「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第14章】基本例題～基本問題270

基本例題

基本例題49 波の要素

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波のグラフの解釈と基本要素の算出」です。波のグラフから物理量を読み取り、媒質の運動状態を理解する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
正弦波の基本量である波長\(\lambda\)、振幅\(A\)、周期\(T\)、速さ\(v\)を求める問題です。まず、\(t=0\)の\(y-x\)グラフから\(\lambda\)と\(A\)を読み取ります。次に、\(t=0\)から\(t=1.5 \text{ s}\)への波形の移動を考えることで速さ\(v\)を求め、最後に公式 \(v = \lambda / T\) を使って周期\(T\)を計算します。

この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフの1波長分の長さが波長\(\lambda\)、y軸方向の最大変位が振幅\(A\)である。
• 波の速さ\(v\)は、波形が単位時間あたりに進む距離で定義される。\(v = \Delta x / \Delta t\)。
• 波の基本公式 \(v = f\lambda\) と \(T=1/f\) を組み合わせた \(v = \lambda / T\) を用いる。

具体的な解説と立式
波長\(\lambda\)と振幅\(A\)の決定
\(t=0\)の波形（実線）を見ると、1つの波の繰り返しパターンが \(x=0\) から \(x=12 \text{ m}\) まで続いていることがわかります。これが1波長です。
$$ \lambda = 12 \text{ [m]} $$
また、媒質の変位\(y\)の最大値はグラフから \(0.2 \text{ m}\) と読み取れます。これが振幅です。
$$ A = 0.2 \text{ [m]} $$

波の速さ\(v\)の決定
実線(\(t=0\))と破線(\(t=1.5 \text{ s}\))の波形を比較します。波は\(x\)軸の正の向きに進むので、例えば実線上で \(x=9 \text{ m}\) にあった山が、破線上では \(x=12 \text{ m}\) に移動したように見えます。しかし、問題文の「\(x=0 \text{ m}\)での媒質の変位が単調に\(0 \text{ m}\)から\(0.2 \text{ m}\)に変化」という条件から、波の移動距離は1波長未満であると判断できます。
実線上で \(x=0\) の点（位相が同じ点）は、破線上では \(x=3 \text{ m}\) に対応します。つまり、波形は \(\Delta t = 1.5 \text{ s}\) の間に \(\Delta x = 3.0 \text{ m}\) だけ進んでいます。
したがって、波の速さ\(v\)は次のように計算できます。
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

周期\(T\)の決定
波の速さ\(v\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)の間には \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) の関係があります。この式を\(T\)について解きます。
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

波の速さ\(v\)の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{3.0}{1.5} \\[2.0ex]
&= 2.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
周期\(T\)の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{12}{2.0} \\[2.0ex]
&= 6.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

まずグラフを見て、波の「形」の情報を読み取ります。波一つ分の長さ（波長）は \(12 \text{ m}\)、波の高さ（振幅）は \(0.2 \text{ m}\) です。次に、波の「動き」を見ます。実線の波が \(1.5\) 秒後に破線の波になったので、波がどれだけ進んだかを見ます。例えば、\(x=0\) の場所にあった波の先頭が、\(1.5\) 秒後には \(x=3 \text{ m}\) の場所に来ています。つまり、速さは「距離 \(3.0 \text{ m}\) ÷ 時間 \(1.5 \text{ s}\)」で \(2.0 \text{ m/s}\) と計算できます。最後に、周期（波が1回振動するのにかかる時間）は、「波長 \(12 \text{ m}\) ÷ 速さ \(2.0 \text{ m/s}\)」で \(6.0 \text{ s}\) と求められます。

波長\(\lambda = 12 \text{ m}\)、振幅\(A = 0.2 \text{ m}\)、速さ\(v = 2.0 \text{ m/s}\)、周期\(T = 6.0 \text{ s}\) となります。
ここで、問題文の「\(x=0\)での媒質が\(t=0\)から\(t=1.5 \text{ s}\)の間に\(y=0\)から\(y=0.2 \text{ m}\)に単調に変化」という条件を確認します。\(x=0\)の媒質は\(t=0\)で\(y=0\)であり、波が右に進むため、この後\(y\)軸正の向きに動きます。山(\(y=A\))に達するまでの時間は \(T/4\) です。計算した周期 \(T=6.0 \text{ s}\) を使うと、\(T/4 = 6.0/4 = 1.5 \text{ s}\) となり、問題文の記述と完全に一致します。したがって、計算結果は妥当であると確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(t=0\)の瞬間に、媒質の振動速度が\(0 \text{ m/s}\)となる位置を特定する問題です。媒質の運動は単振動であり、単振動において速度が0になるのは、運動の「折り返し点」です。これを波の形で考えれば、変位が最大または最小となる点、すなわち「山」と「谷」に相当します。

この設問における重要なポイント

• 媒質の単振動において、速度は変位が最大・最小の点（折り返し点）で0になる。
• 波において、変位が最大・最小となるのは「山」と「谷」の位置である。

具体的な解説と立式
媒質は各位置で\(y\)軸方向に単振動しています。単振動する物体の速度は、変位が最大となる点（最も高い点と最も低い点）で一瞬だけ0になります。
\(t=0\)の波形（実線）において、

• 変位が正で最大となる「山」の位置は、点R (\(x=9 \text{ m}\)) です。
• 変位が負で最大となる「谷」の位置は、点P (\(x=3 \text{ m}\)) です。

したがって、これらの点で媒質の振動速度は \(0 \text{ m/s}\) となります。

この設問はグラフの読み取りと物理法則の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

媒質の動きは、上下に揺れるブランコのようなものです。ブランコが一番高いところまで上がった瞬間と、一番低いところまで下がった瞬間に、一瞬だけ動きが止まります。波の場合、この「一番高いところ」が「山」、「一番低いところ」が「谷」にあたります。グラフ上で山と谷になっている点を探すと、PとRが該当します。

\(t=0\)で媒質の振動速度が0になるのは、山(R)と谷(P)の位置です。これは単振動の基本的な性質と一致しており、妥当な結論です。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(t=0\)の瞬間に、媒質の速度が「\(y\)軸の正の向き」に「最大」となる位置を特定する問題です。まず「速度が最大」になる条件を考え、次にその中で「向きが正」となるものを選び出します。

1. 速度が最大になる位置: 単振動では、振動の中心（変位\(y=0\)）を通過するときに速さが最大になります。
2. 速度の向き: 速度の向きを判断するには、「少し後の波形」を描き、各点がどちらに動くかを見るのが直感的で分かりやすい方法です。

この設問における重要なポイント

• 媒質の単振動において、速さは変位が0（振動の中心）の点で最大になる。
• 波の進行方向が分かっている場合、「少し後の波形」を描くことで、各媒質の次の瞬間の変位の向き（＝速度の向き）を判断できる。

具体的な解説と立式
速度が最大となる位置の特定
媒質の速さは、単振動の中心である変位\(y=0\)の位置で最大となります。\(t=0\)のグラフ（実線）で\(y=0\)となっている点は、O(\(x=0\))、Q(\(x=6 \text{ m}\))、S(\(x=12 \text{ m}\))の3点です。

速度の向きの判断
次に、これら3点での速度の向きを調べます。波は\(x\)軸の正の向きに進むので、\(t=0\)の波形（実線）より少しだけ時間が経った後の波形は、実線を少しだけ右にずらした形になります（問題の図にある「少し後の波形」を参照）。
この「少し後の波形」と元の位置(\(x=0, 6, 12\))を比較します。

• 点O (\(x=0\)): 少し後の波形では、\(x=0\)の位置の変位は正になっています。つまり、点Oの媒質は\(y\)軸正の向きに動きます。
• 点Q (\(x=6 \text{ m}\)): 少し後の波形では、\(x=6 \text{ m}\)の位置の変位は負になっています。つまり、点Qの媒質は\(y\)軸負の向きに動きます。
• 点S (\(x=12 \text{ m}\)): 少し後の波形では、\(x=12 \text{ m}\)の位置の変位は正になっています。つまり、点Sの媒質は\(y\)軸正の向きに動きます。

以上から、速度が\(y\)軸の正の向きに最大となるのは、点Oと点Sです。

この設問はグラフの解釈に基づくものであり、計算は不要です。

まず、媒質の速さが一番速くなるのはどこか考えます。これは、ブランコが一番低い位置（真ん中）を通過するときに最も速くなるのと同じで、波の振動の真ん中、つまり\(y=0\)の点です。グラフを見ると、O, Q, Sが該当します。
次に、これらの点でどちら向きに動いているかを知るために、波が少し進んだ後の形を想像します（問題の図の破線のような波）。

• OとSの場所では、波が少し進むと上にずれるので、速度は「上向き（正の向き）」です。
• Qの場所では、波が少し進むと下にずれるので、速度は「下向き（負の向き）」です。

したがって、「上向き（正の向き）」で「速さが最大」なのはOとSです。

\(t=0\)で\(y\)軸正の向きに最大の速度をもつのは、変位が0で、かつ次の瞬間に変位が正になる点OとSです。波形移動法による判断は直感的で分かりやすく、物理的にも正しい結果を与えています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の二重性（伝播と振動）の理解:
  • 核心: 波は「波形（位相）が空間を伝播する現象」であると同時に、「各点の媒質がその場で単振動する現象」でもある。この2つの視点を自在に切り替えられることが最重要です。
  • 理解のポイント:
    • 波形の伝播: \(y-x\)グラフ（波形グラフ）が時間とともに平行移動すると考える。速さ\(v\)は波形が進む速さです。
    • 媒質の単振動: 特定の位置\(x\)に注目したときの\(y-t\)グラフを想像します。媒質の速度\(v_y\)は、この単振動の速度です。
• 媒質の単振動における速度と変位の関係:
  • 核心: 媒質の振動速度\(v_y\)は、変位\(y\)に依存して変化します。
  • 理解のポイント:
    • 速度最大: 変位\(y=0\)（振動の中心）のとき。
    • 速度ゼロ: 変位が最大（\(y=\pm A\)、山と谷）のとき。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフが与えられる問題: 特定の位置\(x\)での媒質の変位の時間変化グラフ。このグラフから周期\(T\)と振幅\(A\)を直接読み取れます。\(y-x\)グラフと組み合わせることで、波長\(\lambda\)や速さ\(v\)を求める問題。
  • 波の式を扱う問題: \(y(x, t) = A \sin(2\pi (\displaystyle\frac{t}{T} – \displaystyle\frac{x}{\lambda}))\) のような式が与えられ、物理量を読み取ったり、特定の\(x, t\)での\(y\)や\(v_y\)を計算したりする問題。
  • 波の進行方向が逆の問題: 波が\(x\)軸負の向きに進む場合。媒質の速度の向きの判断が逆になります（「少し後の波形」は左にずらす）。別解で用いた公式は \(v_y = +v \displaystyle\frac{dy}{dx}\) に変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの種類を確認: 与えられたグラフが\(y-x\)グラフ（ある瞬間のスナップショット）なのか、\(y-t\)グラフ（ある点の定点観測）なのかを最初に確認します。
  2. 波の進行方向を確認: 問題文で「正の向き」か「負の向き」かを必ずチェックします。これが媒質の速度の向きを決定します。
  3. 「波の速さ\(v\)」と「媒質の速度\(v_y\)」を区別: 問題がどちらの速度について尋ねているかを明確に意識します。\(v\)は定数（正弦波の場合）、\(v_y\)は時間変化します。
  4. 問題文の付加条件に注目: (1)の「\(x=0\)での媒質の変位が単調に…」のような条件は、波の移動距離が1波長未満であることを特定したり、周期を直接求めたりするための重要なヒントになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の速さ\(v\)と媒質の速度\(v_y\)の混同:
  • 誤解: (2)や(3)で問われている「振動の速度」を、(1)で求めた波の速さ\(v=2.0 \text{ m/s}\)と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「波の速さ\(v\)」は波形全体が移動する速さで、一定値。「媒質の速度\(v_y\)」は各点が上下（または左右）に振動する速さで、場所と時間によって変わる、と明確に区別して覚えます。
• 媒質の速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: (3)で、点Qはグラフが上り坂だから速度も上向き（正）だろう、と直感で判断してしまう。
  • 対策: 必ず「少し後の波形」を描く癖をつけます。波が右に進むなら、自分のいる位置の「少し右側」の波の高さが、次の瞬間の自分の高さになる、と考えます。「山が近づいてくる点(O, S)は上に動き、谷が近づいてくる点(Q)は下に動く」とイメージするのも有効です。
• 波の移動距離の誤解:
  • 誤解: (1)で、\(t=0\)の山の位置(\(x=9\))と\(t=1.5\)の山の位置(\(x=12\))を見て、移動距離を\(3 \text{ m}\)と即断する。今回は正しいですが、もし\(1.5 \text{ s}\)で\(1.25\)周期進むような場合（移動距離が\(12+3=15 \text{ m}\)）、この考え方では間違う可能性があります。
  • 対策: 問題文の「\(x=0\)での媒質が単調に変化」という条件を必ず確認します。この条件が、移動が1波長未満であることを保証しています。このような条件がない場合は、複数の可能性を検討する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(v = f\lambda\), \(T=1/f\)):
  • 選定理由: 波の3大要素である速さ\(v\)、振動数\(f\)(または周期\(T\))、波長\(\lambda\)のうち、2つが分かれば残りの1つを計算できる、最も基本的な関係式だからです。
  • 適用根拠:
    • (1)では、グラフから\(\lambda\)を、波形の移動から\(v\)を求めた後、残る\(T\)を求めるために、これらの関係式を組み合わせた \(T = \displaystyle\frac{\lambda}{v}\) を適用しました。
    • 別解(1)では、媒質の振動から\(T\)を、グラフから\(\lambda\)を求めた後、残る\(v\)を求めるために \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を適用しました。
• 媒質の速度とグラフの傾きの関係式 (\(v_y = -v \displaystyle\frac{dy}{dx}\)):
  • 選定理由: (3)の別解で、直感的な「波形移動法」に代わる、より数学的で厳密な解法を提供するために使用しました。
  • 適用根拠: この公式は、波の式 \(y(x,t) = f(x-vt)\) を\(t\)で偏微分（媒質速度を求める）し、\(x\)で偏微分（傾きを求める）することで導出される関係です。高校範囲を超える導出ですが、結果を知っていると検算や別解として非常に強力です。\(v_y\)が\(y\)の時間変化率、\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)が\(y\)の空間変化率であり、その関係を結びつけています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取り:
  • 横軸と縦軸の単位（[m], [s]など）を必ず確認します。
  • 1目盛りがいくらかを正確に把握します。この問題では\(x\)軸の目盛りが3mごとになっている点に注意が必要です。
• 分数の計算:
  • (1)の周期の計算 \(T = 12 / 2.0\) や、速さの計算 \(v = 3.0 / 1.5\) は、小数を含む割り算です。暗算に頼らず、\(3.0/1.5 = 30/15 = 2\) のように、一度整数に直してから計算するとミスが減ります。
• 単位の確認:
  • 計算の最終結果に正しい単位（\(\lambda\)は[m], \(A\)は[m], \(T\)は[s], \(v\)は[m/s]）がついているかを確認します。単位を意識することで、物理的にありえない式（例：距離÷時間で周期を求める）を立てていないかチェックできます。
• 条件の再確認（吟味）:
  • (1)の主たる解法の最後に示したように、計算結果（\(T=6.0 \text{ s}\)）が、問題文の条件（「\(1.5 \text{ s}\)で\(y=0\)から\(y=0.2\)へ」）と矛盾しないかを確認します（\(T/4 = 6.0/4 = 1.5 \text{ s}\)で一致）。この一手間が、計算ミスや解釈の間違いを発見するのに役立ちます。

基本例題50 \(y – x\) 図と \(y – t\) 図

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(y-x\)グラフから特定の点の\(y-t\)グラフへの変換」です。波の空間的な情報（波形）と時間的な情報（振動）を結びつける、波の理解度を測る上で非常に重要な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
\(y-x\)図（空間情報）を\(y-t\)図（時間情報）に変換する問題です。そのためには、\(y-t\)図の基本形状を決める「振幅\(A\)」と「周期\(T\)」、そして\(t=0\)の瞬間の状態を決める「初期変位」と「初期速度の向き（初動）」の4つの情報が必要です。これらを元の\(y-x\)図と与えられた条件から一つずつ特定していきます。

この設問における重要なポイント

• \(y-x\)図から読み取れるのは波長\(\lambda\)と振幅\(A\)。
• 周期\(T\)は、波の基本式 \(v = \lambda / T\) を変形した \(T=\lambda/v\) で計算する。
• 媒質の初動（速度の向き）は、波の進行方向に「少し後の波形」を描いて判断する。

具体的な解説と立式
1. 振幅\(A\)と波長\(\lambda\)の読み取り
与えられた\(y-x\)図から、波の最大の変位である振幅\(A\)と、1波長分の長さである波長\(\lambda\)を読み取ります。

• グラフのy軸の最大値から、振幅は \(A = 1.5 \text{ m}\)。
• グラフが1回振動して元の変位に戻るまでのx軸上の長さから、波長は \(\lambda = 8.0 \text{ m}\)。

2. 周期\(T\)の計算
問題文より、波の速さは \(v=2.0 \text{ m/s}\) と与えられています。波の基本式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を用いて、周期\(T\)を求めます。
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

3. 初期条件の確認（\(t=0, x=8.0 \text{ m}\)）
\(y-t\)図を描くために、\(x=8.0 \text{ m}\) の点の\(t=0\)における状態を調べます。

• 初期変位: \(y-x\)図において、\(x=8.0 \text{ m}\) の点の変位は \(y=0 \text{ m}\) です。
• 初期速度の向き（初動）: 波は\(x\)軸の正の向きに進むので、「少し後の波形」は、\(t=0\)の波形（実線）を少しだけ右にずらした形（点線）になります。
  このとき、\(x=8.0 \text{ m}\) という定点に注目すると、波形が下にずれていることがわかります。これは、\(x=8.0 \text{ m}\) の媒質が\(t=0\)の直後に\(y\)軸負の向きに動き出すことを意味します。

4. \(y-t\)図の作成
以上の情報から、\(x=8.0 \text{ m}\) の媒質の\(y-t\)図を描きます。

• 振幅は \(A=1.5 \text{ m}\)。
• 周期は \(T=4.0 \text{ s}\)。
• \(t=0\) のとき \(y=0\)。
• \(t=0\) の直後、\(y\)は負の値をとる（下向きに動く）。

これらを満たすグラフは、振幅\(1.5\)、周期\(4.0\)の「マイナスサインカーブ」になります。

周期\(T\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{8.0}{2.0} \\[2.0ex]
&= 4.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

まず、\(x=8.0 \text{ m}\) という場所の「振動の様子」を記録する\(y-t\)グラフを描くための部品を集めます。

1. 振動の幅（振幅）: これは波の高さと同じなので、\(y-x\)グラフから \(1.5 \text{ m}\) とわかります。
2. 1回の振動にかかる時間（周期）: これは「波1つ分の長さ（波長 \(8.0 \text{ m}\)）を波が進むのにかかる時間」です。「時間 = 距離 ÷ 速さ」なので、周期は \(8.0 \text{ m} \div 2.0 \text{ m/s} = 4.0 \text{ s}\) と計算できます。
3. スタートの様子: \(t=0\) の瞬間の\(x=8.0 \text{ m}\)の点の様子を\(y-x\)グラフで見ると、高さは \(y=0\) です。この後どちらに動くかを知るために、波全体が少し右に進んだ絵を想像します。すると、\(x=8.0 \text{ m}\)の場所の波は下にずれます。つまり、スタート直後は「下向き」に動きます。

これらの部品を組み立てると、「振幅\(1.5 \text{ m}\)、周期\(4.0 \text{ s}\)で、原点から下向きにスタートする波のグラフ」が描けます。

\(x=8.0 \text{ m}\)における媒質の振動は、振幅\(1.5 \text{ m}\)、周期\(4.0 \text{ s}\)で、\(t=0\)で変位0の位置から負の向きに動き始める単振動となる。したがって、\(y-t\)図は解答の図のようなマイナスサインカーブを描く。これは物理的な考察と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-x\)図と\(y-t\)図の変換ロジック:
  • 核心: 波の空間情報（\(y-x\)図）と時間情報（\(y-t\)図）を自在に結びつける能力が全てです。\(y-x\)図は波の「形」(\(\lambda, A\))を、\(y-t\)図は点の「振動」(\(T, A\))を表すという役割の違いを明確に理解することが出発点です。
  • 理解のポイント: 変換には、振幅\(A\)、周期\(T\)、初期変位、初動の4要素が必要です。\(A\)は共通、\(T\)は\(v=\lambda/T\)で計算、初期変位と初動は\(y-x\)図から読み取ります。
• 媒質の初動の決定法:
  • 核心: \(y-t\)グラフの\(t=0\)以降の形を決定づけるのは「初動の向き」です。これを「少し後の波形」を描くことで視覚的に判断するスキルが極めて重要です。
  • 理解のポイント: 波が\(x\)軸正の向きに進むなら、波形全体を少し右にずらして描きます。そして、注目している\(x\)座標で、ずらした波形（未来の波形）が元の波形より上にあるか下にあるかを見ます。上なら初動は正、下なら初動は負です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)図から\(y-x\)図を作成する逆問題: \(y-t\)図から\(A, T\)を読み取り、\(v\)を使って\(\lambda\)を計算。\(t=0\)の各点の変位をプロットして波形を描きます。
  • 特定の変位になる時刻や位置を求める問題: 別解で示した波の式\(y(x,t)\)を立て、与えられた\(y\)の値を代入して\(x\)や\(t\)について解きます。
  • 負の向きに進む波の問題: 初動の判断で「少し後の波形」を左にずらして考えます。波の式を立てる場合は \(y(x,t) = f(x+vt)\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、与えられた図が\(y-x\)図（空間）か\(y-t\)図（時間）かを絶対に確認します。
  2. 変換に必要な4要素をリストアップ: 頭の中で「振幅A、周期T、初期変位、初動」の4つの空欄を用意します。
  3. 情報を一つずつ集める: グラフと問題文から、これらの空欄を埋めていきます。\(A\)と\(\lambda\)（または\(T\)）はグラフから、\(v\)は問題文から、残りの\(T\)（または\(\lambda\)）は\(v=\lambda/T\)で計算。初期変位と初動はグラフを読み解いて判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\)図と\(y-t\)図の混同:
  • 誤解: \(y-x\)図の横軸を時間だと勘違いして周期を読み取ったり、その逆をしてしまう。
  • 対策: グラフを見たら、まず「縦軸は変位\(y\)、横軸は…位置\(x\)か！時間\(t\)か！」と声に出して確認する習慣をつけます。
• 初動の向きの間違い:
  • 誤解: \(x=8.0 \text{ m}\)の点で、グラフの接線が上り坂だから初動も上向き（正）だろう、と勘違いする。（これは波が負の向きに進む場合の話）
  • 対策: 初動の判断は必ず「少し後の波形」を描く方法に統一するのが安全です。波の進行方向（右か左か）を確認し、その方向に波形全体を少しずらして、点の上下動を見る、という手順を機械的に実行します。
• サインとコサインの選択ミス（別解）:
  • 誤解: 波の式を立てる際に、\(t=0, x=0\)での変位と傾きを考慮せず、安易に\(y=A\sin(k(x-vt))\)と決めてしまう。
  • 対策: 必ず\(t=0\)の波形\(y(x,0)\)が、\(\sin(kx)\), \(\cos(kx)\), \(-\sin(kx)\), \(-\cos(kx)\) のどれに相当するかを確認してから、波の進行方向を考慮して\(y(x,t)\)の式を立てます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(T = \lambda/v\)):
  • 選定理由: この問題は空間情報(\(\lambda\))から時間情報(\(T\))への変換が鍵です。この2つを、波の運動特性である速さ\(v\)で結びつけるのがこの公式の役割です。
  • 適用根拠: 「1周期\(T\)という時間で、波は1波長\(\lambda\)という距離を進む」という波の定義そのものです。速さ＝距離÷時間なので、\(v = \lambda/T\)となります。
• 波の一般式 (\(y(x,t) = f(x-vt)\)):
  • 選定理由: 別解で用いたこの式は、波の現象を一つの数式で完全に記述する、より強力なツールです。直感的な解法だけでなく、解析的な裏付けを得たい場合や、より複雑な問いに答える場合に選択します。
  • 適用根拠: この式は「波形が形を保ったまま平行移動する」という現象を数学的に表現したものです。\(t=0\)での波形が\(y=f(x)\)で表されるとき、時間\(t\)後には波形全体が\(x\)軸正方向に\(vt\)だけ移動します。これは、グラフの平行移動の考え方から\(y=f(x-vt)\)と表せます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取り精度: 振幅、波長、周期の値を読み間違えないことが大前提です。特に、1波長がどこからどこまでか（例：山から次の山まで、原点から次の同位相の点まで）を正確に把握します。
• 単位の確認: 問題で与えられる単位（m, cm, sなど）が混在していないか、計算結果の単位は正しいか（周期なら[s]）を常に確認します。
• 三角関数の習熟（別解）: 別解のアプローチを取る場合、\(\sin(A-B)\)の展開や、\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\)などの公式を正確に、かつ素早く使いこなす練習が不可欠です。特に符号のミスに注意が必要です。

基本例題51 縦波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示の解釈」です。縦波の媒質の変位や密度の変化、速度といった物理的状態を、横波表示のグラフから正しく読み取る能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1), (2)

思考の道筋とポイント
縦波の「密」と「疎」を判断する問題です。横波表示はあくまで便宜的な表現なので、これを実際の縦波の変位（x軸方向のズレ）に翻訳して考える必要があります。各点の媒質が、その左右から集まってくるのか、それとも離れていくのかを調べることで、密・疎がわかります。

この設問における重要なポイント

• 横波表示の\(y\)座標は、縦波の\(x\)方向の変位を表す。\(y>0\)なら右向きの変位、\(y<0\)なら左向きの変位。
• 密な点：左右の媒質がその点に向かってくる場所。
• 疎な点：左右の媒質がその点から遠ざかっていく場所。

具体的な解説と立式
横波表示のグラフの各点における変位の矢印を、時計回りに90度回転させると、実際の媒質の変位の向き（x軸方向）になります。

• \(y>0\)の領域（O〜A, C〜E）では、媒質は正の向き（右向き）に変位します。
• \(y<0\)の領域（A〜C）では、媒質は負の向き（左向き）に変位します。
• \(y=0\)の点（A, C, E）は、変位が0ですが、その周辺の媒質の動きを考えます。

(1) 最も密な点
媒質が集まってきて密度が最大になる点を探します。

• 点A: Aの少し左側の媒質は右向きに（Aに近づく）、Aの少し右側の媒質は左向きに（Aに近づく）変位します。したがって、Aには媒質が集まり「密」になります。
• 点C: Cの少し左側の媒質は左向きに（Cから遠ざかる）、Cの少し右側の媒質は右向きに（Cから遠ざかる）変位します。したがって、Cでは媒質が離れていき「疎」になります。
• 点E: 点Aと同様の状況であり、Eには媒質が集まり「密」になります。

よって、最も密な点はAとEです。

(2) 最も疎な点
媒質が離れていき密度が最小になる点を探します。
上記の考察から、最も疎な点はCです。

この設問はグラフの解釈に基づくものであり、計算は不要です。

横波グラフを、媒質の「ズレ」の大きさを表すものだと考えます。グラフの縦軸は、プラスなら「右へのズレ」、マイナスなら「左へのズレ」を意味します。
(1) 密な場所を探します。点Aを見てみましょう。Aの左隣の点はプラスなので右にズレ、Aの右隣の点はマイナスなので左にズレます。両側からAに向かって集まってくるので、Aは混み合って「密」になります。Eも同じです。
(2) 疎な場所を探します。点Cを見てみましょう。Cの左隣の点はマイナスなので左にズレ、Cの右隣の点はプラスなので右にズレます。両側がCから離れていくので、Cはスカスカになって「疎」になります。

横波表示を縦波の実際の変位に正しく変換することで、最も密な点はA, E、最も疎な点はCであると判断できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
媒質の振動速度が0になる点を問う問題です。縦波であっても、媒質の各点はその場で単振動（この場合はx軸方向の往復運動）をしています。単振動において速度が0になるのは、運動の「折り返し点」、つまり変位が最大または最小になる点です。

この設問における重要なポイント

• 媒質の振動速度が0になるのは、振動の端、すなわち変位が最大・最小の点である。
• これは、横波表示における「山」と「谷」の頂点に相当する。

具体的な解説と立式
媒質の振動速度が0になるのは、振動のエネルギーがすべて位置エネルギー（弾性エネルギー）になり、運動エネルギーが0になるときです。これは、媒質が最も大きく変位した、振動の折り返し点で起こります。
横波表示のグラフにおいて、

• 変位が正で最大（山の頂点）なのは、点OとDです。
• 変位が負で最大（谷の底）なのは、点Bです。

これらの点では、媒質の振動速度は一瞬0になります。

この設問はグラフの読み取りと物理法則の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

媒質の動きは、左右に揺れるバネのようなものです。バネが一番伸びきった点と、一番縮んだ点で、一瞬動きが止まります。この「一番端っこ」が、横波表示のグラフでは「山」と「谷」のてっぺんにあたります。グラフ上で山と谷になっている点を探すと、O, B, Dが該当します。

縦波でも媒質の運動は単振動であるという基本に立ち返れば、速度が0になるのは変位が最大の点であると正しく判断できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
媒質の速度が「左向き」に「最大」となる点を特定する問題です。まず「速度が最大」になる条件を考え、次にその中で「向きが左」となるものを選び出します。

1. 速度が最大になる位置: 単振動では、振動の中心（変位\(y=0\)）を通過するときに速さが最大になります。
2. 速度の向き: 縦波の「左向き」の速度は、横波表示における「y軸負の向き」の速度に対応します。向きを判断するには、「少し後の波形」を描くのが有効です。

この設問における重要なポイント

• 媒質の速さが最大になるのは、変位が0の点（A, C, E）。
• 縦波の左向きの速度 \(\iff\) 横波表示でのy軸負向きの速度。
• 「少し後の波形」を描くことで、各点のy軸方向の動き（＝速度の向き）を判断できる。

具体的な解説と立式
速度が最大となる位置の特定
媒質の速さは、振動の中心である変位\(y=0\)の位置で最大となります。横波表示のグラフで\(y=0\)となっている点は、A, C, Eの3点です。

速度の向きの判断
次に、これら3点での速度の向きを調べます。波は\(x\)軸の正の向きに進むので、「少し後の波形」は、\(t=0\)の波形を少しだけ右にずらした形になります。
この「少し後の波形」と元の位置(\(x\)座標)を比較します。

• 点A, E: 少し後の波形では、これらの\(x\)座標における変位は正になっています。つまり、媒質はy軸正の向きに動きます。これは縦波では「右向き」の速度に対応します。
• 点C: 少し後の波形では、この\(x\)座標における変位は負になっています。つまり、媒質はy軸負の向きに動きます。これは縦波では「左向き」の速度に対応します。

以上から、速度が左向きに最大となるのは、点Cです。

この設問はグラフの解釈に基づくものであり、計算は不要です。

まず、速さが最大になるのは、振動の真ん中、つまり横波表示で高さが0の点です。A, C, Eが候補になります。
次に、これらの点でどちら向きに動いているかを知るために、波が少し右に進んだ後の形を想像します。

• AとEの場所では、波が少し進むと上にずれるので、動きは「上向き」です。横波表示の「上向き」は、実際の縦波では「右向き」を意味します。
• Cの場所では、波が少し進むと下にずれるので、動きは「下向き」です。横波表示の「下向き」は、実際の縦波では「左向き」を意味します。

したがって、「左向き」に「速さが最大」なのはCです。

横波表示と実際の縦波の運動の対応関係を正しく理解し、波形移動法を用いることで、正しい答えを導くことができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示の翻訳能力:
  • 核心: 縦波の物理現象（変位、密疎、速度）と、横波表示グラフの各要素（y座標、傾き、山谷）との対応関係を正確に理解し、自在に翻訳できることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 変位: y座標の正負が、x軸方向の変位の正負に対応する。(\(y>0 \rightarrow\) 右向き変位)
    • 密・疎: グラフの傾きで判断できる。密は「最も急な下り坂」(\(dy/dx < 0\))、疎は「最も急な上り坂」(\(dy/dx > 0\))。
    • 速度: 横波と同様、変位最大の点（山・谷）で速度0、変位0の点で速度最大。
    • 速度の向き: 横波表示でのy軸方向の動きが、実際のx軸方向の速度の向きに対応する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縦波の\(y-t\)グラフ: 特定の点の媒質の変位の時間変化グラフ。このグラフから、その点がいつ密になり、いつ疎になるか、速度がどう変化するかを読み取る問題。
  • 定常波（縦波）: 開管や閉管内の気柱の振動など。定常波の「腹」と「節」が、それぞれ圧力変化や変位の観点からどうなっているかを問う問題。
  • 波形が与えられていない問題: 「x=x1で密、x=x2で疎」といった情報から、波長や波の形を推測する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「縦波」であることを確認: 問題文に「縦波」とあったら、すぐに「横波表示の翻訳が必要だ」と意識を切り替えます。
  2. 変位の向きを定義する: 横波表示のy軸の正が、x軸のどちら向きの変位に対応するかを最初に確認します（通常は波の進行方向が正）。
  3. 密・疎を問われたら傾きを見る: 視覚的に矢印を描く方法も良いですが、別解で示したように「密は傾きが負で最大、疎は傾きが正で最大」と覚えておくと、素早く正確に判断できます。
  4. 速度を問われたら横波と同じ手順で: まず「変位0で最大、変位最大で0」というルールで候補を絞り、次に「少し後の波形」で向きを判断します。この手順は横波と全く同じです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 密・疎と変位の混同:
  • 誤解: 変位が最大の点（山・谷）が密や疎の中心だと勘違いする。
  • 対策: 密・疎は「媒質の集まり具合」であり、「変位の大きさ」そのものではないことを明確に区別します。密・疎の中心は、変位が0の点（A, C, E）で起こることを徹底します。
• 速度の向きの誤解:
  • 誤解: (4)で、点Cはグラフが上り坂だから、速度も正の向き（右向き）だと考えてしまう。
  • 対策: これは横波表示の傾きと速度の向きを混同した典型的なミスです。媒質の速度の向きは、あくまで「少し後の波形」を描いて、点のy座標がどう変化するかで判断します。y座標が減る（下に動く）なら、それはx軸負向き（左向き）の速度を意味します。
• 横波と縦波のルールの混同:
  • 誤解: 縦波の問題なのに、y軸方向の変位そのものを物理現象だと考えてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、ノートの隅に「\(y>0 \rightarrow\) 右向き変位、\(y<0 \rightarrow\) 左向き変位」のように、自分だけのルールをメモしておくと、混乱を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 縦波の密度変化と傾きの関係 (\(\Delta \rho \propto -dy/dx\)):
  • 選定理由: (1),(2)の別解で、密・疎という物理現象を、グラフの傾きという数学的な量に結びつけるために使用しました。直感的な解法だけでなく、論理的な裏付けを与えます。
  • 適用根拠: 点\(x\)の媒質は\(y(x)\)だけ変位し、点\(x+\Delta x\)の媒質は\(y(x+\Delta x)\)だけ変位します。この2点間の媒質の長さの変化は \(y(x+\Delta x) – y(x)\) です。単位長さあたりの長さの変化率（ひずみ）は \(\frac{y(x+\Delta x) – y(x)}{\Delta x}\) であり、\(\Delta x \to 0\) の極限で \(\frac{dy}{dx}\) となります。密度変化はひずみに比例し、伸びると（ひずみが正）疎に（密度変化が負に）なるため、マイナスの符号がつきます。
• 媒質速度と傾きの関係 (\(v_x = -v \cdot dy/dx\)):
  • 選定理由: (4)の別解で、速度の向きと大きさを、グラフの傾きから直接判断するために使用しました。
  • 適用根拠: この公式は横波でも縦波でも成り立ちます。波の式が\(y=f(x-vt)\)で表されるとき、媒質の速度は \(v_x = \frac{\partial y}{\partial t}\)、グラフの傾きは \(\frac{\partial y}{\partial x}\) であり、連鎖律（合成関数の微分）を用いるとこの関係が導かれます。高校物理では結果として知っておくと非常に便利です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの定性的な読み取り: この問題には定量的な計算はありませんが、グラフのどの点が「山」「谷」「変位0」「傾き最大」なのかを正確に読み取る能力が問われます。各点（O, A, B, C, D, E）の特徴を一つずつ指で確認しながら進めると確実です。
• 左右・上下の対応付け: 「縦波の右向きは、横波表示の上向き」「縦波の左向きは、横波表示の下向き」という対応を、問題の最初に明確にしておきます。この変換でミスをすると、(4)のような問題で間違えてしまいます。
• 図を描くことをためらわない: 指針や解説にあるように、密・疎の判断や速度の向きの判断で迷ったら、必ず自分で図を描いてみることが最も確実な方法です。特に「少し後の波形」は、頭の中だけでやろうとせず、実際に薄く描き込むことでミスを劇的に減らせます。

基本例題52 定在波 (定常波)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定在波（定常波）の性質」です。逆向きに進む2つの同じ波が重なってできる定在波について、その合成波形の作図、腹と節の位置、そして振動の時間変化を理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(t=0\)の瞬間の合成波の波形を描く問題です。「波の重ね合わせの原理」に基づき、グラフ上の各点について、波a（実線）と波b（破線）の\(y\)座標の値を単純に足し算します。特に、格子点など読み取りやすい点の合成後の変位をプロットし、それらを滑らかに結ぶことで波形を作成します。

この設問における重要なポイント

• 重ね合わせの原理：合成波の変位 \(y = y_a + y_b\)。
• グラフの各\(x\)座標で、2つの波の\(y\)座標を足し合わせる。

具体的な解説と立式
各\(x\)座標について、波aの変位\(y_a\)と波bの変位\(y_b\)を足し合わせ、合成波の変位\(y\)を求めます。

• \(x=0 \text{ cm}\): \(y_a=0\), \(y_b=1\). よって \(y=0+1=1\).
• \(x=1 \text{ cm}\): \(y_a=-1\), \(y_b=0\). よって \(y=-1+0=-1\).
• \(x=2 \text{ cm}\): \(y_a=0\), \(y_b=-1\). よって \(y=0+(-1)=-1\).
• \(x=3 \text{ cm}\): \(y_a=1\), \(y_b=0\). よって \(y=1+0=1\).
• \(x=4 \text{ cm}\): \(y_a=0\), \(y_b=1\). よって \(y=0+1=1\).

これらの点をプロットし、滑らかに結ぶと、解答の図のような波形が得られます。

この設問はグラフの作図であり、計算は不要です。

各場所（x座標）で、実線の波の高さと破線の波の高さを足し算します。例えば、\(x=1\)の場所では、実線が高さ-1、破線が高さ0なので、足して-1の高さになります。\(x=3\)の場所では、実線が高さ1、破線が高さ0なので、足して1の高さになります。このように、いくつかの点で足し算をして点を打ち、それらを滑らかにつなぐと合成波の形がわかります。

波の重ね合わせの原理に従って作図すると、解答の図に示された合成波の波形が得られます。

問(2)

思考の道筋とポイント
定在波の「腹」の位置を求める問題です。腹とは、定在波の振幅が最大になる、つまり最も大きく振動する点です。最も大きく振動するのは、2つの波が同位相（山と山、または谷と谷）で重なり、最も強くめあうときです。\(t=0\)の図から、少し時間が経過して2つの波がぴったり重なる瞬間を考え、そのときの山の位置と谷の位置が腹となります。

この設問における重要なポイント

• 腹：定在波の振幅が最大になる点。
• 腹の位置では、2つの進行波が同位相で重なり、振幅が元の波の振幅の和になる。

具体的な解説と立式
まず、波a, bの波長\(\lambda\)と周期\(T\)を求めます。
グラフから、波aの波長は \(\lambda = 4.0 \text{ cm}\)。
波の速さは \(v=2.0 \text{ cm/s}\) なので、周期\(T\)は、
$$ T = \frac{\lambda}{v} = \frac{4.0}{2.0} = 2.0 \text{ [s]} $$
次に、腹の位置を探します。腹は、2つの波が強めあって振幅が最大になる点です。
\(t=0\)の図を見て、2つの波がどう動けば山と山、谷と谷が重なるかを考えます。

• 谷について: \(t=0\)で、波aの谷は\(x=1 \text{ cm}\)に、波bの谷は\(x=2 \text{ cm}\)にあります。波aは右へ、波bは左へ進むので、両者の谷は\(x=1.5 \text{ cm}\)の位置で重なります。
• 山について: \(t=0\)で、波aの山は\(x=3 \text{ cm}\)に、波bの山は\(x=4 \text{ cm}\)にあります。（波bは\(x=0\)にも山がありますが、\(x>0\)の範囲で考えます）。波aは右へ、波bは左へ進むので、両者の山は\(x=3.5 \text{ cm}\)の位置で重なります。

これらの位置 \(x=1.5 \text{ cm}\) と \(x=3.5 \text{ cm}\) で、2つの波は最も強く強めあうため、ここが定在波の腹となります。

この設問はグラフの解釈に基づくものであり、計算は不要です。

定在波で一番大きく揺れる場所「腹」を探します。一番大きく揺れるのは、2つの波の「山と山」または「谷と谷」がぴったり重なる場所です。
図を見ると、波aの谷（\(x=1\)）と波bの谷（\(x=2\)）は、ちょうど真ん中の\(x=1.5\)で出会いそうです。
同様に、波aの山（\(x=3\)）と波bの山（\(x=4\)）は、ちょうど真ん中の\(x=3.5\)で出会いそうです。
したがって、この\(x=1.5 \text{ cm}\)と\(x=3.5 \text{ cm}\)が腹になります。

与えられた範囲 \(0 \le x \le 4.0\) cm で、腹の位置は \(x=1.5 \text{ cm}, 3.5 \text{ cm}\) となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(t=0\)の後、腹の位置の変位の大きさが初めて最大になる時刻を求める問題です。これは、(2)の考察で考えた「2つの波の山と山、または谷と谷が腹の位置で重なる」までの時間です。\(t=0\)の状態から、波がどれだけ進めばその状態になるかを計算します。

この設問における重要なポイント

• 腹の変位が最大になるのは、2つの波の山と山、または谷と谷が重なるとき。
• 波が進む時間と距離の関係 \(t = \text{距離} / \text{速さ}\) を利用する。

具体的な解説と立式
(2)の考察より、腹の位置（例：\(x=1.5 \text{ cm}\)）で変位が最大になるのは、波aの谷(\(x=1 \text{ cm}\))と波bの谷(\(x=2 \text{ cm}\))が、それぞれ\(x=1.5 \text{ cm}\)まで移動したときです。

• 波aが進む距離: \(\Delta x = 1.5 – 1.0 = 0.5 \text{ cm}\)
• 波bが進む距離: \(\Delta x = 2.0 – 1.5 = 0.5 \text{ cm}\)

どちらの波も同じ距離 \(\Delta x = 0.5 \text{ cm}\) を進む必要があります。
波の速さは \(v=2.0 \text{ cm/s}\) なので、かかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{\Delta x}{v} $$
この時間は、波が波長\(\lambda=4.0 \text{ cm}\)の\(1/8\) (\(\lambda/8\))だけ進む時間に相当し、周期\(T=2.0 \text{ s}\)の\(1/8\) (\(T/8\))にあたります。

$$
\begin{aligned}
t &= \frac{0.5}{2.0} \\[2.0ex]
&= 0.25 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

(2)で考えたように、腹の場所（例えば \(x=1.5 \text{ cm}\)）で揺れが最大になるのは、2つの波の谷と谷が出会うときです。
\(t=0\)のとき、波aの谷は \(x=1 \text{ cm}\) にあります。これが \(x=1.5 \text{ cm}\) まで進むには、\(0.5 \text{ cm}\) の距離を移動する必要があります。
波の速さは \(2.0 \text{ cm/s}\) なので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」より、かかる時間は \(0.5 \text{ cm} \div 2.0 \text{ cm/s} = 0.25 \text{ s}\) となります。

\(t=0\)から \(0.25 \text{ s}\) 後に、腹の位置で2つの波が強め合い、変位の大きさは最大となります。この時刻は周期 \(T=2.0 \text{ s}\) の \(1/8\) にあたり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の重ね合わせの原理と定在波の形成:
  • 核心: 互いに逆向きに進む、性質の等しい2つの波が重なると定在波が生じるという現象の理解が根幹です。各瞬間の波形は、2つの波の変位を単純に足し合わせる（重ね合わせの原理）ことで決まります。
  • 理解のポイント: 定在波は進行波と異なり、波形そのものは移動せず、その場で振幅が大きくなったり小さくなったりする振動です。
• 定在波の腹と節:
  • 核心: 定在波には、全く振動しない「節」と、最も大きく振動する「腹」が交互に存在するという特徴的な構造があります。
  • 理解のポイント:
    • 腹: 2つの波が常に強めあう（同位相で重なる）場所。振幅は元の波の振幅の2倍になります。
    • 節: 2つの波が常に弱めあう（逆位相で重なる）場所。振幅は常に0です。
    • 腹と腹（または節と節）の間隔は、元の波の半波長(\(\lambda/2\))です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 自由端・固定端反射による定在波: 弦の片方を固定したり、自由にした状態で波を送り、反射波との干渉で生じる定在波を扱う問題。固定端は節に、自由端は腹になるという境界条件が重要です。
  • 気柱の共鳴: 管の中で音波が定在波を作って共鳴する現象。開口端は腹、閉口端は節になるという条件から、共鳴する波長や振動数を求めます。
  • 異なる時刻の波形を問う問題: (3)のように特定の時刻だけでなく、\(t=T/4, T/2, 3T/4\)など、周期の節目ごとの合成波形を描かせる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 2つの波の情報を整理: それぞれの波の振幅、波長、速さ、進行方向を把握します。定在波の問題では、これらが等しいことが多いです。
  2. 腹と節の位置をイメージする: まず、どこが節になり、どこが腹になるかを大まかに把握します。2つの波の山と谷の位置関係から、「山と山が出会う場所」や「山と谷が出会う場所」を想像するのが有効です。
  3. 時間変化を追う: ある点（特に腹）の変位が最大になるのはいつか、0になるのはいつかを問われたら、元の進行波がどれだけ進む必要があるかを考えます。波が\(\lambda/4\)進むのにかかる時間は\(T/4\)である、という関係が頻繁に使われます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 合成波の振幅の誤解:
  • 誤解: (1)で描いた\(t=0\)の合成波の山の高さ（例えば\(y=1\)）を、定在波の腹の振幅だと勘違いしてしまう。
  • 対策: ある瞬間の合成波の変位と、定在波の「振幅」（振動の最大幅）は別物であることを理解します。腹の振幅は、元の波の振幅の和（この問題では\(1+1=2\))になります。
• 腹と節の位置の混同:
  • 誤解: 2つの波が打ち消し合って変位が0になる点（\(t=0\)での\(x=1.5, 3.5\)など）を節だと考えてしまう。
  • 対策: 節は「常に」変位が0の点です。ある瞬間に変位が0でも、他の時刻で振動する点は腹やその他の点です。腹か節かの判断は、その点が最も大きく振動するか、全く振動しないかで区別します。
• 時間の計算ミス:
  • 誤解: (3)で、腹の点が変位0から最大変位まで移動する時間を、周期\(T\)そのものや\(T/2\)だと勘違いする。
  • 対策: 単振動の基本的な運動を思い出します。振動の中心から端までにかかる時間は、周期の\(1/4\)です。定在波の各点の振動も単振動なので、この関係が使えます。（ただし、この問題では\(t=0\)が振動の中心ではないため、単純に\(T/4\)とはなりません）

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重ね合わせの原理 (\(y = y_a + y_b\)):
  • 選定理由: (1)で合成波の波形を決定するための、最も基本的な法則です。複数の波が共存するときの変位を求める際の普遍的な原理です。
  • 適用根拠: 波の変位はベクトル量（あるいはスカラー量）であり、線形な媒質中では、各波が独立して存在するかのように振る舞い、全体の変位はその単純な和で与えられます。
• 波の基本式 (\(T = \lambda/v\)):
  • 選定理由: (2)や(3)で時間に関する考察をするために、空間の情報(\(\lambda\))と運動の情報(\(v\))から、時間の基本単位である周期\(T\)を求めるために必須です。
  • 適用根拠: 「1周期\(T\)という時間で、波は1波長\(\lambda\)という距離を進む」という波の定義そのものです。
• 定在波の式 (\(y = (\text{空間部分}) \times (\text{時間部分})\)):
  • 選定理由: 別解で用いたこの式は、定在波の性質を数学的に明快に表現するツールです。腹や節の位置は「空間部分」が、全体の振動の様子は「時間部分」が決定するという構造を理解するのに役立ちます。
  • 適用根拠: 逆向きに進む2つの進行波の式を、三角関数の和積公式などを用いて足し合わせることで導出されます。この変形によって、\(x\)の項と\(t\)の項が分離され、定在波特有の形が現れます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの丁寧な読み取り: 波長\(\lambda\)、振幅\(A\)、各点の変位をグラフから正確に読み取ることが全ての出発点です。特に格子点を基準に、1目盛りがいくらかを確認します。
• 作図は特徴的な点から: (1)の作図では、まず\(x=0, 1, 2, 3, 4\)などのキリの良い点で変位の和を計算し、点をプロットしてから滑らかに結ぶと、きれいで正確なグラフが描けます。
• 距離と時間の換算: (3)で「波が\(\Delta x\)進む時間」を計算する際、\(t = \Delta x / v\) を使う方法と、\(\Delta x\)が波長\(\lambda\)の何倍かを考えて \(t = (\Delta x / \lambda) \times T\) を使う方法があります。両方で検算するとミスが減ります。例えば、\(\Delta x = 0.5\), \(\lambda=4.0\)なので、\(\Delta x = \lambda/8\)。よって時間は\(T/8\)となり、\(t = 2.0/8 = 0.25\)sと計算できます。

関連記事

高校物理・物理基礎が「わかる」→「解ける」へ｜有名問題集・オリジナル問題の解説なら「まことの物理教室」

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]

基本問題

267 波の要素

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(y-x\)グラフからの波の基本要素の読み取りと計算」です。波のグラフの最も基本的な解釈と、速さの定義を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)