「重要問題集」徹底解説（21〜25問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題21 (福岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、滑車を介して糸で繋がれた2つの物体A, Bと、それらが乗っている台Cからなる、3体問題です。状況に応じて、静止している場合、一部が運動する場合、全体が運動する場合を考えます。それぞれの物体にはたらく力を正確に把握し、運動の法則を適用することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された物体の運動」です。複数の物体が相互に力を及ぼしあいながら運動する系を扱います。

1. 運動方程式: 各物体について、はたらく力をすべて特定し、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
2. 力のつりあい: 静止している物体については、力のつりあいの式 \(\sum F = 0\) を立てます。
3. 束縛条件: 糸で繋がれている物体AとBは、同じ大きさの加速度で運動し、糸の張力も同じ大きさになります。
4. 作用・反作用の法則: 物体同士が及ぼしあう力（垂直抗力や張力）は、作用・反作用の関係にあります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. [A]では、各物体が静止しているので、それぞれの物体について「力のつりあい」の式を立てます。
2. [B]では、AとBは運動し、Cは静止しています。AとBについては「運動方程式」を、Cについては「力のつりあい」の式を立てます。
3. [C]では、A, B, Cが同じ加速度で運動するという条件から、Bの運動状態を考察し、Aの運動方程式を立て直します。

問(1), (2)

思考の道筋とポイント
[A]では、A, B, Cのすべてが静止しています。したがって、それぞれの物体にはたらく力はつりあっています。A, B, Cの順に、力のつりあいの式を立てていきます。
この設問における重要なポイント

• 各物体にはたらく力を漏れなく図示する。
• 静止しているので、すべての物体について力のつりあいを考える。

具体的な解説と立式

• 物体B: 鉛直方向の力のつりあいを考えます。
  • 糸の張力 \(T\)（上向き）と重力 \(m_B g\)（下向き）がつりあっているので、
    $$T = m_B g \quad \cdots ①$$
• 物体A: 水平方向の力のつりあいを考えます。
  • 手で押す力 \(F_A\)（左向き）と糸の張力 \(T\)（右向き）がつりあっているので、
    $$F_A = T \quad \cdots ②$$
• 物体C: 水平方向の力のつりあいを考えます。
  • 手で押す力 \(F_C\)（右向き）と、滑車を介して糸がCを引く力 \(T\)（左向き）がつりあっています。
    $$F_C = T \quad \cdots ③$$

問(1) Aを押す力の大きさ

式①と②より、
$$F_A = T = m_B g$$

問(2) Cを押す力の大きさ

式①と③より、
$$F_C = T = m_B g$$

(1) 物体Aが止まっているのは、左向きに押す力と、糸が右向きに引っぱる力が釣り合っているからです。糸を引っぱる力は、ぶら下がっている物体Bの重さと同じです。

(2) 物体Cが止まっているのは、右向きに押す力と、糸が滑車を介して左向きに引っぱる力が釣り合っているからです。この力も物体Bの重さと同じです。

Aを押す力、Cを押す力はともに \(m_B g\) です。

問(3), (4)

思考の道筋とポイント
[B]では、AとBが運動を始めます。Aは水平方向、Bは鉛直方向に、同じ大きさの加速度 \(a\) で運動します。それぞれの物体について運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント

• AとBが同じ大きさの加速度 \(a\) で運動する（束縛条件）。
• AとBそれぞれについて運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
問(3) Aの運動方程式

物体A（質量 \(m_A\)）には、水平右向きに糸の張力 \(T\) のみがはたらきます。水平右向きを正とすると、運動方程式は、
$$m_A a = T$$

問(4) Bの運動方程式

物体B（質量 \(m_B\)）には、上向きに張力 \(T\)、下向きに重力 \(m_B g\) がはたらきます。鉛直下向きを正とすると、運動方程式は、
$$m_B a = m_B g – T$$

この設問は式を立てるだけであり、計算は不要です。

(3) 物体Aは、糸に引っ張られて右向きに加速します。運動方程式は「質量 \(\times\) 加速度 = 力」なので、\(m_A a = T\) となります。

(4) 物体Bは、重力で下に引っ張られながら、糸に上に引かれて落下します。下向きを正とすると、運動方程式は「質量 \(\times\) 加速度 = 下向きの力 – 上向きの力」なので、\(m_B a = m_B g – T\) となります。

Aの運動方程式は \(m_A a = T\)、Bの運動方程式は \(m_B a = m_B g – T\) です。

問(5), (6)

思考の道筋とポイント
(3)と(4)で立てた2つの運動方程式を連立させて、未知数である加速度 \(a\) と張力 \(T\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 2つの運動方程式を連立させて解く。

具体的な解説と立式
(3), (4)で立てた連立方程式は以下の通りです。
$$m_A a = T \quad \cdots ④$$
$$m_B a = m_B g – T \quad \cdots ⑤$$

問(5) 加速度 \(a\) の大きさ

式④と⑤を辺々足し合わせると、張力 \(T\) が消去できます。
$$m_A a + m_B a = (T) + (m_B g – T)$$
$$(m_A + m_B)a = m_B g$$
$$a = \frac{m_B}{m_A + m_B}g$$

問(6) 張力 \(T\) の大きさ

上で求めた \(a\) の値を式④に代入します。
$$T = m_A a = m_A \left( \frac{m_B}{m_A + m_B}g \right) = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g$$

(3)と(4)で作った2つの方程式をうまく組み合わせる（足し算する）と、張力\(T\)が消えて、加速度\(a\)を求めることができます。加速度がわかれば、それをどちらかの方程式に代入して、張力\(T\)も計算できます。

加速度 \(a\) は \(\frac{m_B}{m_A + m_B}g\)、張力 \(T\) は \(\frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g\) です。これは滑車で繋がれた物体の運動でよく見られる結果です。

問(7), (8)

思考の道筋とポイント
AとBが運動している間も、Cは手で押されて静止しています。したがって、Cについては力のつりあいを考えます。Cにはたらく力をすべてリストアップし、水平方向と鉛直方向のつりあいの式を立てます。
この設問における重要なポイント

• Cは静止しているので、力のつりあいを考える。
• AがCを押す力（垂直抗力）や、糸が滑車を介してCを引く力を考慮する。

具体的な解説と立式
物体Cにはたらく力を考えます。

• 水平方向:
  • 手で押す力 \(F_C\)（右向き）
  • 糸が滑車を介してCを引く力 \(T\)（左向き）

  これらの力がつりあっているので、
  $$F_C = T$$

• 鉛直方向:
  • 床からの垂直抗力 \(N_C\)（上向き）
  • C自身の重力 \(Mg\)（下向き）
  • AがCを押す力（Aにはたらく垂直抗力の反作用） \(N_A\)（下向き）
  • 滑車が糸から受ける力 \(T\)（下向き）

  これらの力がつりあっているので、
  $$N_C = Mg + N_A + T$$
  ここで、Aの鉛直方向の力のつりあいから \(N_A = m_A g\) です。

問(7) Cを押す力の大きさ

(6)で求めた \(T\) の値を代入します。
$$F_C = T = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g$$

問(8) 床からの垂直抗力

つりあいの式に \(N_A=m_A g\) と(6)の\(T\)を代入します。
$$N_C = Mg + m_A g + \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g$$
$$N_C = \left( M + m_A + \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} \right)g$$
$$N_C = \left( M + \frac{m_A(m_A+m_B) + m_A m_B}{m_A+m_B} \right)g = \left( M + \frac{m_A^2 + 2m_A m_B}{m_A+m_B} \right)g$$

Cを押す力は \( \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g\)、床からの垂直抗力は \(\left( M + m_A + \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} \right)g\) となります。

問(9)

思考の道筋とポイント
[C]では、「A, B, Cは同じ加速度で等加速度運動をする」とあります。これは、AとCの水平方向の加速度が等しいことを意味します。AがCに対して滑らない（相対加速度が0）ため、AとBの間の糸で繋がれた運動は、Bが等速で落下する（または静止する）運動になります。
この設問における重要なポイント

• AとCの加速度が等しい \(\rightarrow\) Bは等速直線運動をする。
• 等速直線運動をしている物体にはたらく力はつりあっている。

具体的な解説と立式
Bが鉛直方向に等速直線運動をするので、Bにはたらく力はつりあっています。
$$T = m_B g$$
Aは水平方向に加速度 \(a’\) で運動しているので、Aの運動方程式は、
$$m_A a’ = T$$

2つの式から、
$$m_A a’ = m_B g$$
$$a’ = \frac{m_B}{m_A}g$$

A, B, Cが「同じ加速度で」動く、という日本語の解釈が難しいですが、ここでは「AとCが一体となって動き、その結果Bは一定の速さで落ちる」という状況を考えます。Bの速さが一定なので、Bにかかる力は釣り合っています（張力 = Bの重さ）。Aは、その張力に引かれて加速するので、運動方程式を立てて加速度を求めます。

加速度の大きさは \(\frac{m_B}{m_A}g\) です。これは、[B]の状況とは異なる解釈から導かれた結果です。問題文の意図を正確に読み取ることが重要となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式の適用と系の設定:
  • 核心: この問題は、複数の物体が相互に力を及ぼしあいながら運動する「連結物体の運動」を扱います。核心となるのは、考察したい物体（または物体群）を一つの「系」として設定し、その系に対してニュートンの運動方程式 \(ma=F\) を正しく適用することです。
  • 理解のポイント:
    1. 個別の物体に着目: 基本は、各物体（A, B, C）を個別に分離し、それぞれにはたらく力をすべて図示して、個別に運動方程式（または力のつりあいの式）を立てることです。
    2. 一体の系として着目: AとBのように、糸で繋がれ一体となって運動する部分は、合わせて一つの系と見なすことができます。この場合、系全体の質量と、系全体にはたらく「外力」の合力で運動方程式を立てると、内力である張力\(T\)を計算せずに加速度を求めることができ、効率的です。
    3. 束縛条件: 「糸が伸び縮みしない」という条件から、繋がっている物体AとBの加速度の大きさは等しくなります。この「束縛条件」が、各物体の運動方程式を連立させて解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 動滑車を含む問題: 動滑車が加わると、糸で繋がれた物体同士の加速度が1:2の関係になるなど、束縛条件がより複雑になります。しかし、各物体について運動方程式を立て、束縛条件の式と連立させるという基本アプローチは同じです。
  • 斜面上の連結物体: 一方の物体が斜面上を運動する問題。力を斜面方向と垂直方向に分解する必要があるだけで、運動方程式と束縛条件で解く流れは変わりません。
  • 摩擦力がはたらく連結物体: 接触面に摩擦力がはたらく場合。運動方程式に摩擦力の項が加わります。静止しているか、動いているかで摩擦力の扱いが変わる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の状態を把握する: まず、各物体が「静止」しているのか、「等速直線運動」しているのか、「等加速度運動」しているのかを問題文から正確に読み取ります。これにより、立てるべき式が「力のつりあい」なのか「運動方程式」なのかが決まります。
  2. 加速度の向きと関係性を仮定する: どの物体がどちらの向きに、どのような加速度で動くかを仮定します（本問ではAが右、Bが下）。糸で繋がれている場合、加速度の大きさは等しいと設定します。
  3. 作用・反作用のペアを意識する: CがAから受ける垂直抗力、CがBから受ける接触力（本問では無視）、Cが滑車を介して糸から受ける力など、物体間で及ぼしあう力は作用・反作用の関係にあります。特に、台を含む複数物体系では、これらの力を正確に考慮することが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動方程式の力の数え間違い:
  • 誤解: ある物体にはたらく力を描き忘れたり（例：台Cにはたらく滑車からの張力）、逆に関係ない力を描き込んだりする。
  • 対策: フリーボディダイアグラム（各物体にはたらく力を図示する）を必ず描く習慣をつける。その物体に「接触しているもの」と「遠隔ではたらく力（重力）」をリストアップすることで、力の描き漏れを防ぎます。
• 内力と外力の混同:
  • 誤解: AとBを一体の系として考える際に、内力である張力\(T\)を式の右辺に含めてしまう。
  • 対策: 「系」の運動方程式を立てるとき、右辺の\(F\)は「外力」の合力であることを徹底する。AとBを一体とみなした場合、外力はAの重力（垂直抗力と相殺）、Bの重力、AとCの垂直抗力などになります。水平方向の運動に寄与する外力はBの重力\(m_B g\)のみです。
• 問題文の条件の解釈ミス:
  • 誤解: [C]の「A, B, Cは同じ加速度で等加速度運動をする」という記述を、A, B, Cが完全に一体化して動くと解釈してしまう。
  • 対策: 物理的にあり得る状況を考える。AとCは水平に、Bは鉛直にしか動けないため、3つの物体の「加速度ベクトル」が同じになることはありえません。この場合、「AとCの水平方向の加速度が等しい」と解釈するのが妥当です。さらに模範解答では、これを「AのCに対する相対加速度が0」と解釈し、「Bは等速運動する」という結論を導いています。このように、一見矛盾しているように見える記述の背後にある物理的な意味を深く考察する能力が求められます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • フリーボディダイアグラムの分離: 物体A, B, Cをそれぞれ完全に分離した図を描き、各々にはたらく力を矢印で記入する。特に、Cにはたらく力は多岐にわたる（自重、床からの垂直抗力、Aからの垂直抗力、Bとの接触力、滑車を介した張力）ため、丁寧に図示することが重要です。
  • 加速度の矢印: 各物体に、仮定した加速度の向きを示す矢印（例：\(a\rightarrow\)）を書き加える。これにより、運動方程式を立てる際の正負の判断がしやすくなります。
  • 力の伝達の可視化: Bの重力 \(m_B g\) が、糸の張力 \(T\) を生み出し、その張力\(T\)がAを水平に動かす力となり、同時に滑車を介してCを水平に引く力にもなる、という力の伝達の流れを意識する。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 滑車の役割: 滑車は力の「向きを変える」装置です。滑車が台Cに固定されているため、糸の張力はCにも力を及ぼすことを見落とさないように注意が必要です。
  • 作用・反作用のペア: AがCを押す力とCがAを押す力、糸がAを引く力とAが糸を引く力など、作用・反作用のペアを意識すると、力の全体像が把握しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: [A]の静止状態、および[B]で静止している物体Cの力の関係を記述するため。
  • 適用根拠: 加速度がゼロであるという物理的状況。
• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: [B]で運動している物体A, B、および[C]で運動している物体Aの状態を記述するため。
  • 適用根拠: 物体に合力がはたらき、ゼロでない加速度が生じている物理的状況。
• 連立方程式:
  • 選定理由: 未知数（加速度\(a\)、張力\(T\)など）が複数あり、一つの式だけでは解けないため。
  • 適用根拠: 各物体についての運動方程式や束縛条件は、すべて同時に成り立つ必要があるため、それらを連立させて解くことで、すべての未知数を決定できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. [A] 全て静止:
   • Step 1: Bの力のつりあいから \(T=m_B g\)。
   • Step 2: Aの水平方向の力のつりあいから \(F_A = T\)。よって \(F_A = m_B g\)。
   • Step 3: Cの水平方向の力のつりあいから \(F_C = T\)。よって \(F_C = m_B g\)。
2. [B] A,Bが運動、Cは静止:
   • Step 1: AとBの運動方程式を立てる。\(m_A a = T\) と \(m_B a = m_B g – T\)。
   • Step 2: 2式を連立させて \(a\) と \(T\) を求める。（辺々足して\(a\)を求め、代入して\(T\)を求める）
   • Step 3: Cの水平方向の力のつりあいの式 \(F_C = T\) から、Cを押す力を求める。
   • Step 4: Cの鉛直方向の力のつりあいの式 \(N_C = Mg + N_A (+ T)\) から、床からの垂直抗力を求める。（\(N_A=m_A g\)）
3. [C] 全てが同じ加速度:
   • Step 1: 問題文の意図を解釈する。「AとCの水平加速度が等しい」\(\rightarrow\)「Bは鉛直方向に等速運動する」。
   • Step 2: Bが等速運動なので、Bの力のつりあいの式 \(T=m_B g\) が成り立つ。
   • Step 3: Aは水平方向に加速度\(a’\)で運動するので、運動方程式 \(m_A a’ = T\) を立てる。
   • Step 4: 2式を組み合わせて、加速度 \(a’\) を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の添え字の確認:
  • 特に注意すべき点: \(m_A\) と \(m_B\) を混同しないように注意する。特に、連立方程式を解く際や、最終的な答えを記述する際に間違いやすい。
  • 日頃の練習: 式を立てる際に、どの物体の質量なのかを意識しながら書く。計算結果が出たら、例えば「加速度はBの質量に比例し、全体の質量に反比例する」といった物理的な意味を確認し、文字が入れ替わっていないかチェックする。
• 連立方程式の加減法:
  • 特に注意すべき点: [B]で運動方程式を連立させる際、2式を足し合わせると内力である張力\(T\)がうまく消去できる。このテクニックは連結物体の問題で頻繁に用いられる。
  • 日頃の練習: 様々な連結物体の問題を解き、加減法で内力を消去する計算パターンに慣れておく。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (5) 加速度a: \(a = \frac{m_B}{m_A + m_B}g\)。この式は、\(a<g\) であることを示している。これは、物体BがAを引っ張りながら落下するため、自由落下よりは加速度が小さくなるという直感と一致する。
  • (6) 張力T: \(T = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}g\)。この式は、\(T < m_B g\) であることを示している（\(m_A/(m_A+m_B) < 1\) なので）。Bは下に加速しているので、重力\(m_B g\)が張力\(T\)より大きい必要があり、結果は妥当。また、\(T>0\)でもあり、糸がたるんでいないことも示している。
• 極端な場合を考える:
  • もし\(m_A=0\)なら: 加速度は \(a = \frac{m_B}{m_B}g = g\)、張力は \(T=0\)。これは、Bが単に自由落下し、A（質量0）は力を受けずに静止したまま（張力0なので）という状況に対応し、正しい。
  • もし\(m_B=0\)なら: 加速度は \(a=0\)、張力は \(T=0\)。力がかからないので何も運動しない。これも正しい。
  • これらの極端なケースで結果が直感と一致することを確認することで、式の信頼性を高めることができる。

問題22 (九州工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、滑車を組み合わせた複雑な系における物体の運動を扱います。動滑車Pの存在により、物体AとBの運動が単純な連結運動ではない点がポイントです。状況に応じて、静止した観測者から見るか、運動する観測者（滑車P）から見るか、視点を使い分けることが重要になります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動滑車を含む連結物体の運動」と「相対運動」です。

1. 運動方程式: 各物体にはたらく力を特定し、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
2. 力のつりあい: 静止している物体や、質量が無視できる滑車にはたらく力の関係を記述します。
3. 相対加速度: 静止した観測者から見た加速度と、動く滑車から見た加速度の関係を正しく理解することが、特に[B]の状況を解く鍵となります。
4. 等加速度運動の公式: 加速度が一定の運動では、時間・距離・速度の関係を表す公式が使えます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. [A]では、まず運動しているAとBについて運動方程式を立て、糸1の張力\(T\)を求めます。次に、静止しているCと滑車Pの力のつりあいを考え、Cの質量を求めます。
2. [B]では、まず滑車Pにはたらく力の関係から、糸1の張力\(f\)を求めます。次に、AとBの運動を考えますが、床から見た加速度と滑車Pから見た加速度が異なるため、運動方程式と加速度の関係式を連立させて解く必要があります。

問(1)

思考の道筋とポイント
[A]では、物体Cと滑車Pは静止していますが、物体AとBは滑車Pを介して運動しています。

1. まず、AとBの運動に着目します。これらは質量が異なるため、加速度運動をします。AとBそれぞれについて運動方程式を立て、糸1の張力\(T\)を求めます。
2. 次に、滑車Pに着目します。滑車Pは静止しており、質量が無視できるので、滑車Pにはたらく力はつりあっています。このつりあいから、糸2の張力\(T’\)を求めます。
3. 最後に、物体Cに着目します。Cも静止しているので、Cにはたらく力（重力と糸2の張力\(T’\)）はつりあっています。この式からCの質量を求めます。

この設問における重要なポイント

• 運動する部分（A, B）と静止する部分（P, C）を分けて考える。
• 質量が無視できる滑車にはたらく力は、常につりあっていると考える。

具体的な解説と立式

• 物体AとBの運動:
  Aは上向き、Bは下向きに同じ大きさの加速度\(a\)で運動します。糸1の張力を\(T\)とします。
  Aの運動方程式（上向き正）: \(ma = T – mg \quad \cdots ①\)
  Bの運動方程式（下向き正）: \(5ma = 5mg – T \quad \cdots ②\)
• 滑車Pの力のつりあい:
  滑車Pは静止しており、質量は0です。上向きに糸2の張力\(T’\)、下向きに糸1の張力\(T\)が2本分はたらいているので、力のつりあいは、
  $$T’ = 2T \quad \cdots ③$$
• 物体Cの力のつりあい:
  物体C（質量を\(M_C\)とする）は静止しています。上向きに糸2の張力\(T’\)、下向きに重力\(M_C g\)がはたらいているので、
  $$T’ = M_C g \quad \cdots ④$$

まず、式①と②を連立させて\(T\)を求めます。①＋②より、
$$6ma = 4mg \quad \rightarrow \quad a = \frac{2}{3}g$$
これを①に代入して\(T\)を求めます。
$$m\left(\frac{2}{3}g\right) = T – mg \quad \rightarrow \quad T = \frac{2}{3}mg + mg = \frac{5}{3}mg$$
次に、この\(T\)を式③に代入して\(T’\)を求めます。
$$T’ = 2T = 2 \times \frac{5}{3}mg = \frac{10}{3}mg$$
最後に、この\(T’\)を式④に代入して\(M_C\)を求めます。
$$\frac{10}{3}mg = M_C g$$
$$M_C = \frac{10}{3}m$$

まず、動いているAとBの関係から、糸1の張力\(T\)を計算します。次に、滑車Pが静止しているので、上の糸2が下の糸1の2本分の力で引っ張っていることがわかります。これで糸2の張力\(T’\)がわかります。最後に、物体Cが静止しているので、Cの重さと糸2の張力\(T’\)が釣り合っていることから、Cの質量を求めます。

物体Cの質量は \(\frac{10}{3}m\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
[B]では、Cの代わりに力\(F\)で糸2を引きます。このとき、滑車Pは質量が0なので、滑車Pについての運動方程式（力のつりあいの式と考える）を立てることで、糸1の張力を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 質量0の滑車にはたらく力の合力は常に0である（運動していても）。
• 滑車Pには、下向きに力\(F\)、上向きに糸1の張力\(f\)が2本分はたらいている。

具体的な解説と立式
糸1の張力の大きさを\(f\)とします。
滑車Pには、下向きに大きさ\(F\)の力が加えられ、上向きに2本の糸1が接続されているので、上向きに合計\(2f\)の力がはたらきます。
滑車Pの質量は0なので、運動方程式は \(0 \times a_P = 2f – F\) となります。（ここで \(a_P\) は滑車Pの加速度）
この式が成り立つためには、力の合力が常に0でなければなりません。
$$2f – F = 0$$

つりあいの式 \(2f = F\) を \(f\) について解きます。
$$f = \frac{F}{2}$$

滑車P自体は質量がゼロなので、どんなに加速していても、滑車にかかる力の合計は常にゼロでなければなりません。滑車Pは、上の糸2本（張力\(f\)が2つ）で上に引かれ、下の糸（力\(F\)）で下に引かれています。したがって、上向きの力\(2f\)と下向きの力\(F\)は等しくなります。

糸1の張力の大きさは \(\frac{F}{2}\) です。これは、加えた力\(F\)が2本の糸に均等に分配されることを意味しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
床に静止した観測者から見た物体Aの速さを求める問題です。A, B, Pがそれぞれ異なる加速度で運動するため、運動方程式を連立させて解く必要があります。

1. 滑車Pから見たA, Bの相対的な運動の加速度 \(a’\) を求める。
2. AとBの高さの差が \(d\) になるまでの時間 \(t\) を、相対運動の公式から求める。
3. 床から見たAの加速度 \(a_A\) を求める。
4. 床から見たAの速さ \(v_A\) を、\(v_A = a_A t\) で計算する。

この設問における重要なポイント

• 「床から見た運動（絶対運動）」と「滑車Pから見た運動（相対運動）」を区別して考える。
• 床から見た加速度の関係式: \(a_A = a_P + a’\), \(a_B = a_P – a’\) （鉛直上向きを正とする）。
• 各物体について、床から見た運動方程式を立て、これらの関係式と連立させて解く。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。

• 床から見たA, B, Pの加速度をそれぞれ \(a_A, a_B, a_P\)
• 滑車Pから見たAの加速度を \(a’\)（Bの加速度は \(-a’\)）
• 糸1の張力を \(f = F/2\)

加速度の関係式と、床から見た運動方程式は以下の通りです。
$$a_A = a_P + a’ \quad \cdots ⑥$$
$$a_B = a_P – a’ \quad \cdots ⑦$$
$$m a_A = f – mg \quad \cdots ⑧$$
$$5m a_B = f – 5mg \quad \cdots ⑨$$

1. 相対加速度 \(a’\) と滑車Pの加速度 \(a_P\) を求める

式⑧, ⑨に⑥, ⑦を代入します。
$$m(a_P + a’) = f – mg \quad \cdots (A)$$
$$5m(a_P – a’) = f – 5mg \quad \cdots (B)$$
この連立方程式を解きます。(B)式を5で割り、
$$m(a_P – a’) = \frac{f}{5} – mg \quad \cdots (B’)$$
(A)式から(B’)式を引くと \(a_P\) が消え、\(2ma’ = (f-mg) – (\frac{f}{5}-mg) = \frac{4f}{5}\)。
$$a’ = \frac{2f}{5m} = \frac{2(F/2)}{5m} = \frac{F}{5m}$$
(A)式と(B’)式を足すと \(a’\) が消え、\(2ma_P = (f-mg) + (\frac{f}{5}-mg) = \frac{6f}{5} – 2mg\)。
$$a_P = \frac{3f}{5m} – g = \frac{3(F/2)}{5m} – g = \frac{3F}{10m} – g$$

2. 時間 \(t\) を求める

高さの差が \(d\) になるのは、Pから見てAが \(d/2\) 上昇し、Bが \(d/2\) 下降したときです。
$$\frac{d}{2} = \frac{1}{2}a’t^2 \quad \rightarrow \quad t^2 = \frac{d}{a’} = \frac{d}{F/5m} = \frac{5md}{F}$$
$$t = \sqrt{\frac{5md}{F}}$$

3. 物体Aの速さ \(v_A\) を求める

床から見たAの加速度 \(a_A\) は、
$$a_A = a_P + a’ = \left(\frac{3F}{10m} – g\right) + \frac{F}{5m} = \frac{5F}{10m} – g = \frac{F}{2m} – g$$
床から見たAの運動は初速度0の等加速度運動なので、時間 \(t\) 後の速さ \(v_A\) は、
$$v_A = a_A t = \left(\frac{F}{2m} – g\right) \sqrt{\frac{5md}{F}}$$

物体Aの速さは \(\left(\frac{F}{2m} – g\right) \sqrt{\frac{5md}{F}}\) です。この問題は複数の物体の加速度の関係を正確に捉える必要があり、非常に難易度が高いです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と相対加速度:
  • 核心: この問題は、動滑車を含む複雑な連結物体の運動を扱います。核心となるのは、静止した床から見た「絶対運動」と、動く滑車Pから見た「相対運動」の関係を正しく理解し、それぞれの物体について運動方程式を立て、連立させて解くことです。
  • 理解のポイント:
    1. 加速度の関係（束縛条件）: 床から見た物体A, Bの加速度をそれぞれ\(a_A, a_B\)、滑車Pの加速度を\(a_P\)とすると、糸の長さが一定であることから、\(a_P = (a_A + a_B)/2\) という関係が成り立ちます（向きを考慮）。あるいは、滑車Pから見たA, Bの相対加速度の大きさが等しく、向きが逆になる、という関係を使います。これが最も重要な束縛条件です。
    2. 運動方程式の立式: 物体A, B, そして質量が無視できる滑車Pのそれぞれについて、力を図示し、運動方程式（または力のつりあいの式）を立てます。
    3. 連立方程式の求解: 上記の束縛条件の式と、各物体の運動方程式を組み合わせることで、未知の加速度や張力を求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • アトウッドの器械（動滑車版）: 本問そのものが、アトウッドの器械を発展させた典型的な問題設定です。
  • 斜面と動滑車を組み合わせた問題: 物体の一方が斜面上にある場合。力を斜面方向と垂直方向に分解する手間が加わりますが、加速度の関係式と運動方程式を連立させるという本質的な解法は同じです。
  • 複数の動滑車を含む問題: 動滑車が2つ以上になると、加速度の束縛条件がさらに複雑になりますが、糸の長さが一定であるという原理に立ち返って関係式を導出する点は共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 加速度の基準を明確にする: 「床から見た加速度」なのか、「動く滑車から見た加速度」なのかを、常に意識して区別します。記号も \(a_A\) と \(a’\) のように明確に使い分けることが重要です。
  2. 加速度の束縛条件を最初に立てる: 複雑な連結物体の問題では、まず糸の長さの不変性から、各物体の加速度間の関係式（束縛条件）を導出することが、解法の見通しを良くする鍵となります。
  3. エネルギー保存則の利用: 問(3)のように速さを問う問題では、仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）が有効な別解となる場合があります。各物体の移動距離と速さの関係を正しく把握できれば、加速度を介さずに速さを直接求めることができます。ただし、この問題では移動距離の関係も複雑なため、運動方程式を解く方が確実かもしれません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度の関係式の誤り:
  • 誤解: 動滑車があるにもかかわらず、物体AとBの加速度の大きさが等しい（\(a_A = a_B\)）としてしまう。
  • 対策: 床から見ると、滑車Pが動く分だけ、AとBの加速度は単純なものではなくなります。「滑車Pの加速度は、AとBの加速度の平均である（\(a_P = (a_A+a_B)/2\)）」という関係、または「Pから見たAとBの相対加速度の大きさは等しい」という関係を正しく用いることが不可欠です。
• 質量0の滑車の扱い:
  • 誤解: 運動している滑車Pに運動方程式を立てようとして混乱する。
  • 対策: 質量が0の物体では、運動方程式は \(0 \times a = F_{合力}\) となります。加速度\(a\)が有限の値を持つためには、合力は常に0でなければなりません。つまり、質量が無視できる滑車にはたらく力は、静止していても加速していても、常につりあっていると考えることができます。
• 相対運動の速度の合成:
  • 誤解: 床から見たAの速さを、滑車Pから見たAの速さと同じだと考えてしまう。
  • 対策: 速さはベクトルの和で合成されます。「床から見たAの速さ」=「床から見たPの速さ」+「Pから見たAの速さ」という関係を正しく理解する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 加速度のベクトル図: 各物体に、床から見た加速度（\(a_A, a_B, a_P\)）と、滑車Pから見た相対加速度（\(a’\)）を、異なる種類の矢印で描き分ける。これにより、どの加速度について考えているのかが明確になります。
  • 糸の動きを追う: 滑車Pが \(\Delta y_P\) 上昇したとき、AとBを繋ぐ糸は \(2\Delta y_P\) だけ余裕ができます。この余裕分が、Aの上昇とBの下降に使われる、と考えることで、変位や速度、加速度の関係式を直感的に導くことができます。
  • フリーボディダイアグラム: 物体A, B, 滑車Pをそれぞれ分離し、はたらく力をすべて図示する。特に、滑車Pにはたらく3つの張力（糸2からと、糸1の2本分）の関係を正しく描くことが重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の設定: 鉛直上向きを正とするのか、各物体の運動の向きを正とするのか、最初に明確に定義し、一貫して使用する。
  • 張力の区別: 糸1の張力と糸2にはたらく力は異なるため、\(T\)と\(T’\)（あるいは\(f\)と\(F\)）のように、異なる記号で区別する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: すべての物体が加速度運動をしているため、その原因である力との関係を記述する基本法則として必須です。
  • 適用根拠: 各物体にはたらく合力がゼロではなく、加速度が生じている物理的状況。
• 加速度の束縛条件 (\(a_A = a_P + a’\)など):
  • 選定理由: 未知数（各物体の加速度）の数が運動方程式の数より多いため、未知数を減らし、連立方程式を解くために必要となる追加の条件式です。
  • 適用根拠: 「糸が伸び縮みしない」という物理的な制約から、各物体の変位、速度、加速度が独立ではなく、互いに関連付けられているという事実。
• 等加速度運動の公式 (\(v^2=2ax\), \(x=(1/2)at^2\)):
  • 選定理由: 加速度が一定であることが運動方程式からわかった後、特定の距離を動いたときの速さや、かかる時間を計算するため。
  • 適用根拠: 運動方程式を解くことで、各物体の加速度（絶対加速度も相対加速度も）が一定値になることが確認できるため。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. [A] Cが静止する条件:
   • Step 1: AとBの運動方程式を立て、連立させて糸1の張力\(T\)を求める。
   • Step 2: 質量0の滑車Pの力のつりあい (\(T’=2T\)) から、糸2の張力\(T’\)を求める。
   • Step 3: 静止しているCの力のつりあい (\(T’=M_C g\)) から、質量\(M_C\)を求める。
2. [B] Pが上昇する運動:
   • (2) 糸1の張力f: 質量0の滑車Pにはたらく力の関係 (\(F=2f\)) から、\(f=F/2\) を求める。
   • (3) 物体Aの速さ:
     • Step 1: 床から見た加速度 \(a_A, a_B, a_P\) と、Pから見た相対加速度 \(a’\) の関係式を立てる。
     • Step 2: 床から見たA, Bの運動方程式を立てる。
     • Step 3: これらの式を連立させ、\(a_A\) と \(a’\) を \(F, m\) などで表す。
     • Step 4: Pから見て距離\(d/2\)を動く時間\(t\)を、\(d/2 = (1/2)a’t^2\) から求める。
     • Step 5: 床から見たAの速さ\(v_A\)を、\(v_A = a_A t\) で計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の系統的な処理:
  • 特に注意すべき点: 問(3)のように未知数と方程式が多い場合、やみくもに代入すると混乱します。「まず\(a’\)を求める」「次に\(a_P\)を求める」「最後に\(a_A\)を求める」のように、計算のターゲットを一つずつ定めて、系統的に処理していくことが重要です。
  • 日頃の練習: 複数の文字を含む複雑な連立方程式を、計算用紙に順序立てて解く練習をする。
• 物理量の区別:
  • 特に注意すべき点: 絶対加速度と相対加速度、糸1の張力と糸2にはたらく力など、似て非なる物理量を、記号や添え字を使って明確に区別する。
  • 日頃の練習: 問題を解く前に、登場する物理量をリストアップし、それぞれに用いる記号を定義する癖をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) Cの質量: \(M_C = 10m/3 \approx 3.33m\)。AとBの運動を支えるために必要な力は \(T’=10mg/3\)。これを支えるCの質量がこの値になるのは妥当です。
  • (3) Aの速さ: \(v_A\) の式は複雑ですが、\(F\)が大きくなるほど速くなる、\(d\)が大きいほど速くなる、という直感的な傾向と一致するかどうかなどを確認します。
• 極端な場合を考える:
  • もし\(m=5m\)だったら: AとBの質量が等しい場合、[A]ではAとBは動かないので \(a=0\)。よって \(T=mg\)。滑車Pにはたらく力は \(T’=2mg\)。Cの質量は \(M_C=2m\)。[B]では、\(a’=0\) となり、Pから見るとA,Bは動きません。しかし、P自体は上昇するので、A,Bも同じ加速度で上昇します。
  • もし\(F=0\)だったら: [B]で下に引く力がなければ、AとBは[A]と同じように \(a=2g/3\) の加速度で相対運動を始め、滑車Pは自由落下します。全体の運動は非常に複雑になります。

  これらの考察は、式の構造が物理現象を正しく反映しているかを確認する良い訓練になります。

問題23 (拓殖大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねに吊るされた物体の運動を、2つの異なる状況で考察するものです。前半(1)は、物体を板で支えながら「ゆっくり」と下ろしていく準静的な過程、後半(2)は、板を「急に」取り去った後の単振動を扱います。力学的エネルギー保存則や単振動の性質を正しく理解しているかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばね振り子の力学」と「力学的エネルギー保存則」です。

1. 力のつりあい: 「ゆっくり」動かす過程では、物体は常に力のつりあい状態にあるとみなせます。
2. 仕事: 力が物体にした仕事は、(力) \(\times\) (移動距離) で計算されます。力が変化する場合は、グラフの面積を考えます。
3. 力学的エネルギー保存則: 保存力（重力、弾性力）のみが仕事をする場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれます。
4. 単振動: 物体が復元力 \(F=-Kx\) を受けて行う往復運動。つりあいの位置が振動の中心となり、速さは振動中心で最大、両端でゼロになります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1)では、物体にはたらく力のつりあいの式を立て、板が及ぼす力（垂直抗力）とばねの伸びの関係を導き、グラフ化します。板が離れる条件（垂直抗力=0）から、そのときの伸びを求めます。仕事はグラフの面積から計算します。
2. (2)では、板を急に取り去るため、力学的エネルギーが保存されると考えます。初期状態（伸び0）と、速さが0になる点（最下点）、速さが最大になる点（つりあい点）の3つの状態でエネルギー保存則を適用し、各値を求めます。

ア, イ, ウ (1) ゆっくり下ろす場合

思考の道筋とポイント
「ゆっくり」と下ろすので、各瞬間で物体にはたらく力はつりあっています。物体にはたらく力は、「重力 \(mg\)」「ばねの弾性力 \(kx\)」「板からの垂直抗力 \(N\)」の3つです。この力のつりあいの式から、垂直抗力\(N\)をばねの伸び\(x\)の関数として表し、グラフを描きます。
この設問における重要なポイント

• 「ゆっくり」 \(\rightarrow\) 力のつりあい。
• 「板が離れる」 \(\rightarrow\) 垂直抗力 \(N=0\)。
• 「板がした仕事」 \(\rightarrow\) 垂直抗力がした仕事。力が変化するのでグラフの面積から求める。

具体的な解説と立式

• ア: グラフ鉛直下向きを正とします。ばねの伸びが \(x\) のとき、物体にはたらく力は、
  • 重力: \(mg\)（下向き）
  • ばねの弾性力: \(kx\)（上向き）
  • 板からの垂直抗力: \(N\)（上向き）

  力のつりあいの式は、
  $$mg = kx + N$$
  板が物体に及ぼす力は垂直抗力\(N\)なので、これを\(y\)軸、ばねの伸び\(x\)を\(x\)軸として整理すると、
  $$N = mg – kx$$
  これは、\(y\)切片が \(mg\)、傾きが \(-k\) の一次関数のグラフです。

• イ: 板が離れるときの伸び板が物体から離れるのは、垂直抗力 \(N\) が0になるときです。このときの伸びを \(x_0\) とすると、
  $$0 = mg – kx_0$$
• ウ: 板がした仕事板が物体にした仕事 \(W_N\) は、垂直抗力 \(N\) がした仕事です。垂直抗力は上向き、物体の変位は下向きなので、仕事は負になります。仕事の大きさは、N-xグラフとx軸で囲まれた三角形の面積に等しくなります。
  $$W_N = – (\text{三角形の面積}) = – \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})$$

• イ: \(kx_0 = mg\) より、
  $$x_0 = \frac{mg}{k}$$
• ウ: グラフの底辺は \(x_0 = mg/k\)、高さは \(mg\) なので、
  $$W_N = – \frac{1}{2} \times \left(\frac{mg}{k}\right) \times (mg) = -\frac{(mg)^2}{2k}$$

ア: 最初、ばねは伸びていないので、板は物体の全重量\(mg\)を支えています。板を下げていくと、ばねが伸びて支えるのを手伝ってくれるので、板が支える力はだんだん減っていきます。この関係は直線的なグラフになります。

イ: ばねの力だけで物体の重さを支えられるようになったら、板は不要になります。そのときのばねの伸びを計算します。

ウ: 板が物体にした仕事は、板が物体を押し続けた力と距離から計算しますが、力が一定ではないので、グラフの面積で求めます。ただし、力の向きと動く向きが逆なので、仕事はマイナスになります。

アのグラフはy切片\(mg\)、x切片\(mg/k\)の右下がりの直線。イの伸びは \(mg/k\)。ウの仕事は \(-\frac{(mg)^2}{2k}\)。

エ, オ, カ, キ (2) 急に取り去る場合

思考の道筋とポイント
板を「急に」取り去ると、物体は非保存力である垂直抗力から解放され、保存力（重力と弾性力）のみが仕事をする状況になります。したがって、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
初期状態（伸び\(x=0\), 速さ\(v=0\)）を基準に、各状態でのエネルギー保存則を考えます。
この設問における重要なポイント

• 「急に取り去る」 \(\rightarrow\) 力学的エネルギー保存則が適用できる。
• 位置エネルギーの基準点を決める（ここでは初期位置を重力位置エネルギーの基準、ばね自然長を弾性エネルギーの基準とする）。
• 「速さが0」 \(\rightarrow\) 運動エネルギーが0。運動の端点（最高点、最下点）。
• 「速さが最大」 \(\rightarrow\) 力のつりあい点（単振動の中心）。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則: \(\frac{1}{2}mv^2 + (-mgx) + \frac{1}{2}kx^2 = \text{一定}\)

（下向きを正とし、初期位置を重力による位置エネルギーの基準とする）

初期状態(\(x=0, v=0\))では、力学的エネルギーは \(0+0+0=0\)。よって、運動中の任意の点で、
$$\frac{1}{2}mv^2 – mgx + \frac{1}{2}kx^2 = 0 \quad \cdots (*)$$

• エ: 伸びが最大になるときの伸び伸びが最大になる点（最下点）では、速さが0になります。このときの伸びを \(x_m\) とすると、\(v=0\) なので、エネルギー保存則(*)は、
  $$-mgx_m + \frac{1}{2}kx_m^2 = 0$$
• オ: 速さが最大になるときの伸び速さが最大になるのは、加速度が0、すなわち力がつりあう位置です。この位置は(1)の「イ」で求めた \(x_0 = mg/k\) と同じです。
  $$(\text{伸び オ}) = x_0 = \frac{mg}{k}$$
• カ: 速さの最大値伸びが \(x_0 = mg/k\) のときの速さを \(v_{max}\) とします。エネルギー保存則(*)に \(x=x_0\) を代入します。
  $$\frac{1}{2}mv_{max}^2 – mgx_0 + \frac{1}{2}kx_0^2 = 0$$
• キ: 運動エネルギーのグラフエネルギー保存則(*)を、運動エネルギー \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) について解きます。
  $$E_k = mgx – \frac{1}{2}kx^2$$
  これは、\(x\) に関する上に凸の2次関数のグラフです。

• エ: \(-mgx_m + \frac{1}{2}kx_m^2 = 0\) を解きます。\(x_m \neq 0\) なので両辺を \(x_m\) で割ると、
  $$-mg + \frac{1}{2}kx_m = 0 \quad \rightarrow \quad x_m = \frac{2mg}{k}$$
• カ: \(\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgx_0 – \frac{1}{2}kx_0^2\) に \(x_0=mg/k\) を代入します。
  $$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mg\left(\frac{mg}{k}\right) – \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{(mg)^2}{k} – \frac{1}{2}\frac{(mg)^2}{k} = \frac{(mg)^2}{2k}$$
  $$v_{max}^2 = \frac{(mg)^2}{mk} \quad \rightarrow \quad v_{max} = \sqrt{\frac{(mg)^2}{mk}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$$
• キ: \(E_k = -\frac{k}{2}x^2 + mgx\)。これは \(x=mg/k\) で最大値 \(\frac{(mg)^2}{2k}\) をとる、\(x=0\) と \(x=2mg/k\) で \(E_k=0\) となる、上に凸の放物線です。

エ: 板を急に取り去ると、物体は「びよーん」と一番下まで伸びます。この一番下では一瞬止まります。エネルギー保存の考え方を使って、一番伸びたときの伸びを計算します。

オ: 物体が一番速くなるのは、ばねの力と重力がちょうど釣り合う場所です。これは(1)で板が離れた場所と同じです。

カ: 釣り合いの場所での速さを、エネルギー保存の考え方を使って計算します。

キ: 運動エネルギーは、伸び\(x\)の2次関数になります。一番速い場所（つりあい点）でエネルギーが最大になり、両端（スタート地点と最下点）で0になるような、山なりのグラフを描きます。

エ: \(2mg/k\)。これはつりあい点(\(mg/k\))の2倍の位置で、単振動の振幅がつりあい点までの距離と等しいことを示しています。

オ: \(mg/k\)。

カ: \(g\sqrt{m/k}\)。

キ: \(x=mg/k\)を軸とする、上に凸の放物線。

エ, オ, カ (2) 急に取り去る場合 (別解：単振動の性質を利用)

思考の道筋とポイント
板を急に取り去った後の物体の運動は、ばねの弾性力と重力という2つの力を受けての運動です。このような運動は、力のつりあいの点を中心とした「単振動」になることが知られています。この単振動の性質を利用して、各値を求めます。
この設問における重要なポイント

• ばねと重力による運動は、力のつりあいの点を中心とした単振動である。
• 運動方程式を立てて、復元力の形 \(F = -K(\text{変位})\) を見つけ出す。
• 単振動の中心、振幅、角振動数を特定する。
• 単振動の公式（\(v_{max} = A\omega\) など）を適用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とし、ばねの自然長の位置を原点 \(x=0\) とします。
物体が位置 \(x\) にあるとき、運動方程式 \(ma = F_{合力}\) は、
$$ma = mg – kx$$
この運動のつりあいの位置を \(x_0 = mg/k\) とすると、この式はつりあいの位置からの変位 \(X = x – x_0\) を使って、
$$ma = -kX$$
と書き換えられます。これは、つりあいの位置 \(x_0\) を中心とした単振動であることを示しています。

• 単振動の中心: \(x_0 = mg/k\)
• 角振動数 \(\omega\): \(m\omega^2 = k\) より、\(\omega = \sqrt{k/m}\)
• 振幅 \(A\): 運動は \(x=0\) の位置から初速度0で始まる。振動の中心は \(x_0 = mg/k\) なので、振幅 \(A\) は中心からスタート地点までの距離に等しい。
  $$A = x_0 – 0 = \frac{mg}{k}$$

この単振動の性質を使って、各値を求めます。

• エ: 伸びが最大になるときの伸び伸びが最大になる点（最下点）は、振動の中心から振幅だけ下の位置です。
  $$x_m = (\text{中心}) + (\text{振幅}) = x_0 + A$$
• オ: 速さが最大になるときの伸び単振動において、速さが最大になるのは振動の中心です。
  $$(\text{伸び オ}) = (\text{中心}) = x_0$$
• カ: 速さの最大値速さの最大値 \(v_{max}\) は、振動の中心で記録されます。単振動の公式 \(v_{max} = A\omega\) を使います。
  $$v_{max} = A \omega$$

• エ:
  $$x_m = x_0 + A = \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k} = \frac{2mg}{k}$$
• オ:
  $$(\text{伸び オ}) = x_0 = \frac{mg}{k}$$
• カ:
  $$v_{max} = A \omega = \left(\frac{mg}{k}\right) \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{mg}{k}\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$$

この運動は、ばねの力と重力が釣り合う点を中心とした「単振動」です。

エ: 振動の一番下（最下点）は、振動の中心から「振幅」だけ下の位置です。振幅は、スタート地点から中心までの距離なので、中心の2倍の位置が最下点になります。

オ: 単振動で一番速いのは、振動の中心です。

カ: 一番速いときの速さは、「振幅 \(\times\) 角振動数」という公式で計算できます。

エ: \(2mg/k\)、オ: \(mg/k\)、カ: \(g\sqrt{m/k}\)。
これらの結果は、力学的エネルギー保存則を用いた解法と完全に一致します。単振動の性質を理解していると、エネルギー計算を行わずに、より迅速に解を導くことができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則と単振動の性質:
  • 核心: この問題は、ばね振り子の運動を「準静的な過程」と「力学的エネルギーが保存される過程」の2つの側面から分析するものです。核心となる物理法則は、状況に応じた適切な法則の選択です。
    1. ゆっくり動かす場合（準静的過程）: 各瞬間で力のつりあいが成り立っているとみなします。この考え方は、垂直抗力や仕事量を求める際に使われます。
    2. 急に力を取り去る場合: 外力（板からの垂直抗力）の仕事がなくなり、保存力（重力と弾性力）のみが仕事をする系になります。このため、「力学的エネルギー保存則」が成り立ちます。
  • 理解のポイント: この2つの過程の違いを理解することが最も重要です。(1)では力のつりあいを、(2)ではエネルギー保存則（または単振動の性質）を適用するという、問題文のキーワード（「ゆっくり」「急に」）から適切な解法を選択する能力が問われています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平ばね振り子: 水平な台の上で、ばねに繋がれた物体を押し縮めてから手を放す問題。重力による位置エネルギーを考慮しなくてよいため、より単純な形でエネルギー保存則や単振動の性質を適用できます。
  • 斜面上のばね振り子: 斜面上に置かれた物体をばねで引き上げる、または押し下げる問題。重力の成分を考慮に入れる必要がありますが、つりあいの点を中心に単振動するという本質は同じです。
  • 浮力とばね: 水中に吊るされた物体をばねで支える問題。重力に加えて浮力も保存力として扱える（あるいは浮力による位置エネルギーを定義できる）ため、同様にエネルギー保存則で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 過程の性質を見抜く: 問題文の「ゆっくり」「静かに」といった言葉は「力のつりあい」を、「急に」「突然」といった言葉は「力学的エネルギー保存則」や「運動量保存則」を示唆する重要なキーワードです。
  2. エネルギーの基準点を設定する: エネルギー保存則を用いる際は、まず重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーの基準点をどこに置くかを明確に決めます。通常、運動の始点やばねの自然長を基準にすると計算が簡単になります。
  3. 単振動の中心と振幅を特定する: 単振動として解く場合は、まず運動方程式を立てて力のつりあい点（振動中心）を求め、次に初期位置から振動中心までの距離を振幅として特定します。この2つが分かれば、単振動の運動の大部分を記述できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号の間違い:
  • 誤解: 問(1)の(ウ)で、板がした仕事の符号を正としてしまう。
  • 対策: 仕事の符号は、力の向きと変位の向きの関係で決まります。板が及ぼす力（垂直抗力）は上向き、物体の変位は下向きなので、なす角は180°です。したがって、仕事は負になります。常に力の向きと変位の向きをセットで考える癖をつける。
• 力学的エネルギー保存則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: (1)の「ゆっくり下ろす」過程でエネルギー保存則を使おうとする。
  • 対策: 力学的エネルギーが保存されるのは、「保存力以外の力が仕事をしない」場合です。(1)では板が及ぼす垂直抗力（非保存力）が仕事をしているため、力学的エネルギーは保存されません。（エネルギーの増減）＝（非保存力のした仕事）という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式が成り立ちます。
• 単振動の中心の誤解:
  • 誤解: ばね振り子の振動の中心を、ばねの自然長の位置だと勘違いする。
  • 対策: 鉛直ばね振り子や斜面ばね振り子では、重力（の成分）が常にはたらくため、振動の中心は「ばねの弾性力と重力（成分）がつりあう位置」になります。必ず力のつりあいの式を立てて中心位置を確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • N-xグラフ: 問(1)で、垂直抗力Nとばねの伸びxの関係をグラフ化する。仕事量がグラフの面積に対応することが視覚的に理解できます。
  • エネルギーの棒グラフ: 運動の各段階（始点、つりあい点、最下点）で、「運動エネルギー」「重力位置エネルギー」「弾性エネルギー」の配分がどのように変化するかを棒グラフでイメージする。始点では全て0、つりあい点では運動エネルギーが最大、最下点では運動エネルギーが0になり、その分だけ位置エネルギー（重力と弾性）が変化している様子を捉えます。
  • 単振動の円運動モデル（参考）: 単振動は、等速円運動を真横から見た運動と同じです。このモデルを使うと、振動の中心、振幅、速度、加速度の関係を幾何学的に理解することができます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸と基準点: 鉛直下向きを正とするなど座標軸を設定し、位置エネルギーの基準点（x=0）を明確に図に描き込む。
  • 力の図示: 各瞬間の物体にはたらく力を、力の矢印の長さで表現する。例えば、つりあい点では上向きの弾性力と下向きの重力の矢印が同じ長さになり、最下点では弾性力の矢印が重力より長くなる、といった関係を図示すると理解が深まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式 (\(N+kx=mg\)):
  • 選定理由: 問(1)の「ゆっくり」という準静的な過程を記述するため。
  • 適用根拠: 物体の加速度が常にゼロとみなせるため、どの瞬間でも物体にはたらく力の合力はゼロである。
• 力学的エネルギー保存則 (\(E_k + U_g + U_s = \text{一定}\)):
  • 選定理由: 問(2)の「急に」板を取り去った後の運動を記述するため。この過程では、仕事をする力が保存力（重力、弾性力）のみとなる。
  • 適用根拠: 非保存力（空気抵抗や、この場合は板からの垂直抗力）が仕事をしないという物理的状況。
• 単振動の運動方程式 (\(ma = -K(x-x_0)\)):
  • 選定理由: 問(2)の運動を、単振動というモデルで解析するための別解として。
  • 適用根拠: 物体にはたらく合力が、つりあいの位置からの変位に比例する復元力の形をしているため。この式を立てることで、振動中心、振幅、周期などを体系的に求めることができる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1) 準静的過程:
   • Step 1 (ア): 物体にはたらく力のつりあいの式 \(N+kx=mg\) を立て、\(N\)を\(x\)の関数 \(N=mg-kx\) としてグラフ化する。
   • Step 2 (イ): 「板が離れる」条件 \(N=0\) をつりあいの式に代入し、そのときの伸び \(x_0=mg/k\) を求める。
   • Step 3 (ウ): 板がした仕事は、N-xグラフの面積にマイナスをつけたものとして計算する。\(W_N = -(\text{面積}) = -(1/2) \cdot x_0 \cdot mg\)。
2. 問(2) 単振動:
   • 解法1 (エネルギー保存):
     • Step 1: 初期状態（\(x=0, v=0\)）をエネルギーの基準（\(E=0\)）とする。
     • Step 2 (エ): 最下点（\(x=x_m, v=0\)）でエネルギー保存則を立て、\( -mgx_m + (1/2)kx_m^2 = 0 \) から \(x_m\) を求める。
     • Step 3 (オ): 速さが最大になるのは力のつりあい点 \(x_0=mg/k\) であることを利用する。
     • Step 4 (カ): つりあい点（\(x=x_0\)）でエネルギー保存則を立て、\( (1/2)mv_{max}^2 – mgx_0 + (1/2)kx_0^2 = 0 \) から \(v_{max}\) を求める。
     • Step 5 (キ): エネルギー保存則の式を \(E_k = (1/2)mv^2\) について解き、\(E_k = mgx – (1/2)kx^2\) というグラフの式を導く。
   • 解法2 (単振動の性質):
     • Step 1: 運動方程式 \(ma = mg-kx\) を立て、\(ma = -k(x-mg/k)\) と変形し、振動中心 \(x_0=mg/k\) を特定する。
     • Step 2: 初期位置 \(x=0\) から、振幅 \(A = x_0 = mg/k\) を求める。
     • Step 3 (エ): 最下点は \(x_m = x_0 + A\)。
     • Step 4 (オ): 速さが最大になるのは中心 \(x_0\)。
     • Step 5 (カ): 角振動数 \(\omega=\sqrt{k/m}\) を求め、\(v_{max}=A\omega\) から最大速度を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• エネルギーの項の符号:
  • 特に注意すべき点: 位置エネルギーの基準点をどこに置くかによって、各項の符号が変わる。例えば、重力による位置エネルギーを、基準点より下なら負（\(-mgx\)）、上なら正とするなど、一貫したルールで計算する。
  • 日頃の練習: 基準点を明確に図示し、各項のポテンシャルエネルギーが基準点に対してプラスかマイナスかを常に確認する。
• 2乗の計算:
  • 特に注意すべき点: エネルギーの式には速度や変位の2乗が多く現れる。\( (mg/k)^2 \) のような計算で、文字と係数の両方を正しく2乗する。
  • 日頃の練習: 文字式の計算練習を丁寧に行い、ケアレスミスを減らす。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (エ) 最下点の伸び: \(x_m = 2mg/k\)。これは、つりあい点 \(x_0=mg/k\) のちょうど2倍の位置です。単振動では、振動の中心を挟んで対称な運動をするため、始点(0)と最下点(\(x_m\))の中点が振動中心(\(x_0\))になります。\( (0+x_m)/2 = x_0 \) という関係が成り立っており、結果は妥当です。
  • (カ) 最大速度: \(v_{max} = g\sqrt{m/k}\)。この式は、重力が大きいほど、また、ばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、速くなることを示しており、物理的な直感と一致します。
• エネルギーの変換の確認:
  • 始点(x=0)から最下点(x=xm)までで、運動エネルギーは0→0で変化なし。この間に減少した重力位置エネルギー（\(mgx_m\)）が、すべて弾性エネルギー（\((1/2)kx_m^2\)）に変換された、という関係 \((mgx_m = (1/2)kx_m^2)\) が成り立っているかを確認する。代入すると、\(mg(2mg/k) = (1/2)k(2mg/k)^2 \rightarrow 2(mg)^2/k = 2(mg)^2/k\) となり、正しく対応していることがわかります。

問題24 (静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、加速度運動するなめらかな斜面台の上で、糸で固定された小球のつりあいを扱います。台の加速度の向きや大きさによって、小球にはたらく見かけの力が変化し、糸の張力や垂直抗力が変わる様子を考察します。観測者の立場（静止系か、台と一緒に動く加速系か）を意識することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「慣性力」と「動く斜面上の物体のつりあい」です。

1. 力のつりあい: 静止している物体、または観測者に対して静止している物体にはたらく力のベクトル和はゼロです。
2. 慣性力: 加速度 \(\vec{a}_{\text{台}}\) で運動する台の上で物体（質量\(m\)）を観測すると、物体には実際にはたらく力に加えて、見かけの力である「慣性力」 \(-m\vec{a}_{\text{台}}\) がはたらいているように見えます。慣性力を導入することで、加速系（台の上）でも力のつりあいの式を立てることができます。
3. 力の分解: 重力や慣性力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解すると、つりあいの式を立てやすくなります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1)では、静止しているので、単純に小球にはたらく力のつりあいを考えます。
2. (2)と(4)では、台と一緒に動く観測者の視点に立ち、小球にはたらく力（重力、張力、抗力）に加えて「慣性力」を描き込み、これらの力のつりあいの式を立てます。
3. (3)と(5)では、「上昇し始める」「斜面から離れる」という限界状態を物理的な条件（張力=0、抗力=0）に置き換え、(2)や(4)で立てた式に適用して限界の加速度を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
台Pが静止しているので、小球Qも静止しています。小球Qにはたらく力は「重力」「糸の張力」「斜面からの抗力」の3つです。これらの力がつりあっていることから、張力と抗力を求めます。力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解して考えると簡単です。
この設問における重要なポイント

• 静止しているので、力のつりあいを考える。
• 力を斜面に平行・垂直な方向に分解する。

具体的な解説と立式
小球Qにはたらく力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解して考えます。

• 重力 \(mg\) の成分:
  • 斜面平行（下向き）成分: \(mg\sin\theta\)
  • 斜面垂直（押し付ける向き）成分: \(mg\cos\theta\)
• 糸の張力 \(T\): 斜面平行（上向き）
• 斜面からの抗力 \(N\): 斜面垂直（押し返す向き）

斜面に平行な方向の力のつりあい:
$$T = mg\sin\theta$$
斜面に垂直な方向の力のつりあい:
$$N = mg\cos\theta$$

上記の立式がそのまま答えとなります。

斜面に置かれた小球がずり落ちようとする力（重力の一部）を、糸がちょうど引き留めています。なので、張力はこの「ずり落ちようとする力」と等しくなります。また、小球が斜面にめり込まないのは、斜面が小球を押し返す力（抗力）が、重りが斜面を押す力（重力の一部）と釣り合っているからです。

張力は \(mg\sin\theta\)、抗力は \(mg\cos\theta\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
台Pが左向きに加速度 \(a\) で運動しています。この台Pの上に乗っている観測者から見ると、小球Qは静止しています。この観測者から見ると、小球Qには通常の力に加えて、台の加速度と逆向き、つまり右向きに大きさ \(ma\) の慣性力がはたらいているように見えます。これらの力（重力、張力、抗力、慣性力）がつりあっていると考えます。
この設問における重要なポイント

• 加速系（台の上）の視点で考える。
• 慣性力（\(-m\vec{a}_{\text{台}}\)）を導入する。
• すべての力（慣性力も含む）を斜面に平行・垂直に分解し、つりあいの式を立てる。

具体的な解説と立式
台P上の観測者から見ると、小球Qには以下の力がはたらいて静止しています。

• 重力 \(mg\) の成分:
  • 平行成分: \(mg\sin\theta\)（下向き）
  • 垂直成分: \(mg\cos\theta\)（押し付ける向き）
• 慣性力 \(ma\) の成分:
  • 平行成分: \(ma\cos\theta\)（上向き）
  • 垂直成分: \(ma\sin\theta\)（押し付ける向き）
• 糸の張力 \(T’\): （上向き）
• 斜面からの抗力 \(N’\): （押し返す向き）

斜面に平行な方向の力のつりあい:
$$T’ + ma\cos\theta = mg\sin\theta$$
斜面に垂直な方向の力のつりあい:
$$N’ = mg\cos\theta + ma\sin\theta$$

上記のつりあいの式を、\(T’\) と \(N’\) について解きます。
$$T’ = mg\sin\theta – ma\cos\theta$$
$$N’ = mg\cos\theta + ma\sin\theta$$

台が左に加速すると、電車が発車したときに体が後ろに持っていかれるように、小球には右向きの「慣性力」が働きます。この慣性力も、斜面に沿った方向と垂直な方向に分解できます。慣性力の一部は糸の張力を助ける向きに働くので、張力は静止しているときより小さくなります。逆に、抗力は慣性力の一部に助けられて大きくなります。

張力は \(mg\sin\theta – ma\cos\theta\)、抗力は \(mg\cos\theta + ma\sin\theta\) です。加速度\(a\)が大きくなるほど、張力は小さくなり、抗力は大きくなることがわかります。

問(2) (別解：静止系からの運動方程式)

思考の道筋とポイント
慣性力を使わずに、床に静止した観測者から小球Qの運動を見ます。台Pが左向きに加速度\(a\)で運動しているので、P上のQも一体となって左向きに加速度\(a\)で運動しています。したがって、小球Qにはたらく力の合力が、左向きに大きさ\(ma\)となるように運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 静止系（床）から観測する。
• 小球Qも台Pと同じ加速度\(a\)で運動している。
• 小球Qにはたらく力（重力、張力、抗力）の合力が、運動をひき起こす力（\(ma\)）と等しい。
• 力を水平方向と鉛直方向に分解して、それぞれの方向で運動方程式（または力のつりあいの式）を立てる。

具体的な解説と立式
床から見た観測者にとって、小球Qは水平左向きに加速度\(a\)で運動しています。鉛直方向には運動していないので、加速度は0です。
小球Qにはたらく力「重力 \(mg\)」「張力 \(T’\)」「抗力 \(N’\)」を水平・鉛直に分解します。

• 重力 \(mg\): (0, \(-mg\))
• 張力 \(T’\): (\(T’\cos\theta\), \(T’\sin\theta\))
• 抗力 \(N’\): (\(-N’\sin\theta\), \(N’\cos\theta\))

水平方向の運動方程式 (左向きを正とする):
$$ma = N’\sin\theta – T’\cos\theta$$
おっと、右向きを正とします。加速度は\(-a\)。
$$m(-a) = T’\cos\theta – N’\sin\theta \quad \cdots ①$$
鉛直方向の力のつりあい:
$$0 = T’\sin\theta + N’\cos\theta – mg \quad \rightarrow \quad mg = T’\sin\theta + N’\cos\theta \quad \cdots ②$$

① \(\times \sin\theta\): \(-ma\sin\theta = T’\cos\theta\sin\theta – N’\sin^2\theta\)

② \(\times \cos\theta\): \(mg\cos\theta = T’\sin\theta\cos\theta + N’\cos^2\theta\)

下の式から上の式を引くと、\(T’\)の項が消えます。
$$mg\cos\theta – (-ma\sin\theta) = N”(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = N’$$
よって、
$$N’ = mg\cos\theta + ma\sin\theta$$
次に、① \(\times \cos\theta\) と ② \(\times \sin\theta\) を考えます。

① \(\times \cos\theta\): \(-ma\cos\theta = T’\cos^2\theta – N’\sin\theta\cos\theta\)

② \(\times \sin\theta\): \(mg\sin\theta = T’\sin^2\theta + N’\cos\theta\sin\theta\)

この2式を辺々足し合わせると、\(N’\)の項が消えます。
$$-ma\cos\theta + mg\sin\theta = T'(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = T’$$
よって、
$$T’ = mg\sin\theta – ma\cos\theta$$
これらの結果は、慣性力を用いて解いた場合と完全に一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
加速度 \(a\) を大きくしていくと、やがて小球Qは斜面にそって上昇し始めます。「上昇し始める」とは、それまで小球を引き留めていた糸がたるむ瞬間、つまり糸の張力 \(T’\) が0になる瞬間を指します。
この設問における重要なポイント

• 「斜面にそって上昇する」 \(\rightarrow\) 糸がたるむ \(\rightarrow\) 張力 \(T’=0\)。
• 問(2)で立てた張力の式に、この条件を適用する。

具体的な解説と立式
問(2)で求めた張力の式
$$T’ = mg\sin\theta – ma\cos\theta$$
において、\(T’=0\) となる瞬間の加速度が \(a_0\) です。
$$0 = mg\sin\theta – ma_0\cos\theta$$

この式を \(a_0\) について解きます。
$$ma_0\cos\theta = mg\sin\theta$$
$$a_0 = g\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = g\tan\theta$$

台の左向きの加速度をどんどん大きくしていくと、小球にかかる右向きの慣性力も大きくなります。やがて、慣性力だけで小球を斜面上で支えられるようになり、糸はたるんでしまいます。この糸がたるむ瞬間の加速度を計算します。

上昇し始めるときの加速度 \(a_0\) は \(g\tan\theta\) です。

問(4)

思考の道筋とポイント
今度は、台Pが右向きに加速度 \(b\) で運動します。問(2)と同様に、台P上の観測者から考えます。慣性力は台の加速度と逆向き、つまり左向きに大きさ \(mb\) でかかります。
この設問における重要なポイント

• 慣性力の向きが問(2)と逆になる。
• 慣性力を分解し、力のつりあいの式を立て直す。

具体的な解説と立式
台P上の観測者から見ると、小球Qには以下の力がはたらいて静止しています。

• 重力 \(mg\) の成分:
  • 平行成分: \(mg\sin\theta\)（下向き）
  • 垂直成分: \(mg\cos\theta\)（押し付ける向き）
• 慣性力 \(mb\) の成分:
  • 平行成分: \(mb\cos\theta\)（下向き）
  • 垂直成分: \(mb\sin\theta\)（押し返す向き、つまり抗力を減らす向き）
• 糸の張力 \(T”\): （上向き）
• 斜面からの抗力 \(N”\): （押し返す向き）

斜面に平行な方向の力のつりあい:
$$T” = mg\sin\theta + mb\cos\theta$$
斜面に垂直な方向の力のつりあい:
$$N” + mb\sin\theta = mg\cos\theta$$

上記のつりあいの式を、\(T”\) と \(N”\) について解きます。
$$T” = mg\sin\theta + mb\cos\theta$$
$$N” = mg\cos\theta – mb\sin\theta$$

台が右に加速すると、小球には左向きの慣性力が働きます。今度は、この慣性力も小球を斜面下に滑らせようとする向きに働くので、糸の張力は静止時より大きくなります。逆に、抗力は慣性力の一部に助けられて小さくなります。

張力は \(mg\sin\theta + mb\cos\theta\)、抗力は \(mg\cos\theta – mb\sin\theta\) です。加速度\(b\)が大きくなるほど、張力は大きくなり、抗力は小さくなることがわかります。

問(4) (別解：静止系からの運動方程式)

思考の道筋とポイント
床に静止した観測者から小球Qの運動を見ます。台Pが右向きに加速度\(b\)で運動しているので、Qも一体となって右向きに加速度\(b\)で運動しています。
この設問における重要なポイント

• 静止系（床）から観測する。
• 小球Qも台Pと同じ加速度\(b\)で運動している。
• 力を水平・鉛直に分解し、運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
床から見た観測者にとって、小球Qは水平右向きに加速度\(b\)で運動しています。
小球Qにはたらく力「重力 \(mg\)」「張力 \(T”\)」「抗力 \(N”\)」を水平・鉛直に分解します。

• 重力 \(mg\): (0, \(-mg\))
• 張力 \(T”\): (\(T”\cos\theta\), \(T”\sin\theta\))
• 抗力 \(N”\): (\(-N”\sin\theta\), \(N”\cos\theta\))

水平方向の運動方程式 (右向き正):
$$mb = T”\cos\theta – N”\sin\theta \quad \cdots ③$$
鉛直方向の力のつりあい:
$$0 = T”\sin\theta + N”\cos\theta – mg \quad \rightarrow \quad mg = T”\sin\theta + N”\cos\theta \quad \cdots ④$$

③ \(\times \sin\theta\): \(mb\sin\theta = T”\cos\theta\sin\theta – N”\sin^2\theta\)

④ \(\times \cos\theta\): \(mg\cos\theta = T”\sin\theta\cos\theta + N”\cos^2\theta\)

下の式から上の式を引くと、\(T”\)の項が消えます。
$$mg\cos\theta – mb\sin\theta = N”(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = N”$$
よって、
$$N” = mg\cos\theta – mb\sin\theta$$
次に、③ \(\times \cos\theta\) と ④ \(\times \sin\theta\) を考えます。

③ \(\times \cos\theta\): \(mb\cos\theta = T”\cos^2\theta – N”\sin\theta\cos\theta\)

④ \(\times \sin\theta\): \(mg\sin\theta = T”\sin^2\theta + N”\cos\theta\sin\theta\)

この2式を辺々足し合わせると、\(N”\)の項が消えます。
$$mb\cos\theta + mg\sin\theta = T”(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = T”$$
よって、
$$T” = mg\sin\theta + mb\cos\theta$$
これらの結果は、慣性力を用いて解いた場合と完全に一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
加速度 \(b\) を大きくしていくと、やがて小球Qは斜面から離れます。「斜面から離れる」とは、斜面が小球を押す必要がなくなる瞬間、つまり抗力 \(N”\) が0になる瞬間を指します。
この設問における重要なポイント

• 「斜面から離れる」 \(\rightarrow\) 抗力 \(N”=0\)。
• 問(4)で立てた抗力の式に、この条件を適用する。

具体的な解説と立式
問(4)で求めた抗力の式
$$N” = mg\cos\theta – mb\sin\theta$$
において、\(N”=0\) となる瞬間の加速度が \(b_0\) です。
$$0 = mg\cos\theta – mb_0\sin\theta$$

この式を \(b_0\) について解きます。
$$mb_0\sin\theta = mg\cos\theta$$
$$b_0 = g\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{g}{\tan\theta}$$

台の右向きの加速度をどんどん大きくしていくと、小球にかかる左向きの慣性力も大きくなります。慣性力の一部は、小球を斜面から浮き上がらせるように働きます。やがて、この浮き上がらせる効果が、重りが斜面を押さえつける効果と釣り合うと、小球は斜面から離れます。この瞬間の加速度を計算します。

斜面から離れるときの加速度 \(b_0\) は \(\frac{g}{\tan\theta}\) です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力と加速座標系における力のつりあい:
  • 核心: この問題の最も重要な物理概念は「慣性力」です。加速度運動する台の上で物体が静止している、という状況を扱う際、台と一緒に動く観測者の視点（加速座標系）に立つと、問題が劇的に単純化されます。この観測者からは、物体は静止して見えるため、「力のつりあい」の式を立てることができます。
  • 理解のポイント:
    1. 慣性力の導入: 加速度 \(\vec{a}_{\text{台}}\) で運動する台の上で、質量\(m\)の物体を観測すると、物体には実際にはたらく力（重力、張力、抗力）に加えて、見かけの力である慣性力 \(\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}_{\text{台}}\) がはたらいているように見えます。向きは台の加速度と真逆です。
    2. 加速系でのつりあい: 慣性力を導入すれば、加速系の中でも「力のつりあいの式 \(\sum \vec{F} = 0\)」を立てることができます。これにより、静止系で運動方程式を連立させて解く複雑な計算を回避できます。
    3. 限界条件の解釈: 「上昇し始める」「斜面から離れる」といった限界状態は、それぞれ「張力が0になる」「垂直抗力が0になる」という物理的な条件に置き換えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 加速する電車内の振り子: 加速する電車内で吊るされたおもりが、ある角度で静止する問題。電車の加速度による慣性力と、重力、張力がつりあうと考えます。
  • 遠心力（回転座標系での慣性力）: 円運動する物体を、その物体と一緒に回転する視点から見ると、中心から遠ざかる向きに「遠心力」という慣性力がはたらいているように見えます。回転するバケツの中の水がこぼれない現象や、カーブを曲がる車内の人が外側に押される現象は、遠心力で説明できます。
  • エレベーター内の見かけの重力: 上昇・下降するエレベーター内では、慣性力によって物体の重さが変わって見える（見かけの重力）。台ばかりの目盛りを問う問題などがこれにあたります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者を誰にするか？: 問題を解くにあたり、床に静止した「静止系」の視点で解くか、台と一緒に動く「加速系」の視点で解くか、最初に方針を決めます。一般に、台の上で物体が静止している場合は、加速系の視点（慣性力を導入）で解く方が圧倒的に簡単です。
  2. 慣性力の向きと大きさ: 加速系で解くと決めたら、まず慣性力の向き（台の加速度と真逆）と大きさ（\(m \times a_{\text{台}}\)）を正確に決定し、図に描き込みます。
  3. 力の分解軸: 重力や慣性力など、複数の力が斜めにはたらく場合、それらを「斜面に平行」と「斜面に垂直」な方向に分解するのが定石です。これにより、各方向での力のつりあいの式を立てやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力の向きを、台の加速度と同じ向きだと勘違いする。
  • 対策: 慣性力は「加速度と必ず逆向き」にはたらく、と徹底的に覚える。電車が前に発車 \(\rightarrow\) 体は後ろに押される、という日常体験と結びつけると効果的です。
• 力の分解ミス:
  • 誤解: 水平方向にはたらく慣性力 \(ma\) を、斜面に平行・垂直な成分に分解する際に、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を取り違える。
  • 対策: 必ず図を描き、角度\(\theta\)の位置を正確に把握して、幾何学的に分解する。水平線と斜線のなす角が\(\theta\)であることから、錯角や同位角の関係を使って、分解する三角形のどの角が\(\theta\)になるかを丁寧に見つける。
• 静止系と加速系の混同:
  • 誤解: 静止系から見ているのに慣性力を描き込んだり、加速系から見ているのに運動方程式を立てようとしたりして混乱する。
  • 対策: 「慣性力は、加速系という特別な視点に立ったときだけ導入する、つじつま合わせの見かけの力」と割り切る。静止系で解くなら運動方程式、加速系で解くなら慣性力＋力のつりあい、というように、解法を明確に区別する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 慣性力を含めた力の図示: 加速系で考える場合、小球Qに「重力」「張力」「抗力」そして「慣性力」の4つの力がはたらいて静止している図（フリーボディダイアグラム）を描くことが最も重要です。
  • 見かけの重力: 重力と慣性力をベクトル的に合成した「見かけの重力」を考えることも有効です。例えば問(2)では、鉛直下向きの\(mg\)と水平右向きの\(ma\)の合力が、見かけの重力となります。小球は、この見かけの重力に対して、張力と抗力でつりあっている、と見なすことができます。
  • 限界状態の図示: 「上昇し始める（\(T’=0\)）」瞬間や「離れる（\(N”=0\)）」瞬間の力のつりあいの図をそれぞれ描くことで、どの力がどの力とつりあって限界状況が生まれるのかを視覚的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の矢印の始点: すべての力（慣性力も含む）は、物体（小球Q）の重心から描くと分かりやすいです。
  • 分解した成分の明記: 元の力（例：\(ma\)）と、分解した成分（例：\(ma\cos\theta, ma\sin\theta\)）を、実線と点線で描き分けるなどして、混同しないようにする。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: 問(1)の静止状態、および問(2),(4)で加速系から物体を見たときの「見かけの静止状態」を記述するため。
  • 適用根拠: 観測者から見て、対象物体の加速度がゼロであるという物理的状況。加速系では、慣性力を加えることでこの法則が適用可能になる。
• 慣性力の式 (\(\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}_{\text{台}}\)):
  • 選定理由: 加速系という特殊な視点から物体の運動（見かけの静止）を記述するための、つじつま合わせの「見かけの力」として導入する。
  • 適用根拠: 運動方程式を、静止系(\(ma=F\))から加速系(\(m(a-a_{台})=F\))へ座標変換した際に、\(ma=F+m(-a_{台})\)と変形したときの右辺第2項に相当する。
• 限界条件 (\(T=0\) または \(N=0\)):
  • 選定理由: 問(3),(5)で「上昇する」「離れる」という、つりあいが破れる直前の限界状態を数式で表現するため。
  • 適用根拠: 糸がたるめば張力は0になり、面との接触がなくなれば抗力は0になる、という物理的な事実。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1) 静止時:
   • 小球にはたらく力（重力、張力、抗力）を図示。
   • 斜面に平行・垂直な方向で力のつりあいの式を立て、\(T\)と\(N\)を求める。
2. 問(2) 左向き加速時:
   • 解法（慣性力）: 台上の観測者から見る。
     • Step 1: 右向きに慣性力\(ma\)を描き加える。
     • Step 2: 全ての力（重力、慣性力、張力、抗力）を斜面に平行・垂直に分解する。
     • Step 3: 各方向で力のつりあいの式を立て、\(T’\)と\(N’\)を求める。
3. 問(3) 上昇し始める条件:
   • 「上昇し始める」 \(\rightarrow\) \(T’=0\)。
   • 問(2)で求めた\(T’\)の式に\(T’=0\)を代入し、そのときの加速度\(a_0\)を求める。
4. 問(4) 右向き加速時:
   • 解法（慣性力）: 台上の観測者から見る。
     • Step 1: 左向きに慣性力\(mb\)を描き加える。
     • Step 2: 全ての力を斜面に平行・垂直に分解する。
     • Step 3: 各方向で力のつりあいの式を立て、\(T”\)と\(N”\)を求める。
5. 問(5) 斜面から離れる条件:
   • 「斜面から離れる」 \(\rightarrow\) \(N”=0\)。
   • 問(4)で求めた\(N”\)の式に\(N”=0\)を代入し、そのときの加速度\(b_0\)を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力の分解の正確性:
  • 特に注意すべき点: この問題の成否は、重力と慣性力を、斜面に平行・垂直な方向に正しく分解できるかにかかっています。角度\(\theta\)の取り違え（\(\sin\)と\(\cos\)の混同）は致命的なミスに繋がります。
  • 日頃の練習: 様々な角度の斜面や力の分解図を描き、補助線を引いて三角形の相似関係などから角度を特定する練習を積む。
• 符号の管理:
  • 特に注意すべき点: 斜面に平行な方向（上向き／下向き）や垂直な方向（押し付ける向き／離れる向き）で、どちらを正とするかを自分で決め、一貫して適用する。
  • 日頃の練習: 式を立てる前に、図の中に座標軸（例：斜面上向きをx軸、垂直上向きをy軸）を明記する癖をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2)の結果: 加速度\(a\)（左向き）が大きくなると、張力\(T’\)は減少し、抗力\(N’\)は増加する。これは、慣性力（右向き）の斜面上向き成分が張力を助け、斜面垂直成分が重力成分に加わるため、直感と一致します。
  • (4)の結果: 加速度\(b\)（右向き）が大きくなると、張力\(T”\)は増加し、抗力\(N”\)は減少する。これは、慣性力（左向き）の斜面下向き成分が重力成分に加わり、斜面垂直成分が抗力と逆向きにはたらくため、これも直感と一致します。
• 限界値の比較:
  • • 上昇する加速度: \(a_0 = g\tan\theta\)
    • 離れる加速度: \(b_0 = g/\tan\theta\)
    • もし \(\tan\theta > 1\) (\(\theta > 45^\circ\)) なら、\(a_0 > g > b_0\)。つまり、右向きに加速させた方が、より小さな加速度で「離れる」現象が起きる。
    • もし \(\tan\theta < 1\) (\(\theta < 45^\circ\)) なら、\(a_0 < g < b_0\)。つまり、左向きに加速させた方が、より小さな加速度で「上昇する」現象が起きる。この物体が、左向き加速で「滑る（上昇する）」のと、右向き加速で「浮く（離れる）」のと、どちらが起こりやすいか？

問題25 (名城大改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、なめらかな斜面を持つ台の上を物体が滑り落ちる運動を扱います。前半は台が固定されている基本的な状況、後半は台も自由に動く「2体問題」となっており、段階的に考察を深めていく構成です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の物体の運動」と、それに伴う「運動方程式」「慣性力」「運動量保存則」の応用です。

1. 前半 (問1, 2): 台が固定されているため、物体Qの運動のみを考えます。これは教科書レベルの基本的な問題です。力を正しく図示し、斜面方向とそれに垂直な方向に分解して運動方程式を立てることが基本です。
2. 後半 (問3以降): 台Pの固定を解くと、Qが滑ることでPも動き出します。これは、PとQがお互いに力を及ぼし合いながら運動する、典型的な「2体問題」です。このような問題には、主に2つのアプローチがあります。
   • 静止系（床）と加速系（台P）を組み合わせる方法（設問の誘導）: 台Pの運動は静止している床から、物体Qの運動は加速度運動する台Pの上から「慣性力」を導入して考え、両者の運動方程式を連立させて解きます。
   • 保存則を利用する方法: PとQを一つの「系」と見なしたとき、水平方向には外力が働かないため、「水平方向の運動量保存則」が成り立ちます。これを利用すると、特に問(7)のような問題を鮮やかに解くことができます。

この解説では、設問の誘導に沿ったアプローチを主軸としつつ、別解として運動量保存則を用いた考え方も紹介します。

問(1)

思考の道筋とポイント
台Pはブロックで固定されているため動きません。したがって、小物体Qの斜面上の運動のみを考えます。Qに働く力は「重力 \(mg\)」と「斜面からの垂直抗力」の2つです。これらの力を図示し、運動方向である斜面に沿った方向の運動方程式を立てることで、加速度を求めます。

この設問における重要なポイント

• 物体に働く力をすべて正確に図示する。
• 力を運動方向（斜面に平行）とそれに垂直な方向に分解する。
• 運動方向について運動方程式 \(ma=F\) を立てる。

具体的な解説と立式
小物体Qにはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、斜面から垂直に受ける抗力です。運動は斜面に沿って起こるため、重力 \(mg\) を斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と、斜面に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解します。
斜面に垂直な方向は、垂直抗力と重力の成分 \(mg\cos\theta\) がつり合っており、動きません。
斜面に平行な方向には、重力の成分 \(mg\sin\theta\) のみが働き、この力によってQは加速します。
Qの加速度の大きさを \(a\) として、斜面に沿って下向きを正とすると、Qの運動方程式は以下のようになります。
$$ma = mg\sin\theta$$

運動方程式 \(ma = mg\sin\theta\) の両辺を \(m\) で割ります。
$$a = g\sin\theta$$

物体が斜面を滑り落ちるとき、その原動力は重力です。ただし、重力全体が滑らせる力になるわけではなく、重力を「斜面に平行な成分」と「斜面に垂直な成分」に分けたうちの、「平行な成分」だけが物体を加速させます。この力の大きさは \(mg\sin\theta\) です。ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) に、この力 \(F=mg\sin\theta\) を当てはめると、\(ma = mg\sin\theta\) となり、加速度 \(a\) が求まります。

Qの加速度の大きさは \(a = g\sin\theta\) です。これは、なめらかな斜面を滑る物体の加速度として基本的な結果であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
問(1)で求めた加速度 \(a = g\sin\theta\) は、運動中に変化しない一定の値です。したがって、Qの運動は等加速度直線運動となります。初速度が0であること、移動距離が\(d\)であることが与えられているので、等加速度直線運動の公式を用いて、そのときの速さ\(v\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 加速度が一定であることから、等加速度直線運動の公式が適用できると判断する。
• 与えられた量（初速度、加速度、距離）と求めたい量（速さ）に応じて、適切な公式を選択する。ここでは時間\(t\)を含まない \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) が便利です。

具体的な解説と立式
初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g\sin\theta\)、移動距離 \(x = d\) のときの速さ \(v\) を求めます。
等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。
各値を代入すると、以下の式が立てられます。
$$v^2 – 0^2 = 2(g\sin\theta)d$$

立式した \(v^2 = 2(g\sin\theta)d\) の両辺の平方根をとります。速さ \(v\) は正なので、
$$v = \sqrt{2gd\sin\theta}$$

加速度がずっと同じ大きさの運動（等加速度直線運動）では、速さ、時間、距離の関係を表す便利な公式があります。今回は「時間」が関係ないので、「速さの2乗 ー 初速の2乗 = 2 × 加速度 × 距離」という公式を使います。初速は0、加速度は(1)で求めた \(g\sin\theta\)、距離は\(d\)なので、これらを当てはめて計算すると、速さ\(v\)が求まります。

点Bから斜面にそって距離\(d\)だけすべったときのQの速さは \(v = \sqrt{2gd\sin\theta}\) です。この結果は、力学的エネルギー保存則（減少した位置エネルギー \(mgd\sin\theta\) が運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に変換された）から導かれる結果と一致しており、妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
ここからは台Pの固定が外れ、Pも動きます。Pが動き出す原因となる「力」が何かを考えるのがポイントです。Pの運動を、静止している床の視点から観測します。Pに働く水平方向の力は何かを特定し、その力の向きから加速度の向きを判断します。

この設問における重要なポイント

• 作用・反作用の法則を正しく理解する。QがPから受ける力（垂直抗力）の「反作用」が、Pを動かす力となる。
• Pに働く力をすべてリストアップし、水平方向の合力を考える。床はなめらかなので摩擦は考えません。

具体的な解説と立式
台Pに働く力は以下の通りです。
1. P自身の重力 \(Mg\)（鉛直下向き）
2. 床からの垂直抗力 \(R\)（鉛直上向き）
3. 小物体Qから受ける力（垂直抗力\(N\)の反作用）

QがPから受ける垂直抗力\(N\)は、斜面に対して垂直上向きです。作用・反作用の法則により、PがQから受ける力は、大きさが同じ\(N\)で、向きが反対（斜面に対して垂直下向き）になります。
Pに働く力のうち、水平方向の成分を持つのは、このQからの反作用のみです。この反作用の力を水平方向と鉛直方向に分解すると、水平成分は左向き、鉛直成分は下向きとなります。
Pに働く水平方向の力は、この左向きの成分だけなので、Pは左向きに加速します。

（定性的な設問のため、計算過程はありません）

Qが斜面を滑り落ちるとき、Qは台Pを「押しながら」滑っていきます。この押す力は、斜面に対して垂直な方向です。この力をよく見ると、「真下」の成分と「左向き」の成分に分けることができます。台Pは床の上を左右にしか動けないので、この「左向き」の力によって左方向に加速していくことになります。

加速度\(A\)の向きは、図中の「左」です。これは直感とも一致する妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
問(3)の考察に基づき、台Pの運動方程式を立てます。Pの加速度の大きさを\(A\)、PがQから受ける垂直抗力の反作用の大きさを\(N\)とします。Pに働く水平方向の力は、この反作用の水平成分のみです。

この設問における重要なポイント

• 運動方程式を立てる物体（この場合はP）に働く力を正確に図示する。
• 力を座標軸（水平・鉛直）に沿って分解する。
• 運動方程式を立てる方向（水平方向）と、正の向き（例：左向き）を明確に定める。

具体的な解説と立式
問(3)で考えたように、台Pに働く水平方向の力は、Qから受ける大きさ\(N\)の力の水平成分です。この力の向きは左向きです。
力の作用点をPの斜面上にとり、この力\(N\)を水平・鉛直に分解すると、水平成分の大きさは \(N\sin\theta\) となります。
Pの加速度の大きさを\(A\)、向きを左向きとします。左向きを正として、Pの水平方向の運動方程式を立てると、
$$MA = N\sin\theta$$

（立式のみが問われているため、計算過程はありません）

台Pを動かす犯人（力）は、QがPを押す力の「水平成分」です。QがPを押す力の大きさは\(N\)で、これは斜面に垂直です。三角関数を使うと、この力の水平成分は \(N\sin\theta\) と表せます。ニュートンの運動方程式 \((\text{質量}) \times (\text{加速度}) = (\text{力})\) に当てはめると、Pの質量は\(M\)、加速度は\(A\)、力は\(N\sin\theta\)なので、\(MA = N\sin\theta\) という式ができます。

Pの水平方向の運動方程式は \(MA = N\sin\theta\) です。これはPの運動と、PとQの間に働く力\(N\)を結びつける重要な関係式です。

問(5)

思考の道筋とポイント
この設問は、加速度運動している台Pの上から物体Qの運動を見る、という「非慣性系」での考察です。加速している観測者から物体を見ると、物体には実際には働いていない「慣性力」という見かけの力が働いているように見えます。

この設問における重要なポイント

• (a) 慣性力の向きは、観測系（台P）の加速度の向きと常に逆向きです。
• (b) 慣性力の大きさは、物体の質量と、観測系（台P）の加速度の大きさの積で与えられます。
• (c) Pから見ると、Qは斜面に沿って滑るだけなので、斜面に垂直な方向の加速度は0です。この方向の力のつりあいを考えます。

具体的な解説と立式
(a) Qにはたらく慣性力の向き
台Pは、問(3)で確認したように、左向きに大きさ\(A\)の加速度で運動しています。Pの上からQを見ると、QにはPの加速度と逆向き、すなわち「右向き」に慣性力が働きます。

(b) Qにはたらく慣性力の大きさ
慣性力の大きさは、観測対象の物体Qの質量\(m\)と、観測系である台Pの加速度の大きさ\(A\)の積で表され、\(mA\)となります。

(c) 斜面に垂直な方向についてのQの運動方程式
台Pから見たとき、Qに働く力は以下の3つです。
1. 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
2. Pからの垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直上向き）
3. 慣性力 \(mA\)（水平右向き）

これらの力を、斜面に垂直な方向について考えます。斜面に垂直で、斜面から離れる向き（上向き）を正とします。

• 垂直抗力\(N\)は、そのままこの方向を向いているので、\(+N\)。
• 重力\(mg\)の斜面に垂直な成分は、斜面を押す向きなので、\(-mg\cos\theta\)。
• 慣性力\(mA\)は水平右向きです。これを分解すると、斜面に垂直な成分は、斜面から離れる向きとなり、その大きさは \(mA\sin\theta\) です。よって、\(+mA\sin\theta\)。

Pから見て、Qの斜面に垂直な方向の加速度は0なので、運動方程式（力のつりあいの式）は、
$$m \times 0 = N + mA\sin\theta – mg\cos\theta$$
整理すると、
$$N + mA\sin\theta – mg\cos\theta = 0$$

（立式のみが問われているため、計算過程はありません）

(a) 電車が急発進すると、乗客は後ろに倒れそうになります。台Pが左向きに加速するので、その上にいるQには、逆の右向きに慣性力が働いているように見えます。
(b) 慣性力の大きさは、シンプルに「物体の質量 × 乗り物の加速度」です。今回は\(m \times A\)となります。
(c) 台Pの上から見ると、Qは斜面から浮いたり沈んだりせず、斜面に沿って滑るだけです。これは、斜面に対して垂直な方向の力が「つり合っている」ことを意味します。この方向の力は「垂直抗力\(N\)」「重力の成分\(mg\cos\theta\)」「慣性力の成分\(mA\sin\theta\)」の3つで、これらの力のつりあいの式を立てます。

(a)の向きは右、(b)の大きさは\(mA\)、(c)の運動方程式は \(N + mA\sin\theta – mg\cos\theta = 0\) です。この式は、Qの運動と、PとQの間に働く力\(N\)、そしてPの加速度\(A\)を結びつける、もう一つの重要な関係式です。

問(6)

思考の道筋とポイント
未知数が加速度\(A\)と垂直抗力\(N\)の2つに対し、問(4)と問(5)(c)で2つの独立した方程式が得られました。したがって、これらを連立方程式として解くことで、\(A\)と\(N\)を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 得られた2つの関係式を正しく認識する。
• 連立方程式を正確に解く計算力。代入法が一般的で解きやすい。

具体的な解説と立式
問(4)と問(5)(c)で得られた式は以下の通りです。
$$MA = N\sin\theta \quad \cdots ①$$
$$N + mA\sin\theta – mg\cos\theta = 0 \quad \cdots ②$$
この2つの式を連立して、\(A\)と\(N\)を求めます。

まず、式②を\(N\)について解きます。
$$N = mg\cos\theta – mA\sin\theta \quad \cdots ②’$$
これを式①に代入して\(N\)を消去します。
$$MA = (mg\cos\theta – mA\sin\theta)\sin\theta$$
展開して、\(A\)を含む項を左辺にまとめます。
$$MA = mg\sin\theta\cos\theta – mA\sin^2\theta$$
$$MA + mA\sin^2\theta = mg\sin\theta\cos\theta$$
左辺を\(A\)でくくります。
$$A(M + m\sin^2\theta) = mg\sin\theta\cos\theta$$
両辺を \((M + m\sin^2\theta)\) で割って、\(A\)を求めます。
$$A = \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$$
次に、求まった\(A\)を式①に代入して\(N\)を求めます。式①より \(N = \displaystyle\frac{MA}{\sin\theta}\) なので、
$$N = \frac{M}{\sin\theta} \left( \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta} \right)$$
\(\sin\theta\)が約分されて、
$$N = \frac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$$

中学数学で習った連立方程式を解くのと同じです。未知数が\(A\)と\(N\)の2つ、式も2つあります。
一方の式を「\(N = \dots\)」の形に変形して、もう一方の式に代入します。すると\(N\)が消えて\(A\)だけの式になるので、これを解けば\(A\)が求まります。
求まった\(A\)の値を元の式のどちらかに代入すれば、残りの\(N\)も計算できます。

加速度\(A\)と垂直抗力\(N\)は、それぞれ
$$A = \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}, \quad N = \frac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$$
と表されます。もし台Pが非常に重い (\(M \rightarrow \infty\)) とき、\(A \rightarrow 0\) となり、台は動かなくなります。このとき \(N \rightarrow mg\cos\theta\) となり、これは台が固定されている場合と同じ結果です。このように極端な場合を考えても、物理的に妥当な結果となっていることがわかります。

問(7)

思考の道筋とポイント
Qが斜面を距離\(l\)だけ滑り落ちるのにかかった時間と、その同じ時間でPが水平に距離\(L\)だけ移動した時間は共通です。この時間\(t\)を媒介として、\(l\)と\(L\)の関係を導きます。
そのためには、Pの加速度\(A\)と、Pから見たQの斜面に沿った加速度（相対加速度）\(a’\)が必要です。
\(l = \displaystyle\frac{1}{2}a’t^2\) と \(L = \displaystyle\frac{1}{2}At^2\) という2つの式を立て、\(t^2\)を消去することで\(L\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 2つの物体の運動に共通の時間\(t\)を見出すこと。
• Pから見たQの相対加速度\(a’\)を正しく求めること。これには慣性力を使った運動方程式が有効。
• 等加速度運動の公式 \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いる。

具体的な解説と立式
まず、台Pから見たQの斜面方向の加速度\(a’\)を求めます。Pから見たQに働く力のうち、斜面方向の成分を考えます。斜面下向きを正とします。

• 重力の成分: \(+mg\sin\theta\)
• 慣性力\(mA\)（水平右向き）の成分: \(+mA\cos\theta\)

よって、Pから見たQの斜面方向の運動方程式は、
$$ma’ = mg\sin\theta + mA\cos\theta$$
$$a’ = g\sin\theta + A\cos\theta \quad \cdots ③$$
Qは初速度0で時間\(t\)の間に距離\(l\)を滑るので、
$$l = \frac{1}{2}a’t^2 \quad \cdots ④$$
一方、Pも初速度0で時間\(t\)の間に距離\(L\)を移動するので、
$$L = \frac{1}{2}At^2 \quad \cdots ⑤$$
④と⑤から\(t^2\)を消去します。④より \(t^2 = \displaystyle\frac{2l}{a’}\)、⑤より \(t^2 = \displaystyle\frac{2L}{A}\)。
$$\frac{2L}{A} = \frac{2l}{a’}$$
$$L = \frac{A}{a’}l$$
これに③を代入すると、
$$L = \frac{A}{g\sin\theta + A\cos\theta}l$$

立式した \(L = \displaystyle\frac{A}{g\sin\theta + A\cos\theta}l\) の分母分子を\(A\)で割ると、計算が見やすくなります。
$$L = \frac{1}{\frac{g\sin\theta}{A} + \cos\theta}l$$
ここで、問(6)で求めた\(A\)の値を使って、\(\displaystyle\frac{g\sin\theta}{A}\)を計算します。
$$\frac{g\sin\theta}{A} = g\sin\theta \div \left( \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta} \right) = g\sin\theta \times \frac{M+m\sin^2\theta}{mg\sin\theta\cos\theta}$$
\(g\sin\theta\)が約分されて、
$$\frac{g\sin\theta}{A} = \frac{M+m\sin^2\theta}{m\cos\theta}$$
これを\(L\)の式に戻します。
$$L = \frac{1}{\frac{M+m\sin^2\theta}{m\cos\theta} + \cos\theta}l$$
分母を通分して整理します。
$$(\text{分母}) = \frac{M+m\sin^2\theta + m\cos^2\theta}{m\cos\theta} = \frac{M+m(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}{m\cos\theta}$$
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) なので、
$$(\text{分母}) = \frac{M+m}{m\cos\theta}$$
したがって、\(L\)は、
$$L = \frac{1}{\frac{M+m}{m\cos\theta}}l = \frac{m\cos\theta}{M+m}l$$

Qが\(l\)滑る時間とPが\(L\)動く時間は同じです。距離は「\(\frac{1}{2} \times\) 加速度 \(\times\) 時間の2乗」で求まるので、距離の比 \(L/l\) は加速度の比 \(A/a’\) と同じになります。
あとは、(6)で求めた複雑な\(A\)の式を代入して、頑張って計算します。計算のコツは、先に \(\displaystyle\frac{g\sin\theta}{A}\) のような塊を計算しておくことです。最後に三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使うと、式が劇的にきれいになります。

【別解】運動量保存則を用いたアプローチ (問7)

思考の道筋とポイント
台Pと物体Qを一つの「系」として考えると、この系に働く水平方向の外力はありません（重力と床からの垂直抗力は鉛直方向、QとPの間の力は内力）。したがって、系全体の水平方向の運動量は保存されます。
初めの運動量は0なので、任意の時刻で運動量は0のままです。この関係は、速度だけでなく、変位についても成り立ちます。この性質と、幾何学的な変位の関係を組み合わせることで、\(L\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動量保存則が適用できることを見抜く。
• 「Pの水平移動距離 \(L\)」と「Pに対するQの水平移動距離 \(\Delta x_{\text{rel}}\)」の和が、Qが斜面を\(l\)滑ったことによる全体の水平移動成分 \(l\cos\theta\) に等しい、という幾何学的関係を理解する。

具体的な解説と立式
水平方向（左向きを正）の運動量保存則を考えます。床から見たPの速度を\(V\)、Qの速度の水平成分を\(v_x\)とします。
$$M V – m v_x’ = 0$$
（ここで\(v_x’\)はQの速度の水平成分の大きさ）
この関係は、速度を時間で積分した変位についても成り立ちます。Pの移動距離を\(L\)、Pの上でQが水平方向に移動した距離を\(\Delta x_{\text{rel}}\)とすると、作用・反作用の関係から、
$$ML = m \Delta x_{\text{rel}} \quad \cdots ⑥$$
これは、PとQが互いに押し合う力（内力）によって移動した距離の積が等しくなることを示しており、重心の位置が変わらないことに対応します。
一方、Qが斜面を\(l\)滑るとき、Pが静止していればQは水平方向に \(l\cos\theta\) だけ右に移動します。しかし実際にはPも左に\(L\)だけ動きます。
結果として、QがPに対して水平方向に移動した距離 \(\Delta x_{\text{rel}}\) とPの移動距離\(L\)の和が、斜面を滑ったことによる水平方向の全移動長になります。
$$L + \Delta x_{\text{rel}} = l\cos\theta \quad \cdots ⑦$$

⑥と⑦の連立方程式を解いて\(L\)を求めます。
⑥より、\(\Delta x_{\text{rel}} = \displaystyle\frac{M}{m}L\)。これを⑦に代入します。
$$L + \frac{M}{m}L = l\cos\theta$$
左辺を\(L\)でくくります。
$$L \left( 1 + \frac{M}{m} \right) = l\cos\theta$$
$$L \left( \frac{m+M}{m} \right) = l\cos\theta$$
両辺に \(\displaystyle\frac{m}{M+m}\) を掛けて、\(L\)を求めます。
$$L = \frac{m l \cos\theta}{M+m}$$

PとQをセットで考えると、水平方向には外から力が加わらないので、全体の「重心」は水平方向に動きません。この性質を使うと、「Pの移動距離\(L\) × Pの質量\(M\)」と「Pの上でQが水平に動いた距離 \(\Delta x_{\text{rel}}\) × Qの質量\(m\)」が等しくなる、という関係 (\(ML = m\Delta x_{\text{rel}}\)) が導けます。
また、図をよく見ると、「Pが動いた距離\(L\)」と「Pの上でQが動いた水平距離\(\Delta x_{\text{rel}}\)」を足すと、Qが斜面を\(l\)滑ったときの水平移動分である \(l\cos\theta\) になることがわかります。
この2つの簡単な式を連立させるだけで、複雑な計算なしに答えが求まります。

Pが移動した距離\(L\)は、\(L = \displaystyle\frac{m l \cos\theta}{M+m}\) です。これは本文の解法と完全に一致します。運動量保存則を用いると、加速度や力を一切計算することなく、非常にシンプルに解けることがわかります。この解法は応用範囲が広く、非常に強力です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 核心: 物体の運動（加速度）と、それに働く力とを結びつける、力学の最も基本的な法則です。この問題では、台が固定されている場合（問1）、台が動く場合（問4）、そして非慣性系（問5c, 7）のすべての状況で運動方程式を立てることが求められます。
  • 理解のポイント:
    1. 力を正しく見つける: 物体に働く力を（重力、垂直抗力、張力など）漏れなく、かつダブりなく見つけ出すことが第一歩です。
    2. 座標軸の設定: 運動の方向に合わせて座標軸（例：斜面に平行・垂直）を設定し、力を分解することが計算を簡潔にする鍵です。
    3. 作用・反作用の法則: 2つの物体が力を及ぼし合う場合（問3, 4）、一方の物体に働く力（作用）ともう一方の物体に働く力（反作用）は、大きさが等しく向きが反対であることを理解することが不可欠です。
• 慣性力:
  • 核心: 加速度運動する座標系（非慣性系）で物体の運動を記述する際に導入される「見かけの力」です。台Pの上からQの運動を見る問(5)や問(7)で中心的な役割を果たします。
  • 理解のポイント:
    1. 向きと大きさ: 慣性力は、観測系の加速度 \(\vec{a}\) とは逆向きに、大きさ \(ma\) で働きます。
    2. 利便性: 非慣性系から見ると、複雑な運動が単純に見えることがあります。この問題では、床から見ると複雑な軌道を描くQの運動が、Pから見ると「斜面を滑るだけの運動」に見えるため、慣性力を導入することで力のつりあいの式（問5c）や相対的な運動方程式（問7）を立てやすくなります。
• 運動量保存則:
  • 核心: ある系に外力が働かない（または外力の合力が0の）場合、その系の全運動量は一定に保たれるという法則です。特に、複数の物体が相互作用する「2体問題」で強力なツールとなります。
  • 理解のポイント: この問題では、PとQを一つの系と見なすと、水平方向には外力が働かないため、水平方向の運動量が保存されます。これにより、問(7)では加速度や力を介さずに、PとQの移動距離の関係を直接導くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内の物体の運動: エレベーターが上下に加速する中で、ばね振り子や単振り子の周期を考える問題。エレベーター内という非慣性系で考え、慣性力（または見かけの重力）を考慮します。
  • 電車内の物体の運動: 加速する電車内で物体を落としたり、振り子を吊るしたりする問題。慣性力によって物体の運動軌道や振り子のつり合いの位置が変わります。
  • 分裂・合体問題: 台車の上で人が歩く、ロケットが燃料を噴射する、2つの物体が衝突して合体するなど。これらはすべて運動量保存則が活躍する典型的な場面です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体の数はいくつか？: 1体問題か、2体以上の問題か。2体以上なら、相互作用（作用・反作用）や保存則を意識します。
  2. 座標系はどこに置くか？:
     • 静止系（床や地面）: すべての力を「実在する力」だけで考えられる基本のアプローチ。運動が複雑になる場合もあります。
     • 加速系（動く台や乗り物）: 運動自体は単純に見えることが多いが、「慣性力」を忘れずに導入する必要があります。問題の誘導（「〜から見て」など）があれば、それに従うのが得策です。
  3. 保存則は使えないか？:
     • 力学的エネルギー保存則: 非保存力（摩擦力、空気抵抗など）が仕事をしないか？
     • 運動量保存則: ある方向に外力が働いていないか？ この問題のように、水平方向はなめらかで、鉛直方向には力が働いている場合、「水平方向のみ運動量が保存される」という状況は頻出です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 作用・反作用の混同:
  • 誤解: QがPから受ける垂直抗力\(N\)と、Qに働く重力の斜面垂直成分\(mg\cos\theta\)を「つり合いの関係」と誤解し、PがQから受ける力も\(mg\cos\theta\)の反作用だと考えてしまう。
  • 対策: 作用・反作用は「AがBに及ぼす力」と「BがAに及ぼす力」というペアです。力のつり合いは「一つの物体に働く複数の力」の関係です。主語と目的語を明確にして、「誰が」「誰に」及ぼす力なのかを常に意識することが重要です。
• 慣性力の向き・大きさの間違い:
  • 誤解: 慣性力の向きを観測系の加速度と同じ向きにしてしまう。慣性力の大きさを計算する際に、観測対象の質量ではなく観測系の質量を使ってしまう（\(MA\)としてしまうなど）。
  • 対策: 慣性力は「加速度と逆向き」「質量は観測される物体の方(\(m\))」と呪文のように覚える。電車での体感（発進→後ろへ、ブレーキ→前へ）と結びつけると忘れにくくなります。
• 力の分解ミス:
  • 誤解: 問(5)(c)で、水平方向の慣性力\(mA\)を斜面方向と垂直方向に分解する際、角度\(\theta\)の取り方を間違える。
  • 対策: 必ず図を描き、分解したいベクトルと座標軸との間にできる直角三角形を明確にイメージします。角度\(\theta\)がどこに来るか（同位角、錯角など）を丁寧に確認する習慣をつける。
• 運動量保存則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: PとQの系全体で、鉛直方向にも運動量が保存されると考えてしまう。
  • 対策: 運動量保存則が成り立つのは「外力が働かない方向」だけです。この系には鉛直方向に重力や床からの垂直抗力という外力が働いているため、鉛直方向の運動量は保存されません。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の矢印図（フリーボディダイアグラム）: この問題のすべての設問の基本です。
    • 静止系（問4）: Pに働く力（重力\(Mg\)、床からの垂直抗力\(R\)、Qからの反作用\(N\)）を正確に図示する。
    • 非慣性系（問5c）: Qに働く力（重力\(mg\), 垂直抗力\(N\), 慣性力\(mA\)）をすべて描き込む。特に慣性力は点線で描くなどして実在力と区別すると分かりやすいです。
  • 力の分解図: 重力\(mg\)や慣性力\(mA\)を、斜面に平行・垂直な成分に分解する補助線を引いた図を描く。これにより、どの成分がどの方向の運動に関わるかが一目瞭然になります。
  • 変位の幾何学図（問7別解）: Qが斜面を\(l\)滑ったときの、Pの移動距離\(L\)と、床から見たQの移動ベクトル、Pから見たQの移動ベクトルを図示する。これにより、\(L + \Delta x_{\text{rel}} = l\cos\theta\) という幾何学的な関係が視覚的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 作用点の明確化: 力が物体のどこに働いているかを意識する。重力は重心に、垂直抗力は接触面に描きます。
  • 矢印の長さ: 力の大きさをある程度反映させて矢印の長さを変えると、力のつり合いなどが直感的に分かりやすくなります。
  • 座標軸の記入: 自分がどの方向を正として考えているのかを、図に矢印で明記する。これはケアレスミスを防ぐ上で非常に有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(ma = F\) (運動方程式):
  • 選定理由: 物体の加速度と力の関係を知りたい、または加速度や力が未知数で、それらを求める式を立てたい場合。力学の基本中の基本です。
  • 適用根拠: 問題で物体の運動（加速）が問われているため。問(1), (4), (5c), (7)で加速度を求める、あるいは加速度を含む関係式を立てるために使用します。
• \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) (等加速度運動の公式):
  • 選定理由: 加速度が一定の運動で、時間\(t\)が関与しない「距離」と「速さ」の関係を知りたい場合。
  • 適用根拠: 問(1)で加速度が一定(\(g\sin\theta\))であることが分かったため、問(2)で距離\(d\)だけ進んだ後の速さを求めるのに最適です。
• \(F_{\text{慣性}} = -ma_{\text{観測者}}\) (慣性力):
  • 選定理由: 加速している物体の上（非慣性系）から、別の物体の運動を解析したい場合。
  • 適用根拠: 問題で「Pから見たとき」という指定があるため(問5)。この指定がなくても、2体問題では相対運動を考えると問題が簡単になることが多く、能動的に選択すべき強力なツールです。
• 運動量保存則:
  • 選定理由: 複数の物体が相互作用し（内力）、かつ系全体として外力が働かない方向が存在する場合。特に、衝突、分裂、合体、そして本問のような「押し合いながら動く」問題で有効です。
  • 適用根拠: PとQの系に対して、水平方向には力が働かない（床がなめらか）という条件があるため。これにより、途中の力や加速度をすっ飛ばして、初期状態と最終状態（あるいは任意の時刻の状態）を直接結びつけることができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【前半：台固定】
   • (1) Qの加速度: Qに働く力を図示 → 斜面方向に分解 → 斜面方向の運動方程式 \(ma = mg\sin\theta\) → \(a\)を求める。
   • (2) Qの速さ: (1)の結果から等加速度運動と判断 → 時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を選択 → \(v\)を求める。
2. 【後半：台自由】
   • (3) Pの加速度の向き: Pに働く力を考える → Qからの反作用\(N\)が唯一の水平力 → その水平成分の向き（左）が加速度の向き。
   • (4) Pの運動方程式: (3)で考えた力を数式化 → Pの質量\(M\)、加速度\(A\)、力の水平成分\(N\sin\theta\)で運動方程式 \(MA = N\sin\theta\) を立式。
   • (5) Qの非慣性系での解析:
     • (a,b) 慣性力: Pの加速度\(A\)（左向き）から、Qに働く慣性力は右向き、大きさ\(mA\)と判断。
     • (c) Qの力のつりあい: Pから見たQに働く力（重力、垂直抗力、慣性力）を図示 → すべての力を斜面に垂直な方向に分解 → Pから見てQはこの方向に動かない（加速度0）ので、力のつりあいの式を立式。
   • (6) \(A\)と\(N\)の計算: (4)の式と(5c)の式は、未知数が\(A, N\)の連立方程式 → 代入法で解く。
   • (7) Pの移動距離\(L\):
     • [解法1: 運動学] Pから見たQの相対加速度\(a’\)を運動方程式で求める → \(l = \frac{1}{2}a’t^2\) と \(L = \frac{1}{2}At^2\) から \(t^2\) を消去 → \(L = (A/a’)l\) → (6)で求めた\(A\)などを代入して計算。
     • [解法2: 運動量保存] 水平方向の運動量保存則から \(ML = m\Delta x_{\text{rel}}\) を導く → 図から幾何学的に \(L + \Delta x_{\text{rel}} = l\cos\theta\) を導く → 2式を連立して\(L\)を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の計算:
  • 特に注意すべき点: 問(6)の計算は、文字が多く複雑です。代入する際に符号や項を間違えやすい。
  • 日頃の練習: 複雑な文字式の計算でも、焦らず一行一行、何をしているか（代入、展開、移項など）を意識しながら書く練習をする。計算結果が複雑になったら、単位（次元）が合っているか、極端な場合（\(M \rightarrow \infty\)など）を考えて検算する。
• 三角関数の計算:
  • 特に注意すべき点: 問(6), (7)の計算の最終段階で \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使う場面があります。これに気づかないと、式が複雑なままになってしまいます。
  • 日頃の練習: 三角関数を含む計算では、常にこの公式が使えないか頭の片隅に置いておく。式を整理する際には、同じ三角関数でまとめる、共通因数でくくるなどの基本的な操作を丁寧に行う。
• 分数の整理:
  • 特に注意すべき点: 問(7)の解法1では、分母に分数が入る「繁分数」の形になります。これを整理する際に計算ミスが起こりやすい。
  • 日頃の練習: 繁分数は、分母分子に同じ数を掛けて分母を払う、などの定石を身につけておく。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (6) 加速度\(A\)と垂直抗力\(N\):
    • 吟味の視点: もし台Pの質量\(M\)がものすごく大きい（\(M \rightarrow \infty\)）と仮定したらどうなるか？
    • 検証: \(A = \displaystyle\frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\) の分母が無限大になるので \(A \rightarrow 0\)。台は動かなくなるはずなので、これは正しい。
    • 検証: \(N = \displaystyle\frac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}\) の分母分子を\(M\)で割ると \(N = \displaystyle\frac{mg\cos\theta}{1+(m/M)\sin^2\theta}\)。\(M \rightarrow \infty\) で \(m/M \rightarrow 0\) なので、\(N \rightarrow mg\cos\theta\)。これも台が固定されている場合の結果と一致し、正しい。
  • (7) 移動距離\(L\):
    • 吟味の視点: もし\(\theta = 90^\circ\)（QがPの真横を垂直に落下）だったら？ もし\(\theta = 0^\circ\)（Qが水平面を滑る）だったら？
    • 検証: \(L = \displaystyle\frac{m l \cos\theta}{M+m}\)。\(\theta = 90^\circ\) なら \(\cos90^\circ = 0\) なので \(L=0\)。QはPを水平に押さないので、Pは動かない。これは正しい。
    • 検証: \(\theta = 0^\circ\) なら \(\cos0^\circ = 1\) なので \(L = \displaystyle\frac{ml}{M+m}\)。これは水平面での2体問題の結果と一致し、正しい。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • 台が固定されている場合（問1, 2）と、台が自由に動く場合（問6, 7）の結果を比較する。台が動くことで、Qから見た斜面方向の加速度\(a’\)は \(g\sin\theta\) よりも大きくなり（慣性力のアシスト）、垂直抗力\(N\)は \(mg\cos\theta\) よりも小さくなることが式から読み取れます。これは、台が「逃げる」ことで、Qが斜面に押し付ける力が弱まるという直感とも一致します。

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