「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅱ 章 9】発展例題～発展問題239

発展例題

発展例題20 振動する台上の物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばね上の物体が一体となって行う鉛直単振動」です。重力の影響下での単振動の扱いや、複数の物体が一体となって運動する際の考え方をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
装置全体がつりあいの状態、つまり静止している状態を考えます。このとき、系全体に働く力はつりあっています。物体AとBを質量 \((m+M)\) の一つの物体とみなして、この物体に働く重力とばねの弾性力がつりあう、という式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 物体AとBを一体（質量 \((m+M)\)）とみなす。
• 「つりあいの状態」とは、物体に働く力の合力が \(0\) である状態を指す。
• ばねの弾性力は、自然長からの変位（この場合は縮み \(\Delta l\)）に比例し、\(F=k\Delta l\) と表される。

具体的な解説と立式
物体AとBを一体とみなすと、その質量は \((m+M)\) です。
この一体となった物体に働く力は、

• 下向き: 重力 \((m+M)g\)
• 上向き: ばねの弾性力 \(k\Delta l\)

です。
これらの力がつりあっているので、「上向きの力の和 = 下向きの力の和」より、
$$ k\Delta l = (m+M)g $$

上記のつりあいの式を \(\Delta l\) について解きます。
$$ \Delta l = \frac{m+M}{k}g $$

おもりAとおもりBを合わせた、重さ \((m+M)g\) の大きなおもりを、ばねの上にそっと置いた状態を想像してください。おもりの重さでばねは縮み、あるところで静止します。このとき、ばねが「押し返そうとする力」とおもりの「重さ」がちょうど等しくなっています。このときのばねの縮み \(\Delta l\) を計算する問題です。

ばねの自然長からの縮みは \(\Delta l = \frac{m+M}{k}g\) と求まりました。質量が大きいほど、またばね定数 \(k\) が小さい（ばねが柔らかい）ほど、縮みが大きくなるという、直感に合う結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体AとBは一体となって単振動するので、(1)と同様に質量 \((m+M)\) の一つの物体とみなして運動方程式を立てます。単振動では、力の基準（原点）をつりあいの位置にとるのが定石です。つりあいの位置からの変位を \(x\) として、物体に働く力を考え、\(ma=F\) の式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 振動の中心は、(1)で求めた力のつりあいの位置である。
• 座標軸は鉛直上向きを正とし、原点(\(x=0\))をつりあいの位置とする。
• 変位 \(x\) のとき、ばねの自然長からの縮みは \(\Delta l – x\) となる。

具体的な解説と立式
質量 \((m+M)\) の物体が、つりあいの位置から \(x\) だけ変位したときを考えます。
このとき、物体に働く力は、

• 上向き: ばねの弾性力。ばねの自然長からの縮みは \((\Delta l – x)\) なので、弾性力は \(k(\Delta l – x)\)。
• 下向き: 重力 \((m+M)g\)。

鉛直上向きを正として運動方程式を立てると、
$$ (m+M)a = k(\Delta l – x) – (m+M)g $$
ここで、(1)で求めたつりあいの関係式 \(k\Delta l = (m+M)g\) を用いて式を整理します。
$$
\begin{aligned}
(m+M)a &= k\Delta l – kx – (m+M)g \\[2.0ex] &= (k\Delta l – (m+M)g) – kx
\end{aligned}
$$
\(k\Delta l – (m+M)g = 0\) なので、
$$ (m+M)a = -kx $$

上記の運動方程式を加速度 \(a\) について解きます。
$$ a = -\frac{k}{m+M}x $$
これは、加速度 \(a\) が変位 \(x\) に比例し、向きが常に逆であることを示しており、物体が単振動をすることの証明にもなっています。

AとBを乗せた台が、つりあいの位置を中心に上下に揺れている状況です。このとき、台の加速度（スピードの変化の度合い）は、つりあいの位置からどれだけ離れているか(\(x\))によって決まります。一番離れている端っこでは加速度が最大に、中心では \(0\) になります。この関係を数式で表す問題です。

加速度は \(a = -\frac{k}{m+M}x\) と求まりました。これは単振動の加速度の公式 \(a = -\omega^2 x\) と同じ形をしています。したがって、この単振動の角振動数 \(\omega\) は \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m+M}}\) であることがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
台Bが物体Aを押す力 \(f\) を求めたいので、今度は物体Aのみに着目します。物体Aも台Bと同じ加速度 \(a\) で運動していると考え、物体Aについての運動方程式を立てます。このとき、加速度 \(a\) には(2)で求めた結果を代入します。
この設問における重要なポイント

• 考察の対象を物体Aのみに絞る。
• 物体Aに働く力は、重力 \(mg\)（下向き）と、台Bからの垂直抗力 \(f\)（上向き）の2つである。
• 物体Aの加速度は、系全体の加速度 \(a\) と等しい。

具体的な解説と立式
物体A（質量 \(m\)）に着目し、鉛直上向きを正として運動方程式を立てます。
物体Aに働く力は、

• 上向き: 台BがAを押す力（垂直抗力） \(f\)
• 下向き: 重力 \(mg\)

したがって、運動方程式は、
$$ ma = f – mg $$
この式を \(f\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
f &= mg + ma \\[2.0ex] &= m(g+a)
\end{aligned}
$$

(2)で求めた \(a = -\frac{k}{m+M}x\) を上記の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= m\left(g + \left(-\frac{k}{m+M}x\right)\right) \\[2.0ex] &= m\left(g – \frac{k}{m+M}x\right)
\end{aligned}
$$

あなたがエレベーターに乗っているとき、上昇し始め（上向きに加速）すると体が重く感じ、下降し始め（下向きに加速）すると体が軽く感じます。これは床があなたを押す力（垂直抗力）が変化するためです。この問題も同じで、物体Aが乗っている台Bの加速度 \(a\) によって、台がAを押す力 \(f\) が変化します。その関係を式で表す問題です。

力 \(f\) は \(f = m(g – \frac{k}{m+M}x)\) と求まりました。

• つりあいの位置(\(x=0\))では \(f=mg\) となり、静止しているときと同じです。
• 最下点(\(x<0\))では、\(x\)が負なので \(f > mg\) となり、Aは重く感じます。
• 最高点(\(x>0\))では、\(f < mg\) となり、Aは軽く感じます。

これは物理的な直感と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
台Bが最高点に達したとき、物体Aが台Bから離れそうになる、つまり \(f\) が \(0\) になったとします。単振動の最高点では、変位 \(x\) は振幅 \(r_0\) に等しくなります。これらの条件を(3)で求めた \(f\) の式に代入することで、振幅 \(r_0\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 「物体が台から離れる」とは、台が物体を押す力（垂直抗力）が \(0\) になることを意味する。(\(f=0\))
• 単振動の最高点では、変位は振幅に等しい。(\(x=r_0\))

具体的な解説と立式
(3)で求めた関係式
$$ f = m\left(g – \frac{k}{m+M}x\right) $$
に、問題の条件である \(f=0\) と \(x=r_0\) を代入します。
$$ 0 = m\left(g – \frac{k}{m+M}r_0\right) $$

上記の方程式を \(r_0\) について解きます。
質量 \(m\) は \(0\) ではないので、括弧の中が \(0\) になる必要があります。
$$
\begin{aligned}
g – \frac{k}{m+M}r_0 &= 0 \\[2.0ex] g &= \frac{k}{m+M}r_0
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ r_0 = \frac{m+M}{k}g $$

トランポリンで高くジャンプするとき、一番高い点では足がトランポリンから離れます。この問題も似ていて、振動台が一番上に来た瞬間に、物体Aが台から離れてふわっと浮いた状態(\(f=0\))になった、という設定です。この現象が起こるためには、どれくらいの揺れの大きさ（振幅）が必要だったのかを逆算する問題です。

振幅は \(r_0 = \frac{m+M}{k}g\) と求まりました。これは、(1)で求めたつりあいの位置での縮み \(\Delta l\) と全く同じ値です。つまり、つりあいの位置から自然長の位置まで上昇したとき（変位が\(\Delta l\)のとき）に、物体は離れ始めるということを意味しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
まず、物体Aが台Bから離れるときの変位 \(x_1\) を求めます。物体が離れる条件は(4)で考えた通り \(f=0\) です。この条件を(3)の式に適用すれば \(x_1\) が求まります。
次に、その位置での速さ \(v\) を求めます。単振動している間のエネルギーは保存されるので、単振動のエネルギー保存則を用います。はじめの状態（手をはなした瞬間）と、物体が離れる瞬間の2つの状態でエネルギー保存の式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 物体が離れる変位 \(x_1\) は、\(f=0\) となる位置である。
• 単振動のエネルギー保存則:
  $$
  \begin{aligned}
  E &= (\text{運動エネルギー}) + (\text{復元力による位置エネルギー}) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}(\text{質量})v^2 + \frac{1}{2}(\text{復元力定数})x^2 \\[2.0ex] &= \text{一定}
  \end{aligned}
  $$
• ここで「質量」は系全体の質量 \((m+M)\)、「復元力定数」は \(k\)、「変位 \(x\)」はつりあいの位置からの距離である。

具体的な解説と立式
1. 変位 \(x_1\) の計算
物体が離れるのは \(f=0\) のときなので、(3)の式 \(f = m(g – \frac{k}{m+M}x)\) に \(f=0\) を代入します。
$$ 0 = m\left(g – \frac{k}{m+M}x_1\right) $$
これを解くと、(4)と同様に
$$ x_1 = \frac{m+M}{k}g $$
これは(4)で求めた \(r_0\) と等しいので、\(x_1 = r_0\) です。

2. 速さ \(v\) の計算
単振動のエネルギー保存則を適用します。

• はじめの状態: つりあいの位置から \(\sqrt{2}r_0\) だけ押し下げた位置。
  • 変位 \(x_{\text{初}} = -\sqrt{2}r_0\)
  • 速さ \(v_{\text{初}} = 0\) （静かにはなしたため）
• あとの状態: 物体が離れる位置。
  • 変位 \(x_{\text{後}} = x_1 = r_0\)
  • 速さ \(v_{\text{後}} = v\)

エネルギー保存則より、
$$ \frac{1}{2}(m+M)v_{\text{初}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{初}}^2 = \frac{1}{2}(m+M)v_{\text{後}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{後}}^2 $$

エネルギー保存則の式に、具体的な値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(m+M)(0)^2 + \frac{1}{2}k(-\sqrt{2}r_0)^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}k(r_0)^2 \\[2.0ex] \frac{1}{2}k(2r_0^2) &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}kr_0^2 \\[2.0ex] kr_0^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}kr_0^2
\end{aligned}
$$
両辺から \(\frac{1}{2}kr_0^2\) を引くと、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kr_0^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 \\[2.0ex] v^2 &= \frac{k}{m+M}r_0^2
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{k}{m+M}} r_0 $$
ここに \(r_0 = \frac{m+M}{k}g\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{k}{m+M}} \left( \frac{m+M}{k}g \right) \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{k}{m+M} \cdot \left( \frac{m+M}{k} \right)^2 g^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{m+M}{k} g^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{m+M}{k}}g
\end{aligned}
$$

最初に台をぐっと押し下げて蓄えた「ばねの位置エネルギー」が、手を離したあと、台のスピードを上げる「運動エネルギー」と、ばねが伸びていく分の「位置エネルギー」に変わっていきます。エネルギーの種類は変わっても、その合計量は一定です。この「エネルギー保存の法則」を使って、物体Aが離れる瞬間の台の速さを計算します。

物体が離れる変位は \(x_1 = \frac{m+M}{k}g\)、そのときの速さは \(v = \sqrt{\frac{m+M}{k}}g\) と求まりました。
\(x_1\) は振幅 \(r_0\) と同じ値であり、物理的に妥当です。速さ \(v\) も、各物理量から正しく計算されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と単振動の条件
  • 核心: この問題の根幹は、重力の影響下でばねにつながれた物体が示す「単振動」を、運動方程式を用いて数学的に記述する能力です。具体的には、物体に働く力（重力と弾性力）の合力を考え、\(ma=F\) の形で立式します。その結果が \(a = -(\text{定数}) \times x\) という形になることを確認し、振動の中心（つりあいの位置）や角振動数を特定することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • つりあいの位置の重要性: 鉛直ばね振り子では、重力と弾性力がつりあう位置が振動の中心となります。この位置を基準（原点）に変位 \(x\) を設定すると、重力が見かけ上消去され、運動方程式が \(ma=-kx\) というシンプルな復元力の形に帰着します。この座標設定が問題を解く上での最大の鍵です。
    • 複数物体の扱い: 物体AとBが一体となって運動している間は、質量 \((m+M)\) の一つの物体として扱うことができます。しかし、物体間の力（この場合は垂直抗力）を問われた場合は、個別の物体に着目して運動方程式を立てる必要があります。この「全体で見る視点」と「個別で見る視点」の使い分けが重要です。
• 物体が離れる条件とエネルギー保存則
  • 核心: 振動中に物体が接触を失う（離れる）現象を、物理法則に基づいて解釈することです。
  • 理解のポイント:
    • 離れる条件: 物体Aが台Bから離れる瞬間とは、台BがAを押す力（垂直抗力）が \(0\) になる瞬間です。これは、Aが重力だけで運動している状態、つまり自由落下と同じ加速度（下向きに \(g\)）で運動する瞬間と一致します。
    • エネルギー保存則の適用: 単振動では、運動エネルギーと復元力による位置エネルギーの和が一定に保たれます。この法則を用いることで、運動の途中経過（加速度や時間）を追わずに、ある位置での速さを直接計算することができます。特に、始点と終点の位置と速さの関係を問う問題で強力なツールとなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内のばね振り子: エレベーターが加速度運動をすると、見かけの重力が変化し、単振動のつりあいの位置（振動中心）がずれます。慣性力を考慮して新しいつりあいの位置を求めれば、あとは同様に解くことができます。
  • 斜面上の単振動: 斜面上に置かれた物体がばねで振動する場合も、重力の斜面方向成分と弾性力がつりあう位置が振動中心となります。力の分解を正確に行うことが鍵です。
  • 浮力による単振動: 水に浮かべた物体を少し押し沈めて離すと、浮力と重力の差が復元力となって単振動をします。この場合、アルキメデスの原理から浮力を正しく計算し、つりあいの位置を特定することが重要です。
  • 2物体がばねで連結された振動: 2つの物体がばねで結ばれている場合、重心の運動と相対運動に分けて考えると見通しが良くなります。重心は外力がなければ等速直線運動をし、相対運動は換算質量を用いた単振動として記述できます（大学レベルの内容ですが、考え方の応用として）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは振動中心（つりあいの位置）を探す: 問題が単振動に関するものだと判断したら、最初にやるべきことは、物体に働くすべての力がつりあう位置を見つけることです。この位置が、その後の運動を記述する上での最も重要な基準点（原点）になります。
  2. 座標軸を設定し、力を図示する: つりあいの位置を原点とし、振動方向（この問題では鉛直方向）に座標軸を設定します。そして、つりあいの位置から任意に変位 \(x\) だけずれた状態で、物体に働く力をすべてベクトル矢印で図に書き込みます。
  3. 運動方程式を立て、単振動であることを確認する: 図示した力をもとに、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。式を整理した結果が \(a = -(\text{定数}) \times x\) の形になれば、その運動は単振動であることが確定します。この式の比例定数から角振動数 \(\omega\) が求まります。
  4. 「離れる」「滑る」などの条件を物理的に解釈する:
     • 「離れる」→ 垂直抗力 \(N=0\)
     • 「滑り出す」→ 静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N\) に達する
     • 「糸がたるむ」→ 張力 \(T=0\)

     これらの条件を、個別の物体についての運動方程式に適用することで、限界となる振幅や位置を求めることができます。

  5. エネルギー保存則が使えないか検討する: 速さや高さを問われた場合、運動方程式から加速度を求めて計算することもできますが、エネルギー保存則を使えばより簡単に解けることが多いです。特に、始点と終点の状態だけが問題になる場合は、エネルギー保存則が有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの伸び・縮みを自然長から測るか、つりあいの位置から測るかで混乱する:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際や、弾性エネルギーを計算する際に、変位 \(x\) をばねの自然長からの長さだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 2つの「長さ」を明確に区別しましょう。
    • 弾性力 \(F\) と弾性エネルギー \(U_s\) の公式（\(F=kx\), \(U_s=\frac{1}{2}kx^2\)）に出てくる \(x\) は、常に「ばねの自然長からの変位」です。
    • 一方、単振動の運動方程式 \(ma=-Kx\) や復元力による位置エネルギー \(U_p=\frac{1}{2}Kx^2\) に出てくる \(x\) は、「振動の中心（つりあいの位置）からの変位」です。

    鉛直ばね振り子では、つりあいの位置を原点として運動方程式を立てるのが最も簡単なので、この方法に慣れることが重要です。

• 物体AとBを一体としてしか考えられない:
  • 誤解: (3)で垂直抗力 \(f\) を求める際に、AとBを一体とみなしたまま考えてしまい、内力である \(f\) が式に現れず、手詰まりになる。
  • 対策: 物理法則を適用する「系（システム）」を意識的に切り替える癖をつけましょう。「系全体の加速度を求めたい」ときはAとBを一体とみなし、「物体間の力を求めたい」ときはその力が働く物体（この場合はA）だけを系として取り出し、運動方程式を立てる、というように使い分けが必要です。
• 「離れる」瞬間の速度を \(0\) と勘違いする:
  • 誤解: 物体が離れる最高点で、一瞬止まるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 単振動の速度が \(0\) になるのは、振動の「端」、つまり最高点と最下点だけです。この問題では、(4)で離れるときの振幅が \(r_0\) であることがわかりましたが、(5)では初期条件が変わり、振幅が \(\sqrt{2}r_0\) のより大きな振動になっています。したがって、物体が離れる位置 \(x_1=r_0\) は振動の端ではないため、速度は \(0\) ではありません。エネルギー保存則などを用いて正しく計算する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 求めたいのは「つりあいの状態」におけるばねの縮みです。「つりあい」とは、力がバランスして物体が静止している状態を指します。この物理的状況を記述する法則は、力のつりあいの式（合力=0）以外にありません。
  • 適用根拠: 物体AとBは一体となって静止しているため、質量 \((m+M)\) の一つの物体とみなせます。この物体に働く力は重力と弾性力のみなので、これらの力がつりあうという式を立てることで、未知数である縮み \(\Delta l\) を求めることができます。
• (2)(3)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「加速度 \(a\)」や「物体間に働く力 \(f\)」です。これらは運動の状態とその原因である力を結びつける物理量であり、これらを記述する基本法則は運動方程式 \(ma=F\) です。
  • 適用根拠: (2)では系全体の運動の様子（加速度）を知りたいので、質量 \((m+M)\) の物体として運動方程式を立てます。(3)では物体AとBの間の力（内力）を知りたいので、その力が直接働く物体Aのみを対象として運動方程式を立てます。このように、知りたい量に応じて方程式を立てる対象を適切に選択することが重要です。
• (5)での公式選択（単振動のエネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは、ある位置を通過するときの「速さ」です。運動の始点（手を離した瞬間）と終点（物体が離れる瞬間）の状態（位置と速さ）が分かっています。このように、2つの時点での状態を結びつけたい場合、途中の過程を問わないエネルギー保存則が最も効率的な選択肢となります。
  • 適用根拠: この系では、仕事をする力は保存力である重力と弾性力のみです（垂直抗力は仕事をするが、系全体で見れば内力なのでエネルギーの総和は変わらない）。したがって、系全体の力学的エネルギーは保存されます。特に、つりあいの位置を基準に考えれば、運動エネルギーと復元力による位置エネルギーの和が一定であるという、よりシンプルな「単振動のエネルギー保存則」を適用できます。これにより、重力による位置エネルギーを陽に計算する必要がなくなり、計算が大幅に簡略化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (2)で運動方程式を立てる際、\( (m+M)a = k(\Delta l – x) – (m+M)g \) となりますが、ここで \(k\Delta l = (m+M)g\) という(1)で得た関係式を代入することで、式が劇的に簡単になります。先に数値を代入したり、\(\Delta l\) に具体的な式を代入したりすると、計算が煩雑になりミスを誘発します。文字式の関係をうまく利用して、できるだけ式をシンプルにしてから計算を進めるのがコツです。
• 座標の原点と正の向きを明確にする:
  • 単振動の問題では、どこを原点(\(x=0\))とし、どちらを正の向きとするかで式の符号が変わってきます。問題の冒頭で「鉛直上向きを正、つりあいの位置を原点とする」と自分で宣言し、図にも書き込んでおくと、運動方程式を立てる際の符号ミスを防げます。
• エネルギー保存則の基準点を意識する:
  • (5)でエネルギー保存則を使う際、どのエネルギーを考えているのかを明確にしましょう。
    • 「単振動のエネルギー保存則」を使う場合: 位置エネルギーは \(\frac{1}{2}kx^2\) のみ。\(x\) は「つりあいの位置」からの変位。
    • 「力学的エネルギー保存則」を使う場合: 位置エネルギーは「重力 \(mgy\)」と「弾性力 \(\frac{1}{2}ky^2\)」の和。\(y\) は「自然長の位置」からの変位。

    どちらを使うか最初に決め、一貫してその定義に従って計算することが重要です。

• 単位や次元で検算する:
  • 例えば(4)で求めた振幅 \(r_0 = \frac{m+M}{k}g\) の次元を確認してみましょう。質量の単位が \([\text{kg}]\)、ばね定数が \([\text{N/m}] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 / \text{m}] = [\text{kg/s}^2]\)、重力加速度が \([\text{m/s}^2]\) なので、\(r_0\) の単位は \([\text{kg}] / [\text{kg/s}^2] \times [\text{m/s}^2] = [\text{m}]\) となり、長さの次元と一致します。このような次元解析は、式の形を間違えていないかを確認する有効な手段です。
• 極端な場合を考えて結果を吟味する:
  • (3)で求めた力 \(f = m(g – \frac{k}{m+M}x)\) を考えてみましょう。もし、ばねが非常に硬い(\(k \rightarrow \infty\))なら、振動はほとんど起こらず \(x \approx 0\) なので \(f \approx mg\) となり、静止している場合と同じになります。もし、物体Aの質量が \(m=0\) なら、\(f=0\) となり、当然の結果です。このように、物理的に考えやすい極端な状況を代入してみて、結果が直感と合うかを確認するのも良い検算方法です。

発展問題

235 2つの物体の単振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「接触した2物体の単振動と、分離後の運動」です。複数の物体が一体となって運動する状況と、分離した後のそれぞれの運動を、単振動の法則やエネルギー保存則を用いて解析する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBがはなれるのはどのような瞬間かを物理的に考えます。物体Bは、物体Aから押される力（垂直抗力）によってのみ運動します。ばねが縮んでいる間、AはBを押し、両者は一体で加速します。ばねが自然長の位置に達した後、ばねはAを左向きに引き始め、Aは減速します。しかし、床がなめらかなためBを減速させる力は働かず、Bはそれまでの速さを保とうとします。この結果、AとBははなれます。したがって、はなれるのはAがBを押す力が \(0\) になる瞬間、すなわちばねが自然長になったときです。
この設問における重要なポイント

• 物体Bは、Aから押される力によってのみ運動する。
• ばねが自然長の位置を過ぎると、Aは減速を始めるが、Bは減速しない。
• AとBがはなれるのは、AがBを押す力が \(0\) になる瞬間である。
• AがBを押す力が \(0\) になるのは、ばねの力が \(0\) になる自然長の位置である。

具体的な解説と立式
物体Aが物体Bを押す力（垂直抗力）を \(N\) とします。物体Bの運動方程式は、右向きを正とすると、
$$ m a_B = N $$
となります。ここで \(a_B\) は物体Bの加速度です。
物体AとBがはなれるのは、接触が解ける瞬間、すなわち \(N=0\) のときです。
運動方程式より、\(N=0\) となるのは \(a_B=0\) のときです。
はなれる直前までAとBは一体で運動しているので、その加速度を \(a\) とすると \(a_B=a\) です。
一体で運動しているときの運動方程式は、振動の中心（自然長の位置）からの変位を \(x\) として、
$$ (M+m)a = -kx $$
この式から、加速度 \(a\) が \(0\) になるのは、変位 \(x=0\) のとき、つまりばねが自然長のときです。
このとき、ばねの伸びは \(0\) です。

上記の考察から、計算は不要です。ばねが自然長になった瞬間に物体ははなれるため、そのときのばねの伸びは \(0\) です。

AさんとBさんが二人三脚で前に進む状況を想像してください。Aさんがばねに押されてどんどんスピードを上げていく間は、Bさんも一緒に進みます。しかし、ばねが元の長さに戻った瞬間から、今度はAさんはばねに引っ張られてブレーキがかかり始めます。一方、Bさんにはブレーキをかけるものが何もないので、そのままのスピードで進み続けようとします。この瞬間に、AさんとBさんははなれてしまいます。つまり、はなれるのはばねが元の長さ（自然長）に戻ったときです。

物体AとBがはなれる瞬間のばねの伸びは \(0\) であると結論付けられました。これは、物体間に働く力が \(0\) になる条件を運動方程式から考察した結果であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
手をはなしてから物体がはなれるまで、AとBは一体となって単振動します。手をはなした位置（ばねの縮みが \(a\)）が振動の端（変位 \(x=-a\)）であり、はなれる位置（自然長）が振動の中心（変位 \(x=0\)）です。したがって、求める時間は、単振動の端から中心まで移動する時間、すなわち周期の \(1/4\) に相当します。
この設問における重要なポイント

• AとBが一体で運動している間の質量は \((M+m)\) である。
• 水平ばね振り子の振動の中心は、ばねが自然長のときの位置である。
• 振動の端から中心までの移動時間は、周期 \(T\) の \(1/4\) である。

具体的な解説と立式
AとBが一体となって行う単振動の周期 \(T\) を求めます。
質量が \((M+m)\)、ばね定数が \(k\) なので、周期の公式より、
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}} $$
求める時間は、振動の端から中心までの時間なので、
$$ t = \frac{1}{4}T $$

上記の式に周期 \(T\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{4} \times 2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}} \\[2.0ex] &= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{M+m}{k}}
\end{aligned}
$$

ブランコを一番後ろまで引いてから手をはなすと、一番下の位置に来るまでにかかる時間は、ブランコが1往復する時間（周期）のちょうど4分の1になります。この問題も同じで、一番縮んだ位置（端）から、ばねが元の長さに戻る位置（中心）までにかかる時間を計算します。まずAとBを合わせた重さで1往復の時間を計算し、それを4で割れば答えが出ます。

はなれる時刻は \(t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{M+m}{k}}\) と求まりました。質量が大きいほど、またばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、時間がかかるという直感に合う結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体Bは、はなれた瞬間の速さのまま等速直線運動をします。したがって、AとBがはなれる直前の速さを求めればよいです。手をはなした瞬間から、はなれる直前まで、外力（ばねの力）は仕事をしますが保存力であり、床はなめらかなので、AとBを一体とみなした系の力学的エネルギーは保存されます。
この設問における重要なポイント

• 床がなめらかなので、系の力学的エネルギー（弾性エネルギーと運動エネルギーの和）は保存される。
• はじめの状態（\(t=0\)）: ばねの縮み \(a\)、速さ \(0\)。
• あとの状態（はなれる直前）: ばねの伸び縮み \(0\)、速さ \(v\)。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を立てます。
はじめの力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、縮み \(a\) のばねによる弾性エネルギーのみです。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{初}} &= \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}(M+m)(0)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}ka^2
\end{aligned}
$$
はなれる直前の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、速さ \(v\) で運動するAとBの運動エネルギーのみです。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{後}} &= \frac{1}{2}k(0)^2 + \frac{1}{2}(M+m)v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}(M+m)v^2
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}(M+m)v^2 $$

上記で立てた式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ka^2 &= (M+m)v^2 \\[2.0ex] v^2 &= \frac{k}{M+m}a^2
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{k}{M+m}}a $$

最初にばねを \(a\) だけ縮めたときに蓄えられた「ばねの弾性エネルギー」が、手をはなした後にAとBの「運動エネルギー（スピード）」にすべて変換されると考えます。エネルギーの量が保存されるという法則を使って、ばねが元の長さに戻ったときのスピードを計算します。

物体Bの速さは \(v = \sqrt{\frac{k}{M+m}}a\) と求まりました。はじめの縮み \(a\) が大きいほど、また質量が小さいほど速くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体Bがはなれた後、物体Aは質量 \(M\) の物体として単独で単振動を続けます。この新しい単振動の振幅を求めます。はなれた瞬間（自然長の位置）は、新しい単振動の振動中心であり、このときのAの速さは(3)で求めた \(v\) です。この瞬間のAの力学的エネルギー（運動エネルギーのみ）が、新しい単振動の全エネルギー（振動の端での弾性エネルギー）に等しいというエネルギー保存則を立てます。
この設問における重要なポイント

• はなれた後の単振動は、物体A（質量 \(M\)）のみで行われる。
• 新しい単振動の中心も、ばねが自然長のときの位置である。
• はなれた瞬間のAのエネルギーが、そのまま新しい単振動の全エネルギーとなる。
• 新しい単振動の振幅を \(b\) とすると、振動の端でのエネルギー（全エネルギー）は \(\frac{1}{2}kb^2\) と表される。

具体的な解説と立式
はなれた後の物体Aの単振動について、力学的エネルギー保存則を考えます。
はなれた瞬間（振動中心）のエネルギー \(E_{\text{中心}}\) は、速さ \(v\) の運動エネルギーのみです。
$$ E_{\text{中心}} = \frac{1}{2}Mv^2 $$
振動の端でのエネルギー \(E_{\text{端}}\) は、振幅を \(b\) とすると、ばねの弾性エネルギーのみです。
$$ E_{\text{端}} = \frac{1}{2}kb^2 $$
単振動の全エネルギーは保存されるので、\(E_{\text{中心}} = E_{\text{端}}\) より、
$$ \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}kb^2 $$

上記で立てた式に、(3)で求めた \(v^2 = \frac{k}{M+m}a^2\) を代入して \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Mv^2 &= kb^2 \\[2.0ex] M \left( \frac{k}{M+m}a^2 \right) &= kb^2 \\[2.0ex] \frac{M}{M+m}a^2 &= b^2
\end{aligned}
$$
\(b>0\) なので、
$$ b = \sqrt{\frac{M}{M+m}}a $$

Bさんが去った後、Aさんは一人で振動を続けます。Bさんが去った瞬間、Aさんは一番スピードが出ていました。そのスピード（運動エネルギー）を使って、Aさんはばねをどれくらい伸ばすことができるでしょうか？Aさんが持っている運動エネルギーが、すべてばねの弾性エネルギーに変わったところが、新しい振動の折り返し地点（端）になります。その位置が新しい振幅です。

新しい振幅は \(b = \sqrt{\frac{M}{M+m}}a\) と求まりました。\(\sqrt{\frac{M}{M+m}}\) は \(1\) より小さいので、振幅ははじめの縮み \(a\) よりも小さくなります。これは、エネルギーの一部を物体Bが持ち去ったために、Aの振動エネルギーが減少したことを意味しており、物理的に妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
今度は物体BがAの上に乗って、一体で単振動します。BがAの上をすべらないためには、Bに働く静止摩擦力が、いかなる瞬間も最大静止摩擦力 \(\mu N = \mu mg\) を超えなければよい、という条件を考えます。
Bを単振動させるための復元力は、AとBの間の静止摩擦力です。この静止摩擦力が最も必要になるのは、加速度が最大となる振動の端です。したがって、振動の端において「必要な摩擦力 \(\le\) 最大静止摩擦力」という条件式を立てます。
この設問における重要なポイント

• AとBは一体（質量 \((M+m)\)）で単振動する。
• 物体Bの復元力は、Aから受ける静止摩擦力 \(f\) である。
• すべらない条件は、静止摩擦力 \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu mg\) を超えないこと (\(f \le \mu mg\))。
• 加速度と、それゆえ必要な静止摩擦力が最大になるのは、振動の端（変位が振幅 \(c\) の位置）である。

具体的な解説と立式
まず、AとBが一体で単振動するときの、加速度の最大値を求めます。
振幅を \(c\) とすると、変位 \(x\) のときの加速度 \(a\) は、
$$
\begin{aligned}
a &= -\omega^2 x \\[2.0ex] &= -\frac{k}{M+m}x
\end{aligned}
$$
加速度の大きさの最大値 \(\alpha_{\text{最大}}\) は、\(x=\pm c\) のときに生じ、
$$ \alpha_{\text{最大}} = \frac{k}{M+m}c $$
次に、物体B（質量 \(m\)）に着目し、その運動方程式を立てます。Bに働く水平方向の力は静止摩擦力 \(f\) のみです。
$$ ma = f $$
Bがすべらないためには、この \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu mg\) 以下でなければなりません。
$$ f \le \mu mg $$
最も厳しい条件は、\(f\) が最大になるとき、すなわち加速度 \(a\) が最大値 \(\alpha_{\text{最大}}\) をとるときです。このとき必要な静止摩擦力の最大値 \(f_{\text{必要最大}}\) は、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{必要最大}} &= m\alpha_{\text{最大}} \\[2.0ex] &= m \frac{k}{M+m}c
\end{aligned}
$$
この力が、供給可能な最大静止摩擦力 \(\mu mg\) を超えなければよいので、
$$ m \frac{k}{M+m}c \le \mu mg $$

上記で立てた不等式を、振幅 \(c\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{k}{M+m}c &\le \mu mg \\[2.0ex] \frac{k}{M+m}c &\le \mu g \\[2.0ex] c &\le \frac{\mu(M+m)g}{k}
\end{aligned}
$$
したがって、振幅は \(\frac{\mu(M+m)g}{k}\) 以下でなければなりません。

電車が急発進・急停車すると、立っている乗客は倒れそうになります。これは、足元の床（電車）の加速度に、体（乗客）がついていけなくなるからです。この問題も同じで、下の台Aが激しく振動（加速度が大きく）すると、上の物体Bは摩擦力だけではついていけなくなり、滑ってしまいます。Bを振り落とさないためには、Aの振動をどれくらいのおとなしい範囲（振幅）に抑えればよいかを計算する問題です。

すべらないための振幅の条件は \(c \le \frac{\mu(M+m)g}{k}\) と求まりました。摩擦係数 \(\mu\) が大きいほど、また、ばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、大きな振幅まで許されるという、直感に合う結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単振動の法則とエネルギー保存則の組み合わせ
  • 核心: この問題は、単振動という特定の運動パターンを理解し、その運動の異なる局面（一体での運動、分離後の運動、滑る直前の運動）に対して、適切な物理法則（運動方程式、エネルギー保存則）を適用し分ける能力を試しています。
  • 理解のポイント:
    • 系の定義: 問題の状況に応じて、考察の対象となる「系」を柔軟に切り替えることが重要です。「AとBが一体」のときは質量 \((M+m)\) の系、「Bがはなれた後」は質量 \(M\) の系（物体A）と質量 \(m\) の系（物体B）に分離して考えます。
    • 運動の変化点を見抜く: 「はなれる」「すべる」といった現象は、運動のルールが変わる「変化点」です。この変化が「いつ（位置、時刻）」「どのような条件で」起こるのかを物理的に解釈すること（例：垂直抗力=0, 静止摩擦力=最大静止摩擦力）が、問題を解く上での突破口となります。
• 復元力の正体を見極める
  • 核心: 単振動を引き起こす「復元力」が、この問題では複数の形で現れます。その正体が何であるかを正確に把握することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 図1の場合: AとBを一体で振動させる復元力は、ばねの弾性力 \(kx\) です。
    • 図2の場合: 物体BをAと一緒に振動させる復元力は、AとBの間に働く「静止摩擦力」です。この静止摩擦力がBにとっての復元力の役割を担っています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねで連結された2物体の振動: 2つの物体がばねで結ばれている場合、重心の運動と相対運動に分けて考えると見通しが良くなります。
  • 衝突と単振動の組み合わせ: 静止しているばね振り子に別の物体が衝突し、一体となって単振動を始めるような問題。この場合、衝突直前の運動量保存則で合体後の初速度を求め、その速度と位置から単振動の振幅や周期を計算します。
  • 斜面上の接触した物体の単振動: 重力の影響で振動中心がずれる上、物体がはなれる条件も斜面に沿った力のつりあいで考える必要があります。力の分解が鍵となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは系の設定と変化点を把握する: 誰と誰が、いつまで一緒に動くのか。運動のルールが変わる瞬間（はなれる、すべる、衝突する）はどこか。これを最初に明確にします。
  2. 振動中心を特定する: 水平ばね振り子の場合、振動中心は常に「ばねの自然長」の位置です。鉛直の場合は「力のつりあいの位置」になります。
  3. 変化の瞬間の物理条件を数式にする:
     • 「はなれる」→ 物体間の垂直抗力 \(N=0\)。
     • 「すべる」→ 静止摩擦力 \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu N\) に達する。
     • 「衝突」→ 運動量保存則を考える。
  4. エネルギー保存則の適用範囲を見極める:
     • 摩擦や空気抵抗、非弾性衝突がなければ、系の力学的エネルギーは保存されます。
     • 物体が「はなれる」場合、エネルギーは分離後の各物体に分配されます。はなれる瞬間のエネルギーを計算し、それを分離後の初期エネルギーとして考えます。
  5. どの視点で見るかを選択する:
     • 基本は静止した床から見る「慣性系」で考えます。
     • (5)のように、加速度運動する物体の上に乗っている物体の運動を考える場合、その物体と一緒に動く「非慣性系」で考えると、慣性力と他の力の「つりあい」として問題を捉えられ、直感的に分かりやすくなることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• はなれた後の質量を間違える:
  • 誤解: (4)でAだけの単振動を考えるべきなのに、(3)までの流れに引きずられて、質量を \((M+m)\) のまま計算してしまう。
  • 対策: 「分離」というイベントが発生したことを強く意識しましょう。運動の登場人物が変わったのだから、質量や周期、角振動数などのパラメータもすべて新しい設定で見直す、という癖をつけることが重要です。
• 「はなれる」＝速度が0と勘違いする:
  • 誤解: 物体がはなれるのは、なんとなく運動の端のような気がして、速度を \(0\) としてしまう。
  • 対策: 「はなれる」という現象を力学的に考えましょう。AがBを押す力が \(0\) になるのがはなれる瞬間です。これは、ばねの力が \(0\) になる自然長の位置であり、単振動では速度が最大になる振動中心です。言葉のイメージに惑わされず、物理的な定義に立ち返ることが大切です。
• (5)で復元力をkcと考えてしまう:
  • 誤解: 系全体の復元力の最大値が \(kc\) だから、物体Bに働く力の最大値もこれに比例するだろう、と安易に考えてしまう。
  • 対策: Bを動かしている力の正体は何か、を常に考える癖をつけましょう。Bを直接動かしているのは、ばねではなく、Aとの間の「静止摩擦力」です。したがって、B単独の運動方程式 \(ma=f\) を立て、この \(f\) が限界（最大静止摩擦力）を超えない、という条件を考えるのが正しいアプローチです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（周期の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「時間」です。単振動という周期運動において、特定の区間（端から中心まで）の時間を知るには、まず1往復の時間である周期を求めるのが最も直接的なアプローチです。
  • 適用根拠: 運動が単振動であることは明らかで、その質量 \((M+m)\) とばね定数 \(k\) が分かっているため、周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) が直接適用できます。
• (3)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」です。運動の始点（\(v=0\)）と終点（\(v=?\)）の状態が分かっており、その間に働く力が保存力（弾性力）のみであるため、時間経過を追う必要のないエネルギー保存則が最も効率的です。
  • 適用根拠: 床はなめらかで、非保存力である摩擦力が仕事をしないため、系の力学的エネルギー（運動エネルギー＋弾性エネルギー）は保存されます。
• (4)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは分離後の「振幅」です。振幅は、その単振動が持つ全エネルギーによって決まります。分離した瞬間の物体Aのエネルギーが、そのまま分離後の単振動の全エネルギーになります。この関係を記述するのに、エネルギー保存則が最適です。
  • 適用根拠: 分離後のAの運動も、なめらかな床の上のばね振り子なので、力学的エネルギーは保存されます。「振動中心での運動エネルギー」が「振動の端での弾性エネルギー」に等しい、という関係式を立てることで振幅を求めます。
• (5)での公式選択（運動方程式と摩擦力の条件式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「すべらないための条件」です。これは力学的な限界条件の問題であり、力の関係を記述する運動方程式が基本となります。「すべらない」とは静止摩擦力がその限界を超えないことなので、\(f \le \mu N\) という条件式と組み合わせる必要があります。
  • 適用根拠: 物体Bを加速させているのは静止摩擦力であるため、Bの運動方程式 \(ma=f\) を立てます。そして、加速度が最大になる振動の端で、この \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu mg\) を超えない、という不等式を立てることで、振幅の限界値を導出できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま解き進める:
  • (4)で振幅 \(b\) を求める際に、(3)で求めた \(v\) の式をすぐに代入するのではなく、まず \(b^2 = \frac{M}{k}v^2\) という関係を導き出します。そこに \(v^2 = \frac{k}{M+m}a^2\) を代入すると、ばね定数 \(k\) がきれいに消去でき、計算の見通しが良くなりミスが減ります。
• 平方根の取り扱いに注意する:
  • \(v^2 = \frac{k}{M+m}a^2\) から \(v\) を求める際に、\(a^2\) がルートの外に出て \(a\) になることを忘れないようにしましょう。同様に、(4)の \(b^2 = \frac{M}{M+m}a^2\) から \(b\) を求める際も、\(a\) をルートの外に出します。
• 物理量の変化を明確に意識する:
  • (4)では、運動の主体がAとBの2物体からAのみに変わります。これにより、角振動数が \(\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}\) から \(\omega’ = \sqrt{\frac{k}{M}}\) に変化します。別解のように運動学的な公式を使う場合、この違いを正しく反映させないと答えが合いません。
• 不等式の向きを確認する:
  • (5)で「〜以下でなければならない」という条件から不等式を立てる際、向きを間違えないように注意しましょう。「（運動に必要な）静止摩擦力 \(\le\) （供給可能な）最大静止摩擦力」という物理的な意味を考えながら立式すると、向きの間違いを防げます。
• 結果を吟味する癖をつける:
  • (4)で求めた振幅 \(b = \sqrt{\frac{M}{M+m}}a\) について、\(\frac{M}{M+m}\) は必ず \(1\) より小さいので、\(b\) は元の振幅 \(a\) より小さくなります。これは「エネルギーの一部を物体Bが等速直線運動として持ち去ったのだから、Aに残された振動エネルギーは減少し、振幅は小さくなるはずだ」という物理的な直感と一致します。このような簡単な吟味でも、大きな計算ミスを発見できます。

236 板とおもりの単振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直ばね振り子上の物体の運動」です。重力下での単振動の扱いや、複数の物体が一体となって振動するときの力のやりとり、そして物体がはなれる条件を正確に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
板とおもりは一体となって単振動するので、質量 \((m_1+m_2)\) の一つの物体とみなして運動方程式を立てます。鉛直ばね振り子では、力のつりあいの位置を座標の原点にとるのが定石です。問題文で、つりあいの位置が原点O、鉛直下向きが \(x\) 軸の正の向きと指定されているので、それに従います。
この設問における重要なポイント

• 板とおもりを一体（質量 \((m_1+m_2)\)）とみなす。
• 振動の中心は、力のつりあいの位置（原点O）である。
• 座標軸は鉛直下向きを正とする。
• 位置 \(x\) にあるとき、ばねの自然長からの縮みは \((d+x)\) となる。

具体的な解説と立式
まず、つりあいの状態（\(x=0\)）での力の関係式を立てます。
一体となった物体に働く力は、

• 下向き: 重力 \((m_1+m_2)g\)
• 上向き: ばねの弾性力 \(kd\)

つりあっているので、「上向きの力の和 = 下向きの力の和」より、
$$ kd = (m_1+m_2)g \quad \cdots ① $$
次に、板が位置 \(x\) にあるときの運動方程式を立てます。
一体となった物体に働く力は、

• 下向き: 重力 \((m_1+m_2)g\)
• 上向き: ばねの弾性力 \(k(d+x)\)

鉛直下向きを正として運動方程式を立てると、
$$ (m_1+m_2)a = (m_1+m_2)g – k(d+x) $$
ここで、式①の関係 \((m_1+m_2)g = kd\) を用いて式を整理します。
$$
\begin{aligned}
(m_1+m_2)a &= kd – k(d+x) \\[2.0ex] &= kd – kd – kx \\[2.0ex] &= -kx
\end{aligned}
$$

上記の運動方程式を加速度 \(a\) について解きます。
$$ a = -\frac{k}{m_1+m_2}x $$

板とおもりを合わせた一つの物体と見て、それが振動しているときの加速度を求めます。物理では、まず「つりあいの状態」を基準に考えるのが基本です。つりあいの位置から \(x\) だけずれたときに、基準の状態からどれだけ力が変化したかを考え、その力によってどれくらいの加速度が生じるかを運動の法則（\(ma=F\)）に当てはめて計算します。

加速度は \(a = -\frac{k}{m_1+m_2}x\) と求まりました。加速度 \(a\) が変位 \(x\) に比例し、向きが常に原点を向いている（符号が逆）ため、この運動が単振動であることが数式の上でも確認できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた加速度の式は、単振動の運動方程式そのものです。単振動の加速度は、角振動数 \(\omega\) を用いて \(a = -\omega^2 x\) と表されることが知られています。この一般式と(1)で求めた具体的な式を比較することで、角振動数 \(\omega\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 単振動の加速度の公式 \(a = -\omega^2 x\) を理解していること。
• (1)で求めた式の係数と、公式の \(\omega^2\) を対応させること。

具体的な解説と立式
単振動の加速度の一般式は、
$$ a = -\omega^2 x $$
(1)で求めた、この運動の加速度の式は、
$$ a = -\frac{k}{m_1+m_2}x $$
この2つの式を比較すると、\(x\) の係数部分が等しいはずなので、
$$ \omega^2 = \frac{k}{m_1+m_2} $$

上記の関係式から \(\omega\) を求めます。\(\omega > 0\) なので、
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}} $$

(1)で求めた加速度の式 \(a = -(\text{ある定数}) \times x\) は、単振動の「身分証明書」のようなものです。物理学では、この「ある定数」の部分が、振動の周期や速さを決める重要な値 \(\omega^2\) に対応することが分かっています。式の形を見比べて、この \(\omega\) を特定する問題です。

角振動数は \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}\) と求まりました。全体の質量が大きいほど、またばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、\(\omega\) は小さくなり、ゆっくりとした振動になるという、物理的な直感と一致する結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
板がおもりに及ぼす垂直抗力 \(N\) の大きさを求めたいので、考察の対象を「おもり（質量 \(m_2\)）」のみに絞ります。おもりに働く力をすべて見つけ出し、おもりについての運動方程式を立てます。このとき、おもりの加速度 \(a\) は、(1)で求めた系全体の加速度と同じです。
この設問における重要なポイント

• 考察の対象をおもりのみに絞る。
• おもりに働く力は、重力 \(m_2g\)（下向き）と、板からの垂直抗力 \(N\)（上向き）の2つである。
• おもりの加速度は、系全体の加速度 \(a\) と等しい。
• 座標軸（下向き正）に合わせて、力の符号を正しく設定する。

具体的な解説と立式
おもり（質量 \(m_2\)）に着目し、鉛直下向きを正として運動方程式を立てます。
おもりに働く力は、

• 下向き: 重力 \(m_2g\)
• 上向き: 垂直抗力 \(N\)

したがって、運動方程式は、
$$ m_2a = m_2g – N $$
この式を \(N\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
N &= m_2g – m_2a \\[2.0ex] &= m_2(g-a)
\end{aligned}
$$
ここに、(1)で求めた \(a = -\frac{k}{m_1+m_2}x\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= m_2\left(g – \left(-\frac{k}{m_1+m_2}x\right)\right) \\[2.0ex] &= m_2\left(g + \frac{k}{m_1+m_2}x\right)
\end{aligned}
$$
問題文の指示に従い、\(g\) を消去して \(d\) を用いて表します。つりあいの式① \(kd = (m_1+m_2)g\) より、
$$ g = \frac{kd}{m_1+m_2} $$
これを \(N\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= m_2\left(\frac{kd}{m_1+m_2} + \frac{kx}{m_1+m_2}\right) \\[2.0ex] &= \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d+x)
\end{aligned}
$$

上記の立式過程がそのまま計算過程となります。

エレベーターが上下に動くと、体重計の示す値が変わるのと同じ原理です。おもりが乗っている板が加速度運動をすることで、板がおもりを支える力（垂直抗力）の大きさが変化します。おもりの立場になって運動の法則の式を立て、そこから垂直抗力 \(N\) を逆算します。

垂直抗力は \(N = \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d+x)\) と求まりました。

• つりあいの位置（\(x=0\)）では \(N = \frac{m_2kd}{m_1+m_2} = m_2g\) となり、静止しているときと同じです。
• 最下点（\(x=A>0\)）では \(N\) は最大になり、最上点（\(x=-A<0\)）では \(N\) は最小になります。これは物理的な直感と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
おもりが板からはなれる、という現象は、板がおもりを支える力、すなわち垂直抗力 \(N\) が \(0\) になる瞬間に起こります。したがって、「はなれないための条件」は「単振動のいかなる瞬間においても \(N \ge 0\) である」ということです。
(3)で求めた \(N\) の式を見ると、\(N\) が最も小さくなるのは変位 \(x\) が最も小さくなる（最も上に行く）ときです。単振動の振幅が \(A\) なので、運動範囲は \(-A \le x \le A\) です。したがって、\(x=-A\) のときに \(N\) が \(0\) 以上であれば、常に一体で振動できることになります。
この設問における重要なポイント

• 「おもりが板からはなれる」とは、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になることである。
• はなれない条件は、単振動の全範囲で \(N \ge 0\) であること。
• \(N\) が最小になるのは、振動の最上点（\(x=-A\)）である。
• したがって、最上点での \(N\) の値が \(0\) 以上であることが求める条件となる。

具体的な解説と立式
(3)で求めた垂直抗力の式は、
$$ N = \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d+x) $$
この式から、\(N\) が最小になるのは \(x\) が最小値をとるときです。
振幅 \(A\) の単振動なので、\(x\) の範囲は \(-A \le x \le A\) です。
したがって、\(x\) の最小値は \(x=-A\)（振動の最上点）です。
このときの垂直抗力の最小値 \(N_{\text{最小}}\) は、
$$ N_{\text{最小}} = \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d-A) $$
おもりが板からはなれないための条件は \(N_{\text{最小}} \ge 0\) なので、
$$ \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d-A) \ge 0 $$

上記で立てた不等式を \(A\) について解きます。
\(\frac{m_2k}{m_1+m_2}\) は正の定数なので、両辺をこの値で割っても不等号の向きは変わりません。
$$
\begin{aligned}
d-A &\ge 0 \\[2.0ex] d &\ge A
\end{aligned}
$$
したがって、求める条件は \(A \le d\) です。

トランポリンでジャンプするとき、高く跳びすぎると体がトランポリンから離れてしまいます。この問題も同じで、板を大きく押し下げて（振幅 \(A\) を大きくして）手をはなすと、振動の勢いがつきすぎて、一番上の位置でおもりが板から離れてしまいます。おもりが離れないようにするためには、最初の押し下げ距離 \(A\) を、ある限界以下に抑える必要があります。その限界値を求める問題です。

一体となって振動するための条件は \(A \le d\) と求まりました。ここで \(d\) は、はじめに物体が静止していたときのばねの縮みです。これは、振動の最上点（\(x=-A\)）が、ばねの自然長の位置（\(x=-d\)）よりも下にあれば、おもりははなれない、ということを意味しています。物理的に非常に明快な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と単振動の条件
  • 核心: この問題の根幹は、重力の影響下でばねにつながれた物体が示す「単振動」を、運動方程式を用いて数学的に記述する能力です。具体的には、物体に働く力（重力と弾性力）の合力を考え、\(ma=F\) の形で立式します。その結果が \(a = -(\text{定数}) \times x\) という形になることを確認し、振動の中心（つりあいの位置）や角振動数を特定することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • つりあいの位置の重要性: 鉛直ばね振り子では、重力と弾性力がつりあう位置が振動の中心となります。この問題では、その位置が座標原点として指定されています。この基準点からの変位 \(x\) を用いて運動方程式を立てると、重力項が見かけ上消去され、運動がシンプルな復元力の形で記述できることが鍵となります。
    • 複数物体の扱い: 物体が一体となって運動している間は、質量 \((m_1+m_2)\) の一つの物体として扱うことができます。しかし、物体間の力（この場合は垂直抗力）を問われた場合は、個別の物体に着目して運動方程式を立てる必要があります。この「全体で見る視点」と「個別で見る視点」の使い分けが重要です。
• 物体がはなれる条件の物理的解釈
  • 核心: 振動中に物体が接触を失う（はなれる）現象を、物理法則に基づいて数式に落とし込むことです。
  • 理解のポイント:
    • はなれる条件: おもりが板から「はなれる」瞬間とは、板がおもりを押す力（垂直抗力）が \(0\) になる瞬間です。これは、おもりが重力だけで運動している状態、つまり自由落下と同じ加速度で運動する瞬間と物理的に等価です。
    • 限界条件の適用: 「はなれない」ための条件は、振動の全範囲で垂直抗力が \(0\) 以上であることです。垂直抗力が最も小さくなるのは、下向きの加速度が最大になる振動の最上点です。したがって、この最上点での条件を考えることで、振幅全体の条件を導き出すことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内の鉛直ばね振り子: エレベーターが加速度運動をすると、見かけの重力が変化し、単振動のつりあいの位置（振動中心）がずれます。慣性力を考慮して新しいつりあいの位置を求めれば、あとは同様に解くことができます。
  • 斜面上の単振動: 斜面上に置かれた物体がばねで振動する場合も、重力の斜面方向成分と弾性力がつりあう位置が振動中心となります。力の分解を正確に行うことが鍵です。
  • 浮力による単振動: 水に浮かべた物体を少し押し沈めて離すと、浮力と重力の差が復元力となって単振動をします。この場合、アルキメデスの原理から浮力を正しく計算し、つりあいの位置を特定することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは振動中心（つりあいの位置）を探す: 問題が単振動に関するものだと判断したら、最初にやるべきことは、物体に働くすべての力がつりあう位置を見つけることです。この位置が、その後の運動を記述する上での最も重要な基準点（原点）になります。
  2. 座標軸を設定し、力を図示する: 問題文の指示に従い、つりあいの位置を原点とし、座標軸を設定します。そして、つりあいの位置から任意に変位 \(x\) だけずれた状態で、物体に働く力をすべてベクトル矢印で図に書き込みます。
  3. 運動方程式を立て、単振動であることを確認する: 図示した力をもとに、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。式を整理した結果が \(a = -(\text{定数}) \times x\) の形になれば、その運動は単振動であることが確定します。この式の比例定数から角振動数 \(\omega\) が求まります。
  4. 「はなれる」「すべる」などの条件を物理的に解釈する:
     • 「はなれる」→ 垂直抗力 \(N=0\)。これは、下向きの加速度が \(g\) に達する（下向きを正とすれば \(a=g\)）ことと等価な場合が多いです。
     • 「すべる」→ 静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N\) に達する。

     これらの条件を、個別の物体についての運動方程式に適用することで、限界となる振幅や位置を求めることができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標軸の正の向きと力の符号の混同:
  • 誤解: この問題では鉛直下向きが正と設定されています。運動方程式を立てる際に、上向きの力（弾性力、垂直抗力）にマイナスをつけ忘れたり、下向きの力（重力）に誤ってマイナスをつけたりするミス。
  • 対策: 最初に座標軸の向きを大きく図に書き込み、「下向きの力は正、上向きの力は負」というルールを機械的に適用する癖をつけましょう。特に鉛直方向の運動では、この設定が計算ミスを大きく左右します。
• つりあいの位置と自然長の位置の混同:
  • 誤解: ばねの弾性力を考える際に、つりあいの位置からの変位 \(x\) をそのまま使って \(kx\) と書いてしまう。
  • 対策: 弾性力の基準は常に「ばねの自然長」であることを徹底しましょう。この問題では、つりあいの位置ですでに \(d\) だけ縮んでいるので、そこからさらに \(x\) だけ変位した位置での自然長からの縮みは \((d+x)\) となります。この点を正確に把握することが不可欠です。
• 「はなれる」条件の誤解:
  • 誤解: はなれるのは振動の端（最上点）だから、速度が \(0\) のときだ、と考えてしまう。あるいは、ばねが自然長に戻ったときだ、と別の問題と混同してしまう。
  • 対策: 「はなれる」という現象を「垂直抗力 \(N=0\)」という物理の言葉に翻訳する癖をつけましょう。その上で、\(N\) が \(0\) になる位置 \(x\) を計算します。この問題では \(x=-d\)（自然長の位置）で \(N=0\) となりますが、これは常にそうとは限りません。必ず運動方程式から導出することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動方程式と力のつりあい）:
  • 選定理由: 求めたいのは「加速度」であり、これは運動と力の関係を記述する運動方程式 \(ma=F\) を使って求めます。特に鉛直ばね振り子では、重力と弾性力が常に働くため、計算を簡略化するために「力のつりあい」の式を併用するのが定石です。
  • 適用根拠: 一体で運動する物体に働く力をすべて考慮し、つりあいの位置を基準点として運動方程式を立てることで、重力項が相殺され、復元力が \( -kx \) というシンプルな形で表現できます。
• (2)での公式選択（単振動の加速度の公式との比較）:
  • 選定理由: 求めたいのは「角振動数 \(\omega\)」です。(1)で運動方程式を解いた結果、加速度が \(a = -(\text{定数}) \times x\) の形で得られました。これは単振動の定義式そのものです。
  • 適用根拠: 単振動の加速度の一般式 \(a=-\omega^2 x\) と、(1)で具体的に導出した \(a = -\frac{k}{m_1+m_2}x\) の係数を比較することで、\(\omega^2 = \frac{k}{m_1+m_2}\) という関係が直接導かれます。
• (3)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは物体間に働く内部の力である「垂直抗力 \(N\)」です。力と運動（加速度）の関係を記述する基本法則は運動方程式 \(ma=F\) です。
  • 適用根拠: 垂直抗力が直接働く「おもり」だけを系として取り出し、運動方程式を立てます。このとき、おもりの加速度は(1)で求めた系全体の加速度と等しいことを利用して、未知数である \(N\) を計算します。
• (4)での公式選択（垂直抗力の限界条件）:
  • 選定理由: 求めたいのは「はなれないための条件」です。これは物理的な限界条件を問う問題です。「はなれる」という現象を「垂直抗力 \(N=0\)」という物理的な条件に翻訳し、数式で評価する必要があります。
  • 適用根拠: (3)で求めた \(N\) の式を使い、振動範囲全体（\(-A \le x \le A\)）で常に \(N \ge 0\) が成り立つ条件を考えます。\(N\) が \(x\) の1次関数であることから、\(N\) が最小となる振動の最上点（\(x=-A\)）で \(N \ge 0\) であれば、他のすべての点でも条件を満たすことがわかります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (3)で \(N\) を求める際、\(g\) に具体的な式を代入するのは最後の段階にします。まず \(N = m_2(g+a)\) の形にしてから、\(a\) の式を代入し、最後に \(g\) を消去するという手順を踏むことで、計算の見通しが良くなります。
• つりあいの式を有効活用する:
  • この問題では、つりあいの式 \( (m_1+m_2)g = kd \) が随所で役立ちます。運動方程式を簡略化したり、(3)や(4)で \(g\) を消去したりする際に、この関係式をうまく使うことで、計算が大幅に楽になり、ミスも減らせます。
• 不等式の扱いに注意する:
  • (4)で \( \frac{m_2k}{m_1+m_2}(d-A) \ge 0 \) という不等式を解く際、両辺を割る係数が正であることを確認する癖をつけましょう。今回は明らかに正ですが、複雑な問題では係数が負になる可能性もあり、その場合は不等号の向きが逆転します。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (3)で求めた \(N\) の式に、振動の最下点 \(x=A\) を代入してみましょう。もし \(A=d\) なら、\(N = \frac{m_2k}{m_1+m_2}(2d) = 2m_2g\) となります。これは、静止時の2倍の力がかかっていることを意味し、エレベーターが上昇するときの感覚と一致します。このような簡単なチェックで、式の妥当性を確認できます。

237 ばねの両端につけられた物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねで連結された2物体の重心運動と単振動」です。外力が働かない系全体の運動（重心運動）と、系内部の力による振動（相対運動）を分けて考える、2体問題の典型例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとB、そしてばねを一つの「系」として考えます。水平面はなめらかで、水平方向には外部から力が加わりません。このような場合、系全体の運動量は保存されます。この運動量保存則を用いて、重心の速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• AとBを一つの系とみなす。
• 水平方向には外力が働かないため、系の全運動量が保存される。
• ばねが及ぼし合う弾性力は、系内部の力（内力）であるため、系全体の運動量の変化には影響しない。
• 運動量が保存される結果、重心の速度は一定となる。

具体的な解説と立式
Aに右向きの速さ \(v\) を与えた直後の系の全運動量と、その後の系の全運動量が等しい、という式を立てます。

• はじめの運動量（Aに速さ \(v\) を与えた直後）
  • 物体Aの運動量: \(Mv\)
  • 物体Bの運動量: \(m \times 0 = 0\)
  • 系の全運動量 \(P_{\text{初}}\) は、
    $$
    \begin{aligned}
    P_{\text{初}} &= Mv + 0 \\[2.0ex] &= Mv
    \end{aligned}
    $$
• その後の運動量
  • AとBを一体とみなし、全体の質量は \((M+m)\)。
  • この系全体の重心速度を \(v_G\) とすると、系の全運動量 \(P_{\text{後}}\) は、
    $$ P_{\text{後}} = (M+m)v_G $$

運動量保存則 \(P_{\text{初}} = P_{\text{後}}\) より、
$$ Mv = (M+m)v_G \quad \cdots ① $$

式①を \(v_G\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_G &= \frac{M}{M+m}v
\end{aligned}
$$

スケートリンクの上で静止しているAさん（質量\(M\)）とBさん（質量\(m\)）が、ばねでつながれている状況を想像してください。誰かがAさんをポンと押して、速さ\(v\)を与えました。このとき、AさんとBさんはばねで伸び縮みしながら、全体としてはある一定の速さで滑っていきます。この「全体としての速さ」が重心の速さです。外から力が加わらない限り、全体の勢い（運動量）は変わらないという法則を使って、この速さを計算します。

重心の速度の大きさは \(v_G = \frac{M}{M+m}v\) と求まりました。この速度は、その後AとBがどのように振動しても、一定に保たれ続けます。

問(2)

思考の道筋とポイント
重心から見たBの運動を考えます。重心は一定速度 \(v_G\) で動いているため、重心と一緒に動く座標系（重心系）で物体の運動を観測すると、重心は静止しているように見えます。この重心系では、Bは静止した重心点を中心として単振動を行います。この考え方を用いて周期を求めます。
この設問における重要なポイント

• 重心の位置は、AとBを結ぶ線分を質量の逆比 \(m:M\) に内分する点である。
• 重心を固定点とみなすと、一本のばねが重心の位置で二つのばねに分割されたと考えることができる。
• 一様なばねのばね定数は、その自然長に反比例する。

具体的な解説と立式
ばねが自然長のとき、重心からAまでの長さを \(l_A\)、Bまでの長さを \(l_B\) とします。重心の定義より、\(Ml_A = ml_B\) が成り立ちます。
したがって、長さの比は質量の逆比となり、\(l_A : l_B = m : M\) です。

次に、重心からB側の部分のばねのばね定数 \(k_B\) を求めます。
ばね定数は自然長に反比例します。ばね全体の自然長を \(L=l_A+l_B\)、ばね定数を \(k\) とすると、比例定数を \(C\) として \(k = C/L\), \(k_B = C/l_B\) と書けます。
この2式から \(C\) を消去すると、\(kL = k_B l_B\) となります。
よって、
$$
\begin{aligned}
k_B &= k \frac{L}{l_B} \\[2.0ex] &= k \frac{l_A+l_B}{l_B} \\[2.0ex] &= k \left( \frac{l_A}{l_B} + 1 \right)
\end{aligned}
$$
ここに \(l_A/l_B = m/M\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
k_B &= k \left( \frac{m}{M} + 1 \right) \\[2.0ex] &= k \frac{m+M}{M} \\[2.0ex] &= \frac{M+m}{M}k
\end{aligned}
$$
重心系において、物体B（質量 \(m\)）は、ばね定数 \(k_B\) のばねによって重心点に引かれて単振動するとみなせます。
したがって、その周期 \(T_B\) は、単振動の公式より、
$$ T_B = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_B}} \quad \cdots ② $$

求めた \(k_B = \frac{M+m}{M}k\) を式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
T_B &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{(M+m)k}{M}}} \\[2.0ex] &= 2\pi\sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
\end{aligned}
$$

AさんとBさんの間に重心という「見えない不動点」があると想像します（実際には動いていますが、重心と一緒に動く視点では止まって見えます）。Bさんは、この不動点と自分をつなぐ「ばねの一部」によって、行ったり来たり振動します。この「ばねの一部」は、元のばねより短いので、より硬く（ばね定数が大きく）なっています。そのばねの硬さとBさんの質量を使って、振動が一往復するのにかかる時間（周期）を計算します。

重心から見たBの単振動の周期は \(T_B = 2\pi\sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}\) と求まりました。この周期は、重心から見たAの単振動の周期とも一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
Aに速さ \(v\) を与えた瞬間、ばねは自然長です。これは、重心から見ると、AもBも単振動の「振動の中心」にいることを意味します。単振動では、振動の中心を通過するときに速さが最大になります。したがって、この瞬間の「重心から見たBの速度」が、Bの単振動における最大速度 \(v_{B,\text{最大}}\) となります。この関係を利用して振幅を求めます。
この設問における重要なポイント

• 単振動の最大速度は \(v_{\text{最大}} = A\omega\) で与えられる（\(A\): 振幅, \(\omega\): 角振動数）。
• 初速を与えた瞬間、ばねは自然長であり、A, Bは重心から見て振動の中心にいる。
• 重心から見たBの速度 \(v_{B,\text{重心系}}\) は、\((\text{Bの速度}) – (\text{重心の速度})\) で計算できる。

具体的な解説と立式
Aに速さ \(v\) を与えた瞬間を考えます。

• このときのBの速度（実験室に対する速度）は \(v_B = 0\)。
• 重心の速度は(1)で求めた通り \(v_G = \frac{M}{M+m}v\)。

この瞬間の、重心から見たBの速度 \(v_{B,\text{重心系}}\) は、
$$
\begin{aligned}
v_{B,\text{重心系}} &= v_B – v_G \\[2.0ex] &= 0 – \frac{M}{M+m}v \\[2.0ex] &= -\frac{M}{M+m}v
\end{aligned}
$$
この速度の大きさが、Bの単振動における最大速度 \(v_{B,\text{最大}}\) になります。
$$
\begin{aligned}
v_{B,\text{最大}} &= |v_{B,\text{重心系}}| \\[2.0ex] &= \frac{M}{M+m}v
\end{aligned}
$$
Bの単振動の振幅を \(A_B\)、角振動数を \(\omega_B\) とすると、\(v_{B,\text{最大}} = A_B \omega_B\) の関係が成り立ちます。
(2)で求めた周期 \(T_B\) から、角振動数 \(\omega_B\) は、
$$
\begin{aligned}
\omega_B &= \frac{2\pi}{T_B} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{2\pi\sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{(M+m)k}{Mm}}
\end{aligned}
$$
したがって、振幅 \(A_B\) は以下の式で求められます。
$$ A_B = \frac{v_{B,\text{最大}}}{\omega_B} \quad \cdots ③ $$

求めた \(v_{B,\text{最大}}\) と \(\omega_B\) を式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
A_B &= \frac{\frac{Mv}{M+m}}{\sqrt{\frac{(M+m)k}{Mm}}} \\[2.0ex] &= \frac{Mv}{M+m} \times \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
\end{aligned}
$$

ブランコを一番下（振動の中心）で最も勢いよく押す状況を想像してください。その押した瞬間のスピードが速いほど、ブランコはより高く（振れ幅が大きく）なります。この問題でも同じで、最初にAを動かした瞬間の「重心から見たBのスピード」が、Bの単振動の最大スピードになります。この最大スピードと、(2)で求めた振動のテンポ（周期から計算できる角振動数）が分かれば、Bがどれくらいの幅で振動するか（振幅）を計算できます。

重心から見たBの単振動の振幅が求められました。この結果は、Aに与える初速 \(v\) が大きいほど振幅も大きくなるという直感と一致しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則と重心運動
  • 核心: 複数の物体からなる系に、ある方向から外力が働かない場合、その方向の系全体の運動量は一定に保たれる、という法則です。その結果、系全体の質量が集まった一点である「重心」は、一定の速度で動き続けます（等速直線運動）。この問題では、水平方向になめらかなため、この法則が適用できます。
  • 理解のポイント:
    • 内力と外力の区別: ばねの弾性力のように、系内部の物体同士で及ぼし合う力（内力）は、作用・反作用の法則により常にペアで存在し、系全体の運動量を変化させません。運動量を変化させるのは、系の外から加わる力（外力）だけです。
    • 重心の不変性: 一度重心の速度が決まれば、内部でどれだけ複雑な運動（この問題では振動）が起ころうとも、重心はひたすら同じ速度で進み続けます。
• 重心系から見た単振動（2体問題の分離）
  • 核心: 2つの物体が相互作用しながら運動する複雑な問題（2体問題）を、①系全体が並進する運動（重心運動）と、②重心のまわりで振動する運動（相対運動）という、2つのより単純な運動に分解して考えることです。
  • 理解のポイント:
    • 視点の切り替え: 地面に固定された視点（実験室系）では、AもBも振動しながら進むという複雑な運動に見えます。しかし、重心と一緒に動く視点（重心系）に切り替えると、重心が止まって見え、そのまわりをAとBが単振動するという、はるかに見通しの良い運動として捉えることができます。
    • 問題の単純化: この「分離」という考え方により、2体問題を実質的に1体の単振動問題に帰着させることができます。これが、この種の問題を解く上での最も強力なアプローチです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 万有引力による連星の運動: 2つの恒星が互いの重力で回り合う運動。これも2体問題であり、重心のまわりをそれぞれが円運動（または楕円運動）する問題として、本問と同じ考え方で周期などを求めることができます。ばねの弾性力が万有引力に変わるだけです。
  • 物体の分裂や衝突: 静止している物体が2つに分裂したり、2物体が衝突して一体となったりする問題。これらも、分裂や衝突の前後で運動量保存則が成り立つという点で共通しています。
  • ばねにつながれた台車上の物体の運動: 台車の上で物体がばねにつながれて振動する場合。これも台車と物体を一つの系とみなせば、水平方向に外力がなければ運動量保存則が成り立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 問題文を読んだら、登場するすべての物体について、働く力をベクトル矢印で図に書き込みます。重力、張力、垂直抗力、摩擦力など、漏れがないかを確認するのが第一歩です。
  2. 運動の方向を予測し、座標軸（正の向き）を設定する: どちらの物体がどちらに動くかを直感的に予測し、その向きを正とします。これにより、運動方程式の符号のミスを防ぎやすくなります。もし予測が外れても、加速度が負の値として計算されるだけなので問題ありません。
  3. 束縛条件を確認する: 物体同士がどのように連結されているか（糸、ばね、接触など）を確認し、加速度や速度の間にどのような関係があるか（例: \(a_A = a_B\), \(v_A = 2v_B\) など）を考えます。これが未知数の数を減らす鍵となります。
  4. どの物理法則を使うか判断する:
     • 加速度や力を問われたら → まずは運動方程式を考える。
     • 速さや移動距離を問われたら → 運動方程式で加速度を求めてから等加速度運動の公式を使うか、あるいは力学的エネルギー保存則が使えないかを検討する。
     • エネルギー保存則が使える条件は「非保存力（摩擦力や張力など）が仕事をしない、あるいは仕事の総和がゼロ」であることです。この問題では、系全体で見れば張力のする仕事は相殺されるので、エネルギー保存則が有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の基準点を混同してしまう:
  • 誤解: 地面に対する速度（実験室系の速度）と、重心に対する速度（重心系の速度）をごちゃ混ぜにして計算してしまう。
  • 対策: 速度を扱う際は、常に「何に対する速度か」を意識する癖をつけましょう。\(v_B\)（Bの実験室系での速度）と \(v_{B,\text{重心系}}\)（Bの重心系での速度）のように、記号を明確に区別して書くことが有効です。関係式 \(v_{B,\text{重心系}} = v_B – v_G\) を正確に使うことが重要です。
• ばね定数の分割の考え方の誤り:
  • 誤解: ばねを \(l_A:l_B\) に分割したとき、ばね定数が \(k_A:k_B = l_A:l_B\) のように長さに比例すると勘違いしてしまう。
  • 対策: ばね定数は「ばねの硬さ」を表します。同じ材質のばねなら、短いほど硬く（ばね定数は大きく）なります。したがって、「ばね定数は自然長に反比例する」と正しく覚えましょう。\(k \propto 1/L\) の関係が基本です。
• 換算質量の意味の誤解:
  • 誤解: 換算質量 \(\mu\) を、重心運動を考えるときに使ってしまう。あるいは、換算質量 \(\mu\) の物体が、分割されたばね \(k_B\) につながれていると考えてしまう。
  • 対策: 換算質量は、あくまで2物体の「相対運動」を1体の運動として扱うための数学的な道具であると理解しましょう。換算質量 \(\mu\) とペアになるのは、常に「もとの相互作用（この場合はばね定数 \(k\) のばね）」です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「重心の速度」という、系全体の並進運動に関する量です。そして、問題設定から「水平方向に外力が働かない」ことが読み取れます。この2つの条件が揃ったとき、運動と力の関係を考える運動方程式よりも、系の運動量の総和という保存量に着目する「運動量保存則」が最も直接的で強力な法則となります。
  • 適用根拠: ニュートンの第2法則（運動方程式）と第3法則（作用・反作用の法則）から、内力のみが働く系では全運動量が時間変化しないことが数学的に証明されています。これが運動量保存則を無条件に適用できる根拠です。
• (2)での公式選択（単振動の周期 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\)）:
  • 選定理由: 設問で「重心から見たBの運動は単振動になる」と明示されています。単振動の周期を求めよ、という問いなので、単振動の周期の公式を使うのは自然な流れです。問題は、公式の \(m\) と \(k\) に何を代入するかです。
  • 適用根拠: 重心系で考えることで、Bの運動が「質量 \(m\) の物体」が「ばね定数 \(k_B\) のばね」で引かれる運動とみなせることが、この公式を適用する根拠となります。主たる解法では、この \(k_B\) を求めることが計算の核心でした。
• (3)での公式選択（\(v_{\text{最大}}=A\omega\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「振幅 \(A_B\)」です。(2)で周期（つまり角振動数 \(\omega_B\)）は分かっています。残る未知数は振幅 \(A_B\) と最大速度 \(v_{B,\text{最大}}\) です。もし、最大速度が分かるなら、この公式から振幅を逆算できます。
  • 適用根拠: 問題の初期条件「ばねが自然長のときにAに初速を与える」というのが決定的な根拠です。ばねが自然長ということは、復元力がゼロ、つまり単振動の「振動の中心」です。単振動において、振動の中心で速度が最大になるという物理的な性質があるため、初期の重心系での速度が \(v_{B,\text{最大}}\) に等しいと断定でき、この公式が使えるのです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように、与えられている物理量がすべて文字の場合、最後まで文字式のまま計算を進めることが基本です。これにより、式の物理的な意味を保ったまま変形でき、途中の計算ミスを発見しやすくなります。
• 速度の定義を明確にする:
  • (3)の計算では、\(v_B\)（Bの地面に対する速度）、\(v_G\)（重心の速度）、\(v_{B,\text{重心系}}\)（重心から見たBの速度）など、様々な速度が登場します。これらを混同しないよう、計算用紙に \(v_{B,\text{重心系}} = v_B – v_G\) のような定義式をはっきり書いてから計算を始めると、混乱を防げます。
• 比の計算を正確に行う:
  • (2)では、\(l_A : l_B = m : M\) という比の関係から、\(k_B\) を求めます。\(k_B = k \frac{l_A+l_B}{l_B}\) のような式変形では、分数の扱いに注意が必要です。自信がなければ、\(l_A = C m\), \(l_B = C M\)（\(C\)は比例定数）のように一度具体的な文字で置いてから計算すると、間違いが減ります。
• 次元（単位）を確認する:
  • 計算結果が出たら、その式の次元が正しいかを確認しましょう。
    • (1) 速度: \(\frac{M}{M+m}v \rightarrow \frac{[\text{kg}]}{[\text{kg}]}[\text{m/s}] = [\text{m/s}]\)。OK。
    • (2) 周期: \(2\pi\sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}} \rightarrow \sqrt{\frac{[\text{kg}][\text{kg}]}{[\text{kg}][\text{N/m}]}} = \sqrt{\frac{[\text{kg}][\text{m}]}{[\text{N}]}} = \sqrt{\frac{[\text{kg}][\text{m}]}{[\text{kg} \cdot \text{m/s}^2]}} = \sqrt{[\text{s}^2]} = [\text{s}]\)。OK。
    • (3) 振幅: \(\frac{Mv}{M+m}\sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}} \rightarrow [\text{m/s}] \times [\text{s}] = [\text{m}]\)。OK。
  • 次元が合わない場合は、どこかで根本的な間違いをしています。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • 例えば、もし \(M=m\) だったらどうなるか考えてみましょう。
    • (1) \(v_G = \frac{M}{2M}v = \frac{1}{2}v\)。直感的にも正しいです。
    • (2) \(T_B = 2\pi\sqrt{\frac{M^2}{2Mk}} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{2k}}\)。これは、質量 \(M\) の物体がばね定数 \(2k\) のばね（半分の長さのばね）で振動する周期に一致し、妥当です。
  • このように、簡単な場合を代入して結果が直感に合うか確かめるのも有効な検算方法です。

238 微小振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「微小振動における復元力の近似計算」です。つり合いの位置からわずかにずらしたときに、物体が中心に戻ろうとする力（復元力）が変位にほぼ比例することを示し、単振動の周期を求める典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

微小振動の周期

思考の道筋とポイント
質点が変位 \(x\) の位置にあるとき、左右の糸の張力によって振動の中心（つり合いの位置）に戻ろうとする力が働きます。この力が単振動の復元力となります。この復元力を力のベクトル分解によって求め、微小振動であることから近似式を適用して式を単純化することが解答への鍵となります。
この設問における重要なポイント

• つり合いの位置（AB線分の中央）を振動の中心（原点）とする。
• 質点に働く力は、左右の糸からそれぞれかかる大きさ \(S\) の張力のみである。
• 張力を振動方向（AB線分に垂直な方向）とそれに垂直な方向（AB線分に平行な方向）に分解して考える。
• 振動方向の力の合力が、単振動の復元力となる。
• 「わずかにずらして」という記述から、角度 \(\theta\) は非常に小さいと判断し、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) の近似式を利用する。
• 微小振動では糸の伸びは無視できるほど小さいため、張力の大きさ \(S\) は運動中も一定であるとみなすことができる。

具体的な解説と立式
つり合いの位置を原点Oとし、質点の変位を \(x\) とします。質点には、左右の糸からそれぞれ大きさ \(S\) の張力がかかります。
これらの張力を、AB線分に平行な成分と垂直な成分に分解します。

• AB線分に平行な成分: 大きさはそれぞれ \(S\cos\theta\) で、互いに逆向きのため打ち消し合います。
• AB線分に垂直な成分: 大きさはそれぞれ \(S\sin\theta\) で、どちらも原点Oの向き（変位 \(x\) とは逆向き）を向いています。

したがって、質点に働く合力、すなわち復元力 \(F\) は、AB線分に垂直な成分の和となります。変位 \(x\) の向きを正とすると、復元力 \(F\) は負の向きなので、
$$ F = -2S\sin\theta \quad \cdots ① $$
ここで、図から質点の変位 \(x\) と糸の長さ \(L/2\)、角度 \(\theta\) の間には次の関係があります。
$$ \tan\theta = \frac{x}{L/2} = \frac{2x}{L} $$
問題の条件より、\(\theta\) が十分に小さい場合には \(\sin\theta \approx \tan\theta\) の近似が成り立ちます。したがって、
$$ \sin\theta \approx \frac{2x}{L} \quad \cdots ② $$
この関係式②を、復元力の式①に代入することで、\(F\) を \(x\) の関数として表すことができます。

式②を式①に代入して、復元力 \(F\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
F &= -2S \left( \frac{2x}{L} \right) \\[2.0ex] &= -\frac{4S}{L}x
\end{aligned}
$$
この式は、単振動の復元力の一般式 \(F = -Kx\) と同じ形をしています。両者を比較すると、この運動におけるばね定数に相当する比例定数 \(K\) は、
$$ K = \frac{4S}{L} $$
とわかります。
最後に、単振動の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}\) に、この \(K\) を代入して周期 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} \\[2.0ex] &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{4S}{L}}} \\[2.0ex] &= 2\pi\sqrt{\frac{mL}{4S}} \\[2.0ex] &= \pi\sqrt{\frac{mL}{S}}
\end{aligned}
$$

ギターの弦やピンと張ったゴムひもの真ん中を少しだけ弾くと、ブルブルと小刻みに震えます。この問題は、その振動が1往復するのにかかる時間（周期）を計算するものです。質点を少しずらすと、左右に張られた糸が斜めになり、質点を真ん中に引き戻そうとする力が生まれます。この「戻そうとする力」がどれくらい強いかを計算するのが第一歩です。「ずれ」がごく小さい場合に限れば、この戻そうとする力は「ずれの大きさ」に比例することがわかります。これは、おもりがばねにつながれて振動するのと同じ性質（単振動）なので、周期を計算するための便利な公式が使えるようになります。

周期は \(T = \pi\sqrt{\frac{mL}{S}}\) と求まりました。この結果を吟味してみましょう。

• 質量の \(m\) が大きいほど、物体は動きにくくなる（慣性が大きい）ので、周期 \(T\) は長くなります（\(T \propto \sqrt{m}\)）。
• 糸の張力 \(S\) が大きいほど、質点を引き戻す力が強くなるので、振動は速くなり周期 \(T\) は短くなります（\(T \propto 1/\sqrt{S}\)）。
• 糸を張る間隔 \(L\) が長いほど、同じだけずらしても糸の傾きが緩やかになり、引き戻す力が弱くなるので、周期 \(T\) は長くなります（\(T \propto \sqrt{L}\)）。

これらの関係は、私たちの直感とも一致しており、物理的に妥当な結果であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単振動の成立条件（復元力 \(F = -Kx\)）
  • 核心: この問題の根幹は、一見複雑に見える運動が、特定の条件下では「単振動」とみなせることを見抜く点にあります。単振動であるための絶対条件は、物体に働く合力（復元力）が、つり合いの位置からの変位 \(x\) に比例し、常につり合いの位置を向くこと（\(F = -Kx\)）です。この問題では、張力の合力を計算し、微小変位の近似を用いることで、この形を導き出すプロセスが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 復元力の発見: どんな振動問題でも、まず「つり合いの位置」を見つけ、そこからずらしたときに「つり合いの位置に戻そうとする力（復元力）」が働くかどうかを確認するのが第一歩です。
    • 比例関係の重要性: 復元力が変位 \(x\) に「比例」することが、周期が一定のきれいな振動（単振動）になるための鍵です。もし復元力が \(x^2\) や \(x^3\) に比例するような複雑な力だと、周期が振幅によって変わるなど、高校物理の範囲を超える難しい振動になります。
• 微小量における近似計算
  • 核心: 物理現象を数学的にモデル化する際、厳密な式が複雑すぎる場合に「近似」を用いて本質を捉えることは非常に重要です。「わずかにずらす」という条件から、変位 \(x\) や角度 \(\theta\) が非常に小さいと判断し、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) や（別解で用いた）\(\sqrt{1+a} \approx 1+a/2\) といった近似式を適用します。この近似によって初めて、復元力が \(x\) に比例する単純な形になり、単振動として扱えるようになります。近似の妥当性とその威力を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 現実を単純化する道具: 物理学では、複雑な現実の現象から本質を抜き出すために、しばしば「近似」という強力な道具を使います。この問題は、その典型例です。厳密な式は複雑でも、「少しだけずらす」という条件をつけることで、問題を「ばねの振動」というよく知られた単純なモデルに置き換えることができます。
    • 近似の根拠: なぜ \(\sin\theta \approx \tan\theta\) が成り立つのかを理解しておくことが大切です。\(\theta\) がラジアン単位で非常に小さいとき、\(\sin\theta \approx \theta\), \(\tan\theta \approx \theta\), \(\cos\theta \approx 1\) となります。この問題では、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) がどちらも \(\theta\) に近似できるため、両者がほぼ等しいとみなせるわけです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 単振り子: 糸で吊るされたおもりの微小振動。これも、重力の分力が復元力となり、\(\sin\theta \approx \theta\) の近似を用いることで \(F=-mg\theta = -(mg/l)x\) の形になり、単振動とみなせます。
  • 浮力による振動: 水に浮いている棒や円柱を少し押し沈めて離したときの上下振動。復元力はアルキメデスの原理による浮力の変化分であり、変位に比例します。
  • U字管内の液柱振動: U字管に入れた液体を一方に少し押し下げて離したときの振動。復元力は左右の液面の高さの差による重力であり、変位に比例します。
  • 電気単振動: 2つの正の固定電荷の間に負電荷を置き、少しずらしたときの振動。クーロン力が復元力となり、微小変位の近似で単振動になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. つり合いの位置を見つける: まず、物体が静止できる「つり合いの位置」を特定します。ここが振動の中心（原点）になります。
  2. つり合いの位置から少しずらす: つり合いの位置から、微小変位 \(x\) だけ物体をずらした状態の図を描きます。
  3. 働く力をすべて書き出す: ずれた位置で物体に働く力をすべてベクトルで図示します。
  4. 復元力を計算する: 振動方向の力の合力を計算します。この力がつり合いの位置を向いているか（復元力になっているか）を確認します。
  5. 近似を適用する: 「微小振動」「わずかにずらす」などのキーワードがあれば、変位 \(x\) や角度 \(\theta\) が小さいことを利用して、三角関数や平方根を含む複雑な式を \(x\) の1次式に近似できないか検討します。
  6. \(F=-Kx\) の形になっているか確認する: 計算した復元力が \(F=-Kx\) の形になっていれば、その運動は単振動であると結論できます。比例定数 \(K\) を特定します。
  7. 周期の公式を適用する: \(K\) がわかれば、\(T=2\pi\sqrt{m/K}\) に代入して周期を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似式をいつ使っていいかわからない:
  • 誤解: どんな問題でも \(\sin\theta \approx \theta\) が使えると思ってしまう。
  • 対策: 近似式が使えるのは、「角度 \(\theta\) が十分に小さい」という物理的な条件がある場合のみです。「微小振動」「わずかにずらす」「振幅が十分に小さい」といった問題文のキーワードを見逃さないことが重要です。ラジアンで測った角度が \(0\) に近いときのみ成り立つことを理解しましょう。
• 復元力の符号ミス:
  • 誤解: 復元力の計算で、力の向きを考慮せず、大きさだけを足し合わせてしまう。
  • 対策: 必ず座標軸を設定し、変位 \(x\) の正の向きを定義しましょう。復元力は常に変位と逆向きに働くため、\(F\) は \(x\) が正のとき負、\(x\) が負のとき正になるはずです。最終的に \(F=-Kx\) のように、マイナスの符号がつくことを常に意識します。
• 張力の大きさを \(S\) のままでよい理由がわからない:
  • 誤解: 糸が伸びるのだから、張力も変化するのではないかと考えてしまう。
  • 対策: これは微小振動の重要なポイントです。糸の伸び \(\Delta l\) は、別解の計算からわかるように \(x^2\) に比例します。\(x\) が微小量なので、\(x^2\) はさらに小さい「2次の微小量」となり、無視できるほど小さいです。したがって、糸の長さの変化はほぼゼロとみなせ、張力は初期値 \(S\) のままで一定と考えてよいのです。これは「1次の近似」の範囲で考えていることに相当します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 復元力の導出（力の分解）:
  • 選定理由: 求めたいのは「周期」です。周期を求めるには、単振動の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) が必要です。そのためには、まず比例定数 \(K\) を知る必要があります。\(K\) は復元力の式 \(F=-Kx\) に現れます。したがって、すべての出発点は、物体に働く力から復元力 \(F\) を求めることになります。
  • 適用根拠: 質点に働く力は張力のみです。張力は斜めを向いているため、運動方向である垂直方向の成分を知るには、ベクトルを分解するのが最も基本的な手法です。したがって、力の分解を選択するのは必然的です。
• 近似式の選択（\(\sin\theta \approx \tan\theta\)）:
  • 選定理由: 復元力の式が \(F = -2S\sin\theta\) となり、このままでは変位 \(x\) の式になっていません。\(F\) を \(x\) の関数にする必要があります。一方で、図から \(x\) と \(\theta\) の関係は \(\tan\theta = 2x/L\) で与えられます。
  • 適用根拠: \(\sin\theta\) を \(x\) で表すために、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) をつなぐ関係が必要になります。ここで「微小振動」という条件が活きます。\(\theta\) が十分に小さいとき、\(\sin\theta \approx \theta\) かつ \(\tan\theta \approx \theta\) が成り立つため、結果として \(\sin\theta \approx \tan\theta\) という近似が適用できます。これにより、\(\sin\theta\) を \(x\) の簡単な一次式で置き換えることが可能になります。
• 周期の公式の選択（\(T=2\pi\sqrt{m/K}\)）:
  • 選定理由: 復元力が \(F=-Kx\) の形で表せることが確認できたからです。この形の運動方程式 \(ma = -Kx\) を解くと、その解が周期 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) を持つ単振動になることが数学的に知られています。
  • 適用根拠: 物理的に「単振動である」と特定できたことが、この公式を適用する唯一かつ十分な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を大きく丁寧に描く:
  • 力の分解や角度の関係を考える問題では、図が命です。フリーハンドでもよいので、大きく、角度や辺の長さの関係がわかりやすい図を描きましょう。特に、直角三角形の部分を明確に意識することが重要です。
• 近似のタイミングを明確にする:
  • 計算のどの段階で近似を適用したのかを、自分の中で明確に意識しましょう。最初は厳密な式（例: \(F=-2S\sin\theta\)）を立て、その後に「\(\theta\) が微小なので \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用いると…」のように、論理のステップを分けて記述すると、思考が整理されミスが減ります。
• 文字式の整理を丁寧に行う:
  • 周期の計算では、\(T = 2\pi\sqrt{m/K}\) に \(K=4S/L\) を代入します。分母に分数が来る形（繁分数）になるので、焦らずに処理しましょう。\(\sqrt{m \div (4S/L)} = \sqrt{m \times (L/4S)}\) のように、割り算を逆数の掛け算に直すと確実です。
• 次元（単位）の確認:
  • 最終的に得られた周期の式の次元が「時間」になっているかを確認しましょう。
    • \(T = \pi\sqrt{mL/S}\) の次元は \(\sqrt{[\text{kg}][\text{m}]/[\text{N}]} = \sqrt{[\text{kg}][\text{m}]/[\text{kg}\cdot\text{m/s}^2]} = \sqrt{[\text{s}^2]} = [\text{s}]\)。次元は時間なので、式は少なくとも次元的には正しそうだとわかります。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • 解答の「結論と吟味」で述べたように、\(m\), \(L\), \(S\) を変化させたときに周期 \(T\) が直感通りに変化するかを考えます。例えば、「張力 \(S\) を強くしたら、振動は速くなる（周期は短くなる）はずだ」→式は \(T \propto 1/\sqrt{S}\) となっており、確かにそうなっている、という確認は有効な検算手段となります。

239 水中での単振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「浮力を復元力とする単振動」です。水に浮いている物体を少し押し込むと、増加した浮力によって元の位置に戻ろうとする力が働き、これが原因で単振動が起こるという典型的な例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体は静止しているため、物体に働く力はつり合っています。働く力は、鉛直下向きの「重力」と、鉛直上向きの「浮力」の2つです。この2つの力が等しいという式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 物体の質量は「密度×体積」で計算する。
• 浮力の大きさは「水の密度×物体が水に沈んでいる部分の体積×重力加速度」で計算する（アルキメデスの原理）。
• 力のつり合いの式: （上向きの力の和）=（下向きの力の和）。

具体的な解説と立式
水面より上に出ている部分の高さを \(h’\) とします。

• 重力 \(F_g\)（下向き）:
  物体の密度は \(\rho/4\)、体積は \(Sh\) なので、質量 \(m\) は \(m = (\rho/4)Sh\)。
  したがって、重力の大きさは、
  $$
  \begin{aligned}
  F_g &= mg \\[2.0ex] &= \frac{\rho}{4}Shg
  \end{aligned}
  $$
• 浮力 \(F_b\)（上向き）:
  物体が水に沈んでいる部分の高さは \((h-h’)\)。その体積は \(S(h-h’)\)。
  水の密度は \(\rho\) なので、浮力の大きさは、
  $$
  \begin{aligned}
  F_b &= \rho \times S(h-h’) \times g \\[2.0ex] &= \rho S(h-h’)g
  \end{aligned}
  $$

力のつり合いより、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\) なので、
$$ \rho S(h-h’)g = \frac{\rho}{4}Shg \quad \cdots ① $$

式①の両辺を \(\rho S g\) で割って、\(h’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
h-h’ &= \frac{h}{4} \\[2.0ex] h’ &= h – \frac{h}{4} \\[2.0ex] h’ &= \frac{3}{4}h
\end{aligned}
$$

軽い物体が水に浮くのは、水が物体を押し上げる力（浮力）が、地球が物体を引く力（重力）とちょうど同じ大きさになるからです。物体の密度が水の密度の \(1/4\) なので、物体全体の体積の \(1/4\) だけが水に沈めば、重さと浮力がつり合います。したがって、残りの \(3/4\) は水面から出ることになります。

水面より上に出ている部分の高さは \(\frac{3}{4}h\) と求まりました。物体の密度が水の密度の \(1/4\) であることから、体積の \(1/4\) が水中にあればつり合うという直感とも一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)のつり合いの位置を基準（原点）として、物体が上下に振動する様子を考えます。この運動が単振動であることを示すために、つり合いの位置からずらしたときに働く「復元力」を求めます。求める時間は、振動の下端から中心まで移動する時間なので、周期の \(1/4\) に相当します。
この設問における重要なポイント

• (1)のつり合いの位置を単振動の中心（原点 \(x=0\)）とする。
• 原点から鉛直下向きに変位 \(x\) だけずれた位置で、物体に働く合力（重力と浮力の差）を計算する。
• 合力が \(F=-Kx\) の形になることを確認し、比例定数 \(K\) を特定する。
• 周期 \(T = 2\pi\sqrt{m/K}\) を計算し、その \(1/4\) を求める。

具体的な解説と立式
(1)のつり合いの位置を原点Oとし、鉛直下向きを \(x\) 軸の正の向きとします。
つり合いの位置では、物体が水に沈んでいる部分の高さは \(\frac{1}{4}h\) です。
ここからさらに \(x\) だけ物体を押し下げると、水に沈んでいる部分の高さは \((\frac{1}{4}h + x)\) になります。
この位置で物体に働く力は、

• 重力 \(F_g\)（下向き）: \(F_g = \frac{\rho}{4}Shg\) （常に一定）
• 浮力 \(F_b\)（上向き）: 水に沈んでいる部分の体積が \(S(\frac{1}{4}h+x)\) になるので、\(F_b = \rho S(\frac{1}{4}h+x)g\)

\(x\) 軸の正の向き（下向き）の合力 \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= F_g – F_b \\[2.0ex] &= \frac{\rho}{4}Shg – \rho S\left(\frac{1}{4}h+x\right)g \\[2.0ex] &= \frac{\rho}{4}Shg – \frac{\rho}{4}Shg – \rho Sgx \\[2.0ex] &= -(\rho Sg)x
\end{aligned}
$$
この式は、復元力の形 \(F=-Kx\) と一致しており、物体は単振動をすることがわかります。
比例定数 \(K\) は \(K = \rho Sg\) です。
物体の質量 \(m\) は \(m = \frac{\rho}{4}Sh\) なので、単振動の周期 \(T\) は、
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} \quad \cdots ② $$

\(m\) と \(K\) を式②に代入して周期 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi\sqrt{\frac{\frac{\rho}{4}Sh}{\rho Sg}} \\[2.0ex] &= 2\pi\sqrt{\frac{h}{4g}} \\[2.0ex] &= \pi\sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$
求める時間は、物体が振動の下端（\(x=h/2\)）から中心（\(x=0\)）まで動く時間 \(t\) なので、周期の \(1/4\) です。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{4}T \\[2.0ex] &= \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$

水に浮いているボールを押し込んで離すと、ボヨンボヨンと上下に振動します。これは、押し込んだ分だけ浮力が強くなり、それがボールを押し戻す「ばね」のような役割をするからです。この「水のばね」の硬さ（比例定数）とボールの質量がわかれば、1往復にかかる時間（周期）が計算できます。今回は、一番下から真ん中までの時間を聞かれているので、計算した周期を4で割れば答えが出ます。

時間は \(\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{h}{g}}\) と求まりました。物体の高さ \(h\) が大きいほど、また重力加速度 \(g\) が小さいほど、ゆっくり振動する（時間がかかる）という結果は直感とも合っています。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体は単振動をしているので、その力学的エネルギーは保存されます。ここでいう力学的エネルギーとは、「運動エネルギー」と「復元力による位置エネルギー \( \frac{1}{2}Kx^2 \)」の和です。手をはなした瞬間（振動の下端）と、物体が水面から飛び出す瞬間の2つの状態でエネルギー保存則の式を立て、速さを求めます。
この設問における重要なポイント

• 単振動のエネルギー保存則: \(E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\)。
• 手をはなした瞬間は振動の下端であり、変位は \(x = h/2\)、速さは \(v=0\)。
• 物体が水面から飛び出す瞬間とは、物体の下面が水面に達したときである。このときの変位 \(x\) を正しく求める必要がある。

具体的な解説と立式
単振動のエネルギー保存則を適用します。

• 手をはなした瞬間（状態A）:
  つり合いの位置から \(\frac{h}{2}\) だけ押し下げているので、変位は \(x_A = \frac{h}{2}\)。
  速さは \(v_A = 0\)。
  このときのエネルギー \(E_A\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  E_A &= \frac{1}{2}m v_A^2 + \frac{1}{2}K x_A^2 \\[2.0ex] &= 0 + \frac{1}{2}K \left(\frac{h}{2}\right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{8}Kh^2
  \end{aligned}
  $$
• 水面から飛び出す瞬間（状態B）:
  つり合いの位置では、物体の下面は水面下 \(\frac{1}{4}h\) の深さにあります。
  したがって、下面が水面に達したとき、物体はつり合いの位置より \(\frac{1}{4}h\) だけ上の位置にあります。
  \(x\) 軸は下向きが正なので、このときの変位は \(x_B = -\frac{h}{4}\)。
  このときの速さを \(v\) とすると、エネルギー \(E_B\) は、
  $$ E_B = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}K \left(-\frac{h}{4}\right)^2 $$

エネルギー保存則 \(E_A = E_B\) より、
$$ \frac{1}{8}Kh^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}K \left(-\frac{h}{4}\right)^2 \quad \cdots ③ $$

式③を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{8}Kh^2 – \frac{1}{2}K \left(\frac{h^2}{16}\right) \\[2.0ex] \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{8}Kh^2 – \frac{1}{32}Kh^2 \\[2.0ex] \frac{1}{2}mv^2 &= \left(\frac{4}{32} – \frac{1}{32}\right)Kh^2 \\[2.0ex] \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{3}{32}Kh^2 \\[2.0ex] v^2 &= \frac{3}{16}\frac{K}{m}h^2
\end{aligned}
$$
ここで、(2)で求めた \(m = \frac{\rho}{4}Sh\) と \(K = \rho Sg\) の関係から、
$$
\begin{aligned}
\frac{K}{m} &= \frac{\rho Sg}{\frac{\rho}{4}Sh} \\[2.0ex] &= \frac{4g}{h}
\end{aligned}
$$
これを代入すると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{3}{16}\left(\frac{4g}{h}\right)h^2 \\[2.0ex] &= \frac{12}{16}gh \\[2.0ex] &= \frac{3}{4}gh
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{3gh}{4}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3gh}}{2}
\end{aligned}
$$

手をはなした一番下の位置では、物体は止まっていますが、「水のばね」が最も縮んでおり、位置エネルギーが最大になっています。物体が上昇していくにつれて、この位置エネルギーが運動エネルギーに変換され、スピードが上がっていきます。エネルギー保存の法則を使って、「一番下での位置エネルギー」と「水面を飛び出す瞬間の運動エネルギーと位置エネルギーの合計」が等しいという式を立てれば、その瞬間の速さを計算できます。

速さは \(\frac{\sqrt{3gh}}{2}\) と求まりました。押し下げる高さ \(h/2\) が大きいほど、速さも大きくなるという関係になっており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 浮力を復元力とする単振動
  • 核心: この問題の根幹は、つり合いの位置からのずれによって生じる「力の不均衡」が、変位に比例する復元力となり、単振動を引き起こすことを見抜く点にあります。静止している状態では重力と浮力はつり合っていますが、物体を押し込むと水に沈む体積が増えて浮力が増加します。この「増加した浮力」が、物体をつり合いの位置に戻そうとする復元力として働き、\(F=-Kx\) の形になることが核心です。
  • 理解のポイント:
    • つり合いの位置が基準: すべての運動は、(1)で求めた「力のつり合いの位置」を基準（振動の中心）として考えます。
    • 復元力の正体: 復元力は、つり合いの位置からずれたことで生じる「浮力の変化分」です。重力は常に一定なので、力の合力の変化は浮力の変化によってのみもたらされます。
    • 比例関係の導出: 物体を \(x\) だけ押し込むと、水に沈む体積が \(Sx\) だけ増えるため、浮力は \(\rho (Sx) g\) だけ増加します。この増加分が復元力となるため、\(F = -(\rho Sg)x\) となり、復元力が変位 \(x\) に比例することがわかります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねで吊るされた物体の鉛直単振動: つり合いの位置では、ばねの弾性力と重力がつり合っています。そこからずらすと、弾性力の変化分が復元力となり、単振動します。浮力が弾性力に変わっただけで、考え方は本問と全く同じです。
  • 単振り子: つり合いの位置（最下点）からずらすと、重力の接線方向の成分が復元力となります。微小な振れ幅では、この復元力が変位に比例すると近似でき、単振動とみなせます。
  • U字管内の液柱振動: 左右の液面がつり合っている状態から一方を押し下げると、液面の高さの差によって生じる液体の重さが復元力となり、単振動します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「つり合いの位置」を特定する: 振動問題を見たら、何よりも先に物体が静止できる「つり合いの位置」を探し、そこで働く力のつり合いの式を立てます。これが全ての基準となります。
  2. つり合いの位置を原点として座標軸を設定する: 計算を簡単にするため、つり合いの位置を原点 \(x=0\) とし、振動方向に座標軸を取ります。
  3. 変位 \(x\) の位置での合力を計算する: 原点から \(x\) だけずれた位置で、物体に働く力をすべて書き出し、座標軸の向きに注意して合力を計算します。
  4. \(F=-Kx\) の形に変形する: 計算した合力の式に、手順1で立てたつり合いの式を代入するなどして整理し、\(F=-Kx\) の形になることを確認します。この変形が成功すれば、その運動は単振動であると断定できます。
  5. 周期やエネルギーを計算する: 比例定数 \(K\) が特定できれば、周期は \(T=2\pi\sqrt{m/K}\)、角振動数は \(\omega=\sqrt{K/m}\) で求まります。エネルギーが関わる問題なら、単振動のエネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\) を利用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 復元力を重力と浮力の両方で考えて混乱する:
  • 誤解: 復元力は重力と浮力の合力そのものだと考え、式が複雑になってしまう。
  • 対策: 復元力は「つり合いの状態を破る、余分な力」と捉えましょう。つり合いの位置では重力と浮力は打ち消し合っています。そこから \(x\) ずらすと、重力は変わらず、浮力だけが変化します。したがって、この「浮力の変化分」こそが、物体を元に戻そうとする正味の力、すなわち復元力になります。
• 単振動の中心（原点）を水面と勘違いする:
  • 誤解: 見た目がわかりやすい水面を \(x=0\) の基準点としてしまい、計算が合わなくなる。
  • 対策: 単振動の中心は、必ず「力のつり合いの位置」です。この問題では、物体が静かに浮いている位置が中心です。計算を始める前に、まずこの中心の位置を正しく特定することが何よりも重要です。
• 単振動のエネルギー保存則の \(x\) を、水面からの深さと混同する:
  • 誤解: (3)でエネルギー保存則を使う際に、変位 \(x\) に水面からの深さや物体の下面の位置などをそのまま代入してしまう。
  • 対策: 単振動のエネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\) における \(x\) は、常に「振動の中心（つり合いの位置）」からの距離です。図を描いて、求めたい瞬間の位置が「振動の中心から」どれだけ離れているかを正確に把握する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合い）:
  • 選定理由: 問題文に「静止した」とあります。物理において「静止」または「等速直線運動」という状態は、物体に働く合力がゼロであることを意味します。
  • 適用根拠: ニュートンの運動法則の第一法則（慣性の法則）より、静止している物体に働く力のベクトル和はゼロになります。この問題では鉛直方向の力しかないので、「上向きの力の和＝下向きの力の和」というつり合いの式を立てるのが最も直接的です。
• (2)での公式選択（単振動の周期 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\)）:
  • 選定理由: 振動運動の「時間」を求めたい場合、その運動がもし単振動であれば、周期の公式が使えて非常に便利です。そこで、まずこの運動が単振動であるかどうかを調べる、という思考に至ります。
  • 適用根拠: 運動が単振動であるための証明は、「復元力が変位に比例すること（\(F=-Kx\)）」を示すことです。実際に力を計算した結果、この形になることが確認できました。これが、この運動を単振動と断定し、周期の公式を適用する唯一かつ絶対的な根拠となります。
• (3)での公式選択（単振動のエネルギー保存則）:
  • 選定理由: ある瞬間の「速さ」を求めたい、という問題で、運動の始点と終点の2つの状態がはっきりしている場合、その2点を結びつける法則としてエネルギー保存則は非常に強力な選択肢です。
  • 適用根拠: 復元力 \(F=-Kx\) は、ポテンシャルエネルギー \(U=\frac{1}{2}Kx^2\) が定義できる「保存力」です。系に働く力が保存力のみの場合、その系の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は保存されます。この物理的な事実が、単振動のエネルギー保存則を適用する根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字定数をまとめて扱う:
  • この問題のように \(\rho, S, h, g\) など多くの文字定数が登場する場合、計算の途中で式が非常に煩雑になりがちです。まず、物体の質量 \(m = \frac{\rho}{4}Sh\) や、復元力の比例定数 \(K = \rho Sg\) を求め、計算の途中では \(m\) や \(K\) という記号のまま進めましょう。最後に具体的な文字式に戻すことで、見通しが格段に良くなり、計算ミスを減らせます。
• 座標軸の定義を徹底する:
  • 計算を始める前に、必ず「鉛直下向きを正」のように座標軸の向きを明確に定義し、それを紙の隅に書いておきましょう。そして、力や変位を式に代入する際は、常にその座標軸の向きを基準に正負を判断します。例えば、上向きの浮力は、力の合力の式ではマイナスをつけて \(-F_b\) と扱う、といったルールを機械的に適用することで、符号ミスを防げます。
• 位置関係を図で正確に把握する:
  • 「つり合いの位置」「水面の位置」「振動の下端の位置」など、複数の重要な位置が登場します。これらの位置関係を1本の垂直な数直線上に描き込み、「振動の中心（つり合いの位置）」を原点 \(x=0\) として、各位置の座標がいくつになるかを整理してから計算を始めると、(3)のような変位 \(x\) の値を間違えにくくなります。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • (3)のエネルギーの計算では、\(\frac{1}{8}Kh^2 – \frac{1}{32}Kh^2\) のような分数の引き算が出てきます。焦らず、確実な通分を行いましょう。また、\(v^2 = \frac{3}{16}\frac{K}{m}h^2\) のように、分数係数が多く含まれる式を変形する際は、一度に複数の操作をせず、一つ一つ丁寧に移項や代入を行うことが確実です。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル