「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第1章】基本例題～基本問題6

基本例題

基本例題1 平均の速さと瞬間の速さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(x-t\)グラフの物理的解釈」です。グラフから平均の速さと瞬間の速さを読み取るための基本的な知識が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「\(8.0\)秒間の平均の速さ \(\bar{v}\)」を求める問題です。この問題は、「平均の速さ」の定義と、それが\(x-t\)グラフ上で何を意味するのかを正確に理解しているかが鍵となります。平均の速さは、運動の始点と終点を結ぶ直線の傾きとして求められます。
この設問における重要なポイント

• 平均の速さは、グラフ上の2点を結ぶ直線（割線）の傾きに等しい。
• 平均の速さ \(\bar{v}\) は、位置の変化 \(\Delta x\) を経過時間 \(\Delta t\) で割ることで計算できる。

具体的な解説と立式
平均の速さ \(\bar{v}\) は、定義より、位置の変化量 \(\Delta x\) を経過時間 \(\Delta t\) で割ったものです。
$$ \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
問題では「\(8.0\)秒間」の平均の速さが問われているので、時刻 \(t_1 = 0 \text{ s}\) から \(t_2 = 8.0 \text{ s}\) の区間を考えます。
グラフから、それぞれの時刻における位置を読み取ります。
時刻 \(t_1 = 0 \text{ s}\) のとき、位置は \(x_1 = 0 \text{ m}\) です。
時刻 \(t_2 = 8.0 \text{ s}\) のとき、位置は \(x_2 = 36 \text{ m}\) です。
したがって、平均の速さ \(\bar{v}\) は次のように立式できます。
$$ \bar{v} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$

立式した式に、グラフから読み取った値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{36 – 0}{8.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{36}{8.0} \\[2.0ex]&= 4.5 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「平均の速さ」とは、ある区間全体での「合計の移動距離 ÷ 合計のかかった時間」のことです。グラフを見ると、スタート（\(0\)秒）から\(8.0\)秒後までに、\(36 \text{ m}\) の位置まで移動していることがわかります。したがって、平均の速さは「\(36 \text{ m}\) ÷ \(8.0 \text{ s}\)」という計算で求められ、答えは \(4.5 \text{ m/s}\) となります。

\(8.0\)秒間の平均の速さは \(4.5 \text{ m/s}\) です。これは、グラフの原点(\(0 \text{ s}, 0 \text{ m}\))と点(\(8.0 \text{ s}, 36 \text{ m}\))を結ぶ直線の傾きを計算したものであり、定義に沿った正しい計算です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「時刻 \(4.0\)秒における瞬間の速さ \(v\)」を求める問題です。この問題は、「瞬間の速さ」の定義と、それが\(x-t\)グラフ上で何を意味するのかを理解しているかが鍵となります。瞬間の速さは、その時刻の点におけるグラフの「接線」の傾きとして求められます。
この設問における重要なポイント

• 瞬間の速さは、グラフ上の点における接線の傾きに等しい。
• 接線の傾きは、その接線が通ることが読み取れる2点の座標を使って計算する。

具体的な解説と立式
瞬間の速さ \(v\) は、\(x-t\)グラフ上の特定の点における接線の傾きに等しくなります。
なぜなら、瞬間の速さとは「ごくごく短い時間での平均の速さ」のことだからです。例えば、\(3.999\)秒から\(4.001\)秒のような非常に短い区間で平均の速さを考えると、その2点を結ぶ直線は、点Pにおける接線とほぼ同じになります。そのため、接線の傾きがその瞬間の速さを表す、と考えることができます。
問題では、時刻 \(t = 4.0 \text{ s}\) の点Pにおける接線がすでに描かれています。この直線の傾きを求めれば、それが瞬間の速さ \(v\) となります。
グラフを詳細に見ると、この接線は2つの点、(\(t_1=0 \text{ s}, x_1=12 \text{ m}\)) と (\(t_2=6.0 \text{ s}, x_2=36 \text{ m}\)) を通っていることが読み取れます。
したがって、瞬間の速さ \(v\) は、この2点間の傾きとして次のように立式できます。
$$ v = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$

立式した式に、グラフから読み取った接線上の2点の座標を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{36 – 12}{6.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{24}{6.0} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「瞬間の速さ」とは、スピードメーターが指しているような、その一瞬だけの速さのことです。\(x-t\)グラフでは、その点の「傾き具合」が瞬間の速さを表します。この傾き具合を調べるために、問題のグラフには点Pに接する直線（接線）が描かれています。この接線の傾きを計算すればよいのです。グラフの目盛りから、この接線は「横に \(6.0\) 秒進む間に、縦に \(36-12=24 \text{ m}\)進む」ような傾きになっていることがわかります。したがって、傾きは「\(24 \text{ m}\) ÷ \(6.0 \text{ s}\)」で \(4.0 \text{ m/s}\) となります。

時刻 \(4.0 \text{ s}\) における瞬間の速さは \(4.0 \text{ m/s}\) です。グラフの曲線は下に凸（傾きが徐々に大きくなる）なので、物体は加速していることがわかります。時刻 \(4.0 \text{ s}\) の瞬間の速さ \(4.0 \text{ m/s}\) が、\(0 \text{ s}\) から \(8.0 \text{ s}\) までの平均の速さ \(4.5 \text{ m/s}\) よりも小さいという結果は、加速運動している物体の特徴と一致しており、物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(x-t\)グラフの傾きと速度の関係:
  • 核心: \(x-t\)グラフの「傾き」が物体の「速度」を意味するという、運動学の最も基本的な関係を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 平均の速さ: グラフ上の2点を結ぶ「直線（割線）」の傾き。ある時間区間全体をならした速度を表します。
    • 瞬間の速さ: グラフ上の特定の点における「接線」の傾き。その一瞬一瞬の速度を表します。
• グラフの形状と運動の種類:
  • 核心: \(x-t\)グラフの形状から、物体がどのような運動（等速、加速、減速）をしているかを即座に判断できる能力。
  • 理解のポイント:
    • 直線: 傾きが一定なので「等速直線運動」。
    • 曲線（下に凸）: 接線の傾きが時間とともに増加するので「加速運動」。この問題のグラフが該当します。
    • 曲線（上に凸）: 接線の傾きが時間とともに減少するので「減速運動」。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフからの情報読み取り: 逆に\(v-t\)グラフが与えられ、加速度（グラフの傾き）や移動距離（グラフと軸で囲まれた面積）を求める問題。
  • 2物体のすれ違い・追い越し: 2つの物体の\(x-t\)グラフを同一の座標軸に描き、グラフの交点が「すれ違う」または「追いつく」時刻と位置を表すことを利用する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、縦軸が位置\(x\)なのか、速度\(v\)なのか、加速度\(a\)なのかを絶対に確認する。これを間違えると全てが崩れます。
  2. 「平均」か「瞬間」か: 問題文が「\(t_1\)から\(t_2\)の間の〜」を問うているのか、「時刻\(t\)における〜」を問うているのかを区別し、それぞれ「2点を結ぶ直線」と「接線」のどちらを考えるべきかを判断します。
  3. 座標の読み取り: 傾きを計算するために、グラフからどの点の座標を読み取ればよいかを見極めます。特に接線の場合は、計算しやすい格子点（目盛りの線が交差する点）を通る箇所を探すのがコツです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 瞬間の速さと平均の速さの混同:
  • 誤解: (2)で、時刻\(4.0\) sでの瞬間の速さを求めるときに、原点と点Pを結ぶ直線の傾きを計算してしまう。
  • 対策: 「平均」という言葉は「区間の両端を結ぶ直線」、「瞬間」という言葉は「その点での接線」と機械的に結びつけて覚える。加速・減速運動では、この2つは一致しないことを常に意識する。
• 接線の傾きの計算ミス:
  • 誤解: (2)の接線の傾きを計算する際、点Pの座標（\(4.0\), 約\(26\)）を使ってしまう。点Pの座標は正確に読み取れない場合が多く、計算には使えません。
  • 対策: 接線の傾きは、必ずその接線が通る「読み取りやすい2点」を使って計算する。この問題では(\(0, 12\))と(\(6.0, 36\))がそれに当たります。
• \(x-t\)グラフと\(v-t\)グラフの解釈の混同:
  • 誤解: \(x-t\)グラフが水平な直線になっている部分を「静止」ではなく「等速運動」と勘違いする。（\(v-t\)グラフなら等速運動）
  • 対策: 常に「このグラフの傾きは何を意味するか？」と自問自答する習慣をつける。\(x-t\)グラフでは傾きが速度、という基本を徹底する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の定義式 (\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)と(2)で、グラフの傾きから具体的な速度の値を計算するために使用します。これは速度の定義そのものです。
  • 適用根拠:
    • 平均の速さの場合: ある有限の時間区間 \(\Delta t\) での位置の変化 \(\Delta x\) を用いて計算します。これは2点を結ぶ直線の傾きに直接対応します。
    • 瞬間の速さの場合: 物理的には、時間区間\(\Delta t\)を限りなく0に近づけたときの平均の速さが瞬間の速さです。高校物理のグラフ問題では、その極限操作の代わりに「接線の傾き」を計算することで求められる、と理解します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取り: グラフから座標を読み取る際は、必ずx軸、y軸の目盛り単位を確認する。特に、切片が0でない場合や、目盛りが1, 2, 3…と単純でない場合に注意が必要です。
• 引き算の順序: \(\Delta x = x_{\text{後}} – x_{\text{前}}\), \(\Delta t = t_{\text{後}} – t_{\text{前}}\) の順序を徹底する。今回は速さ（スカラー）を問われているので問題になりにくいですが、速度（ベクトル）を問われた場合に符号ミスを防ぐために重要です。
• 分数の計算: (1)の \(36/8.0\) や (2)の \(24/6.0\) のような簡単な割り算でも、焦るとミスをします。筆算するか、暗算でも慎重に行う。有効数字にも注意を払う癖をつける。

基本例題2 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。特に、川を移動する船のように、動いている媒質中の運動を扱う問題は典型例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
川岸に沿って上流と下流に往復する運動を考えます。岸から見た船の実際の速さ（合成速度）は、船自身の速さ（静水上の速さ）と川の流れの速さの影響を受けます。上り（上流へ向かう）場合は川の流れに逆らうため遅くなり、下り（下流へ向かう）場合は川の流れに乗るため速くなります。
この設問における重要なポイント

• 合成速度 \(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) の関係を理解する。
• 上り（逆向き）のとき、合成速度の大きさは速度の引き算になる。
• 下り（同じ向き）のとき、合成速度の大きさは速度の足し算になる。

具体的な解説と立式
静水上での船の速さを \(v_{\text{静水}} = 4.0 \text{ m/s}\)、川の流れの速さを \(v_{\text{川}} = 2.0 \text{ m/s}\) とします。移動距離は \(d = 72 \text{ m}\) です。

上り（B→A）の運動
船は上流に向かって進もうとしますが、川の流れによって下流に押し戻されます。したがって、岸から見た船の速さ \(v_{\text{上り}}\) は、2つの速さの差となります。
$$ v_{\text{上り}} = v_{\text{静水}} – v_{\text{川}} $$
この速さで距離 \(d\) を進むのにかかる時間 \(t_1\) は、
$$ t_1 = \frac{d}{v_{\text{上り}}} $$

下り（A→B）の運動
船は下流に向かって進み、川の流れも同じ向きです。したがって、岸から見た船の速さ \(v_{\text{下り}}\) は、2つの速さの和となります。
$$ v_{\text{下り}} = v_{\text{静水}} + v_{\text{川}} $$
この速さで距離 \(d\) を進むのにかかる時間 \(t_2\) は、
$$ t_2 = \frac{d}{v_{\text{下り}}} $$

上りの時間 \(t_1\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{上り}} &= 4.0 – 2.0 = 2.0 \text{ [m/s]} \\[2.0ex]t_1 &= \frac{72}{2.0} = 36 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
下りの時間 \(t_2\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{下り}} &= 4.0 + 2.0 = 6.0 \text{ [m/s]} \\[2.0ex]t_2 &= \frac{72}{6.0} = 12 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

上りは、船が一生懸命進む力（速さ\(4.0\)）が川の流れ（速さ\(2.0\)）に邪魔されるので、実際の速さは \(4.0 – 2.0 = 2.0 \text{ m/s}\) になります。\(72 \text{ m}\) をこの速さで進むので、かかる時間は \(72 \div 2.0 = 36\) 秒です。
下りは、船が進む力（速さ\(4.0\)）を川の流れ（速さ\(2.0\)）が後押ししてくれるので、実際の速さは \(4.0 + 2.0 = 6.0 \text{ m/s}\) になります。\(72 \text{ m}\) をこの速さで進むので、かかる時間は \(72 \div 6.0 = 12\) 秒です。

上りに要する時間 \(t_1\) は \(36\) s、下りに要する時間 \(t_2\) は \(12\) s となります。上りの方が時間がかかるという結果は、物理的な直感と一致しており妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「川を直角に横切りたい」という条件が最も重要です。これは、岸から見た船の進む向き（合成速度の向き）が、川の流れに対して垂直になることを意味します。船のへさきは、川の流れに流される分を見越して、少し上流側に向ける必要があります。この関係を速度のベクトル図で考えます。
この設問における重要なポイント

• 合成速度 \(\vec{v}_{\text{合成}}\) は、静水上の船の速度 \(\vec{v}_{\text{静水}}\) と川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\) のベクトル和である。(\(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\))
• ベクトル図を描くと、\(\vec{v}_{\text{静水}}\) を斜辺とし、\(\vec{v}_{\text{川}}\) と \(\vec{v}_{\text{合成}}\) を他の2辺とする直角三角形ができる。
• この直角三角形の辺の長さの比から、三角比を用いて角度を求める。

具体的な解説と立式
合成速度 \(\vec{v}_{\text{合成}}\) が川の流れ \(\vec{v}_{\text{川}}\) と垂直になるように、速度のベクトル図を描きます。ベクトルの和の関係 \(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) を変形すると \(\vec{v}_{\text{静水}} = \vec{v}_{\text{合成}} – \vec{v}_{\text{川}}\) となりますが、図で考えるのが直感的です。

1. 川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\)（大きさ \(2.0 \text{ m/s}\)）を描きます。
2. 最終的に進みたい向きである合成速度 \(\vec{v}_{\text{合成}}\) を、\(\vec{v}_{\text{川}}\) と直角に描きます。
3. \(\vec{v}_{\text{静水}}\) は、この2つのベクトルをつなぐ形で、\(\vec{v}_{\text{合成}}\) の矢印の先端に向かって描かれます。これにより、\(\vec{v}_{\text{静水}}\)（大きさ \(4.0 \text{ m/s}\)）を斜辺とする直角三角形が完成します。

この直角三角形において、問題で問われている角度 \(\theta\) は、岸とへさきの向き（\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の向き）のなす角です。これは、直角三角形において、\(\vec{v}_{\text{合成}}\) と斜辺 \(\vec{v}_{\text{静水}}\) がなす角に相当します。この角について、
$$ \cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} $$
ではなく、
$$ \sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{v_{\text{川}}}{v_{\text{静水}}} $$
の関係が成り立ちます。
（※模範解答の図のように、\(\vec{v}_{\text{川}}\)と\(\vec{v}_{\text{静水}}\)のなす角を\(\theta\)と定義すると\(\cos\theta\)になりますが、ここでは岸とへさきのなす角を\(\theta\)として立式します。）
模範解答の図に合わせると、\(\theta\)は\(\vec{v}_{\text{合成}}\)と\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の間の角ではなく、\(\vec{v}_{\text{川}}\)と\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の間の角の補角（\(180^\circ – \alpha\)）の一部です。模範解答の図の三角形で考えると、\(\theta\)は\(\vec{v}_{\text{合成}}\)と\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の間の角です。この角を\(\theta\)とすると、
$$ \cos \theta = \frac{v_{\text{合成}}}{v_{\text{静水}}} $$
ではなく、
$$ \sin \theta = \frac{v_{\text{川}}}{v_{\text{静水}}} $$
でもなく、模範解答の図の角度の取り方では、\(\vec{v}_{\text{川}}\)のベクトルと\(\vec{v}_{\text{静水}}\)のベクトルのなす角が\(90^\circ+\theta\)となり、\(\vec{v}_{\text{合成}}\)と\(\vec{v}_{\text{静水}}\)のなす角が\(\theta\)となります。この直角三角形において、
$$ \cos \theta = \frac{v_{\text{川}}}{v_{\text{静水}}} $$
が成り立ちます。（模範解答の図のPQRの三角形で、角Pが\(\theta\)に対応します）
$$ \cos \theta = \frac{2.0}{4.0} $$

ベクトル図が示す直角三角形において、斜辺が \(v_{\text{静水}}=4.0\)、隣接する辺が \(v_{\text{川}}=2.0\) です。
$$
\begin{aligned}
\cos \theta &= \frac{2.0}{4.0} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
\(\cos \theta = 1/2\) となる鋭角は \(\theta = 60^\circ\) です。

船がまっすぐ対岸に渡るためには、川で流される分（速さ\(2.0\)）を打ち消すように、へさきを上流に向ける必要があります。このとき、「船の本来の速さ（\(4.0\)）」、「川の流れの速さ（\(2.0\)）」、「実際に進む速さ」の3つの速度の関係は、直角三角形で表せます。船の速さ\(4.0\)が斜辺、川の速さ\(2.0\)が底辺になります。この直角三角形の角度を考えると、辺の比が \(2:1\) なので、有名な \(1:2:\sqrt{3}\) の三角形だとわかります。岸とへさきのなす角 \(\theta\) は、この三角形の \(60^\circ\) の角に相当します。

へさきを岸に対して \(60^\circ\) の角度で上流に向ける必要があります。これにより、川に流される速度成分と船の上流へ向かう速度成分がちょうど打ち消しあい、結果として岸に垂直な方向に進むことができます。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の状況で、川を横切るのにかかる時間を求めます。そのためには、川を横切る方向の実際の速さ、すなわち合成速度 \(\vec{v}_{\text{合成}}\) の大きさを計算する必要があります。これは(2)で考えた直角三角形の高さに相当し、三平方の定理を使って求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 川を横切る時間は、川を横切る方向の距離（川幅）を、川を横切る方向の速さ（合成速度の大きさ）で割ることで求まる。
• 合成速度の大きさは、ベクトル図の直角三角形に三平方の定理を適用して求める。

具体的な解説と立式
(2)で考えた速度ベクトルの直角三角形において、

• 斜辺: \(v_{\text{静水}} = 4.0 \text{ m/s}\)
• 底辺: \(v_{\text{川}} = 2.0 \text{ m/s}\)
• 高さ: \(v_{\text{合成}}\)

の関係があります。三平方の定理を適用すると、
$$ (v_{\text{合成}})^2 + (v_{\text{川}})^2 = (v_{\text{静水}})^2 $$
この式から \(v_{\text{合成}}\) を求めます。
川幅は \(d_{\text{幅}} = 60 \text{ m}\) なので、横切るのにかかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{d_{\text{幅}}}{v_{\text{合成}}} $$

まず、合成速度の大きさ \(v_{\text{合成}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
(v_{\text{合成}})^2 + (2.0)^2 &= (4.0)^2 \\[2.0ex](v_{\text{合成}})^2 + 4.0 &= 16 \\[2.0ex](v_{\text{合成}})^2 &= 12 \\[2.0ex]v_{\text{合成}} &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、この速さで川幅 \(60 \text{ m}\) を横切る時間 \(t\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{60}{2\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{30}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{30\sqrt{3}}{3} \\[2.0ex]&= 10\sqrt{3} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
問題の指示に従い、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として近似値を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= 10 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 17.3 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入して \(17 \text{ s}\) とします。

(2)で考えた直角三角形の、残りの辺の長さ（実際に川を横切る速さ）を計算します。三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使うと、この速さは \(2\sqrt{3} \text{ m/s}\) と求まります。川幅は \(60 \text{ m}\) なので、かかる時間は「距離 \(60 \text{ m}\) ÷ 速さ \(2\sqrt{3} \text{ m/s}\)」で計算できます。これを計算すると \(10\sqrt{3}\) 秒となり、\(\sqrt{3}\) をおよそ \(1.73\) として計算すると、\(17.3\) 秒、約 \(17\) 秒となります。

川幅 \(60 \text{ m}\) を横切るのに要する時間は \(17\) s です。計算過程は物理法則と数学の定理に正しく基づいており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成（ベクトル和）
  • 核心: 岸から見た船の速度（\(\vec{v}_{\text{岸}}\)）は、船の静水上での速度（\(\vec{v}_{\text{静水}}\)）と川の流れの速度（\(\vec{v}_{\text{川}}\)）のベクトルとしての和で与えられる、という関係式 \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) が全ての基本です。
  • 理解のポイント:
    • 岸から見た速度: 観測者（岸にいる人）から見た、最終的な物体の運動。
    • 静水上の速度: 物体（船）が、動く媒質（川）に対して発揮できる本来の速度。へさきの向きを向きます。
    • 川の流れの速度: 媒質（川）自体の速度。
• ベクトル図による可視化
  • 核心: 速度の合成は、矢印（ベクトル）の足し算で考えると視覚的に理解しやすくなります。特に、(2)のように運動が2次元的になる場合は、ベクトル図を描くことが問題解決の第一歩となります。
  • 理解のポイント:
    • (1)のような1次元の運動では、ベクトルの向きが同じなら大きさの足し算、逆なら引き算になります。
    • (2)のような2次元の運動では、ベクトルを辺とする三角形（この問題では直角三角形）を描き、三平方の定理や三角比を使って未知の辺（速さ）や角度を求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 「川の流れ」を「風」、「船」を「飛行機」に置き換えた問題。地面に対する速度、無風状態での速度、風の速度の関係は、この問題と全く同じです。
  • 最短時間で横切る問題: (2)は「最短距離で横切る」問題ですが、「最短時間で横切る」問題も頻出です。この場合、川を横切る方向の速度成分を最大にする必要があるので、へさきをまっすぐ対岸に向けるのが正解となります。（その結果、下流に流されます）
  • 相対速度: 「船Aから見た船Bの速度は？」といった問題。これは \(\vec{v}_{\text{A→B}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) というベクトルの引き算で考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度を特定する: 問題文から「岸に対する速度」「静水（無風）での速度」「流れ（風）の速度」のどれが与えられ、どれを求めるのかを明確に区別します。
  2. ベクトル図を描く: \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) の関係が成り立つように、3つの速度ベクトルで三角形を描きます。どのベクトルが斜辺になるかを見極めるのが重要です。（\(\vec{v}_{\text{静水}}\)が斜辺になることが多い）
  3. 条件をベクトル図に反映させる: 「直角に横切る」「最短時間で」といった問題の条件を、ベクトル図の上で「\(\vec{v}_{\text{岸}}\)が岸と垂直」「\(\vec{v}_{\text{静水}}\)が岸と垂直」といった幾何学的な条件に翻訳します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• へさきの向きと進む向きの混同:
  • 誤解: (2)で「川を直角に横切りたい」からといって、へさきを真向かいの岸に向けてしまう。
  • 対策: へさきの向きは\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の向き、実際に進む向きは\(\vec{v}_{\text{岸}}\)の向きであり、川の流れがある限りこれらは一致しない、と肝に銘じる。「流される分を考慮して、少し上流を向く」というイメージを常に持つことが重要です。
• どの速度が斜辺になるかの勘違い:
  • 誤解: 速度のベクトル図を描く際に、合成速度（岸から見た速度）を常に斜辺だと考えてしまう。
  • 対策: \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) のベクトル和の関係を正しく作図すれば、どの辺が斜辺になるかは自ずと決まります。この問題のように直角三角形ができる場合、直角と向かい合う辺が斜辺です。図では\(\vec{v}_{\text{静水}}\)が斜辺になります。
• 角度の定義の勘違い:
  • 誤解: (2)で求めた直角三角形の内角\(60^\circ\)が、どの角度に対応するのかを問題図と照らし合わせる際に間違える。
  • 対策: ベクトル図を描く際に、問題で問われている角度\(\theta\)が図のどこにあたるのかを明確に書き込む。例えば「岸（川の流れの向き）とへさきの向きのなす角」といった定義を正確に図に反映させることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\)):
  • 選定理由: この問題の根幹をなす物理法則です。「岸から見た船の動き」は、「船が自力で動く効果」と「川が全体を運ぶ効果」の重ね合わせで決まる、というガリレイの相対性原理に基づいています。
  • 適用根拠: 2つの異なる座標系（岸に固定された座標系と、川の流れと共に動く座標系）の間での速度の変換を表す式として適用します。
• 三平方の定理・三角比:
  • 選定理由: 速度ベクトルが直角三角形をなす場合、その辺の長さ（速さの大きさ）や角度の関係を調べるための最も強力な数学的ツールだからです。
  • 適用根拠: (2)で「直角に横切る」という条件から、速度ベクトルが直角三角形をなすことが確定します。これにより、辺の長さの関係を三平方の定理で、辺と角度の関係を三角比で立式することが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ベクトル図の丁寧な作図: フリーハンドでも良いので、ベクトルの向きと大きさの関係がある程度正確にわかるような図を描く。特に、どのベクトルがどの物理量に対応するのかを必ず明記する。
• 平方根の計算: (3)の \(\sqrt{12}\) を \(2\sqrt{3}\) に変形したり、分母の有理化（\(\frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\)）を素早く正確に行う練習をしておく。
• 近似値の扱い: \(\sqrt{2} \approx 1.41\), \(\sqrt{3} \approx 1.73\) は物理の問題で頻出するので覚えておく。また、最終的な答えを出す際に、問題で指定された有効数字に合わせて適切に四捨五入する。\(17.3 \rightarrow 17\) のような処理を忘れないようにする。

基本例題3 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。動いている観測者から見た他の物体の運動を扱います。1次元の直線運動と2次元の平面運動の両方が含まれており、相対速度の基本的な考え方が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「Aに対するBの相対速度」を求めます。これは、「もし自分が自動車Aに乗っていたら、自動車Bはどの向きにどれくらいの速さで動いて見えるか」ということです。AとBは一直線上を互いに逆向きに運動しているため、その相対速度は単純な速度の計算で求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式: \(v_{AB} = v_B – v_A\)
• 基準となる向き（例: 東向き）を正と定め、逆向きの速度は負の符号で表す。

具体的な解説と立式
まず、一直線上の運動なので、向きを正負の符号で表します。ここでは、東向きを正の向きとします。

• 自動車Aの速度 \(v_A\) は、東向きに \(10 \text{ m/s}\) なので、\(v_A = +10 \text{ m/s}\) となります。
• 自動車Bの速度 \(v_B\) は、西向きに \(15 \text{ m/s}\) なので、\(v_B = -15 \text{ m/s}\) となります。

Aに対するBの相対速度 \(v_{AB}\) は、公式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) を用いて立式します。
$$ v_{AB} = v_B – v_A $$

立式した式に、各速度の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{AB} &= (-15) – (+10) \\[2.0ex]&= -25 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
計算結果の \(-25 \text{ m/s}\) は、大きさが \(25 \text{ m/s}\) で、向きが負の向き（西向き）であることを示しています。

自分が東向きに \(10 \text{ m/s}\) で進んでいるとき、向かいから西向きに \(15 \text{ m/s}\) で走ってくる車とすれ違う場面を想像してみましょう。相手の車は、ものすごい速さで近づいてきて、あっという間に遠ざかっていくように見えます。この「見かけの速さ」は、自分の速さと相手の速さを足し合わせたものになります。つまり、\(10 + 15 = 25 \text{ m/s}\) です。向きは、相手が動いている「西向き」となります。

Aに対するBの相対速度は、西向きに \(25 \text{ m/s}\) です。計算結果と、すれ違う物体は速く見えるという日常的な感覚が一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「Aに対するCの相対速度」を求めます。自動車Aは東西方向、モーターボートCは南北方向に運動しており、これは平面上の相対速度の問題です。ベクトルの引き算 \(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\) を計算する必要があります。この計算は、\(\vec{v}_C + (-\vec{v}_A)\) という2つのベクトルの合成として考えると非常に分かりやすくなります。
この設問における重要なポイント

• 相対速度のベクトル公式: \(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\)
• ベクトルの引き算は、引くベクトルの向きを逆にしたベクトルを足すことと同じ: \(\vec{v}_C – \vec{v}_A = \vec{v}_C + (-\vec{v}_A)\)
• \(-\vec{v}_A\) は、\(\vec{v}_A\) と大きさが同じで向きが正反対のベクトル。

具体的な解説と立式
各物体の速度をベクトルで表します。

• 自動車Aの速度ベクトル \(\vec{v}_A\): 東向きに大きさ \(10 \text{ m/s}\)
• モーターボートCの速度ベクトル \(\vec{v}_C\): 北向きに大きさ \(10 \text{ m/s}\)

Aに対するCの相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) は、公式より \(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\) です。
これをベクトルの合成として考えるため、\(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C + (-\vec{v}_A)\) と変形します。
ここで、\(-\vec{v}_A\) は \(\vec{v}_A\) の逆ベクトルなので、「西向きに大きさ \(10 \text{ m/s}\)」のベクトルとなります。
したがって、求める相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) は、「北向きに \(10 \text{ m/s}\) のベクトル」と「西向きに \(10 \text{ m/s}\) のベクトル」を合成（足し算）したものになります。
この2つのベクトルは直角をなしているため、合成ベクトルの大きさ \(v_{AC}\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ v_{AC}^2 = v_C^2 + v_A^2 $$

まず、相対速度の大きさ \(v_{AC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{AC}^2 &= (10)^2 + (10)^2 \\[2.0ex]&= 100 + 100 = 200 \\[2.0ex]v_{AC} &= \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を用いて近似値を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{AC} &\approx 10 \times 1.41 \\[2.0ex]&= 14.1 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(14 \text{ m/s}\) となります。
次に、向きを考えます。合成するベクトルは「北向き」と「西向き」で、大きさが等しいです。したがって、合成ベクトルの向きはちょうどその中間である「北西」の向きになります。

自分が自動車Aに乗って東に \(10 \text{ m/s}\) で進んでいる状況を考えます。このとき、自分自身を基準にすると、自分は止まっていて、周りの景色全体が逆向き、つまり西向きに \(10 \text{ m/s}\) で動いているように見えます。
モーターボートCは、もともと北向きに \(10 \text{ m/s}\) で進んでいます。この動きに加えて、景色と一緒に西向きに \(10 \text{ m/s}\) で流される動きが合わさって見えます。
結果として、Cは「北」と「西」の動きが合わさった「北西」の方向に進んでくるように見えます。その速さは、直角二等辺三角形の斜辺の長さを求める計算で、\(10\sqrt{2}\)、およそ \(14 \text{ m/s}\) となります。

Aに対するCの相対速度は、北西の向きに \(14 \text{ m/s}\) です。ベクトルの引き算を、逆ベクトルの足し算として捉え、作図と計算によって大きさと向きを正しく求めることができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度の定義式 (\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\))
  • 核心: 「Aに対するBの相対速度」を求めるという問題文を、\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) という数式に正確に翻訳できることが全ての出発点です。「〜に対する」という部分が引き算の後ろに来る（引かれる側になる）と覚えるのが重要です。
  • 理解のポイント:
    • この式は「相手の速度から自分の速度を引く」と覚えましょう。自分が止まっていると考えると（自分の速度を0にする）、周りのものすべてから自分の速度を引いて見ることになる、というイメージです。
    • この定義は、1次元（直線運動）でも2次元（平面運動）でも全く同じ形で成り立ちます。
• ベクトルの引き算の図形的意味
  • 核心: 相対速度の計算は、本質的にはベクトルの引き算です。そして、ベクトルの引き算 \(\vec{v}_B – \vec{v}_A\) は、\(\vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) という「逆ベクトルの足し算」として考えると、作図が非常に容易になります。
  • 理解のポイント:
    • \(-\vec{v}_A\) は、\(\vec{v}_A\) と大きさが同じで向きが真逆のベクトルです。
    • (2)のように、\(\vec{v}_C\)（北向き）と \(-\vec{v}_A\)（西向き）を合成する（足し算する）ことで、相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) が求まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 雨の中を走る人: 「地面に垂直に降る雨」を「走っている人」から見ると、斜め前から降ってくるように見えます。これも相対速度の問題で、「人に対する雨の相対速度」を \(\vec{v}_{\text{雨}} – \vec{v}_{\text{人}}\) で計算します。
  • 動く歩道上の歩行: 「歩道に対する人の速度」と「地面に対する歩道の速度」を合成して「地面に対する人の速度」を求めるのは「速度の合成」ですが、「歩道上のAさんから見たBさん」となると「相対速度」の問題になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「誰から見た」「誰の」速度かを確認: 問題文の「Aに対するCの相対速度」という表現から、観測者がA、対象がCであることを特定し、\(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\) という式を立てます。主語と目的語を間違えないことが重要です。
  2. 1次元か2次元か判断: (1)のように運動が同一直線上なら、軸を設定して符号で計算します。(2)のように運動が平面上なら、ベクトル図を描く方針を立てます。
  3. ベクトル図の作成: 2次元の場合は、まず各物体の速度ベクトル \(\vec{v}_A\), \(\vec{v}_C\) を描きます。次に、引く方のベクトル（この場合は \(\vec{v}_A\)）の逆ベクトル \(-\vec{v}_A\) を描き、それを \(\vec{v}_C\) と合成（ベクトルの矢印をつなげる）して相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) を作図します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 引き算の順序を間違える:
  • 誤解: 「Aに対するBの相対速度」を \(v_A – v_B\) と計算してしまう。
  • 対策: 「(相手) – (自分)」という語順を徹底的に覚える。「Aに対する」とあればAが観測者（自分）なので、\(v_A\) を引きます。
• ベクトルの引き算を大きさの引き算と勘違いする:
  • 誤解: (2)で、AとCの速さがどちらも \(10 \text{ m/s}\) なので、相対速度の大きさは \(10 – 10 = 0\) だと考えてしまう。
  • 対策: 速度はベクトル量（向きを持つ量）であることを常に意識する。向きが異なるベクトルの足し算・引き算は、大きさの単純な足し算・引き算にはなりません。必ずベクトル図を描くか、成分で計算する習慣をつけましょう。
• 逆ベクトルを考えずに足してしまう:
  • 誤解: (2)で \(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\) を計算する際に、\(\vec{v}_C\) と \(\vec{v}_A\) をそのまま足し算（合成）してしまう。
  • 対策: 「相対速度は引き算」という定義を思い出し、引き算は「逆ベクトルを足す」と機械的に変換する癖をつける。\(-\vec{v}_A\) を作図する一手間を惜しまないことがミスを防ぎます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の定義式 (\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\)):
  • 選定理由: これは物理法則というより「相対速度」という物理量の定義そのものです。この定義に基づいて現象を記述するために使います。
  • 適用根拠: 地面（静止系）から見た速度 \(\vec{v}_A\), \(\vec{v}_B\) が与えられているとき、Aから見たBの速度（Aを基準とする座標系でのBの速度）に変換するためにこの式を用います。これは座標変換の一種（ガリレイ変換）と見なすことができます。
• 三平方の定理:
  • 選定理由: (2)で、合成する2つのベクトル（\(\vec{v}_C\) と \(-\vec{v}_A\)）が直角をなしているため、合成後のベクトルの大きさ（直角三角形の斜辺の長さ）を計算するのに最も簡単で直接的な方法だからです。
  • 適用根拠: ベクトル図を描いた結果、直角三角形が現れたため、その辺の長さの関係式として適用が可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の取り扱い: (1)のような1次元の問題では、最初に「どちらの向きを正とするか」を自分で宣言し、それに従って各速度に符号（+, -）を付ける。計算結果の符号が最終的な向きを示すので、最後まで符号を意識することが重要です。
• ベクトル図の活用: (2)のような2次元の問題では、計算を始める前に必ずベクトル図を描く。図を描くことで、大きさの関係（三平方の定理など）や向き（北西など）が直感的に把握でき、計算ミスや解釈ミスを防げます。
• 平方根の近似値: \(\sqrt{2} \approx 1.41\), \(\sqrt{3} \approx 1.73\) は頻出なので覚えておくと計算が速くなります。問題で特に指定がなければ、有効数字を考慮して答えを丸めることを忘れないようにしましょう。

基本例題4 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動」です。一定の加速度で運動する物体の速度や移動距離を、公式を用いて計算する基本的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「加速し始めてから \(3.0\) 秒後の速度」を求める問題です。初速度 \(v_0\)、加速度 \(a\)、時間 \(t\) が分かっており、\(t\) 秒後の速度 \(v\) を求めたいので、これらの4つの量を含む公式 \(v = v_0 + at\) を使用します。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を適用する。
• 運動の向き（東向き）を正として、各物理量を符号付きで扱う。

具体的な解説と立式
まず、運動の向きである東向きを正の向きと定めます。
問題文から、各物理量を整理します。

• 初速度: \(v_0 = +8.0 \text{ m/s}\)
• 加速度: \(a = +2.0 \text{ m/s}^2\)
• 時間: \(t = 3.0 \text{ s}\)

求める \(3.0\) 秒後の速度を \(v\) とすると、公式 \(v = v_0 + at\) が適用できます。
$$ v = v_0 + at $$

立式した式に、各値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 8.0 + 2.0 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 8.0 + 6.0 \\[2.0ex]&= 14.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
計算結果が正の値なので、向きは東向きです。

自動車は最初、東向きに \(8.0 \text{ m/s}\) の速さで走っています。そこに、東向きに \(2.0 \text{ m/s}^2\) の加速度が加わります。これは「1秒あたり \(2.0 \text{ m/s}\) ずつ速くなる」という意味です。\(3.0\) 秒間加速するので、速度は合計で \(2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ m/s}\) だけ増加します。したがって、\(3.0\) 秒後の速度は、元の速さに増加分を足して \(8.0 + 6.0 = 14.0 \text{ m/s}\) となります。

加速し始めてから \(3.0\) 秒後の自動車の速度は、東向きに \(14.0 \text{ m/s}\) です。東向きに加速しているので、初速度より速くなるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「加速し始めてから \(3.0\) 秒間に進んだ距離」を求める問題です。初速度 \(v_0\)、加速度 \(a\)、時間 \(t\) が分かっており、その間の距離（変位） \(x\) を求めたいので、これらの4つの量を含む公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を使用します。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を適用する。
• 各物理量を正しく代入して計算する。

具体的な解説と立式
問(1)と同様に、東向きを正とします。

• 初速度: \(v_0 = +8.0 \text{ m/s}\)
• 加速度: \(a = +2.0 \text{ m/s}^2\)
• 時間: \(t = 3.0 \text{ s}\)

求める距離を \(x\) とすると、公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) が適用できます。
$$ x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$

立式した式に、各値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 8.0 \times 3.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= 24 + 1.0 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 24 + 9 \\[2.0ex]&= 33 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

もし自動車が加速せず、初めの速さ \(8.0 \text{ m/s}\) のままで \(3.0\) 秒間進んだとしたら、進む距離は \(8.0 \times 3.0 = 24 \text{ m}\) です。しかし、実際には加速しているため、その分だけ余計に進みます。加速によって進む距離は、公式の後半部分 \(\frac{1}{2}at^2\) で計算でき、\(\frac{1}{2} \times 2.0 \times (3.0)^2 = 9 \text{ m}\) となります。したがって、合計で進んだ距離は \(24 + 9 = 33 \text{ m}\) となります。

加速し始めてから \(3.0\) 秒間に自動車が進んだ距離は \(33 \text{ m}\) です。計算は公式に正しく値を代入したものであり、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「一定の加速度で減速」したときの加速度を求める問題です。この減速運動の「初めの速度」「終わりの速度」「進んだ距離」が分かっています。一方で、「かかった時間」は分かっていません。このように、時間が関係しない状況では、時間 \(t\) を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと効率的に解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 時間 \(t\) が与えられていない、または問われていない問題では、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) の公式が非常に有効。
• この設問の「初速度」は、(1)で求めた \(14.0 \text{ m/s}\) であることを正しく認識する。

具体的な解説と立式
引き続き、東向きを正とします。
この減速運動について、問題文から物理量を整理します。

• 初速度 \(v_0\): (1)で求めた速度なので、\(v_0 = +14.0 \text{ m/s}\)
• 後の速度 \(v\): \(v = +6.0 \text{ m/s}\)
• 変位 \(x\): \(x = +20 \text{ m}\)

求める加速度を \(a\) とすると、公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) が適用できます。
$$ v^2 – v_0^2 = 2ax $$

立式した式に、各値を代入して \(a\) についての方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
(6.0)^2 – (14.0)^2 &= 2 \times a \times 20 \\[2.0ex]36 – 196 &= 40a \\[2.0ex]-160 &= 40a \\[2.0ex]a &= \frac{-160}{40} \\[2.0ex]a &= -4.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$
計算結果の符号が負なので、加速度の向きは負の向き、すなわち西向きです。

この問題では「何秒かけて減速したか」が分かりません。こういう時間不明の問題を解くのに便利なのが、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) という公式です。これは「（後の速度の2乗）-（初めの速度の2乗）= 2 × 加速度 × 距離」という関係を表します。この式に、後の速度 \(6.0\)、初めの速度 \(14.0\)、距離 \(20\) を当てはめて、加速度 \(a\) を求める方程式を解きます。計算すると \(a = -4.0\) となり、マイナスは東向きと逆の「西向き」を意味します。

加速度は西向きに \(4.0 \text{ m/s}^2\) です。自動車は東向きに減速しているため、運動の向きとは逆向き（西向き）に加速度が生じているはずです。計算結果の符号と向きが物理的な状況と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の3公式
  • 核心: 一定の加速度で運動する物体の振る舞いは、以下の3つの公式で完全に記述できます。これらの公式を暗記し、それぞれの文字が何を表すかを正確に理解することが絶対条件です。
    1. \(v = v_0 + at\) （速度と時間の関係）
    2. \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) （位置と時間の関係）
    3. \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) （速度と位置の関係、時間を含まない）
• 適切な公式の選択能力
  • 核心: 問題で与えられている物理量（既知）と、求めたい物理量（未知）を整理し、それらの量を含む最適な公式を1つ選ぶ能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 時間 \(t\) が関係する問題（与えられている、または求める） → ①か②
    • 時間 \(t\) が関係しない問題 → ③
    • ①と②の使い分け: 速度 \(v\) が関係すれば①、位置 \(x\) が関係すれば②

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直投げ上げ・投げ下ろし: 地球の重力による運動は、加速度が重力加速度 \(g\) で一定の等加速度直線運動です。鉛直上向きを正とすれば、加速度 \(a = -g\) として、全く同じ公式が適用できます。
  • 斜方投射: 斜めに投げ上げられた物体の運動も、水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（等加速度直線運動）に分解して考えることができます。鉛直方向の運動にはこの問題の考え方がそのまま使えます。
  • ブレーキをかけてから止まるまでの距離（制動距離）: (3)のように、初速度が与えられていて、最終的な速度が \(0\) になるまでの距離や時間を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の種類を判断: 問題文から「一定の加速度で」「重力によって」などのキーワードを探し、等加速度直線運動の問題であることを確認します。
  2. 物理量をリストアップ: 問題文を読み、初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\)、加速度 \(a\)、時間 \(t\)、変位 \(x\) のうち、分かっている量と求めたい量を書き出します。
  3. 軸と正の向きを設定: 運動方向のどちらかを正と決め、各物理量の符号（プラスかマイナスか）を確定させます。特に加速度が運動方向と逆向きの場合（減速）は、負の符号を付け忘れないように注意します。
  4. 公式を選択して立式: リストアップした物理量をもとに、3つの公式から最適なものを選んで式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号のミス:
  • 誤解: (3)で減速しているのに、加速度 \(a\) を正の量として計算を進めてしまう。
  • 対策: 最初に「東向きを正」と決めたら、それを最後まで貫く。減速は「運動と逆向きの加速度」なので、東向きに進みながら減速する場合、加速度は西向き（負）になるはずだと常に意識する。計算結果の符号が物理的な状況と合っているかを確認する癖をつける。
• 公式の混同・記憶違い:
  • 誤解: \(x = v_0 t + at^2\) のように、\(\frac{1}{2}\) を忘れる。\(v^2 + v_0^2 = 2ax\) のように、符号を間違える。
  • 対策: 公式は一字一句正確に覚えるしかありません。導出過程を一度自分でやってみると、式の形を忘れにくくなります。また、問題を解くたびに公式を確認する習慣も有効です。
• 初速度 \(v_0\) の取り違え:
  • 誤解: (3)の計算で、問題全体の最初の速度である \(8.0 \text{ m/s}\) を初速度 \(v_0\) として使ってしまう。
  • 対策: 等加速度直線運動の公式は、あくまで「ある一定の加速度での運動区間」にのみ適用できます。(3)は(1)(2)とは別の運動区間なので、その区間の始まりの速度（(1)の答えである \(14.0 \text{ m/s}\)）を初速度として正しく設定する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 3公式の役割分担:
  • 選定理由: 3つの公式は、5つの物理量（\(v_0, v, a, t, x\)）のうち、それぞれ異なる4つの量を含んでいます。つまり、どの公式も1つだけ物理量が欠けています。
    • \(v = v_0 + at\) （\(x\) がない）
    • \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) （\(v\) がない）
    • \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) （\(t\) がない）
  • 適用根拠: この「欠けている物理量」に着目するのが、公式選択の最も論理的な方法です。(3)では時間 \(t\) が全く登場しないので、\(t\) を含まない \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を選ぶのが最適解となります。もし他の公式を使うと、未知数が2つになり連立方程式を解く必要が出てきてしまいます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 計算に代入する値の単位が、m, s, m/s, m/s² に揃っているかを確認する。
• 2乗の計算: (3)の \(14.0^2 = 196\) のような計算は、焦ると間違いやすい。筆算などで慎重に行う。
• 移項と割り算: \( -160 = 40a \) から \(a\) を求める際に、符号の付け忘れや割り算のミスに注意する。簡単な計算ほど油断しないことが大切です。
• 問題文の数値を正確に写す: \(8.0\), \(2.0\), \(3.0\) などの数値を、式に書き写す際に間違えないように、指で押さえながら確認する。

基本例題5 等加速度直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「v-tグラフの物理的解釈」です。与えられた速度と時間の関係を示すグラフから、加速度や移動距離といった他の物理量を読み取る能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられたv-tグラフから、加速度と時間の関係を示すa-tグラフを作成する問題です。v-tグラフの「傾き」が加速度に相当するという基本関係を理解しているかが鍵となります。グラフは明らかに3つの異なる傾きを持つ区間（0-40s, 40-100s, 100-150s）に分かれているため、区間ごとに傾きを計算します。
この設問における重要なポイント

• v-tグラフの傾きは加速度を表す。(\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\))
• 傾きが正の値なら正の加速度、負の値なら負の加速度、傾きが0（水平）なら加速度は0。

具体的な解説と立式
各区間の加速度を、グラフの傾きとして計算します。

区間1 (0 s 〜 40 s)
原点 (0 s, 0 m/s) と点 (40 s, 20 m/s) を通る直線の傾き \(a_1\) を求めます。
$$ a_1 = \frac{20 – 0}{40 – 0} $$

区間2 (40 s 〜 100 s)
グラフは水平な直線であり、速度が \(20 \text{ m/s}\) で一定です。これは等速直線運動なので、加速度 \(a_2\) は0です。
$$ a_2 = 0 $$

区間3 (100 s 〜 150 s)
点 (100 s, 20 m/s) と点 (150 s, 0 m/s) を通る直線の傾き \(a_3\) を求めます。
$$ a_3 = \frac{0 – 20}{150 – 100} $$

区間1の加速度:
$$ a_1 = \frac{20}{40} = 0.50 \text{ [m/s}^2] $$
区間2の加速度:
$$ a_2 = 0 \text{ [m/s}^2] $$
区間3の加速度:
$$ a_3 = \frac{-20}{50} = -0.40 \text{ [m/s}^2] $$
これらの結果を元に、縦軸を加速度 \(a\)、横軸を時間 \(t\) とするa-tグラフを作成します。

v-tグラフという坂道の「傾き」が「加速度」になります。
・最初の40秒間は、40秒かけて速さが20m/s増える上り坂なので、傾きは \(20 \div 40 = 0.50\)。
・次の40秒から100秒までは、道が平坦なので傾きは \(0\)。
・最後の100秒から150秒までは、50秒かけて速さが20m/s減る下り坂なので、傾きは \(-20 \div 50 = -0.40\)。
この3つの値を、それぞれの時間区間に対応させてグラフに描けば完成です。

0-40sは加速度 \(0.50 \text{ m/s}^2\)、40-100sは加速度 \(0 \text{ m/s}^2\)、100-150sは加速度 \(-0.40 \text{ m/s}^2\) となります。これをグラフで表現します。加速→等速→減速という運動の様子と、加速度が正→0→負という計算結果が正しく対応しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「A駅を出てから40秒間に進んだ距離」を求める問題です。v-tグラフにおいて、グラフと時間軸で囲まれた「面積」が移動距離を表す、という重要な関係を利用します。0秒から40秒の区間のグラフの下の面積を求めます。
この設問における重要なポイント

• v-tグラフと時間軸で囲まれた面積は、移動距離を表す。
• 対象となる図形の面積を、図形の公式（この場合は三角形）を用いて計算する。

具体的な解説と立式
0秒から40秒の区間において、v-tグラフと時間軸が囲む図形は、底辺が \(40 \text{ s}\)、高さが \(20 \text{ m/s}\) の直角三角形です。
この三角形の面積が、40秒間に進んだ距離 \(x_{40}\) に等しくなります。
$$ x_{40} = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) $$

三角形の面積の公式に、値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x_{40} &= \frac{1}{2} \times 40 \times 20 \\[2.0ex]&= 400 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
解答の形式に合わせて有効数字2桁で表すと、\(4.0 \times 10^2 \text{ m}\) となります。

v-tグラフで「進んだ距離」を知りたいときは、グラフの下の部分の「面積」を計算します。0秒から40秒までの部分は、底辺が40、高さが20の三角形になっています。三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で計算できるので、\(40 \times 20 \div 2 = 400 \text{ m}\) となります。

A駅を出てから40秒間に進んだ距離は \(4.0 \times 10^2 \text{ m}\) です。v-tグラフの面積が移動距離を表すという基本法則に則った正しい計算です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「A駅とB駅の距離」を求める問題です。これは、電車がA駅を出てからB駅に着くまでの全時間（0秒から150秒）に進んだ総移動距離を意味します。問(2)と同様に、v-tグラフと時間軸が囲む面積を計算しますが、今回は全区間が対象となります。
この設問における重要なポイント

• v-tグラフの面積 = 総移動距離
• 全体の図形は台形なので、台形の面積公式を使うと一度に計算できて効率的。

具体的な解説と立式
0秒から150秒までの全区間において、v-tグラフと時間軸が囲む図形は台形です。
この台形の各辺の長さをグラフから読み取ります。

• 上底（速度が一定だった区間の時間）: \(100 – 40 = 60 \text{ s}\)
• 下底（全運動時間）: \(150 \text{ s}\)
• 高さ（最高速度）: \(20 \text{ m/s}\)

A駅とB駅の距離 \(x_{\text{全}}\) は、この台形の面積に等しくなります。
$$ x_{\text{全}} = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times (\text{高さ}) $$

台形の面積の公式に、値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x_{\text{全}} &= \frac{1}{2} \times (60 + 150) \times 20 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 210 \times 20 \\[2.0ex]&= 2100 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
解答の形式に合わせて有効数字2桁で表すと、\(2.1 \times 10^3 \text{ m}\) となります。

A駅からB駅までの全距離は、グラフ全体の面積を求めれば分かります。この全体の形は「台形」です。台形の面積は「（上側の辺＋下側の辺）× 高さ ÷ 2」で計算できます。グラフから、上側の辺の長さは \(100 – 40 = 60\)、下側の辺の長さは \(150\)、高さは \(20\) です。これを公式にあてはめると、\((60 + 150) \times 20 \div 2 = 2100 \text{ m}\) となります。

A駅とB駅の距離は \(2.1 \times 10^3 \text{ m}\) です。グラフ全体の面積を台形の公式を用いて一度に計算することができ、妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• v-tグラフの2大性質
  • 核心: v-tグラフを読み解く上で、以下の2つの物理的な意味を理解していることが全てです。この2つをマスターすれば、v-tグラフに関する問題のほとんどは解くことができます。
    1. グラフの傾き = 加速度 (\(a\)): グラフがどれだけ急か（あるいは緩やかか）が、速度の変化の度合い（加速度）を表します。
    2. グラフと軸が囲む面積 = 移動距離 (\(x\)): グラフの下の部分の面積が、その時間内にどれだけ進んだかを表します。
• 運動の種類のグラフ表現
  • 核心: v-tグラフの形状から、物体がどのような運動をしているかを瞬時に判断できる能力。
  • 理解のポイント:
    • 右上がりの直線: 傾きが正で一定 → 正の等加速度運動（加速）
    • 水平な直線: 傾きが0 → 等速直線運動（加速度0）
    • 右下がりの直線: 傾きが負で一定 → 負の等加速度運動（減速）

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • a-tグラフからv-tグラフを作成する問題: この問題とは逆の操作です。a-tグラフの面積が「速度の変化量 \(\Delta v\)」を表すことを利用します。各時刻の速度を計算し、それらを結んでv-tグラフを作成します。
  • 2物体の追い越し・出会いの問題: 2つの物体のv-tグラフを同じ座標軸に描き、その差を考える問題。例えば、「2つのグラフの面積の差」が「2物体間の距離」に対応することを利用します。
  • x-tグラフへの変換: v-tグラフから、各時刻の位置を計算してx-tグラフを作成する問題。v-tグラフの傾きが変化する点（加速から等速へ、など）で、x-tグラフの傾きの増減が変わる（直線から曲線へ、など）ことに注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、縦軸が速度\(v\)なのか、加速度\(a\)なのか、位置\(x\)なのかを絶対に確認します。
  2. グラフの形状を区間に分ける: グラフの傾きが変化している点で区切り、それぞれの区間がどのような運動（加速、等速、減速）に対応しているかを把握します。
  3. 「傾き」と「面積」のどちらを問われているか判断: 問題文が「加速度は？」と問えば傾きを、「距離は？」と問えば面積を計算する方針を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 傾きの計算ミス:
  • 誤解: (1)の減速区間（100s〜150s）の傾きを計算する際に、\(x\)の増加量と\(y\)の増加量の符号を間違える。例えば \(\frac{20-0}{150-100}\) のように、分子の引き算の順序を逆にしてしまう。
  • 対策: 傾きの計算は常に「(\(y\)の終点 – \(y\)の始点) / (\(x\)の終点 – \(x\)の始点)」の順序を徹底する。右下がりのグラフでは傾きは必ず負になる、という感覚も持っておくと検算に役立ちます。
• 面積計算の図形選択ミス:
  • 誤解: (3)でA駅とB駅の距離を求める際に、三角形や長方形に分割して計算するのは良いが、その際に一部の面積を足し忘れたり、重複して計算したりする。
  • 対策: 全体の図形が台形であることに気づけば、台形の面積公式 \(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}\) を使うのが最も簡単でミスが少ないです。分割して計算する場合は、どの部分を計算したかを図に書き込みながら進めると良いでしょう。
• \(x-t\)グラフとの混同:
  • 誤解: v-tグラフが水平な部分（40s〜100s）を「静止している」と勘違いする。（x-tグラフなら静止）
  • 対策: 「v-tグラフの水平は等速運動」と機械的に覚える。常に「このグラフの縦軸は何だっけ？」と自問自答する癖をつけることが、グラフの種類の混同を防ぐ最善策です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 加速度の定義式 (\(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で加速度を求めるために使用します。これは加速度の定義そのものであり、v-tグラフの傾きが加速度であることの根拠となる式です。
  • 適用根拠: グラフから、ある時間変化 \(\Delta t\) の間に速度がどれだけ変化したか \(\Delta v\) を読み取ることができるため、この定義式を直接適用して傾き（加速度）を計算します。
• 移動距離と面積の関係 (\(x = \int v(t) dt\)):
  • 選定理由: (2), (3)で移動距離を求めるために使用します。これは、微小時間に進む距離 \(v \Delta t\) を足し合わせる（積分する）と総移動距離になるという考え方に基づいています。
  • 適用根拠: 高校物理では、積分計算の代わりに、グラフと軸で囲まれた図形の「面積計算」としてこれを実行します。グラフが直線で囲まれた図形（三角形や台形）になるため、簡単な面積公式で移動距離を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取り: グラフから座標を読み取る際は、必ず縦軸と横軸の目盛りを確認する。特に、1目盛りが1や10でない場合に注意が必要です。
• 台形の面積公式の確認: 上底と下底を正しく特定する。この問題では、上底は等速運動をしていた時間幅（\(100-40=60\)s）、下底は全運動時間（150s）です。
• 有効数字の扱い: 問題で与えられている数値の桁数（この問題では2桁または3桁）に合わせ、最終的な答えを適切な有効数字で表現する。\(400\) を \(4.0 \times 10^2\) としたり、\(2100\) を \(2.1 \times 10^3\) としたりする処理を忘れないようにする。

基本問題

1 平均の速さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平均の速さの計算と単位換算」です。物理の計算において基本となる、単位を正しく扱えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

平均の速さ（km/h）

思考の道筋とポイント
新幹線の平均の速さを「km/h」の単位で求めます。そのためには、与えられている移動距離の単位「km」と、経過時間の単位を「h（時間）」に揃えて計算する必要があります。特に「2時間30分」を正しく時間の単位に変換できるかがポイントです。
この設問における重要なポイント

• 平均の速さ = 移動距離 / 経過時間
• 時間の単位を「h」に統一する。\(30 \text{分} = 0.5 \text{時間}\) である。

具体的な解説と立式
与えられた物理量を整理します。

• 移動距離: \(d = 4.5 \times 10^2 \text{ km}\)
• 経過時間: \(t = 2 \text{時間} 30 \text{分}\)

まず、経過時間 \(t\) の単位を「h」に統一します。
\(30 \text{分}\) は \(1 \text{時間} = 60 \text{分}\) の半分なので、\(0.5 \text{時間}\) です。
したがって、経過時間は \(t = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ h}\) となります。
平均の速さを \(\bar{v}\) とすると、定義式は以下のようになります。
$$ \bar{v} = \frac{d}{t} $$

立式した式に、各値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{4.5 \times 10^2}{2.5} \\[2.0ex]&= \frac{450}{2.5} \\[2.0ex]&= \frac{4500}{25} \\[2.0ex]&= 180 \text{ [km/h]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で表すと、\(1.8 \times 10^2 \text{ km/h}\) となります。

「時速（km/h）」を求めるので、距離は「km」、時間は「h」を使います。距離は \(450 \text{ km}\) です。時間は「2時間30分」ですが、30分は0.5時間なので、合計で \(2.5\) 時間です。あとは、距離を時間で割るだけ。「\(450 \text{ km} \div 2.5 \text{ 時間}\)」を計算すると、\(180 \text{ km/h}\) となります。

新幹線の平均の速さは \(1.8 \times 10^2 \text{ km/h}\) です。時速180kmは新幹線の速度として現実的な値であり、妥当な結果と言えます。

平均の速さ（m/s）

思考の道筋とポイント
次に、平均の速さを「m/s」の単位で求めます。これには2つの方法があります。
1. 先ほど求めた km/h の値を m/s に単位換算する。
2. 最初から距離を m、時間を s に直してから、速さの定義式で計算する。
どちらの方法でも解けるようにしておくことが望ましいです。
この設問における重要なポイント

• 単位換算の関係式を正しく使う: \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\), \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\)。
• km/h から m/s への変換は、数値を \(3.6\) で割ることと同じ。

具体的な解説と立式
解法1: km/hからの単位換算
\(1.8 \times 10^2 \text{ km/h}\) は、「1時間あたり \(1.8 \times 10^2 \text{ km}\) 進む」という意味です。これを「1秒あたり何m進むか」に直します。

• 距離: \(1.8 \times 10^2 \text{ km} = 180 \text{ km} = 180 \times 1000 \text{ m} = 180000 \text{ m}\)
• 時間: \(1 \text{ h} = 60 \text{ 分} = 60 \times 60 \text{ s} = 3600 \text{ s}\)

したがって、平均の速さ \(\bar{v}\) は、これらの値を割ることで求められます。
$$ \bar{v} = \frac{180000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} $$

解法1の計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{180000}{3600} \\[2.0ex]&= \frac{1800}{36} \\[2.0ex]&= 50 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

時速（km/h）を秒速（m/s）に直すには、便利な裏技があります。それは「3.6で割る」ことです。時速 \(180 \text{ km/h}\) を \(3.6\) で割ると、\(180 \div 3.6 = 50 \text{ m/s}\) とすぐに計算できます。なぜ3.6で割るかというと、1kmは1000m、1時間は3600秒なので、km/hをm/sにするには1000を掛けて3600で割る、つまり \(1000/3600 = 1/3.6\) を掛けることになるからです。

新幹線の平均の速さは \(50 \text{ m/s}\) です。2つの異なる方法で計算しても同じ答えになりました。陸上選手の100m走が約10秒なので、その速さは \(10 \text{ m/s}\) 程度です。新幹線はその5倍の速さで進んでいることになり、妥当な速さだと考えられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平均の速さの定義と単位の重要性:
  • 核心: 平均の速さは「総移動距離 ÷ 総所要時間」で計算されること、そして計算前に単位を揃えることが物理計算の絶対的なルールであることを理解する。
  • 理解のポイント:
    • 平均の速さ: 途中の速度変化は無視し、始点と終点の情報だけで計算する。
    • 単位の整合性: km/hを求めるならkmとh、m/sを求めるならmとsに、計算前に全ての量を統一する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 往復の平均速度: 行きと帰りで速さが違う場合の、往復全体の平均速度を求める問題。単純に速さの平均を取るのではなく、「総距離 ÷ 総時間」で計算する必要がある。
  • 単位が混在した問題: 距離がkm、時間が分、速さをm/sで問うなど、複数の単位変換が必要になる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 求めたい単位を確認: まず問題がどの単位（km/h, m/sなど）で答えを要求しているかを確認します。
  2. 与えられた量の単位を確認: 距離や時間の単位が、求めたい単位と一致しているかを確認します。
  3. 単位変換の計画を立てる: 最初に全ての単位をmとsに揃えてから計算するか、kmとhで計算した後に答えを変換するか、やりやすい方を選びます。速さの単位換算（3.6で割る/掛ける）は非常に強力なテクニックです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 時間の単位換算ミス:
  • 誤解: 「2時間30分」を \(2.3\) 時間と計算してしまう。
  • 対策: 時間の単位は60進法であることを常に意識する。\(30 \text{分} = 30/60 \text{時間} = 0.5 \text{時間}\) のように、分数で考えてから小数に直すとミスが減ります。
• 距離の単位換算ミス:
  • 誤解: \(1 \text{ km} = 100 \text{ m}\) のように、桁を間違えてしまう。
  • 対策: 「k（キロ）」は「1000倍」を意味する接頭語であるとしっかり覚える。\(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\) など、他の単位との関連で覚えるのも有効です。
• 指数表記の計算ミス:
  • 誤解: \(4.5 \times 10^2\) を \(4.5 \times 20 = 90\) のように計算してしまう。
  • 対策: \(10^2\) は \(100\) であることを理解し、\(4.5 \times 100 = 450\) と正しく計算する。指数表記に慣れていない場合は、一度普通の整数に直してから計算する方が安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均の速さの定義式 (\(\bar{v} = \frac{d}{t}\)):
  • 選定理由: この問題は「平均の速さ」そのものを問うており、その定義式を使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 問題で与えられているのは、運動の始点と終点の間の総距離と総時間です。途中の速度変化に関する情報はなく、また必要もありません。このような状況で全体の平均的な速さを表すには、この定義式が唯一かつ最適な選択肢となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きな数の割り算: \(180000 \div 3600\) のような計算では、まず両方から0を同じ数だけ消して（この場合は2つずつ）、\(1800 \div 36\) のように簡単な形にしてから計算する。
• 小数の割り算: \(450 \div 2.5\) のような計算では、分母と分子を10倍して \(4500 \div 25\) のように整数の割り算に直すと計算ミスが減ります。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられた数値が「2時間30分」「\(4.5 \times 10^2\) km」のように有効数字2桁で与えられているため、最終的な答えも有効数字2桁（\(1.8 \times 10^2\), \(50\)）で表現するのが適切です。計算途中では少し多めの桁数で計算し、最後に丸めるのが基本です。

2 等速直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(x-t\)グラフの読み取りと等速直線運動の計算」です。グラフから物理的な意味を正確に読み取り、基本的な公式に適用する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体の速さ\(v\)を求める問題です。与えられた\(x-t\)グラフが物理的に何を意味するかを理解することが第一歩です。\(x-t\)グラフの「傾き」が物体の「速度」に対応するという、運動学の最も基本的な関係を用いて解きます。
この設問における重要なポイント

• \(x-t\)グラフの傾きは速度を表す。
• 傾きは「縦軸の変化量（位置の変化 \(\Delta x\)）÷ 横軸の変化量（時間の変化 \(\Delta t\)）」で計算できる。
• グラフが直線なので、どの区間で傾きを計算しても値は一定になる。

具体的な解説と立式
物体の速さ\(v\)は、\(x-t\)グラフの傾きに等しくなります。グラフから、計算しやすい2点の座標を読み取ります。
時刻 \(t_1 = 0 \text{ s}\) のとき、位置は \(x_1 = 4 \text{ m}\) です。
時刻 \(t_2 = 4.0 \text{ s}\) のとき、位置は \(x_2 = 16 \text{ m}\) です。
これらの値を用いて、速度\(v\)を求める式は以下のように立てられます。
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$

グラフから読み取った値を、立式した式に代入して速さ\(v\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{16 – 4}{4.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{12}{4.0} \\[2.0ex]&= 3.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

物体の速さは、グラフの傾きを計算することで求められます。グラフの傾きは、「縦にどれだけ変化したか」を「横にどれだけ変化したか」で割ることで計算できます。
グラフを見ると、時間は0秒から4.0秒まで「4.0秒間」変化しています。その間に、位置は4m地点から16m地点まで「\(16 – 4 = 12\text{ m}\)」変化しています。
したがって、速さは「12m ÷ 4.0s」を計算して、\(3.0 \text{ m/s}\)となります。

物体の速さは \(3.0 \text{ m/s}\) です。グラフが右上がりの直線であることから、物体はx軸の正の向きに一定の速さで運動していることがわかります。計算結果も正の値となり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この物体が10秒間に移動する距離\(s\)を求める問題です。(1)で、この物体が一定の速さで運動する「等速直線運動」をしていることがわかりました。この性質を利用して、移動距離を計算します。
この設問における重要なポイント

• 等速直線運動では、速度が常に一定である。
• 移動距離は「速さ × 時間」という単純な式で計算できる。

具体的な解説と立式
(1)より、物体は速さ \(v = 3.0 \text{ m/s}\) の等速直線運動をしています。
移動距離を\(s\)、速さを\(v\)、時間を\(t\)とすると、これらの関係は以下の式で表されます。
$$ s = v \times t $$
この式に、問題で与えられている時間 \(t = 10 \text{ s}\) を代入して移動距離\(s\)を求めます。

(1)で求めた速さ \(v = 3.0 \text{ m/s}\) と、時間 \(t = 10 \text{ s}\) を式に代入します。
$$
\begin{aligned}
s &= 3.0 \times 10 \\[2.0ex]&= 30 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

この物体は「1秒間に3.0m進む」という速さで、ずっと同じペースで動き続けています。では、10秒間ではどれだけ進むでしょうか？これは単純な掛け算で、「1秒あたりの距離 × 秒数」で計算できます。
計算すると、\(3.0 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 30 \text{ m}\) となります。

物体が10秒間に移動する距離は \(30 \text{ m}\) です。等速直線運動の基本的な計算であり、結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=10 \text{ s}\) のときの物体の「位置」のx座標を求める問題です。ここで重要なのは、(2)で求めた「移動距離」と、今問われている「位置」を明確に区別することです。物体の運動がどこから始まったか（初期位置）を考慮する必要があります。
この設問における重要なポイント

• ある時刻の「位置」 = 「初期位置」 + 「そこからの移動距離」。
• \(x-t\)グラフにおいて、\(t=0\) のときの \(x\) の値（縦軸の切片）が初期位置を表す。

具体的な解説と立式
物体の時刻\(t\)における位置\(x\)は、初期位置を\(x_0\)、速さを\(v\)とすると、以下の式で表されます。
$$ x = x_0 + vt $$
グラフから、この物体の運動は原点(\(x=0\))からではなく、初期位置 \(x_0 = 4 \text{ m}\) から始まっていることがわかります。
この式に、初期位置 \(x_0 = 4 \text{ m}\)、(1)で求めた速さ \(v = 3.0 \text{ m/s}\)、そして問題の時刻 \(t = 10 \text{ s}\) を代入して、位置\(x\)を求めます。

各値を式に代入して計算します。なお、\(vt\) の部分は(2)で計算した移動距離 \(s=30 \text{ m}\) と同じです。
$$
\begin{aligned}
x &= 4 + 3.0 \times 10 \\[2.0ex]&= 4 + 30 \\[2.0ex]&= 34 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

この問題は「10秒後の場所はどこですか？」と聞いています。(2)で、この物体が10秒間に30m進むことはわかりました。しかし、スタート地点が原点(0m)ではなく、4mの地点でした。
したがって、10秒後の位置は、スタート地点の4mに、そこから進んだ距離30mを足し合わせる必要があります。
計算すると、\(4 \text{ m} + 30 \text{ m} = 34 \text{ m}\) となり、10秒後にはx座標が34mの地点にいることがわかります。

時刻 \(t=10 \text{ s}\) のとき、物体の位置のx座標は \(34 \text{ m}\) です。「移動距離」と「位置」の違いを正しく理解し、初期位置を忘れずに加えることができたかがポイントです。計算結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(x-t\)グラフの物理的意味の理解:
  • 核心: この問題の全ては、\(x-t\)グラフ（位置-時間グラフ）が単なる図形ではなく、物体の運動状態を表す情報そのものであると理解することから始まります。
  • 理解のポイント:
    • グラフの傾き = 速度: グラフの傾きが物体の速度 \(v\) を表します。傾きが一定なら速度も一定（等速直線運動）、傾きが変化すれば速度も変化（加速・減速運動）します。
    • グラフの縦軸切片 = 初期位置: 時刻 \(t=0\) におけるグラフの \(x\) の値（y切片）は、物体の運動の開始点（初期位置 \(x_0\)）を表します。原点からスタートするとは限らない点に注意が必要です。
• 「移動距離」と「位置」の区別:
  • 核心: 物理学において、「どれだけ動いたか（移動距離 \(s\)）」と「今どこにいるか（位置 \(x\)）」は明確に異なる概念です。
  • 理解のポイント:
    • 移動距離 \(s\): \(s = vt\) で計算される、ある時間内に動いた道のり。
    • 位置 \(x\): \(x = x_0 + vt\) で計算される、座標軸上の点の場所。初期位置 \(x_0\) に移動距離 \(vt\) を足し合わせたものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフの問題: 速度-時間グラフが与えられ、加速度（グラフの傾き）や移動距離（グラフと軸で囲まれた面積）を求める問題。\(x-t\)グラフとの関係性を整理しておくことが重要です。
  • 2物体のすれ違い・追い越し問題: 2つの物体の\(x-t\)グラフを同じ座標軸に描き、グラフの交点が「すれ違う」または「追いつく」時刻と位置を表すことを利用する問題。
  • 折り返し運動: \(x-t\)グラフの傾きが正から負（または負から正）に変わる点は、物体が運動の向きを変えた「折り返し点」を意味します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず、縦軸が位置\(x\)なのか、速度\(v\)なのかを絶対に確認します。これを間違えると、傾きや面積が意味する物理量が全く変わってしまいます。
  2. グラフの形状を把握する: グラフが直線か、曲線かを確認します。直線なら「等速」、曲線なら「加速または減速」という運動の全体像を掴みます。
  3. 初期状態（\(t=0\)）を確認する: グラフが原点を通るか、それともy軸上の別の点から始まるかを確認します。これにより、初期位置 \(x_0\) や初速度 \(v_0\) が0でない可能性に気づくことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 移動距離と位置の混同:
  • 誤解: (3)で、10秒後の位置を問われているのに、(2)で計算した移動距離 \(30 \text{ m}\) をそのまま答えてしまう。
  • 対策: 問題文が「移動する距離」を問うているのか、「位置のx座標」を問うているのかを指差し確認する癖をつける。「位置は住所、移動距離は道のり」のように、具体的なイメージで区別して覚えることが有効です。
• 初期位置の見落とし:
  • 誤解: 物体の運動は常に原点（\(x=0\)）から始まると無意識に思い込み、グラフのy切片（\(x=4 \text{ m}\)）を見落としてしまう。
  • 対策: \(x-t\)グラフを見たら、まず最初に「\(t=0\)の点はどこか？」と自問自答する習慣をつけます。y軸との交点に丸を付けるなど、視覚的に意識することがミスを防ぎます。
• 傾きの計算ミス:
  • 誤解: 傾きを計算する際に、\(\displaystyle\frac{16}{4.0}\) のように、単純な座標の割り算で計算してしまう。
  • 対策: 傾きは必ず「変化量（後の値 – 前の値）」で計算することを徹底する。つまり、\(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t} = \displaystyle\frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1}\) という定義式に忠実に当てはめる練習を繰り返します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の定義式 (\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で物体の速さを求めるために使用します。これは速度という物理量の定義そのものであり、\(x-t\)グラフの傾きが速度に対応する根拠となる式です。
  • 適用根拠: グラフから2点の座標（時間と位置の組）を読み取ることができるため、それぞれの変化量 \(\Delta x\) と \(\Delta t\) を計算し、この定義式に代入することで速度を求められます。
• 等速直線運動の位置の公式 (\(x = x_0 + vt\)):
  • 選定理由: (3)で特定の時刻における物体の位置を求めるために使用します。この式は、等速直線運動における位置と時間の関係を一般的に表す最も基本的な公式です。
  • 適用根拠: この問題の運動は、(1)で「等速」であることがわかり、グラフから「初期位置 \(x_0\)」が0でないこともわかっています。したがって、初期位置と速度の両方を考慮したこの公式が、状況を正確に記述するために必要となります。ちなみに、(2)で使った \(s=vt\) は、この式の \(x_0=0\) としたときの移動距離を表す特殊な場合に相当します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取り: グラフから座標を読み取る際は、点からx軸、y軸にそれぞれ点線を下ろし、目盛りの値を慎重に確認します。特に、今回の \(t=0\) で \(x=4\) のように、切片が0でない点には注意が必要です。
• 単位の確認: 計算の最終結果だけでなく、途中計算でも単位を意識することが重要です。「mをsで割るから、答えの単位はm/sになる」といった確認をすることで、立式の誤りにも気づきやすくなります。
• 簡単な暗算の落とし穴: \(16-4=12\) や \(3.0 \times 10 = 30\) のような簡単な計算ほど、テストの焦りからミスをしがちです。一呼吸おいて見直すか、問題用紙の隅で筆算するなど、確実性を重視する姿勢が大切です。
• 問いと答えの対応確認: (1)速さ、(2)距離、(3)位置と、3つの設問で異なる物理量を問われています。解答を書き出す前に、自分が計算したものがどの問いに対する答えなのかを再確認する習慣をつけましょう。

3 平均の速さと瞬間の速さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(x-t\)グラフにおける平均の速さと瞬間の速さの区別」です。グラフの傾きが速度を表すという基本原則を、2つの異なる速さの定義に正しく適用できるかが試されます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「平均の速さ」を求める問題です。\(x-t\)グラフにおいて、平均の速さが「区間の始点と終点を結ぶ直線の傾き」であることを理解しているかが問われます。グラフから必要な2点の座標を正確に読み取ることが計算の第一歩となります。
この設問における重要なポイント

• 平均の速さ = 2点を結ぶ直線（割線）の傾き。
• 傾きは、位置の変化量 \(\Delta x\) を時間の変化量 \(\Delta t\) で割ることで求められる。

具体的な解説と立式
区間 0 ~ 2.0 s (AからB) の平均の速さ \(\bar{v}_{\text{AB}}\)

グラフから、点Aの座標は (\(t_{\text{A}}=0 \text{ s}, x_{\text{A}}=0 \text{ m}\))、点Bの座標は (\(t_{\text{B}}=2.0 \text{ s}, x_{\text{B}}=2.0 \text{ m}\)) と読み取れます。
$$ \bar{v}_{\text{AB}} = \frac{x_{\text{B}} – x_{\text{A}}}{t_{\text{B}} – t_{\text{A}}} $$

区間 2.0 ~ 4.0 s (BからC) の平均の速さ \(\bar{v}_{\text{BC}}\)

同様に、点Bの座標は (\(t_{\text{B}}=2.0 \text{ s}, x_{\text{B}}=2.0 \text{ m}\))、点Cの座標は (\(t_{\text{C}}=4.0 \text{ s}, x_{\text{C}}=8.0 \text{ m}\)) と読み取れます。
$$ \bar{v}_{\text{BC}} = \frac{x_{\text{C}} – x_{\text{B}}}{t_{\text{C}} – t_{\text{B}}} $$

\(\bar{v}_{\text{AB}}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{\text{AB}} &= \frac{2.0 – 0}{2.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{2.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
\(\bar{v}_{\text{BC}}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{\text{BC}} &= \frac{8.0 – 2.0}{4.0 – 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{6.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 3.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「平均の速さ」は、その区間のスタート地点とゴール地点だけを見て、全体としてどれくらいのペースだったかを計算します。これは、グラフ上の2点をまっすぐ結んだ線の「傾き」を求めるのと同じです。傾きは「縦の変化量（位置の変化）÷ 横の変化量（時間の変化）」で計算できます。
0秒から2.0秒の間では、位置が0mから2.0mへ2.0m変化したので、速さは \(2.0 \div 2.0 = 1.0\) m/s です。
2.0秒から4.0秒の間では、位置が2.0mから8.0mへ6.0m変化したので、速さは \(6.0 \div 2.0 = 3.0\) m/s です。

0~2.0秒の間の平均の速さは \(1.0 \text{ m/s}\)、2.0~4.0秒の間の平均の速さは \(3.0 \text{ m/s}\) です。グラフは下に凸で、だんだん傾きが急になっている（加速している）ので、後の区間の平均の速さの方が大きくなるという結果は、グラフの見た目と一致しており妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「瞬間の速さ」を求める問題です。\(x-t\)グラフにおいて、瞬間の速さが「その点における接線の傾き」であることを理解しているかが問われます。問題のグラフには、点Bと点Cにおける接線がすでに描かれているため、これらの直線の傾きを計算すればよいです。
この設問における重要なポイント

• 瞬間の速さ = グラフ上の点における接線の傾き。
• 接線が通る2点の座標をグラフから正確に読み取ることが重要。

具体的な解説と立式
時刻 2.0 s (点B) での瞬間の速さ \(v_{\text{B}}\)

点Bにおける接線は、グラフから2点 (\(t_1=1.0 \text{ s}, x_1=0 \text{ m}\)) と (\(t_2=4.0 \text{ s}, x_2=6.0 \text{ m}\)) を通ることが読み取れます。
$$ v_{\text{B}} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$

時刻 4.0 s (点C) での瞬間の速さ \(v_{\text{C}}\)

点Cにおける接線は、グラフから2点 (\(t_3=2.0 \text{ s}, x_3=0 \text{ m}\)) と (\(t_4=4.0 \text{ s}, x_4=8.0 \text{ m}\)) を通ることが読み取れます。
$$ v_{\text{C}} = \frac{x_4 – x_3}{t_4 – t_3} $$

\(v_{\text{B}}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}} &= \frac{6.0 – 0}{4.0 – 1.0} \\[2.0ex]&= \frac{6.0}{3.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
\(v_{\text{C}}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{C}} &= \frac{8.0 – 0}{4.0 – 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{8.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「瞬間の速さ」は、スピードメーターがその瞬間に指している値のようなものです。グラフでは、その点での「勢い」や「傾き具合」を表す「接線」の傾きを計算することで求められます。
時刻2.0秒（点B）では、接線が(1.0秒, 0m)と(4.0秒, 6.0m)の2点を通るので、傾きは「縦の変化6.0m ÷ 横の変化3.0s」で \(2.0\) m/s となります。
時刻4.0秒（点C）では、接線が(2.0秒, 0m)と(4.0秒, 8.0m)の2点を通るので、傾きは「縦の変化8.0m ÷ 横の変化2.0s」で \(4.0\) m/s となります。

時刻 2.0秒での瞬間の速さは \(2.0 \text{ m/s}\)、時刻 4.0秒での瞬間の速さは \(4.0 \text{ m/s}\) です。時刻が後の点Cでの速さの方が、点Bでの速さより大きくなっており、物体が加速しているというグラフの形状と一致します。また、(1)で求めた平均の速さと比較すると、\(\bar{v}_{\text{AB}} (1.0 \text{ m/s}) < v_{\text{B}} (2.0 \text{ m/s}) < \bar{v}_{\text{BC}} (3.0 \text{ m/s}) < v_{\text{C}} (4.0 \text{ m/s})\) という関係になっており、だんだん速くなっていく加速運動の様子を正しく反映した結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平均の速さと瞬間の速さのグラフ上の定義:
  • 核心: \(x-t\)グラフにおいて、「平均の速さ」と「瞬間の速さ」が、それぞれグラフ上の異なる幾何学的特徴（割線の傾きと接線の傾き）に対応することを明確に理解し、区別することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 平均の速さ: 2点を結ぶ「直線（割線）」の傾き。これは、ある時間区間全体を均した（ならした）ときの仮想的な一定速度を表します。
    • 瞬間の速さ: 1点における「接線」の傾き。これは、その時刻における「スピードメーターの読み」に相当する、その一瞬一瞬の真の速度を表します。
• グラフの形状と運動状態の関連付け:
  • 核心: \(x-t\)グラフの曲がり方（凸性）から、物体がどのような運動（等速、加速、減速）をしているかを直感的に読み取る能力。
  • 理解のポイント:
    • 直線: 傾きが一定 → 等速運動。
    • 下に凸の曲線（今回）: 接線の傾きが時間とともに増加 → 加速運動。
    • 上に凸の曲線: 接線の傾きが時間とともに減少 → 減速運動。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフからの情報読み取り: 逆に\(v-t\)グラフが与えられ、平均の加速度（割線の傾き）、瞬間の加速度（接線の傾き）、移動距離（グラフと軸で囲まれた面積）を求める問題。
  • 最大速度・最小速度を求める問題: \(x-t\)グラフ上で接線の傾きが最大または最小になる点を探す問題。
  • 平均の速さと瞬間の速さが一致する点を問う問題: 加速運動において、ある区間の平均の速さ \(\bar{v}\) と同じ値の瞬間の速さ \(v\) を持つ時刻が、その区間内に存在することを問う問題（平均値の定理）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「平均」か「瞬間」かのキーワード確認: 問題文が「〜の間の平均の速さ」を問うているのか、「時刻〜における瞬間の速さ」を問うているのかを最初に確認します。これにより、割線を引くべきか、接線を見るべきかが決まります。
  2. 座標の読み取り精度: グラフから座標を読み取る問題では、これが全ての計算の基礎となります。格子点（グリッドの交点）など、確実に読み取れる点を探すことが重要です。特に接線の傾きを計算する際は、接点以外のもう1点がどこを通るかを慎重に見極めます。
  3. 物理的な妥当性の吟味: 計算後、結果が物理的におかしくないかを確認します。例えば、加速運動しているなら、後の時刻の速さの方が前の時刻の速さより大きくなるはずです。この吟味により、計算ミスや読み取りミスに気づくことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 瞬間の速さと平均の速さの混同:
  • 誤解: (2)で点Bでの瞬間の速さを求めるときに、原点Oと点Bを結ぶ直線の傾き（これは0〜2.0秒の平均の速さ）を計算してしまう。
  • 対策: 「瞬間」という言葉は「その点での接線」、「平均」という言葉は「区間の両端を結ぶ直線」と、言葉と操作をセットで機械的に覚える。加速・減速運動では、この2つは一致しないことを常に意識する。
• 接線の傾きの計算に接点の座標を使ってしまう:
  • 誤解: 点Bでの接線の傾きを計算する際、点Bの座標(\(2.0, 2.0\))と、接線が通るもう一点(\(4.0, 6.0\))を使ってしまう。これは間違いではありませんが、もう一点が(\(1.0, 0\))のように計算しやすい点である場合、そちらを使った方が計算ミスを減らせます。
  • 対策: 接線の傾きを計算する際は、その直線が通る最も計算しやすい（切片など、0を含む）2点を探す癖をつける。必ずしも接点の座標を使う必要はないと理解する。
• 座標の読み取りミス:
  • 誤解: 点Cの座標を(\(4.0, 8.0\))と正しく読み取れず、目分量で(\(4.0, 7.5\))などと読んでしまい、計算結果がずれる。
  • 対策: グラフの目盛りが何を意味しているかを最初に確認し、定規などを使って水平・垂直に線を引いて座標を慎重に読み取る。特に、格子点上にない点を読む際は注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均の速さの定義式 (\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で「平均の速さ」を求めるために使用します。これは平均の速さの定義そのものです。
  • 適用根拠: 「ある区間」(\(\Delta t\))における「位置の変化」(\(\Delta x\))を計算するため、区間の始点と終点の2つの座標 (\(t_1, x_1\)) と (\(t_2, x_2\)) が必要です。グラフからこれらの座標を読み取れるため、この公式を直接適用できます。これはグラフ上の割線の傾きを求める操作と数学的に等価です。
• 瞬間の速さの定義（接線の傾き）:
  • 選定理由: (2)で「瞬間の速さ」を求めるために使用します。瞬間の速さは、平均の速さを求める式の時間区間 \(\Delta t\) を限りなく0に近づけた極限（微分）であり、これはグラフ上の接線の傾きに相当します。
  • 適用根拠: 高校物理では、微分計算を直接行う代わりに、問題にあらかじめ接線が描かれているか、接線の傾きを容易に計算できる状況が設定されています。この問題では接線が描かれているため、その接線が通る2点の座標を読み取り、\(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) を計算することで瞬間の速さを求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算に使う2点の明記: グラフから読み取った座標を、計算式の近くに「点A(\(0, 0\))、点B(\(2.0, 2.0\))を使用」のようにメモ書きする習慣をつける。これにより、どの値を使って計算したかが明確になり、見直しが容易になります。
• 引き算の順序の徹底: \(\Delta x = x_{\text{後}} – x_{\text{前}}\), \(\Delta t = t_{\text{後}} – t_{\text{前}}\) の順序を常に守る。速さ（スカラー）を問われている場合は絶対値が同じなので問題になりにくいですが、速度（ベクトル）を問われた場合に符号ミスを防ぐために重要です。
• 分数の計算: \(6.0/3.0\) や \(8.0/2.0\) のような簡単な割り算でも、焦るとミスをします。計算しやすい整数になる組み合わせを探す、暗算せずに一度式を書き下すなど、丁寧な手順を心がける。
• 結果の比較吟味: (1)と(2)で求めた4つの速さの値を並べて、\(\bar{v}_{\text{AB}} < v_{\text{B}} < \bar{v}_{\text{BC}} < v_{\text{C}}\) のように大小関係が加速運動の様子と矛盾していないかを確認する。この一手間が、ケアレスミス発見の最後の砦となります。

4 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。動いている座標系（流れる川）の上を移動する物体（船）の速度を、静止している座標系（川岸）から見たときにどうなるかを考える、速度合成の基本的な問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

下流に向かう場合

思考の道筋とポイント
川岸から見た船の速さを求めます。これは「船が自力で進む速さ」と「川が流れる速さ」を合成したものです。下流に向かう場合、船の進む向きと川の流れの向きは同じです。これは、追い風を受けて進む状況に似ており、2つの速度が合わさってより速くなります。
この設問における重要なポイント

• 川岸から見た速度（合成速度） = 静水時の船の速度 + 川の流れの速度。
• 船と川の進行方向が同じなので、速度の合成は速さの単純な足し算になる。

具体的な解説と立式
速度の向きを符号で表すため、川の流れの向き（下流向き）を正の向きとします。

• 静水時の船の速さは \(4.5 \text{ m/s}\) です。下流に向かって進むので、その速度は \(v_{\text{静水}} = +4.5 \text{ m/s}\) となります。
• 川の流れの速さは \(2.0 \text{ m/s}\) です。これも下流向きなので、その速度は \(v_{\text{川}} = +2.0 \text{ m/s}\) となります。

川岸から見た船の速度を \(v_{\text{下り}}\) とすると、合成速度はこれらの和で表されます。
$$ v_{\text{下り}} = v_{\text{静水}} + v_{\text{川}} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{下り}} &= (+4.5) + (+2.0) \\[2.0ex]&= +6.5 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
速さは速度の大きさなので、\(6.5 \text{ m/s}\) となります。

船は自力で秒速4.5mで進む能力があります。下流に向かうときは、それに加えて川の流れが秒速2.0mで船を後押ししてくれます。岸から見ると、船は「自力で進む速さ」と「川に後押しされる速さ」が合わさって見えるため、単純な足し算で \(4.5 + 2.0 = 6.5\) m/s の速さで進んでいるように見えます。

下流に向かうときの川岸から見た船の速さは \(6.5 \text{ m/s}\) です。川の流れに助けられるため、静水時よりも速くなるという結果は物理的に妥当です。

上流に向かう場合

思考の道筋とポイント
こちらも同様に、川岸から見た船の速さを求めます。上流に向かう場合、船の進む向きと川の流れの向きは逆になります。これは、向かい風を受けながら進む状況に似ており、川の流れによって船の速度が妨げられます。
この設問における重要なポイント

• 川岸から見た速度（合成速度） = 静水時の船の速度 + 川の流れの速度。
• 船と川の進行方向が逆なので、速度の合成は実質的に速さの引き算になる。
• 座標軸を設定した場合、上流向きの速度は負の符号で表される。

具体的な解説と立式
下流向きを正とする座標軸を継続して用います。

• 静水時の船の速さは \(4.5 \text{ m/s}\) です。しかし、今度は上流（負の向き）に進むので、その速度は \(v_{\text{静水}} = -4.5 \text{ m/s}\) となります。
• 川の流れの速度は、向きが変わらないため \(v_{\text{川}} = +2.0 \text{ m/s}\) のままです。

川岸から見た船の速度を \(v_{\text{上り}}\) とすると、合成速度はこれらの和で表されます。
$$ v_{\text{上り}} = v_{\text{静水}} + v_{\text{川}} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{上り}} &= (-4.5) + (+2.0) \\[2.0ex]&= -2.5 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
問題で問われているのは「速さ（速度の大きさ）」なので、この速度の絶対値をとります。
速さ \( = |-2.5| = 2.5 \text{ [m/s]}\)

船は自力で秒速4.5mで上流へ進もうとしますが、川の流れが秒速2.0mで逆向きに押し戻してきます。岸から見ると、船の速さは「自力で進む速さ」から「川に押し戻される速さ」を引いたものに見えます。したがって、計算は引き算で \(4.5 – 2.0 = 2.5\) m/s となります。

上流に向かうときの川岸から見た船の速さは \(2.5 \text{ m/s}\) です。計算結果の速度が \(-2.5 \text{ m/s}\) となった負の符号は、船が設定した座標軸の負の向き（上流向き）に進んでいることを正しく示しています。川の流れに妨げられるため、静水時よりも遅くなるという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成則（ガリレイの速度変換則）:
  • 核心: 「静止系（川岸）から見た物体の速度」は、「運動系（川）から見た物体の速度」と「静止系から見た運動系の速度」のベクトル和で表される、という速度の合成の基本原理を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • \(v_{\text{岸から見た船}} = v_{\text{川から見た船}} + v_{\text{岸から見た川}}\)
    • ここで、\(v_{\text{川から見た船}}\) が「静水時の船の速度」に相当します。
    • この関係はベクトル和なので、向きを考慮することが不可欠です。
• 速度と速さの区別:
  • 核心: 「速度」が向きを含むベクトル量であるのに対し、「速さ」はその大きさのみを表すスカラー量であることを明確に区別して扱う能力。
  • 理解のポイント:
    • 計算途中では、向きを考慮した「速度」（符号付き）で計算を進めるのが基本です。
    • 最終的に問題が「速さ」を問うている場合は、計算結果の絶対値をとって答えます。上りの速度が \(-2.5 \text{ m/s}\) となっても、速さは \(2.5 \text{ m/s}\) です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2次元の速度合成: 川を横切る船の問題。船の速度と川の速度が直角をなすため、合成速度の大きさは三平方の定理で、向きは三角関数で求めることになります。
  • 相対速度: 動いている物体Aから見た、別の動いている物体Bの速度を求める問題。\(v_{\text{Aに対するB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\) という引き算で計算します。今回の問題は、静止した川岸を基準とした合成速度ですが、考え方は相対速度と表裏一体です。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 川と船の関係を、空気（風）と飛行機の関係に置き換えた問題。考え方は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準は何か？: 「誰から見た速度」を求められているのかを最初に確認します。この問題では「川岸から見た」が基準です。
  2. 動くものは何か？: 船と川のように、動く要素を全てリストアップします。
  3. 座標軸を設定する: どちらの向きを正とするかを自分で決めます。通常は、主要な運動の向き（この問題なら下流向き）を正に取ると計算が楽になります。
  4. 各速度をベクトル（符号付き）で表現する: 設定した座標軸に従い、各物体の速度をプラスまたはマイナスの符号を付けて表現します。これにより、足し算・引き算の判断を機械的に行うことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 上りの計算での符号ミス:
  • 誤解: 上りの計算で、船の速度も川の速度も両方正の値としてしまい、\(4.5 + 2.0 = 6.5 \text{ m/s}\) と計算してしまう。または、単純に引き算をすれば良いと考え、どちらからどちらを引くか混乱する。
  • 対策: まず座標軸（例：下流向きを正）を設定する、という手順を徹底します。そうすれば、上流に向かう船の速度は自然と \(-4.5 \text{ m/s}\) となり、あとは公式通りに足し算（\((-4.5) + (+2.0)\)）するだけで、符号を間違うことがなくなります。
• 速度と速さの混同:
  • 誤解: 上りの計算結果が \(-2.5 \text{ m/s}\) となったときに、答えを \(-2.5 \text{ m/s}\) と書いてしまう。
  • 対策: 問題文の最後を指差し確認し、「速さ」を問われているのか「速度」を問われているのかをチェックする習慣をつけます。「速さ」は大きさなので、負の値になることはあり得ないと覚えておきましょう。
• 言葉の定義の曖昧さ:
  • 誤解: 「静水時の速さ」が何を意味するのか（川から見た速さなのか、岸から見た速さなのか）が曖昧なまま問題を解き始めてしまう。
  • 対策: 「静水時の速さ」＝「もし川が流れていなかったとしたら、船が出せる速さ」＝「川（水）に対する船の相対速度」と、言葉の定義を正確に理解しておくことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(v_{\text{合成}} = v_1 + v_2\)):
  • 選定理由: この問題は、静止した観測者（川岸）から見て、動く媒質（川）の上をさらに動く物体（船）の速度を求めるという、速度の合成が問われる典型的な状況だからです。
  • 適用根拠: この法則は、異なる座標系間の速度を変換するための基本的なルール（ガリレイ変換）です。
    • 下りの場合: 船の速度 \(v_{\text{静水}}\) と川の速度 \(v_{\text{川}}\) は同じ向きです。ベクトルとして同じ向きのものを足し合わせるので、大きさ（速さ）は単純な和になります。
    • 上りの場合: 船の速度 \(v_{\text{静水}}\) と川の速度 \(v_{\text{川}}\) は逆向きです。ベクトルとして逆向きのものを足し合わせるので、大きさ（速さ）は差になります。座標軸を設定することで、この判断を符号付きの足し算に統一でき、思考がシンプルになります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描く: 川の流れと船の進行方向を矢印で図示する。特に、上りのように向きが逆になる場合は、視覚的に確認することで、足し算かすべきか引き算すべきかの判断ミスを防げます。
• 座標軸の明記: 計算を始める前に、答案の隅に「下流向きを正とする」と一言書き込む。この一手間が、計算途中で符号の扱いが曖昧になるのを防ぎます。
• 単位を付けて計算する: \(v = 4.5 \text{ m/s} + 2.0 \text{ m/s} = 6.5 \text{ m/s}\) のように、計算過程でも単位を記述する癖をつけると、異なる単位の量を足してしまうなどの根本的なミスを防げます。
• 常識的な吟味: 計算結果が出たら、「下りは速く、上りは遅くなるはずだ」という常識と照らし合わせます。もし上りの方が速くなっていたら、どこかで計算を間違えたとすぐに気づくことができます。

5 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「1次元および2次元における速度の合成」です。静止している観測者（川岸）から見た物体の速度は、物体の静水時（流れがない場合）の速度と、流れの速度のベクトル和で表されるという、速度の合成の基本原理を様々な状況に適用する問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
川の上流に向かって進む場合の、川岸から見たボートの速さを求める問題です。これは1次元の速度合成であり、ボートが進もうとする向きと、川の流れの向きが正反対です。川の流れに妨げられるため、岸から見た速さは静水時よりも遅くなります。
この設問における重要なポイント

• 合成速度は、静水時の速度と川の速度のベクトル和で考える。
• 互いに逆向きの速度の合成は、速さの引き算で計算できる。

具体的な解説と立式
川の流れの速さを \(v_{\text{川}} = 3.0 \text{ m/s}\)、ボートの静水時の速さを \(v_{\text{静水}} = 4.0 \text{ m/s}\) とします。
ボートは流れに逆らって上流に進むため、川岸から見たボートの速さ \(v\) は、静水時の速さから川の流れの速さを引いたものになります。
$$ v = v_{\text{静水}} – v_{\text{川}} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 4.0 – 3.0 \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

ボートは秒速4.0mの力で上流に進もうとしますが、川の流れが秒速3.0mの力で下流に押し戻します。その結果、岸から見ると、差し引き「\(4.0 – 3.0 = 1.0\)」m/sの速さで上流に進んでいるように見えます。

川の上流に向かうときの速さは \(1.0 \text{ m/s}\) です。流れに逆らうので静水時より遅くなるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「へさきを川の流れに直角に保って」進む場合の問題です。これは「ボートが自力で進もうとする向き（静水速度の向き）」が、川の流れに対して直角である状況を指します。岸から見ると、ボートは川に流されながら対岸へ進むため、斜め下流に進むことになります。
この設問における重要なポイント

• 合成速度の式 \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) をベクトル図で考える。
• この場合、\(\vec{v}_{\text{静水}}\)（へさきの向き）と \(\vec{v}_{\text{川}}\) が直角をなす。
• 求める岸から見た速さ \(v_{\text{岸}}\) は、この2つのベクトルを辺とする直角三角形の「斜辺」の長さに相当する。

具体的な解説と立式
川の流れの向きにx軸、へさきの向きにy軸をとります。

• 川の速度ベクトルは \(v_{\text{川}} = 3.0 \text{ m/s}\) (x成分)
• 静水時のボートの速度ベクトルは \(v_{\text{静水}} = 4.0 \text{ m/s}\) (y成分)

これらを合成した速度 \(v\) の大きさは、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ v^2 = v_{\text{静水}}^2 + v_{\text{川}}^2 $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 4.0^2 + 3.0^2 \\[2.0ex]&= 16 + 9 \\[2.0ex]&= 25
\end{aligned}
$$
\(v > 0\) なので、
$$ v = \sqrt{25} = 5.0 \text{ [m/s]} $$

ボートは対岸に向かってまっすぐ（速さ4.0m/s）進もうとしますが、同時に横から川の流れ（速さ3.0m/s）に押されます。この2つの動きが合わさるため、岸から見るとボートは斜めに進みます。このときの速さは、縦4.0、横3.0の直角三角形の斜辺の長さを求める計算と同じで、三平方の定理から5.0m/sとなります（3:4:5の有名な直角三角形です）。

岸から見たボートの速さは \(5.0 \text{ m/s}\) です。川に流されることで、静水時の速さよりも速くなっています。ベクトル図から、3:4:5の直角三角形を形成することがわかり、結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「川の流れに対して直角に進む」場合の問題です。これは「岸から見たボートの実際の進路（合成速度の向き）」が、川の流れに対して直角になる状況を指します。これを実現するためには、ボートは川に流される分を見越して、へさきをあらかじめ少し上流に向けておく必要があります。
この設問における重要なポイント

• 合成速度の式 \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) をベクトル図で考える。
• この場合、\(\vec{v}_{\text{岸}}\)（実際の進路）と \(\vec{v}_{\text{川}}\) が直角をなす。
• ボートの「静水時の速さ」\(v_{\text{静水}}\) が、直角三角形の「斜辺」の長さに相当する。

具体的な解説と立式
速度ベクトルの関係を図で考えると、川の速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\) と、岸から見たボートの速度 \(\vec{v}_{\text{岸}}\) が直角をなしています。そして、この2つのベクトルを足し合わせたものが、ボートの静水時の速度 \(\vec{v}_{\text{静水}}\) となります。
したがって、速さの関係は、\(v_{\text{静水}}\)を斜辺、\(v_{\text{川}}\)と\(v_{\text{岸}}\)を他の2辺とする直角三角形で表せます。
三平方の定理より、以下の式が成り立ちます。
$$ v_{\text{静水}}^2 = v_{\text{岸}}^2 + v_{\text{川}}^2 $$
この式を、求める \(v_{\text{岸}}\)（問題文中の\(v\)）について解きます。

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
4.0^2 &= v^2 + 3.0^2 \\[2.0ex]16 &= v^2 + 9 \\[2.0ex]v^2 &= 16 – 9 \\[2.0ex]v^2 &= 7
\end{aligned}
$$
\(v > 0\) なので、
$$ v = \sqrt{7} $$
問題文の指示より \(\sqrt{7}=2.6\) を用いて、
$$ v = 2.6 \text{ [m/s]} $$

川を真横に渡りきるためには、川に流される速さ（3.0m/s）を打ち消すように、へさきを上流に向ける必要があります。ボートが出せる全力の速さ（4.0m/s）の一部が、川の流れを打ち消すために使われてしまいます。その結果、岸から見て真横に進む速さは、4.0m/sよりも小さくなります。この関係は、斜辺が4.0、一辺が3.0の直角三角形の、残りの一辺の長さを求める計算と同じです。三平方の定理で計算すると、\(\sqrt{4.0^2 – 3.0^2} = \sqrt{7}\) となり、約2.6m/sとなります。

岸から見たボートの速さは \(2.6 \text{ m/s}\) です。静水時の速さの一部が川の流れを相殺するために使われるため、(2)の場合や静水時よりも遅くなるという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成則のベクトル的理解:
  • 核心: 「岸から見た速度 \(\vec{v}_{\text{岸}}\)」=「静水時の速度 \(\vec{v}_{\text{静水}}\)」+「川の速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\)」という関係を、単なる数値の足し算ではなく、向きを考慮したベクトルの和として完全に理解することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • このベクトル関係式を、速度の矢印を使って三角形（または平行四辺形）として図示できる能力が、特に2次元の問題を解く上での生命線となります。
    • どのベクトルが三角形のどの辺に対応するのかを、問題の条件に応じて正しく判断する必要があります。
• 「へさきの向き」と「実際の進路」の厳密な区別:
  • 核心: (2)と(3)の違いは、この2つの言葉の物理的な意味を正確に区別できるかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    • へさきの向き: ボートが自力で進もうとする方向。これは \(\vec{v}_{\text{静水}}\) の向きを指します。
    • 実際の進路（進む向き）: 川岸の観測者から見て、ボートが実際に進んでいく方向。これは合成速度 \(\vec{v}_{\text{岸}}\) の向きを指します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 川を最短時間で渡る問題: 川を渡るのにかかる時間を最短にするには、川を横切る方向の速度成分を最大にする必要があります。これは、へさきを流れに直角に向ける(2)の状況に相当します。
  • 川を最短距離で渡る問題: 対岸の真向かいの点に到着する、つまり移動距離を最短にするには、川の流れに対して直角に進む(3)の状況に相当します。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 「静水時の速さ」を「無風時の飛行機の速さ」、「川の流れ」を「風の速さ」と読み替えれば、全く同じ考え方で解ける問題が多数あります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度ベクトルを特定する: 問題文から「\(\vec{v}_{\text{岸}}\)」「\(\vec{v}_{\text{静水}}\)」「\(\vec{v}_{\text{川}}\)」の3つの速度ベクトルを意識します。どの速さが与えられていて、どの速さを求めるのかを明確にします。
  2. ベクトル三角形を描く: \(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\) の関係を満たすように、速度の矢印で三角形を描きます。始点と終点をつなぐように描くのがポイントです。
  3. 問題の条件を角度で図に反映させる: 「へさきが直角(2)」なら\(\vec{v}_{\text{静水}}\)と\(\vec{v}_{\text{川}}\)のなす角を90°に、「進路が直角(3)」なら\(\vec{v}_{\text{岸}}\)と\(\vec{v}_{\text{川}}\)のなす角を90°に設定します。この違いが、どの辺が斜辺になるかを決定します。
  4. どの数学的道具を使うか判断する: 図が直角三角形になれば「三平方の定理」を、そうでなければ「三角比」や「余弦定理」などを使うことを考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• (2)と(3)の混同:
  • 誤解: 「へさきを直角に」と「流れに直角に進む」の違いが分からず、両方とも同じ図を描いてしまい、同じ答えを出してしまう。
  • 対策: 「へさき」は\(\vec{v}_{\text{静水}}\)の向き、「進む」は\(\vec{v}_{\text{岸}}\)の向き、と機械的に結びつけて覚える。そして、必ずベクトル三角形を描き、どのベクトルとどのベクトルが直角なのかを視覚的に確認する習慣をつける。
• 三平方の定理の適用ミス:
  • 誤解: (3)の状況で、(2)と同じように \(v^2 = 4.0^2 + 3.0^2\) と計算してしまう。つまり、どの辺が斜辺になるかを間違える。
  • 対策: ベクトル三角形を描いた後、「斜辺は直角の対辺である」という基本に立ち返ります。(3)では、\(\vec{v}_{\text{静水}}\)（速さ4.0m/s）が斜辺になることを図から確実に読み取ることが重要です。
• 平方根の計算ミス:
  • 誤解: (3)で \(v = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2}\) ではなく \(v = \sqrt{4.0 – 3.0}\) のように、2乗の引き算を、引き算の平方根と勘違いしてしまう。
  • 対策: 三平方の定理は \(a^2 + b^2 = c^2\) であり、\(a+b=c\) ではないことを再確認する。計算手順を省略せず、\(v^2 = 16 – 9 = 7\) と一つ一つ丁寧に計算する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v}_{\text{岸}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{川}}\)):
  • 選定理由: この問題は、異なる座標系（川と岸）が関わる運動であり、速度の合成則そのものを問う問題だからです。この式が全ての設問の出発点となります。
  • 適用根拠: このベクトル方程式に、各設問で与えられた「角度」や「向き」の情報を追加することで、具体的な計算が可能になります。
    • (1) 1次元の問題として、ベクトルの向きを\(\pm\)の符号で処理し、代数的な和で解きます。
    • (2)(3) 2次元の問題として、ベクトルを図形的に扱い、直角三角形を形成することを見抜きます。
• 三平方の定理 (\(a^2 + b^2 = c^2\)):
  • 選定理由: (2)と(3)では、速度ベクトルの関係が「直角三角形」をなすため、辺の長さ（速さ）の関係を求めるのに最も直接的で強力な数学的ツールだからです。
  • 適用根拠:
    • (2)では、\(\vec{v}_{\text{静水}}\)と\(\vec{v}_{\text{川}}\)が直角をなすため、求める\(\vec{v}_{\text{岸}}\)が斜辺となり、\(v_{\text{岸}}^2 = v_{\text{静水}}^2 + v_{\text{川}}^2\) が適用できます。
    • (3)では、\(\vec{v}_{\text{岸}}\)と\(\vec{v}_{\text{川}}\)が直角をなすため、\(\vec{v}_{\text{静水}}\)が斜辺となり、\(v_{\text{静水}}^2 = v_{\text{岸}}^2 + v_{\text{川}}^2\) が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 必ず図を描く: この種の問題では、頭の中だけで考えず、必ずフリーハンドで良いのでベクトル三角形を描く。図を描くことで、どの辺が斜辺になるか、どの角度が直角になるかが一目瞭然となり、立式ミスを劇的に減らせます。
• 既知の値を辺に書き込む: 描いたベクトル三角形の各辺に、問題文で与えられた速さ（4.0や3.0）を書き込み、求めたい辺に \(v\) と書き込む。これにより、三平方の定理のどの変数に何を代入するかが明確になります。
• 平方根の近似値: \(\sqrt{7}=2.6\) のように近似値が与えられている場合、計算の最終段階まで \(\sqrt{7}\) のまま計算を進め、最後に代入する。途中で代入すると計算が複雑になったり、誤差が大きくなったりする可能性があります。
• 単位の一貫性: 全ての速度が同じ単位（m/s）で与えられていることを確認する。もし km/h などが混在していたら、計算前に単位を統一する必要があります。

6 速度の分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ベクトルの成分分解」です。物理学において、速度や力などの向きを持つ量（ベクトル）を、互いに直交する2つの方向に分解して考えることは、運動を分析する上で非常に基本的な操作です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜め方向に進む船の速度を、指定されたx軸方向（水平方向）とy軸方向（垂直方向）の2つの成分に分ける問題です。このようにベクトルを直交する2成分に分解する操作は、物理の様々な場面（特に力の分解や放物運動）で使われる基本的な技術です。三角比を正しく適用できるかが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• ベクトルのx成分は、ベクトルの大きさに \(\cos\theta\) を掛けることで求まる。
• ベクトルのy成分は、ベクトルの大きさに \(\sin\theta\) を掛けることで求まる。
• ここで \(\theta\) は、ベクトルの向きとx軸の正の向きとがなす角である。
• 角度が60°の場合、1:2:\(\sqrt{3}\) の直角三角形をイメージすると理解しやすい。

具体的な解説と立式
船の速度を \(\vec{v}\) とし、その大きさを \(v = 4.0 \text{ m/s}\) とします。
図から、速度ベクトル \(\vec{v}\) はx軸の正の向きと \(\theta = 60^\circ\) の角をなしています。
この速度 \(\vec{v}\) をx成分 \(v_x\) とy成分 \(v_y\) に分解します。
速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を考えると、
x成分 \(v_x\) は、角度 \(\theta\) を挟む辺（底辺）の長さに相当します。
$$ v_x = v \cos\theta $$
y成分 \(v_y\) は、角度 \(\theta\) の対辺（高さ）の長さに相当します。
$$ v_y = v \sin\theta $$

\(v = 4.0 \text{ m/s}\), \(\theta = 60^\circ\) をそれぞれの式に代入して計算します。

x成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_x &= 4.0 \times \cos 60^\circ \\[2.0ex]&= 4.0 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
y成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_y &= 4.0 \times \sin 60^\circ \\[2.0ex]&= 4.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 2.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を用いて近似値を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 2.0 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 3.46
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(v_y \approx 3.5 \text{ [m/s]}\) となります。

斜め4.0m/sの速さを、x方向（横方向）とy方向（縦方向）の2つの速さに分解します。速度の矢印で直角三角形を描くと、斜辺の長さが4.0、x軸との角度が60°となります。
これは、辺の比が「1 : 2 : \(\sqrt{3}\)」となる有名な直角三角形です。
「比が2」にあたる斜辺の長さが4.0m/sなので、「比が1」にあたる底辺（x成分）の長さは、その半分の2.0m/sとなります。
「比が\(\sqrt{3}\)」にあたる高さ（y成分）の長さは、底辺の\(\sqrt{3}\)倍なので、\(2.0 \times \sqrt{3}\) m/s となります。\(\sqrt{3}\) はおよそ1.73なので、\(2.0 \times 1.73 = 3.46\)、約3.5m/sとなります。

船の速度のx成分は \(2.0 \text{ m/s}\)、y成分は \(3.5 \text{ m/s}\) です。
分解された各成分の大きさは、元のベクトルの大きさ \(4.0 \text{ m/s}\) よりも小さくなっており、物理的に妥当です。
検算として、三平方の定理 \(v_x^2 + v_y^2 = v^2\) が成り立つか確認すると、\(2.0^2 + (2.0\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 = 4.0^2\) となり、正しく分解できていることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ベクトルの成分分解:
  • 核心: 速度や力のような、大きさと向きを持つ量（ベクトル）は、互いに直交する2つの成分に分解して考えることができる、という物理学の基本的な考え方を理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 斜め方向の1つの運動は、水平方向の運動と鉛直方向の運動という、2つの単純な運動の「重ね合わせ」として扱うことができます。
    • この分解操作により、複雑な2次元の運動を、扱いやすい1次元の運動2つに分けて分析することが可能になります。
• 三角比の物理への応用:
  • 核心: ベクトルの分解という物理的な操作が、数学的には三角比（\(\cos\theta\), \(\sin\theta\)）を用いて計算されることを理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 元のベクトルを「斜辺」、各成分を「底辺」と「高さ」とする直角三角形をイメージすることが全ての基本です。
    • 角度\(\theta\)を挟む辺が \(\cos\theta\)、対する辺が \(\sin\theta\) に対応します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 力の分解: 斜面上に置かれた物体の重力を、斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する問題。物理の最重要テクニックの一つです。
  • 放物運動の解析: 斜方投射された物体の初速度を、水平成分と鉛直成分に分解して、それぞれの方向の運動を独立に追跡する問題。
  • ベクトルの合成: 逆に、x成分とy成分が与えられているときに、元のベクトルの大きさと向きを三平方の定理や三角関数（\(\tan\theta\)）で求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 分解するベクトルは何か？: まず、どのベクトル（速度、力、加速度など）を分解するのかを問題文から特定します。
  2. 座標軸はどこか？: x軸、y軸がどのように設定されているかを確認します。これが分解の基準となります。
  3. 角度はどこか？: 分解したいベクトルと、基準となる軸（通常はx軸）との間の角度が何度かを正確に把握します。この角度の位置によって、\(\cos\)と\(\sin\)の使い方が決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\cos\)と\(\sin\)の混同:
  • 誤解: x成分は常に\(\cos\), y成分は常に\(\sin\)と機械的に暗記してしまい、角度の基準がy軸から取られているような問題で間違える。
  • 対策: 「角度\(\theta\)を挟む辺が\(\cos\theta\)」「角度\(\theta\)に対する辺が\(\sin\theta\)」と、図形的な位置関係で覚えるのが最も確実です。必ず図を描いて確認しましょう。
• 三角比の値の間違い:
  • 誤解: \(\cos 60^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) のように、基本的な三角比の値をうろ覚えで間違えてしまう。
  • 対策: \(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形や、\(1:1:\sqrt{2}\)の直角二等辺三角形を答案の隅に描いて、定義（例: \(\sin = \text{高さ}/\text{斜辺}\)）から値を導き出す習慣をつける。
• 有効数字の処理ミス:
  • 誤解: \(2.0\sqrt{3} = 2.0 \times 1.73 = 3.46\) という計算結果を、そのまま答えとして書いてしまう。
  • 対策: 問題で与えられている数値の有効数字（この問題では「4.0」なので2桁）を確認し、最終的な答えもそれに合わせる意識を持つ。\(3.46\)は四捨五入して有効数字2桁の\(3.5\)とするのが適切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ベクトルの成分分解の公式 (\(v_x = v \cos\theta\), \(v_y = v \sin\theta\)):
  • 選定理由: この問題は、与えられたベクトルを直交座標系の各軸方向に分解するという、成分分解の定義そのものを問うているからです。
  • 適用根拠: これらの公式は、三角比の数学的な定義に他なりません。速度ベクトル\(\vec{v}\)を斜辺とし、その先端からx軸、y軸に垂線を下ろしてできる直角三角形を考えます。
    • \(\cos\theta = \displaystyle\frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} = \displaystyle\frac{v_x}{v}\) という定義から、\(v_x = v \cos\theta\) が導かれます。
    • \(\sin\theta = \displaystyle\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}} = \displaystyle\frac{v_y}{v}\) という定義から、\(v_y = v \sin\theta\) が導かれます。

    このように、物理的な操作が数学の定義と直結していることを理解することが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 必ず図を描く: 問題に図があっても、自分で速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を描き、各辺に\(v\), \(v_x\), \(v_y\)と書き込む。視覚化することで、\(\cos\)と\(\sin\)の使い分けミスを根本的に防げます。
• 辺の比の活用: \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)の場合は、三角比の値を思い出すだけでなく、\(1:2:\sqrt{3}\)や\(1:1:\sqrt{2}\)の辺の比を使ってみる。例えば「斜辺（比=2）が4.0だから、底辺（比=1）はその半分の2.0だ」と計算する方が速く、間違いにくいことがあります。
• 近似値の代入は最後に: \(\sqrt{3}\)のような無理数は、計算の最後の段階で近似値に置き換える。\(v_y = 2.0\sqrt{3}\)まで式変形してから、最後に\(1.73\)を代入する方が、計算がシンプルでミスが少なくなります。
• 三平方の定理による検算: 計算後に、\(v_x^2 + v_y^2 = v^2\) が成り立つかを確認する癖をつける。\(2.0^2 + 3.5^2 = 4 + 12.25 = 16.25\)。元の速さの2乗は \(4.0^2 = 16\)。近似計算による若干の誤差はありますが、ほぼ一致するため、計算が合っている可能性が高いと判断できます。

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