「重要問題集」徹底解説（91〜95問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題91 (長崎大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、2枚の凸レンズを組み合わせた「組合せレンズ」の働きを解析する問題です。1枚目のレンズが作った像を、2枚目のレンズがさらに拡大して観察するという、顕微鏡や望遠鏡の基本的な原理を扱っています。
この問題の核心は、レンズの公式を段階的に適用する「リレー結像」の考え方を理解し、実像と虚像の扱いに注意しながら、像の位置や倍率を正確に計算することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「組合せレンズ」です。2枚の凸レンズを組み合わせた光学系（顕微鏡や望遠鏡の原型）について、物体がどのように結像するかをレンズの公式を用いて解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. レンズの公式（写像公式）: 物体とレンズの距離(\(a\))、レンズと像の距離(\(b\))、焦点距離(\(f\))の関係を結びつける公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) です。この公式を正しく適用することが全ての基本です。
2. 倍率の公式: 像の大きさが物体の大きさの何倍になるかを示す公式 \(m = |b/a|\) です。
3. リレー結像の考え方: 組合せレンズの問題では、「1枚目のレンズが作る像」を「2枚目のレンズにとっての新たな物体」と見なして、段階的に結像を考えます。これをリレー結像と呼びます。
4. 実像と虚像:
   • 実像: 光が実際に集まってできる像。スクリーンに映すことができます。レンズの公式では \(b>0\) となります。
   • 虚像: 光がそこから出てくるように見える見かけの像。レンズを覗き込むことで見えます。レンズの公式では \(b<0\) となります。凸レンズで虚像ができるのは、物体を焦点距離の内側に置いたときです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、1枚目のレンズL₁について、レンズの公式と倍率の公式を適用し、それによってできる中間像（実像P₁Q₁）の位置と倍率を求めます（問1, 2）。
2. 次に、この中間像P₁Q₁を、2枚目のレンズL₂の物体と見なします。L₂によって虚像ができる条件を考えます（問3）。
3. L₂について再びレンズの公式を適用し、最終的な虚像P₂Q₂の位置と、レンズ間の距離の関係を導きます（問4）。
4. 最後に、全体の倍率を、各レンズの倍率の積として計算します（問5）。

問(1)

思考の道筋とポイント
1枚目のレンズL₁による結像を考えます。物体PQとレンズL₁の距離、およびL₁の焦点距離が与えられているので、レンズの公式を用いて像P₁Q₁の位置を求めます。

この設問における重要なポイント

• レンズの公式: \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\)。
• 物体距離 \(a=x\)、像距離 \(b=y\)、焦点距離 \(f=f_1\) を正しく代入する。

具体的な解説と立式
レンズL₁について、レンズの公式を適用します。

• 物体距離: \(a = x\)
• 像距離: \(b = y\)
• 焦点距離: \(f = f_1\)

レンズの公式にこれらを代入すると、
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f_1} $$

上の式を \(y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{y} &= \frac{1}{f_1} – \frac{1}{x} \\[2.0ex]\frac{1}{y} &= \frac{x – f_1}{xf_1} \\[2.0ex]y &= \frac{xf_1}{x – f_1}
\end{aligned}
$$
問題の条件より \(x > f_1\) なので、分母は正となり \(y>0\) です。これは、できる像がレンズL₁の後方にできる実像であることを示しています。

レンズの基本的なルールである「レンズの公式」に、問題で与えられた物体までの距離\(x\)と焦点距離\(f_1\)を当てはめて、像ができる位置\(y\)を計算します。

L₁によってできる実像P₁Q₁の、L₁からの距離は \(y = \displaystyle\frac{xf_1}{x-f_1}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
レンズL₁による倍率\(m_1\)を求めます。倍率の公式 \(m = |b/a|\) を用います。

この設問における重要なポイント

• 倍率の公式: \(m = |b/a|\)。
• 物体距離 \(a=x\)、像距離 \(b=y\) を代入し、問(1)の結果を利用する。

具体的な解説と立式
レンズL₁による倍率 \(m_1\) は、
$$ m_1 = \left|\frac{y}{x}\right| $$
ここで、\(x>0, y>0\) なので、絶対値はそのまま外せます。
$$ m_1 = \frac{y}{x} $$

上の式に、問(1)で求めた \(y = \displaystyle\frac{xf_1}{x-f_1}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
m_1 &= \frac{1}{x} \cdot y \\[2.0ex]&= \frac{1}{x} \cdot \frac{xf_1}{x-f_1} \\[2.0ex]&= \frac{f_1}{x-f_1}
\end{aligned}
$$

像の大きさが物体の何倍になるか（倍率）は、「像までの距離」を「物体までの距離」で割ることで計算できます。問(1)で計算した像の距離\(y\)を使って、倍率を求めます。

L₁による倍率は \(m_1 = \displaystyle\frac{f_1}{x-f_1}\) です。\(x\)が\(f_1\)に近いほど倍率が大きくなることがわかり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
レンズL₂によって、実像P₁Q₁の「虚像」ができるための条件を考えます。凸レンズで虚像ができるのは、物体を焦点の内側に置いたときです。

この設問における重要なポイント

• L₁が作った実像P₁Q₁が、L₂にとっての「物体」となる。
• L₂から物体(P₁Q₁)までの距離は \(d-y\) である。
• L₂で虚像ができる条件は、「物体を焦点の内側に置く」こと。すなわち、物体距離が焦点距離より小さいこと。
• 物体(P₁Q₁)は、L₂の前方にある必要がある。

具体的な解説と立式
レンズL₂にとって、実像P₁Q₁が物体となります。L₂からこの物体(P₁Q₁)までの距離は \(d-y\) です。
L₂（凸レンズ）によって虚像ができるための条件は、物体(P₁Q₁)をL₂の焦点距離 \(f_2\) の内側に置くことです。
$$ d-y < f_2 \quad \cdots ① $$ また、P₁Q₁はL₂にとっての物体として機能するため、L₂の前方になければなりません。つまり、L₁とL₂の間に結像する必要があります。 $$ d > y \quad \cdots ② $$
①と②の条件を合わせると、
$$ y < d < y + f_2 $$

この不等式に、問(1)で求めた \(y = \displaystyle\frac{xf_1}{x-f_1}\) を代入します。
$$ \frac{xf_1}{x-f_1} < d < \frac{xf_1}{x-f_1} + f_2 $$

2枚目のレンズL₂で虚像（レンズを覗くと見える拡大された像）を作るには、1枚目のレンズL₁が作った像（中間像）を、L₂の焦点より手前に置く必要があります。この条件を、レンズ間の距離\(d\)に関する不等式で表します。

求める条件は \(\displaystyle\frac{xf_1}{x-f_1} < d < \frac{xf_1}{x-f_1} + f_2\) です。これは、レンズL₂を置く位置が、中間像P₁Q₁の位置と、そこからさらに焦点距離\(f_2\)だけ離れた位置との間に制限されることを意味します。

問(4)

思考の道筋とポイント
レンズL₂についてレンズの公式を適用し、レンズ間の距離\(d\)を他の変数で表します。

この設問における重要なポイント

• L₂にとっての物体はP₁Q₁、像はP₂Q₂である。
• 物体距離: \(a_2 = d-y\)
• 像距離: 虚像なので、レンズの前方にできる。したがって \(b_2 = -z\) と符号を負にする。
• 焦点距離: \(f_2\)

具体的な解説と立式
レンズL₂について、レンズの公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を適用します。

• 物体距離: \(a_2 = d-y\)
• 像距離: \(b_2 = -z\) （虚像はレンズの前方にできるため、負の値とする）
• 焦点距離: \(f_2\)

これらを代入すると、
$$ \frac{1}{d-y} + \frac{1}{-z} = \frac{1}{f_2} $$

上の式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{d-y} &= \frac{1}{f_2} + \frac{1}{z} \\[2.0ex]\frac{1}{d-y} &= \frac{z+f_2}{f_2 z} \\[2.0ex]d-y &= \frac{f_2 z}{f_2 + z} \\[2.0ex]d &= y + \frac{f_2 z}{f_2 + z}
\end{aligned}
$$

2枚目のレンズL₂についても、レンズの公式が成り立ちます。このとき、L₂から見た「物体の位置（\(d-y\)）」と「像の位置（\(z\)）」の関係を式にします。ただし、できる像は虚像なので、像の距離をマイナス（\(-z\)）として公式に入れるのがポイントです。

レンズ間の距離は \(d = y + \displaystyle\frac{f_2 z}{f_2 + z}\) と表されます。

問(5)

思考の道筋とポイント
組合せレンズ全体の倍率 \(m_{12}\) は、各レンズの倍率 \(m_1\) と \(m_2\) の積で与えられます。

この設問における重要なポイント

• 合成倍率: \(m_{12} = m_1 \times m_2\)。
• L₂による倍率 \(m_2\) を計算し、問(2)で求めた \(m_1\) と掛け合わせる。

具体的な解説と立式
まず、レンズL₂による倍率 \(m_2\) を求めます。
$$ m_2 = \left|\frac{b_2}{a_2}\right| = \left|\frac{-z}{d-y}\right| $$
\(z>0, d-y>0\) なので、
$$ m_2 = \frac{z}{d-y} $$
問(4)の計算過程で \(d-y = \displaystyle\frac{f_2 z}{f_2 + z}\) という関係がわかっているので、これを代入します。
$$
\begin{aligned}
m_2 &= \frac{z}{\displaystyle\frac{f_2 z}{f_2 + z}} \\[2.0ex]&= \frac{z(f_2+z)}{f_2 z} \\[2.0ex]&= \frac{f_2+z}{f_2}
\end{aligned}
$$
全体の倍率 \(m_{12}\) は、\(m_1\) と \(m_2\) の積です。
$$ m_{12} = m_1 \cdot m_2 $$

問(2)で求めた \(m_1 = \displaystyle\frac{f_1}{x-f_1}\) と、上で求めた \(m_2\) を掛け合わせます。
$$
\begin{aligned}
m_{12} &= m_1 \cdot m_2 \\[2.0ex]&= \frac{f_1}{x-f_1} \cdot \frac{f_2+z}{f_2} \\[2.0ex]&= \frac{f_1(f_2+z)}{f_2(x-f_1)}
\end{aligned}
$$

全体の倍率は、それぞれのレンズが何倍にするかを計算して、それらを掛け合わせることで求まります。L₁が物体を\(m_1\)倍にし、その像をL₂がさらに\(m_2\)倍にする、というイメージです。

組合せレンズの倍率は \(m_{12} = \displaystyle\frac{f_1(f_2+z)}{f_2(x-f_1)}\) となります。これは顕微鏡の倍率の公式の原型となる形です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンズの公式（写像公式）:
  • 核心: \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) という、レンズの結像における最も基本的な法則です。物体距離(\(a\))、像距離(\(b\))、焦点距離(\(f\))の3つのうち2つが分かれば、残りの1つを計算できます。
  • 理解のポイント: この問題では、レンズL₁とL₂のそれぞれについて、この公式を適用します。特に、虚像を扱う(4)では、像距離\(b\)を負の値（\(b=-z\)）として代入することが重要です。
• リレー結像の考え方:
  • 核心: 複数のレンズを組み合わせた光学系では、「前のレンズが作った像」が「後ろのレンズにとっての新たな物体」として機能します。この「像を物体と見なす」リレー的な考え方が、組合せレンズの問題を解くための鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. L₁が物体PQから実像P₁Q₁を作る。（問1）
    2. この実像P₁Q₁を、L₂の物体と見なす。（問3, 4）
    3. L₂が物体P₁Q₁から虚像P₂Q₂を作る。

    この2段階のプロセスを明確に意識することが、問題を正しく解くための道筋です。

• 倍率の公式と合成倍率:
  • 核心: レンズによる像の倍率は \(m = |b/a|\) で与えられます。そして、組合せレンズ全体の倍率は、各レンズの倍率の積 \(m_{\text{全体}} = m_1 \times m_2 \times \dots\) で計算できます。
  • 理解のポイント: L₁で\(m_1\)倍に拡大された像を、L₂がさらに\(m_2\)倍に拡大する、という直感的なイメージがそのまま数式になっています。(5)では、この合成倍率の考え方を用いて全体の倍率を計算します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 顕微鏡: 対物レンズ（L₁に対応）で物体の倒立実像を作り、それを接眼レンズ（L₂に対応）で拡大して虚像として観察する装置。この問題は、まさに顕微鏡の基本原理そのものです。
  • ケプラー式望遠鏡: 遠方の物体を対物レンズで焦点付近に実像として結び、それを接眼レンズで拡大して虚像として観察する装置。物体が無限遠にある（\(x \rightarrow \infty\)）と考える点が異なりますが、リレー結像の考え方は同じです。
  • 凹レンズとの組み合わせ: 凸レンズと凹レンズを組み合わせたガリレオ式望遠鏡など。凹レンズを扱う場合は、焦点距離\(f\)を負の値としてレンズの公式に代入する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. レンズごとに分解: 複雑な組合せレンズの問題でも、焦らずにレンズ1枚ずつに注目し、それぞれのレンズについて「物体は何か」「像はどこか」を特定します。
  2. 1枚目の像の位置を確定: まず、最初のレンズが作る像の位置(\(y\))と種類（実像か虚像か）を、レンズの公式を使って完全に求めます。これが次のステップの土台となります。
  3. 2枚目の物体距離を正しく設定: 2枚目のレンズにとっての物体距離は、レンズ間の距離(\(d\))と1枚目の像の位置(\(y\))から求めます。この問題では \(d-y\) となりますが、像の位置関係によっては \(d+y\) や \(y-d\) となる場合もあるため、図を描いて正確に把握することが重要です。
  4. 虚像の扱いに注意: 虚像ができる条件（物体が焦点の内側）や、レンズの公式における像距離の符号（\(b<0\)）は、特に間違いやすいポイントなので慎重に扱います。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 虚像の符号ミス:
  • 誤解: (4)でレンズの公式を立てる際、虚像の距離\(z\)を正の値のまま \(b=z\) として代入してしまう。
  • 対策: レンズの公式における距離の符号のルールを徹底しましょう。「光が進む向きを正とし、レンズを原点と考える。実像はレンズの後方（\(b>0\)）、虚像はレンズの前方（\(b<0\)）にできる」と覚えておくのが基本です。
• 2枚目のレンズの物体距離の計算ミス:
  • 誤解: L₂の物体距離を、L₁が作った像の距離\(y\)そのものだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、レンズ間の距離\(d\)と像の位置\(y\)の関係を視覚的に確認しましょう。L₂から見た物体P₁Q₁までの距離が \(d-y\) であることを図から読み取ることが重要です。
• 倍率の計算ミス:
  • 誤解: (5)でL₂の倍率を計算する際に、\(m_2 = |z/y|\) のように、無関係な距離を使ってしまう。
  • 対策: 倍率の公式 \(m=|b/a|\) は、あくまで「そのレンズ単体での」像距離と物体距離の比です。L₂の倍率を計算するなら、L₂にとっての像距離(\(-z\))と物体距離(\(d-y\))を使わなければなりません。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 光線追跡図: レンズの問題を解く上で、光線図を描くことは非常に有効です。特に、①光軸に平行な光は焦点を通る、②レンズの中心を通る光は直進する、という2本の光線を描くことで、像がどこにできるかを視覚的に確認できます。
  • リレー結像の段階図:
    1. まず、L₁と物体PQ、実像P₁Q₁だけを描いた図を作成する。
    2. 次に、L₂と、L₁が作った実像P₁Q₁（これを物体とみなす）、そして最終的な虚像P₂Q₂を描いた図を作成する。

    このように、プロセスを2つの図に分けることで、各段階での物体と像の関係が明確になります。

• 図を描く際に注意すべき点:
  • 距離の明記: 図の中に、\(x, y, d, z\) といった距離を矢印で明確に書き込みましょう。これにより、L₂の物体距離が \(d-y\) であることなどが一目瞭然になります。
  • 実像と虚像の区別: 実像は実線で、虚像は点線で描くなど、作図のルールを決めておくと、像の種類を混同するミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンズの公式:
  • 選定理由: 物体、レンズ、像の位置関係を問うているため。これは、レンズの結像を扱う上での中心的な法則です。
  • 適用根拠: 光の屈折の法則を、球面という幾何学的な形状に適用し、近軸光線（光軸の近くを通る光）という近似を用いることで導出される関係式です。
• 倍率の公式:
  • 選定理由: (2)や(5)で像の「倍率」が問われているため。
  • 適用根拠: 物体と像からそれぞれ光軸に下ろした垂線と、レンズの中心を通る光線が作る2つの相似な三角形の辺の比から、幾何学的に導出されます。
• 合成倍率の公式:
  • 選定理由: (5)で「組合せレンズの倍率」という、光学系全体の倍率が問われているため。
  • 適用根拠: 最終的な像の大きさは、(元の物体の大きさ) \(\times m_1 \times m_2\) となることから、全体の倍率が各倍率の積に等しいことは自明です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) L₁による像の位置:
   • 戦略: L₁にレンズの公式を適用。
   • フロー: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f_1}\) \(\rightarrow\) \(y\)について解く。
2. (2) L₁による倍率:
   • 戦略: L₁に倍率の公式を適用し、(1)の結果を代入。
   • フロー: \(m_1 = |y/x|\) \(\rightarrow\) \(y\)を代入して整理。
3. (3) L₂で虚像ができる条件:
   • 戦略: L₂の物体(P₁Q₁)が、L₂の焦点の内側にある、という条件を不等式で表す。
   • フロー: 物体距離 \(d-y\) < 焦点距離 \(f_2\) かつ \(d-y>0\) \(\rightarrow\) \(y < d < y+f_2\)。
4. (4) レンズ間の距離:
   • 戦略: L₂にレンズの公式を適用。虚像の距離は負の値で代入。
   • フロー: \(\frac{1}{d-y} + \frac{1}{-z} = \frac{1}{f_2}\) \(\rightarrow\) \(d\)について解く。
5. (5) 全体の倍率:
   • 戦略: ①L₂の倍率\(m_2\)を計算する。②合成倍率 \(m_{12} = m_1 \times m_2\) を計算する。
   • フロー: \(m_2 = |-z / (d-y)|\) を(4)の結果を使って変形 \(\rightarrow\) (2)で求めた\(m_1\)と掛け合わせる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算: この問題は、レンズの公式の逆数を扱うため、分数の計算が頻出します。特に、\(\frac{1}{y} = \frac{x-f_1}{xf_1}\) から \(y = \frac{xf_1}{x-f_1}\) のように、逆数を取る計算を間違えないようにしましょう。
• 符号の管理: 虚像を扱う際の負号（マイナス）の付け忘れは、最も起こりやすいミスの一つです。レンズの公式を適用する前に、「この像は実像か？虚像か？」と自問し、符号を確定させる習慣をつけましょう。
• 代入のタイミング: (5)のように複数の結果を組み合わせて計算する場合、どの段階でどの式を代入するかで見通しの良さが変わります。闇雲に代入するのではなく、まずは各パーツ（\(m_1, m_2\)）をできるだけ簡単な形で求めてから、最後に組み合わせるのが得策です。

問題92 (筑波大(前期))

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、「凹面鏡」による結像をテーマにしています。光の反射の法則という基本原理から出発し、幾何学的な考察と近軸光線という近似を用いて、レンズの公式と酷似した「球面鏡の公式」を導出するプロセスを追体験します。さらに、作図による像の性質の考察や、虚像ができる場合の分析まで、球面鏡の性質を多角的に掘り下げていきます。
この問題の核心は、物理法則（反射の法則）と数学的な手法（幾何学、近似）を融合させて、複雑な光学現象をシンプルな数式で表現する物理学の醍醐味を味わう点にあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凹面鏡」による結像です。凹面鏡の反射の法則から出発し、幾何学的な考察と近似を用いて、レンズの公式と非常によく似た「球面鏡の公式」を導出します。さらに、作図による像の性質や、虚像ができる場合の考察まで、球面鏡の性質を多角的に掘り下げていきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 反射の法則: 光が鏡で反射する際、「入射角 = 反射角」が成り立つという基本法則です。球面鏡の場合、球の中心を通る直線がその点の法線となります。
2. 幾何学と近似: 三角形の外角の定理や、角度が非常に小さい場合の近似式（\(\tan\alpha \approx \alpha\)）を駆使して、物理法則を扱いやすい数式に変形していきます。
3. 球面鏡の公式: 導出の結果として得られる \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\) という関係式です。これはレンズの公式と酷似しており、焦点距離 \(f=R/2\) と考えれば全く同じ形になります。
4. 実像と虚像:
   • 実像: 反射した光が実際に1点に集まってできる像。スクリーンに映すことができます。
   • 虚像: 反射した光が、鏡の向こう側のある点から出てくるように見える見かけの像。鏡を覗き込むことで見えます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、光線が凹面鏡で反射する様子を図形的に捉え、三角形の性質から角度の関係式を立てます（問ア）。
2. 次に、近軸光線（光軸の近くを通る光）という近似を用いて、各角度を物体や像の位置、鏡の曲率半径で表し、球面鏡の公式を導出します（問イ～オ）。
3. 導出した公式を用いて、凹面鏡の焦点や、平行光線の振る舞いを考察します（問カ、b、c）。
4. 作図によって像の位置を求め、その性質（実像/虚像、倒立/正立）や倍率を幾何学的に解析します（問d、e、キ～ケ）。
5. 最後に、物体が焦点の内側にある場合にできる虚像について、その位置と大きさを問う作図問題に取り組みます。

問(a), (ア)

思考の道筋とポイント
(a)は反射の法則を問う選択問題です。凹面鏡（球面鏡）の場合、鏡面上の点における法線は、球の中心Cを通る直線（半径）になることを理解しているかがポイントです。
(ア)は、図1の三角形PACと三角形PCBに着目し、三角形の外角の定理を用いて角度の関係式を導きます。

この設問における重要なポイント

• (a) 反射の法則: 入射角 = 反射角。
• (ア) 三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。

具体的な解説と立式
(a):
光が鏡面で反射するとき、入射光線と法線がなす角（入射角）と、反射光線と法線がなす角（反射角）は等しくなります。これが「反射の法則」です。
図1において、点Pでの法線は球の中心Cを通る直線PCです。したがって、入射角は \(\angle APC = \varepsilon\)、反射角は \(\angle CPB = \varepsilon\) となり、両者は等しくなります。
よって、選択肢から「反射」を選びます。

(ア):

• 三角形PACについて: 外角 \(\gamma\) は、隣り合わない2つの内角 \(\alpha\) と \(\varepsilon\) の和に等しい。
  $$ \gamma = \alpha + \varepsilon \quad \cdots ① $$
• 三角形PCBについて: 外角 \(\beta\) は、隣り合わない2つの内角 \(\gamma\) と \(\varepsilon\) の和に等しい。
  $$ \beta = \gamma + \varepsilon \quad \cdots ② $$

式①から \(\varepsilon = \gamma – \alpha\)。これを式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\beta &= \gamma + (\gamma – \alpha) \\[2.0ex]&= 2\gamma – \alpha
\end{aligned}
$$
これを整理すると、
$$ \alpha + \beta = 2\gamma $$

立式そのものが結論となります。

(ア)では、図形問題でよく使う「三角形の1つの外側の角度は、隣にない2つの内側の角度の和に等しい」というルールを使います。図の中の2つの三角形にこのルールを適用し、式を整理すると答えが導かれます。

(a)は反射、(ア)は \(2\gamma\) となります。これらは球面鏡の公式を導出するための準備段階となる関係式です。

問(イ), (ウ), (エ), (オ)

思考の道筋とポイント
近軸光線（光軸の近くを通る光）という近似の下で、角度 \(\alpha, \beta, \gamma\) を、物体距離\(a\)、像距離\(b\)、曲率半径\(R\)で表し、最終的に球面鏡の公式を導きます。

この設問における重要なポイント

• 近軸光線の近似: 角度が非常に小さいとき、\(\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta\) が成り立つ。
• 図形的な近似: 光軸からの高さ\(h\)が、距離\(a, b, R\)に比べて非常に小さい。

具体的な解説と立式
近軸光線を考えると、角度 \(\alpha, \beta, \gamma\) は非常に小さくなります。このとき、\(\tan\alpha \approx \alpha\) のような近似が使えます。
また、点Pから光軸に下ろした垂線の足をHとすると、\(PH=h\)です。近軸光線ではHは鏡の頂点Oとほぼ一致するとみなせます。

(イ) \(\alpha\) の導出:
三角形APHにおいて、
$$ \tan\alpha = \frac{PH}{AH} = \frac{h}{a} $$
近似により、
$$ \alpha \approx \tan\alpha = \frac{h}{a} $$
(ウ) \(\beta\) の導出:
三角形BPHにおいて、
$$ \tan\beta = \frac{PH}{BH} = \frac{h}{b} $$
近似により、
$$ \beta \approx \tan\beta = \frac{h}{b} $$
(エ) \(\gamma\) の導出:
三角形CPHにおいて、
$$ \tan\gamma = \frac{PH}{CH} = \frac{h}{R} $$
近似により、
$$ \gamma \approx \tan\gamma = \frac{h}{R} $$
(オ) 球面鏡の公式の導出:
これらの結果を、問(ア)で求めた関係式 \(\alpha + \beta = 2\gamma\) に代入します。
$$ \frac{h}{a} + \frac{h}{b} = 2 \cdot \frac{h}{R} $$
両辺を \(h\) で割ると、
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R} $$

上記の立式過程がそのまま計算過程となります。

光の進む角度がとても小さい場合に限定すると、角度そのものを「底辺分の高さ」という簡単な分数で表すことができます。この近似を使って、(ア)で求めた角度の足し算の式を、物体の位置\(a\)、像の位置\(b\)、鏡の曲がり具合\(R\)を使った式に書き換えます。

(イ)は \(h/a\)、(ウ)は \(h/b\)、(エ)は \(h/R\)、(オ)は \(\displaystyle\frac{2}{R}\) となります。最終的に得られた式は球面鏡の公式と呼ばれ、レンズの公式と非常によく似た形をしています。

問(カ), (b), (c)

思考の道筋とポイント
導出した球面鏡の公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\) を用いて、凹面鏡の「焦点」の性質を考察します。

この設問における重要なポイント

• (カ) 無限遠からの光(\(a \rightarrow \infty\))が集まる点が焦点。
• (b) 焦点が凹面鏡の基本的な性質であることを理解する。
• (c) 光の逆進性: 光路は逆向きにもたどれる。焦点から出た光は平行光線になる。

具体的な解説と立式
(カ):
物体が無限遠にあるとき、\(a \rightarrow \infty\) となります。このとき \(\displaystyle\frac{1}{a} \rightarrow 0\) なので、球面鏡の公式は
$$ 0 + \frac{1}{b} = \frac{2}{R} $$
よって、像のできる位置 \(b\) は、
$$ b = \frac{R}{2} $$
これは、無限遠からの平行光線が、凹面鏡で反射された後、\(b=R/2\) の位置にある1点に集まることを意味します。この点が凹面鏡の「焦点」です。

(b):
(カ)で求めた点Dが凹面鏡の「焦点」です。

(c):
光の経路は逆向きにたどることができます（光の逆進性）。(カ)では「平行光線 \(\rightarrow\) 焦点に集まる」ことを見ましたが、逆に「焦点から出た光 \(\rightarrow\) 平行光線になる」という性質もあります。
したがって、凹面鏡の焦点Dを通る光線は、凹面鏡で反射された後、光軸に「平行」に進みます。

(カ)は \(R/2\)、(b)は焦点、(c)は平行となります。これらは凹面鏡の最も基本的な性質であり、作図の基本ルールとなります。

問(d), (e), (キ), (ク), (ケ)

思考の道筋とポイント
図2を用いて、物体AA’の像BB’の性質と倍率を、作図と幾何学的な考察から求めます。

この設問における重要なポイント

• (d, e) 作図から、像が実際に光が集まってできる「実像」であり、物体に対して上下逆さまの「倒立」像であることを読み取る。
• (キ, ク, ケ) 相似な三角形を見つけ、その相似比から倍率を計算する。

具体的な解説と立式
(d), (e):
図2では、点A’から出た2本の光線（平行に入射して焦点を通過する光線と、焦点を通って平行に進む光線）が、反射後に実際に点B’で交わっています。このように、光が実際に集まってできる像を「実像」と呼びます。
また、物体AA’は光軸の上側にあるのに対し、像BB’は光軸の下側にできています。このように上下が逆になる像を「倒立」像と呼びます。

(キ), (ク), (ケ):
問題の誘導に従い、△A’ADと△キの相似を考えます。図2で、点A’から出て焦点Dを通り、点Qで反射して平行に進む光線を考えると、△A’ADと△QODは相似になります（近軸近似のもとOとQはほぼ同位置）。
したがって、

• (キ): QOD

相似比の関係から、
$$ AA’ : OQ = AD : OD $$
これが(ク)の答えです。

• (ク): OD

ここで \(OQ=BB’\) なので、
$$ AA’ : BB’ = AD : OD $$
倍率 \(\displaystyle\frac{BB’}{AA’}\) は、
$$ \frac{BB’}{AA’} = \frac{OD}{AD} $$
図より、\(OD=b\)、\(AD=a-b\) ですが、これは正しい倍率の式 \(b/a\) にはなりません。
最も簡単な相似関係は、光軸の中心Oで反射する光線を考えたときの△A’AO ∽ △B’BO です。この相似比から、
$$ \frac{BB’}{AA’} = \frac{BO}{AO} = \frac{b}{a} $$
これが倍率の正しい表現です。

• (ケ): \(b/a\)

(d)実像, (e)倒立, (キ)QOD, (ク)OD, (ケ)b/a。
凹面鏡の倍率が、レンズと同様に \(b/a\) で与えられることが示されました。

問(f), (g), (問)

思考の道筋とポイント
物体を焦点の内側に置いた場合（\(a < R/2\)）の結像を考えます。このとき、反射光は発散し、実像はできません。鏡の向こう側にできる「虚像」を考察します。

この設問における重要なポイント

• (f) 物体を焦点の内側に置くと、反射光は発散する。光が実際に集まらないので「虚像」となる。
• (g) 虚像は物体より大きく見える「拡大」像となる。
• (問) 作図によって虚像の位置と大きさを求める。

具体的な解説と立式
(f), (g):
図3のように、物体AA’を焦点Dの内側（\(a < R/2\)）に置くと、A’から出た光は反射後に光軸から遠ざかるように広がって（発散して）進みます。これらの光は実際には交わらないため、実像はできません。
しかし、反射光を鏡の後方に延長すると、ある1点B’から光が出てくるように見えます。これが「虚像」です。
図から明らかなように、虚像BB’は元の物体AA’よりも大きく、向きも同じ「正立」像です。したがって、像は「拡大」されて見えます。

(問):
\(a=R/4\) のときの虚像の位置と大きさを求め、作図します。
球面鏡の公式に \(a=R/4\) を代入します。
$$ \frac{1}{R/4} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R} $$
$$ \frac{4}{R} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R} $$
$$ \frac{1}{b} = \frac{2}{R} – \frac{4}{R} = -\frac{2}{R} $$
$$ b = -\frac{R}{2} $$
像のできる位置は \(b=-R/2\)。負号は虚像であることを意味し、位置は鏡の後方 \(R/2\) の場所です。
倍率は、
$$ m = \left|\frac{b}{a}\right| = \left|\frac{-R/2}{R/4}\right| = |-2| = 2 $$
したがって、大きさは元の2倍になります。
これを作図すると、鏡の後方 \(R/2\) の位置に、元の物体の2倍の大きさの正立虚像が描かれます。

(f)虚像, (g)拡大。
凹面鏡を化粧鏡として使うのは、このように顔を焦点の内側に置くことで、拡大された正立の虚像を見るためです。物理的な原理と日常的な応用が結びついています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射の法則:
  • 核心: 光が鏡面で反射する際、「入射角と反射角は等しい」という、光学における最も基本的な法則の一つです。
  • 理解のポイント: 球面鏡の場合、鏡面上の任意の点における「法線」は、その点と球の中心Cを結ぶ直線（半径）になる、という幾何学的な事実と組み合わせて使います。これが(a)の答えの根拠です。
• 球面鏡の公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\):
  • 核心: 物体距離\(a\)、像距離\(b\)、鏡の曲率半径\(R\)の関係を結びつける、球面鏡における「レンズの公式」に相当する最重要公式です。
  • 理解のポイント: この問題では、(ア)～(オ)の誘導に従って、反射の法則と幾何学的な近似（近軸光線近似）からこの公式を自ら導出します。焦点距離を \(f=R/2\) と定義すれば、レンズの公式 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\) と全く同じ形になることを理解しておくと、レンズとのアナロジーで考えやすくなります。
• 近軸光線近似:
  • 核心: 光が光軸のすぐ近くを通るという仮定の下で、角度\(\theta\)が非常に小さいときに成り立つ近似式 \(\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta\) を用いることです。
  • 理解のポイント: この近似によって、複雑な三角関数の関係が、(イ)～(エ)のように単純な分数の足し算に変換され、球面鏡の公式のような扱いやすい形を導くことができます。大学入試のレンズや鏡の問題の多くは、この近似が前提となっています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凸面鏡: 自動車のサイドミラーなどに使われる凸面鏡の問題。基本的な考え方は同じですが、曲率半径\(R\)や焦点距離\(f\)を負の値として公式に代入する必要があります。常に正立の縮小虚像ができます。
  • レンズの公式の導出: 薄いレンズが光を屈折させる現象を、レンズ両面での屈折の法則と近軸光線近似を用いて解析し、「レンズメーカーの公式」や「レンズの公式」を導出する問題。この問題の導出プロセスと非常によく似ています。
  • 作図問題: レンズや鏡による像の位置、大きさ、種類（実像/虚像、倒立/正立）を作図によって求める問題。凹面鏡の場合は、①光軸に平行な光は焦点を通る、②焦点を通る光は平行に進む、③中心Cを通る光はそのままはね返る、という3本の光線のうち2本を描けば作図できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 鏡かレンズか: まず、反射（鏡）の問題なのか、屈折（レンズ）の問題なのかを明確にします。使う基本法則が異なります。
  2. 凹面か凸面か: 鏡の場合、凹面鏡か凸面鏡かで焦点の位置や結像の性質が大きく異なります。凹面鏡は光を集め、凸面鏡は光を発散させる、という基本イメージを持ちましょう。
  3. 公式を導くのか、使うのか: この問題のように公式の導出過程を問う問題か、あるいは公式を既知として応用する問題かを見極めます。導出問題であれば、幾何学的な関係と近似が鍵になります。
  4. 実像か虚像か: 物体の位置によって、できる像が実像か虚像かが変わります。特に凹面鏡では、物体が焦点の外側にあれば倒立実像、内側にあれば正立拡大虚像ができます。この境界となる「焦点」の位置（\(f=R/2\)）が極めて重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 法線の設定ミス:
  • 誤解: 球面鏡の法線を、光軸と勘違いしたり、接線と勘違いしたりする。
  • 対策: 球面の一部分である鏡では、法線は必ず「球の中心C」を通る、というルールを徹底しましょう。作図の際には、まず中心Cを明確にすることが重要です。
• 近似の乱用:
  • 誤解: \(\tan\alpha = h/(a-OH)\) のような厳密な式を立てた後、どの項を無視してよいか分からなくなる。
  • 対策: 近軸光線近似では、光軸からの高さ\(h\)が、他のすべての長さ(\(a, b, R\))に比べて圧倒的に小さいと考えます。したがって、\(a-OH\)のような引き算では、微小量である\(OH\)は無視して\(a\)と近似できます。
• 虚像の扱いの混乱:
  • 誤解: (問)で虚像の位置を計算する際、\(b\)が負で出てきたときに、その意味が分からなくなる。
  • 対策: 球面鏡の公式でもレンズと同様に、符号に意味があります。\(b<0\)は「虚像」であることを示し、その絶対値が鏡からの距離を表します。位置は、実像ができる側（鏡の前方）とは反対の「鏡の後方」になります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 角度の関係の図示: (ア)を解くために、図1に三角形PACとPCBをハイライトし、外角と内角の関係を矢印などで示すと分かりやすくなります。
  • 近軸光線のイメージ: 光軸に非常に近い、ほぼ平行な光線が、鏡の曲面によってわずかに角度を変えられ、1点に収束していくイメージを持つことが重要です。図1は分かりやすさのために誇張して描かれていますが、実際の計算はもっと微小な角度で行われていると理解しましょう。
  • 虚像の作図: (問)では、反射光線を実線で描き、それらが発散することを確認します。次に、その反射光線を鏡の後方に点線で延長し、交わった点に虚像を描きます。この「延長線の交点」が虚像であるという作図法は必須テクニックです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 3つの重要点: 凹面鏡の作図や考察では、鏡の頂点O、焦点D(\(f=R/2\))、中心C(\(R\))の3つの点の位置関係がすべての基本です。これらをまず光軸上にプロットしましょう。
  • 光線の区別: 作図の際には、入射光線、反射光線、虚像を作るための延長線などを、実線や点線、色などで区別すると、図が明瞭になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 反射の法則:
  • 選定理由: 鏡による光の反射という、問題の根幹をなす現象を記述する基本法則だからです。
  • 適用根拠: 光の粒子性・波動性の両面から説明される、反射現象における普遍的な法則です。
• 三角形の外角の定理:
  • 選定理由: 反射の法則によって定義された角度の関係を、物体や像の位置で決まる別の角度と結びつけるための、幾何学的なツールとして必要だからです。
  • 適用根拠: ユークリッド幾何学の基本的な定理であり、図形的な考察において常に利用できます。
• 近軸光線近似 (\(\tan\theta \approx \theta\)):
  • 選定理由: 幾何学的に厳密な関係式（三角関数を含む）を、代数的に扱いやすい単純な関係式（分数式）に変換するために必要だからです。この近似がなければ、球面鏡の公式のようなシンプルな形は導けません。
  • 適用根拠: テイラー展開 \(\tan\theta = \theta + \theta^3/3 + \dots\) において、\(\theta\)が微小であれば高次の項が無視できるという数学的な事実にに基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (a, ア) 幾何光学の基本:
   • 戦略: 反射の法則と三角形の幾何学的性質から、角度の関係式を立てる。
   • フロー: 反射の法則 \(\angle APC = \angle CPB\) → 外角の定理を△PACと△PCBに適用 → \(\alpha+\beta=2\gamma\)。
2. (イ～オ) 球面鏡の公式の導出:
   • 戦略: 近軸光線近似を使い、角度\(\alpha, \beta, \gamma\)を位置\(a, b, R\)で表し、(ア)の式に代入する。
   • フロー: \(\alpha \approx h/a\), \(\beta \approx h/b\), \(\gamma \approx h/R\) → \(\frac{h}{a}+\frac{h}{b} = \frac{2h}{R}\) → \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{2}{R}\)。
3. (カ, b, c) 焦点の性質:
   • 戦略: 導出した公式に、\(a \rightarrow \infty\)（平行光線）の条件を代入して焦点距離を求める。
   • フロー: \(1/a \rightarrow 0\) より \(b=R/2\)。これが焦点。光の逆進性から、焦点から出た光は平行光線になる。
4. (d～ケ) 実像の性質と倍率:
   • 戦略: 作図と相似な三角形の関係から、像の性質（実像/倒立）と倍率を求める。
   • フロー: 作図から実像・倒立と判断 → 相似な三角形を見つけ、相似比から倍率を計算 → \(m=b/a\)。
5. (f, g, 問) 虚像の性質と作図:
   • 戦略: 物体を焦点の内側に置いた場合を考える。公式から像の位置と倍率を計算し、作図する。
   • フロー: \(a=R/4\) を公式に代入 → \(b=-R/2\)（虚像） → \(m=|b/a|=2\)（拡大） → 作図。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算: (オ)や(問)のように、逆数の足し算・引き算が頻出します。通分や最後の逆数を取る計算を慎重に行いましょう。
• 符号の管理: 虚像の位置を計算すると\(b\)が負の値になります。この負号は「虚像であること」「鏡の後方にあること」を示す重要な情報なので、計算の最後まで正しく扱いましょう。倍率計算で絶対値を取る際に、その意味を再確認することが有効です。
• 近似の適用範囲: 近軸光線近似は、あくまで光軸近くの光にのみ成り立つものです。問題全体がこの近似を前提としていることを念頭に置きましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• レンズとのアナロジー: 凹面鏡の公式 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\) (\(f=R/2\)) は、凸レンズの公式と全く同じ形です。したがって、凹面鏡による実像の性質（倒立）や、虚像の性質（正立拡大）は、凸レンズの場合と共通しているはずです。このアナロジーを使って、得られた結果が妥当かを確認できます。
• 極端な場合を考える:
  • 物体を無限遠に置けば(\(a \rightarrow \infty\))、像は焦点にできる(\(b=f\))。
  • 物体を中心Cに置けば(\(a=R=2f\))、像も中心Cにできる(\(b=R=2f\))。
  • 物体を焦点Dに置けば(\(a=f\))、像は無限遠にできる(\(b \rightarrow \infty\))。

問題93 (山形大改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光の波動性を示す最も代表的な現象である「ヤングの実験」を扱っています。その基本原理から、媒質中での変化、さらには光源の位置を動かす応用的な設定まで、光の干渉について多角的に問われています。
この問題の核心は、2つの光の「経路差」が干渉の結果（明暗）を決定するという原理を理解し、様々な状況下で経路差を正しく計算することです。特に、幾何学的な近似や光学距離の考え方を使いこなすことが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの実験」です。光の波動性を示す最も代表的な現象である「干渉」について、その基本原理から、媒質中での変化、さらには光源の位置を動かす応用的な設定まで、多角的に問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光の干渉条件: 2つの光源から出た光がスクリーン上の点で強め合う（明線）か、弱め合う（暗線）かは、2つの光の「経路差」によって決まります。
   • 明線条件: 経路差 = \(m\lambda\) （\(m\)は整数）
   • 暗線条件: 経路差 = \((m+1/2)\lambda\)
2. 経路差の近似式: ヤングの実験では、スリット間隔\(d\)やスクリーンの座標\(x\)が、スリットからスクリーンまでの距離\(L\)に比べて非常に小さいという近似を用います。これにより、複雑な三平方の定理の計算が、\(\Delta l \approx \displaystyle\frac{dx}{L}\) という非常にシンプルな式で近似できます。
3. 光学距離（光路長）: 光が屈折率\(n\)の媒質中を距離\(l\)だけ進むとき、真空中に換算した距離は \(nl\) となります。これを光学距離（または光路長）と呼びます。異なる媒質を通る光の干渉を考える際には、幾何学的な距離ではなく、この光学距離の差を考える必要があります。
4. ホイヘンスの原理と回折: 光源Qから出た光が、まずスリットS₀を通り、次にS₁とS₂を通ることで、S₁とS₂が新たな波源（コヒーレントな光源）として振る舞います。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、幾何学的な関係（三平方の定理）から、2つのスリットS₁, S₂からスクリーン上の点Pまでの距離をそれぞれ求めます（問1）。
2. 次に、これらの差をとり、問題で与えられた近似式を用いて、経路差を簡単な式で表します（問2）。
3. 干渉の明線条件（経路差 = \(m\lambda\)）を用いて、明線の位置を計算し、隣り合う明線の間隔を求めます（問3）。
4. 媒質で満たした場合や、薄い板を挿入した場合は、波長の変化や光学距離の変化を考慮して、同様に干渉条件を考えます（問5, 6）。
5. 光源を動かす問題では、S₁とS₂に到達するまでの光にも経路差が生じることを考慮します（問7）。

問(1)

思考の道筋とポイント
スリットS₁およびS₂からスクリーン上の点Pまでの距離を、三平方の定理を用いて幾何学的に求めます。

この設問における重要なポイント

• 図1に示された直角三角形を見つける。
• 各辺の長さを \(d, L, x\) を用いて正しく設定する。

具体的な解説と立式
S₁Pの距離:
S₁からスクリーンに下ろした垂線の足をM’とすると、三角形S₁M’Pは直角三角形です。

• 底辺の長さ: \(L\)
• 高さ: 点Pの座標が\(x\)、S₁のy座標が\(d/2\)なので、高さは \(x – d/2\)。

三平方の定理より、
$$ (S_1 P)^2 = L^2 + \left(x – \frac{d}{2}\right)^2 $$
$$ S_1 P = \sqrt{L^2 + \left(x – \frac{d}{2}\right)^2} $$
S₂Pの距離:
同様に、S₂からスクリーンへの垂線の足をM”とすると、三角形S₂M”Pは直角三角形です。

• 底辺の長さ: \(L\)
• 高さ: 点Pの座標が\(x\)、S₂のy座標が\(-d/2\)なので、高さは \(x – (-d/2) = x + d/2\)。

三平方の定理より、
$$ (S_2 P)^2 = L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 $$
$$ S_2 P = \sqrt{L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} $$

立式そのものが結論となります。

ピタゴラスの定理を使って、斜めの線の長さを計算します。それぞれの直角三角形について、「横の長さ」と「縦の長さ」を正しく設定することがポイントです。

S₁PとS₂Pの距離が、それぞれ \(d, L, x\) を用いて厳密に表されました。この後の近似計算の元となる重要な式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
問(1)で求めた2つの距離の差（経路差）を計算します。そのままでは計算が複雑なため、問題文で与えられた近似式 \(\sqrt{1+a} \approx 1+a/2\) を使える形に変形します。

この設問における重要なポイント

• ルートの中から \(L^2\) を括り出して、\(\sqrt{1+(\text{微小量})}\) の形を作る。
• 与えられた近似式を正しく適用する。

具体的な解説と立式
経路差 \(\Delta l = S_2 P – S_1 P\) を計算します。
$$ \Delta l = \sqrt{L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} – \sqrt{L^2 + \left(x – \frac{d}{2}\right)^2} $$
ルートの中から \(L\) を括り出します。
$$ \Delta l = L \sqrt{1 + \frac{1}{L^2}\left(x + \frac{d}{2}\right)^2} – L \sqrt{1 + \frac{1}{L^2}\left(x – \frac{d}{2}\right)^2} $$
ここで、\(d \ll L, x \ll L\) というヤングの実験の近似条件から、ルートの中の第2項は1に比べて非常に小さいので、近似式 \(\sqrt{1+a} \approx 1+a/2\) が使えます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{1 + \frac{1}{L^2}\left(x + \frac{d}{2}\right)^2} &\approx 1 + \frac{1}{2L^2}\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 \\
\sqrt{1 + \frac{1}{L^2}\left(x – \frac{d}{2}\right)^2} &\approx 1 + \frac{1}{2L^2}\left(x – \frac{d}{2}\right)^2
\end{aligned}
$$
これらを \(\Delta l\) の式に代入します。
$$ \Delta l \approx L \left\{ \left(1 + \frac{1}{2L^2}\left(x + \frac{d}{2}\right)^2\right) – \left(1 + \frac{1}{2L^2}\left(x – \frac{d}{2}\right)^2\right) \right\} $$

上の式の{}内を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &\approx L \cdot \frac{1}{2L^2} \left\{ \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 – \left(x – \frac{d}{2}\right)^2 \right\} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2L} \left\{ (x^2 + xd + \frac{d^2}{4}) – (x^2 – xd + \frac{d^2}{4}) \right\} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2L} (2xd) \\[2.0ex]&= \frac{xd}{L}
\end{aligned}
$$

2つの光が進む道のりの差を計算します。ルートの計算は大変なので、「すごく小さい数は無視できる」というルールを使った便利な近似公式を使って、簡単な分数の形にします。

経路差は \(\Delta l = \displaystyle\frac{dx}{L}\) と非常にシンプルな形で表されました。これはヤングの実験で最も重要な関係式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
干渉縞の明線の間隔を求めます。まず、明線ができる条件（経路差が波長の整数倍）から、m番目の明線の位置\(x_m\)を求め、次に隣り合う(m+1)番目の明線との位置の差を計算します。

この設問における重要なポイント

• 明線の条件: 経路差 = \(m\lambda\) （\(m\)は整数）
• 明線の間隔 \(\Delta x\) は、\(x_{m+1} – x_m\) で計算される。

具体的な解説と立式
スクリーン上に明線ができる条件は、経路差が波長\(\lambda\)の整数倍になるときです。
$$ \Delta l = m\lambda \quad (m=0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$
問(2)で求めた経路差の近似式を代入すると、
$$ \frac{dx}{L} = m\lambda $$
これを \(x\) について解くと、m番目の明線の位置 \(x_m\) が求まります。
$$ x_m = \frac{mL\lambda}{d} $$
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は、(m+1)番目の明線の位置 \(x_{m+1}\) とm番目の明線の位置 \(x_m\) の差です。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m $$

$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{(m+1)L\lambda}{d} – \frac{mL\lambda}{d} \\[2.0ex]&= \frac{L\lambda}{d} ((m+1) – m) \\[2.0ex]&= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$

明るい線（明線）が現れる場所には、「経路差が波長のちょうど0倍, 1倍, 2倍, …」というルールがあります。このルールから、それぞれの明線がスクリーンのどの位置に現れるかを計算できます。そして、隣の明線との距離を引き算で求めます。

明線の間隔は \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) となります。この式から、スクリーンを遠ざける(\(L\)を大きくする)、スリット間隔を狭める(\(d\)を小さくする)、波長の長い光を使う(\(\lambda\)を大きくする)と、明線の間隔は広がることがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
スリットとスクリーンの距離\(L\)を広げたときに、干渉縞の位置と間隔がどうなるかを、問(3)で導いた式に基づいて説明します。

この設問における重要なポイント

• m番目の明線の位置: \(x_m = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\)
• 明線の間隔: \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\)
• これらの式と\(L\)との比例関係を見る。

具体的な解説と立式
干渉縞の位置:
m番目の明線の位置は \(x_m = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\) で与えられます。この式から、\(x_m\) は \(L\) に比例することがわかります。したがって、距離\(L\)を広げると、\(|x_m|\) も大きくなります。これは、中心Oから遠ざかる向きに各明線が移動することを意味します。

干渉縞の間隔:
明線の間隔は \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) で与えられます。この式から、\(\Delta x\) も \(L\) に比例することがわかります。したがって、距離\(L\)を広げると、明線の間隔も広がります。

スクリーンを遠ざけると、干渉縞は全体的に中心から広がり、かつ縞模様の間隔自体も広くなります。これは実験事実とも一致する妥当な結論です。

問(5)

思考の道筋とポイント
スリットとスクリーンの間を屈折率\(n\)の媒質で満たした場合の明線間隔を考えます。媒質中では光の波長が変化することに着目します。

この設問における重要なポイント

• 屈折率\(n\)の媒質中での波長は、空気中での波長\(\lambda\)の \(1/n\) 倍になる (\(\lambda’ = \lambda/n\))。
• 明線間隔の公式の\(\lambda\)を\(\lambda’\)に置き換える。

具体的な解説と立式
屈折率\(n\)の媒質中では、光の速さは \(V/n\) になりますが、振動数は変化しません。波の基本式 \(v=f\lambda\) より、波長は \(\lambda’ = v’/f = (V/n)/f = (V/f)/n = \lambda/n\) となります。
媒質で満たしたときの明線間隔を \(\Delta x’\) とすると、問(3)の明線間隔の公式の\(\lambda\)を、この新しい波長\(\lambda’\)に置き換えればよいので、
$$ \Delta x’ = \frac{L\lambda’}{d} = \frac{L(\lambda/n)}{d} = \frac{1}{n} \left(\frac{L\lambda}{d}\right) $$
元の間隔 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) と比較すると、
$$ \Delta x’ = \frac{1}{n} \Delta x $$
したがって、明線間隔は元の \(1/n\) 倍になります。

立式そのものが結論となります。

水中では光の波長が短くなります。干渉縞の間隔は波長に比例するので、波長が \(1/n\) になれば、縞の間隔も \(1/n\) になります。

媒質で満たすと、干渉縞の間隔は狭まります。\(n>1\) なので、\(1/n < 1\) であり、妥当な結果です。

問(6)

思考の道筋とポイント
スリットS₂の前に厚さ\(t\)、屈折率\(n’\)の透明板を置いた場合を考えます。これにより、S₂を通る光の「光学距離（光路長）」が変化し、干渉条件がずれます。

この設問における重要なポイント

• 透明板を置くことで、S₂を通る光の経路に、幾何学的な距離の変化はないが、光学距離が長くなる。
• 光学距離の増加分は \((n’t – t) = (n’-1)t\)。
• この光学距離の差が、S₁とS₂の間の新たな初期位相差のように働き、干渉縞全体をシフトさせる。

具体的な解説と立式
透明板を置く前は、S₀からS₁までとS₀からS₂までの距離は等しく、スリットS₁, S₂は同位相の光源とみなせました。
透明板をS₂の前に置くと、S₀からS₂への経路の途中に、厚さ\(t\)の媒質が挿入されます。これにより、S₂を通る光の光学距離がS₁を通る光より長くなります。その差は、
$$ \Delta l_{\text{初期}} = n’t – t = (n’-1)t $$
この状態で、スクリーン上の点P(\(x\))における2つの光の全光路差は、
$$ \text{全光路差} = (S_2 P – S_1 P) + \Delta l_{\text{初期}} = \frac{dx}{L} + (n’-1)t $$
もともと原点O(\(x=0\))にあった明線は、\(m=0\)の明線であり、これは**全光路差が0になる点**に相当します。移動後の明線の位置を\(x\)とすると、この点で全光路差が0になるので、
$$ \frac{dx}{L} + (n’-1)t = 0 $$

上の式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{dx}{L} &= -(n’-1)t \\[2.0ex]x &= -\frac{(n’-1)tL}{d}
\end{aligned}
$$

片方(S₂)の光の通り道にガラス板のような「進みにくい」ものを置くと、そちらの光だけが少し「足止め」を食らってしまいます。この「足止め」の分だけ、S₂から出る光はS₁から出る光に対して位相が遅れます。
この遅れを取り戻すために、干渉縞全体がずれて移動します。中央の明るい線（もともと道のりの差がゼロの点）は、今度はS₂からの道のりがS₁より少し短くなるような場所に移動して、トータルの「足止め」がゼロになるように調整されます。S₂からの道のりが短くなるのは、x軸の負の方向です。

中央の明線は \(x = -\displaystyle\frac{(n’-1)tL}{d}\) の位置に移動します。\(n’>1\) なので \(x<0\) となり、透明板を置いたS₂の側に移動することがわかります。これは、S₂側の光路が長くなった分、幾何学的な距離が短い位置で辻褄を合わせる必要があるためで、物理的に妥当な結果です。

問(7)

思考の道筋とポイント
スリットS₀を動かすことで、S₀からS₁までとS₀からS₂までの距離に差（経路差）を生じさせます。この経路差が、もともと1番目の明線ができていたときの経路差\(\lambda\)をちょうど打ち消すようにS₀を動かせば、1番目の明線が中央Oに移動します。

この設問における重要なポイント

• 1番目の明線ができる条件: \(S_2 P – S_1 P = \lambda\)。
• S₀を動かすことで生じる経路差: \((S_0 S_2 – S_0 S_1)\)。
• 中央Oに1番目の明線が来る条件: 全経路差が\(\lambda\)になること。

具体的な解説と立式
もともと1番目の明線は、経路差 \(\Delta l = S_2 P – S_1 P = \lambda\) を満たす点にできていました。
この明線を中央O(\(x=0\))に移動させたいと考えます。
点Oでは、\(S_2 O = S_1 O\) なので、S₁とS₂から先の経路差は0です。
したがって、S₀からS₁、S₂に到達するまでの段階で、経路差を生じさせることで、点Oでの全経路差を\(\lambda\)にすればよいことになります。
$$ \text{全経路差 at O} = (S_0S_2 – S_0S_1) + (S_2O – S_1O) = (S_0S_2 – S_0S_1) + 0 $$
この全経路差が \(\lambda\) になれば、点Oが1番目の明線になります。
$$ S_0 S_2 – S_0 S_1 = \lambda $$
S₀を、Mから測ってy軸上向きに距離\(y_0\)だけ動かしたとします。
このとき、S₀からS₁, S₂までの経路差は、問(2)で求めた近似式と同様の形で計算できます。
この状況は、光源が\(y_0\)、スリットが\(d\)、スクリーンまでの距離が\(l\)のヤングの実験とみなせるので、経路差は
$$ S_0 S_2 – S_0 S_1 \approx \frac{d y_0}{l} $$
よって、条件は
$$ \frac{d y_0}{l} = \lambda $$

上の式を、S₀の移動距離 \(y_0\) について解きます。
$$ y_0 = \frac{l\lambda}{d} $$
S₀S₂をS₀S₁より長くするためには、S₀をS₁側に、すなわち上向きに動かす必要があります。

1番目の明るい線は、2つの光の道のりの差がちょうど1波長分になる場所にできます。この「1波長分の差」を、スタート地点であるS₀をずらすことで、あらかじめ作ってやります。そうすれば、S₁とS₂から先は道のりの差がゼロである中央の点Oで、ちょうど1番目の明るい線が見えるようになります。

S₀を上向きに \(\displaystyle\frac{l\lambda}{d}\) だけ移動させればよいことがわかります。光源を動かすことで干渉縞を制御できることを示す、応用的な問題です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の干渉条件（明線・暗線）:
  • 核心: 2つのコヒーレントな波（位相の揃った波）が重なり合うとき、経路差によって強め合ったり弱め合ったりする現象です。ヤングの実験では、これが明暗の縞模様として現れます。
    • 明線（強め合い）: 経路差 = \(m\lambda\) （\(m\)は整数）
    • 暗線（弱め合い）: 経路差 = \((m+1/2)\lambda\)
  • 理解のポイント: この問題の全ての設問は、この「経路差」をいかに正しく計算し、干渉条件に適用するかにかかっています。
• 経路差の近似式 \(\Delta l \approx \displaystyle\frac{dx}{L}\):
  • 核心: ヤングの実験の設定（\(L \gg d, x\)）で成り立つ、経路差を非常にシンプルな形で表す近似式です。複雑なルート計算を回避し、干渉縞の位置や間隔を容易に解析するための強力なツールです。
  • 理解のポイント: (2)でこの式を導出するプロセスは、近似計算の典型例として非常に重要です。この式が成り立つことで、明線間隔が等間隔になるなど、ヤングの実験の基本的な性質が説明できます。
• 光学距離（光路長）:
  • 核心: 光が屈折率\(n\)の媒質中を幾何学的な距離\(l\)だけ進むとき、真空中を進む場合に換算した「見かけの距離」が光学距離 \(nl\) です。
  • 理解のポイント: (5)や(6)のように、光路の途中に異なる媒質が存在する場合、単純な長さの差ではなく、この光学距離の差を考える必要があります。厚さ\(t\)、屈折率\(n\)の板を挿入すると、光学距離は \(nt-t = (n-1)t\) だけ増加します。これが新たな経路差の要因となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 回折格子: 多数のスリットを等間隔に並べたもので、よりシャープで明るい干渉縞が得られます。基本的な干渉条件の考え方はヤングの実験と同じです。
  • 薄膜の干渉: シャボン玉や油膜が色づいて見える現象。膜の表面で反射する光と、裏面で反射する光の干渉を考えます。この場合、経路差は膜の厚さで決まります。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置き、その間の空気層で反射する光の干渉を観察する実験。同心円状の干渉縞が見られます。
  • 電波の干渉: 2つのアンテナから発せられる電波の干渉など、光以外の波でも全く同じ原理が適用されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の特定: まず、干渉を起こしている波源は何かを特定します。この問題では、スリットS₁とS₂が実質的な波源となります。
  2. 経路差の要因を全てリストアップ: 経路差が生じる原因は何かを考えます。①スリットからスクリーンまでの幾何学的な差（\(\approx dx/L\)）、②媒質の違いによる光学距離の差、③光源の位置のズレによる初期位相差、など、複数の要因が組み合わさることがあります。
  3. 近似条件の確認: 「\(L\)に比べて\(d\)や\(x\)は非常に小さい」といった近似が使えるかを確認します。ほとんどの入試問題ではこの近似が前提ですが、使えない場合は(1)のように厳密な計算が求められます。
  4. 何番目の明線（暗線）か: 問題が問うているのが、中央の明線(\(m=0\))なのか、1番目(\(m=1\))なのか、あるいは特定の次数\(m\)なのかを正確に把握し、干渉条件式に正しい\(m\)の値を代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似式の導出ミス:
  • 誤解: (2)の近似計算で、展開や項の整理を間違える。特に \((x+d/2)^2 – (x-d/2)^2 = 2xd\) となるべきところを \(2x^2+d^2/2\) などとしてしまう。
  • 対策: \( (A+B)^2 – (A-B)^2 = 4AB \) という展開公式を覚えておくと、この計算は一瞬でできます。落ち着いて計算することが重要です。
• 光学距離の計算ミス:
  • 誤解: (6)で透明板を挿入したときの光学距離の「変化分」を、\(n’t\) そのものだと勘違いする。
  • 対策: もともと厚さ\(t\)の「空気」（屈折率1）だった部分が、屈折率\(n’\)の媒質に置き換わった、と考えます。したがって、光学距離の変化分（増加分）は、\(n’t – 1 \cdot t = (n’-1)t\) となります。この「差分」を考えることが重要です。
• 経路差の符号の混乱:
  • 誤解: (6)や(7)のように複数の要因で経路差が生じる場合、どちらを正とし、どちらを負として足し合わせるべきか混乱する。
  • 対策: 常に「S₂を通る光路長」-「S₁を通る光路長」のように、一方から他方を引くという定義を一貫して守ることが有効です。例えば(6)では、全光路差 = \((S_0S_2\text{の光路長} + S_2P) – (S_0S_1\text{の光路長} + S_1P)\) と定義すれば、\((n’-1)t + dx/L\) となり、符号の混乱が防げます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 経路差の幾何学的イメージ: 図aで、S₁からS₂Pに垂線を下ろすと、その垂線の足とPの間の短い部分が経路差に相当する、という幾何学的なイメージは非常に有名で強力です。このときできる直角三角形の角度の関係から、\(\Delta l = d\sin\theta \approx d\tan\theta = dx/L\) と導出することもできます。
  • 光学距離のブロック図: (6)の状況を、光の経路を直線で描き、途中に厚さ\(t\)の「空気ブロック」と「媒質ブロック」を並べて比較するような図を描くと、光学距離の差が \((n’-1)t\) であることが視覚的に理解しやすくなります。
  • 波面の移動: (7)でS₀を上にずらすと、S₁とS₂に到達する波面が傾きます。この波面の傾きによって、S₁とS₂から波が出発するタイミング（位相）に差が生じる、とイメージすることもできます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 三平方の定理:
  • 選定理由: (1)で、光が直進する経路の「厳密な」長さを求める必要があるため。これは幾何学的な距離計算の基本です。
  • 適用根拠: ユークリッド空間における直角三角形の辺の長さの関係を示す、数学の基本定理です。
• 近似式 \(\sqrt{1+a} \approx 1+a/2\):
  • 選定理由: (2)で、三平方の定理から得られた複雑なルートを含む式を、扱いやすい線形の式に変形するため。
  • 適用根拠: 関数 \(\sqrt{1+a}\) の \(a=0\) の周りでのテイラー展開（あるいは二項定理）の1次までの近似であり、\(|a| \ll 1\) のときに成り立ちます。
• 干渉条件式 (\(\Delta l = m\lambda\)):
  • 選定理由: (3)以降で、干渉によって生じる「明線」の位置や間隔を問われているため。
  • 適用根拠: 波の重ね合わせの原理に基づきます。2つの波が同位相で重なると振幅が最大になる（強め合う）という物理現象を数式化したものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1, 2) 経路差の導出:
   • 戦略: ①三平方の定理で厳密な距離を立式。②近似式を用いて、扱いやすい経路差の公式 \(\Delta l \approx dx/L\) を導出する。
   • フロー: \(\sqrt{L^2+\dots}\) → \(L\sqrt{1+\dots}\) → \(L(1+\dots/2)\) → 差をとって整理。
2. (3) 明線間隔:
   • 戦略: ①明線条件に経路差の公式を適用し、m番目の明線の位置\(x_m\)を求める。②隣り合う明線の差 \(\Delta x = x_{m+1}-x_m\) を計算する。
   • フロー: \(dx_m/L = m\lambda \rightarrow x_m = \dots\) → \(\Delta x\) を計算。
3. (5) 媒質中の干渉:
   • 戦略: 媒質中での波長 \(\lambda’ = \lambda/n\) を求め、(3)の明線間隔の公式に代入する。
   • フロー: \(\lambda \rightarrow \lambda/n\) に置き換え → \(\Delta x’ = L\lambda’ / d\)。
4. (6) 透明板の挿入:
   • 戦略: ①透明板による光学距離の増加分 \((n’-1)t\) を計算。②全光路差が0になる点が新しい中央の明線である、という条件を立式する。
   • フロー: 全光路差 \(= (n’-1)t + dx/L = 0\) → \(x\)について解く。
5. (7) 光源の移動:
   • 戦略: ①1番目の明線が中央Oに来る条件は、全光路差が\(\lambda\)になること。②S₀の移動による経路差を計算し、それが\(\lambda\)に等しいとおく。
   • フロー: 全光路差 at O \(= S_0S_2 – S_0S_1 = \lambda\) → \(dy_0/l = \lambda\) → \(y_0\)について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似式の導出ミス: (2)の計算では、\((x+d/2)^2 – (x-d/2)^2 = 2xd\) となることを落ち着いて確認しましょう。\( (A+B)^2 – (A-B)^2 = 4AB \) の公式を知っていると速いです。
• 光学距離の差: (6)では、光学距離の「差」が \((n’-1)t\) となることを正確に理解しましょう。\(n’t\) ではありません。
• 符号の一貫性: 経路差を計算する際は、常に「経路2 – 経路1」のように、引く順番を一貫させると符号のミスが減ります。どの光路を「2」とし、どれを「1」とするかを最初に決めておきましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 明線間隔 \(\Delta x = L\lambda/d\) : この式は、ヤングの実験の最も重要な結果です。スクリーンを遠ざける(\(L\)大)、スリット間隔を狭める(\(d\)小)、波長の長い光を使う(\(\lambda\)大)と、縞模様が広がり観察しやすくなる、という直感と一致します。
  • (5) \(\Delta x’ = \Delta x / n\) : 媒質中では波長が短くなる(\(\lambda’=\lambda/n\))ので、縞の間隔も狭まるはずです。結果はこれと一致しています。
  • (6) \(x = -(n’-1)tL/d\) : S₂側の光路が長くなったので、それを補うために幾何学的な距離が短い側（\(x<0\)）に縞がずれるのは妥当です。
• 極端な場合を考える:
  • もしスリット間隔がゼロなら(\(d \rightarrow 0\))、\(\Delta x \rightarrow \infty\) となり、干渉縞は見えなくなります（全体が明るくなる）。
  • もし透明板の屈折率が空気と同じなら(\(n’=1\))、(6)の移動距離\(x\)はゼロになり、何も変化しないはずです。式もそうなっており、妥当性が確認できます。

問題94 (岡山大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、回折格子による光の干渉をテーマにしています。前半(1)～(4)では、光を回折格子に垂直に入射させる基本的な透過型の実験を、後半(5)では、光を斜めに入射させる応用的な反射型の実験を扱います。
この問題の核心は、隣り合うスリットを通過（または反射）する光の「経路差」を正しく計算し、光が強めあう条件（明線ができる条件）を立式することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子による光の干渉」です。光の波動性、特に干渉の性質を深く理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. ホイヘンスの原理: 回折格子の各スリット（刻線間の隙間）を通過した光は、そこを新たな波源（素元波）として球面波状に広がります。これを「回折」と呼びます。
2. 光の干渉条件: 各スリットから出た光がスクリーン上で重なり合うとき、波の山と山（谷と谷）が重なれば強めあい（明線）、山と谷が重なれば弱めあいます（暗線）。この条件は、各スリットからスクリーン上の点までの「経路差」によって決まります。
3. 明線の条件: 隣り合うスリットからの光の経路差が、波長\(\lambda\)の整数倍 (\(m\lambda\), \(m=0, 1, 2, \dots\)) になるとき、光は強めあい、明線が観測されます。\(m\)は明線の次数と呼ばれます。
4. 幾何学と近似: 経路差やスクリーンの位置を計算するために、三角関数を用いた幾何学的な考察が必要です。特に、スクリーンが回折格子から十分遠い場合 (\(L \gg y\)) に成り立つ近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta = y/L\) は頻繁に用いられます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、図を元に隣り合う光線の経路差を、格子定数\(d\)と角度\(\theta\)（または\(\alpha, \beta\)）を用いて表します（問1, 5）。
2. 次に、その経路差が波長の整数倍になるという明線の条件を立式します。
3. 問(2)や(4)では、幾何学的な関係 \(\tan\theta = y/L\) と近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用いて、角度\(\theta\)をスクリーン上の位置\(y\)に変換します。
4. 問(3)では、与えられた情報から格子定数\(d\)を算出し、具体的な数値を代入して計算を実行します。
5. 問(4)では、明線の位置\(y\)が波長\(\lambda\)に依存することから、白色光（様々な波長の集まり）を当てた場合の色の分離（スペクトル）について考察します。

問(1)

思考の道筋とポイント
回折格子を通過した平行光が、スクリーン上の点Pで強めあう（1番目の明線を作る）ための条件を考えます。鍵となるのは、隣り合うスリットから点Pへ向かう光の「経路差」を求めることです。図1の拡大図から、この経路差を幾何学的に導き出し、強めあいの条件式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 回折格子の各スリットは、同位相の波源とみなせる。
• スクリーンは非常に遠方にあるため、各スリットから点Pへ向かう光は互いに平行であると近似できる。
• 隣り合う光線の経路差は、図から \(d\sin\theta\) と求められる。
• 「1番目の明線」とは、次数 \(m=1\) の強めあいのことであり、経路差がちょうど1波長分 \(\lambda\) になる条件を指す。

具体的な解説と立式
図1の拡大図（または模範解答の図a）を見ると、隣り合うスリットから角度\(\theta\)の方向へ進む2つの光線が描かれています。一方のスリットを通過した光の波面に対し、もう一方の光が進む距離は少し長くなっています。この距離の差が経路差です。
図中の直角三角形に着目すると、斜辺が格子定数\(d\)、一つの角が\(\theta\)なので、経路差は \(d\sin\theta\) と表せます。

点Pで1番目の明線が観測される条件は、この経路差が波長\(\lambda\)の1倍に等しくなることです。したがって、求める関係式は以下のようになります。
$$ d\sin\theta = \lambda $$

この設問は関係式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

回折格子にあるたくさんの溝は、それぞれが新しい光源のように振る舞います。隣同士の光源から出た光が、スクリーン上で強めあって明るい線を作るためには、光が進む距離の差（経路差）が、ちょうど波長1個分、2個分、…となっている必要があります。1番目の明るい線は、この経路差が波長1個分になるときに現れます。図からこの経路差は \(d\sin\theta\) と計算できるので、\(d\sin\theta = \lambda\) という式が成り立ちます。

求める関係式は \(d\sin\theta = \lambda\) です。これは回折格子における1次の明線の条件式として基本的なものであり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた明線の条件式と、問題文で与えられた近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を利用して、スクリーン上の明線の位置\(y\)を求めます。まず1番目の明線の位置\(y_1\)を求め、次に2番目の明線の条件を考えてその位置\(y_2\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 図1から、スクリーン上の位置\(y\)と角度\(\theta\)の関係が \(\tan\theta = \displaystyle\frac{y}{L}\) であることを読み取る。
• 問題文の指示通り、近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を適用する。
• 2番目の明線は、経路差が \(2\lambda\) となる、次数 \(m=2\) の強めあいに対応する。

具体的な解説と立式
1番目の明線（位置 \(y_1\), 角度 \(\theta_1\)）
(1)で求めた1番目の明線の条件式は、
$$ d\sin\theta_1 = \lambda \quad \cdots ① $$
一方、図1の幾何学的関係から、
$$ \tan\theta_1 = \frac{y_1}{L} \quad \cdots ② $$
問題の近似条件 \(\sin\theta_1 \approx \tan\theta_1\) を用いると、①と②から \(\sin\theta_1\) を消去できます。

2番目の明線（位置 \(y_2\), 角度 \(\theta_2\)）
2番目の明線は、経路差が \(2\lambda\) となるときに生じます。したがって、その条件式は、
$$ d\sin\theta_2 = 2\lambda \quad \cdots ③ $$
1番目の明線と同様に、幾何学的関係と近似を用います。
$$ \tan\theta_2 = \frac{y_2}{L} \quad \cdots ④ $$
$$ \sin\theta_2 \approx \tan\theta_2 $$

\(y_1\)の計算
近似 \(\sin\theta_1 \approx \tan\theta_1 = \displaystyle\frac{y_1}{L}\) を、式①に代入します。
$$ d \cdot \frac{y_1}{L} \approx \lambda $$
これを \(y_1\) について解くと、
$$ y_1 \approx \frac{L\lambda}{d} $$

\(y_2\)の計算
同様に、近似 \(\sin\theta_2 \approx \tan\theta_2 = \displaystyle\frac{y_2}{L}\) を、式③に代入します。
$$ d \cdot \frac{y_2}{L} \approx 2\lambda $$
これを \(y_2\) について解くと、
$$ y_2 \approx \frac{2L\lambda}{d} $$

(1)で求めたのは、光が曲がる「角度」に関する式でした。ここでは、その角度をスクリーン上の「距離」に変換します。角度がとても小さい場合、三角関数の \(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) はほぼ同じ値になります。図を見ると \(\tan\theta\) は「距離\(y\) ÷ 距離\(L\)」で計算できるので、この関係を使って(1)の式を書き換えることで、距離\(y_1\)が求まります。2番目の明線は、経路差が波長の2倍になるだけなので、計算結果も単純に2倍の距離になります。

1番目の明線の位置は \(y_1 = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\)、2番目の明線の位置は \(y_2 = \displaystyle\frac{2L\lambda}{d}\) です。
この結果は、明線の位置が次数\(m\)に比例すること (\(y_m \propto m\)) を示しており、スクリーン上には（近似の範囲で）等間隔に明線が並ぶことを意味します。これはヤングの干渉実験などでも見られる典型的な結果であり、妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で導出した \(y_1\) の式に、問題文で与えられた具体的な数値を代入して値を計算します。計算の前に、まず「1mmあたり20本の刻線」という情報から、格子定数\(d\)の値をメートル単位で正しく求めることが最初のステップです。

この設問における重要なポイント

• 格子定数\(d\)は「隣り合う刻線の間隔」であり、単位長さあたりの本数の逆数で与えられる。
• 計算に使用するすべての物理量の単位を、基本単位であるメートル(m)に統一する。
• 最終的な答えは、問題文中の数値の有効数字（この場合は3桁）に合わせて丸める。

具体的な解説と立式
まず、格子定数\(d\)を求めます。
1 mm あたりに20本の刻線があるので、刻線と刻線の間隔\(d\)は、
$$ d = \frac{1 \text{ [mm]}}{20} $$
計算のために単位をメートル(m)に変換します。\(1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}\) なので、
$$ d = \frac{1 \times 10^{-3}}{20} \text{ [m]} $$
次に、(2)で求めた \(y_1\) の式に、与えられた数値を代入する準備をします。
$$ y_1 = \frac{L\lambda}{d} $$
ここに、\(L = 1\) [m]、\(\lambda = 5.32 \times 10^{-7}\) [m]、そして上で求めた\(d\)の値を代入します。

各値を代入して \(y_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1 \times (5.32 \times 10^{-7})}{\displaystyle\frac{1 \times 10^{-3}}{20}} \\[2.0ex]&= (5.32 \times 10^{-7}) \times \frac{20}{1 \times 10^{-3}} \\[2.0ex]&= (5.32 \times 20) \times 10^{-7 – (-3)} \\[2.0ex]&= 106.4 \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= 1.064 \times 10^{-2} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた波長 \(\lambda = 5.32 \times 10^{-7}\) m は有効数字3桁なので、答えも有効数字3桁に丸めます。
$$ y_1 \approx 1.06 \times 10^{-2} \text{ [m]} $$

まず、回折格子の「溝の間隔\(d\)」を計算します。「1mmに20本」なので、間隔は 1mmを20で割った値になります。計算しやすいように、これをメートルの単位に直しておきます。次に、(2)で求めた \(y_1\) の式に、この\(d\)の値と、問題文で与えられた光の波長\(\lambda\)、スクリーンまでの距離\(L\)の値をすべて代入して、電卓や筆算で答えを求めます。

1番目の明線までの距離は \(y_1 \approx 1.06 \times 10^{-2}\) m、つまり約 1.06 cm です。これは実験室の机の上で十分に観測・測定できる大きさであり、物理的に現実的な値です。

問(4)

思考の道筋とポイント
単色光の代わりに白色光を用いた場合の効果を考えます。白色光が様々な波長の光の集まりであることを踏まえ、(2)で求めた明線の位置の式 \(y_m = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\) が波長\(\lambda\)にどう依存するかを分析します。これにより、色の並び順（ア）と、スペクトルの幅の比較（イ）が可能になります。

この設問における重要なポイント

• 白色光は、紫（波長が短い）から赤（波長が長い）までの連続した波長の光を含んでいる。
• 明線の位置 \(y_m\) は、次数\(m\)と波長\(\lambda\)に比例する (\(y_m \propto m\lambda\))。
• スペクトルの「幅」は、その次数のスペクトルにおける赤色の光の位置と紫色の光の位置の差で定義される。

具体的な解説と立式
ア（色の並び順）
\(m\)次の明線の位置は \(y_m = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\) で与えられます。
次数\(m\) (\(m \ge 1\)) を固定して考えると、\(y_m\) は波長\(\lambda\)に正比例します。
可視光の波長は、紫(\(\lambda_{\text{紫}}\))が最も短く、赤(\(\lambda_{\text{赤}}\))が最も長いという関係 (\(\lambda_{\text{紫}} < \dots < \lambda_{\text{赤}}\)) があります。
したがって、スクリーン上では、中心O(\(y=0\))に近い位置に波長の短い紫色の光が現れ、中心から遠ざかるにつれて青、緑、黄、橙、赤と、波長の長い光が順に現れます。これは虹色の帯（スペクトル）が形成されることを意味します。

イ（帯の幅の比較）
白色光に含まれる波長の範囲を \(\lambda_{\text{紫}} \le \lambda \le \lambda_{\text{赤}}\) とします。

• 1次スペクトル（\(m=1\)）の幅 \(l_1\)
  1次の赤色の光の位置は \(y_{1, \text{赤}} = \displaystyle\frac{L\lambda_{\text{赤}}}{d}\)。
  1次の紫色の光の位置は \(y_{1, \text{紫}} = \displaystyle\frac{L\lambda_{\text{紫}}}{d}\)。
  その幅 \(l_1\) は、これらの差です。
  $$ l_1 = y_{1, \text{赤}} – y_{1, \text{紫}} $$
• 2次スペクトル（\(m=2\)）の幅 \(l_2\)
  2次の赤色の光の位置は \(y_{2, \text{赤}} = \displaystyle\frac{2L\lambda_{\text{赤}}}{d}\)。
  2次の紫色の光の位置は \(y_{2, \text{紫}} = \displaystyle\frac{2L\lambda_{\text{紫}}}{d}\)。
  その幅 \(l_2\) は、これらの差です。
  $$ l_2 = y_{2, \text{赤}} – y_{2, \text{紫}} $$

アの結論
上記の考察から、色の並びは「点Oに近いほうから紫→赤の順の虹色」となります。これは選択肢②に該当します。

イの計算
\(l_1\)と\(l_2\)を具体的に計算し、比較します。
$$
\begin{aligned}
l_1 &= \frac{L\lambda_{\text{赤}}}{d} – \frac{L\lambda_{\text{紫}}}{d} = \frac{L}{d}(\lambda_{\text{赤}} – \lambda_{\text{紫}}) \\[2.0ex]l_2 &= \frac{2L\lambda_{\text{赤}}}{d} – \frac{2L\lambda_{\text{紫}}}{d} = \frac{2L}{d}(\lambda_{\text{赤}} – \lambda_{\text{紫}})
\end{aligned}
$$
両者の関係を見ると、明らかに \(l_2 = 2l_1\) です。
したがって、2番目の帯の幅は1番目の帯の幅の2倍になります。イに入る数字は2です。

ア: 明るい線が現れる位置は、光の波長が長いほど中心から遠くなります。虹の色は、紫が最も波長が短く、赤が最も長いので、スクリーンには中心から「紫→赤」の順で虹色の帯（スペクトル）が見えます。
イ: 帯の幅は、その帯の「一番外側の赤色」と「一番内側の紫色」の間の距離です。2番目の帯は、1番目の帯に比べて、どの色も中心から2倍遠い位置に現れます。そのため、帯の端から端までの長さ、つまり幅もきっちり2倍になります。

アは②、イは2となります。
回折格子によって光が波長ごとに分けられる現象を「分散」と呼びます。この結果は、高次のスペクトルほど分散が大きくなり、スペクトルが引き伸ばされて幅が広がるという回折格子の重要な性質を示しており、物理的に正しいです。

問(5)

思考の道筋とポイント
今度は、光が回折格子に斜めに入射し、斜めに反射する状況を考えます。この場合、経路差は「回折格子に入射するまで」と「回失格子で反射した後」の2段階で生じます。それぞれの段階での経路差を幾何学的に求め、それらを合成して全体の経路差を計算し、1番目の明線の条件式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 経路差は、入射過程と反射過程の両方で発生する。
• 図を正確に描き、三角関数を用いてそれぞれの経路差（\(d\sin\alpha\) と \(d\sin\beta\)）を表現する。
• 全体の経路差は、2つの経路差の「差」で与えられることを図から正しく理解する。（光路が長い側が入れ替わるため）

具体的な解説と立式
隣り合う2つのスリットに入射し、反射する光線IとIIを考えます。

• 入射時の経路差
  模範解答の図cを参照します。入射角\(\alpha\)で平行光が入射するとき、光線IIは光線Iよりも長い距離を進んでスリットに到達します。その経路差は、図の直角三角形から \(d\sin\alpha\) となります。この段階では、光線IIの光路が長い状態です。
• 反射後の経路差
  模範解答の図dを参照します。反射角\(\beta\)で平行光が反射するとき、今度は光線Iが光線IIよりも長い距離を進みます。その経路差は、図の直角三角形から \(d\sin\beta\) となります。この段階では、光線Iの光路が長い状態です。
• 全体の経路差
  入射前はIIの方が \(d\sin\alpha\) だけ長く、反射後はIの方が \(d\sin\beta\) だけ長くなります。したがって、スクリーンに到達するまでの全体の経路差 \(\Delta L\) は、これらの差となります。
  $$ \Delta L = d\sin\beta – d\sin\alpha $$
  （問題文に \(\beta > \alpha\) とあるので、この差は正になります。）
• 強めあいの条件
  1番目の明線が観測される条件は、この全体の経路差が波長\(\lambda\)の1倍に等しくなることです。
  $$ d\sin\beta – d\sin\alpha = \lambda $$
  これを整理すると、求める関係式が得られます。
  $$ d(\sin\beta – \sin\alpha) = \lambda $$

この設問は関係式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

光が斜めに入ってきて、斜めに反射していくので、経路差の計算が少し複雑になります。計算は2ステップに分けます。

1. 入るまで: 光が回折格子に当たるまでの経路差を計算します。図から、これは \(d\sin\alpha\) です。
2. 反射した後: 回折格子で反射してからスクリーンに向かうまでの経路差を計算します。図から、これは \(d\sin\beta\) です。

片方の光線は入るときに遠回りし、もう片方の光線は出るときに遠回りします。全体の経路差は、この2つの遠回り分の「差」になります。この差がちょうど波長1個分になるときに、1番目の明るい線が見える、というわけです。

求める関係式は \(d(\sin\beta – \sin\alpha) = \lambda\) です。
この式は、より一般的な回折格子の式として知られています。特殊な場合を考えてみましょう。もし垂直入射であれば \(\alpha=0\) なので、\(\sin\alpha=0\) となり、式は \(d\sin\beta = \lambda\) となります。これは問(1)で求めた透過型の場合と同じ形をしており、式の妥当性を裏付けています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の干渉条件（明線条件）:
  • 核心: 回折格子の隣り合うスリットを通過、または反射した光の「経路差」が、波長\(\lambda\)の整数倍（\(m\lambda\)）になるとき、光は強めあって明線を作ります。この問題全体を貫く最も基本的な法則です。
  • 理解のポイント: 明線の条件式は「経路差 = \(m\lambda\)」(\(m=0, 1, 2, \dots\))。この\(m\)は「次数」と呼ばれ、\(m=0\)が中央の明線、\(m=1\)が1番目の明線に対応します。
• 経路差の幾何学的計算:
  • 核心: 干渉条件を適用するためには、まず問題の状況に合わせて経路差を正しく計算する必要があります。図を描き、三角関数を用いて格子定数\(d\)と角度から経路差を導出する能力が不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 垂直入射（問1）: 経路差は \(d\sin\theta\)。
    • 斜め入射・反射（問5）: 入射時と反射時で生じる経路差を合成し、\(d\sin\beta – d\sin\alpha\) となります。
• 微小角の近似 (\(\sin\theta \approx \tan\theta\)):
  • 核心: スクリーンが回折格子から十分遠いという設定で、回折角\(\theta\)をスクリーン上の位置\(y\)に変換するための重要な計算テクニックです。
  • 理解のポイント: 幾何学的な関係 \(\tan\theta = \displaystyle\frac{y}{L}\) と組み合わせることで、\(\sin\theta \approx \displaystyle\frac{y}{L}\) となり、明線の条件式を角度\(\theta\)から位置\(y\)の式に書き換えることができます。これにより、明線の位置が次数\(m\)に比例する (\(y_m \propto m\)) という見通しの良い関係が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤングの干渉実験: 2つのスリットによる干渉。回折格子はスリット数を多数にしたものなので、経路差を考えて干渉条件を立てるという基本原理は全く同じです。
  • 薄膜による干渉: シャボン玉や水面に広がる油膜が色づいて見える現象。光路差を計算して干渉条件を立てる点で共通していますが、薄膜の場合は屈折や反射時の位相変化も考慮に入れる必要があります。
  • X線回折（ブラッグ反射）: 結晶格子によるX線の回折。結晶の原子面を一種の反射型回折格子と見なすことができ、経路差の考え方が応用されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 光源の性質を確認する: 光源は単色光（特定の\(\lambda\)）か、白色光（様々な\(\lambda\)の集まり）か？白色光の場合は、明線の位置が波長\(\lambda\)に依存するため、色の分離（スペクトル）が起こることを念頭に置きます。
  2. 幾何学的配置を把握する: 光の入射・回折・反射の様子を正確に把握します。垂直入射か斜め入射か、透過型か反射型かによって、経路差の計算方法が根本的に変わります。
  3. 近似条件の有無をチェックする: 「スクリーンは十分遠い」「\(L \gg y\)」「\(\sin\theta \approx \tan\theta\)」といった近似の指示があるかを確認します。この指示があれば、角度\(\theta\)とスクリーン上の位置\(y\)を簡単な比例関係で結びつけられます。
  4. 問われている量に応じて解法を選択する:
     • 「条件式」「関係式」を求めよ \(\rightarrow\) 経路差と干渉条件を厳密に立式します（近似は使わない）。
     • 「位置\(y\)」を求めよ \(\rightarrow\) 近似を適用して、式を\(y\)について解きます。
     • 「スペクトルの幅」を求めよ \(\rightarrow\) スペクトルの両端（通常は赤と紫）の光の位置をそれぞれ計算し、その差を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 格子定数\(d\)の計算ミス:
  • 誤解: 「1mmあたり20本」という情報から、\(d=20\) [mm] のように誤って代入してしまう。
  • 対策: 格子定数\(d\)は「隣り合うスリットの間隔」です。単位長さあたりの本数\(N\)が与えられた場合、\(d = 1/N\) と逆数をとることを徹底しましょう。また、計算前に単位をメートル(m)に統一することも重要です。
• 経路差の計算ミス（特に斜め入射）:
  • 誤解: 問(5)のような斜め入射・反射の場合に、図をよく見ずに経路差を \(d\sin\beta\) や \(d(\sin\alpha + \sin\beta)\) などと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、光の進む道のりを丁寧に追いましょう。「入射するまで」と「反射した後」に分けて考え、それぞれの段階でどちらの光路がどれだけ長いかを把握します。図を描く習慣が、複雑な状況でのミスを防ぐ最善策です。
• 近似の不適切な使用:
  • 誤解: 問(1)や(5)のように、物理的な「関係式」そのものを問われている場面で、勝手に近似 (\(\sin\theta \approx y/L\)) を使った式を答えてしまう。
  • 対策: 問題の要求を正確に読み取りましょう。「関係式を求めよ」と指示された場合は、近似を適用する前の、物理的に厳密な式を答えるのが原則です。近似は、「位置\(y\)を求めよ」のように、具体的な指示がある場合にのみ使用します。
• 白色光スペクトルの並び順の誤解:
  • 誤解: プリズムによる色の分散と混同し、色の並び順を逆（中心に近い方が赤）に覚えてしまう。
  • 対策: 常に基本の式 \(y_m = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\) に立ち返りましょう。この式は「位置\(y\)は波長\(\lambda\)に比例する」ことを示しています。可視光の波長は「赤 > 橙 > … > 紫」なので、中心からの距離も「赤 > 橙 > … > 紫」の順になります。つまり、中心Oに近い方が紫色です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 波面の進行を描く: 回折格子の各スリットから、同心円状に広がる波（ホイヘンスの原理における素元波）をイメージし、それらが遠方で重なり合って干渉縞を作る様子を想像します。
  • 経路差の可視化: 隣り合う光線の経路差が生じる部分を、図の中に直角三角形としてハイライトします。問(1)では1つの三角形、問(5)では入射側と反射側で2つの三角形を描くことで、経路差の起源が視覚的に明確になります。
  • スペクトルの図示: 問(4)では、スクリーン上に\(m=1\)と\(m=2\)のスペクトルを実際に描いてみましょう。\(m=2\)のスペクトルが\(m=1\)よりも幅広く、より中心から遠くに現れることを図示すると、\(l_2 = 2l_1\) という関係が直感的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の定義を明確に: \(\theta, \alpha, \beta\) といった角度が、どの線（例：法線、水平線）を基準にした角なのかを正確に図示し、混同しないようにします。
  • 拡大図の活用: 問題の図のように、干渉の核心部分であるスリット周辺を拡大して描くことは、経路差の幾何学的関係を把握する上で極めて有効です。
  • 光路を矢印で追う: 光線I、IIなどの光路を、光源からスクリーンまで矢印で丁寧にたどることで、問(5)のような複雑な状況でも経路の長短関係を正しく追跡できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 明線条件 \(d\sin\theta = m\lambda\):
  • 選定理由: 問題が「明線」という光の「干渉」現象を扱っているため。これは干渉による強めあいを記述する最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: 回折格子の各スリットから出る光が同位相であるという物理的状況に基づきます。この条件が満たされると、各光波の山と山（谷と谷）が重なり、振幅が増大して明るく見えます。
• 近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\):
  • 選定理由: 物理現象が起こる「角度」と、スクリーン上で観測される「位置」という、異なる種類の物理量を結びつける必要があるためです。
  • 適用根拠: 「スクリーンが十分遠い (\(L \gg y\))」という問題設定です。このとき角度\(\theta\)が非常に小さくなるため、数学的な近似が成り立ちます。この近似のおかげで、複雑な三角関数の関係を単純な比例関係に置き換えることができます。
• 格子定数 \(d = 1/N\):
  • 選定理由: 明線の条件式に必要なパラメータ\(d\)（格子定数）を、問題文の情報「単位長さあたりの本数\(N\)」から算出する必要があるためです。
  • 適用根拠: 格子定数\(d\)の定義そのものです。「間隔」は「密度」の逆数であるという、単純な数学的関係に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 1次明線の条件:
   • 戦略: 経路差を求め、強めあいの条件（\(m=1\)）を立てる。
   • フロー: 図から経路差 \(d\sin\theta\) を導出 \(\rightarrow\) 経路差 = \(\lambda\) より、\(d\sin\theta = \lambda\)。
2. (2) 明線の位置:
   • 戦略: (1)の式に近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta = y/L\) を適用する。
   • フロー: \(d\sin\theta_1 = \lambda\) に \(\sin\theta_1 \approx y_1/L\) を代入し\(y_1\)を求める。\(m=2\)の場合も同様に \(d\sin\theta_2 = 2\lambda\) から\(y_2\)を求める。
3. (3) 具体的な位置の計算:
   • 戦略: 格子定数\(d\)を計算し、(2)で求めた式に具体的な数値を代入する。
   • フロー: \(d = (1 \times 10^{-3}) / 20\) [m] を計算 \(\rightarrow\) \(y_1 = L\lambda/d\) に \(L, \lambda, d\) の値を代入して計算する。
4. (4) 白色光のスペクトル:
   • 戦略: (ア) \(y_m \propto \lambda\) の関係から色の並び順を判断する。(イ) 1次と2次のスペクトルの幅をそれぞれ計算して比較する。
   • フロー: (ア) \(\lambda\)が小さい紫ほど\(y\)も小さい \(\rightarrow\) 中心に近い方が紫。(イ) \(l_1 = y_{1,\text{赤}} – y_{1,\text{紫}}\) と \(l_2 = y_{2,\text{赤}} – y_{2,\text{紫}}\) を計算し、比 \(l_2/l_1\) を求める。
5. (5) 反射型の条件:
   • 戦略: 入射時と反射時の経路差をそれぞれ求め、全体の経路差を計算してから、強めあいの条件（\(m=1\)）を立てる。
   • フロー: 入射時の経路差 \(d\sin\alpha\) と反射後の経路差 \(d\sin\beta\) を図から導出 \(\rightarrow\) 全体の経路差は \(d\sin\beta – d\sin\alpha\) \(\rightarrow\) これが \(\lambda\) に等しいと置く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一: 問(3)のような数値計算では、計算を始める前に全ての物理量をメートル(m)などの基本単位に変換しましょう。特に「mmあたり」のような表現は、\(10^{-3}\)mに直してから計算するのが安全です。
• 指数の計算: \(10^a / 10^b = 10^{a-b}\) のような指数法則は頻出です。問(3)の \(10^{-7} / 10^{-3} = 10^{-7-(-3)} = 10^{-4}\) のような計算では、符号ミスに特に注意しましょう。
• 分数の処理: 問(3)のように分母が分数になる計算 (\(\frac{A}{B/C}\)) は、逆数を掛ける形 (\(A \times \frac{C}{B}\)) に直すと、式がすっきりして計算ミスが減ります。
• 有効数字の確認: 計算を終えたら、必ず問題文で与えられた数値の有効数字を確認し、答えを適切な桁数に丸める習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) \(y_2 = 2y_1\): 明線の間隔が（近似の範囲で）等間隔になるという結果は、ヤングの干渉実験など他の干渉実験の結果とも整合性が取れており、妥当です。
  • (3) \(y_1 \approx 1.06\) cm: 計算結果が、実験室で観測・測定できる現実的なスケールの値になっているかを確認します。非現実的な値（例: 100kmや\(10^{-15}\)m）になった場合は、単位換算や桁の計算ミスを疑います。
  • (4) \(l_2 = 2l_1\): 高次のスペクトルほど幅が広くなるという結果は、高次ほど波長による位置のずれ(\(y_m \propto \lambda\))が次数\(m\)に比例して拡大されるためで、物理的に正しい現象です。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (5)の一般式 \(d(\sin\beta – \sin\alpha) = \lambda\) を使って、簡単な場合を考えてみましょう。もし垂直入射なら \(\alpha=0\) なので、\(\sin\alpha=0\)。すると式は \(d\sin\beta = \lambda\) となり、問(1)の透過型の式 \(d\sin\theta = \lambda\) と全く同じ形になります。このように、導出した一般式がより単純な既知の状況を正しく表現できることを確認すると、答えの信頼性が高まります。

問題95 (大阪府大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ガラス板の上に広がる薄膜による光の干渉を扱っています。前半(1)～(4)は光を垂直に入射させる場合、後半(5)～(8)は斜めに入射させる場合について、干渉光が強めあう（明るくなる）条件を様々な角度から問うています。
この問題の核心は、2つの反射光（光線①と②）の「光路差」と、反射時に生じる「位相変化」を正しく理解し、干渉条件を立式することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。光の波動性、特に干渉の性質を深く理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 異なる経路を進む光の干渉を考えるには、単なる経路の長さの差（経路差）ではなく、媒質の屈折率を考慮した「光路差」で比較する必要があります。光路差は「屈折率 \(\times\) 経路長」で計算されます。
2. 反射における位相変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界面で反射するとき、位相が変化することがあります。屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が反射する際に、位相が\(\pi\)（半波長分）ずれます。この有無が干渉条件を大きく左右します。
3. 干渉条件: 2つの光の光路差と位相変化を考慮し、強めあう（明線）か弱めあう（暗線）かの条件を判断します。
   • 位相変化が同回数（0回か2回）: 光路差 = \(m\lambda\) (明), \((m+1/2)\lambda\) (暗)
   • 位相変化が片方のみ（1回）: 光路差 = \((m+1/2)\lambda\) (明), \(m\lambda\) (暗)
4. 屈折の法則: 斜め入射の問題では、入射角と屈折角の関係を記述するために屈折の法則 \(n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\) を用います。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、2つの反射光（①と②）がそれぞれ境界面で反射するときに、位相が変化するかどうかを屈折率の大小関係から判断します。
2. 次に、2つの光の経路差を求め、屈折率を掛けて光路差を計算します。これは垂直入射と斜め入射で計算方法が異なります。
3. 上記2つの結果を組み合わせて、干渉の条件式（強めあい・弱めあい）を立てます。
4. 設問に応じて、波長や厚さ、入射角などの変数を変化させ、条件式を解釈・計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
光が空気中から屈折率\(n_1\)の薄膜中に入るときの波長の変化を考えます。光が異なる媒質に進むとき、振動数\(f\)は変化しませんが、速さ\(v\)が変わるため、波長\(\lambda\)も変化します。この関係を、屈折率の定義と波の基本式から導きます。

この設問における重要なポイント

• 光が媒質をまたいでも振動数は不変である。
• 屈折率\(n\)の媒質中での光の速さは \(v = c/n\)（\(c\)は真空中の光速）。
• 波の基本式 \(v = f\lambda\)。

具体的な解説と立式
空気中（屈折率1）での光の速さを\(c\)、波長を\(\lambda_0\)、振動数を\(f\)とすると、
$$ c = f\lambda_0 \quad \cdots ① $$
薄膜中（屈折率\(n_1\)）での光の速さを\(v_1\)、波長を\(\lambda_1\)とすると、振動数は\(f\)で変わらないので、
$$ v_1 = f\lambda_1 \quad \cdots ② $$
また、屈折率の定義より、\(v_1 = c/n_1\)。これを②に代入すると、
$$ \frac{c}{n_1} = f\lambda_1 \quad \cdots ③ $$

式①より \(f = c/\lambda_0\)。これを式③に代入します。
$$ \frac{c}{n_1} = \left(\frac{c}{\lambda_0}\right) \lambda_1 $$
両辺の\(c\)を消去し、\(\lambda_1\)について解くと、
$$ \frac{1}{n_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_0} $$
$$ \lambda_1 = \frac{\lambda_0}{n_1} $$

光が屈折率\(n_1\)の媒質に入ると、その速さは\(1/n_1\)倍になります。光の振動（波の数）は変わらないので、速さが遅くなった分だけ、波の長さ（波長）も\(1/n_1\)倍に縮みます。

薄膜中の光の波長は \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{\lambda_0}{n_1}\) です。屈折率が1より大きい媒質中では波長が短くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
垂直入射における干渉を考えます。まず、光線①と②の光路差を求めます。次に、それぞれの反射面で位相が反転するかどうかを、屈折率の大小関係 \(n_1 > n_2 > 1\) から判断します。最後に、光路差と位相変化を組み合わせて、干渉光が強めあう（極大となる）条件式を立て、\(k\)回目の極大に対応する厚さ\(d_k\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 光路差の計算: 光線②は薄膜を厚さ\(d\)だけ往復するため、経路差は\(2d\)。光路差は \(2n_1d\)。
• 位相変化の判定:
  • 光線①（空気→薄膜）: \(1 < n_1\) なので、屈折率が小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • 光線②（薄膜→ガラス）: \(n_1 > n_2\) なので、屈折率が 大→小の反射。位相は変化しない。
• 強めあいの条件: 片方の光だけ位相が反転するため、条件が逆転し、「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。
• \(k\)回目の極大と次数\(m\)の関係: 厚さ0から増やしていくので、最も次数の小さい\(m=0\)が1回目の極大(\(k=1\))に対応する。よって、\(k\)回目の極大は \(m=k-1\) に対応する。

具体的な解説と立式
光線②は薄膜中を往復するので、その経路長は\(2d\)です。薄膜の屈折率は\(n_1\)なので、光路差は \(2n_1d\) となります。
位相変化は光線①のみで起こります。
したがって、2つの光が強めあう条件は、
$$ \text{光路差} = (m + \frac{1}{2}) \times (\text{空気中での波長}) $$
$$ 2n_1d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda_0 \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
\(k\)回目の極大は、次数が \(m=k-1\) の場合に対応します。このときの厚さを\(d_k\)とすると、
$$ 2n_1d_k = \left( (k-1) + \frac{1}{2} \right)\lambda_0 $$
$$ 2n_1d_k = \left( k – \frac{1}{2} \right)\lambda_0 $$

上の式を\(d_k\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
d_k &= \frac{(k – \frac{1}{2})\lambda_0}{2n_1} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{2k-1}{2}\lambda_0}{2n_1} \\[2.0ex]&= \frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0
\end{aligned}
$$

光線②は薄膜を往復するので、光線①より実質的に \(2n_1d\) だけ長い道のりを進みます。一方、光線①は空気と薄膜の境目で反射するときに位相がひっくり返りますが、光線②は薄膜とガラスの境目ではひっくり返りません。このように片方だけがひっくり返る場合、強めあう条件は「光路差が、(0.5, 1.5, 2.5, …)×波長」となります。\(k\)番目に明るくなるのは、この係数が \(k-0.5\) になるときです。

\(k\)回目の極大となる厚さは \(d_k = \displaystyle\frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0\) です。\(k=1, 2, 3, \dots\) と厚さが増えるにつれて、等間隔ではないものの、規則的に明るくなる点が現れることを示しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
薄膜の厚さ\(d_k\)を固定したまま、入射光の波長を\(\lambda_0\)から徐々に短くしていきます。このとき、光路差\(2n_1d_k\)は一定ですが、その中に含まれる波の数が変化します。一度暗くなった後、再び明るくなる（極大となる）のは、干渉の次数\(m\)が1つ大きくなったときです。

この設問における重要なポイント

• 厚さ\(d_k\)は固定なので、光路差\(2n_1d_k\)は一定。
• 強めあいの条件式 \(2n_1d_k = (\text{次数} + \frac{1}{2})\lambda\) において、\(\lambda\)を小さくすると、次数が大きくなる。
• 「一度暗くなった後、再び明るく」なるのは、次数が1つだけ増えた場合に相当する。

具体的な解説と立式
元の波長\(\lambda_0\)での強めあいの条件は、(2)より次数\(m=k-1\)を用いて、
$$ 2n_1d_k = \left(k – \frac{1}{2}\right)\lambda_0 \quad \cdots ① $$
波長を\(\lambda_2\)に短くして次に強めあうのは、次数が1つ増えて \(m’ = (k-1)+1 = k\) となるときです。
$$ 2n_1d_k = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda_2 \quad \cdots ② $$

式①と式②は、どちらも同じ光路差\(2n_1d_k\)を表しているので、右辺同士を等しいと置くことができます。
$$ \left(k – \frac{1}{2}\right)\lambda_0 = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda_2 $$
この式を\(\lambda_2\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{k – \frac{1}{2}}{k + \frac{1}{2}}\lambda_0 \\[2.0ex]&= \frac{\frac{2k-1}{2}}{\frac{2k+1}{2}}\lambda_0 \\[2.0ex]&= \frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0
\end{aligned}
$$

同じ厚さの薄膜でも、当てる光の色（波長）を変えると、明るく見えたり暗く見えたりします。波長\(\lambda_0\)で\(k\)番目に明るかった状態から、波長をだんだん短くしていくと、光路差の中に収まる波の数が少しずつ増えていきます。そして、波の数がちょうど1個増えたとき（次数が1つ増えたとき）に、再び明るく見えます。この関係を数式で表して解くと、新しい波長\(\lambda_2\)が求まります。

次に極大となる波長は \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0\) です。分数の部分は1より小さいので、\(\lambda_2 < \lambda_0\) となり、波長を短くしたという問題設定と一致しており、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で導いた関係式に、与えられた具体的な数値 \(\lambda_0 = 500\) nm, \(\lambda_2 = 433\) nm を代入して、まず次数\(k\)を求めます。\(k\)は整数になるはずなので、計算結果に最も近い整数を選びます。次に、その\(k\)の値を(2)で求めた\(d_k\)の式に代入し、厚さを計算します。

この設問における重要なポイント

• \(k\)は「\(k\)回目の極大」を表す自然数である。
• 計算に用いる数値の単位をmに統一する。(\(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\))
• 最終的な答えは、問題の状況に応じた有効数字で答える（ここでは模範解答に合わせて2桁とする）。

具体的な解説と立式
(3)で求めた式に、\(\lambda_0 = 500\), \(\lambda_2 = 433\) を代入します。
$$ 433 = \frac{2k-1}{2k+1} \times 500 $$
この式を解いて\(k\)を求めます。
次に、(2)の式に、求めた\(k\)と \(n_1=2.0\), \(\lambda_0 = 500 \text{ nm} = 5.00 \times 10^{-7} \text{ m}\) を代入して\(d_k\)を計算します。
$$ d_k = \frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0 $$

まず\(k\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
433(2k+1) &= 500(2k-1) \\[2.0ex]866k + 433 &= 1000k – 500 \\[2.0ex]1000k – 866k &= 433 + 500 \\[2.0ex]134k &= 933 \\[2.0ex]k &= \frac{933}{134} \approx 6.96
\end{aligned}
$$
\(k\)は自然数なので、最も近い整数は \(k=7\) です。
次に、\(k=7\) を用いて \(d_7\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
d_7 &= \frac{2 \times 7 – 1}{4 \times 2.0} \times (5.00 \times 10^{-7}) \\[2.0ex]&= \frac{13}{8.0} \times 5.00 \times 10^{-7} \\[2.0ex]&= 1.625 \times 5.00 \times 10^{-7} \\[2.0ex]&= 8.125 \times 10^{-7} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると \(8.1 \times 10^{-7}\) m となります。

(3)で作った式に、問題で与えられた2つの波長（500nmと433nm）を代入すると、これが何番目の明るい線だったのか（\(k\)の値）を逆算できます。計算すると約6.96なので、\(k=7\)だったと分かります。次に、(2)で作った厚さを求める式に、この\(k=7\)と、屈折率\(n_1=2.0\)、波長\(\lambda_0=500\)nmを代入して、実際の厚さを計算します。

薄膜の厚さは \(d_7 \approx 8.1 \times 10^{-7}\) m です。これは810 nmに相当し、光の波長と同程度の非常に薄い膜であり、薄膜干渉が起こる典型的な厚さとして妥当な値です。

問(5)

思考の道筋とポイント
光が空気中から薄膜へ斜めに入射する際の、屈折の法則を立式します。空気の屈折率は1、薄膜の屈折率は\(n_1\)、入射角は\(i\)、屈折角は\(r\)です。

この設問における重要なポイント

• 屈折の法則: \(n_a \sin\theta_a = n_b \sin\theta_b\)。
• 適用する境界面と角度を正しく対応させる。

具体的な解説と立式
空気（屈折率1）と薄膜（屈折率\(n_1\)）の境界面に、屈折の法則を適用します。
$$ 1 \cdot \sin i = n_1 \cdot \sin r $$

この設問は関係式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

光が異なる物質に斜めに入るとき、その進路は曲がります。この曲がり方のルールが屈折の法則です。「屈折率 × sin(角度)」の値が、境界面の前後で等しくなる、という法則です。

求める関係式は \(\sin i = n_1 \sin r\) です。これは屈折の法則そのものであり、物理的に正しいです。

問(6)

思考の道筋とポイント
斜め入射における強めあいの条件を考えます。垂直入射のときと同様に、光路差と位相変化を評価します。光路差は、図2を元に幾何学的に計算する必要があります。位相変化の条件は垂直入射のときと変わりません。

この設問における重要なポイント

• 斜め入射での光路差は \(2n_1d\cos r\) となる。
• 位相変化の条件は問(2)と同じ（光線①のみ反転）。
• 強めあいの条件は「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。

具体的な解説と立式
図2において、光線②が光線①よりも余分に進む経路は、薄膜中の \(A_1C + CA_2\) です。図の幾何学的関係から、この経路長は \(2d/\cos r\) ではなく、\(2d\cos r\) となります。（模範解答の図b参照）
点\(A_1\)から線分\(CA_2\)に下ろした垂線の足を\(D\)とすると、経路差は\(A_1C+CD\)ではなく、\(A_1\)と\(A_2\)から出る光が同位相になる波面を考え、その後の光路差を計算します。
点\(A_1\)から\(A_2C\)に下ろした垂線の足を\(B_2\)、点\(A_2\)から\(A_1\)の反射光路に下ろした垂線の足を\(B_1\)とすると、光線②が余分に進む光路は薄膜中の\(A_1B_2+B_2A_2\)です。
模範解答の図bのように考えると、光線②が光線①に対して余分に進む経路は \(B_1C+CB_2\) であり、その長さは \(2d\cos r\) となります。
したがって、光路差は、
$$ \text{光路差} = n_1 \times (\text{経路差}) = n_1 \times (2d\cos r) = 2n_1d\cos r $$
位相変化は問(2)と同様に光線①のみで起こるため、強めあいの条件は、
$$ 2n_1d\cos r = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda_3 \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

この設問は関係式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

光が斜めに入ると、薄膜の中を進む距離の計算が少し複雑になります。図形的に計算すると、光線②が余分に進む距離の実質的な長さ（光路差）は \(2n_1d\cos r\) となります。位相がひっくり返るルールは垂直のときと同じなので、この光路差が半波長の奇数倍になるときに光は強めあいます。

強めあう条件は \(2n_1d\cos r = (m + \frac{1}{2})\lambda_3\) です。\(r=0\)（垂直入射）のとき \(\cos r=1\) となり、問(2)で立てた \(2n_1d = (m+\frac{1}{2})\lambda_0\) と同じ形の式になります。このことから、式の妥当性が確認できます。

問(7)

思考の道筋とポイント
(6)で求めた条件式には屈折角\(r\)が含まれています。これを、観測しやすい入射角\(i\)で書き換えることが目的です。(5)で立てた屈折の法則を使い、\(\cos r\)を\(i\)の式で表現して代入します。

この設問における重要なポイント

• 三角関数の公式 \(\cos^2 r + \sin^2 r = 1\) を利用する。
• 屈折の法則 \(\sin r = \displaystyle\frac{\sin i}{n_1}\) を代入する。

具体的な解説と立式
まず、\(\cos r\) を \(i\) で表します。
$$ \cos r = \sqrt{1 – \sin^2 r} $$
ここに、(5)の式 \(\sin r = \displaystyle\frac{\sin i}{n_1}\) を代入すると、
$$ \cos r = \sqrt{1 – \left(\frac{\sin i}{n_1}\right)^2} = \sqrt{\frac{n_1^2 – \sin^2 i}{n_1^2}} = \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}}{n_1} $$
この \(\cos r\) の式を、(6)で求めた条件式 \(2n_1d\cos r = (m + \frac{1}{2})\lambda_3\) に代入します。

$$
\begin{aligned}
2n_1d \left( \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}}{n_1} \right) &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda_3 \\[2.0ex]2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i} &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda_3
\end{aligned}
$$

(6)の答えには、直接測ることが難しい薄膜の中の角度\(r\)が含まれています。これを、実験で設定できる外からの入射角\(i\)だけの式に書き換える作業です。屈折の法則と三角関数の公式を使って、式変形を行います。

求める条件式は \(2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i} = (m + \frac{1}{2})\lambda_3\) です。これで、観測可能な量（\(d, i, \lambda_3\)）と物質の性質（\(n_1\)）だけで干渉条件を記述できました。

問(8)

思考の道筋とポイント
(7)で求めた一般式を用いて、特定の状況を考えます。まず「垂直入射(\(i=0\))で明るかった」という条件で式を立てます。次に「入射角を\(i=i_1\)まで大きくすると、再び明るくなった」という条件で式を立てます。ここで重要なのは、入射角\(i\)を大きくすると光路差 \(2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}\) は「減少」するため、次に明るくなるのは干渉の次数\(m\)が1つ「減少」したときである、という点です。

この設問における重要なポイント

• \(i=0\) のときと \(i=i_1\) のときの2つの条件式を立てる。
• \(i\) が \(0 \rightarrow i_1\) と増加すると、光路差は減少する。
• 光路差が減少して再び極大になるのは、次数\(m\)が1つ小さくなるとき (\(m \rightarrow m-1\))。
• 次数が負になることはないので、元の次数は \(m \ge 1\) でなければならない。

具体的な解説と立式
(7)の条件式 \(2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i} = (m + \frac{1}{2})\lambda_3\) を使います。

• \(i=0\)で明るい条件
  \(i=0\) を代入すると \(\sin i = 0\)。このときの次数を\(m\)とします。
  $$ 2d\sqrt{n_1^2 – 0} = 2n_1d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda_3 \quad \cdots ① $$
• \(i=i_1\)で次に明るい条件
  入射角を大きくすると光路差は減少するので、次数が1つ小さい \(m-1\) で明るくなります。
  $$ 2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1} = \left((m-1) + \frac{1}{2}\right)\lambda_3 = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda_3 \quad \cdots ② $$
  この現象が起こるためには、元の次数\(m\)が0であってはなりません。もし\(m=0\)だと、次に小さい次数は存在しないからです。よって \(m \ge 1\)。

式②を式①で割ることで、\(d\)と\(\lambda_3\)を消去します。
$$ \frac{2d\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{2n_1d} = \frac{(m – \frac{1}{2})\lambda_3}{(m + \frac{1}{2})\lambda_3} $$
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{n_1} &= \frac{m – \frac{1}{2}}{m + \frac{1}{2}} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{2m-1}{2}}{\frac{2m+1}{2}} \\[2.0ex]&= \frac{2m-1}{2m+1}
\end{aligned}
$$

まず、まっすぐ（\(i=0\)）光を入れたときに明るくなる条件を、(7)の式を使って書きます。次に、角度を\(i_1\)まで傾けて、再び明るくなったときの条件を書きます。このとき、光路差は角度を付けると短くなるので、明るくなる条件の次数（\(m\)の値）は1つ減っているはずです。この2つの式を割り算すると、厚さ\(d\)や波長\(\lambda_3\)がきれいに消去でき、求めたい関係式が得られます。

求める関係式は \(\displaystyle\frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{n_1} = \frac{2m-1}{2m+1}\) (\(m=1, 2, 3, \dots\)) です。この式は、特定の角度\(i_1\)で再び明るくなる現象が、薄膜の屈折率\(n_1\)と、最初の明るさが何番目のものだったか(\(m\))に依存することを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の計算:
  • 核心: 干渉を議論する上での基本量。光が屈折率\(n\)の媒質中を距離\(L\)だけ進むときの「光路長」は\(nL\)で計算されます。干渉する2つの光の光路長の差が「光路差」です。
  • 理解のポイント: この問題では、光線②が薄膜中を往復するため、光路差が生じます。
    • 垂直入射（問2）: 光路差 = \(2n_1d\)
    • 斜め入射（問6）: 光路差 = \(2n_1d\cos r\)

    斜め入射の場合に\(\cos r\)が付くことを幾何学的に理解することが重要です。

• 反射における位相変化:
  • 核心: 薄膜干渉の条件を決定づける最重要ルール。光が「屈折率が小さい媒質」から「屈折率が大きい媒質」へ向かう際に境界面で反射すると、位相が\(\pi\)（半波長分）ずれます。逆（大→小）の場合は位相は変化しません。
  • 理解のポイント: この問題では \(n_1 > n_2 > 1\) という条件が与えられています。
    • 光線①（空気→薄膜）: \(1 < n_1\) なので、小→大の反射。位相が反転する。
    • 光線②（薄膜→ガラス）: \(n_1 > n_2\) なので、大→小の反射。位相は変化しない。

    この結果、2つの光のうち片方だけ位相が反転するため、干渉条件が通常とは逆転します。

• 干渉条件の立式:
  • 核心: 上記の「光路差」と「位相変化」を組み合わせて、強めあい（明）と弱めあい（暗）の条件を立てます。
  • 理解のポイント:
    • 位相変化が0回 or 2回（同条件）の場合:
      光路差 = \(m\lambda\) （明）, \((m+\frac{1}{2})\lambda\) （暗）
    • 位相変化が1回（片方のみ）の場合（この問題はコレ！）:
      光路差 = \((m+\frac{1}{2})\lambda\) （明）, \(m\lambda\) （暗）

    このルールを正確に適用することが、全問を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • シャボン玉の干渉: シャボン膜（水）は空気より屈折率が大きいので、表面（空気→水）と裏面（水→空気）での反射を考えます。この場合、表面で位相が反転、裏面では反転しないため、本問と同じく「片側のみ位相変化」のパターンになります。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いたときの干渉。レンズとガラスの間の空気層が薄膜の役割をします。光はガラス→空気→ガラスと進むため、空気層の下面（空気→ガラス）での反射でのみ位相が反転します。これも「片側のみ位相変化」のパターンです。
  • くさび形空気層: 2枚のガラスを重ね、一端に紙などを挟んで作ったくさび形の空気層による干渉。これもニュートンリングと同様の状況です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小関係をチェック: まず問題文から各媒質の屈折率の大小関係（例: \(n_1 > n_2 > 1\)）を把握します。これが位相変化を判断する全ての基礎になります。
  2. 2つの反射面を特定する: 干渉する2つの光が、どの境界面で反射したものかを特定します（例: ①空気-薄膜面、②薄膜-ガラス面）。
  3. 位相変化の有無を判定する: 特定した2つの反射面それぞれについて、「小→大」か「大→小」かを判断し、位相が反転するかしないかをメモします。
  4. 光路差を計算する: 入射が垂直か斜めかを確認し、適切な光路差の式（\(2nd\) or \(2nd\cos r\)）を適用します。
  5. 条件式を組み立てる: 位相変化の回数（0, 1, 2回）に応じて、正しい干渉条件の式（光路差 = \(m\lambda\) or \((m+\frac{1}{2})\lambda\)）を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位相変化のルールの混同:
  • 誤解: どの反射でも位相が反転する、あるいは全く反転しないと勘違いする。または、屈折率の大小関係を見誤る。
  • 対策: 「小から大へ、壁ドン（位相\(\pi\)反転）」のように、覚えやすいフレーズでルールを記憶しましょう。問題を解く際は、必ず図に屈折率の大小を書き込み、各反射面で「小→大？」「大→小？」と自問自答する習慣をつけます。
• 光路差の計算ミス（特に斜め入射）:
  • 誤解: 斜め入射の光路差を、経路差 \(2d/\cos r\) に屈折率を掛けた \(2n_1d/\cos r\) だと勘違いする。
  • 対策: 光路差の導出過程を一度は自分で図を描いて確認しましょう。波面を考えて幾何学的に計算すると、正しくは \(2n_1d\cos r\) となることが理解できます。公式として暗記するだけでなく、その成り立ちを把握しておくことがミスを防ぎます。
• 次数\(m\)と\(k\)回目の関係:
  • 誤解: \(k\)回目の極大を、そのまま次数\(m=k\)としてしまう。
  • 対策: 次数\(m\)は通常 \(m=0, 1, 2, \dots\) から始まります。厚さ0から増やしていく場合、最初に現れる極大（1回目, \(k=1\)）は、最も小さい次数である\(m=0\)に対応します。したがって、\(k\)回目は \(m=k-1\) に対応すると理解しましょう。
• 変数を変化させたときの次数の変化:
  • 誤解: (3)で波長\(\lambda\)を小さくしたときや、(8)で入射角\(i\)を大きくしたときに、次に明るくなる条件の次数がどう変化するかを間違える。
  • 対策: 常に光路差の式に立ち返りましょう。(3)では光路差は一定で\(\lambda\)が減るので、次数は増加します。(8)では\(i\)を増やすと\(\cos r\)が減り、光路差が減少するので、次数は減少します。式の形から物理量の増減関係を読み取る訓練が重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 屈折率の階層図: 図の横に、空気(1), 薄膜(\(n_1\)), ガラス(\(n_2\))の屈折率を大小関係がわかるように数直線のように描くと、位相変化の判断が視覚的に容易になります。
  • 光路差の図解: 斜め入射の場合、模範解答の図bのように、波面を基準にして光路差が生じる部分（\(B_1C+CB_2\)）を明確に図示することが、\(2d\cos r\)という経路差を理解する助けになります。
  • 位相の反転マーク: 反射が起こる点（図1の薄膜上面、薄膜下面）に、位相が反転する場合は「×」印、しない場合は「○」印などを書き込むと、条件式の選択ミスを防げます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の正確な定義: 斜め入射の問題では、入射角\(i\)と屈折角\(r\)を、必ず法線を基準とした角度として正確に描くことが基本です。
  • 光線の分離: 干渉を考える際は、入射光と反射光を少しずらして描くと、それぞれの光路が追いやすくなり、図が見やすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差 = \((m+\frac{1}{2})\lambda\) （強めあい）:
  • 選定理由: 問題が「明るくなる（強めあう）」条件を問うており、かつ物理状況が「片側のみ位相が反転する」ため。
  • 適用根拠: 片方の光が半波長分ずれているため、強めあうためには光路差がそのずれを打ち消し、さらに整数波長分ずれる必要があります。結果として、光路差が半波長の奇数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) のときに強めあいます。
• 屈折の法則 \(\sin i = n_1\sin r\):
  • 選定理由: 観測可能な入射角\(i\)と、光路差の計算に必要な薄膜内の屈折角\(r\)という、2つの異なる角度の関係を明らかにするため。
  • 適用根拠: 光が異なる媒質の境界面を通過する際に従う普遍的な物理法則です。これにより、直接測定できない\(r\)を、測定可能な\(i\)で表現することが可能になります。
• 三角関数の公式 \(\cos r = \sqrt{1-\sin^2 r}\):
  • 選定理由: 屈折の法則が\(\sin\)で与えられるのに対し、光路差の式には\(\cos\)が含まれているため、両者を結びつけるために必要となります。
  • 適用根拠: 数学的な恒等式であり、角度をサインからコサイン（またはその逆）に変換するための基本的なツールです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 波長:
   • 戦略: 屈折率の定義から波長の変化を導く。
   • フロー: \(c=f\lambda_0\), \(v_1=c/n_1=f\lambda_1\) \(\rightarrow\) 2式から\(f\)を消去し\(\lambda_1\)を求める。
2. (2) 厚さ\(d_k\):
   • 戦略: ①位相変化を判定 → ②光路差を計算 → ③強めあいの条件式を立てる → ④\(k\)回目と次数\(m\)を対応させる。
   • フロー: ①片側反転 → ②光路差=\(2n_1d\) → ③\(2n_1d=(m+1/2)\lambda_0\) → ④\(m=k-1\)を代入し\(d_k\)を解く。
3. (3) 波長\(\lambda_2\):
   • 戦略: 厚さ\(d_k\)は一定。波長\(\lambda_0\)で次数\(m=k-1\)の条件と、波長\(\lambda_2\)で次数\(m=k\)の条件を連立する。
   • フロー: \(2n_1d_k=(k-1/2)\lambda_0\) と \(2n_1d_k=(k+1/2)\lambda_2\) を等しいと置き、\(\lambda_2\)を解く。
4. (4) \(d_k\)の計算:
   • 戦略: (3)の式に数値を代入して\(k\)を求め、その結果を(2)の式に代入する。
   • フロー: \(\lambda_2 = \frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0\) から\(k\)を求める \(\rightarrow\) \(d_k = \frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0\) に代入して計算。
5. (5) 屈折の法則:
   • 戦略: 空気と薄膜の境界面に屈折の法則を適用する。
   • フロー: \(1 \cdot \sin i = n_1 \cdot \sin r\)。
6. (6) 斜め入射の条件(\(r\)使用):
   • 戦略: 斜め入射の光路差 \(2n_1d\cos r\) を用い、強めあいの条件を立てる。
   • フロー: 光路差=\(2n_1d\cos r\), 片側反転 \(\rightarrow\) \(2n_1d\cos r = (m+1/2)\lambda_3\)。
7. (7) 斜め入射の条件(\(i\)使用):
   • 戦略: (6)の式の\(\cos r\)を、(5)の屈折の法則と三角関数の公式を使って\(i\)で表す。
   • フロー: \(\cos r = \sqrt{1-\sin^2 r} = \frac{\sqrt{n_1^2-\sin^2 i}}{n_1}\) を(6)の式に代入する。
8. (8) 角度変化の条件:
   • 戦略: (7)の式で、\(i=0\)のときの条件（次数\(m\)）と、\(i=i_1\)のときの条件（次数\(m-1\)）を立てて連立する。
   • フロー: \(2n_1d = (m+1/2)\lambda_3\) と \(2d\sqrt{n_1^2-\sin^2 i_1} = (m-1/2)\lambda_3\) の2式を立て、割り算して整理する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• • 分数の整理: (2)や(3)のように、分子や分母に分数が入る計算は、丁寧に段階を踏んで整理しましょう。例えば、\((k-1/2)\)を\((2k-1)/2\)と直してから計算を進めると、ミスが減ります。
  • 平方根の扱い: (7)や(8)では平方根の計算が出てきます。\(\sqrt{A/B^2} = \sqrt{A}/B\) のような変形を正確に行いましょう。
  • 連立方程式の解法: (3)や(8)のように、2つの条件式を連立させる場合、割り算をすると共通の物理量（\(d, \lambda\)など）をまとめて消去でき、計算が楽になることが多いです。このテクニックは他の分野でも有効です。

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• 整数条件の活用: (4)で\(k\)を求めた際、計算結果が6.96となりました。\(k\)は整数であるという物理的制約から、\(k=7\)と判断できます。このように、物理的な意味を考えることで、測定誤差などによる計算のズレを補正できる場合があります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(\lambda_2 < \lambda_0\): \(\lambda_2 = \frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0\) という結果は、\(\frac{2k-1}{2k+1} < 1\) なので、波長を短くしたという問題設定と矛盾しません。
  • (6)と(2)の比較: 斜め入射の条件式 \(2n_1d\cos r = (m+1/2)\lambda_3\) で、\(r=0\)（垂直入射）とすると、\(2n_1d = (m+1/2)\lambda_3\) となり、(2)で立てた垂直入射の条件式と同じ形になります。一般式が特殊な場合を正しく含んでいることは、その式の妥当性を示唆します。
  • (8) 光路差の減少: 入射角\(i\)を大きくすると、\(\sin i\)が増加し、\(\sqrt{n_1^2-\sin^2 i}\) は減少します。つまり光路差が短くなることを意味します。光路差が短くなって再び極大になるためには、次数\(m\)が小さくなる必要があり、\(m \rightarrow m-1\) とした考察は物理的に正しいです。

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