「良問の風」攻略ガイド（61〜65問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題61 (神戸大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「単原子分子理想気体の熱力学サイクル」です。P-Vグラフから気体の状態変化を読み取り、熱力学の基本法則を用いて各物理量を計算する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
状態A、B、Cにおける圧力 \(P\) と体積 \(V\) の値はグラフから読み取れます。
気体の物質量 \(n\) は一定なので、状態方程式 \(PV = nRT\) を用いて、\(PV\) の積の値から温度 \(T\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• Aの温度 \(T_1\) が基準として与えられています。
• \(R\) は気体定数、\(n\) は物質量ですが、これらは未知数として扱わず、比率計算で消去するか、\(nRT_1 = p_1 V_1\) の関係を利用して置換します。

具体的な解説と立式
状態Aにおける状態方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
p_1 V_1 &= n R T_1 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
状態Bにおける温度を \(T_B\) とします。グラフより、圧力は \(2p_1\)、体積は \(V_1\) です。
$$
\begin{aligned}
(2p_1) V_1 &= n R T_B \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
状態Cにおける温度を \(T_C\) とします。グラフより、圧力は \(p_1\)、体積は \(2V_1\) です。
$$
\begin{aligned}
p_1 (2V_1) &= n R T_C \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式②を式①で割ることで \(T_B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{n R T_B}{n R T_1} &= \frac{2p_1 V_1}{p_1 V_1} \\[2.0ex]
\frac{T_B}{T_1} &= 2 \\[2.0ex]
T_B &= 2 T_1
\end{aligned}
$$
同様に、式③を式①で割ることで \(T_C\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{n R T_C}{n R T_1} &= \frac{2p_1 V_1}{p_1 V_1} \\[2.0ex]
\frac{T_C}{T_1} &= 2 \\[2.0ex]
T_C &= 2 T_1
\end{aligned}
$$

気体の温度は、圧力と体積の掛け算 \(PV\) に比例します。
Aの状態では \(1 \times 1 = 1\) の大きさだとすると、Bの状態では圧力が2倍で体積が同じなので \(2 \times 1 = 2\) となり、温度も2倍になります。
Cの状態では圧力が元通りで体積が2倍なので \(1 \times 2 = 2\) となり、やはり温度は2倍になります。
つまり、BとCの温度は同じです。

\(T_B = 2T_1\)、\(T_C = 2T_1\) と求まりました。
BとCは \(PV\) の値が等しいため、等温線上にある状態と言えます。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
過程A→Bと過程C→Aにおける吸熱量を求めます。
それぞれの変化の種類（定積、定圧）を見極め、適切な比熱の公式を用います。
答えは \(p_1, V_1\) を用いて表す必要があるため、\(nRT\) の形が出てきたら \(p_1 V_1\) に書き換えます。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体であるため、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) を使用します。
• 「吸収する熱量」を問われているため、計算結果が負になった場合は、そのまま負の値として答えるのが一般的です（負の吸収＝放出）。

具体的な解説と立式
1. 過程A→B（定積変化）
体積が \(V_1\) で一定のまま、温度が \(T_1\) から \(T_B = 2T_1\) へ変化します。
吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= n C_V \Delta T \\[2.0ex]
&= n \left( \frac{3}{2}R \right) (T_B – T_1)
\end{aligned}
$$

2. 過程C→A（定圧変化）
圧力が \(p_1\) で一定のまま、温度が \(T_C = 2T_1\) から \(T_1\) へ変化します。
吸収する熱量 \(Q_{CA}\) は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
Q_{CA} &= n C_P \Delta T \\[2.0ex]
&= n \left( \frac{5}{2}R \right) (T_1 – T_C)
\end{aligned}
$$

A→Bについて:
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \frac{3}{2} n R (2T_1 – T_1) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} n R T_1
\end{aligned}
$$
ここで、問(1)の式① \(nRT_1 = p_1 V_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \frac{3}{2} p_1 V_1
\end{aligned}
$$

C→Aについて:
$$
\begin{aligned}
Q_{CA} &= \frac{5}{2} n R (T_1 – 2T_1) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2} n R (-T_1) \\[2.0ex]
&= -\frac{5}{2} n R T_1
\end{aligned}
$$
同様に \(nRT_1 = p_1 V_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{CA} &= -\frac{5}{2} p_1 V_1
\end{aligned}
$$

A→Bでは、体積を変えずに圧力を上げるために加熱しました。このとき気体は熱を吸収します。
C→Aでは、圧力を変えずに体積を縮めるために冷却しました。計算結果がマイナスになったのは、気体が熱を「吸収」したのではなく、外へ「放出」したことを意味しています。

\(Q_{AB} = \frac{3}{2} p_1 V_1\)、\(Q_{CA} = -\frac{5}{2} p_1 V_1\) と求まりました。
A→Bは温度上昇なので吸熱（正）、C→Aは温度低下なので放熱（負）となり、符号も物理的直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
過程B→Cにおける「気体がする仕事 \(W_{BC}\)」と「吸収する熱量 \(Q_{BC}\)」を求めます。
この過程は定積でも定圧でもないため、比熱の公式は使えません。
熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) を用います。

この設問における重要なポイント

• 仕事 \(W\): P-Vグラフにおいて、グラフ線と横軸（V軸）で囲まれた部分の面積が仕事に相当します。B→Cの下の面積は台形になります。
• 内部エネルギー変化 \(\Delta U\): 温度変化に依存します。\(T_B = T_C\) であることに注目します。

具体的な解説と立式
1. 仕事 \(W_{BC}\) の計算
P-Vグラフより、B→Cの過程で囲まれる面積（台形）を計算します。
上底 \(2p_1\)、下底 \(p_1\)、高さ \((2V_1 – V_1)\) の台形です。
$$
\begin{aligned}
W_{BC} &= (\text{台形の面積}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} (2p_1 + p_1) (2V_1 – V_1)
\end{aligned}
$$

2. 内部エネルギー変化 \(\Delta U_{BC}\) の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{BC} &= \frac{3}{2} n R (T_C – T_B)
\end{aligned}
$$
問(1)より \(T_B = 2T_1, T_C = 2T_1\) なので、温度変化はありません。

3. 熱量 \(Q_{BC}\) の計算
熱力学第一法則を用います。
$$
\begin{aligned}
Q_{BC} &= \Delta U_{BC} + W_{BC}
\end{aligned}
$$

仕事 \(W_{BC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{BC} &= \frac{1}{2} (3p_1) (V_1) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} p_1 V_1
\end{aligned}
$$
内部エネルギー変化 \(\Delta U_{BC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{BC} &= \frac{3}{2} n R (2T_1 – 2T_1) \\[2.0ex]
&= 0
\end{aligned}
$$
熱量 \(Q_{BC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{BC} &= 0 + \frac{3}{2} p_1 V_1 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} p_1 V_1
\end{aligned}
$$

BからCへ移るとき、気体は膨張して外部へ仕事をしました。その仕事の量はグラフの面積計算で求まります。
一方で、温度はスタートとゴールで同じ（\(2T_1\)）なので、気体の内部エネルギーは変化していません。
つまり、外部から吸収した熱エネルギーが、そのままそっくり外部への仕事に使われたことになります。

仕事 \(W_{BC} = \frac{3}{2} p_1 V_1\)、熱量 \(Q_{BC} = \frac{3}{2} p_1 V_1\) と求まりました。
膨張しているので仕事は正、第一法則より熱量も正となり、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
サイクルを一巡する間に気体がする「正味の仕事」を求めます。
P-Vグラフにおいて、閉曲線で囲まれた部分の面積が、1サイクルでした正味の仕事に相当します。

この設問における重要なポイント

• サイクルの向き: 時計回りのサイクル（A→B→C→A）では、膨張過程（B→C）での正の仕事が、圧縮過程（C→A）での負の仕事（の絶対値）より大きいため、全体として外部へ正の仕事をします。
• 面積の計算: 三角形ABCの面積を計算します。

具体的な解説と立式
1サイクルでする仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、三角形ABCの面積に等しいです。
底辺をAC、高さをABの長さとして計算します。
底辺（体積差）: \(2V_1 – V_1 = V_1\)
高さ（圧力差）: \(2p_1 – p_1 = p_1\)
$$
\begin{aligned}
W_{\text{サイクル}} &= (\text{三角形ABCの面積}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times (V_1) \times (p_1)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W_{\text{サイクル}} &= \frac{1}{2} p_1 V_1
\end{aligned}
$$

行き（膨張）で稼いだ仕事から、帰り（圧縮）で費やした仕事を差し引くと、手元に残る「利益」としての仕事になります。
グラフ上では、上の線（B→C）の下の面積から、下の線（C→A）の下の面積を引くことになるので、結果として三角形の内側の面積が正味の仕事になります。

\(W_{\text{サイクル}} = \frac{1}{2} p_1 V_1\) と求まりました。
これは問(3)で求めた \(W_{BC} = \frac{3}{2} p_1 V_1\) から、C→Aでされる仕事（長方形の面積 \(p_1 \times V_1\)）を引いたもの \(\frac{3}{2}p_1V_1 – p_1V_1 = \frac{1}{2}p_1V_1\) とも一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
縦軸を \(T\)、横軸を \(V\) としたグラフの概形を描きます。
各過程（A→B, B→C, C→A）において、\(T\) が \(V\) のどのような関数になるかを検討します。

この設問における重要なポイント

• A→B (定積): \(V\) 一定で \(T\) が増加。グラフは鉛直上向きの直線。
• C→A (定圧): \(PV=nRT\) より \(P\) 一定なら \(T \propto V\)。グラフは原点を通る直線。
• B→C: \(P\) と \(V\) が共に変化します。ここが最大の難所です。

具体的な解説と立式
1. A→B（定積）
\(V = V_1\) （一定）です。
温度は \(T_1\) から \(2T_1\) へ上昇します。
グラフ上では、点 \((V_1, T_1)\) から \((V_1, 2T_1)\) へ向かう鉛直な線分となります。

2. C→A（定圧）
\(P = p_1\) （一定）です。
状態方程式 \(p_1 V = nRT\) より、
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{p_1}{nR} V
\end{aligned}
$$
これは原点を通る直線の式です。
温度は \(2T_1\) から \(T_1\) へ減少します。
グラフ上では、点 \((2V_1, 2T_1)\) から \((V_1, T_1)\) へ向かう直線となります。

3. B→C（膨張・減圧）
点 \((V_1, 2T_1)\) から \((2V_1, 2T_1)\) へ変化します。
始点と終点の温度が同じなので、単調増加や単調減少ではありません。
どのような曲線になるかは、別解で厳密に導出しますが、ここでは概形として「一度温度が上がってから下がる」上に凸の曲線を描きます。

（グラフ描画問題のため、計算過程は関数の特定に含まれます）
B→C間では、等温線（\(PV=\text{一定}\) の双曲線）よりもグラフが外側（右上）に膨らんでいるため、温度は \(2T_1\) よりも高くなる瞬間があります。したがって、上に凸の曲線となります。

AからBへは、体積そのままで温度アップ（縦線）。
CからAへは、体積が減ると温度も下がる比例関係（原点に向かう斜め線）。
BからCへは、スタートとゴールの温度は同じですが、途中はずっと高い温度を経由します。ボールを投げ上げたときのような、山なりのカーブを描きます。

A→Bは垂直、C→Aは原点を通る直線、B→Cは上に凸の曲線（放物線）となる閉じたグラフになります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• P-Vグラフと仕事の幾何学的関係
  • 核心: P-Vグラフにおいて、状態変化を表す線と横軸（体積軸）で囲まれた部分の面積は、気体が外部へした仕事 \(W\) に等しいという関係です。
  • 理解のポイント:
    • 膨張時（\(V\) が増加）: 仕事は正（面積をプラスとして扱う）。
    • 圧縮時（\(V\) が減少）: 仕事は負（面積をマイナスとして扱う）。
    • サイクル全体: 閉曲線で囲まれた面積が、1サイクルでした正味の仕事になります。時計回りのサイクルなら正の仕事、反時計回りなら負の仕事（仕事をされた）となります。
• 熱力学第一法則のエネルギー収支
  • 核心: 気体に出入りする熱量 \(Q\)、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体がする仕事 \(W\) の間には、常に \(Q = \Delta U + W\) という保存則が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 符号の定義: 「吸収した熱」を正、「した仕事」を正とするのが標準的です。
    • 内部エネルギー: 単原子分子理想気体の場合、\(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) であり、温度変化だけで決まります。等温変化なら \(\Delta U = 0\) です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 複雑な形状のサイクル: 長方形や三角形だけでなく、円形や楕円形のサイクルが出題されることもあります。その場合も「囲まれた面積＝仕事」の原則は変わりません。円の面積公式 \(\pi r^2\) などを使って解きます。
  • 断熱変化を含むサイクル: ポアソンの式 \(PV^{\gamma} = \text{一定}\) を使う問題でも、仕事は積分 \(\int P dV\) で定義されます。微積分の解法が特に威力を発揮します。
  • 異なる気体分子種: 二原子分子なら \(C_V = \frac{5}{2}R\) に変わりますが、解法の手順（状態方程式 \(\rightarrow\) 第一法則）は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 変化の種類を特定する: グラフの線を見て、定積（垂直）、定圧（水平）、等温（双曲線）、断熱（急な曲線）のどれに当てはまるかを確認します。
  2. 未知数を文字で置く: 圧力が \(p_0\)、体積が \(V_0\) などと与えられていなくても、自分で文字を置いて計算を進めると、最終的に比率などで消えることが多いです。
  3. 1サイクルの収支を確認する: 1周して元の状態に戻ると、温度も元通りなので、必ず \(\Delta U_{\text{サイクル}} = 0\) になります。つまり、\(Q_{\text{正味}} = W_{\text{正味}}\) （吸った熱の差し引き分が、全部仕事に変わる）という検算ポイントがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号の取り違え:
  • 誤解: 「圧縮されたときも仕事はプラス」と考えてしまう、あるいは公式 \(W = P\Delta V\) の \(\Delta V\) （後 \(-\) 前）の符号を無視してしまう。
  • 対策: 「膨張＝外へ仕事をする（正）」「圧縮＝外から仕事をされる（負）」と、体積の増減と仕事の正負をセットで覚えましょう。グラフの面積を計算するときも、右へ進むときはプラス、左へ戻るときはマイナスと矢印の向きを確認してください。
• マイヤーの関係式の適用ミス:
  • 誤解: 定積変化でないのに \(Q = nC_V \Delta T\) を使ったり、単原子分子でないのに \(C_V = \frac{3}{2}R\) を使ったりする。
  • 対策: \(Q = nC \Delta T\) の形の公式が使えるのは、定積変化（\(C_V\)）と定圧変化（\(C_P\)）だけです。それ以外の変化（B→Cのような斜めの変化）では、必ず第一法則 \(Q = \Delta U + W\) に立ち返ってください。
• 温度と熱量の混同:
  • 誤解: 「温度が高い＝熱量が多い」というイメージで、温度変化 \(\Delta T\) と熱量 \(Q\) を同一視してしまう。
  • 対策: 温度は「状態量（その瞬間のエネルギーレベル）」、熱量は「移動量（エネルギーの出入り）」です。断熱圧縮のように、熱の出入りがゼロでも温度が上がる現象があることを思い出しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（状態方程式 vs 比例関係）:
  • 選定理由: 厳密に解くなら状態方程式 \(PV=nRT\) ですが、センター試験や共通テストのようなマーク式、あるいは検算目的であれば、比例関係 \(T \propto PV\) を使う方が圧倒的に速いです。
  • 適用根拠: 物質量 \(n\) が一定の閉じた系であるため、ボイル・シャルルの法則が成立する条件を満たしています。
• 問(3)での公式選択（第一法則）:
  • 選定理由: B→Cの変化は定積でも定圧でもないため、比熱の公式が使えません。しかし、仕事 \(W\) はグラフから求まり、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) は温度から求まるため、残る \(Q\) を逆算できる第一法則が最適解となります。
  • 適用根拠: 第一法則はエネルギー保存則そのものであり、どのような変化過程であっても常に成立する普遍的な法則だからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。例えば熱量や仕事の答えは、必ず \([\text{圧力}] \times [\text{体積}]\) の次元（エネルギーの次元）になります。\(p_1 V_1\) や \(nRT_1\) はOKですが、\(p_1/V_1\) や \(p_1 V_1^2\) になっていたら間違いです。
  • 今回の解答 \(Q = \frac{3}{2}p_1 V_1\) などは、すべてエネルギーの次元を持っています。
• 係数の処理と分数の計算:
  • 熱力学では \(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\) などの分数が頻出します。特に \(\Delta U = \frac{3}{2}nR(T_C – T_B)\) のような計算では、先にカッコ内の引き算をしてから係数を掛ける方がミスが減ります。
  • また、\(W_{BC}\) の計算で台形の面積を求めるとき、\(\frac{1}{2}(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高さ}\) の \(\frac{1}{2}\) を忘れがちなので注意しましょう。
• グラフの座標読み取りの指差し確認:
  • \(2p_1\) なのか \(p_1\) なのか、\(V_1\) なのか \(2V_1\) なのか、グラフの目盛りを読み間違えると全ての計算が狂います。計算式に代入する前に、図の該当箇所を指で指して値を確認する習慣をつけましょう。

問題62 (東京理科大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「単原子分子理想気体の熱力学サイクル」です。P-Vグラフから気体の状態変化を読み取り、エネルギーの収支（熱、仕事、内部エネルギー）を計算する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(a)

思考の道筋とポイント
状態Aから状態Bへの変化は、体積一定（定積変化）での加圧です。
単原子分子理想気体の内部エネルギー \(U\) は、絶対温度 \(T\) または \(PV\) の積に比例します。
ここでは温度が与えられていないため、\(PV\) を用いて計算するのが効率的です。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式: \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)
• 変化量 \(\Delta U\) の計算: \(\Delta U_{AB} = U_B – U_A\)

具体的な解説と立式
状態Aにおける圧力は \(P\)、体積は \(V\) です。
状態Bにおける圧力は \(3P\)、体積は \(V\) です。
内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) を、\(PV\) を用いて立式します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{AB} &= U_B – U_A \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} P_B V_B – \frac{3}{2} P_A V_A
\end{aligned}
$$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{AB} &= \frac{3}{2} (3P)(V) – \frac{3}{2} (P)(V) \\[2.0ex]
&= \frac{9}{2} PV – \frac{3}{2} PV \\[2.0ex]
&= \frac{6}{2} PV \\[2.0ex]
&= 3 PV
\end{aligned}
$$

気体のエネルギー（内部エネルギー）は、圧力と体積の掛け算 \(PV\) に比例します。
Aの状態では \(1 \times 1 = 1\) のレベルでしたが、Bの状態では圧力が3倍になったので \(3 \times 1 = 3\) のレベルになりました。
その差分である \(2\) のレベル分だけエネルギーが増えたことになります。係数の \(\frac{3}{2}\) を掛けるのを忘れずに計算すると、答えは \(3PV\) になります。

\(\Delta U_{AB} = 3PV\) と求まりました。
圧力が上昇しているため温度も上昇しており、内部エネルギーが増加している（正の値）ことは物理的に妥当です。

問(b)

思考の道筋とポイント
B→Cは等温変化です。
「等温」という言葉から、即座に「温度変化なし \(\rightarrow\) 内部エネルギー変化なし」と連想することが最重要です。
その後、熱力学第一法則を用いて、吸収した熱量 \(Q\) と仕事 \(W\) の関係を導きます。

この設問における重要なポイント

• 等温変化: 温度 \(T\) が一定なので、\(\Delta T = 0\) です。
• 内部エネルギー変化: \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) より、\(\Delta T = 0\) ならば \(\Delta U = 0\) です。
• 熱力学第一法則: \(Q = \Delta U + W_{\text{した}}\)

具体的な解説と立式
1. 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\)
等温変化であるため、温度変化はありません。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{BC} &= 0
\end{aligned}
$$

2. 気体が外部にした仕事 \(W_{BC}\)
熱力学第一法則を立てます。気体が吸収した熱量を \(Q\)、外部にした仕事を \(W_{BC}\) とします。
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U_{BC} + W_{BC}
\end{aligned}
$$

第一法則の式に \(\Delta U_{BC} = 0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= 0 + W_{BC} \\[2.0ex]
W_{BC} &= Q
\end{aligned}
$$

「等温変化」とは、温度が変わらない変化のことです。気体の内部エネルギーは温度で決まるので、温度が変わらなければ内部エネルギーも増減しません（変化はゼロ）。
エネルギーの貯金（内部エネルギー）が変わらないのに、外部から熱（お金）をもらったとしたら、その分はすべて外部への仕事（出費）として使われたことになります。だから、した仕事は吸収した熱量 \(Q\) と等しくなります。

内部エネルギーの変化は \(0\)、仕事は \(Q\) です。
等温膨張では、吸収した熱エネルギーがすべて仕事に変換されるという物理法則と一致しています。

問(c)

思考の道筋とポイント
C→Aは圧力が \(P\) で一定の定圧変化です。
気体が「受けた」仕事を問われている点に注意が必要です。
まずは状態Cの体積 \(V_C\) を確定させ、その後仕事の計算を行います。

この設問における重要なポイント

• 状態Cの体積: B→Cが等温変化（ボイルの法則）であることを利用して求めます。
• 仕事の符号: 「気体がした仕事」は \(P\Delta V\)、 「気体が受けた仕事」はその逆符号（または圧縮時の正の値）です。
• グラフの面積: 定圧変化なので、P-Vグラフの下の面積（長方形）が仕事になります。

具体的な解説と立式
1. 状態Cの体積 \(V_C\) の導出
BとCは等温変化なので、ボイルの法則 \(P_B V_B = P_C V_C\) が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
3P \cdot V &= P \cdot V_C \\[2.0ex]
V_C &= 3V
\end{aligned}
$$

2. 気体が受けた仕事 \(W’_{\text{受け}}\) の計算
C→Aの過程では、体積が \(3V\) から \(V\) へと圧縮されます。
気体が外部からされる仕事（受けた仕事）は、圧力 \(\times\) 体積の減少量です。
$$
\begin{aligned}
W’_{\text{受け}} &= P \times (V_C – V_A) \\[2.0ex]
&= P (3V – V)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W’_{\text{受け}} &= P (2V) \\[2.0ex]
&= 2PV
\end{aligned}
$$

まず、BからCへ行くときに圧力が \(1/3\) になっているので、体積は3倍の \(3V\) に膨らんでいることを突き止めます。
次に、CからAへ戻るときは、この膨らんだ \(3V\) から元の \(V\) まで、一定の圧力 \(P\) で押し縮められます。
押し縮められるときに気体が「される」仕事は、「圧力 \(\times\) 縮んだ距離（体積変化）」で計算でき、\(P \times 2V = 2PV\) となります。

受けた仕事は \(2PV\) です。
体積が減少しているため、外部から仕事をされていることは明らかであり、正の値として求まりました。

問(d)

思考の道筋とポイント
1サイクルでの「正味の仕事」と「熱効率」を求めます。
正味の仕事は、各過程での仕事の総和です。
熱効率は、「得た利益（正味の仕事）」を「支払ったコスト（吸収した熱量の総和）」で割った値です。
どの過程で熱を吸収し、どの過程で放出したかを正しく判定することが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 正味の仕事 \(W_{\text{正味}}\): \(W_{\text{正味}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}\)
• 吸熱過程の特定:
  • A→B: 定積加熱（温度上昇） \(\rightarrow\) 吸熱
  • B→C: 等温膨張（仕事をする） \(\rightarrow\) 吸熱
  • C→A: 定圧圧縮（温度低下） \(\rightarrow\) 放熱
• 熱効率 \(e\): \(e = \frac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸}}}\) （\(Q_{\text{吸}}\) は吸熱過程の熱量の和）

具体的な解説と立式
1. 正味の仕事 \(W_{\text{正味}}\) の計算
各過程で気体が「した」仕事を合計します。

• A→B: 定積なので \(W_{AB} = 0\)
• B→C: 問(b)より \(W_{BC} = Q\)
• C→A: 問(c)より \(W_{CA} = -2PV\) （受けた仕事が \(2PV\) なので、した仕事は負）

$$
\begin{aligned}
W_{\text{正味}} &= W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} \\[2.0ex]
&= 0 + Q + (-2PV) \\[2.0ex]
&= Q – 2PV
\end{aligned}
$$

2. 吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{吸}}\) の計算
吸熱過程は A→B と B→C です。
A→B の吸熱量 \(Q_{AB}\) を求めます。定積変化なので仕事は0、第一法則より、
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \Delta U_{AB} + 0
\end{aligned}
$$
問(a)より \(\Delta U_{AB} = 3PV\) なので、
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= 3PV
\end{aligned}
$$
B→C の吸熱量は \(Q\) です。
よって、総吸熱量 \(Q_{\text{吸}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{吸}} &= Q_{AB} + Q_{BC} \\[2.0ex]
&= 3PV + Q
\end{aligned}
$$

3. 熱効率 \(e\) の計算
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸}}} \\[2.0ex]
&= \frac{Q – 2PV}{3PV + Q}
\end{aligned}
$$

上記の立式通り、計算は完了しています。
正味の仕事: \(Q – 2PV\)
熱効率: \(\frac{Q – 2PV}{Q + 3PV}\)

このエンジン（サイクル）の性能を評価します。
まず「成果」である正味の仕事は、膨張時に稼いだ仕事 \(Q\) から、圧縮時に費やした仕事 \(2PV\) を引いた残り、つまり \(Q – 2PV\) です。
次に「投資」である吸収した熱は、最初の加熱で使った \(3PV\) と、膨張時に使った \(Q\) の合計、つまり \(3PV + Q\) です。
効率は「成果 \(\div\) 投資」で計算できるので、分数の形で答えます。

正味の仕事は \(Q – 2PV\)、熱効率は \(\frac{Q – 2PV}{Q + 3PV}\) です。
\(Q\) は \(3PV \ln 3 \approx 3.3 PV\) 程度なので、分子は正の値になり、分母の方が大きいため \(e < 1\) となります。これは熱力学第二法則（熱効率は必ず1より小さい）とも整合します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等温変化におけるエネルギー収支の特異性
  • 核心: 等温変化では温度が一定であるため、理想気体の内部エネルギー変化 \(\Delta U\) は必ず \(0\) になります。
  • 理解のポイント:
    • 第一法則 \(Q = \Delta U + W\) において \(\Delta U = 0\) となるため、\(Q = W\) という単純かつ強力な関係式が導かれます。
    • つまり、吸収した熱エネルギーが、内部に蓄えられることなく、そのままダイレクトに外部への仕事として出力される過程です。
• 熱効率計算における「正味の仕事」と「総吸熱量」の定義
  • 核心: 熱効率 \(e\) を求める際、分母に来るのは「吸収した熱量の総和」であり、放出した熱量は引き算しません。一方、分子の「正味の仕事」は「した仕事」から「された仕事」を引いたものです。
  • 理解のポイント:
    • 投資（分母）: 外部から投入したエネルギーの総量（A→Bの加熱 ＋ B→Cの加熱）。
    • リターン（分子）: サイクル全体で外部に取り出せた有効な仕事（膨張仕事 － 圧縮仕事）。
    • 多くの学生が、分母で放熱分を引いてしまうミスを犯します。「捨てた熱」はコストの一部であり、投資額から差し引くことはできません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 断熱変化を含むサイクル: 等温変化（\(\Delta U = 0\)）と対照的に、断熱変化では \(Q = 0\) となり、\(W = -\Delta U\) という関係が成り立ちます。この2つの変化の区別と使い分けが頻出です。
  • 異なる原子数の気体: 二原子分子（\(U = \frac{5}{2}nRT\)）の場合、問(a)の係数が変わり、熱効率の値も変化しますが、解法のロジック（状態方程式 \(\rightarrow\) 第一法則）は不変です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 変化の名称に反応する: 「等温」とあれば即座に \(\Delta T=0, \Delta U=0\)、「定積」なら \(W=0\)、「定圧」なら \(W=P\Delta V\) と、条件反射的に式を書き出せるようにしましょう。
  2. 未知の体積を特定する: サイクル問題では、グラフの角（頂点）の座標を全て確定させることが先決です。本問のように \(V_C\) が明示されていない場合、等温変化（ボイルの法則）などの接続条件を使って必ず求めます。
  3. 仕事の計算方法を選ぶ: 直線的な変化（定圧）なら長方形の面積、曲線的な変化（等温・断熱）なら第一法則からの逆算、という使い分けが鉄則です。ただし、微積分を使えば曲線でも直接計算できることは、検算の強力な武器になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「受けた仕事」と「した仕事」の符号ミス:
  • 誤解: 圧縮される過程（C→A）で、仕事を「した」のか「された」のか混乱し、熱効率の計算で符号を逆にしてしまう。
  • 対策: 「体積が減る＝仕事をされる（受けた）」と定義し、正味の仕事を計算する際は「（膨張時の仕事）－（圧縮時の仕事の絶対値）」と引き算の形で立式すると間違いにくいです。
• 熱効率の分母の取り違え:
  • 誤解: サイクル全体の熱量 \(Q_{\text{正味}} = Q_{\text{吸}} – Q_{\text{放}}\) を分母にしてしまう。これだと \(e = W/Q_{\text{正味}} = 1\) となり、永久機関になってしまいます。
  • 対策: 熱効率の定義は「得たもの \(\div\) 払ったもの」です。放出した熱（排熱）は「ドブに捨てたお金」であり、払ったお金（分母）から引いてはいけません。
• 対数計算へのアレルギー:
  • 誤解: 等温変化の仕事 \(nRT \ln(V_2/V_1)\) が出てくると、難解な計算が必要だと身構えてしまう。
  • 対策: 高校物理の範囲では、対数計算そのものをさせることは稀で、本問のように「熱量 \(Q\)」として与えられたり、文字式のまま扱ったりすることがほとんどです。式の形に慣れておくだけで十分です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(a)での公式選択（\(U = \frac{3}{2}PV\)）:
  • 選定理由: 温度 \(T\) が与えられておらず、圧力 \(P\) と体積 \(V\) がグラフから読み取れるため、\(U = \frac{3}{2}nRT\) よりも \(U = \frac{3}{2}PV\) を使う方が、\(n, R, T\) を消去する手間が省けます。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(PV = nRT\) が常に成立するため、この2つの式は等価です。
• 問(b)での公式選択（第一法則からの逆算）:
  • 選定理由: 等温変化の仕事は \(P\) が一定でないため、単純な掛け算では求まりません。積分計算を回避し、かつ最も基本的な法則のみで解くために、\(\Delta U = 0\) を利用した第一法則 \(Q = 0 + W\) が最適解となります。
  • 適用根拠: エネルギー保存則はどのような変化でも成立する絶対的なルールだからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 係数の指差し確認:
  • 内部エネルギー変化の計算では、\(3P \times V\) なのか \(P \times 3V\) なのか、係数 \(3\) がどこに掛かるかを慎重に見極めましょう。本問では \(U_B = \frac{3}{2}(3P)V\)、\(U_A = \frac{3}{2}PV\) なので、差は \(3PV\) になります。暗算せず、途中式を書くことが重要です。
• 熱効率の概算チェック:
  • 答えが出たら、\(e\) が \(1\) より小さくなっているか（分子 \(<\) 分母か）を確認しましょう。本問では \(Q – 2PV < Q + 3PV\) なのでOKです。もし分子の方が大きければ、どこかで符号や足し引きを間違えています。
• 文字の定義の確認:
  • 問題文で与えられた文字（\(P, V, Q\)）だけで答えが構成されているか確認しましょう。途中で置いた \(T_B\) や \(V_C\) などの文字が残っていたら、最終的な答えとして不適切です。

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)