問題43 (東京大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、電磁気学の重要なテーマである「ソレノイドコイル」と「電磁誘導」に関する、多角的な理解を問う問題です。
- パートI では、直流電源への接続方法を変えることで、ソレノイドの抵抗や単位長さあたりの巻数がどう変化し、結果として電流や中心の磁場がどう変わるかを計算します。特に(3)では、ソレノイドの端における磁場という応用的な知識が試されます。
- パートII では、直流電流が定常状態になるまでの過渡的な状態で、電磁誘導によってリングにどのような現象が起こるかを、レンツの法則や電磁力を用いて考察します。
- 初期状態: 長さ2lのソレノイドコイルに電圧V₀をかけ、電流I₀が流れている。このときの中心Pの磁場の強さがH₀。
- これは、コイル全体の抵抗をRとすると \(R = V_0/I_0\) であること、単位長さあたりの巻数をnとすると \(H_0 = n I_0\) であることを意味します。
- I (直流回路):
- (1) 電源を中央Bと両端A,Cに接続した場合の、全電流とP点の磁場。
- (2) コイルを長さ4lに引き伸ばした場合の、電流とP点の磁場。
- (3) 電源をAとB,Cに接続した場合の、全電流とP点の磁場。
- II (電磁誘導):
- (4) スイッチを閉じた過渡状態での、リングR₁, R₂に流れる誘導電流の有無と向き。
- (5) スイッチを閉じた直後の、リングR₁, R₂の動きの有無と向き。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解く鍵は、ソレノイドコイルの基本的な性質と、電磁誘導の法則を正確に理解しているかです。
ソレノイドについて:
十分に長いソレノイドの内部には、一様な磁場 \(H = nI\) ができます。ここで `n` は「単位長さあたりの巻数」、`I` は流れる電流です。この公式を、コイルの長さや電流が変化する各状況に合わせて正しく適用することが求められます。
電磁誘導について:
「コイルを貫く磁束が変化するとき、その変化を妨げる向きに起電力（と電流）が誘導される」というファラデーの電磁誘導の法則とレンツの法則が中心となります。パートIIでは、スイッチを入れた瞬間にソレノイドの電流が増加し、それによって作られる磁束も増加するため、周囲のリングに誘導電流が発生します。そして、その誘導電流とソレノイドの電流との間に働く電磁力を考えることで、リングの運動を予測します。
問 (1)
思考の道筋とポイント
- 回路の構成を理解する: 電源を中央Bと両端A,Cにつなぐと、コイルの左半分(AB)と右半分(BC)が、電源に対して並列に接続された回路になります。
- 電流を計算する: それぞれの半分の抵抗値は、全体の抵抗Rの半分、つまりR/2です。この抵抗に電圧V₀がかかるので、オームの法則でそれぞれの電流を計算し、最後に合流する電源からの全電流を求めます。
- 磁場を計算する: P点（＝B点）の磁場は、左半分が作る磁場と右半分が作る磁場のベクトル和になります。それぞれの磁場の向きを考えれば、結果は明らかです。
具体的な解説と立式
1. 電流の計算:
コイル全体の抵抗をRとすると、左半分(AB)と右半分(BC)の抵抗はそれぞれ \(R/2\) です。
- 左半分を流れる電流 \(I_{AB}\): \(V_0 = (R/2)I_{AB}\) より \(I_{AB} = 2V_0/R = 2I_0\)。
- 右半分を流れる電流 \(I_{BC}\): \(V_0 = (R/2)I_{BC}\) より \(I_{BC} = 2V_0/R = 2I_0\)。
電源から流れる全電流は、これらが合流したものなので、
$$I_{total} = I_{AB} + I_{BC} = 2I_0 + 2I_0 = 4I_0$$
2. 磁場の計算:
P点は、左半分コイル(AB)の右端であり、右半分コイル(BC)の左端です。
- 左半分(AB)の電流\(I_{AB}\)は、P点に右向きの磁場を作ります。
- 右半分(BC)の電流\(I_{BC}\)は、BからCへ流れるので、P点に左向きの磁場を作ります。
電流の大きさが同じ(\(2I_0\))で、コイルの形状も対称なので、作られる磁場の強さも同じです。したがって、P点では2つの磁場が完全に打ち消し合います。
$$H_P = 0$$
使用した物理公式
- オームの法則: \(V=IR\)
- 並列回路の性質
- ソレノイドが作る磁場と重ね合わせの原理
上記の立式そのものが結論となるため、追加の計算過程はありません。
電源から流れる電流はI₀の4倍、P点の磁場の強さはH₀の0倍です。
問 (2)
思考の道筋とポイント
- 抵抗と電流: コイルを引き伸ばしても、銅線そのものの長さや材質は変わらないので、電気抵抗Rは変化しません。したがって、同じ電圧V₀をかければ、流れる電流も元のI₀のままです。
- 磁場: 磁場の強さの公式 \(H=nI\) のうち、電流Iは不変ですが、単位長さあたりの巻数nが変化します。コイルの全長が2倍になるので、nがどうなるかを計算します。
具体的な解説と立式
1. 電流:
コイル全体の抵抗Rは不変なので、オームの法則 \(V_0 = RI_0\) の関係も変わりません。したがって、電流はI₀のまま、すなわち1倍です。
2. 磁場:
元の単位長さあたりの巻数を \(n = N/(2l)\) とします（Nは総巻数）。長さを4lに引き伸ばすと、新しい単位長さあたりの巻数n’は、
$$n’ = \frac{N}{4l} = \frac{1}{2} \cdot \frac{N}{2l} = \frac{1}{2}n$$
したがって、新しい磁場の強さH’は、
$$H’ = n’I_0 = \left(\frac{1}{2}n\right)I_0 = \frac{1}{2}(nI_0) = \frac{1}{2}H_0$$
使用した物理公式
- オームの法則: \(V=IR\)
- ソレノイド内部の磁場: \(H=nI\)
上記の立式そのものが結論となるため、追加の計算過程はありません。
電流はI₀の1倍、磁場の強さはH₀の1/2倍です。ソレノイドは、同じ電流でも、まばらに巻く（nを小さくする）と磁場が弱まることがわかります。
問 (3)
思考の道筋とポイント
- 回路の構成: 電源をAとBに接続し、CもBと同じ電位の端子につないでいます。これは、BC間には電位差がなく、電流が流れないことを意味します。電流が流れるのは、電圧V₀がかかるAB間のみです。
- 電流の計算: AB間の抵抗はR/2なので、オームの法則で電流を計算します。
- 磁場の計算: P点（=B点）は、電流が流れるコイルABの「端」の位置になります。ソレノイドの端の磁場は、内部の磁場のちょうど半分になる、という性質を利用します。この性質は、対称性を用いた巧妙な思考実験で導かれます。
具体的な解説と立式
1. 電流の計算:
電流が流れるのは、抵抗が \(R/2\) のAB間のみです。ここに電圧V₀がかかるので、オームの法則より、
$$I’ = \frac{V_0}{R/2} = \frac{2V_0}{R} = 2I_0$$
2. 磁場の計算（ソレノイド端の磁場）:
まず、コイルABが無限に長いと仮定した場合の内部の磁場 \(H_{inside}\) を考えます。単位長さあたりの巻数は元のコイルと同じnで、電流が2I₀なので、
$$H_{inside} = n(2I_0) = 2(nI_0) = 2H_0$$
無限に長いソレノイドの端での磁場は、内部の磁場のちょうど半分になることが知られています。したがって、P点での磁場の強さ \(H_P\) は、
$$H_P = \frac{1}{2} H_{inside} = \frac{1}{2}(2H_0) = H_0$$
使用した物理公式
- オームの法則: \(V=IR\)
- ソレノイド内部の磁場: \(H=nI\)
- ソレノイドの端の磁場: \(H_{end} = \frac{1}{2}H_{inside}\)（重ね合わせの原理より）
上記の立式そのものが結論となるため、追加の計算過程はありません。
別解: 「端の磁場が内部の半分」であることの証明
求めたいP点の磁場（コイルABの右端）を \(H_{AB}\) とします。
ここで、もしコイルの右半分BCにも、ABと同じ向きに同じ電流2I₀が流れていると仮想的に考えます。このとき、P点は長さ2lのソレノイドの「中心」になります。
この仮想的な状況でのP点の磁場 \(H_{total}\) は、内部の磁場なので \(H_{total} = 2H_0\) です。
一方、この \(H_{total}\) は、左半分が作る磁場 \(H_{AB}\) と、右半分が作る磁場 \(H_{BC}\) のベクトル和のはずです。
$$H_{total} = H_{AB} + H_{BC}$$
対称性から考えて、左半分(AB)がその右端Pに作る磁場の強さと、右半分(BC)がその左端Pに作る磁場の強さは同じはずです。つまり \(H_{AB} = H_{BC}\)。
したがって、\(2H_0 = H_{AB} + H_{AB} = 2H_{AB}\)。これから、\(H_{AB} = H_0\) が導かれます。
電源から流れる電流はI₀の2倍、P点の磁場の強さはH₀の1倍です。
問 (4)
思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、ソレノイドを流れる電流が0から定常値I₀へと時間的に変化（増加）します。電流が変化すると、ソレノイドが作る磁場も変化し、その結果、ソレノイドを貫く磁束が変化します。この「磁束の変化」が、近くにあるリングR₁とR₂に誘導起電力を生じさせ、誘導電流を流します。向きはレンツの法則で決まります。
具体的な解説と立式
1. 誘導電流の有無:
スイッチを閉じると、ソレノイドの電流が増加 → ソレノイドが作る右向きの磁場が増加 → リングR₁とR₂を貫く右向きの磁束が増加します。
ファラデーの電磁誘導の法則によれば、磁束が変化すれば必ず誘導起電力が生じるため、R₁とR₂の両方に電流は流れます。
2. 誘導電流の向き（レンツの法則）:
レンツの法則は「磁束の変化を妨げる向き」に誘導電流が流れるという法則です。
今回は「右向きの磁束が増加」という変化が起きています。これを妨げるには、リング自身が「左向きの磁場」を作る必要があります。
右ネジの法則より、左向きの磁場を作る電流の向きは、ソレノイドの巻線とは逆向きになります。
使用した物理公式
- ファラデーの電磁誘導の法則
- レンツの法則
この設問は定性的な問題のため、計算過程はありません。
R₁とR₂の両方に電流が流れる。その向きは、コイルに流れる電流とは逆向きです。
問 (5)
思考の道筋とポイント
(4)で、リングに誘導電流が流れることがわかりました。この誘導電流と、ソレノイドの電流との間には、電磁力が働きます。ここで、「平行な電流間には引力が、逆向きの電流間には反発力が働く」という法則を思い出しましょう。
具体的な解説と立式
1. 働く力の種類:
(4)より、リングR₁とR₂に流れる誘導電流は、ソレノイドの電流と逆向きです。したがって、両リングとソレノイドの間には反発力（斥力）が働きます。
2. リングR₁の動き:
R₁はソレノイドの左端にあります。ソレノイドから反発力を受けるので、ソレノイドから離れる向き、すなわち左向きに動きだします。
3. リングR₂の動き:
R₂はソレノイドの中央にあります。ソレノイドの左半分(AB)からは右向きの反発力を受け、右半分(BC)からは左向きの反発力を受けます。コイルは一様で、R₂は中央にあるため、左右からの反発力は大きさが等しく、向きが逆です。したがって、これらの力はつり合ってしまい、R₂は動きません。
使用した物理公式
- 平行電流・逆行電流間にはたらく力（引力・反発力）
- 力のつり合いと対称性
この設問は定性的な問題のため、計算過程はありません。
R₁は左向きに動きだす。R₂は動かない。これは、ソレノイド電磁石とリング電磁石のN極・S極の向きを考えても同じ結論が得られます。ソレノイドは右がN極、左がS極の電磁石になります。誘導電流により、リングは両方とも右がS極、左がN極の電磁石になります。R₁はS極同士が向き合うので反発し、R₂は中心で左右から対称な力を受けるため動きません。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ソレノイドが作る磁場: 長いソレノイドの内部には、一様な磁場 \(H=nI\) が生じるという基本法則がパートIの土台です。特に、コイルの長さや電流が変わったときに、`n`と`I`がどう変化するかを正確に追うことが重要です。
- 重ね合わせの原理と対称性: 問(1)の磁場ゼロや、問(3)の「端の磁場は内部の半分」、問(5)の「中央のリングは動かない」といった結論は、すべて物理的な「対称性」と「重ね合わせの原理」から導かれています。複雑な状況を単純な要素の組み合わせとして捉える視点は非常に強力です。
- ファラデーの電磁誘導の法則とレンツの法則: パートIIの核心です。「磁束の変化」が「誘導起電力」を生み、「その向きは変化を妨げる向き」である、という一連の法則を正しく適用できることが問われます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- 相互誘導: パートIIは、一次コイル（ソレノイド）の電流変化が二次コイル（リング）に起電力を生む「相互誘導」の最も基本的な例です。変圧器（トランス）などの原理にもつながります。
- 対称性を利用した場の計算: 電気や磁気、重力の世界では、対称性を使って計算を劇的に簡略化できる問題が多くあります。問(3)の端の磁場を求める方法は、その典型的なテクニックです。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 接続方法の変更: 問(1)や(3)のように、電源のつなぎ方が変わる問題では、まず回路図を描き直し、各部分の抵抗や電圧がどうなるかを整理します。並列か直列かを見極めるのが第一歩です。
- 「スイッチを入れた直後」という言葉: このキーワードは、「電流が0から変化する」→「磁束が変化する」→「電磁誘導が起こる」という思考の連鎖を始める合図です。
- 系の対称性: 問(5)のように、幾何学的に対称な配置があれば、「力がつり合うのではないか？」と予測を立てることができます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 単位長さあたりの巻数 `n` の扱い:
- 現象: 問(2)でコイルを伸ばしたときに、`n` が変わることに気づかない。あるいは、総巻数 `N` と混同してしまう。
- 対策: \(H=nI\) の `n` は「密度」の概念であると理解する。長さが変われば密度も変わる、と常に意識する。
- ソレノイドの端の磁場:
- 現象: 問(3)で、端の点Pでも内部と同じ磁場 \(H=2H_0\) ができると勘違いしてしまう。
- 対策: ソレノイドの磁力線が端から外に広がっていくイメージを持つ。「端は磁力線が半分漏れ出しているので、磁場も半分になる」と直感的に覚えておくと同時に、別解で示した対称性による証明も理解しておく。
- レンツの法則の適用ミス:
- 現象: 問(4)で、誘導電流がソレノイドの電流と「同じ向き」に流れると間違えてしまう。
- 対策: レンツの法則は「変化」に対して「反抗」する、という「あまのじゃく」な性質を思い出す。磁束が「増えている」なら「減らす」向きに、「減っている」なら「増やす」向きに、誘導電流は磁場を作ります。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
- 回路図の描き直し: 問(1)や(3)のように接続が変わった場合、元の図に書き込まずに、抵抗と電源からなる等価な回路図を自分で新しく描くことが、状況を正確に把握する上で非常に有効です。
- 仮想的な要素を補う図: 問(3)の別解で示したように、「もし右半分にもコイルがあったら…」という仮想的な状況を図に描いてみることが、対称性を利用した思考の助けになります。
- 力のベクトル図: 問(5)で、リングR₂に働く左右からの反発力を、ベクトル矢印として描き込むことで、なぜ力がつり合うのかが一目瞭然になります。
- 磁石モデルへの置き換え: 問(5)で、ソレノイドとリングをそれぞれN極・S極を持つ棒磁石に置き換えて図示すると、反発・吸引の関係が直感的に理解できます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(H = nI\) (ソレノイド内部の磁場):
- 選定理由: 問題の主役がソレノイドコイルであり、その内部の磁場を計算するための基本公式だから。
- 適用根拠: アンペールの法則をソレノイドに適用して導出された、理想的な状況下での磁場の強さ。
- レンツの法則:
- 選定理由: 問(4)のように、磁束変化によって生じる誘導電流の「向き」を決定するために用いる。
- 適用根拠: エネルギー保存則の電磁気学的な現れ。もし変化を妨げる向きでなければ、エネルギーが無限に増大する状況が生まれてしまい、物理的に矛盾します。
- 平行/逆行電流間の力:
- 選定理由: 問(5)で、ソレノイドの電流とリングの誘導電流という、2つの電流間に働く力を定性的に判断するために用いる。
- 適用根拠: それぞれの電流が作る磁場から、もう一方の電流がローレンツ力を受ける、という相互作用を簡潔にまとめた法則。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 【パートI】
- 問題の接続形態から、等価な電気回路図を描く（直列か並列か）。
- 各部分の抵抗値を求める（例: R/2）。
- オームの法則で各部分の電流、および全体の電流を計算する。
- ソレノイドの磁場の公式 \(H=nI\) を適用する。このとき、コイルの長さの変化に伴う `n` の変化や、電流値の変化を正しく反映させる。
- 【パートII】
- スイッチON → 電流が増加 → 磁束が増加、という因果関係を把握する。
- レンツの法則を適用し、「磁束の増加を妨げる向き」から誘導電流の向きを決定する。
- 誘導電流と元の電流の向きを比較し、働く力が「引力」か「反発力」かを判断する。
- 力のつり合い（対称性）を考慮し、各リングが動くかどうかを結論づける。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 基準を明確にする: この問題では、初期状態の電流が\(I_0\)、磁場が\(H_0\)と定義されています。「〇倍になるか」という問いに対しては、常にこの基準値との比を計算することを忘れない。
- 抵抗と長さの比例関係の確認: コイルの抵抗は、巻かれている銅線の長さに比例します。コイルの「全長」がlから2lに伸びても、銅線自体の長さは変わらないので抵抗はRのまま、というように、何が変化して何が不変かを見極める。
- 対称性の利用: 対称な状況では、計算するまでもなく「打ち消し合ってゼロになる」「左右で同じ値になる」と判断できることが多いです。積極的に利用することで、計算を簡略化し、ミスを減らせます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 物理的な直感との照らし合わせ:
- 問(2)で、コイルを引き伸ばすと磁場が弱くなった。これは、電流の分布がまばらになったのだから、磁場が弱まるのは当然だ、と直感的に納得できる。
- 問(5)で、端にあるリングは反発して飛び出すが、中央にあるリングは動かない。これも、中心では力がつり合いそうだ、という物理的直感と一致します。
- 極端な場合を考える:
- もし問(3)で、右半分BCを切り離してしまったらどうなるか？ABだけの長さlのソレノイドとなり、その端Pでの磁場は\(H_0\)となる。これは、長さ2lのソレノイドを半分に切っても、端の磁場の強さは変わらないことを示唆しており、興味深い考察ができます。
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