問題の確認
wave#03各設問の思考プロセス
この問題は、波の\(y-x\)グラフ（波形）と\(y-t\)グラフ（媒質の単振動の様子）から、波の基本的な物理量（波長、周期、振幅、振動数、速さ）を読み取り、計算する方法の理解を問うています。
- グラフの種類の特定:
- \(y-x\)グラフ: ある特定の時刻における波の形を示します。ここからは主に波長 \(\lambda\) と振幅 \(A\) が読み取れます。横軸は位置 \(x\) です。
- \(y-t\)グラフ: ある特定の位置における媒質の変位が時間と共にどう変化するかを示します。ここからは主に周期 \(T\) と振幅 \(A\) が読み取れます。横軸は時間 \(t\) です。
- 物理量の読み取り:
- 振幅 \(A\): 振動の中心からの最大の変位。\(y-x\)グラフの山の高さ、または\(y-t\)グラフの波の高さ（\(y\)軸の最大値）から読み取ります。
- 波長 \(\lambda\): \(y-x\)グラフにおいて、波1つ分の空間的な長さ。例えば、山から隣の山までの距離など。
- 周期 \(T\): \(y-t\)グラフにおいて、媒質が1回完全に振動するのにかかる時間。例えば、山から隣の山までの時間など。
- 物理量の計算:
- 振動数 \(f\): 1秒間に媒質が振動する回数。周期 \(T\) の逆数で、\(f = \frac{1}{T}\) という関係があります。単位はヘルツ [Hz]。
- 波の速さ \(v\): 波が伝わる速さ。\(v = \frac{\lambda}{T}\) または \(v = f\lambda\) という基本公式を用いて計算します。単位はメートル毎秒 [m/s]。
- データと設問の対応:
各設問で何が問われていて、どのグラフからどの情報を使い、どの公式を適用すればよいかを整理します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) この波の周期と振動数を求めよ。
問われている内容の明確化:
この波の周期 \(T\) と振動数 \(f\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
周期 \(T\) の特定:
周期 \(T\) は、波の媒質のある一点が1回振動するのに要する時間です。右図（位置 \(x=0\) での変位 \(y\) と時間 \(t\) の関係を示すグラフ）から周期を読み取ります。
この波の周期は \(T = 0.5 \, \text{s}\) です。
振動数 \(f\) の導出:
振動数 \(f\) は、1秒間に媒質が振動する回数であり、周期 \(T\) とは逆数の関係にあります。
$$f = \frac{1}{T}$$
この公式は、振動数と周期の定義から導かれる基本的な関係式です。
値を代入すると、
$$f = \frac{1}{0.5 \, \text{s}} = 2.0 \, \text{Hz}$$
となります。
計算方法の平易な説明:
- 周期 \(T\):
右側のグラフ（時間のグラフ）は、ある一点（\(x=0\)の場所）の揺れ方を表しています。この点が1回揺れて元の状態に戻るまでの時間が周期です。問題のグラフから、この時間は \(0.5\) 秒と読み取れます。 - 振動数 \(f\):
振動数は「1秒間に何回揺れるか」です。周期が「1回の揺れに \(0.5\) 秒かかる」なので、振動数は周期の逆数で計算します。
公式は \(f = \displaystyle \frac{1}{T}\) です。
\(T = 0.5 \, \text{s}\) を代入すると、\(f = \displaystyle \frac{1}{0.5} = 2.0 \, \text{Hz}\) となります。
この設問における重要なポイント:
- 周期 \(T\) は \(y-t\) グラフ（右図）から読み取る（または問題の条件として与えられる）。
- 振動数 \(f\) は周期 \(T\) の逆数、\(f = \displaystyle \frac{1}{T}\)、として計算する。
周期: \(T = 0.5 \, \text{s}\)
振動数: \(f = 2.0 \, \text{Hz}\)
(2) この波の速さはいくらか。
問われている内容の明確化:
この波の速さ \(v\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
波の速さ \(v\) は、波長 \(\lambda\) と周期 \(T\)（または振動数 \(f\)）を用いて計算できます。
波長 \(\lambda\) の特定:
波長 \(\lambda\) は、左図（時刻 \(t=0\) における波形を示す \(y-x\) グラフ）から読み取ります。波1つ分の空間的な長さが波長です。
図から、\(x=0\) から \(x=2.0 \, \text{m}\) まででちょうど1波長分が描かれているため、
$$\lambda = 2.0 \, \text{m}$$
となります。
波の速さ \(v\) の計算:
$$v = \frac{\lambda}{T} \quad \text{または} \quad v = f\lambda$$
(1)で求めた周期 \(T = 0.5 \, \text{s}\) と振動数 \(f = 2.0 \, \text{Hz}\)、そして読み取った波長 \(\lambda = 2.0 \, \text{m}\) を用います。
周期 \(T\) を用いる場合:
$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2.0 \, \text{m}}{0.5 \, \text{s}} = 4.0 \, \text{m/s}$$
振動数 \(f\) を用いる場合:
$$v = f\lambda = (2.0 \, \text{Hz}) \times (2.0 \, \text{m}) = 2.0 \, \text{s}^{-1} \times 2.0 \, \text{m} = 4.0 \, \text{m/s}$$
どちらの方法でも同じ結果が得られます。
計算方法の平易な説明:
- 波長 \(\lambda\):
左側のグラフ（場所のグラフ）は、ある瞬間の波の形です。グラフから、波1つ分の長さ（例えば、山の始まりから次の山の始まりまで）は \(2.0 \, \text{m}\) であることが読み取れます。これが波長 \(\lambda\) です。 - 波の速さ \(v\):
波の速さは、「波長 \(\div\) 周期」または「振動数 \(\times\) 波長」で計算できます。
周期 \(T = 0.5 \, \text{s}\)、振動数 \(f = 2.0 \, \text{Hz}\)、波長 \(\lambda = 2.0 \, \text{m}\) を使います。- \(v = \displaystyle \frac{\lambda}{T} = \frac{2.0 \, \text{m}}{0.5 \, \text{s}} = 4.0 \, \text{m/s}\)
- \(v = f\lambda = (2.0 \, \text{Hz}) \times (2.0 \, \text{m}) = 4.0 \, \text{m/s}\)
どちらで計算しても、波の速さは \(4.0 \, \text{m/s}\) です。
この設問における重要なポイント:
- 波長 \(\lambda\) は \(y-x\) グラフ（左図）から読み取る。
- 波の基本公式 \(v = \displaystyle \frac{\lambda}{T}\) または \(v = f\lambda\) を正しく適用する。
- 単位も意識して計算する（例: \(\text{Hz} \times \text{m} = \text{s}^{-1} \times \text{m} = \text{m/s}\)）。
波の速さ: \(v = 4.0 \, \text{m/s}\)
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 波のグラフの解釈:
- \(y-x\) グラフ（波形グラフ）: ある瞬間の波の空間的な形を表し、ここから波長 \(\lambda\) と振幅 \(A\) を読み取る。
- \(y-t\) グラフ（単振動グラフ）: ある位置の媒質の時間的な振動の様子を表し、ここから周期 \(T\) と振幅 \(A\) を読み取る。
- 波の基本パラメータ:
- 振幅 \(A\) (\(\text{m}\)): 媒質の振動の中心からの最大の変位。
- 波長 \(\lambda\) (\(\text{m}\)): 波1つ分の長さ。隣り合う同位相の点間の距離。
- 周期 \(T\) (\(\text{s}\)): 媒質が1回振動するのにかかる時間。波が1波長分進むのにかかる時間。
- 振動数 \(f\) (\(\text{Hz}\)): 1秒間に媒質が振動する回数。\(f = \displaystyle \frac{1}{T}\)。
- 波の速さ \(v\) (\(\text{m/s}\)): 波が単位時間に伝わる距離。
- \(v = \displaystyle \frac{\lambda}{T}\)
- \(v = f\lambda\)
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- グラフの種類を常に意識する: 横軸が位置 \(x\) なのか時間 \(t\) なのかを最初に確認し、それぞれから読み取れる情報が異なることを理解しておく。
- 正確な読み取り: グラフの目盛りを丁寧に読み、特に1波長や1周期がどこからどこまでに対応するのかを正確に見極める。
- 振幅の意味: 振幅は振動の中心からの「最大」の変位である。波の高さ全体ではないことに注意（基準が \(y=0\) の場合は山の高さ）。
- 公式の導出を理解する: 例えば \(v = \lambda/T\) は、「速さ = 距離/時間」であり、波が1波長 \(\lambda\) の距離を進むのに1周期 \(T\) の時間がかかる、という基本的な物理現象の表現であることを理解すると忘れにくい。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- \(y-x\) グラフから周期を、\(y-t\) グラフから波長を読み取ろうとする混同。
- 周期の誤読: \(y-t\) グラフで、1サイクルの終わりを正確に特定できない、またはグラフの一部分だけを見て判断してしまう。
- 波長の誤読: \(y-x\) グラフで、波1つ分を正しく捉えられない。
- 振動数 \(f\) と角振動数 \(\omega\) (\(\text{rad/s}\)) の混同: これらは \(\omega = 2\pi f\) の関係にある異なる物理量。問題でどちらが問われているかを確認する。
- 単位の取り扱い: 計算過程や最終的な答えで単位を忘れたり、間違った単位を付けてしまう。
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