問題55 熱力学 (名古屋大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: エネルギー保存則を用いた解法
- 模範解答の別解と同様に、気体がした仕事を「外部（ピストン・ばね・大気）の力学的エネルギーの変化」として捉えて計算します。
- 設問(2)の別解2: 微積分を用いた体系的解法（仕事の定義からの積分）
- \(p-V\) グラフの面積公式（台形）を用いず、圧力 \(p\) を位置 \(l\) の関数として表し、仕事の定義式 \(W = \int p \, dV\) に基づいて積分計算を行います。
- 設問(Q)の別解: 微積分を用いた体系的解法（仕事の定義からの積分）
- 模範解答がエネルギー保存則を用いるのに対し、ばねが自然長を超えて伸びる場合でも圧力の関数形が変わらないことを利用し、積分によって仕事を直接導出します。
- 設問(2)の別解1: エネルギー保存則を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- エネルギー保存則: 仕事とエネルギーの関係を深く理解し、複数の力が関与する複雑な系での計算ミスを防ぐ視点を養います。
- 微積分: グラフの形状（台形）に依存せず、圧力が非線形に変化する場合など、より一般的な状況にも対応できる物理の基礎体力を養います。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「ばね付きピストンに封入された気体の熱力学変化」です。
気体の圧力、体積、温度の変化に加え、ばねの弾性力や重力、大気圧といった力学的な要素が絡み合う総合問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつりあい: ピストンが静止しているとき、気体の圧力による力、大気圧による力、重力、ばねの弾性力がつりあっています。
- 気体の仕事: 気体が膨張するときにする仕事は、\(p-V\) グラフの面積として求められます。
- 熱力学第一法則: 気体に加えた熱量 \(Q\)、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体がした仕事 \(W\) の間には \(Q = \Delta U + W\) の関係が成り立ちます。
- エネルギー保存則: 気体がした仕事は、外部（ピストン、ばね、大気）の力学的エネルギーの増加分に等しくなります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、ピストンにはたらく力のつりあいの式を立てて、ばね定数と圧力の式を導きます。
- (2)では、(1)で描いたグラフの面積から仕事を計算します。
- (3)では、理想気体の状態方程式を用いて温度変化を求め、内部エネルギーの変化を計算します。
- (4)では、熱力学第一法則を用いて熱量を求めます。
- (Q)では、エネルギー保存則、または微積分を用いて、ばねが伸びた状態までの仕事を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
まず、初期状態（状態1）におけるピストンの力のつりあいを考えます。
問題文より、はじめ気体の圧力は大気圧 \(p_0\) に等しいとあります。
次に、ばねの長さが \(l\) になったときの任意の圧力 \(p\) を、力のつりあいから導出します。
この設問における重要なポイント
- 力の向き: ピストンには、上向きに「気体の圧力による力」と「ばねの弾性力（縮んでいる場合）」、下向きに「重力」と「大気圧による力」がはたらきます。
- ばねの状態: 自然長 \(l_0\) に対し、長さ \(l\) のときの縮みは \(l_0 – l\) です。
具体的な解説と立式
状態1（ばねの長さ \(l_1\)）において、ピストンにはたらく力を考えます。
上向きの力は、気体の圧力による力 \(p_0 S\) と、ばねの弾性力 \(k(l_0 – l_1)\) です。
下向きの力は、重力 \(Mg\) と、大気圧による力 \(p_0 S\) です。
鉛直方向の力のつりあいの式（上向きの力の和 = 下向きの力の和）を立てます。
$$
\begin{aligned}
p_0 S + k(l_0 – l_1) &= p_0 S + Mg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、ばねの長さが \(l\) （\(l_1 \le l \le l_0\)）のときの気体の圧力を \(p\) とします。
同様に力のつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
pS + k(l_0 – l) &= p_0 S + Mg \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 圧力による力: \(F = pS\)
まず、式①より \(p_0 S\) を消去して \(k\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
k(l_0 – l_1) &= Mg \\[2.0ex]
k &= \frac{Mg}{l_0 – l_1}
\end{aligned}
$$
次に、式②を変形して \(p\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
pS &= p_0 S + Mg – k(l_0 – l) \\[2.0ex]
p &= p_0 + \frac{Mg}{S} – \frac{k(l_0 – l)}{S}
\end{aligned}
$$
ここで、求めた \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= p_0 + \frac{Mg}{S} – \frac{Mg}{S(l_0 – l_1)}(l_0 – l) \\[2.0ex]
&= p_0 + \frac{Mg}{S} \left\{ 1 – \frac{l_0 – l}{l_0 – l_1} \right\} \\[2.0ex]
&= p_0 + \frac{Mg}{S} \left\{ \frac{(l_0 – l_1) – (l_0 – l)}{l_0 – l_1} \right\} \\[2.0ex]
&= p_0 + \frac{Mg}{S} \cdot \frac{l – l_1}{l_0 – l_1} \\[2.0ex]
&= p_0 + \frac{Mg(l – l_1)}{S(l_0 – l_1)}
\end{aligned}
$$
この式は \(l\) の一次関数であり、傾きが正の直線となります。
グラフを描く際は以下の2点を通る直線となります。
- \(l = l_1\) のとき: \(p = p_0\)
- \(l = l_0\) のとき: \(p = p_0 + \frac{Mg}{S}\)
ピストンが静止しているということは、上から押す力と下から押す力がバランスしているということです。
最初は気体の圧力と大気圧が同じなので、ピストンの重さを支えているのは「ばねの力」だけです。ここからばねの強さ（ばね定数）がわかります。
次に、熱を加えてピストンが上がっていくと、ばねの縮みが減って支える力が弱くなります。その分、気体が頑張って圧力を上げ、ピストンの重さを支えなければなりません。計算の結果、ピストンが上がる（\(l\) が増える）につれて、圧力 \(p\) は一定の割合で増えていくことがわかります。
ばね定数 \(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) は、重力 \(Mg\) を縮み \(l_0 – l_1\) で割ったものであり、次元も \([\text{N}/\text{m}]\) で正しいです。
圧力の式は \(l=l_1\) で \(p_0\)、\(l\) が増えると圧力が増加する形になっており、ばねの補助がなくなる分だけ気圧が上がるという物理的直感と一致します。
ばね定数: \(\displaystyle k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\)
関係式: \(\displaystyle p = p_0 + \frac{Mg(l – l_1)}{S(l_0 – l_1)}\)
グラフ: 横軸が \(l\)、縦軸が \(p\) のグラフ。点 \((l_1, p_0)\) と 点 \((l_0, p_0 + \frac{Mg}{S})\) を結ぶ右上がりの直線。
問(2)
思考の道筋とポイント
気体がした仕事 \(W\) を求めます。
気体の圧力が一定ではないため、単純な \(W = p\Delta V\) は使えません。
しかし、(1)で描いたグラフ（\(p-l\) グラフ）は直線なので、これを \(p-V\) グラフとみなして面積を計算することができます。
この設問における重要なポイント
- グラフの面積と仕事: \(p-V\) グラフの下側の面積が仕事 \(W\) に相当します。
- 変数の変換: 横軸は \(l\) ですが、体積 \(V = Sl\) なので、横軸の変位 \(\Delta l\) に断面積 \(S\) を掛ければ体積変化 \(\Delta V\) になります。
具体的な解説と立式
求める仕事 \(W\) は、\(p-l\) グラフの \(l_1\) から \(l_0\) までの台形の面積に、断面積 \(S\) を掛けたもの（つまり \(p-V\) グラフの面積）と等しくなります。
台形の面積公式（\(\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ} \div 2\) を利用します。
- 上底（状態1の圧力）: \(p_1 = p_0\)
- 下底（状態2の圧力）: \(p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}\)
- 高さ（体積の変化）: \(V_2 – V_1 = S(l_0 – l_1)\)
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{1}{2} (p_1 + p_2) (V_2 – V_1)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 仕事（\(p-V\)グラフの面積）: \(W = \text{面積}\)
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{1}{2} \left\{ p_0 + \left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) \right\} \cdot S(l_0 – l_1) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \left( 2p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S(l_0 – l_1) \\[2.0ex]
&= \left( p_0 + \frac{Mg}{2S} \right) S(l_0 – l_1) \\[2.0ex]
&= p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
気体が膨張するとき、圧力は一定ではなく徐々に上がっていきます。
このような場合、仕事は「平均の圧力 \(\times\) 体積の変化」で計算できます。
グラフが直線なので、平均の圧力は「最初の圧力」と「最後の圧力」のちょうど真ん中（平均値）になります。これを使って計算しました。
第1項 \(p_0 S(l_0 – l_1)\) は大気圧に逆らって広がるためにした仕事、第2項 \(\frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1)\) はピストンを持ち上げつつばねを押し広げるためにした仕事に対応します。物理的に意味のある項に分かれています。
思考の道筋とポイント
気体がした仕事は、外部の世界（ピストン、ばね、大気）に与えたエネルギーに等しいと考えます。
気体が膨張することで、ピストンは持ち上がり、ばねは自然長に戻り、大気は押し退けられます。
この設問における重要なポイント
- 仕事とエネルギーの関係: \(W_{\text{気体}} = \Delta E_{\text{位置}} + \Delta E_{\text{弾性}} + W_{\text{大気}}\)
- ばねの仕事: ばねは縮んだ状態から自然長に戻るので、蓄えていた弾性エネルギーを放出します（気体にとっては、ばねが押してくれるので仕事をされる側、あるいはばねのエネルギーが減少する）。
- ここでは「気体がした仕事」と「ばねがした仕事」の合計が、「位置エネルギー増加」と「大気への仕事」に使われたと考えます。
- 式: \(W_{\text{気体}} + W_{\text{ばね}} = \Delta E_{\text{位置}} + W_{\text{大気}}\)
具体的な解説と立式
各項を具体的に書き下します。
- ピストンの位置エネルギーの増加: \(\Delta E_{\text{位置}} = Mg(l_0 – l_1)\)
- 大気に対してした仕事: \(W_{\text{大気}} = p_0 S(l_0 – l_1)\)
- ばねがした仕事（弾性エネルギーの減少）: \(W_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}k(l_0 – l_1)^2 – 0\)
エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）より、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
W + W_{\text{ばね}} &= \Delta E_{\text{位置}} + W_{\text{大気}} \\[2.0ex]
W + \frac{1}{2}k(l_0 – l_1)^2 &= Mg(l_0 – l_1) + p_0 S(l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 位置エネルギー: \(U = mgh\)
- 弾性エネルギー: \(U = \frac{1}{2}kx^2\)
- 定圧仕事: \(W = p\Delta V\)
\(W\) について解き、\(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= Mg(l_0 – l_1) + p_0 S(l_0 – l_1) – \frac{1}{2}k(l_0 – l_1)^2 \\[2.0ex]
&= Mg(l_0 – l_1) + p_0 S(l_0 – l_1) – \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{l_0 – l_1} \right) (l_0 – l_1)^2 \\[2.0ex]
&= Mg(l_0 – l_1) + p_0 S(l_0 – l_1) – \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1) \\[2.0ex]
&= p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
気体が頑張って広がることで、「重たいピストンを持ち上げ」「大気を押し退け」ました。でも、その一部は「縮んでいたばねが元に戻ろうとする力」が手伝ってくれました。
だから、気体が実際に負担した仕事は、必要な全エネルギーから、ばねが手伝ってくれた分を差し引いたものになります。
メインの解法と完全に一致しました。エネルギーの収支を考えることで、計算ミスを防ぐ検算としても有効です。
思考の道筋とポイント
仕事の定義 \(W = \int p \, dV\) に立ち返り、(1)で求めた圧力の関数 \(p(l)\) を直接積分して仕事を求めます。
グラフの面積公式を忘れても、この定義さえ知っていれば解ける万能な方法です。
この設問における重要なポイント
- 仕事の定義: \(W = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV\)
- 変数の変換: \(V = Sl\) より \(dV = S \, dl\) となり、\(l\) での積分に書き換えます。
具体的な解説と立式
(1)より、圧力 \(p\) は \(l\) の関数として以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
p(l) &= p_0 + \frac{Mg}{S(l_0 – l_1)}(l – l_1)
\end{aligned}
$$
仕事 \(W\) を積分で立式します。積分範囲は \(l_1\) から \(l_0\) です。
$$
\begin{aligned}
W &= \int_{l_1}^{l_0} p(l) S \, dl \\[2.0ex]
&= \int_{l_1}^{l_0} \left\{ p_0 S + \frac{Mg}{l_0 – l_1}(l – l_1) \right\} dl
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 仕事の積分定義: \(W = \int p \, dV\)
- 積分の公式: \(\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2\)
項ごとに積分を実行します。第2項は \(x = l – l_1\) と置換すると計算が楽です（\(dx = dl\)、範囲 \(0 \to l_0 – l_1\)）。
$$
\begin{aligned}
W &= \int_{l_1}^{l_0} p_0 S \, dl + \frac{Mg}{l_0 – l_1} \int_{l_1}^{l_0} (l – l_1) \, dl \\[2.0ex]
&= p_0 S [l]_{l_1}^{l_0} + \frac{Mg}{l_0 – l_1} \left[ \frac{1}{2}(l – l_1)^2 \right]_{l_1}^{l_0} \\[2.0ex]
&= p_0 S (l_0 – l_1) + \frac{Mg}{l_0 – l_1} \cdot \frac{1}{2}(l_0 – l_1)^2 \\[2.0ex]
&= p_0 S (l_0 – l_1) + \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
「圧力 \(\times\) ちょっとした体積変化」を、変化の最初から最後まで全部足し合わせるのが積分の考え方です。
圧力が場所によって変わる場合でも、この方法なら正確に仕事を計算できます。結果は台形の面積計算と同じになります。
幾何学的な面積計算と同じ結果が、数式操作のみで導かれました。これにより、グラフを描かなくても計算で解けることが確認できました。
問(3)
思考の道筋とポイント
内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を求めるには、温度変化 \(\Delta T\) を知る必要があります。
理想気体の状態方程式を用いて、状態1と状態2の温度を表します。
この設問における重要なポイント
- 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
- 状態方程式: \(pV = nRT\)
具体的な解説と立式
状態1、状態2の温度をそれぞれ \(T_1, T_2\) とします。
状態方程式 \(pV = nRT\) をそれぞれの状態で立てます。
状態1では、\(p_1 = p_0\), \(V_1 = Sl_1\) です。
$$
\begin{aligned}
p_0 S l_1 &= nRT_1 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
状態2では、\(p_2 = p_0 + \frac{Mg}{S}\), \(V_2 = Sl_0\) です。
$$
\begin{aligned}
\left( p_0 + \frac{Mg}{S} \right) S l_0 &= nRT_2 \\[2.0ex]
(p_0 S + Mg) l_0 &= nRT_2 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR(T_2 – T_1) \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 理想気体の状態方程式: \(pV = nRT\)
- 内部エネルギー変化: \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)
式⑤に式③、④を代入して \(nRT\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} (nRT_2 – nRT_1) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} \{ (p_0 S + Mg) l_0 – p_0 S l_1 \} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} ( p_0 S l_0 + Mgl_0 – p_0 S l_1 ) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} \{ p_0 S(l_0 – l_1) + Mgl_0 \} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{3}{2} Mgl_0
\end{aligned}
$$
気体のエネルギー（内部エネルギー）は温度で決まります。
温度計がないので、代わりに圧力と体積の情報（状態方程式）を使って温度の代わりになる量（\(pV\)）を計算しました。
後の状態の \(pV\) から前の状態の \(pV\) を引いて、係数 \(\frac{3}{2}\) を掛けることで、エネルギーの増分が求まります。
答えは正の値をとり、膨張して圧力も上がったため温度が上昇し、内部エネルギーが増加したことを示しています。
問(4)
思考の道筋とポイント
気体に加えた熱量 \(Q\) を求めます。
これまでに求めた仕事 \(W\) と内部エネルギー変化 \(\Delta U\) を、熱力学第一法則に代入します。
この設問における重要なポイント
- 熱力学第一法則: \(Q = \Delta U + W\) （加えた熱 = 内部エネルギーの増加 + 外にした仕事）
具体的な解説と立式
熱力学第一法則より、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U + W
\end{aligned}
$$
ここに(2)と(3)の結果を代入します。
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(Q = \Delta U + W\)
$$
\begin{aligned}
Q &= \left\{ \frac{3}{2} p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{3}{2} Mgl_0 \right\} + \left\{ p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1) \right\}
\end{aligned}
$$
同類項をまとめます。
\(p_0 S(l_0 – l_1)\) の項は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2} + 1 &= \frac{5}{2}
\end{aligned}
$$
\(Mg\) を含む項は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2} Mgl_0 + \frac{1}{2} Mg(l_0 – l_1) &= \frac{1}{2} Mg (3l_0 + l_0 – l_1) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} Mg (4l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
これらを合わせて、
$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{5}{2} p_0 S(l_0 – l_1) + \frac{1}{2} Mg(4l_0 – l_1)
\end{aligned}
$$
気体に加えた熱エネルギーは、一部が「温度を上げる（内部エネルギーを増やす）」ことに使われ、残りが「ピストンを押して広がる（仕事をする）」ことに使われました。
それぞれ計算した値を足し合わせることで、最初に投入した熱の総量がわかります。
計算結果は模範解答と一致します。
問(Q) (発展問題)
思考の道筋とポイント
状態2（ばねは自然長 \(l_0\)）から、さらに加熱して長さ \(l_2 (> l_0)\) になりました。
この間の仕事 \(W’\) を求めます。
今度はばねが伸びるため、ばねはピストンを下向きに引きます。
問題文の指示通り、エネルギー保存則を用いて解きます。
この設問における重要なポイント
- ばねの力の向き: \(l > l_0\) なので、ばねは縮もうとして下向きの力を及ぼします。
- エネルギー保存則: \(W’ = \Delta E_{\text{位置}} + \Delta E_{\text{弾性}} + W_{\text{大気}}\)
- 弾性エネルギーの変化: 自然長 \(l_0\) から伸び \(l_2 – l_0\) になるので、エネルギーは \(0\) から \(\frac{1}{2}k(l_2 – l_0)^2\) に増加します。
具体的な解説と立式
気体がした仕事 \(W’\) は、外部のエネルギー増加分に等しいので、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
W’ &= \Delta E_{\text{位置}} + \Delta E_{\text{弾性}} + W_{\text{大気}} \\[2.0ex]
W’ &= Mg(l_2 – l_0) + \frac{1}{2}k(l_2 – l_0)^2 + p_0 S(l_2 – l_0)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）
\(k = \frac{Mg}{l_0 – l_1}\) を代入して整理します。共通因数 \((l_2 – l_0)\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
W’ &= (l_2 – l_0) \left\{ Mg + p_0 S + \frac{1}{2} k (l_2 – l_0) \right\} \\[2.0ex]
&= (l_2 – l_0) \left\{ Mg + p_0 S + \frac{1}{2} \frac{Mg}{l_0 – l_1} (l_2 – l_0) \right\}
\end{aligned}
$$
中括弧内の \(Mg\) の項をまとめます。
$$
\begin{aligned}
Mg + \frac{Mg(l_2 – l_0)}{2(l_0 – l_1)} &= Mg \left\{ 1 + \frac{l_2 – l_0}{2(l_0 – l_1)} \right\} \\[2.0ex]
&= Mg \left\{ \frac{2(l_0 – l_1) + (l_2 – l_0)}{2(l_0 – l_1)} \right\} \\[2.0ex]
&= Mg \left\{ \frac{2l_0 – 2l_1 + l_2 – l_0}{2(l_0 – l_1)} \right\} \\[2.0ex]
&= Mg \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)}
\end{aligned}
$$
これをもとの式に戻します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= \left\{ \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)} Mg + p_0 S \right\} (l_2 – l_0)
\end{aligned}
$$
ばねが自然長を超えて伸びる場合、気体は「ピストンを持ち上げ」「大気を押し退け」さらに「ばねを引き伸ばす」という3つの仕事をしなければなりません。
これらに必要なエネルギーをすべて足し合わせることで、気体がした仕事が求まります。
ばねが伸びる場合でも、エネルギー保存則を使えば、力の向きの変化（ばねが押すか引くか）をあまり気にせず、エネルギーの増減だけで計算できるため非常に強力です。
思考の道筋とポイント
ばねが自然長を超えて伸びる場合（\(l > l_0\)）、ばねの力は下向きになりますが、圧力 \(p\) と長さ \(l\) の関係式（直線の式）が変わらないことを確認し、積分で仕事を求めます。
この設問における重要なポイント
- 圧力の式の連続性: \(l > l_0\) のとき、つりあいの式は \(pS = p_0 S + Mg + k(l – l_0)\) となります。これは(1)の式 \(pS = p_0 S + Mg – k(l_0 – l)\) と数学的に全く同じ形です。つまり、\(p-l\) グラフは \(l_0\) を超えても同じ直線のまま続きます。
具体的な解説と立式
仕事 \(W’\) を積分で立式します。積分範囲は \(l_0\) から \(l_2\) です。
$$
\begin{aligned}
W’ &= \int_{l_0}^{l_2} p(l) S \, dl \\[2.0ex]
&= \int_{l_0}^{l_2} \left\{ p_0 S + \frac{Mg}{l_0 – l_1}(l – l_1) \right\} dl
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 仕事の積分定義: \(W = \int p \, dV\)
$$
\begin{aligned}
W’ &= p_0 S [l]_{l_0}^{l_2} + \frac{Mg}{l_0 – l_1} \left[ \frac{1}{2}(l – l_1)^2 \right]_{l_0}^{l_2} \\[2.0ex]
&= p_0 S (l_2 – l_0) + \frac{Mg}{2(l_0 – l_1)} \{ (l_2 – l_1)^2 – (l_0 – l_1)^2 \}
\end{aligned}
$$
波括弧の中身を因数分解 \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\) で計算します。
$$
\begin{aligned}
(l_2 – l_1)^2 – (l_0 – l_1)^2 &= \{ (l_2 – l_1) – (l_0 – l_1) \} \{ (l_2 – l_1) + (l_0 – l_1) \} \\[2.0ex]
&= (l_2 – l_0) (l_2 + l_0 – 2l_1)
\end{aligned}
$$
これを代入します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= p_0 S (l_2 – l_0) + \frac{Mg}{2(l_0 – l_1)} (l_2 – l_0) (l_0 + l_2 – 2l_1) \\[2.0ex]
&= (l_2 – l_0) \left\{ p_0 S + \frac{l_0 + l_2 – 2l_1}{2(l_0 – l_1)} Mg \right\}
\end{aligned}
$$
ばねが伸びても縮んでも、圧力の変化の仕方（グラフの傾き）が変わらないことに気づけば、同じ積分の計算で答えが出せます。
エネルギー保存則のように項を一つ一つ吟味する必要がなく、計算だけで機械的に解けるのが利点です。
エネルギー保存則を用いた場合と完全に一致しました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつりあいと圧力の決定
- 核心: ピストンが静止している限り、気体の圧力 \(p\) は、ピストンにはたらく他の力（重力、大気圧、ばねの弾性力）とのつりあいによって一意に決まります。
- 理解のポイント:
- 従属変数としての圧力: 圧力 \(p\) は勝手に決まるのではなく、ピストンの位置 \(l\)（つまりばねの変形量）によって決まる「従属変数」であるという視点が重要です。
- ばねの役割: ばねは \(l\) に応じて力を変えるため、結果として圧力 \(p\) も \(l\) の関数（今回は一次関数）になります。
- 仕事の計算手法の多様性
- 核心: 気体がする仕事 \(W\) は、状況に応じて「\(p-V\) グラフの面積」「エネルギー保存則」「積分の定義」のいずれか最適な方法で求めることができます。
- 理解のポイント:
- グラフの面積: 圧力が直線的に変化する場合（ばね付きピストンなど）に最も視覚的で計算ミスが少ない方法です。
- エネルギー保存則: 複数の力が関与する場合や、グラフを描くのが面倒な場合に、エネルギーの収支だけで計算できる強力なツールです。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ばねが上についている場合: 今回はピストンの下にばねがありましたが、上に吊るされている場合でも、力のつりあいの式が変わる（弾性力の向きが変わる）だけで、解法プロセスは全く同じです。
- シリンダーが横向きの場合: 重力の影響がなくなる（または垂直抗力とつりあう）ため、圧力の式から \(Mg\) の項が消えますが、ばねと大気圧とのつりあいで圧力が決まる構造は変わりません。
- 断熱変化の場合: 熱の出入り \(Q=0\) となるため、熱力学第一法則 \(0 = \Delta U + W\) より、仕事 \(W\) を求めれば内部エネルギー変化（温度変化）が求まります。
- 初見の問題での着眼点:
- ピストンの静止条件: まず最初に「力のつりあい」を立式し、圧力 \(p\) を他の変数（位置 \(x\) や体積 \(V\)）で表せないか検討します。
- 変化のプロセス: 「ゆっくりと熱を加えた」というキーワードは、常に力のつりあいが保たれたまま変化する（準静的過程）ことを意味し、つりあいの式が常に使えることを保証しています。
- 仕事の計算ルート: \(p\) が一定なら \(p\Delta V\)、\(p\) が \(V\) の一次関数なら台形の面積、それ以外なら積分かエネルギー保存則、と瞬時に判断します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- ばねの弾性力の向きと符号:
- 誤解: ばねの力が常に上向きだと思い込んだり、伸びと縮みを取り違えて符号を逆にしてしまう。
- 対策: 必ず「自然長の位置」を確認し、現在の長さ \(l\) が自然長より短い（縮んでいる）なら「押し返す向き」、長い（伸びている）なら「引き戻す向き」と、物理的な状況を図に矢印で書き込んでから立式します。
- 仕事の計算での \(p\) の取り扱い:
- 誤解: 圧力が変化しているのに、初期圧力 \(p_0\) や最終圧力 \(p\) を使って単純に \(W = p\Delta V\) と計算してしまう。
- 対策: 「圧力が一定かどうか」を常に疑います。ばねがついている場合は確実に圧力が変化するので、絶対に \(p\Delta V\) は使えません。グラフの面積か平均圧力を使う癖をつけましょう。
- 変数の混同（\(l\) と \(V\)）:
- 誤解: グラフの横軸が長さ \(l\) なのに、面積計算でそのまま \(l\) の変化量を使ってしまい、断面積 \(S\) を掛け忘れる。
- 対策: 仕事の次元は \([\text{J}] = [\text{N} \cdot \text{m}]\) です。圧力 \([\text{N}/\text{m}^2]\) \(\times\) 長さ \([\text{m}]\) では \([\text{N}/\text{m}]\) となり次元が合いません。最後に単位を確認する（ディメンションチェック）習慣がミスを防ぎます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)での公式選択（グラフの面積 vs 積分）:
- 選定理由: 圧力が \(l\) の一次関数になることが問(1)でわかっているため、\(p-V\) グラフは直線（台形）になります。台形の面積公式は小学生でも計算できるほど簡単で、計算量も最小で済むため、試験場では最優先で選択すべき解法です。
- 適用根拠: 積分計算は原理的に正しいですが、計算量が増え、計算ミスのリスクも高まります。グラフが直線であるという特殊性を最大限に利用するのが賢い戦略です。
- 問(Q)での公式選択（エネルギー保存則）:
- 選定理由: ばねが自然長をまたいで変化する場合、弾性力の向きが逆転するため、力のつりあいの式を場合分けして考えるのが面倒に感じるかもしれません。しかし、エネルギー保存則なら「自然長からの変位の2乗」で弾性エネルギーが決まるため、向きを気にせず一発で立式できます。
- 適用根拠: 保存力（重力、弾性力）のみがはたらく場での移動なので、位置エネルギーの概念が有効に機能します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
- 答えの各項がエネルギーの次元（力 \(\times\) 長さ）を持っているか確認します。
- 例: \(p_0 S (l_0 – l_1)\) \(\rightarrow\) \([\text{N}/\text{m}^2] \cdot [\text{m}^2] \cdot [\text{m}] = [\text{N} \cdot \text{m}]\) （OK）
- 例: \(Mg(l_0 – l_1)\) \(\rightarrow\) \([\text{N}] \cdot [\text{m}] = [\text{N} \cdot \text{m}]\) （OK）
- もし \(Mg\) だけの項があったら、それは「力」なので間違いです。
- 極限的なケースでの検算:
- もし \(k=0\) （ばねがない）だったら？
- (1)の圧力は \(p = p_0 + Mg/S\) （定圧）になるはずです。式で \(k \to 0\) とすると一致します。
- (2)の仕事は \(W = (p_0 + Mg/S) S(l_0 – l_1)\) になるはずです。これも一致します。
- もし \(l_1 = l_0\) （最初から自然長）だったら？
- 仕事や内部エネルギー変化は \(0\) になるはずです。式に代入して \(0\) になることを確認します。
- もし \(k=0\) （ばねがない）だったら？
- 共通因数のくくり出し:
- 計算の途中で \(S(l_0 – l_1)\) や \(Mg\) などの共通部分が見えたら、早めにくくり出して式をコンパクトにします。展開したまま計算を進めると、項数が増えて書き写しミスの原因になります。
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問題56 熱力学 (早稲田大＋近畿大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 熱力学第一法則を用いた体系的解法
- 模範解答は「混合したとき、内部エネルギーの和は変わらない」という保存則を前提としていますが、別解では熱力学第一法則の微分形 \(dU = d’Q – d’W\) から出発し、断熱かつ外部への仕事がない系において内部エネルギーが保存されること（\(dU=0\)）を原理的に導出します。
- 設問(Q)の別解: 熱量保存則を用いた解法
- 模範解答が内部エネルギーの変化の総和が \(0\) であることに着目するのに対し、別解では「高温物体が失った熱量」と「低温物体が得た熱量」が等しいという熱量保存則の視点から立式します。
- 設問(2)の別解: 熱力学第一法則を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 熱力学第一法則: 「なぜ内部エネルギーが保存されるのか」という根本的な理由を理解することで、断熱自由膨張や他の断熱過程との区別が明確になり、応用力が身につきます。
- 熱量保存則: 熱の移動という現象を直感的に捉えやすく、計算ミスを防ぐための検算としても有効です。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「連結された容器内での気体の状態変化と混合」です。
コックでつながれた2つの容器間で、気体が行き来したり、熱的に混合したりする過程を追跡します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\) は、いついかなる平衡状態でも成立する基本式です。
- 物質量保存則: 容器が密閉されている限り、気体分子の総数（物質量）は変化しません。
- 圧力の平衡: コックが開いていて十分時間が経過したとき、連結された容器内の圧力はどこでも等しくなります。
- 内部エネルギー保存則（断熱混合）: 断熱された容器内で気体が混合する場合、外部との熱のやり取りや仕事のやり取りがなければ、系全体の内部エネルギーの総和は保存されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、コックが開いているため「圧力が等しい」ことと「全物質量が保存される」ことを利用して連立方程式を立てます。
- (2)では、コックを閉じて温度を変えた直後の圧力を比較して気体の流れを判断し、その後、断熱混合における保存則を用いて最終温度を求めます。
- (Q)では、気体の種類（単原子分子かどうか）が変わった場合に、温度変化の結果がどうなるかを一般化して考察します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
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なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
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