「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 13】発展例題～発展問題328

発展例題

発展例題26 ピストンの移動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱容器内の、熱を通す仕切りによる気体の状態変化」です。複数の気体が相互作用しながら平衡状態に達する問題の典型例であり、熱力学の法則を的確に適用する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、2つの重要な保存則を見抜くことです。一つは「容器全体の体積の保存」、もう一つは「系全体の内部エネルギーの保存」です。さらに、壁が動いて静止したとき、左右の圧力が等しくなるという「力のつり合い」の条件も鍵となります。単原子分子理想気体の内部エネルギーが \(U=\frac{3}{2}pV\) と表せることを利用して、温度や物質量を直接計算せずに解くのが最も効率的な方法です。

この設問における重要なポイント

• 仕切壁が静止 \(\rightarrow\) 左右の圧力が等しい。
• 容器が断熱材 \(\rightarrow\) 左右の気体を合わせた系全体の内部エネルギーが保存される。
• 容器の壁は固定 \(\rightarrow\) 左右の気体の体積の和は一定。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U=\frac{3}{2}pV\)。

具体的な解説と立式
仕切壁が移動して静止した後の、左右の気体の圧力を \(p\)、体積をそれぞれ \(V_1\), \(V_2\) とします。

はじめの状態における内部エネルギーの和 \(U_{\text{初}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= (\text{左側の内部エネルギー}) + (\text{右側の内部エネルギー}) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}p_0(4V_0) + \frac{3}{2}(2p_0)V_0
\end{aligned}
$$

後の状態における内部エネルギーの和 \(U_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}pV_1 + \frac{3}{2}pV_2
\end{aligned}
$$
共通因数でくくると、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)
\end{aligned}
$$

容器全体が断熱されているため、内部エネルギーの和は保存されます。したがって、\(U_{\text{初}} = U_{\text{後}}\) より、
$$ \frac{3}{2}p_0(4V_0) + \frac{3}{2}(2p_0)V_0 = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2) \quad \cdots ① $$

また、容器全体の体積は変わらないので、
$$
\begin{aligned}
V_1 + V_2 &= 4V_0 + V_0 \\[2.0ex]
&= 5V_0 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
これで、未知数 \(p, V_1, V_2\) を含む2本の式が立てられました。

まず、式①の両辺を \(\frac{3}{2}\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
p_0(4V_0) + (2p_0)V_0 &= p(V_1 + V_2) \\[2.0ex]
4p_0V_0 + 2p_0V_0 &= p(V_1 + V_2) \\[2.0ex]
6p_0V_0 &= p(V_1 + V_2) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、この式③に、体積の関係式②を代入します。
$$
\begin{aligned}
6p_0V_0 &= p(5V_0)
\end{aligned}
$$
両辺を \(5V_0\) で割って、圧力 \(p\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{6p_0V_0}{5V_0} \\[2.0ex]
p &= \frac{6}{5}p_0
\end{aligned}
$$

断熱された箱の中で、熱を通す仕切りが動く状況を考えます。はじめは左右で圧力も体積も違いますが、仕切りを自由にすると、圧力の強い右側が左側を押し始めます。仕切りが止まるのは、左右からの「押す力（圧力）」が同じになったときです。また、箱全体が魔法瓶のようになっているので、気体が持っているエネルギーの合計は、仕切りが動く前と後で変わりません。この「エネルギーの合計が同じ」という式を立てることで、最終的につり合ったときの圧力を計算することができます。

最終的な圧力は \(p=\frac{6}{5}p_0\) と求まりました。
この値は、はじめの圧力 \(p_0\) と \(2p_0\) の間の値であり、物理的に妥当な結果です。特に、この結果は体積で重みづけした平均圧力 \(\frac{p_0 \cdot 4V_0 + 2p_0 \cdot V_0}{4V_0+V_0} = \frac{6p_0V_0}{5V_0} = \frac{6}{5}p_0\) と一致しています。これは、内部エネルギー保存則（\(U \propto pV\)）から導かれる、理にかなった結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 複合的な物理法則の適用
  • 核心: この問題の根幹は、一つの閉じた系の中で起こる状態変化を、「力のつり合い」「熱的平衡」「エネルギー保存」という複数の異なる物理法則を組み合わせて解析する能力です。これらの法則が、それぞれ気体のどの状態量（圧力、温度、内部エネルギー）に対応するのかを正確に理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 力学的つり合い: 「仕切壁が静止した」という記述は、壁に働く左右からの力がつり合ったことを意味します。気体の場合、これは「左右の圧力が等しくなる」という条件に翻訳されます。
    • 熱的平衡: 「熱を通す仕切壁」という記述は、左右の気体間で熱エネルギーの移動が可能であることを示します。十分な時間が経てば、両者の温度は等しくなり、「熱的平衡」の状態に達します。
    • エネルギー保存則: 「断熱材で覆われた容器」という記述は、容器全体（左右の気体を合わせた系）と外部との間で熱のやり取りがないことを意味します。また、系は外部に仕事をしないため、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) において \(Q=0, W=0\) となり、系全体の内部エネルギーの和 \(\Delta U = 0\)、つまり内部エネルギーの和が保存されることになります。
• 内部エネルギーの式の選択
  • 核心: 単原子分子理想気体の内部エネルギーを、\(U = \frac{3}{2}nRT\) と \(U = \frac{3}{2}pV\) の二通りで表現できることを理解し、問題の状況に応じて最適な式を選択することです。
  • 理解のポイント:
    • 模範解答の選択: 模範解答では \(U = \frac{3}{2}pV\) を採用しています。これは、問題で与えられているのが圧力 \(p\) と体積 \(V\) であり、求めたいのも最終的な圧力 \(p\) だからです。この式を使うことで、未知数である物質量 \(n\) や温度 \(T\) を計算の途中で登場させることなく、直接 \(p\) と \(V\) の関係式だけで解くことができ、計算が非常に簡潔になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁が断熱材の場合: もし仕切壁が「断熱材」でできていれば、左右の気体間で熱の移動は起こりません。壁が動くことで互いに仕事を及ぼし合いますが、最終的に温度が等しくなるとは限りません。この場合でも、系全体の内部エネルギーは保存されます。
  • 壁が固定で加熱される場合: 壁が固定されていて、片方の気体がヒーターなどで加熱される問題。この場合、体積は変化しないので気体は仕事をしませんが、外部から熱量 \(Q\) を受け取るため内部エネルギーは増加します。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q\) を適用します。
  • ピストンが外気に接している場合: シリンダーに封入された気体が、外気に接したピストンを動かす問題。この場合、気体は外部に対して仕事をしたり、されたりします。外圧が一定であれば、ピストンがゆっくり動く限り、内部の圧力は外圧とつり合った状態を保ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 容器と壁の性質を徹底的に確認する:
     • 容器: 「断熱」か「等温（熱をよく通す）」か？ → これが系全体のエネルギー保存や温度変化のルールを決めます。
     • 壁（ピストン）: 「断熱」か「熱を通す」か？ → これが系の内部での熱移動の有無、つまり最終的な温度の関係を決めます。
     • 壁（ピストン）: 「固定」か「自由に動ける」か？ → これが体積変化の有無や、最終的な圧力の関係を決めます。
  2. 気体の種類を特定する:
     • 「単原子分子」「二原子分子」のどちらか？ → これによって内部エネルギーの式（\(U=\frac{3}{2}nRT\) か \(U=\frac{5}{2}nRT\) か）が決まります。問題文に指定がなければ、単原子分子と考えることが多いです。
  3. 保存される量を見抜く:
     • 容器が密閉されていれば、左右の物質量の和 \(n_{\text{左}}+n_{\text{右}}\) は保存されます。
     • 容器の大きさが変わらなければ、左右の体積の和 \(V_1+V_2\) は保存されます。
     • 容器全体が断熱されていれば、左右の内部エネルギーの和 \(U_1+U_2\) は保存されます。
  4. 解法の戦略を立てる:
     • 最終的な圧力や体積だけが問われているか？ → 模範解答のように \(U=\frac{3}{2}pV\) を使ってエネルギー保存則を立てるのが早いか？
     • 最終的な温度や、途中のプロセスへの理解も問われているか？ → 別解のように状態方程式 \(pV=nRT\) から物質量の比を求め、物理的状態を段階的に明らかにしていく方が確実か？

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 個々の気体の内部エネルギーが保存されると誤解する:
  • 誤解: 「断熱容器だからエネルギーは保存される」と考え、左側の気体の内部エネルギーと、右側の気体の内部エネルギーが、それぞれ変化の前後で等しいとしてしまう。
  • 対策: 壁が動くとき、一方の気体は膨張して仕事をし（内部エネルギー減少）、もう一方は圧縮されて仕事をされます（内部エネルギー増加）。また、熱を通す壁を介して熱が移動します。したがって、個々の気体の内部エネルギーは保存されません。保存されるのは、あくまで左右の気体をひとまとめにした「系全体の内部エネルギーの和」であると正確に理解しましょう。
• 状態方程式を異なる状態で適用してしまう:
  • 誤解: 状態方程式 \(pV=nRT\) を立てる際に、変化前の圧力 \(p_0\) と変化後の体積 \(V_1\) を同じ式に入れてしまうなど、異なる時点の状態量を混同してしまう。
  • 対策: 状態方程式は、ある特定の瞬間の「状態」を記述する式です。「はじめの左側」「はじめの右側」「あとの左側」「あとの右側」というように、どの気体のどの時点について式を立てているのかを、添え字などで明確に区別する癖をつけましょう。
• 「容器が断熱」と「壁が熱を通す」の役割を混同する:
  • 誤解: 「容器が断熱」という言葉に引きずられて、仕切壁も断熱であるかのように錯覚し、最終的に左右の温度が等しくなるという条件を見落としてしまう。
  • 対策: 「容器が断熱」は、系全体と「外部」との熱のやり取りがないことを意味します。一方、「壁が熱を通す」は、「系の内部」での熱のやり取りがあることを意味します。この「外部」と「内部」の区別を意識することで、条件を正しく使い分けることができます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (主たる解法)での公式選択（内部エネルギー保存則と \(U=\frac{3}{2}pV\)）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は最終的な「圧力 \(p\)」です。問題の最も重要な条件は「断熱容器」であり、これは「系全体の内部エネルギーの和が保存される」ことを直接的に示唆します。したがって、エネルギー保存則を立式の中心に据えるのは自然な流れです。
  • 適用根拠: 内部エネルギーの表現には \(U=\frac{3}{2}nRT\) と \(U=\frac{3}{2}pV\) の2種類があります。ここで、もし \(U=\frac{3}{2}nRT\) を使うと、未知数として物質量 \(n\) と最終温度 \(T_{\text{後}}\) が現れ、式が複雑になります。一方、問題で与えられているのは圧力と体積であり、求めたいのも圧力です。\(U=\frac{3}{2}pV\) を使えば、未知数を圧力 \(p\) と体積 \(V_1, V_2\) のみに限定できます。さらに、\(V_1+V_2\) は全体の体積として既知であるため、この選択が最も効率的に答えにたどり着く道筋となります。
• (別解)でのアプローチ選択（状態方程式 \(pV=nRT\) の先行利用）:
  • 選定理由: 模範解答がマクロなエネルギー収支に着目するのに対し、よりミクロな視点、つまり気体の「物質量 \(n\)」や「温度 \(T\)」といった状態量の変化から物理現象を解き明かしたい場合に有効な選択です。状態方程式は気体の振る舞いを記述する最も基本的な法則であり、ここから出発することで、より詳細な物理的洞察が得られます。
  • 適用根拠:
    1. 初期条件の活用: 「はじめ、両者の気体の温度は等しい」という条件は、状態方程式 \(pV=nRT\) を使うことで、左右の「物質量の比 \(n_{\text{左}}/n_{\text{右}}\)」を特定するために利用できます。
    2. 最終条件の活用: 「壁が自由に動き（圧力が等しい）」かつ「熱を通す（温度が等しい）」という最終状態の条件を再び状態方程式に適用すると、今度は「体積の比 \(V_1/V_2\)」が先ほど求めた物質量の比に等しくなることが導かれます。
    3. 全体の統合: 体積比と、体積の和が一定であることから、最終的な体積 \(V_1, V_2\) が具体的に求まります。ここまで準備が整えば、あとは主たる解法と同様にエネルギー保存則を用いることで、確実かつ明快に最終的な圧力を求めることができます。このアプローチは、なぜその体積比に落ち着くのかという物理的背景まで明らかにできる点で優れています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • \(p_0, V_0\) などの文字のまま、式の整理を進めましょう。はじめから数値を代入すると、式が持つ物理的な意味が失われ、間違いに気づきにくくなります。文字式で最終的な形を導いてから値を代入する方が、検算も容易です。
• 共通因数で式を簡潔にする:
  • 内部エネルギーの和を計算する際、\(\frac{3}{2}\) や、後の状態における圧力 \(p\) などは共通因数になります。これらを括りだすことで、\(U_{\text{後}} = \frac{3}{2}p(V_1+V_2)\) のように式が非常に見やすくなり、計算ミスを減らせます。
• 単位（次元）による検算:
  • 最終的に求めた答えの単位が、求めたい物理量の単位と一致しているかを確認する癖をつけましょう。この問題では、圧力 \(p\) を求めているので、答えは \(p_0\) の定数倍、つまり圧力の単位（次元）を持つはずです。もし \(p_0 V_0\) のような項が残っていたら、計算のどこかで体積 \(V\) を消し忘れている可能性が高いです。
• 物理的に妥当な値か吟味する:
  • 計算結果が出たら、それが物理的にありえる値かどうかを考えます。最終的な圧力 \(p = \frac{6}{5}p_0 = 1.2 p_0\) は、はじめの圧力 \(p_0\) と \(2p_0\) の間に収まっています。もしこの範囲から外れた値が出た場合、それは物理的に考えにくいため、計算過程を見直すきっかけになります。
• 比の計算は慎重に:
  • 別解のように状態方程式の比をとる場合、どの項が分子でどの項が分母かを明確にし、約分を丁寧に行いましょう。簡単な分数計算ほど、うっかりミスが起こりやすいポイントです。

発展例題27 \(p-V\)グラフと\(T-V\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「理想気体の状態変化とグラフの読み替え」です。気体の状態変化を表す \(p-V\) グラフから、各状態における物理量を計算し、それを別の種類のグラフ（\(T-V\) グラフ）に変換する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、グラフから読み取れる情報（圧力、体積）と問題文で与えられた情報（Aの温度、B→Cが等温変化）を整理します。状態Aと状態Bでは、圧力と体積がともに分かっており、Aの温度も既知です。気体はシリンダーに閉じ込められているので物質量は一定です。したがって、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を使うことで、未知の温度 \(T_B\) を求めることができます。\(T_C\) は、B→Cが等温変化であるという条件から直ちにわかります。

この設問における重要なポイント

• A→Bは体積が \(V_0\) で一定の「定積変化」。
• B→Cは温度が一定の「等温変化」。
• C→Aは圧力が \(p_0\) で一定の「定圧変化」。
• 閉じ込められた気体なので、物質量 \(n\) は常に一定。
• ボイル・シャルルの法則: \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\)。

具体的な解説と立式
状態A, B, Cにおける圧力、体積、絶対温度をそれぞれ (\(p_A, V_A, T_A\)), (\(p_B, V_B, T_B\)), (\(p_C, V_C, T_C\)) とします。
グラフと問題文から、以下の値がわかります。

• 状態A: \(p_A = p_0\), \(V_A = V_0\), \(T_A = T_0\)
• 状態B: \(p_B = 3p_0\), \(V_B = V_0\), \(T_B = ?\)
• 状態C: \(p_C = p_0\), \(V_C = 3V_0\), \(T_C = ?\)

状態Aと状態Bについて、ボイル・シャルルの法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(3p_0) V_0}{T_B} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、B→Cの過程は等温変化なので、
$$
\begin{aligned}
T_C &= T_B \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

まず、式①を \(T_B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{3p_0 V_0}{T_B} \\[2.0ex]
T_B \cdot (p_0 V_0) &= T_0 \cdot (3p_0 V_0)
\end{aligned}
$$
両辺を \(p_0 V_0\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
T_B &= 3T_0
\end{aligned}
$$
次に、式②より、Cにおける絶対温度 \(T_C\) は、
$$
\begin{aligned}
T_C &= 3T_0
\end{aligned}
$$

気体の状態は「圧力、体積、温度」の3つの要素で決まります。この3つは「\((\text{圧力} \times \text{体積}) \div \text{温度}\)」が常に一定になる、という法則で結びついています。今回は、A地点とB地点の「圧力」と「体積」がグラフからわかっているので、この法則を使ってB地点の温度を計算できます。計算すると、B地点の温度はA地点の3倍になります。また、BからCへは「等温変化」という指示があるので、C地点の温度はB地点と同じです。

Bにおける絶対温度は \(3T_0\)、Cにおける絶対温度は \(3T_0\) と求まりました。
A→Bの過程は定積変化（体積一定）です。このとき、状態方程式 \(pV=nRT\) より圧力と絶対温度は比例します (\(p \propto T\))。圧力が \(p_0\) から \(3p_0\) へと3倍になっているので、絶対温度も \(T_0\) から \(3T_0\) へと3倍になるはずで、計算結果と一致します。B→Cは等温変化なので、温度が \(3T_0\) のままであることも妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
このサイクルの \(T-V\) グラフを描くには、A→B、B→C、C→Aの各過程において、絶対温度 \(T\) と体積 \(V\) がどのような関係にあるかを調べる必要があります。
まず、(1)で求めた温度とグラフから読み取れる体積を用いて、A, B, C各点の \(T-V\) 平面上での座標を確定させます。
次に、各過程がどのような変化（定積、等温、定圧）であるかに注目し、\(T\) と \(V\) の関係式を導き、それらがグラフ上でどのような線（垂直線、水平線、原点を通る直線など）になるかを判断して、各点を結びます。

この設問における重要なポイント

• A→B (定積変化): \(V\) が一定なので、\(T-V\) グラフでは縦軸に平行な直線（垂直線）になる。
• B→C (等温変化): \(T\) が一定なので、\(T-V\) グラフでは横軸に平行な直線（水平線）になる。
• C→A (定圧変化): \(p\) が一定。状態方程式 \(pV=nRT\) より \(T = (\frac{p}{nR})V\) となり、\(T\) は \(V\) に比例する。したがって、\(T-V\) グラフでは原点を通る直線になる。

具体的な解説と立式
各点の \(T-V\) 平面における座標は以下の通りです。

• A: (\(V_A, T_A\)) = (\(V_0, T_0\))
• B: (\(V_B, T_B\)) = (\(V_0, 3T_0\))
• C: (\(V_C, T_C\)) = (\(3V_0, 3T_0\))

各過程の \(T\) と \(V\) の関係を考えます。

• A→Bの過程:
  定積変化であり、体積は \(V=V_0\) のまま一定です。温度は \(T_0\) から \(3T_0\) に上昇します。これは \(T-V\) グラフ上で、点(\(V_0, T_0\))から点(\(V_0, 3T_0\))へ引いた、\(T\)軸に平行な線分に対応します。
• B→Cの過程:
  等温変化であり、温度は \(T=3T_0\) のまま一定です。体積は \(V_0\) から \(3V_0\) に増加します。これは \(T-V\) グラフ上で、点(\(V_0, 3T_0\))から点(\(3V_0, 3T_0\))へ引いた、\(V\)軸に平行な線分に対応します。
• C→Aの過程:
  定圧変化であり、圧力は \(p=p_0\) のまま一定です。理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) に \(p=p_0\) を代入すると、
  $$
  \begin{aligned}
  p_0V &= nRT
  \end{aligned}
  $$
  これを \(T\) について整理すると、
  $$
  \begin{aligned}
  T &= \frac{p_0}{nR} V
  \end{aligned}
  $$
  ここで、\(nR\) は定数なので、\(T\) は \(V\) に比例します。したがって、この過程は \(T-V\) グラフ上で原点Oを通る直線の一部となります。点C(\(3V_0, 3T_0\))と点A(\(V_0, T_0\))を結ぶ線分です。
  （ちなみに、状態Aの関係式 \(p_0V_0=nRT_0\) から \(nR = \frac{p_0V_0}{T_0}\) を代入すると、\(T = \frac{p_0}{(p_0V_0/T_0)}V = \frac{T_0}{V_0}V\) となり、傾きが \(\frac{T_0}{V_0}\) の直線であることがより明確になります。）

以上の3つの過程を合わせることで、\(T-V\) グラフが完成します。

この設問はグラフを描画するものであり、計算は上記「具体的な解説と立式」の通りです。各点の座標をプロットし、過程ごとの線の形状を判断して結びます。

\(p-V\) グラフという「圧力と体積の地図」を、「温度と体積の地図」である \(T-V\) グラフに描き直す作業です。

1. まず、A, B, Cという3つの地点が、新しい地図の上でどの座標になるかを計算します。
2. 次に、AからBへの移動（体積が変わらず温度だけ上がる）、BからCへの移動（温度が変わらず体積だけ増える）、CからAへの移動（特別なルールに従って、体積が減ると温度も下がる）が、それぞれどんな形の道筋になるかを考えます。
3. 最後に、これらの道筋をつなぎ合わせれば、新しい地図の完成です。

描かれたグラフは、三角形を描きます。A→Bは垂直な線分、B→Cは水平な線分、C→Aは原点に向かう直線の一部となっており、各過程の物理的な性質を正しく表現しています。特に、C→Aの過程が直線になること、そしてその直線が原点を通ることを理解しているかが重要です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式とそれから導かれる関係
  • 核心: この問題の根幹は、理想気体の状態（圧力 \(p\)、体積 \(V\)、絶対温度 \(T\)）を支配する最も基本的な法則である状態方程式 \(pV=nRT\) を理解し、それを様々な状況に応じて使いこなす能力です。ボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T}=\text{一定}\) や、各過程（定積・定圧・等温）における変数間の比例関係は、すべて状態方程式から導かれます。
  • 理解のポイント:
    • 状態方程式は万能: どんな平衡状態にある気体にも適用できる、熱力学の出発点となる法則です。
    • ボイル・シャルルの法則は便利な道具: 物質量 \(n\) が一定のとき、2つの状態を比較するのに特化した便利な関係式です。状態方程式から \(nR = \frac{pV}{T}\) が一定であることを利用して導かれます。
    • 各過程の性質: 定積（\(V\)一定）、定圧（\(p\)一定）、等温（\(T\)一定）という条件を状態方程式に適用することで、残りの2つの変数がどのような関係（例：定圧なら \(T \propto V\)）になるかを導き出せます。
• グラフの物理的意味の読解と変換
  • 核心: \(p-V\) グラフに描かれた点や線が、それぞれ気体の「状態」と「状態変化の過程」を意味することを理解し、その情報を別の種類のグラフ（\(T-V\) グラフ）に正確に翻訳することです。
  • 理解のポイント:
    • 点は「状態」: グラフ上の点A, B, Cは、それぞれ特定の圧力、体積、温度を持つ気体の状態を表します。
    • 線は「過程」: 点と点を結ぶ線は、気体がどのように変化したか（定積、定圧、等温など）を表します。
    • グラフの変換: あるグラフから別のグラフへ変換するには、各点の座標を計算し、各過程における軸の変数間の関係式（例：\(T \propto V\)）を導出して、それらがどのような線種（直線、曲線など）になるかを判断する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 他のグラフへの変換: \(p-V\) グラフから \(p-T\) グラフへ、あるいは \(T-V\) グラフから \(p-V\) グラフへなど、あらゆる組み合わせの変換問題。
  • 断熱変化を含むサイクル: \(p-V\) グラフ上で、等温変化の曲線（\(p \propto 1/V\)）よりも傾きが急な断熱変化の曲線（\(p \propto 1/V^\gamma\)）が含まれる問題。
  • 熱効率の計算: サイクル全体で気体が外部にした仕事（\(p-V\) グラフが囲む面積）や、吸収した熱量を計算し、熱効率 \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}}\) を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずグラフの軸を確認する: 横軸と縦軸がどの物理量（\(p, V, T\)）を表しているかを最初に確認します。
  2. 各過程の種類を特定する: グラフの線の形状から、各過程が「定積」「定圧」「等温」のどれに当たるかを判断します。
     • \(p-V\) グラフ: 縦線→定積、横線→定圧、反比例の曲線→等温。
     • \(T-V\) グラフ: 縦線→定積、横線→等温、原点を通る直線→定圧。
  3. 状態量を整理する: A, B, Cなどの特徴的な点について、(\(p, V, T\)) の値を、わかっているものと未知のものに分けて書き出すと、見通しが良くなります。
  4. 計算の起点となる状態を見つける: 問題文やグラフから、(\(p, V, T\)) のうちできるだけ多くの情報が与えられている状態（この問題では状態A）を見つけ、そこから計算を始めます。
  5. 適切な法則を選択する:
     • 2状態間の関係を知りたい場合: 物質量が一定なら、ボイル・シャルルの法則が最も手早く計算できます。
     • グラフの線の関係式を知りたい場合: 状態方程式 \(pV=nRT\) に、その過程の条件（例：\(p=\text{一定}\)）を代入して、軸となっている2変数の関係を導きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度を摂氏温度で計算してしまう:
  • 誤解: 状態方程式やボイル・シャルルの法則の \(T\) に、問題で与えられた摂氏温度 [\(^\circ\text{C}\)] の値をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 熱力学で用いる温度は、必ず「絶対温度 [K]」です。これは物理法則の根幹に関わるルールなので、機械的に変換する癖をつけましょう（\(T[\text{K}] = t[^\circ\text{C}] + 273\)）。
• グラフの形状を丸暗記して混同する:
  • 誤解: 「定圧変化は横線」のように単純に暗記し、\(p-V\) グラフでも \(T-V\) グラフでも横線を描いてしまう。
  • 対策: グラフの形状は、その都度、状態方程式から導出する習慣をつけましょう。「C→Aは定圧（\(p\)が一定）だから、状態方程式 \(pV=nRT\) より \(T = (\frac{p}{nR})V\)。\(T\) と \(V\) は比例関係なので、\(T-V\) グラフでは原点を通る直線になる」という論理的な思考プロセスが、ミスを防ぐ最善の策です。
• 等温変化と断熱変化の曲線を混同する:
  • 誤解: \(p-V\) グラフ上で、双曲線のように見える曲線が、等温変化なのか断熱変化なのか区別できない。
  • 対策: 同じ点から圧縮または膨張する場合、断熱変化の曲線の方が等温変化の曲線よりも傾きが急になります。これは、断熱圧縮では温度が上昇するため、同じ体積変化でも圧力の上昇がより大きくなるため、と理由とセットで理解しておくと忘れにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは状態Bの温度 \(T_B\) であり、比較対象として状態Aの情報が完全に与えられています。このように「2つの状態」を比較する場面で、かつ気体の「物質量が一定」である場合に、最も直接的に答えを導けるのがボイル・シャルルの法則です。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) から、\(nR = \frac{pV}{T}\) となります。閉じ込められた気体では \(n\) と \(R\) は定数なので、\(\frac{pV}{T}\) の値がどの状態でも一定になります。これがボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_A V_A}{T_A} = \frac{p_B V_B}{T_B}\) を適用できる根拠です。
• (1)別解でのアプローチ選択（状態方程式）:
  • 選定理由: ボイル・シャルルの法則が状態方程式から導かれる、より基本的な関係であることを確認するため、あるいは法則を忘れてしまった場合でも解けるようにするためです。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) は、いかなる平衡状態においても成立する普遍的な法則です。状態Aと状態Bそれぞれについてこの式を立て、両者に共通する定数項 \(nR\) を消去することで、結果的にボイル・シャルルの法則と同じ関係式を導き出し、解を求めることができます。より根本的で応用範囲の広いアプローチです。
• (2)での公式選択（状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは \(T-V\) グラフ、すなわち「絶対温度 \(T\) と体積 \(V\) の関係」です。複数の物理変数（\(p, V, T\)）の関係性を記述する法則は、状態方程式以外にありません。
  • 適用根拠: 各過程（定積、定圧、等温）における条件を、状態方程式 \(pV=nRT\) に代入することで、求めたい2変数（この場合は \(T\) と \(V\)）の関係式を導き出すことができます。例えば、定圧過程（C→A）では \(p=p_0\)（定数）なので、式は \(T = (\frac{p_0}{nR})V\) と変形できます。これは \(T\) が \(V\) に比例することを示しており、\(T-V\) グラフ上で原点を通る直線になることの論理的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添え字を明確に使い分ける:
  • \(p_A, V_A, T_A\) や \(p_B, V_B, T_B\) のように、どの状態における物理量なのかを添え字で明確に区別しましょう。これにより、計算途中で異なる状態の値をうっかり代入してしまうミスを防げます。
• 比の計算は分数で整理する:
  • ボイル・シャルルの法則を \(T_B\) について解く場合、いきなり数値を代入するのではなく、\(T_B = T_A \times \frac{p_B}{p_A} \times \frac{V_B}{V_A}\) のように文字式のまま変形すると、物理的な意味（圧力が何倍に、体積が何倍になったか）が分かりやすくなり、検算も容易になります。
  • この問題では、\(T_B = T_0 \times \frac{3p_0}{p_0} \times \frac{V_0}{V_0} = T_0 \times 3 \times 1 = 3T_0\) と、暗算レベルで確認できます。
• グラフの整合性を確認する:
  • (2)でグラフを描き終えたら、セルフチェックを行いましょう。
    • 点の座標: A, B, Cの各点が、(1)で求めた、あるいはグラフから読み取った正しい (\(V, T\)) 座標にプロットされているか。
    • 線の形状: A→Bは定積なので垂直か？ B→Cは等温なので水平か？ C→Aは定圧なので原点を通る直線になっているか？
    • サイクルの向き: 矢印が A→B→C→A の順になっているか。
  • これらの簡単な確認で、多くのミスを発見できます。
• 物理的な妥当性を吟味する:
  • A→B（定積加熱）では、気体は熱を吸収して温度が上がるはずです。計算結果 \(T_B = 3T_0 > T_0\) はこれと一致します。
  • B→C（等温膨張）では、気体は外部に仕事をしながら、同じ分だけ熱を吸収して温度を維持します。
  • C→A（定圧冷却）では、気体は熱を放出され、収縮して温度が下がるはずです。\(T_A = T_0 < T_C\) はこれと一致します。
  • このように、各過程での熱の出入りや仕事の関係を大まかに考えることで、計算結果が物理的に妥当かどうかを判断できます。

発展例-題28 \(p-V\)グラフと熱効率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(p-V\)グラフで表される熱サイクルと熱効率」です。理想気体の状態変化について、仕事、内部エネルギー、熱量の関係を定量的に計算し、熱機関としての性能（熱効率）を評価する、熱力学の総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1サイクルで気体がした仕事の和 \(W’\) は、各過程（A→B, B→C, C→D, D→A）で気体がした仕事の総和です。気体が仕事をするのは体積が変化する過程のみです。したがって、定圧膨張であるB→Cの過程と、定圧圧縮であるD→Aの過程の仕事に着目します。A→BとC→Dは体積が一定の定積変化なので、気体は仕事をしません。

この設問における重要なポイント

• 気体がする仕事は \(W = p\Delta V\) で計算される（定圧変化の場合）。
• 体積が増加（膨張）すれば、気体は正の仕事をする (\(W>0\))。
• 体積が減少（圧縮）すれば、気体は負の仕事をする (\(W<0\))。
• 体積が一定（定積変化）ならば、仕事はゼロ (\(W=0\))。

具体的な解説と立式
1サイクルでの仕事の和 \(W’\) は、各過程の仕事の和で表されます。
$$
\begin{aligned}
W’ &= W_{\text{A→B}} + W_{\text{B→C}} + W_{\text{C→D}} + W_{\text{D→A}}
\end{aligned}
$$
各過程の仕事を計算します。

• A→Bの過程: 定積変化 (\(\Delta V = 0\)) なので、\(W_{\text{A→B}} = 0\)。
• B→Cの過程: 定圧変化 (\(p=2p_0\)) で、体積が \(V_0\) から \(2V_0\) に増加するので、
  $$
  \begin{aligned}
  W_{\text{B→C}} &= 2p_0 \times (2V_0 – V_0) \\[2.0ex]
  &= 2p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
• C→Dの過程: 定積変化 (\(\Delta V = 0\)) なので、\(W_{\text{C→D}} = 0\)。
• D→Aの過程: 定圧変化 (\(p=p_0\)) で、体積が \(2V_0\) から \(V_0\) に減少するので、
  $$
  \begin{aligned}
  W_{\text{D→A}} &= p_0 \times (V_0 – 2V_0) \\[2.0ex]
  &= -p_0V_0
  \end{aligned}
  $$

したがって、仕事の和 \(W’\) は、
$$
\begin{aligned}
W’ &= 0 + 2p_0V_0 + 0 + (-p_0V_0)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W’ &= 2p_0V_0 – p_0V_0 \\[2.0ex]
&= p_0V_0
\end{aligned}
$$

気体は、膨らむときには外部を押しのけて「プラスの仕事」をし、縮むときには外部から押されて「マイナスの仕事」をします。このサイクルでは、B→Cの過程で大きく膨らみ（プラスの仕事）、D→Aの過程で小さく縮みます（マイナスの仕事）。このプラスとマイナスを合計したものが、1サイクル全体での正味の仕事になります。

仕事の和は \(p_0V_0\) となり、正の値でした。これは、サイクルが時計回りであることから、全体として気体が外部に正の仕事をしたことを意味しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
気体が吸収した熱量を求めるには、モル比熱を用いた公式 \(Q = nC\Delta T\) を使うのが基本です。この公式を使うためには、各状態の温度を知る必要があります。状態Aの温度が \(T_0\) と与えられているので、これを基準に、状態Bと状態Cの温度 \(T_B, T_C\) を求めます。気体の物質量は \(n=1\,\text{mol}\) で一定なので、ボイル・シャルルの法則（または状態方程式）が使えます。温度が求まったら、A→Bが定積変化、B→Cが定圧変化であることに注意して、それぞれに適したモル比熱（\(C_V, C_p\)）を使って熱量を計算します。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体のモル比熱は、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
• A→Bは定積変化なので \(Q_{\text{A→B}} = nC_V\Delta T\)。
• B→Cは定圧変化なので \(Q_{\text{B→C}} = nC_p\Delta T\)。

具体的な解説と立式
まず、状態B, Cの温度を求めます。気体は \(1\,\text{mol}\) なので、状態Aについて状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
p_0V_0 &= 1 \cdot RT_0 \\[2.0ex]
&= RT_0
\end{aligned}
$$
この関係は後で使います。
状態Aと状態Bについてボイル・シャルルの法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(2p_0) V_0}{T_B}
\end{aligned}
$$
状態Aと状態Cについても同様に、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_C V_C}{T_C}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(2p_0) (2V_0)}{T_C}
\end{aligned}
$$
次に、各過程で吸収した熱量を計算します。

• A→Bの過程（定積変化）:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{A→B}} &= nC_V(T_B – T_A) \\[2.0ex]
  &= 1 \times \frac{3}{2}R \times (T_B – T_0)
  \end{aligned}
  $$
• B→Cの過程（定圧変化）:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{B→C}} &= nC_p(T_C – T_B) \\[2.0ex]
  &= 1 \times \frac{5}{2}R \times (T_C – T_B)
  \end{aligned}
  $$

まず、温度を計算します。

• \(T_B\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{2p_0 V_0}{T_B} \\[2.0ex]
  T_B &= 2T_0
  \end{aligned}
  $$
• \(T_C\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{4p_0 V_0}{T_C} \\[2.0ex]
  T_C &= 4T_0
  \end{aligned}
  $$

次に、これらの温度を使って熱量を計算します。

• \(Q_{\text{A→B}}\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{A→B}} &= \frac{3}{2}R(2T_0 – T_0) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2}RT_0
  \end{aligned}
  $$
• \(Q_{\text{B→C}}\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{B→C}} &= \frac{5}{2}R(4T_0 – 2T_0) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}R(2T_0) \\[2.0ex]
  &= 5RT_0
  \end{aligned}
  $$

気体に熱を加えると温度が上がります。AからBへは、体積を変えずに圧力を上げる（定積変化）という方法で熱を加えます。BからCへは、圧力を変えずに体積を膨らませる（定圧変化）という方法で熱を加えます。この「熱の加え方」によって計算式が違うので、それぞれの場面に合った公式を使って、加えられた熱の量を計算します。

A→B、B→Cの過程はいずれも温度が上昇しているため、気体は熱を吸収しており、計算結果が正の値になるのは妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
熱効率 \(e\) は、熱機関が吸収した熱エネルギー \(Q_{\text{in}}\) のうち、どれだけの割合を仕事 \(W’\) に変換できたかを示す指標です。定義式は \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) です。
まず、このサイクルで熱を「吸収」している過程を特定します。熱の吸収・放出は温度変化で判断でき、温度が上昇する過程で熱を吸収します。A→BとB→Cでは温度が上昇しているので、これらが熱吸収過程です。C→DとD→Aでは温度が下降するので熱放出過程です。
したがって、吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{in}}\) は、(2)で求めた \(Q_{\text{A→B}}\) と \(Q_{\text{B→C}}\) の和になります。
(1)で求めた仕事 \(W’\) と、この \(Q_{\text{in}}\) を定義式に代入して熱効率を計算します。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義: \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\)。
• \(Q_{\text{in}}\) は、サイクル中で気体が吸収した熱量の総和（プラスのQの合計）。
• \(W’\) は、1サイクルで気体がした正味の仕事。

具体的な解説と立式
1サイクルで吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{in}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= Q_{\text{A→B}} + Q_{\text{B→C}}
\end{aligned}
$$
(2)の結果を用いると、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= \frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0
\end{aligned}
$$
1サイクルで気体がした仕事 \(W’\) は、(1)の結果より、
$$
\begin{aligned}
W’ &= p_0V_0
\end{aligned}
$$
熱効率 \(e\) の定義式にこれらを代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{W’}{Q_{\text{in}}} \\[2.0ex]
&= \frac{p_0V_0}{\frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0}
\end{aligned}
$$
ここで、状態Aにおける状態方程式 \(p_0V_0 = nRT_0\) に \(n=1\,\text{mol}\) を代入すると、\(p_0V_0 = RT_0\) となります。この関係を使って式を整理します。

$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= \frac{3}{2}RT_0 + \frac{10}{2}RT_0 \\[2.0ex]
&= \frac{13}{2}RT_0
\end{aligned}
$$
熱効率の式に \(W’ = p_0V_0 = RT_0\) と \(Q_{\text{in}}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{RT_0}{\frac{13}{2}RT_0} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{13/2} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{13}
\end{aligned}
$$
これを小数で計算し、有効数字2桁で求めます。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{2}{13} \\[2.0ex]
&\approx 0.1538…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(0.15\) となります。

この気体のサイクルを一つのエンジンと見なしたときの「燃費」を計算します。燃費は「（エンジンがした仕事）÷（消費した燃料）」で決まります。ここで「エンジンがした仕事」は(1)で計算した \(W’\)、「消費した燃料」は(2)で計算した、エンジンが吸収した熱の合計 \(Q_{\text{in}}\) にあたります。これらの値を割り算して、エンジンの効率を求めます。

熱効率は \(e=2/13 \approx 0.15\) と求まりました。これは、吸収した熱エネルギーのうち、約15%しか仕事に変換できず、残りの85%は熱として捨てられていることを意味します。熱効率は必ず1より小さくなるため、この結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則のサイクルへの適用
  • 核心: この問題の根幹は、熱力学の基本法則である \(\Delta U = Q – W\) を、A→B→C→D→Aという一連の閉じたサイクル全体にわたって適用し、エネルギーの収支を定量的に分析する能力です。仕事、熱、内部エネルギーという3つの重要な物理量が、各過程でどのように変化し、互いにどう関係しているかを理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 過程ごとの分析: 熱力学第一法則は、A→BやB→Cといった個々の過程に適用できます。
    • サイクル全体での分析: 1サイクル後には気体は元の状態Aに戻るため、温度も元に戻ります。したがって、1サイクル全体での内部エネルギーの変化はゼロ (\(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\)) です。このことから、\(0 = Q’ – W’\)、つまり \(W’ = Q’\) という関係が成り立ちます。ここで \(W’\) は正味の仕事、\(Q’\) は正味の熱量 (\(Q_{\text{in}} – Q_{\text{out}}\)) です。
• 熱効率の物理的意味の理解
  • 核心: 熱機関が、吸収した熱エネルギーをどれだけ効率よく仕事に変換できるかを示す指標が「熱効率」であることを理解し、その定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) を正しく運用することです。
  • 理解のポイント:
    • \(W’\)（成果）: 気体が1サイクルで外部にした正味の仕事。\(p-V\)グラフが囲む面積に相当します。
    • \(Q_{\text{in}}\)（コスト）: 気体が1サイクル中に外部の高温熱源から吸収した熱量の「総和」。温度が上昇する過程で吸収した熱量をすべて足し合わせます。放出した熱量は含めません。
    • 効率の本質: 効率とは常に「得られた成果 ÷ 投じたコスト」であり、熱効率の定義式もこの考え方に基づいています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる形状のサイクル: 三角形や台形、あるいは等温変化や断熱変化の曲線を含む、より複雑な形状のサイクル問題。基本的な考え方は同じで、各過程の種類を特定し、仕事と熱を計算します。
  • 冷凍サイクル（逆サイクル）: \(p-V\)グラフを反時計回りに回るサイクル。この場合、外部から仕事をされることで低温部分から熱を奪い、高温部分へ熱を放出するヒートポンプや冷凍機として機能します。
  • カルノーサイクル: 最も熱効率が高いとされる理想的な熱サイクル。2つの等温変化と2つの断熱変化で構成されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各点の状態量（p, V, T）をすべて求める: 問題で与えられた基準点（この問題ではA点）の状態方程式 \(p_AV_A=nRT_A\) を出発点とし、ボイル・シャルルの法則などを使って、サイクル上のすべての特徴的な点（B, C, D）の温度を最初に計算してしまうのが定石です。これが後続のすべての計算の土台となります。
  2. 熱の吸収過程と放出過程を区別する: 各過程で温度が上昇しているか (\(\Delta T > 0\))、下降しているか (\(\Delta T < 0\)) を確認します。温度が上昇する過程が「熱吸収過程」であり、熱効率の計算に必要な \(Q_{\text{in}}\) は、これらの過程で吸収した熱量の合計です。
  3. 仕事の計算方法を選択する:
     • 図形が単純な場合: サイクルが囲む面積を計算するのが最も速くて確実です。
     • 図形が複雑な場合: 各過程の仕事 \(W\) を \(p\Delta V\) や積分で計算し、それらを足し合わせる基本に立ち返ります。
  4. 熱量の計算方法を選択する:
     • 定積・定圧変化の場合: モル比熱の公式 \(Q=nC\Delta T\) を使うのが最も効率的です。
     • 等温変化の場合: \(\Delta U=0\) なので、熱力学第一法則より \(Q=W\) となります。仕事 \(W\) は \(nRT\ln(V_f/V_i)\) で計算します。
     • 断熱変化の場合: \(Q=0\) です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(Q_{\text{in}}\) の計算で、放出した熱量を引いてしまう:
  • 誤解: 1サイクルで吸収した正味の熱量（吸収量－放出量）を分母に使ってしまう。
  • 対策: 熱効率の定義を正しく理解しましょう。分母の \(Q_{\text{in}}\) は、あくまで外部の高温熱源から「もらった熱エネルギーの総量」です。エンジンを動かすために投入したコスト全体と考えるのが分かりやすいです。したがって、温度が上昇する過程のQ（正の値）だけを足し合わせます。
• 仕事の符号の混同:
  • 誤解: 膨張過程（B→C）と圧縮過程（D→A）の仕事の符号を取り違えたり、足し合わせる際に間違えたりする。
  • 対策: 「体積が増えれば気体は正の仕事、体積が減れば負の仕事」という原則を徹底します。また、\(p-V\)グラフでは「時計回りのサイクルは正味の仕事が正、反時計回りは負」と覚えておくと、最終的な符号の検算に役立ちます。
• モル比熱の使い分けミス:
  • 誤解: 定積変化なのに定圧モル比熱 \(C_p\) を使ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 「定積（Volumeが一定）→ \(C_V\)」「定圧（Pressureが一定）→ \(C_p\)」と、頭文字と関連付けて覚えましょう。また、なぜ \(C_p\) が \(C_V\) より大きいのか（定圧変化では熱が内部エネルギー増加と外部への仕事の両方に使われるため）を理解しておくと、より間違いにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（面積法）:
  • 選定理由: 求めたいのは1サイクル全体の「仕事の和 \(W’\)」です。各過程の仕事を個別に計算して足し合わせるよりも、サイクルが囲む面積を計算する方が圧倒的に速く、計算ミスも少ないため、こちらを選択するのが合理的です。
  • 適用根拠: 気体がする仕事 \(W\) は、数学的には圧力 \(p\) を体積 \(V\) で積分した値 \(\int p dV\) で定義されます。これをサイクル全体で計算すると、結果的にサイクルが囲む領域の面積と等しくなります。この物理的・数学的な背景が、面積法を適用する根拠です。
• (2)での公式選択（モル比熱の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは定積変化（A→B）と定圧変化（B→C）という、種類が明確な過程で吸収した「熱量 \(Q\)」です。このような特定の過程における熱量を計算するために、まさに定義されたのがモル比熱です。
  • 適用根拠: モル比熱 \(C\) は「気体 \(1\,\text{mol}\) の温度を \(1\,\text{K}\) 上昇させるのに必要な熱量」と定義されています。したがって、\(n\,\text{mol}\) の気体の温度を \(\Delta T\) だけ上昇させるのに必要な熱量は \(Q=nC\Delta T\) となります。A→Bは定積、B→Cは定圧なので、それぞれに対応する \(C_V, C_p\) を用いるのが最も直接的な解法です。
• (3)での公式選択（熱効率の定義式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「熱効率 \(e\)」であり、これは熱機関の性能を表す物理量です。この量を計算するための式は、定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) 以外にありません。
  • 適用根拠: この式は、熱力学第二法則に関連する熱機関の効率の定義そのものです。(1)で「成果」である \(W’\) を、(2)で「コスト」である \(Q_{\text{in}}\) の一部を計算しているため、それらを組み合わせて定義式に当てはめるのは、問題の流れとして必然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 各点の状態量を一覧にする:
  • 計算を始める前に、A, B, C, Dの各点について、圧力、体積、温度を表にまとめると、全体像が把握しやすくなり、計算ミスを防げます。
    

    状態	圧力 \(p\)	体積 \(V\)	絶対温度 \(T\)
    A	\(p_0\)	\(V_0\)	\(T_0\)
    B	\(2p_0\)	\(V_0\)	\(2T_0\)
    C	\(2p_0\)	\(2V_0\)	\(4T_0\)
    D	\(p_0\)	\(2V_0\)	\(2T_0\)

• 文字式のまま計算を進める:
  • (3)の計算では、\(W’ = p_0V_0\) と \(Q_{\text{in}} = \frac{13}{2}RT_0\) のように、単位系が異なる文字が混在します。ここで焦らず、状態Aの状態方程式 \(p_0V_0 = RT_0\) を使ってどちらかに統一することで、きれいに約分できます。最後まで文字式で計算し、最後に数値を代入するのが鉄則です。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • \(Q_{\text{in}}\) の計算 \(\frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0\) や、熱効率の計算 \(\frac{1}{13/2}\) など、基本的な分数計算が含まれます。通分や逆数の計算は、暗算に頼らず一手間かけて筆算するなど、慎重に行いましょう。
• 最終的な値の吟味:
  • 熱効率 \(e\) は、理論上 \(0 < e < 1\) の範囲の値をとります。計算結果が1を超えたり、負になったりした場合は、\(W’\) と \(Q_{\text{in}}\) のどちらか、あるいは両方の計算が間違っていることが確実です。特に、\(Q_{\text{in}}\) の計算で放熱過程を含めていないか、再確認しましょう。

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)