「良問の風」攻略ガイド（61〜65問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題61 (神戸大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、シリンダー内に閉じ込められた単原子分子理想気体が、A→B→C→Aというサイクルで状態変化する際の、各状態での温度、各過程での熱の吸収・放出、仕事、そしてサイクル全体の仕事、さらにはT-Vグラフの概形を問う問題です。P-Vグラフが与えられており、各状態の圧力と体積が具体的に示されています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は熱力学の分野に属し、特に理想気体の状態変化と熱力学サイクルを扱います。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W\)
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
• 定積変化: \(W = 0\), \(Q = \Delta U = nC_V\Delta T\) (\(C_V = \frac{3}{2}R\))
• 定圧変化: \(W = P\Delta V\), \(Q = nC_P\Delta T\) (\(C_P = \frac{5}{2}R\))
• P-Vグラフと仕事: 仕事はP-Vグラフの面積。

全体的な戦略としては、まず各状態の温度を決定し、次に各過程での熱量と仕事を計算し、最後にサイクル全体の仕事やT-Vグラフを作成します。

問1

思考の道筋とポイント
状態方程式 \(PV=nRT\) は、気体の状態（圧力、体積、温度、物質量）を関連付ける基本的な法則です。各状態についてこの方程式を立て、未知の温度を既知の量で表します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を正しく適用すること。
• 各状態の \(P, V\) の値を正確に読み取ること。
• 基準となる状態Aの情報 \(p_1 V_1 = nRT_1\) を用いて、他の状態の温度を \(T_1\) で表すこと。

具体的な解説と立式
状態Aについて、理想気体の状態方程式は、
$$p_1 V_1 = nRT_1 \quad \cdots ①$$
と書けます。ここで \(n\) は気体の物質量、\(R\) は気体定数です。

状態Bでは、圧力 \(P_B = 2p_1\)、体積 \(V_B = V_1\) です。状態方程式を立てると、
$$P_B V_B = nRT_B$$
$$(2p_1) V_1 = nRT_B \quad \cdots ②$$

状態Cでは、圧力 \(P_C = p_1\)、体積 \(V_C = 2V_1\) です。状態方程式を立てると、
$$P_C V_C = nRT_C$$
$$p_1 (2V_1) = nRT_C \quad \cdots ③$$

まず、状態Bの温度 \(T_B\) を求めます。
式②を変形すると、
$$2 p_1 V_1 = nRT_B$$
ここで、式①より \(p_1 V_1 = nRT_1\) なので、これを代入すると、
$$2 (nRT_1) = nRT_B$$
両辺を \(nR\) で割ると（\(n \neq 0, R \neq 0\)）、
$$T_B = 2T_1$$

次に、状態Cの温度 \(T_C\) を求めます。
式③を変形すると、
$$2 p_1 V_1 = nRT_C$$
同様に、式①より \(p_1 V_1 = nRT_1\) なので、これを代入すると、
$$2 (nRT_1) = nRT_C$$
両辺を \(nR\) で割ると、
$$T_C = 2T_1$$

気体の状態を表す基本ルールが \(PV=nRT\) です。これは「圧力と体積の積は、物質量と気体定数と絶対温度の積に等しい」という意味です。
点Aでは \(p_1V_1 = nRT_1\) です。
点Bでは圧力が \(2p_1\)、体積が \(V_1\) なので、\(P_B V_B = (2p_1)V_1 = 2(p_1V_1)\) となります。\(p_1V_1\) の部分が \(nRT_1\) に等しいので、\(2(nRT_1) = nRT_B\) となります。ここから \(T_B = 2T_1\) がわかります。
点Cでは圧力が \(p_1\)、体積が \(2V_1\) なので、\(P_C V_C = p_1(2V_1) = 2(p_1V_1)\) となります。同様に \(2(nRT_1) = nRT_C\) となり、\(T_C = 2T_1\) がわかります。
つまり、B点もC点も、A点の温度の2倍になっているということです。

状態Bの絶対温度は \(T_B = 2T_1\)、状態Cの絶対温度は \(T_C = 2T_1\) です。
これは、\(PV\) の値が状態A (\(p_1V_1\)) に比べて状態B (\(2p_1V_1\)) も状態C (\(2p_1V_1\)) も2倍になっているため、温度も2倍になるという直感的な結果と一致します。

問2

思考の道筋とポイント
過程A→BはP-Vグラフから体積が \(V_1\)で一定の定積変化です。
過程C→AはP-Vグラフから圧力が \(p_1\)で一定の定圧変化です。
それぞれの変化における熱量の公式を適用します。単原子分子理想気体なので、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) を用います。

この設問における重要なポイント

• 各過程がどのような変化（定積、定圧など）であるかを正しく見抜くこと。
• 単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V\) と定圧モル比熱 \(C_P\) の値を正しく使うこと。
• 温度変化 \(\Delta T\) の向き（上昇か下降か）に注意し、吸収か放出かを判断すること。
• \(nRT\) を \(PV\) で置き換えることで、\(p_1, V_1\) を用いた表現にすること。

具体的な解説と立式
過程 A→B (定積変化):
体積 \(V_A = V_B = V_1\) で一定なので、定積変化です。
定積変化で気体が吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、
$$Q_{AB} = nC_V \Delta T_{AB} = nC_V (T_B – T_A)$$
単原子分子理想気体なので、定積モル比熱は \(C_V = \frac{3}{2}R\)。
問1より、\(T_A = T_1\)、\(T_B = 2T_1\)。
したがって、
$$Q_{AB} = n \left(\frac{3}{2}R\right) (2T_1 – T_1) = \frac{3}{2}nRT_1$$
ここで、状態Aにおける状態方程式 \(p_1V_1 = nRT_1\) を用いると、
$$Q_{AB} = \frac{3}{2} p_1 V_1$$

過程 C→A (定圧変化):
圧力 \(P_C = P_A = p_1\) で一定なので、定圧変化です。
定圧変化で気体が吸収する熱量 \(Q_{CA}\) は、
$$Q_{CA} = nC_P \Delta T_{CA} = nC_P (T_A – T_C)$$
単原子分子理想気体なので、定圧モル比熱は \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
問1より、\(T_C = 2T_1\)、\(T_A = T_1\)。
したがって、
$$Q_{CA} = n \left(\frac{5}{2}R\right) (T_1 – 2T_1) = n \left(\frac{5}{2}R\right) (-T_1) = -\frac{5}{2}nRT_1$$
状態Aにおける状態方程式 \(p_1V_1 = nRT_1\) を用いると、
$$Q_{CA} = -\frac{5}{2} p_1 V_1$$
\(Q_{CA}\) が負の値であることは、気体が熱を吸収するのではなく、外部に熱を放出することを意味します。

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

A→Bの過程:
これは体積が変わらない変化（定積変化）です。このとき気体がもらう熱は、\(Q_{AB} = (\text{物質量}) \times (\text{定積モル比熱}) \times (\text{温度変化})\) で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、定積モル比熱は \(\frac{3}{2}R\) です。温度は \(T_1\) から \(2T_1\) に上がるので、温度変化は \(T_1\) です。よって \(Q_{AB} = n \times \frac{3}{2}R \times T_1 = \frac{3}{2}nRT_1\)。\(nRT_1\) は \(p_1V_1\) に等しいので、\(Q_{AB} = \frac{3}{2}p_1V_1\) となります。

C→Aの過程:
これは圧力が変わらない変化（定圧変化）です。このとき気体がもらう熱は、\(Q_{CA} = (\text{物質量}) \times (\text{定圧モル比熱}) \times (\text{温度変化})\) で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、定圧モル比熱は \(\frac{5}{2}R\) です。温度は \(2T_1\) から \(T_1\) に下がるので、温度変化は \(-T_1\) です。よって \(Q_{CA} = n \times \frac{5}{2}R \times (-T_1) = -\frac{5}{2}nRT_1\)。\(nRT_1\) は \(p_1V_1\) に等しいので、\(Q_{CA} = -\frac{5}{2}p_1V_1\) となります。マイナスが付いているのは、熱を吸収したのではなく、放出したという意味です。

過程A→Bで気体が吸収する熱量は \(Q_{AB} = \frac{3}{2}p_1V_1\) です。これは正の値なので、実際に熱を吸収しています。
過程C→Aで気体が吸収する熱量は \(Q_{CA} = -\frac{5}{2}p_1V_1\) です。これは負の値なので、実際には \(\frac{5}{2}p_1V_1\) の熱を放出しています。
各過程の種類に応じた公式と、\(nRT_1 = p_1V_1\) の関係を正しく使って計算できています。

問3

思考の道筋とポイント
過程B→Cは、P-Vグラフ上で点B(\(V_1, 2p_1\))と点C(\(2V_1, p_1\))を結ぶ直線で表される変化です。
仕事 \(W_{BC}\) は、P-VグラフのB→Cの線とV軸、および \(V=V_1, V=2V_1\) の線で囲まれた台形の面積として計算できます。
吸収する熱量 \(Q_{BC}\) は、熱力学第一法則 \(\Delta U_{BC} = Q_{BC} – W_{BC}\) を用いて求めます。そのためには、まず内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) を計算する必要があります。単原子分子理想気体の内部エネルギー変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) で計算できます。

この設問における重要なポイント

• P-Vグラフから仕事 \(W\) を面積として計算できること（特に台形の面積）。
• 内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の計算: \(\Delta U = \frac{3}{2}nR(T_C – T_B)\)。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を正しく適用すること。
• 問1で求めた \(T_B\) と \(T_C\) の値 (\(T_B=T_C=2T_1\)) がここで重要になること。

具体的な解説と立式
仕事 \(W_{BC}\):
過程B→Cにおける仕事 \(W_{BC}\) は、P-Vグラフにおいて、B(\(V_1, 2p_1\))、C(\(2V_1, p_1\))とV軸に囲まれた部分の面積（台形）で与えられます。
台形の上底は \(p_C = p_1\)、下底は \(p_B = 2p_1\)、高さは \(V_C – V_B = 2V_1 – V_1 = V_1\) です。
したがって、仕事 \(W_{BC}\) は、
$$W_{BC} = \frac{1}{2} (P_B + P_C) (V_C – V_B)$$
$$W_{BC} = \frac{1}{2} (2p_1 + p_1) (2V_1 – V_1) = \frac{1}{2} (3p_1) (V_1) = \frac{3}{2}p_1V_1$$
体積が増加しているので、気体は外部に正の仕事をします。

吸収する熱量 \(Q_{BC}\):
熱力学第一法則 \(\Delta U_{BC} = Q_{BC} – W_{BC}\) を用います。
まず、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) を計算します。
$$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2}nR(T_C – T_B)$$
問1より \(T_B = 2T_1\) および \(T_C = 2T_1\) なので、
$$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2}nR(2T_1 – 2T_1) = \frac{3}{2}nR(0) = 0$$
内部エネルギーの変化は0です。これは、始状態Bと終状態Cの温度が等しいためです。
熱力学第一法則に代入すると、
$$0 = Q_{BC} – W_{BC}$$
したがって、
$$Q_{BC} = W_{BC}$$
上で計算した \(W_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1\) を代入すると、
$$Q_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1$$

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

B→Cの仕事 \(W_{BC}\):
P-Vグラフで、BからCへの変化の線と、縦軸（圧力軸）に平行な線で囲まれた図形の面積が、気体がした仕事になります。この図形は台形です。台形の面積は「（上底＋下底）× 高さ ÷ 2」で求められます。この場合、上底が \(p_1\)（C点の圧力）、下底が \(2p_1\)（B点の圧力）、高さが \(2V_1 – V_1 = V_1\)（体積の変化）と見なせます。（グラフの向きによっては上底と下底が逆になりますが、圧力の平均を取るイメージです。）
なので、\(W_{BC} = \frac{(2p_1 + p_1) \times V_1}{2} = \frac{3p_1V_1}{2} = \frac{3}{2}p_1V_1\) となります。

B→Cの吸収熱 \(Q_{BC}\):
熱の出入りは、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) から考えます。
まず内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) を求めます。内部エネルギーは温度で決まります。B点もC点も温度は \(2T_1\) で同じでした（問1の結果）。なので、温度変化は0です。したがって、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) も0です。
\(\Delta U_{BC} = 0\) を第一法則 \(0 = Q_{BC} – W_{BC}\) に入れると、\(Q_{BC} = W_{BC}\) となります。
つまり、気体が吸収した熱量は、気体がした仕事に等しくなります。
仕事は上で \(\frac{3}{2}p_1V_1\) と計算したので、吸収した熱量も \(Q_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1\) です。

過程B→Cで気体がする仕事は \(W_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1\) であり、吸収する熱量は \(Q_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1\) です。
BとCの温度が等しいことから内部エネルギー変化が0となり、吸収した熱が全て仕事に変換された（あるいは仕事をするために同量の熱を吸収した）ことを示しています。これは等温変化ではありませんが（P-Vグラフは反比例曲線ではない）、始点と終点の温度がたまたま同じだった特殊なケースです。

問4

思考の道筋とポイント
サイクルを一巡する間に気体がする正味の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、P-Vグラフ上でサイクルが囲む図形の面積に等しくなります。この問題のサイクルA→B→C→Aは三角形を形成しています。
あるいは、各過程 (A→B, B→C, C→A) での仕事を計算し、それらを合計することでも求められます。

この設問における重要なポイント

• サイクルがP-Vグラフ上で時計回りの場合、気体は正味の正の仕事をする。反時計回りなら負の仕事（される仕事）。
• サイクルが囲む面積を正しく計算すること（今回は三角形の面積）。
• 別解として、各過程の仕事の和からも求められることを理解しておく。

具体的な解説と立式
P-Vグラフ上で、サイクルA→B→C→Aは三角形を描きます。
頂点A: (\(V_1, p_1\))
頂点B: (\(V_1, 2p_1\))
頂点C: (\(2V_1, p_1\))
この三角形の底辺をACのV軸への射影、高さをBからACへの垂線の長さと考える。
底辺 (CのV座標 – AのV座標) = \(2V_1 – V_1 = V_1\)。
高さ (BのP座標 – AのP座標) = \(2p_1 – p_1 = p_1\)。
よって、サイクルが囲む三角形の面積 \(W_{\text{サイクル}}\) は、
$$W_{\text{サイクル}} = \frac{1}{2} (2V_1 – V_1) (2p_1 – p_1) = \frac{1}{2} V_1 p_1 = \frac{1}{2}p_1V_1$$
サイクルは時計回りなので、気体が外部にする仕事は正となります。

別解: 各過程の仕事の和
過程A→B (定積変化): \(W_{AB} = 0\)
過程B→C: 問3より \(W_{BC} = \frac{3}{2}p_1V_1\)
過程C→A (定圧変化): \(W_{CA} = P_A (V_A – V_C) = p_1 (V_1 – 2V_1) = p_1 (-V_1) = -p_1V_1\)
1サイクルの仕事はこれらの和なので、
$$W_{\text{サイクル}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0 + \frac{3}{2}p_1V_1 + (-p_1V_1)$$
$$W_{\text{サイクル}} = \left(\frac{3}{2} – 1\right)p_1V_1 = \left(\frac{3}{2} – \frac{2}{2}\right)p_1V_1 = \frac{1}{2}p_1V_1$$
どちらの方法でも同じ結果が得られます。

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

気体が1周して元の状態に戻る（サイクル）とき、気体がした正味の仕事は、P-Vグラフでそのサイクルが囲む図形の面積に等しくなります。
この問題のA→B→C→Aというサイクルは、P-Vグラフ上で三角形を描いています。
この三角形の底辺の長さは、A点とC点の体積の差なので \(2V_1 – V_1 = V_1\) です。
この三角形の高さは、A点(B点)とC点の圧力の差なので \(2p_1 – p_1 = p_1\) です。
三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」なので、仕事は \(\frac{1}{2} \times V_1 \times p_1 = \frac{1}{2}p_1V_1\) となります。
サイクルが時計回りに進んでいるので、気体は外部にプラスの仕事をしています。

このサイクルを一巡する間に気体がする仕事は \(W_{\text{サイクル}} = \frac{1}{2}p_1V_1\) です。
P-Vグラフの面積から求めた結果と、各過程の仕事の和から求めた結果が一致しており、妥当性が確認できます。

問5

思考の道筋とポイント
各過程 (A→B, B→C, C→A) における体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) の関係を調べ、T-V平面上にプロットします。

• A→B: 定積変化 (\(V=V_1\))。温度は \(T_A=T_1\) から \(T_B=2T_1\) へ上昇。
• B→C: \(V\) は \(V_1\) から \(2V_1\) へ変化。温度は \(T_B=2T_1\) から \(T_C=2T_1\) へ変化。この間の \(T\) と \(V\) の関係式を導く。
• C→A: 定圧変化 (\(P=p_1\))。\(T = \frac{p_1}{nR}V\)。\(V\) は \(2V_1\) から \(V_1\) へ変化。温度は \(T_C=2T_1\) から \(T_A=T_1\) へ下降。

この設問における重要なポイント

• 各状態点 (A, B, C) の (\(V, T\)) 座標を正しくプロットすること。
  • A: (\(V_1, T_1\))
  • B: (\(V_1, 2T_1\))
  • C: (\(2V_1, 2T_1\))
• 各過程がT-Vグラフ上でどのような線になるかを判断すること。
  • 定積変化 (A→B) は \(V=\text{const.}\) の縦線。
  • 定圧変化 (C→A) は \(T = (\text{const.}) \times V\) の原点を通る直線。
  • 過程B→Cでは、\(P\) と \(V\) の関係式 (直線) を \(T=\frac{PV}{nR}\) に代入して \(T(V)\) の関数形を求める。

具体的な解説と立式
点A, B, C の (V, T) 座標:

• 点A: \(V_A = V_1\), \(T_A = T_1\)。よって A(\(V_1, T_1\))
• 点B: \(V_B = V_1\), \(T_B = 2T_1\)。よって B(\(V_1, 2T_1\))
• 点C: \(V_C = 2V_1\), \(T_C = 2T_1\)。よって C(\(2V_1, 2T_1\))

過程 A→B (定積変化):
体積 \(V = V_1\) で一定。温度 \(T\) は \(T_1\) から \(2T_1\) へと直線的に上昇します。
T-Vグラフ上では、点A(\(V_1, T_1\)) から点B(\(V_1, 2T_1\)) へと、\(V=V_1\) の軸に平行な（縦軸に平行な）線分となります。

過程 C→A (定圧変化):
圧力 \(P = p_1\) で一定。状態方程式 \(p_1V = nRT\) より \(T = \frac{p_1}{nR}V\)。
これは、\(T\) が \(V\) に比例する関係、つまりT-Vグラフ上で原点を通る直線を表します。
また、\(p_1V_1 = nRT_1\) より \(\frac{p_1}{nR} = \frac{T_1}{V_1}\) なので、\(T = \frac{T_1}{V_1}V\) とも書けます。
体積 \(V\) は \(2V_1\) から \(V_1\) へと減少し、温度 \(T\) は \(T_C=2T_1\) から \(T_A=T_1\) へと直線的に下降します。
T-Vグラフ上では、点C(\(2V_1, 2T_1\)) から点A(\(V_1, T_1\)) へと、原点を通る直線の一部となります。

過程 B→C:
P-VグラフでB(\(V_1, 2p_1\))とC(\(2V_1, p_1\))を結ぶ直線なので、この直線上の圧力 \(P\) は体積 \(V\) の関数として、\(P = -\frac{p_1}{V_1}V + 3p_1\)。
絶対温度 \(T\) は状態方程式 \(T = \frac{PV}{nR}\) で与えられるので、
$$T(V) = \frac{1}{nR} \left( \left(-\frac{p_1}{V_1}V + 3p_1\right) V \right) = \frac{1}{nR} \left( -\frac{p_1}{V_1}V^2 + 3p_1V \right)$$
ここで \(p_1V_1 = nRT_1\) より \(nR = \frac{p_1V_1}{T_1}\) なので、
$$T(V) = \frac{T_1}{p_1V_1} \left( -\frac{p_1}{V_1}V^2 + 3p_1V \right) = T_1 \left( -\frac{1}{V_1^2}V^2 + \frac{3}{V_1}V \right)$$
これは \(V\) に関する2次関数で、\(V^2\) の係数が負なので上に凸の放物線を描きます。
頂点（温度が最大になる点）を求めます。\( \frac{dT}{dV} = T_1 \left( -\frac{2}{V_1^2}V + \frac{3}{V_1} \right) = 0 \) とおくと、
\( -\frac{2}{V_1^2}V + \frac{3}{V_1} = 0 \rightarrow \frac{2V}{V_1^2} = \frac{3}{V_1} \rightarrow 2V = 3V_1 \rightarrow V = \frac{3}{2}V_1 \)
このとき \(V_1 < \frac{3}{2}V_1 < 2V_1\) なので、この範囲内に頂点があります。
最大温度 \(T_{\text{max}}\) は \(V = \frac{3}{2}V_1\) を代入して、
$$T_{\text{max}} = T_1 \left( -\frac{1}{V_1^2}\left(\frac{3}{2}V_1\right)^2 + \frac{3}{V_1}\left(\frac{3}{2}V_1\right) \right) = T_1 \left( -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} \right) = T_1 \left( -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} \right) = \frac{9}{4}T_1$$
\(T_B = 2T_1 = \frac{8}{4}T_1\)、\(T_C = 2T_1 = \frac{8}{4}T_1\) なので、\(T_{\text{max}} = \frac{9}{4}T_1\) は \(T_B, T_C\) より高い温度です。
よって、過程B→Cは、点B(\(V_1, 2T_1\))から出発し、\(V=\frac{3}{2}V_1\) で \(T=\frac{9}{4}T_1\) の頂点を通り、点C(\(2V_1, 2T_1\))に至る上に凸の放物線の一部となります。

グラフの概形:
これらの情報を元にT-Vグラフを描きます。

1. 点A(\(V_1, T_1\))、B(\(V_1, 2T_1\))、C(\(2V_1, 2T_1\)) をプロットする。
2. A→B: Bに向かって垂直に上昇する線分。
3. B→C: BからCへ、途中で \(V=\frac{3}{2}V_1\) のときに \(T=\frac{9}{4}T_1\) ( \(>2T_1\) ) をとる上に凸の曲線。
4. C→A: CからAへ、原点を通る直線上を下降する線分。

T-Vグラフは、横軸に体積 \(V\)、縦軸に温度 \(T\) をとったグラフです。
まず、A, B, C の各点がどこに来るかを確認します。
A: (\(V_1, T_1\))
B: (\(V_1, 2T_1\)) （Aの真上、温度が2倍のところ）
C: (\(2V_1, 2T_1\)) （Bから見て右へ \(V_1\) だけ進んだところ、温度はBと同じ）

次に、A→B、B→C、C→A の各変化がどのような線になるかを見ます。

• A→B: 体積が \(V_1\) のまま変わらず、温度だけ \(T_1\) から \(2T_1\) に上がります。これはグラフ上で、点Aから点Bへまっすぐ上に伸びる線になります。
• C→A: 圧力が \(p_1\) で一定のまま、体積が \(2V_1\) から \(V_1\) に減り、温度が \(2T_1\) から \(T_1\) に下がります。状態方程式から \(T = (\text{一定値}) \times V\) の形になるので、原点を通る直線になります。点Cから点Aへ、この線に沿って下がります。
• B→C: これは少し複雑です。圧力Pと体積Vの関係はP-Vグラフで直線でしたが、これを温度Tと体積Vの関係に直すと、\(T = (\text{定数}) \times ( – (\text{正の定数})V^2 + (\text{正の定数})V )\) という形になり、数学でいう「上に凸の放物線」になります。B点とC点は同じ温度 \(2T_1\) ですが、その間の \(V = \frac{3}{2}V_1\) (BとCのちょうど真ん中の体積) のときに、温度は \(2T_1\) よりも少し高い \(\frac{9}{4}T_1\) まで上がってから下がってC点に至ります。

これらを繋げると、サイクル全体のT-Vグラフの形が分かります。

T-Vグラフは、

• A(\(V_1, T_1\)) → B(\(V_1, 2T_1\)) : \(V=V_1\) の縦線 (上昇)
• B(\(V_1, 2T_1\)) → C(\(2V_1, 2T_1\)) : \(V=\frac{3}{2}V_1\) で \(T_{\text{max}}=\frac{9}{4}T_1\) を頂点とする上に凸の放物線
• C(\(2V_1, 2T_1\)) → A(\(V_1, T_1\)) : 原点を通る傾き \(\frac{T_1}{V_1}\) の直線 (下降)

となります。模範解答の図とも整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 気体の状態（圧力、体積、温度）を記述する最も基本的な法則です。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)):
  • エネルギー保存則の熱力学版です。気体の内部エネルギー変化と、熱の出入り、仕事のやり取りの関係を示します。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT\)) と比熱 (\(C_V = \frac{3}{2}R, C_P = \frac{5}{2}R\)):
  • 内部エネルギーが温度のみに依存すること、そしてその具体的な形を知っていることが重要です。
• P-Vグラフの意味と仕事の計算:
  • P-Vグラフは気体の状態変化を視覚的に捉えるのに役立ちます。グラフ上の曲線が囲む面積が、その過程で気体がする仕事を表します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 他の形状のサイクル（例：カルノーサイクル、オットーサイクル、ディーゼルサイクルの一部など）。
  • 断熱変化を含むサイクル。
  • 気体の種類が異なる場合（二原子分子など、比熱の値が変わる）。
  • P-Vグラフだけでなく、T-VグラフやP-Tグラフが与えられる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 気体の種類は何か？ (単原子分子か、それ以外か \(\rightarrow\) 比熱の値が変わる)
  2. 各状態変化は何か？ (P-Vグラフの形状から、定積、定圧、等温、断熱、あるいはそれ以外の特定の関数関係にある変化かを見抜く)
  3. 各状態点 (A, B, C…) の \(P, V, T\) は何か？ (状態方程式を駆使して全て把握する)
  4. 問われているのは仕事 \(W\)、熱量 \(Q\)、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) のどれか？ (熱力学第一法則を念頭に置く)
  5. サイクル全体の仕事や熱効率は？ (サイクルが囲む面積、吸収熱の総和などを考える)
• 問題解決のヒント・注意点:
  • まず、与えられたグラフから読み取れる情報を整理し、各点の \(P, V\) を明確にします。
  • 状態方程式 \(PV=nRT\) は常に基本です。\(nRT\) の部分を \(PV\) に置き換える（またはその逆）ことで、式を簡潔にしたり、求めたい物理量で表現したりできます。
  • 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) は、どの過程にも適用できる万能な法則です。迷ったらこれに立ち返りましょう。
  • 仕事 \(W\) の符号に注意：気体が外部に仕事をする場合は正、外部から仕事をされる場合は負。
  • 熱量 \(Q\) の符号に注意：気体が熱を吸収する場合は正、放出する場合は負。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度と内部エネルギーの関係: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度にのみ比例します。始点と終点の温度が同じなら、どのような経路を通っても内部エネルギーの変化は0です（例：本問のB→C過程）。
• 仕事の計算: P-Vグラフの面積が仕事ですが、体積が減少する過程では仕事は負になります（される仕事）。
• モル比熱の使い分け: 定積モル比熱 \(C_V\) は定積変化の \(Q = nC_V\Delta T\) や内部エネルギー変化 \(\Delta U = nC_V\Delta T\) で使います。定圧モル比熱 \(C_P\) は定圧変化の \(Q = nC_P\Delta T\) で使います。
• \(nRT\) の置き換え: \(nRT_A = P_AV_A\) のような関係は非常に便利ですが、どの状態の \(P,V,T\) を使っているのかを常に意識することが大切です。
• グラフの解釈: P-VグラフとT-Vグラフでは、同じ過程でも線の形が異なります。

対策: 基本に立ち返り、図を描き、簡単なケースで検算する習慣をつけましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. P-Vグラフ（問題で与えられ、仕事や状態変化を把握するのに必須）。
  2. T-Vグラフ（設問5、温度変化の様子を明確化）。
• 図を描く際の注意点: 軸の物理量と単位を明記。各状態点を明確にプロット。変化の方向を矢印で示す。変化の種類に応じた線の特徴を正確に描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PV=nRT\): (問1, 問5) 各状態の \(P,V,T\) を関連付けるため。
• \(Q_V = nC_V\Delta T\): (問2 A→B) 定積変化であり、吸収熱を問われているため。
• \(Q_P = nC_P\Delta T\): (問2 C→A) 定圧変化であり、吸収熱を問われているため。
• \(W_{\text{面積}}\): (問3 B→C, 問4) P-Vグラフが与えられ、仕事が問われているため。
• \(\Delta U = nC_V\Delta T\): (問3 B→C) 内部エネルギー変化を計算するため。
• \(\Delta U = Q – W\): (問3 B→C) \(Q, W, \Delta U\) のうち2つが分かれば残りが求まるため。

これらの選択・適用の根拠を自問自答する訓練が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 現象把握（熱力学サイクル）。
2. 問(1) 温度 \(\rightarrow\) 状態方程式。
3. 問(2) 特定過程の熱量 \(\rightarrow\) 変化の種類特定 \(\rightarrow\) 熱量公式 \(\rightarrow\) \(PV=nRT\) で置換。
4. 問(3) 特定過程の仕事と熱量 \(\rightarrow\) 仕事は面積 \(\rightarrow\) \(\Delta U\) 計算 \(\rightarrow\) 第一法則で熱量。
5. 問(4) サイクルの仕事 \(\rightarrow\) 囲む面積 or 各仕事の和。
6. 問(5) T-Vグラフ \(\rightarrow\) 各点の (\(V,T\)) \(\rightarrow\) 各過程の \(T(V)\) 関係式導出 \(\rightarrow\) 描画。

この論理の流れを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位確認: 常に物理量の単位を意識する。
• 符号チェック: 仕事、熱量、温度変化の符号に注意。
• モル比熱の値: 単原子分子 (\(C_V=\frac{3}{2}R, C_P=\frac{5}{2}R\)) を正確に。
• \(nRT = PV\) の置き換え: どの状態の関係かを明確に。
• グラフの面積計算: 公式を正しく適用。

日頃の練習: 途中式を丁寧に書き、検算し、間違いを分析する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 温度、仕事、熱量の符号や大小関係が直感と合うか。
  • B→Cで \(\Delta U = 0\) から \(Q=W\) となることの物理的意味。
  • 時計回りサイクルの仕事が正であること。
• 単位の一貫性: 基本量で表したときの次元が正しいか。
• 他の物理法則との整合性: サイクル全体の \(\Delta U = 0\) が \(Q_{\text{サイクル}} = W_{\text{サイクル}}\) となっているか確認。

問題62 (東京理科大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、単原子分子理想気体が P-V グラフ上を A→B→C→A とサイクル運動する際の、各過程における内部エネルギー変化、仕事、熱量の関係、そしてサイクル全体の仕事と熱効率を問う穴埋め形式の問題です。特に、過程B→Cが等温変化であることが重要なポイントです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は熱力学の分野に属し、特に理想気体の状態変化と熱力学サイクルに関する理解を深めるための良い演習問題です。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q_{\text{吸収}} – W_{\text{した}}\)
• 各過程の性質:
  • 定積変化 (A→B): \(W=0\), \(Q = \Delta U\)
  • 等温変化 (B→C): \(\Delta U = 0\), \(Q = W\), \(PV = \text{一定}\)
  • 定圧変化 (C→A): \(W = P\Delta V\)
• サイクルの仕事と熱効率: \(W_{\text{サイクル}}\)はP-Vグラフ上の面積, \(e = \frac{W_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{in}}}\)

全体的な戦略としては、まず各過程の性質を確認し、必要に応じて状態量を計算し、設問に従って各物理量を求めていきます。

問(a) 空欄\(\fbox{1}\)

思考の道筋とポイント
過程A→Bは、P-Vグラフから体積が \(V\) で一定の定積変化です。気体の内部エネルギーは、単原子分子理想気体の場合 \(U = \frac{3}{2}PV\) と表せます。内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) は、状態Bの内部エネルギー \(U_B\) から状態Aの内部エネルギー \(U_A\) を引いたものです。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U=\frac{3}{2}PV\) を正しく使うこと。
• 状態Aと状態Bの \(P, V\) の値をグラフから正確に読み取ること。
  • 状態A: \(P_A = P\), \(V_A = V\)
  • 状態B: \(P_B = 3P\), \(V_B = V\)

具体的な解説と立式
状態Aにおける内部エネルギー \(U_A\) は、
$$U_A = \frac{3}{2} P_A V_A = \frac{3}{2} PV$$
状態Bにおける内部エネルギー \(U_B\) は、
$$U_B = \frac{3}{2} P_B V_B = \frac{3}{2} (3P)V = \frac{9}{2}PV$$
したがって、A→Bの過程における内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) は、
$$\Delta U_{AB} = U_B – U_A = \frac{9}{2}PV – \frac{3}{2}PV$$

$$\Delta U_{AB} = \frac{9}{2}PV – \frac{3}{2}PV = \frac{9-3}{2}PV = \frac{6}{2}PV = 3PV$$

気体の元気の素（内部エネルギー）は、単原子分子の理想気体の場合、「圧力 × 体積」に \(\frac{3}{2}\) を掛けたもので表せます。A地点での元気の素は \(\frac{3}{2}PV\)。B地点での元気の素は、圧力が \(3P\)、体積が \(V\) なので \(\frac{3}{2}(3P)V = \frac{9}{2}PV\)。AからBへの元気の素の変化は、Bでの元気の素からAでの元気の素を引けばよいので、\(\frac{9}{2}PV – \frac{3}{2}PV = 3PV\) となります。

A→Bの過程で内部エネルギーは \(3PV\) だけ増加します。これは、体積一定のまま圧力が3倍になったため、温度も3倍になり、内部エネルギーが増加したことを意味します。

問(b) 空欄\(\fbox{2}\), \(\fbox{3}\)

思考の道筋とポイント
過程B→Cは、問題文で等温変化であると明記されています。理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するため、等温変化では内部エネルギーは変化しません。吸収した熱量が \(Q\) と与えられているので、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q_{\text{吸収}} – W_{\text{した}}\) を用いて仕事を求めます。

この設問における重要なポイント

• 等温変化では理想気体の内部エネルギーは変化しない (\(\Delta U = 0\)) ことを理解していること。
• 熱力学第一法則を正しく適用すること。

具体的な解説と立式
内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) (\(\fbox{2}\)):
過程B→Cは等温変化です。単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \frac{3}{2}nRT\) と表され、温度 \(T\) のみに依存します。等温変化では温度 \(T\) が一定なので、内部エネルギー \(U\) も一定です。
したがって、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) は、
$$\Delta U_{BC} = 0$$
外部にした仕事 \(W_{BC}\) (\(\fbox{3}\)):
熱力学第一法則は \(\Delta U_{BC} = Q_{BC} – W_{BC}\) です。
ここで、\(Q_{BC}\) は気体が吸収した熱量で、問題文より \(Q\) [J] です。
\(\Delta U_{BC} = 0\) なので、
$$0 = Q – W_{BC}$$したがって、気体が外部にした仕事 \(W_{BC}\) は、$$W_{BC} = Q$$

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

内部エネルギーの変化: BからCへの変化は「等温変化」と問題に書かれています。これは温度が変わらない変化という意味です。気体の元気の素（内部エネルギー）は温度で決まるので、温度が変わらなければ元気の素も変わりません。だから、内部エネルギーの変化はゼロです。

外部にした仕事: 熱力学の基本ルール（第一法則）は「元気の素の変化 ＝ もらった熱エネルギー － 外にした仕事」です。今、元気の素の変化はゼロでした。もらった熱エネルギーは \(Q\) だと問題にあります。なので、\(0 = Q – (\text{外にした仕事})\) となります。これを変形すると、「外にした仕事 \(= Q\)」となります。

等温変化では内部エネルギーが変化しないため、吸収した熱量はすべて外部への仕事に使われることがわかります。これは等温膨張の典型的な特徴です。

問(c) 空欄\(\fbox{4}\)

思考の道筋とポイント
過程C→Aは、P-Vグラフから圧力 \(P\) で一定の定圧変化です。この過程で気体がする仕事 \(W_{CA}\) は \(P\Delta V = P(V_A – V_C)\) で計算できます。気体が「受けた」仕事 \(W’_{CA}\) は、気体が「した」仕事 \(W_{CA}\) と符号が逆になります (\(W’_{CA} = -W_{CA}\))。まず、状態Cの体積 \(V_C\) を求める必要があります。これは、過程B→Cが等温変化であること（ボイルの法則 \(P_B V_B = P_C V_C\)）を利用します。

この設問における重要なポイント

• ボイルの法則を適用して未知の体積 \(V_C\) を求めること。
• 定圧変化における仕事の公式 \(W = P\Delta V\) を使うこと。
• 気体が「した」仕事と「受けた」仕事の符号の関係を理解していること。

具体的な解説と立式
状態Cの体積 \(V_C\) の決定:
過程B→Cは等温変化なので、ボイルの法則が成り立ちます。
$$P_B V_B = P_C V_C$$
状態B: \(P_B = 3P\), \(V_B = V\)
状態C: \(P_C = P\)
よって、
$$(3P)V = P \cdot V_C$$両辺を \(P\) で割ると (\(P \neq 0\))、$$V_C = 3V$$
C→Aで気体がした仕事 \(W_{CA}\):
過程C→Aは圧力 \(P_A = P_C = P\) で一定の定圧変化です。気体が外部にした仕事 \(W_{CA}\) は、
$$W_{CA} = P_A (V_A – V_C) = P(V – 3V) = P(-2V) = -2PV$$
ここで、\(V_A = V\) です。

C→Aで気体が受けた仕事 \(W’_{CA}\):
気体が受けた仕事は、気体がした仕事と符号が逆なので、
$$W’_{CA} = -W_{CA} = -(-2PV) = 2PV$$

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

C地点の体積を求める: BからCは温度が同じ変化なので、「圧力 × 体積」の値もBとCで同じになります（ボイルの法則）。B地点: 圧力 \(3P\)、体積 \(V\)。なので \(3P \times V = 3PV\)。C地点: 圧力 \(P\)、体積を \(V_C\) とすると \(P \times V_C\)。これらが等しいので \(3PV = PV_C\)。つまり \(V_C = 3V\) です。C地点の体積はA地点の3倍です。

C→Aで気体が受けた仕事: CからAへの変化は圧力が \(P\) で一定のまま、体積が \(3V\) から \(V\) に減ります（圧縮）。気体が「した」仕事は、圧力 ×（体積変化）なので、\(P \times (V – 3V) = P \times (-2V) = -2PV\)。マイナスは、気体が仕事をしたのではなく、仕事をされたことを意味します。問題では「気体が受けた仕事」を問われているので、これは「された仕事」のことです。符号をプラスにして \(2PV\) となります。

過程C→Aでは体積が減少（圧縮）しているので、気体は外部から仕事をされます。その値は \(2PV\) となり、正の値として妥当です。

問(d) 空欄\(\fbox{5}\), \(\fbox{6}\)

思考の道筋とポイント
1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、各過程 (A→B, B→C, C→A) で気体がした仕事の代数和です。あるいは、P-Vグラフ上でサイクルが囲む面積でも求められます。熱効率 \(e\) は、\(e = \frac{W_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{in}}}\) で定義されます。ここで \(Q_{\text{in}}\) は、1サイクルの間に気体が吸収した熱量の総和です。

この設問における重要なポイント

• サイクルの仕事の求め方（各過程の和、またはP-Vグラフの面積）。
• 熱効率の定義 \(e = \frac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収総量}}}\)。
• どの過程で熱を吸収し（\(Q>0\)）、どの過程で熱を放出するか（\(Q<0\)）を正しく判断すること。

具体的な解説と立式
1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) (\(\fbox{5}\)):
各過程で気体がした仕事は、

• 過程A→B (定積変化): \(W_{AB} = 0\)
• 過程B→C (等温変化): \(W_{BC} = Q\) （(b)より）
• 過程C→A (定圧変化): \(W_{CA} = -2PV\) （(c)の計算途中より）

よって、1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、
$$W_{\text{サイクル}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0 + Q + (-2PV) = Q – 2PV$$
熱効率 \(e\) (\(\fbox{6}\)):
熱効率を求めるためには、1サイクル中に気体が吸収した総熱量 \(Q_{\text{in}}\) を計算する必要があります。

• 過程A→B (定積変化): \(\Delta U_{AB} = 3PV\)。定積変化なので \(W_{AB} = 0\)。熱力学第一法則より \(Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 3PV + 0 = 3PV\)。これは正の値なので、熱を吸収しています。
• 過程B→C (等温変化): 問題文より吸収した熱量は \(Q_{BC} = Q\)。
• 過程C→A (定圧変化): \(\Delta U_{CA} = U_A – U_C = \frac{3}{2}PV – \frac{3}{2}P(3V) = -3PV\)。\(W_{CA} = -2PV\)。熱力学第一法則より \(Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -3PV + (-2PV) = -5PV\)。これは負の値なので、熱を放出しています。

したがって、1サイクル中に気体が吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{in}}\) は、
$$Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3PV + Q$$
熱効率 \(e\) は、
$$e = \frac{W_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{Q – 2PV}{3PV + Q}$$

上記「具体的な解説と立式」で計算済み。

サイクル全体の仕事: 一周して気体がした「正味の」仕事は、それぞれの変化で気体がした仕事を足し合わせればOKです。A→B: 体積が変わらないので仕事はゼロ。B→C: (b)で求めたように仕事は \(Q\)。C→A: (c)で求めたように「された」仕事が \(2PV\) なので、「した」仕事は \(-2PV\)。全部足すと、\(0 + Q + (-2PV) = Q – 2PV\)。これが一周分の仕事です。

熱効率: 熱効率とは、「使った熱エネルギーのうち、どれだけ仕事に変わったか」の割合です。式で書くと \(e = \frac{\text{正味の仕事}}{\text{吸収した総熱量}}\)。正味の仕事は上で \(Q – 2PV\) と求めました。次に「吸収した総熱量」を考えます。A→Bでは、内部エネルギーが \(3PV\) 増え、仕事はしなかったので、もらった熱は \(3PV\) です。B→Cでは、問題文から \(Q\) の熱をもらいました。C→Aでは、計算すると \(5PV\) の熱を「放出」しています（マイナスなので）。なので、もらった熱の合計は \(3PV + Q\) です。よって、熱効率は \(\frac{Q – 2PV}{3PV + Q}\) となります。

サイクルの正味の仕事は \(Q – 2PV\)。これはP-VグラフのA→B→C→Aで囲まれた面積に等しくなります。熱効率は \(\frac{Q – 2PV}{Q + 3PV}\)。熱効率は必ず1より小さい値になるはずです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単原子分子理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}PV\)): 内部エネルギーを圧力と体積で直接表現できるこの式は、温度 \(T\) を介さずに計算できるため非常に便利です。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): 全ての熱力学過程のエネルギー収支を記述する基本法則。
• 等温変化の特性: 理想気体では \(\Delta U = 0\) となり、\(Q=W\) が成り立ちます。また、ボイルの法則 \(PV=\text{一定}\) も重要です。
• 定積変化・定圧変化の特性: 定積変化では \(W=0\), \(Q = \Delta U\)。定圧変化では \(W=P\Delta V\)。
• サイクルの仕事と熱効率: サイクル全体の仕事はP-Vグラフ上の面積または各過程の仕事の和。熱効率は投入した熱エネルギーに対する正味の仕事の割合。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン: 異なる種類の状態変化（断熱変化など）を含むサイクル、他のグラフ（T-Vグラフなど）が与えられる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 気体の種類は何か？（比熱や内部エネルギーの式に関わる）
  2. 各過程は何か？（グラフや問題文から正確に把握）
  3. 各状態点での \(P, V, T\) の関係は？（未知の値を求める）
  4. 「吸収した熱量」「外部にした仕事」「気体が受けた仕事」など言葉遣いに注意。
• 問題解決のヒント・注意点: P-Vグラフを丁寧に読み取り、熱力学第一法則を常に念頭に置く。仕事や熱量の符号に注意。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内部エネルギーの式: 単原子分子であることを確認し、係数 \(\frac{3}{2}\) を正確に使う。
• 等温変化と断熱変化の混同: 等温変化は \(\Delta U=0\)、断熱変化は \(Q=0\)。明確に区別する。
• 仕事の符号: \(W = P\Delta V\) は気体が「した」仕事。体積増加で正、減少で負。「受けた」仕事はその逆符号。
• 熱効率の分母 \(Q_{\text{in}}\): 「吸収した」熱量の総和。放出した熱量は含めない。

対策: 各物理量の定義と符号の規約を正確に覚え、状態変化の種類ごとの特徴を整理する。図を丁寧に描き、視覚的に確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図: P-Vグラフ。各状態の位置、変化の経路、仕事の大きさ（面積）、サイクルの形状が一目でわかる。
• 図を描く際の注意点: 軸のラベル、各状態点、変化の方向（矢印）を明確に。等温曲線は反比例、定積・定圧は軸に平行な直線。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(U = \frac{3}{2}PV\): (a) \(\Delta U_{AB}\) 計算。単原子分子で \(P,V\) が既知。
• \(\Delta U = 0\) (等温変化): (b) \(\Delta U_{BC}\)。条件から。
• \(\Delta U = Q – W\): (b) \(W_{BC}\)。\(\Delta U, Q\) が既知。 (d) \(Q_{AB}\)。
• \(P_1V_1 = P_2V_2\) (ボイルの法則): (c) \(V_C\) 決定。B→Cが等温変化。
• \(W = P\Delta V\): (c) \(W_{CA}\)。定圧変化。
• \(W_{\text{サイクル}} = \sum W\): (d) サイクル全体の仕事。
• \(e = W_{\text{サイクル}} / Q_{\text{in}}\): (d) 熱効率の定義。

各公式がどの物理現象や条件に対応するかを理解し、適切に選択することが重要。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況分析: 単原子分子理想気体のサイクル。P-Vグラフと各過程の種類を把握。
2. 問(a) \(\Delta U_{AB}\): A→Bは定積。\(U=\frac{3}{2}PV\) で \(U_A, U_B\) を計算し差。
3. 問(b) \(\Delta U_{BC}, W_{BC}\): B→Cは等温。\(\Delta U_{BC}=0\)。第一法則から \(W_{BC}=Q_{BC}\)。\(Q_{BC}=Q\)。
4. 問(c) \(W’_{CA}\): C→Aは定圧。まず \(V_C\) をB→Cの等温条件から。次に \(W_{CA}=P\Delta V\)。\(W’_{CA}=-W_{CA}\)。
5. 問(d) \(W_{\text{サイクル}}, e\): \(W_{\text{サイクル}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}\)。\(Q_{\text{in}}\) を特定 (\(Q_{AB}=\Delta U_{AB}\), \(Q_{BC}=Q\))。\(e = W_{\text{サイクル}} / Q_{\text{in}}\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位: 文字式のままなので直接影響は少ないが、常に意識。
• 符号: 仕事、熱量、体積変化の正負に注意。「受けた仕事」の問い方に注意。
• \(P, V\) の値の代入ミス: グラフから正確に読み取る。
• 内部エネルギーの係数: 単原子分子で \(\frac{3}{2}\)。
• 熱効率の分母: 「吸収した」熱量のみを足す。

日頃の練習: 途中式を丁寧に書き、各ステップの意味を意識する。検算を行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • A→B（定積加熱）で \(\Delta U > 0\)。
  • B→C（等温膨張）で \(\Delta U = 0, W=Q\)。外部仕事には熱吸収が必要。
  • C→A（定圧冷却・圧縮）で \(W < 0\)（仕事をされる）。
  • サイクル全体の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) が正（時計回り）。
  • 熱効率 \(e\) は \(0 \le e < 1\)。
• 単位の確認: 全ての項がエネルギーの次元か。

問題63 (熊本大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、1molの単原子分子理想気体がT-Vグラフ上で示すA→B→C→D→Aというサイクル運動について、各過程での熱量や仕事、状態量、そしてサイクル全体の仕事と熱効率を計算する問題です。T-Vグラフが与えられており、各過程の特性（定積変化、体積が温度に比例する変化）が示されています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は熱力学の分野に属し、特にT-Vグラフで与えられた理想気体のサイクルを解析する能力を問います。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W\)
• モル比熱 (単原子分子理想気体): 定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\)
• 各過程の性質:
  • 定積変化: \(W = 0\), \(Q = nC_V\Delta T = \Delta U\)
  • 定圧変化: \(W = P\Delta V = nR\Delta T\), \(Q = nC_P\Delta T\)。T-Vグラフ上では原点を通る直線。

全体的な戦略としては、まず各過程の種類を特定し、各状態の物理量を整理、そして設問ごとに適切な法則を適用して計算を進めます。

問1

思考の道筋とポイント
過程A→Bは、T-Vグラフから体積が \(V_0\) で一定の定積変化です。単原子分子理想気体 (1mol) なので、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) を用いて、吸収した熱量 \(Q_{AB}\) は \(nC_V\Delta T\) で計算できます。

この設問における重要なポイント

• 定積変化であることの認識。
• 単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) の適用。
• 温度変化 \(\Delta T = T_B – T_A = T_1 – T_0\)。

具体的な解説と立式
過程A→Bは定積変化です。このとき、気体が吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) に等しくなります（仕事 \(W_{AB}=0\) のため）。
内部エネルギーの変化は、物質量 \(n\)、定積モル比熱 \(C_V\)、温度変化 \(\Delta T_{AB}\) を用いて次のように表せます。
$$Q_{AB} = nC_V \Delta T_{AB}$$
与えられた条件は、\(n=1\) mol、単原子分子理想気体なので \(C_V = \frac{3}{2}R\)、温度変化は \(\Delta T_{AB} = T_B – T_A = T_1 – T_0\) です。
これらの値を代入して \(Q_{AB}\) を求めます。

与えられた値を上記の式に代入します。
$$Q_{AB} = 1 \cdot \frac{3}{2}R (T_1 – T_0)$$
したがって、
$$Q_{AB} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)$$

AからBへの変化は、体積が \(V_0\) のまま変わらない定積変化です。このとき気体がもらう熱は、\((\text{物質量}) \times (\text{定積モル比熱}) \times (\text{温度変化})\) で計算できます。物質量は1mol、単原子分子の定積モル比熱は \(\frac{3}{2}R\)、温度は \(T_0\) から \(T_1\) に変化したので、温度変化は \(T_1 – T_0\) です。これらを掛け合わせると、吸収した熱量が求まります。

A→Bの過程で気体が吸収した熱量は \(\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\) [J] です。グラフから通常 \(T_1 > T_0\) と考えられるため、これは正の値となり、気体が熱を吸収して内部エネルギーが増加することを示します。

問2

思考の道筋とポイント
過程B→Cは、T-Vグラフ上で「体積は温度に対して直線的に変化」しており、図から原点を通る直線と解釈できます。これは \(V = kT\) （\(k\) は比例定数）の関係を意味します。この関係を理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) と照らし合わせることで、この過程が定圧変化であることを導き、その圧力値を求めます。

この設問における重要なポイント

• T-Vグラフ上の原点を通る直線の意味（\(V/T = \text{const.}\)）を理解し、それが定圧変化に繋がること。
• 状態方程式 \(PV=nRT\) を用いて圧力を求めること。

具体的な解説と立式
過程B→Cにおいて、T-Vグラフは原点を通る直線なので、体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) の間には比例関係が成り立ちます。すなわち、\(V/T = k_1\) （\(k_1\) は正の定数）と書けます。
理想気体の状態方程式は \(PV=nRT\) です。これを変形すると、
$$\frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$$
\(V/T\) が一定値 \(k_1\) であり、\(n\) と \(R\) も定数なので、圧力 \(P\) も一定でなければなりません。したがって、過程B→Cは定圧変化です。このときの圧力を \(P_B\)（または \(P_C\)）とします。
状態B（温度 \(T_1\)、体積 \(V_0\)、物質量 \(n=1\)）における状態方程式は、
$$P_B V_0 = 1 \cdot RT_1$$
ここから圧力 \(P_B\) を求めます。過程B→Cは定圧なので、\(P_C = P_B\) となります。

状態Bの圧力 \(P_B\) は、状態方程式より、
$$P_B = \frac{RT_1}{V_0}$$
過程B→Cは定圧変化なので、状態Cの圧力 \(P_C\) は状態Bの圧力 \(P_B\) に等しくなります。
$$P_C = P_B = \frac{RT_1}{V_0}$$

BからCへの変化のグラフは、原点を通る直線なので「体積が温度に正比例する」関係です。気体の基本ルール \(PV=nRT\) から考えると、この関係は圧力が一定のときに成り立ちます（これを定圧変化といいます）。つまり、B地点での圧力とC地点での圧力は同じです。B地点の圧力は、\(P_B V_0 = 1 \cdot RT_1\) から \(P_B = RT_1/V_0\) と計算できます。これがそのままC地点の圧力 \(P_C\) となります。

状態Cでの気体の圧力は \(P_C = \frac{RT_1}{V_0}\) [N/m²] です。T-Vグラフ上の原点を通る直線が定圧変化を表すことを理解することが重要です。

問3

思考の道筋とポイント
過程D→Aも、過程B→Cと同様にT-Vグラフ上で原点を通る直線なので、定圧変化です。このときの圧力は状態Aの圧力 \(P_A\) と等しくなります。まず状態Aの圧力 \(P_A\) を求め、次に状態Dの温度 \(T_D\) を特定します。状態Dの体積は \(V_1\) です。放出した熱量 \(Q’_{DA}\) は、吸収した熱量 \(Q_{DA} = nC_P(T_A – T_D)\) が負の値になるため、その絶対値 \(-Q_{DA}\) で計算します。

この設問における重要なポイント

• D→Aが定圧変化であることの認識と、その圧力 \(P_A\) の特定。
• 状態Dの温度 \(T_D\) を、状態Aの圧力 \(P_A\) と状態Dの体積 \(V_1\)、およびB→Cの関係から導かれる \(V_1\) と温度の関係を用いて求めること。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) の適用。
• 「放出した熱量」を問われているため、計算結果の符号に注意すること。

具体的な解説と立式
過程D→Aは定圧変化であり、その圧力は状態Aの圧力 \(P_A\) に等しいです。
状態A（温度 \(T_0\)、体積 \(V_0\)、物質量 \(n=1\)）における状態方程式は、
$$P_A V_0 = 1 \cdot RT_0$$
これから \(P_A = \frac{RT_0}{V_0}\) となります。
したがって、過程D→Aの圧力は \(P_D = P_A = \frac{RT_0}{V_0}\) です。

次に、状態Dの温度 \(T_D\) を求めます。状態Dの体積は \(V_D = V_1\)。状態方程式 \(P_D V_D = nRT_D\) より、
$$\left(\frac{RT_0}{V_0}\right) V_1 = 1 \cdot RT_D$$
これから \(T_D = \frac{V_1}{V_0}T_0\) となります。
ここで、過程B→Cが定圧変化（圧力 \(P_B = RT_1/V_0\)）であることから、シャルルの法則の関係 \(V/T = \text{const.}\) が成り立ちます。
$$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}$$
つまり、
$$\frac{V_0}{T_1} = \frac{V_1}{T_2}$$
この式から、体積の比 \(\frac{V_1}{V_0}\) は温度の比 \(\frac{T_2}{T_1}\) に等しいことがわかります。
$$\frac{V_1}{V_0} = \frac{T_2}{T_1}$$
これを \(T_D\) の式に代入すると、
$$T_D = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)T_0$$
D→Aの過程で気体が吸収する熱量 \(Q_{DA}\) は、定圧変化なので \(nC_P \Delta T_{DA}\) で計算できます。
$$Q_{DA} = nC_P(T_A – T_D) = 1 \cdot \frac{5}{2}R \left(T_0 – \frac{T_2}{T_1}T_0\right)$$
気体が外部へ放出した熱量 \(Q’_{DA}\) は \(-Q_{DA}\) です。

吸収する熱量 \(Q_{DA}\) を計算します。
$$Q_{DA} = \frac{5}{2}R T_0 \left(1 – \frac{T_2}{T_1}\right) = \frac{5}{2}R T_0 \frac{T_1 – T_2}{T_1} = \frac{5R T_0 (T_1 – T_2)}{2T_1}$$
通常、サイクルの図から \(T_2 > T_1\) と考えられるため、\(T_1 – T_2\) は負となり、\(Q_{DA}\) は負の値（熱を放出）になります。
気体が外部へ放出した熱量 \(Q’_{DA}\) は \(-Q_{DA}\) なので、
$$Q’_{DA} = – \left( \frac{5R T_0 (T_1 – T_2)}{2T_1} \right) = \frac{5R T_0 (T_2 – T_1)}{2T_1}$$

DからAへの変化も圧力が一定の変化です。このときの圧力はA地点の圧力 \(P_A = RT_0/V_0\) と同じです。まずD地点の温度 \(T_D\) を求めます。AとDは同じ圧力なので、\(V_0/T_0 = V_1/T_D\) の関係があります。また、BとCも同じ圧力だったので \(V_0/T_1 = V_1/T_2\) という関係がありました。これらの式を使うと \(T_D = (T_2/T_1)T_0\) と計算できます。DからAへは温度が \(T_D\) から \(T_0\) へ変化します。このとき吸収する熱量は \(Q_{DA} = \frac{5}{2}R(T_0 – T_D)\)。\(T_D\) を代入すると \(Q_{DA} = \frac{5R T_0 (T_1 – T_2)}{2T_1}\)。\(T_2 > T_1\) の場合、これはマイナスになるので熱を放出しています。「放出した熱量」なので、この値の符号をプラスにした \(\frac{5R T_0 (T_2 – T_1)}{2T_1}\) が答えです。

D→A の過程で気体が外部へ放出した熱量は \(\frac{5R T_0 (T_2 – T_1)}{2T_1}\) [J] です。グラフの温度設定（通常 \(T_2>T_1\)）からこれは正の値となり、実際に熱を放出していることを示します。

問4

思考の道筋とポイント
1サイクルで気体が外部へした仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、各過程 (A→B, B→C, C→D, D→A) で気体がした仕事の代数和です。A→B と C→D は定積変化なので仕事は0。B→C と D→A は定圧変化なので仕事は \(P\Delta V = nR\Delta T\) で計算します。

この設問における重要なポイント

• 各過程の仕事の計算（定積変化では0、定圧変化では \(P\Delta V\) または \(nR\Delta T\)）。
• P-Vグラフをイメージしてサイクル全体の仕事を捉えること（このサイクルはP-Vグラフで長方形をなす）。

具体的な解説と立式
各過程で気体がした仕事は、

• 過程A→B (定積変化): \(W_{AB} = 0\)
• 過程C→D (定積変化): \(W_{CD} = 0\)
• 過程B→C (定圧変化、圧力 \(P_B = RT_1/V_0\)):
  仕事 \(W_{BC} = nR(T_C – T_B) = 1 \cdot R(T_2 – T_1) = R(T_2 – T_1)\)。
• 過程D→A (定圧変化、圧力 \(P_A = RT_0/V_0\)):
  仕事 \(W_{DA} = nR(T_A – T_D) = 1 \cdot R(T_0 – T_D) = R(T_0 – \frac{T_2}{T_1}T_0) = R T_0 (1 – \frac{T_2}{T_1}) = \frac{R T_0 (T_1 – T_2)}{T_1}\)。

1サイクルの仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) はこれらの和なので、
$$W_{\text{サイクル}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$$
$$W_{\text{サイクル}} = 0 + R(T_2 – T_1) + 0 + \frac{R T_0 (T_1 – T_2)}{T_1}$$
このサイクルをP-Vグラフで考えると、圧力 \(P_A = RT_0/V_0\) と \(P_B = RT_1/V_0\)、体積 \(V_0\) と \(V_1\) で囲まれた長方形になります。
長方形の縦の長さは \(\Delta P = P_B – P_A = \frac{R(T_1-T_0)}{V_0}\)。
長方形の横の長さは \(\Delta V = V_1 – V_0\)。
仕事 \(W_{\text{サイクル}} = \Delta P \cdot \Delta V = \frac{R(T_1 – T_0)}{V_0} (V_1 – V_0)\)。

方法1：各過程の仕事の和から
$$W_{\text{サイクル}} = R(T_2 – T_1) + RT_0 \frac{T_1-T_2}{T_1}$$
共通因数 \(R(T_2-T_1)\) でくくりだすと、
$$W_{\text{サイクル}} = R(T_2 – T_1) \left(1 – \frac{T_0}{T_1}\right)$$
括弧の中を通分すると、
$$W_{\text{サイクル}} = R(T_2 – T_1) \left(\frac{T_1 – T_0}{T_1}\right)$$
$$W_{\text{サイクル}} = \frac{R(T_1-T_0)(T_2-T_1)}{T_1}$$
方法2：P-Vグラフの面積（長方形）から
圧力差 \(\Delta P = P_B – P_A = \frac{RT_1}{V_0} – \frac{RT_0}{V_0} = \frac{R(T_1-T_0)}{V_0}\)
体積差 \(\Delta V = V_1 – V_0\)。ここで、(3)の導出途中から \(\frac{V_1}{V_0} = \frac{T_2}{T_1}\) なので \(V_1 = \frac{T_2}{T_1}V_0\)。
よって、\(\Delta V = \frac{T_2}{T_1}V_0 – V_0 = V_0 \left(\frac{T_2}{T_1} – 1\right) = V_0 \frac{T_2-T_1}{T_1}\)
$$W_{\text{サイクル}} = \Delta P \cdot \Delta V = \frac{R(T_1-T_0)}{V_0} \cdot V_0 \frac{T_2-T_1}{T_1} = \frac{R(T_1-T_0)(T_2-T_1)}{T_1}$$

一周の仕事は、各部分での仕事を足し合わせます。A→B と C→D は体積が変わらないので仕事はゼロです。B→C は圧力が一定のまま温度が \(T_1\) から \(T_2\) に変わるので、仕事は \(R(T_2-T_1)\)。D→A も圧力が一定のまま温度が \(T_D\) から \(T_0\) に変わるので、仕事は \(R(T_0-T_D)\)。\(T_D\) に \((T_2/T_1)T_0\) を代入し、これらを足し合わせると \(W_{\text{サイクル}} = \frac{R(T_1-T_0)(T_2-T_1)}{T_1}\) となります。

1サイクルで気体が外部へした仕事は \(\frac{R(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1}\) [J] です。このサイクルはT-Vグラフ上で時計回りであり、P-Vグラフに変換すると長方形を時計回りに回るため、正の仕事をするエンジンとして機能します。

問5

思考の道筋とポイント
熱効率 \(e\) は、\(e = \frac{W_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{in}}}\) で定義されます。\(W_{\text{サイクル}}\) は(4)で求めました。\(Q_{\text{in}}\) は、1サイクルの間に気体が吸収した熱量の総和です。熱を吸収する過程は温度が上昇する過程、つまりA→B（定積昇温）とB→C（定圧昇温）です。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義 \(e = W_{\text{サイクル}}/Q_{\text{in}}\)。
• 吸熱過程の特定（温度が上昇する過程）。
• 各吸熱過程での吸収熱量の計算（定積変化では \(nC_V\Delta T\)、定圧変化では \(nC_P\Delta T\)）。

具体的な解説と立式
1サイクルで吸収した総熱量 \(Q_{\text{in}}\) を求めます。吸熱過程はA→BとB→Cです。

• 過程A→B (定積変化): 問(1)より \(Q_{AB} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。
• 過程B→C (定圧変化): 吸収熱量 \(Q_{BC} = nC_P(T_C – T_B)\)。
  ここで \(n=1\), \(C_P = \frac{5}{2}R\), \(T_C = T_2\), \(T_B = T_1\)。
  $$Q_{BC} = 1 \cdot \frac{5}{2}R(T_2 – T_1) = \frac{5}{2}R(T_2 – T_1)$$

したがって、吸収した総熱量 \(Q_{\text{in}}\) は、
$$Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) + \frac{5}{2}R(T_2 – T_1)$$
熱効率 \(e\) は、\(W_{\text{サイクル}}\) を(4)の結果を使い、
$$e = \frac{W_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{\frac{R(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1}}{\frac{3}{2}R(T_1 – T_0) + \frac{5}{2}R(T_2 – T_1)}$$

まず、分母分子の \(R\) を消去します。
$$e = \frac{\frac{(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1}}{\frac{3}{2}(T_1 – T_0) + \frac{5}{2}(T_2 – T_1)}$$
次に、分母分子に \(2T_1\) を掛けて整理します。
$$e = \frac{2(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1 \left[ 2 \cdot \frac{3}{2}(T_1 – T_0) + 2 \cdot \frac{5}{2}(T_2 – T_1) \right]}$$
$$e = \frac{2(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1 [3(T_1 – T_0) + 5(T_2 – T_1)]}$$
分母の角括弧内を展開して整理します。
$$3(T_1 – T_0) + 5(T_2 – T_1) = 3T_1 – 3T_0 + 5T_2 – 5T_1 = 5T_2 – 2T_1 – 3T_0$$
したがって、熱効率 \(e\) は、
$$e = \frac{2(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1 (5T_2 – 2T_1 – 3T_0)}$$

熱効率は「(一周でした仕事) ÷ (もらった熱の合計)」です。一周の仕事は(4)で求めました。もらった熱は、A→Bのとき \(\frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) と、B→Cのとき \(\frac{5}{2}R(T_2-T_1)\) です。これらを足したものが「もらった熱の合計」になります。最後に、(仕事)÷(熱の合計) を計算し、式を整理します。具体的には、まず共通の \(R\) を消し、その後、分数をなくすために分母分子に \(2T_1\) を掛けると良いでしょう。

この1サイクルの熱効率は \(e = \frac{2(T_1 – T_0)(T_2 – T_1)}{T_1 (5T_2 – 2T_1 – 3T_0)}\) です。熱効率は \(0 < e < 1\) の範囲の値を取ります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): T-Vグラフから圧力や他の状態量を求める際の基本。特に、T-Vグラフ上の原点を通る直線が定圧変化に対応することを示すのに不可欠。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): 各過程やサイクル全体のエネルギー収支を考える上で中心となる法則。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーとモル比熱: \(U = \frac{3}{2}nRT\), \(C_V = \frac{3}{2}R\), \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
• 定積変化と定圧変化の性質: T-Vグラフとこれらの変化の関係を理解し、仕事や熱量の計算方法を正しく適用すること。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン: P-VグラフやP-Tグラフで与えられるサイクル、等温変化や断熱変化を含む複雑なサイクル。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられたグラフの種類は何か？（T-V, P-V, P-Tで読み取り方が異なる）
  2. 各過程はどのような変化か？（グラフの形状、問題文の記述から特定）
  3. 状態方程式から導ける関係は何か？（例：T-Vグラフの原点を通る直線 \(\rightarrow\) 定圧）
  4. 各状態点の \(P,V,T\) をできるだけ特定する。
  5. 熱の吸収・放出はどの過程で起こるか？

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• T-Vグラフの解釈: P-Vグラフと混同しない。T-Vグラフで原点を通る直線は「定圧」変化。
• 未知の温度・体積の決定: 複数の状態の関係性を組み合わせる必要がある場合、どの法則がどの過程で使えるかを正確に把握する。
• 仕事の計算: \(W=P\Delta V\) は定圧変化のみ。定積変化では \(W=0\)。サイクル全体の仕事は、各過程の仕事の代数和。
• 吸収した総熱量 \(Q_{\text{in}}\): 熱効率の計算で分母に来る。正の値の \(Q\) のみを足し合わせる。
• 文字計算の煩雑さ: 多くの記号が出てくるため、計算ミスをしやすい。

対策: 各グラフと状態変化の関係を整理。複雑な問題では情報を図に書き込みながら進める。計算過程を丁寧に記述。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図: T-Vグラフ (問題図) と、それを元に考察する P-Vグラフ (頭の中や実際に描く)。P-Vグラフではこのサイクルが長方形になることが分かり、仕事の計算が容易になる。
• 図を描く際の注意点: 軸の物理量を明確にし、変化の方向を矢印で示す。各状態変化がどのような線種になるか意識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PV=nRT\): (2)圧力計算、(3)温度 \(T_D\) 計算の基礎。
• \(Q=nC_V\Delta T\): (1) A→B (定積) の熱量。
• \(Q=nC_P\Delta T\): (3) D→A (定圧)、(5) B→C (定圧) の熱量。
• \(V/T = \text{const.}\) (定圧変化): (2), (3) B→C, D→A が定圧である根拠。
• \(W=0\) (定積変化): (4) A→B, C→D の仕事。
• \(W=P\Delta V\) または \(nR\Delta T\): (4) B→C, D→A の仕事。

公式が適用できる条件（定積、定圧など）を常に確認することが大切。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. グラフ読解と過程特定: T-VグラフからA→B, C→Dが定積、B→C, D→Aが定圧と判断。
2. 問(1) \(Q_{AB}\): 定積なので \(nC_V\Delta T\)。
3. 問(2) \(P_C\): B→Cが定圧なので \(P_C=P_B\)。\(P_B\) を状態Bの状態方程式から。
4. 問(3) \(Q’_{DA}\): D→Aが定圧なので \(P_D=P_A\)。\(P_A\) を状態Aの状態方程式から。\(T_D\) を関係式から導出。\(Q_{DA}=nC_P\Delta T\)。\(Q’_{DA}=-Q_{DA}\)。
5. 問(4) \(W_{\text{サイクル}}\): 定積過程の仕事は0。定圧過程の仕事は \(nR\Delta T\)。和を取る。
6. 問(5) \(e\): \(Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC}\)。\(e = W_{\text{サイクル}} / Q_{\text{in}}\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添え字の確認: \(T_0, T_1, T_2, V_0, V_1\) など多くの記号を正確に扱う。
• 比の計算: \(V_1/V_0 = T_2/T_1\) のような関係を導出して利用する際、逆数にしない。
• 分数計算: 熱効率の計算など、複雑な分数式は慎重に。

日頃の練習: 複雑な文字式でも最後まで計算しきる。各変数の意味を常に意識。別解で検算。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性: 熱の吸収・放出の向き、仕事の正負、熱効率が \(0<e<1\) の範囲か。
• 単位の確認: 各物理量の単位の一貫性。
• 特殊な場合を考える: \(T_1=T_0\) や \(T_2=T_1\) などで仕事や熱効率がどうなるか確認。

関連記事

高校物理・物理基礎が「わかる」→「解ける」へ｜有名問題集・オリジナル問題の解説なら「まことの物理教室」

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]

問題64 (名城大)