未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「水中の物体にはたらく力：重力と浮力」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重力と浮力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が受けている重力の大きさを求めます。重力の大きさは、物体の質量と重力加速度の大きさの積で定義されます。問題文で与えられている記号を用いて、この定義を数式で表現するだけの基本的な問題です。

この設問における重要なポイント

• 重力の大きさの定義式 \(W=mg\) を理解している。
• 問題文で与えられた記号を正しく用いる。

具体的な解説と立式
物体にはたらく重力の大きさを \(W\) とします。
重力の大きさは、物体の質量 \(m\) と重力加速度の大きさ \(g\) の積で与えられます。
$$ W = mg \quad \cdots ① $$
問題文で質量が\(m\)、重力加速度の大きさが\(g\)と指定されているため、これがそのまま答えとなります。

この問題では、具体的な数値を代入する計算はなく、定義式を文字で表現することが求められています。したがって、式①がそのまま解答です。

物体の「重さ（重力）」は、その物体の「質量\(m\)」と「重力加速度\(g\)」を掛け算することで求められます。したがって、答えは単純に \(mg\) となります。

物体が受けている重力の大きさは \(mg\) です。これは重力の定義そのものであり、最も基本的な関係式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体が受けている浮力の大きさを求めます。浮力の大きさは、アルキメデスの原理に従い、「物体が押しのけた流体の重さ」に等しくなります。この原理を数式 \(F = \rho V g\) で表現し、問題文の状況と記号を正しく当てはめることができれば、答えが導き出せます。

この設問における重要なポイント

• アルキメデスの原理 \(F = \rho V g\) を理解している。
• 公式の \(\rho\) は「流体の密度」、\(V\) は「流体中の物体の体積」であることを正確に把握する。
• 問題の状況（全体が沈んでいる）を正しく解釈する。

具体的な解説と立式
物体にはたらく浮力の大きさを \(F\) とします。
アルキメデスの原理より、浮力の大きさは物体が押しのけた水の重さに等しいです。

• 押しのけた水の体積: 物体は「全体を沈め」られているので、物体の体積\(V\)に等しい。
• 押しのけた水の密度: 水の密度\(\rho_0\)。
• 押しのけた水の質量: \((\text{密度}) \times (\text{体積}) = \rho_0 V\)。
• 押しのけた水の重さ: \((\text{質量}) \times (\text{重力加速度}) = (\rho_0 V) g\)。

したがって、浮力の大きさ\(F\)は、
$$ F = \rho_0 V g \quad \cdots ② $$

この問題では、具体的な数値を代入する計算はなく、定義式を文字で表現することが求められています。したがって、式②がそのまま解答です。

浮力の大きさは、「水の密度(\(\rho_0\))」×「水に沈んでいる物体の体積」×「重力加速度(\(g\))」で計算できます。この問題では、物体は全体が水に沈んでいるので、「水に沈んでいる物体の体積」は物体自身の体積\(V\)と同じです。したがって、答えは \(\rho_0 V g\) となります。

物体が受けている浮力の大きさは \(\rho_0 V g\) です。この式はアルキメデスの原理をこの問題の状況に適用したものであり、物理的に正しい表現です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重力と浮力の定義の理解:
  • 核心: この問題は、物体にはたらく基本的な力である「重力」と、流体中特有の力である「浮力」のそれぞれの定義を、数式で正しく表現できるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 重力 \(W=mg\): 物体自身の「質量\(m\)」に依存する力。
    • 浮力 \(F=\rho V g\): 物体が押しのけた「流体の質量(\(\rho V\))」に依存する力。

    この2つの力の起源と、式の各文字が何を意味するのかを明確に区別して理解することが最も重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 力のつりあい: この問題の状況で、物体を支える糸の張力\(T\)を求める問題。物体には、上向きに張力\(T\)と浮力\(F\)、下向きに重力\(W\)がはたらくので、つり合いの式は \(T + F = W\) となります。したがって、\(T = W – F = mg – \rho_0 V g\) と計算できます。
  • 物体が浮く条件: 糸がない状態で物体が水に浮く場合、重力と浮力がつり合います。(\(mg = \rho_0 V_{\text{水中}} g\))。この式から、物体の密度\(\rho = m/V\)と水の密度\(\rho_0\)の関係を導くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体にはたらく力をリストアップする: 問題の状況を読み、物体にどのような力がはたらいているか（重力、浮力、張力など）を全て書き出します。
  2. 各力の公式を思い出す: リストアップした力それぞれについて、大きさを計算するための公式を思い出します。
  3. 問題文のキーワードと公式の文字を対応させる:
     • 「質量\(m\)」→ 重力の計算に使う。
     • 「体積\(V\)」「全体を沈めた」→ 浮力の計算で \(V_{\text{水中部分}}=V\) として使う。
     • 「水の密度\(\rho_0\)」→ 浮力の計算で \(\rho_{\text{流体}}=\rho_0\) として使う。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の計算で物体の密度を使ってしまう:
  • 誤解: 浮力の公式 \(F=\rho V g\) の \(\rho\) に、物体の密度（質量\(m\)/体積\(V\)）を使ってしまう。
  • 対策: 浮力は「押しのけた流体」が生み出す力である、という原理に立ち返りましょう。したがって、使うべき密度は「流体の密度」(\(\rho_0\))です。
• 重力の計算で水の密度を使ってしまう:
  • 誤解: 重力 \(mg\) を計算すべきところで、水の密度\(\rho_0\)を使って \(\rho_0 V g\) と計算してしまう（これは浮力です）。
  • 対策: 「重力」は物体そのものにはたらく地球からの引力であり、物体の「質量\(m\)」にのみ依存します。周囲の状況（水中にいるかどうか）には関係ありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重力の公式 \(W=mg\):
  • 選定理由: これは重力という力を定義する、最も基本的な式です。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \(F=ma\) において、自由落下する物体の力\(F\)は重力\(W\)、加速度\(a\)は重力加速度\(g\)なので、\(W=mg\) となります。質量\(m\)が与えられている物体にはたらく重力を求める際には、常にこの式が適用されます。
• アルキメデスの原理 \(F=\rho V g\):
  • 選定理由: 浮力という複雑な現象（物体表面にはたらく流体からの圧力の合力）を、非常にシンプルな形で定量的に表現できる唯一の公式です。
  • 適用根拠: 物体が流体中にあることで、その体積\(V\)分の流体が「押しのけられ」ます。その押しのけられた流体には、もともと重力(\(\rho V g\))がはたらいており、周囲の流体がそれを支えていました。物体がその場所を占めると、周囲の流体は「そこに流体がある」かのように振る舞い、同じ大きさ(\(\rho V g\))で物体を支えようとします。これが浮力の正体です。この物理的イメージを持つことで、公式の選択と適用が確実になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の添字を意識する: 水の密度\(\rho_0\)のように、添字がついている文字の意味を正確に把握しましょう。
• 単位の一貫性を確認する: (2)の答え \(\rho_0 V g\) の単位が、[kg/\(\text{m}^3\)] \(\cdot\) [\(\text{m}^3\)] \(\cdot\) [m/\(\text{s}^2\)] = [kg\(\cdot\)m/\(\text{s}^2\)] = [N] となり、力の単位と一致することを確認する習慣をつけると、式の立て間違いに気づきやすくなります。
• 問題文の情報を全て使ったか確認する: (2)では、「体積\(V\)」「全体を沈めた」「水の密度\(\rho_0\)」「重力加速度\(g\)」という情報を全て使って答えを導出しています。もし使っていない情報があれば、何か見落としがないか確認するきっかけになります。（ただし、ダミー情報が含まれる問題もあります。）

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