今回の問題
thermodynamicsall#21【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「p-Vグラフで表される熱力学サイクルの解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 理想気体の状態方程式: \(pV=nRT\)。各状態の温度を求めるために必須です。
- 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\)。内部エネルギーの変化量を計算するために用います。
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W\)。この問題では仕事\(W\)が「気体がされた仕事」と定義されているため、この形の法則を適用します。
- 気体がされる仕事: 体積が減少（圧縮）すれば正、増加（膨張）すれば負、変化しなければ0となります。
- 熱効率の定義: \(e = \displaystyle\frac{W’_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}\)。ここで \(W’_{\text{正味}}\) は気体が「した」正味の仕事です。定義と計算の整合性に注意が必要です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、p-Vグラフから各状態点(A, B, C, D)の圧力と体積を読み取り、状態方程式を用いて各点の温度を求めます(問1)。
- 次に、各過程(A→B, B→C, C→D, D→A)がどの状態変化（定積、定圧）かを特定します。
- 各過程について、\(\Delta U\), \(W\), \(Q\)を順番に計算していきます(問2〜5)。\(\Delta U\)は温度変化から、\(W\)（された仕事）は体積変化から求め、\(Q\)は熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) を使って求めます。
- 最後に、サイクル全体の「した」仕事と吸収した熱量を合計し、熱効率を計算します(問6)。
問(1) 状態 B, C, D の温度 \(T_B, T_C, T_D\)
思考の道筋とポイント
各状態の温度を求めるには、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を利用します。状態Aの \(p, V, T\) が与えられているので、これを基準に他の状態の温度を計算します。
具体的な解説と立式
状態Aについて、状態方程式は \(p_A V_A = nRT_A\) です。問題文より \(p_A=p, V_A=V, T_A=T\) なので、
$$ pV = nRT \quad \cdots ① $$
という関係が成り立っています。
- 状態B: グラフより \(p_B = 2p\), \(V_B = V\)。状態方程式は \(p_B V_B = nRT_B\)。
$$ (2p)V = nRT_B $$ - 状態C: グラフより \(p_C = 2p\), \(V_C = 2V\)。状態方程式は \(p_C V_C = nRT_C\)。
$$ (2p)(2V) = nRT_C $$ - 状態D: グラフより \(p_D = p\), \(V_D = 2V\)。状態方程式は \(p_D V_D = nRT_D\)。
$$ p(2V) = nRT_D $$
計算過程
各状態の温度を、①式 \(pV = nRT\) を使って求めます。
- 状態B:
$$
\begin{aligned}
nRT_B &= 2(pV) = 2(nRT) \\
T_B &= 2T
\end{aligned}
$$ - 状態C:
$$
\begin{aligned}
nRT_C &= 4(pV) = 4(nRT) \\
T_C &= 4T
\end{aligned}
$$ - 状態D:
$$
\begin{aligned}
nRT_D &= 2(pV) = 2(nRT) \\
T_D &= 2T
\end{aligned}
$$
解答 (1) \(T_B=2T, T_C=4T, T_D=2T\)
問(2) \(\Delta U_{\text{AB}}, Q_{\text{AB}}, W_{\text{AB}}\)
思考の道筋とポイント
過程A→Bは定積変化です。この過程の内部エネルギー変化、吸収熱量、された仕事を計算します。
具体的な解説と立式
- された仕事 \(W_{\text{AB}}\): 過程A→Bは体積が \(V\) で一定の定積変化なので、体積変化は0です。したがって、気体がされる仕事は0です。
$$ W_{\text{AB}} = 0 $$ - 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{AB}}\): 単原子分子理想気体なので \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{AB}} &= \frac{3}{2}nR(T_B – T_A) \\
&= \frac{3}{2}nR(2T – T) = \frac{3}{2}nRT
\end{aligned}
$$ - 吸収した熱量 \(Q_{\text{AB}}\): 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) より \(Q = \Delta U – W\)。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{AB}} &= \Delta U_{\text{AB}} – W_{\text{AB}} \\
&= \frac{3}{2}nRT – 0 = \frac{3}{2}nRT
\end{aligned}
$$
解答 (2) \(\Delta U_{\text{AB}} = \frac{3}{2}nRT, Q_{\text{AB}} = \frac{3}{2}nRT, W_{\text{AB}} = 0\)
問(3) \(\Delta U_{\text{BC}}, Q_{\text{BC}}, W_{\text{BC}}\)
思考の道筋とポイント
過程B→Cは定圧変化です。この過程の各量を計算します。
具体的な解説と立式
- された仕事 \(W_{\text{BC}}\): 過程B→Cは圧力が \(2p\) で一定の定圧変化で、体積が増加（膨張）しています。気体が外部に仕事をするので、「された」仕事は負になります。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{BC}} &= -p_B (V_C – V_B) \\
&= -2p (2V – V) = -2pV
\end{aligned}
$$
ここで \(pV = nRT\) を使うと、
$$ W_{\text{BC}} = -2nRT $$ - 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{BC}}\): \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{BC}} &= \frac{3}{2}nR(T_C – T_B) \\
&= \frac{3}{2}nR(4T – 2T) = \frac{3}{2}nR(2T) = 3nRT
\end{aligned}
$$ - 吸収した熱量 \(Q_{\text{BC}}\): 熱力学第一法則より \(Q = \Delta U – W\)。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{BC}} &= \Delta U_{\text{BC}} – W_{\text{BC}} \\
&= 3nRT – (-2nRT) = 5nRT
\end{aligned}
$$
解答 (3) \(\Delta U_{\text{BC}} = 3nRT, Q_{\text{BC}} = 5nRT, W_{\text{BC}} = -2nRT\)
問(4) \(\Delta U_{\text{CD}}, Q_{\text{CD}}, W_{\text{CD}}\)
思考の道筋とポイント
過程C→Dは定積変化です。この過程の各量を計算します。
具体的な解説と立式
- された仕事 \(W_{\text{CD}}\): 過程C→Dは体積が \(2V\) で一定の定積変化なので、仕事は0です。
$$ W_{\text{CD}} = 0 $$ - 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{CD}}\): \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{CD}} &= \frac{3}{2}nR(T_D – T_C) \\
&= \frac{3}{2}nR(2T – 4T) = \frac{3}{2}nR(-2T) = -3nRT
\end{aligned}
$$ - 吸収した熱量 \(Q_{\text{CD}}\): 熱力学第一法則より \(Q = \Delta U – W\)。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{CD}} &= \Delta U_{\text{CD}} – W_{\text{CD}} \\
&= -3nRT – 0 = -3nRT
\end{aligned}
$$
解答 (4) \(\Delta U_{\text{CD}} = -3nRT, Q_{\text{CD}} = -3nRT, W_{\text{CD}} = 0\)
問(5) \(\Delta U_{\text{DA}}, Q_{\text{DA}}, W_{\text{DA}}\)
思考の道筋とポイント
過程D→Aは定圧変化です。この過程の各量を計算します。
具体的な解説と立式
- された仕事 \(W_{\text{DA}}\): 過程D→Aは圧力が \(p\) で一定の定圧変化で、体積が減少（圧縮）しています。気体が外部から仕事をされるので、「された」仕事は正になります。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{DA}} &= -p_D (V_A – V_D) \\
&= -p (V – 2V) = -p(-V) = pV
\end{aligned}
$$
ここで \(pV = nRT\) を使うと、
$$ W_{\text{DA}} = nRT $$ - 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{DA}}\): \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{DA}} &= \frac{3}{2}nR(T_A – T_D) \\
&= \frac{3}{2}nR(T – 2T) = \frac{3}{2}nR(-T) = -\frac{3}{2}nRT
\end{aligned}
$$ - 吸収した熱量 \(Q_{\text{DA}}\): 熱力学第一法則より \(Q = \Delta U – W\)。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{DA}} &= \Delta U_{\text{DA}} – W_{\text{DA}} \\
&= -\frac{3}{2}nRT – nRT = -\frac{5}{2}nRT
\end{aligned}
$$
解答 (5) \(\Delta U_{\text{DA}} = -\frac{3}{2}nRT, Q_{\text{DA}} = -\frac{5}{2}nRT, W_{\text{DA}} = nRT\)
問(6) このサイクルの熱効率
思考の道筋とポイント
熱効率 \(e\) は、\(e = \displaystyle\frac{W’_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}\) で定義されます。ここで \(W’_{\text{正味}}\) は気体が「した」正味の仕事です。
具体的な解説と立式
- 1サイクルの「した」正味の仕事 \(W’_{\text{正味}}\):
各過程で「した」仕事は、「された」仕事の逆符号です。
\(W’_{\text{AB}}=0, W’_{\text{BC}}=-W_{\text{BC}}=2nRT, W’_{\text{CD}}=0, W’_{\text{DA}}=-W_{\text{DA}}=-nRT\)。
$$
\begin{aligned}
W’_{\text{正味}} &= W’_{\text{AB}} + W’_{\text{BC}} + W’_{\text{CD}} + W’_{\text{DA}} \\
&= 0 + 2nRT + 0 + (-nRT) = nRT
\end{aligned}
$$ - 1サイクルで吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}}\):
問(2)〜(5)の結果を見ると、熱を吸収している（Qが正）のは過程A→BとB→Cです。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{吸収}} &= Q_{\text{AB}} + Q_{\text{BC}} \\
&= \frac{3}{2}nRT + 5nRT = \frac{13}{2}nRT
\end{aligned}
$$ - 熱効率 \(e\):
$$ e = \frac{W’_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}} = \frac{nRT}{\frac{13}{2}nRT} $$
計算過程
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{nRT}{\frac{13}{2}nRT} \\
&= \frac{2}{13}
\end{aligned}
$$
解答 (6) \(\frac{2}{13}\)
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