基本問題
348 定常波
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 「波のループ（半波長）」の数を数える解法
- 模範解答が「隣り合う腹と腹の間隔」に着目して立式するのに対し、別解では定常波の形を「ラグビーボールのようなループ」と捉え、その個数から直接長さを立式します。
- 設問(2)の別解: 周期を経由する解法
- 模範解答が波の基本公式 \(v = f\lambda\) を用いて一発で求めるのに対し、別解では一度周期 \(T\) を求めてから、速さの定義 \(v = \frac{\lambda}{T}\) に基づいて計算します。
- 設問(1)の別解: 「波のループ（半波長）」の数を数える解法
- 上記の別解が有益である理由
- 視覚的な理解の強化: 定常波を「腹と腹」という点の間隔で見るだけでなく、「ループの数」という塊で捉えることで、図形的な直感力が養われます。
- 物理的定義の再確認: 公式を暗記して使うだけでなく、「速さとは、1波長進むのに1周期かかる」という波の基本的な性質に立ち返ることで、理解が深まります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「定常波の幾何学的な性質と波の基本公式」です。実験器に生じた定常波の図から情報を読み取り、波の性質を表す基本的な物理量を計算する力が問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 定常波の形状: 定常波は、全く動かない「節」と、激しく振動する「腹」が交互に並んでいます。
- 腹と節の間隔: 隣り合う「腹と腹」、または「節と節」の間隔は、波長 \(\lambda\) の半分（半波長 \(\frac{\lambda}{2}\)）になります。
- 波の基本公式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、\(v = f\lambda\) という非常に重要な関係が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、与えられた図を見て、全長 \(1.2\,\text{m}\) の中に「半波長（\(\frac{\lambda}{2}\)）」がいくつ含まれているかを数えます。そこから等式を立てて波長 \(\lambda\) を求めます。
- (2)では、問題文で与えられた振動数 \(f\) と、(1)で求めた波長 \(\lambda\) を波の基本公式に代入して、速さ \(v\) を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
定常波の波長を求める問題では、図から「波の長さの基準となる区間」がいくつ分あるかを読み取ることが出発点です。ここでは、最も読み取りやすい「腹と腹の間隔」に着目します。
この設問における重要なポイント
- 定常波において、隣り合う腹と腹の間隔は、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に等しい。
- 図の左端から右端までの全長 \(1.2\,\text{m}\) の間に、この間隔がいくつあるかを正確に数える。
具体的な解説と立式
図を確認すると、左端が腹、右端も腹になっています。
その間に、腹がさらに2つあります。つまり、腹は全部で4個あります。
「腹から次の腹まで」を1つの区間とすると、腹が4個あるので、区間は3つあることになります。
1つの区間の長さは \(\frac{\lambda}{2}\) です。
これが3つ分集まって、全長 \(1.2\,\text{m}\) になっています。
したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
3 \times \frac{\lambda}{2} &= 1.2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 定常波の腹と腹の間隔: \(d = \frac{\lambda}{2}\)
立てた式を \(\lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3\lambda}{2} &= 1.2 \\[2.0ex]
3\lambda &= 1.2 \times 2 \\[2.0ex]
3\lambda &= 2.4 \\[2.0ex]
\lambda &= \frac{2.4}{3} \\[2.0ex]
\lambda &= 0.80\,\text{m}
\end{aligned}
$$
図を見てください。波が大きく揺れている場所（腹）が、等間隔に並んでいますね。この「腹から隣の腹まで」の距離は、実は波長（波1つ分の長さ）のちょうど半分なんです。
図の中には、この「波長の半分」の区間が3つ入っています。
「波長の半分」が3つ分で \(1.2\,\text{m}\) なので、そこから逆算して「波長1つ分」の長さを求めました。
波長は \(\lambda = 0.80\,\text{m}\) と求まりました。
全長 \(1.2\,\text{m}\) に対して妥当な大きさです。模範解答と一致しています。
思考の道筋とポイント
定常波の図形を、実線と点線で囲まれた「ラグビーボールのようなループ」の集まりとして見ます。このループ1つが半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に相当することを利用します。腹の位置を特定するよりも、図形的な「塊」を数える方が直感的に分かりやすい場合があります。
この設問における重要なポイント
- 定常波のループ（節から節まで）1つの長さは \(\frac{\lambda}{2}\) である。
- ループ2つ分で、ちょうど1波長 \(\lambda\) になる。
- 全長 \(1.2\,\text{m}\) の中にループが何個あるかを数える。
具体的な解説と立式
図を見ると、実線と点線で囲まれたループ状の形が、左から右まで3つ並んでいることがわかります。
ループ1つの長さは \(\frac{\lambda}{2}\) です。
これが3個並んで全長 \(1.2\,\text{m}\) を構成しているので、以下の式が立てられます。
$$
\begin{aligned}
3 \times \frac{\lambda}{2} &= 1.2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 定常波のループの長さ（半波長）: \(L_{\text{loop}} = \frac{\lambda}{2}\)
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}\lambda &= 1.2 \\[2.0ex]
1.5\lambda &= 1.2 \\[2.0ex]
\lambda &= \frac{1.2}{1.5} \\[2.0ex]
\lambda &= \frac{12}{15} \\[2.0ex]
\lambda &= 0.80\,\text{m}
\end{aligned}
$$
定常波の形をよく見ると、ふくらんでいる部分（ループ）が3つ連なっていますね。このループ2つ分で、元の波の「山と谷」1セット分、つまり1波長になります。
ループが3つあるということは、波長で言うと「1.5個分」の波が入っているということです。
\(1.5\) 個分の波の長さが \(1.2\,\text{m}\) なので、1個分の長さ（波長）を計算しました。
メインの解法と同じく、\(\lambda = 0.80\,\text{m}\) が得られました。図形的に「塊」で捉えるこの方法は、数え間違いが少なくおすすめです。
問(2)
思考の道筋とポイント
波の速さを求める問題です。すでに振動数 \(f\) が問題文で与えられており、(1)で波長 \(\lambda\) を求めました。これら3つの物理量を結びつける「波の基本公式」を使えば、すぐに答えが出ます。
この設問における重要なポイント
- 振動数 \(f = 4.0\,\text{Hz}\)（1秒間に4回振動する）。
- 波長 \(\lambda = 0.80\,\text{m}\)（波1つの長さ）。
- 波の基本公式 \(v = f\lambda\) を適用する。
具体的な解説と立式
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の関係式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
v &= f\lambda
\end{aligned}
$$
ここに、\(f = 4.0\,\text{Hz}\)、\(\lambda = 0.80\,\text{m}\) を代入します。
使用した物理公式
- 波の基本公式: \(v = f\lambda\)
$$
\begin{aligned}
v &= 4.0 \times 0.80 \\[2.0ex]
&= 3.2\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
波の速さとは、「1秒間に波がどれだけ進むか」のことです。
この波は、長さ \(0.80\,\text{m}\) の波を、1秒間に4個送り出しています（振動数が \(4.0\,\text{Hz}\) だからです）。
長さ \(0.80\,\text{m}\) の列車が1秒間に4台通過するようなものなので、全体の長さは \(0.80 \times 4\) で計算できますね。
速さは \(3.2\,\text{m/s}\) と求まりました。模範解答と一致しています。
思考の道筋とポイント
公式を忘れてしまった場合や、物理的な意味を確認したい場合に有効な方法です。まず「波が1回振動するのにかかる時間（周期）」を求め、その時間で「波1つ分の長さ（波長）」だけ進む、という速さの定義に従って計算します。
この設問における重要なポイント
- 周期 \(T\) は振動数 \(f\) の逆数である: \(T = \frac{1}{f}\)。
- 速さは「距離 \(\div\) 時間」である: \(v = \frac{\lambda}{T}\)。
具体的な解説と立式
まず、周期 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{f}
\end{aligned}
$$
次に、速さ \(v\) を求めます。波は1周期 \(T\) の間に、ちょうど1波長 \(\lambda\) だけ進むので、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\lambda}{T}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 周期と振動数の関係: \(T = \frac{1}{f}\)
- 速さの定義: \(v = \frac{\lambda}{T}\)
まず周期を計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{4.0} \\[2.0ex]
&= 0.25\,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に速さを計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{0.80}{0.25} \\[2.0ex]
&= 0.80 \times 4 \\[2.0ex]
&= 3.2\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
（\(\div 0.25\) は \(\times 4\) と同じです）
まず、波源が「1回ブルンと揺れる」のにかかる時間を計算しました。これが \(0.25\,\text{s}\) です。
この \(0.25\,\text{s}\) の間に、波はちょうど波1つ分（\(0.80\,\text{m}\)）だけ進みます。
「\(0.25\,\text{s}\) で \(0.80\,\text{m}\) 進む速さ」を割り算で計算すれば、1秒あたりに進む距離（速さ）が出ますね。
メインの解法と同じく、\(3.2\,\text{m/s}\) が得られました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 定常波の空間的な構造の理解
- 核心: 定常波において、隣り合う「腹と腹」あるいは「節と節」の間隔が、常に半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) になるという幾何学的な性質です。この性質こそが、図から波長を決定する唯一の手がかりとなります。
- 理解のポイント:
- 波の「1セット」: 通常の進行波では「山から次の山まで」が1波長 \(\lambda\) です。定常波では、見た目の「山（腹）」から「次の山（腹）」までは、位相が逆転しているため半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) になります。「行って帰って1周期」のアナロジーで、「山と谷（ループ2つ）で1波長」と覚えましょう。
- 波の基本公式の適用
- 核心: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) を結びつける \(v = f\lambda\) は、波動分野で最も基本的かつ重要な式です。
- 理解のポイント:
- 式の意味: 「1秒間に \(f\) 個の波が送り出され、それぞれの長さが \(\lambda\) であるため、全体で \(f \times \lambda\) 進む」という物理的な意味を理解していることが重要です。単なる文字の羅列として暗記してはいけません。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 弦の固有振動: ギターやバイオリンの弦の振動。両端が固定端（節）となり、その間に定常波ができます。基本振動、2倍振動などを考える際も、今回と同様に「ループの数」を数えて波長を求めます。
- 気柱の共鳴: フルート（開管）やクラリネット（閉管）などの管楽器の原理。開口端は腹、閉口端は節になります。「節から腹まで」の距離が \(\frac{\lambda}{4}\) であることを利用して立式します。
- 初見の問題での着眼点:
- 端（境界条件）を確認する: 波の両端が「腹」になっているか「節」になっているかを確認します。これは、自由端反射か固定端反射かを見極めることにもつながります。
- 「基本ブロック」を数える: いきなり波長 \(\lambda\) を探そうとせず、定常波の最小単位である「節から腹まで（\(\frac{\lambda}{4}\)）」や「節から節まで（\(\frac{\lambda}{2}\)）」が、全長の中にいくつ入っているかを数えます。
- 数え方のコツ: 今回の問題のように腹と腹の間隔なら \(\frac{\lambda}{2}\) 単位、片方が節で片方が腹なら \(\frac{\lambda}{4}\) 単位で数式を立てるのが鉄則です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 波長の読み取りミス
- 誤解: 図の「腹から次の腹まで」の長さを、そのまま1波長 \(\lambda\) だと思い込んでしまう。
- 対策: 「波長（ウェーブ・レングス）」は、波の形が完全に元に戻るまでの長さです。定常波のループ1つ分は、まだ「行って」の状態だけで「帰って」きていません。「ループ2つで1人前（1波長）」と視覚的に覚え込みましょう。
- 全長の取り違え
- 誤解: 実験器の全長 \(1.2\,\text{m}\) を、そのまま波長 \(\lambda\) として計算に使ってしまう。
- 対策: 問題文の数値を使う前に、必ず図と照らし合わせます。「\(1.2\,\text{m}\) は波何個分か？」と自問するワンクッションを置くことで防げます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（幾何学的条件）:
- 選定理由: 求めたいのは「波長 \(\lambda\)」であり、与えられているのは「定常波の形状（図）」と「全長」です。図から波の空間的な周期性を読み取り、長さと結びつける必要があるためです。
- 適用根拠: 定常波は、逆向きに進む同じ波長の2つの進行波が重なってできる干渉縞です。その性質上、隣り合う腹と腹（または節と節）の間隔は必ず半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) になるという物理的な規則性があります。この規則性は定常波であれば常に成立するため、これを根拠に立式します。
- (2)での公式選択（波の基本公式）:
- 選定理由: 求めたいのは「速さ \(v\)」です。既知の量は「振動数 \(f\)」と、(1)で求めた「波長 \(\lambda\)」です。これら3つを直接結びつける公式は \(v = f\lambda\) しかありません。
- 適用根拠: この公式は、あらゆる波動現象（音波、光波、水面波など）に適用できる普遍的な法則です。定常波であっても、それを構成する進行波の速さを問われているため、迷わず適用できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 分数の処理を丁寧に行う:
- \(3 \times \frac{\lambda}{2} = 1.2\) を解く際、暗算でやろうとして \(\lambda = 1.2 \div 3 \times 2\) の順序を間違えたりしないよう、\(\frac{3\lambda}{2} = 1.2 \rightarrow 3\lambda = 2.4\) と1行ずつ変形を書く癖をつけましょう。
- 単位の確認:
- 波長は \(\text{m}\)、振動数は \(\text{Hz}\)（\(= 1/\text{s}\)）、速さは \(\text{m/s}\) です。\(v = f\lambda\) の計算で \(\text{Hz} \times \text{m} = (1/\text{s}) \times \text{m} = \text{m/s}\) となり、単位の次元が合っていることを確認すると安心です。
- 別解による検算:
- (2)では、別解で示したように \(T = 1/f\) を求めてから \(v = \lambda/T\) で計算してみます。もし \(v = f\lambda\) の計算で小数点の位置などを間違えていれば、異なる結果が出るはずなのでミスに気づけます。
349 正弦波の反射
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)(2)の別解: 数式を用いた位相の考察による解法
- 模範解答が作図によって反射波を求めるのに対し、別解では正弦波の式 \(y = A\sin(\omega t – kx)\) を用いて、自由端反射（位相変化なし）と固定端反射（位相 \(\pi\) 変化）を数式的に処理し、反射波の式を導出してから概形を考えます。
- 設問(1)(2)の別解: 数式を用いた位相の考察による解法
- 上記の別解が有益である理由
- 普遍的な理解: 作図だけでなく数式で理解することで、複雑な波形や任意の時刻における反射波の形状も正確に予測できるようになります。
- 物理的意味の深化: 「位相が反転する」という現象が、数式上でどのように表現されるか（マイナスがつく、\(\pi\) を足すなど）を確認できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる波形の図は模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「波の反射と重ね合わせの原理」です。波が媒質の境界に当たったとき、どのように反射し、どのような合成波（観測される波）を作るかを作図によって理解することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 重ね合わせの原理: 2つの波が重なるとき、ある点の変位は、それぞれの波の変位の和になること。
- 自由端反射: 端が自由に動ける場合の反射。「山は山、谷は谷」として反射する（位相が変化しない）。反射波は、入射波の延長を境界線に対して線対称に折り返したものになる。
- 固定端反射: 端が固定されて動けない場合の反射。「山は谷、谷は山」として反射する（位相が \(\pi\) ずれる）。反射波は、入射波の延長を境界上の点に対して点対称に折り返したものになる。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1), (2)では、まず「もし壁がなかったら波はどう進むか」という入射波の延長を想像します。次に、反射の条件（自由端・固定端）に従って反射波を作図します。最後に、入射波と反射波の変位を足し合わせて合成波を描きます。
- (3)では、(1)の作図結果や自由端の性質から、境界点が定常波の腹（大きく揺れる点）か節（動かない点）かを判断します。
問(1)
思考の道筋とポイント
自由端反射における反射波の描き方がポイントです。自由端では、波は「壁にぶつかってそのまま折り返してくる」イメージです。位相（山・谷の状態）は変わりません。
この設問における重要なポイント
- 自由端反射では、反射波は入射波の延長を境界線（\(y\)軸のような縦線）に対して線対称に折り返した形になる。
- 観測される波（合成波）は、入射波の変位と反射波の変位を足し合わせたものである。
具体的な解説と立式
作図の手順をステップごとに解説します。
- 入射波の延長を描く:
まず、境界の右側（壁の向こう側）に、入射波がそのまま進んでいったと仮定した波（点線）を描きます。図を見ると、境界の位置では波は正の変位を持っていますが、まだ山の頂点には達していません。山の頂点は境界の少し右側にあります。 - 反射波を作図する（自由端）:
自由端反射では、波形が崩れずそのまま戻ってきます。手順1で描いた「入射波の延長」を、境界線を折り目として、鏡に映すように左側へパタンと折り返します。これが反射波です。- 入射波の延長が「右上がりの山」なら、反射波は「左上がりの山」になります。
- 境界の右側にあった山の頂点は、境界の左側の同じ距離の位置に来ます。
- 合成波を描く:
現在、境界の左側には「右に進む入射波（実線）」と「左に進む反射波（今描いた波）」の2つが存在しています。この2つの波の高さ（変位）を各点で足し合わせます。- 境界の位置: 入射波の変位は正の値（例えば \(+0.7\) 程度）です。反射波も線対称に折り返したので、全く同じ正の値（\(+0.7\)）を持ちます。これらを足すと、元の2倍の高さ（\(+1.4\)）になります。
- 境界から左へ少し離れた位置: 入射波の山の頂点と、反射波の山の頂点が重なるわけではありません。それぞれの波の変位を丁寧に足し合わせる必要があります。
- 節の位置: 入射波と反射波が打ち消し合う点（変位が \(0\) になる点）が、境界から \(\frac{1}{4}\) 波長ごとに現れます。
これらを滑らかにつなぐと、境界で振幅が最大となるような波形が描けます。これが観測される波です。
使用した物理公式
- 重ね合わせの原理: \(y_{\text{合成}} = y_{\text{入射}} + y_{\text{反射}}\)
（作図問題のため、数値計算はありません。上記の作図プロセスが解法となります。）
自由端というのは、「端っこがリングのように棒に通されていて、スカスカ動ける」ような状態です。波が来ると、端っこは波の勢いで大きく持ち上げられます。
作図のコツは「鏡」です。壁の向こうに進んでいくはずだった波を、壁を鏡として映したものが反射波です。
元の波と、鏡から返ってきた波が重なるので、壁のところでは同じ高さの波が重なって、2倍の高さになります。
合成波は、境界で振幅が最大となる正弦波になります。これは自由端が大きく振動できることと矛盾しません。
問(2)
思考の道筋とポイント
固定端反射における反射波の描き方がポイントです。固定端では、波は壁にガッチリ固定されているため、壁の位置での変位は常に \(0\) にならなければなりません。そのため、反射波は入射波を打ち消すような形（逆位相）になります。
この設問における重要なポイント
- 固定端反射では、反射波は入射波の延長を上下反転させ、さらに境界線に対して折り返した形になる（＝境界点に対して点対称）。
- 境界（固定端）では、入射波と反射波の変位が常に打ち消し合い、合成波の変位は \(0\) になる。
具体的な解説と立式
作図の手順をステップごとに解説します。
- 入射波の延長を描く:
(1)と同様に、境界の右側に入射波がそのまま進んだと仮定した波（点線）を描きます。 - 反射波を作図する（固定端）:
固定端反射では、山は谷に、谷は山になって戻ってきます。- まず、手順1で描いた「入射波の延長」を上下ひっくり返します（\(x\)軸対称）。
- 次に、それを境界線を折り目として左側へ折り返します。
- 結果として、境界の点（原点のような点）を中心として \(180^\circ\) 回転させた「点対称」の形になります。これが反射波です。
- 合成波を描く:
境界の左側にある「入射波」と「反射波」を足し合わせます。- 境界の位置: 入射波の変位（正の値）と反射波の変位（負の値）は、大きさは同じで符号が逆になります。足すと必ず \(0\) になります。
- その他の位置: 各点で高さを足し合わせます。図の状況では、入射波の山と反射波の谷が重なる部分などが生じ、全体として波形が変わります。
使用した物理公式
- 重ね合わせの原理: \(y_{\text{合成}} = y_{\text{入射}} + y_{\text{反射}}\)
（作図問題のため、数値計算はありません。）
固定端というのは、「端っこが壁に釘で打ち付けられている」ような状態です。絶対に動けません。
波が来ても端っこは動かないので、やってきた波の力を逆向きに跳ね返します。だから「山」が来ると「谷」になって返っていきます。
作図のコツは「上下逆さまにしてから折り返す」です。
合成すると、壁のところではプラスの力とマイナスの力が打ち消し合って、高さは常にゼロになります。
合成波は、境界で変位が \(0\) となる波形になります。これは固定端が動けないことと一致しています。
思考の道筋とポイント
作図ではなく、数式を使って波の反射を考えます。入射波を正弦波の式で表し、反射条件（自由端・固定端）を位相の変化として数式に反映させます。
この設問における重要なポイント
- 入射波を \(y_i = A\sin(\omega t – kx)\) とする（\(x\)軸正方向へ進む波）。
- 反射波は \(x\)軸負方向へ進むので、\(kx\) の符号が変わる。
- 自由端反射では位相変化なし、固定端反射では位相が \(\pi\) ずれる。
具体的な解説と立式
境界を原点 \(x=0\) とし、左側（\(x<0\)）の領域を考えます。
入射波を \(y_i\) とします。
$$
\begin{aligned}
y_i &= A\sin(\omega t – kx)
\end{aligned}
$$
- 自由端反射の場合:
反射波 \(y_r\) は、\(x\)軸負方向へ進む波であり、\(x=0\) で入射波と同じ変位を持つ必要があります（位相変化なし）。
したがって、反射波の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
y_r &= A\sin(\omega t + kx)
\end{aligned}
$$
合成波 \(y\) は、重ね合わせの原理より、
$$
\begin{aligned}
y &= y_i + y_r
\end{aligned}
$$
となります。 - 固定端反射の場合:
反射波 \(y_r\) は、\(x=0\) で入射波と逆の変位を持つ必要があります（位相が \(\pi\) ずれる、つまりマイナスがつく）。
したがって、反射波の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
y_r &= -A\sin(\omega t + kx)
\end{aligned}
$$
合成波 \(y\) は、重ね合わせの原理より、
$$
\begin{aligned}
y &= y_i + y_r
\end{aligned}
$$
となります。
使用した物理公式
- 正弦波の式: \(y = A\sin(\omega t – kx)\)
- 和積の公式: \(\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
- 自由端反射の合成波:
$$
\begin{aligned}
y &= A\sin(\omega t – kx) + A\sin(\omega t + kx) \\[2.0ex]
&= 2A\sin\left(\frac{(\omega t – kx) + (\omega t + kx)}{2}\right)\cos\left(\frac{(\omega t – kx) – (\omega t + kx)}{2}\right) \\[2.0ex]
&= 2A\sin(\omega t)\cos(-kx) \\[2.0ex]
&= 2A\cos(kx)\sin(\omega t)
\end{aligned}
$$
\(x=0\)（境界）では \(\cos(0)=1\) なので、振幅は最大値 \(2A\) となり、「腹」であることがわかります。 - 固定端反射の合成波:
$$
\begin{aligned}
y &= A\sin(\omega t – kx) – A\sin(\omega t + kx) \\[2.0ex]
&= A\sin(\omega t – kx) + A\sin(\omega t + kx + \pi) \\[2.0ex]
&= 2A\cos(\omega t)\sin(-kx) \\[2.0ex]
&= -2A\sin(kx)\cos(\omega t)
\end{aligned}
$$
\(x=0\)（境界）では \(\sin(0)=0\) なので、変位は常に \(0\) となり、「節」であることがわかります。
波を数式で表して計算する方法です。
自由端では、やってきた波と同じ形の波が逆向きに進むと考えます。これを足し合わせると、場所によって揺れ幅が決まる式（定常波の式）になります。計算結果を見ると、壁の位置（\(x=0\)）では揺れ幅が最大になることがわかります。
固定端では、やってきた波をひっくり返した形の波が逆向きに進むと考えます。これを足し合わせると、壁の位置（\(x=0\)）では常に高さがゼロになることが計算で確かめられます。
数式による解析からも、自由端では腹（振幅最大）、固定端では節（振幅ゼロ）になることが確認できました。これは作図の結果と一致します。
問(3)
思考の道筋とポイント
定常波の「腹」と「節」の定義、および自由端の性質から判断します。
この設問における重要なポイント
- 腹: 定常波において、振幅（揺れ幅）が最も大きくなる点。
- 節: 定常波において、全く振動しない（振幅が \(0\) の）点。
- 自由端は、媒質が自由に振動できる端である。
具体的な解説と立式
(1)の作図結果を確認しましょう。境界（自由端）の位置では、入射波の変位と反射波の変位が常に同じ符号で重なり合います。
例えば、入射波が山のときは反射波も山で重なり、入射波が谷のときは反射波も谷で重なります。
その結果、境界点での合成波の振幅は、元の波の振幅の2倍となり、媒質中で最も大きく振動する点となります。
これは定常波の「腹」の定義に合致します。
使用した物理公式
- 定常波の腹の条件: 入射波と反射波が同位相で重なる点（自由端など）。
なし。
(1)で見たように、自由端では波が強め合って、普通の波の2倍の高さまで持ち上がります。このように「一番大きく揺れる場所」のことを、定常波の「腹」と呼びます。逆に、(2)の固定端のように全く動かない場所は「節」です。
自由端は大きく振動するため、腹です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 重ね合わせの原理と反射の法則
- 核心: 観測される波（合成波）は、入射波と反射波の変位の和であるという「重ね合わせの原理」が全ての基礎です。そして、反射波の形状は境界条件（自由端か固定端か）によって一意に決まります。
- 理解のポイント:
- 自由端反射: 媒質が自由に動けるため、波は位相を変えずに（山は山のまま）反射します。作図的には「線対称」の折り返しです。
- 固定端反射: 媒質が固定されているため、波は位相を \(\pi\) ずらして（山は谷となって）反射します。作図的には「点対称」の折り返しです。
- 定常波の形成
- 核心: 連続的な正弦波が入射し続けると、入射波と反射波が重なり合って、進行しない波「定常波」が形成されます。
- 理解のポイント:
- 腹と節の位置: 自由端は必ず定常波の「腹」になり、固定端は必ず定常波の「節」になります。この事実は、計算や作図なしでも即答できるようにしておくべき重要な性質です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- パルス波の反射: 今回のような連続波ではなく、単発の山（パルス波）が反射する問題。考え方は全く同じで、入射波の延長を描き、反射条件に従って折り返して合成します。
- 気柱の共鳴: 開管の端は自由端（腹）、閉管の端は固定端（節）として扱います。音波の反射も、弦の波と同じ原理で理解できます。
- 初見の問題での着眼点:
- 境界条件の特定: まず問題文を見て、端が「自由端」なのか「固定端」なのかを確認します。「なめらかに動くリング」なら自由端、「壁に固定」なら固定端です。
- 補助線の活用: いきなり反射波を描こうとせず、必ず「壁の向こうに進む入射波の延長（点線）」を補助線として描きます。これが作図のミスを防ぐ最大のコツです。
- 代表点の追跡: 波全体を描くのが難しい場合は、山の頂点や谷の底、変位 \(0\) の点など、特徴的な点がどこに移動するかをプロットしてからつなぐと良いでしょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 反射波の作図ミス（特に固定端）
- 誤解: 固定端反射で、単に上下反転させただけで、左右の折り返しを忘れてしまう。あるいは、折り返す軸を間違える。
- 対策: 固定端反射の手順は「上下反転」＋「左右反転」の2ステップです。あるいは、「境界点に対して点対称（180度回転）」と覚えるのも有効です。必ず境界点（\(x=0\)）で変位が \(0\) になっているか確認しましょう。
- 合成波の振幅の誤解
- 誤解: 合成波の振幅は、常に入射波の2倍になると思ってしまう。
- 対策: 2倍になるのは定常波の「腹」の位置だけです。「節」では振幅は \(0\) ですし、その間の点では \(0\) から \(2A\) の間の値をとります。あくまで「各点での変位の足し算」であることを忘れないでください。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)(2)でのアプローチ選択（作図法）
- 選定理由: 問題が「波形を図示せよ」と求めているため、視覚的に波の形状を捉えられる作図法が最も直接的で適切です。
- 適用根拠: 重ね合わせの原理は、数式だけでなく図形的な足し合わせとしても成立します。入射波の延長を利用する仮想的な方法は、反射波の作図における標準的なテクニックとして確立されています。
- 別解でのアプローチ選択（数式法）
- 選定理由: 特定の時刻や位置における厳密な変位を知りたい場合や、定常波の数式的な性質（振幅が位置によってどう変わるか）を理解したい場合に有効です。
- 適用根拠: 波動現象は波動方程式（正弦波の式）で記述されます。境界条件（\(x=0\) での振る舞い）を数式に課すことで、反射波の式を一意に導出できるという数学的な裏付けがあります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 特徴点での検算:
- 作図した後、必ず「境界の位置」を確認します。
- 自由端なら、合成波の変位が入射波の2倍（または同符号の和）になっているか？
- 固定端なら、合成波の変位が必ず \(0\) になっているか？
- これを確認するだけで、作図ミスの9割は防げます。
- 対称性の利用:
- 反射波を描く際、定規やフリーハンドで適当に描かず、グリッド（方眼）を利用して、「右に2マス、上に1マス」の点は「左に2マス、上に1マス（自由端）」のように、対称な点をいくつか打ってから曲線で結ぶと綺麗に描けます。
350 反射と定常波
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 定常波の性質（境界条件）を用いた解法
- 模範解答が(1)で作図した波形をもとに腹の位置を視覚的に判断しているのに対し、別解では「固定端は必ず節になる」という物理的性質と、節と腹の間隔の規則性を利用して、作図なしで論理的に位置を特定します。
- 設問(2)の別解: 定常波の性質（境界条件）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 解答速度の向上: 作図の手間を省き、瞬時に答えを導き出すことができます。
- 検算としての活用: 作図で求めた答えが正しいかどうかを、物理法則に基づいて確認する強力な手段となります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「固定端反射と定常波の形成」です。波が固定端で反射する際の作図ルールと、入射波と反射波が重なり合ってできる定常波の性質を理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の進み方: 波は1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) だけ進みます。したがって、\(\frac{1}{4}\) 周期後には \(\frac{\lambda}{4}\)、\(\frac{1}{2}\) 周期後には \(\frac{\lambda}{2}\) だけ進みます。
- 固定端反射: 固定端では媒質が固定されているため、変位は常に \(0\) です。反射波は、入射波の延長を上下反転させ、さらに左右反転（折り返し）させた形（点対称）になります。
- 重ね合わせの原理: 合成波の変位は、入射波と反射波の変位の和になります。
- 定常波の節と腹: 固定端は必ず定常波の「節」になります。節と腹は \(\frac{\lambda}{4}\) ごとに交互に現れます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まず入射波を時間経過分だけ平行移動させます。次に、固定端反射のルールに従って反射波を作図します。最後に、2つの波を合成して波形を描きます。
- (2)では、(1)で描いた合成波の振幅が最大になっている点を探すか、あるいは固定端が節になるという性質を利用して腹の位置を特定します。
問(1)
思考の道筋とポイント
作図問題の基本手順に従います。
1. 入射波を進める: 時間経過に対応する距離だけ、波形を右にずらします。
2. 反射波を描く: 「壁の向こうに進んだ入射波（延長）」を想像し、それを固定端反射のルール（上下反転＋折り返し）で左側に描き戻します。
3. 合成する: 各点での高さを足し合わせます。
この設問における重要なポイント
- 図の目盛りを確認すると、点Aから点Eまでで1波長 \(\lambda\) となっています。つまり、目盛り1区間（例：A～B）は \(\frac{\lambda}{4}\) に相当します。
- \(\frac{1}{4}\) 周期後には波は \(\frac{\lambda}{4}\)（1区間）進み、\(\frac{1}{2}\) 周期後には \(\frac{\lambda}{2}\)（2区間）進みます。
具体的な解説と立式
【\(\frac{1}{4}\) 周期後の作図】
- 入射波（右へ進む波）:
元の波を右へ \(\frac{\lambda}{4}\)（1区間）ずらします。
元の図でBにあった山が、Aの位置に来ます。 - 反射波（左へ進む波）:
入射波の先端が壁Aに到達した後、反射します。
固定端反射なので、Aの位置で入射波（山）とは逆位相（谷）となって反射してきます。
具体的には、壁の右側に仮想的に進んだ「山」を、上下ひっくり返して「谷」にし、それを左側に折り返します。
結果として、Aから左に向かって「谷」が進む形になります。 - 合成波:
- 点A: 固定端なので常に変位 \(0\)。
- 点B: 入射波は \(0\)、反射波も \(0\) なので、和は \(0\)。
- 点C: 入射波は谷、反射波は山（Aから \(\frac{\lambda}{2}\) 離れているため）。これらが重なると打ち消し合って \(0\)。
- 実はこの時刻（\(\frac{1}{4}\) 周期後）では、入射波と反射波がちょうど逆位相で重なり合い、すべての位置で変位が \(0\)（一直線）になります。
【\(\frac{1}{2}\) 周期後の作図】
- 入射波:
元の波を右へ \(\frac{\lambda}{2}\)（2区間）ずらします。
元の図でCにあった \(0\) の点がAに来ます。Dにあった谷がBに来ます。 - 反射波:
壁の右側に仮想的に進んだ波を、上下反転して折り返します。
入射波の「谷」が壁に当たって反射するので、反射波は「山」となって戻ってきます。 - 合成波:
- 点B: 入射波は谷、反射波も谷（反射した山がさらに進んで谷になるタイミング）。重なって大きな谷になります。
- 点D: 入射波は山、反射波も山。重なって大きな山になります。
- 点A, C, E: 変位は \(0\) になります。
- この時刻では、入射波と反射波が同位相で重なり、振幅が最大（定常波の腹の変位が最大）になる瞬間です。
使用した物理公式
- 波の進む距離: \(x = vt = \frac{\lambda}{T} \times t\)
- 重ね合わせの原理: \(y_{\text{合成}} = y_{\text{入射}} + y_{\text{反射}}\)
（作図問題のため、数値計算はありません。上記のプロセスに従って描画します。）
波は生き物のように動いています。
\(\frac{1}{4}\) 周期後というのは、「波が半歩（\(\frac{1}{4}\) 歩）進んだとき」です。このとき、入ってくる波と跳ね返った波がちょうど反対の形（山と谷）で重なってしまい、一時的に波が消えたように見えます（一直線になります）。
\(\frac{1}{2}\) 周期後というのは、「波が1歩（\(\frac{1}{2}\) 歩）進んだとき」です。このときは、入ってくる波と跳ね返った波が同じ形（山と山、谷と谷）で重なるので、元の波の2倍の大きさになります。
作成した図は、固定端Aで常に変位が0になっていることを確認します。また、\(\frac{1}{2}\) 周期後には大きく波打っている（定常波の形状が見える）ことが確認できます。
問(2)
思考の道筋とポイント
定常波の「腹」とは、振幅が最大になる点（最も激しく揺れる点）のことです。(1)で描いた \(\frac{1}{2}\) 周期後の合成波を見ると、大きく変位している点が腹に対応します。
この設問における重要なポイント
- 腹の位置では、合成波の変位が最大（山の頂点や谷の底）になる。
- 節の位置では、合成波の変位は常に \(0\) である。
具体的な解説と立式
(1)の \(\frac{1}{2}\) 周期後の合成波（太い実線）を確認します。
この図において、変位の大きさが最大（山または谷の頂点）になっている位置を探します。
- 点B: 大きな谷になっています。これは腹です。
- 点D: 大きな山になっています。これは腹です。
- 点F: 大きな谷になっています。これは腹です。
一方、点A, C, E は変位が \(0\) となっており、これらは節です。
使用した物理公式
- 定常波の腹の定義: 振幅が最大となる点。
なし。図からの読み取りのみ。
(1)で描いた「一番大きく波打っているときの図」を見てください。一番高いところ（山）や一番低いところ（谷）になっている場所が「腹」です。B、D、Fがそれに当たります。逆に、全く動いていないA、C、Eは「節」です。
B, D, F が腹となります。これらは互いに \(\frac{\lambda}{2}\)（2区間）離れており、定常波の性質と一致します。
思考の道筋とポイント
作図をしなくても、「固定端は必ず節になる」という絶対的なルールと、「節と腹は等間隔に並ぶ」という性質を使えば、腹の位置は特定できます。
この設問における重要なポイント
- 境界条件: 固定端Aは、媒質が動けないので必ず定常波の「節」になる。
- 間隔の規則: 定常波において、隣り合う「節と腹」の間隔は \(\frac{\lambda}{4}\) である。
- 波長の確認: 図より、A～Eが1波長 \(\lambda\) なので、目盛り1区間は \(\frac{\lambda}{4}\) である。
具体的な解説と立式
- まず、固定端Aは必ず「節」です。
- 節の隣には、\(\frac{\lambda}{4}\) 離れた位置に「腹」が来ます。
1区間が \(\frac{\lambda}{4}\) なので、Aから1区間左の 点B は「腹」です。 - 腹の隣には、\(\frac{\lambda}{4}\) 離れた位置に「節」が来ます。
Bから1区間左の 点C は「節」です。 - 同様に繰り返すと、
- 点D: 腹
- 点E: 節
- 点F: 腹
となります。
使用した物理公式
- 節と腹の間隔: \(d = \frac{\lambda}{4}\)
なし。論理的な推論のみ。
壁（点A）は固定されているので絶対に動きません。つまり「節」です。
定常波では、「動かない点（節）」と「一番動く点（腹）」が交互に、等間隔（\(\frac{1}{4}\) 波長ごと）に並びます。
Aが節なら、その隣のBは腹、その隣のCは節、その隣のDは腹……と順番に決まっていきます。これなら図を描かなくてもすぐにわかりますね。
主たる解法（作図からの読み取り）と同じく、B, D, F が腹であると求まりました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 固定端反射のメカニズム
- 核心: 固定端では媒質の変位が常に \(0\) に固定されるため、入射波に対して逆位相（変位の符号が反転した状態）の反射波が生じます。
- 理解のポイント: 作図においては、「入射波の延長を上下反転させ、さらに左右反転（折り返し）させる」という手順が鉄則です。これは「点対称移動」と同義です。
- 定常波の形成と境界条件
- 核心: 入射波と反射波が重なり合うことで、進行しない波「定常波」が形成されます。このとき、固定端は必ず定常波の「節」となります。
- 理解のポイント: 「固定端＝節」という境界条件は、定常波の問題を解く上で最も強力な手がかりの一つです。これを出発点にすることで、腹や他の節の位置を芋づる式に特定できます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 自由端反射の場合: もし端が自由端なら、反射波は「上下反転せず」に折り返されます（線対称）。その場合、自由端は定常波の「腹」になります。
- 気柱の共鳴（閉管）: 閉管の底は空気が動けないため「固定端（節）」となり、開口部は自由に動けるため「自由端（腹）」となります。この問題と同じ論理で、管内の定常波の様子（基本振動、3倍振動など）を考えることができます。
- 初見の問題での着眼点:
- 波長と目盛りの関係を把握する: まず図を見て、波1つ分（\(\lambda\)）が目盛り何個分に相当するかを確認します。この問題では4目盛りで \(\lambda\) なので、1目盛りは \(\frac{\lambda}{4}\) です。
- 時間の経過を距離に換算する: 「\(\frac{1}{4}\) 周期後」と言われたら、「波が \(\frac{1}{4}\) 波長（1目盛り）進んだ状態」と即座に翻訳します。
- 特殊なタイミングを知っておく:
- \(\frac{1}{4}\) 周期後（や \(\frac{3}{4}\) 周期後）は、入射波と反射波が打ち消し合って一直線になることが多いです。
- \(\frac{1}{2}\) 周期後（や \(0\) 周期後、1周期後）は、入射波と反射波が重なって振幅が最大（定常波の形）になることが多いです。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 反射波の描き間違い
- 誤解: 固定端反射なのに、上下反転を忘れて自由端のように折り返してしまう。
- 対策: 「固定端は硬い壁。ぶつかったらひっくり返る」とイメージしましょう。また、描いた反射波が境界（固定端）で入射波と逆符号になっているか（足して \(0\) になるか）を必ず確認してください。
- 合成のし忘れ
- 誤解: 反射波だけを描いて満足し、入射波と足し合わせるのを忘れる。あるいは、入射波だけを見て答えてしまう。
- 対策: 問題文の「合成波の波形を描け」という指示を見落とさないこと。最終的な答えは太線で強調して描く習慣をつけましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)でのアプローチ選択（作図法）
- 選定理由: 波形の時間変化を問われており、視覚的に理解・表現することが求められているためです。
- 適用根拠: 波動現象における「重ね合わせの原理」は絶対的な法則です。入射波と反射波を個別に考え、それらを足し合わせるという手順は、あらゆる波動の干渉問題に適用できる標準的な手法です。
- (2)別解でのアプローチ選択（境界条件の利用）
- 選定理由: 作図は時間がかかりミスも起きやすいため、より論理的かつ迅速に答えを特定したい場合に有効です。
- 適用根拠: 「固定端は節になる」「定常波の節と腹の間隔は \(\frac{\lambda}{4}\) である」という物理的性質は、作図の結果として得られる現象論的な事実ではなく、波動論の基礎から導かれる普遍的な真理です。したがって、これを根拠に位置を特定することは物理的に正当であり、むしろ本質的な理解を示しています。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- グリッド（格子点）を活用する:
- 波の作図をする際は、適当な曲線を描くのではなく、必ず「山の頂点」「谷の底」「変位 \(0\) の点」がグリッド上のどこに来るかを点（ドット）で打ってから、それらを滑らかにつなぐようにしましょう。
- 端点でのチェック:
- 固定端Aでの合成波の変位が、どの時刻でも必ず \(0\) になっているかを確認します。もし \(0\) でなければ、作図か足し算のどこかが間違っています。これは最強の検算テクニックです。
[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]
351 波の干渉
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 経路差を用いた解法
- 模範解答が図形的な位置関係（山と山の間は谷）から判断しているのに対し、別解では2つの波源からの距離の差（経路差）を計算し、干渉条件式に当てはめて論理的に判断します。
- 設問(1)の別解: 経路差を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 汎用性の高さ: 図が与えられていない場合や、距離が数値で与えられた場合でも適用できる、より一般的で強力な解法です。
- 物理的本質の理解: 「波の干渉」の本質である「経路差が波長の整数倍なら強め合い、半整数倍なら弱め合う」という原理を直接確認できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「水面波の干渉」です。2つの波源から広がる円形波が重なり合ったとき、場所によって波が強め合ったり弱め合ったりする現象を、図と時間経過の両面から理解することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の重ね合わせ: 2つの波が重なると、変位は足し合わされます。「山＋山＝大きな山」「谷＋谷＝大きな谷」「山＋谷＝平坦（打ち消し合い）」となります。
- 山と谷の位置: 図の実線（円）は「山」を表しています。したがって、実線と実線のちょうど中間にある同心円上は「谷」になります。
- 波の進行: 波は時間とともに波源から外側へ広がっていきます。山や谷といった「位相」も、波の速さで移動します。
- 干渉条件: 2つの波源からの距離の差（経路差）が波長の整数倍 \(m\lambda\) なら強め合い（腹）、半整数倍 \((m+\frac{1}{2})\lambda\) なら弱め合い（節）になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、点Aが波源 \(S_1, S_2\) からそれぞれ「波長何個分」離れているかを確認し、その位置での波の状態（山か谷か）を判断して重ね合わせます。
- (2)では、波の性質として「山や谷という状態そのものが移動するかどうか」を考えます。定常波の節や腹の位置（強め合う点・弱め合う点の分布）は移動しませんが、その点における具体的な変位（山・谷）は時間変化します。
- (3)では、時間が経過した分だけ波を進行させ、新しい山や谷の位置を作図して求めます。
