r\) です。
AD間の電圧降下 \(V_{AD}\) は、電流が \(I_{AD} = I/3\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{AD} &= r \times \frac{I}{3}
\end{aligned}
$$
DH間の電圧降下 \(V_{DH}\) は、電流が \(I_{DH} = I/6\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{DH} &= r \times \frac{I}{6}
\end{aligned}
$$
HG間の電圧降下 \(V_{HG}\) は、電流が \(I_{HG} = I/3\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{HG} &= r \times \frac{I}{3}
\end{aligned}
$$
AG間の全電圧 \(V_{AG}\) はこれらの和となります。
$$
\begin{aligned}
V_{AG} &= V_{AD} + V_{DH} + V_{HG}
\end{aligned}
$$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{AG} &= \frac{rI}{3} + \frac{rI}{6} + \frac{rI}{3} \\[2.0ex] &= \frac{2rI}{6} + \frac{rI}{6} + \frac{2rI}{6} \\[2.0ex] &= \frac{(2+1+2)rI}{6} \\[2.0ex] &= \frac{5rI}{6}
\end{aligned}
$$

AからGまで移動するときに、電気的な高さ（電位）がどれだけ下がるかを計算します。階段を降りるイメージです。
最初の階段（AD）で \(rI/3\) だけ下がります。
次の階段（DH）で \(rI/6\) だけ下がります。
最後の階段（HG）で \(rI/3\) だけ下がります。
これらを全部足すと、トータルでどれだけ下がったか（電圧）がわかります。

答えは \(\displaystyle\frac{5rI}{6}\) となりました。
係数の \(5/6\) は \(1\) より小さい値です。もし抵抗が1本だけなら \(rI\) ですが、並列に道がたくさんあるため、全体の抵抗効果が薄まり、電圧降下も小さくなっていることが定性的にも理解できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
AG間の合成抵抗 \(R\) を求めます。合成抵抗とは、回路全体を一つの抵抗とみなしたときの抵抗値のことです。すでに回路全体に流れる電流が \(I\)、回路全体にかかる電圧が \(V_{AG}\) であることがわかっているので、オームの法則を回路全体に適用して \(R\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 合成抵抗 \(R\) は、全電圧 \(V_{AG}\) と全電流 \(I\) の比で定義される。
• \(V_{AG} = RI\) の関係式を用いる。

具体的な解説と立式
回路全体を一つの抵抗 \(R\) とみなすと、オームの法則より以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V_{AG} &= R I
\end{aligned}
$$
これに(2)で求めた \(V_{AG}\) の値を代入して、\(R\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
\frac{5rI}{6} &= R I
\end{aligned}
$$
両辺を \(I\) で割ります（\(I \neq 0\)）。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{5r}{6}
\end{aligned}
$$

「合成抵抗」とは、「この複雑なジャングルジムのような回路を、たった1本の抵抗で置き換えるとしたら、何オームの抵抗を使えば同じ電流が流れるか？」という値です。
(2)で、電流 \(I\) を流すのに必要な電圧が \(5rI/6\) だとわかりました。
オームの法則 \(V=RI\) と見比べると、\(I\) の係数になっている部分、つまり \(5r/6\) が、この回路全体の抵抗値（合成抵抗）に相当することがわかります。

合成抵抗は \(\displaystyle\frac{5r}{6}\) です。
この値は \(r\) よりも小さくなっています。並列回路が増えると電流が流れやすくなり、合成抵抗は減少するという性質と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回路の対称性の利用
  • 核心: この問題の最大のポイントは、複雑な立体回路をまともに解析するのではなく、「対称性」を利用して問題を劇的に単純化することです。立方体のような対称的な形状では、入力点（A）と出力点（G）を結ぶ対角線を軸として、回転対称性や鏡像対称性が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 等価な点の発見: 入力点Aから見て「電気的に区別がつかない点」（B, D, E）は、すべて同じ電位になります。同様に、出力点Gから見て等価な点（C, F, H）も同じ電位になります。
    • 電流の均等分配: 等価な点へ向かう同じ抵抗値の経路には、必ず同じ大きさの電流が流れます。これにより、未知の電流値を \(I_1, I_2, \dots\) と置く必要がなくなり、\(I/3\) や \(I/6\) のように全電流 \(I\) だけで表現できるようになります。
• 等電位点の接続と等価回路への変形
  • 核心: 「電位が等しい点は、導線でつないでも（短絡しても）回路の状態は変わらない」という強力な原理です。
  • 理解のポイント:
    • 回路の平面化: 立体的な回路図は扱いづらいですが、等電位点同士（B-D-E や C-F-H）を一つの点にまとめてしまうことで、単純な「並列抵抗の直列接続」という平面的な回路図に書き換えることができます。
    • 計算の簡略化: この変形ができれば、キルヒホッフの法則を使って連立方程式を解く必要がなくなり、中学生レベルの合成抵抗の公式（直列・並列）だけで答えを導き出せます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正多面体回路: 正四面体や正八面体の各辺に抵抗がある回路でも、同様に対称性を利用できます。「入力点から隣り合う点は等電位」という原則は共通です。
  • はしご型回路・無限回路: 対称性とは少し異なりますが、「同じパターンの繰り返し」を見抜いて等価回路に変形する考え方は共通しています。
  • ブリッジ回路の平衡条件: ホイートストンブリッジにおいて、検流計に電流が流れない条件は「検流計の両端が等電位であること」です。これも等電位点の概念の応用です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称軸を探す: 入力端子と出力端子を結ぶ線に対して、回路図を折り返したり回転させたりして重なる部分がないか探します。
  2. 等電位点にマーキングする: 対称性から「ここは同じ電位になるはずだ」という点に同じ記号（例: \(P_1, P_1, \dots\)）を書き込みます。
  3. 電流の流れを水流としてイメージする: 入口から出口に向かって、水がどのように分かれ、どこで合流するかをイメージします。「同じ太さのパイプなら同じ量だけ流れる」という直感は、電流の分配則そのものです。
  4. 経路法と等価回路法の使い分け:
     • 「各部の電流や電圧」を問われたら \(\rightarrow\) 経路法（模範解答のアプローチ） が適しています。
     • 「合成抵抗」だけを問われたら \(\rightarrow\) 等価回路法（別解のアプローチ） が圧倒的に速いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流分配の誤解:
  • 誤解: 「分岐点に来たら必ず半分になる」と思い込んでしまう。
  • 対策: 電流が等分されるのは、「分岐した先の抵抗値やその後の回路構成が全く同じ場合」に限られます。この問題では対称性があるため等分されますが、一般の回路では抵抗の逆比に応じて分配されることに注意しましょう。
• 等電位点の接続ミス:
  • 誤解: 対称性のない点同士を「なんとなく近そうだから」という理由で等電位とみなして接続してしまう。
  • 対策: 等電位であると言える根拠は「入力端子からの電気的な距離（抵抗の数や配置）が等しく、かつ出力端子までの電気的な距離も等しいこと」です。この2つの条件を必ず確認してください。
• 合成抵抗の計算ミス（逆数の足し忘れ）:
  • 誤解: 並列抵抗の合成抵抗を計算する際、\(\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots\) の計算結果をそのまま \(R\) としてしまう。
  • 対策: 計算の最後に必ず「逆数を取る」操作を忘れないようにしましょう。また、単位（\(\Omega\)）を確認することで、値が極端に小さくなっていないか（逆数のままになっていないか）チェックできます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)でのアプローチ選択（対称性とキルヒホッフの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「各枝の電流」です。回路網の電流分布を決定する基本法則はキルヒホッフの法則ですが、未知数が多すぎてそのままでは解けません。そこで「対称性」という強力な拘束条件を導入し、未知数を減らしてから法則を適用します。
  • 適用根拠: 立方体の幾何学的な対称性と、すべての抵抗値が \(r\) で等しいという物理的な対称性が、電流の均等分配を保証します。
• 問(2)での公式選択（電圧の加法性）:
  • 選定理由: 求めたいのは「2点間の電位差（電圧）」です。電位差とは、ある経路に沿った「電位の降下量の総和」です。
  • 適用根拠: 電位は保存場（高さのようなもの）なので、どの経路を通っても電位差は同じになります。したがって、計算が最も単純になる経路（A\(\rightarrow\)D\(\rightarrow\)H\(\rightarrow\)G）を選び、各区間の電圧降下 \(V=rI\) を足し合わせる手法が最適です。
• 問(3)での公式選択（オームの法則の全体適用）:
  • 選定理由: 求めたいのは「合成抵抗 \(R\)」です。すでに全電圧 \(V\) と全電流 \(I\) の関係がわかっている場合、合成抵抗の定義そのものである \(R = V/I\)（オームの法則）を使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 回路全体をブラックボックスとして見たとき、外部から観測できるのは端子電圧 \(V\) と流入電流 \(I\) だけです。この2つの比が、内部の複雑な構造を代表する「合成抵抗」となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算を丁寧に行う:
  • この問題では \(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\) といった分数が頻出します。通分や約分のミスを防ぐため、途中式を省略せずに書き残しましょう。特に \(\frac{rI}{3} + \frac{rI}{6} + \frac{rI}{3}\) のような計算では、分母を \(6\) に揃えて \(\frac{2+1+2}{6}rI\) と丁寧にステップを踏むことが重要です。
• 検算としての「極限」や「特殊ケース」の想定:
  • もし抵抗が1本だけの単純な直列なら \(3r\) になるはずですが、並列部分があるため合成抵抗は必ず \(3r\) より小さくなります。さらに言えば、最短経路の抵抗 \(3r\) よりも、並列効果で大幅に小さくなるはずです。答えの \(\frac{5}{6}r\) は \(r\) よりも小さい値であり、並列接続による抵抗低減効果が効いていることが確認できます。
• 単位の確認:
  • 電流の答えには \([\text{A}]\)、電圧には \([\text{V}]\)、抵抗には \([\Omega]\) を必ず付けましょう。文字式計算では、例えば電圧の式なのに \(r\) が消えて \(I\) だけになっている（単位が合わない）といったミスを早期発見できます。

481 電流計と電圧計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流計・電圧計の原理と測定範囲の拡大」です。
電流計や電圧計は、内部に抵抗を持つ精密機器です。これらに抵抗を接続することで、測定できる電流や電圧の範囲（レンジ）を変更できることを理解し、その設計方法をマスターします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電流計の最大測定電流（フルスケール）は \(10\,\text{mA}\) ですが、これを使って \(1\,\text{A}\) （\(=1000\,\text{mA}\)）まで測りたいと考えています。
電流計に \(1\,\text{A}\) を直接流すと壊れてしまうため、電流計と並列に抵抗（分流器）を接続し、電流計には \(10\,\text{mA}\) だけが流れ、残りの \(990\,\text{mA}\) は分流器の方へ流れるようにします。
この設問における重要なポイント

• 電流計と分流器を並列に接続する。
• 並列回路なので、電流計にかかる電圧と分流器にかかる電圧は等しい。
• キルヒホッフの第1法則より、分流器に流れる電流は \((\text{全電流}) – (\text{電流計の電流})\) となる。

具体的な解説と立式
求める抵抗値を \(R\) とします。
電流計の内部抵抗を \(r_A = 5.0 \times 10^{-2}\,\Omega\)、最大電流を \(I_0 = 10\,\text{mA} = 0.010\,\text{A}\) とします。
測定したい最大電流は \(I = 1\,\text{A}\) です。

電流計と抵抗 \(R\) を並列に接続します。
回路全体に \(I = 1\,\text{A}\) が流れてきたとき、電流計には限界の \(I_0 = 0.010\,\text{A}\) が流れ、抵抗 \(R\) には残りの電流 \(I_R\) が流れます。
キルヒホッフの第1法則（電流の分岐）より、
$$
\begin{aligned}
I_R &= I – I_0 \\[2.0ex] &= 1 – 0.010 \\[2.0ex] &= 0.990\,\text{A}
\end{aligned}
$$
並列接続では電圧降下が等しくなるので、
\((\text{電流計の電圧降下}) = (\text{抵抗} R \text{の電圧降下})\)
という式を立てます。
$$
\begin{aligned}
r_A I_0 &= R I_R \\[2.0ex] (5.0 \times 10^{-2}) \times 0.010 &= R \times 0.990
\end{aligned}
$$

立てた式を \(R\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{(5.0 \times 10^{-2}) \times 0.010}{0.990} \\[2.0ex] &= \frac{5.0 \times 10^{-2} \times 10 \times 10^{-3}}{990 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{5.0 \times 10^{-2} \times 10}{990} \\[2.0ex] &= \frac{5.0 \times 10^{-2}}{99} \\[2.0ex] &\approx 0.0505 \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= 5.05 \times 10^{-4}\,\Omega
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
R &\approx 5.1 \times 10^{-4}\,\Omega
\end{aligned}
$$

電流計はとても繊細で、少しの電流しか通せません。そこで、大量の電流（\(1\,\text{A}\)）が来たときに、その大部分（\(990\,\text{mA}\)）を逃がすための「抜け道（バイパス）」を作ってあげます。これが並列につなぐ抵抗（分流器）です。
電流計本体と抜け道は並列なので、かかる電圧は同じです。「電流計の抵抗 \(\times\) 電流計の電流 \(=\) 抜け道の抵抗 \(\times\) 抜け道の電流」というバランスの式を解けば、必要な抵抗値がわかります。

接続方法: 並列
抵抗値: \(5.1 \times 10^{-4}\,\Omega\)

抵抗値は電流計の内部抵抗（\(5.0 \times 10^{-2}\,\Omega\)）の約 \(1/100\) と非常に小さくなりました。電流の大部分（\(99/100\)）を抵抗側に流す必要があるため、抵抗値は電流計よりもはるかに小さくする必要があります。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この電流計を使って、最大 \(10\,\text{V}\) までの電圧を測れる電圧計を作りたいと考えています。
電流計は、最大電流 \(I_0 = 10\,\text{mA}\) が流れたときに針がフルスケール（最大目盛）を指します。
したがって、\(10\,\text{V}\) の電圧をかけたときに、ちょうど \(10\,\text{mA}\) の電流が流れるような回路を作ればよいわけです。
電流計に直接 \(10\,\text{V}\) をかけると過電流で壊れるため、大きな抵抗（倍率器）を直列につないで、電圧の大部分をそちらで負担させます。
この設問における重要なポイント

• 電流計と倍率器を直列に接続する。
• 直列回路なので、電流計と倍率器には同じ電流 \(I_0 = 10\,\text{mA}\) が流れる。
• 全体の電圧 \(10\,\text{V}\) は、電流計と倍率器の電圧降下の和に等しい。

具体的な解説と立式
求める抵抗値を \(R’\) とします。
電流計と抵抗 \(R’\) を直列に接続します。
この直列回路の両端に \(V = 10\,\text{V}\) の電圧をかけたとき、回路全体に流れる電流が電流計の最大電流 \(I_0 = 10\,\text{mA} = 0.010\,\text{A}\) になるようにします。

直列回路全体の合成抵抗は \(R_{\text{total}} = R’ + r_A\) です。
オームの法則より、
\((\text{全電圧}) = (\text{合成抵抗}) \times (\text{電流})\)
$$
\begin{aligned}
V &= (R’ + r_A) I_0 \\[2.0ex] 10 &= (R’ + 5.0 \times 10^{-2}) \times 0.010
\end{aligned}
$$

立てた式を \(R’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R’ + 5.0 \times 10^{-2} &= \frac{10}{0.010} \\[2.0ex] R’ + 0.050 &= 1000 \\[2.0ex] R’ &= 1000 – 0.050 \\[2.0ex] &= 999.95\,\Omega
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
R’ &\approx 1.0 \times 10^3\,\Omega
\end{aligned}
$$

電流計を電圧計として使うには、「\(10\,\text{V}\) かけたときに、ちょうど針が振り切れる（\(10\,\text{mA}\) 流れる）」ように調整すればよいのです。
オームの法則 \(R = V/I\) から、全体で必要な抵抗値は \(10\,\text{V} / 0.010\,\text{A} = 1000\,\Omega\) だとわかります。
電流計自体が \(0.05\,\Omega\) の抵抗を持っていますが、\(1000\,\Omega\) に比べればごくわずかなので、直列につなぐ抵抗（倍率器）はほぼ \(1000\,\Omega\) 必要になります。

接続方法: 直列
抵抗値: \(1.0 \times 10^3\,\Omega\)

必要な抵抗値は約 \(1000\,\Omega\) であり、電流計の内部抵抗 \(0.05\,\Omega\) に比べて非常に大きいです。電圧計として使う場合、内部抵抗を大きくして電流をあまり流さないようにする必要があるため、この結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電流計や電圧計を回路に接続するということは、測定対象の回路に新たな抵抗を追加することになり、元の回路の状態（電流や電圧）を変化させてしまいます。この「測定による誤差（影響）」を最小限にするための条件を考えます。
この設問における重要なポイント

• 電流計は回路に直列に挿入されるため、全体の抵抗を増やさないようにする必要がある。
• 電圧計は回路に並列に接続されるため、元の回路から電流を奪わない（分流させない）ようにする必要がある。

具体的な解説と立式
電流計について:
電流計は測定したい箇所に直列に接続します。もし電流計の内部抵抗が大きいと、回路全体の合成抵抗が大きくなり、流れる電流自体が減少してしまいます。これでは「本来流れていた電流」を正しく測れません。
したがって、回路への影響を無視できるほど小さくするには、電流計の内部抵抗は非常に小さく（理想的には \(0\)）あるべきです。

電圧計について:
電圧計は測定したい区間に並列に接続します。もし電圧計の内部抵抗が小さいと、測定したい区間に流れるはずだった電流の一部が電圧計側に流れ込んでしまいます（分流）。すると、測定箇所の電流が減り、電圧降下 \(V=RI\) も小さくなってしまいます。これでは「本来かかっていた電圧」を正しく測れません。
したがって、電圧計側に電流がほとんど流れ込まないようにするには、電圧計の内部抵抗は非常に大きく（理想的には \(\infty\)）あるべきです。

電流計: 水道管の水流を測る水車のようなものです。水車が重くて回りにくい（抵抗が大きい）と、水の流れ自体が悪くなってしまいます。だから、水車はスルスルと抵抗なく回る（抵抗が小さい）必要があります。
電圧計: 水道管の水圧を測るために、横から細い管をつなぐようなものです。もしその管が太くて水がドバドバ漏れてしまう（抵抗が小さい）と、本流の水圧が下がってしまいます。だから、測定用の管には水がほとんど漏れない（抵抗が大きい）ようにする必要があります。

電流計は直列に入るため抵抗は小さく、電圧計は並列に入るため抵抗は大きくする必要があります。これは測定の基本原理として非常に重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 分流と分圧の原理による測定範囲の拡大
  • 核心: 電流計や電圧計の測定範囲（レンジ）は固定されたものではなく、抵抗を適切に接続することで自在に変更できるという点です。その基本原理は、並列回路における「電流の分配（分流）」と、直列回路における「電圧の分配（分圧）」にあります。
  • 理解のポイント:
    • 電流計の拡張（分流器）: 「測りたい電流 \(I\)」と「計器の限界 \(I_0\)」の差分 \(I – I_0\) を、並列につないだ抵抗（分流器）に逃がすという発想です。抵抗値の比が電流の逆比になることを利用します。
    • 電圧計の拡張（倍率器）: 「測りたい電圧 \(V\)」と「計器の限界 \(v_0\)」の差分 \(V – v_0\) を、直列につないだ抵抗（倍率器）に負担させるという発想です。抵抗値の比が電圧の比になることを利用します。
• 測定器の内部抵抗と理想条件
  • 核心: 測定器自体が抵抗を持つため、回路に接続すること自体が測定対象の状態を変化させてしまう（誤差を生む）というジレンマです。
  • 理解のポイント:
    • 理想的な電流計: 直列に挿入しても回路の邪魔をしないよう、内部抵抗は \(0\) であるべきです。
    • 理想的な電圧計: 並列に接続しても回路から電流を奪わないよう、内部抵抗は \(\infty\)（無限大）であるべきです。
    • この理想条件と、実際の拡張方法（電流計には小さい抵抗を並列、電圧計には大きい抵抗を直列）は、結果的に整合しています（合成抵抗がそれぞれ小さく/大きくなる方向）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • テスター（マルチメーター）の回路設計: 複数のレンジを持つ電流計・電圧計の問題。スイッチを切り替えることで接続される抵抗値が変わり、測定範囲が変わる仕組みを解析する問題に応用できます。
  • 未知抵抗の測定（電圧降下法）: 電流計と電圧計を使って抵抗値を測る際、計器の内部抵抗による誤差を補正する問題。電流計を内側につなぐか外側につなぐかで誤差の出方が変わる議論につながります。
  • ブリッジ回路の平衡: 検流計（高感度な電流計）に電流が流れない条件を探す問題でも、計器の内部抵抗や保護抵抗の考え方が基礎になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「フルスケール（最大目盛）」の意味を掴む: 問題文にある「\(10\,\text{mA}\) の電流計」とは、「\(10\,\text{mA}\) 流すと針が最大まで振れる」という意味です。これがすべての計算の基準（\(I_0\)）になります。
  2. 計器を「抵抗」として見る: 回路図を描く際、電流計を「\(r_A\) の抵抗」、電圧計を「\(r_V\) の抵抗」として書き換えてしまうと、単なるオームの法則の問題に帰着できます。
  3. 倍率 \(n\) を意識する: 「測定範囲を何倍にしたいのか？」を最初に計算すると、公式（\(R = r_A/(n-1)\) や \(R’ = (m-1)r_V\)）を使って検算や素早い立式が可能になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 並列と直列の混同:
  • 誤解: 「電流計の範囲を広げるには直列に抵抗をつなぐ」と逆に覚えてしまう。
  • 対策: 丸暗記は危険です。「電流を逃がすなら抜け道（並列）」、「電圧を分担するなら障害物（直列）」という物理的なイメージを持ちましょう。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: \(1\,\text{A}\) と \(10\,\text{mA}\) をそのまま計算に使ってしまい、桁がずれる。
  • 対策: 必ず単位を統一しましょう。基本単位（\(\text{A}, \text{V}, \Omega\)）に揃えるのが無難です。\(10\,\text{mA} = 0.010\,\text{A}\) という変換を計算前に明記する癖をつけましょう。
• 公式の適用ミス:
  • 誤解: 分流器の公式 \(R = \frac{r_A}{n-1}\) の分母を \(n\) や \(n+1\) にしてしまう。
  • 対策: 公式を忘れたときは、必ずキルヒホッフの法則（基本原理）に戻って導出しましょう。「\(n\) 倍の電流を流したい \(\rightarrow\) 本体に \(1\)、分流器に \(n-1\) 流れる \(\rightarrow\) 抵抗は逆比で \(1/(n-1)\)」と論理を辿れば間違えません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)でのアプローチ選択（キルヒホッフの法則 vs 公式）:
  • 選定理由: 模範解答のようにキルヒホッフの法則（並列回路の電圧等価）から立式するのが最も堅実です。物理的な状況（電流の分岐と電圧の一致）を直接数式にできるため、応用が利きます。
  • 適用根拠: 並列接続された抵抗同士では、\(V = r_A I_A = R I_R\) が常に成り立ちます。ここから \(R\) を求めるのはオームの法則の直接的な適用です。
• 問(2)でのアプローチ選択（直列回路の合成抵抗）:
  • 選定理由: 電圧計の構成は直列回路そのものです。「全体にかかる電圧 \(V\)」と「流れる電流 \(I_0\)」が決まれば、必要な全抵抗 \(R_{\text{total}}\) が決まります。
  • 適用根拠: \(V = R_{\text{total}} I_0\) より \(R_{\text{total}}\) を求め、そこから内部抵抗 \(r_A\) を引くという手順は、直列回路の性質を最もシンプルに使った解法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数表記の活用:
  • \(5.0 \times 10^{-2}\) や \(10 \times 10^{-3}\) のような指数表記を積極的に使いましょう。\(0.05\) や \(0.01\) といった小数で計算すると、\(0\) の数を数え間違えるミスが起きやすくなります。
  • 計算の最後で \(10^{-4}\) などを通常の小数に戻すか、有効数字に合わせて指数表記のまま答えるかを判断します。
• 比率による検算:
  • 問(1)では、電流比が \(10\,\text{mA} : 990\,\text{mA} \approx 1 : 99\) です。抵抗値は逆比になるので、求める抵抗は内部抵抗の約 \(1/100\) になるはずです。計算結果が \(5.0 \times 10^{-2}\) より小さくなっているか確認しましょう。
  • 問(2)では、電圧比が \(10\,\text{V}\) (全体) : \(0.0005\,\text{V}\) (計器) なので、抵抗の大部分は追加する抵抗 \(R’\) が占めるはずです。計算結果が内部抵抗よりはるかに大きくなっているか確認しましょう。

482 電池の起電力と内部抵抗

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電池の内部抵抗と端子電圧の関係」です。
理想的な電池とは異なり、現実の電池には内部抵抗が存在します。そのため、電流を取り出すと電圧が下がる（電圧降下）という現象が起きます。この現象を数式とグラフの両面から理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題の回路図における電圧と電流の関係を数式化します。
電池の枠線（点線）で囲まれた部分全体を一つの「電池」と見なします。端子PとQの間の電圧 \(V\)（端子電圧）は、電池本来の力である「起電力 \(E\)」から、電池内部の抵抗でロスした電圧「内部抵抗による電圧降下 \(rI\)」を引いたものになります。
この関係式 \(V = E – rI\) と、与えられた \(V-I\) グラフを照らし合わせることで、未知数 \(E\) と \(r\) を決定します。
この設問における重要なポイント

• 端子電圧 \(V\) と電流 \(I\) の関係式 \(V = E – rI\) を理解していること。
• \(I=0\) のとき、電流が流れていないので電圧降下はなく、端子電圧は起電力に等しい（\(V=E\)）こと。
• グラフから数値を正確に読み取れること。

具体的な解説と立式
電池の端子電圧 \(V\) は、起電力 \(E\) から内部抵抗 \(r\) での電圧降下 \(rI\) を引いた値となります。
したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= E – rI \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
この式は、\(V\) を \(y\)、\(I\) を \(x\) と見れば、\(y = -rx + E\) という一次関数の形をしています。
つまり、グラフの \(y\) 切片（縦軸との交点）が \(E\) に相当し、傾きの大きさが \(r\) に相当します。

まず、起電力 \(E\) を求めます。
グラフより、電流 \(I = 0\,\text{A}\) のとき、電圧 \(V = 1.5\,\text{V}\) です。
これを式①に代入すると、
$$
\begin{aligned}
1.5 &= E – r \times 0 \\[2.0ex] E &= 1.5\,\text{V}
\end{aligned}
$$

次に、内部抵抗 \(r\) を求めます。
グラフより、電流 \(I = 1.0\,\text{A}\) のとき、電圧 \(V = 1.0\,\text{V}\) です。
求めた \(E = 1.5\) と、読み取った \(I, V\) の値を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
1.0 &= 1.5 – r \times 1.0
\end{aligned}
$$

立てた方程式を \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1.0 &= 1.5 – r \\[2.0ex] r &= 1.5 – 1.0 \\[2.0ex] r &= 0.5\,\Omega
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(0.50\,\Omega\) とします。

電池は電気を流すポンプのようなものですが、ポンプ自体にも水の流れを邪魔する部分（内部抵抗）があります。
水を流していないとき（\(I=0\)）の水圧（電圧）はポンプの能力そのもの（起電力 \(1.5\,\text{V}\)）を示します。
しかし、水を流し始めると、邪魔な部分で圧力が下がってしまいます。グラフを見ると、\(1.0\,\text{A}\) 流したときに圧力が \(1.5\,\text{V}\) から \(1.0\,\text{V}\) に下がっています。この \(0.5\,\text{V}\) 分のダウンが、内部抵抗のせいです。「\(0.5\,\text{V}\) 下がったのは \(1.0\,\text{A}\) 流れたから」という事実とオームの法則 \(V=RI\) を使えば、内部抵抗の値が計算できます。

起電力 \(E = 1.5\,\text{V}\)、内部抵抗 \(r = 0.50\,\Omega\) と求まりました。
乾電池の起電力は約 \(1.5\,\text{V}\) なので妥当な値です。また、内部抵抗も通常 \(1\,\Omega\) 以下程度なので、物理的にあり得る数値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電池の内部抵抗と端子電圧の関係
  • 核心: 電池は理想的な電圧源ではなく、内部に抵抗（内部抵抗 \(r\)）を持っています。そのため、電流 \(I\) を取り出すと、内部抵抗で \(rI\) の電圧降下が発生し、外部に取り出せる電圧（端子電圧 \(V\)）は起電力 \(E\) よりも小さくなります。
  • 理解のポイント:
    • 式 \(V = E – rI\) の意味: 「端子電圧 \(=\) 本来の能力 \(-\) 内部でのロス」と捉えましょう。
    • 電流依存性: 電流をたくさん流すほどロス（\(rI\)）が大きくなり、端子電圧は下がります。逆に、電流がゼロならロスもなく、端子電圧は起電力と等しくなります。
• \(V-I\) グラフの物理的解釈
  • 核心: 物理現象を表す数式と、グラフの幾何学的特徴（切片、傾き）を結びつける能力です。
  • 理解のポイント:
    • \(y\) 切片: \(I=0\) のときの \(V\) なので、起電力 \(E\) を表します。
    • 傾き: \(V\) の減少率を表し、その大きさは内部抵抗 \(r\) に等しくなります（傾き \(= -r\)）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電池の充電: 電池に外部から逆向きに電流を流し込む（充電する）場合、電流の向きが逆になるため、端子電圧の式は \(V = E + rI\) となります。グラフは右上がりになります。
  • 非直線抵抗（電球やダイオード）を含む回路: 電池の \(V-I\) グラフ（直線）と、非直線抵抗の \(V-I\) グラフ（曲線）を重ねて描き、その交点（動作点）を求める問題に応用されます。
  • 最大電力の供給: 可変抵抗 \(R\) で消費される電力 \(P = VI = (E-rI)I\) が最大になる条件（\(R=r\)）を求める問題でも、この \(V-I\) 特性の理解が基礎になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軸の定義を確認する: 縦軸と横軸が何を表しているかを最初に見ます。\(V-I\) グラフなら、直線の式を立てて物理量との対応を考えます。
  2. 特殊な点（切片）に注目する: \(I=0\)（開放状態）や \(V=0\)（短絡状態）は、計算が簡単になる重要なポイントです。
  3. 回路図の「点線」の意味: 電池の記号の周りにある点線枠は、「ここまで含めて一つの電池製品ですよ」という意味です。内部抵抗 \(r\) は電池の中に組み込まれていて取り外せないことを示唆しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力と端子電圧の混同:
  • 誤解: 「電池の電圧は常に一定（\(1.5\,\text{V}\) など）」と思い込んでしまう。
  • 対策: 「電流が流れていないときは一定だが、流れると下がる」と覚え直しましょう。\(V=E\) が成り立つのは \(I=0\) のときだけです。
• グラフの傾きの符号ミス:
  • 誤解: 傾きを計算するときに \(V_2 – V_1\) の順序を間違えて、抵抗値が負になってしまう。
  • 対策: 抵抗値 \(r\) は必ず正の値です。もし計算結果が負になったら、傾きの定義（変化量）か式の符号（\(-r\)）を見直しましょう。物理的に「抵抗は電流を妨げるもの」なので、負になることはありません（特殊な能動素子を除く）。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: グラフの目盛りから読み取った値（\(1.0\) や \(1.5\)）を完全な数として扱い、有効数字を考慮せずに答えてしまう。
  • 対策: グラフの目盛りがどの程度まで読み取れるかを確認します。この問題では \(1.0, 1.5\) とあるので2桁が妥当です。答えも \(0.5\) ではなく \(0.50\) と書きましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)でのアプローチ選択（端子電圧の式）:
  • 選定理由: 問題が「端子電圧 \(V\)」と「電流 \(I\)」の関係を扱っており、回路図に内部抵抗 \(r\) が明記されているため、\(V = E – rI\) を使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: この式はキルヒホッフの第2法則（閉回路の電圧則）そのものです。回路を一周すると、起電力 \(E\) で上がり、内部抵抗 \(r\) と外部抵抗（可変抵抗）で下がって元に戻る、というエネルギー保存則に基づいています。
• 別解でのアプローチ選択（グラフの傾き）:
  • 選定理由: データがグラフとして与えられている場合、個々の点の値を代入するよりも、グラフ全体の特性（傾きや切片）を利用する方が、データの傾向を捉えやすく、計算もシンプルになることが多いからです。
  • 適用根拠: 一次関数 \(y = ax + b\) と物理式 \(V = -rI + E\) の係数比較により、傾き \(a\) が \(-r\) に対応することは数学的に保証されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフへの書き込み:
  • 読み取った座標 \((0, 1.5)\) や \((1.0, 1.0)\) を、グラフ上に直接書き込みましょう。視覚的に確認することで、読み間違いや代入ミスを防げます。
• 単位の確認:
  • 電圧 \(V\) [V]、電流 \(I\) [A]、抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] の単位関係（\(V = \Omega \cdot A\)）が整合しているか確認します。もし電流が [mA] で与えられていたら、必ず [A] に換算してから計算しましょう。
• 常識的な値との照合:
  • 乾電池の起電力は \(1.5\,\text{V}\) 程度、内部抵抗は数 \(\Omega\) 以下です。もし計算結果が \(100\,\text{V}\) や \(1000\,\Omega\) になったら、桁間違いや計算ミスを疑いましょう。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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