問題の確認
dynamics#07各設問の思考プロセス
この問題は、\(v-t\)図の読み取りと、等加速度直線運動の基本的な公式を用いて解くことができます。
- 設問(1) 加速度:
\(v-t\)図において、直線の傾きは加速度を表します。グラフから2点の座標（時間, 速度）を読み取り、加速度を計算します。
加速度 \(\displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1}\) - 設問(2) 進んだ距離:
\(v-t\)図において、グラフと時間軸で囲まれた部分の面積は、その時間区間における変位（または進んだ距離、速度が常に正または常に負の場合）を表します。今回は \(0 \text{ s}\) から \(2.0 \text{ s}\) の間、速度は正なので、面積が進んだ距離に等しくなります。三角形の面積として計算します。 - 設問(3) \(2.0 \text{ 秒以後の運動のようす}:\)
\(t=2.0 \text{ s}\) で速度が \(0 \text{ m/s}\) になり、その後、グラフは時間軸より下側（速度が負）に進んでいます。これは、物体が運動の向きを変えたことを意味します。加速度は一定なので、等加速度直線運動を続けますが、初速度 \(0 \text{ m/s}\) から負の向きに速さを増していく運動となります。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 加速度を求めよ。
問われている内容の明確化:
物体の運動の加速度 \(a\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
\(v-t\)図において、加速度はグラフの傾きに相当します。
グラフ上の2点として、点1: (\(t_1 = 0 \text{ s}\), \(v_1 = 20 \text{ m/s}\)) と 点2: (\(t_2 = 2.0 \text{ s}\), \(v_2 = 0 \text{ m/s}\)) を用います。
加速度 \(a\) は、
$$a = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1} = \frac{0 \text{ m/s} – 20 \text{ m/s}}{2.0 \text{ s} – 0 \text{ s}} = \frac{-20 \text{ m/s}}{2.0 \text{ s}} = -10 \text{ m/s}^2$$
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
計算方法の平易な説明:
- 加速度は、速度が1秒あたりどれだけ変化するかを表す量です。
- \(v-t\)グラフでは、線の傾きが加速度になります。
- グラフを見ると、時間が \(0 \text{ 秒}\) のとき速度は \(20 \text{ m/s}\) です。
- 時間が \(2.0 \text{ 秒}\) のとき速度は \(0 \text{ m/s}\) になっています。
- つまり、\(2.0 \text{ 秒間}\)で速度が \(20 \text{ m/s}\) から \(0 \text{ m/s}\) へ、\(20 \text{ m/s}\) だけ減少（\(-20 \text{ m/s}\) 変化）しています。
- したがって、加速度は (変化した速度) ÷ (かかった時間) で求められるので、
\( \displaystyle a = \frac{0 – 20}{2.0 – 0} = \frac{-20}{2.0} = -10 \text{ m/s}^2\) となります。 - マイナスの符号は、速度が減少していること（減速していること、または初めの運動方向と逆向きの加速度であること）を示します。
この設問における重要なポイント:
- \(v-t\)図の傾きが加速度を表すことを理解していること。
- グラフから正確に値を読み取り、計算すること。
- 加速度の単位 (\(\text{m/s}^2\)) を正しく記述すること。
\(a = -10 \text{ m/s}^2\)
(2) \(2.0 \text{ 秒間に進んだ距離を求めよ。}\)
問われている内容の明確化:
時刻 \(t=0 \text{ s}\) から \(t=2.0 \text{ s}\) までの間に物体が進んだ距離 \(x\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
\(v-t\)図において、時刻 \(t_1\) から \(t_2\) までの間に進んだ距離は、グラフと \(t\)軸で囲まれた部分の面積に相当します（速度が常に正の場合）。
この問題では、\(0 \text{ s}\) から \(2.0 \text{ s}\) の間、速度 \(v\) は常に正（または0）なので、進んだ距離はグラフと \(t\)軸で囲まれた三角形の面積として求められます。
三角形の底辺の長さは \(\Delta t = 2.0 \text{ s} – 0 \text{ s} = 2.0 \text{ s}\)。
三角形の高さは \(v_0 = 20 \text{ m/s}\) (時刻 \(t=0 \text{ s}\) での速度)。
進んだ距離 \(x\) は、
$$x = \text{面積} = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ} = \frac{1}{2} \times 2.0 \text{ s} \times 20 \text{ m/s} = 20 \text{ m}$$
あるいは、等加速度直線運動の公式 \(\displaystyle x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を用いても計算できます。
初速度 \(v_0 = 20 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -10 \text{ m/s}^2\) (設問(1)より)、時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) を代入すると、
$$x = (20 \text{ m/s}) \times (2.0 \text{ s}) + \frac{1}{2} \times (-10 \text{ m/s}^2) \times (2.0 \text{ s})^2$$
$$x = 40 \text{ m} + \frac{1}{2} \times (-10 \text{ m/s}^2) \times 4.0 \text{ s}^2$$
$$x = 40 \text{ m} – 20 \text{ m} = 20 \text{ m}$$
等加速度直線運動の変位の公式: \(\displaystyle x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
計算方法の平易な説明:
- \(v-t\)グラフで、グラフの線と時間軸（横軸）で囲まれた部分の面積は、物体が進んだ距離を表します（速度がずっとプラスの場合）。
- \(0 \text{ 秒}\) から \(2.0 \text{ 秒}\) までのグラフを見ると、底辺が \(2.0 \text{ 秒}\)、高さが \(20 \text{ m/s}\) の三角形になっています。
- 三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められるので、
距離 \(= 2.0 \text{ s} \times 20 \text{ m/s} \div 2 = 20 \text{ m}\) となります。 - 別の方法として、公式を使うこともできます。初めの速さが \(20 \text{ m/s}\)、加速度が \(-10 \text{ m/s}^2\)、時間が \(2.0 \text{ 秒}\) なので、
距離 = (初めの速さ) × (時間) + \(\displaystyle \frac{1}{2}\) × (加速度) × (時間)\(^2\)
距離 \(= 20 \times 2.0 + 0.5 \times (-10) \times (2.0)^2 = 40 – 20 = 20 \text{ m}\)。
この設問における重要なポイント:
- \(v-t\)図の面積が変位（または特定の条件下での距離）を表すことを理解していること。
- 三角形の面積を正しく計算できること。
- または、等加速度直線運動の公式を正しく適用できること。
- 距離の単位 (\(\text{m}\)) を正しく記述すること。
\(20 \text{ m}\)
(3) \(2.0 \text{ 秒以後の運動のようすを説明せよ。}\)
問われている内容の明確化:
時刻 \(t=2.0 \text{ s}\) を過ぎた後の物体の運動がどのようになるかを記述します。
具体的な解説と計算手順:
\(v-t\)図を見ると、
- 時刻 \(t=2.0 \text{ s}\) で、物体の速度は \(v=0 \text{ m/s}\) となります。これは、物体が一瞬停止することを意味します。
- 時刻 \(t > 2.0 \text{ s}\) では、グラフは \(t\)軸より下側、つまり速度 \(v\) が負の値をとります。速度が負になるということは、物体が初めの運動方向とは逆向きに動き始めることを示します。
- グラフの傾き（加速度）は、設問(1)で求めたように \(a = -10 \text{ m/s}^2\) で一定です。
- したがって、\(2.0 \text{ 秒}\) 以後、物体は初めの運動方向とは逆向きに、一定の加速度 \(-10 \text{ m/s}^2\) で速さを増しながら運動します（等加速度直線運動）。
より具体的に言えば、
- 時刻 \(t=2.0 \text{ s}\) で速度 \(0 \text{ m/s}\)。
- 加速度は常に \(-10 \text{ m/s}^2\) なので、これは初めに設定した正の向きとは逆向きに \(10 \text{ m/s}^2\) の加速度で運動することを意味します。
- よって、\(2.0 \text{ 秒}\) 後には、初めの運動方向と逆向きに、だんだん速くなる直線運動をする、と言えます。
例えば、\(t=3.0 \text{ s}\) での速度を考えると、
$$v = v_{2.0} + a (t – 2.0) = 0 + (-10) \times (3.0 – 2.0) = -10 \text{ m/s}$$
これは、初めの進行方向と逆向きに \(10 \text{ m/s}\) の速さで運動していることを示します。
計算方法の平易な説明:
時刻 \(t=2.0\) 秒で物体は一瞬止まります。その後、グラフの線が時間軸の下側に入っているので、速度がマイナスになります。これは、物体が今までの進行方向とは反対向きに動き出すことを意味します。
加速度はずっと \(-10 \text{ m/s}^2\) のままなので、反対向きにどんどんスピードを上げていく運動（等加速度直線運動）をします。
この設問における重要なポイント:
- \(v-t\)図における速度の正負が運動の向きを表すことを理解していること。
- \(t\)軸を横切る点（\(v=0\)）が運動の向きの転換点となりうることを理解していること。
- 加速度が一定であることから、運動の種類（等加速度直線運動）を判断できること。
\(2.0 \text{ 秒}\) 後に速度が \(0 \text{ m/s}\) となり、その後、初めの運動方向とは逆向きに、速さが \(10 \text{ m/s}\) ずつ増していく（加速度の大きさが \(10 \text{ m/s}^2\) の）等加速度直線運動をする。
▼別の問題もチャレンジ▼
問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- \(v-t\)図の解釈:
- グラフの縦軸の値: 各時刻における速度。
- グラフの傾き: 加速度。傾きが正なら加速、負なら減速（または逆向きに加速）。傾きが0なら等速直線運動。
- グラフと時間軸で囲まれた面積: 変位。時間軸より上側なら正の変位、下側なら負の変位。
- 加速度 (\(a\)): 単位時間当たりの速度の変化率。\( \displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)。
- 等加速度直線運動: 加速度が一定の直線運動。以下の公式が成り立つ。
- \(v = v_0 + at\)
- \(\displaystyle x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
- \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
- 速度の正負と運動の向き: 速度の符号は運動の向きを示す。正の向きを定めたとき、速度が正ならその向きに、負なら逆向きに運動している。
- 運動の転換点: 速度が \(0\) になる点は、物体が一瞬停止する点であり、運動の向きが変わる可能性がある点。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 座標軸の確認: \(v-t\)図の縦軸と横軸が何を表しているか（速度と時間）、単位は何かを最初に確認する。
- グラフの形状の読み取り: グラフが直線か曲線か、傾きがどう変化しているかなどを正確に読み取る。
- 面積計算の注意: 面積を求める際に、図形を適切に分割する（三角形、四角形など）。時間軸より下側の面積は負の変位を表すことに注意する。距離を問われた場合は、絶対値の和を考える必要がある場合もある。
- 用語の正確な理解: 「速さ」と「速度」、「距離」と「変位」の違いを理解しておく。速度と変位はベクトル量（向きを持つ）、速さと距離はスカラー量（大きさのみ）。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- (1) 加速度の符号: 傾きが負の場合、加速度も負になることを見落とす、または符号の意味を誤解する。
- (2) 距離と変位の混同: \(v-t\)図の面積は基本的に変位を表す。速度が途中で負になる場合、進んだ「距離」を求めるには、正の速度の部分の面積と負の速度の部分の面積の絶対値を足し合わせる必要がある。
- (3) 運動の向きの解釈: 速度が負になることの意味を、「減速し続ける」と誤解し、「逆向きに進む」という点を明確に捉えられないことがある。
- \(v=0\)の点の解釈: 単に「停止した」だけで、その後の運動について考慮しないことがある。向きを変えて動き出す可能性を考える必要がある。
- 加速度が負＝常に減速、とは限らない: 初速度が負のときに負の加速度がかかると、負の向きに加速（速さが増加）する。加速度の向きと速度の向きが同じなら加速、反対なら減速となる。
▼別の問題もチャレンジ▼