「物理のエッセンス(熱・電磁気・原子)」徹底解説（電磁気31〜35問）：物理の”土台”を固める！完全マスター講座

電磁気範囲 31～35

31 極板間への金属板や誘電体板の挿入

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーへの導体・誘電体の挿入と合成容量の計算」です。一様なコンデンサーの一部に異なる物質を挿入した場合、全体をどのように単純なコンデンサーの組み合わせとしてモデル化できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題は、コンデンサーを2つの部分に分割して考えるのが基本戦略です。板が挿入された奥行き\(x\)の部分と、挿入されていない奥行き\(l-x\)の部分は、電源に接続したと考えるとどちらも同じ電位差がかかるため、並列接続とみなすことができます。
鍵となるのは、導体板が挿入された部分の扱いです。導体内部は電場が0で等電位となるため、厚さ\(\displaystyle\frac{2}{3}d\)の導体板は、極板間隔をその厚さの分だけ短くする効果を持ちます。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーを、板の挿入部分と非挿入部分の「並列接続」としてモデル化する。
• 導体板（厚さ\(t\)）を挿入すると、極板間隔が\(d-t\)のコンデンサーと等価になる。
• もとのコンデンサーの容量\(C\)と面積\(S\)の関係 \(C = \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) を利用して、各部分の容量を\(C\)で表す。

具体的な解説と立式
まず、もとのコンデンサーの極板面積を\(S\)とします。問題文より一辺の長さが\(l\)の長方形なので、もう一辺の長さを\(w\)とすると \(S=lw\) と書けます。このコンデンサーの電気容量\(C\)は、
$$ C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} $$
と与えられています。

次に、導体板を挿入した状態のコンデンサーを、以下の2つのコンデンサーの並列接続と考えます。

1. コンデンサー\(C_1\): 導体板が挿入されていない部分。
   • 奥行き: \(l-x\)
   • 極板面積\(S_1\)は、もとの面積\(S\)に対して奥行きの比率をかけて、
     $$ S_1 = \frac{l-x}{l}S $$
   • 極板間隔: \(d\)

   この部分の電気容量\(C_1\)は、
   $$ C_1 = \varepsilon_0 \frac{S_1}{d} $$

2. コンデンサー\(C_2\): 導体板が挿入されている部分。
   • 奥行き: \(x\)
   • 極板面積\(S_2\)は、
     $$ S_2 = \frac{x}{l}S $$
   • 導体板の厚さは\(\displaystyle\frac{2}{3}d\)なので、実効的な極板間隔\(d’\)は、
     $$
     \begin{aligned}
     d’ &= d – \frac{2}{3}d \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}d
     \end{aligned}
     $$

   この部分の電気容量\(C_2\)は、
   $$ C_2 = \varepsilon_0 \frac{S_2}{d’} $$

全体の合成容量\(C_{\text{合成}}\)は、\(C_1\)と\(C_2\)の並列接続なので、その和で与えられます。
$$ C_{\text{合成}} = C_1 + C_2 $$

\(C_1\)と\(C_2\)を、与えられた\(C = \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) を用いて表します。
まず\(C_1\)は、
$$
\begin{aligned}
C_1 &= \varepsilon_0 \frac{S_1}{d} \\[2.0ex]
&= \varepsilon_0 \frac{\frac{l-x}{l}S}{d} \\[2.0ex]
&= \frac{l-x}{l} \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{l-x}{l} C
\end{aligned}
$$
次に\(C_2\)は、
$$
\begin{aligned}
C_2 &= \varepsilon_0 \frac{S_2}{d’} \\[2.0ex]
&= \varepsilon_0 \frac{\frac{x}{l}S}{\frac{1}{3}d} \\[2.0ex]
&= 3 \frac{x}{l} \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{3x}{l} C
\end{aligned}
$$
全体の合成容量はこれらの和なので、
$$
\begin{aligned}
C_{\text{合成}} &= C_1 + C_2 \\[2.0ex]
&= \frac{l-x}{l} C + \frac{3x}{l} C \\[2.0ex]
&= \frac{l-x+3x}{l} C \\[2.0ex]
&= \frac{l+2x}{l} C
\end{aligned}
$$

コンデンサーを、板が入っている部分と入っていない部分の2つに分けて考えます。この2つは横に並んでいるので「並列接続」になり、全体の容量は単純な足し算で求められます。

• 入っていない部分: 奥行きが\(l-x\)になっただけで、普通のコンデンサーです。
• 入っている部分: 間に厚い金属板を挟んでいます。金属は電気を素通りさせるので、実質的にコンデンサーの極板がその分だけ近づいたのと同じことになります。間隔が\(d\)から\(\displaystyle\frac{1}{3}d\)に縮まったので、この部分の容量は3倍になります。

最後に、この2つの部分の容量を計算して足し合わせれば、全体の容量がわかります。

合成容量は \(\displaystyle\frac{l+2x}{l} C\) となります。
この結果が妥当か、極端な場合で確認してみましょう。

• \(x=0\) のとき（何も挿入していない）: \(C_{\text{合成}} = \displaystyle\frac{l}{l} C = C\)。もとの容量と一致し、正しいです。
• \(x=l\) のとき（完全に挿入した）: \(C_{\text{合成}} = \displaystyle\frac{l+2l}{l} C = 3C\)。これは、面積\(S\)、間隔\(\displaystyle\frac{1}{3}d\)のコンデンサーの容量 \(\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d/3} = 3(\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}) = 3C\) と一致し、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同様に、コンデンサーを「誘電体板が挿入された部分」と「されていない部分」の並列接続として考えます。
(1)と異なるのは、挿入された部分の扱いです。厚さ\(\displaystyle\frac{2}{3}d\)の誘電体板が挿入された部分は、極板との間に\(\displaystyle\frac{1}{3}d\)の真空（空気）層が残ります。これは、「誘電体で満たされたコンデンサー」と「真空のコンデンサー」が極板に垂直な方向に積層されている状態、すなわち直列接続とみなすことができます。
したがって、計算の手順は「まず挿入部分の直列合成容量を求め、次に非挿入部分と並列合成する」という2段階になります。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーを、板の挿入部分と非挿入部分の「並列接続」としてモデル化する。
• 誘電体板が挿入された部分は、さらに「誘電体部分」と「真空部分」の「直列接続」としてモデル化する。
• 比誘電率\(\varepsilon_r\)の誘電率\(\varepsilon\)は、\(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\)で与えられる。

具体的な解説と立式
(1)と同様に、コンデンサーを以下の2つの部分の並列接続と考えます。

1. コンデンサー\(C_1\): 誘電体板が挿入されていない部分。
   • これは(1)と全く同じです。
     $$ C_1 = \frac{l-x}{l} C $$
2. コンデンサー\(C_{23}\): 誘電体板が挿入されている部分。
   • この部分は、奥行き\(x\)、面積\(S_2 = \displaystyle\frac{x}{l}S\)を持ち、内部が2つの層に分かれています。これを2つのコンデンサー\(C_2\)と\(C_3\)の直列接続と考えます。
   • \(C_2\)(真空部分):
     • 極板面積: \(S_2 = \displaystyle\frac{x}{l}S\)
     • 極板間隔: \(d_2 = d – \displaystyle\frac{2}{3}d = \displaystyle\frac{1}{3}d\)
     • 容量: \(C_2 = \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S_2}{d_2}\)
   • \(C_3\)(誘電体部分):
     • 極板面積: \(S_2 = \displaystyle\frac{x}{l}S\)
     • 極板間隔(厚さ): \(d_3 = \displaystyle\frac{2}{3}d\)
     • 誘電率: \(\varepsilon = 3\varepsilon_0\)
     • 容量: \(C_3 = 3\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S_2}{d_3}\)

   \(C_2\)と\(C_3\)は直列接続なので、その合成容量\(C_{23}\)は次式で与えられます。
   $$ \frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} $$

全体の合成容量\(C_{\text{合成}}\)は、\(C_1\)と\(C_{23}\)の並列接続なので、その和で与えられます。
$$ C_{\text{合成}} = C_1 + C_{23} $$

まず、\(C_2, C_3\)を\(C = \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\)を用いて表します。
\(C_2\)は、
$$
\begin{aligned}
C_2 &= \varepsilon_0 \frac{\frac{x}{l}S}{\frac{1}{3}d} \\[2.0ex]
&= 3 \frac{x}{l} \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{3x}{l} C
\end{aligned}
$$
\(C_3\)は、
$$
\begin{aligned}
C_3 &= 3\varepsilon_0 \frac{\frac{x}{l}S}{\frac{2}{3}d} \\[2.0ex]
&= 3 \cdot \frac{3}{2} \frac{x}{l} \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{9x}{2l} C
\end{aligned}
$$
次に、これらの直列合成容量\(C_{23}\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{23}} &= \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\frac{3x}{l}C} + \frac{1}{\frac{9x}{2l}C} \\[2.0ex]
&= \frac{l}{3xC} + \frac{2l}{9xC} \\[2.0ex]
&= \frac{3l + 2l}{9xC} \\[2.0ex]
&= \frac{5l}{9xC}
\end{aligned}
$$
よって、\(C_{23}\)は、
$$ C_{23} = \frac{9x}{5l} C $$
最後に、全体の合成容量\(C_{\text{合成}}\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{\text{合成}} &= C_1 + C_{23} \\[2.0ex]
&= \frac{l-x}{l} C + \frac{9x}{5l} C \\[2.0ex]
&= \left( \frac{l-x}{l} + \frac{9x}{5l} \right) C \\[2.0ex]
&= \left( \frac{5(l-x) + 9x}{5l} \right) C \\[2.0ex]
&= \left( \frac{5l – 5x + 9x}{5l} \right) C \\[2.0ex]
&= \left( \frac{5l + 4x}{5l} \right) C \\[2.0ex]
&= \left( 1 + \frac{4x}{5l} \right) C
\end{aligned}
$$

(1)と同じように、コンデンサーを板が入っている部分と入っていない部分に分け、それらを足し合わせる（並列合成）と考えます。
問題は「入っている部分」の扱いです。ここには誘電体の板と、少しだけ空気の層が残っています。これは、誘電体のコンデンサーと空気のコンデンサーを縦に重ねた「直列接続」と見なせます。
計算の手順は、まずこの「直列接続」部分の合成容量を計算します。直列の場合は少し計算が面倒で、逆数を足し合わせる必要があります。そして、その結果と「入っていない部分」の容量を最後に足し算すれば、全体の容量が求まります。

合成容量は \(\left( 1 + \displaystyle\frac{4x}{5l} \right) C\) となります。
この結果が妥当か、極端な場合で確認してみましょう。

• \(x=0\) のとき（何も挿入していない）: \(C_{\text{合成}} = (1+0)C = C\)。もとの容量と一致し、正しいです。
• \(x=l\) のとき（完全に挿入した）: \(C_{\text{合成}} = \left( 1 + \displaystyle\frac{4l}{5l} \right) C = \displaystyle\frac{9}{5}C\)。これは、挿入部分の合成容量\(C_{23}\)で\(x=l\)としたときの値 \(\displaystyle\frac{9l}{5l}C = \displaystyle\frac{9}{5}C\) と一致し、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの分割と合成:
  • 核心: この問題の根幹は、複雑な形状や不均一な物質を含むコンデンサーを、複数の単純な平行板コンデンサーの組み合わせ（並列接続・直列接続）としてモデル化し、合成容量の公式を適用して全体の電気容量を求める能力にあります。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続の見分け方: 極板に平行な方向に分割できる場合（奥行き方向に分割するなど）、各部分は同じ電位差を持つため並列接続とみなせます。合成容量は単純な和 \(C_{\text{合成}} = C_1 + C_2\) となります。
    • 直列接続の見分け方: 極板に垂直な方向に分割できる場合（極板間の空間を複数の層に分けるなど）、各部分を流れる電気量が等しくなるため直列接続とみなせます。合成容量は逆数の和 \(\displaystyle\frac{1}{C_{\text{合成}}} = \displaystyle\frac{1}{C_1} + \displaystyle\frac{1}{C_2}\) で計算します。
• 導体・誘電体の電気的効果の理解:
  • 核心: コンデンサーの極板間に挿入された物質が、電気容量にどのような影響を与えるかを物理的に理解していることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 導体: 導体内部は等電位（電場ゼロ）となるため、厚さ\(t\)の導体板を挿入することは、極板間隔を\(t\)だけ狭めることと等価です。これにより容量は増加します。
    • 誘電体: 誘電体は分極によって内部の電場を弱める効果があります。同じ電位差でもより多くの電荷を蓄えられるようになるため、容量は比誘電率\(\varepsilon_r\)倍に増加します。これは、極板間隔を\(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_r}\)に縮めることと等価であると解釈することもできます（(2)の別解）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 極板の一部をずらす問題: 平行な極板を少し横にずらした場合、重なっている部分だけがコンデンサーとして機能すると考え、面積が変化したとして容量を計算します。
  • くさび形の誘電体を挿入する問題: 挿入された誘電体の厚さが場所によって異なる場合、微小な幅でコンデンサーを短冊状に分割し、それらの並列接続として積分計算で全体の容量を求める問題に応用できます。
  • 円筒コンデンサーや球コンデンサーへの挿入: 同軸円筒や同心球の間に誘電体を一部だけ充填する問題も、基本的な考え方は同じです。充填された部分とされていない部分を並列または直列の組み合わせとしてモデル化します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 分割ラインの決定: まず、コンデンサーをどのように分割すれば、単純な平行板コンデンサーの集まりになるかを見極めます。極板に平行な境界線があれば「並列」、垂直な境界線があれば「直列」の可能性が高いです。
  2. 各部分のパラメータの特定: 分割した各コンデンサーについて、「極板面積」「極板間隔」「内部の誘電率」の3つのパラメータを正確に特定します。特に面積は、もとの面積に対する比率で考えると計算が楽になります。
  3. 接続方法の確定: 分割したコンデンサー同士が並列接続なのか直列接続なのか、あるいはその両方の組み合わせなのかを回路図のようにイメージして確定させます。
  4. 計算戦略の選択: (2)のように直列接続が含まれる場合、主たる解法のように逆数の和で計算するか、別解のように「等価的な厚さ」を用いて計算を簡略化できるかを検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 並列と直列の混同:
  • 誤解: コンデンサーの分割方法はわかっても、それが並列なのか直列なのかを間違えてしまう。
  • 対策: 「電位差が等しいなら並列」「電気量が等しいなら直列」という基本定義に立ち返ることが重要です。具体的には、コンデンサーの両極板に電池をつないだイメージを描き、分割した各部分に同じ電圧がかかるか（並列）、あるいは電荷が一本道で流れるか（直列）を考えると判断しやすくなります。
• 導体挿入時の間隔の計算ミス:
  • 誤解: 導体板を挿入したとき、残りの空間の厚さではなく、導体自身の厚さで容量を計算してしまう。
  • 対策: 「導体は空間をショートさせる」と覚えましょう。厚さ\(t\)の導体は、極板間隔\(d\)のうち\(t\)の部分を「無かったこと」にします。したがって、残りの真空部分の厚さ\(d-t\)が実効的な極板間隔になります。
• 直列合成の計算ミス:
  • 誤解: 直列接続の公式 \(\displaystyle\frac{1}{C_{\text{合成}}} = \displaystyle\frac{1}{C_1} + \displaystyle\frac{1}{C_2}\) で計算した結果（逆数）を、そのまま答えとしてしまう。
  • 対策: 逆数の和を計算した後は、必ず最後にもう一度逆数をとって\(C_{\text{合成}}\)に戻す、という操作を意識的に行うことが不可欠です。計算の最終ステップとして指差し確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列接続の選択:
  • 選定理由: (1), (2)ともに、板を挿入した部分とそうでない部分は、コンデンサーの奥行き方向に並んでいます。もしこのコンデンサーに電圧をかけると、両方の部分に同じ電位差がかかります。物理的に「電位差が等しい」状況は並列接続の定義そのものであるため、並列合成の公式 \(C_{\text{合成}} = C_1 + C_2\) を選択するのが論理的に正しいです。
  • 適用根拠: 全体に蓄えられる電荷\(Q\)は、部分1に蓄えられる電荷\(Q_1\)と部分2に蓄えられる電荷\(Q_2\)の和になります。\(Q=CV\)の関係から \(C_{\text{合成}}V = C_1V + C_2V\) となり、両辺の\(V\)を割ることで公式が導かれます。
• 直列接続の選択:
  • 選定理由: (2)の挿入部分では、誘電体層と真空層が極板に対して垂直に積み重なっています。もしこの部分に電荷が蓄えられると、一方の極板に\(+Q\)が溜まれば、誘電体と真空の境界面には\(-Q\)と\(+Q\)が誘導され、もう一方の極板には\(-Q\)が溜まります。このように「通過する電気量が等しい」状況は直列接続の定義に合致します。
  • 適用根拠: 全体にかかる電位差\(V\)は、誘電体部分の電位差\(V_3\)と真空部分の電位差\(V_2\)の和になります。\(V=Q/C\)の関係から \(\displaystyle\frac{Q}{C_{\text{合成}}} = \displaystyle\frac{Q}{C_2} + \displaystyle\frac{Q}{C_3}\) となり、両辺の\(Q\)を割ることで公式が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: \(C_1, C_2\)などを計算する際、いきなり複雑な式を代入するのではなく、まず「\(C_1 = \displaystyle\frac{l-x}{l}C\)」のように、もとの容量\(C\)を使ったシンプルな形で表現します。最後に全体を合成する段階で、これらのシンプルな表現を足し合わせることで、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 分数の扱いに習熟する: この問題は分数の計算が頻出します。特に直列合成での逆数の和の計算（通分）や、\(C_2 = \varepsilon_0 \displaystyle\frac{(x/l)S}{(d/3)}\) のような繁分数の処理は、焦らず一段階ずつ丁寧に行うことが重要です。分母の分数は逆数を掛ける形に直してから整理すると確実です。
• 極端な場合での検算（吟味）を習慣化する: (1), (2)の結論で示したように、得られた結果の\(x\)に\(x=0\)（未挿入）や\(x=l\)（完全挿入）を代入して、物理的に妥当な答え（\(C\)や\(3C\)など）になるかを確認する作業は非常に有効です。この一手間が、計算ミスやモデル化の間違いを発見する強力なセーフティネットになります。

32 必殺技…電位による解法

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の電源を含む複雑なコンデンサー回路の解析」です。このような回路では、単純な直列・並列の合成では解くことができず、より一般的な解析手法が求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

\(3\,\mu\text{F}\)のコンデンサーに蓄えられている電気量

思考の道筋とポイント
このように複数の電源が絡む複雑な回路では、各コンデンサーにかかる電圧を直感的に求めるのは困難です。そこで、回路の各点の「電位」を考えるのが最も有効なアプローチとなります。回路の一点の電位を基準(\(0\,\text{V}\))に定め、そこから電池を通過するごとに電位を足し引きしていきます。未知の電位を\(x\)とし、回路中で孤立している部分（他の部分と配線が繋がっていない導体部分）の電気量の総和が0になる、という「電気量保存則」を用いて方程式を立てるのが王道の解法です。
この設問における重要なポイント

• 回路の基準電位(\(0\,\text{V}\))を自分で設定する。
• 電池は負極から正極へたどると電位は上がり、正極から負極へたどると電位は下がる。
• 孤立部分（3つのコンデンサーの極板の一部をつなぐ導線）を見つけ出す。
• コンデンサーのある極板の電荷は \(Q = C \times (\text{その極板の電位} – \text{向かい合う極板の電位})\) で計算する。

具体的な解説と立式
まず、回路図の各点の電位を定めます。回路の左下、\(10\,\text{V}\)電池の負極に接続されている導線の電位を基準の\(0\,\text{V}\)とします。この導線は\(2\,\mu\text{F}\)コンデンサーの一方の極板に接続されています。

• \(10\,\text{V}\)の電池は左側が負極、右側が正極です。負極(\(0\,\text{V}\))から正極へまたぐと電位が\(10\,\text{V}\)上がるので、\(10\,\text{V}\)電池の正極、\(20\,\text{V}\)電池の負極、そして\(5\,\mu\text{F}\)コンデンサーの一方の極板が接続されている導線の電位は\(10\,\text{V}\)となります。
• 次に、\(20\,\text{V}\)の電池も左側が負極、右側が正極です。負極(\(10\,\text{V}\))から正極へまたぐと電位が\(20\,\text{V}\)上がるので、\(20\,\text{V}\)電池の正極と\(3\,\mu\text{F}\)コンデンサーの一方の極板が接続されている導線の電位は \(10\,\text{V} + 20\,\text{V} = 30\,\text{V}\) となります。

\(2\,\mu\text{F}\)コンデンサーのもう一方の極板、\(3\,\mu\text{F}\)コンデンサーのもう一方の極板、そして\(5\,\mu\text{F}\)コンデンサーのもう一方の極板は、1本の導線で結ばれており、回路の他の部分から電気的に孤立しています。この孤立部分の導線の電位を\(x\)[V]とおきます。

この孤立部分に接続された3枚の極板の電気量の総和は、電気量保存則により0に保たれます。
孤立部分に接続された各極板の電気量をそれぞれ\(Q_{2\mu F}, Q_{3\mu F}, Q_{5\mu F}\)とすると、
$$ Q_{2\mu F} + Q_{3\mu F} + Q_{5\mu F} = 0 $$
ここで、各電気量を\(x\)を用いて表します。

• 孤立部分に接続された\(2\,\mu\text{F}\)の極板の電荷（向かいの極板の電位は\(0\,\text{V}\)）:
  $$ Q_{2\mu F} = 2 \times (x – 0) \, [\mu\text{C}] $$
• 孤立部分に接続された\(3\,\mu\text{F}\)の極板の電荷（向かいの極板の電位は\(30\,\text{V}\)）:
  $$ Q_{3\mu F} = 3 \times (x – 30) \, [\mu\text{C}] $$
• 孤立部分に接続された\(5\,\mu\text{F}\)の極板の電荷（向かいの極板の電位は\(10\,\text{V}\)）:
  $$ Q_{5\mu F} = 5 \times (x – 10) \, [\mu\text{C}] $$

これらを電気量保存の式に代入すると、\(x\)に関する方程式が得られます。
$$ 2(x – 0) + 3(x – 30) + 5(x – 10) = 0 $$

上記で立式した方程式を解いて\(x\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
2x + 3(x-30) + 5(x-10) &= 0 \\[2.0ex]
2x + 3x – 90 + 5x – 50 &= 0 \\[2.0ex]
10x – 140 &= 0 \\[2.0ex]
10x &= 140 \\[2.0ex]
x &= 14
\end{aligned}
$$
よって、孤立部分の電位は\(14\,\text{V}\)であることがわかりました。

次に、求めたい\(3\,\mu\text{F}\)のコンデンサーに蓄えられている電気量を計算します。このコンデンサーの両極板は、それぞれ電位\(14\,\text{V}\)と\(30\,\text{V}\)の導線に接続されています。したがって、かかる電位差\(\Delta V\)の大きさは、
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= |14 – 30| \\[2.0ex]
&= 16 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
蓄えられている電気量\(Q\)は、
$$
\begin{aligned}
Q &= 3 \times \Delta V \\[2.0ex]
&= 3 \times 16 \\[2.0ex]
&= 48 \, \text{μC}
\end{aligned}
$$

この複雑な回路は、パッと見ただけでは解き方が分かりにくいかもしれません。こういう時は「電位」という考え方を使うと非常に便利です。地図で標高を表すように、回路の一部分を基準の高さ（電位\(0\,\text{V}\)）と決めます。
そこから電池という「ポンプ」を通るたびに電位が上がったり下がったりするのを計算していくと、各場所の電位がわかります。今回は真ん中の線の電位だけがわからないので、とりあえず「\(x\)ボルト」としておきます。
ここで重要なのが、真ん中の線につながっている3枚のコンデンサーの板は、他から電気が来られない「孤島」になっていることです。そのため、この孤島の電気量を全部足すとゼロになるはずです（電気量保存則）。
この「電気量の合計＝ゼロ」という式を立てて解くと、謎だった「\(x\)」の値が\(14\,\text{V}\)だとわかります。
\(x\)がわかれば、\(3\,\mu\text{F}\)のコンデンサーの両端の電位が\(14\,\text{V}\)と\(30\,\text{V}\)だとわかるので、その差（電位差）は\(16\,\text{V}\)です。あとは\(Q=CV\)の公式を使って、\(3 \times 16 = 48\)[μC]と電気量を求められます。

\(3\,\mu\text{F}\)のコンデンサーに蓄えられている電気量は\(48\,\mu\text{C}\)となります。
念のため、他のコンデンサーについても確認してみましょう。

• \(2\,\mu\text{F}\)のコンデンサー: 電位差は\(|14-0|=14\,\text{V}\)。電気量は\(2 \times 14 = 28\,\mu\text{C}\)。
• \(5\,\mu\text{F}\)のコンデンサー: 電位差は\(|14-10|=4\,\text{V}\)。電気量は\(5 \times 4 = 20\,\mu\text{C}\)。

孤立部分の各極板の電荷を符号付きで計算すると、\(Q_{2\mu F} = 2(14-0)=+28\,\mu\text{C}\)、\(Q_{3\mu F} = 3(14-30)=-48\,\mu\text{C}\)、\(Q_{5\mu F} = 5(14-10)=+20\,\mu\text{C}\)となります。これらの和は \(28 – 48 + 20 = 0\) となり、電気量保存則が正しく満たされていることが確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位法と電気量保存則の組み合わせ:
  • 核心: この問題の根幹は、直列・並列に単純化できない複雑なコンデンサー回路を解くための最も強力な手法である「電位法」と「電気量保存則」を組み合わせて適用することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電位法（地図作り）: 回路を地図に見立て、各地点の標高（電位）を決定していく作業です。まず基準点（標高\(0\,\text{m}\)、電位\(0\,\text{V}\)）を決め、電池というポンプを通過するたびに標高がどう変わるかを計算していきます。これにより、回路の状態を「点の情報（電位）」で整理できます。
    • 電気量保存則（パズルのピース）: 回路の中には、外部と繋がっていない「孤島」のような部分が存在します。この「孤島」全体の電荷の合計は、充電の前後で変わらない（通常は0のまま）という物理法則です。これが、電位法で未知数として置いた地点の電位（\(x\)）を決定するための、決定的な方程式（パズルの最後のピース）を与えてくれます。
    • \(Q=CV\)の正しい使い方: 電気量保存則を立式する際、各極板の電荷は \(Q = C \times (\text{注目している極板の電位} – \text{向かいの極板の電位})\) という定義式を正確に使うことが重要です。これにより、電位の大小関係から電荷の符号が自動的に決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチの切り替え問題: スイッチを切り替える前と後で、それぞれ回路の接続状態が変化します。各状態について電位法を適用し、特にスイッチの切り替えによって新たに孤立部分が生まれたり消えたりする際に、電気量保存則を考える問題に応用できます。
  • 接地（アース）を含む回路: 回路の一部が接地されている問題では、その点の電位が強制的に\(0\,\text{V}\)になる、という条件として使います。電位の基準点を自分で決める必要がなくなり、計算が楽になります。
  • コンデンサーのブリッジ回路: 抵抗のホイートストンブリッジと同様に、コンデンサーでブリッジが組まれている回路も、電位法で解くのが定石です。検流計の代わりにコンデンサーが接続されている場合など、そのコンデンサーの電荷や電位差を求める問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の分類: まず、回路全体が単純な直列・並列接続の組み合わせで解けるかを確認します。複数の電源があったり、ブリッジのように複雑に接続されていたりする場合は、すぐに「電位法」に思考を切り替えます。
  2. 孤立部分の特定: 回路図を俯瞰し、外部の電源などに一本も直接繋がっていない導線の塊（島）を探します。この部分を蛍光ペンなどで塗りつぶすと分かりやすくなります。ここが電気量保存則を適用する舞台です。
  3. 基準電位の選定: 計算が最も簡単になりそうな点（電池の負極に多く接続されている点など）を基準電位\(0\,\text{V}\)と定めます。
  4. 電位の割り振り: 基準点からスタートし、電池を通過するたびに電位を足し引きして、確定できる点の電位を全て回路図に書き込みます。電位が確定しない孤立部分の電位を未知数\(x\)と置きます。
  5. 方程式を立てる: 特定した孤立部分について、「接続されている各極板の電荷の総和が0」という電気量保存則の式を立てます。これで\(x\)を求めることができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 孤立部分の見落とし・誤認:
  • 誤解: どこが孤立しているのか分からなかったり、電池を含んだ部分まで孤立していると勘違いしたりする。
  • 対策: 「孤立部分」とは、導線とコンデンサーの極板だけで構成され、電池や外部端子に一切接続されていない部分のことです。回路図上で、その部分を完全に切り取っても、他の部分と電気的に無関係になるか、をイメージすると特定しやすくなります。
• 電荷の符号の計算ミス:
  • 誤解: 電気量保存則を立てる際に、各コンデンサーの電荷の符号をどちら向きに取るべきか混乱し、足すべきところを引いてしまう。
  • 対策: このミスを防ぐ最も確実な方法は、機械的に \(Q = C \times (\text{孤立部分側の極板の電位} – \text{反対側の極板の電位})\) という式を適用することです。このルールを一貫して使えば、電位の大小関係から正しい符号が自動的に計算されるため、向きを悩む必要がなくなります。
• 電位の割り振りミス:
  • 誤解: 電池を通過する際に、電位を足すのか引くのかを間違える。
  • 対策: 電池は「電位を上げるポンプ」と覚えましょう。電池の記号の短い線（負極）から長い線（正極）の向きに進むときは、必ず電位は起電力の分だけ「上がり」ます（足し算）。逆に長い線から短い線に進むときは「下がり」ます（引き算）。このルールを徹底します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位法と電気量保存則の組み合わせ:
  • 選定理由: この問題のように、直列・並列に単純化できない複雑な回路では、個々のコンデンサーの電圧や電荷を直接求めるのは困難です。回路全体の状態を記述する普遍的な物理量である「電位」を基準に考えるのが最も合理的です。しかし、電位だけでは方程式が足りません。そこで、もう一つの普遍的な法則である「電気量保存則」を組み合わせることで、未知の電位を決定するための方程式が得られます。
  • 適用根拠: 電位はエネルギーの位置に対応するスカラー量であり、回路のどの点でも一意に定まります（静電場が保存力場であるため）。電気量保存則は、電荷が勝手に生まれたり消えたりしないという物理学の大原則に基づいています。この2つの強力な法則を組み合わせることで、どんなに複雑な定常状態のコンデンサー回路も解くことができます。
• キルヒホッフの法則（別解）:
  • 選定理由: 電位法が「点の状態（電位）」に着目するのに対し、キルヒホッフの法則は「流れ（電荷）」と「ループ（電位差）」に着目する、もう一つの体系的な解法です。電位法が考えにくい場合に、別の視点を提供してくれます。
  • 適用根拠: 第1法則は接続点における電気量保存則そのものです。第2法則は、電場が保存力であること（静電場では電位が一意に定まること）の現れであり、「ループを一周すると電位は元に戻る」という当然の事実を数式化したものです。抵抗回路で成り立つこれらの法則は、コンデンサー回路の充電が完了した定常状態でも同様に成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 回路図への情報の集約: 基準電位(\(0\,\text{V}\))、計算で求めた各点の電位、未知の電位(\(x\))などを、ためらわずに回路図のコピーやノートに書き写した図に直接書き込みましょう。情報を視覚的に整理することで、立式の際の参照ミスを防ぎます。
• 単位のスマートな扱い: 問題の静電容量は\(\mu\text{F}\)で与えられています。最終的に\(\mu\text{C}\)で答える場合、計算の最初から最後まで、静電容量は「\(2, 3, 5\)」、電位は「V」として計算を進め、最後に求まった電荷の数値に単位「\(\mu\text{C}\)」をつけるのが最も効率的です。これにより、計算中に\(10^{-6}\)を扱う必要がなくなり、計算ミスを大幅に減らせます。
• 方程式の検算: 未知数\(x\)の値が求まったら、それを元の電気量保存の式 \(2(x – 0) + 3(x – 30) + 5(x – 10) = 0\) に代入して、本当に左辺が0になるかを確認する習慣をつけましょう。この一手間が、計算ミスを発見するのに非常に有効です。
• 分配法則の丁寧な実行: \(3(x-30)\)や\(5(x-10)\)のような式を展開するとき、符号のミスは非常に起こりやすいです。焦らず、一つ一つの項を丁寧に計算することを心がけましょう。

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33 必殺技…電位による解法

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位法を用いた複雑なコンデンサー回路の解析」です。一見すると単純な直列・並列の組み合わせではないように見える回路でも、電位法と電気量保存則を適用することで体系的に解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

\(C_1\)および\(C_3\)に蓄えられている電気量