問題46 (京都産業大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、回転する棒に取り付けられたビーズの運動を扱います。円運動の基本的な考え方に加え、観測者の立場（静止系と回転系）による見え方の違い、さらには摩擦が働く場合までを考察する、力学の総合問題です。
- 棒: 鉛直軸と角度\(\theta\)を保ち、角速度\(\omega\)で回転。
- ビーズ: 質量\(m\)。棒にそって運動できる。
- 相互作用:
- [A] (1),(2)では、ビーズと棒の間はなめらか。
- [B] (3)では、ビーズと棒の間に静止摩擦係数\(\mu\)の摩擦がある。
- 変数: 棒の支点からビーズまでの距離を\(r\)とする。
- 重力加速度: 大きさ\(g\)。空気抵抗は無視。
- (1) [A] なめらかな場合、\(r=r_0\)で運動
- (ア) ビーズの速さ、(イ) 運動エネルギー、(ウ) 向心力の大きさ、(エ) 向心力の正体。
- (オ) 遠心力の大きさ、(カ) 重力の垂直成分、(キ) 垂直抗力の大きさ、(ク) \(r_0\)が満たす条件。
- (2) [A] なめらかな場合、\(r=r_1 (>r_0)\)から静かにはなした後の運動
- (ケ) ビーズの運動の様相。
- (3) [B] 摩擦がある場合、\(r=r_1\)で静止
- (コ) 垂直抗力の大きさ\(N’\)。
- (サ) 静止し続けるための条件式。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「回転座標系における力のつり合い」です。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 静止系での円運動: 回転台の外から見ると、物体は円運動をしています。この運動には、円の中心に向かう「向心力」が必要です。この向心力は、静止摩擦力やばねの弾性力といった「実在の力」によって供給されます。解析には「運動方程式」を用います。
- 回転系での力のつり合い: 回転台の上から見ると、物体は静止しています。この立場では、見かけの力である「遠心力」を導入することで、力のつり合いの問題として扱うことができます。
- 力の分解: 複数の力がはたらく場合、それらを適切な座標軸（水平・鉛直、あるいは棒に平行・垂直）に分解して考えることが、問題を解くための基本戦略となります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、(1)でビーズが特定の距離\(r_0\)で安定して運動している状態を、静止系（向心力）と回転系（遠心力）の両方の視点から分析します。
- 次に、(2)でそのつり合いが崩れた場合にビーズがどう動くかを、力の合力の向きから判断します。
- 最後に、(3)で摩擦力が加わった場合に、どの範囲でなら静止し続けられるかを、最大静止摩擦力の条件を用いて考察します。
問(1) ア, イ, ウ, エ
思考の道筋とポイント
ビーズが距離\(r=r_0\)を保って運動している状態を、静止系（回転台の外の観測者）から分析します。ビーズは水平面内を円運動しており、その運動を記述する物理量を順に求めていきます。
この設問における重要なポイント
- ビーズの円運動の半径を正しく求める。
- 円運動の基本公式（\(v=r\omega\), \(a=r\omega^2\)）を適用する。
- 向心力が実在の力の合力であることを理解する。
具体的な解説と立式
(ア) ビーズが描く円運動の半径は、図から \(r_0 \sin\theta\) です。円運動の速さと角速度の関係式 \(v = (\text{半径}) \times (\text{角速度})\) より、
$$v = (r_0 \sin\theta) \omega$$
(イ) 運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に、(ア)で求めた\(v\)を代入します。
$$K = \frac{1}{2}m v^2$$
(ウ) 向心力の大きさは運動方程式 \(F=ma\) から求めます。向心加速度の大きさ\(a\)は、\(a = (\text{半径}) \times \omega^2 = (r_0 \sin\theta) \omega^2\) なので、
$$F_{向} = m a$$
(エ) ビーズにはたらく実在の力は「重力」と棒からの「垂直抗力」の2つです。向心力は、この2つの力のベクトル和（合力）に等しくなります。
使用した物理公式
- 円運動の速さ: \(v=r\omega\)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 向心加速度: \(a=r\omega^2\)
- 運動方程式: \(F=ma\)
(ア)
$$v = r_0 \omega \sin\theta$$
(イ)
$$K = \frac{1}{2}m (r_0 \omega \sin\theta)^2 = \frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta$$
(ウ)
$$F_{向} = m (r_0 \sin\theta) \omega^2 = m r_0 \omega^2 \sin\theta$$
(エ) 選択肢③「重力と垂直抗力の合力」が正解です。
(ア) \(r_0 \omega \sin\theta\), (イ) \(\frac{1}{2}m r_0^2 \omega^2 \sin^2\theta\), (ウ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (エ) ③。
これらは円運動の基本的な物理量を定義通りに計算したものです。
問(1) オ, カ, キ, ク
思考の道筋とポイント
ここからは、ビーズといっしょに運動する観測者（回転系）の立場で考えます。この立場では、ビーズは静止しており、実在の力に加えて「遠心力」がはたらき、すべての力がつり合っていると解釈します。
力を「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 回転系では遠心力を導入し、力のつり合いを考える。
- 力を、棒に平行・垂直な方向に分解する。
具体的な解説と立式
(オ) 遠心力の大きさ\(f\)は、向心力の大きさと等しく、向きが逆です。(ウ)の結果から、
$$f = m r_0 \omega^2 \sin\theta$$
(カ) 重力\(mg\)（鉛直下向き）を分解します。棒が鉛直となす角が\(\theta\)なので、
- 棒に垂直な成分: \(mg\sin\theta\)
- 棒に平行な成分: \(mg\cos\theta\)
(キ) 垂直抗力の大きさ\(N\)を求めます。「棒に垂直な方向」の力のつり合いを考えます。
- 垂直抗力: \(N\) （棒から離れる向き）
- 重力の垂直成分: \(mg\sin\theta\) （棒に近づく向き）
- 遠心力の垂直成分: 遠心力\(f\)は水平外向きです。これを分解すると、棒に垂直な成分は \(f\cos\theta\) （棒に近づく向き）となります。
力のつり合いより、
$$N = mg\sin\theta + f\cos\theta$$
(ク) \(r_0\)が満たす条件を求めます。「棒にそった方向」の力のつり合いを考えます。
- 重力の平行成分: \(mg\cos\theta\) （支点向き）
- 遠心力の平行成分: \(f\sin\theta\) （支点から遠ざかる向き）
力のつり合いより、
$$f\sin\theta = mg\cos\theta$$
使用した物理公式
- 遠心力: \(f = m \times (\text{半径}) \times \omega^2\)
- 力のつり合い
(キ)の計算:
\(N = mg\sin\theta + f\cos\theta\) に、(オ)の結果 \(f = m r_0 \omega^2 \sin\theta\) を代入します。
$$N = mg\sin\theta + (m r_0 \omega^2 \sin\theta)\cos\theta = m\sin\theta(g + r_0\omega^2\cos\theta)$$
(ク)の計算:
\(f\sin\theta = mg\cos\theta\) に、(オ)の結果 \(f = m r_0 \omega^2 \sin\theta\) を代入します。
$$(m r_0 \omega^2 \sin\theta)\sin\theta = mg\cos\theta$$
$$m r_0 \omega^2 \sin^2\theta = mg\cos\theta$$
\(r_0\)について解きます。
$$r_0 = \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}$$
(オ) \(m r_0 \omega^2 \sin\theta\), (カ) \(mg\sin\theta\), (キ) \(m\sin\theta(g + r_0\omega^2\cos\theta)\), (ク) \(\displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) です。
(ク)の結果は、ビーズがつり合う位置\(r_0\)は、角速度\(\omega\)が速いほど小さくなることを示しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
(ケ) なめらかな棒上で、つり合いの位置\(r_0\)より大きい\(r_1\)からビーズを静かにはなした後の運動を考えます。
このビーズがどちらに動くかは、その点ではたらく「棒にそった方向」の力の合力によって決まります。
(1)の(ク)で立てた、棒にそった方向の力のつり合いの式を参考にします。
具体的な解説と立式
棒にそった方向の力は、遠心力の平行成分 \(f\sin\theta = (mr\omega^2\sin\theta)\sin\theta = mr\omega^2\sin^2\theta\)（遠ざかる向き）と、重力の平行成分 \(mg\cos\theta\)（近づく向き）です。
つり合いの位置\(r_0\)では、\(mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta\) が成り立っていました。
今、\(r=r_1 > r_0\) なので、
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta > mr_0\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta$$
つまり、「遠ざかる向きの力 > 近づく向きの力」となります。
したがって、ビーズには棒にそって上向き（支点から遠ざかる向き）の合力がはたらき、ビーズは上昇し始めます。上昇して\(r\)がさらに大きくなると、遠心力もさらに大きくなるため、上昇は止まりません。
選択肢②「棒にそって上昇し続ける」が正解です。
つり合いの位置より外側では、遠心力の効果が重力の効果を上回るため、ビーズはさらに外側へ加速されます。
問(3)
思考の道筋とポイント
今度はビーズと棒の間に摩擦がある場合を考えます。\(r=r_1\)の位置でビーズが静止しているときの、垂直抗力\(N’\)と、静止し続けるための条件を求めます。
(コ) 垂直抗力\(N’\)は、(1)の(キ)で求めた\(N\)の式で、\(r_0\)を\(r_1\)に置き換えるだけです。
(サ) 「静止し続けるための条件」とは、棒にそった方向にはたらく力が、最大静止摩擦力を超えない、という条件です。
具体的な解説と立式
(コ) 垂直抗力\(N’\)を求めます。(1)の(キ)の導出過程 \(N = mg\sin\theta + f\cos\theta\) と \(f=mr\omega^2\sin\theta\) より、\(r\)を\(r_1\)に置き換えて、
$$N’ = mg\sin\theta + (mr_1\omega^2\sin\theta)\cos\theta$$
(サ) 静止し続ける条件を求めます。
\(r_1 > r_0\) なので、(2)で見たように、摩擦がなければビーズは上昇しようとします。
したがって、静止摩擦力\(F_{静}\)は、この動きを妨げる向き、すなわち棒にそって下向き（支点向き）にはたらきます。
棒にそった方向の力のつり合いの式は、
$$(\text{遠ざかる向きの力}) = (\text{近づく向きの力の合計})$$
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta = mg\cos\theta + F_{静}$$
ビーズが静止し続けるためには、この静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N’\) を超えなければよいので、
$$F_{静} \le \mu N’$$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 最大静止摩擦力: \(f_{max} = \mu N\)
(コ)の計算:
$$N’ = mg\sin\theta + mr_1\omega^2\sin\theta\cos\theta = m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)$$
(サ)の計算:
まず、必要な静止摩擦力\(F_{静}\)を求めます。
$$F_{静} = mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta$$
次に、条件式 \(F_{静} \le \mu N’\) に代入します。
$$mr_1\omega^2\sin^2\theta – mg\cos\theta \le \mu \left( m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta) \right)$$
この不等式を\(r_1\)について整理します。
$$r_1 m\omega^2\sin^2\theta – \mu r_1 m\omega^2\sin\theta\cos\theta \le mg\cos\theta + \mu mg\sin\theta$$
$$r_1 m\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta) \le mg(\cos\theta + \mu\sin\theta)$$
$$r_1 \le \frac{g(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\omega^2\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}$$
ここで、(1)の(ク)の結果 \(r_0 = \displaystyle\frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\) を使うと、\(\displaystyle\frac{g}{\omega^2} = \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta}\) となります。これを代入します。
$$
\begin{aligned}
r_1 &\le \frac{r_0\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta + \mu\sin\theta}{\sin\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)} \\[2.0ex]
&= r_0 \frac{\sin\theta(\cos\theta + \mu\sin\theta)}{\cos\theta(\sin\theta – \mu\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
分子・分母を\(\cos\theta\)で割ると、
$$r_1 \le r_0 \frac{\tan\theta(1 + \mu\tan\theta)}{\tan\theta – \mu}$$
(コ)は \(m\sin\theta(g+r_1\omega^2\cos\theta)\)、(サ)は \(r_0 \displaystyle\frac{\tan\theta(1+\mu\tan\theta)}{\tan\theta-\mu}\) です。
摩擦があることで、つり合いの位置\(r_0\)からずれても静止できる範囲が生まれることがわかります。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 円運動の動力学（向心力と運動方程式）:
- 核心: 物体が水平面内で円運動をするためには、常に円の中心方向を向いた水平な力、すなわち「向心力」が必要です。この向心力は、物体にはたらく様々な実在の力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
- 理解のポイント: (1)の(ウ)と(エ)で、この問題の核心が問われています。静止系から見ると、ビーズは円運動という加速運動をしています。したがって、運動方程式 \(ma=F\) を立てる必要があります。向心加速度は \(a=r\omega^2\) であり、向心力\(F\)は重力と垂直抗力のベクトル和です。この関係を正しく理解し、立式できるかが最初の関門です。
- 慣性力（特に遠心力）:
- 核心: 加速している座標系（この問題では回転系）で物体の運動を考える際に、ニュートンの運動法則を成り立たせるために導入される「見かけの力」です。
- 理解のポイント: (1)の(オ)以降では、この回転系の視点が導入されます。遠心力（大きさ \(mr\omega^2\)、向きは中心から遠ざかる向き）を導入し、それを他の力（重力、垂直抗力）と同様に、棒に平行・垂直な成分に分解します。そして、「棒に平行な方向の力のつり合い」と「棒に垂直な方向の力のつり合い」という2つの式を立てることで、問題を解析します。これは運動方程式を立てるのと等価ですが、静止している物体の力のつり合いとして考えられるため、直感的に理解しやすい場合があります。
- 静止摩擦力:
- 核心: 物体がすべり出さないように、接触面から受ける摩擦力です。その大きさは、外力に応じて \(0\) から最大値（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）まで変化し、向きも逆転しうることが特徴です。
- 理解のポイント: (3)では「すべりだす瞬間」を \(f = f_{max} = \mu N\) として扱います。(4)では、角速度\(\omega\)の大小によって、遠心力とばねの力のどちらが優勢になるかが変わり、それに応じて静止摩擦力\(f\)が向きを変えて力のバランスを保ちます。この「調整役」としての静止摩擦力の性質を理解することが、(4)の範囲を求める鍵となります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 円錐振り子: 糸でつるされたおもりが水平面内で円運動する問題。本問題のなめらかな場合と全く同じ構造で、張力と重力の合力が向心力となります。
- 回転する液体表面: 容器に入れて回転させると、液体表面が放物面を描きます。これは、液体中の微小な水滴にはたらく重力と垂直抗力の合力が向心力となる（あるいは、遠心力と重力の合力の向きが液体表面と垂直になる）ことで説明できます。
- カーブを曲がる自動車: タイヤと路面の静止摩擦力が向心力となってカーブを曲がります。バンク（傾き）のあるカーブでは、垂直抗力の水平成分も向心力の一部を担います。
- 初見の問題での着眼点:
- 座標系の選択: まず、力を分解するための座標軸をどう設定するかが重要です。
- 水平・鉛直: 向心力が水平方向にはたらくことを明確にするのに便利です。重力の分解が不要なメリットがあります。
- 棒に平行・垂直: 棒からの垂直抗力や摩擦力を扱うのに便利です。重力や遠心力を分解する必要があります。
この問題では、両方の視点から力を分解する能力が求められています。
- 力の分解: 選択した座標系に対して、斜めにはたらく力をすべて成分分解します。特に、重力や遠心力の分解で、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を間違えないように正確に図示することが不可欠です。
- 静止摩擦力の向きの判断: (3)のように摩擦力がはたらく場合、「もし摩擦がなかったら、物体はどちらに動こうとするか？」を考えます。静止摩擦力は、その動きを妨げる向きにはたらきます。(2)で「上昇し続ける」と分かっているので、(3)では摩擦力は下降する向き（棒にそって支点向き）にはたらくと判断できます。
- 座標系の選択: まず、力を分解するための座標軸をどう設定するかが重要です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 向心力と遠心力の混同:
- 誤解: 向心力という特別な力が外から加わっていると考える。あるいは、静止系で考えているのに遠心力を書き込んでしまう。
- 対策: 向心力は「力の合力」の結果であり、遠心力は「見かけの力」です。自分がどちらの座標系（静止系か回転系か）に立っているかを常に意識し、混ぜて使わないようにしましょう。
- 力の分解における角度のミス:
- 誤解: 重力や遠心力を分解する際に、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を逆にしてしまう。
- 対策: 焦らずに大きな図を描き、鉛直線、棒の方向、棒に垂直な方向、水平線などを描き入れ、錯角や同位角、直角三角形の関係を丁寧に見つけ出します。
- つり合いの方向の誤り:
- 誤解: (1)の(ク)で、水平方向や鉛直方向の力のつり合いを考えてしまう。
- 対策: 回転系で考える場合、物体は「棒に対して」静止しています。したがって、力のつり合いを考えるべき方向は、「棒にそった方向」と「棒に垂直な方向」です。この2方向で力がつり合っていれば、物体は棒上の位置を保つことができます。
- 静止摩擦力の扱い:
- 誤解: (3)で、静止摩擦力の大きさをいきなり最大静止摩擦力\(\mu N’\)としてしまう。
- 対策: 静止摩擦力は、まず「力のつり合いを満たすために必要な力」として求めます。その上で、「その力は、最大静止摩擦力以下か？」という条件式（\(F_{静} \le \mu N’\)）を立てるのが正しい手順です。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力の分解図（最重要）: この問題は、正確な力の分解図が描けるかどうかにかかっています。特に(1)の(カ)以降で要求される、回転系における力の分解図（図c）は、すべての力のベクトルを「棒に平行・垂直」な成分に分解して描く必要があり、思考を整理する上で不可欠です。
- 静止系と回転系の比較図: (2)で問われているように、静止系（図b）と回転系（図cに遠心力を加えたもの）での力の図を並べて描いてみることで、両者の関係性が明確になります。静止系での「（重力＋垂直抗力の）合力＝向心力」という関係が、回転系では「重力＋垂直抗力＋遠心力＝０（つり合い）」という関係に置き換わっていることが視覚的に理解できます。
- 力のベクトル三角形: 静止系で考えると、向心力（水平左向き）、重力（鉛直下向き）、垂直抗力（棒に垂直）の3つのベクトルを足すとゼロになるはずです（水平方向の合力が向心力なので）。このベクトル三角形を描いて、幾何学的に辺の長さの関係を求めることも可能です。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 座標軸の明記: 「棒に平行・垂直」なのか「水平・鉛直」なのか、どの座標系で考えているのかを図に明記すると、混乱を防げます。
- 力の作用点: すべての力はビーズの中心にはたらくものとして、作用点を一点にそろえて描くと、力の分解や合成が考えやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 円運動の速度・加速度の公式 (\(v=r\omega, a=r\omega^2\)):
- 選定理由: (1)で、角速度\(\omega\)が与えられている状況で、速さや向心力（加速度を含む）を計算するため。
- 適用根拠: 物体が円運動をしているという事実。ここで注意すべきは、半径rが棒の長さそのものではなく、円運動の半径（この場合は\(r_0\sin\theta\)）である点です。
- 力の分解:
- 選定理由: 複数の力が異なる向きにはたらいている状況で、特定の方向の運動や力のつり合いを分析するため。
- 適用根拠: ベクトルは互いに直交する成分の和として表現できるという数学的な原理。どの方向に分解するかは、問題の状況（棒や斜面があるなら、それに平行・垂直など）に応じて最も計算が簡単になるように選びます。
- 力のつり合い (\(\sum F = 0\)):
- 選定理由: 回転系で物体が静止している状態や、摩擦力によって静止している状態を分析するため。
- 適用根拠: 観測している座標系において、物体の加速度がゼロであるという物理的条件。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 【(1) なめらか・つり合い状態】
- 静止系:
- (ア) 速さ\(v\): 円運動の半径を求め、\(v=r\omega\)を適用。
- (イ) エネルギー\(K\): \(\frac{1}{2}mv^2\)に(ア)を代入。
- (ウ) 向心力\(F_{向}\): \(ma=mr\omega^2\)を適用。
- (エ) 向心力の正体: ビーズにはたらく実在の力（重力、垂直抗力）の合力であると判断。
- 回転系:
- (オ) 遠心力\(f\): (ウ)の向心力と大きさが等しい。
- (カ)〜(ク) 力のつり合い:
- すべての力（重力、垂直抗力、遠心力）を「棒に平行・垂直」な成分に分解。
- 「棒に垂直」方向の力のつり合いから、垂直抗力\(N\)を求める（キ）。
- 「棒に平行」方向の力のつり合いから、つり合いの位置\(r_0\)の条件式を導く（ク）。
- 静止系:
- 【(2) なめらか・非つり合い状態】
- (ケ) \(r_1 > r_0\) の位置での「棒に平行」な方向の合力を計算し、その向きから運動の向き（上昇か下降か）を判断する。
- 【(3) 摩擦あり・静止状態】
- (コ) 垂直抗力\(N’\): (1)の(キ)の式で\(r_0\)を\(r_1\)に置き換えて計算。
- (サ) 静止条件:
- 摩擦がない場合の合力（上昇させようとする力）を計算する。
- この力とつり合うために必要な静止摩擦力\(F_{静}\)を求める。
- \(F_{静} \le \mu N’\) という条件式を立て、\(r_1\)の範囲として整理する。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 半径rの区別: 円運動の公式で使う半径（水平回転の半径 \(r\sin\theta\)）と、棒にそった距離\(r\)を明確に区別する。
- 三角関数の整理: (3)の最後の計算のように、式が複雑になった場合は、\(\tan\theta\)でまとめるなど、見通しを良くする工夫をする。
- 不等式の変形: (3)で、不等式の両辺を割る際には、割る式が正か負かを確認する。（この問題では正の量で割るので向きは変わらない）。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1)-(ク) \(r_0\): \(r_0 = \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin^2\theta}\)。角速度\(\omega\)が大きいほど、つり合いの位置\(r_0\)が小さくなる（支点に近づく）。これは、\(\omega\)が大きいと遠心力が強くなり、より小さい半径で重力とつり合うようになる、と解釈でき、妥当です。
- (2)-(ケ): つり合いの位置からずらすと、元の位置に戻らずに離れていく、という結果は、このつり合いが「不安定なつり合い」であることを示唆しています。
- (3)-(サ): 摩擦係数\(\mu\)が大きいほど、静止できる範囲が広がる。これは直感と一致します。また、\(\mu = \tan\theta\) のとき、不等式の分母が0になり、\(r_1\)が発散します。これは、この角度ではどんなに大きな遠心力がかかっても、重力と摩擦力で支えきれる限界点であることを示唆しており、興味深い結果です。
問題47 (東京電機大 改)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、円筒表面をすべる小物体の運動を扱っており、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式」という2つの重要な物理法則を組み合わせて解く典型問題です。物体が円筒面から離れる瞬間の条件を正しく理解することが鍵となります。
- 円筒: 半径 \(r\)、なめらかな表面、水平な床に固定
- 小物体: 質量 \(m\)
- 運動の始点: 最高点Pから静かにすべりだす (問1-4)
- 角度: \(\angle POQ = \theta\)
- 重力加速度: \(g\)
- (1) 点Qでの速さ \(v_Q\)
- (2) 点Qでの垂直抗力 \(N\)
- (3) 円筒から離れる点Sの角度 \(\theta_0\) における \(\cos\theta_0\)
- (4) 円筒から離れる瞬間の速さ \(v_S\)
- (5) 最高点Pから水平に打ち出したとき、ただちに円筒から離れるための初速 \(v_P\) の最小値
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解くための中心的な考え方は以下の通りです。
- 力学的エネルギー保存則: 小物体に働く力は、保存力である重力と、仕事をしない垂直抗力（常に運動方向と垂直なため）のみです。したがって、小物体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は保存されます。これを用いて、任意の点での速さを求めることができます。
- 円運動の運動方程式: 小物体は円筒表面に沿って円運動の一部を行います。円運動を続けるためには、円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、小物体に働く重力と垂直抗力の合力によって供給されます。運動方程式を立てることで、垂直抗力の大きさを速さや位置の関数として表すことができます。
- 面から離れる条件: 小物体が円筒表面から離れる瞬間は、小物体が円筒面から受ける垂直抗力がゼロになるときです。つまり、\(N=0\) が面から離れる条件となります。
基本的なアプローチは、各設問が連動していることを意識し、前の設問の結果を使いながら段階的に解き進めていくことです。
- まず、(1)で力学的エネルギー保存則を用いて、任意の角度 \(\theta\) における速さ \(v_Q\) を求めます。
- 次に、(2)で円運動の運動方程式を立て、(1)で求めた速さ \(v_Q\) を用いて、垂直抗力 \(N\) を角度 \(\theta\) の関数で表します。
- (3)では、「面から離れる条件 \(N=0\)」を(2)で求めた式に適用し、離れるときの角度 \(\theta_0\) を求めます。
- (4)では、(1)の速さの式に(3)で求めた角度 \(\theta_0\) を代入して、離れる瞬間の速さ \(v_S\) を計算します。
- (5)は独立した設定ですが、考え方は(2)と(3)に似ています。最高点Pでの運動方程式を立て、「ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\)」を用いて初速の条件を導きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
小物体が最高点Pから点Qまで移動する間の速さを求めます。この過程で小物体に働く力は、重力と垂直抗力です。円筒面はなめらかなので摩擦力は働きません。垂直抗力は常に小物体の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。したがって、保存力である重力のみが仕事をするので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
位置エネルギーの基準点をどこに設定するかがポイントです。ここでは、円筒の中心Oを基準点（高さ0）とすると、計算が簡潔になります。
この設問における重要なポイント
- 力学的エネルギー保存則を適用できる条件を理解する（非保存力が仕事をしない）。
- 位置エネルギーの基準点を適切に設定する。
- 点Pと点Qにおける位置エネルギーを、角度 \(\theta\) を用いて正しく表現する。
具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、始点Pと点Qの間で適用します。位置エネルギーの基準を円筒の中心Oとします。
- 点P（始点）:
- 小物体は静かにすべりだすので、速さは \(v_P = 0\)。運動エネルギーは \(K_P = 0\)。
- 中心Oからの高さは \(r\)。位置エネルギーは \(U_P = mgr\)。
- 点Pでの力学的エネルギーは \(E_P = K_P + U_P = 0 + mgr = mgr\)。
- 点Q（角度 \(\theta\) の点）:
- 速さを \(v_Q\) とすると、運動エネルギーは \(K_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\)。
- 中心Oからの高さは、図より \(r\cos\theta\)。位置エネルギーは \(U_Q = mgr\cos\theta\)。
- 点Qでの力学的エネルギーは \(E_Q = K_Q + U_Q = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta\)。
力学的エネルギー保存則 \(E_P = E_Q\) より、以下の式が成り立ちます。
$$mgr = \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta \quad \cdots ①$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K_i + U_i = K_f + U_f\)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 重力による位置エネルギー: \(U = mgh\)
式①を \(v_Q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgr &= \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta \\[1.5ex]
\frac{1}{2}mv_Q^2 &= mgr – mgr\cos\theta \\[1.5ex]
\frac{1}{2}mv_Q^2 &= mgr(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割り、2を掛けると、
$$v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)$$
\(v_Q > 0\) なので、平方根をとると、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$
物体がP点からQ点に滑り落ちるとき、失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わります。このエネルギーの変換関係を式にすると、Q点での速さが計算できます。P点とQ点の高さの差は \(r – r\cos\theta\) なので、失った位置エネルギーは \(mg(r – r\cos\theta)\) です。これがすべて運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2\) になったと考えれば、同じ式が得られます。
点Qを通過するときの速さは \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\) です。
この結果を吟味してみましょう。
- \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(v_Q=0\) となり、初速が0であることと一致します。
- \(\theta=90^\circ\) のとき、\(\cos90^\circ=0\) なので \(v_Q = \sqrt{2gr}\) となります。これは、高さ\(r\)から自由落下したときの速さと同じで、物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
点Qにおいて小物体に作用する垂直抗力の大きさを求めます。小物体は円筒面に沿って円運動の一部を行っているため、円の中心Oに向かう方向の運動方程式を立てる必要があります。
点Qで小物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、円筒面から半径方向外向きに受ける垂直抗力 \(N\) です。運動方程式を立てるために、重力を円の半径方向と接線方向に分解します。半径方向の力の合力が、円運動の向心力となります。
この設問における重要なポイント
- 円運動の運動方程式を正しく立てられること。
- 力を半径方向と接線方向に分解すること。
- 向心力が、実際に働く力の合力によって供給されることを理解すること。
具体的な解説と立式
点Qにおいて、円の中心Oに向かう向きを正として、半径方向の運動方程式を立てます。
- 半径方向の力:
- 重力 \(mg\) の半径方向成分: \(mg\cos\theta\) (中心O向き)
- 垂直抗力 \(N\): (中心Oと逆向き)
- 向心力 \(F_{\text{向心力}}\): これらの力の合力です。
\(F_{\text{向心力}} = mg\cos\theta – N\) - 向心加速度 \(a_{\text{向心加速度}}\): 点Qでの速さが \(v_Q\) なので、\(a_{\text{向心加速度}} = \displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) です。
円運動の運動方程式 \(ma = F\) より、
$$m\frac{v_Q^2}{r} = mg\cos\theta – N \quad \cdots ②$$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\)
- （別解）遠心力を含めた力のつり合い
別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
小物体と一緒に運動する観測者の立場（非慣性系）で考えることもできます。この観測者から見ると、小物体には半径方向外向きに慣性力である遠心力 \(F_{\text{遠心力}} = m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) が働いているように見えます。この立場では、半径方向の力はつり合っていると考えます。
- 中心向きの力: 重力の成分 \(mg\cos\theta\)
- 外向きの力: 垂直抗力 \(N\) と遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\)
力のつり合いの式は、
$$mg\cos\theta = N + m\frac{v_Q^2}{r} \quad \cdots ②’$$
この式②’を \(N\) について解くと、運動方程式②と全く同じ形になります。
式②を \(N\) について解くと、
$$N = mg\cos\theta – m\frac{v_Q^2}{r}$$
ここに、問(1)で求めた \(v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg\cos\theta – m\frac{2gr(1-\cos\theta)}{r} \\[1.5ex]
&= mg\cos\theta – 2mg(1-\cos\theta) \\[1.5ex]
&= mg\cos\theta – 2mg + 2mg\cos\theta \\[1.5ex]
&= 3mg\cos\theta – 2mg \\[1.5ex]
&= mg(3\cos\theta – 2)
\end{aligned}
$$
物体が円筒の表面をカーブしながら滑るとき、カーブを曲がり続けるためには中心に向かう力が必要です。この力は、「重力の一部（中心に向かう成分）」から「円筒が押し返す力（垂直抗力）」を引いた残りです。この関係を運動方程式という形で書き、(1)で求めた速さを使って計算すると、垂直抗力の大きさがわかります。
点Qにおける垂直抗力の大きさは \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) です。
この結果を吟味してみましょう。
- \(\theta=0\)（点P）のとき、\(\cos0=1\) なので \(N = mg(3-2) = mg\)。これは、最高点では速さが0なので、運動方程式 \(0 = mg – N\) から \(N=mg\) となることと一致します。
- \(\cos\theta\) は \(\theta\) が増加すると減少するため、\(N\) は物体がすべり落ちるにつれて小さくなっていきます。そして、\(3\cos\theta – 2 = 0\)、つまり \(\cos\theta = 2/3\) となるときに \(N=0\) となり、物体は面から離れます。これは物理的に妥当な振る舞いです。
問(3)
思考の道筋とポイント
小物体が円筒表面から離れる点Sでの角度 \(\theta_0\) を求めます。物理的に「表面から離れる」とは、物体と面の間に力が及ばなくなった状態、つまり垂直抗力が0になる瞬間を指します。
したがって、(2)で求めた垂直抗力 \(N\) の式に、\(N=0\) という条件を適用すれば、そのときの角度 \(\theta_0\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 物体が面から離れる物理的条件が「垂直抗力 \(N=0\)」であることを理解している。
- (2)で導出した \(N\) と \(\theta\) の関係式を正しく利用する。
具体的な解説と立式
小物体が点Sで円筒表面から離れるとき、その点での垂直抗力は \(N=0\) となります。このときの角度を \(\theta_0\) とします。
問(2)で求めた垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) に、\(\theta = \theta_0\) および \(N=0\) を代入します。
$$0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)$$
使用した物理公式
- 面から離れる条件: \(N=0\)
- 問(2)で導出した垂直抗力の式: \(N = mg(3\cos\theta – 2)\)
上記の式を \(\cos\theta_0\) について解きます。
$$0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)$$
\(mg \neq 0\) なので、両辺を \(mg\) で割ることができます。
$$0 = 3\cos\theta_0 – 2$$
\(2\) を移項して、
$$3\cos\theta_0 = 2$$
両辺を \(3\) で割ると、
$$\cos\theta_0 = \frac{2}{3}$$
物体が滑り落ちるにつれて、円筒面を押し付ける力（垂直抗力）はだんだん弱くなっていきます。(2)で作った「垂直抗力の大きさがわかる式」を使って、垂直抗力がちょうどゼロになるのはどの角度のときかを計算します。
小物体が円筒表面から離れるときの角度 \(\theta_0\) は、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を満たす角度です。
\(0 < \cos\theta_0 < 1\) なので、\(0^\circ < \theta_0 < 90^\circ\) の範囲にあり、物体が円筒の頂上と真横の間のどこかで離れることを示しており、物理的に妥当な結果です。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < -1\) となる場合は、計算間違いを疑うべきです。
問(4)
思考の道筋とポイント
点Sで円筒表面から離れる瞬間の小物体の速さ \(v_S\) を求めます。これは、(1)で求めた任意の角度 \(\theta\) における速さ \(v_Q\) の式に、(3)で求めた「離れるときの角度」の条件 \(\cos\theta_0 = 2/3\) を代入することで計算できます。
この設問における重要なポイント
- 設問(1)と(3)の結果を組み合わせて利用する。
- どの式にどの値を代入すればよいかを正しく判断する。
具体的な解説と立式
問(1)で求めた、角度 \(\theta\) の点での速さの式は、
$$v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}$$
でした。点Sは角度が \(\theta_0\) の点なので、この式の \(\theta\) を \(\theta_0\) に置き換えることで、離れる瞬間の速さ \(v_S\) が求められます。
$$v_S = \sqrt{2gr(1-\cos\theta_0)}$$
使用した物理公式
- 問(1)で導出した速さの式: \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\)
- 問(3)で導出した条件: \(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\)
上記の \(v_S\) の式に、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_S &= \sqrt{2gr\left(1 – \frac{2}{3}\right)} \\[1.5ex]
&= \sqrt{2gr\left(\frac{1}{3}\right)} \\[1.5ex]
&= \sqrt{\frac{2gr}{3}}
\end{aligned}
$$
(1)で「どの角度でも速さがわかる式」を作り、(3)で「物体が離れる角度」を特定しました。この二つを組み合わせれば、「物体が離れる瞬間の速さ」が計算できます。
点Sで離れる瞬間の速さは \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) です。
この速さは0より大きく、物体が運動していることを示しています。離れた後は、この速さで斜め下向きに投げ出された物体と同じ放物運動をします。
問(5)
思考の道筋とポイント
最高点Pから初速 \(v_P\) を水平に与えたとき、「ただちに円筒から離れて」放物運動をするための初速の最小値を求めます。
「ただちに離れる」という条件は、打ち出した瞬間（点P, \(\theta=0\)）において、垂直抗力が0以下になること、すなわち \(N_P \le 0\) と解釈できます。
(2)と同様に、点Pにおける半径方向の運動方程式を立て、この条件を適用します。
この設問における重要なポイント
- 「ただちに離れる」の物理的条件が \(N \le 0\) であることを理解する。
- 考えるべき瞬間が打ち出した直後の点P (\(\theta=0\)) であることを把握する。
- 点Pにおける力の向きを正しく考慮して運動方程式を立てる。
具体的な解説と立式
点Pにおいて、初速 \(v_P\) で打ち出された直後の半径方向の運動方程式を立てます。円の中心Oに向かう向きを正とします。
- 半径方向の力:
- 重力 \(mg\): (中心O向き)
- 垂直抗力 \(N_P\): (中心Oと逆向き)
- 向心力: \(mg – N_P\)
- 向心加速度: \(\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\)
運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v_P^2}{r} = mg – N_P$$
小物体がただちに円筒から離れる条件は、この瞬間の垂直抗力が \(N_P \le 0\) となることです。
（\(N_P=0\) は面から離れるギリギリの状態、\(N_P < 0\) は本来なら面から引っ張る力が必要な状態で、実際には離れてしまうことを意味します。）
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\)
- 面から離れる条件: \(N \le 0\)
別解: 遠心力を用いた力のつり合い
具体的な解説と立式
点Pで物体と一緒に運動する観測者から見ると、外向きに遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\) が働きます。半径方向の力のつり合いは、
$$mg = N_P + m\frac{v_P^2}{r}$$
ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\) を適用すると、運動方程式から考える場合と同じ結果に至ります。
運動方程式から \(N_P\) を求めると、
$$N_P = mg – m\frac{v_P^2}{r}$$
ただちに離れる条件 \(N_P \le 0\) を適用すると、
$$mg – m\frac{v_P^2}{r} \le 0$$
\(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r}\) を右辺に移項します。
$$mg \le m\frac{v_P^2}{r}$$
両辺を \(m\) で割り、\(r\) を掛けると（\(m>0, r>0\)）、
$$gr \le v_P^2$$
すなわち、
$$v_P^2 \ge gr$$
初速 \(v_P\) は正なので、両辺の平方根をとると、
$$v_P \ge \sqrt{gr}$$
したがって、ただちに離れるための初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。
円筒のてっぺんからボールを水平に投げることを想像してください。ゆっくり投げればボールは円筒に沿って転がりますが、速く投げるとてっぺんからジャンプするように飛び出します。この「ジャンプする」というのは、ボールが円筒を押す力（垂直抗力）がゼロになるということです。この現象が起きるギリギリの速さを、運動方程式を使って計算します。
初速の最小値は \(\sqrt{gr}\) です。
この速さ \(v_P = \sqrt{gr}\) のとき、遠心力は \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} = m\displaystyle\frac{gr}{r} = mg\) となり、重力とちょうどつり合います。このため、円筒面からの支え（垂直抗力）がなくても、物体は円運動を始めることができます（この瞬間は）。これより速いと遠心力が重力を上回るため、物体は上向きに加速して離れていきます。物理的に妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力学的エネルギー保存則:
- 核心: 物体がなめらかな面をすべる運動では、非保存力である摩擦力が仕事をしません。また、垂直抗力は常に運動方向と垂直なため、仕事をしません。このため、保存力である重力のみが仕事をし、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定に保たれます。
- 理解のポイント: この法則を用いることで、物体の「速さ」と「位置（高さ）」を直接結びつけることができます。どの二点間でエネルギーを比較するか、位置エネルギーの基準をどこに置くと計算が楽になるかを考えるのが重要です。
- 円運動の運動方程式:
- 核心: 物体は円筒表面に沿って円運動の一部を行います。円運動を続けるためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、実際に物体に働いている力（この問題では重力と垂直抗力）の合力によって供給されます。
- 理解のポイント: 運動方程式 \(ma = F\) において、加速度 \(a\) に向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) を、力 \(F\) に半径方向の力の合力を代入します。これにより、「速さ」「半径」「物体に働く力（特に垂直抗力）」の関係式を導くことができます。「向心力」という特別な力が存在するのではなく、あくまで力の合力が向心力の役割を果たす、という点を理解することが重要です。
- 面から離れる条件 \(N=0\):
- 核心: 物体が面から「離れる」とは、物理的には面から受ける垂直抗力がゼロになる瞬間を指します。
- 理解のポイント: どんなに速く運動していても、垂直抗力が正である限り物体は面に接しています。垂直抗力がちょうど \(0\) になった瞬間、物体は面からの束縛を解かれ、その時点での速度で放物運動などに移行します。この \(N=0\) という条件は、円運動の問題で「離れる」「浮き上がる」といった状況を解くための鍵となります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 振り子の運動: 糸で吊るされたおもりの運動は、この問題と非常によく似ています。糸の張力 \(T\) が、この問題の垂直抗力 \(N\) と同じ役割を果たします。糸がたるむ条件は \(T=0\) であり、最高点で一回転するための条件は最高点での張力 \(T \ge 0\) となります。
- ジェットコースターのループ運動: ジェットコースターが円形のループを走行する問題も同様です。レールからの垂直抗力 \(N\) が向心力の一部を担います。ループの最高点で落下しない条件は、最高点での垂直抗力 \(N \ge 0\) です。
- 半球の内面をすべる運動: 半球状のなめらかな椀の内側を物体がすべる問題。垂直抗力の向きが円の中心を向く（この問題とは逆）という違いはありますが、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を組み合わせて解くという本質は全く同じです。
- 初見の問題での着眼点:
- 保存則の適用可否: まず、問題設定に摩擦や空気抵抗といった非保存力が存在するかを確認します。「なめらかな」という記述があれば、力学的エネルギー保存則が有力な解法候補となります。
- 運動形態の特定: 物体がどのような軌道を描くか（直線、円、放物線など）を把握します。円運動やその一部が含まれる場合、中心はどこか、半径は何かを明確にし、運動方程式を立てる準備をします。
- 力の図示と分解: 物体に働く力をすべて図示します。特に円運動では、力を「半径方向」と「接線方向」に分解すると、運動方程式が立てやすくなります。
- キーワードの物理的翻訳: 問題文中の「静かに離す」「離れる」「たるむ」「浮き上がる」「一回転する」といった言葉を、\(v=0\), \(N=0\), \(T=0\), \(N \le 0\), 「最高点で \(N \ge 0\)」といった物理的な数式条件に正確に変換することが、正解への近道です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 向心力に関する誤解:
- 誤解: 向心力を、重力や垂直抗力とは別に存在する「特別な力」として力の図に書き加えてしまう。
- 対策: 向心力は力の「種類」ではなく、円運動の中心方向を向く力の「合力」に対する名称であると理解しましょう。運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) の右辺 \(F\) には、実際に物体に働いている力を分解したときの半径方向成分の合力を書きます。決して \(F\) の中に「向心力」という文字は現れません。
- 「離れる」条件の誤解:
- 誤解: 物体が面から離れるのは、速さが \(0\) になるときだと勘違いする。
- 対策: 速さが \(0\) になるのは、運動の向きが反転する「折り返し点」です。面から離れるのは、面に押し付ける力がなくなり、飛び出していく状況です。これは「垂直抗力 \(N=0\)」に対応します。両者は全く異なる物理状況なので、明確に区別しましょう。
- 位置エネルギーの基準点の混乱:
- 誤解: どこを基準に取ればよいか分からず、複雑な計算をしてしまう。
- 対策: 物理的にはどこを基準にしても良いですが、計算を最も簡単にする点を選ぶのが定石です。円運動では、円の中心や最高点、最下点が候補になります。この問題のように角度 \(\theta\) を使う場合、円の中心を基準にすると、高さが \(r\cos\theta\) のように三角関数でシンプルに表せるため便利です。
- 問(5)の条件設定ミス:
- 誤解: 「ただちに離れる」条件を \(N=0\) とだけ考えてしまう。
- 対策: 「離れる」という現象は、垂直抗力が \(0\) になる瞬間だけでなく、もし面がなければもっと外側に飛び出そうとする状態（つまり、面から引っぱる力が必要な状態）も含まれます。これを数式で表現すると \(N \le 0\) となります。\(N=0\) は離れるための「最小」条件（ギリギリの状態）に対応します。不等式で考える習慣をつけましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力の分解図: 点Qにおける小物体の図を描き、そこに働く重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\)（半径方向外向き）を矢印で示します。さらに、重力 \(mg\) を円の半径方向（\(mg\cos\theta\)）と接線方向（\(mg\sin\theta\)）に分解した補助的な矢印を点線で描くと、半径方向の力の関係（\(mg\cos\theta\) と \(N\) のせめぎ合い）が視覚的に理解でき、運動方程式の立式ミスを防げます。
- エネルギーの高さ図: 円筒の断面図を描き、位置エネルギーの基準点（例えば中心O）に水平線を引きます。最高点Pの高さ \(r\) と、点Qの高さ \(r\cos\theta\) を図中に明記します。これにより、力学的エネルギー保存則の \(mgh\) の項を直感的に把握できます。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 力の作用点: すべての力の矢印は、物体が力を受ける点（この場合は小物体の重心）から描くように統一します。
- 座標軸の意識: 円運動の問題では、デカルト座標（水平・鉛直）だけでなく、動径方向（半径方向）と接線方向を軸として考える「自然座標系」が非常に有効です。どの方向に運動方程式を立てるのかを意識しながら図を描きましょう。
- 記号の明記: 図の中に \(m, g, r, \theta, v, N\) などの記号を対応付けて書き込むことで、思考が整理され、式との関連が明確になります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力学的エネルギー保存則:
- 選定理由: 問題が「速さ」を問うており、かつ「なめらかな面」という条件から非保存力が仕事をしないことがわかるため。物体の「位置」と「速さ」を最も効率よく結びつける法則だからです。
- 適用根拠: 小物体に働く力（重力、垂直抗力）のうち、仕事をするのが保存力である重力のみであるという物理的状況。
- 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\):
- 選定理由: 問題が「垂直抗力」という「力」を問うており、物体の運動が「円運動」であるため。円運動における速さと力の関係を記述する基本法則だからです。
- 適用根拠: 物体が半径 \(r\) の円弧に沿って運動しているという幾何学的な束縛条件。
- 面から離れる条件 \(N=0\):
- 選定理由: 問題が「円筒表面から離れる」という特定の物理現象が起こる瞬間について問うているため。
- 適用根拠: 垂直抗力は「面が物体を押す力」と定義されます。この力がゼロになることが、面からの束縛が解かれる「離れる」という現象に他ならない、という物理的解釈に基づきます。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 速さの導出:
- 目的: 角度 \(\theta\) の関数として速さ \(v_Q\) を求める。
- 戦略: 力学的エネルギー保存則を用いる。
- フロー: [始点Pのエネルギー] = [点Qのエネルギー] \(\rightarrow\) \(mgr = \displaystyle\frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr\cos\theta\) \(\rightarrow\) \(v_Q\) について解く。
- (2) 垂直抗力の導出:
- 目的: 角度 \(\theta\) の関数として垂直抗力 \(N\) を求める。
- 戦略: 円運動の運動方程式を立てる。
- フロー: 半径方向の力を図示・分解 \(\rightarrow\) 運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r} = mg\cos\theta – N\) を立式 \(\rightarrow\) (1)で求めた \(v_Q^2\) を代入 \(\rightarrow\) \(N\) について整理する。
- (3) 離れる角度の特定:
- 目的: 離れる瞬間の角度 \(\theta_0\) を求める。
- 戦略: 「離れる」条件 \(N=0\) を使う。
- フロー: (2)で求めた \(N\) の式に \(N=0\) を代入 \(\rightarrow\) \(0 = mg(3\cos\theta_0 – 2)\) \(\rightarrow\) \(\cos\theta_0\) について解く。
- (4) 離れる速さの計算:
- 目的: 離れる瞬間の速さ \(v_S\) を求める。
- 戦略: (1)の速さの式に、(3)の角度の条件を適用する。
- フロー: (1)の \(v_Q\) の式の \(\theta\) に \(\theta_0\) を代入 \(\rightarrow\) \(v_S = \sqrt{2gr(1-\cos\theta_0)}\) \(\rightarrow\) (3)で求めた \(\cos\theta_0\) の値を代入して計算。
- (5) ただちに離れる初速の計算:
- 目的: 点Pでただちに離れるための初速 \(v_P\) の最小値を求める。
- 戦略: 点Pでの運動方程式と、「ただちに離れる」条件 \(N_P \le 0\) を使う。
- フロー: 点Pでの半径方向の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} = mg – N_P\) を立式 \(\rightarrow\) \(N_P \le 0\) の条件を適用 \(\rightarrow\) \(mg – m\displaystyle\frac{v_P^2}{r} \le 0\) \(\rightarrow\) \(v_P\) についての不等式を解き、最小値を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める:
- この問題のように、設問が連鎖している場合、途中で具体的な数値を代入せず、\(m, g, r, \cos\theta\) などの文字式のまま計算を進めることが極めて有効です。例えば、(2)で \(v_Q^2\) を代入する際に、(1)で得た \(2gr(1-\cos\theta)\) という「式」をそのまま代入することで、\(r\) がきれいに約分され、最終的な式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) が見通しよく導出できます。
- 次元（単位）のチェック:
- 計算の各段階で、式の両辺の次元が合っているかを確認する癖をつけましょう。例えば、(4)の答え \(v_S = \sqrt{\displaystyle\frac{2gr}{3}}\) の次元は \(\sqrt{(L/T^2) \cdot L} = \sqrt{L^2/T^2} = L/T\) となり、速さの次元と一致します。もし次元が合わなければ、その時点で計算ミスに気づくことができます。
- 符号のダブルチェック:
- 運動方程式を立てる際、座標軸の正の向きを最初に明確に定義し、各力の成分の符号がそれに従っているかを慎重に確認します。特に重力の分解では、図と三角関数の定義を照らし合わせ、符号を間違えないように注意が必要です。
- 代入の確認:
- ある式を別の式に代入する際は、代入する式全体を括弧でくくるなどして、分配法則の適用ミスなどを防ぎましょう。例: \(N = mg\cos\theta – m\displaystyle\frac{v_Q^2}{r}\) に \(v_Q^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) を代入するとき、\(N = mg\cos\theta – \displaystyle\frac{m}{r} \{2gr(1-\cos\theta)\}\) のように意識すると安全です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (3) \(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{2}{3}\): この値は \(0\) と \(1\) の間にあります。これは、物体が円筒の最高点(\(\cos\theta=1\))と真横(\(\cos\theta=0\))の間で離れることを意味しており、直感と合致します。もし \(\cos\theta_0 > 1\) や \(\cos\theta_0 < 0\) といった物理的にありえない値が出た場合は、計算過程を見直すべきです。
- (5) 初速の最小値 \(\sqrt{gr}\): この速さの物理的意味を考えてみましょう。この速さで物体が円運動をするときの遠心力は \(m \displaystyle\frac{(\sqrt{gr})^2}{r} = mg\) となり、重力の大きさに等しくなります。つまり、最高点Pでは、重力と遠心力がちょうどつり合う（ように見える）ため、面からの支え（垂直抗力）が不要になるギリギリの速さだと言えます。この物理的な解釈ができると、答えの妥当性に強い確信が持てます。
- 極端な場合や既知の状況との比較:
- (1) 速さの式 \(v_Q = \sqrt{2gr(1-\cos\theta)}\): もし \(\theta=0\) なら、\(v_Q=0\) となり、初期条件「静かにすべりだす」と一致します。もし \(\theta=90^\circ\) なら、\(v_Q = \sqrt{2gr}\) となり、これは高さ \(r\) の位置から自由落下した物体の速さと同じです。このように、特定の簡単な状況を代入して結果が妥当か確認するのは有効な吟味方法です。
- (2) 垂直抗力の式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\): もし \(\theta=0\) なら、\(N=mg\) となります。これは、速さゼロで静止している場合の力のつり合い \(N=mg\cos0=mg\) とは意味が異なりますが、点Pでの運動方程式 \(m \cdot 0 = mg – N\) から導かれる \(N=mg\) と一致し、矛盾はありません。
- 条件式の意味の再確認:
- 導出した式が、物理現象のどの範囲で成り立つかを考えます。例えば、\(N = mg(3\cos\theta – 2)\) という式は、物体が円筒面に接している間（つまり \(N \ge 0\) の間）のみ有効です。\(N<0\) となる領域では、物体はすでに面から離れており、この式は適用できません。
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