問題の確認
dynamics#11各設問の思考プロセス
この問題は、等加速度直線運動の公式を用いて解くことができます。物体には常に鉛直下向きに重力加速度 \(g\) が作用します。
- 座標系と物理量の設定:
- 鉛直下向きを正の向き、塔の頂点を原点 (\(y=0\)) とします。
- 初速度を \(v_0\)、時刻 \(t\) における速度を \(v\)、変位を \(y\)、加速度を \(a\) とします。
- 重力による運動なので、加速度 \(a = g\)（鉛直下向きを正とした場合）。
- 自由落下 (問1, 問2):
- 初速度 \(v_0 = 0\)。
- 地上に達するときの変位は \(y = H\)。
- 時間 \(t\) を求めるには、変位の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を使います。
- 地上に達するときの速さ \(v\) を求めるには、速度の公式 \(v = v_0 + at\) や、\(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使います。
- 下方投射 (問3, 問4):
- 初速度を \(v_0\) (問3で求める未知数) とします。これは下向きなので正の値です。
- 地上に達する時刻は \(t_1\)、そのときの変位は \(y = H\)。
- 初速度 \(v_0\) を求めるには、変位の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) に \(t=t_1\) を代入します。
- 地上に達するときの速さ \(v\) を求めるには、速度の公式 \(v = v_0 + at\) や \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使います。問3で求めた \(v_0\) を利用します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 小石が地上に達するのはいつか。
問われている内容の明確化:
自由落下させた小石が、高さ \(H\) の塔から地上に達するまでの時間 \(t\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
自由落下なので初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g\)、変位 \(y = H\) です。
$$y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$
値を代入すると、
$$H = (0) \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$$
$$H = \frac{1}{2} g t^2$$
\(t^2\) について解くと、
$$t^2 = \frac{2H}{g}$$
時間は正 (\(t > 0\)) なので、
$$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$
計算方法の平易な説明:
小石が \(H\) の高さから落ちる時間を \(t\) とします。自由落下なので最初の速さは \(0\) です。
使う公式は「距離 = (最初の速さ \(\times\) 時間) + \(\frac{1}{2} \times\) 加速度 \(\times\) 時間\({}^2\)」です。
これに当てはめると、\(H = (0 \times t) + \frac{1}{2} \times g \times t^2\)。
つまり \(H = \frac{1}{2} g t^2\)。
この式から \(t^2 = \frac{2H}{g}\) なので、\(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) となります。
この設問における重要なポイント:
- 自由落下の初速度は \(0\)。
- 等加速度直線運動の変位の公式を適用する。
- 時間は正の値をとる。
小石が地上に達するのは、自由落下を始めてから \(\displaystyle \sqrt{\frac{2H}{g}}\) 後である。
(2) 小石が地上に達したときの速さはいくらか。
問われている内容の明確化:
自由落下させた小石が地上に達した瞬間の速さ \(v\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g\)、変位 \(y = H\) です。
時間 \(t\) を使わない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使うと便利です。
$$v^2 – v_0^2 = 2ay$$
値を代入すると、
$$v^2 – 0^2 = 2gH$$
$$v^2 = 2gH$$
速さは正 (\(v > 0\)) なので、
$$v = \sqrt{2gH}$$
(別解として、(1)で求めた \(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) を \(v = v_0 + at = gt\) に代入しても同じ結果が得られます。)
計算方法の平易な説明:
地面に着くときの速さ \(v\) を求めます。
使う公式は「最後の速さ\({}^2\) – 最初の速さ\({}^2\) = \(2 \times\) 加速度 \(\times\) 距離」です。
最初の速さは \(0\)、加速度は \(g\)、距離は \(H\) なので、
\(v^2 – 0^2 = 2 \times g \times H\)。
つまり \(v^2 = 2gH\)。速さは必ずプラスなので \(v = \sqrt{2gH}\) です。
この設問における重要なポイント:
- 時間を含まない速度と変位の関係式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) が利用できる。
- 速さは速度の大きさを表すため、正の値をとる。
小石が地上に達したときの速さは \(\sqrt{2gH}\) である。
(3) 小石に与えた初速度はいくらであったか。
問われている内容の明確化:
小石を真下に向かって初速度 \(v_0\) で投げ下ろしたところ、時刻 \(t_1\) に地上に達しました。この初速度 \(v_0\) の大きさを求めます。
具体的な解説と計算手順:
初速度を \(v_0\)（求める値）、加速度 \(a = g\)、変位 \(y = H\)、時間 \(t = t_1\) です。
変位の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を用います。
$$y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$
値を代入すると、
$$H = v_0 t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2$$
この式を \(v_0\) について解きます。
$$v_0 t_1 = H – \frac{1}{2} g t_1^2$$
$$v_0 = \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1$$
計算方法の平易な説明:
最初に下に投げた速さ \(v_0\) を求めます。地面までの距離は \(H\)、かかった時間は \(t_1\) です。
使う公式は「距離 = (最初の速さ \(\times\) 時間) + \(\frac{1}{2} \times\) 加速度 \(\times\) 時間\({}^2\)」です。
これに当てはめると、\(H = (v_0 \times t_1) + \frac{1}{2} \times g \times t_1^2\)。
この式を \(v_0\) について解きたいので、まず \(v_0 \times t_1\) 以外の項を左辺に移します。
\(v_0 t_1 = H – \frac{1}{2} g t_1^2\)。
最後に両辺を \(t_1\) で割ると、\(v_0 = \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1\) となります。
この設問における重要なポイント:
- 初速度が未知数であり、それ以外の量（変位、時間、加速度）が分かっている状況。
- 等加速度直線運動の変位の公式を適用し、初速度について解く。
小石に与えた初速度の大きさは \(\displaystyle \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1\) である。
(4) この小石が地上に達したときの速さはいくらか。
問われている内容の明確化:
(3)の状況で、投げ下ろした小石が地上に達したときの速さ \(v\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
初速度 \(v_0 = \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1\)、加速度 \(a = g\)、時間 \(t = t_1\) です。
速度の公式 \(v = v_0 + at\) を用いるのが計算しやすいでしょう。
$$v = v_0 + at$$
値を代入すると、
$$v = \left( \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1 \right) + g t_1$$
$$v = \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1 + \frac{2}{2} g t_1$$
$$v = \frac{H}{t_1} + \frac{1}{2} g t_1$$
計算方法の平易な説明:
投げ下ろした小石が地面に着くときの速さ \(v\) を求めます。
使う公式は「最後の速さ = 最初の速さ + 加速度 \(\times\) 時間」です。
最初の速さは(3)で求めた \(v_0 = \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1\)。加速度は \(g\)。時間は \(t_1\)。
これらを代入すると、
\(v = \left( \frac{H}{t_1} – \frac{1}{2} g t_1 \right) + g t_1\)。
\(-\frac{1}{2} g t_1 + g t_1\) の部分は \(\frac{1}{2} g t_1\) となるので、
\(v = \frac{H}{t_1} + \frac{1}{2} g t_1\) となります。
この設問における重要なポイント:
- (3)で求めた初速度の値を利用する。
- 等加速度直線運動の速度の公式を適用する。
- 式を整理して簡潔な形にする。
この小石が地上に達したときの速さは \(\displaystyle \frac{H}{t_1} + \frac{1}{2} g t_1\) である。
▼別の問題もチャレンジ▼
問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 等加速度直線運動の公式: 物体が一定の加速度で直線運動をするときの速度や変位を表す基本的な公式群。
- \(v = v_0 + at\)
- \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)
- \(v^2 – v_0^2 = 2ay\)
- 自由落下: 初速度が \(0\) で、重力のみの影響を受けて落下する運動。加速度は重力加速度 \(g\)。
- 鉛直投射: 初速度をもって鉛直方向に投げられる物体の運動。下方投射の場合は初速度も重力加速度も同じ向き。
- 座標系の設定: 運動を記述する上で、原点と正の向きを明確に定めることが重要。これにより、変位、速度、加速度の符号が一貫して扱える。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 問題文の条件の把握: 「自由落下」「投げ下ろし」「投げ上げ」など、運動の種類を正しく理解し、初速度の扱いに注意する。
- 記号の整理: 問題で与えられている文字（\(H, g, t_1\) など）と、自分で設定する文字（求める \(v_0, t, v\) など）を区別し、最終的にどの文字で答えるべきかを確認する。
- 適切な公式の選択: 既知の量と未知の量に応じて、最も計算しやすい公式を選ぶ。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 初速度の誤認: 自由落下の場合に初速度を \(0\) としない、あるいは下方投射の場合に初速度を考慮し忘れる。
- 加速度の符号ミス: 座標軸の取り方によって重力加速度 \(g\) の符号が変わる。鉛直下向きを正とすれば \(a=g\)、鉛直上向きを正とすれば \(a=-g\)。一貫した座標系を用いることが大切。
- 公式の混同や記憶違い: 等加速度直線運動の各公式を正確に覚えて使い分ける。
- 代数計算のミス: 式の変形や代入計算での単純な計算ミス。
▼別の問題もチャレンジ▼