未来の得点力へ！高校物理 問題演習「水中の泡の体積変化」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静水圧とボイル・シャルルの法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

ア

思考の道筋とポイント
水中で1m深くなるごとの圧力増加を求める問題です。これは静水圧の公式 \(\Delta p = \rho g h\) を直接使う問題です。ただし、与えられた水の密度の単位が \(\text{g/cm}^3\) なので、計算の前にSI単位系の \(\text{kg/m}^3\) に変換する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 静水圧の公式 \(\Delta p = \rho g h\) を正しく適用できる。
• 計算の前に、すべての単位をSI単位系（m, kg, s）に揃える。
• 密度の単位変換 (\(\text{g/cm}^3 \to \text{kg/m}^3\)) を正確に行える。

具体的な解説と立式
静水圧の公式は、
$$ \Delta p = \rho g h \quad \cdots ① $$
です。まず、水の密度 \(\rho\) を \(\text{g/cm}^3\) から \(\text{kg/m}^3\) に変換します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= 1.0 \text{ [g/cm}^3\text{]} \\[2.0ex]&= 1.0 \times \frac{10^{-3} \text{ [kg]}}{(10^{-2} \text{ [m]})^3} \\[2.0ex]&= 1.0 \times \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \text{ [kg/m}^3\text{]} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^3 \text{ [kg/m}^3\text{]}
\end{aligned}
$$
この値を、\(h=1 \text{ m}\), \(g=10 \text{ m/s}^2\) とともに式①に代入します。

$$
\begin{aligned}
\Delta p &= (1.0 \times 10^3 \text{ [kg/m}^3\text{]}) \times (10 \text{ [m/s}^2\text{]}) \times (1 \text{ [m]}) \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^4 \text{ [N/m}^2\text{]}
\end{aligned}
$$

水の重さによる圧力は「密度 \(\times\) 重力加速度 \(\times\) 深さ」で計算します。ただし、単位をメートルとキログラムに揃える必要があります。水の密度 \(1.0 \text{ g/cm}^3\) は \(1000 \text{ kg/m}^3\) です。これに重力加速度 \(10 \text{ m/s}^2\) と深さ \(1 \text{ m}\) を掛けると、\(1000 \times 10 \times 1 = 10000 = 1.0 \times 10^4 \text{ N/m}^2\) となります。

圧力増加は \(1.0 \times 10^4 \text{ N/m}^2\) です。単位換算を正しく行い、公式に適用できました。

イ

思考の道筋とポイント
水深20mの泡が水面に達したときの体積を求める問題です。泡の中の気体は、水深が浅くなるにつれて圧力と温度が変化します。このように圧力、体積、温度がすべて変化する状況では、ボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{PV}{T} = \text{一定}\) を適用します。各状態でのP, V, Tを整理し、式を立てることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 気体の法則では、必ず絶対温度(K)を使う。
• 水中の圧力は、大気圧に静水圧を加えた「絶対圧力」で計算する。
• ボイル・シャルルの法則を正しく適用できる。

具体的な解説と立式
ボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\) を適用します。
添え字1を初期状態（水深20m）、添え字2を最終状態（水面）とします。

• 初期状態 (状態1):
  • 圧力 \(P_1\): 大気圧 \(p_0\) と水深 \(h_1=20 \text{ m}\) の静水圧の和。
    $$ P_1 = p_0 + \rho g h_1 $$
  • 体積 \(V_1 = 1.0 \text{ cm}^3\)
  • 絶対温度 \(T_1 = 15 + 273 = 288 \text{ K}\)
• 最終状態 (状態2):
  • 圧力 \(P_2 = p_0 = 1.0 \times 10^5 \text{ N/m}^2\)
  • 体積 \(V_2 = V\) （求める値）
  • 絶対温度 \(T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}\)

ボイル・シャルルの法則を \(V_2\) について解くと、
$$ V_2 = V_1 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1} \quad \cdots ② $$

まず、初期圧力 \(P_1\) を計算します。水深20mでの静水圧は、
$$
\begin{aligned}
\rho g h_1 &= (1.0 \times 10^3 \text{ [kg/m}^3\text{]}) \times (10 \text{ [m/s}^2\text{]}) \times (20 \text{ [m]}) \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
よって、\(P_1\) は、
$$
\begin{aligned}
P_1 &= p_0 + \rho g h_1 \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}) + (2.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}) \\[2.0ex]&= 3.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
次に、これらの値を式②に代入して \(V_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= (1.0 \text{ [cm}^3\text{]}) \times \frac{3.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}}{1.0 \times 10^5 \text{ [N/m}^2\text{]}} \times \frac{300 \text{ [K]}}{288 \text{ [K]}} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 3.0 \times \frac{300}{288} \\[2.0ex]&= 3.0 \times \frac{25}{24} \\[2.0ex]&= \frac{25}{8} \\[2.0ex]&= 3.125 \text{ [cm}^3\text{]}
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁なので、答えを有効数字2桁に丸めます。
$$ V_2 \approx 3.1 \text{ [cm}^3\text{]} $$

泡が水面に上がると、圧力は下がり、温度は上がるので、体積は大きくなります。この変化はボイル・シャルルの法則に従います。まず、水深20mでの圧力を計算します。大気圧 \(1.0 \times 10^5\) に、水深20mの水の圧力（\(1000 \times 10 \times 20 = 2.0 \times 10^5\)）を足して、\(3.0 \times 10^5 \text{ N/m}^2\) となります。温度は摂氏(℃)を絶対温度(K)に直します（273を足す）。初期状態は \(15+273=288\) K、最終状態は \(27+273=300\) K です。これらをボイル・シャルルの法則の式に入れて計算すると、体積は約3.1倍になります。

水面に達したときの泡の体積はおよそ \(3.1 \text{ cm}^3\) です。圧力が1/3になり、温度がわずかに上昇した結果、体積が約3倍になるという物理的に妥当な結果が得られました。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静水圧とボイル・シャルルの法則の組み合わせ:
  • 核心: この問題は、流体力学の「静水圧」の概念を用いて気体の「絶対圧力」を正しく求め、それを熱力学の「ボイル・シャルルの法則」に適用できるか、という2つの分野を横断する能力を問うています。
  • 理解のポイント: 水中にある気体の圧力は、単に水の重さによる圧力（静水圧）だけでなく、水面を押している大気の圧力も加わっていることを理解するのが最も重要です。この「絶対圧力」の考え方が、ボイル・シャルルの法則を正しく使うための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 沈められたガラス管の問題: 水中に沈められた、一端が閉じたガラス管内の空気の体積を問う問題。これも、外部の圧力（大気圧＋静水圧）と内部の空気の圧力がつり合う点、およびボイルの法則（温度が一定なら）を使って解きます。
  • 高山での気球の体積: 「地表で膨らませた気球が、上空に上がったときの体積はいくらか？」といった問題。この場合は、上空では大気圧が低くなるため、気球は膨張します。地表と上空の圧力・温度が与えられていれば、ボイル・シャルルの法則で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 単位系の統一: 問題文を読み、与えられた物理量の単位が混在している（例: g/cm³ と m/s²）場合、まず計算を始める前にすべてをSI単位系（kg, m, s, K, Pa）に変換することを考えます。
  2. 気体の状態変化の特定: 気体の状態が変化する問題では、圧力(P)、体積(V)、温度(T)のうち、何が変化し、何が一定かを整理します。すべて変化する場合は、ボイル・シャルルの法則が適用できます。
  3. 圧力の特定: 気体の圧力を求める際、それが大気圧と直接つり合っているのか、液体を介してつり合っているのかを図から正確に読み取ります。液体を介している場合は、静水圧を考慮する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 絶対圧力の計算忘れ:
  • 誤解: 水深 \(h\) での圧力を、静水圧 \(\rho g h\) だけで計算してしまう。
  • 対策: 水中にある物体は、常にその上の水と、さらにその上の大気の両方から押されているとイメージしましょう。「大気圧＋静水圧」を常に意識することが重要です。
• 温度の単位ミス:
  • 誤解: ボイル・シャルルの法則の計算を、セルシウス温度(℃)のまま行ってしまう。
  • 対策: 気体の法則で使う温度は「絶対温度(K)」であると徹底して覚えましょう。計算を始める前に、すべての温度をケルビンに変換する（273を足す）癖をつけましょう。
• 密度の単位変換ミス:
  • 誤解: \(1 \text{ g/cm}^3 = 100 \text{ kg/m}^3\) のように、単位変換の係数を間違える。
  • 対策: \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\) なので、\(1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 10^6 \text{ cm}^3\) です。また \(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\) です。これらの基本から、\(1 \text{ g/cm}^3 = \frac{10^{-3} \text{ kg}}{10^{-6} \text{ m}^3} = 10^3 \text{ kg/m}^3\) と、毎回導出できるようにしておくと確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\Delta p = \rho g h\) (静水圧):
  • 選定理由: 液体中の深さによる圧力の変化を計算するための、唯一の基本的な公式だからです。
  • 適用根拠: これは、高さ\(h\)、断面積\(S\)の液体柱の重さ(\(mg = (\rho V)g = (\rho Sh)g\))を、その底面積\(S\)で割ることで導かれます。\(p = \frac{F}{S} = \frac{\rho S h g}{S} = \rho g h\)。つまり、液体柱の重さそのものが圧力の原因であることを示しています。
• \(\displaystyle\frac{PV}{T} = \text{一定}\) (ボイル・シャルルの法則):
  • 選定理由: 気体の圧力、体積、温度がすべて変化する状況を、一度に扱うことができる最も汎用性の高い法則だからです。
  • 適用根拠: これは理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) から導かれます。密閉された気体では物質量\(n\)が一定であり、気体定数\(R\)も定数なので、右辺の\(nR\)は一定です。したがって、\(\frac{PV}{T} = nR = (\text{一定})\) という関係が常に成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 状態整理の表を作成する: ボイル・シャルルの法則を使う際は、以下のような表を作るとミスが減ります。
  

  	圧力(P)	体積(V)	温度(T)
  初期(1)	\(p_0+\rho g h_1\)	\(V_1\)	\(T_1\)
  最終(2)	\(p_0\)	\(V_2\)	\(T_2\)

• 分数の計算を工夫する: (イ)の計算では、\(\frac{300}{288}\) のような少し面倒な分数が出てきます。\(300 = 12 \times 25\), \(288 = 12 \times 24\) のように、共通の約数で割ることで、\(\frac{25}{24}\) と簡単にできます。
• 物理的な直感を働かせる: 泡は水面に近づくにつれて、圧力は下がり（膨張要因）、温度は上がる（膨張要因）ので、体積は必ず大きくなるはずです。もし計算結果が1 cm³より小さくなったら、どこかで計算ミスをしていると判断できます。

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