問題70 ドップラー効果 (福井大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説では、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 設問(1)〜(3)の別解: 相対速度を用いた解法
- 模範解答が波の広がる範囲（幾何学的アプローチ）から考えるのに対し、別解では観測者から見た波の相対速度と波長の定義から直接振動数を導きます。
- 設問(10)(11)の別解: 相対速度と距離の縮小を用いた数式解法
- 模範解答（メイン解法）が時空図を用いて視覚的に解くのに対し、別解では「距離 = 相対速度 × 時間」の関係式を連立させて代数的に解きます。
- 全設問の別解: 微積分を用いた体系的解法（位相関数による一括導出）
- ドップラー効果の公式や波長の定義を個別に適用するのではなく、波動の根本定義である「位相」と「伝播遅延」に着目し、全ての設問（振動数変化から距離の測定まで）を一つの原理から統一的に導きます。
- 設問(1)〜(3)の別解: 相対速度を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 相対速度の解法: 公式を忘れても、物理的な原理から導き出せる応用力が身につきます。
- 数式解法: グラフを描くのが難しい場合や、より複雑な速度変化がある場合に、厳密な計算で対処できます。
- 微積分の解法: 公式を暗記していなくても、物理原理から現象を記述できるため、加速度運動など複雑な設定にも対応できる応用力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「動く音源と動く反射体によるドップラー効果、および音波を用いた距離測定」です。
音源と反射体が互いに近づく状況での波長や振動数の変化を段階的に追い、最終的にその原理を応用して距離を測定する方法を考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の基本式: 波の速さ \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(V = f\lambda\) の関係があります。
- 相対速度と波の観測: 観測者が動く場合、観測者に対する波の相対速度を用いて、単位時間に受け取る波の数を考えます。
- ドップラー効果の原理: 音源が動くと波長が変化し、観測者が動くと受け取る波の速さ（相対速度）が変化します。
- 時空図（\(x-t\) グラフ）: 物体の運動と波の伝播をグラフ上に描くことで、衝突時刻や位置関係を視覚的に把握できます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)〜(3)では、音源が動くことによる波の圧縮（波長の変化）を幾何学的に考えます。
- (4)〜(7)では、動く反射体が波を受け取り、新たな音源として波を再放射する過程を追います。
- (8)(9)では、音源と共に動く観測者が受ける振動数を求め、そこから反射体の速さを逆算します。
- (10)(11)では、時空図を用いて音波の往復時間を幾何学的に解析し、距離を求めます。
問(1)〜(3)
思考の道筋とポイント
音源Sは左向きに速さ \(u\) で進みながら、左向きに音波（速さ \(V\)）を出しています。
1秒間の出来事をスナップショットとして考えます。
1秒間に音源は \(f_0\) 個の波を出します。
この1秒間で、最初に出た波の先端は音速 \(V\) で \(V \times 1 = V\) だけ進みます。
一方、最後に出た波（音源の位置）は、音源の速さ \(u\) で \(u \times 1 = u\) だけ進みます。
この間に存在する \(f_0\) 個の波が、どの範囲に押し込められているかを考えます。
この設問における重要なポイント
- 波の数: 1秒間に出る波の数は、振動数 \(f_0\) に等しいです。
- 波の範囲: 音源が動く方向（波の進行方向）では、波が存在する範囲が縮みます。
具体的な解説と立式
1秒間に音源Sが出した \(f_0\) 個の波の先端は、音源から見て前方（左方向）に \(V\,[\text{m}]\) 進んでいます。
一方、音源S自身も同じ方向（左方向）に \(u\,[\text{m}]\) 進んでいます。
したがって、\(f_0\) 個の波は、先端と後端（現在の音源の位置）の間の距離 \(L\) に分布しています。
$$
\begin{aligned}
L &= V – u
\end{aligned}
$$
これが(1)の答えです。
この範囲 \(L\) に \(f_0\) 個の波が詰まっているので、1個あたりの波の長さ（波長）\(\lambda\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{L}{f_0}
\end{aligned}
$$
静止している観測者Aにとって、音速は \(V\) で一定です。
観測される振動数 \(f_A\) は、波の基本式 \(V = f\lambda\) より、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_A &= \frac{V}{\lambda}
\end{aligned}
$$
- 距離 = 速さ × 時間
- 波長 = 波の存在する長さ / 波の数
- 波の基本式: \(V = f\lambda\)
計算過程
(2)の式に \(L\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{V-u}{f_0}
\end{aligned}
$$
(3)の式に \(\lambda\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_A &= \frac{V}{(V-u)/f_0} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V-u}f_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
音源が波を追いかけながら出しているので、波と波の間隔（波長）が縮まります。
1秒間で波は \(V\) 進みますが、音源も \(u\) 進むので、波が並ぶスペースは \(V-u\) しかありません。
この狭いスペースに \(f_0\) 個の波が詰め込まれるので、波長は短くなります。
静止している人は、この短くなった波長が速さ \(V\) で通過するのを聞くので、高い音（振動数の大きい音）として観測します。
結論と吟味
音源が近づく場合、波長は短くなり、振動数は高くなるはずです。
\(\lambda = \frac{V-u}{f_0}\) は \(u>0\) なら小さくなり、\(f_A = \frac{V}{V-u}f_0\) は大きくなるので、物理的に妥当です。
解答 (2) \(\displaystyle \frac{V-u}{f_0}\)
解答 (3) \(\displaystyle \frac{V}{V-u}f_0\)
思考の道筋とポイント
公式を忘れてしまった場合でも、波の基本式 \(V = f\lambda\) と相対速度の考え方から導出できます。
音源から見た波の速さと、観測者から見た波の速さを区別して考えます。
この設問における重要なポイント
- 波長の変化: 音源が動くと、波長 \(\lambda\) が変化します。
- 相対速度: 観測者が動くと、観測者に対する波の相対速度 \(V’\) が変化します。
具体的な解説と立式
波長の導出
音源Sは速度 \(u\) で進みながら音を出します。
音源の前方では、波が縮みます。
1周期 \(T_0 = 1/f_0\) の間に、波は \(V T_0\) 進み、音源は \(u T_0\) 進むので、波長 \(\lambda\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= V T_0 – u T_0 = (V-u) \frac{1}{f_0}
\end{aligned}
$$
これが(2)の答えです。
振動数の導出
静止している観測者Aにとって、波の速さは \(V\) のままです。
よって、Aが観測する振動数 \(f_A\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_A &= \frac{V}{\lambda} = \frac{V}{(V-u)/f_0} = \frac{V}{V-u} f_0
\end{aligned}
$$
これが(3)の答えです。
問(4)〜(7)
思考の道筋とポイント
反射体Rは右向きに速さ \(v\) で進んでいます。左から来る音波（速さ \(V\)）に向かって進む形になります。
まず、Rが単位時間に何個の波と出会うか（＝何個の波を反射するか）を考えます。
次に、Rが反射した波（右向きに進む）の波長を考えます。R自身も右向きに動いていることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント
- 相対速度: Rは音波に向かって進むので、Rから見た音波の相対速度は \(V+v\) です。
- 反射波の波長: Rは「動く観測者」として波を受け取り、即座に「動く音源」として波を再放射します。
具体的な解説と立式
Rが受け取る波の数
Rは速さ \(v\) で音波（速さ \(V\)）に向かって進みます。
Rに対する音波の相対速度は \(V+v\) です。
音波の波長は(2)で求めた \(\lambda = \frac{V-u}{f_0}\) です。
Rが1秒間に受け取る波の数 \(N_R\)（＝反射する数）は、相対速度を波長で割ったものになります。
$$
\begin{aligned}
N_R &= \frac{V+v}{\lambda}
\end{aligned}
$$
反射波の波長
Rは1秒間に \(N_R\) 個の波を右向きに反射します。
反射波の先端は、1秒間に右へ \(V\) 進みます。
R自身も1秒間に右へ \(v\) 進みます。
したがって、反射波が存在する範囲 \(L’\) は、先端と後端（Rの位置）の差となります。
$$
\begin{aligned}
L’ &= V – v
\end{aligned}
$$
この範囲に \(N_R\) 個の波があるので、反射波の波長 \(\lambda’\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{L’}{N_R}
\end{aligned}
$$
Aが観測する反射波の振動数
静止している観測者Aにとって、反射波の速さは \(V\) です。
Aが観測する反射波の振動数 \(f_A’\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_A’ &= \frac{V}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
- 相対速度による振動数: \(f’ = \frac{V_{\text{相対}}}{\lambda}\)
- 波長 = 波の範囲 / 波の数
計算過程
\(N_R\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
N_R &= \frac{V+v}{(V-u)/f_0} \\[2.0ex]
&= \frac{V+v}{V-u}f_0
\end{aligned}
$$
\(\lambda’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{V-v}{N_R} \\[2.0ex]
&= \frac{V-v}{\frac{V+v}{V-u}f_0} \\[2.0ex]
&= \frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}
\end{aligned}
$$
\(f_A’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_A’ &= \frac{V}{\lambda’} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{\frac{(V-v)(V-u)}{(V+v)f_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{V(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
反射体Rは波に向かって走っていくので、じっとしている時よりもたくさんの波とぶつかります。これが「受け取る波の数」が増える理由です。
次に、Rはその波を跳ね返しますが、R自身が跳ね返す方向（右）に動いています。これは「音源が波を追いかけながら出す」のと同じ状況なので、反射波の波長は縮みます。
結果として、反射波は「たくさん受け取った」効果と「追いかけて出した」効果のダブルパンチで、非常に波長が短く（振動数が高く）なります。
結論と吟味
音源Sも反射体Rも互いに近づく向きに動いているため、ドップラー効果が二重に働き、振動数は元の \(f_0\) よりもかなり高くなるはずです。
式を見ると、分母に \((V-v)(V-u)\)（1より小さい係数の積）、分子に \(V(V+v)\) があり、全体として \(f_0\) より大きくなることが確認できます。
解答 (5) \(V-v\)
解答 (6) \(\displaystyle \frac{(V-u)(V-v)}{(V+v)f_0}\)
解答 (7) \(\displaystyle \frac{V(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0\)
問(8)
思考の道筋とポイント
観測者Bは音源Sの上に乗っているので、左向きに速さ \(u\) で動いています。
右から来る反射波（速さ \(V\)）に向かって進む形になります。
Bが観測する振動数 \(f_B\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 観測者の移動: Bは反射波に向かって動くので、相対速度が増加します。
具体的な解説と立式
Bは左へ \(u\)、反射波は右へ \(V\) で進みます。
Bに対する反射波の相対速度は \(V+u\) です。
Bが1秒間に受け取る反射波の範囲は \(V+u\,[\text{m}]\) となります。
反射波の波長は(6)で求めた \(\lambda’\) です。
Bが観測する振動数 \(f_B\) は、相対速度を波長で割って求められます。
$$
\begin{aligned}
f_B &= \frac{V+u}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
- 相対速度による振動数: \(f’ = \frac{V_{\text{相対}}}{\lambda}\)
計算過程
\(\lambda’ = \frac{(V-u)(V-v)}{(V+v)f_0}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_B &= \frac{V+u}{\frac{(V-u)(V-v)}{(V+v)f_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
Bさんは反射波に向かって突っ込んでいくので、波とすれ違う速さが速くなります。
そのため、静止している人よりもさらに多くの波を受け取ることになり、より高い音を聞きます。
結論と吟味
BもRに近づく方向に動いているため、Aが聞く振動数よりもさらに高くなるはずです。
式を比較すると、\(f_A’\) の分子が \(V(V+v)\) であるのに対し、\(f_B\) は \((V+u)(V+v)\) となっており、\(u>0\) なので確かに大きくなっています。
問(9)
思考の道筋とポイント
(8)で求めた式を、反射体の速さ \(v\) について解きます。
\(f_B, f_0, V, u\) は既知の値として扱います。
具体的な解説と立式
(8)の式を変形します。
$$
\begin{aligned}
f_B &= \frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0
\end{aligned}
$$
両辺に \((V-u)(V-v)\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
f_B (V-u)(V-v) &= f_0 (V+u)(V+v)
\end{aligned}
$$
- 特になし（代数計算）
計算過程
展開して \(v\) を含む項をまとめます。
$$
\begin{aligned}
f_B (V^2 – Vv – Vu + uv) &= f_0 (V^2 + Vv + Vu + uv)
\end{aligned}
$$
\(v\) について整理します。左辺に \(v\) の項、右辺にそれ以外を集めます。
$$
\begin{aligned}
– f_B V v + f_B u v – f_0 V v – f_0 u v &= f_0 (V^2 + Vu) – f_B (V^2 – Vu) \\[2.0ex]
v [ -V(f_B + f_0) + u(f_B – f_0) ] &= V^2(f_0 – f_B) + Vu(f_0 + f_B)
\end{aligned}
$$
両辺に \(-1\) を掛けて符号を整えます。
$$
\begin{aligned}
v [ V(f_B + f_0) – u(f_B – f_0) ] &= V^2(f_B – f_0) – Vu(f_B + f_0) \\[2.0ex]
v [ V(f_B + f_0) – u(f_B – f_0) ] &= V [ V(f_B – f_0) – u(f_B + f_0) ]
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{V(f_B – f_0) – u(f_B + f_0)}{V(f_B + f_0) – u(f_B – f_0)} V
\end{aligned}
$$
さらに整理すると、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{(V-u)f_B – (V+u)f_0}{(V-u)f_B + (V+u)f_0} V
\end{aligned}
$$
となります。
この設問の平易な説明
観測された振動数 \(f_B\) から、相手の速度 \(v\) を逆算する式です。
これはスピードガンやレーダーの原理そのものです。
結論と吟味
次元を確認すると、分母分子ともに振動数×速度の次元なので、全体として速度の次元になり正しいです。
もし \(f_B = f_0\) なら \(v\) はどうなるでしょうか？
分子が \((V-u) – (V+u) = -2u\) となり、\(v\) が負になります。これは遠ざかっていることを意味し、妥当です。
問(10)
思考の道筋とポイント
音波を出した時点でのBとRの距離を \(l\) とします。
音波がRに届くまでの時間 \(t_1\) と、反射波がBに戻ってくるまでの時間 \(t_2\) の和が \(t_0\) です。
模範解答に従い、時空図（\(x-t\) グラフ）を用いて幾何学的に解きます。
横軸に時間 \(t\)、縦軸に位置 \(x\) をとります。
この設問における重要なポイント
- グラフの傾き: \(x-t\) グラフの傾きは速度を表します。
- 相似な三角形: グラフ上に現れる三角形の相似比を利用して時間を求めます。
具体的な解説と立式
座標軸を左向き正にとります。
S(B)の位置は \(x_S(t) = ut\)、Rの位置は \(x_R(t) = l – vt\) です（初期距離 \(l\)）。
音波（往路）は \(t=0\) に \(x=0\) を出発し、速さ \(V\) で進むので \(x_w(t) = Vt\) です。
音波がRに到達する時刻を \(t_1\) とします。
このとき、\(x_w(t_1) = x_R(t_1)\) が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
Vt_1 &= l – vt_1
\end{aligned}
$$
反射波（復路）は時刻 \(t_1\) に位置 \(x_1 = Vt_1\) で反射し、右向き（負の方向）に速さ \(V\) で戻ります。
反射波の式は \(x(t) = -V(t – t_1) + x_1\) です。
これがBの位置 \(x_B(t) = ut\) と交わる時刻が \(t_0\) です。
$$
\begin{aligned}
ut_0 &= -V(t_0 – t_1) + Vt_1
\end{aligned}
$$
- 位置 = 初期位置 + 速度 × 時間
計算過程
まず \(t_1\) を \(l\) で表します。
$$
\begin{aligned}
(V+v)t_1 &= l \\[2.0ex]
t_1 &= \frac{l}{V+v}
\end{aligned}
$$
次に \(t_0\) の式を整理します。
$$
\begin{aligned}
ut_0 &= -Vt_0 + Vt_1 + Vt_1 \\[2.0ex]
(V+u)t_0 &= 2Vt_1
\end{aligned}
$$
これに \(t_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
(V+u)t_0 &= 2V \frac{l}{V+v}
\end{aligned}
$$
\(l\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
l &= \frac{(V+u)(V+v)}{2V} t_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
グラフを描くと、音波が行って帰ってくる軌跡は「くの字」型になります。
音源と反射体も動いているので、行きと帰りで距離が変わります。
行きの衝突点と帰りの衝突点の関係を、直線の式（グラフの交点）として計算しました。
結論と吟味
\(u=0, v=0\) （静止している場合）とすると、\(l = \frac{V^2}{2V} t_0 = \frac{V t_0}{2}\) となり、往復距離 \(2l = V t_0\) と一致します。正しいです。
問(11)
思考の道筋とポイント
反射音がBに帰ってきた時点（時刻 \(t_0\)）でのBとRの距離 \(x\) を求めます。
時空図上で、時刻 \(t_0\) における \(x_R(t_0)\) と \(x_B(t_0)\) の差を計算します。
この設問における重要なポイント
- 位置の差: 求める距離 \(x\) は \(x_R(t_0) – x_B(t_0)\) です。
具体的な解説と立式
時刻 \(t_0\) におけるRの位置 \(x_R(t_0)\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
x_R(t_0) &= l – vt_0
\end{aligned}
$$
時刻 \(t_0\) におけるBの位置 \(x_B(t_0)\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
x_B(t_0) &= ut_0
\end{aligned}
$$
求める距離 \(x\) はその差です。
$$
\begin{aligned}
x &= x_R(t_0) – x_B(t_0) \\[2.0ex]
&= l – vt_0 – ut_0 \\[2.0ex]
&= l – (u+v)t_0
\end{aligned}
$$
- 距離 = 位置の差
計算過程
(10)の結果 \(l = \frac{(V+u)(V+v)}{2V} t_0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{(V+u)(V+v)}{2V} t_0 – (u+v)t_0 \\[2.0ex]
&= t_0 \left[ \frac{V^2 + Vv + Vu + uv}{2V} – \frac{2V(u+v)}{2V} \right] \\[2.0ex]
&= t_0 \frac{V^2 + Vv + Vu + uv – 2Vu – 2Vv}{2V} \\[2.0ex]
&= t_0 \frac{V^2 – Vv – Vu + uv}{2V} \\[2.0ex]
&= t_0 \frac{(V-u)(V-v)}{2V}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{(V-u)(V-v)}{2V} t_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
最初の距離 \(l\) から、往復にかかった時間 \(t_0\) の間に、お互いが近づいた距離 \((u+v)t_0\) を引くことで、最終的な距離が求まります。
結論と吟味
\(u=0, v=0\) の場合、\(x = \frac{V^2}{2V} t_0 = l\) となり、距離が変わらないので正しいです。
思考の道筋とポイント
時空図を描かずに、相対速度と距離の関係式だけで解きます。
往路と復路で、それぞれ「距離 = 相対速度 × 時間」の式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 往路の相対速度: 音波（速さ \(V\)）とR（速さ \(v\)）は向かい合っているので、相対的に近づく速さは \(V+v\) です。
- 復路の相対速度: 反射波（速さ \(V\)）とB（速さ \(u\)）は向かい合っているので、相対的に近づく速さは \(V+u\) です。
- 距離の変化: 往路の時間 \(t_1\) の間に、S(B)とRは互いに近づいています。
具体的な解説と立式
往路（S→R）
初期距離は \(l\) です。
音波とRが互いに近づく速さは \(V+v\) です。
音波がRに到達する時間 \(t_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{l}{V+v}
\end{aligned}
$$
復路（R→B）
音波がRに到達した時刻 \(t_1\) において、S(B)とRの距離 \(l_1\) は、初期距離 \(l\) から「SとRが \(t_1\) 間に近づいた距離」を引いたものです。
Sは左へ \(u\)、Rは右へ \(v\) なので、SとRの相対接近速度は \(u+v\) です。
$$
\begin{aligned}
l_1 &= l – (u+v)t_1
\end{aligned}
$$
反射波とBが互いに近づく速さは \(V+u\) です。
反射波がBに到達する時間 \(t_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{l_1}{V+u}
\end{aligned}
$$
合計時間 \(t_0\)**
$$
\begin{aligned}
t_0 &= t_1 + t_2
\end{aligned}
$$
この式に \(t_1, t_2\) を代入して \(l\) を求めます。
- 時間 = 距離 / 相対速度
計算過程
$$
\begin{aligned}
t_0 &= t_1 + \frac{l – (u+v)t_1}{V+u} \\[2.0ex]
&= t_1 + \frac{l}{V+u} – \frac{u+v}{V+u}t_1 \\[2.0ex]
&= t_1 \left( 1 – \frac{u+v}{V+u} \right) + \frac{l}{V+u}
\end{aligned}
$$
括弧内を通分します。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{u+v}{V+u} &= \frac{V+u – (u+v)}{V+u} = \frac{V-v}{V+u}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
t_0 &= t_1 \frac{V-v}{V+u} + \frac{l}{V+u}
\end{aligned}
$$
\(t_1 = \frac{l}{V+v}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_0 &= \frac{l}{V+v} \cdot \frac{V-v}{V+u} + \frac{l}{V+u} \\[2.0ex]
&= \frac{l}{V+u} \left( \frac{V-v}{V+v} + 1 \right)
\end{aligned}
$$
括弧内を通分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{V-v}{V+v} + 1 &= \frac{V-v + V+v}{V+v} = \frac{2V}{V+v}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
t_0 &= \frac{l}{V+u} \cdot \frac{2V}{V+v} = \frac{2Vl}{(V+u)(V+v)}
\end{aligned}
$$
\(l\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
l &= \frac{(V+u)(V+v)}{2V} t_0
\end{aligned}
$$
この設問の平易な説明
グラフを描かずに、相対速度を使って「距離÷速さ＝時間」の計算を積み重ねました。
行きと帰りで距離が変わることを、\(l_1 = l – (u+v)t_1\) という式で表現しています。
結論と吟味
メイン解法と同じ結果が得られます。
思考の道筋とポイント
波動現象の根本である「位相 \(\Phi\)」と「伝播遅延」に着目します。
音源が時刻 \(\tau\) に発した位相 \(\Phi_S(\tau)\) は、伝播遅延を経て時刻 \(t\) に観測者に到達します。
この関係式を微分すれば振動数（ドップラー効果）が、そのまま解けば距離と時間の関係が得られます。
この設問における重要なポイント
- 位相の不変性: 音源から出た波の山（特定の位相）は、空間を伝わってもその位相値を保ちます。
- 伝播遅延方程式: 到達時刻 \(t\) = 発射時刻 \(\tau\) + (距離 / 音速)
具体的な解説と立式
座標軸を左向き正にとります。
S(B)の位置: \(x_S(t) = ut\)。
Rの位置: \(x_R(t) = l – vt\) （\(l\) は \(t=0\) での距離）。
音源の位相: \(\Phi_S(\tau) = 2\pi f_0 \tau\)。
Step 1: 往路（S \(\to\) R）
時刻 \(\tau\) にSを出た波が、時刻 \(t_1\) にRに到達するとします。
距離 \(D_1 = x_R(t_1) – x_S(\tau) = l – vt_1 – u\tau\)。
伝播遅延の式:
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \tau + \frac{D_1}{V} = \tau + \frac{l – vt_1 – u\tau}{V}
\end{aligned}
$$
整理して \(t_1\) を \(\tau\) で表します。
$$
\begin{aligned}
Vt_1 &= V\tau + l – vt_1 – u\tau \\[2.0ex]
(V+v)t_1 &= (V-u)\tau + l \\[2.0ex]
t_1 &= \frac{V-u}{V+v}\tau + \frac{l}{V+v} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
この式を \(\tau\) で微分すると、Rが観測する振動数 \(f_R\) が求まります。
$$
\begin{aligned}
\frac{dt_1}{d\tau} &= \frac{V-u}{V+v} \\[2.0ex]
f_R &= f_0 \left( \frac{dt_1}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{V+v}{V-u}f_0
\end{aligned}
$$
これは(4)の結果と一致します。
Step 2: 復路（R \(\to\) B）
時刻 \(t_1\) にRで反射された波が、時刻 \(t\) にBに到達するとします。
反射波は右向き（負の方向）に進むので、距離 \(D_2 = x_R(t_1) – x_B(t) = (l – vt_1) – ut\)。
伝播遅延の式:
$$
\begin{aligned}
t &= t_1 + \frac{D_2}{V} = t_1 + \frac{l – vt_1 – ut}{V}
\end{aligned}
$$
整理して \(t\) を \(t_1\) で表します。
$$
\begin{aligned}
Vt &= Vt_1 + l – vt_1 – ut \\[2.0ex]
(V+u)t &= (V-v)t_1 + l \\[2.0ex]
t &= \frac{V-v}{V+u}t_1 + \frac{l}{V+u} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
①を②に代入して、最終的な到達時刻 \(t\) と発射時刻 \(\tau\) の関係を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{V-v}{V+u} \left( \frac{V-u}{V+v}\tau + \frac{l}{V+v} \right) + \frac{l}{V+u} \\[2.0ex]
&= \frac{(V-v)(V-u)}{(V+u)(V+v)}\tau + \frac{l(V-v)}{(V+u)(V+v)} + \frac{l(V+v)}{(V+u)(V+v)} \\[2.0ex]
&= \frac{(V-v)(V-u)}{(V+u)(V+v)}\tau + \frac{2Vl}{(V+u)(V+v)} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
Step 3: 振動数と距離の導出
振動数 \(f_B\) (8)
式③を \(\tau\) で微分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{dt}{d\tau} &= \frac{(V-v)(V-u)}{(V+u)(V+v)}
\end{aligned}
$$
振動数は時間の進み方の逆比なので、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_B &= f_0 \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{-1} = \frac{(V+u)(V+v)}{(V-u)(V-v)}f_0
\end{aligned}
$$
(8)と完全に一致します。
距離 \(l\) (10)
問題の設定では、音波を出した時点（\(\tau=0\)）での往復時間を \(t_0\) としています。
式③に \(\tau=0, t=t_0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_0 &= \frac{2Vl}{(V+u)(V+v)}
\end{aligned}
$$
これを \(l\) について解けば、(10)の答えが得られます。
- 伝播遅延の式: \(t = \tau + \frac{|x_O – x_S(\tau)|}{V}\)
- 振動数の定義: \(f = \frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt}\)
計算過程
（解説内で計算済み）
この設問の平易な説明
「いつ出した音が、いつ届くか」という時刻の関係式を、距離と音速から厳密に導きました。
音源が動くことで、発射時刻 \(\tau\) と到達時刻 \(t\) の比例関係（時間の進み方のズレ）が変化します。
このズレが、振動数の変化（ドップラー効果）の本質です。
また、\(\tau=0\) のときの \(t\) が往復時間 \(t_0\) になることから、距離 \(l\) も自然に求まりました。
結論と吟味
全ての設問の答えが、一つの原理から導き出されました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果の多段階適用
- 核心: 音源、反射体、観測者がすべて動く複雑な状況でも、現象を「音源→反射体（観測＋再放射）→観測者」という素過程に分解すれば、基本的なドップラー効果の公式を繰り返し適用するだけで解けます。
- 理解のポイント:
- 反射体の二面性: 反射体は「動く観測者」として波を受け取り、即座に「動く音源」として波を送り出します。
- 相対速度の活用: 公式を忘れても、「近づくときは振動数アップ」「遠ざかるときはダウン」という定性的な理解と、相対速度の概念があれば導出可能です。
- 時空図（x-tグラフ）による運動の可視化
- 核心: 物体の運動と波の伝播をグラフ上に描くことで、衝突時刻や位置関係といった幾何学的な情報を、複雑な連立方程式を解くことなく視覚的に把握・導出できます。
- 理解のポイント:
- 傾きの意味: グラフの傾きは速度を表します。音波の傾きは常に一定（\(\pm V\)）です。
- 交点の意味: 直線の交点は、波が物体に到達した瞬間（イベント）を表します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 風がある場合: 音速 \(V\) を \(V+W\)（追い風）や \(V-W\)（向かい風）に置き換えるだけで、時空図や相対速度の考え方はそのまま使えます。
- 斜め方向の運動: 速度ベクトルを音の進行方向に分解し、その成分（\(v \cos \theta\)）のみをドップラー効果の計算に用います。
- 加速する物体: 時空図では曲線になりますが、微小時間で見れば接線（瞬間速度）として扱えます。微積分アプローチが特に有効です。
- 初見の問題での着眼点:
- プロセスの分解: 「誰が音を出して、誰が聞いて、誰が反射したか」を整理し、ステップごとに振動数を計算します。
- 符号の確認: 「近づく＝高くなる」「遠ざかる＝低くなる」という原則を常に意識し、計算結果の符号が正しいか検算します。
- グラフの活用: 状況が複雑で頭の中でイメージしにくい場合は、迷わず \(x-t\) グラフを描いて状況を整理します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 反射体の速度の符号ミス:
- 誤解: 反射体が動くとき、観測者としての速度と音源としての速度の符号を混同してしまう。
- 対策: 「音源に向かう（観測者として）」ときはプラス、「観測者に向かう（音源として）」ときもプラス（振動数が上がる方向）と、常に「振動数がどうなるか」を基準に符号を決定します。
- 往復時間の計算ミス:
- 誤解: 往復距離を単純に \(2L\) とし、行きと帰りで距離が変わることを忘れてしまう。
- 対策: 「行き」の時間と「帰り」の時間を別々に計算するか、時空図を描いて幾何学的に解くことで、距離の変化を確実に反映させます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 時空図（x-tグラフ）を用いた解法（問10, 11）:
- 選定理由: 複数の物体が動き、かつ時間差を扱う問題では、数式だけで処理すると変数が多くなり計算ミスを誘発しやすいため。グラフなら交点として視覚的に解ける。
- 適用根拠: 等速直線運動と一定速度の波の伝播という条件が揃っているため、直線のみで作図でき、相似比などが使いやすい。
- 微積分を用いた体系的解法（別解）:
- 選定理由: 公式の暗記に頼らず、物理現象の根本（位相と遅延）から全ての答えを導けるため、応用力と深い理解を養うのに最適。
- 適用根拠: 波動現象は数学的には位相関数の伝播として記述されるため、このアプローチは物理的に最も厳密で汎用性が高い。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元解析（単位チェック）:
- 意識: 導出した文字式の次元が正しいか常に確認する。
- 実践: 例えば振動数の式なら、分母分子の速度の次元がキャンセルされて \([T^{-1}]\) になっているか。距離の式なら \([L]\) になっているかを確認する。
- 極限的なケースでの検算:
- 意識: 変数を \(0\) にしたり、特殊な値（\(u=v\)など）にした時の挙動を確認する。
- 実践: \(u=0, v=0\) とした時に、静止時のドップラー効果なしの式や、単純な距離計算の式に戻るかをチェックする。
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問題71 (大阪工大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、運動する物体（音源を兼ねる）の異なる点から発せられる音波を、物体上の中点および静止点で観測する際のドップラー効果と、音の伝播時間、うなりについて考察するものです。後半では、風が吹いている場合の影響も問われます。
- 物体AB: 長さ \(2d\)、中点M。
- 物体ABの運動: 速さ \(u\) で直線Lの上を右へ動く。
- 時刻 \(t=0\) の位置:
- 点O（静止観測点）は原点 \(x=0\) に位置する。
- 物体ABの中点Mは点Oと一致 (\(x_M(0)=0\))。
- 先端A（音源A）はMから右に \(d\) の位置 (\(x_A(0)=+d\))。
- 後端B（音源B）はMから左に \(d\) の位置 (\(x_B(0)=-d\))。
- 音の放出: 時刻 \(t=0\) から \(t=T\) までの間、先端Aおよび後端Bから振動数 \(f_0\) の音を発した。
- 観測点:
- 点M: 物体ABの中点（物体と共に速さ \(u\) で右へ動く）。
- 点O: 静止点（原点）。
- 音速: \(V\)。
- 条件: \(V>u\), \(d>uT\)。点Oと直線Lとの距離は無視できる。
- 後半の条件 (問5, 6, Q):
- 風: 物体ABの運動方向と同じ向き（右向き）に、速さ \(u\) で吹いている。
- (1) 先に音を聞くのは、点Mと点Oのうちどちらか。また、その時刻はいつか。（「Aからの音」について）
- (2) 点Mにおいて、Aからの音が聞こえている時間はどれだけか。
- (3) 点Oにおいて、Aからの音が聞こえている時間はどれだけか。
- (4) 点Oで聞くうなりの振動数はいくらか。また、うなりが聞こえている時間はどれだけか。
- (風がある場合)
- (5) 点Mで聞くAからの音の振動数はいくらか。
- (6) 点Oで聞くうなりの振動数はいくらか。
- (コラムQ) (6)において、点Oでうなりが聞こえている時間はどれだけか。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 問(2) 音が聞こえる時間の別解: 波数の不変性を利用する解法
- 主たる解法が音の「聞き始め」と「聞き終わり」の時刻を追跡するのに対し、この別解では「音源が放出した波の総数」と「観測者が受け取る波の総数」が等しいという物理法則（波数の不変性）を利用します。
- 問(3) 音が聞こえる時間の別解: 波数の不変性を利用する解法
- 主たる解法が音の「聞き始め」と「聞き終わり」の時刻を個別に追跡してその差を求めるのに対し、別解では「波数の不変性」を利用して、継続時間を逆算します。
- 問(4) うなりが聞こえる時間の別解: 波数の不変性を利用する解法
- 主たる解法が時刻を追跡するのに対し、別解ではO点が観測するBからの音の継続時間を「波数の不変性」から求め、それがうなりの継続時間と等しくなることを利用します。
- 問(2) 音が聞こえる時間の別解: 波数の不変性を利用する解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理モデルの深化: 「波の数」という保存量に着目することで、現象をより本質的に捉える視点が養われます。これは、電荷量保存則やエネルギー保存則など、物理学における他の保存則と同様の思考法であり、応用範囲が広いです。
- 計算の効率化: ドップラー効果による振動数が分かっていれば、複雑な時刻の追跡計算を省略し、簡単な割り算だけで継続時間を求めることができます。
- 解法の多角化: 同じ「継続時間」を問う問題（問(2), (3), (4)）に対して、時刻追跡と波数不変性という2つの異なるアプローチを学ぶことで、問題解決能力の柔軟性が高まります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題は、ドップラー効果を基本としつつ、音の伝播時間や、音源・観測点の相対的な運動を正確に捉える能力を試すものです。特に、物体上の異なる点から音が出る場合や、物体上の中点で音を観測する場合、さらには風の影響がある場合など、状況設定が多岐にわたります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 音の伝播: 音は媒質中を一定の速さ（音速 \(V\)）で伝わります。音源の速度は音速に影響を与えません。
- ドップラー効果: 音源や観測者が運動することにより、観測される音の振動数が変化する現象です。
- 時間の追跡: 音が発せられてから観測点に到達するまでの時間、音が出し始められてから出し終わるまでの時間を正確に計算する必要があります。
- うなり: 振動数がわずかに異なる2つの音が重なると、音の強さが周期的に変化します。うなりの振動数は \(|f_1-f_2|\) です。
- 風の影響: 風が吹いている場合、地面に対する音速が変化します。風下へ進む音の速さは \(V+u_{\text{風}}\)、風上へ進む音の速さは \(V-u_{\text{風}}\) となります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 初期位置と運動の確認: \(t=0\) での音源A, B、観測点M, Oの位置関係と、その後の物体ABの運動を正確に把握します。
- 音の到達時刻の計算: 音源と観測点の運動を考慮し、音が到達する時刻を「出会い算」や「追いかけ算」として立式します。
- 音が聞こえる時間（継続時間）: 音が発せられ始めた時刻と終わった時刻にそれぞれ対応する音が、観測点に到達する時刻を求め、その差から継続時間を計算します。
- うなりの計算: O点で音源Aからの音と音源Bからの音を同時に聞く状況を考えます。それぞれの音の振動数をドップラー効果の公式を用いて求め、うなりの振動数とその継続時間を計算します。
- 風がある場合: 風による音速の変化を考慮して、各物理量を再計算します。ドップラー効果の公式中の \(V\) を、風の影響を受けた実効的な音速に置き換えて考えます。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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