今回の問題
electromagnetic#25【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「電気抵抗と抵抗率」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則: 電圧\(V\)、電流\(I\)、抵抗\(R\)の関係式 \(V = IR\) は電気回路の基本です。
- 電気抵抗の公式: 導線の長さ\(l\)、断面積\(S\)、抵抗率\(\rho\)から電気抵抗\(R\)を求める関係式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を理解していることが重要です。
- 合成抵抗: 複数の抵抗を接続した際の全体の抵抗を計算する方法、特に今回は並列接続の公式を正しく使えるかが問われます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、もとの導線の抵抗を基準として、3等分して並列接続した後の合成抵抗がもとの何倍になるかを考えます。電圧が一定であることから、電流が何倍になるかを導きます。
- (2)では、まずオームの法則を用いて導線の電気抵抗を具体的に計算します。次に、その抵抗値と与えられた導線の形状（長さ、断面積）から、抵抗率の公式を使って抵抗率\(\rho\)を算出し、表の値と比較して物質を特定します。
問(1)
思考の道筋とポイント
もとの導線の抵抗を\(R_{\text{もと}}\)とし、3等分した導線1本の抵抗\(R_{\text{1本}}\)、さらにそれを3本並列にした合成抵抗\(R_{\text{並列}}\)が、\(R_{\text{もと}}\)の何倍になるかを考えます。抵抗は長さに比例し、並列接続では抵抗が減少することを利用します。具体的な抵抗値を計算せずに、比の関係だけで解くのがスマートなアプローチです。電圧\(V\)が一定なので、電流\(I\)は抵抗\(R\)に反比例すること(\(I = V/R\))が最終的な結論を導く鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 電気抵抗は、断面積が一定の場合、長さに比例する。
- 同じ抵抗\(R\)を\(n\)本並列に接続した場合の合成抵抗は \(\displaystyle\frac{R}{n}\) となる。
- 電圧が一定のとき、回路を流れる電流は、回路全体の抵抗に反比例する。
具体的な解説と立式
もとの導線の抵抗を \(R_{\text{もと}}\) とします。
この導線を3等分してできた導線1本の抵抗を \(R_{\text{1本}}\) とします。導線の抵抗は長さに比例するため、長さが \(\displaystyle\frac{1}{3}\) になると、抵抗も \(\displaystyle\frac{1}{3}\) になります。
$$ R_{\text{1本}} = \frac{1}{3} R_{\text{もと}} \quad \cdots ① $$
次に、この抵抗 \(R_{\text{1本}}\) の導線を3本並列に接続したときの合成抵抗を \(R_{\text{並列}}\) とすると、その逆数は各抵抗の逆数の和に等しくなります。
$$ \frac{1}{R_{\text{並列}}} = \frac{1}{R_{\text{1本}}} + \frac{1}{R_{\text{1本}}} + \frac{1}{R_{\text{1本}}} = \frac{3}{R_{\text{1本}}} $$
したがって、合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) は、
$$ R_{\text{並列}} = \frac{R_{\text{1本}}}{3} \quad \cdots ② $$
となります。
使用した物理公式
- 電気抵抗と長さの関係: \(R \propto l\)
- 並列接続の合成抵抗: \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{合成}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots\)
- オームの法則: \(I = \displaystyle\frac{V}{R}\)
式①を式②に代入して、合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) を \(R_{\text{もと}}\) で表します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{並列}} &= \frac{\left( \displaystyle\frac{1}{3} R_{\text{もと}} \right)}{3} \\[2.0ex]&= \frac{1}{9} R_{\text{もと}}
\end{aligned}
$$
もとの電流を \(I_{\text{もと}}\)、並列接続後の全電流を \(I_{\text{全}}\) とします。両端に加える電圧 \(V\) は \(1.5 \, \text{V}\) で一定なので、オームの法則より、
$$ I_{\text{もと}} = \frac{V}{R_{\text{もと}}} $$
$$ I_{\text{全}} = \frac{V}{R_{\text{並列}}} $$
ここに \(R_{\text{並列}} = \displaystyle\frac{1}{9} R_{\text{もと}}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
I_{\text{全}} &= \frac{V}{\displaystyle\frac{1}{9} R_{\text{もと}}} \\[2.0ex]&= 9 \left( \frac{V}{R_{\text{もと}}} \right) \\[2.0ex]&= 9 I_{\text{もと}}
\end{aligned}
$$
したがって、全電流はもとの電流の9倍になります。
導線を3等分すると、1本あたりの長さが \(\displaystyle\frac{1}{3}\) になるので、抵抗も \(\displaystyle\frac{1}{3}\) になります。次に、その抵抗を3本並列につなぐと、電流の通り道が実質3倍に広がるイメージなので、全体の抵抗はさらに \(\displaystyle\frac{1}{3}\) になります。結果として、全体の抵抗はもとの \(\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{1}{9}\) になります。オームの法則により、電圧が同じなら、抵抗が \(\displaystyle\frac{1}{9}\) になると電流は9倍になります。
この導線を3等分して並列に接続した場合、全電流はもとの9倍になります。物理法則から論理的に導かれた妥当な値です。
思考の道筋とポイント
まず、もとの導線の抵抗値 \(R_{\text{もと}}\) をオームの法則から具体的に計算します。次に、3等分した導線1本の抵抗値 \(R_{\text{1本}}\) を求め、さらに3本並列の合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) を計算します。最後に、この合成抵抗に電圧 \(1.5 \, \text{V}\) を加えたときの全電流 \(I_{\text{全}}\) を求め、もとの電流 \(I_{\text{もと}}\) と比較します。
この設問における重要なポイント
- オームの法則 \(V=IR\) を用いて、具体的な抵抗値や電流値を計算できる。
- 単位の換算（mA → A）を正確に行う。
具体的な解説と立式
もとの導線に流れる電流は \(I_{\text{もと}} = 50 \, \text{mA} = 5.0 \times 10^{-2} \, \text{A}\)、電圧は \(V = 1.5 \, \text{V}\) です。
オームの法則より、もとの抵抗 \(R_{\text{もと}}\) は、
$$ R_{\text{もと}} = \frac{V}{I_{\text{もと}}} $$
3等分した導線1本の抵抗 \(R_{\text{1本}}\) は、
$$ R_{\text{1本}} = \frac{1}{3} R_{\text{もと}} $$
3本並列の合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) は、
$$ R_{\text{並列}} = \frac{R_{\text{1本}}}{3} $$
このときの全電流 \(I_{\text{全}}\) は、
$$ I_{\text{全}} = \frac{V}{R_{\text{並列}}} $$
最終的に、比 \(\displaystyle\frac{I_{\text{全}}}{I_{\text{もと}}}\) を計算します。
まず、もとの抵抗 \(R_{\text{もと}}\) を計算します。
$$ R_{\text{もと}} = \frac{1.5}{5.0 \times 10^{-2}} = 0.30 \times 10^2 = 30 \, [\Omega] $$
次に、3等分した導線1本の抵抗 \(R_{\text{1本}}\) を計算します。
$$ R_{\text{1本}} = \frac{1}{3} \times 30 = 10 \, [\Omega] $$
3本並列の合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) を計算します。
$$ R_{\text{並列}} = \frac{10}{3} \, [\Omega] $$
このときの全電流 \(I_{\text{全}}\) を計算します。
$$ I_{\text{全}} = \frac{1.5}{10/3} = \frac{1.5 \times 3}{10} = \frac{4.5}{10} = 0.45 \, [\text{A}] $$
もとの電流 \(I_{\text{もと}} = 0.050 \, \text{A}\) との比を求めます。
$$ \frac{I_{\text{全}}}{I_{\text{もと}}} = \frac{0.45}{0.050} = 9 $$
まず、もとの導線の抵抗を「電圧 ÷ 電流」で計算すると、\(1.5 \, \text{V} \div 0.050 \, \text{A} = 30 \, \Omega\) です。この導線を3等分すると、1本あたり \(10 \, \Omega\) の抵抗が3本できます。この3本を並列につなぐと、合成抵抗は \(10 \div 3 = \displaystyle\frac{10}{3} \, \Omega\) になります。ここに \(1.5 \, \text{V}\) の電圧をかけると、流れる電流は \(1.5 \div (\displaystyle\frac{10}{3}) = 0.45 \, \text{A}\) となります。もとの電流は \(0.050 \, \text{A}\) だったので、\(0.45 \div 0.050 = 9\) で、9倍になります。
メインの解法と同じく9倍という結果が得られました。具体的な数値を一つずつ計算していくことで、検算にもなります。
問(2)
思考の道筋とポイント
この導線の材質を特定するには、その物質固有の値である「抵抗率 \(\rho\)」を求める必要があります。まず、(1)の別解と同様に、与えられた電圧と電流の値からオームの法則を用いて導線の電気抵抗 \(R\) を計算します。次に、問題文で与えられている関係式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を \(\rho\) について解き、計算した \(R\) と、問題文で与えられている長さ \(l\)、断面積 \(S\) の値を代入して \(\rho\) を算出します。最後に、その値を表の中から探し、対応する物質を答えます。
この設問における重要なポイント
- オームの法則 \(V=IR\) と抵抗率の公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を正しく関連付けて使用する。
- 与えられた数値を正確に代入し、特に指数を含む計算を間違えないようにする。
- 単位（V, A, m, m², Ω）を意識して計算を進める。
具体的な解説と立式
まず、オームの法則を用いて、もとの導線の電気抵抗 \(R\) を求めます。
$$ R = \frac{V}{I} $$
ここで、\(V = 1.5 \, \text{V}\)、\(I = 50 \, \text{mA} = 5.0 \times 10^{-2} \, \text{A}\) です。
次に、電気抵抗と抵抗率の関係式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を、求めたい抵抗率 \(\rho\) について解きます。
$$ \rho = R \frac{S}{l} \quad \cdots ③ $$
この式に、計算した \(R\) と、問題文で与えられている \(l = 18 \, \text{m}\)、\(S = 6.0 \times 10^{-8} \, \text{m}^2\) を代入します。
使用した物理公式
- オームの法則: \(V = IR\)
- 電気抵抗と抵抗率の関係: \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\)
まず、電気抵抗 \(R\) を計算します。
$$ R = \frac{1.5}{5.0 \times 10^{-2}} = 30 \, [\Omega] $$
この結果を式③に代入して、抵抗率 \(\rho\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= 30 \times \frac{6.0 \times 10^{-8}}{18} \\[2.0ex]&= \frac{30 \times 6.0}{18} \times 10^{-8} \\[2.0ex]&= \frac{180}{18} \times 10^{-8} \\[2.0ex]&= 10 \times 10^{-8} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-7} \, [\Omega \cdot \text{m}]\end{aligned}
$$
この計算結果 \( \rho = 1.0 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m} \) を問題の表と比較します。
表より、鉄の抵抗率が \(1.0 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m}\) であり、計算結果と一致します。
まず、導線の「電気の通しにくさ（抵抗）」を計算します。電圧 \(1.5 \, \text{V}\) を電流 \(0.050 \, \text{A}\) で割ると、抵抗は \(30 \, \Omega\) です。次に、物質の種類で決まる「抵抗率」を計算します。抵抗率の公式は「抵抗 × 断面積 ÷ 長さ」なので、\(30 \, \Omega \times 6.0 \times 10^{-8} \, \text{m}^2 \div 18 \, \text{m}\) を計算すると、\(1.0 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m}\) となります。この値を表で探すと、「鉄」が見つかります。
計算によって求められた抵抗率は \(1.0 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m}\) であり、これは表中の鉄の抵抗率と一致する。したがって、この導線の材料は鉄であると判断できます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- オームの法則と抵抗率の公式の連携:
- 核心: この問題のすべては、電気回路の基本であるオームの法則 \(V=IR\) と、物質の性質と形状を結びつける抵抗率の公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) という、2つの基本的な法則を自在に使いこなせるかにかかっています。
- 理解のポイント: \(V, I, R\) は回路の状態によって変わる量ですが、\(\rho\) は材質で決まる固有の量、\(l, S\) は導線の形状で決まる量です。これらの関係性を理解し、問題に応じてどの公式から手をつけるべきか判断することが最も重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 導線を伸ばす問題: 「導線を引っ張って長さを2倍にした」という場合、体積は一定のままなので、長さが2倍になると断面積は \(\displaystyle\frac{1}{2}\) になります。結果、抵抗は \(R = \rho \displaystyle\frac{2l}{S/2} = 4 \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) となり、4倍になります。
- 直列接続: (1)で導線を直列に接続した場合、合成抵抗は単純な和になるので、\(R_{\text{直列}} = 3 \times R_{\text{1本}} = 3 \times (\displaystyle\frac{1}{3} R_{\text{もと}}) = R_{\text{もと}}\) となり、抵抗はもとと変わりません。
- 温度変化: 抵抗の温度変化を考慮する問題では、\(R_t = R_0(1+\alpha t)\) のような公式を用いて、温度変化後の抵抗を計算する必要があります。
- 初見の問題での着眼点:
- 「何倍か？」という問い: (1)のように比を問う問題では、まず文字式のまま計算を進めることを考えます。具体的な数値を代入するのは最後の手段です。これにより、計算が簡略化され、ミスが減ります。
- 「材質は何か？」という問い: (2)のように物質固有の性質を問う問題では、その性質を表す物理量（今回は抵抗率\(\rho\)）を求めることを最終目標に設定します。そして、\(\rho\) を求めるために必要な他の物理量（今回は抵抗\(R\)）を、別の法則（オームの法則）を使って求める、という逆算的な思考で計画を立てます。
- 与えられた情報の整理: 問題文にある数値（\(V, I, l, S\)）と、求めるものを明確に書き出して整理することから始めましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 単位の換算ミス:
- 誤解: 電流 \(50 \, \text{mA}\) を \(50 \, \text{A}\) として計算してしまう。
- 対策: 計算を始める前に、すべての単位を基本単位（メートル[m]、アンペア[A]、ボルト[V]など）に統一する習慣をつけましょう。「m（ミリ）」は \(10^{-3}\) であることを常に意識してください。
- \(l\)と\(S\)の混同:
- 誤解: 抵抗率の公式を \(R = \rho \displaystyle\frac{S}{l}\) と間違えて覚えてしまう。
- 対策: 「導線は長くなるほど（long）通りにくく（抵抗大）、太くなるほど（断面積Surface area大）通りやすい（抵抗小）」と、物理的なイメージで公式を記憶しましょう。分母に来るのは抵抗を小さくする要因（断面積\(S\)）です。
- 並列接続の逆数忘れ:
- 誤解: \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{並列}}} = \frac{3}{R_{\text{1本}}}\) を計算した後、\(R_{\text{並列}} = \displaystyle\frac{3}{R_{\text{1本}}}\) としてしまう。
- 対策: 並列接続の公式は逆数の和であることを強く意識し、計算の最後に「必ず逆数を取る」と指差し確認するくらいの慎重さが必要です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- オームの法則 \(V=IR\):
- 選定理由: 回路における電圧、電流、抵抗という3つの基本量の関係を示す、最も基本的な法則だからです。問題文にこれらのうち2つが与えられていれば、残り1つを求めるために必ず使用します。
- 適用根拠: 電圧という「電流を流すための圧力」が高いほど、また抵抗という「流れにくさ」が低いほど、たくさんの電流が流れる、という因果関係を数式化したものです。
- 抵抗率の公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\):
- 選定理由: 導線の「形状（\(l, S\)）」や「材質（\(\rho\)）」と、電気的な性質である「抵抗（\(R\)）」を結びつける唯一の公式だからです。これらの要素が関わる問題では必須となります。
- 適用根拠: この式は、抵抗という現象の物理モデルそのものです。
- \(R \propto l\): 電子が移動する距離が長くなるほど、原子との衝突回数が増え、流れにくくなる。
- \(R \propto \displaystyle\frac{1}{S}\): 電流の通り道が広くなるほど、電子はスムーズに流れ、流れやすくなる。
- \(\rho\): 材質による電子の動きやすさ（または動きにくさ）の違いを反映する比例定数。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数と係数の分離: \(30 \times \displaystyle\frac{6.0 \times 10^{-8}}{18}\) のような計算では、まず係数部分 \(\displaystyle\frac{30 \times 6.0}{18}\) を計算し、それに指数部分 \(10^{-8}\) を後から掛けるように、分けて処理するとミスが減ります。
- 小数の割り算は分数・整数へ: \(1.5 \div 0.050\) のような計算は、\(\displaystyle\frac{1.5}{0.050} = \displaystyle\frac{1500}{50} = 30\) のように、分母と分子を1000倍して整数の割り算に直すと、桁のミスを防げます。
- 比の計算の活用: (1)のように、比を問う問題では積極的に文字式での計算を活用しましょう。具体的な数値計算を避けることで、計算過程がシンプルになり、結果的にミスが減ります。
- ダブルチェック（検算）: (1)でメイン解法と別解の両方で計算し、答えが一致することを確認する。(2)で求めた \(\rho = 1.0 \times 10^{-7}\) を使って、\(R = (1.0 \times 10^{-7}) \times \displaystyle\frac{18}{6.0 \times 10^{-8}} = 30 \, \Omega\) となり、オームの法則から求めた抵抗値と一致するか確かめるなど、逆の計算をしてみることで、計算の信頼性が格段に上がります。
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