問題の確認
wave#08各設問の思考プロセス
この問題は、2つの同一の進行波が逆向きに進んで干渉し、定在波を形成する際の基本的な性質について問うています。
- 定在波の振動数:
- 定在波を構成する各点（節を除く）は単振動を行いますが、その振動数は元の進行波の振動数と同一です。
- 定在波の腹における振幅:
- 腹は、2つの波が常に強め合う（変位の絶対値が最大になるように重なる）点です。
- 元の進行波の振幅が \(A_0\) であるため、腹における合成波の振幅は、それぞれの振幅の和 \(A_0 + A_0 = 2A_0\) となります。
- 定在波の節と節の間隔:
- 節は、2つの波が常に弱め合い、全く振動しない点です。
- 定在波において、隣り合う節と節の間隔は、元の進行波の波長の半分 (\(\lambda_0/2\)) になります。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 腹の位置での振動について,振動数f [Hz と振幅 A [m]を求めよ。
問われている内容の明確化:
定在波の腹における媒質の振動数 \(f\) と振幅 \(A\) を、元の波の振動数 \(f_0\) と振幅 \(A_0\) を用いて表します。
具体的な解説と計算手順:
振動数 \(f\):
定在波を形成する媒質の各点は、元の波と同じ振動数で単振動します。元の波の振動数は \(f_0\) です。
物理的原理: 定在波の振動数
定在波の各点（節を除く）の振動数は、それを構成する元の進行波の振動数に等しい。
したがって、腹の位置での振動数は、
$$f = f_0$$
振幅 \(A\):
腹は、定在波の中で最も大きく振動する点です。これは、2つの進行波が常に強め合うように重なるためです。元の進行波の振幅は \(A_0\) です。
腹における振幅は、それぞれの波の振幅の和となります。
物理的原理: 定在波の腹の振幅
振幅 \(A_0\) の2つの同一の波が逆向きに進んで定在波を形成するとき、腹における振幅は \(2A_0\) となる。
したがって、腹の位置での振幅は、
$$A = A_0 + A_0 = 2A_0$$
計算方法の平易な説明:
- 振動数: 定在波がブルブルと震える速さ（振動数）は、元になっている2つの波の震える速さ \(f_0\) と同じです。だから \(f = f_0\)。
- 振幅: 定在波の「腹」とは、一番大きく揺れる場所のことです。元の波の揺れの幅（振幅）が \(A_0\) だとすると、腹では2つの波が力を合わせるので、揺れの幅は \(A_0 + A_0 = 2A_0\) と、元の波の2倍になります。だから \(A = 2A_0\)。
この設問における重要なポイント:
- 定在波の振動数は、元の進行波の振動数 \(f_0\) に等しい。
- 定在波の腹における振幅は、元の進行波の振幅 \(A_0\) の2倍、つまり \(2A_0\) となる。
腹の位置での振動数: \(f = f_0 \, \text{[Hz]}\)
腹の位置での振幅: \(A = 2A_0 \, \text{[m]}\)
(2) 節と節の間隔 d は何m か。
問われている内容の明確化:
定在波において、全く振動しない点である「節」と、隣り合う「節」との間の距離 \(d\) を、元の波の波長 \(\lambda_0\) を用いて表します。
具体的な解説と計算手順:
定在波では、節は空間的に固定された点であり、等間隔に並びます。隣り合う節と節の間隔は、元の進行波の波長 \(\lambda_0\) の半分になります。
物理的原理: 定在波の節の間隔
定在波において、隣り合う節と節（または腹と腹）の間隔は、元の進行波の波長 \(\lambda_0\) の半分 (\(\lambda_0/2\)) である。
したがって、節と節の間隔 \(d\) は、
$$d = \frac{\lambda_0}{2}$$
計算方法の平易な説明:
定在波には、全く揺れない「節」という場所があります。これらの節は、等しい間隔で並んでいます。
この「節」と「隣の節」との間の距離 \(d\) は、元の波の「波1つ分の長さ（波長 \(\lambda_0\)）」のちょうど半分になります。
だから、\(d = \frac{\lambda_0}{2}\)。
この設問における重要なポイント:
- 定在波の隣り合う節と節の間隔は、元の進行波の波長 \(\lambda_0\) の半分である \(\lambda_0/2\)。
- 同様に、隣り合う腹と腹の間隔も \(\lambda_0/2\)、隣り合う節と腹の間隔は \(\lambda_0/4\) であることも重要。
節と節の間隔 \(d\) は \(\displaystyle d = \frac{\lambda_0}{2} \, \text{[m]}\) である。
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 定在波（定常波）: 同じ振幅・振動数・波長を持つ2つの波が互いに逆向きに進んで重なり合うことで生じる、空間的に進行しない波。
- 腹 (Antinode): 定在波において振幅が最大になる点。元の波の振幅を \(A_0\) とすると、腹の振幅は \(2A_0\)。
- 節 (Node): 定在波において全く振動しない点（振幅 \(0\)）。
- 定在波の振動数: 定在波の各点（節を除く）の振動数は、元の進行波の振動数 \(f_0\) と同じ。
- 定在波の空間的パターン:
- 隣り合う節と節の間隔: \(\lambda_0/2\)
- 隣り合う腹と腹の間隔: \(\lambda_0/2\)
- 隣り合う節と腹の間隔: \(\lambda_0/4\)
ここで \(\lambda_0\) は元の進行波の波長。
- 重ね合わせの原理: 複数の波が媒質中で出会うとき、各点の変位は個々の波による変位の和となる。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 元の波の特性把握: 定在波を理解するには、まずそれを形成する元の進行波の振幅、振動数、波長を明確にすることが基本。
- 定在波の構造の視覚化: 腹と節が交互に \(\lambda_0/4\) の間隔で配置される様子をイメージすると理解しやすい。
- エネルギーの伝播: 進行波はエネルギーを運ぶが、理想的な定在波はエネルギーを一方向に運ばない（エネルギーは節と腹の間で局在的に振動する）。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 腹の振幅の誤認: 定在波の腹の振幅を、元の進行波の振幅 \(A_0\) と同じだと勘違いする（正しくは \(2A_0\)）。
- 節と節の間隔の誤認: 節と節の間隔を \(\lambda_0\) と間違える（正しくは \(\lambda_0/2\)）。
- 定在波の「波長」: 定在波のパターンが繰り返す空間的な長さ（例えば、腹から次の腹までの距離の2倍）は、元の進行波の波長 \(\lambda_0\) に等しい。
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