未来の得点力へ！高校物理 問題演習「正弦波の式から物理量を読み取る」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の式と物理量の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられた正弦波の式 \(y = 0.40 \sin \pi (2.0t – 1.0x)\) から、振幅\(A\)、周期\(T\)、波長\(\lambda\)を読み取る問題です。このためには、与式を正弦波の標準的な公式と比較する必要があります。最も代表的な標準形は \(y = A \sin 2\pi \left( \displaystyle\frac{t}{T} – \displaystyle\frac{x}{\lambda} \right)\) です。与式の\(\sin\)の内部をこの形に合うように変形し、各項の係数を比較することが解法の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 正弦波の式 \(y = A \sin(\dots)\) の、\(\sin\)の前にかかっている係数\(A\)が振幅を表す。
• 標準形 \(y = A \sin 2\pi \left( \displaystyle\frac{t}{T} – \displaystyle\frac{x}{\lambda} \right)\) と比較することで、周期\(T\)と波長\(\lambda\)を特定できる。
• 与えられた式の形を標準形に合わせるための、的確な式変形が求められる。

具体的な解説と立式
与えられた波の式は、
$$ y = 0.40 \sin \pi (2.0t – 1.0x) \quad \cdots ① $$
です。
これを、正弦波の標準形
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) \quad \cdots ② $$
と比較します。
まず、式①の\(\sin\)のカッコ内を、式②の形に合わせるために \(2\pi\) でくくり出します。
$$
\begin{aligned}
\pi (2.0t – 1.0x) &= 2\pi \left( \frac{2.0}{2}t – \frac{1.0}{2}x \right) \\[2.0ex]&= 2\pi (1.0t – 0.50x)
\end{aligned}
$$
さらに、\(t\)と\(x\)の係数を分数の形にして、標準形に合わせます。
$$ 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{x}{1/0.50} \right) = 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{x}{2.0} \right) $$
したがって、与えられた式①は次のように変形できます。
$$ y = 0.40 \sin 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{x}{2.0} \right) \quad \cdots ③ $$
この式③と標準形②を比較することで、振幅\(A\)、周期\(T\)、波長\(\lambda\)を読み取ります。

式③と式②を比較します。
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
$$ y = 0.40 \sin 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{x}{2.0} \right) $$
各部分を比較すると、
振幅\(A\)は、\(\sin\)の前の係数なので、
$$ A = 0.40 \text{ [m]} $$
周期\(T\)は、\(t\)の分母なので、
$$ T = 1.0 \text{ [s]} $$
波長\(\lambda\)は、\(x\)の分母なので、
$$ \lambda = 2.0 \text{ [m]} $$
となります。

波の変位を表す公式 \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) と、問題で与えられた式 \(y = 0.40 \sin \pi (2.0t – 1.0x)\) を見比べられるように形を整えます。まず、\(\sin\)の前についている数字がそのまま振幅\(A\)になるので、\(A=0.40\) mです。次に、公式のカッコの中は\(2\pi(\dots)\)という形なので、問題の式も同じ形にします。すると、\(y = 0.40 \sin 2\pi (\frac{t}{1.0} – \frac{x}{2.0})\) となります。この形にすれば、公式と見比べて、\(t\)の分母が周期\(T\)、\(x\)の分母が波長\(\lambda\)だとわかります。

この波の振幅は \(0.40\) m、周期は \(1.0\) s、波長は \(2.0\) mです。それぞれの物理量の単位も正しく、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この波の振動数\(f\)と速さ\(v\)を求める問題です。(1)で周期\(T\)と波長\(\lambda\)がすでに求まっているので、波の基本的な関係式である \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) と \(v = f\lambda\) を用いて計算します。これは基本的な公式の適用問題です。
この設問における重要なポイント

• 振動数\(f\)と周期\(T\)は逆数の関係にある (\(f = \displaystyle\frac{1}{T}\))。
• 波の速さ\(v\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)の間には、\(v = f\lambda\) という関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
(1)の結果から、周期 \(T = 1.0\) s、波長 \(\lambda = 2.0\) m です。
振動数\(f\)は、周期\(T\)の逆数として定義されます。
$$ f = \frac{1}{T} \quad \cdots ⑥ $$
波の速さ\(v\)は、1秒間に波が進む距離であり、振動数\(f\)（1秒間の振動回数）と波長\(\lambda\)（1回の振動で進む距離）の積で表されます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ⑦ $$

まず、式⑥を用いて振動数\(f\)を計算します。\(T = 1.0\) s を代入して、
$$ f = \frac{1}{1.0} = 1.0 \text{ [Hz]} $$
次に、式⑦を用いて速さ\(v\)を計算します。求めた \(f = 1.0\) Hz と、(1)の \(\lambda = 2.0\) m を代入して、
$$ v = 1.0 \times 2.0 = 2.0 \text{ [m/s]} $$

振動数\(f\)は「1秒間に何回振動するか」を表し、周期\(T\)は「1回の振動に何秒かかるか」を表すので、互いに逆数の関係にあります。\(f = 1 \div T\) で計算できます。波の速さ\(v\)は、1回の振動で\(\lambda\)だけ進む波が1秒間に\(f\)回振動するので、かけ算して \(v = f \times \lambda\) で求めることができます。

この波の振動数は \(1.0\) Hz、速さは \(2.0\) m/s です。単位も正しく、(1)の結果から論理的に導かれた妥当な値です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 正弦波の式の解読能力:
  • 核心: この問題のすべては、与えられた数式 \(y = 0.40 \sin \pi (2.0t – 1.0x)\) と、物理的な意味を持つ標準形 \(y = A \sin 2\pi \left( \displaystyle\frac{t}{T} – \displaystyle\frac{x}{\lambda} \right)\) や \(y = A \sin(\omega t – kx)\) を結びつけられるかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント: 式のどの部分が振幅(\(A\))、周期(\(T\))、波長(\(\lambda\))に対応するのかを、式変形を通して正確に見抜くことが最も重要です。これは単なる暗記ではなく、なぜその形になるのか（例：\(x=0\)での単振動、\(t=0\)での波形）を理解していると応用が効きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 波の進行方向が逆: 式が \(y = A \sin(\omega t + kx)\) のように、\(t\)の項と\(x\)の項の符号が同じ場合、波は\(x\)軸の負の向きに進みます。
  • 初期位相がある: 式が \(y = A \sin(\omega t – kx + \phi_0)\) のように、定数項（初期位相 \(\phi_0\)）が含まれる場合があります。この場合も、他の部分の読み取り方は同じです。
  • cos型: \(y = A \cos(\dots)\) で与えられた場合も、\(\cos \theta = \sin(\theta + \pi/2)\) の関係を使えば\(\sin\)に変換できますが、振幅や周期、波長の読み取り方は\(\sin\)の場合と全く同じです。
  • グラフからの立式: \(y-t\)グラフや\(y-x\)グラフが与えられ、そこから波の式を自分で作る問題は頻出です。グラフから\(A, T, \lambda\)を読み取り、式を組み立てる逆のプロセスが求められます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 振幅の特定: まず、\(\sin\)や\(\cos\)の関数の前にかかっている係数が振幅\(A\)です。これは最も簡単に見つけられます。
  2. 進行方向の確認: 次に、\(\sin\)の中の\(t\)の項と\(x\)の項の符号を見ます。符号が異なれば\(x\)軸正方向、同じなら負方向です。
  3. 標準形への変形: 自分が使い慣れている標準形（\(T, \lambda\)型か\(\omega, k\)型）に合わせることを目指して、与式を変形します。特に、\(\sin\)のカッコの外にある係数（この問題では\(\pi\)）を中に分配するか、カッコの中から\(2\pi\)をくくり出すかのどちらかの方針を立てます。
  4. 係数比較: 変形した式と標準形を並べて書き、対応する部分を慎重に比較して、\(T, \lambda\)や\(\omega, k\)を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(2\pi\)の扱いミス:
  • 誤解: \(y = A \sin(\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) のように、位相部分の\(2\pi\)を忘れてしまう。
  • 対策: 位相（\(\sin\)の中身）の単位はラジアン[rad]です。周期\(T\)で時間\(t\)が一周するとき、位相は\(2\pi\)変化する必要があります。そのため、\(\frac{t}{T}\)に\(2\pi\)を掛ける必要がある、と意味で覚えましょう。
• 係数と物理量の関係の混同:
  • 誤解: \(y = A \sin(2\pi f t – kx)\) の形を見て、\(T = 2\pi f\) のように、係数をそのまま物理量と勘違いしてしまう。
  • 対策: \(f = \frac{\text{tの係数}}{2\pi}\), \(T = \frac{1}{f}\) や \(\lambda = \frac{2\pi}{\text{xの係数}}\) のように、必ず定義式に立ち返って変換する癖をつけましょう。「係数そのものではなく、係数から計算するもの」と意識することが重要です。
• 単位の付け忘れ・間違い:
  • 誤解: 計算に集中するあまり、最後の答えに単位を付け忘れたり、振幅に[s]をつけてしまったりする。
  • 対策: 問題文で与えられている単位（この問題では[m], [s]）を確認し、求める物理量（振幅・波長は[m]、周期は[s]、振動数は[Hz]、速さは[m/s]）に正しい単位を付けることを徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 標準形 \(y = A \sin 2\pi \left( \displaystyle\frac{t}{T} – \displaystyle\frac{x}{\lambda} \right)\):
  • 選定理由: 周期\(T\)と波長\(\lambda\)は、波を特徴づける最も直感的で基本的な物理量です。この式は、それらの物理的意味を直接的に表現しているため、初学者が波の現象を理解するのに非常に適しています。
  • 適用根拠: この式の構造は、物理現象そのものをモデル化しています。
    • \(x=0\)（原点）の媒質の動きに注目すると、\(y = A \sin(2\pi \frac{t}{T})\)となり、これは周期\(T\)の単振動の式そのものです。
    • \(t=0\)（ある瞬間）の波の形に注目すると、\(y = A \sin(-2\pi \frac{x}{\lambda}) = -A\sin(2\pi \frac{x}{\lambda})\)となり、これは波長\(\lambda\)を持つ空間的な波形を表します。
• 標準形 \(y = A \sin(\omega t – kx)\):
  • 選定理由: 式の形がシンプルで、特に微分・積分を含むより高度な波の議論（例：波動方程式）に進む際に非常に扱いやすい形です。速さが \(v = \omega/k\) と簡単に計算できるなど、計算上の利点も大きいです。
  • 適用根拠: \(\omega = 2\pi/T\)（角振動数）、\(k = 2\pi/\lambda\)（波数）と定義することで、上記の\(T, \lambda\)を用いた式と等価になります。物理的な意味合い（\(\omega\)は時間の変化率、\(k\)は空間の変化率）を理解すると、より強力なツールとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の変形は一段階ずつ: 与式 \(y = 0.40 \sin \pi (2.0t – 1.0x)\) を標準形に直す際、焦って一度にやろうとせず、
  1. \(y = 0.40 \sin (2.0\pi t – 1.0\pi x)\) （\(\pi\)を分配）
  2. \(\omega = 2.0\pi\), \(k = 1.0\pi\) と読み取る

  のように、手順を分けて行うとミスが減ります。

• 係数比較は書き出す: 「\(t\)の係数は\(\omega\)だから\(\omega=2.0\pi\)」のように頭の中だけで処理せず、標準形と変形した式を上下に並べて書き、対応関係を線で結ぶなど視覚的に確認すると、勘違いを防げます。
• 逆数計算の注意: \(T = 1/f\) や \(\lambda = 1/(\text{係数})\) のような逆数計算は、単純ですがミスしやすいポイントです。特に小数の計算、例えば \(\lambda = 1/0.50\) を計算する際は、\(\lambda = 1/(1/2) = 2\) のように分数に直すと確実です。
• 求めた値で検算: (2)で求めた \(f=1.0\), \(\lambda=2.0\) から \(v=f\lambda=2.0\) と計算した後、別解の \(v=\omega/k = (2.0\pi)/(1.0\pi) = 2.0\) と一致するか確認するなど、複数の方法で同じ答えになるか確かめることで、計算の信頼性が格段に上がります。

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