今回の問題
thermodynamicsall#03【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「熱量保存則と状態変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱量保存則: 外部との熱のやりとりがない場合、高温の物体が失った熱量と、低温の物体が得た熱量の総和は等しくなります。
- 状態変化に伴う熱: 氷が水に融解する際には、温度上昇とは別に「融解熱」が必要になります。この間、温度は一定（\(0^\circ\text{C}\)）に保たれます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、最初の実験について熱量保存則の式を立てます。「湯が失った熱量」と「氷が得た熱量」をそれぞれ計算し、等しいとおきます。氷が得る熱量は「温度上昇の熱量」と「融解熱」の2段階で計算する必要がある点に注意します。
- (2)では、(1)で求めた氷の比熱を利用して、2番目の実験について同様に熱量保存則の式を立て、氷の質量\(m\)を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
氷の比熱\(c\)を求める問題です。最初の実験において、高温の湯が熱を失い、低温の氷が熱を得て、最終的に全体が\(0^\circ\text{C}\)の水で熱平衡に達します。熱量保存則「失った熱量 = 得た熱量」を立式します。このとき、氷が得る熱量は、(A)\(-15^\circ\text{C}\)から\(0^\circ\text{C}\)への温度上昇と、(B)\(0^\circ\text{C}\)での融解、という2つの過程の合計になることが最大のポイントです。
この設問における重要なポイント
- 氷が得る熱量を「温度上昇の熱量 (\(Q=mc\Delta T\))」と「融解熱 (\(Q=mL\))」の和として計算できる。
- 湯が失う熱量を \(Q=mc\Delta T\) で計算できる。
- 熱量保存則を未知数\(c\)を含む方程式として立て、解くことができる。
具体的な解説と立式
熱量保存則より、\(Q_{\text{氷が得た熱量}} = Q_{\text{湯が失った熱量}}\) が成り立ちます。
[氷が得た熱量 \(Q_{\text{得}}\)]
- \(-15^\circ\text{C}\)の氷が\(0^\circ\text{C}\)の氷になるまでの熱量 \(Q_1\):
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} \Delta T_1 \\
&= 50 \times c \times (0 – (-15)) \\
&= 750c
\end{aligned}
$$ - \(0^\circ\text{C}\)の氷が\(0^\circ\text{C}\)の水になるまでの熱量（融解熱） \(Q_2\):
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= m_{\text{氷}} L_{\text{融解}} \\
&= 50 \times (3.3 \times 10^2) \\
&= 16500
\end{aligned}
$$
よって、氷が得た熱量の合計は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{得}} &= Q_1 + Q_2 \\
&= 750c + 16500 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
[湯が失った熱量 \(Q_{\text{失}}\)]
\(43^\circ\text{C}\)の湯が\(0^\circ\text{C}\)の水になるまでの熱量 \(Q_3\):
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= m_{\text{湯}} c_{\text{水}} \Delta T_2 \\
&= (1.0 \times 10^2) \times 4.2 \times (43 – 0) \\
&= 18060 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
熱量保存則より \(Q_{\text{得}} = Q_{\text{失}}\) なので、①と②から方程式を立てます。
$$ 750c + 16500 = 18060 $$
使用した物理公式
- 温度変化の熱量: \(Q = mc\Delta T\)
- 融解熱: \(Q = mL\)
- 熱量保存則: \(Q_{\text{失った熱量}} = Q_{\text{得た熱量}}\)
上記の方程式を \(c\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
750c + 16500 &= 18060 \\
750c &= 18060 – 16500 \\
750c &= 1560 \\
c &= \frac{1560}{750} \\
&= 2.08
\end{aligned}
$$
問題文で与えられている数値の有効数字は2桁なので、計算結果も有効数字2桁に丸めます。
$$ c \approx 2.1 \text{ [J/(g}\cdot\text{K)]} $$
湯が放出した熱が、すべて氷に吸収されます。湯が放出した熱は \(100 \text{ g} \times 4.2 \times 43^\circ\text{C} = 18060\) J。一方、氷が吸収した熱は、まず温度が\(-15^\circ\text{C}\)から\(0^\circ\text{C}\)に上がるための熱（\(50 \text{ g} \times c \times 15^\circ\text{C}\)）と、次に\(0^\circ\text{C}\)で全て水に融けるための熱（\(50 \text{ g} \times 330\) J）の合計です。これらが等しいので、\(750c + 16500 = 18060\) という式が成り立ちます。これを解くと \(c \approx 2.1\) となります。
氷の比熱は \(2.1 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\) です。水の比熱\(4.2\)より小さい妥当な値です。
問(2)
思考の道筋とポイント
氷の塊の質量\(m\)を求める問題です。2番目の実験について、(1)と全く同じように熱量保存則を立式します。今回は氷の比熱\(c\)が(1)で求まったので、これを用いて計算を進めます。未知数は氷の質量\(m\)になります。
この設問における重要なポイント
- (1)で求めた氷の比熱\(c\)の値を利用する。（計算の精度を上げるため、丸める前の値 \(c=2.08\) を使うのが望ましい）
- 未知数が質量\(m\)に変わるだけで、(1)と全く同じ論理で熱量保存則の式を立てる。
具体的な解説と立式
(1)と同様に、\(Q_{\text{氷が得た熱量}} = Q_{\text{湯が失った熱量}}\) を考えます。(1)で求めた \(c=2.08 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\) を用います。
[氷が得た熱量 \(Q’_{\text{得}}\)]
- \(-20^\circ\text{C}\)の氷が\(0^\circ\text{C}\)の氷になるまでの熱量 \(Q’_1\):
$$
\begin{aligned}
Q’_1 &= m \times c \times \Delta T’_1 \\
&= m \times 2.08 \times (0 – (-20)) \\
&= 41.6m
\end{aligned}
$$ - \(0^\circ\text{C}\)の氷が\(0^\circ\text{C}\)の水になるまでの熱量（融解熱） \(Q’_2\):
$$
\begin{aligned}
Q’_2 &= m \times L_{\text{融解}} \\
&= m \times (3.3 \times 10^2) \\
&= 330m
\end{aligned}
$$
よって、氷が得た熱量の合計は、
$$
\begin{aligned}
Q’_{\text{得}} &= Q’_1 + Q’_2 \\
&= 41.6m + 330m \\
&= 371.6m \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
[湯が失った熱量 \(Q’_{\text{失}}\)]
\(70^\circ\text{C}\)の湯が\(0^\circ\text{C}\)の水になるまでの熱量 \(Q’_3\):
$$
\begin{aligned}
Q’_3 &= m’_{\text{湯}} c_{\text{水}} \Delta T’_2 \\
&= 80 \times 4.2 \times (70 – 0) \\
&= 23520 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
熱量保存則より \(Q’_{\text{得}} = Q’_{\text{失}}\) なので、③と④から方程式を立てます。
$$ 371.6m = 23520 $$
使用した物理公式
- 温度変化の熱量: \(Q = mc\Delta T\)
- 融解熱: \(Q = mL\)
- 熱量保存則: \(Q_{\text{失った熱量}} = Q_{\text{得た熱量}}\)
上記の方程式を \(m\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
371.6m &= 23520 \\
m &= \frac{23520}{371.6} \\
&\approx 63.2669…
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁に丸めます。
$$ m \approx 63 \text{ [g]} $$
(1)と同じように考えます。湯が放出した熱は \(80 \text{ g} \times 4.2 \times 70^\circ\text{C} = 23520\) J。氷が吸収した熱は、温度上昇分（\(m \times 2.08 \times 20^\circ\text{C}\)）と融解分（\(m \times 330\)）の合計です。これらが等しいので、\(41.6m + 330m = 23520\) という式が成り立ちます。これを解くと \(m \approx 63\) となります。
氷の塊の質量は \(63 \text{ g}\) です。(1)で求めた比熱を使い、同様の熱量保存則を適用して妥当な値が求められました。
▼別の問題もチャレンジ▼
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 熱量保存則と状態変化の組み合わせ:
- 核心: この問題のすべては、「高温物体が失う熱量 = 低温物体が得る熱量」という熱量保存則を、状態変化（融解）を含む状況で正しく立式できるかにかかっています。
- 理解のポイント: 低温側の物体（氷）が得る熱量は、単なる温度上昇だけではないことを理解するのが最重要です。①氷としての温度上昇（\(-15^\circ\text{C} \to 0^\circ\text{C}\)）、②融解して水になる（\(0^\circ\text{C}\)の氷 \(\to\) \(0^\circ\text{C}\)の水）、という2つのステップで熱を吸収します。この2段階の熱量を足し合わせる必要があります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 最終温度が未知の問題: 「最終的に全体が\(T^\circ\text{C}\)の水になった」として、\(T\)を求める問題。この場合、氷が得る熱量は「温度上昇」「融解」「融解後の水の温度上昇（\(0^\circ\text{C} \to T^\circ\text{C}\)）」の3段階になります。
- 氷が融け残る問題: 加えた湯の熱量が少なく、氷が一部融け残る場合。この場合、最終温度は\(0^\circ\text{C}\)となり、融けた氷の質量を未知数として式を立てます。
- 水蒸気を含む問題: 高温の水蒸気を水に入れるなど、凝縮（気体→液体）が関わる問題。考え方は同じで、水蒸気が失う熱量は「温度降下」「凝縮熱」「凝縮後の水の温度降下」の3段階で計算します。
- 初見の問題での着眼点:
- 熱の移動を図で描く: 温度を縦軸にした図を描き、各物質がどの温度からどの温度へ変化するかを矢印で示します。状態変化する箇所（\(0^\circ\text{C}\)や\(100^\circ\text{C}\)）で水平な矢印を描くと、計算すべき熱量のステップが視覚的にわかります。
- 熱を得る側と失う側を分ける: どの物質が熱を得て、どの物質が熱を失うかを明確に分け、それぞれの熱量の合計を計算する準備をします。
- 状態変化の有無を確認: 物質が融点（\(0^\circ\text{C}\)）や沸点（\(100^\circ\text{C}\)）をまたいで温度変化するかを確認します。またいでいれば、状態変化の熱（融解熱や蒸発熱）の計算が必要です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 融解熱の計算漏れ:
- 誤解: 氷の温度が\(0^\circ\text{C}\)に達した後の、融解に必要な熱量 \(Q=mL\) を計算し忘れる。
- 対策: 「氷がとける」という現象には、必ず融解熱が関わると肝に銘じましょう。温度変化の図を描くことで、\(0^\circ\text{C}\)での水平なステップ（状態変化）を意識でき、計算漏れを防げます。
- 比熱の使い分けミス:
- 誤解: 氷の温度上昇を計算する際に、水の比熱(\(4.2\))を誤って使ってしまう。
- 対策: 物質の状態（固体・液体・気体）によって比熱は異なります。「氷」の温度変化には「氷の比熱」、「水」の温度変化には「水の比熱」を使うことを徹底しましょう。
- (1)の計算結果の丸めすぎ:
- 誤解: (1)で求めた比熱\(c\)を有効数字2桁に丸めた\(2.1\)を使って(2)を計算すると、誤差が大きくなる。
- 対策: 後の計算で使う値は、丸める前の値（この場合は\(2.08\)）を用いるのが鉄則です。これにより、計算の精度が保たれます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(Q=mc\Delta T\) (顕熱) と \(Q=mL\) (潜熱):
- 選定理由: 熱による変化には「温度が変わる」場合と「状態が変わる」場合の2種類があり、それぞれに対応する公式を使い分ける必要があります。
- 適用根拠:
- \(Q=mc\Delta T\): 温度が変化する際に吸収・放出される熱量（顕熱）を計算する式です。物質の質量と温度変化のしやすさ（比熱）に比例します。
- \(Q=mL\): 融解や蒸発など、温度が一定のまま状態が変化する際に吸収・放出される熱量（潜熱）を計算する式です。分子間の結合を断ち切る（あるいは形成する）エネルギーに相当します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 項ごとに計算を分ける: 熱量保存の式は長くなりがちです。\(Q_1, Q_2, Q_3, \dots\) のように各項を個別に計算し、最後にそれらを組み合わせて方程式を立てると、計算ミスや混乱を防げます。
- 大きな桁の計算は慎重に: \(16500\)や\(18060\)のような大きな数を扱う際は、筆算や電卓（使用が許可されていれば）で丁寧に計算し、桁の間違いがないか確認しましょう。
- 単位を意識する: \(50\text{[g]} \times c\text{[J/(g}\cdot\text{K)]} \times 15\text{[K]}\) のように単位を考えると、gとKが約分されてJが残ることが確認でき、立式の正しさをチェックできます。
- 物理的にありえるか吟味する: (1)で求めた氷の比熱\(c \approx 2.1\)は、水の比熱\(4.2\)より小さい値です。一般に固体の比熱は液体の比熱より小さいことが多いので、物理的に妥当な結果だと判断できます。もし水の比熱より大きい値が出たら、計算ミスを疑いましょう。
▼別の問題もチャレンジ▼