「重要問題集」徹底解説（46〜50問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題46 (京都産業大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、回転する棒に取り付けられたビーズの運動を扱います。円運動の基本的な考え方に加え、観測者の立場（静止系と回転系）による見え方の違い、さらには摩擦が働く場合までを考察する、力学の総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回転座標系における力のつり合い」です。

問(1) ア, イ, ウ, エ

思考の道筋とポイント
ビーズが距離\(r=r_0\)を保って運動している状態を、静止系（回転台の外の観測者）から分析します。ビーズは水平面内を円運動しており、その運動を記述する物理量を順に求めていきます。
この設問における重要なポイント

• ビーズの円運動の半径を正しく求める。
• 円運動の基本公式（\(v=r\omega\), \(a=r\omega^2\)）を適用する。
• 向心力が実在の力の合力であることを理解する。

具体的な解説と立式
(ア) ビーズが描く円運動の半径は、図から \(r_0 \sin\theta\) です。円運動の速さと角速度の関係式 \(v = (\text{半径}) \times (\text{角速度})\) より、
$$v = (r_0 \sin\theta) \omega$$
(イ) 運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に、(ア)で求めた\(v\)を代入します。
$$K = \frac{1}{2}m v^2$$
(ウ) 向心力の大きさは運動方程式 \(F=ma\) から求めます。向心加速度の大きさ\(a\)は、\(a = (\text{半径}) \times \omega^2 = (r_0 \sin\theta) \omega^2\) なので、
$$F_{\text{向}} = m a$$
(エ) ビーズにはたらく実在の力は「重力」と棒からの「垂直抗力」の2つです。向心力は、この2つの力のベクトル和（合力）に等しくなります。

(ア)
$$v = r_0 \omega \sin\theta$$
(イ)
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}m (r_0 \omega \sin\theta)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta
\end{aligned}
$$
(ウ)
$$
\begin{aligned}
F_{\text{向}} &= m (r_0 \sin\theta) \omega^2 \\[2.0ex]
&= m r_0 \omega^2 \sin\theta
\end{aligned}
$$
(エ) 選択肢③「重力と垂直抗力の合力」が正解です。

メリーゴーランドを外から見ている人を想像してください。(ア)はビーズがどれくらいの速さで回っているか、(イ)はそのときの運動エネルギー、(ウ)はビーズを円運動させるために中心に向かって引っ張る力の大きさを計算しています。そして(エ)では、その「引っ張る力」の正体が、ビーズにはたらく重力と、棒がビーズを支える力（垂直抗力）を合わせたものであることを確認しています。

(ア) \(r_0 \omega \sin\theta\), (イ) \(\displaystyle\frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta\), (ウ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (エ) ③。
これらは円運動の基本的な物理量を定義通りに計算したものです。

問(1) オ, カ, キ, ク

思考の道筋とポイント
ここからは、ビーズといっしょに運動する観測者（回転系）の立場で考えます。この立場では、ビーズは静止しており、実在の力に加えて「遠心力」がはたらき、すべての力がつり合っていると解釈します。
力を「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 回転系では遠心力を導入し、力のつり合いを考える。
• 力を、棒に平行・垂直な方向に分解する。

具体的な解説と立式
(オ) 遠心力の大きさ\(f\)は、向心力の大きさと等しく、向きが逆です。(ウ)の結果から、円運動の半径が \(r_0\sin\theta\) なので、
$$f = m (r_0\sin\theta) \omega^2 = m r_0 \omega^2 \sin\theta$$
(カ) 重力\(mg\)（鉛直下向き）を分解します。棒が鉛直となす角が\(\theta\)なので、

• 棒に垂直な成分: \(mg\sin\theta\)
• 棒に平行な成分: \(mg\cos\theta\)

(キ) 垂直抗力の大きさ\(N\)を求めます。「棒に垂直な方向」の力のつり合いを考えます。

• 垂直抗力: \(N\) （棒から離れる向き）
• 重力の垂直成分: \(mg\sin\theta\) （棒に近づく向き）
• 遠心力の垂直成分: 遠心力\(f\)は水平外向きです。これを分解すると、棒に垂直な成分は \(f\cos\theta\) （棒に近づく向き）となります。

力のつり合いより、
$$N = mg\sin\theta + f\cos\theta \quad \cdots ①$$
(ク) \(r_0\)が満たす条件を求めます。「棒にそった方向」の力のつり合いを考えます。

• 重力の平行成分: \(mg\cos\theta\) （支点向き）
• 遠心力の平行成分: \(f\sin\theta\) （支点から遠ざかる向き）

力のつり合いより、
$$f\sin\theta = mg\cos\theta \quad \cdots ②$$

(オ)
$$f = mr_0\omega^2\sin\theta$$
(カ)
$$mg\sin\theta$$
(キ)
式①がそのまま解答となります。
$$N = mg\sin\theta + f\cos\theta$$
(ク)
式②に(オ)の結果を代入します。
$$(m r_0 \omega^2 \sin\theta)\sin\theta = mg\cos\theta$$
$$m r_0 \omega^2 \sin^2\theta = mg\cos\theta$$
\(r_0\)について解きます。
$$r_0 = \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}$$

今度はメリーゴーランドに乗っている人の視点です。この人から見ると、ビーズは自分の隣で止まっています。なぜ止まっていられるかというと、外側に引っ張られる力（遠心力）と、地球が下に引く力（重力）、そして棒が押し返す力（垂直抗力）が、絶妙なバランスでつり合っているからです。(キ)と(ク)では、その力のつり合いを数式にしています。

(オ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (カ) \(mg\sin\theta\), (キ) \(mg\sin\theta + f\cos\theta\), (ク) \(\displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) です。
(ク)の結果は、ビーズがつり合う位置\(r_0\)は、角速度\(\omega\)が速いほど小さくなる（支点に近づく）ことを示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(ケ) なめらかな棒上で、つり合いの位置\(r_0\)より大きい\(r_1\)からビーズを静かにはなした後の運動を考えます。
このビーズがどちらに動くかは、その点ではたらく「棒にそった方向」の力の合力によって決まります。
(1)の(ク)で立てた、棒にそった方向の力のつり合いの式を参考にします。
この設問における重要なポイント

• つり合いの位置からずれたとき、どちら向きに合力がはたらくかを調べる。

具体的な解説と立式
棒にそった方向の力は、遠心力の平行成分 \(f\sin\theta = (mr\omega^2\sin\theta)\sin\theta = mr\omega^2\sin^2\theta\)（遠ざかる向き）と、重力の平行成分 \(mg\cos\theta\)（近づく向き）です。
つり合いの位置\(r_0\)では、\(mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta\) が成り立っていました。
今、\(r=r_1 > r_0\) なので、遠心力の平行成分はつり合いのときより大きくなります。

\(r=r_1\) のとき、棒にそって遠ざかる向きの力は \(mr_1\omega^2\sin^2\theta\) です。
\(r_1 > r_0\) であることから、
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta > mr_0\omega^2\sin^2\theta$$
つり合いの条件から \(mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta\) なので、
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta > mg\cos\theta$$
これは、「遠ざかる向きの力 > 近づく向きの力」を意味します。
したがって、ビーズには棒にそって上向き（支点から遠ざかる向き）の合力がはたらき、ビーズは上昇し始めます。上昇して\(r\)がさらに大きくなると、遠心力もさらに大きくなるため、合力はさらに大きくなり、上昇は止まりません。

つり合いの位置よりも外側からスタートすると、外向きに引っ張る遠心力の効果が、内向きに引っ張る重力の効果を上回ってしまいます。そのため、ビーズはどんどん外側（上向き）に加速されていきます。

選択肢②「棒にそって上昇し続ける」が正解です。
つり合いの位置より外側では、遠心力の効果が重力の効果を上回るため、ビーズはさらに外側へ加速されます。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度はビーズと棒の間に摩擦がある場合を考えます。\(r=r_1\)の位置でビーズが静止しているときの、垂直抗力\(N’\)と、静止し続けるための条件を求めます。
(コ) 垂直抗力\(N’\)は、(1)の(キ)で求めた\(N\)の式で、\(r_0\)を\(r_1\)に置き換えるだけです。
(サ) 「静止し続けるための条件」とは、棒にそった方向にはたらく力が、最大静止摩擦力を超えない、という条件です。
この設問における重要なポイント

• 摩擦がない場合にどちらに動こうとするかを考え、静止摩擦力の向きを決定する。
• 静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えないという条件を立式する。

具体的な解説と立式
(コ) 垂直抗力\(N’\)を求めます。(1)の(キ)の導出過程 \(N = mg\sin\theta + f\cos\theta\) と \(f=mr\omega^2\sin\theta\) より、\(r\)を\(r_1\)に、\(f\)を\(f’=mr_1\omega^2\sin\theta\)に置き換えて、
$$N’ = mg\sin\theta + f’\cos\theta = mg\sin\theta + (mr_1\omega^2\sin\theta)\cos\theta$$
(サ) 静止し続ける条件を求めます。
\(r_1 > r_0\) なので、(2)で見たように、摩擦がなければビーズは上昇しようとします。
したがって、静止摩擦力\(F_{\text{静}}\)は、この動きを妨げる向き、すなわち棒にそって下向き（支点向き）にはたらきます。
棒にそった方向の力のつり合いの式は、
$$(\text{遠ざかる向きの力}) = (\text{近づく向きの力の合計})$$
$$f’\sin\theta = mg\cos\theta + F_{\text{静}}$$
ビーズが静止し続けるためには、この静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N’\) を超えなければよいので、
$$F_{\text{静}} \le \mu N’$$

(コ)の計算:
$$
\begin{aligned}
N’ &= mg\sin\theta + mr_1\omega^2\sin\theta\cos\theta \\[2.0ex]
&= m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)
\end{aligned}
$$
(サ)の計算:
まず、必要な静止摩擦力\(F_{\text{静}}\)を求めます。
$$F_{\text{静}} = f’\sin\theta – mg\cos\theta = mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta$$
次に、条件式 \(F_{\text{静}} \le \mu N’\) に代入します。
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta \le \mu \left( m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta) \right)$$
この不等式を\(r_1\)について整理します。\(m\)を消去し、\(r_1\)を含む項を左辺に集めます。
$$r_1\omega^2\sin^2\theta – \mu r_1\omega^2\sin\theta\cos\theta \le g\cos\theta + \mu g\sin\theta$$
$$r_1\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta) \le g(\cos\theta + \mu\sin\theta)$$
$$r_1 \le \frac{g(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}$$
ここで、(1)の(ク)の結果 \(r_0 = \displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) を使うと、\(\displaystyle\frac{g}{\omega^2} = \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta}\) となります。これを代入します。
$$
\begin{aligned}
r_1 &\le \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta + \mu\sin\theta}{\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)} \\[2.0ex]
&= r_0 \frac{\sin\theta(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\cos\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
分子・分母を\(\cos\theta\)で割ると、\(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\) となるので、
$$
\begin{aligned}
r_1 &\le r_0 \frac{\tan\theta(1 + \mu\tan\theta)}{1(\tan\theta – \mu)} \\[2.0ex]
&= r_0 \frac{\tan\theta(1 + \mu\tan\theta)}{\tan\theta – \mu}
\end{aligned}
$$

つり合いの位置より外側では、ビーズは上に滑り上がろうとします。この動きを摩擦力が下向きに引っ張って食い止めています。この摩擦力が耐えられる限界を超えない範囲であれば、ビーズは静止し続けることができます。この条件を数式で表し、ビーズが静止できる一番外側の位置を計算しています。

(コ)は \(m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)\)、(サ)は \(r_0 \displaystyle\frac{\tan\theta(1+\mu\tan\theta)}{\tan\theta-\mu}\) です。
摩擦があることで、つり合いの位置\(r_0\)からずれても静止できる範囲が生まれることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動の動力学（向心力と運動方程式）:
  • 核心: 物体が水平面内で円運動をするためには、常に円の中心方向を向いた水平な力、すなわち「向心力」が必要です。この向心力は、物体にはたらく様々な実在の力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: (1)の(ウ)と(エ)で、この問題の核心が問われています。静止系から見ると、ビーズは円運動という加速運動をしています。したがって、運動方程式 \(ma=F\) を立てる必要があります。向心加速度は \(a=(\text{半径})\omega^2\) であり、向心力\(F\)は重力と垂直抗力のベクトル和です。この関係を正しく理解し、立式できるかが最初の関門です。
• 慣性力（特に遠心力）:
  • 核心: 加速している座標系（この問題では回転系）で物体の運動を考える際に、ニュートンの運動法則を成り立たせるために導入される「見かけの力」です。
  • 理解のポイント: (1)の(オ)以降では、この回転系の視点が導入されます。遠心力（大きさ \(m(\text{半径})\omega^2\)、向きは中心から遠ざかる向き）を導入し、それを他の力（重力、垂直抗力）と同様に、棒に平行・垂直な成分に分解します。そして、「棒に平行な方向の力のつり合い」と「棒に垂直な方向の力のつり合い」という2つの式を立てることで、問題を解析します。これは運動方程式を立てるのと等価ですが、静止している物体の力のつり合いとして考えられるため、直感的に理解しやすい場合があります。
• 静止摩擦力:
  • 核心: 物体がすべり出さないように、接触面から受ける摩擦力です。その大きさは、外力に応じて \(0\) から最大値（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）まで変化し、向きも逆転しうることが特徴です。
  • 理解のポイント: (3)では、摩擦がない場合にビーズが動こうとする向き（上昇）をまず特定し、それを妨げる向き（下降）に静止摩擦力がはたらくと考えます。そして、その静止摩擦力が必要な大きさを保てる限界、すなわち \(F_{\text{静}} \le \mu N’\) という条件から、ビーズが静止し続けられる範囲を求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円錐振り子: 糸でつるされたおもりが水平面内で円運動する問題。本問題のなめらかな場合と全く同じ構造で、張力と重力の合力が向心力となります。
  • 回転する液体表面: 容器に入れて回転させると、液体表面が放物面を描きます。これは、液体中の微小な水滴にはたらく重力と垂直抗力の合力が向心力となる（あるいは、遠心力と重力の合力の向きが液体表面と垂直になる）ことで説明できます。
  • カーブを曲がる自動車: タイヤと路面の静止摩擦力が向心力となってカーブを曲がります。バンク（傾き）のあるカーブでは、垂直抗力の水平成分も向心力の一部を担います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系の選択: まず、力を分解するための座標軸をどう設定するかが重要です。
     • 水平・鉛直: 向心力が水平方向にはたらくことを明確にするのに便利です。重力の分解が不要なメリットがあります。
     • 棒に平行・垂直: 棒からの垂直抗力や摩擦力を扱うのに便利です。重力や遠心力を分解する必要があります。

     この問題では、両方の視点から力を分解する能力が求められています。

  2. 力の分解: 選択した座標系に対して、斜めにはたらく力をすべて成分分解します。特に、重力や遠心力の分解で、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を間違えないように正確に図示することが不可欠です。
  3. 静止摩擦力の向きの判断: (3)のように摩擦力がはたらく場合、「もし摩擦がなかったら、物体はどちらに動こうとするか？」を考えます。静止摩擦力は、その動きを妨げる向きにはたらきます。(2)で「上昇し続ける」と分かっているので、(3)では摩擦力は下降する向き（棒にそって支点向き）にはたらくと判断できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力と遠心力の混同:
  • 誤解: 向心力という特別な力が外から加わっていると考える。あるいは、静止系で考えているのに遠心力を書き込んでしまう。
  • 対策: 向心力は「力の合力」の結果であり、遠心力は「見かけの力」です。自分がどちらの座標系（静止系か回転系か）に立っているかを常に意識し、混ぜて使わないようにしましょう。
• 力の分解における角度のミス:
  • 誤解: 重力や遠心力を分解する際に、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を逆にしてしまう。
  • 対策: 焦らずに大きな図を描き、鉛直線、棒の方向、棒に垂直な方向、水平線などを描き入れ、錯角や同位角、直角三角形の関係を丁寧に見つけ出します。
• つり合いの方向の誤り:
  • 誤解: (1)の(ク)で、水平方向や鉛直方向の力のつり合いを考えてしまう。
  • 対策: 回転系で考える場合、物体は「棒に対して」静止しています。したがって、力のつり合いを考えるべき方向は、「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」です。この2方向で力がつり合っていれば、物体は棒上の位置を保つことができます。
• 静止摩擦力の扱い:
  • 誤解: (3)で、静止摩擦力の大きさをいきなり最大静止摩擦力\(\mu N’\)としてしまう。
  • 対策: 静止摩擦力は、まず「力のつり合いを満たすために必要な力」として求めます。その上で、「その力は、最大静止摩擦力以下か？」という条件式（\(F_{\text{静}} \le \mu N’\)）を立てるのが正しい手順です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の速度・加速度の公式 (\(v=r\omega, a=r\omega^2\)):
  • 選定理由: (1)で、角速度\(\omega\)が与えられている状況で、速さや向心力（加速度を含む）を計算するため。
  • 適用根拠: 物体が円運動をしているという事実。ここで注意すべきは、公式の\(r\)が棒の長さそのものではなく、円運動の半径（この場合は\(r_0\sin\theta\)）である点です。
• 力の分解:
  • 選定理由: 複数の力が異なる向きにはたらいている状況で、特定の方向の運動や力のつり合いを分析するため。
  • 適用根拠: ベクトルは互いに直交する成分の和として表現できるという数学的な原理。どの方向に分解するかは、問題の状況（棒や斜面があるなら、それに平行・垂直など）に応じて最も計算が簡単になるように選びます。
• 力のつり合い (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: 回転系で物体が静止している状態や、摩擦力によって静止している状態を分析するため。
  • 適用根拠: 観測している座標系において、物体の加速度がゼロであるという物理的条件。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 半径rの区別:
  • 特に注意すべき点: 円運動の公式で使う半径（水平回転の半径 \(r\sin\theta\)）と、棒にそった距離\(r\)を明確に区別する。問題文で使われている記号が、公式のどの文字に対応するのかを常に意識します。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、図に物理量を書き込み、特に半径などの幾何学的な関係を明確にする習慣をつけます。
• 三角関数の整理:
  • 特に注意すべき点: (3)の最後の計算のように、式が複雑になった場合は、\(\tan\theta\)でまとめるなど、見通しを良くする工夫をする。模範解答の形式に合わせる意識も重要です。
  • 日頃の練習: 三角関数の公式（\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\)など）を使いこなし、式を簡潔にする練習を積みます。
• 不等式の変形:
  • 特に注意すべき点: (3)で、不等式の両辺を割る際には、割る式が正か負かを確認する。（この問題では \(\sin\theta-\mu\cos\theta > 0\) という条件があるので向きは変わらない）。
  • 日頃の練習: 不等式を扱う際には、等式と同じように扱える場合と、注意が必要な場合（負の数をかける・割る）を区別する意識を常に持ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)-(ク) \(r_0\): \(r_0 = \displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\)。角速度\(\omega\)が大きいほど、つり合いの位置\(r_0\)が小さくなる（支点に近づく）。これは、\(\omega\)が大きいと遠心力が強くなり、より小さい半径で重力とつり合うようになる、と解釈でき、妥当です。
  • (2)-(ケ): つり合いの位置からずらすと、元の位置に戻らずに離れていく、という結果は、このつり合いが「不安定なつり合い」であることを示唆しています。
  • (3)-(サ): 摩擦係数\(\mu\)が大きいほど、静止できる範囲が広がる。これは直感と一致します。また、\(\mu = \tan\theta\) のとき、不等式の分母が0になり、\(r_1\)が発散します。これは、この角度ではどんなに大きな遠心力がかかっても、重力と摩擦力で支えきれる限界点であることを示唆しており、興味深い結果です。

問題47 (東京電機大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円筒表面をすべる小物体の運動を扱っており、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」という2つの重要な物理法則を組み合わせて解く典型問題です。物体が円筒面から離れる瞬間の条件を正しく理解することが鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」の組み合わせです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小物体が最高点Pから点Qまで移動する間の速さを求めます。この過程で小物体に働く力は、重力と垂直抗力です。円筒面はなめらかなので摩擦力は働きません。垂直抗力は常に小物体の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。したがって、保存力である重力のみが仕事をするので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
位置エネルギーの基準点をどこに設定するかがポイントです。ここでは、円筒の中心Oを基準点（高さ0）とすると、計算が簡潔になります。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用できる条件を理解する（非保存力が仕事をしない）。
• 位置エネルギーの基準点を適切に設定する。
• 点Pと点Qにおける位置エネルギーを、角度 \(\theta\) を用いて正しく表現する。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、始点Pと点Qの間で適用します。位置エネルギーの基準を円筒の中心Oとします。

• 点P（始点）:
  • 小物体は静かにすべりだすので、速さは \(v_P = 0\)。運動エネルギーは \(K_P = 0\)。
  • 中心Oからの高さは \(r\)。位置エネルギーは \(U_P = mgr\)。
  • 点Pでの力学的エネルギーは \(E_P = K_P + U_P = 0 + mgr = mgr\)。
• 点Q（角度 \(\theta\) の点）:
  • 速さを \(v_Q\) とすると、運動エネルギーは \(K_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\)。
  • 中心Oからの高さは、図より \(r\cos\theta\)。位置エネルギーは \(U_Q = mgr\cos\theta\)。
  • 点Qでの力学的エネルギーは \(E_Q = K_Q + U_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_P = E_Q\) より、以下の式が成り立ちます。
$$mgr = \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta \quad \cdots ①$$

式①を \(v_Q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_Q^2 &= mgr – mgr\cos\theta \\[2.0ex]
&= mgr(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割り、\(2\)を掛けると、
$$v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)$$
\(v_Q > 0\) なので、平方根をとると、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$

物体がP点からQ点に滑り落ちるとき、失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わります。このエネルギーの変換関係を式にすると、Q点での速さが計算できます。P点とQ点の高さの差は \(r – r\cos\theta\) なので、失った位置エネルギーは \(mg(r – r\cos\theta)\) です。これがすべて運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\) になったと考えれば、同じ式が得られます。

点Qを通過するときの速さは \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(v_Q=0\) となり、初速が0であることと一致します。
• \(\theta=90^\circ\) のとき、\(\cos90^\circ=0\) なので \(v_Q = \sqrt{2gr}\) となります。これは、高さ\(r\)から自由落下したときの速さと同じで、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Qにおいて小物体に作用する垂直抗力の大きさを求めます。小物体は円筒面に沿って円運動の一部を行っているため、円の中心Oに向かう方向の運動方程式を立てる必要があります。
点Qで小物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、円筒面から半径方向外向きに受ける垂直抗力 \(N\) です。運動方程式を立てるために、重力を円の半径方向と接線方向に分解します。半径方向の力の合力が、円運動の向心力となります。
この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式を正しく立てられること。
• 力を半径方向と接線方向に分解すること。
• 向心力が、実際に働く力の合力によって供給されることを理解すること。

具体的な解説と立式
点Qにおいて、円の中心Oに向かう向きを正として、半径方向の運動方程式を立てます。

• 半径方向の力:
  • 重力 \(mg\) の半径方向成分: \(mg\cos\theta\) (中心O向き)
  • 垂直抗力 \(N\): (中心Oと逆向き)
• 向心力 \(F_{\text{向心}}\): これらの力の合力です。
  $$F_{\text{向心}} = mg\cos\theta – N$$
• 向心加速度 \(a_{\text{向心}}\): 点Qでの速さが \(v_Q\) なので、\(a_{\text{向心}} = \displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) です。

円運動の運動方程式 \(ma = F\) より、
$$m\frac{v_Q^2}{r} = mg\cos\theta – N \quad \cdots ②$$

式②を \(N\) について解くと、
$$N = mg\cos\theta – m\frac{v_Q^2}{r}$$
ここに、問(1)で求めた \(v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg\cos\theta – m\frac{2gr(1-\cos\theta)}{r} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta – 2mg(1-\cos\theta) \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta – 2mg + 2mg\cos\theta \\[2.0ex]
&= 3mg\cos\theta – 2mg \\[2.0ex]
&= mg(3\cos\theta – 2)
\end{aligned}
$$

物体が円筒の表面をカーブしながら滑るとき、カーブを曲がり続けるためには中心に向かう力が必要です。この力は、「重力の一部（中心に向かう成分）」から「円筒が押し返す力（垂直抗力）」を引いた残りです。この関係を運動方程式という形で書き、(1)で求めた速さを使って計算すると、垂直抗力の大きさがわかります。

点Qにおける垂直抗力の大きさは \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(N = mg(3-2) = mg\)。これは、最高点では速さが0なので、運動方程式 \(0 = mg – N\) から \(N=mg\) となることと一致します。
• \(\cos\theta\) は \(\theta\) が増加すると減少するため、\(N\) は物体がすべり落ちるにつれて小さくなっていきます。そして、\(3\cos\theta – 2 = 0\)、つまり \(\cos\theta = 2/3\) となるときに \(N=0\) となり、物体は面から離れます。これは物理的に妥当な振る舞いです。

問(3)

思考の道筋とポイント
小物体が円筒表面から離れる点Sでの角度 \(\theta_0\) を求めます。物理的に「表面から離れる」とは、物体と面の間に力が及ばなくなった状態、つまり垂直抗力が0になる瞬間を指します。
したがって、(2)で求めた垂直抗力 \(N\) の式に、\(N=0\) という条件を適用すれば、そのときの角度 \(\theta_0\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 物体が面から離れる物理的条件が「垂直抗力 \(N=0\)」であることを理解している。
• (2)で導出した \(N\) と \(\theta\) の関係式を正しく利用する。

具体的な解説と立式
小物体が点Sで円筒表面から離れるとき、その点での垂直抗力は \(N=0\) となります。このときの角度を \(\theta_0\) とします。
問(2)で求めた垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) に、\(\theta = \theta_0\) および \(N=0\) を代入します。
$$0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)$$

上記の式を \(\cos\theta_0\) について解きます。
\(mg \neq 0\) なので、両辺を \(mg\) で割ることができます。
$$0 = 3\cos\theta_0 – 2$$
\(2\) を移項して、
$$3\cos\theta_0 = 2$$
両辺を \(3\) で割ると、
$$\cos\theta_0 = \frac{2}{3}$$

物体が滑り落ちるにつれて、円筒面を押し付ける力（垂直抗力）はだんだん弱くなっていきます。(2)で作った「垂直抗力の大きさがわかる式」を使って、垂直抗力がちょうどゼロになるのはどの角度のときかを計算します。

小物体が円筒表面から離れるときの角度 \(\theta_0\) は、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を満たす角度です。
\(0 < \cos\theta_0 < 1\) なので、\(0^\circ < \theta_0 < 90^\circ\) の範囲にあり、物体が円筒の頂上と真横の間のどこかで離れることを示しており、物理的に妥当な結果です。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < -1\) となる場合は、計算間違いを疑うべきです。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Sで円筒表面から離れる瞬間の小物体の速さ \(v_S\) を求めます。これは、(1)で求めた任意の角度 \(\theta\) における速さ \(v_Q\) の式に、(3)で求めた「離れるときの角度」の条件 \(\cos\theta_0 = 2/3\) を代入することで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 設問(1)と(3)の結果を組み合わせて利用する。
• どの式にどの値を代入すればよいかを正しく判断する。

具体的な解説と立式
問(1)で求めた、角度 \(\theta\) の点での速さの式は、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$
でした。点Sは角度が \(\theta_0\) の点なので、この式の \(\theta\) を \(\theta_0\) に置き換えることで、離れる瞬間の速さ \(v_S\) が求められます。
$$v_S = \sqrt{2gr(1-\cos\theta_0)}$$

上記の \(v_S\) の式に、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_S &= \sqrt{2gr\left(1 – \frac{2}{3}\right)} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gr\left(\frac{1}{3}\right)} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{2gr}{3}}
\end{aligned}
$$

(1)で「どの角度でも速さがわかる式」を作り、(3)で「物体が離れる角度」を特定しました。この二つを組み合わせれば、「物体が離れる瞬間の速さ」が計算できます。

点Sで離れる瞬間の速さは \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) です。
この速さは0より大きく、物体が運動していることを示しています。離れた後は、この速さで斜め下向きに投げ出された物体と同じ放物運動をします。

問(5)

思考の道筋とポイント
最高点Pから初速 \(v_P\) を水平に与えたとき、「ただちに円筒から離れて」放物運動をするための初速の最小値を求めます。
「ただちに離れる」という条件は、打ち出した瞬間（点P, \(\theta=0\)）において、垂直抗力が0以下になること、すなわち \(N_P \le 0\) と解釈できます。
(2)と同様に、点Pにおける半径方向の運動方程式を立て、この条件を適用します。
この設問における重要なポイント

• 「ただちに離れる」の物理的条件が \(N \le 0\) であることを理解する。
• 考えるべき瞬間が打ち出した直後の点P (\(\theta=0\)) であることを把握する。
• 点Pにおける力の向きを正しく考慮して運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
点Pにおいて、初速 \(v_P\) で打ち出された直後の半径方向の運動方程式を立てます。円の中心Oに向かう向きを正とします。

• 半径方向の力:
  • 重力 \(mg\): (中心O向き)
  • 垂直抗力 \(N_P\): (中心Oと逆向き)
• 向心力: \(mg – N_P\)
• 向心加速度: \(\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\)

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_P^2}{r} = mg – N_P$$
小物体がただちに円筒から離れる条件は、この瞬間の垂直抗力が \(N_P \le 0\) となることです。
（\(N_P=0\) は面から離れるギリギリの状態、\(N_P < 0\) は本来なら面から引っ張る力が必要な状態で、実際には離れてしまうことを意味します。）

運動方程式から \(N_P\) を求めると、
$$N_P = mg – m\frac{v_P^2}{r}$$
ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\) を適用すると、
$$mg – m\frac{v_P^2}{r} \le 0$$
\(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\) を右辺に移項します。
$$mg \le m\frac{v_P^2}{r}$$
両辺を \(m\) で割り、\(r\) を掛けると（\(m>0, r>0\)）、
$$gr \le v_P^2$$
すなわち、
$$v_P^2 \ge gr$$
初速 \(v_P\) は正なので、両辺の平方根をとると、
$$v_P \ge \sqrt{gr}$$
したがって、ただちに離れるための初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。

円筒のてっぺんからボールを水平に投げることを想像してください。ゆっくり投げればボールは円筒に沿って転がりますが、速く投げるとてっぺんからジャンプするように飛び出します。この「ジャンプする」というのは、ボールが円筒を押す力（垂直抗力）がゼロになるということです。この現象が起きるギリギリの速さを、運動方程式を使って計算します。

初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。
この速さ \(v_P = \sqrt{gr}\) のとき、遠心力は \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} = m\displaystyle\frac{gr}{r} = mg\) となり、重力とちょうどつり合います。このため、円筒面からの支え（垂直抗力）がなくても、物体は円運動を始めることができます（この瞬間は）。これより速いと遠心力が重力を上回るため、物体は上向きに加速して離れていきます。物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 物体がなめらかな面をすべる運動では、非保存力である摩擦力が仕事をしません。また、垂直抗力は常に運動方向と垂直なため、仕事をしません。このため、保存力である重力のみが仕事をし、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定に保たれます。
  • 理解のポイント: この法則を用いることで、物体の「速さ」と「位置（高さ）」を直接結びつけることができます。どの二点間でエネルギーを比較するか、位置エネルギーの基準をどこに置くと計算が楽になるかを考えるのが重要です。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 物体は円筒表面に沿って円運動の一部を行います。円運動を続けるためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、実際に物体に働いている力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: 運動方程式 \(ma = F\) において、加速度 \(a\) に向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) を、力 \(F\) に半径方向の力の合力を代入します。これにより、「速さ」「半径」「物体に働く力（特に垂直抗力）」の関係式を導くことができます。「向心力」という特別な力が存在するのではなく、あくまで力の合力が向心力の役割を果たす、という点を理解することが重要です。
• 面から離れる条件 \(N=0\):
  • 核心: 物体が面から「離れる」とは、物理的には面から受ける垂直抗力がゼロになる瞬間を指します。
  • 理解のポイント: どんなに速く運動していても、垂直抗力が正である限り物体は面に接しています。垂直抗力がちょうど \(0\) になった瞬間、物体は面からの束縛を解かれ、その時点での速度で放物運動などに移行します。この \(N=0\) という条件は、円運動の問題で「離れる」「浮き上がる」といった状況を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 振り子の運動: 糸で吊るされたおもりの運動は、この問題と非常によく似ています。糸の張力 \(T\) が、この問題の垂直抗力 \(N\) と同じ役割を果たします。糸がたるむ条件は \(T=0\) であり、最高点で一回転するための条件は最高点での張力 \(T \ge 0\) となります。
  • ジェットコースターのループ運動: ジェットコースターが円形のループを走行する問題も同様です。レールからの垂直抗力 \(N\) が向心力の一部を担います。ループの最高点で落下しない条件は、最高点での垂直抗力 \(N \ge 0\) です。
  • 半球の内面をすべる運動: 半球状のなめらかな椀の内側を物体がすべる問題。垂直抗力の向きが円の中心を向く（この問題とは逆）という違いはありますが、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を組み合わせて解くという本質は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 保存則の適用可否: まず、問題設定に摩擦や空気抵抗といった非保存力が存在するかを確認します。「なめらかな」という記述があれば、力学的エネルギー保存則が有力な解法候補となります。
  2. 運動形態の特定: 物体がどのような軌道を描くか（直線、円、放物線など）を把握します。円運動やその一部が含まれる場合、中心はどこか、半径は何かを明確にし、運動方程式を立てる準備をします。
  3. 力の図示と分解: 物体に働く力をすべて図示します。特に円運動では、力を「半径方向」と「接線方向」に分解すると、運動方程式が立てやすくなります。
  4. キーワードの物理的翻訳: 問題文中の「静かに離す」「離れる」「たるむ」「浮き上がる」「一回転する」といった言葉を、\(v=0\), \(N=0\), \(T=0\), \(N \le 0\), 「最高点で \(N \ge 0\)」といった物理的な数式条件に正確に変換することが、正解への近道です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力に関する誤解:
  • 誤解: 向心力を、重力や垂直抗力とは別に存在する「特別な力」として力の図に書き加えてしまう。
  • 対策: 向心力は力の「種類」ではなく、円運動の中心方向を向く力の「合力」に対する名称であると理解しましょう。運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) の右辺 \(F\) には、実際に物体に働いている力を分解したときの半径方向成分の合力を書きます。決して \(F\) の中に「向心力」という文字は現れません。
• 「離れる」条件の誤解:
  • 誤解: 物体が面から離れるのは、速さが \(0\) になるときだと勘違いする。
  • 対策: 速さが \(0\) になるのは、運動の向きが反転する「折り返し点」です。面から離れるのは、面に押し付ける力がなくなり、飛び出していく状況です。これは「垂直抗力 \(N=0\)」に対応します。両者は全く異なる物理状況なので、明確に区別しましょう。
• 位置エネルギーの基準点の混乱:
  • 誤解: どこを基準に取ればよいか分からず、複雑な計算をしてしまう。
  • 対策: 物理的にはどこを基準にしても良いですが、計算を最も簡単にする点を選ぶのが定石です。円運動では、円の中心や最高点、最下点が候補になります。この問題のように角度 \(\theta\) を使う場合、円の中心を基準にすると、高さが \(r\cos\theta\) のように三角関数でシンプルに表せるため便利です。
• 問(5)の条件設定ミス:
  • 誤解: 「ただちに離れる」条件を \(N=0\) とだけ考えてしまう。
  • 対策: 「離れる」という現象は、垂直抗力が \(0\) になる瞬間だけでなく、もし面がなければもっと外側に飛び出そうとする状態（つまり、面から引っぱる力が必要な状態）も含まれます。これを数式で表現すると \(N \le 0\) となります。\(N=0\) は離れるための「最小」条件（ギリギリの状態）に対応します。不等式で考える習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 問題が「速さ」を問うており、かつ「なめらかな面」という条件から非保存力が仕事をしないことがわかるため。物体の「位置」と「速さ」を最も効率よく結びつける法則だからです。
  • 適用根拠: 小物体に働く力（重力、垂直抗力）のうち、仕事をするのが保存力である重力のみであるという物理的状況。
• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\):
  • 選定理由: 問題が「垂直抗力」という「力」を問うており、物体の運動が「円運動」であるため。円運動における速さと力の関係を記述する基本法則だからです。
  • 適用根拠: 物体が半径 \(r\) の円弧に沿って運動しているという幾何学的な束縛条件。
• 面から離れる条件 \(N=0\):
  • 選定理由: 問題が「円筒表面から離れる」という特定の物理現象が起こる瞬間について問うているため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は「面が物体を押す力」と定義されます。この力がゼロになることが、面からの束縛が解かれる「離れる」という現象に他ならない、という物理的解釈に基づきます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 特に注意すべき点: この問題のように、設問が連鎖している場合、途中で具体的な数値を代入せず、\(m, g, r, \cos\theta\) などの文字式のまま計算を進めることが極めて有効です。例えば、(2)で \(v_Q^2\) を代入する際に、(1)で得た \(2gr(1-\cos\theta)\) という「式」をそのまま代入することで、\(r\) がきれいに約分され、最終的な式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) が見通しよく導出できます。
  • 日頃の練習: 複数の設問からなる問題では、前の設問の結果を後の設問で使うことが多いと意識し、結果をきれいに整理しておく習慣をつけます。
• 次元（単位）のチェック:
  • 特に注意すべき点: 計算の各段階で、式の両辺の次元が合っているかを確認する癖をつけましょう。例えば、(4)の答え \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) の次元は \(\sqrt{(\text{L}/\text{T}^2) \cdot \text{L}} = \sqrt{\text{L}^2/\text{T}^2} = \text{L}/\text{T}\) となり、速さの次元と一致します。もし次元が合わなければ、その時点で計算ミスに気づくことができます。
  • 日頃の練習: 公式を覚える際に、その物理量がどのような単位を持つかをセットで覚えるようにします。
• 符号のダブルチェック:
  • 特に注意すべき点: 運動方程式を立てる際、座標軸の正の向きを最初に明確に定義し、各力の成分の符号がそれに従っているかを慎重に確認します。特に重力の分解では、図と三角関数の定義を照らし合わせ、符号を間違えないように注意が必要です。
  • 日頃の練習: 簡単な問題でも、必ず力の図と座標軸を描き、それに基づいて立式する練習を繰り返します。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\): この値は \(0\) と \(1\) の間にあります。これは、物体が円筒の最高点(\(\cos\theta=1\))と真横(\(\cos\theta=0\))の間で離れることを意味しており、直感と合致します。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < 0\) といった物理的にありえない値が出た場合は、計算過程を見直すべきです。
  • (5) 初速の最小値 \(\sqrt{gr}\): この速さの物理的意味を考えてみましょう。この速さで物体が円運動をするときの遠心力は \(m \displaystyle\frac{(\sqrt{gr})^2}{r} = mg\) となり、重力の大きさに等しくなります。つまり、最高点Pでは、重力と遠心力がちょうどつり合う（ように見える）ため、面からの支え（垂直抗力）が不要になるギリギリの速さだと言えます。この物理的な解釈ができると、答えの妥当性に強い確信が持てます。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (1) 速さの式 \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\): もし \(\theta=0\) なら、\(v_Q=0\) となり、初期条件「静かにすべりだす」と一致します。もし \(\theta=90^\circ\) なら、\(v_Q = \sqrt{2gr}\) となり、これは高さ \(r\) の位置から自由落下した物体の速さと同じです。このように、特定の簡単な状況を代入して結果が妥当か確認するのは有効な吟味方法です。
  • (2) 垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\): もし \(\theta=0\) なら、\(N=mg\) となります。これは、点Pでの運動方程式 \(m \cdot 0 = mg – N\) から導かれる \(N=mg\) と一致し、矛盾はありません。

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問題48 (信州大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直面内での円運動をテーマにしており、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」という2つの重要な物理法則を組み合わせて解く、この分野の典型的な総合問題です。
前半(1)～(3)では小球がレールから離れずに円軌道を1周する条件を、後半(4)～(6)では小球が円運動の途中でレールから離れる場合の運動を考察します。特に「レールから離れる」という物理現象を「垂直抗力が0になる」という数式的な条件に置き換えることができるかが、問題を解く上での重要な鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、「鉛直面内の円運動」です。

問(1)