問題55 (名古屋大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、鉛直に置かれたシリンダー内で、底とばねで連結されたピストンによって閉じ込められた単原子分子理想気体の状態変化を考察するものです。初期状態（状態1）からゆっくりと熱を加えて気体を膨張させ、ばねが自然長になる状態（状態2）までの変化を追います。力のつり合い、仕事、内部エネルギー、熱力学第一法則といった熱力学の基本概念が総合的に問われます。
- シリンダー内の気体: 単原子分子の理想気体
- ピストン: 質量 \(M\)、断面積 \(S\)、滑らかに動く
- ばね: シリンダーの底とピストンを連結、自然長 \(l_0\)、軽い（質量無視）
- 外部環境: 大気圧 \(p_0\)、重力加速度 \(g\)
- 状態1 (初期状態、図1):
- 気体の圧力は \(p_0\) (大気圧に等しい)
- ピストンはばねの長さ \(l_1\) でつり合っている
- 状態2 (加熱後、図2):
- 気体はゆっくりと加熱され膨張
- ばねの長さがちょうど自然長 \(l_0\) になった
- (1) ばねのばね定数 \(k\)。ばねの長さが \(l\) (\(l_1 \le l \le l_0\)) のときの気体の圧力 \(p\) と \(l\) との関係式、およびそのグラフ。
- (2) 状態1から状態2へ変わる間に、気体がした仕事 \(W\)。
- (3) 状態1から状態2へ変わる間の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)。
- (4) 状態1から状態2へ変わる間に、気体に加えた熱量 \(Q\)。
- 【コラム】Q. 状態2からさらに熱を加えてばねの長さを \(l_2 (>l_0)\) としたとき、この間に気体がする仕事 \(W’\) （エネルギー保存則を用いて）。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解く鍵は、鉛直シリンダー内のばね付きピストンにはたらく力のつり合いを正確に理解し、それによって気体の圧力がどのように変化するかを把握することです。単原子分子理想気体の状態変化を扱い、理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)) と熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)) を基本に据えて各物理量を計算していくことです。A→B間は定積変化、C→A間は定圧変化であることがグラフから明らかです。B→C間は圧力が体積の一次関数として変化する直線経路であり、この過程の扱いに注意が必要です。単原子分子理想気体の内部エネルギーの式 (\(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)) や、定積モル比熱 (\(C_V = \frac{3}{2}R\))、定圧モル比熱 (\(C_P = \frac{5}{2}R\)) も適宜用います。物質量 \(n\) や気体定数 \(R\) は問題文に与えられていませんが、これらは計算過程で導入し、最終的には問題文で与えられた物理量（\(p_0, S, M, g, l_0, l_1\)など）で結果を表すことになります。
問(1)
思考の道筋とポイント
まず、状態1（図1）におけるピストンの力のつり合いを考えます。問題文から、状態1では気体の圧力が大気圧 \(p_0\) に等しいとされています。ピストンの上面には大気圧 \(p_0\) がかかり、下面には気体の圧力 \(p_0\) がかかっているため、これらの圧力による力はピストンに対して相殺されます。したがって、ピストン自身の重力 \(Mg\) と、ばねが縮むことによる弾性力 \(F_k = k(l_0 – l_1)\) がつり合っていると考えます。このつり合いの式から、ばね定数 \(k\) を求めることができます。
次に、ばねの長さが一般の \(l\) (\(l_1 \le l \le l_0\)) であるときのピストンの力のつり合いを考えます。このときの気体の圧力を \(p\) とします。ピストンにはたらく力は、鉛直上向きに気体の圧力による力 \(pS\) とばねの弾性力 \(k(l_0 – l)\) (ばねは自然長 \(l_0\) より縮んでいるため、ピストンを上に押し上げる向きに作用します)、鉛直下向きに大気圧による力 \(p_0S\) とピストンの重力 \(Mg\) です。これらの力がつり合っているという式から、気体の圧力 \(p\) をばねの長さ \(l\) の関数として表します。この関係式が \(l\) の1次関数になることを確認し、そのグラフ（横軸 \(l\)、縦軸 \(p\)）の概形を描きます。
この設問における重要なポイント
- ピストンにはたらく力を正確に特定し、力のつり合いの式を正しく立てること。
- ばねの弾性力は、フックの法則に従い、自然長からの変位に比例し、その向きは変位と反対向き（ばねが元に戻ろうとする向き）であること。設問の範囲 (\(l_1 \le l \le l_0\)) では、ばねは自然長 \(l_0\) から \(l_0-l\) だけ縮んでいるため、ピストンを上向きに押す力は \(k(l_0-l)\) となります。
- 導出した関係式が \(l\) の1次関数であることを確認し、グラフの始点（状態1に対応）と終点（状態2に対応）を明確にして直線で結ぶこと。
具体的な解説と立式
ばね定数 \(k\):
状態1（図1）では、ピストンはばねの長さ \(l_1\) でつり合っています。このとき、気体の圧力は \(p_0\) です。ピストンの上面には大気圧 \(p_0\) が作用し、下面には気体の圧力 \(p_0\) が作用しているため、これらの圧力による力は相殺されます。したがって、ピストンにはたらく鉛直方向の力のつり合いは、ピストンの重力 \(Mg\)（下向き）と、ばねの弾性力 \(F_k\)（上向き）の間で成り立ちます。ばねの自然長は \(l_0\) なので、状態1でのばねの縮みは \((l_0 – l_1)\) です。フックの法則より、弾性力の大きさは \(F_k = k(l_0 – l_1)\) となります。力のつり合いから、
$$k(l_0 – l_1) = Mg \quad \cdots ①$$
気体の圧力 \(p\) とばねの長さ \(l\) の関係式 (\(l_1 \le l \le l_0\)):
ばねの長さが \(l\) のとき、気体の圧力を \(p\) とします。このときピストンにはたらく力は以下の通りです。
鉛直上向きの力:
- 気体の圧力による力: \(pS\)
- ばねの弾性力: \(k(l_0 – l)\) (ばねは \(l_0-l\) だけ縮んでいるため上向き)
鉛直下向きの力:
- 大気圧による力: \(p_0S\)
- ピストンの重力: \(Mg\)
これらの力がつり合っているので、次の関係式が成り立ちます。
$$pS + k(l_0 – l) = p_0S + Mg \quad \cdots ②$$
この式を \(p\) について解くことで、\(p\) と \(l\) の関係式が得られます。
グラフ:
式②を \(p\) について整理すると、\(p\) が \(l\) の1次関数となることが分かります。したがって、\(p-l\) グラフは直線になります。グラフを描く範囲は \(l_1 \le l \le l_0\) です。
使用した物理公式
- 力のつり合い: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\)
- フックの法則: \(F = kx\) (ばねの弾性力)
ばね定数 \(k\):
式①から \(k\) について解くと、
$$k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}$$
気体の圧力 \(p\) とばねの長さ \(l\) の関係式:
式②を \(p\) について整理します。
$$pS = p_0S + Mg – k(l_0 – l)$$
両辺を \(S\) で割ると、
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S} – \frac{k}{S}(l_0 – l)$$
ここに上で求めた \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を代入します。
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S} – \frac{Mg}{S(l_0 – l_1)}(l_0 – l)$$
この式を整理するため、\(\frac{Mg}{S}\) で第二項と第三項をまとめます。
$$p = p_0 + \frac{Mg}{S} \left( 1 – \frac{l_0 – l}{l_0 – l_1} \right)$$
括弧の中を通分すると、
$$1 – \frac{l_0 – l}{l_0 – l_1} = \frac{(l_0 – l_1) – (l_0 – l)}{l_0 – l_1} = \frac{l_0 – l_1 – l_0 + l}{l_0 – l_1} = \frac{l – l_1}{l_0 – l_1}$$
したがって、関係式は次のようになります。
$$p = p_0 + \frac{Mg(l-l_1)}{S(l_0-l_1)}$$
グラフ:
この関係式は \(p = Al + B\) の形をしており、\(p\) は \(l\) の1次関数です。したがって、グラフは直線になります。
グラフの始点と終点の座標を求めます。
\(l = l_1\) のとき（状態1）:
$$p = p_0 + \frac{Mg(l_1-l_1)}{S(l_0-l_1)} = p_0 + 0 = p_0$$
\(l = l_0\) のとき（状態2）:
$$p = p_0 + \frac{Mg(l_0-l_1)}{S(l_0-l_1)} = p_0 + \frac{Mg}{S}$$
よって、\(p-l\) グラフは、点 \((l_1, p_0)\) と点 \((l_0, p_0 + \frac{Mg}{S})\) を結ぶ右上がりの直線セグメントとなります。
(1) まず「ばね定数」\(k\) を求めます。これはばねの硬さを示す値です。最初の状態（図1）では、ピストンは静止しており、力がつり合っています。このとき、気体の圧力と外の大気圧は同じ \(p_0\) なので、ピストンの上下から押す力は差し引きゼロです。残るのは、ピストンの重さ（下向き）と、ばねが縮んで押し上げる力（上向き）です。この二つがつり合っていることから、ばねの硬さ \(k\) を計算できます。
次に、ばねの長さが \(l\) のときの気体の圧力 \(p\) を求める式を作ります。このときもピストンは力のつり合い状態にあります。ピストンには、下から気体が押す力 (\(pS\))、上から大気が押す力 (\(p_0S\))、ピストンの重さ (\(Mg\))、そしてばねが縮んで押し上げる力 (\(k(l_0-l)\)) がかかっています（ばねの自然の長さを \(l_0\) としています）。これらの力が上下でつり合っているという式を立てて \(p\) について解くと、\(p\) を \(l\) で表す式が得られます。この式は \(l\) の一次式（\(p = A \times l + B\) のような形）になるので、グラフにすると直線になります。
ばねのばね定数は \(k = \displaystyle\frac{Mg}{l_0 – l_1}\) です。
気体の圧力 \(p\) とばねの長さ \(l\) との関係式は \(p = p_0 + \displaystyle\frac{Mg(l-l_1)}{S(l_0-l_1)}\) です。
この関係式は \(l\) の1次関数であり、グラフは直線となります。\(l=l_1\) のとき \(p=p_0\)（状態1の圧力）、\(l=l_0\) のとき \(p=p_0 + \frac{Mg}{S}\)（状態2の圧力）となり、物理的な状況と整合しています。グラフは、点 \((l_1, p_0)\) から点 \((l_0, p_0 + \frac{Mg}{S})\) へと向かう右上がりの直線です。
問(2)
思考の道筋とポイント
気体がした仕事 \(W\) は、P-Vグラフ（圧力-体積グラフ）上で、状態変化の経路とV軸（体積軸）とで囲まれた領域の面積として表されます。
問(1)で、気体の圧力 \(p\) がばねの長さ \(l\) の1次関数として変化することが分かりました。体積 \(V\) は \(V=Sl\) と表せるため、\(l = V/S\) です。これを \(p(l)\) の関係式に代入すれば、圧力 \(p\) が体積 \(V\) の1次関数 \(p(V)\) としても表せることがわかります。
したがって、状態1（体積 \(V_1=Sl_1\)、圧力 \(p_1=p_0\)）から状態2（体積 \(V_2=Sl_0\)、圧力 \(p_2=p_0 + \frac{Mg}{S}\)）への変化は、P-Vグラフ上で直線をなします。この間に気体がした仕事 \(W\) は、この直線とV軸、および \(V=V_1, V=V_2\) で囲まれた台形の面積として計算できます。
台形の面積は「\(\frac{1}{2} \times (\text{上底の圧力} + \text{下底の圧力}) \times (\text{体積の変化})\)」で求められます。
この設問における重要なポイント
- 気体がする仕事がP-Vグラフの面積で表されることを理解していること。
- 今回の状態1から状態2への変化では、圧力が体積の1次関数として変化するため、P-Vグラフ上の経路は直線となり、仕事は台形の面積として計算できること。
- 状態1と状態2における圧力と体積の値を正確に特定し、台形の面積公式に適用すること。
具体的な解説と立式
状態1における気体の圧力を \(p_1\)、体積を \(V_1\) とします。
\(p_1 = p_0\)
\(V_1 = Sl_1\)
状態2における気体の圧力を \(p_2\)、体積を \(V_2\) とします。
\(p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}\) (問(1)の \(p(l)\) の式で \(l=l_0\) としたもの)
\(V_2 = Sl_0\)
圧力 \(p\) は体積 \(V=Sl\) の1次関数なので、P-Vグラフ上での状態1から状態2への経路は直線を形成します。
気体がした仕事 \(W\) は、この直線とV軸、および \(V=V_1, V=V_2\) で囲まれた台形の面積に等しくなります。台形の面積の公式を用いると、
$$W = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 – V_1) \quad \cdots ③$$
別解: エネルギー保存則の利用
状態1から状態2への変化において、気体がした仕事 \(W\) とばねがした仕事 \(W_{\text{spring}}\) の合計が、ピストンの位置エネルギーの増加 \(\Delta E_g\) と、ピストンが大気圧に逆らってした仕事 \(W_{\text{atm}}\) の和に等しいと考えます。
$$W + W_{\text{spring}} = \Delta E_g + W_{\text{atm}}$$
各項は以下の通りです。
ばねの長さは \(l_1\) から \(l_0\) へと変化し、ばねの縮みは \((l_0-l_1)\) から \(0\) へと変化します。
ばねの弾性エネルギーの変化は \(\Delta U_{\text{spring}} = U_{s2} – U_{s1} = 0 – \frac{1}{2}k(l_0-l_1)^2 = -\frac{1}{2}k(l_0-l_1)^2\)。
ばねがした仕事 \(W_{\text{spring}}\) は、弾性エネルギーの減少分に等しいので、\(W_{\text{spring}} = – \Delta U_{\text{spring}} = \frac{1}{2}k(l_0-l_1)^2\)。
ピストンの位置エネルギーの増加は \(\Delta E_g = Mg(l_0 – l_1)\)。
ピストンが大気圧 \(p_0\) に逆らってした仕事（大気がされた仕事）は \(W_{\text{atm}} = p_0 S (l_0 – l_1)\)。
よって、エネルギー保存則の式は次のようになります。
$$W + \frac{1}{2}k(l_0-l_1)^2 = Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1) \quad \cdots (別解1)$$
この式から気体がした仕事 \(W\) を求めることができます。
使用した物理公式
- 仕事 (P-Vグラフの面積): 台形の面積 \(\frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)\)
- (別解用) エネルギー保存則、弾性エネルギー \(U_s = \frac{1}{2}kx^2\)、位置エネルギー \(U_g = mgh\)、大気圧がする仕事 \(W_{\text{atm}} = p_0 \Delta V\)
式③に各状態の圧力と体積の値を代入して、仕事 \(W\) を計算します。
$$p_1 = p_0$$
$$p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}$$
$$V_1 = Sl_1$$
$$V_2 = Sl_0$$
$$W = \frac{p_0 + \left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right)}{2} (Sl_0 – Sl_1)$$
$$W = \frac{2p_0 + \frac{Mg}{S}}{2} S(l_0 – l_1)$$
係数 \(S\) を括弧の中に入れると、
$$W = \left(p_0S + \frac{Mg}{2}\right) (l_0 – l_1)$$
別解の計算:
(別解1)の式 \(W + \frac{1}{2}k(l_0-l_1)^2 = Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1)\) を用います。
問(1)で求めたばね定数 \(k = \frac{Mg}{l_0-l_1}\) をこの式に代入します。
$$W + \frac{1}{2} \left(\frac{Mg}{l_0-l_1}\right) (l_0-l_1)^2 = Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1)$$
左辺の第二項を簡単にすると、
$$W + \frac{1}{2}Mg(l_0-l_1) = Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1)$$
\(W\) について解くと、
$$W = Mg(l_0-l_1) – \frac{1}{2}Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1)$$
$$W = \frac{1}{2}Mg(l_0-l_1) + p_0S(l_0-l_1)$$
共通因子 \((l_0-l_1)\) でくくりだすと、
$$W = \left(p_0S + \frac{1}{2}Mg\right) (l_0-l_1)$$
これはP-Vグラフの面積から求めた結果と一致します。
気体が外部にした「仕事」は、P-Vグラフ（縦軸が圧力P、横軸が体積Vのグラフ）の上で、状態1から状態2への変化を表す線と、その下のV軸とで囲まれた部分の「面積」として計算できます。
(1)で、気体の圧力 \(p\) はばねの長さ \(l\) (つまり体積 \(V=Sl\)) の一次関数（グラフにすると直線）になることが分かりました。したがって、P-Vグラフ上でも、状態1から状態2への変化は直線になります。
この直線とV軸とで囲まれる図形は台形になります。台形の面積は「（状態1の圧力＋状態2の圧力）×（状態2の体積－状態1の体積）÷２」という公式で計算できます。それぞれの圧力と体積の値はすでに分かっているので、これらを公式に代入すれば、気体がした仕事が求まります。
状態1から2へ変わる間に、気体がした仕事 \(W\) は \(\displaystyle \left(p_0S + \frac{Mg}{2}\right) (l_0 – l_1)\) です。
この仕事の値は正となります（\(l_0 > l_1\) であるため）。これは、気体が膨張して外部に正の仕事をしたことを意味し、物理的な状況（加熱による膨張）と整合しています。単位も (圧力×面積×長さ) = (力×長さ) = エネルギーの単位 [J] となり、物理的に妥当です。別解としてエネルギー保存則を用いても同じ結果が得られることが確認できました。
問(3)
思考の道筋とポイント
気体は単原子分子の理想気体なので、その内部エネルギー \(U\) は絶対温度 \(T\) に比例し、\(U = \frac{3}{2}nRT\) で与えられます。ここで \(n\) は物質量、\(R\) は気体定数です。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を用いると、内部エネルギーは \(U = \frac{3}{2}PV\) とも書けます。
したがって、状態1から状態2への内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、\(\Delta U = U_2 – U_1 = \frac{3}{2}(P_2V_2 – P_1V_1)\) として計算できます。
状態1 (\(P_1, V_1\)) と状態2 (\(P_2, V_2\)) における圧力と体積の値は既に特定されています。
\(P_1=p_0\), \(V_1=Sl_1\)。
\(P_2=p_0 + \frac{Mg}{S}\), \(V_2=Sl_0\)。
これらの値を上記の式に代入して \(\Delta U\) を計算します。
この設問における重要なポイント
- 単原子分子理想気体の内部エネルギーの表式 \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\) を正しく用いること。
- 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、変化後の内部エネルギー \(U_2\) から変化前の内部エネルギー \(U_1\) を引いたものであること (\(\Delta U = U_2 – U_1\))。
- 状態1と状態2における圧力と体積の値を正確に代入し、計算すること。
具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、状態1の内部エネルギーを \(U_1\)、状態2の内部エネルギーを \(U_2\) とすると、
$$\Delta U = U_2 – U_1$$
内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}PV\) （単原子分子理想気体の場合）を用いると、
$$\Delta U = \frac{3}{2}(P_2V_2 – P_1V_1) \quad \cdots ④$$
ここで、各状態における圧力と体積は以下の通りです。
状態1: \(P_1 = p_0\), \(V_1 = Sl_1\)
状態2: \(P_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}\), \(V_2 = Sl_0\)
これらの値を式④に代入して \(\Delta U\) を求めます。
使用した物理公式
- 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)
- 内部エネルギーの変化: \(\Delta U = U_後 – U_初\)
まず、\(P_2V_2\) と \(P_1V_1\) の値を計算します。
$$P_2V_2 = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right) (Sl_0) = p_0Sl_0 + \frac{Mg}{S}Sl_0 = p_0Sl_0 + Mgl_0$$
$$P_1V_1 = p_0 (Sl_1) = p_0Sl_1$$
これらの結果を式④に代入します。
$$\Delta U = \frac{3}{2} \left( (p_0Sl_0 + Mgl_0) – p_0Sl_1 \right)$$
\(p_0S\) で共通項を整理すると、
$$\Delta U = \frac{3}{2} \left( p_0S(l_0 – l_1) + Mgl_0 \right)$$
気体の「内部エネルギー」とは、大まかに言うと、気体を構成する分子が持っている運動エネルギーの総和のことで、これは気体の温度に比例します。単原子分子の理想気体の場合、内部エネルギーは「\(\frac{3}{2} \times \text{気体の圧力} \times \text{気体の体積}\)」という簡単な式でも計算できます。
内部エネルギーがどれだけ「変化」したかを知りたいので、状態2での内部エネルギーから状態1での内部エネルギーを引き算します。つまり、「\(\frac{3}{2} \times (\text{状態2での圧力} \times \text{状態2での体積} – \text{状態1での圧力} \times \text{状態1での体積})\)」を計算すればよいわけです。状態1と状態2の圧力と体積の値はすでに分かっているので、それらをこの式に代入して計算します。
状態1から2へ変わる間の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(\displaystyle \frac{3}{2} \left( p_0S(l_0 – l_1) + Mgl_0 \right)\) です。
気体はゆっくりと熱を加えられて膨張し、ばねの長さが \(l_1\) から自然長の \(l_0\) (\(l_0 > l_1\)) へと長くなっています。この過程で一般に温度は上昇すると考えられ、したがって内部エネルギーも増加すると予想されます。\(l_0 > l_1\) であり、他の物理量 \(p_0, S, M, g, l_0\) は全て正の量なので、計算結果の \(\Delta U\) は正の値となり、内部エネルギーが増加したことを示しています。これは物理的に妥当な結果です。単位も \(P_0S(l_0-l_1)\) や \(Mgl_0\) がエネルギーの次元を持つため、全体としてエネルギーの単位 [J] となります。
問(4)
思考の道筋とポイント
気体に加えた熱量 \(Q\) を求めるには、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を利用します。この法則を変形すると \(Q = \Delta U + W\) となります。
問(2)で気体がした仕事 \(W\) を、問(3)で内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を既に計算しているので、これらの結果を単純に足し合わせることで、気体に加えた熱量 \(Q\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) (あるいはその変形 \(Q = \Delta U + W\)) を正しく適用すること。
- 前の設問で計算した仕事 \(W\) と内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の値を正確に用いて計算すること。
具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体に加えられた熱量 \(Q\)、そして気体が外部にした仕事 \(W\) の間に成り立つ関係式であり、次のように表されます。
$$\Delta U = Q – W$$
これを \(Q\) について解くと、気体に加えられた熱量 \(Q\) は次のように求められます。
$$Q = \Delta U + W \quad \cdots ⑤$$
問(2)で求めた仕事 \(W\) は、
$$W = \left(p_0S + \frac{Mg}{2}\right) (l_0 – l_1)$$
問(3)で求めた内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、
$$\Delta U = \frac{3}{2} \left( p_0S(l_0 – l_1) + Mgl_0 \right)$$
これらの結果を式⑤に代入して \(Q\) を計算します。
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(Q = \Delta U + W\)
式⑤に \(W\) と \(\Delta U\) の値を代入します。
$$Q = \left[ \frac{3}{2} \left( p_0S(l_0 – l_1) + Mgl_0 \right) \right] + \left[ \left(p_0S + \frac{Mg}{2}\right) (l_0 – l_1) \right]$$
各項を展開し、整理していきます。
$$Q = \frac{3}{2}p_0S(l_0 – l_1) + \frac{3}{2}Mgl_0 + p_0S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2}Mg(l_0 – l_1)$$
\(p_0S(l_0 – l_1)\) を含む項をまとめます。
$$Q = \left(\frac{3}{2} + 1\right)p_0S(l_0 – l_1) + \frac{3}{2}Mgl_0 + \frac{1}{2}Mg(l_0 – l_1)$$
$$Q = \frac{5}{2}p_0S(l_0 – l_1) + \frac{3}{2}Mgl_0 + \frac{1}{2}Mgl_0 – \frac{1}{2}Mgl_1$$
\(Mgl_0\) を含む項をまとめます。
$$Q = \frac{5}{2}p_0S(l_0 – l_1) + \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)Mgl_0 – \frac{1}{2}Mgl_1$$
$$Q = \frac{5}{2}p_0S(l_0 – l_1) + 2Mgl_0 – \frac{1}{2}Mgl_1$$
模範解答の形式 \(\frac{5}{2}p_0S(l_0-l_1) + \frac{1}{2}Mg(4l_0-l_1)\) に合わせるため、\(Mg\) の項を \(\frac{1}{2}Mg\) でくくります。
$$2Mgl_0 – \frac{1}{2}Mgl_1 = \frac{1}{2}Mg(4l_0) – \frac{1}{2}Mgl_1 = \frac{1}{2}Mg(4l_0 – l_1)$$
したがって、気体に加えた熱量 \(Q\) は、
$$Q = \frac{5}{2}p_0S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2}Mg(4l_0 – l_1)$$
気体にどれだけの熱を加えたか (\(Q\)) を知るには、物理学の非常に重要な法則である「熱力学第一法則」を使います。この法則は、「気体に加えられた熱量 \(Q\) は、気体の内部エネルギーがどれだけ増えたか (\(\Delta U\)) と、気体が外部に対してどれだけ仕事をしたか (\(W\)) の合計に等しい」というものです。式で書くと \(Q = \Delta U + W\) となります。
私たちは前の(2)で気体がした仕事 \(W\) を、(3)で内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) をすでに計算しています。ですから、これらの結果を単純に足し算すれば、気体に加えられた熱量 \(Q\) が求まるわけです。
状態1から2へ変わる間に、気体に加えた熱量 \(Q\) は \(\displaystyle \frac{5}{2}p_0S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2}Mg(4l_0 – l_1)\) です。
気体は加熱されて膨張し、温度も上昇していると考えられるため、加えられた熱量 \(Q\) が正の値となることは物理的に妥当です。実際に、\(l_0 > l_1\) であり、式中の \(4l_0 – l_1\) も \(4l_0 – l_1 > 4l_1 – l_1 = 3l_1 > 0\) と考えられる（通常 \(l_0\) と \(l_1\) は近い値であることが多いが、\(l_0>l_1\) であれば \(4l_0 > l_1\) は十分に成り立つ）ため、\(Q\) は正の値をとります。単位も各項がエネルギーの次元 [J] となっているため、物理的に整合性があります。
【コラム】Q. 状態2からさらに熱を加えてばねの長さを \(l_2 (>l_0)\) とするときの仕事
思考の道筋とポイント
この設問では、状態2（ばねが自然長 \(l_0\) であった状態）からさらに気体に熱を加え、ばねの長さを \(l_2\) (\(l_2 > l_0\)、つまりばねが自然長から伸びる状態）にしたときに、気体がする仕事 \(W’\) をエネルギー保存則の観点から求めます。
気体が仕事 \(W’\) をすると、そのエネルギーは周囲の系のエネルギー変化や外部への仕事に使われます。具体的には、以下の3つの要素の合計として考えることができます。
1. ピストンの位置エネルギーの増加 (\(\Delta E_g\)): ピストンが上昇することによる。
2. ばねの弾性エネルギーの増加 (\(\Delta E_s\)): ばねが自然長から伸びることによる。
3. ピストンが大気圧に逆らってする仕事 (\(W_{\text{atm}}\)): ピストンが動くことで大気を押しのける仕事。
したがって、エネルギー保存則から \(W’ = \Delta E_g + \Delta E_s + W_{\text{atm}}\) という関係式が成り立ちます。各項を具体的に計算し、それらを足し合わせることで、気体がした仕事 \(W’\) を導き出します。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則を正しく適用すること。気体が外部にした仕事が、系の他の部分の力学的エネルギーの増加や、大気圧に対する仕事に変換されるという視点を持つこと。
- 各エネルギー変化量（ピストンの位置エネルギー、ばねの弾性エネルギー）を正確に計算すること。特に、ばねの伸びは自然長 \(l_0\) からの変位であることに注意する。
- 大気圧がピストンの動きに対してする仕事（または大気圧に逆らってピストンがする仕事）を正しく考慮に入れること。
- 問(1)で求めたばね定数 \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を使用すること。
具体的な解説と立式
状態2（ばねの長さ \(l_0\)、このときばねは自然長）から、ばねの長さが \(l_2\) (\(l_2 > l_0\)) になるまで気体が外部にする仕事を \(W’\) とします。
この変化の間に起こるエネルギー変化および仕事は以下の通りです。
1. ピストンの位置エネルギーの増加 \(\Delta E_g\):
ピストンの高さは \(l_0\) から \(l_2\) へと \((l_2 – l_0)\) だけ上昇します。したがって、位置エネルギーの増加は、
$$\Delta E_g = Mg(l_2 – l_0) \quad \cdots (Q1)$$
2. ばねの弾性エネルギーの増加 \(\Delta E_s\):
状態2では、ばねは自然長 \(l_0\) なので、弾性エネルギーは \(0\) です。ばねの長さが \(l_2\) のとき、ばねは自然長から \((l_2 – l_0)\) だけ伸びています。ばね定数は問(1)より \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) です。弾性エネルギーの増加は、
$$\Delta E_s = \frac{1}{2}k(l_2 – l_0)^2 – 0 = \frac{1}{2}k(l_2 – l_0)^2 \quad \cdots (Q2)$$
3. ピストンが大気圧に逆らってする仕事 \(W_{\text{atm}}\):
ピストンが動くことで、大気圧 \(p_0\) に逆らって仕事をします。体積の変化は \(\Delta V = S(l_2 – l_0)\) です。
$$W_{\text{atm}} = p_0 \Delta V = p_0 S (l_2 – l_0) \quad \cdots (Q3)$$
エネルギー保存則より、気体がした仕事 \(W’\) は、これらのエネルギー増加と外部への仕事の合計に等しくなります。
$$W’ = \Delta E_g + \Delta E_s + W_{\text{atm}} \quad \cdots (Q4)$$
この式に、上で求めた各項を代入します。
使用した物理公式
- エネルギー保存則 (気体がした仕事 = 力学的エネルギーの増加 + 大気への仕事)
- 位置エネルギーの変化: \(\Delta U_g = mg\Delta h\)
- 弾性エネルギーの変化: \(\Delta U_s = \frac{1}{2}kx_後^2 – \frac{1}{2}kx_初^2\)
- 一定圧力下での仕事: \(W = P\Delta V\)
- ばね定数 (問(1)の結果): \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\)
式(Q4)に、式(Q1), (Q2), (Q3)で表された各エネルギー項および仕事項を代入します。
$$W’ = Mg(l_2 – l_0) + \frac{1}{2}k(l_2 – l_0)^2 + p_0S(l_2 – l_0)$$
ここで、問(1)で求めたばね定数 \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を代入します。
$$W’ = Mg(l_2 – l_0) + \frac{1}{2}\left(\frac{Mg}{l_0 – l_1}\right)(l_2 – l_0)^2 + p_0S(l_2 – l_0)$$
共通因子 \((l_2 – l_0)\) で全体をくくりだします。
$$W’ = \left[ Mg + \frac{1}{2}\frac{Mg(l_2 – l_0)}{l_0 – l_1} + p_0S \right] (l_2 – l_0)$$
角括弧の中の \(Mg\) を含む項を整理するために通分します。
$$Mg + \frac{Mg(l_2 – l_0)}{2(l_0 – l_1)} = \frac{2Mg(l_0 – l_1) + Mg(l_2 – l_0)}{2(l_0 – l_1)}$$
分子を展開して整理すると、
$$2Mgl_0 – 2Mgl_1 + Mgl_2 – Mgl_0 = Mgl_0 + Mgl_2 – 2Mgl_1 = Mg(l_0 + l_2 – 2l_1)$$
よって、\(Mg\) を含む項は \(Mg \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)}\) となります。
これを元の式に戻すと、気体がする仕事 \(W’\) は、
$$W’ = \left\{ Mg \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)} + p_0S \right\} (l_2 – l_0)$$
これは模範解答のQの答え と一致します。
状態2（ばねが自然の長さ \(l_0\)）から、さらに熱を加えてばねの長さを \(l_2\) まで伸ばしたと想像してください（\(l_2\) は \(l_0\) よりも長いです）。このとき、気体が頑張って仕事 \(W’\) をしますが、そのエネルギーはどこへ行ったのでしょうか？「エネルギー保存の法則」を使うと、気体がした仕事の分だけ、周りのもののエネルギーが増えたり、外部の力に逆らって仕事をしたりしたはずです。
具体的には、次の3つの形でエネルギーが使われたり、仕事がされたりします。
1. ピストンが \(l_0\) から \(l_2\) へと高くなるので、ピストンの「位置エネルギー」が増えます。
2. ばねが自然の長さ \(l_0\) から \(l_2\) まで伸びるので、ばねの「弾性エネルギー」が増えます。
3. ピストンが上に動くことで、外の大気圧 \(p_0\) を押しのけるので、大気圧に対して「仕事」をします。
気体がした仕事 \(W’\) は、これら3つのエネルギーの増加分や仕事の合計に等しくなります。それぞれの値を計算し、最後に全部足し合わせれば、気体がした仕事 \(W’\) が求まります。
状態2からさらに熱を加えてばねの長さを \(l_2 (>l_0)\) としたとき、この間に気体がする仕事 \(W’\) は、
\(W’ = \displaystyle \left\{ Mg \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)} + p_0S \right\} (l_2 – l_0)\) です。
この結果は、気体が外部に対して正の仕事をしたことを示しており（\(l_2 > l_0\) のため）、その仕事がピストンの位置エネルギー増加、ばねの弾性エネルギー増加、そして大気圧に対する仕事という具体的な物理現象に分配されたことをエネルギー保存則の観点から明確に表しています。各項は物理的に意味のあるエネルギーや仕事の形をしており、単位もエネルギーの次元 [J] となります。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつり合い: ピストンが静止している、またはゆっくりと準静的に運動しているとみなせる場合、ピストンに働く力の総和はゼロであるという条件。これにより、気体の圧力とばねの伸び（または縮み）、ピストンの質量、大気圧の関係が明らかになりました。
- フックの法則: ばねの弾性力 \(F_k = kx\) は、ばねの自然長からの変位 \(x\) に比例するという法則。ばね定数 \(k\) の決定や、ばねの長さ \(l\) と気体の圧力 \(p\) の関係を導く際に用いられました。
- 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の圧力、体積、温度の関係を示す基本法則。内部エネルギーの計算や、温度が直接与えられていない場合の物理量の関連付けに不可欠でした。
- 仕事の定義とP-Vグラフ: 気体がする仕事 \(W\) は、P-Vグラフ上で状態変化の経路とV軸で囲まれた面積で表されます。今回は圧力が体積の一次関数として変化したため、台形の面積として計算できました。
- 内部エネルギー (単原子分子理想気体): \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)。この関係を用いて、状態変化に伴う内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算しました。
- 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): 気体の内部エネルギーの変化、気体が吸収（放出）した熱量、気体がした（された）仕事の間のエネルギー保存則。加えられた熱量 \(Q\) を求める際に中心的な役割を果たしました。
- エネルギー保存則 (力学的エネルギーと熱力学の融合): (問2の別解やコラムQで) 気体がする仕事が、ピストンの位置エネルギーの変化、ばねの弾性エネルギーの変化、大気圧に対する仕事などに変換されるという、より広範なエネルギー保存の視点も有効でした。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか。
- ばねだけでなく、外部からおもりを載せたり取り除いたりするピストンの問題。
- 水平に置かれたシリンダーとばね付きピストンの問題（重力の影響が変わる）。
- 断熱材で囲まれたシリンダーではなく、外部と熱のやり取りがある場合（等温変化など）。
- 気体が単原子分子ではなく二原子分子の場合（モル比熱や内部エネルギーの係数が変わる）。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか。
- 力のつり合いの図示: ピストンにどのような力が働いているのかを、まず正確に図示し、力のつり合いの式を立てることが第一歩です。特に、ばねの弾性力の向きと大きさに注意します。
- 気体の圧力変化の把握: ピストンの動き（ばねの伸縮）に伴って、気体の圧力がどのように変化するかを求めることが重要です。これが分かれば、仕事の計算や状態方程式の適用が具体的に行えます。
- 状態変化の種類の特定: 今回は明確な定積・定圧変化ではありませんでしたが（状態1から2への変化は圧力が直線的に変化）、各微小過程を追う、あるいは全体のエネルギー収支を考えるといったアプローチが必要です。
- エネルギーの出入りと保存: 熱力学第一法則はもちろん、力学的エネルギー（位置エネルギー、弾性エネルギー）も含めた広義のエネルギー保存則が成り立つか、あるいはどのエネルギー形態間で変換が起こっているかを考える視点が有効です。
- 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か。
- ばねの自然長と実際の長さ、そして変位（伸びまたは縮み）の関係を混同しないこと。
- 仕事の計算で、P-Vグラフの面積を正しく評価すること。圧力が一定でない場合は積分が必要になりますが、直線変化なら台形の面積で済みます。
- 熱力学第一法則の各項（\(\Delta U, Q, W\)）の符号の規約を常に意識すること（例：気体が仕事をする場合は \(W>0\)、熱を吸収する場合は \(Q>0\) など）。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 力のつり合いの式の誤り:
- 現象: 特にばねの弾性力の向きや、自然長からの変位の取り方を間違えやすい。また、気体の圧力による力と大気圧による力の扱いも注意が必要です。
- 対策: 必ずピストンに働く全ての力をベクトル図で正確に示し、それぞれの力の向きと大きさを確認しながら立式する。
- 仕事の計算:
- 現象: 圧力が変化する場合の仕事の計算を、単純に \(P\Delta V\) としてしまう（これは定圧変化の場合のみ）。
- 対策: P-Vグラフの面積が仕事であることを常に意識し、圧力が変化する場合は台形や三角形の面積、あるいは積分を用いて正しく計算する。
- 内部エネルギー変化と温度変化の関係:
- 現象: \(U=\frac{3}{2}nRT\) を使うべきところで、\(U=\frac{3}{2}PV\) との関係を忘れて温度 \(T\) を求めようとして複雑になる、あるいはその逆。
- 対策: 状態方程式 \(PV=nRT\) を仲介として、これらの表現が等価であることを常に意識する。
- エネルギー保存則の適用範囲と各項の符号:
- 現象: 熱力学第一法則はエネルギー保存則の一形態ですが、力学的エネルギー（ばねの弾性エネルギーや位置エネルギー）の変化も同時に起こる場合、それらをどのように関連付けるかで混乱しやすい。特に、仕事やエネルギー変化の符号の取り扱いでミスが起こりやすい。
- 対策: どの系に注目しているのか（気体のみか、ピストンやばねも含む系か）を明確にし、エネルギーの出入りや変換を丁寧に追跡する。各項の定義（例：ばねがする仕事 vs ばねの弾性エネルギーの変化）を正確に理解する。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図示の重要性
- この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか。
- 力のつり合いの図 (フリーボディダイアグラム): ピストンに働く全ての力（気体の圧力、大気圧、重力、ばねの弾性力）を、力の作用点と向きが分かるように矢印で図示することが、力のつり合いの式を正確に立てる上で不可欠でした。特にばねの力が伸び縮みによってどう変わるかをイメージすることが重要です。
- P-Vグラフ (またはP-lグラフ): (1)で求めた圧力とばねの長さ（体積に比例）の関係をグラフにすることで、(2)の仕事の計算が台形の面積として視覚的に捉えやすくなりました。
- エネルギーの流れのイメージ: 気体に熱を加えると、そのエネルギーが内部エネルギーの増加と外部への仕事に分配される（熱力学第一法則）という流れをイメージすること。また、(問2の別解やコラムQでは) 気体がした仕事が、ピストンの位置エネルギーやばねの弾性エネルギーの増加、大気圧に抗する仕事に変わるというエネルギー変換のイメージが有効でした。
- 図を描く際に注意すべき点は何か。
- 力のベクトルは、作用点、向き、そして可能であれば相対的な大きさを考慮して描く。
- P-Vグラフでは、軸の物理量と単位を明記し、状態点や変化の経路を正確にプロットする。特に変化の方向を矢印で示す。
- エネルギー図を描く場合は、どのエネルギー形態がどのように変化し、相互に変換されるのかを明確にする。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合い (\(\sum F = 0\)):
- 選定理由: ピストンが静止しているか、ゆっくりと（加速度が無視できるほど）動いている状況を記述するため。
- 適用根拠: ニュートンの運動の法則。
- フックの法則 (\(F_k = kx\)):
- 選定理由: ばねによる弾性力を計算するため。
- 適用根拠: ばねの性質を表す実験則（弾性限界内）。
- 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
- 選定理由: 気体の圧力、体積、温度の関係を議論するため。
- 適用根拠: 「理想気体」と問題文に明記されている。
- 内部エネルギー (\(U=\frac{3}{2}PV\)):
- 選定理由: 単原子分子理想気体の内部エネルギーとその変化を、圧力と体積から計算するため。
- 適用根拠: 「単原子分子理想気体」と明記されている。
- 仕事 (\(W = \text{P-Vグラフ面積}\)):
- 選定理由: 気体がした仕事を計算するため。特に圧力が変化する場合に有効。
- 適用根拠: 仕事の定義 \(\int PdV\)。
- 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)):
- 選定理由: 熱の出入り、仕事、内部エネルギー変化の間のエネルギー保存関係を記述するため。
- 適用根拠: エネルギー保存則の熱現象への拡張。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 初期状態の分析 (問1前半): 状態1での力のつり合いに着目し、未知のばね定数 \(k\) を決定する。
- 一般状態の圧力の導出 (問1後半): ばねの長さが \(l\) のときの力のつり合いから、気体の圧力 \(p\) を \(l\) の関数として表す。これにより、状態1から2への変化中の圧力変化の様子が明らかになる。
- 仕事の計算 (問2): \(p(l)\) の関係をP-Vグラフに置き換え（\(V=Sl\) なので \(p(V)\) の形）、グラフの面積として仕事を計算する。または、エネルギー保存則の視点から仕事を求める。
- 内部エネルギー変化の計算 (問3): 状態1と状態2の \(P,V\) の値を用いて、\(\Delta U = \frac{3}{2}(P_2V_2 – P_1V_1)\) により内部エネルギー変化を計算する。
- 熱量の計算 (問4): 熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) を用いて、求めた \(\Delta U\) と \(W\) から加えられた熱量 \(Q\) を算出する。
- (コラムQ) エネルギー保存則を状態2から \(l_2\) への変化に適用し、気体がする仕事を計算する。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 今回の計算過程で、ミスを防ぐために特に注意すべき点はどこだったか。
- 力のつり合いの式の符号: ばねの弾性力の向き、重力、圧力による力の向きを正確に把握し、式の符号を間違えないこと。
- 文字式の整理: \(P_0, V_0, S, M, g, l_0, l_1, k, l\) など多くの文字が出てくるため、代入や整理の際に項を混同したり、計算ミスをしたりしやすい。特に(4)の熱量計算では多くの項をまとめる必要がありました。
- 単位の換算や次元の意識: 今回は文字式が中心でしたが、各項がエネルギーの次元を持っているかなどを頭の片隅で意識すると、大きな間違いに気づきやすくなります。
- 別解でのエネルギーの各項の定義: エネルギー保存則を用いる際、どのエネルギーが変化し、どの力が仕事をするのかを明確に区別し、符号を間違えないようにする。
- 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
- 途中式を丁寧に書く: 複雑な文字式の計算では特に、各ステップを省略せずに記述することで、見直しが容易になり、間違いも発見しやすくなります。
- 共通因数でくくる: 計算の途中で共通因数を見つけて式を整理することで、見通しが良くなり、計算量が減ることがあります。
- 定義に立ち返る: 仕事やエネルギーの定義を常に意識し、式の各項が何を表しているのかを理解しながら計算する。
- 図との対応: P-Vグラフや力のつり合いの図と、立式した数式が正しく対応しているかを確認する。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性。
- 物理量の符号: 仕事 \(W\) や熱量 \(Q\) が正になるか負になるかは、気体が膨張したか圧縮したか、熱を吸収したか放出したかという物理現象と一致している必要があります。例えば、(2)で気体は膨張 (\(l_0 > l_1\)) しているので仕事 \(W\) は正、(4)で熱を加えたとあるので \(Q\) は正になることが期待され、実際そうなっています。
- 単位の確認: 得られた結果の式が、求めたい物理量の正しい単位（次元）を持っているかを確認します。例えば、仕事や熱量はエネルギーの次元 (\( [力] \times [長さ] \) など) を持つはずです。
- 極端な場合を考える: 例えば、もし \(M=0\)（ピストンの質量が無視できる）なら、ばね定数 \(k=0\) となり、ばねがない状況に近づくはずですが、この問題設定では \(l_0-l_1\) が分母にあるため、この極限は単純には考えられません。しかし、\(l_1 \rightarrow l_0\) （初期の縮みが非常に小さい）とすると、\(k\) が非常に大きくなる、といった傾向を考えることはできます。
- 別解との比較: (2)の仕事のように別解がある場合、両者の結果が一致するかどうかは強力な検算手段になります。
- 「解の吟味」を通じて得られること:
- 計算ミスや立式の誤りを早期に発見する手がかりになります。
- 物理法則がどのように現象を記述しているのか、数式の背後にある物理的な意味や構造をより深く理解することができます。
- 単に答えを出すだけでなく、「なぜそうなるのか？」を考えることで、論理的思考力や応用力が養われます。
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