「物理重要問題集2026」徹底解説（28〜30問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題28 2物体のあらい面上での運動 (愛知工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「あらい面上での物体の運動と摩擦力の仕事」です。
個々の物体の運動方程式から加速度を求める基本手順に加え、エネルギーと仕事の関係を用いた視点、さらに連結された物体の運動における内力（張力）と外力（摩擦力）の扱いを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体Aは初速度 \(v_0\) で滑り出し、動摩擦力を受けて減速し、やがて停止します。
まずは物体Aにはたらく力を図示し、運動方程式を立てて加速度を求めます。その後、速度と時間の関係式を用いて停止するまでの時間を計算します。

この設問における重要なポイント

• 力の向き: 運動の向きを正とすると、動摩擦力は負の向きにはたらきます。
• 垂直抗力: 水平面上での運動なので、垂直抗力 \(N\) の大きさは重力 \(mg\) と等しくなります。

具体的な解説と立式
運動の向き（初速度の向き）を正とします。
物体A（質量 \(m\)）にはたらく力は以下の通りです。

• 重力: \(mg\)（鉛直下向き）
• 垂直抗力: \(N = mg\)（鉛直上向き）
• 動摩擦力: \(f_{\text{A}} = \mu_{\text{A}}’ N = \mu_{\text{A}}’ mg\)（運動と逆向き）

物体Aの加速度を \(a_{\text{A}}\) とし、運動方程式 \(ma = F\) を立てます。
$$
\begin{aligned}
ma_{\text{A}} &= – \mu_{\text{A}}’ mg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①の両辺を \(m\) で割り、加速度 \(a_{\text{A}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_{\text{A}} &= – \mu_{\text{A}}’ g
\end{aligned}
$$
停止するとき、速度 \(v\) は \(0\) になります。停止するまでの時間を \(t\) とすると、等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) より、
$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 + a_{\text{A}} t
\end{aligned}
$$
これに求めた \(a_{\text{A}}\) を代入して \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 + (- \mu_{\text{A}}’ g) t \\[2.0ex] \mu_{\text{A}}’ g t &= v_0 \\[2.0ex] t &= \frac{v_0}{\mu_{\text{A}}’ g}
\end{aligned}
$$

物体Aは地面から「動くのを邪魔する力（摩擦力）」を受け続けて減速します。
このブレーキの強さ（加速度）を運動方程式から計算し、「今のスピードがゼロになるまで何秒かかるか」を速度の式を使って求めました。

時間は正の値となり、初速度 \(v_0\) が大きいほど長く、摩擦係数 \(\mu_{\text{A}}’\) が大きいほど短くなるため、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体Aと物体Bは初速度が異なりますが、停止するまでの移動距離が同じでした。
この条件を利用して、物体Bの動摩擦係数 \(\mu_{\text{B}}’\) を求めます。
それぞれの加速度を求め、等加速度運動の「速度と変位の関係式」を用いて停止距離を表し、それらが等しいという方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 条件の利用: 「停止するまでの移動距離は同じ」という情報を数式化します。
• 物体Bの諸量: 質量は \(2m\)、初速度は \(2v_0\) であることに注意します。

具体的な解説と立式
物体B（質量 \(2m\)）の動摩擦係数を \(\mu_{\text{B}}’\) とします。
物体Bの加速度を \(a_{\text{B}}\) とすると、運動方程式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2m a_{\text{B}} &= – \mu_{\text{B}}’ (2m)g \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
停止するまでの移動距離を \(x\) とします。
等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。

物体Aについて（初速度 \(v_0\)、加速度 \(a_{\text{A}}\)）:
$$
\begin{aligned}
0^2 – v_0^2 &= 2 a_{\text{A}} x \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
物体Bについて（初速度 \(2v_0\)、加速度 \(a_{\text{B}}\)）:
$$
\begin{aligned}
0^2 – (2v_0)^2 &= 2 a_{\text{B}} x \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

まず、式②より物体Bの加速度 \(a_{\text{B}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_{\text{B}} &= – \mu_{\text{B}}’ g
\end{aligned}
$$
また、問(1)より物体Aの加速度は \(a_{\text{A}} = – \mu_{\text{A}}’ g\) です。

式③より、距離 \(x\) は
$$
\begin{aligned}
– v_0^2 &= 2 (- \mu_{\text{A}}’ g) x \\[2.0ex] x &= \frac{v_0^2}{2 \mu_{\text{A}}’ g} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
式④より、距離 \(x\) は
$$
\begin{aligned}
– 4v_0^2 &= 2 (- \mu_{\text{B}}’ g) x \\[2.0ex] x &= \frac{4v_0^2}{2 \mu_{\text{B}}’ g} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
移動距離 \(x\) は等しいので、式⑤と式⑥を等置します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_0^2}{2 \mu_{\text{A}}’ g} &= \frac{4v_0^2}{2 \mu_{\text{B}}’ g}
\end{aligned}
$$
両辺を整理して \(\mu_{\text{B}}’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\mu_{\text{A}}’} &= \frac{4}{\mu_{\text{B}}’} \\[2.0ex] \mu_{\text{B}}’ &= 4 \mu_{\text{A}}’
\end{aligned}
$$

BはAの2倍のスピードでスタートしました。通常、スピードが速ければ止まるまでに長い距離が必要ですが、今回はAと同じ距離で止まりました。
これは、Bのブレーキ（摩擦）がAよりも強力だったことを意味します。計算の結果、Bの摩擦係数はAの4倍であることが分かりました。

Bは質量が2倍、初速度が2倍なので、運動エネルギーはAの \(2 \times 2^2 = 8\) 倍になります。同じ距離で止めるには8倍の仕事が必要なので、摩擦力（ブレーキ力）も8倍です。Bは垂直抗力もAの2倍なので、摩擦係数は \(8 \div 2 = 4\) 倍となり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体AとBをひもでつなぎ、初速度 \(v_0\) で運動させます。
ひもが張った状態で運動しているため、AとBは同じ加速度で運動します。
それぞれの物体について運動方程式を立て、連立させて張力 \(T\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 物体の配置と力の向き:
  • 問(2)の結果より \(\mu_{\text{B}}’ = 4\mu_{\text{A}}’\) なので、Bの方が摩擦係数が大きく、減速しやすい（ブレーキが強い）です。
  • ひもが張った状態を保つには、ブレーキの強いBが後ろ（左）、ブレーキの弱いAが前（右）に位置し、AがBを引っ張る形で運動していると考えられます。（もしBが前なら、Bが急減速してAが追突し、ひもはたるみます）
  • したがって、運動方向を右向きとすると、Aは左向きに張力 \(T\) を受け、Bは右向きに張力 \(T\) を受けます。
• 動摩擦力: どちらの物体にも、運動方向と逆向き（左向き）にはたらきます。

具体的な解説と立式
運動の向き（右向き）を正とします。加速度を \(\alpha\)、張力を \(T\) とします。

物体A（質量 \(m\)）の運動方程式:
はたらく力は、動摩擦力 \(-\mu_{\text{A}}’ mg\) と、ひもが引く力 \(-T\) です。
$$
\begin{aligned}
m \alpha &= – \mu_{\text{A}}’ mg – T \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
物体B（質量 \(2m\)）の運動方程式:
はたらく力は、動摩擦力 \(-\mu_{\text{B}}’ (2m)g\) と、ひもが引く力 \(+T\) です。
$$
\begin{aligned}
2m \alpha &= T – \mu_{\text{B}}’ (2m)g \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$
ここで、問(2)の結果 \(\mu_{\text{B}}’ = 4\mu_{\text{A}}’\) を式⑩に代入しておきます。
$$
\begin{aligned}
2m \alpha &= T – 4\mu_{\text{A}}’ (2m)g \\[2.0ex] 2m \alpha &= T – 8\mu_{\text{A}}’ mg \quad \cdots ⑩’
\end{aligned}
$$

式⑨と式⑩’を足し合わせて、内力である張力 \(T\) を消去し、加速度 \(\alpha\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m \alpha + 2m \alpha &= (- \mu_{\text{A}}’ mg – T) + (T – 8\mu_{\text{A}}’ mg) \\[2.0ex] 3m \alpha &= – 9\mu_{\text{A}}’ mg \\[2.0ex] \alpha &= – 3\mu_{\text{A}}’ g
\end{aligned}
$$
この \(\alpha\) を式⑨に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m (- 3\mu_{\text{A}}’ g) &= – \mu_{\text{A}}’ mg – T \\[2.0ex] – 3\mu_{\text{A}}’ mg &= – \mu_{\text{A}}’ mg – T \\[2.0ex] T &= – \mu_{\text{A}}’ mg + 3\mu_{\text{A}}’ mg \\[2.0ex] &= 2\mu_{\text{A}}’ mg
\end{aligned}
$$

AとBをつないで滑らせると、ブレーキの強いBが後ろから引っ張り、ブレーキの弱いAが前で引っ張られる形になります。
2つの物体をまとめて考えると、合計のブレーキ力によって全体の減速（加速度）が決まります。その加速度を使って、ひもがどれくらいの力で引っ張り合っているか（張力）を計算しました。

張力 \(T\) は正の値となり、摩擦係数 \(\mu_{\text{A}}’\) に比例しています。摩擦が大きいほど強く引っ張り合うことになり、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体Bにはたらく摩擦力がした仕事を求めます。
仕事は「力 \(\times\) 移動距離」で求まります。
物体Bにはたらく動摩擦力の大きさは既に分かっているので、あとは停止するまでの移動距離 \(l\) を求めればよいです。
問(3)で求めた加速度 \(\alpha\) と、等加速度直線運動の公式を利用します。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義: 力 \(F\) が一定で、移動方向と逆向きにはたらく場合、仕事は \(W = -Fx\) となります。
• 移動距離: AとBはひもでつながれているため、停止するまでの移動距離 \(l\) は共通です。

具体的な解説と立式
物体Bにはたらく動摩擦力の大きさ \(f_{\text{B}}\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= \mu_{\text{B}}’ (2m)g \\[2.0ex] &= 4\mu_{\text{A}}’ (2m)g \\[2.0ex] &= 8\mu_{\text{A}}’ mg
\end{aligned}
$$
停止するまでの移動距離を \(l\) とします。
初速度 \(v_0\)、加速度 \(\alpha = -3\mu_{\text{A}}’ g\)、末速度 \(0\) なので、公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) より
$$
\begin{aligned}
0^2 – v_0^2 &= 2 \alpha l \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$
求める仕事 \(W\) は、摩擦力が移動方向と逆向きにはたらくため負になります。
$$
\begin{aligned}
W &= – f_{\text{B}} l \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$

式⑫より移動距離 \(l\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
– v_0^2 &= 2 (- 3\mu_{\text{A}}’ g) l \\[2.0ex] l &= \frac{v_0^2}{6 \mu_{\text{A}}’ g}
\end{aligned}
$$
これを式⑬に代入して仕事 \(W\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= – (8\mu_{\text{A}}’ mg) \cdot \left( \frac{v_0^2}{6 \mu_{\text{A}}’ g} \right) \\[2.0ex] &= – \frac{8}{6} m v_0^2 \\[2.0ex] &= – \frac{4}{3} m v_0^2
\end{aligned}
$$

まず、2つの物体が止まるまでにどれくらい滑るか（距離）を計算しました。
次に、Bのブレーキ（摩擦力）がその距離の間にどれだけのエネルギーを奪ったか（仕事）を計算しました。力と距離を掛け算するだけのシンプルな計算です。

仕事は負の値となり、運動エネルギーを減少させる働きをしていることが分かります。大きさは初運動エネルギーのオーダー（\(mv_0^2\)）と一致しており、次元も正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と等加速度運動の連携
  • 核心: 物体の運動を解析する際、まず運動方程式 \(ma=F\) から加速度 \(a\) を求め、それを等加速度運動の公式（\(v=v_0+at\), \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\), \(v^2-v_0^2=2ax\)）に代入するという一連の流れが基本となります。
  • 理解のポイント:
    • 力が一定ならば加速度も一定となり、等加速度運動の公式が使えます。
    • 動摩擦力は \(\mu’N\) で一定なので、この条件を満たします。
• エネルギーと仕事の関係（機能原理）
  • 核心: 物体の運動エネルギーの変化量は、その間に物体にはたらく力がした仕事に等しい（\(\Delta K = W\)）という原理です。
  • 理解のポイント:
    • 時間や加速度を問われない場合、この原理を使うと計算が大幅に短縮できます。
    • 摩擦力のような非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存されませんが、この関係式は常に成立します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 連結物体の運動: 列車やトレーラーなど、複数の物体がつながって動く問題。本問の(3)のように、全体の運動方程式と個別の運動方程式を使い分けることが鍵です。
  • 摩擦のある面での停止距離: 車のブレーキ痕から速度を推定する問題など。エネルギー原理 \( \frac{1}{2}mv^2 = \mu’ mg x \) を使うと一発で解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「時間」が必要か？: 時間 \(t\) を求める、あるいは \(t\) が与えられているなら運動方程式と等加速度運動の公式を使います。
  2. 「距離」と「速さ」の関係か？: 時間が関係ないなら、エネルギーと仕事の関係（または \(v^2-v_0^2=2ax\)）を使うと速いです。
  3. 連結されているか？: 複数の物体がある場合、まずは「全体を一つの物体」とみなして全体の加速度を求め、その後に「個別の物体」に着目して張力などの内力を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の向きと符号のミス:
  • 誤解: 摩擦力は常に「進行方向」にはたらく、あるいは符号を適当につけてしまう。
  • 対策: 動摩擦力は必ず「接触面に対して滑る方向と逆向き」にはたらきます。運動方程式を立てる際は、正の向き（運動方向）と逆なのでマイナスをつけることを徹底しましょう。
• 仕事の符号のミス:
  • 誤解: 仕事 \(W=Fx\) の計算で、力が逆向きなのにマイナスをつけ忘れる。
  • 対策: 仕事はスカラー量ですが、エネルギーを増やす（正）か減らす（負）かは重要です。力が移動方向と逆なら「負の仕事」となり、エネルギーを奪います。計算結果が負になることを確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(2)での公式選択（等加速度運動 vs エネルギー原理）:
  • 選定理由: 模範解答（等加速度運動）は基本に忠実で汎用性が高いですが、別解（エネルギー原理）は加速度を計算するステップを省略できるため、計算ミスが減り、解答速度が上がります。
  • 適用根拠: 始状態（初速度あり）と終状態（停止）のエネルギー差が、摩擦力の仕事に等しいという物理的状況が明確であるため適用可能です。
• 問(4)での公式選択（仕事の定義 vs 配分比）:
  • 選定理由: 定義通りに \(W=Fx\) で計算するのは確実ですが、配分比を用いる方法は「全体のエネルギーが摩擦で消費される」という全体像が見えている場合に、圧倒的に速く解けます。
  • 適用根拠: 移動距離が共通であるため、仕事の大きさは力の大きさに単純比例するという幾何学的条件が成立しているためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 意識: 答えの単位が合っているか常に確認します。
  • 実践: 例えば時間の答えが \(\frac{v}{g}\) なら \([L/T] / [L/T^2] = [T]\) で秒の次元になります。もし \(\frac{g}{v}\) になっていたら逆数なので間違いです。仕事の答えは \(mv^2\) の形（エネルギーの次元）になっているか確認します。
• 比の計算の活用:
  • 意識: 具体的な数値を代入する前に、比の関係を使って計算を簡略化します。
  • 実践: 問(2)や問(4)別解のように、「質量が2倍、速度が2倍ならエネルギーは \(2 \times 2^2 = 8\) 倍」といった比例関係を使うと、複雑な分数計算を回避できます。

問題29 あらい水平面上の物体の運動 (24 佐賀大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「あらい水平面上での物体の運動と摩擦力、およびエネルギー収支」です。
静止摩擦力と動摩擦力の違い、複数の物体が連動して動く際の運動方程式の立て方、そして非保存力（摩擦力）が仕事をする場合のエネルギー変化について学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
質量 \(m\) の物体（以下、物体A）は、左右の糸で質量 \(M\) の物体（物体B）と質量 \(M’\) の物体（物体C）につながれています。
\(M > M’\) なので、物体Aには右向きに引く力の方が強くはたらきます。
物体Aが静止しているためには、この力の差を埋める向き（左向き）に静止摩擦力 \(F\) がはたらく必要があります。

この設問における重要なポイント

• 張力の伝達: 滑車が軽くなめらかなので、一本の糸の張力はどこでも同じ大きさです。
• 摩擦力の向き: 物体が動き出そうとする方向（合力の向き）と逆向きにはたらきます。今回は右に引かれる力が強いため、摩擦力は左向きです。

具体的な解説と立式
物体A、B、Cにはたらく力を考えます。
物体B（右側）と物体Aを結ぶ糸の張力を \(T\)、物体C（左側）と物体Aを結ぶ糸の張力を \(T’\) とします。
物体Aにはたらく静止摩擦力を \(F\)（左向き）とします。

物体Bの鉛直方向の力のつりあい:
上向きの張力 \(T\) と下向きの重力 \(Mg\) がつりあっています。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] T &= Mg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
物体Cの鉛直方向の力のつりあい:
上向きの張力 \(T’\) と下向きの重力 \(M’g\) がつりあっています。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] T’ &= M’g \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
物体Aの水平方向の力のつりあい:
右向きの張力 \(T\) と、左向きの張力 \(T’\) および静止摩擦力 \(F\) がつりあっています。
$$
\begin{aligned}
(\text{右向きの力}) &= (\text{左向きの力}) \\[2.0ex] T &= T’ + F \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式①、②を式③に代入して整理します。
$$
\begin{aligned}
Mg &= M’g + F \\[2.0ex] F &= Mg – M’g \\[2.0ex] &= (M – M’)g
\end{aligned}
$$
問題文では「つりあいの式を書け」とあるので、式③に \(T, T’\) の値を代入した形、あるいは \(F\) について解く前の形が求められていると考えられますが、通常は既知の量（\(M, M’, g\)）を用いて表した式が最終的な答えとなります。
模範解答の形式に合わせると、\(M’g + F = Mg\) がつりあいの式となります。

真ん中の物体Aは、右の重りBに強く引っ張られ、左の重りCに弱く引っ張られています。
そのままだと右にズレてしまうので、床との間の摩擦力が「待った！」と左向きに踏ん張って止めています。
右に引く力 \(Mg\) と、左に引く力 \(M’g\) ＋ 摩擦力 \(F\) がちょうどバランスしている状態です。

\(M > M’\) より \(F > 0\) となり、左向きに摩擦力がはたらくという仮定と矛盾しません。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体Aが静止し続けるための条件を求めます。
静止摩擦力 \(F\) は、外力に合わせて大きさを変えますが、限界があります。その限界値が「最大静止摩擦力 \(F_0 = \mu N\)」です。
実際に必要な摩擦力 \(F\) が、この限界値 \(F_0\) 以下であれば、物体は静止し続けることができます。

この設問における重要なポイント

• 静止条件: \(F \le \mu N\)
• 垂直抗力: 水平面上にある物体Aには、鉛直下向きに重力 \(mg\)、上向きに垂直抗力 \(N\) がはたらき、これらがつりあっています。

具体的な解説と立式
物体Aの鉛直方向の力のつりあいより、垂直抗力 \(N\) は
$$
\begin{aligned}
N &= mg \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
最大静止摩擦力 \(F_0\) は
$$
\begin{aligned}
F_0 &= \mu N \\[2.0ex] &= \mu mg \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
物体が静止しているためには、問(1)で求めた静止摩擦力 \(F\) が最大静止摩擦力 \(F_0\) 以下である必要があります。
$$
\begin{aligned}
F &\le F_0 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

問(1)の結果 \(F = (M – M’)g\) と式⑤を式⑥に代入します。
$$
\begin{aligned}
(M – M’)g &\le \mu mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(mg\)（\(>0\)）で割って \(\mu\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\mu &\ge \frac{M – M’}{m}
\end{aligned}
$$

摩擦力が頑張れる限界（最大パワー）は、地面のザラザラ具合（\(\mu\)）と、地面に押し付けられる力（\(mg\)）で決まります。
今回、右に引っ張られる力に耐えるために必要なパワーは \((M-M’)g\) です。
この必要なパワーよりも、限界パワーの方が大きければ、物体は滑り出さずに耐えられます。

右に引く力 \(M\) が大きいほど、あるいは左に引く力 \(M’\) が小さいほど、必要な摩擦係数 \(\mu\) は大きくなります。また、物体Aの質量 \(m\) が大きいほど垂直抗力が増して滑りにくくなるため、必要な \(\mu\) は小さくて済みます。これらは物理的直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
左側の糸（\(M’\)との連結）を切り離すと、物体Aは右側の物体B（質量 \(M\)）に引かれて右向きに運動を始めます。
ここからは「動摩擦力」がはたらきます。
まずは物体B（質量 \(M\)）の運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 加速度の共有: 糸でつながれているため、AとBは同じ大きさの加速度 \(a\) で運動します。
• 座標軸の設定: Bは下降するので、鉛直下向きを正とします。

具体的な解説と立式
物体B（質量 \(M\)）にはたらく力は以下の通りです。

• 重力: \(Mg\)（鉛直下向き）
• 張力: \(T\)（鉛直上向き）

鉛直下向きを正として、運動方程式 \(ma = F\) を立てます。
$$
\begin{aligned}
Ma &= Mg – T \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

立式のみが求められているため、計算過程はありません。

重りBは重力で下に引っ張られていますが、糸（張力）によって上に引っ張り上げられています。
重力の方が強いので下に加速します。「質量×加速度 ＝ 下向きの力 − 上向きの力」という式になります。

特になし。

問(4)

思考の道筋とポイント
次に、水平面上を運動する物体A（質量 \(m\)）の運動方程式を立てます。
運動中は「動摩擦力」がはたらくことに注意します。

この設問における重要なポイント

• 動摩擦力: 大きさは \(F’ = \mu’ N\) で、運動方向（右向き）と逆向き（左向き）にはたらきます。
• 座標軸の設定: Aは右に動くので、水平右向きを正とします。

具体的な解説と立式
物体A（質量 \(m\)）にはたらく水平方向の力は以下の通りです。

• 張力: \(T\)（右向き）
• 動摩擦力: \(F’ = \mu’ N = \mu’ mg\)（左向き）

水平右向きを正として、運動方程式 \(ma = F\) を立てます。
$$
\begin{aligned}
ma &= T – \mu’ mg \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$

立式のみが求められているため、計算過程はありません。

物体Aは糸に引っ張られて右に加速しますが、床との摩擦が邪魔をします。
「質量×加速度 ＝ 引っ張る力 − 邪魔する摩擦力」という式になります。

特になし。

問(5)

思考の道筋とポイント
問(3)と問(4)で立てた2つの運動方程式を連立させて、未知数である張力 \(T\) を消去し、加速度 \(a\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 連立方程式の解法: 2つの式を足し合わせることで、内力である張力 \(T\) が消え、加速度 \(a\) が求まります。

具体的な解説と立式
式⑦と式⑧を再掲します。
$$
\begin{aligned}
Ma &= Mg – T \quad \cdots ⑦ \\[2.0ex] ma &= T – \mu’ mg \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$

式⑦と式⑧の辺々を足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
Ma + ma &= (Mg – T) + (T – \mu’ mg) \\[2.0ex] (M + m)a &= Mg – \mu’ mg \\[2.0ex] (M + m)a &= (M – \mu’ m)g
\end{aligned}
$$
両辺を \((M + m)\) で割って \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{M – \mu’ m}{M + m} g
\end{aligned}
$$

AとBを「ひとまとまりのグループ」として見ると、全体を動かそうとする力はBの重力 \(Mg\)、邪魔する力はAの摩擦力 \(\mu’ mg\) です。
全体の質量は \(M+m\) なので、「全体の質量×加速度 ＝ 動かす力 − 邪魔する力」という関係から加速度が求まります。

\(M > \mu’ m\) であれば \(a > 0\) となり加速します。\(M\) が大きいほど加速しやすく、摩擦係数 \(\mu’\) が大きいほど加速しにくいという結果は妥当です。

問(6)

思考の道筋とポイント
物体Aは一定の加速度 \(a\) で等加速度直線運動をします。
初速度 \(0\) で動き始めてから時間 \(t\) が経過したときの移動距離（変位）を求めます。

この設問における重要なポイント

• 等加速度運動の公式: 変位 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を用います。
• 初速度: 「動き始めてから」なので \(v_0 = 0\) です。

具体的な解説と立式
求める距離を \(L\) とします。
初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a\)（問(5)の結果）を用いて、等加速度運動の公式より
$$
\begin{aligned}
L &= 0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$

式⑨に問(5)で求めた \(a\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
L &= \frac{1}{2} \cdot \frac{M – \mu’ m}{M + m} g \cdot t^2 \\[2.0ex] &= \frac{M – \mu’ m}{2(M + m)} g t^2
\end{aligned}
$$

一定のペースでスピードアップ（加速）していく物体が、ある時間でどれくらい進むかという計算です。
公式に、さっき求めた加速度と時間を当てはめるだけで答えが出ます。

時間は2乗で効いてくるため、時間が経つほど移動距離は急激に伸びます。妥当な結果です。

問(7)

思考の道筋とポイント
力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) を求めます。
通常、重力のみが仕事をする場合は力学的エネルギーは保存されますが、今回は「動摩擦力」という非保存力が仕事をしています。
「力学的エネルギーの変化量 ＝ 非保存力がした仕事」という関係（機能原理）を使えば、直接エネルギーを計算しなくても、摩擦力の仕事から答えを導けます。

この設問における重要なポイント

• 機能原理: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)
• 非保存力: この系では動摩擦力のみです（張力は内力なので系全体では仕事の総和が0、垂直抗力は仕事をしません）。
• 仕事の計算: 動摩擦力は一定で、移動方向と逆向きにはたらくため、仕事は負になります。

具体的な解説と立式
系全体（物体Aと物体B）の力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) は、系にはたらく非保存力（動摩擦力）がした仕事 \(W\) に等しくなります。
動摩擦力の大きさは \(F’ = \mu’ mg\) です。
移動距離は問(6)で求めた \(L\) です。
動摩擦力は運動方向（右）と逆向き（左）にはたらくため、仕事は負になります。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= W \\[2.0ex] &= – F’ \cdot L \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

式⑩に各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= – (\mu’ mg) \cdot \left( \frac{M – \mu’ m}{2(M + m)} g t^2 \right) \\[2.0ex] &= – \frac{\mu’ m (M – \mu’ m)}{2(M + m)} g^2 t^2
\end{aligned}
$$

エネルギーは勝手に増えたり減ったりしませんが、摩擦があると熱になって逃げてしまいます。
「減ったエネルギーの量」は「摩擦力が邪魔をして奪ったエネルギー（仕事）の量」と同じです。
だから、摩擦力の強さと、引きずられた距離を掛け算すれば、どれだけエネルギーが減ったかが分かります。

答えは負の値になります。これは摩擦によってエネルギーが失われたことを意味し、物理的に正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 摩擦力の性質と使い分け（静止摩擦力 vs 動摩擦力）
  • 核心: 物体が「静止しているか」「動いているか」によって、はたらく摩擦力の性質が全く異なることを見極める点が最重要です。
  • 理解のポイント:
    • 静止摩擦力: 「耐える力」です。外力に合わせて大きさが変化し、力のつりあいから求めます。公式 \(F_0 = \mu N\) は「限界値（最大静止摩擦力）」を表すだけで、常にこの力がはたらくわけではありません。
    • 動摩擦力: 「引きずる力」です。動いている間は速度に関係なく一定の値 \(F’ = \mu’ N\) となります。
• 機能原理（仕事と力学的エネルギーの関係）
  • 核心: 力学的エネルギーは常に保存されるわけではなく、摩擦力などの非保存力が仕事をした分だけ変化（減少）するというエネルギー収支の法則です。
  • 理解のポイント:
    • 式の形: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)
    • 計算の利点: 速度や位置エネルギーを個別に計算して引き算するよりも、摩擦力の仕事（\(-F’x\)）を計算する方が圧倒的に速く、ミスも少なくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 連結物体の運動: 複数の物体が糸でつながれている場合、個別に運動方程式を立てるのが基本ですが、検算としては「系全体を一つの物体」とみなす視点が有効です。
  • 斜面上の摩擦: 水平面ではなく斜面になった場合、垂直抗力が \(N = mg \cos\theta\) に変化するだけで、摩擦力の扱いやエネルギーの考え方は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 状態の判別: まず「静止している」のか「動いている」のかを文脈から読み取り、使うべき摩擦力の式（\(F\) なのか \(\mu’ N\) なのか）を決定します。
  2. エネルギー変化のショートカット: 「エネルギーの変化量を求めよ」と問われたら、まともに \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}}\) を計算する前に、「非保存力の仕事」だけで求められないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力の公式適用ミス:
  • 誤解: 静止している物体には、常に最大静止摩擦力 \(\mu N\) がはたらいていると思い込んでしまう。
  • 対策: 「動き出す直前」や「限界」という言葉がない限り、静止摩擦力は未知数 \(F\) と置き、必ず力のつりあいの式から逆算して求めます。
• エネルギー変化の符号ミス:
  • 誤解: 「変化量」を問われているのに、大きさ（絶対値）だけを答えたり、減少しているのにプラスの値で答えてしまう。
  • 対策: 「変化量 ＝ 後 － 前」の定義を徹底します。また、摩擦熱が発生する現象ではエネルギーは必ず減少するため、答えは負になるはずだと予測して検算します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(7)での機能原理（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）:
  • 選定理由: 別解1のように速度と位置エネルギーを計算して差を取る方法は、計算量が多く、二乗の展開などでミスを誘発しやすいため。摩擦力の仕事なら掛け算一つで済むため、こちらを採用しました。
  • 適用根拠: 系にはたらく非保存力が動摩擦力のみであり、その大きさも移動距離も既知であるため、最も効率的に適用できます。
• 問(5)での運動方程式の連立:
  • 選定理由: 未知数である張力 \(T\) を消去し、加速度 \(a\) を導出するための最も標準的かつ論理的な手順であるため。
  • 適用根拠: 物体Aと物体Bが糸でつながれており、加速度の大きさが等しいという拘束条件があるため。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 極限的なケースでの検算:
  • 意識: 導き出した文字式が、物理的にあり得ない挙動をしていないか確認する。
  • 実践: 問(5)の加速度 \(a = \frac{M – \mu’ m}{M + m} g\) において、もし \(\mu’ = 0\)（なめらか）なら \(a = \frac{M}{M+m}g\) となり、単純なアトウッドの器械（片側水平版）の結果と一致することを確認します。また、\(M\) が非常に大きいときは \(a \approx g\)（自由落下に近い）になることも確認できます。
• 次元確認（ディメンションチェック）:
  • 意識: 複雑な計算結果の単位が正しいか確認する。
  • 実践: 問(7)の答えには \(m \cdot g^2 \cdot t^2\) という項が含まれます。\(g^2 t^2\) は \((\text{L}/\text{T}^2)^2 \cdot \text{T}^2 = \text{L}^2/\text{T}^2 = (\text{速度})^2\) の次元を持ちます。したがって全体は \(m v^2\)（エネルギー）の次元になっており、正しい可能性が高いと判断できます。

問題30 斜面台上の小物体の運動 (23 広島大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の物体の運動と摩擦力、および慣性力」です。
斜面上の物体にはたらく力の分解、静止摩擦力と動摩擦力の使い分け、そして台自体が加速する場合の慣性力の扱いについて学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図1のように台が固定されている場合を考えます。
小物体は重力によって斜面を滑り落ちようとしますが、静止摩擦力がそれを妨げています。
「滑り始める」条件を求めるためには、まず静止している状態での力のつりあいを考え、静止摩擦力 \(f\) を求めます。
その後、\(f\) が最大静止摩擦力 \(f_0 = \mu N\) を超える条件（あるいは滑り出さない限界の条件）を考えます。

この設問における重要なポイント

• 力の分解: 重力 \(mg\) を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解します。
• 静止摩擦力の向き: 物体が滑り落ちようとする方向（斜面下向き）と逆向き（斜面上向き）にはたらきます。

具体的な解説と立式
小物体にはたらく力は以下の3つです（模範解答の図a参照）。

• 重力: \(mg\) （鉛直下向き）
• 垂直抗力: \(N\) （斜面に垂直上向き）
• 静止摩擦力: \(f\) （斜面に平行上向き）

斜面に平行な方向（下向き正）と、斜面に垂直な方向（上向き正）の力のつりあいの式を立てます。
重力の斜面平行成分は \(mg \sin\theta\)、垂直成分は \(mg \cos\theta\) です。

斜面に垂直な方向の力のつりあい:
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] N &= mg \cos\theta \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
斜面に平行な方向の力のつりあい:
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] f &= mg \sin\theta \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
小物体が滑り出さないための条件は、静止摩擦力 \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu N\) 以下であることです。
$$
\begin{aligned}
f &\le \mu N \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
逆に、滑り始める条件は \(f > \mu N\) となることですが、境界条件（滑り出す直前）として等号を含めた関係式を導くのが一般的です。問題文は「滑り始めるために満たす関係式」なので、不等式で答えます。

式①、②を式③の条件（滑り出す条件 \(f > \mu N\)）に代入します。
$$
\begin{aligned}
mg \sin\theta &> \mu (mg \cos\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(mg \cos\theta\) （\(\theta\) は鋭角なので正）で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &> \mu \\[2.0ex] \tan\theta &> \mu
\end{aligned}
$$
したがって、滑り始めるための条件は \(\mu < \tan\theta\) です。

坂道に置いた荷物が滑り落ちないのは、摩擦のおかげです。
坂を急にしていく（\(\theta\) を大きくする）と、滑り落ちようとする力（重力の成分）が強くなり、一方で地面に押し付ける力（垂直抗力）が弱くなるため摩擦の限界も下がります。
ある角度を超えると、支えきれなくなって滑り出します。その境界が \(\mu = \tan\theta\) です。

\(\mu\) が小さい（滑りやすい）ほど、あるいは \(\theta\) が大きい（坂が急）ほど滑りやすくなるため、\(\mu < \tan\theta\) という結果は直感と一致します。また、\(\theta \to 0\)（水平）では \(\mu < 0\) となり、摩擦係数が正である限り滑り出さないこととも整合します。

問(2)

思考の道筋とポイント
小物体が滑り始めた後の運動を考えます。
滑っている間は「動摩擦力」がはたらきます。
斜面に平行な方向には加速し、垂直な方向にはつりあっていることに注目して式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 動摩擦力: 大きさは \(f’ = \mu’ N\) で、運動方向（斜面下向き）と逆向き（斜面上向き）にはたらきます。
• 運動方程式: 斜面下向きを正として加速度 \(\alpha\) で運動方程式を立てます。

具体的な解説と立式
小物体にはたらく力は以下の通りです（模範解答の図b参照）。

• 重力: \(mg\)
• 垂直抗力: \(N\)
• 動摩擦力: \(\mu’ N\) （斜面上向き）

斜面に垂直な方向の力のつりあい:
問(1)と同様に、垂直方向には動かないので力がつりあっています。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] N &= mg \cos\theta \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
斜面に平行な方向の運動方程式:
斜面下向きを正とし、加速度を \(\alpha\) とします。
$$
\begin{aligned}
m\alpha &= (\text{下向きの力}) – (\text{上向きの力}) \\[2.0ex] m\alpha &= mg \sin\theta – \mu’ N \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

問題文の指示通り、運動方程式とつりあいの式を示します。
式⑤が運動方程式、式④がつりあいの式です。

滑り落ちている最中は、重力が下へ引っ張る力と、摩擦が上へ邪魔する力の「差し引き」で加速します。
邪魔する力（動摩擦力）は、押し付ける力（垂直抗力）に比例します。

運動方程式の右辺 \(mg \sin\theta – \mu’ N\) は、滑り落ちる力から摩擦力を引いたものであり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
高さ \(h\) だけ滑り降りた直後の速さ \(v\) を求めます。
問(2)で立てた式から加速度 \(\alpha\) を求め、等加速度直線運動の公式を利用します。
斜面上の移動距離 \(x\) と高さ \(h\) の幾何学的な関係に注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 移動距離: 高さ \(h\) 滑り降りたとき、斜面に沿った移動距離 \(x\) は \(x = \frac{h}{\sin\theta}\) となります（模範解答の図c参照）。
• 等加速度運動の公式: \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。

具体的な解説と立式
まず、問(2)の式④、⑤より加速度 \(\alpha\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m\alpha &= mg \sin\theta – \mu’ (mg \cos\theta) \\[2.0ex] \alpha &= g(\sin\theta – \mu’ \cos\theta) \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
初速度 \(0\)、加速度 \(\alpha\)、移動距離 \(x = \frac{h}{\sin\theta}\) として、公式 \(v^2 – v_0^2 = 2\alpha x\) を立てます。
$$
\begin{aligned}
v^2 – 0^2 &= 2 \alpha \cdot \frac{h}{\sin\theta} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

式⑦に式⑥を代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2 g(\sin\theta – \mu’ \cos\theta) \cdot \frac{h}{\sin\theta} \\[2.0ex] &= 2gh \left( \frac{\sin\theta}{\sin\theta} – \frac{\mu’ \cos\theta}{\sin\theta} \right) \\[2.0ex] &= 2gh \left( 1 – \frac{\mu’}{\tan\theta} \right)
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{2gh \left( 1 – \frac{\mu’}{\tan\theta} \right)}
\end{aligned}
$$
※ \(\mu’ < \mu < \tan\theta\) （問(1)の結果より）なので、ルートの中身は正になります。

一定の力で引っ張られ続けるので、物体は等加速度運動をします。
「どれくらいの強さで加速するか」と「どれくらいの距離を進んだか」が分かれば、最終的なスピードが計算できます。

摩擦がない場合（\(\mu’=0\)）、\(v = \sqrt{2gh}\) となり、力学的エネルギー保存則の結果と一致します。摩擦がある分だけ遅くなっていることが式から読み取れます。また、\(\mu’ \to \tan\theta\) に近づくと \(v \to 0\) となり、摩擦が強すぎて加速しない状況と整合します。

問(4)

思考の道筋とポイント
図2のように台が左向きに加速度 \(\beta\) で動いている場合を考えます。
台と一緒に動く観測者（非慣性系）から見ると、小物体には「慣性力」がはたらきます。
慣性力の向きは、観測者の加速度（左向き）と逆向き（右向き）です。
この慣性力を考慮して、力のつりあいを考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力: 大きさは \(m\beta\)、向きは水平右向きです。
• 力の分解: 重力だけでなく、慣性力も「斜面平行成分」と「斜面垂直成分」に分解する必要があります。
  • 慣性力 \(m\beta\)（水平右向き）の分解（模範解答の図d参照）:
    • 斜面下向き成分: \(m\beta \cos\theta\)
    • 斜面垂直上向き成分: \(m\beta \sin\theta\)

具体的な解説と立式
台上の観測者から見た小物体にはたらく力は以下の通りです。

• 重力: \(mg\) （鉛直下向き）
• 慣性力: \(m\beta\) （水平右向き）
• 垂直抗力: \(N\)
• 静止摩擦力: \(f\) （斜面上向き）

斜面に垂直な方向の力のつりあい:
上向きを正とします。慣性力の垂直成分 \(m\beta \sin\theta\) が上向きにはたらくことに注意します。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex] N + m\beta \sin\theta &= mg \cos\theta \\[2.0ex] N &= mg \cos\theta – m\beta \sin\theta \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$
斜面に平行な方向の力のつりあい:
下向きを正とします。慣性力の平行成分 \(m\beta \cos\theta\) が下向きにはたらき、滑り落ちるのを助長します。
$$
\begin{aligned}
(\text{下向きの力}) &= (\text{上向きの力}) \\[2.0ex] mg \sin\theta + m\beta \cos\theta &= f \\[2.0ex] f &= mg \sin\theta + m\beta \cos\theta \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$
滑り始める条件は、静止摩擦力 \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu_0 N\) 以上になることです（境界条件）。
$$
\begin{aligned}
f &\ge \mu_0 N \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$

式⑩、⑪を式⑫に代入します。
$$
\begin{aligned}
mg \sin\theta + m\beta \cos\theta &\ge \mu_0 (mg \cos\theta – m\beta \sin\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割り、\(\beta\) を含む項を左辺に集めます。
$$
\begin{aligned}
g \sin\theta + \beta \cos\theta &\ge \mu_0 g \cos\theta – \mu_0 \beta \sin\theta \\[2.0ex] \beta \cos\theta + \mu_0 \beta \sin\theta &\ge \mu_0 g \cos\theta – g \sin\theta \\[2.0ex] \beta (\cos\theta + \mu_0 \sin\theta) &\ge g (\mu_0 \cos\theta – \sin\theta)
\end{aligned}
$$
\(\theta\) は鋭角、\(\mu_0 > 0\) なので \(\cos\theta + \mu_0 \sin\theta > 0\) です。不等号の向きは変わりません。
$$
\begin{aligned}
\beta &\ge g \frac{\mu_0 \cos\theta – \sin\theta}{\cos\theta + \mu_0 \sin\theta}
\end{aligned}
$$
分母・分子を \(\cos\theta\) で割って整理します。
$$
\begin{aligned}
\beta &\ge g \frac{\mu_0 – \tan\theta}{1 + \mu_0 \tan\theta}
\end{aligned}
$$
求めるのは下限値 \(\beta_{\min}\) なので、
$$
\begin{aligned}
\beta_{\min} &= g \frac{\mu_0 – \tan\theta}{1 + \mu_0 \tan\theta}
\end{aligned}
$$

台を左に急加速させると、上の荷物は慣性で右に取り残されようとします。
斜面が右下がりなので、この「右に行こうとする力（慣性力）」は、荷物を斜面の下へ押しやる働きをします。
さらに、慣性力の一部は荷物を斜面から浮き上がらせる方向にもはたらくため、地面への押し付け（垂直抗力）が弱くなり、摩擦も効きにくくなります。
「滑り落ちようとする力が強くなる」かつ「摩擦の限界が下がる」というダブルパンチで、荷物は滑り出しやすくなります。

\(\mu_0\) が大きいほど滑りにくくなるため、必要な \(\beta\) は大きくなります。式も \(\mu_0\) が増えれば右辺が増加する形になっており妥当です。また、\(\mu_0 < \tan\theta\) の場合は右辺が負になりますが、これは \(\beta=0\) でも滑り出す状態（問1の条件）に対応しており、物理的に矛盾しません。

問(5)

思考の道筋とポイント
\(\beta\) を大きくしていくと、慣性力の斜面垂直成分 \(m\beta \sin\theta\) （上向き）が大きくなり、小物体が斜面から浮き上がろうとします。
「台から離れない」ための条件は、垂直抗力 \(N\) が \(0\) 以上であることです。

この設問における重要なポイント

• 離れる条件: 垂直抗力 \(N\) が \(0\) になる瞬間が、離れる限界です。
• 垂直抗力の式: 問(4)で求めた \(N = mg \cos\theta – m\beta \sin\theta\) を用います。

具体的な解説と立式
小物体が台から離れない条件は、垂直抗力が正（または0）であることです。
$$
\begin{aligned}
N &\ge 0 \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$

式⑩の \(N\) を式⑮に代入します。
$$
\begin{aligned}
mg \cos\theta – m\beta \sin\theta &\ge 0
\end{aligned}
$$
\(\beta\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg \cos\theta &\ge m\beta \sin\theta \\[2.0ex] \beta &\le g \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex] \beta &\le \frac{g}{\tan\theta}
\end{aligned}
$$
求めるのは上限値 \(\beta_{\max}\) なので、
$$
\begin{aligned}
\beta_{\max} &= \frac{g}{\tan\theta}
\end{aligned}
$$

台を猛烈な勢いで左に加速させると、慣性で小物体は右に吹っ飛びそうになります。
斜面があるので、小物体は斜面から浮き上がる方向（右上）に力を受けます。
この力が重力の「押さえつける力」に勝ってしまうと、小物体はフワッと浮いてしまいます。

\(\theta\) が小さい（斜面が緩やか）ほど \(\tan\theta\) は小さくなり、\(\beta_{\max}\) は大きくなります。緩やかな斜面の方が浮き上がりにくいというのは直感的に正しいです。また、\(\theta \to 0\) で \(\beta_{\max} \to \infty\) となり、水平な床ならいくら加速しても浮かないことと整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力と観測者の立場（慣性系 vs 非慣性系）
  • 核心: 加速している台の上から物体を見る場合、観測者自身が加速度運動をしているため、見かけの力である「慣性力」を導入する必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 向き: 観測者の加速度 \(\vec{\alpha}\) と逆向き（\(-\vec{\alpha}\)）です。
    • 大きさ: 物体の質量 \(m\) と観測者の加速度の大きさ \(\alpha\) の積 \(m\alpha\) です。
    • 利点: 慣性力を導入することで、加速している系の中でも、通常の「力のつりあい」や「運動方程式」の形をそのまま使って問題を解くことができます。
• 摩擦力の性質と使い分け（静止摩擦力 vs 動摩擦力）
  • 核心: 物体が「静止しているか」「動いているか」によって、はたらく摩擦力の性質が全く異なることを見極める点が最重要です。
  • 理解のポイント:
    • 静止摩擦力: 「耐える力」です。外力に合わせて大きさが変化し、力のつりあいから求めます。公式 \(f_0 = \mu N\) は「限界値（最大静止摩擦力）」を表すだけで、常にこの力がはたらくわけではありません。
    • 動摩擦力: 「引きずる力」です。動いている間は速度に関係なく一定の値 \(f’ = \mu’ N\) となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電車内の振り子: 電車が加速する場合、中の振り子は慣性力を受けて傾きます。重力と慣性力の合力（見かけの重力）を考えることで、静止角や振動周期を簡単に求められます。
  • エレベーター内の運動: エレベーターが上昇・下降加速する場合、慣性力によって見かけの重力加速度 \(g’ = g \pm a\) が変化したとみなせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者の設定: 「床から見る（慣性系）」か「動く台から見る（非慣性系）」かを最初に決めます。通常、物体と一緒に動く観測者から見た方が、相対的な静止状態を扱いやすいため計算が楽になります。
  2. 力の分解方向: 斜面上の問題では、必ず「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に軸をとって力を分解します。慣性力も例外なく分解します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力の公式適用ミス:
  • 誤解: 静止している物体にはたらく摩擦力は、常に最大静止摩擦力 \(\mu N\) だと思い込んでしまう。
  • 対策: 「動き出す直前」や「限界」という言葉がない限り、静止摩擦力は未知数 \(f\) と置き、必ず力のつりあいの式から逆算して求めます。
• 慣性力の向きのミス:
  • 誤解: 台が左に加速しているのに、慣性力も左向きに書いてしまう。
  • 対策: 「急発進する電車の中で体がどっちに倒れるか？」をイメージします。電車が前（左）に進めば、体は後ろ（右）に倒れます。これが慣性力の向きです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(3)でのエネルギー原理（別解1）:
  • 選定理由: 加速度 \(\alpha\) を経由して速度を求めるメイン解法に比べ、エネルギー収支（仕事）から直接速度を求められるため、計算ステップが減り、ミスを減らせるため。
  • 適用根拠: 重力と動摩擦力という具体的な力が特定できており、移動距離も幾何学的に明らかなため、機能原理 \(\Delta K = W\) が直ちに適用可能です。
• 問(4)での慣性力の導入:
  • 選定理由: 床から見た場合（別解）、小物体は台と一緒に水平左向きに加速度 \(\beta\) で運動しているので、その加速度を斜面に平行・垂直な方向に分解して運動方程式を立てる手間がかかるため。台と共に動く観測者から見れば「静止」として扱えるため、力のつりあいでシンプルに解けます。
  • 適用根拠: 観測者が加速度運動している場合、慣性力を導入することでニュートンの運動法則を形式的に成立させることができるため。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 極限的なケースでの検算:
  • 意識: 導き出した文字式が、物理的にあり得ない挙動をしていないか確認する。
  • 実践: 問(1)の結果 \(\mu < \tan\theta\) において、もし \(\theta=0\)（水平）なら \(\mu < 0\) となり、摩擦係数が正である限り滑り出さないという事実と整合します。問(5)の結果 \(\beta_{\max} = g/\tan\theta\) において、\(\theta \to 0\) なら \(\beta_{\max} \to \infty\) となり、水平ならいくら加速しても浮かないことと一致します。
• 次元確認（ディメンションチェック）:
  • 意識: 複雑な計算結果の単位が正しいか確認する。
  • 実践: 問(3)の答え \(\sqrt{2gh(1-\dots)}\) は、\(\sqrt{L \cdot (L/T^2) \cdot L} = L/T\) で速度の次元を持ちます。問(4)(5)の答えは \(g \times (\text{無次元量})\) なので、加速度の次元を持ち、正しい可能性が高いと判断できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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14年指導歴

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