「名問の森」徹底解説（16〜18問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題16

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平行平板コンデンサーに対する様々な操作（スイッチの開閉、金属板の挿入、極板の移動、誘電体の挿入）が、コンデンサー内部の電場、電位、蓄えられる電荷量、そして電気容量にどのような影響を与えるかを考察する総合問題です。特に、電場と電位の分布をグラフで表現する能力も問われています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、平行平板コンデンサーの基本的な性質を深く理解しているかを試すものです。スイッチの操作、導体や誘電体の挿入といった各ステップで、コンデンサーの内部状態（電場、電位、電荷、容量）がどのように変化するかを、物理法則に基づいて丁寧に追跡していくことが求められます。特に、電場と電位の関係をグラフで視覚的に表現する能力は重要です。

問 (1)

思考の道筋とポイント
まず、スイッチSを閉じてコンデンサーを起電力 \(V_0\) の電池で十分に充電します。その後、スイッチSを開きます。この最終状態における極板間の電場 \(E(x)\) と電位 \(V(x)\) のグラフを描くことが求められています。

1. 充電完了時の状態: スイッチSを閉じている間、コンデンサーの極板AとBの間の電位差は、電池の起電力 \(V_0\) に等しくなるまで充電が進みます。
2. スイッチSを開いた後の状態: スイッチSを開くと、コンデンサーは電池から電気的に切り離されます。このとき、極板Aに蓄えられていた電荷 \(Q\) は逃げ場を失い、保存されます。この蓄えられた電荷 \(Q\) によって、極板間には電場が形成され、電位差が維持されます。スイッチを開いた直後では、この電位差は充電完了時の \(V_0\) のままです。
3. 電場の強さ \(E_1\) の計算: 極板間の初期の間隔は \(4d\) です。 平行平板コンデンサーの極板間の電場は一様であると考えられるため、電場の強さを \(E_1\) とすると、電位差 \(V_0\) と極板間隔 \(4d\) の間には \(V_0 = E_1 \cdot (4d)\) という関係が成り立ちます。この式から \(E_1\) を求めることができます。
4. 電位 \(V(x)\) の計算: 極板Bの電位を \(0 \, \text{[V]}\) とし、極板Bからの距離を \(x\) とします。 一様な電場 \(E_1\) の中では、電位は \(V(x) = E_1 x\) という形で、距離 \(x\) に比例して直線的に増加します。

この設問における重要なポイント

• 平行平板コンデンサーの内部電場は、理想的には一様である（端の部分での乱れは無視する）という近似を理解していること。
• 一様な電場 \(E\) と、その方向に測った距離 \(d\)、そしてその間の電位差 \(V\) との間に成り立つ関係式 \(V=Ed\) を正しく適用できること。
• 電位の基準点の取り方と、その基準点から出発して各点の電位をどのように計算していくか（特に一様な電場の場合の直線的な変化）を把握していること。

具体的な解説と立式
スイッチSを閉じ、コンデンサーが十分に充電されたとき、その極板AB間の電位差は電池の起電力に等しくなり、\(V_0\) となります。
その後スイッチSを開いても、コンデンサーに蓄えられた電荷は保存されるため、極板間の電位差は（他の操作が加わるまでは）\(V_0\) のままです。
このときの極板間隔は \(4d\) です。極板間の電場は一様であると考えられるため、その強さを \(E_1\) とすると、電位差 \(V_0\) との間に以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= E_1 \cdot (4d)
\end{aligned}
$$
極板B (\(x=0\)) の電位を基準の \(0 \, \text{[V]}\) とします。極板Bからの距離が \(x\) である点の電位を \(V(x)\) とすると、電場 \(E_1\) が一様であるため、電位は \(x\) に比例して直線的に増加し、次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
V(x) &= E_1 x \quad (\text{ただし、} 0 \le x \le 4d)
\end{aligned}
$$

1. 電場の強さ \(E_1\) を \(V_0\) と \(d\) を用いて表します。
   $$
   \begin{aligned}
   E_1 &= \frac{V_0}{4d}
   \end{aligned}
   $$
   この電場の強さは、極板間 (\(0 \le x \le 4d\)) のどの場所でも一定です。
2. 次に、電位 \(V(x)\) の式を完成させます。
   $$
   \begin{aligned}
   V(x) &= \left(\frac{V_0}{4d}\right) x \\[2.0ex]
   &= \frac{V_0}{4d}x
   \end{aligned}
   $$
   この式から、電位 \(V(x)\) のグラフがどのような形状になるかがわかります。
   • \(x=0\) （極板Bの位置）のとき: \(V(0) = 0 \, \text{[V]}\)
   • \(x=4d\) （極板Aの位置）のとき: \(V(4d) = V_0 \, \text{[V]}\)

まず、コンデンサーを電池につないで電気をいっぱいにし（充電し）、その後スイッチを切ります。このとき、コンデンサーの両端の電気的な「高さの差」（電位差）は、電池の電圧 \(V_0\) と同じになっています。コンデンサーの2枚の板（極板AとB）の間の距離は \(4d\) です。
この2枚の板の間には、電気的な「坂道」のようなもの（電場 \(E_1\)）ができています。この坂道はどこでも同じ傾き（一様な電場）になっています。全体の高さの差 \(V_0\) と、坂道の全長 \(4d\)、そして坂道の傾き \(E_1\) の間には、\(V_0 = E_1 \times 4d\) という関係があります。だから、坂道の傾き \(E_1\) は \(V_0 \div (4d)\) で計算できます。
次に、電気的な「高さ」（電位 \(V(x)\)）を考えます。板B（\(x=0\) の場所）の高さを基準の \(0 \, \text{V}\) とすると、そこから距離 \(x\) だけ離れた場所の高さは、傾き \(E_1\) の坂道を \(x\) だけ登ったことになるので、\(V(x) = E_1 \times x = (V_0 / (4d)) \times x\) となります。これは、距離 \(x\) が大きくなるにつれて、高さがまっすぐ（直線的に）高くなっていくことを意味します。そして、板A（\(x=4d\) の場所）では、ちょうど高さ \(V_0\) に到達します。

• 電場 \(E(x)\) のグラフ：横軸を \(x\)（極板Bからの距離、\(0\) から \(4d\) まで）、縦軸を電場の強さ \(E\) とすると、\(E\) は \(x\) の値によらず一定値 \(E_1 = \displaystyle\frac{V_0}{4d}\) をとります。したがって、グラフは \(E = \displaystyle\frac{V_0}{4d}\) の高さで \(x\) 軸に平行な水平な直線となります。
• 電位 \(V(x)\) のグラフ：横軸を \(x\)、縦軸を電位 \(V\) とすると、\(x=0\) で \(V=0\) （極板B）、\(x=4d\) で \(V=V_0\) （極板A）となり、この2点を結ぶ直線（傾き \(\displaystyle\frac{V_0}{4d}\)）となります。

これらは、充電された平行平板コンデンサー内部の理想的な電場（一様）と電位（直線的に変化）の分布を正しく示しており、物理的に妥当な結果です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
設問(1)の後（スイッチSは開いたまま）、極板Bから \(d\) の距離に、厚さ \(d\) の帯電していない金属板Mを挿入します。スイッチが開いているため、極板Aの電荷 \(Q\) は保存されます。電荷が保存されると、空気層部分の電場の強さは変化しません。金属板内部では静電誘導により電場が0になります。これらの情報から電場と電位のグラフを描きます。
この設問における重要なポイント

• スイッチが開いている（回路が開放されている）場合には、コンデンサーの極板に蓄えられた電荷量が保存される、という電気量保存則の適用。
• 電荷量が保存されている場合、極板間の空気層部分（または真空部分）における電場の強さは、金属板の挿入前後で変化しない。
• 金属板（導体）を電場中に置くと静電誘導が起こり、その結果として金属板内部の電場は必ず \(0\) になること。
• 金属板（導体）は全体が等電位になること。

具体的な解説と立式
スイッチSが開いているため、極板Aに蓄えられている電荷 \(Q\) は、設問(1)の初期状態から変化しません。
設問(1)における初期の極板間の電場の強さは \(E_1 = \displaystyle\frac{V_0}{4d}\) でした。
金属板Mを挿入すると、Mの内部（\(d \le x \le 2d\) の領域）では、静電誘導によって電場が \(0\) になります。
金属板Mが挿入されていない空間（BM間の \(0 \le x < d\) および MA間の \(2d < x \le 4d\) の領域）では、極板Aの電荷 \(Q\) が変化していないため、電気力線の密度も変化せず、電場の強さは設問(1)と同じ \(E_1 = \displaystyle\frac{V_0}{4d}\) のままです。

次に、電位 \(V(x)\) を計算します（極板Bの電位を \(V(0)=0\) とします）。

• 領域 \(0 \le x \le d\) (BM間):
  この領域の電場の強さは \(E_1\) なので、電位は次のように表せます。
  $$
  \begin{aligned}
  V(x) &= E_1 x \\[2.0ex]
  &= \frac{V_0}{4d} x
  \end{aligned}
  $$
• 領域 \(d \le x \le 2d\) (M内部):
  金属板Mの内部では電場が \(0\) であるため、この領域は等電位です。したがって、M全体の電位はMの下面の電位に等しくなります。
  $$
  \begin{aligned}
  V(x) &= V(d) \\[2.0ex]
  &= E_1 d \\[2.0ex]
  &= \frac{V_0}{4d} d \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{4}V_0
  \end{aligned}
  $$
• 領域 \(2d \le x \le 4d\) (MA間):
  この領域の電場の強さも \(E_1\) です。金属板Mの上面 (\(x=2d\)) の電位は \(V(2d) = \displaystyle\frac{1}{4}V_0\) です。ここを基準として、\(x\) (\( \ge 2d\)) まで進むと、電位は次のように表せます。
  $$
  \begin{aligned}
  V(x) &= V(2d) + E_1 (x-2d) \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{4}V_0 + \frac{V_0}{4d}(x-2d)
  \end{aligned}
  $$

1. 電場 \(E(x)\) の決定:
   • 領域 \(0 \le x < d\) (BM間): $$
     \begin{aligned}
     E(x) &= E_1 \\[2.0ex]
     &= \frac{V_0}{4d}
     \end{aligned}
     $$
   • 領域 \(d \le x \le 2d\) (金属板M内部): $$
     \begin{aligned}
     E(x) &= 0
     \end{aligned}
     $$
   • 領域 \(2d < x \le 4d\) (MA間): $$
     \begin{aligned}
     E(x) &= E_1 \\[2.0ex]
     &= \frac{V_0}{4d}
     \end{aligned}
     $$
2. 電位 \(V(x)\) の計算: (極板Bの電位を \(V(0)=0\) とする)
   • \(x=d\)での電位:$$
     \begin{aligned}
     V(d) &= E_1 d \\[2.0ex]
     &= \frac{V_0}{4d} \cdot d \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{4}V_0
     \end{aligned}
     $$
   • 領域 \(d \le x \le 2d\) (M内部): $$
     \begin{aligned}
     V(x) &= V(d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{4}V_0
     \end{aligned}
     $$
   • 極板A (\(x=4d\)) での電位は $$
     \begin{aligned}
     V(4d) &= V(2d) + E_1(4d-2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{4}V_0 + E_1(2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{4}V_0 + \left(\frac{V_0}{4d}\right)(2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{4}V_0 + \frac{2V_0}{4} \\[2.0ex]
     &= \frac{3}{4}V_0
     \end{aligned}
     $$

スイッチSが開いているので、コンデンサーの極板Aに蓄えられた電気の量（電荷）は、金属板Mを入れても変わりません。電気の量が変わらなければ、電気の矢印（電気力線）の全体の数も変わらないので、金属板Mがない空気の部分の電気の強さ（電場 \(E_1\)）は、Mを入れる前と同じ \(E_1 = V_0 / (4d)\) のままです。
金属板Mは導体なので、その内部では静電誘導という現象が起きて、電場はゼロになってしまいます。
さて、電気の高さ（電位）はどうなるでしょう。極板B（\(x=0\)）の高さを \(0 \, \text{V}\) とすると、

• BからMの下の面まで（\(0 \le x \le d\)）は、傾き \(E_1\) の坂道を登るので、Mの下の面の高さは \(E_1 \times d = (V_0/(4d)) \times d = (1/4)V_0\) になります。
• Mの中（\(d \le x \le 2d\)）は、電場がゼロなので坂道はなく平らです。だから、高さはずっと \((1/4)V_0\) のままです。
• Mの上の面から極板Aまで（\(2d \le x \le 4d\)）は、また傾き \(E_1\) の坂道を登ります。Mの上の面の高さは \((1/4)V_0\) で、そこからさらに \(E_1 \times (4d-2d) = E_1 \times 2d = (V_0/(4d)) \times 2d = (1/2)V_0\) だけ高くなるので、極板Aの高さは \((1/4)V_0 + (1/2)V_0 = (3/4)V_0\) になります。

• 電場 \(E(x)\) のグラフ：領域BM間（\(0 \le x < d\)）とMA間（\(2d < x \le 4d\)）では、電場の強さは \(E_1 = \displaystyle\frac{V_0}{4d}\) で一定です。金属板Mの内部（\(d \le x \le 2d\)）では、電場の強さは \(E=0\) となります。
• 電位 \(V(x)\) のグラフ：\(x=0\) で \(V=0\)。領域 \(0 \le x \le d\) では傾き \(E_1\) の直線で \(V(d)=\displaystyle\frac{1}{4}V_0\) まで上昇します。領域 \(d \le x \le 2d\) では電位は \(V=\displaystyle\frac{1}{4}V_0\) の水平な直線（等電位）となります。領域 \(2d \le x \le 4d\) では再び傾き \(E_1\) の直線で、\(x=2d\) で \(V=\displaystyle\frac{1}{4}V_0\) から出発し、\(x=4d\) で \(V=\displaystyle\frac{3}{4}V_0\)（極板Aの電位）まで上昇します。グラフ全体は連続的につながります。

金属板を挿入したことにより、同じ電荷 \(Q\) でも極板AB間の電位差が \(V_0\) から \(\displaystyle\frac{3}{4}V_0\) に減少しました。これは、金属板の厚さ \(d\) の分だけ実質的な極板間隔が \(4d\) から \(4d-d=3d\) に短縮され、コンデンサーの電気容量が増加した（\(C = Q/V\) なので \(V\) が減少）と解釈できます。この結果は物理的に妥当です。

問 (3)

思考の道筋とポイント
設問(2)の状態から、スイッチSを閉じます。これにより、コンデンサーは再び電池に接続され、極板AB間の電位差は \(V_0\) になります。この新しい状態で、電場 \(E_2\) と電位 \(V(x)\) を求めます。また、この操作によって移動した電荷量を計算します。金属板を挿入すると実質的な極板間隔が \(3d\) になったと見なせるため、電気容量が \(C’ = \frac{4}{3}C\) に増加します。この容量の変化により、蓄えられる電荷量も変化し、その差分がスイッチSを移動します。
この設問における重要なポイント

• スイッチを閉じると、コンデンサーの極板間の電位差が電池の電圧 \(V_0\) に固定されること。
• 金属板（導体）の内部では電場が \(0\) になること。
• 金属板を挿入すると、その厚さの分だけ実質的な極板間隔が減少し、その結果として電気容量が増加すること。
• 電池に接続された状態でコンデンサーの電気容量が変化すると、蓄えられる電荷量が変化し、その差分の電荷が電池との間で移動すること。

具体的な解説と立式
スイッチSを閉じると、極板AB間の電位差は再び電池の起電力 \(V_0\) になります。
金属板Mの内部（\(d \le x \le 2d\) の領域）の電場は \(0\) です。
BM間および MA間の空間における電場の強さを \(E_2\) とします。
全体の電位差 \(V_0\) は、電場が存在する区間（BM間の距離 \(d\) とMA間の距離 \(2d\)）における電位降下の合計なので、
$$
\begin{aligned}
V_0 &= E_2 \cdot d + 0 \cdot d + E_2 \cdot (2d) \\[2.0ex]
&= 3E_2 d
\end{aligned}
$$
次に、移動した電気量を計算します。
金属板Mがないときの初期の電気容量を \(C\) とすると、\(C = \displaystyle\frac{\varepsilon_0 S}{4d}\)。
設問(1)でSを開いたときに蓄えられていた電荷 \(Q_1\) は、\(Q_1 = CV_0\)。
金属板Mを挿入した状態でのコンデンサーの新しい電気容量 \(C’\) は、実質的な極板間隔が \(3d\) となるため、\(C’ = \displaystyle\frac{\varepsilon_0 S}{3d} = \frac{4}{3}C\)。
設問(3)でSを閉じた後にコンデンサーに蓄えられる新しい電荷 \(Q_3\) は、\(Q_3 = C’V_0 = \displaystyle\frac{4}{3}CV_0\)。
スイッチSを閉じることによって移動した正の電気量 \(\Delta Q\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta Q &= Q_3 – Q_1
\end{aligned}
$$

1. 電場の強さ \(E_2\) の計算:
   $$
   \begin{aligned}
   E_2 &= \frac{V_0}{3d}
   \end{aligned}
   $$
2. 電位 \(V(x)\) の計算:
   • \(x=d\)での電位:$$
     \begin{aligned}
     V(d) &= E_2 d \\[2.0ex]
     &= \frac{V_0}{3d} \cdot d \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}V_0
     \end{aligned}
     $$
   • 領域 \(d \le x \le 2d\) (M内部): $$
     \begin{aligned}
     V(x) &= V(d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}V_0
     \end{aligned}
     $$
   • 極板A (\(x=4d\)) での電位は $$
     \begin{aligned}
     V(4d) &= V(2d) + E_2(4d-2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}V_0 + E_2(2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}V_0 + \left(\frac{V_0}{3d}\right)(2d) \\[2.0ex]
     &= \frac{1}{3}V_0 + \frac{2}{3}V_0 \\[2.0ex]
     &= V_0
     \end{aligned}
     $$
3. 移動した正の電気量 \(\Delta Q\) の計算:
   $$
   \begin{aligned}
   \Delta Q &= \frac{4}{3}CV_0 – CV_0 \\[2.0ex]
   &= \left(\frac{4}{3}-1\right)CV_0 \\[2.0ex]
   &= \frac{1}{3}CV_0
   \end{aligned}
   $$
   \(\Delta Q\) が正の値であることは、正の電荷が極板Aに増加したことを意味し、電池の正極からスイッチSを通って左向きに正の電荷が流れ込んだことに対応します。

スイッチSを閉じると、コンデンサーの両端の電気的な高さの差（電位差）は、再び電池の電圧 \(V_0\) になります。
金属板Mの中は電場がゼロなので、電気的な坂道はありません。M以外の空気の部分（BM間とMA間、合計の長さは \(3d\)）にだけ電気的な坂道（電場 \(E_2\)）ができると考えます。この全長 \(3d\) の坂道で全体の高さの差 \(V_0\) が生じるので、坂道の傾き \(E_2\) は \(V_0 \div (3d)\) となります。
電気の高さ（電位）は、板B（高さ \(0 \, \text{V}\)）からMの下の面までは傾き \(E_2\) で上がり、Mの中は高さが一定（平ら）、Mの上の面から板Aまではまた傾き \(E_2\) で上がって、最終的に板Aで高さ \(V_0\) になります。
次に、移動した電気の量について考えましょう。金属板Mがないときのコンデンサーの電気を蓄える能力（電気容量）を \(C\) とすると、スイッチSを開く前の電気の量は \(CV_0\) でした。金属板Mを入れると、コンデンサーの隙間が実質的に \(3d\) になったのと同じ効果があり、電気容量は元の \(4/3\) 倍の \(\frac{4}{3}C\) にパワーアップします。スイッチSを閉じたので、このパワーアップしたコンデンサーに蓄えられる新しい電気の量は \(Q’ = (\frac{4}{3}C)V_0 = \frac{4}{3}CV_0\) です。
したがって、スイッチSを閉じることによって増えた（移動した）電気の量は、新しい電気の量から元の電気の量を引いて、\(\frac{4}{3}CV_0 – CV_0 = \frac{1}{3}CV_0\) となります。このプラスの電気が、電池からスイッチSを通って「左向き」に（つまり、極板Aに向かって）流れ込んだことになります。

• 電場 \(E(x)\) のグラフ：領域BM間（\(0 \le x < d\)）とMA間（\(2d < x \le 4d\)）では、電場の強さは \(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\) で一定です。金属板Mの内部（\(d \le x \le 2d\)）では、電場の強さは \(E=0\) となります。
• 電位 \(V(x)\) のグラフ：\(x=0\) で \(V=0\)。領域 \(0 \le x \le d\) では傾き \(E_2\) の直線で \(V(d)=\displaystyle\frac{1}{3}V_0\) まで上昇します。領域 \(d \le x \le 2d\) では電位は \(V=\displaystyle\frac{1}{3}V_0\) の水平な直線（等電位）となります。領域 \(2d \le x \le 4d\) では再び傾き \(E_2\) の直線で、\(x=2d\) で \(V=\displaystyle\frac{1}{3}V_0\) から出発し、\(x=4d\) で \(V=V_0\)（極板Aの電位）まで上昇します。

移動した正の電気量は \(\displaystyle\frac{1}{3}CV_0 \, \text{[C]}\) であり、スイッチSを左向き（電池の正極から極板Aの方向へ）に移動しました。これは、金属板を挿入したことでコンデンサーの電気容量が増加したため、同じ電圧 \(V_0\) でより多くの電荷が蓄えられるようになった結果であり、物理的に妥当です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
設問(3)の後、Sを開き、Aを \(d\) 下げてAB間を \(3d\) にします。このときのAB間の電位差を求めます。次に、Mを取り除き、同じ位置に比誘電率2の誘電体Dを置きます。この最終状態での電場と電位のグラフを描きます。

1. Sを開いた後の電荷保存: Sを開いたので、極板Aの電荷 \(Q’_3 = \frac{4}{3}CV_0\) は、この後の操作の間、変化せずに保存されます。
2. Aを下げた後の電位差（Mあり）: AB間隔は \(3d\)。空気層はBM間(\(d\))とMA間(\(d\))。空気層の電場は電荷が不変なので \(E_2 = \frac{V_0}{3d}\) のまま。M内部の電場は0。電位差は空気層の電位差の和 \(E_2 \cdot d + E_2 \cdot d = 2E_2 d\)。
3. Mを誘電体Dに置き換え後: 電荷 \(Q’_3\) は保存。空気層の電場は \(E_2\) のまま。誘電体D内部の電場 \(E_D\) は \(E_2\) を比誘電率2で割った \(E_D = E_2/2\)。これらの電場から電位グラフを描きます。

この設問における重要なポイント

• スイッチが開いている（回路が開放されている）間は、コンデンサーの極板に蓄えられた電荷量が常に保存されるという電気量保存則の徹底した適用。
• 電荷量が保存されている場合、空気層（または真空層）部分における電場の強さは、極板の面積が変わらなければ、基本的には変化しない。
• 誘電体を電場中に挿入すると、その内部の電場の強さが、同じ電束密度（またはそれに相当する外部電場）に対して \(1/\varepsilon_r\) 倍に弱められる（\(\varepsilon_r\) は比誘電率）という効果。

具体的な解説と立式
スイッチSを開いたとき、極板Aの電荷は \(Q’_3 = \displaystyle\frac{4}{3}CV_0\) であり、この値は以降の操作で保存されます。

Aを \(d\) 下げた後のAB間の電位差（金属板Mあり）：
極板AB間の新しい間隔は \(3d\) です。金属板Mの配置を考慮すると、空気層の部分はBM間（距離 \(d\)）とMA間（距離 \(d\)）になります。
空気層部分の電場の強さは、設問(3)と同じ \(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\) です。
金属板M内部の電場は \(0\) です。
よって、このときの極板AB間の電位差 \(V_{\text{AB(Mあり)}}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{\text{AB(Mあり)}} &= E_2 \cdot d + 0 \cdot d + E_2 \cdot d \\[2.0ex]
&= 2E_2 d
\end{aligned}
$$
これに \(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
V_{\text{AB(Mあり)}} &= 2 \left(\frac{V_0}{3d}\right) d \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}V_0
\end{aligned}
$$

Mを取り除き、誘電体Dを挿入した後の電場 \(E(x)\) と電位 \(V(x)\)：
極板Aの電荷 \(Q’_3\) は依然として保存されています。AB間の間隔も \(3d\) のままです。
空気層部分（BD間：\(0 \le x < d\)、およびDA間：\(2d < x \le 3d\)）における電場の強さは、\(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\) のままです。
誘電体Dの内部（\(d \le x \le 2d\) の範囲）の電場の強さ \(E_D\) は、
$$
\begin{aligned}
E_D &= \frac{E_2}{\varepsilon_r} \\[2.0ex]
&= \frac{E_2}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{V_0}{6d}
\end{aligned}
$$
次に、電位 \(V(x)\) を計算します（極板Bの電位を \(V(0)=0\) とします）。

• \(x=d\)での電位:$$
  \begin{aligned}
  V(d) &= E_2 d \\[2.0ex]
  &= \left(\frac{V_0}{3d}\right) d \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{3}V_0
  \end{aligned}
  $$
• \(x=2d\)での電位:$$
  \begin{aligned}
  V(2d) &= V(d) + E_D d \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{3}V_0 + \left(\frac{V_0}{6d}\right) d \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{3}V_0 + \frac{1}{6}V_0 \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{2}V_0
  \end{aligned}
  $$
• 極板A (\(x=3d\))での電位:$$
  \begin{aligned}
  V_A &= V(3d) \\[2.0ex]
  &= V(2d) + E_2 (3d-2d) \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{2}V_0 + E_2 d \\[2.0ex]
  &= \frac{1}{2}V_0 + \frac{1}{3}V_0 \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{6}V_0
  \end{aligned}
  $$

1. Aを \(d\) 下げた後のAB間の電位差 \(V_{\text{AB(Mあり)}}\) の計算：
   空気層部分の電場の強さは \(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\)。
   AB間の電位差は、
   $$
   \begin{aligned}
   V_{\text{AB(Mあり)}} &= E_2 \cdot d + 0 \cdot d + E_2 \cdot d \\[2.0ex]
   &= 2E_2 d
   \end{aligned}
   $$
   これに \(E_2\) を代入すると、
   $$
   \begin{aligned}
   V_{\text{AB(Mあり)}} &= 2 \left(\frac{V_0}{3d}\right) d \\[2.0ex]
   &= \frac{2}{3}V_0
   \end{aligned}
   $$
2. Mを誘電体Dに置き換え後の電場 \(E(x)\) と電位 \(V(x)\) の計算：
   • 空気層部分の電場: $$
     \begin{aligned}
     E_2 &= \frac{V_0}{3d}
     \end{aligned}
     $$
   • 誘電体D内部の電場: $$
     \begin{aligned}
     E_D &= \frac{E_2}{2} \\[2.0ex]
     &= \frac{V_0}{6d}
     \end{aligned}
     $$
   • 電位の計算:
     • \(x=d\)での電位:$$
       \begin{aligned}
       V(d) &= E_2 \cdot d \\[2.0ex]
       &= \frac{1}{3}V_0
       \end{aligned}
       $$
     • \(x=2d\)での電位:$$
       \begin{aligned}
       V(2d) &= V(d) + E_D \cdot d \\[2.0ex]
       &= \frac{1}{3}V_0 + \frac{1}{6}V_0 \\[2.0ex]
       &= \frac{1}{2}V_0
       \end{aligned}
       $$
     • 極板Aの電位 \(V_A\):$$
       \begin{aligned}
       V_A &= V(3d) \\[2.0ex]
       &= V(2d) + E_2 \cdot d \\[2.0ex]
       &= \frac{1}{2}V_0 + \frac{1}{3}V_0 \\[2.0ex]
       &= \frac{5}{6}V_0
       \end{aligned}
       $$

スイッチSを開いているので、極板Aの電気の量（電荷 \(Q’_3\)）はずっと変わりません。
まず、Aの板を下に \(d\) だけずらすと、AとBの間の全体の距離は \(3d\) になります。金属板Mは元の位置にあるので、空気の部分はMの上と下にそれぞれ \(d\) ずつの厚さになります。Aの電気の量が変わらないので、空気の部分の電気の強さ（電場 \(E_2\)）も変わりません。金属板Mの中は電場がゼロなので、AとBの電気的な高さの差（電位差）は、空気の部分の高さの差だけを合計して、\(E_2 \times d + E_2 \times d = 2E_2 d = \frac{2}{3}V_0\) になります。

次に、この金属板Mを取り出して、代わりに誘電体D（電気を弱める効果が通常の空気の2倍ある特別な物質）を同じ場所に入れます。Aの電気の量 \(Q’_3\) はやっぱり変わりませんから、空気の部分の電気の強さ \(E_2\) も変わりません。しかし、誘電体Dの中では電気が \(1/2\) に弱められて \(E_D = E_2/2\) になります。
電気の高さ（電位）をBから順に見ていくと、

• BからDの下の面まで（距離 \(d\)、空気）は、傾き \(E_2\) で高さが \((1/3)V_0\) になります。
• Dの中（厚さ \(d\)、誘電体）は、傾きが半分の \(E_D\) で高さが \((1/6)V_0\) だけ上がります。なので、Dの上の面の高さは \((1/3)V_0 + (1/6)V_0 = (1/2)V_0\) です。
• Dの上の面からAまで（距離 \(d\)、空気）は、また傾き \(E_2\) で高さが \((1/3)V_0\) だけ上がります。なので、Aの高さは \((1/2)V_0 + (1/3)V_0 = (5/6)V_0\) になります。

極板Aを下げた後のAB間の電位差は \(\displaystyle\frac{2}{3}V_0 \, \text{[V]}\) です。

• 電場 \(E(x)\) のグラフ：領域BD間（\(0 \le x < d\)) とDA間（\(2d < x \le 3d\)) では、電場の強さは \(E_2 = \displaystyle\frac{V_0}{3d}\) で一定です。誘電体Dの内部（\(d \le x \le 2d\)) では、電場の強さは \(E_D = \displaystyle\frac{V_0}{6d}\) となります。
• 電位 \(V(x)\) のグラフ：\(x=0\) で \(V=0\)。領域 \(0 \le x \le d\) では傾き \(E_2\) の直線で \(V(d)=\displaystyle\frac{1}{3}V_0\) まで上昇。領域 \(d \le x \le 2d\) では傾き \(E_D\) の直線で \(V(2d)=\displaystyle\frac{1}{2}V_0\) まで上昇。領域 \(2d \le x \le 3d\) では傾き \(E_2\) の直線で \(V(3d)=\displaystyle\frac{5}{6}V_0\)（極板Aの電位）まで上昇します。

スイッチが開いている（電荷量一定）の状態で誘電体を挿入すると、誘電体内部の電場が弱められ、結果として全体の電位差が変化します。この変化は誘電体の分極効果を反映しており、物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの基本関係式と性質:
  • 核心：コンデンサーに蓄えられる電荷 \(Q\)、極板間の電位差 \(V\)、そして電気容量 \(C\) の間には、常に \(Q=CV\) という関係が成り立ちます。 また、平行平板コンデンサーの電気容量は、極板の面積 \(S\)、極板間の距離 \(d\)、そして極板間を満たす物質の誘電率 \(\varepsilon\) を用いて \(C = \varepsilon S/d\) と表されます。
  • 理解のポイント：これらの関係式はコンデンサーを扱う上での出発点です。問題の条件（スイッチが開いているか閉じているか、何が挿入されているかなど）に応じて、これらの量がどのように変化し、あるいは保存されるのかを見極めることが重要です。
• 一様な電場と電位の関係:
  • 核心：理想的な平行平板コンデンサーの極板間には、一様な電場（どこでも同じ強さと向きの電場）が形成されます。この電場の強さを \(E\)、極板間の距離を \(d\) とすると、極板間の電位差 \(V\) は \(V=Ed\) となります。
  • 理解のポイント：電位は、電場の強さに距離を掛けたものとして理解でき、電位のグラフの傾きは電場の強さ（のマイナス符号をつけたもの）に対応します。電場が一様であれば電位は直線的に変化し、電場が0（ゼロ）であれば電位は一定（等電位）になります。
• 導体の性質（静電平衡時）:
  • 核心：導体の内部では電場は常に0（ゼロ）であり、その結果、導体全体（表面も内部も）は等電位となります。
  • 理解のポイント：この問題で金属板Mを挿入した場合、Mの内部の電場は0になり、M全体が同じ電位になるという点が、電場と電位のグラフを描く上で非常に重要でした。これは静電誘導によって導体表面に電荷が再配置され、内部の電場を打ち消すためです。
• 静電誘導と誘電分極:
  • 核心：導体を電場中に置くと静電誘導により表面に電荷が現れ内部電場を0にします。誘電体を電場中に置くと誘電分極により内部の電場を弱めます。
  • 理解のポイント：金属板の挿入は静電誘導の結果として内部電場が0になるのに対し、誘電体の挿入は誘電分極の結果として内部電場が \(1/\varepsilon_r\) 倍（\(\varepsilon_r\) は比誘電率）に弱められるという違いを明確に区別することが大切です。
• 電気量保存則:
  • 核心：電気的に孤立した導体系（例えば、電源から切り離されたコンデンサーの極板）では、その部分系が持つ総電荷量は変化せずに保存されます。
  • 理解のポイント：この問題では、スイッチSが開いている状態でコンデンサーに何らかの操作（金属板の挿入、極板の移動、誘電体の挿入など）を加えた場合、極板Aに蓄えられている電荷 \(Q\) は一定に保たれる、という条件が繰り返し用いられました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 複数の異なる誘電体や金属板が層状に挿入された、より複雑な複合コンデンサーの電気容量、内部の電場や電位分布を計算する問題。
  • コンデンサーと抵抗、コイルなどを含む直流回路や交流回路において、スイッチ操作によって過渡現象や定常状態が変化する問題（特に電荷や電位の時間変化）。
  • コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー（\(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\)）が、様々な操作によってどのように変化するか、あるいは外部からされた仕事との関係を問う問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の状態（スイッチの開閉）の確認: まず、コンデンサーが電源に接続されている（スイッチが閉じている）のか、それとも電源から切り離されて孤立している（スイッチが開いている）のかを真っ先に確認します。これにより、電位差が一定なのか、それとも電荷量が一定なのか、という考察の出発点が決まります。
  2. 挿入されている物質の種類の特定: コンデンサーの極板間に挿入されているものが、金属板（導体）なのか、それとも誘電体なのかを正確に見分けます。それぞれで内部の電場の扱いや電気容量への影響の仕方が大きく異なります。
  3. 幾何学的パラメータの変化の把握: 極板間の距離や極板の面積が操作によって変化する場合、電気容量の基本式 \(C=\varepsilon S/d\) に立ち返り、容量がどのように変わるかをまず評価します。
  4. 電位の基準点の確認: 電位について考察する際には、問題文中でどこが電位の基準（\(0 \, \text{V}\)）として設定されているか（あるいは自分で設定する必要があるか）を必ず確認します。これによって、各点の電位の具体的な値が決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチが開いている（電荷量一定）のに、電位差も一定だと誤解してしまう:
  • 誤解：コンデンサーが充電された後にスイッチが開かれ、電気的に孤立した状態で、極板間隔を変えたり誘電体を挿入したりした場合に、極板間の電位差も元の電池の電圧のまま変わらない、と勘違いしてしまう。
  • 対策：スイッチが開いているときは、コンデンサーの極板上の電荷 \(Q\) が一定に保たれます。このとき、電位差 \(V\) は \(V=Q/C\) という関係で決まるため、電気容量 \(C\) が操作によって変化すれば、電位差 \(V\) もそれに応じて変化することを理解しましょう。電位差が一定に保たれるのは、スイッチが閉じていて電池に接続されている場合です。
• 金属板（導体）と誘電体の電気的な効果の混同:
  • 誤解：金属板を挿入した場合の内部の電場の扱いを、誘電体を挿入した場合と同じように考えてしまう（例えば、金属板内部の電場も \(E/\varepsilon_r\) のように扱ってしまう）、あるいは逆に、誘電体内部の電場を \(0\)（ゼロ）としてしまう。
  • 対策：金属板（導体）の内部では、静電誘導によって外部電場が完全に打ち消されるため、電場は常に \(0\) です。一方、誘電体の内部では、誘電分極によって電場は弱められますが、完全に \(0\) になるわけではなく、元の電場の \(1/\varepsilon_r\) 倍（\(\varepsilon_r\) はその誘電体の比誘電率）になります。この違いを明確に区別しましょう。
• 「電位」と「電位差」の区別があいまいなことによる混乱:
  • 誤解：ある特定の点の「電位」（基準点からの電気的な高さ）を求められているのに、2つの異なる点の間の「電位差」（電気的な高さの差）を答えてしまう、またはその逆の誤りをしてしまう。
  • 対策：「電位」は、ある基準点（例えば接地された点や無限遠点）を \(0 \, \text{V}\) としたときの、各点の相対的な電気的な高さを表すスカラー量です。一方、「電位差」は、2つの特定の点の間の電位の差を指します。コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) における \(V\) は、2つの極板間の「電位差」であることに注意が必要です。問題で何が問われているのかを正確に把握し、これらの用語を正しく使い分けることが重要です。
• 比誘電率の適用方法の誤り（特に電気容量や電場の計算において）:
  • 誤解：誘電体を挿入した際に、誘電体内部の電場を誤って \(\varepsilon_r E\)（\(\varepsilon_r\) 倍してしまう）と計算したり、電気容量の式で比誘電率 \(\varepsilon_r\) を分母にかけてしまったりする（容量を小さく見積もってしまう）。
  • 対策：誘電体を電場中に置くと、その内部の電場は元の電場の \(1/\varepsilon_r\) 倍に「弱められ」ます。また、コンデンサーの極板間を一様に誘電体で満たした場合、その電気容量は真空中の場合の \(\varepsilon_r\) 倍に「増加」します。誘電体は電場を弱める効果があり、それによって同じ電位差でもより多くの電荷を蓄えられるようになる（つまり容量が増える）と理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=Ed\) （一様な電場における電位差）:
  • 選定理由：平行平板コンデンサーの極板間のように、電場が空間的に一様であると見なせる区間における電位差を求めるための、最も基本的かつ簡単な公式であるため選びました。
  • 適用根拠：この公式は、電場 \(E\) がその区間内で一定の強さと向きを持ち（つまり一様であり）、かつ距離 \(d\) がその電場の方向に沿って測られたものである場合に限り適用できます。
• \(Q=CV\) （コンデンサーの基本定義式）:
  • 選定理由：コンデンサーに蓄えられる電荷 \(Q\)、そのコンデンサーの電気容量 \(C\)、そして極板間の電位差 \(V\) の間の普遍的な関係を表す、コンデンサーの最も基本的な定義式であるため選びました。
  • 適用根拠：どのような形状のコンデンサーであっても、この関係式は成り立ちます。ただし、式中の \(V\) は2つの極板の「間」の電位差を指すことに注意が必要です。
• \(C = \displaystyle\frac{\varepsilon_0 S}{d_{\text{eff}}}\) （金属板挿入時の実効的な電気容量の考え方）:
  • 選定理由：金属板をコンデンサーの極板間に挿入した場合の電気容量を、あたかも極板間隔が変化したかのように見なして計算するために、この考え方（または類似の導出）を用いました。
  • 適用根拠：金属板の厚さの分だけ、電場が存在する空間が実質的に減少し、あたかも真空部分の極板間隔が \(d_{\text{eff}}\)（元の間隔から金属板の厚さを引いたもの）になったかのように振る舞うため、このような類推が成り立ちます。
• \(C’ = \varepsilon_r C_0\) （誘電体を一様に満たした場合の電気容量）または \(E’ = E_0/\varepsilon_r\) （誘電体内部の電場）:
  • 選定理由：誘電体をコンデンサーの極板間に挿入した際に、電気容量や内部の電場がどのように変化するかを定量的に扱うために、これらの関係式を用いました。
  • 適用根拠：これらの関係は、誘電体を極板間に一様に満たした場合に厳密に成り立ちます。誘電体を部分的に挿入した場合は、より複雑な計算が必要になることもありますが、基本的な効果（容量増加、電場減少）の方向性は同じです。この問題では、誘電体Dが極板間の一部を一様に満たすケースとして扱われています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比率の扱いの正確性:
  • 特に注意すべき点: この問題では、電気容量が元の \(4/3\) 倍になったり、電位が元の \(V_0\) の \(3/4\) 倍になったりといった、比率を用いた表現や計算が多く登場します。これらの比率を扱う際に、逆数を取ってしまったり、掛け算と割り算を混同したりしないように、慎重に計算を進めましょう。
  • 日頃の練習: 計算結果が出た後に、その比率が物理的に妥当か（例えば、容量が増えるはずの操作で比率が1より小さくなっていないか）を常に確認する癖をつける。
• 分数計算の習熟:
  • 特に注意すべき点: 電気容量や電位の具体的な式は、分数を含む形になることがよくあります。通分や約分といった基本的な分数計算を迅速かつ正確に行えるようにしておくことが、計算ミスを減らす上で重要です。
  • 日頃の練習: 複雑な分数式を含む問題をいくつか解き、計算プロセスを省略せずに書き出す練習をする。
• 文字記号と添え字の明確な区別:
  • 特に注意すべき点: \(E_1, E_2, V_0, C, C’\) など、コンデンサーの状態や考察している対象によって、異なる記号や添え字が用いられます。これらを混同してしまうと、誤った式を立てたり、間違った値を代入したりする原因になるため、それぞれの記号が何を表しているのかを常に明確に意識するようにしましょう。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、自分で使用する記号とその定義をリストアップする習慣をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感や既知の傾向との照合:
  • 吟味の視点:
    • 金属板をコンデンサーに挿入した場合、実質的な極板間隔が減少するので、電気容量は増加するはずです。もし電荷量が一定なら、\(V=Q/C\) の関係から電位差は減少するはず、といった直感的な予測と計算結果が一致するかどうかを確認します。
    • 誘電体を挿入した場合も同様に、電気容量は増加するはずです。電荷量が一定なら電位差は減少し、内部の電場も弱まるはずです。
    • スイッチを閉じて電池に再接続すれば、極板間の電位差は電池の電圧に戻るはずです。
• 極端な条件や単純なケースを想定して結果を検証する:
  • 吟味の視点:
    • もし挿入した金属板の厚さが \(0\)（ゼロ）であったなら、それは何も挿入していないのと同じ状態に戻るはずなので、計算結果もそのようになるかを確認します。
    • もし挿入した誘電体の比誘電率が \(1\)（つまり空気や真空と同じ）であったなら、それも何も挿入していないのと同じ状態になるはずなので、結果が一致するかどうかを確認します。
• グラフの連続性や傾きの物理的意味の確認:
  • 吟味の視点:
    • 電位のグラフは、物理的にあり得ない不連続なジャンプをしていないか（必ず連続的につながっているか）を確認します。
    • 電位のグラフの傾きが急なところ（絶対値が大きいところ）は電場が強く、傾きが緩やかなところや平坦なところ（傾きが \(0\)）は電場が弱いか \(0\) である、という基本的な関係がグラフ上で成り立っているかを確認します。

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問題17 (名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、まず平行平板コンデンサーの極板間に働く引力の大きさを静電エネルギーと仕事の関係から導出し（パートI）、次にその結果を利用して、ばねで支えられた極板と導線で吊り下げられた極板からなるコンデンサー系における力のつり合いや、導線が切れる条件、さらには導線が切れた後の極板の運動について考察する（パートII）、電磁気学と力学が融合した問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、コンデンサーの基本的な性質である静電エネルギーと極板間引力についての理解を深めるとともに、それらの力が関わる力学的な現象（力のつり合いや振動）を解析する能力を試すものです。パートIで得られる極板間引力の表現が、パートIIの力学的な考察の基礎となります。

問 I (1)