問題の確認
electromagnetic#13各設問の思考プロセス
この問題は、電気力線という基本概念から出発して、平行板コンデンサーの電場の強さや電気容量といった重要な物理量を、段階的に導出していく形式の理論問題です。それぞれの空欄が、前の空欄の答えを利用して解けるように構成されています。
この問題を解く上で中心となる物理法則は、問題文の前半で説明されている原理そのものです。
- 電気力線の本数: 電荷 \(q\) から出る総本数は \(N = 4\pi k q\)。
- 電場の強さ: 電場に垂直な単位面積あたりの電気力線の本数 (\(E = N/S\))。
これに加えて、「電場の重ね合わせの原理」が重要な役割を果たします。コンデンサーが作る電場は、正の極板Aが単独で作る電場と、負の極板Bが単独で作る電場を、場所ごとに足し合わせる（ベクトル和をとる）ことで求められます。
この思考プロセスに従い、アからカまで順を追って解いていきます。
- ア、イ: まず単独の金属板Aについて考え、電気力線の本数と電場の強さを求めます。
- ウ、エ: 次に、AとBの2枚の板を考え、それぞれの板が作る電場を「重ね合わせ」て、コンデンサーの内と外の電場を求めます。
- オ、カ: 最後に、コンデンサー内部の電場Eと電位差Vの関係式、そして電気容量Cの定義式を用いて、コンデンサーの性能を表す量である電位差と電気容量を導出します。
各設問の具体的な解説と解答
ア、イ：単独極板の電気力線と電場
問われている内容の明確化
電荷\(+Q\)を帯びた一枚の金属板Aについて、その片面から出る電気力線の本数（ア）と、それが作る電場の強さ \(E_A\)（イ）を求めます。
具体的な解説と立式
（ア）片面から出る電気力線の本数
問題文の定義より、電荷 \(Q\) から出る電気力線の総本数は \(4\pi k Q\) です。
「Aの両面からは一様に電気力線が出ている」との記述から、総本数の半分が表（右側）、残りの半分が裏（左側）から出ると考えられます。
したがって、片面から出る電気力線の本数は、
$$(\text{片面の本数}) = \frac{1}{2} \times (\text{総本数}) = \frac{1}{2} \times 4\pi k Q$$
となります。
（イ）Aがつくる電場の強さ \(E_A\)
電場の強さは「単位面積を垂直に貫く電気力線の本数」と定義されています。板の面積は \(S\) なので、
$$E_A = \frac{(\text{片面から出る電気力線の本数})}{\text{面積S}}$$
となります。
使用した物理法則:
- 電気力線の総本数: \(N=4\pi k q\)
- 電場の強さの定義: \(E = (\text{単位面積あたりの電気力線数})\)
計算過程
（ア）の計算
$$
\begin{aligned}
(\text{片面の本数}) &= \frac{1}{2} \times 4\pi k Q \\[2.0ex]&= 2\pi k Q
\end{aligned}
$$
（イ）の計算
アの結果を用いて、
$$ E_A = \frac{2\pi k Q}{S} $$
となります。
計算方法の平易な説明
- (ア): 電荷\(Q\)から出る電気力線の合計は \(4\pi k Q\)本です。金属板からは表と裏の両面に電気力線が出るので、片面からはその半分の \(2\pi k Q\)本が出ます。
- (イ): 電場の強さは、電気力線の密度です。片面から出る\(2\pi k Q\)本が、面積\(S\)に広がっているので、強さは本数を面積で割って \(\displaystyle\frac{2\pi k Q}{S}\) となります。
解答 (イ): \(\displaystyle\frac{2\pi k Q}{S}\)
ウ、エ：コンデンサー内外の電場
問われている内容の明確化
AとBを平行に置いたときの、極板の間の電場の強さ（ウ）と、極板の外の電場の強さ（エ）を求めます。
具体的な解説と立式
電場の重ね合わせの原理を用います。
- 板A(電荷\(+Q\))は、両側に強さ \(E_A = \frac{2\pi k Q}{S}\) の、Aから遠ざかる向きの電場を作ります。
- 板B(電荷\(-Q\))は、両側に強さ \(E_B = \frac{2\pi k Q}{S}\) の、Bに近づく向きの電場を作ります。
（ウ）極板間の電場 \(E_{\text{間}}\)
AとBの間では、Aが作る電場（右向き）とBが作る電場（これもBに向かうので右向き）が重なります。同じ向きなので、電場の強さは単純な足し算になります。
$$E_{\text{間}} = E_A + E_B$$
（エ）極板の外の電場 \(E_{\text{外}}\)
例えば、Aの左側の領域では、Aが作る電場（左向き）とBが作る電場（右向き）が重なります。向きが逆で大きさが等しいので、電場の強さは引き算になり、打ち消し合います。
$$E_{\text{外}} = E_A – E_B$$
計算過程
（ウ）極板間の電場
$$
\begin{aligned}
E_{\text{間}} &= E_A + E_B \\[2.0ex]&= \frac{2\pi k Q}{S} + \frac{2\pi k Q}{S} \\[2.0ex]&= \frac{4\pi k Q}{S}
\end{aligned}
$$
（エ）極板の外の電場
$$
\begin{aligned}
E_{\text{外}} &= E_A – E_B \\[2.0ex]&= \frac{2\pi k Q}{S} – \frac{2\pi k Q}{S} \\[2.0ex]&= 0
\end{aligned}
$$
解答 (エ): 0
オ、カ：電位差と電気容量
問われている内容の明確化
極板間の電位差 \(V\)（オ）と、このコンデンサーの電気容量 \(C\)（カ）を求めます。
具体的な解説と立式
（オ）極板間の電位差 \(V\)
一様な電場 \(E\) の中で、電場の方向に距離 \(d\) だけ離れた2点間の電位差 \(V\) は、以下の基本式で与えられます。
$$V = Ed$$
（カ）電気容量 \(C\)
電気容量 \(C\) の定義は、コンデンサーに蓄えられた電気量 \(Q\) と、極板間の電位差 \(V\) を用いて、
$$C = \frac{Q}{V}$$
と表されます。この式に、(オ)の関係式と(ウ)で求めた \(E\) の式を代入して、\(C\) を求めます。
使用した物理公式:
- 一様な電場と電位差の関係: \(V=Ed\)
- 電気容量の定義: \(C = \displaystyle\frac{Q}{V}\)
計算過程
（オ）の計算
立式した \(V=Ed\) がそのまま解答となります。
（カ）の計算
まず、\(C = \frac{Q}{V}\) に \(V=Ed\) を代入します。
$$C = \frac{Q}{Ed}$$
次に、この式の \(E\) に、(ウ)の答えである \(E=\displaystyle\frac{4\pi k Q}{S}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{Q}{\left(\frac{4\pi k Q}{S}\right)d} \\[2.0ex]&= \frac{Q \cdot S}{4\pi k Q d}
\end{aligned}
$$
分子と分母にある \(Q\) を約分で消去します。
$$ C = \frac{S}{4\pi k d} $$
解答 (カ): \(\displaystyle\frac{S}{4\pi k d}\)
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 電気力線と電場: 電気力線は電場の様子を視覚的に表現したものであり、その密度が電場の強さを表すという関係は、ガウスの法則に繋がる重要な概念です。
- 電場の重ね合わせの原理: 複数の電荷が作る電場は、各電荷が単独で作る電場のベクトル和で求められます。コンデンサーの電場が、2枚の極板が作る電場の単純な足し算（または引き算）で求められるのは、この原理のためです。
- コンデンサーの基本式:
- 一様な電場と電位差の関係: \(V = Ed\)
- 電気容量の定義: \(C = Q/V\)
- 平行板コンデンサーの電気容量: \(C = \displaystyle\frac{S}{4\pi k d}\) （または誘電率 \(\epsilon_0\) を用いて \(C = \epsilon_0 \frac{S}{d}\)）
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 段階的な導出を追う: このような誘導形式の問題は、前の設問の答えを次の設問で使うことがほとんどです。一つ一つのステップを確実に理解しながら進むことが重要です。
- 電場の向きを意識する: 電場の重ね合わせを考える際は、各電場がどの向きを向いているかを常に意識しましょう。向きが同じなら足し算、逆なら引き算になります。
- 文字式の計算: 最終的に多くの文字式を代入、整理することになります。分数の計算など、代数計算を正確に行う能力が求められます。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 単独の金属板の電場: 一枚の帯電した金属板が作る電場は、その両側にできます。電気力線が両面から半分ずつ出ていくため、電場の強さは \(E = \frac{2\pi k Q}{S}\) となります。これを \(E = \frac{4\pi k Q}{S}\) と間違えるケースが多いです（コンデンサー内部の電場と混同しやすい）。
- 重ね合わせの際の符号: 極板間の電場を求めるとき、\(-Q\) の電荷を持つB板が作る電場の向きも、A板が作る電場と同じ向きになることを見落としがちです。正の電荷はA板から反発され、B板に引きつけられる、と考えると、両方の力が同じ向きであることが直感的にわかります。
- 電気容量の式の暗記頼り: \(C = \epsilon_0 S/d\) という公式をただ暗記しているだけでなく、この問題のように、なぜその形になるのかを基本原理から導出できることが、深い理解に繋がります。
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