「名問の森」徹底解説（67〜69問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題67 原子核 (九州工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「原子核反応における保存則の適用」です。質量とエネルギーの等価性、および衝突現象における運動量保存則を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
反応(a) \({}_{3}^{6}\text{Li} + {}_{0}^{1}\text{n} \to {}_{2}^{4}\text{He} + {}_{1}^{3}\text{H}\) において発生するエネルギー \(Q_a\) を求めます。
原子核の結合エネルギーとは、「バラバラの陽子・中性子をまとめて原子核にする際に放出されるエネルギー」であり、逆に言えば「原子核をバラバラにするのに必要なエネルギー」です。
反応によって「結合エネルギーの総和」が増加すれば、より安定な状態になったことを意味し、その差額が運動エネルギーとして放出されます。

この設問における重要なポイント

• 結合エネルギーと反応熱の関係:
  \(\text{発生エネルギー } Q = (\text{反応後の結合エネルギー和}) – (\text{反応前の結合エネルギー和})\)
• 中性子の結合エネルギー: 単独の中性子 \({}_{0}^{1}\text{n}\) は結合していないため、結合エネルギーは \(0\) です。

具体的な解説と立式
反応(a)に関与する各粒子の結合エネルギーを以下のように置きます。

• \({}_{3}^{6}\text{Li}\): \(E_{\text{Li}} = 32.0\,\text{MeV}\)
• \({}_{0}^{1}\text{n}\): \(E_{\text{n}} = 0\,\text{MeV}\)
• \({}_{2}^{4}\text{He}\): \(E_{\text{He}} = 28.3\,\text{MeV}\)
• \({}_{1}^{3}\text{H}\): \(E_{\text{H3}} = 8.5\,\text{MeV}\)

発生するエネルギー \(Q_a\) は、生成物の結合エネルギーの和から反応物の結合エネルギーの和を引いたものです。
$$
\begin{aligned}
Q_a &= (E_{\text{He}} + E_{\text{H3}}) – (E_{\text{Li}} + E_{\text{n}})
\end{aligned}
$$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_a &= (28.3 + 8.5) – (32.0 + 0) \\[2.0ex]
&= 36.8 – 32.0 \\[2.0ex]
&= 4.8
\end{aligned}
$$

原子核反応では、反応の前後で「原子核の結びつきの強さ（結合エネルギー）」が変化します。
反応後は、反応前よりも合計で \(36.8\,\text{MeV}\) 分だけ強く結びついた状態になりました。反応前は \(32.0\,\text{MeV}\) でした。
より強く結びつく（より深い穴に落ちるイメージ）と、余ったエネルギーが外に放出されます。その差額 \(4.8\,\text{MeV}\) が、飛び出す粒子の運動エネルギーになります。

答えは \(4.8\,\text{MeV}\) です。正の値なので発熱反応であり、エネルギーが放出されるという物理的状況と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
反応(a)で生じたエネルギー \(Q_a = 4.8\,\text{MeV}\) は、生成される \({}_{2}^{4}\text{He}\) と \({}_{1}^{3}\text{H}\) の運動エネルギーになります。
反応前は静止していたため、全運動量は \(0\) です。したがって、反応後も2つの粒子は「互いに逆向き」に飛び出し、その運動量の大きさは等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: 静止した物体が2つに分裂する場合、運動量の大きさは等しくなります（\(p_1 = p_2\)）。
• エネルギー分配: 運動エネルギー \(K = \frac{p^2}{2m}\) より、運動量が等しいとき、エネルギーは質量の逆比に分配されます。

具体的な解説と立式
生成される \({}_{2}^{4}\text{He}\) の質量を \(m_{\text{He}} \approx 4\)、\({}_{1}^{3}\text{H}\) の質量を \(m_{\text{H3}} \approx 3\) とします（質量数比で近似）。
それぞれの運動エネルギーを \(K_{\text{He}}, K_{\text{H3}}\) とします。
エネルギー保存則より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{He}} + K_{\text{H3}} &= Q_a \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
運動量保存則より、大きさについて \(p_{\text{He}} = p_{\text{H3}}\) なので、\(K = \frac{p^2}{2m}\) の関係を用いると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2 m_{\text{He}} K_{\text{He}}} &= \sqrt{2 m_{\text{H3}} K_{\text{H3}}} \\[2.0ex]
m_{\text{He}} K_{\text{He}} &= m_{\text{H3}} K_{\text{H3}}
\end{aligned}
$$
これより、エネルギーの比は質量の逆比になります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{He}} : K_{\text{H3}} &= \frac{1}{m_{\text{He}}} : \frac{1}{m_{\text{H3}}} \\[2.0ex]
&= m_{\text{H3}} : m_{\text{He}} \\[2.0ex]
&= 3 : 4
\end{aligned}
$$
求める \(K_{\text{H3}}\) は、全体 \(Q_a\) を \(3:4\) に分けたうちの \(4\) の方です。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{H3}} &= \frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{He}} + m_{\text{H3}}} Q_a \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式②に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{H3}} &= \frac{4}{4+3} \times 4.8 \\[2.0ex]
&= \frac{4}{7} \times 4.8 \\[2.0ex]
&= \frac{19.2}{7} \\[2.0ex]
&\approx 2.742\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{H3}} &\approx 2.7\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

止まっていた爆弾が2つに割れて飛び散るような状況です。
重い破片（He）と軽い破片（H）が反対方向に飛び出します。
作用・反作用の法則（運動量保存）により、両者は同じ強さで押し合いますが、軽い破片の方が動きやすいため、より速く飛び出し、より多くのエネルギーを持ち去ります。
具体的には、質量が \(4:3\) なので、エネルギーは逆の \(3:4\) に配分されます。軽い方（H）が全体の \(4/7\) をもらいます。

答えは \(2.7\,\text{MeV}\) です。
軽い粒子の方が多くのエネルギーを持つ（\(4.8\) の半分 \(2.4\) より大きい）ため、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
反応(b) \({}_{1}^{3}\text{H} + {}_{1}^{2}\text{H} \to {}_{2}^{4}\text{He} + {}_{0}^{1}\text{n}\) におけるエネルギー収支を考えます。
この反応では、入射する \({}_{1}^{3}\text{H}\) が持っていた運動エネルギー \(K_{\text{H3}}\) に加えて、反応(b)自体で発生する反応エネルギー \(Q_b\) が加算され、それが生成粒子の運動エネルギーになります。

この設問における重要なポイント

• 反応(b)の反応エネルギー \(Q_b\): 問(1)と同様に結合エネルギーの差から求めます。
• エネルギー保存則: \((\text{反応後の運動E和}) = (\text{反応前の運動E和}) + Q_b\)

具体的な解説と立式
まず、反応(b)の反応エネルギー \(Q_b\) を求めます。
\({}_{1}^{2}\text{H}\) の結合エネルギーは \(E_{\text{H2}} = 2.2\,\text{MeV}\) です。
$$
\begin{aligned}
Q_b &= (E_{\text{He}} + E_{\text{n}}) – (E_{\text{H3}} + E_{\text{H2}})
\end{aligned}
$$
求める運動エネルギーの和を \(K_{\text{全}}\) とすると、エネルギー保存則より以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{全}} &= K_{\text{H3}} + Q_b
\end{aligned}
$$
ここで \(K_{\text{H3}}\) は問(2)で求めた値（計算途中では分数のまま扱うのが精度良く計算するコツです）を用います。

まず \(Q_b\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_b &= (28.3 + 0) – (8.5 + 2.2) \\[2.0ex]
&= 28.3 – 10.7 \\[2.0ex]
&= 17.6\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$
次に \(K_{\text{全}}\) を計算します。\(K_{\text{H3}} = 2.74\dots\) を用います。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{全}} &= 2.74 + 17.6 \\[2.0ex]
&= 20.34
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{全}} &\approx 20\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

今度は、勢いよく飛んできた粒子（H3）が、止まっている別の粒子（H2）に衝突して反応を起こします。
反応後のエネルギーは、「元々H3が持っていた勢い」と「反応によって新たに湧き出したエネルギー（結合エネルギーの差）」の合計になります。
財布に入っていたお金（運動エネルギー）と、バイト代（反応エネルギー）を足して、合計いくらになったかを計算するのと同じです。

答えは \(20\,\text{MeV}\) です。
反応エネルギー \(17.6\) に入射エネルギー \(2.7\) が加わり、妥当な大きさになっています。

問(4)

思考の道筋とポイント
反応(b)において、生成された中性子 \({}_{0}^{1}\text{n}\) が入射方向と直角（\(90^\circ\)）に飛び出した場合の、中性子の運動エネルギー \(K_{\text{n}}\) を求めます。
これは2次元平面内での衝突・分裂問題です。
x軸方向（入射方向）とy軸方向（中性子の飛び出し方向）のそれぞれについて運動量保存則を立て、さらにエネルギー保存則と連立させます。

この設問における重要なポイント

• 座標系の設定: 入射方向をx軸、中性子の飛び出し方向をy軸とします。
• 運動量保存則（ベクトル）:
  \(\vec{p}_{\text{前}} = \vec{p}_{\text{後}}\)
  x成分: \(p_{\text{H3}} = p_{\text{He}} \cos\theta\)
  y成分: \(0 = p_{\text{n}} – p_{\text{He}} \sin\theta\) （Heは斜め下に飛ぶと仮定）
• エネルギー保存則: \(K_{\text{全}} = K_{\text{He}} + K_{\text{n}}\) （問(3)の結果を利用）

具体的な解説と立式
各粒子の質量を \(m\) を用いて以下のように置きます。

• \({}_{1}^{3}\text{H}\): \(3m\), 速度 \(v\), 運動エネルギー \(K_{\text{H3}}\)
• \({}_{0}^{1}\text{n}\): \(m\), 速度 \(V_2\), 運動エネルギー \(K_{\text{n}}\)
• \({}_{2}^{4}\text{He}\): \(4m\), 速度 \(V_1\), 運動エネルギー \(K_{\text{He}}\)

運動量保存則を成分ごとに立てます。Heがx軸となす角を \(\theta\) とします。
$$
\begin{aligned}
\text{x方向}: \quad 3mv &= 4mV_1 \cos\theta \quad \cdots ③ \\[2.0ex]
\text{y方向}: \quad mV_2 &= 4mV_1 \sin\theta \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{全}} &= K_{\text{He}} + K_{\text{n}} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
ここで、各運動エネルギーは以下の関係にあります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{H3}} &= \frac{1}{2}(3m)v^2, \quad K_{\text{n}} = \frac{1}{2}mV_2^2, \quad K_{\text{He}} = \frac{1}{2}(4m)V_1^2
\end{aligned}
$$

式③、④から \(\theta\) を消去します。
式③より \(4mV_1 \cos\theta = 3mv\)、式④より \(4mV_1 \sin\theta = mV_2\)。
両辺を2乗して足します（\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) を利用）。
$$
\begin{aligned}
(4mV_1)^2 &= (3mv)^2 + (mV_2)^2 \\[2.0ex]
16m^2 V_1^2 &= 9m^2 v^2 + m^2 V_2^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(2m\) で割って、運動エネルギーの形 \( \frac{1}{2}MV^2 \) を作り出します。
$$
\begin{aligned}
8 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 4m V_1^2 \right) &= 6 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 3m v^2 \right) + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} m V_2^2 \right)
\end{aligned}
$$
これを \(K\) で書き換えます。
$$
\begin{aligned}
8 K_{\text{He}} &= 6 K_{\text{H3}} + 2 K_{\text{n}} \\[2.0ex]
4 K_{\text{He}} &= 3 K_{\text{H3}} + K_{\text{n}} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
式⑤ \(K_{\text{He}} = K_{\text{全}} – K_{\text{n}}\) を式⑥に代入して \(K_{\text{He}}\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
4 (K_{\text{全}} – K_{\text{n}}) &= 3 K_{\text{H3}} + K_{\text{n}} \\[2.0ex]
4 K_{\text{全}} – 4 K_{\text{n}} &= 3 K_{\text{H3}} + K_{\text{n}} \\[2.0ex]
5 K_{\text{n}} &= 4 K_{\text{全}} – 3 K_{\text{H3}}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。\(K_{\text{全}} = 20.34\), \(K_{\text{H3}} = 2.74\) を用います。
$$
\begin{aligned}
5 K_{\text{n}} &= 4 \times 20.34 – 3 \times 2.74 \\[2.0ex]
&= 81.36 – 8.22 \\[2.0ex]
&= 73.14 \\[2.0ex]
K_{\text{n}} &= \frac{73.14}{5} \\[2.0ex]
&= 14.628
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{n}} &\approx 15\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

中性子が真横（進行方向と垂直）に飛び出したということは、元々の進行方向（x方向）の勢いは全てヘリウムが受け継いだことになります。さらに、中性子が横に飛び出した反動（y方向の勢い）もヘリウムが受け止めています。
この「運動量のバランス」と「エネルギーの総和」という2つのルールを連立させることで、それぞれのエネルギーが決まります。
計算のコツは、速度 \(v\) を直接求めようとせず、エネルギー \(K\) の関係式に持ち込むことです。

答えは \(15\,\text{MeV}\) です。
全エネルギー \(20\,\text{MeV}\) のうち、大部分を軽い中性子が持ち去っています。これは問(2)と同様、軽い粒子ほど速く飛び出しやすいため妥当な結果です。

問(Q)

思考の道筋とポイント
問(4)の別解1で解説した通り、運動量ベクトルの幾何学的関係から式を導きます。
問題文の指示にある「④式」とは、問(4)の解説中にある \(9v^2 + V_2^2 = 16V_1^2\) のことです。

この設問における重要なポイント

• ベクトル図: 運動量保存則 \(\vec{p}_{\text{H3}} = \vec{p}_{\text{He}} + \vec{p}_{\text{n}}\) を図示する。
• 直交条件: \(\vec{p}_{\text{H3}} \perp \vec{p}_{\text{n}}\) であることを利用する。

具体的な解説と立式
運動量保存則 \(\vec{p}_{\text{H3}} = \vec{p}_{\text{He}} + \vec{p}_{\text{n}}\) において、\(\vec{p}_{\text{H3}}\) と \(\vec{p}_{\text{n}}\) が直交しています。
ベクトル図を描くと、\(\vec{p}_{\text{He}}\) を斜辺とする直角三角形が形成されます（正確には \(\vec{p}_{\text{He}}\) の始点を原点に置くと、\(\vec{p}_{\text{H3}}\) と \(-\vec{p}_{\text{n}}\) の合成ベクトルとなります）。
三平方の定理より、大きさについて以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
(p_{\text{He}})^2 &= (p_{\text{H3}})^2 + (p_{\text{n}})^2
\end{aligned}
$$
各運動量は \(p = mv\) より、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
p_{\text{He}} = 4mV_1, \quad p_{\text{H3}} = 3mv, \quad p_{\text{n}} = mV_2
\end{aligned}
$$
これらを代入します。
$$
\begin{aligned}
(4mV_1)^2 &= (3mv)^2 + (mV_2)^2
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
16m^2 V_1^2 &= 9m^2 v^2 + m^2 V_2^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(m^2\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
16 V_1^2 &= 9 v^2 + V_2^2
\end{aligned}
$$
あるいは、左辺と右辺を入れ替えて、
$$
\begin{aligned}
9 v^2 + V_2^2 &= 16 V_1^2
\end{aligned}
$$

問(4)の別解1と同じく、運動量の矢印が作る直角三角形に注目しました。
斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しいというピタゴラスの定理（三平方の定理）を使うだけで、目的の式が得られます。

\(\theta\) を介さずに直接、速度（または運動量）の関係式が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 質量とエネルギーの等価性（結合エネルギーと反応熱）
  • 核心: アインシュタインの関係式 \(E=mc^2\) に基づき、原子核反応に伴う質量の減少（質量欠損）が、膨大な運動エネルギーとして放出される現象です。
  • 理解のポイント:
    • 結合エネルギーの定義: バラバラの核子よりも原子核の方がエネルギーが低い（質量が軽い）状態です。
    • 反応熱の計算: 「（反応後の結合エネルギー総和）－（反応前の結合エネルギー総和）」が正なら発熱反応、負なら吸熱反応となります。
• 運動量保存則（ベクトルとしての保存）
  • 核心: 核反応のような内力のみが働く現象では、系全体の運動量のベクトル和は反応の前後で不変です。
  • 理解のポイント:
    • 静止からの分裂: 運動量の大きさが等しく向きが逆になるため、運動エネルギーは質量の逆比に分配されます。
    • 2次元の衝突: 成分ごとに保存則を立てるか、ベクトル図（三角形）を描いて幾何学的に解きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 静止核の崩壊（\(\alpha\)崩壊など）: 親核が静止している場合、娘核と放出粒子（\(\alpha\)粒子など）の運動エネルギーは、質量の逆比で一意に決まります。本問の問(2)が典型例です。
  • 弾性衝突と非弾性衝突: 原子核反応は「内部エネルギー（質量）が変化する衝突」とみなせます。力学の衝突問題に \(Q\)（反応熱）の項を追加するだけで全く同じ解法が通用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー収支の確認: 与えられた数値が「質量」なのか「結合エネルギー」なのか「質量欠損」なのかを確認し、反応熱 \(Q\) を最初に計算します。
  2. 運動量ベクトルの作図: 2次元の反応・衝突では、すぐに成分計算に入らず、まず運動量ベクトルを描いてみます。直角三角形や二等辺三角形などの特殊な形状が見つかれば、計算を大幅にショートカットできます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反応熱 \(Q\) の符号ミス:
  • 誤解: 「反応前 － 反応後」なのか「反応後 － 反応前」なのかを丸暗記しようとして、逆にしてしまう。
  • 対策: 「結合エネルギー＝穴の深さ」とイメージします。「より深い穴（結合エネルギー大）に落ちれば、エネルギーが余って放出される（発熱）」と物理的意味で判断しましょう。
• 運動量保存則のベクトル無視:
  • 誤解: 2次元の衝突なのに、単に速さや運動エネルギーの足し算（スカラー和）で保存則を立ててしまう。
  • 対策: 運動量は必ず「ベクトル（矢印）」です。一直線上の衝突でない限り、必ず成分分解するか、ベクトル図を描く習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(4)別解1：運動量ベクトル図（三平方の定理）:
  • 選定理由: 成分分解して連立方程式を解くよりも、図形の性質（ピタゴラスの定理）を使う方が計算量が圧倒的に少なく、ミスも防げるため。
  • 適用根拠: 問題の設定で、入射方向と中性子の放出方向が「直角」であると明記されているため、運動量ベクトルが直角三角形を形成することが確定しているからです。
• 問(4)別解2：\(p = \sqrt{2mK}\) の利用:
  • 選定理由: 求めたいのが「速度」ではなく「運動エネルギー」である場合、速度 \(v\) を経由せずに直接 \(K\) を扱う方が変数が減り、計算が楽になるため。
  • 適用根拠: 運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) と運動量 \(p=mv\) の定義から常に成り立つ関係式であり、非相対論的な速度領域では常に使用可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式による完遂:
  • 意識: 具体的な数値（\(28.3\) など）を最初から代入すると、計算が煩雑になり、見直しも困難になります。
  • 実践: 最後の最後まで \(Q_a, m_{\text{He}}\) などの文字のまま式変形を行い、最も簡単な形になってから数値を代入します。特に分数は小かずに分数のまま扱うことで、割り切れない数の誤差を防げます。
• 次元（単位）の確認:
  • 意識: エネルギーの式に運動量を足してしまうような、次元の異なる量の加算ミスを防ぎます。
  • 実践: 式変形の各段階で、左辺と右辺の次元が合っているか（例：全てエネルギーの単位になっているか）をチラッと確認する癖をつけましょう。\(p^2/2m\) はエネルギーの次元ですが、\(p^2/m\) だと合いません。

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