問題の確認
thermodynamicsall#02各設問の思考プロセス
(1) 金属球が放出した熱量はいくらか。
- 熱量保存の法則の適用: 高温の金属球が失った熱量が、低温の熱量計と水が得た熱量の合計に等しいという熱量保存の考え方を利用します。
- 各部が得た熱量の計算式の選択:
- 熱量計が得た熱量: 熱容量 \(C\) と温度変化 \(\Delta T\) を用いて \(Q_{\text{熱量計}} = C \Delta T\) で計算します。
- 水が得た熱量: 水の質量 \(m_{\text{水}}\)、水の比熱 \(c_{\text{水}}\)、温度変化 \(\Delta T\) を用いて \(Q_{\text{水}} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} \Delta T\) で計算します。
- 温度変化の計算: 熱量計と水は共通の温度変化をします。 \(\Delta T = T_{\text{最終}} – T_{\text{はじめ}}\) を計算します。
- 数値計算と合計: 計算した \(Q_{\text{熱量計}}\) と \(Q_{\text{水}}\) を、それぞれ適切な有効数字で処理した上で合計し、金属球が放出した熱量 \(Q_{\text{放出}}\) を求めます。
(2) この金属の比熱は何 \(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\) か。
- 金属球が放出した熱量の利用: (1)で計算した金属球が放出した熱量 \(Q_{\text{放出}}\) を利用します。
- 金属球の熱量変化の式の利用: 金属球が放出した熱量は、\(Q_{\text{放出}} = m_{\text{金}} c_{\text{金}} \Delta T_{\text{金}}\) と表せます。
- 金属球の温度変化の計算: 金属球の温度変化 \(\Delta T_{\text{金}} = T_{\text{金_はじめ}} – T_{\text{最終}}\) を計算します。
- 比熱についての変形と計算: 上記の式を \(c_{\text{金}}\) について解き、各数値を代入して金属の比熱を計算し、適切な有効数字で処理します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 金属球が放出した熱量はいくらか。
問われている内容の明確化:
高温の金属球が冷却される際に放出した熱の総量を求めます。この熱量は、熱量計と水が吸収した熱の総量に等しいと考えます。
具体的な解説と計算手順:
まず、熱量計と水が得た熱量をそれぞれ計算します。
共通の温度上昇 \(\Delta T\) は、
$$ \Delta T = T_{\text{最終}} – T_{\text{はじめ}} = 38^\circ\text{C} – 25^\circ\text{C} = 13^\circ\text{C} = 13 \, \text{K} $$
となります。
1. 熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{熱量計}}\):
熱量計の熱容量 \(C = 1.3 \times 10^2 \, \text{J/K}\) です。
$$ Q = C \Delta T $$
$$ Q_{\text{熱量計}} = (1.3 \times 10^2 \, \text{J/K}) \times (13 \, \text{K}) = 1690 \, \text{J} $$
この値を有効数字2桁で表すと \(1.7 \times 10^3 \, \text{J}\) となります。
2. 水が得た熱量 \(Q_{\text{水}}\):
水の質量 \(m_{\text{水}} = 1.0 \times 10^2 \, \text{g}\)、水の比熱 \(c_{\text{水}} = 4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。
$$ Q = m c \Delta T $$
$$ Q_{\text{水}} = (1.0 \times 10^2 \, \text{g}) \times (4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}) \times (13 \, \text{K}) = 5460 \, \text{J} $$
この値を有効数字2桁で表すと \(5.5 \times 10^3 \, \text{J}\) となります。
3. 金属球が放出した熱量 \(Q_{\text{放出}}\):
熱量保存の法則より、金属球が放出した熱量 \(Q_{\text{放出}}\) は、熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{熱量計}}\) と水が得た熱量 \(Q_{\text{水}}\) の合計に等しくなります。
$$ Q_{\text{放出}} = Q_{\text{熱量計}} + Q_{\text{水}} $$
$$ Q_{\text{放出}} = 1.7 \times 10^3 \, \text{J} + 5.5 \times 10^3 \, \text{J} = 7.2 \times 10^3 \, \text{J} $$
計算方法の平易な説明:
金属球から出た熱は、すべて熱量計と水に吸収されます。まず、熱量計が吸収した熱は \( (1.3 \times 10^2) \times 13 = 1690 \, \text{J} \) (約 \(1.7 \times 10^3 \, \text{J}\)) です。次に、水が吸収した熱は \( (1.0 \times 10^2) \times 4.2 \times 13 = 5460 \, \text{J} \) (約 \(5.5 \times 10^3 \, \text{J}\)) です。これらを合計すると、金属球が放出した熱量は約 \(7.2 \times 10^3 \, \text{J} \) となります。
この設問における重要なポイント:
- 熱量保存の法則を理解し、「（高温物体が）失った熱量 = （低温物体が）得た熱量」で立式できること。
- 熱容量 \(C\) を使う場合 (\(Q=C\Delta T\)) と比熱 \(c\) を使う場合 (\(Q=mc\Delta T\)) を区別できること。
金属球が放出した熱量は \(7.2 \times 10^3 \, \text{J}\) です。
(2) この金属の比熱は何 \(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\) か。
問われている内容の明確化:
金属球の材質の特性である比熱 \(c_{\text{金}}\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
(1)で求めた金属球が放出した熱量 \(Q_{\text{放出}} = 7.2 \times 10^3 \, \text{J}\) を用います。
金属球の質量は \(m_{\text{金}} = 2.0 \times 10^2 \, \text{g}\) です。
金属球の温度変化 \(\Delta T_{\text{金}}\) は、
$$ \Delta T_{\text{金}} = T_{\text{金_はじめ}} – T_{\text{最終}} = 80^\circ\text{C} – 38^\circ\text{C} = 42^\circ\text{C} = 42 \, \text{K} $$
となります。
$$ Q = m c \Delta T $$
これを金属球に適用すると、\(Q_{\text{放出}} = m_{\text{金}} c_{\text{金}} \Delta T_{\text{金}}\) となります。
この式を比熱 \(c_{\text{金}}\) について解くと、
$$ c_{\text{金}} = \frac{Q_{\text{放出}}}{m_{\text{金}} \Delta T_{\text{金}}} $$
値を代入して比熱 \(c_{\text{金}}\) を計算します。
$$ c_{\text{金}} = \frac{7.2 \times 10^3 \, \text{J}}{(2.0 \times 10^2 \, \text{g}) \times (42 \, \text{K})} $$
$$ c_{\text{金}} = \frac{7200}{200 \times 42} \, \text{J/(g}\cdot\text{K)} = \frac{7200}{8400} \, \text{J/(g}\cdot\text{K)} $$
$$ c_{\text{金}} = \frac{72}{84} = \frac{6}{7} \approx 0.8571… \, \text{J/(g}\cdot\text{K)} $$
これを有効数字2桁に丸めると \(0.86 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) となります。
計算方法の平易な説明:
金属球は \(7.2 \times 10^3 \, \text{J}\) の熱を放出しました。このとき、\(200 \, \text{g}\) の金属球の温度が \(42^\circ\text{C}\) (\(42 \, \text{K}\)) だけ下がりました。「熱量 = 質量 × 比熱 × 温度変化」の公式を使うと、\(7.2 \times 10^3 = 200 \times c_{\text{金}} \times 42\) となります。ここから金属の比熱 \(c_{\text{金}}\) を求めると、約 \(0.86 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) となります。
この設問における重要なポイント:
- (1)で求めた熱量 \(Q_{\text{放出}}\) を正しく用いること。
- 熱量の公式 \(Q=mc\Delta T\) を比熱 \(c\) について正しく変形できること。
- 金属球の温度変化 \(\Delta T_{\text{金}}\) を、\(T_{\text{金_はじめ}} – T_{\text{最終}}\) として正しく計算すること。
この金属の比熱は \(0.86 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 熱量保存の法則: 外部との熱の出入りがない限り、高温物体が失う熱量と低温物体が得る熱量は等しくなります。
- 熱量(\(Q\)): 温度変化や状態変化に伴い移動するエネルギー。
- 比熱(\(c\)): 物質 \(1 \, \text{g}\) の温度を \(1 \, \text{K}\) 上昇させるのに必要な熱量。
公式: \( Q = mc\Delta T \) - 熱容量(\(C\)): 物体全体の温度を \(1 \, \text{K}\) 上昇させるのに必要な熱量。
公式: \( Q = C\Delta T \) - 熱平衡: 温度の異なる物体間で熱が移動し、最終的に全体の温度が一定になった状態。
- 温度変化(\(\Delta T\)): 熱量計算において温度差は重要です。\(\Delta T\) の単位は、摂氏(\(^\circ\text{C}\))でもケルビン(\(\text{K}\))でも、差の大きさとしては同じ値として扱えます。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 熱の移動を図示する: 各物体の温度変化を図で整理すると、熱量保存の式を立てやすくなります。
- 単位を確認し、統一する: 計算前に単位を揃えましょう。
- 温度変化の向き: 「失った熱量」と「得た熱量」をそれぞれ正の値として扱う場合、温度差の取り方に注意します。
- 有効数字の処理: 問題文中の数値の有効数字に合わせて、最終的な答えの有効数字も適切に処理しましょう。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 比熱と熱容量の混同: 定義と単位をしっかり区別しましょう。
- 熱量保存の立式ミス: 熱の移動の全体像を捉えましょう。
- 温度変化 \(\Delta T\) の計算ミス: どの温度からどの温度を引くのかを正確に。
- 計算過程での丸めすぎ: 計算の途中で数値を丸めすぎると、最終的な答えに誤差が大きくなることがあります。
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