「名問の森」徹底解説（67〜69問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題67

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、弦の基本振動と、その振動によって生じる音波が気柱（最初は水面の位置を変えられる閉管、後に開管）と共鳴する現象を扱っています。弦の振動と気柱の振動の連携、特に振動数が一致する点がポイントです。開口端補正も考慮に入れる必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、弦の振動と気柱の共鳴の連携です。弦が振動すると音波が発生し、その音波が気柱内で定常波を形成して共鳴すると、特定の高さの音が大きく聞こえます。このとき、弦の振動数と気柱の固有振動数が一致していることが重要な条件となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 弦の固有振動: 長さ \(l\) の弦が基本振動するとき、両端が節となり、弦の長さが半波長に等しくなります (\(l = \lambda_s/2\))。振動数 \(f\) は、弦を伝わる波の速さ \(v_s = \sqrt{S/\rho}\) と波長 \(\lambda_s\) から \(f = v_s/\lambda_s\) で求められます。
2. 気柱の共鳴（閉管）: 一端（水面）が節、他端（管口付近）が腹となる定常波。開口端補正 \(x\) を考慮すると、管口から \(x\) だけ外側に腹ができるとみなします。共鳴条件は、(管口から水面までの長さ \(d\)) \(+ x = (2m-1)\lambda/4\) (\(m=1, 2, 3, \ldots\))。
3. 気柱の共鳴（開管）: 両端（管口付近）が腹となる定常波。開口端補正 \(x\) を考慮すると、両管口から \(x\) だけ外側に腹ができるとみなします。実効的な管長 \(L’ = L+2x\) （\(L\)は管の実際の長さ）に対して、\(L’ = m\lambda/2\) (\(m=1, 2, 3, \ldots\))。
4. 波の基本式: 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(V = f\lambda\) の関係があります。弦の波についても同様に \(v_s = f\lambda_s\)。
5. 共鳴の条件: 弦の振動によって気柱が共鳴するとき、弦の振動数と気柱の固有振動数（音波の振動数）は一致します。

これらの法則を丁寧に適用していくことが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 弦の振動: まず、弦の基本振動の条件から、弦を伝わる波の波長 \(\lambda_s\) と振動数 \(f\) を、与えられた記号（\(l, S, \rho\)）を用いて表します。
2. (2) 気柱の共鳴（閉管）: 弦の振動数 \(f\) が音波の振動数となります。1回目と2回目の共鳴の条件（水面の位置 \(d_1, d_2\)）と開口端補正 \(x\) を用いて、音波の波長 \(\lambda\) と開口端補正 \(x\) を求めます。その後、音速 \(V = f\lambda\) を計算します。
3. (3) 3度目の共鳴と密度変化: 閉管での3度目の共鳴位置を特定し、密度変化が最大となる場所（節）の位置を答えます。
4. (4) 開管での共鳴: 水をなくした管（全長が(3)で求めた3度目の共鳴位置までの長さ）が開管として共鳴する条件を考え、管の全長を求めます。
5. (5) 張力変化による再共鳴: 水面をC (\(d_2\)) に戻し、弦の張力を \(S\) から \(S’\) に変えたときの再共鳴を考えます。気柱の条件（長さ \(d_2\)、閉管）は変わらないので、次に共鳴するときの固有振動数（5倍振動）を特定します。弦の振動数がこれに一致するように張力 \(S’\) を調整するので、その値を求めます。

問 (1)

思考の道筋とポイント
弦は長さ \(l\) で基本振動をしています。弦の基本振動では、両端が節となり、中央に腹が1つできます。このとき、弦の長さ \(l\) は、弦を伝わる波の波長 \(\lambda_s\) の半分に相当します。
弦を伝わる波の速さ \(v_s\) は、張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) を用いて \(v_s = \sqrt{S/\rho}\) と表されます。
振動数 \(f\) は、波の基本式 \(v_s = f\lambda_s\) から求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 弦の基本振動では、弦長 \(l = \lambda_s/2\)。
• 弦を伝わる波の速さ \(v_s = \sqrt{S/\rho}\)。
• 波の基本式 \(v_s = f\lambda_s\)。

具体的な解説と立式
弦の長さが \(l\) で基本振動しているので、弦には両端を節とする半波長分の定常波ができています。弦を伝わる波の波長を \(\lambda_s\) とすると、
$$l = \frac{\lambda_s}{2} \quad \cdots ①$$
弦を伝わる波の速さ \(v_s\) は、張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) を用いて、
$$v_s = \sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \cdots ②$$
弦の基本振動数を \(f\) とすると、波の基本式より、
$$v_s = f \lambda_s \quad \cdots ③$$
式①から \(\lambda_s\) を求め、次に式②と③から \(f\) を求めます。

式①から、弦を伝わる波の波長 \(\lambda_s\) は、
$$\lambda_s = 2l \text{ [m]}$$
次に、振動数 \(f\) を求めます。式③を変形して \(f = v_s/\lambda_s\)。これに式②で与えられる \(v_s\) と上記で求めた \(\lambda_s = 2l\) を代入します。
$$f = \frac{\sqrt{\frac{S}{\rho}}}{2l}$$
整理すると、
$$f = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \text{ [Hz]}$$

弦が「ドレミ」の「ド」の音（基本の音）で鳴っているときを考えます。このとき、弦の長さは、できる波の「半分の長さ」にちょうど等しくなります。だから、波全体の長さ（波長）は弦の長さの2倍です。
次に、この弦の振動の回数（振動数）は、弦の波の速さを波長で割ると求まります。弦の波の速さは、弦の張り具合（張力）と重さ（線密度）で決まる公式で計算できます。

弦を伝わる波の波長は \(\lambda_s = 2l \text{ [m]}\) で、振動数は \(f = \displaystyle\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \text{ [Hz]}\) です。
これらは弦の基本振動に関する標準的な結果です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
弦の振動によって発生する音波が気柱と共鳴します。このとき、弦の振動数 \(f\) と音波の振動数 \(f_{\text{音}}\) は等しくなります。つまり、\(f_{\text{音}} = f = \displaystyle\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\)。
気柱は閉管として機能し、開口端補正を \(x\) とします。
1回目の共鳴（水面B、AB=\(d_1\)）では、管口から \(x\) だけ外側の腹と水面（節）までの距離が \(\lambda/4\) になります。
つまり、\(d_1 + x = \lambda/4\)。
2回目の共鳴（水面C、AC=\(d_2\)）では、同様に \(d_2 + x = 3\lambda/4\) となります（閉管の次の共鳴は3倍振動に相当）。
これら2つの式を連立させて、音波の波長 \(\lambda\) と開口端補正 \(x\) を求めます。
音速 \(V\) は、波の基本式 \(V = f_{\text{音}}\lambda = f\lambda\) から計算できます。

この設問における重要なポイント

• 弦の振動数と音波の振動数が一致する (\(f_{\text{音}} = f\))。
• 閉管の共鳴条件（開口端補正 \(x\) を考慮）:
  • 1回目 (基本振動, \(m=1\)): \(d_1 + x = \lambda/4\)
  • 2回目 (3倍振動, \(m=2\)): \(d_2 + x = 3\lambda/4\)
• 波の基本式 \(V = f\lambda\)。

具体的な解説と立式
音波の振動数は弦の振動数 \(f\) に等しいです。開口端補正を \(x\) とします。
1回目の共鳴が水面の深さ \(d_1\) で起こったとき、管口の腹から水面の節までの距離は \(\lambda/4\) なので、
$$d_1 + x = \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ④$$
2回目の共鳴が水面の深さ \(d_2\) で起こったとき、これは閉管の次の共鳴モード（基本振動の次は3倍振動）なので、管口の腹から水面の節までの距離は \(3\lambda/4\) となります。
$$d_2 + x = \frac{3\lambda}{4} \quad \cdots ⑤$$
これらの式④と⑤を連立させて、音波の波長 \(\lambda\) と開口端補正 \(x\) を求めます。
音速 \(V\) は、(1)で求めた弦の振動数 \(f\) と、ここで求める音波の波長 \(\lambda\) を用いて、波の基本式から計算します。
$$V = f\lambda \quad \cdots ⑥$$

まず、音波の波長 \(\lambda\) を求めます。式⑤から式④を辺々引くと、
$$(d_2 + x) – (d_1 + x) = \frac{3\lambda}{4} – \frac{\lambda}{4}$$
左辺の \(x\) は消去され、
$$d_2 – d_1 = \frac{2\lambda}{4}$$
$$d_2 – d_1 = \frac{\lambda}{2}$$
これを \(\lambda\) について解くと、
$$\lambda = 2(d_2 – d_1) \text{ [m]}$$
次に、開口端補正 \(x\) を求めます。式④を変形して \(x = \displaystyle\frac{\lambda}{4} – d_1\)。
この式に上記で求めた \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) を代入します。
$$x = \frac{2(d_2-d_1)}{4} – d_1$$
$$x = \frac{d_2-d_1}{2} – d_1$$
通分して計算します。
$$x = \frac{d_2-d_1 – 2d_1}{2}$$
$$x = \frac{d_2-3d_1}{2} \text{ [m]}$$
最後に、音速 \(V\) を求めます。式⑥に、(1)で求めた \(f = \displaystyle\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) と、上記で求めた \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) を代入します。
$$V = \left(\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\right) \cdot 2(d_2-d_1)$$
整理すると、
$$V = \frac{d_2-d_1}{l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \text{ [m/s]}$$

管が共鳴するとき、音の波は管の口の少し外側で「腹」を作ります。この「管の口からのズレ」が開口端補正です。
1回目の共鳴（水面が\(d_1\)）と2回目の共鳴（水面が\(d_2\)）のときの管の有効な長さ（水面から腹までの距離）を考えます。1回目は波長の\(1/4\)、2回目は波長の\(3/4\)です。
この2つの共鳴の差 (\(d_2-d_1\)) が、ちょうど音波の半波長 (\(\lambda/2\)) に相当します。ここから音波の波長が求まります。
波長が分かれば、1回目の共鳴条件から開口端補正も計算できます。
音の速さは、弦の振動数（音波の振動数と同じ）に、今求めた音波の波長を掛ければ出てきます。

音波の波長は \(\lambda = 2(d_2 – d_1) \text{ [m]}\)、音速は \(V = \displaystyle\frac{d_2-d_1}{l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \text{ [m/s]}\)、開口端補正は \(x = \displaystyle\frac{d_2-3d_1}{2} \text{ [m]}\) です。
これらの結果は、共鳴の条件と物理量間の関係から導かれており、矛盾はありません。特に \(d_2-d_1 = \lambda/2\) は、連続する共鳴間の距離が半波長であるという重要な関係を示しています。

問 (3)

思考の道筋とポイント
閉管の共鳴では、水面の位置が節となります。1回目、2回目の共鳴に続き、3回目の共鳴も水面が節の位置に来たときに起こります。節と節の間隔は半波長 \(\lambda/2\) です。
2回目の共鳴は水面の深さ \(d_2\) で起こりました。3回目の共鳴は、そこからさらに \(\lambda/2\) だけ水面を下げた位置で起こります。
空気の密度が激しく変化する場所は、定常波の「節」の位置です。腹の位置では媒質の変位（動き）は最大ですが、密度変化（圧力変化）は最小（ほぼゼロ）となります。
したがって、3度目の共鳴が起こったときの管内の節の位置を答えればよいことになります。これには、開口端近くの腹の位置から数えて \(\lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \dots\) の距離にある実際の空気柱の部分（管口から水面まで）を考える必要があります。
具体的には、管口からの距離で、\(d_1\)（1回目の節）、\(d_2\)（2回目の節）、そして3回目の節の位置を求めます。

この設問における重要なポイント

• 閉管の共鳴では、水面が節となる。
• 連続する共鳴（節の位置）の間隔は \(\lambda/2\)。
• 密度変化（または圧力変化）が最大となるのは定常波の節の位置。
• 変位が最大（腹の位置）では密度変化は最小。

具体的な解説と立式
音波の波長は \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) です（(2)より）。したがって半波長は \(\lambda/2 = d_2-d_1\)。
1回目の共鳴は管口からの深さ \(d_1\) の水面（節）で起こりました。
2回目の共鳴は管口からの深さ \(d_2\) の水面（節）で起こりました。
3回目の共鳴が起こる水面の深さを \(d_3\) とすると、これは \(d_2\) からさらに \(\lambda/2\) だけ深い位置になります。
$$d_3 = d_2 + \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ⑦$$
密度が激しく変化する場所は節の位置です。3度目の共鳴状態のとき、管口Aから水面（3番目の節）までの間に存在する節の位置は、水面 \(d_1\)、水面 \(d_2\)、そして水面 \(d_3\) の3箇所です。これらを管口からの距離で答えます。

3度目の共鳴が起こる水面の深さ \(d_3\) を計算します。
式⑦に \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) を代入すると、\(\lambda/2 = d_2-d_1\) となります。
$$d_3 = d_2 + (d_2-d_1)$$
$$d_3 = 2d_2 – d_1$$
したがって、3度目の共鳴が起こったとき、管内で密度が激しく変化している所（節の位置）は、管口からの距離で、
1番目の節: \(d_1\) [m]
2番目の節: \(d_2\) [m]
3番目の節: \(d_3 = 2d_2 – d_1\) [m]
となります。

音が管の中で共鳴すると、定常波ができます。この定常波には、空気がほとんど動かない「節」と、空気が激しく動く「腹」があります。空気の密度（濃さや薄さ）が最も大きく変わるのは「節」の場所です。
水面の位置は、この「節」にあたります。1回目、2回目の共鳴に続いて、3回目の共鳴も水面が「節」の位置に来たときに起こります。
「節」と「節」の間の距離は、音の波の「半分の長さ」です。(2)で計算したように、半波長は \(d_2-d_1\) なので、3回目の共鳴が起こる水面の深さ（管口から）は、2回目の深さ \(d_2\) に \(d_2-d_1\) を加えたものになります。
よって、密度が激しく変わる場所は、1回目の水面の深さ \(d_1\)、2回目の水面の深さ \(d_2\)、そして3回目の水面の深さ \(2d_2-d_1\) の3箇所です。

3度目の共鳴が起こったとき、管内において空気の密度が激しく変化している所（節の位置）は、管口からの距離で \(d_1 \text{ [m]}\), \(d_2 \text{ [m]}\), \(2d_2 – d_1 \text{ [m]}\) の3箇所です。
開口端近くの腹の位置では密度変化は最小になることにも注意が必要です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
「3度目の共鳴が起こった位置D（深さ \(d_3 = 2d_2-d_1\)）より下には節の位置がないまま管の下端に達した」という記述があります。
その後「水をなくし開管にすると、管は共鳴した」とあります。この「管」とは、今まで水を入れていた管のことです。
模範解答の解釈では、この管の全長が \(2d_2\) であり、この長さの開管が元の音波（波長 \(\lambda\)）に対して3倍振動 (\(m=3\)) で共鳴した、としています。この解釈に基づいて進めます。
開管の共鳴条件は、管の両端に開口端補正 \(x\) があるので、実効長 \(L_{\text{管}}+2x\) が半波長 \(\lambda/2\) の整数倍になるときです。
\(L_{\text{管}}+2x = m \lambda/2\)。
ここで、\(L_{\text{管}} = 2d_2\)、\(m=3\)、そして(2)で求めた \(\lambda\) と \(x\) を用いると、この関係が成り立つことを確認します。

この設問における重要なポイント

• 開管の共鳴条件（両端に開口端補正 \(x\) を考慮）: (管長 \(L_{\text{管}}\)) \(+ 2x = m\lambda/2\) (\(m=1, 2, 3, \dots\))。
• 元の音波の波長 \(\lambda\) と開口端補正 \(x\) の値は(2)で求めたものを使用する。
• 問題文の条件と模範解答の解釈から、管の全長と共鳴モードを特定する。

具体的な解説と立式
管の全長を \(L_{\text{管}}\) とします。この管を開管として用いたとき、弦から発せられる音波（振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)）と共鳴したとあります。
模範解答の解釈に従い、管の全長 \(L_{\text{管}} = 2d_2\) であり、このとき \(m=3\) のモードで共鳴するとします。
開管の共鳴条件は、両端に開口端補正 \(x\) があるため、実効的な管の長さは \(L_{\text{管}} + 2x\) となります。
$$L_{\text{管}} + 2x = m \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ⑧$$
この式に \(L_{\text{管}} = 2d_2\) と \(m=3\) を代入し、(2)で求めた \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) と \(x = \displaystyle\frac{d_2-3d_1}{2}\) を用いて等式が成立することを確認し、管の全長を \(2d_2\) と結論付けます。
つまり、証明すべき（あるいは確認すべき）式は、
$$2d_2 + 2x = \frac{3\lambda}{2} \quad \cdots ⑨$$

式⑨の左辺に \(x = \displaystyle\frac{d_2-3d_1}{2}\) を代入します。
左辺 \(= 2d_2 + 2 \left( \displaystyle\frac{d_2-3d_1}{2} \right) = 2d_2 + (d_2-3d_1) = 3d_2 – 3d_1\)。
式⑨の右辺に \(\lambda = 2(d_2-d_1)\) を代入します。
右辺 \(= \displaystyle\frac{3}{2} \cdot 2(d_2-d_1) = 3(d_2-d_1) = 3d_2 – 3d_1\)。
左辺と右辺が一致することが確認できました。
このことから、管の全長が \(2d_2\) のときに \(m=3\) のモードで共鳴するという模範解答の解釈は、これまでの結果と整合性があります。
したがって、管の全長は \(2d_2\) [m] となります。

水をなくして管全体を開いた管として使ったところ、弦の音と共鳴しました。模範解答の図やヒントによると、このときの管の全長は、2回目の共鳴が起きたときの水深 \(d_2\) のちょうど2倍、つまり \(2d_2\) であると解釈できます。そして、この長さの開管が、弦の音に対して3つの「ふくらみ」を持つ形で共鳴したと考えられます。この条件が、(2)で求めた音の波長や開口端補正の値と矛盾しないことを数式で確認すると、確かに成り立つことがわかります。

管の全長は \(2d_2 \text{ [m]}\) です。
これは、全長 \(2d_2\) の開管が、波長 \(\lambda=2(d_2-d_1)\) の音波、開口端補正 \(x=(d_2-3d_1)/2\) のもとで、3倍振動 (\(m=3\)) で共鳴するという解釈に基づきます。

問 (5)

思考の道筋とポイント
水面をCの位置（深さ \(d_2\)）に戻したので、気柱は長さ \(d_2\) の閉管として機能します。開口端補正は \(x\) です。
元の張力 \(S\)、元の弦の振動数 \(f\) のとき、この長さ \(d_2\) の閉管は2度目の共鳴（3倍振動に相当）をしていました。
つまり、\(d_2 + x = 3\lambda/4 = 3V/(4f)\)。
弦の張力を \(S\) から \(S’\) に徐々に増していくと、弦を伝わる波の速さ \(v_s’ = \sqrt{S’/\rho}\) が増加します。弦の長さ \(l\) は一定で基本振動なので、弦の波長 \(\lambda_s = 2l\) も一定です。したがって、弦の振動数 \(f’ = v_s’/\lambda_s = (1/2l)\sqrt{S’/\rho}\) も増加します。
気柱の長さ \(d_2\) と開口端補正 \(x\)、音速 \(V\) は変わらないので、この気柱が次に共鳴するのは、より高い固有振動数、すなわち3倍振動の次の5倍振動のときです。
このときの気柱の固有振動数を \(f”_{\text{気柱}}\) とすると、\(d_2 + x = 5\lambda”/4 = 5V/(4f”_{\text{気柱}})\)。
弦の振動数 \(f’\) がこの \(f”_{\text{気柱}}\) に一致したときに再び共鳴します。
元の共鳴では \(d_2+x = 3V/(4f)\)、新しい共鳴では \(d_2+x = 5V/(4f’)\)。
よって、\(3V/(4f) = 5V/(4f’)\) という関係から \(f’ = (5/3)f\)。
弦の振動数が元の \(5/3\) 倍になったときに再び共鳴します。
弦の振動数は \(f \propto \sqrt{S}\) なので、振動数が \(5/3\) 倍になるためには、張力 \(S\) は \((5/3)^2 = 25/9\) 倍になる必要があります。

この設問における重要なポイント

• 気柱の条件（閉管、長さ \(d_2\)、開口端補正 \(x\)、音速 \(V\)）は一定。
• 張力 \(S\) を増すと弦の振動数 \(f\) が増す (\(f \propto \sqrt{S}\))。
• 閉管の固有振動数は基本振動数の奇数倍。現在の共鳴（3倍振動相当）より高い次の共鳴は5倍振動相当。
• 新しい弦の振動数が、気柱の5倍振動の固有振動数と一致するときに再共鳴する。

具体的な解説と立式
水面がCの位置にあるとき、気柱の有効長は \(d_2+x\)。
元の張力 \(S\)、振動数 \(f\) のとき、これは3倍振動に相当する共鳴でした。
$$d_2+x = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3V}{4f} \quad \cdots ⑩$$
弦の張力を \(S’\) に変えたときの弦の振動数を \(f’\) とします。弦の基本振動なので、
$$f = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \text{および} \quad f’ = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S’}{\rho}} \quad \cdots ⑪$$
張力を増して振動数 \(f’\) が増加し、気柱が次に共鳴するのは5倍振動のときです。このときの気柱の固有振動数を \(f’_{\text{気柱}}\) とすると、
$$d_2+x = \frac{5\lambda’}{4} = \frac{5V}{4f’_{\text{気柱}}} \quad \cdots ⑫$$
再共鳴するので、弦の新しい振動数 \(f’\) が \(f’_{\text{気柱}}\) と一致します。つまり \(f’ = f’_{\text{気柱}}\)。
式⑩と式⑫の左辺は等しいので、
$$\frac{3V}{4f} = \frac{5V}{4f’}$$
この式から \(f’\) と \(f\) の関係を求め、それを使って \(S’\) と \(S\) の関係を式⑪から導きます。

式⑩と式⑫の左辺が等しいことから、
$$\frac{3V}{4f} = \frac{5V}{4f’}$$
両辺の共通因子 \(V/4\) を消去すると、
$$\frac{3}{f} = \frac{5}{f’}$$
これを \(f’\) について解くと、
$$f’ = \frac{5}{3}f$$
次に、この関係を弦の振動数の式⑪に適用します。
$$f = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
$$f’ = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S’}{\rho}}$$
これらの式の比をとると、
$$\frac{f’}{f} = \frac{\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S’}{\rho}}}{\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}} = \sqrt{\frac{S’}{S}}$$
\(f’/f = 5/3\) を代入すると、
$$\frac{5}{3} = \sqrt{\frac{S’}{S}}$$
両辺を2乗すると、
$$\left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{S’}{S}$$
$$\frac{25}{9} = \frac{S’}{S}$$
よって、新しい張力 \(S’\) は、
$$S’ = \frac{25}{9}S$$

別解
思考の道筋とポイント
張力 \(S\) を増すと弦の振動数 \(f\) が増します。音速 \(V\) は一定なので、気柱内で共鳴する音波の波長 \(\lambda\) は \(f\) の増加に伴い減少します (\(\lambda = V/f\))。
水面がC (\(d_2\)) のとき、閉管としての有効長 \(d_2+x\) は一定です。
最初は3倍振動で共鳴していました: \(d_2+x = 3\lambda/4\)。
次に共鳴するのは5倍振動のときで、そのときの音波の波長を \(\lambda”\) とすると \(d_2+x = 5\lambda”/4\)。
ここから新しい波長 \(\lambda”\) を元の波長 \(\lambda\) で表し、新しい振動数 \(f’ = V/\lambda”\) を求めます。
そして、弦の振動数 \(f’ = (1/2l)\sqrt{S’/\rho}\) との関係から \(S’\) を求めます。

具体的な解説と立式
最初の共鳴（3倍振動）では、音波の波長を \(\lambda\) とすると、
$$d_2+x = \frac{3\lambda}{4} \quad \cdots (ア)$$
次の共鳴（5倍振動）では、音波の波長を \(\lambda”\) とすると、
$$d_2+x = \frac{5\lambda”}{4} \quad \cdots (イ)$$
式(ア)と(イ)の左辺は等しいので、
$$\frac{3\lambda}{4} = \frac{5\lambda”}{4}$$
これから、\(\lambda” = \displaystyle\frac{3}{5}\lambda\) という関係が得られます。
元の振動数を \(f\)、新しい振動数を \(f’\) とすると、\(f=V/\lambda\) および \(f’=V/\lambda”\)。
よって、
$$f’ = \frac{V}{\lambda”} = \frac{V}{(3/5)\lambda} = \frac{5}{3} \frac{V}{\lambda} = \frac{5}{3}f$$
弦の振動数と張力の関係は \(f \propto \sqrt{S}\) なので、\(f’/f = \sqrt{S’/S}\) です。
したがって、
$$\sqrt{\frac{S’}{S}} = \frac{5}{3}$$
ここから \(S’\) を求めます。

上記「具体的な解説と立式」の最後の式 \(\sqrt{\displaystyle\frac{S’}{S}} = \displaystyle\frac{5}{3}\) の両辺を2乗します。
$$\frac{S’}{S} = \left(\frac{5}{3}\right)^2$$
$$\frac{S’}{S} = \frac{25}{9}$$
よって、
$$S’ = \frac{25}{9}S$$
これは本解と同じ結果です。

弦の張り具合を強くすると、弦が出す音の高さ（振動数）が上がります。
一方、管の長さは変わらないので、この管が次に共鳴するのは、もっと高い特定の振動数（3倍振動の次は5倍振動）になったときです。
つまり、弦の振動数が元の \(5/3\) 倍になったときに、管は再び共鳴します。
弦の振動数は、張力の平方根に比例するので、振動数を \(5/3\) 倍にするには、張力を \((5/3)^2 = 25/9\) 倍にする必要があります。

再び共鳴したときの弦の張力は \(\displaystyle\frac{25}{9}S \text{ [N]}\) です。
張力を増すと弦の振動数が上がり、気柱のより高い次数の固有振動数と一致して再び共鳴するという現象を正しく捉えられています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 弦の基本振動の条件: 長さ \(l\) の弦が基本振動するときの波長 \(\lambda_s=2l\) と、振動数 \(f = (1/2l)\sqrt{S/\rho}\)。
• 閉管の共鳴条件（開口端補正 \(x\) あり）: 管口からの実効長 \(d+x\) に対して、\(d+x = (2m-1)\lambda/4\) (\(m=1,2,3,\dots\))。連続する共鳴点の距離の差が \(\lambda/2\) であること (\(d_2-d_1 = \lambda/2\)) も重要。
• 開管の共鳴条件（開口端補正 \(x\) あり）: 管長 \(L\) に対して、実効長 \(L+2x = m\lambda/2\) (\(m=1,2,3,\dots\))。
• 波の基本式: \(V=f\lambda\)（音波）、\(v_s=f\lambda_s\)（弦の波）。
• 共鳴の基本原理: 弦の振動数と気柱の固有振動数（音波の振動数）が一致するときに共鳴が起こる。
• 定常波の性質: 節では媒質の変位はゼロだが密度・圧力変化は最大。腹では変位は最大だが密度・圧力変化はゼロ。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 複数の共鳴状態からの情報抽出: 問(2)のように、複数の共鳴点（\(d_1, d_2\)）が与えられた場合、それらの差から波長を求めたり、連立方程式を立てて開口端補正や波長を決定したりする。
• 条件変化への対応: 問(5)のように、弦の張力や気柱の長さを変えた場合に、振動数、波長、波の速さ、共鳴次数などがどのように変化するかを、基本法則に基づいて順を追って考察する。何が一定で何が変化するかを見極める。
• 閉管と開管の条件の使い分け: 問題設定に応じて、正しい共鳴条件と固有振動数の系列（閉管は奇数倍、開管は整数倍）を適用する。
• 図の活用: 定常波の腹と節の様子を図示することで、波長と管長（または水深＋開口端補正）の関係を視覚的に理解し、立式ミスを防ぐ。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正の扱い忘れ・誤り:
  • 現象: 開口端補正を考慮しない、あるいは閉管で片方だけ、開管で両端に考慮すべきところを間違える。
  • 対策: 問題文に指示があれば必ず従う。指示がなくても、より精密な議論では必要となることを知っておく。閉管では \(d+x\)、開管では \(L+2x\) が実効的な長さとなることを図と共に理解する。
• 弦の振動と音波の振動数の関係の誤解:
  • 現象: 共鳴時に両者の振動数が一致することを見落とす、または弦の波のパラメータ（速さ、波長）と音波のパラメータを混同する。
  • 対策: 「共鳴＝振動数の一致」を常に意識する。弦の波と音波は別物であり、速さも波長も異なるが、共鳴時には振動数だけが共通となる。
• 密度変化が最大なのは腹と誤解する:
  • 現象: 媒質の変位が最大な腹で密度変化も最大だと考えてしまう。
  • 対策: 定常波において、変位の節が密度（圧力）の腹、変位の腹が密度（圧力）の節に対応することを正確に理解する。
• 倍振動の次数の数え方:
  • 現象: 閉管の「2度目の共鳴」を2倍振動と数える（正しくは3倍振動）。
  • 対策: 基本振動を1番目（\(m=1\)）として、閉管では \(2m-1\) 倍振動、開管では \(m\) 倍振動となることを確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 弦の基本振動のイメージ: 両端が固定され、中央が大きく膨らむ形。この長さ \(l\) が \(\lambda_s/2\) であることを視覚的に捉える。
• 閉管内の定常波のイメージ:
  • 1回目の共鳴 (\(d_1\)): 管口付近に腹、水面（節）までが \(\lambda/4\)。
  • 2回目の共鳴 (\(d_2\)): 管口付近に腹、水面（節）までが \(3\lambda/4\)。\(d_1\) の状態に半波長 (\(\lambda/2\)) が加わった形。\(d_2-d_1 = \lambda/2\)。
  • 図を描くときは、開口端補正 \(x\) を管口の外側に描き、そこを腹の端とする。
• 開管内の定常波のイメージ: 両端の管口付近に腹ができる。問(4)の模範解答の図は3倍振動 (\(m=3\)) を示しており、管の実長 \(L_{\text{管}}\) の両外側に \(x\) があり、腹と節が交互に現れる。
• 密度変化が最大なのは節、最小なのは腹、という対応関係を、定常波の図と重ねて理解する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(l = \lambda_s/2\) (弦の基本振動): 弦の両端が固定端（節）であるという境界条件から、最も単純な定常波の形として適用。
• \(v_s = \sqrt{S/\rho}\): 弦の物理的性質（張力、線密度）から波の速さを求めるための基本公式。
• \(d+x = (2m-1)\lambda/4\) (閉管の共鳴): 一端が節（水面）、他端の開口部実効位置が腹となる境界条件から導かれる。\(m\) は共鳴の次数。
• \(L+2x = m\lambda/2\) (開管の共鳴): 両端の開口部実効位置が腹となる境界条件から導かれる。
• 常に、現象（弦の振動、気柱の共鳴）、境界条件（固定端、自由端、節、腹）、そしてそれらを満たす定常波の形を意識することで、適切な公式選択が可能になる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態の分析: 弦の振動数 \(f\) を \(l, S, \rho\) で表す。
2. 閉管共鳴の利用: 2つの共鳴点 \(d_1, d_2\) から、\(\lambda\) と \(x\) を \(d_1, d_2\) で表す。 ( \(d_2-d_1 = \lambda/2\) が鍵)
3. 音速の導出: \(V=f\lambda\) に1.と2.の結果を代入。
4. 高次共鳴点の予測: \(d_3 = d_2 + \lambda/2\)。密度変化最大点＝節の位置。
5. 開管共鳴への移行: 管の全長と共鳴モードを問題文や図から解釈し、開管の共鳴条件を適用。
6. 条件変化への対応: 張力変更の結果、弦の振動数変化 (\(f \propto \sqrt{S}\))。気柱側は次の共鳴モード (3倍振動から5倍振動へ)。振動数一致条件から新しい張力を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理: 特に問(2)で \(\lambda\) と \(x\) を求める際の、式同士の引き算や代入を正確に行う。
• 分数や平方根の扱い: 問(1)や(5)での \( \sqrt{S/\rho} \) や、問(5)での \((5/3)^2\) の計算。
• 文字式の整理: 多くの記号 (\(l, d_1, d_2, S, \rho, V, f, \lambda, x\)) が登場するため、どの記号が何を表すか、どの式で関連付けられているかを常に意識し、丁寧に式変形する。
• 代入の正確性: あるステップで求めた結果を次のステップの式に代入する際に、値を間違えたり、符号を誤ったりしないように注意する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 開口端補正 \(x\) の物理的意味: \(x = (d_2-3d_1)/2\) が正の値をとるか？（通常 \(d_2 > 3d_1\) は成り立ちにくい。\(\lambda/4 > d_1\) から \(2(d_2-d_1)/4 > d_1\) であり、これは \(d_2-d_1 > 2d_1\) 、つまり \(d_2 > 3d_1\) を意味します。これが \(x>0\) の条件です。もし \(d_2 \le 3d_1\) ならば \(x \le 0\) となり物理的に不自然ですが、問題設定として受け入れます）。模範解答は \(x=(d_2-3d_1)/2\) であり、これは \(d_2-d_1 = \lambda/2\) と \(d_1+x=\lambda/4\) から導かれる \(x = \lambda/4 – d_1 = (d_2-d_1)/2 – d_1 = (d_2-3d_1)/2\) と一致します。
• 波長や振動数のオーダー: 求めた値が極端に大きすぎたり小さすぎたりしないか、おおよその感覚と照らし合わせる。
• 条件変更時の変化の方向性: 問(5)で張力を増したら振動数が増加し、それに応じて気柱がより高い次数のモードで共鳴する、という変化の方向性が物理的に正しいか確認する。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が、問われている物理量の単位として適切か確認する。

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問題68 (東京理科大)