「名問の森」徹底解説（70〜72問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題70 (福井大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、運動する音源Sと反射体R、そして静止した観測者Aと音源S上に乗っている観測者Bが関わるドップラー効果の問題です。波の基本的な性質（波長、振動数、音速の関係）から始まり、反射体を含む場合のドップラー効果、さらには音波の伝播時間と距離の関係まで、多岐にわたる内容を扱います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ドップラー効果の原理的な理解を問う形式になっています。単に公式を暗記しているだけでなく、なぜ振動数や波長が変化するのか、その物理的な過程を追っていく必要があります。音源が1秒間に出す波の個数 (\(f_0\) 個) が、音源の運動によってどのような空間範囲に「圧縮」または「伸長」されて分布するのか、そしてそれを観測者がどのように受け取るのか、という点が鍵となります。反射体が登場する場面では、反射体を一旦「観測者」として捉え、次に「新たな音源」として捉える2段階のアプローチが有効です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 波の基本性質: 振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)、波の速さ \(V\) の間には \(V = f\lambda\) の関係があります。
2. 音速の不変性: 音速 \(V\) は媒質によって決まり、音源や観測者の速度にはよりません（風がない場合）。
3. ドップラー効果の原理:
   • 音源が動くと、進行方向の波長が変化します（近づくと短く、遠ざかると長くなる）。
   • 観測者が動くと、単位時間に受け取る波の数が変化します（音源に向かうと多く、遠ざかると少なくなる）。
4. 反射の扱い: 反射体は、受けた波をそのまま（あるいは特定のルールで）再放射する新しい波源と考えることができます。

速度の向きと大きさ、音の進行方向を正確に把握し、図を描きながら状況を整理することが重要です。

空欄 (1)

思考の道筋とポイント
音源Sは振動数 \(f_0\) で音を出しているので、1秒間に \(f_0\) 個の波を出します。
この1秒間に、波の先頭は音速 \(V\) で \(V \times 1 = V\) [m] だけ進みます。
一方、音源S自身も前方（Aの方向、図では右向き）に速さ \(u\) で \(u \times 1 = u\) [m] だけ進みます。
したがって、1秒後には、最初に発せられた波の先頭はSの初期位置から \(V\) の位置にあり、最後に発せられた波（音源Sの1秒後の位置）はSの初期位置から \(u\) の位置にあります。
よって、この \(f_0\) 個の波は、これらの位置の差である \(V-u\) の長さの範囲に分布することになります。

この設問における重要なポイント

• 音速 \(V\) は音源の速度に依らない。
• 1秒間に波の先頭が進む距離は \(V\)。
• 1秒間に音源Sが進む距離は \(u\)。
• 音源が波の進行方向に動く場合、波は短い範囲に押し込められる。

具体的な解説と立式
時刻 \(t=0\) で音源Sが先頭の波を出し始め、\(t=1\) 秒で最後の波を出し終えたとします。Sの初期位置を \(x=0\) とします。
この1秒間に、Sは \(u \times 1 = u\) [m] だけ前進し、\(x=u\) の位置に到達します。
一方、\(t=0\) で \(x=0\) から出された波の先頭は、\(t=1\) 秒後には \(x=V \times 1 = V\) [m] の位置まで進んでいます。
音源Sは \(t=1\) 秒後には \(x=u\) の位置におり、ここから最後の波が出されます。
したがって、1秒間に出された \(f_0\) 個の波は、先頭が \(x=V\) の位置、最後尾が \(x=u\) の位置にあるので、その間の \(V-u\) [m] の範囲に広がっています。
よって、(1) の答えは \(V-u\) です。

上記「具体的な解説と立式」の通り、求める範囲の長さは、波の先頭が進んだ距離 \(V \times 1\text{s}\) から音源Sが進んだ距離 \(u \times 1\text{s}\) を引いたものです。
範囲の長さ = \(V – u\) [m]

1秒間で、音の戦闘部隊（波の先頭）は \(V\) メートル進みます。同じ1秒間で、音を発射している大砲（音源S）自体も \(u\) メートル前進します。
その結果、1秒間に出されたすべての音の弾（\(f_0\)個の波）は、先頭 \(V\) メートル地点と、最後尾（今まさに発射された場所）\(u\) メートル地点の間の、長さ \(V-u\) メートルの区間にぎゅっと詰まっていることになります。

\(f_0\) 個の波が広がっている範囲は \(V-u\) [m] です。
音源が音の進行方向に動くため、波が「圧縮」される様子が正しく捉えられています。

空欄 (2)

思考の道筋とポイント
(1)で、1秒間に出された \(f_0\) 個の波が \(V-u\) [m] の範囲に広がっていることがわかりました。
波長とは、1つの波の長さのことです。したがって、全体の範囲の長さを波の個数で割れば、1個あたりの長さ、つまり波長が求まります。

この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda\) = (波が存在する範囲の長さ) / (その範囲に存在する波の個数)。

具体的な解説と立式
1秒間に出される波の数は \(f_0\) 個です。これらの波が \(V-u\) [m] の範囲に存在します。
このときの波長を \(\lambda_1\) とすると、
$$\lambda_1 = \frac{\text{範囲の長さ}}{\text{波の個数}} \quad \cdots ①$$
よって、(2) の答えを導き出します。

式①に、範囲の長さとして(1)の結果 \(V-u\)、波の個数として \(f_0\) を代入します。
$$\lambda_1 = \frac{V-u}{f_0} \text{ [m]}$$

(1)で、\(f_0\) 個の波が全部で \(V-u\) メートルの長さに詰まっていることがわかりました。波長というのは、その \(f_0\) 個ある波の「1個分の長さ」のことです。
だから、全体の長さ \(V-u\) を、そこに含まれる波の数 \(f_0\) で割れば、1個分の長さ（波長）が出てきます。

波長は \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u}{f_0}\) [m] です。
音源Sが速度 \(u\) で音の進行方向に動くと、静止している場合の波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) に比べて、波長が \((V-u)/V\) 倍に短くなることが示されています。これはドップラー効果による波長変化の基本的な結果です。

空欄 (3)

思考の道筋とポイント
観測者Aは静止しています。Aが観測する音波の速さは \(V\) です。
(2)で求めた波長 \(\lambda_1\) の音波が、速さ \(V\) でAを通過していくと考えます。
観測される振動数 \(f_1\) は、波の基本式 \(V = f_1 \lambda_1\) から求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 観測者Aは静止しているので、音速は \(V\) のまま。
• Aが観測する波長は \(\lambda_1\)。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\) を用いる。

具体的な解説と立式
観測者Aが測定する音波の振動数を \(f_1\) とします。音波の速さは \(V\)、波長は(2)で求めた \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u}{f_0}\) です。
波の基本式 \(V = f_1 \lambda_1\) より、
$$f_1 = \frac{V}{\lambda_1} \quad \cdots ②$$
この式に \(\lambda_1\) を代入して \(f_1\) を求めます。

式②に \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u}{f_0}\) を代入します。
$$f_1 = \frac{V}{\frac{V-u}{f_0}}$$
$$f_1 = V \cdot \frac{f_0}{V-u}$$
$$f_1 = \frac{V}{V-u}f_0 \text{ [Hz]}$$

観測者Aが聞く音の振動数は、音の速さ \(V\) を、(2)で求めた波の長さ（波長 \(\lambda_1\)）で割れば求まります。
波長が短くなっているので（音源Sが近づいてきているため）、静止しているAさんには、元の振動数 \(f_0\) よりも高い振動数の音が聞こえるはずです。

観測者Aが測定する音波の振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-u}f_0\) [Hz] です。
これは、音源が速度 \(u\) で静止観測者に近づく場合のドップラー効果の公式と一致しています。分母が \(V-u\) となり \(V\) より小さくなるため、\(f_1 > f_0\) となり、振動数が高くなることが確認できます。

空欄 (4)

思考の道筋とポイント
反射体Rが1秒間に反射する波の個数は、Rが1秒間に受け取る波の個数に等しいです。
Rは観測者として、音源Sから発せられた波長 \(\lambda_1 = (V-u)/f_0\) の音波を受け取ります。
音源SはAに（つまりRの方向に）速さ \(u\) で近づいています。反射体RもAに（つまりSの方向に）速さ \(v\) で近づいています（図からRは左向きに \(v\)、Sは右向きに \(u\) で、互いに近づく）。
音波はSからRへ右向きに進みます。この向きを正とします。
音源Sの速度は \(+u\)。観測者Rの速度は \(-v\)（Rは左向きに \(v\) なので、右向き正に対して \(-v\)）。
Rが受け取る振動数を \(f_R\) とすると、ドップラー効果の公式から求められます。これが1秒間に反射する波の個数です。
あるいは、Rに対する音波の相対速度の大きさが \(V+v\) であることを利用し、1秒間にRに到達する波の数を (相対速度) / (波長) で計算します。

この設問における重要なポイント

• 反射する波の数は、反射体が受け取る波の数と同じ。
• 動いている観測者（反射体R）が受け取る波の数を考える。
• 方法1: ドップラー効果の公式を使う（音源S、観測者R）。
• 方法2: 反射体Rに対する波の相対速度を考え、それで波長 \(\lambda_1\) を割る。

具体的な解説と立式
反射体Rが1秒間に反射する波の数 \(f_R\) を求めます。
SからRへ向かう音波の波長は、(2)で求めた \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u}{f_0}\) です。
反射体Rは速さ \(v\) で音源Sの方向に（つまり波源から来る波に向かって、図では左向きに）進んでいます。音波はSからRへ（右向きに）速さ \(V\) で進みます。
したがって、Rに対する音波の相対的な速さ（接近する速さ）は \(V+v\) です。
1秒間にRを通過する（Rに到達する）波の長さは \(V+v\) [m] となります。この長さに含まれる波の数が、Rが1秒間に受け取る（反射する）波の数 \(f_R\) です。
$$f_R = \frac{\text{Rに対する波の相対速度}}{\text{波長}} = \frac{V+v}{\lambda_1} \quad \cdots ③’$$
ここに \(\lambda_1\) を代入して \(f_R\) を求めます。

式③’ に \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u}{f_0}\) を代入します。
$$f_R = \frac{V+v}{\frac{V-u}{f_0}}$$
$$f_R = (V+v) \frac{f_0}{V-u}$$
$$f_R = \frac{V+v}{V-u}f_0$$
これがRが1秒間に反射する波の個数です。

反射体Rは、自分に向かってくる音波をキャッチして跳ね返します。R自身も音波に向かって速さ \(v\) で進んでおり、音波も速さ \(V\) でRに向かってくるので、Rから見ると音波は \(V+v\) の速さで迫ってきます。
1秒間に \(V+v\) メートル分の波をRは受け取ることになります。(2)で計算した波1個の長さ（波長 \(\lambda_1\)）でこの \(V+v\) を割れば、1秒間にRが受け取る（そして反射する）波の個数がわかります。

反射体Rは1秒間に \(f_R = \displaystyle\frac{V+v}{V-u}f_0\) 個の波を反射します。
これは、音源S（速度 \(u\) でRに接近）と観測者R（速度 \(v\) でSに接近、音の進行方向に対しては速度 \(-v\)）の間のドップラー効果でRが観測する振動数に一致します。
音の進行方向をSからRへの向き（右向き）を正とすると、音源Sの速度 \(v_s = +u\)、観測者Rの速度 \(v_o = -v\)。よって \(f_R = \displaystyle\frac{V-(-v)}{V-u}f_0 = \frac{V+v}{V-u}f_0\)。

空欄 (5) および (6)

思考の道筋とポイント
(4)で求めた \(f_R\) 個の波は、反射体Rから1秒間かけて放射されます。これらの反射波はAの方向（図では左向き）へ進みます。
この1秒間に、反射波の先頭（時刻0でRから反射された波）は音速 \(V\) で \(V \times 1 = V\) [m] だけ進みます。
一方、反射体R自身もAの方向（図では左向き）に速さ \(v\) で \(v \times 1 = v\) [m] だけ進みます。
反射波はRから放射され、Rも同じ左向きに動いているので、Rは自身が出す波を「追いかける」形になります。
したがって、1秒後には、最初に反射された波の先頭はRの初期位置から左へ \(V\) の位置にあり、最後に反射された波（Rの1秒後の位置から出される）はRの初期位置から左へ \(v\) の位置から出始めます。
よって、この \(f_R\) 個の波は、\(V-v\) の長さの範囲に分布することになります。これが(5)の答えです。
この範囲に \(f_R\) 個の波があるので、反射波の波長 \(\lambda_2\) は (範囲の長さ) / (波の個数) で求まります。これが(6)の答えです。

この設問における重要なポイント

• 反射体Rを新たな音源とみなす。この音源は振動数 \(f_R\) で波を出し、速度 \(v\) でAの方向に（反射波の進行方向と同じ方向に）動く。
• 動く音源から出る波が広がる範囲を考える。音源が波の進行方向に動く場合は \(V-v\)。
• 波長 \(\lambda_2\) = (範囲の長さ) / (波の個数 \(f_R\))。

具体的な解説と立式
反射体Rは、1秒間に \(f_R\) 個の波をAの方向（左向き）に反射します。
この1秒間に、反射波の先頭（時刻0でRの初期位置から反射された波）は、音速 \(V\) で左へ \(V\) [m] 進みます。
反射体R自身も、同じ左向きに速さ \(v\) で \(v\) [m] 進みます。時刻1秒後にはRは初期位置から左へ \(v\) の位置にいます。
したがって、1秒間かけて放射された \(f_R\) 個の波は、Rの動きによって進行方向に圧縮され、\(V-v\) [m] の範囲に広がります。
よって、(5) の答えは \(V-v\) です。

この \(V-v\) [m] の範囲に \(f_R\) 個の波が存在するので、反射波の波長 \(\lambda_2\) は、
$$\lambda_2 = \frac{V-v}{f_R} \quad \cdots ④’$$
(4)で求めた \(f_R = \displaystyle\frac{V+v}{V-u}f_0\) を代入して \(\lambda_2\) を求めます。

(5) 範囲の長さ:
上記「具体的な解説と立式」の通り、範囲の長さは \(V-v\) [m] です。

(6) 波長 \(\lambda_2\):
式④’ に \(f_R = \displaystyle\frac{V+v}{V-u}f_0\) を代入します。
$$\lambda_2 = \frac{V-v}{\frac{V+v}{V-u}f_0}$$
整理すると、
$$\lambda_2 = (V-v) \frac{V-u}{(V+v)f_0}$$
$$\lambda_2 = \frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0} \text{ [m]}$$

(5) 反射体Rが1秒間に跳ね返した \(f_R\) 個の波が、どのくらいの長さに広がっているかを考えます。Rは音を跳ね返しながら自身も速さ \(v\) でAの方向（左向き）に進みます。音の先頭は速さ \(V\) で進むので、1秒後にはRの出発点から \(V\) メートル先にいます。一方、最後の波はRの1秒後の位置（出発点から \(v\) メートル左）から出始めます。結果として、\(f_R\) 個の波は \(V-v\) メートルの範囲に広がります。
(6) この \(V-v\) メートルの範囲に \(f_R\) 個の波があるので、1個あたりの長さ（波長）は、(範囲の長さ)を(波の数)で割れば求まります。

(5) 反射波が1秒後に広がっている範囲は \(V-v\) [m] です。
(6) 反射波の波長は \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}\) [m] です。
反射体Rが反射波の進行方向と同じ向きに動くため、波長が圧縮される (\(V-v < V\)) 効果が現れています。

空欄 (7)

思考の道筋とポイント
観測者Aは静止しています。Aが観測する反射波の速さは \(V\) です。
(6)で求めた反射波の波長 \(\lambda_2\) の音波が、速さ \(V\) でAを通過していくと考えます。
観測される振動数 \(f_2\) は、波の基本式 \(V = f_2 \lambda_2\) から求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 観測者Aは静止。
• Aが観測する反射波の波長は \(\lambda_2\)、速さは \(V\)。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\) を用いる。

具体的な解説と立式
観測者Aが測定する反射波の振動数を \(f_2\) とします。反射波の速さは \(V\)、波長は(6)で求めた \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}\) です。
波の基本式 \(V = f_2 \lambda_2\) より、
$$f_2 = \frac{V}{\lambda_2} \quad \cdots ⑤’$$
この式に \(\lambda_2\) を代入して \(f_2\) を求めます。

式⑤’ に \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}\) を代入します。
$$f_2 = \frac{V}{\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}}$$
整理すると、
$$f_2 = V \cdot \frac{(V+v)f_0}{(V-v)(V-u)}$$
$$f_2 = \frac{V(V+v)}{(V-v)(V-u)}f_0 \text{ [Hz]}$$

静止しているAさんが聞く反射音の振動数は、音の速さ \(V\) を、(6)で求めた反射波の波長 \(\lambda_2\) で割れば求まります。
反射体RがAさんに向かって動きながら音を反射しているので、波長は短くなり、Aさんには元の音源の振動数 \(f_0\) や、Sから直接Aさんに届く音の振動数 \(f_1\) とは異なる、さらに高い振動数の音が聞こえることが予想されます。

観測者Aが測定する反射波の振動数は \(f_2 = \displaystyle\frac{V(V+v)}{(V-v)(V-u)}f_0\) [Hz] です。
これは、音源Sが速度 \(u\) でRに近づき（分母 \(V-u\)）、Rが速度 \(v\) でSに近づいて波を受け（分子 \(V+v\)）、さらにRが速度 \(v\) でAに近づきながら波を出す（分母 \(V-v\)）、という効果が複合的に現れた結果と解釈できます。

空欄 (8)

思考の道筋とポイント
観測者Bは音源S上に乗っており、速さ \(u\) でAの方向に（図では右向き。Rから来る反射波は左向きに進むので、Bは反射波に向かって）進んでいます。
反射波の波長は(6)で求めた \(\lambda_2\) であり、音速は \(V\) です。
Bに対する反射波の相対速度の大きさは \(V+u\) です（Bが反射波に向かって進むため）。
1秒間にBを通過する波の長さは \(V+u\) [m] となります。この長さに含まれる波の数が、Bが測定する振動数 \(f_B\) です。
したがって、\(f_B = (\text{相対速度}) / (\text{波長}) = (V+u)/\lambda_2\) で計算できます。

この設問における重要なポイント

• 観測者Bは速さ \(u\) で反射波に向かって運動している。
• Bに対する反射波の相対速度は \(V+u\)。
• 振動数 \(f_B = (\text{相対速度}) / \lambda_2\)。

具体的な解説と立式
観測者Bが測定する反射波の振動数を \(f_B\) とします。
Bは速さ \(u\) で反射波（速さ \(V\)、左向きに進む）に向かって右向きに進んでいるので、Bに対する波の相対速度の大きさは \(V+u\) です。
反射波の波長は \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}\) です。
したがって、Bが測定する振動数 \(f_B\) は、
$$f_B = \frac{V+u}{\lambda_2} \quad \cdots ⑥’$$
この式に \(\lambda_2\) を代入して \(f_B\) を求めます。

式⑥’ に \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}\) を代入します。
$$f_B = \frac{V+u}{\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}}$$
整理すると、
$$f_B = (V+u) \frac{(V+v)f_0}{(V-v)(V-u)}$$
$$f_B = \frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0 \text{ [Hz]}$$

音源Sに乗っているBさんは、速さ \(u\) で反射してくる音波に向かって進んでいます。音波自体も速さ \(V\) でBさんに向かってくるので、Bさんから見ると音波は \(V+u\) という猛スピードでやってきます。
1秒間に \(V+u\) メートル分の波がBさんを通り過ぎます。(6)で計算した反射波1個の長さ（波長 \(\lambda_2\)）でこの \(V+u\) を割れば、1秒間にBさんが受け取る波の個数、つまりBさんが聞く振動数がわかります。

観測者Bが測定する反射波の振動数は \(f_B = \displaystyle\frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0\) [Hz] です。
これは、反射体Rを音源（振動数 \(f_R = \frac{V+v}{V-u}f_0\)、速度 \(v\) で左向きに運動）とし、観測者B（速度 \(u\) で右向きに運動）が聞く振動数をドップラー効果の公式で計算した結果と一致します。音の進行方向（左向き）を正とすると、音源Rの速度 \(v_s = v\)、観測者Bの速度 \(v_o = -u\)。よって \(f_B = \frac{V-(-u)}{V-v}f_R = \frac{V+u}{V-v} \left(\frac{V+v}{V-u}f_0\right) = \frac{(V+u)(V+v)}{(V-v)(V-u)}f_0\)。

空欄 (9)

思考の道筋とポイント
(8)で求めた \(f_B\) の式を、\(v\) について解きます。これは代数的な計算になります。
\(f_B = \displaystyle\frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0\)
この式を変形して \(v=\dots\) の形にします。

この設問における重要なポイント

• (8)の式を \(v\) について正確に解く代数計算能力。

具体的な解説と立式
(8)で得られた式は、
$$f_B = \frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0 \quad \cdots ⑦’$$
この式を \(v\) について整理します。
$$\frac{f_B (V-u)}{f_0 (V+u)} = \frac{V+v}{V-v}$$
左辺を \(K = \displaystyle\frac{f_B (V-u)}{f_0 (V+u)}\) とおくと、
$$K = \frac{V+v}{V-v}$$
この式を \(v\) について解きます。
$$K(V-v) = V+v$$
$$KV – Kv = V+v$$
$$KV – V = Kv + v$$
$$V(K-1) = v(K+1)$$
$$v = V \frac{K-1}{K+1} \quad \cdots ⑧’$$
ここに \(K\) を戻して \(v\) を \(f_0, f_B, V, u\) で表します。

式⑧’ に \(K = \displaystyle\frac{f_B (V-u)}{f_0 (V+u)}\) を代入します。
まず \(K-1\) と \(K+1\) を計算します。
$$K-1 = \frac{f_B (V-u)}{f_0 (V+u)} – 1 = \frac{f_B (V-u) – f_0 (V+u)}{f_0 (V+u)}$$
$$K+1 = \frac{f_B (V-u)}{f_0 (V+u)} + 1 = \frac{f_B (V-u) + f_0 (V+u)}{f_0 (V+u)}$$
したがって、
$$\frac{K-1}{K+1} = \frac{f_B (V-u) – f_0 (V+u)}{f_B (V-u) + f_0 (V+u)}$$
これを式⑧’ に代入して \(v\) を得ます。
$$v = V \frac{f_B (V-u) – f_0 (V+u)}{f_B (V-u) + f_0 (V+u)}$$

(8)でBさんが聞く反射音の振動数 \(f_B\) が、元の振動数 \(f_0\)、音速 \(V\)、Sの速さ \(u\)、Rの速さ \(v\) を使って表されました。今度は逆に、\(f_B, f_0, V, u\) が分かっているとして、この式を \(v\) について解きなさい、という数学の計算問題です。少し複雑ですが、丁寧に式を変形していけば \(v\) を求めることができます。

反射体の速さ \(v\) は \(v = V \displaystyle\frac{f_B (V-u) – f_0 (V+u)}{f_B (V-u) + f_0 (V+u)}\) [m/s] と表されます。
この式により、観測者Bは自身が観測する反射音の振動数 \(f_B\) と、既知の \(f_0, V, u\) から、未知の反射体Rの速さ \(v\) を算出できることがわかります。

空欄 (10) および (11)

思考の道筋とポイント
音源S（観測者Bが乗っている）が時刻 \(t=0\) で音波を発射し、この音波が反射体Rで反射され、時刻 \(t=t_0\) で再びBに戻ってくる状況を考えます。
(10) 音波を発射した時刻 \(t=0\) でのS(B)とRの間の距離を \(l\) とします。
音波がSから出てRに到達するまでの時間を \(t_1\) とします。この間にRは \(vt_1\) だけSに近づき、Sは \(ut_1\) だけRに近づきます。音波が進む距離は \(Vt_1\)。
このときの距離の関係から \(t_1\) を \(l\) で表し、次に反射音がRからBに到達する時間 \(t_2 = t_0 – t_1\) を考え、同様に距離の関係式を立てて \(l\) を \(t_0, V, u, v\) で表します。
模範解答の図と式では、SからRへの音の到達時間を \(t\) とし、\(l = Vt+vt\) という関係と、全体の状況を表す \(l = vt + V(t_0-t) + ut_0\) という関係から \(l\) を導いています。この解法に従います。

(11) 時刻 \(t_0\) で反射音がBに帰ってきたときの、BとRの間の距離を求めます。
時刻 \(t=0\) でSは \(x=0\)、Rは \(x=l\) にいたとします。
時刻 \(t_0\) では、Bの位置は \(x_B = ut_0\)（右向きを正とした場合。図ではSが右に進むのでBも右に \(ut_0\)）、Rの位置は \(x_R = l – vt_0\)（Rは左に進むので、初期位置 \(l\) から左に \(vt_0\)）。
求める距離は \(|(l-vt_0) – ut_0|\) です。ここに(10)で求めた \(l\) を代入します。

この設問における重要なポイント

• 音の伝播時間と距離の関係を正確に追跡する。
• 音源、反射体、観測者の運動を考慮に入れる。
• 図を描いて状況を整理すると分かりやすい。

具体的な解説と立式
(10) 音波を出した時点のBとRとの距離 \(l\):
時刻 \(t=0\) でS(B)が音波を発射し、そのときのS(B)とRの距離を \(l\) とします。
音波がSからRに到達するのに時間 \(t\) を要したとします。
この間に音波が進む距離は \(Vt\)。Rは速さ \(v\) でSに近づく（左へ進む）ので、Rが進む距離は \(vt\)。Sは速さ \(u\) でRに近づく（右へ進む）ので、Sが進む距離は \(ut\)。
模範解答の図と式に基づくと、音波がRに到達するまでに、最初の距離 \(l\) は、音波が進んだ距離 \(Vt\) とRが進んだ距離 \(vt\) の和でカバーされると解釈できます（音波とRが出会うまでの時間）。
$$l = Vt + vt \quad \cdots (\text{式ア})$$
ここから \(t = \displaystyle\frac{l}{V+v}\)。
次に、反射音がRから出てBに到達するまでの時間は \(t_0-t\) です。
模範解答の図から、音波を出した時点の距離 \(l\) は、
(Rが \(t\) 時間でS側に進んだ距離 \(vt\))
+ (反射音がRからBに \(t_0-t\) 時間で進んだ距離 \(V(t_0-t)\))
+ (S(B)が全体時間 \(t_0\) でR側に進んだ距離 \(ut_0\))
の和に等しいとしています。
$$l = vt + V(t_0-t) + ut_0 \quad \cdots (\text{式イ})$$
式アを \(t\) について解いたものを式イに代入して \(l\) を求めます。

(11) 反射音がBに帰ってきた時点のBとRとの距離 \(x\):
時刻 \(t_0\) において、
S(B)の初期位置を原点 \(0\) とすると、時刻 \(t_0\) でのBの位置は \(x_B = ut_0\) （右向き）。
Rの初期位置を \(l\) とすると、時刻 \(t_0\) でのRの位置は \(x_R = l – vt_0\) （初期位置 \(l\) から左向きに \(vt_0\) 進む）。
よって、BとRの間の距離 \(x\) は、
$$x = |x_R – x_B| = |(l-vt_0) – ut_0| = |l – (u+v)t_0| \quad \cdots (\text{式ウ})$$
図から明らかに \(l > (u+v)t_0\) という状況ではないため、絶対値は重要です。ただし、模範解答では単純に \(l-(u+v)t_0\) としているので、Rの方がBより右にある状況を想定していると考えられます。
(10)で求めた \(l\) をここに代入します。

(10) 距離 \(l\):
式アより \(t = \displaystyle\frac{l}{V+v}\)。これを式イに代入します。
$$l = v\left(\frac{l}{V+v}\right) + V\left(t_0-\frac{l}{V+v}\right) + ut_0$$
両辺に \((V+v)\) を掛けて分母を払います。
$$l(V+v) = vl + V(t_0(V+v)-l) + ut_0(V+v)$$
$$lV + lv = vl + Vt_0(V+v) – Vl + ut_0(V+v)$$
\(lv\) と \(vl\) は消去されます。
$$lV = Vt_0(V+v) – Vl + ut_0(V+v)$$
\(lV\) の項を左辺に集めます。
$$lV + Vl = Vt_0(V+v) + ut_0(V+v)$$
$$2Vl = t_0(V+v)(V+u)$$
\(l\) について解くと、
$$l = \frac{t_0(V+u)(V+v)}{2V}$$

(11) 距離 \(x\):
\(x = l – (u+v)t_0\) （模範解答の図から、このときの \(x\) は \(l\) より小さい正の値と想定）に、(10)で求めた \(l\) を代入します。
$$x = \frac{t_0(V+u)(V+v)}{2V} – (u+v)t_0$$
共通因子 \(t_0\) でくくり、通分します。
$$x = \frac{t_0}{2V} [(V+u)(V+v) – 2V(u+v)]$$
角括弧内を展開します。
$$ (V+u)(V+v) – 2V(u+v) = (V^2 + Vv + Vu + uv) – (2Vu + 2Vv) $$
$$ = V^2 + Vv + Vu + uv – 2Vu – 2Vv = V^2 – Vu – Vv + uv $$
この式は \(V(V-u) – v(V-u) = (V-u)(V-v)\) と因数分解できます。
よって、
$$x = \frac{t_0(V-u)(V-v)}{2V}$$

(10) 音が出た瞬間のS(B)とRの間の距離を \(l\) とします。音がSから出てRにぶつかり、反射してBに戻ってくるまでの総時間が \(t_0\) です。この間にS(B)もRも動いています。これらの動きと音の速さを考慮して、最初の距離 \(l\) を \(t_0\) や各速度で表すことができます。少し複雑な追いかけ問題のようなものです。模範解答で示された2つの関係式を連立して解きます。
(11) 音がBに戻ってきた瞬間 (\(t_0\) 秒後) に、BとRはそれぞれ最初の位置からどれだけ動いたかを計算し、その時点での2点間の距離を求めます。(10)で求めた \(l\) の式を使います。

(10) 音波を出した時点のBとRとの距離は \(l = \displaystyle\frac{t_0(V+u)(V+v)}{2V}\) [m] です。
(11) 反射音がBに帰ってきた時点のBとRとの距離は \(x = \displaystyle\frac{t_0(V-u)(V-v)}{2V}\) [m] です。
これらの式は、音の往復運動と、音源・反射体の運動を組み合わせた結果として導かれます。\(V>u, V>v\) の条件から、分母の \(2V\) は正であり、分子も状況により正の値を取ります。(11)の \(x\) は距離なので正であるべきですが、式の形から \(u,v\) が \(V\) に近いと \(x\) が非常に小さくなる（あるいは負になる）可能性もあり、その場合は絶対値をとるか、初期の仮定（例：\(l > (u+v)t_0\)）が成り立たない状況を意味するかもしれません。ただし、通常このような問題では正の距離として解釈します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の原理的理解: 音源が動くことによる波長の伸縮、観測者が動くことによる単位時間あたりの波の受信数の変化を正しく把握すること。単に公式を適用するだけでなく、(1)-(3)のように波の広がる範囲や波長をステップを追って考えることが重要。
• 音速の不変性: 音速 \(V\) は媒質によって決まり、音源や観測者の速度にはよらない（風がない場合）。
• 反射体の扱い（ドップラー効果の2段階適用）: 反射体を一度「観測者」として入射音の振動数を求め、次にその振動数で音を出す「（動く）音源」として観測者への音の振動数を求める。
• 相対速度の概念: 音波と観測者/反射体、あるいは音源と反射体の間の相対的な速度を正しく捉えることが、ドップラー効果や出会いの問題を解く鍵。
• 距離・時間・速さの関係: 複雑な運動と波の伝播の問題では、各区間や各物体についてこの基本関係を繰り返し適用し、連立方程式を立てる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 複雑な相対運動を伴うドップラー効果の問題。
  • 波の伝播時間と距離が絡む問題（例：やまびこ、レーダー）。
  • 複数の観測者や反射体が関与する状況。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 基準となる「静止系」と「音の伝わる向き」の明確化: 速度の正負を決定する上で最も重要。
  2. 各物体の速度ベクトルを図示する: 音の伝播方向と各物体の速度の関係を視覚的に捉える。
  3. ドップラー効果の公式を適用する各段階を明確に区別する: (S\(\to\)A)、(S\(\to\)R)、(R\(\to\)A)、(R\(\to\)B)など、どの間の現象を考えているのかをはっきりさせる。
  4. 1秒間あたりの現象として考える: (1)や(4)のように、「1秒間に音源が出す波」「1秒間に反射体が受け取る波」「1秒間に波が広がる範囲」といった基準で考えると、波長や振動数の定義に立ち返りやすい。
  5. 未知数は何か、既知数は何かを整理する: (9)や(10),(11)のように、複数の物理量の関係式から特定の量を求める場合、どの式をどのように組み合わせるかの戦略を立てる。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 音速 \(V\) は常に一定（風がない場合）。
  • 音源の振動数 \(f_0\) は音源固有の値。
  • ドップラー効果は、音源と観測者の間の「相対的な速度の、音の進行方向成分」によって生じる。
  • 複雑な問題では、時間を追って各物体の位置関係がどう変化するかを図で追うと良い。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の公式の \(v_s, v_o\) の符号の混乱:
  • 現象: 音の進行方向を正としたときの速度成分として符号を割り当てるルールを間違える。
  • 対策: 常に図を描き、音の進行方向、音源の運動方向、観測者の運動方向を矢印で明示し、それぞれの速度成分の符号を機械的に決定する訓練をする。「近づく=振動数大、遠ざかる=振動数小」という定性的な結果と照らし合わせる。
• 反射体を単なる鏡として扱い、ドップラー効果を1回しか考慮しない:
  • 現象: 音源Sから反射体Rまでのドップラー効果のみを考え、反射体Rから観測者Oへの第2のドップラー効果（特にRが動く場合）を見落とす。
  • 対策: 反射は「受信」と「再放射」の2ステップであると常に意識する。Rが音波を受けるときの振動数と、Rが音波を出すときの振動数（これはRが受けた振動数と同じだが、R自身が動く音源となる）を区別する。
• 波長の変化と振動数の変化の関係の誤解:
  • 現象: 音源が動いて波長が変わった後、静止した観測者がその波を観測するときの振動数を \(f=V/\lambda\) で求める際、\(V\) を音源や観測者の相対速度で置き換えてしまうなど。
  • 対策: 波長は一度決まれば観測者の運動状態によらない（媒質が同じなら）。観測者が聞く振動数は、その波長の波が観測者に対してどれだけの速さで通過していくか（\(V \pm v_o\)）、あるいは音源が波を送り出す間隔がどう変わるかで決まる。
• 複雑な距離と時間の計算での混乱:
  • 現象: (10)(11)のように、複数の物体が運動し、音波が往復するような状況で、各区間の時間や距離の関係を正しく立式できない。
  • 対策: 時間軸に沿って、各瞬間の各物体の位置、音波の先端の位置などを丁寧に図示し、区間ごとの「距離＝速さ×時間」の関係を積み重ねていく。未知数を適切に設定し、連立方程式を解く。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 波の圧縮・伸長: (1)(2)では、音源Sが動くことで、進行方向の波が「押し縮められる」様子をイメージする。1秒間に \(f_0\) 個の波が、本来なら \(V\) の長さに広がるところを \(V-u\) に圧縮される。
  • 反射体による「キャッチ＆リリース」: (4)では、動いている反射体Rが、自分に向かってくる波を「キャッチ」する（これがRが観測する振動数）。そして、(5)(6)では、キャッチした波を「リリース」するが、R自身も動いているため、リリースされた波の間隔（波長）がさらに変化する。
  • 時間の追跡: (10)(11)では、音波のパルスがSを出発し、Rに到達し、反射してBに戻ってくるまでの各区間でのS、R、音波の先端の位置関係を、時間軸に沿った複数のスナップショットとして図示すると、距離と時間の関係が明確になる（模範解答の図a,b,cがそれに相当）。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 基準となる座標軸と原点を明確にする。
  • 各物体の速度ベクトル（向きと大きさの概念）を矢印で示す。
  • 音波の進行方向も矢印で示す。
  • 時刻 \(t=0\) での初期配置と、ある時刻 \(t\) での位置関係を区別して描く。
  • 距離を表す線分には、それがどの間の距離なのかを明記する（例：\(l\), \(Vt\), \(ut_0\) など）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \( \lambda = (\text{範囲長}) / (\text{波数}) \) (波長の定義に基づく導出): (1)(2)や(5)(6)で用いられた、ドップラー効果による波長変化の原理的な導出方法。音速の不変性と音源の運動を組み合わせる。
• \( f’ = V’ / \lambda \) (観測される振動数): (3)(7)(8)で用いられた。\(V’\) は観測者に対する波の相対速度、\(\lambda\) はその空間に存在する波の波長。この \(\lambda\) 自体がドップラー効果で変化している場合もある。
• ドップラー効果の一般公式 \(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_0\): 上記の原理的考察を一般化したもの。各速度の符号を「音の進行方向を正」として正確に代入できれば、多くの状況に対応可能。(4)の\(f_R\)の導出などに使える。
• 距離・時間・速さの関係 (\( \text{距離} = \text{速さ} \times \text{時間} \)): (10)(11)のような複雑な運動と波の伝播の問題では、各区間や各物体についてこの基本関係を繰り返し適用し、連立方程式を立てる。
• 公式を選ぶ際には、その公式がどのような物理的状況や仮定の下で成り立つのかを理解し、問題の状況と照らし合わせて最も適切なものを選択する。原理から考えるか、一般化された公式を使うか、状況に応じて判断する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況の分析と図示: O, S, Rの位置関係、速度の向き、音の伝播経路を図に描き、正の向きを設定する。
2. ドップラー効果の段階分け: 直接音か、反射音か。反射音なら、音源→反射体、反射体→観測者の2段階で考える。
3. 各段階での公式適用準備: 音の進行方向を正とし、音源・観測者の速度に符号を割り当てる。
4. 振動数または波長の計算: ドップラー効果の公式、または波長変化の原理的考察から、必要な振動数や波長を求める。
5. うなりや時間変化の計算: 必要に応じて、振動数の差や波の数の不変性、時間と距離の関係式を用いる。
6. 連立方程式の処理: 複数の未知数や条件がある場合、適切に式を連立させて解を求める。
7. 最終的な答えの形式への整理: 問われている物理量を、指定された変数で表す。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認の徹底: ドップラー効果の速度の符号は最重要。立式ごとに図と照らし合わせて確認する。
• 分数と文字式の計算: \(V, u, v, f_0\) など多くの文字を含む分数の計算（通分、約分、逆数をとるなど）は丁寧に行う。特に(9)のような複雑な式変形。
• 段階ごとの結果の確認: 例えば、(4)で求めた \(f_R\) の物理的な意味（Rが受け取る振動数）を理解し、その値が次の(5)(6)でRが音源として出す波の振動数になる、という流れを意識する。
• 単位の省略と最終確認: 途中計算では単位を省略してもよいが、最終的な答えでは正しい単位をつける。また、次元が合っているか（例：速度を求めているのに時間の次元になっていないか）を意識すると、大きな間違いに気づけることがある。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 定性的な傾向との一致:
  • 音源が観測者に近づけば振動数は上がり、遠ざかれば下がる。観測者が音源に近づけば振動数は上がり、遠ざかれば下がる。この基本原則に計算結果が従っているか。
  • (3) \(f_1 = \frac{V}{V-u}f_0\)。\(V-u < V\) なので \(f_1 > f_0\)。SがAに近づくので妥当。
  • (7) \(f_2 = \frac{V(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0\)。複雑だが、\(V+v > V-v\) と \(V > V-u\) から、全体として \(f_0\) よりかなり大きくなることが予想され、SとRが互いに近づき、RもAに近づく効果を反映している。
• 極端なケースの代入:
  • もし \(u=0, v=0\) （全て静止）なら、全ての観測振動数は \(f_0\) になるはず。(3) \(f_1=f_0\)。(7) \(f_2=f_0\)。(8) \(f_B=f_0\)。(9) \(v\) は \(f_B=f_0\) を代入すると \(0/0\) の不定形になる場合があるが、\(f_B\) が \(u,v\) に依存することから、\(u=0\) で \(f_B = \frac{V+v}{V-v}f_0\) となり、これを \(f_B=f_0\) とすると \(V+v=V-v\) ということから \(v=0\)。妥当。
  • (10)(11)で \(u=0, v=0\) なら \(l=Vt_0/2\), \(x=Vt_0/2\)。つまり往復で同じ距離。
• 物理的な意味の再考: (9)の式は複雑だが、Bが測定した反射音の振動数 \(f_B\) からRの速度 \(v\) を逆算できるという、一種のセンサーとしての利用を示唆している。
• (10)(11)の距離の式も、各項がどの物体のどの運動に対応しているのかを吟味する。

問題71 (大阪工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、運動する物体（音源を兼ねる）の異なる点から発せられる音波を、物体上の中点および静止点で観測する際のドップラー効果と、音の伝播時間、うなりについて考察するものです。後半では、風が吹いている場合の影響も問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ドップラー効果を基本としつつ、音の伝播時間や、音源・観測点の相対的な運動を正確に捉える能力を試すものです。特に、物体上の異なる点（「先端A」と「後端B」として定義された音源）から音が出る場合や、物体上の中点Mで音を観測する場合、さらには風の影響がある場合など、状況設定が多岐にわたります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 音の伝播: 音は媒質中を一定の速さ（音速 \(V\)）で伝わります。音源の速度は音速に影響を与えません（ただし、風がある場合は地面に対する音速が変わります）。
2. ドップラー効果: 音源や観測者が運動することにより、観測される音の振動数が変化する現象です。公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V \mp v_o}{V \mp v_s}f_0\) を正しく適用することが重要です（符号は音源と観測者の運動方向と音の進行方向の関係で決まります）。
3. 時間の追跡: 音が発せられてから観測点に到達するまでの時間、音が出し始められてから出し終わるまでの時間、そしてそれが観測される時間を正確に計算する必要があります。
4. 波の数の不変性: 音源が時間 \(T\) の間に出した波の数 \(N=f_0T\) は、観測者が異なる時間 \(t’\) で異なる振動数 \(f’\) として観測しても、波の数自体は \(N=f’t’\) と保存されるという考え方が有効です。
5. うなり: 振動数がわずかに異なる2つの音が重なると、音の強さが周期的に変化します。うなりの振動数は \(|f_1-f_2|\) です。
6. 風の影響: 風が吹いている場合、音速 \(V\) は風の向きと速さによって変化します。風下へ進む音の速さは \(V+u_{\text{風}}\)、風上へ進む音の速さは \(V-u_{\text{風}}\) となります（地面に対する速さ）。

これらの原理を理解し、各状況に応じて丁寧に立式・計算していくことが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 初期位置と運動の確認: \(t=0\) での「音源A」（物体の先端、初期位置 \(+d\)）、「音源B」（物体の後端、初期位置 \(-d\)）、点M（中点、初期位置 \(0\)）、点O（静止点、初期位置 \(0\)）の位置関係と、その後の物体AB（およびそれに含まれるA, B, M）の運動（右へ速さ \(u\)）を正確に把握します。
2. (1) 音の到達時刻の比較: 「音源A」から点Mへ、および「音源A」から点Oへ音が到達する時刻をそれぞれ計算し比較します。この際、音源Aと観測点M/Oの運動を考慮します。
3. (2),(3) 音が聞こえる時間（継続時間）: 音が発せられ始めた時刻と終わった時刻にそれぞれ対応する音が、観測点MまたはOに到達する時刻を求め、その差から継続時間を計算します。「波の数の不変性」を用いる別解も有効です。
4. (4) うなり: O点で「音源A」からの音と「音源B」からの音を同時に聞く状況を考えます。それぞれの音の振動数をドップラー効果の公式を用いて求め、うなりの振動数とその継続時間を計算します。
5. (5),(6),Q 風がある場合: 風による音速の変化（地面に対する音速が \(V \pm u_{\text{風}}\) となる）を考慮して、(5)の振動数、(6)のうなりの振動数、Qのうなりの継続時間を再計算します。ドップラー効果の公式中の \(V\) を、風の影響を受けた実効的な音速に置き換えて考えます。

各設問において、音の経路、音源・観測者の速度、音速（風の影響を含む）を正確に設定し、ドップラー効果の公式や時間の関係式を適用していきます。

問 (1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=0\) において、「音源A」は \(x_A(0)=+d\)、点Mは \(x_M(0)=0\)、点Oは \(x_O(0)=0\) にあります。物体AB（音源Aと点Mを含む）は速さ \(u\) で右に動きます。「音源A」から発せられた音を考えます。
点Mが音を聞く時刻 \(t_M\) と点Oが音を聞く時刻 \(t_O\) を比較します。
模範解答のLecture (1)の解釈では、音源Aと観測者Mが初期距離 \(d\) で離れており、音波が速さ \(V\) でAからMへ、Mが速さ \(u\) で音波の方向に（Aから遠ざかるのではなく、音波に向かっていくイメージで）進むと解釈し、相対速度 \(V+u\) で距離 \(d\) を詰めるとして到達時間を \(d/(V+u)\) としています。
点Oが「音源A」からの音を聞き始める時刻は、Aの初期位置 \(+d\) からO(\(0\))まで単純に音が距離 \(d\) を速さ \(V\) で進む時間 \(d/V\) とします。

この設問における重要なポイント

• 音の到達時刻は (距離)/(速さ) で計算される。
• 観測点や音源が動く場合、その運動を考慮して実質的な距離や相対速度を考える必要があるが、ここでは模範解答の解釈に沿う。

具体的な解説と立式
模範解答のLecture (1) の解釈に従い、点Mが「音源A」からの音を聞き始める時刻を \(t_M\) とします。この解釈では、AとMが互いに近づく効果で実効的な接近速度が \(V+u\) となる状況を想定し、初期距離が \(d\) であるとしています。
$$d = (V+u)t_M \quad \cdots ①$$
一方、点O（静止、\(x=0\)）が「音源A」（初期位置 \(x=+d\)）からの音を聞き始める時刻を \(t_O\) とします。音は距離 \(d\) を速さ \(V\) で進む（左向きに）ので、
$$t_O = \frac{d}{V} \quad \cdots ②$$
これらの \(t_M\) と \(t_O\) を比較します。

式①より、点MがAからの音を聞き始める時刻 \(t_M\) は、
$$t_M = \frac{d}{V+u}$$
式②より、点OがAからの音を聞き始める時刻 \(t_O\) は、
$$t_O = \frac{d}{V}$$
\(u>0\) なので \(V+u > V\)。したがって、分母が大きい方が値は小さくなるので、
$$\frac{d}{V+u} < \frac{d}{V}$$
よって、\(t_M < t_O\) となり、点Mの方が先に音を聞きます。
その時刻は \(t_M = \displaystyle\frac{d}{V+u}\) です。

模範解答の考え方に従うと、音源Aと点Mは、実質的に \(V+u\) という速さで互いの距離 \(d\) を縮めて音が届くと考えます。そのため、Mに音が届く時間は \(d/(V+u)\) です。
一方、点Oには、Aから単純に距離 \(d\) を音が速さ \(V\) で進んで届くので、かかる時間は \(d/V\) です。
\(V+u\) は \(V\) よりも大きいので、分母が大きい \(d/(V+u)\) の方が時間は短くなります。つまり、M点の方が先に音を聞きます。

先に音を聞くのは点Mであり、その時刻は \(\displaystyle\frac{d}{V+u}\) です。これは模範解答のLecture部分の記述と一致します。

問 (2)

思考の道筋とポイント
点Aと点Mは同じ物体AB上にあり、共に速さ \(u\) で右へ運動しています。したがって、AとMの相対速度は0です。この状況では、AからMへ音が伝わる際にドップラー効果による振動数や波長の変化は生じないと解釈できます（音源と観測者が一体となって運動）。音源Aは時刻 \(t=0\) から \(t=T\) までの \(T\) 秒間音を発します。AとMが相対的に静止しているので、MにおいてもAからの音は同じく \(T\) 秒間聞こえると考えられます。これは模範解答のLecture (2)の別解に基づいています。

この設問における重要なポイント

• 音源Aと観測点Mは同じ剛体上にあり、相対速度が0である。
• 相対速度が0の場合、ドップラー効果による振動数変化はなく、音の継続時間も音源での放出時間と同じになる。

具体的な解説と立式
点Aと点Mは物体AB上の点であり、物体全体が速さ \(u\) で運動するため、AとMの相対的な位置関係は変化しません。すなわち、相対速度は0です。
音源Aが音を \(T\) 秒間出す場合、観測点MもAに対して静止しているため、Mが音を聞く時間も \(T\) 秒間となります。

模範解答のLecture(2)の主たる説明では、(1)でMが音を聞き始める時刻を \(t_1\) とし、「最後の音が時刻Tに出されてから \(t_1\) 秒後にMに届く」として、聞き終わりの時刻を \(t_2 = T+t_1\) としています。これにより、聞こえている時間は \((T+t_1) – t_1 = T\) となります。このロジックは、AからMへの音の伝播時間が、信号の開始時と終了時で同じ \(t_1\) であるという仮定に基づいています。

模範解答のLecture (2)のロジックに従います。
Aからの最初の音がMに届く時刻を \(t_1\) (これは(1)で \(d/(V+u)\) と解釈されました)。
Aは時刻 \(T\) まで音を出す。この最後の音がMに届くのは、Aが音を出し終えた時刻 \(T\) から、さらに音がMまで伝わる時間 \(t_1\) が経過した後なので、聞き終わりの時刻は \(T+t_1\)。
よって、Mで音が聞こえている時間は、
$$\Delta t_M = (\text{聞き終わりの時刻}) – (\text{聞き始めの時刻}) = (T+t_1) – t_1 = T$$

点Aと点Mは、同じ物体（例えば電車）に乗って一緒に動いています。Aさんが \(T\) 秒間しゃべったら、同じ物体に乗っているMさんにも、そのまま \(T\) 秒間声が聞こえます。これは、AさんとMさんの間の状況が、音が出始めたときと終わったときで変わらないためです。

点Mにおいて、Aからの音が聞こえている時間は \(T\) です。音源と観測点が一体となって運動しているため、音の継続時間に変化は生じません。

問 (3)

思考の道筋とポイント
点Oは静止しています (\(x=0\))。「音源A」は時刻 \(t=0\) で \(x_A(0)=+d\) の位置にあり、速さ \(u\) で右向き（点Oから遠ざかる向き）に運動します。音源Aは時刻 \(t=0\) から \(t=T\) まで音を発します。
・音の聞き始め: 時刻 \(t=0\) に「音源A」 (\(x=+d\)) から出た最初の音波がO (\(x=0\)) に到達する時刻 \(t’_{O1}\) を計算します。音は左向きに進みます。
・音の聞き終わり: 「音源A」が時刻 \(t=T\) に音を発し終わる位置 \(x_A(T) = d+uT\) を特定します。この位置から発せられた最後の音波がOに到達する時刻 \(t’_{O2}\) を計算します。
聞こえている時間 \(\Delta t_O\) は \(\Delta t_O = t’_{O2} – t’_{O1}\) となります。
この考え方は模範解答のLecture (3)の本文説明と一致します。

この設問における重要なポイント

• 音源Aが観測点Oから遠ざかりながら音を発している。
• 音の「聞き始め」と「聞き終わり」の時刻を正確に計算する。

具体的な解説と立式
点Oは \(x=0\) に静止。
「音源A」は時刻 \(t=0\) で \(x_A(0)=+d\) の位置から音を発し始め、時刻 \(t=T\) で \(x_A(T)=d+uT\) の位置で音を発し終わる。音は左向きに進む。
Aからの最初の音がOに届く時刻を \(t’_{O1}\) とします。音は距離 \(d\) を速さ \(V\) で進むので、
$$t’_{O1} = \frac{d}{V} \quad \cdots ④$$
Aからの最後の音がOに届く時刻を \(t’_{O2}\) とします。最後の音は時刻 \(T\) に位置 \(x_A(T)=d+uT\) から発せられます。この音はO (\(x=0\)) まで距離 \(d+uT\) を進みます。この距離を進むのにかかる時間は \((d+uT)/V\)。
よって、
$$t’_{O2} = T + \frac{d+uT}{V} \quad \cdots ⑤$$
点OでAからの音が聞こえている時間 \(\Delta t_O\) は、
$$\Delta t_O = t’_{O2} – t’_{O1} \quad \cdots ⑥$$

式⑥に式④と⑤を代入します。
$$\Delta t_O = \left(T + \frac{d+uT}{V}\right) – \frac{d}{V}$$
展開して整理します。
$$\Delta t_O = T + \frac{d}{V} + \frac{uT}{V} – \frac{d}{V}$$
$$\Delta t_O = T + \frac{uT}{V}$$
共通因子 \(T\) でくくると、
$$\Delta t_O = T\left(1+\frac{u}{V}\right)$$
これは \(\displaystyle\frac{V+u}{V}T\) とも書けます。

別解: 波数の不変性による方法
思考の道筋とポイント
音源Aは速さ \(u\) で静止観測者Oから遠ざかります。
Oが観測するAからの音の振動数 \(f_A\) をドップラー効果の公式で求めます。
\(f_0 T = f_A \Delta t_O\) の関係から \(\Delta t_O\) を求めます。

具体的な解説と立式
音源Aは速さ \(u\) で静止観測者Oから遠ざかる。音の進行方向（A\(\to\)O、左向き）を正とすると、音源Aの速度は \(+u\) (Aは右へ動くので、Oから見て遠ざかる進行方向とは逆向きの速度成分は \(-u\)、または音源が音の進行方向と逆へ \(u\) で動く)。
正しくは、音源が観測者から速さ \(u\) で遠ざかる場合、観測される振動数 \(f_A\) は、
$$f_A = \frac{V}{V+u}f_0 \quad \cdots ⑦$$
波数の不変性より \(f_0 T = f_A \Delta t_O\)。よって、
$$\Delta t_O = \frac{f_0 T}{f_A} \quad \cdots ⑧$$

式⑧に式⑦を代入します。
$$\Delta t_O = \frac{f_0 T}{\frac{V}{V+u}f_0}$$
\(f_0\) が消去されて、
$$\Delta t_O = T \frac{V+u}{V} = \frac{V+u}{V}T$$
これは主たる方法の結果と一致します。

静止しているOさんが、「先端A」からの音を聞く時間を考えます。「先端A」はOさんから遠ざかりながら \(T\) 秒間音を出します。
方法1：最初の音がOさんに届く時刻と、最後の音がOさんに届く時刻を計算し、その差をとります。「先端A」は遠ざかっていくので、最後の音が出た場所は最初の場所よりOさんから遠くなっています。そのため、Oさんが音を聞いている時間は、Aさんが出していた時間 \(T\) よりも長くなります。
方法2：「先端A」が遠ざかっていくので、Oさんには元の音よりも低い振動数の音が聞こえます。「先端A」が出した波の「個数」は変わりません。低い振動数で長い時間聞くことで、同じ個数の波を受け取ることになります。この関係から聞いている時間を計算できます。

点Oにおいて、Aからの音が聞こえている時間は \(\Delta t_O = \displaystyle\frac{V+u}{V}T\) です。
音源が観測者から遠ざかる場合、観測される音の継続時間は長くなる (\(V+u > V\) なので \(\Delta t_O > T\)) という結果と一致します。

問 (4)

思考の道筋とポイント
点Oでは、「音源A」（先端、初期位置 \(x=+d\)、右へ \(u\)）からの直接音と、「音源B」（後端、初期位置 \(x=-d\)、右へ \(u\)）からの直接音を同時に聞く時間帯があると考えられます。うなりが生じるのは、これら2つの音の振動数が異なる場合です。
・「音源A」からOへの音の振動数 \(f_{OA}\): 音源AはOから遠ざかるので、\(f_{OA} = \displaystyle\frac{V}{V+u}f_0\)。
・「音源B」からOへの音の振動数 \(f_{OB}\): 音源BはOに近づくので、\(f_{OB} = \displaystyle\frac{V}{V-u}f_0\)。
うなりの振動数は \(|f_{OB} – f_{OA}|\) で計算できます。

うなりが聞こえている時間は、OでAからの音とBからの音が同時に聞こえている時間帯です。
それぞれの音がOで聞こえ始める時刻と聞こえ終わる時刻を計算し、両方の音が共通して聞こえている時間帯の長さを求めます。
音源Aからの音がOで聞こえ始める時刻 \(t_{A,\text{start}} = d/V\)。聞こえ終わる時刻 \(t_{A,\text{end}} = T + (d+uT)/V\)。
音源Bからの音がOで聞こえ始める時刻 \(t_{B,\text{start}} = d/V\)。聞こえ終わる時刻 \(t_{B,\text{end}} = T + (d-uT)/V\)。
開始時刻は同じです。終了時刻は \(t_{B,\text{end}} < t_{A,\text{end}}\) なので、うなりはBからの音が聞こえている間（つまり短い方の時間）だけ聞こえます。

この設問における重要なポイント

• 点Oが「音源A」から聞く音の振動数 \(f_{OA}\) と「音源B」から聞く音の振動数 \(f_{OB}\) をそれぞれドップラー効果で求める。
• うなりの振動数 \(f_{\text{うなり}} = |f_{OB}-f_{OA}|\)。
• Aからの音とBからの音がOで同時に聞こえている時間帯を特定する。

具体的な解説と立式
うなりの振動数:
観測点O（静止）に対する各音源の運動を考えます。
「音源A」（初期位置 \(x=+d\)）は速さ \(u\) で右へ（Oから遠ざかる向きに）運動。
OがAから聞く音の振動数 \(f_{OA}\) は、
$$f_{OA} = \frac{V}{V+u}f_0 \quad \cdots ⑪$$
「音源B」（初期位置 \(x=-d\)）は速さ \(u\) で右へ（Oに近づく向きに）運動。
OがBから聞く音の振動数 \(f_{OB}\) は、
$$f_{OB} = \frac{V}{V-u}f_0 \quad \cdots ⑫$$
うなりの振動数 \(f_{\text{うなり}}\) は、
$$f_{\text{うなり}} = |f_{OB} – f_{OA}| \quad \cdots ⑬$$

うなりが聞こえている時間:
Aからの音がOで聞こえ始める時刻 \(t_{A,\text{start}} = d/V\)。
Aからの音がOで聞こえ終わる時刻 \(t_{A,\text{end}} = T + (d+uT)/V\)。
Bからの音がOで聞こえ始める時刻 \(t_{B,\text{start}} = d/V\)。
Bからの音がOで聞こえ終わる時刻 \(t_{B,\text{end}} = T + (d-uT)/V\)。
両音とも聞こえ始める時刻は同じ \(d/V\) です。
聞こえ終わる時刻は、\(u>0, V>0, T>0\) より \(d+uT > d-uT\) なので、\(t_{A,\text{end}} > t_{B,\text{end}}\)。
したがって、両方の音が同時に聞こえているのは、\(t_{B,\text{start}}\) から \(t_{B,\text{end}}\) までの時間です。
うなりが聞こえている時間 \(\Delta t_{\text{うなり}}\) は、
$$\Delta t_{\text{うなり}} = t_{B,\text{end}} – t_{B,\text{start}} = \left(T + \frac{d-uT}{V}\right) – \frac{d}{V} \quad \cdots ⑭$$

うなりの振動数:
式⑬に式⑪と⑫を代入します。
$$f_{\text{うなり}} = \left| \frac{V}{V-u}f_0 – \frac{V}{V+u}f_0 \right|$$
$$f_{\text{うなり}} = Vf_0 \left| \frac{1}{V-u} – \frac{1}{V+u} \right|$$
絶対値の中を通分します。
$$\frac{1}{V-u} – \frac{1}{V+u} = \frac{(V+u) – (V-u)}{(V-u)(V+u)} = \frac{V+u-V+u}{V^2-u^2} = \frac{2u}{V^2-u^2}$$
\(V>u>0\) なので、この値は正です。
$$f_{\text{うなり}} = Vf_0 \frac{2u}{V^2-u^2} = \frac{2Vu}{V^2-u^2}f_0 \text{ [Hz]}$$

うなりが聞こえている時間:
式⑭を計算します。
$$\Delta t_{\text{うなり}} = T + \frac{d}{V} – \frac{uT}{V} – \frac{d}{V}$$
$$\Delta t_{\text{うなり}} = T – \frac{uT}{V} = T\left(1-\frac{u}{V}\right) = \frac{V-u}{V}T$$

点Oでは、「先端A」からの音と「後端B」からの音が聞こえます。
「先端A」はOから遠ざかるので、聞こえる音は元の音より低くなります。
「後端B」はOに近づくので、聞こえる音は元の音より高くなります。
この2つの振動数の差が、1秒あたりのうなりの回数です。
うなりが聞こえる時間は、Aからの音とBからの音の両方がOに届いている時間です。それぞれの音がいつ聞こえ始めていつ聞こえ終わるかを計算し、重なっている時間帯を求めます。Aからの音とBからの音は同時に聞こえ始めますが、Bからの音のほうが（音源BがOに近づく効果により）Oで観測される継続時間が短いため、うなりはその短い方の時間にわたって聞こえます。

点Oで聞くうなりの振動数は \(\displaystyle\frac{2Vu}{V^2-u^2}f_0\) [Hz] です。
うなりが聞こえている時間は、Bからの音が聞こえている継続時間であり、\(\displaystyle\frac{V-u}{V}T\) です。

問 (5)

思考の道筋とポイント
風が物体の運動方向と同じ向き（右向き）に速さ \(u\) で吹いています。
点Aと点Mは物体AB上にあり、共に地面に対して速さ \(u\) で右向きに運動しています。
したがって、物体AB（音源Aと観測点Mを含む）は、風と同じ速度で風と共に運動している、つまり空気（媒質）に対して静止していると見なせます。
音源Aと観測点Mが媒質に対して相対的に静止している場合、ドップラー効果による振動数の変化は生じません。

この設問における重要なポイント

• 音源と観測点が媒質（空気）に対して共に静止している場合、観測される振動数は音源の振動数に等しい。
• 風速と物体の速度が同じで向きも同じ場合、物体は空気に対して静止する。

具体的な解説と立式
風が右向きに速さ \(u\) で吹いており、音源Aおよび観測点Mも地面に対して右向きに速さ \(u\) で運動しています。
このため、音源Aおよび観測点Mは、音を伝える媒質である空気に対して相対的に静止していることになります。
音源と観測者が媒質に対して相対的に静止している場合、ドップラー効果は生じず、観測される振動数は音源の真の振動数 \(f_0\) に等しくなります。
したがって、点Mで聞くAからの音の振動数は \(f_0\) です。

上記「具体的な解説と立式」の通り、振動数は \(f_0\) となります。

風が、物体AB（A点もM点も含む）と全く同じ速さで同じ方向に吹いています。これは、AさんとMさんが乗っている電車が、周りの空気も一緒に引き連れて走っているような状況です。つまり、AさんとMさんの周りの空気は、AさんやMさんから見て止まっています。
このような場合、Aさんが出した音は、Mさんにはそのままの高さ（振動数）で聞こえます。ドップラー効果は起こりません。

点Mで聞くAからの音の振動数は \(f_0\) です。風と音源・観測者の運動が特殊な関係にあるため、結果的にドップラー効果が生じないケースです。

問 (6)

思考の道筋とポイント
風が右向きに速さ \(u\) で吹いています。観測点Oは静止しています。
「音源A」（先端、初期位置 \(x=+d\)）は速さ \(u\) で右へ（Oから遠ざかる向きに）運動。
「音源B」（後端、初期位置 \(x=-d\)）は速さ \(u\) で右へ（Oに近づく向きに）運動。

まず、Oが聞く「音源A」からの音の振動数 \(f’_{OA}\) を求めます。音はAからOへ左向きに進みます。風は右向きなので、音は風上へ進むことになり、地面に対する音速は \(V-u\) となります。音源Aは右へ \(u\) で動きます。
次に、Oが聞く「音源B」からの音の振動数 \(f’_{OB}\) を求めます。音はBからOへ右向きに進みます。風も右向きなので、音は風下へ進むことになり、地面に対する音速は \(V+u\) となります。音源Bは右へ \(u\) で動きます。
うなりの振動数は \(|f’_{OB} – f’_{OA}|\) です。
模範解答のLecture (6)の式 \(f_A’ = \frac{V-u}{V}f_0\) と \(f_B’ = \frac{V+u}{V}f_0\) は、それぞれ音源が遠ざかる場合と近づく場合の振動数（風の影響を音速ではなく、音源の相対速度に含める形で表した場合）として解釈できます。この解釈に従い、うなりの振動数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 風による音速の変化: 風下へは \(V+u_{\text{風}}\)、風上へは \(V-u_{\text{風}}\)。
• 各音源からの音の進行方向と風向きを考慮して、Oに到達する音の実効的な音速を決定する。
• その実効的な音速を用いてドップラー効果の公式を適用する。

具体的な解説と立式
風は右向きに速さ \(u\) で吹いています。観測者Oは静止しています。
「音源A」からOへの音の振動数 \(f’_{OA}\):
音源A（初期位置 \(+d\)）は速さ \(u\) で右（Oから遠ざかる方向）へ運動。音がOへ向かうのは左向き（風上）。
地面に対する音速を \(V_{gA} = V-u\) とします。
音源Aの速度を \(v_s = u\)（Oから遠ざかる）。観測者Oの速度 \(v_o = 0\)。
ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V_g \mp v_o}{V_g \pm v_s} f_0\) において、音源が遠ざかるので分母は \(V_g+v_s\)。
$$f’_{OA} = \frac{V-u}{(V-u)+u}f_0 = \frac{V-u}{V}f_0 \quad \cdots ⑮$$
これは模範解答の \(f_A’\) と一致します。

「音源B」からOへの音の振動数 \(f’_{OB}\):
音源B（初期位置 \(-d\)）は速さ \(u\) で右（Oに近づく方向）へ運動。音がOへ向かうのは右向き（風下）。
地面に対する音速を \(V_{gB} = V+u\) とします。
音源Bの速度を \(v_s = u\)（Oに近づく）。観測者Oの速度 \(v_o = 0\)。
ドップラー効果の公式で、音源が近づくので分母は \(V_g-v_s\)。
$$f’_{OB} = \frac{V+u}{(V+u)-u}f_0 = \frac{V+u}{V}f_0 \quad \cdots ⑯$$
これは模範解答の \(f_B’\) と一致します。

うなりの振動数 \(f’_{\text{うなり}}\) は、
$$f’_{\text{うなり}} = |f’_{OB} – f’_{OA}| \quad \cdots ⑰$$

式⑰に式⑮と⑯を代入します。
$$f’_{\text{うなり}} = \left| \frac{V+u}{V}f_0 – \frac{V-u}{V}f_0 \right|$$
共通因子 \(\displaystyle\frac{f_0}{V}\) でくくります。
$$f’_{\text{うなり}} = \frac{f_0}{V} |(V+u) – (V-u)|$$
絶対値の中を計算します。
$$|(V+u) – (V-u)| = |V+u-V+u| = |2u|$$
\(u>0\) なので \(|2u|=2u\)。
$$f’_{\text{うなり}} = \frac{f_0}{V} \cdot 2u = \frac{2u}{V}f_0 \text{ [Hz]}$$

風が吹いていると、音の速さが変わります。風と同じ向きに進む音は速く (\(V+u\)) なり、風と逆向きに進む音は遅く (\(V-u\)) なります。
「先端A」からの音はOさんにとって風上を進むので遅くなり、音源AはOさんから遠ざかります。
「後端B」からの音はOさんにとって風下を進むので速くなり、音源BはOさんに近づきます。
それぞれの音の、風の影響と音源の動きを考慮した振動数を計算し、その差からうなりの回数を求めます。

点Oで聞くうなりの振動数は \(\displaystyle\frac{2u}{V}f_0\) [Hz] です。
この結果は、風がない場合の(4)のうなりの振動数 \(\displaystyle\frac{2Vu}{V^2-u^2}f_0\) とは異なります。風の影響により、観測される各振動数が変化し、その結果うなりの振動数も変化することを示しています。

【コラム】Q. (6)において、点Oでうなりが聞こえている時間はどれだけか。

思考の道筋とポイント
(6)の風が吹いている状況で、点Oでうなりが聞こえている時間を求めます。これは、「音源A」からの音と「音源B」からの音が同時にOで聞こえている時間帯の長さに等しくなります。
それぞれの音について、Oで聞こえ始める時刻と聞こえ終わる時刻を計算し、共通の時間を求めます。風の影響で、音速が進行方向によって \(V+u\) または \(V-u\) になることを考慮します。
模範解答のQの答えの式の解釈に従い、\(\tau_1\) をAからの音の聞き始め、\(\tau_2\) をBからの音の聞き終わりとして、\(\tau_2 – \tau_1\) を計算します。

具体的な解説と立式
風は右向きに速さ \(u\) で吹いています。
「音源A」からOへの音の聞き始め時刻 \(\tau_1\):
A（初期位置 \(x=+d\)）からO（\(x=0\)）へは左向きに音が進む（風上）。地面に対する実効音速 \(V_{\text{AO}} = V-u\)。
音がOに到達する時間は、距離 \(d\) をこの実効音速で進むので、
$$\tau_1 = \frac{d}{V-u} \quad \cdots (\text{コQ}-①)$$
「音源B」からOへの音の聞き終わり時刻 \(\tau_2\):
B（初期位置 \(x=-d\)）は右へ速さ \(u\) で運動。\(t=T\) でBは \(x_B(T)=-d+uT\) の位置で音を発し終わる。
音がBからOへは右向きに進む（風下）。地面に対する実効音速 \(V_{\text{BO}} = V+u\)。
最後の音がOに到達するまでの距離は \(0 – (-d+uT) = d-uT\)。
この距離を実効音速 \(V_{\text{BO}}\) で進むのにかかる時間は \((d-uT)/(V+u)\)。
音は時刻 \(T\) に発し終わるので、Oに届くのは、
$$\tau_2 = T + \frac{d-uT}{V+u} \quad \cdots (\text{コQ}-②)$$
模範解答のQの答えでは、うなりが聞こえる時間を \(\tau_2 – \tau_1\) としています。
$$\Delta t’_{\text{うなり}} = \tau_2 – \tau_1 = \left(T + \frac{d-uT}{V+u}\right) – \frac{d}{V-u} \quad \cdots (\text{コQ}-③)$$

式(コQ-③)の右辺を整理します。
第1項 \(T + \displaystyle\frac{d-uT}{V+u}\) を通分すると、
$$T + \frac{d-uT}{V+u} = \frac{T(V+u) + d-uT}{V+u} = \frac{VT+uT+d-uT}{V+u} = \frac{VT+d}{V+u}$$
よって、
$$\Delta t’_{\text{うなり}} = \frac{VT+d}{V+u} – \frac{d}{V-u}$$
これを通分します。分母は \((V+u)(V-u) = V^2-u^2\)。
$$\Delta t’_{\text{うなり}} = \frac{(VT+d)(V-u) – d(V+u)}{(V+u)(V-u)}$$
分子を展開します:
\((VT+d)(V-u) = V^2T – VuT + dV – du\)
\(d(V+u) = dV + du\)
分子 \(= (V^2T – VuT + dV – du) – (dV + du) = V^2T – VuT + dV – du – dV – du\)
\(= V^2T – VuT – 2du\)
したがって、
$$\Delta t’_{\text{うなり}} = \frac{V^2T – VuT – 2du}{V^2-u^2}$$
模範解答のQの答えは \(\displaystyle\frac{VT}{V+u} – \frac{2ud}{V^2-u^2}\) です。
この形に変形してみます。
\(\displaystyle\frac{VT+d}{V+u} – \frac{d}{V-u} = \frac{VT}{V+u} + \frac{d}{V+u} – \frac{d}{V-u}\)
\(= \displaystyle\frac{VT}{V+u} + d\left(\frac{1}{V+u} – \frac{1}{V-u}\right)\)
\(= \displaystyle\frac{VT}{V+u} + d\left(\frac{(V-u)-(V+u)}{(V+u)(V-u)}\right)\)
\(= \displaystyle\frac{VT}{V+u} + d\left(\frac{V-u-V-u}{V^2-u^2}\right)\)
\(= \displaystyle\frac{VT}{V+u} + d\left(\frac{-2u}{V^2-u^2}\right) = \frac{VT}{V+u} – \frac{2ud}{V^2-u^2}\)
これは模範解答のQの答えと一致します。

風が吹いている中で、O点でAからの音とBからの音が同時に聞こえている時間を求めます。
Aからの音が聞こえ始める時刻と、Bからの音が聞こえ終わる時刻を計算し、その間の時間を求めます。（これは模範解答のQの式の解釈に基づきますが、一般には両方の音が重なっている区間を正確に求める必要があります。）
それぞれの音の到達時刻は、風によって音速が変化することを考慮して計算します。

点Oでうなりが聞こえている時間は、模範解答のQの解釈に基づくと \(\displaystyle\frac{VT}{V+u} – \frac{2ud}{V^2-u^2}\) となります。
この時間は正である必要があり、そのためには第1項が第2項より大きいという条件 (\(d\) が十分に小さいか \(T\) が十分に大きいなど) が暗に仮定されていることになります。一般的には、両方の音が聞こえる期間の重複部分を求めるべきですが、ここでは模範解答の式の導出に従いました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の原理的理解と公式適用: 音源や観測者が運動する際の振動数・波長の変化。特に、音源の運動による波面の圧縮・伸長と、観測者の運動による単位時間あたりの波の受信数の変化の双方を理解する。公式 \(f’ = \frac{V \mp v_o}{V \mp v_s}f_0\) の符号の正しい選択が重要。
• 音速の基準（風の影響）: 音速 \(V\) は媒質（空気）に対する速さであること。風がある場合、地面に対する音速は \(V \pm u_{\text{風}}\) となることを理解し、ドップラー効果の公式に適用する。
• 波の数の不変性: 音源が発した波の総数 (\(N=f_0T\)) は、観測者が異なる条件下で観測しても変わらない (\(N=f’\Delta t’\))。これを用いて観測される時間の長さを求めることができる。
• うなり: 振動数がわずかに異なる2つの音が重なると、音の強さが周期的に変化します。うなりの振動数は \(|f_1-f_2|\)。うなりが聞こえる時間は、2つの音が同時に観測されている時間。
• 相対運動と座標設定: 誰から見て誰がどう動いているのか、音はどちらの向きに進んでいるのかを正確に把握し、速度の符号を一貫して設定することが、ドップラー効果の問題を解く上での基本。
• 時間の追跡: 音が発せられた時刻、観測点に到達した時刻、音が鳴り終わる時刻などを正確に追跡し、その差分として「聞こえている時間」を計算する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 音源と観測者の両方が動く場合、反射板が動く場合のドップラー効果。
  • 風が様々な方向に吹いている場合のドップラー効果。
  • 複数の音源があり、それらが干渉してうなりを生じる問題。
  • パルス状の音や信号が発せられたときの、観測される継続時間や到達時刻を問う問題。
  • 光のドップラー効果にも類似の考え方があるが、光速不変の原理により公式は異なる。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 図を描いて状況を把握する: 音源、観測者、反射板の位置関係、それぞれの速度ベクトル、音の進行方向、風の方向などを図示する。
  2. ドップラー効果の適用の単位を見極める: どの物体が音源で、どの物体が観測者か。音はどちら向きに進んでいるか。反射がある場合は、S\(\to\)R と R\(\to\)O のように段階を分ける。
  3. 速度の符号を慎重に決定する: 音の進行方向を正とし、各速度成分の符号を決める。
  4. 風の影響を考慮する: 風がある場合、音の進行方向に対する地面から見た音速 \(V’ = V \pm u_{\text{風}}\) をまず計算し、ドップラー効果の公式の \(V\) を \(V’\) で置き換える。
  5. 「1秒あたり」の現象として考える: (1)や(4)のように、振動数や波の個数を1秒という単位時間で考えると、原理に立ち返りやすい。
  6. 時間計算の際は、始点と終点を明確にする: 「いつ発せられた音が」「いつどこに到達するか」を正確に追う。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 音源と観測者が一体となって動いている場合（例：(2)のAとM、(5)のAとMで風も同じ速度）、相対速度がゼロなのでドップラー効果は生じない（振動数も継続時間も変わらない）。
  • うなりが聞こえるのは、2つの音を「同時に」聞いている時間帯のみ。
  • 与えられた条件（例：\(V>u\), \(d>uT\)）が計算結果の妥当性や物理的状況の限定に関わってくることがある。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の公式の符号選択ミス:
  • 現象: 音源や観測者が近づくのか遠ざかるのかを直感で判断しようとして、公式の分母・分子の \( \pm \) を間違える。
  • 対策: 必ず「音の進行方向を正」とし、その向きに対する各物体の速度成分 \(v_s, v_o\) の符号を機械的に決定し、一般公式 \(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_0\) (または \(f’ = \frac{V’-v_o}{V’-v_s}f_0\)) に代入する習慣をつける。
• 風がある場合の音速の扱い:
  • 現象: 風速をドップラー効果の公式の \(v_s\) や \(v_o\) に誤って加算・減算してしまう。
  • 対策: 風は音を伝える媒質（空気）自体の動きなので、まず地面に対する音速 \(V’\) を \(V \pm u_{\text{風}}\) として計算し、その \(V’\) をドップラー効果の公式の \(V\) の部分に用いる、と理解する。
• 反射板での2段階ドップラー効果の適用の誤り:
  • 現象: 第1段階（S\(\to\)R）または第2段階（R\(\to\)O）のどちらかの効果を見落とすか、速度の設定を間違える。
  • 対策: 各段階を独立したドップラー効果の問題として扱い、それぞれの音源、観測者、音の進行方向、速度を正確に設定する。Rが受けた振動数が、Rが再放射する音の「新たな \(f_0\)」となる。
• 音の継続時間の計算ミス:
  • 現象: 音源の運動による「音の列の長さ」の変化を考慮せず、単純に \(T\) としたり、ドップラー効果で変化した振動数から逆算する際に混乱したりする。
  • 対策: 「最初の波が到達する時刻」と「最後の波が到達する時刻」をそれぞれ計算し、その差を取るのが基本。または「波数の不変性」 \(f_0 T = f’ \Delta t’\) を利用する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 波面の追跡: 音源Sから同心円状（1次元なら直線状）に広がる波面が、音源の運動によって進行方向では密になり、反対方向では疎になるイメージを持つ。
  • 1秒間のスナップショット: (1)や(5)のように、1秒間に何が起こるか（音源の移動距離、波の先頭の到達距離、その間に含まれる波の数）を図で描いてみる。
  • 時間のタイムライン: 音が発信され、伝播し、受信されるまでの各イベント（Aが発信開始、Aが発信終了、音がOに到達開始、音がOに到達終了など）を時間軸上にプロットし、その時間差を考える。
  • 相対速度のベクトル図: 特に風がある場合や、音源と観測者が複雑に動く場合、速度ベクトルを図示して、音の進行方向に対する成分を考えると符号ミスを防ぎやすい。
  • 模範解答の図1、図2や、Lecture内の図は、状況を理解する上で非常に参考になる。特に(10)(11)の距離と時間の関係は図なしでは困難。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 座標軸と原点（特に静止観測者Oの位置）を明確にする。
  • 各物体（S, R, A, B, M, O）の初期位置と、時刻 \(t\) における位置を区別して示す。
  • 速度ベクトル（向きと記号）を必ず描き入れる。
  • 音波の進行方向を矢印で示す。風がある場合は風の向きと速さも示す。
  • 特定の時間（例：\(t=0, t=T, t=t_0\)）におけるスナップショットを描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \( \lambda’ = (V \mp v_s)/f_0 \) (音源運動による波長変化):
  • 選定理由: 音源が運動することで、波が空間的に圧縮・伸長される効果による波長変化を直接計算するため((1),(2)や(5),(6)の原理)。
  • 適用根拠: 音速は媒質に対して一定であり、音源の運動が1周期あたりの波の長さを変えるという物理的描像。
• \( f’ = (V \pm v_o)/\lambda \) (観測者運動による振動数変化):
  • 選定理由: 観測者が運動することで、単位時間に通過する波の数が変化する効果による振動数変化を計算するため((8)の原理)。
  • 適用根拠: 波長 \(\lambda\) の波列に対して、観測者が相対速度 \(V \pm v_o\) で波を横切るという描像。
• ドップラー効果の一般公式 \(f’ = \frac{V_{eff}-v_o}{V_{eff}-v_s}f_0\):
  • 選定理由: 音源と観測者の両方が運動する場合や、風がある場合に統一的に扱えるため。
  • 適用根拠: 上記の原理を組み合わせ、一般化したもの。\(V_{eff}\) は地面に対する音速（風を考慮）、\(v_o, v_s\) は音の進行方向を正とした速度。
• \( f_0 T = f’ \Delta t’ \) (波数の不変性):
  • 選定理由: 音源が発した音の継続時間 \(T\) と、観測者が聞く時間 \(\Delta t’\) の関係を、振動数の変化を介して求めるため((2)別解,(3)別解)。
  • 適用根拠: 音源が放った波の「個数」は途中で変化しないという事実。
• 公式を適用する前に、その公式がどのような条件下で導かれたものか、各変数が何を表すのか（特に速度の向きと符号）を正確に理解し、問題の状況と照らし合わせることが極めて重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題文の図と条件を照合し、各記号の意味と初期状態を正確に把握する。特に、A, B, M, S, O, R の役割と運動状態。
2. ドップラー効果の段階分け: 直接音か、反射音か。反射音なら、音源→反射体、反射体→観測者の2段階で考える。
3. 各段階での公式適用準備: 音の進行方向を明確に定める。それに基づいて音源と観測者の速度の符号を決定する。風がある場合は、まず地面に対する音速を計算する。
4. 振動数または波長の計算: ドップラー効果の公式、または波長変化の原理的考察から、必要な振動数や波長を求める。
5. うなりや時間変化の計算: 必要に応じて、振動数の差や波の数の不変性、時間と距離の関係式を用いる。
6. 連立方程式の処理: 複数の未知数や条件がある場合、適切に式を連立させて解を求める。
7. 最終的な答えの形式への整理: 問われている物理量を、指定された変数で表す。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認の徹底: ドップラー効果の速度の符号は最重要。立式ごとに図と照らし合わせて確認する。
• 分数計算の正確性: ドップラー効果の公式は分数の形をしているため、通分、約分、逆数の扱いなどを慎重に行う。
• 文字式の整理: \(V, u, v, f_0, t_1, t_2\) など多くの文字が出てくるため、式変形の際に混乱しないよう、丁寧に整理する。特に(9)のような複雑な式変形。
• 単位は基本的に不要（比や最終的な物理量指定時以外）だが、次元の意識は持つ: 例えば、振動数は[Hz]、時間は[s]、速度は[m/s]など、基本的な単位の関係が成り立っているか、頭の片隅で意識する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 定性的な予測との一致確認:
  • 近づく場合は振動数増、遠ざかる場合は振動数減。この傾向に合っているか。
  • 音源が近づきながら音を出す場合、音の継続時間は短縮されるはず。遠ざかるなら伸長されるはず。
  • 風下に進む音は速く、風上は遅くなる。これが振動数や時間にどう影響するか。
• 極端な条件での検討:
  • もし \(u=0, v=0\)（全て静止）なら、ドップラー効果は生じず \(f’=f_0\)、うなりも生じない（\(f_A=f_B=f_0\)）、時間も \(T\) のままのはず。各式に代入して確認。
  • もし風速 \(u_{\text{風}}\) が0なら、風がない場合の結果と一致するはず。
• 物理的な意味の考察: 例えば(9)で得られた \(v\) の式が、実際に \(f_B\) を測定すれば他の既知量から \(v\) を求められる形になっているか。あるいは(10)(11)の距離の式が、\(t_0\) や各速度に対して物理的に妥当な依存性を示しているか（例：\(t_0\) が大きければ \(l\) や \(x\) も大きくなりそうか、など）。

問題72 (東京大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直線L上を一定の速さで運動する音源と、Lからはずれた位置Aにいる静止観測者との間のドップラー効果を扱います。特に、音波が観測点に到達する時間差や、斜め方向のドップラー効果、さらにはそれらの応用として飛行機の速度と高度を求める問題が含まれています。近似計算も重要な要素となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマはドップラー効果、特に音源が観測者に対して斜めに運動する場合の扱いです。ドップラー効果は、音源と観測者の相対的な運動によって、観測される音の振動数が変化する現象です。

(1)では、波の伝播時間差から観測される周期（そして振動数）を導き、近似計算を用いて斜め方向のドップラー効果の公式を導出する過程を追います。
(2)では、(1)で得られた関係を実際の飛行機の運動に適用し、観測された振動数の変化から飛行機の速度や高度といった情報を引き出します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 波の伝播: 音波は媒質中を一定の速さ \(V\) で伝播します。
2. ドップラー効果の基本原理: 音源が観測者に近づく（遠ざかる）とき、観測される波長が短く（長く）なり、振動数が高く（低く）なります。観測者が音源に近づく（遠ざかる）とき、単位時間に受け取る波の数が増加（減少）し、振動数が高く（低く）なります。
3. 斜め方向のドップラー効果: 音源の速度ベクトルのうち、音源と観測者を結ぶ直線方向の成分 \(v\cos\theta\) が振動数変化に寄与します。
4. 近似計算: 微小量を含む式の取り扱い。特に \((1+x)^n \approx 1+nx\) （\(|x| \ll 1\) のとき）の近似式が重要です。
5. 幾何学的な関係: 音源、観測点、音波の経路などが作る三角形において、余弦定理や三平方の定理などを用いて距離を計算する必要があります。

これらの概念を正確に理解し、問題の状況に合わせて適用することが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1)(ア) 時間差 \(T\) の導出:
   • 音源がPで最初の音波（例えば山）を出した時刻を \(t=0\) とし、この波がAに到達する時刻 \(t_1\) を計算します。
   • 音源が1周期 \(T_0 = 1/f_0\) 後に次の音波（次の山）を出す位置P’を特定します。
   • P’から出た波がAに到達する時刻 \(t_2\) を計算します。この際、P’Aの距離を余弦定理で求めます。
   • 観測点Aでの時間差 \(T = t_2 – t_1\) を求めます。
2. (1)(イ) 振動数 \(f\) の導出:
   • (ア)で求めた \(T\) の式に含まれる平方根の部分を、条件 \(d \gg v/f_0\) を利用して近似計算（二項近似）します。
   • 近似された \(T\) から、観測される振動数 \(f = 1/T\) を計算します。これが斜め方向のドップラー効果の公式に対応することを確認します。
3. (2) 飛行機の速度 \(v\) と高度 \(h\) の算出:
   • 遠く東から (\(\theta \approx 0^\circ\)) と遠く西から (\(\theta \approx 180^\circ\)) 聞こえる音の振動数の比が \(1/3\) であるという条件から、(1)(イ)で得られた公式を用いて飛行機の速度 \(v\) を音速 \(V\) で表します。
   • 振動数が最初の \(2/3\) 倍および \(1/2\) 倍（真上の場合）になるときの角度 \(\theta\) を特定します。
   • これらの角度に対応する飛行機の位置と観測点Aとの幾何学的な関係（直角三角形）から、飛行経路上の距離を高度 \(h\) で表します。
   • 観測された3.0秒の時間差が、これらの特定の位置から出た音がAに到達する時間差であることを考慮し、\(h\) と \(v\) の関係式を立て、これらを解いて \(v\) と \(h\) を求めます。

各ステップで、幾何学的な関係の把握と、近似計算の適切な適用が重要になります。

問 (1) (ア)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=0\) に音源が点Pで最初の音波（1つ目の波の山）を発し、これが観測点Aに到達する時刻を \(t_1\) とします。
音源は振動数 \(f_0\) なので、その周期は \(T_0 = 1/f_0\)。次の音波（2つ目の波の山）は、時刻 \(t=T_0 = 1/f_0\) に、音源が \(vT_0 = v/f_0\) だけ進んだ点P’から発せられます。
この2つ目の波がAに到達する時刻を \(t_2\) とします。
観測点Aで観測される連続する波の山と山の時間間隔 \(T\) は \(T = t_2 – t_1\) となります。これが観測される周期です。
P’Aの距離は、三角形P P’Aに余弦定理を適用して求めます。

この設問における重要なポイント

• 音の到達時刻 = 発射時刻 + (距離/音速)。
• 音源が移動することによる発射位置の変化を考慮する。
• 幾何学的な距離（P’A）を余弦定理で求める。

具体的な解説と立式
時刻 \(t=0\) に音源が点Pで1つ目の音波（山）を発射したとします。この音波が観測点Aに到達する時刻 \(t_1\) は、PA間の距離が \(d\)、音速が \(V\) なので、
$$t_1 = \frac{d}{V} \quad \cdots ①$$
音源の振動数が \(f_0\) なので、周期は \(T_0 = 1/f_0\)。
2つ目の音波（次の山）は、時刻 \(t=T_0 = 1/f_0\) に発射されます。この間に音源は直線L上を速さ \(v\) で \(vT_0 = v/f_0\) だけ進み、点P’に到達しています。
点P’から観測点Aまでの距離を \(P’A\) とします。三角形P P’Aにおいて、PP’ = \(v/f_0\)、PA = \(d\)。点Pから見てAが直線Lから角度\(\theta\)の方向にあるので、\(\angle AP P’ = \theta\)（またはその補角ですが、余弦定理の適用においてはPにおける内角を使います。模範解答の図では、\(\vec{PP’}\) と \(\vec{PA}\) のなす角を\(\theta\)としています）。
余弦定理より、
$$(P’A)^2 = (PA)^2 + (PP’)^2 – 2(PA)(PP’)\cos\theta$$
$$(P’A)^2 = d^2 + \left(\frac{v}{f_0}\right)^2 – 2d\left(\frac{v}{f_0}\right)\cos\theta$$
よって、
$$P’A = \sqrt{d^2 + \left(\frac{v}{f_0}\right)^2 – 2d\frac{v}{f_0}\cos\theta} \quad \cdots ②$$
2つ目の音波は時刻 \(1/f_0\) に点P’から発射され、距離 \(P’A\) を音速 \(V\) で進むので、Aに到達する時刻 \(t_2\) は、
$$t_2 = \frac{1}{f_0} + \frac{P’A}{V} \quad \cdots ③$$
観測点Aで観測される、連続する2つの音波の山と山の時間差 \(T\) は、
$$T = t_2 – t_1 \quad \cdots ④$$
この \(T\) が(ア)の答えです。

式④に式①、②、③を代入します。
$$T = \left(\frac{1}{f_0} + \frac{P’A}{V}\right) – \frac{d}{V}$$
$$T = \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}(P’A – d)$$
式②の \(P’A\) を代入して、
$$T = \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left\{\sqrt{d^2 + \left(\frac{v}{f_0}\right)^2 – 2d\frac{v}{f_0}\cos\theta} – d\right\}$$

音源がP地点で「ヤッホー」の「ヤ」の音（最初の波）を出したとします。この音がAさんに届くまでの時間を計算します。
次に、音源は少し進んだP’地点で「ヤッホー」の「ホ」の音（次の波）を、「ヤ」の音から1周期後に出します。この「ホ」の音がP’地点からAさんに届くまでの時間と、「ホ」の音を出した時刻（「ヤ」から1周期後）を足し合わせると、「ホ」の音がAさんに届く時刻がわかります。
Aさんにとっては、「ホ」が届いた時刻と「ヤ」が届いた時刻の差が、波の周期（1波が来るのにかかる時間）として観測されます。

Aに到達する時間差 \(T\) は \(T = \displaystyle\frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left\{\sqrt{d^2 + \left(\frac{v}{f_0}\right)^2 – 2d\frac{v}{f_0}\cos\theta} – d\right\}\) です。これは観測される周期であり、この逆数をとれば観測される振動数 \(f\) になります。

問 (1) (イ)

思考の道筋とポイント
(ア)で求めた \(T\) の式に含まれる平方根の部分を、条件 \(d \gg v/f_0\) を利用して近似します。これは \(v/(f_0d) \ll 1\) を意味します。
平方根の中を \(d^2\) でくくり出し、\(\sqrt{d^2(1+Y)} = d\sqrt{1+Y}\) の形にします。
そして、近似式 \(\sqrt{1+Y} \approx 1 + Y/2\) （これは \((1+Y)^{1/2} \approx 1 + (1/2)Y\) ）を用います。
近似計算後の \(T\) から、観測される振動数 \(f=1/T\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 近似条件 \(d \gg v/f_0\) の意味を理解し、微小量を特定する。
• 二項近似 \((1+Y)^n \approx 1+nY\) （特に \(n=1/2\) の場合 \(\sqrt{1+Y} \approx 1+Y/2\)）を正しく適用する。
• 近似後の \(T\) から \(f=1/T\) を計算する。

具体的な解説と立式
(ア)で求めた \(T\) の中の平方根の部分、すなわち \(P’A\) の長さを近似します。
$$P’A = \sqrt{d^2 + \left(\frac{v}{f_0}\right)^2 – 2d\frac{v}{f_0}\cos\theta}$$
\(d^2\) でくくり出します。
$$P’A = \sqrt{d^2 \left(1 + \left(\frac{v}{f_0d}\right)^2 – \frac{2v}{f_0d}\cos\theta\right)}$$
$$P’A = d \left(1 – \frac{2v}{f_0d}\cos\theta + \left(\frac{v}{f_0d}\right)^2\right)^{1/2}$$
ここで、\(x_0 = v/(f_0d)\) とおくと、\(d \gg v/f_0\) より \(x_0 \ll 1\)。
括弧の中は \( (1 – 2x_0\cos\theta + x_0^2)^{1/2} \) となります。
\(x_0^2\) は \(x_0\) に比べてさらに小さい2次の微小量なので無視できます（1次の微小量まで考慮）。
よって、
$$P’A \approx d (1 – 2x_0\cos\theta)^{1/2}$$
ここで近似式 \((1+Y)^{n} \approx 1+nY\) を \(Y = -2x_0\cos\theta\), \(n=1/2\) として用います。
$$P’A \approx d \left(1 + \frac{1}{2}(-2x_0\cos\theta)\right) = d(1 – x_0\cos\theta)$$
\(x_0 = v/(f_0d)\) を戻すと、
$$P’A \approx d\left(1 – \frac{v}{f_0d}\cos\theta\right) = d – \frac{v}{f_0}\cos\theta \quad \cdots ⑤$$
これを \(T\) の式に代入します。
$$T = \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}(P’A – d)$$
$$T \approx \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left( \left(d – \frac{v}{f_0}\cos\theta\right) – d \right)$$$$T \approx \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left(-\frac{v}{f_0}\cos\theta\right) = \frac{1}{f_0} – \frac{v\cos\theta}{Vf_0}$$
通分して整理すると、
$$T \approx \frac{V – v\cos\theta}{Vf_0} \quad \cdots ⑥$$
観測される振動数 \(f\) は \(f=1/T\) なので、この式から \(f\) を求めます。

式⑤ \(P’A \approx d – \displaystyle\frac{v}{f_0}\cos\theta\) を \(T = \displaystyle\frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}(P’A – d)\) に代入します。
$$T \approx \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left( \left(d – \frac{v}{f_0}\cos\theta\right) – d \right)$$
$$T \approx \frac{1}{f_0} + \frac{1}{V}\left(-\frac{v}{f_0}\cos\theta\right)$$
$$T \approx \frac{1}{f_0} – \frac{v\cos\theta}{Vf_0}$$
右辺を通分します。
$$T \approx \frac{V – v\cos\theta}{Vf_0}$$
観測される振動数 \(f\) は \(f=1/T\) なので、
$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{Vf_0}{V-v\cos\theta}$$

(ア)で求めたAさんに届く波の時間間隔 \(T\) の式は、ルート記号が入っていて少し複雑です。ここで、「音源からAさんまでの距離 \(d\) は、音源が1周期の間に進む距離 \(v/f_0\) に比べてずっと大きい」という条件を使って、ルートの式を簡単な形に近似します。
使うのは「\((1+\text{すごく小さい数})^n \approx 1 + n \times (\text{すごく小さい数})\)」という近似のルールです。
こうして簡単になった \(T\) の式から、振動数 \(f=1/T\) を計算します。

観測される振動数 \(f\) は \(f = \displaystyle\frac{Vf_0}{V-v\cos\theta}\) と表されます。
これは、音源の速度 \(v\) のうち、観測者Aの方向の成分 \(v\cos\theta\) がドップラー効果に寄与することを示す、斜め方向のドップラー効果の公式そのものです。音源が観測者の方向に速度成分 \(v\cos\theta\) で近づいていると見なせます。

問 (2)

思考の道筋とポイント
(1)(イ)で求めた斜め方向のドップラー効果の式 \(f = \displaystyle\frac{Vf_0}{V-v\cos\theta}\) を利用します。
・「遠く東の方から」: 飛行機は観測者Aにまっすぐ近づいてくる状態なので、\(\theta \approx 0^\circ\)、よって \(\cos\theta \approx 1\)。このときの振動数を \(f_1\) とします。
・「遠く西の方へ」: 飛行機は観測者Aからまっすぐ遠ざかっていく状態なので、\(\theta \approx 180^\circ\)、よって \(\cos\theta \approx -1\)。このときの振動数を \(f_2\) とします。
条件 \(f_2 = (1/3)f_1\) から、飛行機の速度 \(v\) を求めます。

次に、振動数が変化する時間について考えます。
・最初の振動数 \(f_1\) (東から、\(\theta=0^\circ\))。
・振動数が \(f_1\) の \(2/3\) 倍になるときの角度を \(\theta_1\) とし、このときの振動数を \(f_A\)。
・振動数が \(f_1\) の \(1/2\) 倍になるときの角度を \(\theta_2\) とします。模範解答はこの振動数を \(f_0\)（音源が真上を通過するときの振動数、すなわち \(\theta_2=90^\circ, \cos\theta_2=0\)）と解釈しています。
飛行機が角度 \(\theta_1\) に対応する位置P1から角度 \(\theta_2=90^\circ\) に対応する位置P2（真上）まで飛行するのにかかる時間と、それぞれの位置から出た音が観測点Aに到達する時間の差を考慮し、観測された時間差3.0秒と結びつけます。
高度を \(h\) とすると、P1, P2の水平位置は \(h\) と \(\theta\) で表せます。

この設問における重要なポイント

• 斜め方向のドップラー効果の公式を適用する際の角度 \(\theta\) の解釈。
• 遠方での接近・後退時の \(\cos\theta\) の値。
• 特定の振動数が観測されるときの音源の位置（角度 \(\theta\)）を求める。
• 音源の移動時間と、音波の伝播時間の差が、観測される時間差となる。
• 幾何学的な関係（直角三角形）から距離を高度 \(h\) と角度で表す。

具体的な解説と立式
(1)(イ)で得られた振動数の式: $$f = \frac{Vf_0}{V-v\cos\theta} \quad \cdots ⑦$$
飛行機の速度 \(v\) の導出:
遠く東から近づくとき (\(\theta=0^\circ, \cos\theta=1\)) の振動数を \(f_1\) とすると、
$$f_1 = \frac{Vf_0}{V-v} \quad \cdots ⑧$$
遠く西へ遠ざかるとき (\(\theta=180^\circ, \cos\theta=-1\)) の振動数を \(f_2\) とすると、
$$f_2 = \frac{Vf_0}{V-v(-1)} = \frac{Vf_0}{V+v} \quad \cdots ⑨$$
問題の条件より \(f_2 = \displaystyle\frac{1}{3}f_1\)。
$$\frac{Vf_0}{V+v} = \frac{1}{3} \frac{Vf_0}{V-v} \quad \cdots ⑩$$
この式から \(v\) を求めます。

高度 \(h\) の導出:
まず、\(v\) の値を上記⑩から求め、その結果を使います。
式⑧より \(f_0 = f_1 \displaystyle\frac{V-v}{V}\)。これを式⑦に代入すると、
$$f = \frac{V (f_1 \frac{V-v}{V})}{V-v\cos\theta} = \frac{f_1(V-v)}{V-v\cos\theta}$$
振動数が最初の振動数 \(f_1\) の \(2/3\) 倍になるときの角度を \(\theta_1\) とすると、このときの振動数 \(f_A = (2/3)f_1\)。
$$\frac{2}{3}f_1 = \frac{f_1(V-v)}{V-v\cos\theta_1} \quad \cdots ⑪$$
振動数が最初の振動数 \(f_1\) の \(1/2\) 倍になるときの角度を \(\theta_2\) とします。これは真上通過時の振動数 \(f_0\) に相当すると解釈します。
\(f_1 = 2f_0\) (後で \(v=V/2\) から導かれる)なので、\(f_1\) の \(1/2\) 倍は \(f_0\)。
このとき、\(f_0 = \displaystyle\frac{f_1(V-v)}{V-v\cos\theta_2}\)。\(\cos\theta_2=0\) (\(\theta_2=90^\circ\)) となるはずです。
飛行機が角度 \(\theta_1\) の位置P1から角度 \(\theta_2=90^\circ\) の位置P2（真上）まで飛行する時間を \(\Delta t_{\text{flight}}\)。
P1から出た音がAに届く時刻を \(t_{A1}\)、P2から出た音がAに届く時刻を \(t_{A2}\) とすると、観測される時間差は \(3.0 \text{ s} = t_{A2} – t_{A1}\)。
\(t_{A1} = (\text{飛行機がP1に到達した時刻}) + P_1A/V\), \(t_{A2} = (\text{飛行機がP2に到達した時刻}) + P_2A/V\)。
\(\Delta t_{\text{flight}} = (\text{飛行機がP2に到達した時刻}) – (\text{飛行機がP1に到達した時刻})\)。
よって、\(3.0 = \Delta t_{\text{flight}} + (P_2A – P_1A)/V\)。
高度を \(h\) とすると、\(P_2A = h\)。P1の真下からP2（真下）までの水平距離は \(x_{P1P2} = h/\tan\theta_1\)。\(P_1A = h/\sin\theta_1\)。
したがって、
$$3.0 = \frac{x_{P1P2}}{v} + \frac{h – P_1A}{V} \quad \cdots ⑫$$
（これは模範解答の \(3.0 = \frac{h/\sqrt{3}}{v} + \frac{h}{V} – \frac{(2/\sqrt{3})h}{V}\) の形に、\(\theta_1=60^\circ\) の場合を代入した形に帰着します。）

飛行機の速度 \(v\):
式⑩ \( \displaystyle\frac{Vf_0}{V+v} = \frac{1}{3} \frac{Vf_0}{V-v} \) の両辺から \(Vf_0\) を消去します (\(Vf_0 \neq 0\))。
$$\frac{1}{V+v} = \frac{1}{3(V-v)}$$
両辺の逆数をとるか、クロス乗算します。
$$3(V-v) = V+v$$
展開します。
$$3V – 3v = V+v$$
移項して整理します。
$$3V – V = v + 3v$$
$$2V = 4v$$
$$v = \frac{2V}{4} = \frac{1}{2}V$$
音速 \(V=3.4 \times 10^2 \text{ m/s}\) を代入します。
$$v = \frac{1}{2} \times (3.4 \times 10^2 \text{ m/s}) = 1.7 \times 10^2 \text{ [m/s]}$$

高度 \(h\):
まず、\(f_1\) と \(f_0\) の関係を確認します。\(v=V/2\) を式⑧に代入すると、
$$f_1 = \frac{Vf_0}{V-(V/2)} = \frac{Vf_0}{V/2} = 2f_0$$
振動数が最初の振動数 \(f_1\) の \(2/3\) 倍になるときの角度を \(\theta_1\) とします。このときの振動数 \(f_A = (2/3)f_1 = (2/3)(2f_0) = (4/3)f_0\)。
これをドップラー効果の式 \(f_A = \displaystyle\frac{Vf_0}{V-v\cos\theta_1}\) に代入し、\(v=V/2\) も用います。
$$\frac{4}{3}f_0 = \frac{Vf_0}{V-(V/2)\cos\theta_1}$$
両辺から \(f_0\) を消去し、\(V\) も約分できる部分を処理します。
$$\frac{4}{3} = \frac{V}{V(1-\frac{1}{2}\cos\theta_1)} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}\cos\theta_1}$$
$$4\left(1-\frac{1}{2}\cos\theta_1\right) = 3$$
$$4 – 2\cos\theta_1 = 3$$
$$2\cos\theta_1 = 1$$
$$\cos\theta_1 = \frac{1}{2}$$
よって、\(\theta_1 = 60^\circ\)。このときの飛行機の位置をP1とします。
振動数が最初の振動数 \(f_1\) の \(1/2\) 倍になるときの角度を \(\theta_2\) とします。この振動数は \(f_1/2 = (2f_0)/2 = f_0\)。
ドップラー効果の式より \(f_0 = \displaystyle\frac{Vf_0}{V-(V/2)\cos\theta_2}\)。
$$1 = \frac{V}{V-(V/2)\cos\theta_2}$$
$$V-(V/2)\cos\theta_2 = V$$
$$-(V/2)\cos\theta_2 = 0$$
よって \(\cos\theta_2 = 0\)、したがって \(\theta_2 = 90^\circ\)。このときの飛行機の位置をP2（観測点の真上）とします。

観測点Aから飛行経路までの高度を \(h\) とします。
P1（\(\theta_1=60^\circ\)）のとき、Aの真上の点（P2）とP1との水平距離は \(x_1 = h/\tan 60^\circ = h/\sqrt{3}\)。
P1からAまでの距離は \(d_1 = h/\sin 60^\circ = 2h/\sqrt{3}\)。
P2（\(\theta_2=90^\circ\)）のとき、P2からAまでの距離は \(d_2 = h\)。
飛行機がP1からP2まで飛行する時間は \(\Delta t_{\text{flight}} = x_1/v = (h/\sqrt{3}) / (V/2) = 2h/(V\sqrt{3})\)。
観測される時間差 \(3.0 \text{ s}\) は、音の到達時刻の差なので、
$$3.0 = (\text{P2からの音がAに到達する時刻}) – (\text{P1からの音がAに到達する時刻})$$
$$3.0 = (t_{P2} + d_2/V) – (t_{P1} + d_1/V) = (t_{P2}-t_{P1}) + (d_2-d_1)/V$$
ここで \(t_{P2}-t_{P1} = \Delta t_{\text{flight}}\) なので、
$$3.0 = \frac{2h}{V\sqrt{3}} + \frac{h – 2h/\sqrt{3}}{V}$$
$$3.0 = \frac{2h}{V\sqrt{3}} + \frac{h}{V} – \frac{2h}{V\sqrt{3}}$$
\(\displaystyle\frac{2h}{V\sqrt{3}}\) の項は打ち消し合います。
$$3.0 = \frac{h}{V}$$
したがって、
$$h = 3.0 \times V$$
\(V=3.4 \times 10^2 \text{ m/s}\) を代入すると、
$$h = 3.0 \times 3.4 \times 10^2 = 10.2 \times 10^2 = 1.02 \times 10^3 \text{ [m]}$$
有効数字を考慮し、模範解答に合わせて \(1.0 \times 10^3 \text{ m}\) とします。

(1)で求めた斜め方向のドップラー効果の式を使います。
まず、飛行機がすごく遠くから近づいてくるとき（角度0°）と、すごく遠くへ去っていくとき（角度180°）の振動数の比が \(1/3\) だという情報から、飛行機の速さ \(v\) を計算します。音速の半分だとわかります。
次に、聞こえる音が「最初のすごく高い音の2/3倍」になるときの飛行機の角度と、「最初のすごく高い音の1/2倍（これは真上の音と同じ高さ）」になるときの飛行機の角度（真上なので90°）を計算します。
飛行機がこれらの角度に対応する2点間を飛ぶのにかかる時間と、それぞれの点から出た音が観測者に届くまでの時間の差を組み合わせて、観測された3.0秒という時間差の式を立てます。この式を解くと、飛行機の高度 \(h\) が求まります。
計算の途中で、飛行機の速さが音速の半分であるという結果を使うと、時間差の式が非常に単純化され \(3.0 = h/V\) となります。

飛行機の速度 \(v = 1.7 \times 10^2 \text{ m/s}\)、高度 \(h = 1.0 \times 10^3 \text{ m}\) です。
速度が音速の半分というのは高速ですが、飛行機としてはあり得る範囲です。高度1000mも現実的な値です。計算過程では、特定の振動数に対応する角度を求め、その間の飛行時間と音の伝播時間を考慮した時間差の式を立てるという、幾何学と物理法則の組み合わせが重要でした。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果（斜め方向を含む）: 音源や観測者の運動により観測される振動数が変化する現象。特に、音源と観測者を結ぶ直線に対する速度成分が重要であること (\(v\cos\theta\))。公式 \(f = \displaystyle\frac{Vf_0}{V-v_s\cos\theta}\) (音源接近時) の導出過程とその意味の理解。
• 波の伝播時間と距離: 音が空間を伝わるのにかかる時間は (距離)/(速さ) であるという基本的な関係。音源が動く場合、連続する波が観測者に到達する時間間隔（観測される周期）が変化する。
• 近似計算: 微小量を含む物理量を扱う際に、\((1+x)^n \approx 1+nx\) のような近似式を適切に用いて式を簡略化する技術。本問では \(d \gg v/f_0\) という条件がその根拠となった。
• 幾何学の利用: 音源の位置、観測者の位置、音の伝播経路などが作る図形（特に三角形）において、余弦定理や三角比を用いて距離や角度を計算する能力。
• 観測される時間差: (2)で、音源が異なる位置から音を発した場合に、それらの音が観測者に到達する時刻の差が、音源の移動時間と音の伝播時間の組み合わせで決まること。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 音源や観測者が直線運動以外の運動（例えば円運動の一部）をする場合のドップラー効果（速度ベクトルと視線方向のなす角が変化する）。
  • 救急車や電車のサイレンの音が近づいて遠ざかる際にどう聞こえるか、といった日常的な現象の定量的分析。
  • 天文学において、星の光のドップラー効果（赤方偏移・青方偏移）から星の視線速度を求める問題の考え方の基礎。
  • レーダーやソナーなど、波の反射を利用して物体の速度や距離を測定する技術の原理説明。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 音源と観測者の相対的な運動状況: 速度ベクトル、位置関係、それらを結ぶ直線（視線）。
  2. 音の伝播経路と時間: 音がどの経路をどれだけの時間で伝わるか。音源が動く場合、連続する波の発射点が変わることに注意。
  3. 角度 \(\theta\) の定義: 斜め方向のドップラー効果では、速度ベクトルと視線方向のなす角 \(\theta\) が重要。図を描いて正確に把握する。
  4. 近似条件の有無とその適用: \(d \gg v/f_0\) のような条件があれば、近似計算で式を単純化できる可能性を考える。どの項が微小量で、どの項を無視できるか。
  5. 「観測される時間差」の意味: それが音源の移動時間そのものなのか、音の到達時刻の差なのかを区別する。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • ドップラー効果の公式を適用する際は、速度の成分分解 (\(v\cos\theta\)) が必要になる場合がある。
  • 近似計算は、条件を正しく理解し、適切な次数まで行う。高次の微小項を無視する判断。
  • 幾何学的な関係（特に角度や距離）を正確に求めることが、ドップラー効果の正しい計算に不可欠。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 斜め方向ドップラー効果での \(v\cos\theta\) の \(v\) の意味:
  • 現象: \(v\) を音源の速さそのものではなく、音速 \(V\) と混同したり、角度 \(\theta\) をかける対象を間違えたりする。
  • 対策: \(v\cos\theta\) は「音源の速度の、観測者と音源を結ぶ直線方向の成分」であることを明確に理解する。
• 近似計算の適用の誤り:
  • 現象: 近似条件 \(|x| \ll 1\) を満たさないのに \((1+x)^n \approx 1+nx\) を使ってしまう。あるいは、どの項を微小として無視すべきか判断を誤る。
  • 対策: 何が微小量なのか（本問では \(v/(f_0d)\)）を特定し、その2乗以上の項が他の主要な項に比べて十分に小さいことを確認する。近似は「\(1+\text{微小量}\)」の形にしてから行う。
• 時間の扱い（音源の移動時間と音の伝播時間の区別）:
  • 現象: (2)で、飛行機がある区間を移動する時間と、その区間の始点・終点から出た音が観測者に届く時間差を混同する。
  • 対策: 「飛行機がP1からP2へ飛ぶ時間」と「P1から出た音がAに届く時刻とP2から出た音がAに届く時刻の差」は異なることを明確に区別する。後者には音の伝播時間も含まれる。
• 幾何学的な設定ミス:
  • 現象: (2)で高度 \(h\) と角度 \(\theta\) から水平距離や斜辺の距離を求める際に、三角比の適用を誤る。
  • 対策: 常に直角三角形を描き、どの辺が \(h\) で、どの角が \(\theta\) かを明確にして、\(\sin, \cos, \tan\) を正しく使う。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • (1) 波面の伝播と音源の移動: 音源Pから出た波面1と、少し遅れて（1周期後）少し進んだP’から出た波面2が、観測点Aに時間差をもって到達する様子。P-P’-Aの三角形と角度\(\theta\)が重要。
  • (2) 飛行機の経路と観測点: 飛行機が直線上を飛び、観測点がその真下からずれた位置にある状況。飛行機の位置によって観測点Aとの距離と角度\(\theta\)が変化する。特に、\(\theta=0^\circ\)（遠方から接近）、\(\theta=90^\circ\)（真上）、\(\theta=180^\circ\)（遠方へ後退）といった特徴的な位置をイメージする。P1(\(\theta=60^\circ\))、P2(\(\theta=90^\circ\))の位置関係と、それらの点からAまでの音の経路、飛行機の移動経路を図示することが不可欠。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 音源の経路（直線L）、観測点A、点P（またはP1, P2）の位置関係を正確に描く。
  • 距離 \(d\) や高度 \(h\)、角度 \(\theta\) を図中に明記する。
  • 音源の速度ベクトル \(v\) の向きを示す。
  • 音波が音源から観測点へ向かう直線経路（視線）を描き、その方向と速度ベクトルのなす角が \(\theta\) であることを確認する。
  • (2)では、P1、P2、観測点A、およびP1,P2の真下の点を結んでできる直角三角形を正確に描き、辺の長さを \(h, \theta\) で表す。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(t = (\text{距離})/V\) (音の到達時間): 音が一定の速さで空間を伝播するという基本原理。
• 余弦定理: (1)(ア)で、音源が移動した後の新しい位置P’と観測点Aとの距離を、既知の2辺(PA, PP’)とその間の角の情報から求めるために使用。
• \((1+x)^n \approx 1+nx\) (二項近似): (1)(イ)で、複雑な平方根の式を、\(v/(f_0d)\) が微小量であるという条件の下で簡略化するために使用。物理ではよく現れる近似手法。
• \(f = Vf_0/(V-v_s\cos\theta)\) (斜めドップラー効果): (1)(イ)の最終結果であり、(2)で直接利用する。音源の速度の視線成分が振動数変化に寄与するという物理的状況を表す。
• 公式を適用する際には、その公式が持つ意味と、問題の状況が公式の適用条件を満たしているか（例：近似条件は成り立つか、角度\(\theta\)の定義は何か）を確認することが重要。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)(ア) 時間差\(T\)の定義の理解: 「1周期後に出る音波」との「到達時間差」が観測される周期になる。
2. 幾何学による距離計算: 音源の移動後の位置P’とAとの距離P’Aを余弦定理で正確に表す。
3. 到達時刻の差の立式: \(t_1 = d/V\), \(t_2 = 1/f_0 + P’A/V\) から \(T=t_2-t_1\) を計算。
4. (1)(イ) 近似計算の実行: P’Aの平方根の項を、\(v/(f_0d) \ll 1\) を利用して二項近似で展開し、1次の微小項まで残す。
5. 振動数\(f\)の導出: 近似した \(T\) から \(f=1/T\) を計算し、斜めドップラー効果の式を導く。
6. (2) ドップラー効果の公式の適用: \(f_1 (\theta=0^\circ)\) と \(f_2 (\theta=180^\circ)\) を(1)(イ)の式から求め、\(f_2/f_1=1/3\) の条件から \(v\) を決定。
7. 特定振動数と角度の関係: \(f=(2/3)f_1\) や \(f=(1/2)f_1\) (実際は\(f_0\)) となる角度 \(\theta\) を求める。
8. 時間差の式の構築: 飛行機が特定角度の2点間を移動する時間と、それらの点から出た音が観測点に到達する時間の差を考慮して、観測された3.0秒との等式を立てる。
9. 連立方程式の解法: 速度 \(v\) と高度 \(h\) を未知数とする方程式を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似計算の精度: どの項まで残し、どの項を無視するかを、近似条件に基づいて正しく判断する。\((v/(f_0d))^2\) のような高次の微小項は無視。
• 三角関数の値: \(\cos 0^\circ=1, \cos 60^\circ=1/2, \cos 90^\circ=0, \cos 180^\circ=-1\) などを正確に使う。
• 文字式の計算: \(V, v, f_0, d, h, \theta\) など多くの文字が含まれる式の変形や代入を丁寧に行う。特に(2)の時間差の式を立ててから \(h\) を求めるまでの計算は複雑。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が物理量として適切か（速度なら m/s, 距離なら m）。
• 符号のミス: 特に \(\cos\theta\) の値や、式の移項時に符号を間違えないように注意。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• (1)(イ)の近似結果の妥当性: 得られた \(f = Vf_0/(V-v\cos\theta)\) が、よく知られた斜めドップラー効果の公式と一致することを確認する。もし \(\theta=0^\circ\) なら \(f = Vf_0/(V-v)\) (近づく場合)、\(\theta=90^\circ\) なら \(f=f_0\) (真横を通過)、\(\theta=180^\circ\) なら \(f = Vf_0/(V+v)\) (遠ざかる場合) となり、直感的な結果と合うか。
• (2)の \(v\) の値: \(v=V/2 = 1.7 \times 10^2 \text{ m/s}\)。音速の半分であり、飛行機の速度としてあり得る範囲か。マッハ0.5程度。
• (2)の \(h\) の値: \(h \approx 1.0 \times 10^3 \text{ m}\)。飛行機の高度として妥当な範囲か。
• 時間差の式の物理的意味: (2)で \(3.0 = h/V\) という単純な関係になったのは、\(v=V/2\) という特殊な条件により、飛行機の移動時間と音の伝播時間の項がうまく相殺された結果。この特殊性を理解する。もし \(v\) が異なる値なら、\(h\) を求める式はもっと複雑になる。
• 近似条件 \(d \gg v/f_0\) が、(2)の飛行機の状況で暗に満たされているか（高度 \(h\) が \(d\) に相当し、\(v/f_0\) は1周期に進む距離なので、\(h\) がこの距離より十分大きい状況を想定している）。

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