「重要問題集」徹底解説（46〜50問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題46 (京都産業大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、回転する棒に取り付けられたビーズの運動を扱います。円運動の基本的な考え方に加え、観測者の立場（静止系と回転系）による見え方の違い、さらには摩擦が働く場合までを考察する、力学の総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回転座標系における力のつり合い」です。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 静止系での円運動: 回転台の外から見ると、物体は円運動をしています。この運動には、円の中心に向かう「向心力」が必要です。この向心力は、静止摩擦力やばねの弾性力といった「実在の力」によって供給されます。解析には「運動方程式」を用います。
2. 回転系での力のつり合い: 回転台の上から見ると、物体は静止しています。この立場では、見かけの力である「遠心力」を導入することで、力のつり合いの問題として扱うことができます。
3. 力の分解: 複数の力がはたらく場合、それらを適切な座標軸（水平・鉛直、あるいは棒に平行・垂直）に分解して考えることが、問題を解くための基本戦略となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、(1)でビーズが特定の距離\(r_0\)で安定して運動している状態を、静止系（向心力）と回転系（遠心力）の両方の視点から分析します。
2. 次に、(2)でそのつり合いが崩れた場合にビーズがどう動くかを、力の合力の向きから判断します。
3. 最後に、(3)で摩擦力が加わった場合に、どの範囲でなら静止し続けられるかを、最大静止摩擦力の条件を用いて考察します。

問(1) ア, イ, ウ, エ

思考の道筋とポイント
ビーズが距離\(r=r_0\)を保って運動している状態を、静止系（回転台の外の観測者）から分析します。ビーズは水平面内を円運動しており、その運動を記述する物理量を順に求めていきます。

この設問における重要なポイント

• ビーズの円運動の半径を正しく求める。
• 円運動の基本公式（\(v=r\omega\), \(a=r\omega^2\)）を適用する。
• 向心力が実在の力の合力であることを理解する。

具体的な解説と立式
(ア) ビーズが描く円運動の半径は、図から \(r_0 \sin\theta\) です。円運動の速さと角速度の関係式 \(v = (\text{半径}) \times (\text{角速度})\) より、
$$v = (r_0 \sin\theta) \omega$$
(イ) 運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に、(ア)で求めた\(v\)を代入します。
$$K = \frac{1}{2}m v^2$$
(ウ) 向心力の大きさは運動方程式 \(F=ma\) から求めます。向心加速度の大きさ\(a\)は、\(a = (\text{半径}) \times \omega^2 = (r_0 \sin\theta) \omega^2\) なので、
$$F_{向} = m a$$
(エ) ビーズにはたらく実在の力は「重力」と棒からの「垂直抗力」の2つです。向心力は、この2つの力のベクトル和（合力）に等しくなります。

(ア)
$$v = r_0 \omega \sin\theta$$
(イ)
$$K = \frac{1}{2}m (r_0 \omega \sin\theta)^2 = \frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta$$
(ウ)
$$F_{向} = m (r_0 \sin\theta) \omega^2 = m r_0 \omega^2 \sin\theta$$
(エ) 選択肢③「重力と垂直抗力の合力」が正解です。

(ア) \(r_0 \omega \sin\theta\), (イ) \(\frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta\), (ウ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (エ) ③。
これらは円運動の基本的な物理量を定義通りに計算したものです。

問(1) オ, カ, キ, ク

思考の道筋とポイント
ここからは、ビーズといっしょに運動する観測者（回転系）の立場で考えます。この立場では、ビーズは静止しており、実在の力に加えて「遠心力」がはたらき、すべての力がつり合っていると解釈します。
力を「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 回転系では遠心力を導入し、力のつり合いを考える。
• 力を、棒に平行・垂直な方向に分解する。

具体的な解説と立式
(オ) 遠心力の大きさ\(f\)は、向心力の大きさと等しく、向きが逆です。(ウ)の結果から、
$$f = m r_0 \omega^2 \sin\theta$$
(カ) 重力\(mg\)（鉛直下向き）を分解します。棒が鉛直となす角が\(\theta\)なので、

• 棒に垂直な成分: \(mg\sin\theta\)
• 棒に平行な成分: \(mg\cos\theta\)

(キ) 垂直抗力の大きさ\(N\)を求めます。「棒に垂直な方向」の力のつり合いを考えます。

• 垂直抗力: \(N\) （棒から離れる向き）
• 重力の垂直成分: \(mg\sin\theta\) （棒に近づく向き）
• 遠心力の垂直成分: 遠心力\(f\)は水平外向きです。これを分解すると、棒に垂直な成分は \(f\cos\theta\) （棒に近づく向き）となります。

力のつり合いより、
$$N = mg\sin\theta + f\cos\theta$$
(ク) \(r_0\)が満たす条件を求めます。「棒にそった方向」の力のつり合いを考えます。

• 重力の平行成分: \(mg\cos\theta\) （支点向き）
• 遠心力の平行成分: \(f\sin\theta\) （支点から遠ざかる向き）

力のつり合いより、
$$f\sin\theta = mg\cos\theta$$

(キ)の計算:
\(N = mg\sin\theta + f\cos\theta\) に、(オ)の結果 \(f = m r_0 \omega^2 \sin\theta\) を代入します。
$$N = mg\sin\theta + (m r_0 \omega^2 \sin\theta)\cos\theta = m\sin\theta(g + r_0\omega^2\cos\theta)$$
(ク)の計算:
\(f\sin\theta = mg\cos\theta\) に、(オ)の結果 \(f = m r_0 \omega^2 \sin\theta\) を代入します。
$$(m r_0 \omega^2 \sin\theta)\sin\theta = mg\cos\theta$$
$$m r_0 \omega^2 \sin^2\theta = mg\cos\theta$$
\(r_0\)について解きます。
$$r_0 = \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}$$

(オ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (カ) \(mg\sin\theta\), (キ) \(m\sin\theta(g + r_0\omega^2\cos\theta)\), (ク) \(\displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) です。
(ク)の結果は、ビーズがつり合う位置\(r_0\)は、角速度\(\omega\)が速いほど小さくなることを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(ケ) なめらかな棒上で、つり合いの位置\(r_0\)より大きい\(r_1\)からビーズを静かにはなした後の運動を考えます。
このビーズがどちらに動くかは、その点ではたらく「棒にそった方向」の力の合力によって決まります。
(1)の(ク)で立てた、棒にそった方向の力のつり合いの式を参考にします。

具体的な解説と立式
棒にそった方向の力は、遠心力の平行成分 \(f\sin\theta = (mr\omega^2\sin\theta)\sin\theta = mr\omega^2\sin^2\theta\)（遠ざかる向き）と、重力の平行成分 \(mg\cos\theta\)（近づく向き）です。
つり合いの位置\(r_0\)では、\(mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta\) が成り立っていました。
今、\(r=r_1 > r_0\) なので、
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta > mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta$$
つまり、「遠ざかる向きの力 > 近づく向きの力」となります。
したがって、ビーズには棒にそって上向き（支点から遠ざかる向き）の合力がはたらき、ビーズは上昇し始めます。上昇して\(r\)がさらに大きくなると、遠心力もさらに大きくなるため、上昇は止まりません。

選択肢②「棒にそって上昇し続ける」が正解です。
つり合いの位置より外側では、遠心力の効果が重力の効果を上回るため、ビーズはさらに外側へ加速されます。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度はビーズと棒の間に摩擦がある場合を考えます。\(r=r_1\)の位置でビーズが静止しているときの、垂直抗力\(N’\)と、静止し続けるための条件を求めます。
(コ) 垂直抗力\(N’\)は、(1)の(キ)で求めた\(N\)の式で、\(r_0\)を\(r_1\)に置き換えるだけです。
(サ) 「静止し続けるための条件」とは、棒にそった方向にはたらく力が、最大静止摩擦力を超えない、という条件です。

具体的な解説と立式
(コ) 垂直抗力\(N’\)を求めます。(1)の(キ)の導出過程 \(N = mg\sin\theta + f\cos\theta\) と \(f=mr\omega^2\sin\theta\) より、\(r\)を\(r_1\)に置き換えて、
$$N’ = mg\sin\theta + (mr_1\omega^2\sin\theta)\cos\theta$$
(サ) 静止し続ける条件を求めます。
\(r_1 > r_0\) なので、(2)で見たように、摩擦がなければビーズは上昇しようとします。
したがって、静止摩擦力\(F_{静}\)は、この動きを妨げる向き、すなわち棒にそって下向き（支点向き）にはたらきます。
棒にそった方向の力のつり合いの式は、
$$(\text{遠ざかる向きの力}) = (\text{近づく向きの力の合計})$$
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta + F_{静}$$
ビーズが静止し続けるためには、この静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N’\) を超えなければよいので、
$$F_{静} \le \mu N’$$

(コ)の計算:
$$N’ = mg\sin\theta + mr_1\omega^2\sin\theta\cos\theta = m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)$$
(サ)の計算:
まず、必要な静止摩擦力\(F_{静}\)を求めます。
$$F_{静} = mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta$$
次に、条件式 \(F_{静} \le \mu N’\) に代入します。
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta \le \mu \left( m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta) \right)$$
この不等式を\(r_1\)について整理します。
$$r_1 m\omega^2\sin^2\theta – \mu r_1 m\omega^2\sin\theta\cos\theta \le mg\cos\theta + \mu mg\sin\theta$$
$$r_1 m\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta) \le mg(\cos\theta + \mu\sin\theta)$$
$$r_1 \le \frac{g(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}$$
ここで、(1)の(ク)の結果 \(r_0 = \displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) を使うと、\(\displaystyle\frac{g}{\omega^2} = \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta}\) となります。これを代入します。
$$
\begin{aligned}
r_1 &\le \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta + \mu\sin\theta}{\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)} \\[2.0ex]&= r_0 \frac{\sin\theta(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\cos\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
分子・分母を\(\cos\theta\)で割ると、
$$r_1 \le r_0 \frac{\tan\theta(1 + \mu\tan\theta)}{\tan\theta – \mu}$$

(コ)は \(m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)\)、(サ)は \(r_0 \displaystyle\frac{\tan\theta(1+\mu\tan\theta)}{\tan\theta-\mu}\) です。
摩擦があることで、つり合いの位置\(r_0\)からずれても静止できる範囲が生まれることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動の動力学（向心力と運動方程式）:
  • 核心: 物体が水平面内で円運動をするためには、常に円の中心方向を向いた水平な力、すなわち「向心力」が必要です。この向心力は、物体にはたらく様々な実在の力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: (1)の(ウ)と(エ)で、この問題の核心が問われています。静止系から見ると、ビーズは円運動という加速運動をしています。したがって、運動方程式 \(ma=F\) を立てる必要があります。向心加速度は \(a=r\omega^2\) であり、向心力\(F\)は重力と垂直抗力のベクトル和です。この関係を正しく理解し、立式できるかが最初の関門です。
• 慣性力（特に遠心力）:
  • 核心: 加速している座標系（この問題では回転系）で物体の運動を考える際に、ニュートンの運動法則を成り立たせるために導入される「見かけの力」です。
  • 理解のポイント: (1)の(オ)以降では、この回転系の視点が導入されます。遠心力（大きさ \(mr\omega^2\)、向きは中心から遠ざかる向き）を導入し、それを他の力（重力、垂直抗力）と同様に、棒に平行・垂直な成分に分解します。そして、「棒に平行な方向の力のつり合い」と「棒に垂直な方向の力のつり合い」という2つの式を立てることで、問題を解析します。これは運動方程式を立てるのと等価ですが、静止している物体の力のつり合いとして考えられるため、直感的に理解しやすい場合があります。
• 静止摩擦力:
  • 核心: 物体がすべり出さないように、接触面から受ける摩擦力です。その大きさは、外力に応じて \(0\) から最大値（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）まで変化し、向きも逆転しうることが特徴です。
  • 理解のポイント: (3)では「すべりだす瞬間」を \(f = f_{max} = \mu N\) として扱います。(4)では、角速度\(\omega\)の大小によって、遠心力とばねの力のどちらが優勢になるかが変わり、それに応じて静止摩擦力\(f\)が向きを変えて力のバランスを保ちます。この「調整役」としての静止摩擦力の性質を理解することが、(4)の範囲を求める鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円錐振り子: 糸でつるされたおもりが水平面内で円運動する問題。本問題のなめらかな場合と全く同じ構造で、張力と重力の合力が向心力となります。
  • 回転する液体表面: 容器に入れて回転させると、液体表面が放物面を描きます。これは、液体中の微小な水滴にはたらく重力と垂直抗力の合力が向心力となる（あるいは、遠心力と重力の合力の向きが液体表面と垂直になる）ことで説明できます。
  • カーブを曲がる自動車: タイヤと路面の静止摩擦力が向心力となってカーブを曲がります。バンク（傾き）のあるカーブでは、垂直抗力の水平成分も向心力の一部を担います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系の選択: まず、力を分解するための座標軸をどう設定するかが重要です。
     • 水平・鉛直: 向心力が水平方向にはたらくことを明確にするのに便利です。重力の分解が不要なメリットがあります。
     • 棒に平行・垂直: 棒からの垂直抗力や摩擦力を扱うのに便利です。重力や遠心力を分解する必要があります。

     この問題では、両方の視点から力を分解する能力が求められています。

  2. 力の分解: 選択した座標系に対して、斜めにはたらく力をすべて成分分解します。特に、重力や遠心力の分解で、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を間違えないように正確に図示することが不可欠です。
  3. 静止摩擦力の向きの判断: (3)のように摩擦力がはたらく場合、「もし摩擦がなかったら、物体はどちらに動こうとするか？」を考えます。静止摩擦力は、その動きを妨げる向きにはたらきます。(2)で「上昇し続ける」と分かっているので、(3)では摩擦力は下降する向き（棒にそって支点向き）にはたらくと判断できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力と遠心力の混同:
  • 誤解: 向心力という特別な力が外から加わっていると考える。あるいは、静止系で考えているのに遠心力を書き込んでしまう。
  • 対策: 向心力は「力の合力」の結果であり、遠心力は「見かけの力」です。自分がどちらの座標系（静止系か回転系か）に立っているかを常に意識し、混ぜて使わないようにしましょう。
• 力の分解における角度のミス:
  • 誤解: 重力や遠心力を分解する際に、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を逆にしてしまう。
  • 対策: 焦らずに大きな図を描き、鉛直線、棒の方向、棒に垂直な方向、水平線などを描き入れ、錯角や同位角、直角三角形の関係を丁寧に見つけ出します。
• つり合いの方向の誤り:
  • 誤解: (1)の(ク)で、水平方向や鉛直方向の力のつり合いを考えてしまう。
  • 対策: 回転系で考える場合、物体は「棒に対して」静止しています。したがって、力のつり合いを考えるべき方向は、「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」です。この2方向で力がつり合っていれば、物体は棒上の位置を保つことができます。
• 静止摩擦力の扱い:
  • 誤解: (3)で、静止摩擦力の大きさをいきなり最大静止摩擦力\(\mu N’\)としてしまう。
  • 対策: 静止摩擦力は、まず「力のつり合いを満たすために必要な力」として求めます。その上で、「その力は、最大静止摩擦力以下か？」という条件式（\(F_{静} \le \mu N’\)）を立てるのが正しい手順です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の分解図（最重要）: この問題は、正確な力の分解図が描けるかどうかにかかっています。特に(1)の(カ)以降で要求される、回転系における力の分解図（図c）は、すべての力のベクトルを「棒に平行・垂直」な成分に分解して描く必要があり、思考を整理する上で不可欠です。
  • 静止系と回転系の比較図: (2)で問われているように、静止系（図b）と回転系（図cに遠心力を加えたもの）での力の図を並べて描いてみることで、両者の関係性が明確になります。静止系での「（重力＋垂直抗力の）合力＝向心力」という関係が、回転系では「重力＋垂直抗力＋遠心力＝０（つり合い）」という関係に置き換わっていることが視覚的に理解できます。
  • 力のベクトル三角形: 静止系で考えると、向心力（水平左向き）、重力（鉛直下向き）、垂直抗力（棒に垂直）の3つのベクトルを足すとゼロになるはずです（水平方向の合力が向心力なので）。このベクトル三角形を描いて、幾何学的に辺の長さの関係を求めることも可能です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の明記: 「棒に平行・垂直」なのか「水平・鉛直」なのか、どの座標系で考えているのかを図に明記すると、混乱を防げます。
  • 力の作用点: すべての力はビーズの中心にはたらくものとして、作用点を一点にそろえて描くと、力の分解や合成が考えやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の速度・加速度の公式 (\(v=r\omega, a=r\omega^2\)):
  • 選定理由: (1)で、角速度\(\omega\)が与えられている状況で、速さや向心力（加速度を含む）を計算するため。
  • 適用根拠: 物体が円運動をしているという事実。ここで注意すべきは、半径rが棒の長さそのものではなく、円運動の半径（この場合は\(r_0\sin\theta\)）である点です。
• 力の分解:
  • 選定理由: 複数の力が異なる向きにはたらいている状況で、特定の方向の運動や力のつり合いを分析するため。
  • 適用根拠: ベクトルは互いに直交する成分の和として表現できるという数学的な原理。どの方向に分解するかは、問題の状況（棒や斜面があるなら、それに平行・垂直など）に応じて最も計算が簡単になるように選びます。
• 力のつり合い (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: 回転系で物体が静止している状態や、摩擦力によって静止している状態を分析するため。
  • 適用根拠: 観測している座標系において、物体の加速度がゼロであるという物理的条件。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【(1) なめらか・つり合い状態】
   • 静止系:
     1. (ア) 速さ\(v\): 円運動の半径を求め、\(v=r\omega\)を適用。
     2. (イ) エネルギー\(K\): \(\frac{1}{2}mv^2\)に(ア)を代入。
     3. (ウ) 向心力\(F_{向}\): \(ma=mr\omega^2\)を適用。
     4. (エ) 向心力の正体: ビーズにはたらく実在の力（重力、垂直抗力）の合力であると判断。
   • 回転系:
     1. (オ) 遠心力\(f\): (ウ)の向心力と大きさが等しい。
     2. (カ)〜(ク) 力のつり合い:
        1. すべての力（重力、垂直抗力、遠心力）を「棒に平行・垂直」な成分に分解。
        2. 「棒に垂直」方向の力のつり合いから、垂直抗力\(N\)を求める（キ）。
        3. 「棒に平行」方向の力のつり合いから、つり合いの位置\(r_0\)の条件式を導く（ク）。
2. 【(2) なめらか・非つり合い状態】
   • (ケ) \(r_1 > r_0\) の位置での「棒に平行」な方向の合力を計算し、その向きから運動の向き（上昇か下降か）を判断する。
3. 【(3) 摩擦あり・静止状態】
   • (コ) 垂直抗力\(N’\): (1)の(キ)の式で\(r_0\)を\(r_1\)に置き換えて計算。
   • (サ) 静止条件:
     1. 摩擦がない場合の合力（上昇させようとする力）を計算する。
     2. この力とつり合うために必要な静止摩擦力\(F_{静}\)を求める。
     3. \(F_{静} \le \mu N’\) という条件式を立て、\(r_1\)の範囲として整理する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 半径rの区別: 円運動の公式で使う半径（水平回転の半径 \(r\sin\theta\)）と、棒にそった距離\(r\)を明確に区別する。
• 三角関数の整理: (3)の最後の計算のように、式が複雑になった場合は、\(\tan\theta\)でまとめるなど、見通しを良くする工夫をする。
• 不等式の変形: (3)で、不等式の両辺を割る際には、割る式が正か負かを確認する。（この問題では正の量で割るので向きは変わらない）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)-(ク) \(r_0\): \(r_0 = \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\)。角速度\(\omega\)が大きいほど、つり合いの位置\(r_0\)が小さくなる（支点に近づく）。これは、\(\omega\)が大きいと遠心力が強くなり、より小さい半径で重力とつり合うようになる、と解釈でき、妥当です。
  • (2)-(ケ): つり合いの位置からずらすと、元の位置に戻らずに離れていく、という結果は、このつり合いが「不安定なつり合い」であることを示唆しています。
  • (3)-(サ): 摩擦係数\(\mu\)が大きいほど、静止できる範囲が広がる。これは直感と一致します。また、\(\mu = \tan\theta\) のとき、不等式の分母が0になり、\(r_1\)が発散します。これは、この角度ではどんなに大きな遠心力がかかっても、重力と摩擦力で支えきれる限界点であることを示唆しており、興味深い結果です。

問題47 (東京電機大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円筒表面をすべる小物体の運動を扱っており、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」という2つの重要な物理法則を組み合わせて解く典型問題です。物体が円筒面から離れる瞬間の条件を正しく理解することが鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くための中心的な考え方は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 小物体に働く力は、保存力である重力と、仕事をしない垂直抗力（常に運動方向と垂直なため）のみです。したがって、小物体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は保存されます。これを用いて、任意の点での速さを求めることができます。
2. 円運動の運動方程式: 小物体は円筒表面に沿って円運動の一部を行います。円運動を続けるためには、円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、小物体に働く重力と垂直抗力の合力によって供給されます。運動方程式を立てることで、垂直抗力の大きさを速さや位置の関数として表すことができます。
3. 面から離れる条件: 小物体が円筒表面から離れる瞬間は、小物体が円筒面から受ける垂直抗力がゼロになるときです。つまり、\(N=0\) が面から離れる条件となります。

基本的なアプローチは、各設問が連動していることを意識し、前の設問の結果を使いながら段階的に解き進めていくことです。

1. まず、(1)で力学的エネルギー保存則を用いて、任意の角度 \(\theta\) における速さ \(v_Q\) を求めます。
2. 次に、(2)で円運動の運動方程式を立て、(1)で求めた速さ \(v_Q\) を用いて、垂直抗力 \(N\) を角度 \(\theta\) の関数で表します。
3. (3)では、「面から離れる条件 \(N=0\)」を(2)で求めた式に適用し、離れるときの角度 \(\theta_0\) を求めます。
4. (4)では、(1)の速さの式に(3)で求めた角度 \(\theta_0\) を代入して、離れる瞬間の速さ \(v_S\) を計算します。
5. (5)は独立した設定ですが、考え方は(2)と(3)に似ています。最高点Pでの運動方程式を立て、「ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\)」を用いて初速の条件を導きます。

問(1)

思考の道筋とポイント
小物体が最高点Pから点Qまで移動する間の速さを求めます。この過程で小物体に働く力は、重力と垂直抗力です。円筒面はなめらかなので摩擦力は働きません。垂直抗力は常に小物体の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。したがって、保存力である重力のみが仕事をするので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
位置エネルギーの基準点をどこに設定するかがポイントです。ここでは、円筒の中心Oを基準点（高さ0）とすると、計算が簡潔になります。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用できる条件を理解する（非保存力が仕事をしない）。
• 位置エネルギーの基準点を適切に設定する。
• 点Pと点Qにおける位置エネルギーを、角度 \(\theta\) を用いて正しく表現する。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、始点Pと点Qの間で適用します。位置エネルギーの基準を円筒の中心Oとします。

• 点P（始点）:
  • 小物体は静かにすべりだすので、速さは \(v_P = 0\)。運動エネルギーは \(K_P = 0\)。
  • 中心Oからの高さは \(r\)。位置エネルギーは \(U_P = mgr\)。
  • 点Pでの力学的エネルギーは \(E_P = K_P + U_P = 0 + mgr = mgr\)。
• 点Q（角度 \(\theta\) の点）:
  • 速さを \(v_Q\) とすると、運動エネルギーは \(K_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\)。
  • 中心Oからの高さは、図より \(r\cos\theta\)。位置エネルギーは \(U_Q = mgr\cos\theta\)。
  • 点Qでの力学的エネルギーは \(E_Q = K_Q + U_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_P = E_Q\) より、以下の式が成り立ちます。
$$mgr = \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta \quad \cdots ①$$

式①を \(v_Q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgr &= \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta \\[1.5ex]\frac{1}{2}mv_Q^2 &= mgr – mgr\cos\theta \\[1.5ex]\frac{1}{2}mv_Q^2 &= mgr(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割り、2を掛けると、
$$v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)$$
\(v_Q > 0\) なので、平方根をとると、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$

物体がP点からQ点に滑り落ちるとき、失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わります。このエネルギーの変換関係を式にすると、Q点での速さが計算できます。P点とQ点の高さの差は \(r – r\cos\theta\) なので、失った位置エネルギーは \(mg(r – r\cos\theta)\) です。これがすべて運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\) になったと考えれば、同じ式が得られます。

点Qを通過するときの速さは \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(v_Q=0\) となり、初速が0であることと一致します。
• \(\theta=90^\circ\) のとき、\(\cos90^\circ=0\) なので \(v_Q = \sqrt{2gr}\) となります。これは、高さ\(r\)から自由落下したときの速さと同じで、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Qにおいて小物体に作用する垂直抗力の大きさを求めます。小物体は円筒面に沿って円運動の一部を行っているため、円の中心Oに向かう方向の運動方程式を立てる必要があります。
点Qで小物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、円筒面から半径方向外向きに受ける垂直抗力 \(N\) です。運動方程式を立てるために、重力を円の半径方向と接線方向に分解します。半径方向の力の合力が、円運動の向心力となります。

この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式を正しく立てられること。
• 力を半径方向と接線方向に分解すること。
• 向心力が、実際に働く力の合力によって供給されることを理解すること。

具体的な解説と立式
点Qにおいて、円の中心Oに向かう向きを正として、半径方向の運動方程式を立てます。

• 半径方向の力:
  • 重力 \(mg\) の半径方向成分: \(mg\cos\theta\) (中心O向き)
  • 垂直抗力 \(N\): (中心Oと逆向き)
• 向心力 \(F_{\text{向心力}}\): これらの力の合力です。
  \(F_{\text{向心力}} = mg\cos\theta – N\)
• 向心加速度 \(a_{\text{向心加速度}}\): 点Qでの速さが \(v_Q\) なので、\(a_{\text{向心加速度}} = \displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) です。

円運動の運動方程式 \(ma = F\) より、
$$m\frac{v_Q^2}{r} = mg\cos\theta – N \quad \cdots ②$$

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
小物体と一緒に運動する観測者の立場（非慣性系）で考えることもできます。この観測者から見ると、小物体には半径方向外向きに慣性力である遠心力 \(F_{\text{遠心力}} = m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) が働いているように見えます。この立場では、半径方向の力はつり合っていると考えます。

• 中心向きの力: 重力の成分 \(mg\cos\theta\)
• 外向きの力: 垂直抗力 \(N\) と遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\)

力のつり合いの式は、
$$mg\cos\theta = N + m\frac{v_Q^2}{r} \quad \cdots ②’$$
この式②’を \(N\) について解くと、運動方程式②と全く同じ形になります。

式②を \(N\) について解くと、
$$N = mg\cos\theta – m\frac{v_Q^2}{r}$$
ここに、問(1)で求めた \(v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg\cos\theta – m\frac{2gr(1-\cos\theta)}{r} \\[1.5ex]&= mg\cos\theta – 2mg(1-\cos\theta) \\[1.5ex]&= mg\cos\theta – 2mg + 2mg\cos\theta \\[1.5ex]&= 3mg\cos\theta – 2mg \\[1.5ex]&= mg(3\cos\theta – 2)
\end{aligned}
$$

物体が円筒の表面をカーブしながら滑るとき、カーブを曲がり続けるためには中心に向かう力が必要です。この力は、「重力の一部（中心に向かう成分）」から「円筒が押し返す力（垂直抗力）」を引いた残りです。この関係を運動方程式という形で書き、(1)で求めた速さを使って計算すると、垂直抗力の大きさがわかります。

点Qにおける垂直抗力の大きさは \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(N = mg(3-2) = mg\)。これは、最高点では速さが0なので、運動方程式 \(0 = mg – N\) から \(N=mg\) となることと一致します。
• \(\cos\theta\) は \(\theta\) が増加すると減少するため、\(N\) は物体がすべり落ちるにつれて小さくなっていきます。そして、\(3\cos\theta – 2 = 0\)、つまり \(\cos\theta = 2/3\) となるときに \(N=0\) となり、物体は面から離れます。これは物理的に妥当な振る舞いです。

問(3)

思考の道筋とポイント
小物体が円筒表面から離れる点Sでの角度 \(\theta_0\) を求めます。物理的に「表面から離れる」とは、物体と面の間に力が及ばなくなった状態、つまり垂直抗力が0になる瞬間を指します。
したがって、(2)で求めた垂直抗力 \(N\) の式に、\(N=0\) という条件を適用すれば、そのときの角度 \(\theta_0\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 物体が面から離れる物理的条件が「垂直抗力 \(N=0\)」であることを理解している。
• (2)で導出した \(N\) と \(\theta\) の関係式を正しく利用する。

具体的な解説と立式
小物体が点Sで円筒表面から離れるとき、その点での垂直抗力は \(N=0\) となります。このときの角度を \(\theta_0\) とします。
問(2)で求めた垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) に、\(\theta = \theta_0\) および \(N=0\) を代入します。
$$0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)$$

上記の式を \(\cos\theta_0\) について解きます。
$$0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)$$
\(mg \neq 0\) なので、両辺を \(mg\) で割ることができます。
$$0 = 3\cos\theta_0 – 2$$
\(2\) を移項して、
$$3\cos\theta_0 = 2$$
両辺を \(3\) で割ると、
$$\cos\theta_0 = \frac{2}{3}$$

物体が滑り落ちるにつれて、円筒面を押し付ける力（垂直抗力）はだんだん弱くなっていきます。(2)で作った「垂直抗力の大きさがわかる式」を使って、垂直抗力がちょうどゼロになるのはどの角度のときかを計算します。

小物体が円筒表面から離れるときの角度 \(\theta_0\) は、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を満たす角度です。
\(0 < \cos\theta_0 < 1\) なので、\(0^\circ < \theta_0 < 90^\circ\) の範囲にあり、物体が円筒の頂上と真横の間のどこかで離れることを示しており、物理的に妥当な結果です。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < -1\) となる場合は、計算間違いを疑うべきです。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Sで円筒表面から離れる瞬間の小物体の速さ \(v_S\) を求めます。これは、(1)で求めた任意の角度 \(\theta\) における速さ \(v_Q\) の式に、(3)で求めた「離れるときの角度」の条件 \(\cos\theta_0 = 2/3\) を代入することで計算できます。

この設問における重要なポイント

• 設問(1)と(3)の結果を組み合わせて利用する。
• どの式にどの値を代入すればよいかを正しく判断する。

具体的な解説と立式
問(1)で求めた、角度 \(\theta\) の点での速さの式は、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$
でした。点Sは角度が \(\theta_0\) の点なので、この式の \(\theta\) を \(\theta_0\) に置き換えることで、離れる瞬間の速さ \(v_S\) が求められます。
$$v_S = \sqrt{2gr(1-\cos\theta_0)}$$

上記の \(v_S\) の式に、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_S &= \sqrt{2gr\left(1 – \frac{2}{3}\right)} \\[1.5ex]&= \sqrt{2gr\left(\frac{1}{3}\right)} \\[1.5ex]&= \sqrt{\frac{2gr}{3}}
\end{aligned}
$$

(1)で「どの角度でも速さがわかる式」を作り、(3)で「物体が離れる角度」を特定しました。この二つを組み合わせれば、「物体が離れる瞬間の速さ」が計算できます。

点Sで離れる瞬間の速さは \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) です。
この速さは0より大きく、物体が運動していることを示しています。離れた後は、この速さで斜め下向きに投げ出された物体と同じ放物運動をします。

問(5)

思考の道筋とポイント
最高点Pから初速 \(v_P\) を水平に与えたとき、「ただちに円筒から離れて」放物運動をするための初速の最小値を求めます。
「ただちに離れる」という条件は、打ち出した瞬間（点P, \(\theta=0\)）において、垂直抗力が0以下になること、すなわち \(N_P \le 0\) と解釈できます。
(2)と同様に、点Pにおける半径方向の運動方程式を立て、この条件を適用します。

この設問における重要なポイント

• 「ただちに離れる」の物理的条件が \(N \le 0\) であることを理解する。
• 考えるべき瞬間が打ち出した直後の点P (\(\theta=0\)) であることを把握する。
• 点Pにおける力の向きを正しく考慮して運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
点Pにおいて、初速 \(v_P\) で打ち出された直後の半径方向の運動方程式を立てます。円の中心Oに向かう向きを正とします。

• 半径方向の力:
  • 重力 \(mg\): (中心O向き)
  • 垂直抗力 \(N_P\): (中心Oと逆向き)
• 向心力: \(mg – N_P\)
• 向心加速度: \(\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\)

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_P^2}{r} = mg – N_P$$
小物体がただちに円筒から離れる条件は、この瞬間の垂直抗力が \(N_P \le 0\) となることです。
（\(N_P=0\) は面から離れるギリギリの状態、\(N_P < 0\) は本来なら面から引っ張る力が必要な状態で、実際には離れてしまうことを意味します。）

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
点Pで物体と一緒に運動する観測者から見ると、外向きに遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\) が働きます。半径方向の力のつり合いは、
$$mg = N_P + m\frac{v_P^2}{r}$$
ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\) を適用すると、運動方程式から考える場合と同じ結果に至ります。

運動方程式から \(N_P\) を求めると、
$$N_P = mg – m\frac{v_P^2}{r}$$
ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\) を適用すると、
$$mg – m\frac{v_P^2}{r} \le 0$$
\(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\) を右辺に移項します。
$$mg \le m\frac{v_P^2}{r}$$
両辺を \(m\) で割り、\(r\) を掛けると（\(m>0, r>0\)）、
$$gr \le v_P^2$$
すなわち、
$$v_P^2 \ge gr$$
初速 \(v_P\) は正なので、両辺の平方根をとると、
$$v_P \ge \sqrt{gr}$$
したがって、ただちに離れるための初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。

円筒のてっぺんからボールを水平に投げることを想像してください。ゆっくり投げればボールは円筒に沿って転がりますが、速く投げるとてっぺんからジャンプするように飛び出します。この「ジャンプする」というのは、ボールが円筒を押す力（垂直抗力）がゼロになるということです。この現象が起きるギリギリの速さを、運動方程式を使って計算します。

初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。
この速さ \(v_P = \sqrt{gr}\) のとき、遠心力は \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} = m\displaystyle\frac{gr}{r} = mg\) となり、重力とちょうどつり合います。このため、円筒面からの支え（垂直抗力）がなくても、物体は円運動を始めることができます（この瞬間は）。これより速いと遠心力が重力を上回るため、物体は上向きに加速して離れていきます。物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 物体がなめらかな面をすべる運動では、非保存力である摩擦力が仕事をしません。また、垂直抗力は常に運動方向と垂直なため、仕事をしません。このため、保存力である重力のみが仕事をし、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定に保たれます。
  • 理解のポイント: この法則を用いることで、物体の「速さ」と「位置（高さ）」を直接結びつけることができます。どの二点間でエネルギーを比較するか、位置エネルギーの基準をどこに置くと計算が楽になるかを考えるのが重要です。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 物体は円筒表面に沿って円運動の一部を行います。円運動を続けるためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、実際に物体に働いている力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: 運動方程式 \(ma = F\) において、加速度 \(a\) に向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) を、力 \(F\) に半径方向の力の合力を代入します。これにより、「速さ」「半径」「物体に働く力（特に垂直抗力）」の関係式を導くことができます。「向心力」という特別な力が存在するのではなく、あくまで力の合力が向心力の役割を果たす、という点を理解することが重要です。
• 面から離れる条件 \(N=0\):
  • 核心: 物体が面から「離れる」とは、物理的には面から受ける垂直抗力がゼロになる瞬間を指します。
  • 理解のポイント: どんなに速く運動していても、垂直抗力が正である限り物体は面に接しています。垂直抗力がちょうど \(0\) になった瞬間、物体は面からの束縛を解かれ、その時点での速度で放物運動などに移行します。この \(N=0\) という条件は、円運動の問題で「離れる」「浮き上がる」といった状況を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 振り子の運動: 糸で吊るされたおもりの運動は、この問題と非常によく似ています。糸の張力 \(T\) が、この問題の垂直抗力 \(N\) と同じ役割を果たします。糸がたるむ条件は \(T=0\) であり、最高点で一回転するための条件は最高点での張力 \(T \ge 0\) となります。
  • ジェットコースターのループ運動: ジェットコースターが円形のループを走行する問題も同様です。レールからの垂直抗力 \(N\) が向心力の一部を担います。ループの最高点で落下しない条件は、最高点での垂直抗力 \(N \ge 0\) です。
  • 半球の内面をすべる運動: 半球状のなめらかな椀の内側を物体がすべる問題。垂直抗力の向きが円の中心を向く（この問題とは逆）という違いはありますが、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を組み合わせて解くという本質は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 保存則の適用可否: まず、問題設定に摩擦や空気抵抗といった非保存力が存在するかを確認します。「なめらかな」という記述があれば、力学的エネルギー保存則が有力な解法候補となります。
  2. 運動形態の特定: 物体がどのような軌道を描くか（直線、円、放物線など）を把握します。円運動やその一部が含まれる場合、中心はどこか、半径は何かを明確にし、運動方程式を立てる準備をします。
  3. 力の図示と分解: 物体に働く力をすべて図示します。特に円運動では、力を「半径方向」と「接線方向」に分解すると、運動方程式が立てやすくなります。
  4. キーワードの物理的翻訳: 問題文中の「静かに離す」「離れる」「たるむ」「浮き上がる」「一回転する」といった言葉を、\(v=0\), \(N=0\), \(T=0\), \(N \le 0\), 「最高点で \(N \ge 0\)」といった物理的な数式条件に正確に変換することが、正解への近道です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力に関する誤解:
  • 誤解: 向心力を、重力や垂直抗力とは別に存在する「特別な力」として力の図に書き加えてしまう。
  • 対策: 向心力は力の「種類」ではなく、円運動の中心方向を向く力の「合力」に対する名称であると理解しましょう。運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) の右辺 \(F\) には、実際に物体に働いている力を分解したときの半径方向成分の合力を書きます。決して \(F\) の中に「向心力」という文字は現れません。
• 「離れる」条件の誤解:
  • 誤解: 物体が面から離れるのは、速さが \(0\) になるときだと勘違いする。
  • 対策: 速さが \(0\) になるのは、運動の向きが反転する「折り返し点」です。面から離れるのは、面に押し付ける力がなくなり、飛び出していく状況です。これは「垂直抗力 \(N=0\)」に対応します。両者は全く異なる物理状況なので、明確に区別しましょう。
• 位置エネルギーの基準点の混乱:
  • 誤解: どこを基準に取ればよいか分からず、複雑な計算をしてしまう。
  • 対策: 物理的にはどこを基準にしても良いですが、計算を最も簡単にする点を選ぶのが定石です。円運動では、円の中心や最高点、最下点が候補になります。この問題のように角度 \(\theta\) を使う場合、円の中心を基準にすると、高さが \(r\cos\theta\) のように三角関数でシンプルに表せるため便利です。
• 問(5)の条件設定ミス:
  • 誤解: 「ただちに離れる」条件を \(N=0\) とだけ考えてしまう。
  • 対策: 「離れる」という現象は、垂直抗力が \(0\) になる瞬間だけでなく、もし面がなければもっと外側に飛び出そうとする状態（つまり、面から引っぱる力が必要な状態）も含まれます。これを数式で表現すると \(N \le 0\) となります。\(N=0\) は離れるための「最小」条件（ギリギリの状態）に対応します。不等式で考える習慣をつけましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の分解図: 点Qにおける小物体の図を描き、そこに働く重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\)（半径方向外向き）を矢印で示します。さらに、重力 \(mg\) を円の半径方向（\(mg\cos\theta\)）と接線方向（\(mg\sin\theta\)）に分解した補助的な矢印を点線で描くと、半径方向の力の関係（\(mg\cos\theta\) と \(N\) のせめぎ合い）が視覚的に理解でき、運動方程式の立式ミスを防げます。
  • エネルギーの高さ図: 円筒の断面図を描き、位置エネルギーの基準点（例えば中心O）に水平線を引きます。最高点Pの高さ \(r\) と、点Qの高さ \(r\cos\theta\) を図中に明記します。これにより、力学的エネルギー保存則の \(mgh\) の項を直感的に把握できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の作用点: すべての力の矢印は、物体が力を受ける点（この場合は小物体の重心）から描くように統一します。
  • 座標軸の意識: 円運動の問題では、デカルト座標（水平・鉛直）だけでなく、動径方向（半径方向）と接線方向を軸として考える「自然座標系」が非常に有効です。どの方向に運動方程式を立てるのかを意識しながら図を描きましょう。
  • 記号の明記: 図の中に \(m, g, r, \theta, v, N\) などの記号を対応付けて書き込むことで、思考が整理され、式との関連が明確になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 問題が「速さ」を問うており、かつ「なめらかな面」という条件から非保存力が仕事をしないことがわかるため。物体の「位置」と「速さ」を最も効率よく結びつける法則だからです。
  • 適用根拠: 小物体に働く力（重力、垂直抗力）のうち、仕事をするのが保存力である重力のみであるという物理的状況。
• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\):
  • 選定理由: 問題が「垂直抗力」という「力」を問うており、物体の運動が「円運動」であるため。円運動における速さと力の関係を記述する基本法則だからです。
  • 適用根拠: 物体が半径 \(r\) の円弧に沿って運動しているという幾何学的な束縛条件。
• 面から離れる条件 \(N=0\):
  • 選定理由: 問題が「円筒表面から離れる」という特定の物理現象が起こる瞬間について問うているため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は「面が物体を押す力」と定義されます。この力がゼロになることが、面からの束縛が解かれる「離れる」という現象に他ならない、という物理的解釈に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 速さの導出:
   • 目的: 角度 \(\theta\) の関数として速さ \(v_Q\) を求める。
   • 戦略: 力学的エネルギー保存則を用いる。
   • フロー: [始点Pのエネルギー] = [点Qのエネルギー] \(\rightarrow\) \(mgr = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta\) \(\rightarrow\) \(v_Q\) について解く。
2. (2) 垂直抗力の導出:
   • 目的: 角度 \(\theta\) の関数として垂直抗力 \(N\) を求める。
   • 戦略: 円運動の運動方程式を立てる。
   • フロー: 半径方向の力を図示・分解 \(\rightarrow\) 運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r} = mg\cos\theta – N\) を立式 \(\rightarrow\) (1)で求めた \(v_Q^2\) を代入 \(\rightarrow\) \(N\) について整理する。
3. (3) 離れる角度の特定:
   • 目的: 離れる瞬間の角度 \(\theta_0\) を求める。
   • 戦略: 「離れる」条件 \(N=0\) を使う。
   • フロー: (2)で求めた \(N\) の式に \(N=0\) を代入 \(\rightarrow\) \(0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)\) \(\rightarrow\) \(\cos\theta_0\) について解く。
4. (4) 離れる速さの計算:
   • 目的: 離れる瞬間の速さ \(v_S\) を求める。
   • 戦略: (1)の速さの式に、(3)の角度の条件を適用する。
   • フロー: (1)の \(v_Q\) の式の \(\theta\) に \(\theta_0\) を代入 \(\rightarrow\) \(v_S = \sqrt{2gr(1-\cos\theta_0)}\) \(\rightarrow\) (3)で求めた \(\cos\theta_0\) の値を代入して計算。
5. (5) ただちに離れる初速の計算:
   • 目的: 点Pでただちに離れるための初速 \(v_P\) の最小値を求める。
   • 戦略: 点Pでの運動方程式と、「ただちに離れる」条件 \(N_P \le 0\) を使う。
   • フロー: 点Pでの半径方向の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} = mg – N_P\) を立式 \(\rightarrow\) \(N_P \le 0\) の条件を適用 \(\rightarrow\) \(mg – m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} \le 0\) \(\rightarrow\) \(v_P\) についての不等式を解き、最小値を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように、設問が連鎖している場合、途中で具体的な数値を代入せず、\(m, g, r, \cos\theta\) などの文字式のまま計算を進めることが極めて有効です。例えば、(2)で \(v_Q^2\) を代入する際に、(1)で得た \(2gr(1-\cos\theta)\) という「式」をそのまま代入することで、\(r\) がきれいに約分され、最終的な式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) が見通しよく導出できます。
• 次元（単位）のチェック:
  • 計算の各段階で、式の両辺の次元が合っているかを確認する癖をつけましょう。例えば、(4)の答え \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) の次元は \(\sqrt{(L/T^2) \cdot L} = \sqrt{L^2/T^2} = L/T\) となり、速さの次元と一致します。もし次元が合わなければ、その時点で計算ミスに気づくことができます。
• 符号のダブルチェック:
  • 運動方程式を立てる際、座標軸の正の向きを最初に明確に定義し、各力の成分の符号がそれに従っているかを慎重に確認します。特に重力の分解では、図と三角関数の定義を照らし合わせ、符号を間違えないように注意が必要です。
• 代入の確認:
  • ある式を別の式に代入する際は、代入する式全体を括弧でくくるなどして、分配法則の適用ミスなどを防ぎましょう。例: \(N = mg\cos\theta – m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) に \(v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) を代入するとき、\(N = mg\cos\theta – \displaystyle\frac{m}{r} \{2gr(1-\cos\theta)\}\) のように意識すると安全です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\): この値は \(0\) と \(1\) の間にあります。これは、物体が円筒の最高点(\(\cos\theta=1\))と真横(\(\cos\theta=0\))の間で離れることを意味しており、直感と合致します。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < 0\) といった物理的にありえない値が出た場合は、計算過程を見直すべきです。
  • (5) 初速の最小値 \(\sqrt{gr}\): この速さの物理的意味を考えてみましょう。この速さで物体が円運動をするときの遠心力は \(m \displaystyle\frac{(\sqrt{gr})^2}{r} = mg\) となり、重力の大きさに等しくなります。つまり、最高点Pでは、重力と遠心力がちょうどつり合う（ように見える）ため、面からの支え（垂直抗力）が不要になるギリギリの速さだと言えます。この物理的な解釈ができると、答えの妥当性に強い確信が持てます。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (1) 速さの式 \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\): もし \(\theta=0\) なら、\(v_Q=0\) となり、初期条件「静かにすべりだす」と一致します。もし \(\theta=90^\circ\) なら、\(v_Q = \sqrt{2gr}\) となり、これは高さ \(r\) の位置から自由落下した物体の速さと同じです。このように、特定の簡単な状況を代入して結果が妥当か確認するのは有効な吟味方法です。
  • (2) 垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\): もし \(\theta=0\) なら、\(N=mg\) となります。これは、速さゼロで静止している場合の力のつり合い \(N=mg\cos0=mg\) とは意味が異なりますが、点Pでの運動方程式 \(m \cdot 0 = mg – N\) から導かれる \(N=mg\) と一致し、矛盾はありません。
• 条件式の意味の再確認:
  • 導出した式が、物理現象のどの範囲で成り立つかを考えます。例えば、\(N = mg(3\cos\theta – 2)\) という式は、物体が円筒面に接している間（つまり \(N \ge 0\) の間）のみ有効です。\(N<0\) となる領域では、物体はすでに面から離れており、この式は適用できません。

問題48 (信州大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直面内での円運動をテーマにしており、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」という2つの重要な物理法則を組み合わせて解く、この分野の典型的な総合問題です。
前半(1)～(3)では小球がレールから離れずに円軌道を1周する条件を、後半(4)～(6)では小球が円運動の途中でレールから離れる場合の運動を考察します。特に「レールから離れる」という物理現象を「垂直抗力が0になる」という数式的な条件に置き換えることができるかが、問題を解く上での重要な鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くための中心的な考え方は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: レールはなめらかで、摩擦や空気抵抗も無視できるため、小球に働く非保存力は仕事をしません。したがって、小球の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は常に保存されます。これを利用して、異なる地点での「速さ」と「高さ」の関係を導きます。
2. 円運動の運動方程式: 小球は円軌道上で円運動を行います。円運動を続けるためには、円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、小球に働く重力とレールからの垂直抗力の合力によって供給されます。運動方程式を立てることで、垂直抗力の大きさを速さや位置の関数として表すことができます。
3. レールから離れる条件: 小球がレールから離れる瞬間とは、小球がレールから受ける垂直抗力がちょうど0になる瞬間です。この \(N=0\) という条件が、(3)以降の問題を解くための突破口となります。

基本的なアプローチは、各設問が段階的に構成されていることを意識し、前の設問で得られた結果を次の設問で利用することです。

• 速さや高さを問う(1), (2), (5)では、力学的エネルギー保存則を適用します。
• 力が関係する条件（1周する、離れる）を含む(3), (4)では、円運動の運動方程式を立てて垂直抗力を考えます。
• (6)では、(5)で導出した一般式に特定の条件を適用して解を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が高さ\(h\)の初期地点から円軌道の最下点Aまで運動する際の速さ\(v_A\)を求めます。この区間では力学的エネルギーが保存されるため、力学的エネルギー保存則を適用します。位置エネルギーの基準点をどこに置くかがポイントですが、ここでは最下点Aを基準（高さ0）とすると計算が簡単になります。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 位置エネルギーの基準点を明確に設定すること（ここでは点A）。
• 初期地点の高さが\(h\)、点Aの高さが0であることを正しく式に反映させる。

具体的な解説と立式
初期地点（高さ\(h\)）と点Aの間で、力学的エネルギー保存則を立てます。位置エネルギーの基準は点Aとします。

• 初期地点:
  • 初速度は0なので、運動エネルギーは \(K_{初期} = 0\)。
  • 点Aからの高さは\(h\)。位置エネルギーは \(U_{初期} = mgh\)。
• 点A:
  • 速さを\(v_A\)とすると、運動エネルギーは \(K_A = \displaystyle\frac{1}{2}mv_A^2\)。
  • 基準点なので高さは0。位置エネルギーは \(U_A = 0\)。

力学的エネルギー保存則 \(K_{初期} + U_{初期} = K_A + U_A\) より、
$$0 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2 + 0$$

上記の方程式を\(v_A\)について解きます。
$$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$$
両辺を\(m\)で割り、2を掛けると、
$$2gh = v_A^2$$
\(v_A > 0\)なので、平方根をとると、
$$v_A = \sqrt{2gh}$$

小球が高さ\(h\)から滑り落ちるとき、持っていた位置エネルギー(\(mgh\))が、すべて運動エネルギー(\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_A^2\))に変換されます。このエネルギーの等式を解くことで、最下点での速さがわかります。

点Aを通過するときの速さ\(v_A\)は\(\sqrt{2gh}\)です。これは、高さ\(h\)から物体を自由落下させたときに地面に到達する速さと同じであり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
円軌道の最高点Cにおける小球の速さ\(v_C\)を求めます。これも問(1)と同様に、初期地点（高さ\(h\)）と点Cの間で力学的エネルギー保存則を適用します。点Cの高さを正しく把握することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 点Cの高さを正しく求めること。点Aを基準とすると、点Cの高さは円の直径である\(2r\)。

具体的な解説と立式
初期地点（高さ\(h\)）と点Cの間で、力学的エネルギー保存則を立てます。位置エネルギーの基準は点Aとします。

• 初期地点:
  • 力学的エネルギーは \(E_{初期} = mgh\)。
• 点C:
  • 速さを\(v_C\)とすると、運動エネルギーは \(K_C = \displaystyle\frac{1}{2}mv_C^2\)。
  • 点Aからの高さは\(2r\)。位置エネルギーは \(U_C = mg(2r)\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{初期} = K_C + U_C\) より、
$$mgh = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(2r) \quad \cdots ①$$

式①を\(v_C\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_C^2 &= mgh – mg(2r) \\[1.5ex]\frac{1}{2}mv_C^2 &= mg(h-2r)
\end{aligned}
$$
両辺を\(m\)で割り、2を掛けると、
$$v_C^2 = 2g(h-2r)$$
\(v_C\)は実数でなければならないので、\(h \ge 2r\)という条件が隠れています。\(v_C \ge 0\)なので、平方根をとると、
$$v_C = \sqrt{2g(h-2r)}$$

小球が高さ\(h\)から点C（高さ\(2r\)）まで運動するとき、失った位置エネルギー（\(mg(h-2r)\)）が、点Cでの運動エネルギー（\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_C^2\)）に変わります。この関係から速さ\(v_C\)を計算します。

最高点Cにおける速さ\(v_C\)は\(\sqrt{2g(h-2r)}\)です。この結果から、小球が最高点Cに到達するためには、少なくとも\(h \ge 2r\)でなければならないことがわかります。これは直感的にも正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球がレールから離れずに円軌道を1周するための、高さ\(h\)の最小値\(h_1\)を求めます。小球がレールから離れる可能性があるのは、垂直抗力が最も小さくなる最高点Cです。したがって、「1周できる」という条件は、「最高点Cを通過するときにレールから離れない」という条件に置き換えられます。物理的には、点Cでの垂直抗力\(N_C\)が0以上であること、すなわち\(N_C \ge 0\)が条件となります。

この設問における重要なポイント

• 「1周できる」 \(\iff\) 「最高点Cで離れない」 \(\iff\) \(N_C \ge 0\) という条件の翻訳。
• 最高点Cにおける円運動の運動方程式を立てること。

具体的な解説と立式
まず、点Cにおける円運動の運動方程式を立てます。点Cで小球に働く力は、鉛直下向きの重力\(mg\)と、同じく鉛直下向きにレールから受ける垂直抗力\(N_C\)です。これらの力の合力が、円運動の向心力となります。円の中心に向かう向き（下向き）を正とすると、
$$m\frac{v_C^2}{r} = mg + N_C \quad \cdots ②$$
小球が1周するための条件は \(N_C \ge 0\) です。

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
小球と一緒に運動する観測者から見ると、小球には上向きに遠心力\(m\displaystyle\frac{v_C^2}{r}\)が働いているように見えます。この立場では、力のつり合いを考えます。

• 上向きの力: 遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_C^2}{r}\)
• 下向きの力: 重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N_C\)

力のつり合いの式は、\(m\displaystyle\frac{v_C^2}{r} = mg + N_C\)となり、運動方程式と同じ式が得られます。

式②を\(N_C\)について解くと、
$$N_C = m\frac{v_C^2}{r} – mg$$
ここに、問(2)で求めた \(v_C^2 = 2g(h-2r)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N_C &= m\frac{2g(h-2r)}{r} – mg \\[1.5ex]&= \frac{mg}{r} \left( 2(h-2r) – r \right) \\[1.5ex]&= \frac{mg}{r} (2h – 4r – r) \\[1.5ex]&= \frac{mg}{r} (2h – 5r)
\end{aligned}
$$
1周するための条件 \(N_C \ge 0\) を適用すると、
$$\frac{mg}{r} (2h – 5r) \ge 0$$
\(m, g, r\)はすべて正なので、
$$2h – 5r \ge 0$$
$$2h \ge 5r$$
$$h \ge \frac{5}{2}r$$
したがって、必要な高さ\(h\)の最小値\(h_1\)は、
$$h_1 = \frac{5}{2}r$$

ジェットコースターがループを1周できるかを考えるのと同じです。スピードが足りないと、てっぺんでレールから落ちてしまいます。落ちないギリギリの状態は、てっぺんでレールに触れているか触れていないか（垂直抗力がゼロ）の状態です。この条件を満たすためには、スタート地点がどれだけ高くなければならないかを計算します。

1周するための最小の高さは \(h_1 = \displaystyle\frac{5}{2}r\) です。この高さからスタートしたとき、最高点Cでの速さは \(v_C = \sqrt{2g(\frac{5}{2}r – 2r)} = \sqrt{gr}\) となり、これは1周できる最小の速さとしてよく知られた値です。物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
小球が円軌道上の点Eでレールから離れる瞬間の速さ\(v_E\)を求めます。「レールから離れる」という条件は、その点での垂直抗力\(N_E\)が0になることです。点Eにおける円運動の運動方程式を立て、\(N_E=0\)を適用します。

この設問における重要なポイント

• 「離れる」条件が \(N_E=0\) であること。
• 図2の角度\(\theta\)を用いて、点Eでの重力の半径方向成分を正しく求めること。

具体的な解説と立式
点Eにおいて、円の中心に向かう向きを正として、半径方向の運動方程式を立てます。

• 半径方向の力:
  • 重力\(mg\)の半径方向成分: 図2より、水平線となす角が\(\theta\)なので、半径と鉛直線のなす角は\(90^\circ-\theta\)。重力の半径方向成分は \(mg\cos(90^\circ-\theta) = mg\sin\theta\)。この力は中心向きです。
  • 垂直抗力\(N_E\): この力も中心向きです。
• 向心力: \(mg\sin\theta + N_E\)

運動方程式は、
$$m\frac{v_E^2}{r} = mg\sin\theta + N_E$$
点Eでレールから離れる条件は \(N_E=0\) です。

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
点Eで小球から見ると、外向きに遠心力\(m\displaystyle\frac{v_E^2}{r}\)が働きます。力のつり合いは、
\(m\displaystyle\frac{v_E^2}{r} = mg\sin\theta + N_E\)となり、同じ式が得られます。

運動方程式に \(N_E=0\) を代入すると、
$$m\frac{v_E^2}{r} = mg\sin\theta + 0$$
両辺を\(m\)で割ると、
$$\frac{v_E^2}{r} = g\sin\theta$$
$$v_E^2 = gr\sin\theta$$
\(v_E > 0\) なので、
$$v_E = \sqrt{gr\sin\theta}$$

円軌道の途中でレールから離れるのは、その場所で遠心力と重力の外向き成分がつり合わなくなり、レールが小球を支えきれなくなる（垂直抗力がゼロになる）瞬間です。この力の関係を運動方程式で表し、速さを求めます。

点Eで離れる瞬間の速さは \(v_E = \sqrt{gr\sin\theta}\) です。\(\theta=90^\circ\)（最高点C）のとき、\(v_E = \sqrt{gr}\) となり、(3)の吟味で確認した1周できる最小の速さと一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
問(4)の状況、つまり点Eで離れるときの、初期地点の高さ\(h_E\)を求めます。これは、初期地点（高さ\(h_E\)）と点Eの間で力学的エネルギー保存則を適用することで求められます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 点Eの高さを角度\(\theta\)を用いて正しく表すこと。図2より、点Aを基準とした高さは \(r+r\sin\theta\)。
• 問(4)で求めた\(v_E^2\)の結果を利用すること。

具体的な解説と立式
初期地点（高さ\(h_E\)）と点Eの間で力学的エネルギー保存則を立てます。位置エネルギーの基準は点Aとします。

• 初期地点: 力学的エネルギーは \(E_{初期} = mgh_E\)。
• 点E:
  • 運動エネルギーは \(K_E = \displaystyle\frac{1}{2}mv_E^2\)。
  • 高さは \(r+r\sin\theta\)。位置エネルギーは \(U_E = mg(r+r\sin\theta)\)。

力学的エネルギー保存則より、
$$mgh_E = \frac{1}{2}mv_E^2 + mg(r+r\sin\theta)$$

上記の方程式に、問(4)の結果 \(v_E^2 = gr\sin\theta\) を代入します。
$$mgh_E = \frac{1}{2}m(gr\sin\theta) + mgr(1+\sin\theta)$$
両辺を\(mg\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
h_E &= \frac{1}{2}r\sin\theta + r(1+\sin\theta) \\[1.5ex]&= \frac{1}{2}r\sin\theta + r + r\sin\theta \\[1.5ex]&= r + \frac{3}{2}r\sin\theta \\[1.5ex]&= \frac{r}{2}(2+3\sin\theta)
\end{aligned}
$$

「この高さからスタートしたら、この場所で、この速さになる」というエネルギーの関係式を立てます。離れる場所（点E）と離れる速さ（\(v_E\)）は(4)でわかっているので、それらを代入すれば、スタート地点の高さが逆算できます。

点Eで離れるときの初期の高さは \(h_E = \displaystyle\frac{r}{2}(2+3\sin\theta)\) です。
この式で \(\theta=90^\circ\) とすると、\(h_E = \displaystyle\frac{r}{2}(2+3) = \displaystyle\frac{5}{2}r\) となり、これは(3)で求めた1周するための最小の高さ\(h_1\)と一致します。これは、\(h=h_1\)のとき、ちょうど最高点Cで離れる（垂直抗力が0になる）ことを意味しており、結果の整合性が取れています。

問(6)

思考の道筋とポイント
小球が点B（円軌道の右端、\(\theta=0\)）に到達するために必要な高さの最小値\(h_B\)を求めます。小球がレールから離れる可能性があるのは、重力が円運動を妨げる向きに働く円軌道の上半分（\(\theta > 0\)の領域）です。したがって、点Bに到達するためには、少なくとも点Bまではレールから離れなければよい、と考えられます。
この「最小の高さ」は、「ちょうど点Bで離れるときの高さ」と解釈するのが最も自然です。これは、(5)で求めた一般式において、離れる点Eが点Bに一致する場合、すなわち\(\theta=0\)の場合に相当します。

この設問における重要なポイント

• 「点Bに到達するための最小の高さ」を「ちょうど点Bで離れるときの高さ」と解釈する。
• (5)で導出した一般式に、点Bに対応する条件 \(\theta=0\) を代入する。

具体的な解説と立式
(5)で求めた、角度\(\theta\)の点Eで離れるときの初期高さ\(h_E\)の式は、
$$h_E = \frac{r}{2}(2+3\sin\theta)$$
でした。点Bに到達するための最小の高さ\(h_B\)は、離れる点がちょうど点Bに一致するときの高さと考えられます。点Bは\(\theta=0\)に対応するので、この式に\(\theta=0\)を代入します。
$$h_B = h_E(\theta=0)$$

上記の式に \(\theta=0\) を代入します。
$$\sin0 = 0$$
なので、
$$
\begin{aligned}
h_B &= \frac{r}{2}(2+3 \cdot 0) \\[1.5ex]&= \frac{r}{2}(2) \\[1.5ex]&= r
\end{aligned}
$$

(5)で「ある場所で離れるためには、どれくらいの高さからスタートすればよいか」がわかる式を作りました。今回は「点Bで離れる」場合を考えたいので、その式に点Bの角度（\(\theta=0\)）を当てはめるだけで、必要なスタート地点の高さがわかります。

点Bに到達するために必要な高さの最小値は \(h_B = r\) です。
物理的に考えてみましょう。高さ\(r\)からスタートすると、力学的エネルギー保存則により、同じ高さである点Bに到達したとき、速さはちょうど0になります。このとき点Bでの垂直抗力\(N_B\)は、運動方程式 \(m\displaystyle\frac{0^2}{r} = mg\sin0 + N_B\) より、\(N_B=0\)となります。これはまさに「ちょうど点Bで離れる」条件と一致しており、結果は物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: レールがなめらかで、摩擦や空気抵抗が無視できるため、小球の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は運動のどの時点でも一定に保たれます。
  • 理解のポイント: この法則は、異なる2点間の「高さ」と「速さ」を直接結びつける強力なツールです。この問題では、初期地点（高さ\(h\)）のエネルギーを基準に、点A, C, Eなど様々な地点での速さや高さを求めるために繰り返し使用されます。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 小球が円軌道上を運動しているとき、その運動を維持するためには円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、実際に小球に働いている力（重力と垂直抗力）の半径方向の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: 運動方程式 \(ma = F\) の加速度\(a\)に、向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) を代入し、力\(F\)に半径方向の力の合力を代入することで、速さ、半径、そして垂直抗力の関係を明らかにします。この関係式が、「レールから離れる」条件を解析する鍵となります。
• レールから離れる条件（\(N=0\)または\(N \ge 0\)）:
  • 核心: 小球が「レールから離れる」瞬間は、レールが小球を押す力、すなわち垂直抗力がゼロになる瞬間です (\(N=0\))。また、「離れずに1周する」ためには、円軌道上のどの点でも垂直抗力がゼロ以上 (\(N \ge 0\)) である必要があります。
  • 理解のポイント: 垂直抗力が最も小さくなるのは、重力が向心力と逆向きに最も強く働く最高点Cです。したがって、「1周できる」という条件は、実質的に「最高点Cで垂直抗力が0以上である (\(N_C \ge 0\))」という条件に集約されます。この物理的洞察が、問題を簡潔に解く上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースターのループ: この問題とほぼ同じ構造です。レールが内側にあるか外側にあるかで垂直抗力の向きが変わる点に注意すれば、同じ考え方で解けます。
  • 振り子の運動: 糸の張力\(T\)が垂直抗力\(N\)の役割を果たします。「糸がたるむ」条件が\(T=0\)、「1回転する」条件が最高点での\(T \ge 0\)に対応します。
  • 斜面と円筒面を組み合わせた運動: 前問（47番）のように、円筒の「外側」をすべる運動。垂直抗力の向きが逆になりますが、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を組み合わせるという解法の骨格は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー保存の確認: 問題文に「なめらか」「摩擦を無視」などの記述があるかを確認し、力学的エネルギー保存則が使えるかを見極めます。
  2. 運動の分割: 運動が複数のフェーズ（例：斜面を滑り降りる、円運動をする、放物運動をする）に分かれている場合、それぞれのフェーズでどの物理法則が適用できるかを考えます。
  3. 力の図示と分解: 特に円運動の部分では、任意の点における力の図示が不可欠です。力を「半径方向」と「接線方向」に分解することで、運動方程式が立てやすくなります。
  4. 「条件」の物理的翻訳: 「1周する」「離れる」「到達する最小の高さ」といった日本語の条件を、\(N \ge 0\), \(N=0\), \(v=0\) といった物理的な数式条件に正確に置き換えることが、問題を解く上での最大のポイントです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力の力の図示ミス:
  • 誤解: 向心力を、重力や垂直抗力とは別の独立した力として図に書き込んでしまう。
  • 対策: 向心力は力の「合力」に対する名称であり、力の種類ではありません。力の図には、実際に物体に働く「重力」と「垂直抗力」のみを描き、それらの半径方向の合力が \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) に等しい、という運動方程式を立てるように徹底しましょう。
• 「1周する」条件の誤解:
  • 誤解: 1周するためには、最高点Cで速さがゼロ以上であればよい (\(v_C \ge 0\)) と考えてしまう。
  • 対策: \(v_C > 0\) であっても、速さが足りなければ垂直抗力\(N_C\)が負の値（物理的にありえない）を要求され、実際にはその前にレールから離れてしまいます。正しい条件は、最高点Cでレールに接し続けていること、すなわち \(N_C \ge 0\) です。速さの条件と力の条件を混同しないようにしましょう。
• 重力の成分分解のミス:
  • 誤解: 角度\(\theta\)の取り方によって、重力の半径方向成分が \(mg\cos\theta\) になったり \(mg\sin\theta\) になったりすることを混同する。
  • 対策: 毎回、図を丁寧に描き、角度\(\theta\)がどの角に対応するのかをしっかり確認しましょう。直角三角形を描いて、\(\sin\)と\(\cos\)の定義に立ち返って成分を求めるのが最も確実です。
• 位置エネルギーの高さの計算ミス:
  • 誤解: 点Eの高さを \(r\sin\theta\) と間違えるなど、基準点からの高さを誤って計算してしまう。
  • 対策: 基準点（この問題では点A）を明確にし、図形的に高さを求めます。点Eの高さは、中心Oの高さ\(r\)に、Oからの鉛直上向きの距離\(r\sin\theta\)を加えた \(r+r\sin\theta\) となります。図を描いて確認する習慣が重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギーの棒グラフ: 運動の各点（初期地点, A, C, E）で、力学的エネルギーの総量が一定であることを示す棒グラフをイメージします。高さが下がるにつれて位置エネルギー（U）の領域が減り、その分だけ運動エネルギー（K）の領域が増える、という関係を視覚化すると、エネルギー保存則の理解が深まります。
  • 力のベクトル図: 最高点Cでは、向心力（\(m\displaystyle\frac{v_C^2}{r}\)）を供給するために、重力\(mg\)と垂直抗力\(N_C\)が「協力」して下向きに働きます。一方、最下点Aでは、重力\(mg\)（下向き）に「逆らって」、垂直抗力\(N_A\)が大きな上向きの力を発生させることで、向心力を生み出しています。このような力の役割の違いをベクトル図でイメージすると、運動方程式の立式が直感的になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の定義の確認: 問題で与えられた角度\(\theta\)が、どの線を基準にどちら向きに測ったものかを正確に把握することが、すべての計算の出発点です。図2では、水平線OBとOEのなす角が\(\theta\)です。
  • 力の向き: 重力は常に鉛直下向き、垂直抗力は常に面に垂直な向きです。円軌道の場合、垂直抗力は常に円の中心を通る直線（半径）に沿って働きます。これらの基本を忠実に図に反映させましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 問題が「速さ」や「高さ」を問うており、かつ「なめらかな」レールという条件があるため。エネルギーというスカラー量で計算できるため、ベクトルの分解が不要で計算が比較的容易です。
  • 適用根拠: 働く力のうち、仕事をするのが保存力である重力のみであるという物理的条件。
• 円運動の運動方程式:
  • 選定理由: 問題が「垂直抗力」という力を直接扱う、あるいは「レールから離れる」という力が関係する条件を解析する必要があるため。
  • 適用根拠: 小球が円軌道という特定の経路に束縛されて運動しているという物理的状況。
• \(N \ge 0\) (1周する条件):
  • 選定理由: 「離れずに1周する」という条件を数式化するため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は面が物体を押す力であり、負の値を取り得ないという物理的な定義に基づきます。この力が最も小さくなる最高点で条件を考えれば十分である、という物理的洞察も含まれます。
• \(N = 0\) (離れる瞬間の条件):
  • 選定理由: 「レールから離れる」という特定の瞬間を捉えるため。
  • 適用根拠: 垂直抗力がゼロになることが、面からの束縛が解かれる瞬間に対応するという物理的定義。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1), (2) 速さの計算:
   • 戦略: 力学的エネルギー保存則。
   • フロー: [初期地点のエネルギー] = [注目点のエネルギー] の式を立て、速さについて解く。
2. (3) 1周する条件:
   • 戦略: ①最高点Cでの運動方程式を立てて\(N_C\)を求める → ②力学的エネルギー保存則で\(v_C\)を\(h\)で表す → ③ ①と②を組み合わせて\(N_C\)を\(h\)で表す → ④ \(N_C \ge 0\) の条件から\(h\)の最小値を求める。
3. (4) 離れる瞬間の速さ:
   • 戦略: 点Eでの運動方程式を立て、\(N_E=0\)の条件を適用する。
   • フロー: 点Eでの運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_E^2}{r} = mg\sin\theta + N_E\) を立てる → \(N_E=0\) を代入して\(v_E\)を求める。
4. (5) 離れるときの高さ:
   • 戦略: 力学的エネルギー保存則を用いる。
   • フロー: [初期地点のエネルギー] = [点Eのエネルギー] の式を立てる → 点Eの高さと、(4)で求めた\(v_E^2\)を代入し、\(h_E\)について解く。
5. (6) 点B到達の最小の高さ:
   • 戦略: (5)で求めた一般式に、点Bに対応する条件を代入する。
   • フロー: 「点Bに到達する最小の高さ」は「ちょうど点Bで離れるときの高さ」と解釈 → 点Bは\(\theta=0\)に対応 → (5)の\(h_E\)の式に\(\theta=0\)を代入して計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の活用: この問題のように、複数の物理量を組み合わせて計算する場合、最後まで文字式のまま計算を進めるのが得策です。途中で値を代入すると、約分などの関係が見えにくくなり、計算が煩雑になります。
• 単位（次元）の確認: 例えば、(3)や(5)で求めた高さ\(h\)の答えは、\(r\)（長さ）の定数倍になっています。次元は長さ[L]となり、高さの次元と一致します。もし答えの次元が合わなければ、計算ミスの可能性があります。
• 式の代入は慎重に: (3)で\(v_C^2\)を運動方程式に代入する際など、式全体を正しく代入するように注意します。括弧の付け忘れは致命的なミスにつながります。
• 三角関数の扱いの習熟: 角度\(\theta\)の定義を正確に把握し、力の分解や高さの計算で\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を間違えないように、図を描いて確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(h_1 = \displaystyle\frac{5}{2}r = 2.5r\): 1周するためには、最高点Cの高さ\(2r\)よりも高い位置からスタートする必要があるのは当然です。\(2.5r\)という値は、その分の運動エネルギーを確保するために必要な高さであり、妥当な大きさと言えます。
  • (5) \(h_E = \displaystyle\frac{r}{2}(2+3\sin\theta)\): この式は\(\theta\)の関数になっています。\(\theta\)が\(0\)から\(90^\circ\)まで増加すると、\(\sin\theta\)も増加するので、\(h_E\)も増加します。これは、より高い位置で離れるためには、より高い位置からスタートする必要があるという直感と一致します。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (5)の式で\(\theta=90^\circ\)を代入: \(h_E = \displaystyle\frac{r}{2}(2+3\sin90^\circ) = \displaystyle\frac{5}{2}r\)。これは(3)で求めた\(h_1\)と一致します。つまり、この一般式は、1周するギリギリの状況を特別な場合として含んでおり、式の正しさを示唆しています。
  • (6) \(h_B = r\): 高さ\(r\)からスタートした場合、力学的エネルギー保存則から、同じ高さである点Bに到達したときの速さは0になります。このとき、点Bでの運動方程式は \(m\displaystyle\frac{0^2}{r} = mg\sin0 + N_B\) となり、\(N_B=0\)が導かれます。これは「ちょうど点Bで離れる」という状況と完全に一致しており、答えの妥当性を裏付けています。

問題49 (富山県大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、途中で回転中心が変わる「振り子の運動」を扱っています。前半(1)～(4)は、水平な位置から静かにはなした後の運動を、後半(5)は、1周させるための条件を問うています。
この問題の核心は、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式という2つの基本法則を、運動の変化点（釘との接触）を正しく理解しながら適用することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円運動」と「力学的エネルギー保存則」の応用です。特に、途中で円運動の半径と中心が変わる点が特徴的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 糸の張力は仕事をしないため、小球の力学的エネルギーは保存されます。これを用いて、異なる地点での速さを関連付けます。
2. 円運動の運動方程式: 小球は円弧に沿って運動するため、各点での速さと張力の関係を運動方程式で記述できます。この問題では、釘にかかる前後で円運動の半径と中心が変わるため、それぞれの状況に応じて正しく立式する必要があります。
3. 運動の変化点と条件の読み替え: 糸が釘Oにかかることで円運動の半径が\(L\)から\(L/2\)に切り替わりますが、速さはその瞬間には変化しません。また、「点Aに到達する」という条件は「最高点での張力が0以上」と読み替えることが重要です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、力学的エネルギー保存則を用いて、運動の各点での速さを求めます（問1）。
2. 次に、各点での円運動の半径を正しく認識し、運動方程式を立てて張力を計算します（問2, 3, 4）。この際、(1)で求めた速さを利用します。
3. 問(4)のように、任意の点での張力を求めるには、まずその点での速さをエネルギー保存則で求め、その速さを使って運動方程式を立てる、という2段階のプロセスを踏みます。
4. 最後の問(5)では、「最高点Aで糸がたるまない（張力\(\ge 0\)）」という条件から、必要な初速を逆算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が位置Bから最下点Cまで運動する間の速さを求めます。この運動では、働く力は重力と糸の張力です。張力は常に小球の運動方向と垂直なので仕事をしません。したがって、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。位置エネルギーの基準点を最下点Cとすると計算が簡単になります。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用できることを理解する。
• 位置エネルギーの基準点を適切に設定する（ここでは点C）。
• 点Bの高さ（基準点Cから見て\(L\)）を正しく把握する。

具体的な解説と立式
位置Bと最下点Cの間で、力学的エネルギー保存則を立てます。位置エネルギーの基準は点Cとします。

• 位置B:
  • 静かにはなすので、初速は0。運動エネルギーは \(K_B = 0\)。
  • 点Cからの高さは\(L\)。位置エネルギーは \(U_B = mgL\)。
• 点C:
  • 速さを\(v_C\)とすると、運動エネルギーは \(K_C = \displaystyle\frac{1}{2}mv_C^2\)。
  • 基準点なので高さは0。位置エネルギーは \(U_C = 0\)。

力学的エネルギー保存則 \(K_B + U_B = K_C + U_C\) より、
$$0 + mgL = \frac{1}{2}mv_C^2 + 0 \quad \cdots ①$$

式①を\(v_C\)について解きます。
$$mgL = \frac{1}{2}mv_C^2$$
両辺を\(m\)で割り、2を掛けると、
$$2gL = v_C^2$$
\(v_C > 0\)なので、平方根をとると、
$$v_C = \sqrt{2gL}$$

小球が高さ\(L\)の位置Bから最下点Cまで落ちるとき、持っていた位置エネルギー(\(mgL\))が、すべて運動エネルギー(\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_C^2\))に変換されます。このエネルギーの等式を解くことで、最下点での速さがわかります。

最下点Cを通過するときの速さは \(v_C = \sqrt{2gL}\) です。これは、高さ\(L\)から物体を自由落下させたときに地面に到達する速さと同じであり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
糸が釘にかかる直前の、最下点Cでの張力\(T_1\)を求めます。この瞬間、小球は点Aを中心とする半径\(L\)の円運動を行っています。したがって、円運動の運動方程式を立てて張力を計算します。

この設問における重要なポイント

• 円運動の中心（A）と半径（\(L\)）を正しく把握する。
• 円運動の運動方程式を立てる。向心力は、上向きの張力と下向きの重力の合力で供給される。

具体的な解説と立式
点Cにおいて、釘にかかる直前の半径方向の運動方程式を立てます。円の中心Aに向かう向き（上向き）を正とします。

• 半径方向の力:
  • 張力 \(T_1\)（上向き）
  • 重力 \(mg\)（下向き）
• 向心力: \(T_1 – mg\)
• 向心加速度: \(\displaystyle\frac{v_C^2}{L}\)

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_C^2}{L} = T_1 – mg$$

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
小球と一緒に運動する観測者から見ると、下向きに遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_C^2}{L}\) が働いているように見えます。この立場では、力のつり合いを考えます。

• 上向きの力: 張力 \(T_1\)
• 下向きの力: 重力 \(mg\) と遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_C^2}{L}\)

力のつり合いの式は、\(T_1 = mg + m\displaystyle\frac{v_C^2}{L}\) となり、運動方程式を変形したものと同じ式が得られます。

運動方程式を\(T_1\)について解くと、
$$T_1 = mg + m\frac{v_C^2}{L}$$
ここに、問(1)で求めた \(v_C^2 = 2gL\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= mg + m\frac{2gL}{L} \\[1.5ex]&= mg + 2mg \\[1.5ex]&= 3mg
\end{aligned}
$$

最下点では、糸は小球の重さを支えるだけでなく、小球を円運動させるための力（向心力）も加えなければなりません。そのため、張力は重力(\(mg\))よりも大きくなります。その大きさを運動方程式から計算します。

釘にかかる直前の張力は \(T_1 = 3mg\) です。静止しているときの張力(\(mg\))の3倍の大きさであり、円運動による効果が加わっていることがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
糸が釘にかかった直後の張力\(T_2\)を求めます。釘にかかった瞬間、円運動の中心がAからOに、半径が\(L\)から\(L/2\)に変化します。しかし、小球の速さは瞬間的には変わらないため、速さ\(v_C\)のままです。この新しい半径で、再度運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 釘にかかることで円運動の中心と半径が変化することを理解する。
• 速さは瞬間的には変化しない（連続である）ことを理解する。

具体的な解説と立式
点Cにおいて、釘にかかった直後の半径方向の運動方程式を立てます。新しい円の中心Oに向かう向き（上向き）を正とします。

• 半径方向の力:
  • 張力 \(T_2\)（上向き）
  • 重力 \(mg\)（下向き）
• 向心力: \(T_2 – mg\)
• 向心加速度: 新しい半径は \(L/2\) なので、\(\displaystyle\frac{v_C^2}{L/2}\)

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_C^2}{L/2} = T_2 – mg$$

運動方程式を\(T_2\)について解くと、
$$T_2 = mg + m\frac{v_C^2}{L/2} = mg + \frac{2mv_C^2}{L}$$
ここに、問(1)で求めた \(v_C^2 = 2gL\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= mg + \frac{2m(2gL)}{L} \\[1.5ex]&= mg + 4mg \\[1.5ex]&= 5mg
\end{aligned}
$$

円運動の半径が急に半分になりました。同じ速さでも、より急なカーブを曲がるためには、より大きな向心力が必要になります。そのため、糸が小球を引く力（張力）はさらに大きくなります。

釘にかかった直後の張力は \(T_2 = 5mg\) です。半径が半分になったことで、向心力部分が2倍になり、張力が \(3mg\) から \(5mg\) へと増加しました。物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
釘にかかった後、小球が位置D（鉛直方向から角度\(\theta\)）に達したときの張力\(T_3\)を求めます。張力を求めるには、その点での速さ\(v_D\)が必要です。まず、力学的エネルギー保存則を用いて\(v_D\)を求め、次にその速さを使って円運動の運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則で速さを求め、運動方程式で力を求める、という2段階の思考プロセス。
• 位置Dの高さと、重力の半径方向成分を角度\(\theta\)を用いて正しく表現すること。

具体的な解説と立式
Step 1: 位置Dでの速さ\(v_D\)を求める
位置Bと位置Dの間で力学的エネルギー保存則を立てます。基準は点Cとします。

• 位置B: エネルギーは \(U_B = mgL\)。
• 位置D:
  • 運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_D^2\)。
  • 高さは、点Cから見て \(\frac{L}{2}(1-\cos\theta)\)。位置エネルギーは \(mg\frac{L}{2}(1-\cos\theta)\)。

エネルギー保存則より、
$$mgL = \frac{1}{2}mv_D^2 + mg\frac{L}{2}(1-\cos\theta) \quad \cdots ②$$
Step 2: 位置Dでの運動方程式を立てる
小球は釘Oを中心とする半径\(L/2\)の円運動をしています。中心Oに向かう向きを正とします。

• 半径方向の力:
  • 張力 \(T_3\)（中心向き）
  • 重力の半径方向成分 \(mg\cos\theta\)（中心と逆向き）
• 向心力: \(T_3 – mg\cos\theta\)

運動方程式は、
$$m\frac{v_D^2}{L/2} = T_3 – mg\cos\theta$$

まず、式②から\(v_D^2\)を求めます。両辺を\(m\)で割ると、
$$gL = \frac{1}{2}v_D^2 + g\frac{L}{2}(1-\cos\theta)$$
$$\frac{1}{2}v_D^2 = gL – g\frac{L}{2}(1-\cos\theta) = gL – \frac{gL}{2} + \frac{gL}{2}\cos\theta = \frac{gL}{2}(1+\cos\theta)$$
$$v_D^2 = gL(1+\cos\theta)$$
次に、この\(v_D^2\)を運動方程式に代入し、\(T_3\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_3 &= mg\cos\theta + m\frac{v_D^2}{L/2} \\[1.5ex]&= mg\cos\theta + \frac{2m}{L} \{gL(1+\cos\theta)\} \\[1.5ex]&= mg\cos\theta + 2mg(1+\cos\theta) \\[1.5ex]&= mg\cos\theta + 2mg + 2mg\cos\theta \\[1.5ex]&= 2mg + 3mg\cos\theta \\[1.5ex]&= mg(2+3\cos\theta)
\end{aligned}
$$

D点での張力を知るには、まずD点での速さが必要です。速さはスタート地点Bからのエネルギー保存で計算します。その速さがわかれば、D点での円運動（半径\(L/2\)）に必要な張力を運動方程式から計算できます。

位置Dでの張力は \(T_3 = mg(2+3\cos\theta)\) です。この式で\(\theta=0\)（点C）とすると、\(T_3 = mg(2+3) = 5mg\)となり、問(3)で求めた\(T_2\)と一致します。このことから、式の形が妥当であることが確認できます。

問(5)

思考の道筋とポイント
位置Bから下向きに初速\(V\)を与え、小球を点Aに到達させるための最小の速さを求めます。点Aは、釘Oを中心とする半径\(L/2\)の円運動の最高点です。「点Aに到達する」とは、途中で糸がたるまずに最高点Aに達することを意味します。この物理的な条件は、最高点Aでの張力\(T_A\)が0以上であること、すなわち \(T_A \ge 0\) と数式で表せます。

この設問における重要なポイント

• 「到達する」という条件を「最高点での張力 \(\ge 0\)」と正しく翻訳すること。
• 点Aでの円運動の半径が\(L/2\)であることを認識すること。
• エネルギー保存則を用いて、点Aでの速さを初速\(V\)で表すこと。

具体的な解説と立式
Step 1: 点Aでの速さ\(v_A\)を求める
位置Bと点Aは同じ高さです。力学的エネルギー保存則より、速さは保存されます。したがって、点Bで与えた初速が\(V\)ならば、点Aでの速さも\(V\)です。
$$v_A = V$$
Step 2: 点Aでの運動方程式を立てる
点Aでは、釘Oを中心とする半径\(L/2\)の円運動をしています。中心Oに向かう向き（下向き）を正とします。

• 半径方向の力:
  • 張力 \(T_A\)（下向き）
  • 重力 \(mg\)（下向き）
• 向心力: \(T_A + mg\)

運動方程式は、
$$m\frac{v_A^2}{L/2} = T_A + mg \quad \cdots ③$$

別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
点Aで小球から見ると、上向きに遠心力\(m\displaystyle\frac{v_A^2}{L/2}\)が働きます。力のつり合いは、
\(m\displaystyle\frac{v_A^2}{L/2} = T_A + mg\)となり、同じ式が得られます。

式③に \(v_A = V\) を代入し、\(T_A\)について解くと、
$$T_A = m\frac{V^2}{L/2} – mg = \frac{2mV^2}{L} – mg$$
点Aに到達するための条件は \(T_A \ge 0\) なので、
$$\frac{2mV^2}{L} – mg \ge 0$$
$$\frac{2mV^2}{L} \ge mg$$
$$V^2 \ge \frac{gL}{2}$$
\(V > 0\) なので、
$$V \ge \sqrt{\frac{gL}{2}}$$
したがって、求める最小の速さは \(\sqrt{\displaystyle\frac{gL}{2}}\) です。

釘にかかった後、小球は逆さまのジェットコースターのように、半径\(L/2\)の円の上半分を運動します。てっぺんである点Aで糸がたるまずに通過できるギリギリの条件は、てっぺんでの張力がゼロになることです。この条件を満たすためには、スタート地点Bでどれだけの初速が必要かを計算します。

点Aに到達するために必要な最小の速さは \(\sqrt{\displaystyle\frac{gL}{2}}\) です。これは、半径\(r’ = L/2\)の円運動を1周するための最高点での最小速度が \(\sqrt{gr’} = \sqrt{g(L/2)}\) であるという、よく知られた結果と一致しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 糸の張力は常に小球の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。また、空気抵抗も無視できるため、保存力である重力のみが仕事をし、小球の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は常に保存されます。
  • 理解のポイント: この法則は、異なる2点間の「高さ」と「速さ」を直接結びつけるための最も基本的なツールです。この問題では、速さを求める(1)や、速さと高さを関連付ける(4), (5)で繰り返し用いられます。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 小球は糸に引かれて円運動を行います。円運動を続けるためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、実際に小球に働いている力（重力と糸の張力）の半径方向の合力によって供給されます。
  • 理解のポイント: この問題の最大の特徴は、途中で円運動の「中心」と「半径」が変わることです。
    • 釘にかかる前: 中心A, 半径\(L\)
    • 釘にかかった後: 中心O, 半径\(L/2\)

    運動方程式を立てる際には、その瞬間にどちらの円運動をしているのかを正確に把握し、正しい中心と半径を用いることが極めて重要です。

• 糸がたるまない条件（張力 \(\ge 0\)）:
  • 核心: 小球が円軌道を一周したり、特定の点に到達したりするためには、糸が常に張った状態でなければなりません。物理的には、糸の張力が常に0以上であること (\(T \ge 0\)) を意味します。
  • 理解のポイント: 特に、円運動の最高点（この問題では点A）は、重力が張力と同じ向きに働くため、張力が最も小さくなる点です。したがって、「点Aに到達できる」という条件は、「最高点Aで張力が0以上である (\(T_A \ge 0\))」という条件に集約されます。この物理的条件の読み替えが、(5)を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 通常の振り子運動: 釘がない場合の振り子の運動。考え方はこの問題の前半部分と全く同じです。
  • レール上での円運動: 前問（48番）のような、レールに束縛された物体の円運動。糸の張力\(T\)がレールからの垂直抗力\(N\)に置き換わるだけで、解法の構造は同じです。
  • 途中で障害物に衝突する運動: 振り子の軌道上に壁などがあり、衝突（はねかえり）が起こる問題。衝突の前後では力学的エネルギーは保存されませんが、衝突の瞬間を挟んだそれぞれの運動区間ではエネルギー保存則が使える場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の変化点の特定: まず、運動の様子が変化する点（この問題では最下点Cでの釘との接触）を把握します。その変化点で何が変わり（円運動の中心と半径）、何が変わらない（速さ）のかを整理することが重要です。
  2. 各区間での運動のモデル化: 変化点を境に運動を区間分けし、それぞれの区間で小球がどのような運動（半径Lの円運動、半径L/2の円運動など）をしているのかを明確にします。
  3. 求める量に応じた法則の選択:
     • 「速さ」や「高さ」を求めたい \(\rightarrow\) 力学的エネルギー保存則
     • 「張力」や「垂直抗力」などの「力」を求めたい \(\rightarrow\) 円運動の運動方程式
  4. 日本語の条件を数式に翻訳: 「静かにはなす」(\(v=0\))、「到達する」(\(T \ge 0\))、「たるむ」(\(T=0\)) といった言葉を、正確な物理的条件式に変換する能力が問われます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 円運動の半径と中心の混同:
  • 誤解: 釘にかかった後も、半径\(L\)のまま計算してしまう。あるいは、運動方程式を立てる際に、力の分解の基準となる中心を間違える。
  • 対策: 運動の各フェーズで、「中心はどこか？」「半径はいくつか？」を常に自問自答する習慣をつけましょう。図に中心点（A, O）と半径（\(L, L/2\)）を明確に書き込むことが有効です。
• 釘にかかる瞬間の速さの扱い:
  • 誤解: 釘にかかることで半径が変わり、速さも何か変わるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 釘との接触は瞬間的な出来事であり、その前後で小球の位置は変わらないため、位置エネルギーは変化しません。また、張力は仕事をしないため、運動エネルギーも変化しません。したがって、速さは連続的に保たれる（変わらない）と理解しましょう。
• 「到達する」条件の誤解:
  • 誤解: (5)で「点Aに到達する」条件を、点Aでの速さがゼロ以上 (\(v_A \ge 0\)) だと勘違いする。
  • 対策: 速さが正でも、張力が負を要求される状況（物理的に不可能）では、その前に糸がたるんでしまいます。正しい条件は、あくまで力の条件、すなわち「最高点での張力 \(T_A \ge 0\)」です。円運動を維持するための力の条件と、単にその点に存在するための速さの条件は別物であると区別しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの円弧の重ね描き: 釘にかかる前の半径\(L\)の円弧（中心A）と、釘にかかった後の半径\(L/2\)の円弧（中心O）を、それぞれ異なる色や点線で明確に区別して描くと、運動の変化が視覚的に理解しやすくなります。
  • 力のベクトル図: 各点（C, D, A）で、小球に働く力（重力と張力）をベクトルで図示します。特に、円運動の中心に向かう力の合力（向心力）がどのように作られているか（例：点Cでは\(T-mg\)、点Aでは\(T+mg\)）を意識すると、運動方程式の立式ミスが減ります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 幾何学的関係の明記: 図の中に、長さ（\(L, L/2\)）や角度（\(\theta\)）を正確に書き込みます。特に(4)で位置Dの高さを求める際には、\(L/2\)と\(\cos\theta\)から高さの変化分を求める幾何学的な考察が必要です。
  • 座標軸の設定: 位置エネルギーを計算する際には、基準となる高さ（y=0）をどこに設定するかを最初に決め、図に明記しておくと混乱を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 運動の途中で速さを知る必要があるため。特に、異なる半径の円運動区間をまたいで速さを関連付けることができる唯一の法則だからです。
  • 適用根拠: 働く力のうち、仕事をするのが保存力である重力のみであるという物理的条件。
• 円運動の運動方程式:
  • 選定理由: 問題が「張力」という力を問うているため。また、「到達する」という条件を張力の条件に置き換えて解析する必要があるため。
  • 適用根拠: 小球が糸によって円軌道に束縛されているという物理的状況。この法則は、特定の「瞬間」における力の関係を記述するものであり、半径が変わる前後で別々に適用する必要があります。
• \(T \ge 0\) (糸がたるまない条件):
  • 選定理由: 「点Aに到達する」という、運動が継続するための条件を数式化するため。
  • 適用根拠: 糸は物体を押すことができず、引くことしかできないという物理的性質に基づきます。張力が負になることはありえず、0になった瞬間に糸はたるみ、円運動は維持できなくなります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 最下点での速さ:
   • 戦略: エネルギー保存則（B \(\rightarrow\) C）。
   • フロー: \(mgL = \displaystyle\frac{1}{2}mv_C^2\) \(\rightarrow\) \(v_C\)を求める。
2. (2) 釘にかかる直前の張力:
   • 戦略: 半径\(L\)の円運動の運動方程式（点C）。
   • フロー: \(m\displaystyle\frac{v_C^2}{L} = T_1 – mg\) \(\rightarrow\) (1)の\(v_C^2\)を代入し\(T_1\)を求める。
3. (3) 釘にかかった直後の張力:
   • 戦略: 半径\(L/2\)の円運動の運動方程式（点C）。速さは\(v_C\)のまま。
   • フロー: \(m\displaystyle\frac{v_C^2}{L/2} = T_2 – mg\) \(\rightarrow\) (1)の\(v_C^2\)を代入し\(T_2\)を求める。
4. (4) 位置Dでの張力:
   • 戦略: ①エネルギー保存則（B \(\rightarrow\) D）で\(v_D\)を求める → ②半径\(L/2\)の円運動の運動方程式（点D）を立て、①の結果を代入する。
   • フロー: \(mgL = \displaystyle\frac{1}{2}mv_D^2 + mg\frac{L}{2}(1-\cos\theta)\) から\(v_D^2\)を求める → \(m\displaystyle\frac{v_D^2}{L/2} = T_3 – mg\cos\theta\) に代入し\(T_3\)を求める。
5. (5) 点A到達の最小初速:
   • 戦略: ①エネルギー保存則（B \(\rightarrow\) A）で\(v_A\)を初速\(V\)で表す → ②半径\(L/2\)の円運動の運動方程式（点A）を立てる → ③ \(T_A \ge 0\) の条件を適用し、\(V\)の最小値を求める。
   • フロー: \(v_A = V\) → \(m\displaystyle\frac{V^2}{L/2} = T_A + mg\) → \(T_A = \frac{2mV^2}{L} – mg \ge 0\) を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 半径の使い分け: 計算の各段階で、今考えている円運動の半径が\(L\)なのか\(L/2\)なのかを常に確認しましょう。特に運動方程式を立てる際に注意が必要です。
• 文字式の整理: (4)のように計算が少し複雑になる場合、焦って代入するのではなく、各ステップで式をきれいに整理しながら進めることが重要です。例えば、\(v_D^2\)を求めてから運動方程式に代入するという手順を踏むことで、見通しが良くなります。
• 符号の確認: 運動方程式を立てる際、中心向きを正としたときの各力の符号（張力は常に正、重力成分は向きによる）を慎重に確認しましょう。
• 結果の検算: (4)で得られた\(T_3\)の式に\(\theta=0\)を代入すると、(3)の\(T_2\)と一致することを確認する（セルフチェック）など、得られた結果の妥当性を別の角度から検証する習慣は、ミスを発見するのに非常に有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2)と(3)の比較: \(T_1=3mg\), \(T_2=5mg\)。半径が急に小さくなることで、より大きな向心力が必要となり、張力が増加するという結果は直感と一致します。
  • (4) \(T_3 = mg(2+3\cos\theta)\): 小球がC点(\(\theta=0\))から上がっていくと\(\cos\theta\)は減少し、張力\(T_3\)も減少します。これは、速さが落ち、かつ重力が向心力を助ける向きに働き始めるためで、物理的に妥当な傾向です。
  • (5) 最小の速さ \(\sqrt{gL/2}\): この速さは、半径\(r’ = L/2\)の円の最高点を通過するための最小速度\(\sqrt{gr’}\)と一致します。これは、振り子運動の最も基本的な性質と整合しており、答えの信頼性が高いことを示しています。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (4)の式で\(\theta=0\)を考えると、\(T_3 = mg(2+3) = 5mg\)となり、(3)の結果と一致します。このように、一般式を特別な場合に適用して既知の結果と一致するかを確認することは、強力な検証手段です。

問題50 (電気通信大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、半円形状の面をすべる小物体の運動を扱っています。前半(1)-(2)は台が固定されている場合、後半(3)-(4)は台が自由に動ける場合を考えます。
台が固定されている場合は、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式という基本的な考え方で解くことができます。
一方、台が動く場合は、小物体と台を一つの「系」として捉え、水平方向の運動量保存則、系全体の力学的エネルギー保存則、そして「小物体が面上をすべる」という束縛条件を組み合わせて解く必要があり、力学の総合力が問われる難問です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円運動」と、複数の物体からなる系における「保存則」の応用です。特に、台が動く場合の運動量保存則や重心の考え方が問われる、非常に総合的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 小物体と台の間の垂直抗力は仕事をせず、床もなめらかなため、非保存力である摩擦力が仕事をしません。したがって、小物体単体（台固定時）または「小物体＋台」の系全体（台可動時）の力学的エネルギーは保存されます。
2. 円運動の運動方程式: 小物体は（台から見ると）常に半径\(R\)の円周上を運動します。この「束縛」が、小物体と台の運動を関連付ける重要な条件となります。
3. 運動量保存則（水平方向）: 台が自由に動ける場合、「小物体＋台」の系には水平方向の外力が働きません。したがって、系の水平方向の運動量の和は常に一定に保たれます。
4. 重心の運動: 水平方向の運動量が保存される系では、系の重心の水平方向の速度は一定です。初期状態で静止していれば、重心の水平位置は永久に変わりません。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 台が固定されている(1), (2)では、小物体の力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式、そして台全体の力のつり合いを考えます。
2. 台が動く(3)では、「小物体＋台」の系に対して、水平方向の運動量保存則、系全体の力学的エネルギー保存則、そして相対運動から導かれる束縛条件という3つの式を連立させて解きます。
3. (4)では、運動量保存則から導かれる「重心位置不変」の法則を利用して、各物体の位置を代数的に求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
台が固定されているため、小物体の運動のみを考えます。始点Aから角度\(\theta\)の位置まで、力学的エネルギーが保存されることを利用して速さ\(v_1\)を求めます。
この問題では角度\(\theta\)の定義が重要です。水平線OAと、現在の小物体位置を結ぶ線とのなす角が\(\theta\)なので、始点Aは\(\theta=0\)ではありません。図から、始点Aの高さと角度\(\theta\)の点の高さを正しく読み取ることが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 角度\(\theta\)の定義から、各点の高さを正しく表現すること。
• 位置エネルギーの基準点を明確に設定する。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、始点Aと角度\(\theta\)の位置の間で適用します。位置エネルギーの基準を床面（y=0）とします。

• 始点A:
  • 静かにはなすので、速さは0。運動エネルギーは \(K_A = 0\)。
  • 図より、A点の高さは\(R\)。位置エネルギーは \(U_A = mgR\)。
• 角度\(\theta\)の位置:
  • 速さを\(v_1\)とすると、運動エネルギーは \(K_\theta = \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\)。
  • 図より、中心Oから鉛直下向きの距離が\(R\sin\theta\)なので、床面からの高さは \(R – R\sin\theta\)。位置エネルギーは \(U_\theta = mg(R-R\sin\theta)\)。

力学的エネルギー保存則 \(K_A + U_A = K_\theta + U_\theta\) より、
$$0 + mgR = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg(R-R\sin\theta)$$

上記の方程式を\(v_1\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgR &= \frac{1}{2}mv_1^2 + mgR – mgR\sin\theta \\[1.5ex]\frac{1}{2}mv_1^2 &= mgR\sin\theta
\end{aligned}
$$
両辺を\(m\)で割り、2を掛けると、
$$v_1^2 = 2gR\sin\theta$$
\(v_1 \ge 0\)なので、平方根をとると、
$$v_1 = \sqrt{2gR\sin\theta}$$

小物体がA点から角度\(\theta\)の点まで滑り落ちるとき、失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わります。高さの変化は \(R – (R-R\sin\theta) = R\sin\theta\) なので、失った位置エネルギーは \(mgR\sin\theta\) です。これがすべて運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\) になったと考えれば、同じ式が得られます。

角度\(\theta\)の位置を通過するときの速さは \(v_1 = \sqrt{2gR\sin\theta}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• 始点A（図の左端）では、水平線OAとのなす角は\(\theta=0\)ではなく、\(\theta\)の定義に従うと、この位置は角度の基準となるため、ここから運動が始まります。
• 最下点では\(\theta=\pi/2\)となり、速さは最大値 \(v_1 = \sqrt{2gR}\) となります。これは高さ\(R\)から落下した速さと同じで妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小物体が台から受ける垂直抗力\(N\)と、台が床から受ける垂直抗力\(F\)を求めます。

• \(N\)は、小物体の円運動の運動方程式を立てることで求められます。
• \(F\)は、台全体に働く鉛直方向の力のつり合いを考えることで求められます。

この設問における重要なポイント

• 小物体の運動方程式と、台全体の力のつり合いを区別して考える。
• 力の分解を正しく行う。特に、小物体から台に働く力（\(N\)の反作用）を鉛直方向に分解する必要がある。

具体的な解説と立式
1. 垂直抗力\(N\)の導出
角度\(\theta\)の位置で、小物体の円運動の運動方程式を立てます。円の中心Oに向かう向きを正とします。

• 半径方向の力:
  • 垂直抗力 \(N\)（中心O向き）
  • 重力\(mg\)の半径方向成分: \(mg\sin\theta\)（中心Oと逆向き）
• 向心力: \(N – mg\sin\theta\)

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_1^2}{R} = N – mg\sin\theta \quad \cdots ①$$
2. 垂直抗力\(F\)の導出
台全体に働く鉛直方向の力のつり合いを考えます。上向きを正とします。

• 上向きの力: 床からの垂直抗力 \(F\)
• 下向きの力:
  • 台の重力 \(Mg\)
  • 小物体から受ける力の鉛直成分。これは、小物体が台から受ける垂直抗力\(N\)の反作用\(N’\)の鉛直成分に等しい。\(N’\)の大きさは\(N\)で、向きは中心Oから遠ざかる向き。その鉛直下向き成分は \(N\sin\theta\)。

力のつり合いの式は、
$$F – Mg – N\sin\theta = 0 \quad \cdots ②$$

Nの計算:
式①を\(N\)について解き、問(1)の結果 \(v_1^2 = 2gR\sin\theta\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg\sin\theta + m\frac{v_1^2}{R} \\[1.5ex]&= mg\sin\theta + m\frac{2gR\sin\theta}{R} \\[1.5ex]&= mg\sin\theta + 2mg\sin\theta \\[1.5ex]&= 3mg\sin\theta
\end{aligned}
$$
Fの計算:
式②を\(F\)について解き、上で求めた\(N\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= Mg + N\sin\theta \\[1.5ex]&= Mg + (3mg\sin\theta)\sin\theta \\[1.5ex]&= Mg + 3mg\sin^2\theta \\[1.5ex]&= (M + 3m\sin^2\theta)g
\end{aligned}
$$
グラフの作成:
条件 \(M/m=4\)、すなわち \(M=4m\) を用いて、\(N\)と\(F\)を\(\theta\)の関数としてプロットします。

• \(N = 3mg\sin\theta\)
• \(F = (4m + 3m\sin^2\theta)g = mg(4+3\sin^2\theta)\)

目盛りの値を計算します。

• \(\theta=0\) (点A): \(N=0\), \(F=mg(4+0)=4mg\)
• \(\theta=\pi/2\) (最下点): \(N=3mg\sin(\pi/2)=3mg\), \(F=mg(4+3)=7mg\)
• \(\theta=\pi\) (点Aに戻る手前の右端): \(N=3mg\sin\pi=0\), \(F=mg(4+0)=4mg\)

これらの値に基づき、\(N\)はサインカーブ（実線）、\(F\)は\(\sin^2\theta\)のカーブ（破線）としてグラフを描きます。

小物体が台から受ける力\(N\)は、小物体の円運動の式から計算します。一方、床が台を支える力\(F\)は、台自身の重さに加え、小物体が台を押す力（\(N\)の反作用）の下向き成分も支えなければならないので、それらを足し合わせることで計算できます。

垂直抗力\(N\)は\(3mg\sin\theta\)、床からの垂直抗力\(F\)は\((M+3m\sin^2\theta)g\)です。
\(N\)は最下点(\(\theta=\pi/2\))で最大となり、速さが最大であることと対応しています。\(F\)も最下点で最大となりますが、これは台自身の重力に加え、小物体を円運動させるために台が受ける下向きの力が最大になるためで、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
台の固定を外し、床もなめらかにした場合の問題です。この場合、小物体と台は互いに力を及ぼし合いながら運動します。このような複数物体の運動では、系全体で保存される量に着目するのが定石です。

• 水平方向: 小物体と台の間で働く垂直抗力は内力であり、系に水平方向の外力は働かないため、水平方向の運動量が保存されます。
• 系全体: 垂直抗力や重力は仕事をしますが、系全体で見ると非保存力（摩擦など）は仕事をしないため、系全体の力学的エネルギーが保存されます。
• 束縛条件: 小物体は台の面上を滑るという束縛があるため、小物体と台の速度の間には特定の関係（相対速度に関する条件）が成り立ちます。

これら3つの法則を連立させて解きます。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則と力学的エネルギー保存則を「系全体」で考える。
• 台から見た小物体の運動（相対運動）が円運動になることを利用して、速度間の関係式（束縛条件）を立てる。
• 3つの基本法則を連立させて解く、力学の総合的な応用問題であることを理解する。

具体的な解説と立式
右向きを正とし、小物体の速度を\(\vec{v_2}=(v_{2x}, v_{2y})\)、台の速度を\(\vec{V}=(V, 0)\)とします。
1. 水平方向の運動量保存則
初期状態では系全体が静止しているので、全運動量は0です。
$$mv_{2x} + MV = 0 \quad \cdots ③$$
2. 系全体の力学的エネルギー保存則
基準を床面(y=0)とします。始点Aの高さは\(R\)、角度\(\theta\)の点の高さは\(R-R\sin\theta\)です。
$$mgR = \frac{1}{2}m(v_{2x}^2 + v_{2y}^2) + \frac{1}{2}MV^2 + mg(R-R\sin\theta)$$
整理すると、
$$mgR\sin\theta = \frac{1}{2}m(v_{2x}^2 + v_{2y}^2) + \frac{1}{2}MV^2 \quad \cdots ④$$
3. 束縛条件（相対速度）
台から見た小物体の運動は、台の中心O’を基準とする半径\(R\)の円運動です。台から見た小物体の相対速度\(\vec{v}_{rel} = \vec{v_2} – \vec{V} = (v_{2x}-V, v_{2y})\)は、常に円の接線方向を向きます。
一方、台の座標系で考えた小物体の位置ベクトル（半径ベクトル）は\(\vec{r}_{rel} = (R\cos\theta, -R\sin\theta)\)です。
接線ベクトルと半径ベクトルは直交するので、その内積は0になります。
$$\vec{v}_{rel} \cdot \vec{r}_{rel} = 0$$
$$(v_{2x}-V)(R\cos\theta) + v_{2y}(-R\sin\theta) = 0$$
$$(v_{2x}-V)\cos\theta – v_{2y}\sin\theta = 0 \quad \cdots ⑤$$

式③、④、⑤を連立して\(V\)と\(v_2 = \sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2}\)を求めます。
式③より、\(v_{2x} = -\displaystyle\frac{M}{m}V\)。
これを式⑤に代入して\(v_{2y}\)を\(V\)で表します。
$$(-\frac{M}{m}V-V)\cos\theta – v_{2y}\sin\theta = 0$$
$$v_{2y} = -\frac{(M+m)V}{m}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
これらを式④に代入して\(V\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
mgR\sin\theta &= \frac{1}{2}m\left[ \left(-\frac{M}{m}V\right)^2 + \left(-\frac{(M+m)V}{m}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 \right] + \frac{1}{2}MV^2 \\[2.0ex]2mgR\sin\theta &= m\left[ \frac{M^2}{m^2}V^2 + \frac{(M+m)^2}{m^2}V^2\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \right] + MV^2 \\[2.0ex]2m^2gR\sin^3\theta &= \left[ M^2\sin^2\theta + (M+m)^2\cos^2\theta + Mm\sin^2\theta \right]V^2 \\[2.0ex]2m^2gR\sin^3\theta &= \left[ (M^2+Mm)\sin^2\theta + (M+m)^2(1-\sin^2\theta) \right]V^2 \\[2.0ex]2m^2gR\sin^3\theta &= \left[ (M^2+Mm – (M+m)^2)\sin^2\theta + (M+m)^2 \right]V^2 \\[2.0ex]2m^2gR\sin^3\theta &= \left[ (-Mm-m^2)\sin^2\theta + (M+m)^2 \right]V^2 \\[2.0ex]2m^2gR\sin^3\theta &= (M+m)\left[ (M+m) – m\sin^2\theta \right]V^2
\end{aligned}
$$
よって、台の速さ\(V\)は、
$$V = \sqrt{\frac{2m^2gR\sin^3\theta}{(M+m)(M+m-m\sin^2\theta)}}$$
小物体の速さ\(v_2\)は、エネルギー保存則の式④から逆算するのが効率的です。
$$v_2^2 = v_{2x}^2+v_{2y}^2 = 2gR\sin\theta – \frac{M}{m}V^2$$
$$v_2 = \sqrt{2gR\sin\theta – \frac{M}{m}V^2} = \sqrt{2gR\sin\theta \frac{(M+m)^2 – m(2M+m)\sin^2\theta}{(M+m)(M+m-m\sin^2\theta)}}$$

台が動く場合、小物体と台の運動は互いに影響し合います。このような複雑な問題は、「保存されるもの」を探すのが定石です。この問題では「水平方向の運動量」と「全体の力学的エネルギー」が保存されます。さらに、「小物体は台の表面を滑る」という動きの制約（束縛条件）も式にします。これら3つの式を連立方程式として解くことで、それぞれの速さが求まります。計算は複雑ですが、物理法則を一つずつ適用していくことが重要です。

台の速さ\(V\)と小物体の速さ\(v_2\)は上記のように複雑な式で表されます。
ここで、台の質量が非常に大きい極限 \(M \rightarrow \infty\) を考えると、台はほとんど動かないはずです(\(V \rightarrow 0\))。実際に式を見ると分母が\(M^2\)のオーダーになるため\(V \rightarrow 0\)となります。また、小物体の速さ\(v_2\)は、\(v_1\)に近づくはずです。これも式の極限を計算すると \(v_2^2 \rightarrow 2gR\sin\theta = v_1^2\) となり、結果の妥当性が確認できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
台が動く系における物体の位置を求める問題です。この場合、水平方向の運動量が保存されることから導かれる「重心の位置が変化しない」という法則を利用するのが最も簡単です。

この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動量保存則から、水平方向の重心速度が一定となり、その結果、水平方向の重心位置は不変であるという法則を利用する。
• 初期状態と任意の状態における系の重心のx座標を計算し、それらが等しいとおく。
• 小物体と台の相対的な位置関係の式を立て、連立して解く。

具体的な解説と立式
1. 重心位置不変の法則
水平方向に外力が働かないため、系全体の重心のx座標は初期状態から変化しません。

• 初期状態の重心のx座標 \(X_G\):
  • 小物体の位置: \(x_m = -R\)
  • 台の重心の位置: 台は左右対称なので、重心は最下点の真上。最下点がx=0なので、台の重心のx座標も \(X_M = 0\)。
  • \(X_G = \displaystyle\frac{m x_m + M X_M}{m+M} = \frac{m(-R) + M(0)}{m+M} = -\frac{mR}{m+M}\)
• 角度\(\theta\)の状態の重心のx座標:
  • 小物体の位置: \(x_2\)
  • 台の最下点の位置を\(X\)とすると、台の重心のx座標も\(X\)。
  • \(X_G = \displaystyle\frac{mx_2 + MX}{m+M}\)

重心位置は不変なので、以下の式が成り立ちます。
$$\frac{mx_2 + MX}{m+M} = -\frac{mR}{m+M}$$
両辺に \((m+M)\) を掛けて整理すると、
$$mx_2 + MX = -mR \quad \cdots ⑥$$
2. 相対位置の関係
台から見た小物体の水平位置は、台の最下点から見て\(-R\cos\theta\)です。
$$x_2 – X = -R\cos\theta \quad \cdots ⑦$$

式⑥と⑦を連立して\(x_2\)と\(X\)を解きます。
式⑦より \(X = x_2 + R\cos\theta\)。これを式⑥に代入します。
$$
\begin{aligned}
mx_2 + M(x_2 + R\cos\theta) &= -mR \\[1.5ex](m+M)x_2 + MR\cos\theta &= -mR \\[1.5ex](m+M)x_2 &= -mR – MR\cos\theta \\[1.5ex]x_2 &= -\frac{mR + MR\cos\theta}{m+M} = -\frac{m+M\cos\theta}{m+M}R
\end{aligned}
$$
次に\(X\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
X &= x_2 + R\cos\theta = -\frac{m+M\cos\theta}{m+M}R + R\cos\theta \\[1.5ex]&= \frac{-(m+M\cos\theta)R + (m+M)R\cos\theta}{m+M} \\[1.5ex]&= \frac{-mR – MR\cos\theta + mR\cos\theta + MR\cos\theta}{m+M} \\[1.5ex]&= \frac{-mR(1-\cos\theta)}{m+M}
\end{aligned}
$$

台と小物体を合わせたグループ（系）には、横方向の力が働かないので、グループ全体の重心の位置は動きません。最初に重心がどこにあったかを計算し、運動の途中でも重心の位置は同じ場所にある、という式を立てます。これと、台から見た小物体の位置関係の式を組み合わせることで、それぞれの絶対的な位置がわかります。

小物体の位置\(x_2\)と台の位置\(X\)はそれぞれ、
$$x_2 = -\frac{m+M\cos\theta}{m+M}R, \quad X = -\frac{m(1-\cos\theta)}{m+M}R$$
となります。
台の質量が非常に大きい極限 \(M \rightarrow \infty\) を考えると、台は動かないはず(\(X \rightarrow 0\))です。実際に式を見ると\(X \rightarrow 0\)となります。また、小物体の位置は台が固定されている場合と同じ \(x_2 \rightarrow -R\cos\theta\) となるはずです。これも式の極限を計算すると成り立ち、結果の妥当性が確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 小物体と台の間の垂直抗力は仕事をせず、床もなめらかなため、非保存力である摩擦力が仕事をしません。したがって、小物体単体（台固定時）または「小物体＋台」の系全体（台可動時）の力学的エネルギーは保存されます。
  • 理解のポイント: 台が固定されている場合は、小物体のエネルギー保存を考えます。台が動く場合は、小物体と台の両方の運動エネルギーと、小物体の位置エネルギーを足し合わせた「系全体の力学的エネルギー」が保存される、という視点の切り替えが重要です。
• 運動量保存則（水平方向）:
  • 核心: 台が自由に動ける場合、「小物体＋台」の系には水平方向の外力が働きません（重力と床からの垂直抗力は鉛直方向）。したがって、系の水平方向の運動量の和は常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント: 初期状態で系全体が静止しているため、運動量の和は常に0です。つまり、\(mv_x + MV = 0\) という関係がいつでも成り立ちます。これは、小物体と台が常に逆向きに運動し、その速さの比が質量の逆比になることを意味します。
• 円運動の運動方程式と束縛条件:
  • 核心: 小物体は（台から見ると）常に半径\(R\)の円周上を運動します。この「束縛」が、小物体と台の運動を関連付ける重要な条件となります。
  • 理解のポイント:
    • 台固定時: 単純な円運動として運動方程式を立て、垂直抗力を求めます。
    • 台可動時: 台から見た小物体の相対速度が、常に円の接線方向を向く、という条件（束縛条件）を用います。これは、相対速度ベクトルと半径ベクトルの内積が0になる、という形で数式化できます。この条件が、運動量保存則、エネルギー保存則に加わる第3の式となり、未知数を解く鍵となります。
• 重心の運動:
  • 核心: 水平方向の運動量が保存される系では、系の重心の水平方向の速度は一定です。初期状態で静止していれば、重心の水平位置は永久に変わりません。
  • 理解のポイント: この法則は、運動量保存則を積分した形と見なせます。物体の「位置」を問われた場合、運動方程式やエネルギー保存則から直接求めるのは困難なことが多いですが、「重心位置不変」の法則を用いることで、代数的に簡単に解ける場合があります。問(4)はこの法則の典型的な応用例です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 台の上での物体の運動: なめらかな床の上の台の上で、別の物体が運動する問題（例：台の上でのばね振り子、台の上を滑る物体）。水平方向の運動量保存則と、系全体のエネルギー保存則を考えるという点で共通しています。
  • 分裂・合体: 2つの物体が分裂したり合体したりする問題。運動量保存則が中心的な役割を果たします。エネルギーは、非弾性衝突や爆発では保存されないことが多いですが、この問題のように内力が保存力（または仕事をしない力）の場合は保存されます。
  • 相対運動: 一方の物体から見たもう一方の物体の運動を考える問題。この問題の(3)のように、相対運動が単純な形（円運動など）になる場合、束縛条件を立てる上で非常に有効な視点となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の設定: まず、どの物体を一つの「系」として考えるべきかを見極めます。内力のみが働く方向があれば、その方向の運動量保存則が使えます。
  2. 保存則のチェックリスト:
     • 外力は働くか？ \(\rightarrow\) 働く方向では運動量は保存されない。働かない方向では保存される。
     • 非保存力（摩擦、空気抵抗など）は仕事をするか？ \(\rightarrow\) 仕事をしなければ、力学的エネルギーは保存される。
  3. 未知数と式の数の確認: 求めたい未知数（速さ、位置など）の数と、立てられる独立な方程式（エネルギー保存、運動量保存、束縛条件など）の数を比較し、解ける見通しがあるかを確認します。
  4. 重心の利用: 特に「位置」を問われた場合、運動量保存が成り立つならば「重心位置不変」が使えないか、まず検討してみるのが定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー保存則の適用範囲の誤り:
  • 誤解: 台が動く場合に、小物体単独の力学的エネルギーが保存されると考えてしまう。
  • 対策: 台が動く場合、小物体が受ける垂直抗力は、もはや小物体の運動方向と常に垂直ではなくなります（台が動くため）。したがって、垂直抗力は小物体に対して仕事をし、小物体の力学的エネルギーは保存されません。保存されるのは、あくまで「小物体と台を合わせた系全体の力学的エネルギー」です。
• 運動量保存則の適用方向の誤り:
  • 誤解: 鉛直方向にも運動量保存則を適用しようとする。
  • 対策: 系には鉛直方向に重力や床からの垂直抗力という「外力」が働いているため、鉛直方向の運動量は保存されません。運動量保存則が使えるのは、外力が働かない（または無視できる）方向、この問題では水平方向のみです。
• 相対速度の扱いのミス:
  • 誤解: 束縛条件を立てる際に、絶対速度と相対速度を混同し、式の意味を取り違える。
  • 対策: 「誰から見た速度か」を常に明確に意識することが重要です。「台から見た小物体の速度」が円の接線方向を向く、という物理現象を、\(\vec{v}_{小} – \vec{v}_{台}\) というベクトル演算に正しく落とし込む練習が必要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの座標系の使い分け:
    • 床に固定された「絶対座標系」: 運動量保存則やエネルギー保存則を記述する基準となります。
    • 台と一緒に動く「相対座標系」: 小物体の運動が単純な円運動に見えるため、束縛条件を立てるのに適しています。

    この2つの視点を自在に行き来できることが、この種の問題を解く上で強力な武器になります。

  • 重心の点のプロット: 図の上に、常に動かない重心点Gをプロットしてみる。小物体が左に動けば台は右に、小物体が右に動けば台は左に動き、常に重心Gの位置を保とうとする様子をイメージすると、(4)の計算の物理的意味が理解しやすくなります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 速度ベクトルの図示: 小物体と台の速度ベクトルを矢印で描き、相対速度ベクトル \(\vec{v}_{rel}\) も図示すると、束縛条件の立式が容易になります。
  • 力の図示: (2)のように、複数の物体に働く力を考える場合、それぞれの物体ごとにフリーボディダイアグラム（その物体に働く力だけを抜き出して描いた図）を描くと、力のつり合いや運動方程式の立式ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 運動の前後での「速さ」と「高さ」の関係を知りたいから。また、系に非保存力の仕事がないことが明らかなため。
  • 適用根拠: (1)では小物体単体、(3)では「小物体＋台」の系全体で、非保存力が仕事をしないという物理的状況。
• 運動量保存則:
  • 選定理由: (3)で台が動くため、小物体と台の速度という2つの未知数が出てくる。エネルギー保存則だけでは式が足りないため、別の保存則が必要となる。水平方向に外力がないため、この法則が適用できる。
  • 適用根拠: 「小物体＋台」の系に対して、水平方向の外力がゼロであるという物理的状況。
• 束縛条件（相対速度の内積=0）:
  • 選定理由: (3)で未知数が3つ（\(v_{2x}, v_{2y}, V\)）に対し、保存則の式が2つしかないため、もう一つ式が必要となる。小物体が「面上を滑る」という幾何学的な制約を数式化する必要がある。
  • 適用根拠: 小物体が常に円周上にあるという事実から、台から見た相対速度は常に円の接線方向を向く、という幾何学的・運動学的な条件。
• 重心位置不変の法則:
  • 選定理由: (4)で「位置」を問われているため。運動方程式を時間で積分して位置を求めるのは非常に困難だが、運動量保存則が成り立つ系では、この法則を使えば代数的に位置を求められる。
  • 適用根拠: 水平方向の運動量保存則が成り立つことと、初期状態で重心が静止していること。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. Part 1: 台固定 (1), (2)
   • (1) 速さ\(v_1\): エネルギー保存則（A \(\rightarrow\) \(\theta\)）を立て、\(v_1\)を求める。
   • (2) 力\(N, F\):
     • \(N\): 小物体の円運動の運動方程式を立て、(1)の\(v_1\)を代入。
     • \(F\): 台全体の鉛直方向の力のつり合いを考え、求めた\(N\)を代入。
2. Part 2: 台可動 (3), (4)
   • (3) 速さ\(v_2, V\):
     • 式①: 水平方向の運動量保存則。
     • 式②: 系全体の力学的エネルギー保存則。
     • 式③: 相対速度に関する束縛条件。
     • これら3元連立方程式を解き、\(v_2\)と\(V\)を求める。
   • (4) 位置\(x_2, X\):
     • 式①: 重心位置不変の法則。
     • 式②: 小物体と台の相対位置の関係。
     • これら2元連立方程式を解き、\(x_2\)と\(X\)を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (3)の計算は非常に複雑です。途中で数値を代入せず、最後まで文字式のまま計算を進め、最終段階で整理することが、計算ミスを防ぎ、物理的な見通しを良くする上で不可欠です。
• 対称性や極限を考える: 計算結果が出たら、\(M \gg m\) のような極端な場合を考えてみましょう。台が固定されている場合の結果に近づくはずです。このようなチェック（吟味）は、複雑な計算の検算として非常に有効です。
• 式の番号付け: (3)や(4)のように複数の式を連立する場合、各方程式に番号を振り、「式①を式②に代入する」のように、どの式を使っているかを明記しながら計算を進めると、思考が整理され、ミスが減ります。
• 角度の扱いの統一: この問題では、角度\(\theta\)が水平線からの角度で定義されています。三角関数の適用（高さは\(R-R\sin\theta\)、重力の半径方向成分は\(mg\sin\theta\)など）を間違えないよう、図をよく見て慎重に計算しましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) \(N=3mg\sin\theta\): \(\theta\)が0から\(\pi/2\)に増えるにつれて\(N\)は増加し、最下点で最大になる。これは、速さが増加し、かつ重力が向心力に寄与しなくなるため、垂直抗力が大きくなるという直感と一致します。
  • (3) \(V\): 台の速さ\(V\)の式を見ると、分子に\(m^2\)、分母に\(M+m\)が含まれています。これは、小物体の質量\(m\)が小さいほど、また台の質量\(M\)が大きいほど、台の動きが小さくなることを示しており、物理的に妥当です。
  • (4) \(X\): 台の位置\(X\)は常に負または0です。これは、小物体が右に動く（\(x_2\)が増加する）と、台は運動量保存のために必ず左に動くことを意味しており、直感と一致します。
• 極端な場合との比較:
  • 台可動時の結果で、\(M \rightarrow \infty\) の極限をとると、台固定時の結果に帰着することを確認するのは、最も強力な検証方法です。例えば、\(V \rightarrow 0\)、\(v_2 \rightarrow v_1\)、\(X \rightarrow 0\)、\(x_2 \rightarrow -R\cos\theta\)（台固定時の小物体のx座標）となるはずです。複雑な計算の後にこの一致を確認できると、答えに対する信頼性が格段に上がります。

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