未来の得点力へ！高校物理 問題演習「コンデンサーの直列接続と並列接続」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの合成容量」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(C_1 = 3.0 \, \mu\text{F}\) と \(C_2 = 2.0 \, \mu\text{F}\) のコンデンサーを、直列接続および並列接続したときの合成容量を求めます。それぞれの接続方法に対応する公式を正しく選択し、適用することが求められます。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーの直列接続と並列接続の合成容量の公式を正しく使い分けること。
• 直列接続の計算では、逆数の和を計算した後、最後に全体の逆数をとるのを忘れないこと。

具体的な解説と立式
直列接続の場合
合成容量を \(C_{\text{直列}}\) とすると、公式は以下の通りです。
$$\frac{1}{C_{\text{直列}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$

並列接続の場合
合成容量を \(C_{\text{並列}}\) とすると、公式は以下の通りです。
$$C_{\text{並列}} = C_1 + C_2$$

直列接続
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{\text{直列}}} &= \frac{1}{3.0} + \frac{1}{2.0} \\[2.0ex]&= \frac{2.0 + 3.0}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{5.0}{6.0}
\end{aligned}
$$
これを逆数にして \(C_{\text{直列}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{\text{直列}} &= \frac{6.0}{5.0} \\[2.0ex]&= 1.2 \, (\mu\text{F})
\end{aligned}
$$

並列接続
$$
\begin{aligned}
C_{\text{並列}} &= 3.0 + 2.0 \\[2.0ex]&= 5.0 \, (\mu\text{F})
\end{aligned}
$$

• 直列接続: 逆数を足し合わせます。「1/3 + 1/2」を計算すると「5/6」になります。これはまだ「1/C」なので、答えにするには逆数の「6/5 = 1.2」とします。
• 並列接続: 単純に足し合わせるだけです。「3.0 + 2.0」を計算して「5.0」となります。

直列接続の合成容量は \(1.2 \, \mu\text{F}\)、並列接続の合成容量は \(5.0 \, \mu\text{F}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)の直列接続、並列接続のそれぞれに \(V = 6.0 \, \text{V}\) の電圧を加えたときに、全体として蓄えられる電気量 \(Q\) を求めます。合成されたコンデンサーを一つのコンデンサーと見なし、基本式 \(Q=CV\) を適用します。
この設問における重要なポイント

• 合成容量を一つの大きなコンデンサーと見なして、\(Q=CV\)を適用すること。
• 電気容量の単位が \(\mu\text{F}\) (マイクロファラド) のとき、計算される電気量の単位は \(\mu\text{C}\) (マイクロクーロン) になること。

具体的な解説と立式
コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を、(1)で求めた合成容量に対して適用します。

直列接続の場合
全電気量を \(Q_{\text{直列}}\) とすると、
$$Q_{\text{直列}} = C_{\text{直列}} V$$

並列接続の場合
全電気量を \(Q_{\text{並列}}\) とすると、
$$Q_{\text{並列}} = C_{\text{並列}} V$$

直列接続
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{直列}} &= (1.2 \times 10^{-6}) \times 6.0 \\[2.0ex]&= 7.2 \times 10^{-6} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

並列接続
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{並列}} &= (5.0 \times 10^{-6}) \times 6.0 \\[2.0ex]&= 30 \times 10^{-6} \, \text{C} \\[2.0ex]&= 3.0 \times 10^{-5} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

(1)で計算した合成容量を、ただ一つのコンデンサーだと考え、そのコンデンサーに6.0Vの電圧をかけるので、基本公式「\(Q=CV\)」に代入するだけです。

• 直列の場合: \(Q = (1.2 \, \mu\text{F}) \times (6.0 \, \text{V}) = 7.2 \, \mu\text{C}\)。
• 並列の場合: \(Q = (5.0 \, \mu\text{F}) \times (6.0 \, \text{V}) = 30 \, \mu\text{C}\)。

直列接続時の全電気量は \(7.2 \times 10^{-6}\) C、並列接続時の全電気量は \(3.0 \times 10^{-5}\) C です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの合成容量の公式:
  • 核心: この問題は、コンデンサーの2つの基本的な接続方法、「直列」と「並列」における合成容量の計算ルールを正しく理解し、適用できるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 直列接続: 電気容量の逆数の和。合成容量は、個々のどのコンデンサーよりも小さくなる。（\(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\)）
    • 並列接続: 電気容量の単純な和。合成容量は、個々のどのコンデンサーよりも大きくなる。（\(C = C_1+C_2\)）

    この2つの公式は、抵抗の合成抵抗の公式とちょうど逆の形（直列と並列が入れ替わった形）をしているため、対比させて覚えると効果的です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 各コンデンサーの電荷と電圧: 合成した回路について、各コンデンサーに蓄えられる電荷や、かかる電圧を問う問題も頻出です。その際は、以下の性質を利用します。
    • 直列: 各コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) が等しい。全体の電圧 \(V\) は、各コンデンサーの電圧の和（\(V=V_1+V_2\)）になる。
    • 並列: 各コンデンサーにかかる電圧 \(V\) が等しい。全体の電気量 \(Q\) は、各コンデンサーの電気量の和（\(Q=Q_1+Q_2\)）になる。
  • 3つ以上のコンデンサーの合成: 3つ以上の場合も、公式を拡張して適用できます。直列なら \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+\dots\)、並列なら \(C = C_1+C_2+C_3+\dots\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続方法を判断する: 回路図を見て、コンデンサーが「直列」につながっているか、「並列」につながっているかを判断します。
  2. 適切な公式を選択する: 判断した接続方法に応じて、正しい合成容量の公式を選択します。
  3. 合成容量を計算する: まずは回路全体を一つのコンデンサーと見なせるように、合成容量を計算します。
  4. \(Q=CV\) を適用する: 合成容量 \(C\) と全体の電圧 \(V\) から、全体の電気量 \(Q\) を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列と並列の公式の混同:
  • 誤解: 抵抗の合成のイメージが強く、直列を単純な和、並列を逆数の和としてしまう。
  • 対策: 「コンデンサーは抵抗と逆」と明確に意識して覚えましょう。並列にすると極板面積が増えるイメージで容量が大きくなる（和）、直列にすると極板間隔が広がるイメージで容量が小さくなる（逆数の和）、と物理的なイメージと結びつけるのも有効です。
• 直列計算での逆数忘れ:
  • 誤解: \(\frac{1}{C} = \frac{5.0}{6.0}\) と計算したあと、答えを \(\frac{5.0}{6.0}\) のままにしてしまう。
  • 対策: 逆数の和を計算した後は、必ず最後に「ひっくり返す（逆数をとる）」という操作を忘れないように、計算手順として徹底しましょう。
• 単位の扱い:
  • 誤解: \(\mu\)F（マイクロファラド）をC（クーロン）に変換せずに計算し、単位を間違える。
  • 対策: (2)の計算では、\(C\) の単位が \(\mu\)F、\(V\) の単位が V なので、\(Q=CV\) の結果の単位は \(\mu\)C となります。最終的にCで答える必要がある場合は、\(\mu\) を \(10^{-6}\) に変換します。単位の一貫性を常に意識することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列接続で \(C = C_1 + C_2\) となる理由:
  • 選定理由: 並列接続は、各コンデンサーに同じ電圧がかかる接続方法です。
  • 適用根拠: 全体の電気量 \(Q\) は各コンデンサーの電気量の和 \(Q=Q_1+Q_2\) です。ここに \(Q=CV, Q_1=C_1V, Q_2=C_2V\) を代入すると \(CV = C_1V + C_2V\) となり、両辺の \(V\) を消去することで \(C=C_1+C_2\) が導かれます。物理的には、極板面積を合算するのと同じ効果があるためです。
• 直列接続で \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\) となる理由:
  • 選定理由: 直列接続は、各コンデンサーに同じ電気量が蓄えられる接続方法です。
  • 適用根拠: 全体の電圧 \(V\) は各コンデンサーの電圧の和 \(V=V_1+V_2\) です。ここに \(V=Q/C, V_1=Q/C_1, V_2=Q/C_2\) を代入すると \(\frac{Q}{C} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}\) となり、両辺の \(Q\) を消去することで \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\) が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 和分の積の公式（直列2つの場合）: 直列接続の合成容量は、\(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1+C_2}{C_1C_2}\) を逆数にして、\(C = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\)（和分の積）という形で計算することもできます。これにより、逆数をとるのを忘れにくくなります。

  例: \(C = \frac{3.0 \times 2.0}{3.0 + 2.0} = \frac{6.0}{5.0} = 1.2 \, \mu\text{F}\)

• 単位を後で考える: (1)のように、与えられた容量の単位が同じで、答えの単位も同じでよい場合、計算中は単位(\(\mu\)F)を省略し、数値（3.0, 2.0）だけで計算して、最後に単位をつけると、式がすっきりして計算ミスが減ります。
• 有効数字の確認: 問題文の数値（3.0, 2.0, 6.0）はすべて有効数字2桁です。計算結果もそれに合わせて、1.2, 5.0, 7.2, 30 のように、有効数字を意識して答えるようにしましょう。（30は \(3.0 \times 10^1\) の意味）

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