「センサー物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 2】Step3

12 速度の分解

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、速度というベクトル量を「合成」と「分解」という2つの側面から扱う、ベクトル演算の基本問題です。前半では速度の成分から全体の速さと向きを求め、後半では全体の速さと向きから成分を求めます。
この問題の核心は、速度の水平成分、鉛直成分、そして合成された速度の大きさが、直角三角形の3辺に対応するという幾何学的な関係を正しく理解し、三平方の定理と三角比を適用することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成と分解」です。物理におけるベクトル量の基本的な扱い方を問う問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

前半：速度の大きさと向きの計算

思考の道筋とポイント
速度の水平成分と鉛直成分が与えられている状況で、合成された速度の大きさ（速さ）と、その向き（水平方向とのなす角）を求める問題です。速度はベクトル量であり、水平成分と鉛直成分は互いに直交しています。したがって、この2つの成分と合成速度の大きさ・向きの関係は、直角三角形の辺と角の関係に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 幾何学的イメージ: 速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) は、速度ベクトル \(\vec{v}\) を対角線とする長方形の辺の長さと見なせます。
• 三平方の定理の適用: 速度の大きさ \(v\) は、底辺が \(v_x\)、高さが \(v_y\) の直角三角形の斜辺の長さに相当します。したがって、三平方の定理 \(v^2 = v_x^2 + v_y^2\) を用いて計算できます。
• タンジェントの定義: 速度の向きが水平方向となす角を \(\theta\) とすると、\(\tan\theta\) は「高さ」(\(v_y\))を「底辺」(\(v_x\))で割った値に等しくなります。

具体的な解説と立式
水平方向をx軸、鉛直方向をy軸とします。問題文より、速度のx成分は \(v_x = 12 \text{ m/s}\)、y成分は \(v_y = 9.0 \text{ m/s}\) です。
求める速度の大きさ \(v\) は、三平方の定理を用いて次のように表されます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \cdots ① $$
また、速度の向きが水平方向となす角を \(\theta\) とすると、そのタンジェントは三角比の定義から次のように表されます。
$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} \quad \cdots ② $$

まず、式①を用いて速度の大きさ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{12^2 + (9.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{144 + 81} \\[2.0ex]&= \sqrt{225} \\[2.0ex]&= 15 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を用いて \(\tan\theta\) の値を計算します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{9.0}{12} \\[2.0ex]&= \frac{3}{4} \\[2.0ex]&= 0.75
\end{aligned}
$$

ヘリコプターの「真の速さ」は、地面と平行に進む速さ（水平成分）と真上に進む速さ（鉛直成分）から、三平方の定理を使って計算できます。また、進む向きの「傾き具合」(\(\tan\theta\))は、「鉛直方向の速さ」を「水平方向の速さ」で割り算することで求められます。

ヘリコプターの速度の大きさは \(15 \text{ m/s}\)、\(\tan\theta\) の値は \(0.75\) です。
速度の大きさ \(15 \text{ m/s}\) は、成分である \(12 \text{ m/s}\) や \(9.0 \text{ m/s}\) よりも大きい値となっており、物理的に妥当です。ちなみに、辺の比が \(v_y : v_x : v = 9.0 : 12 : 15 = 3 : 4 : 5\) となっており、これは有名な直角三角形の辺の比です。

後半：速度の成分への分解

思考の道筋とポイント
前半とは逆に、速度の大きさ（速さ）とその向き（角度）が与えられており、そこから水平成分と鉛直成分を求める問題です。これは、1つのベクトルを互いに直交する2つの方向に「分解」する操作に相当します。
この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解: 与えられた速度ベクトル \(\vec{v’}\) を、直角三角形の「斜辺」と見なします。
• 三角比の利用: 水平成分 \(v_x’\) は「底辺」に相当し、\(v_x’ = v’ \cos 30^\circ\) で求められます。鉛直成分 \(v_y’\) は「高さ」に相当し、\(v_y’ = v’ \sin 30^\circ\) で求められます。

具体的な解説と立式
ヘリコプターの速度の大きさを \(v’ = 30 \text{ m/s}\)、水平方向となす角を \(30^\circ\) とします。求める水平成分を \(v_x’\)、鉛直成分を \(v_y’\) とすると、三角比の定義から以下の関係が成り立ちます。
$$ v_x’ = v’ \cos 30^\circ \quad \cdots ① $$
$$ v_y’ = v’ \sin 30^\circ \quad \cdots ② $$

まず、式①を用いて水平成分 \(v_x’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_x’ &= 30 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 15\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、解答の有効数字（2桁）に合わせます。
$$
\begin{aligned}
v_x’ &\approx 15 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 25.95 \\[2.0ex]&\approx 26 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を用いて鉛直成分 \(v_y’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y’ &= 30 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 30 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 15 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

斜め \(30^\circ\) の向きに \(30 \text{ m/s}\) という速さを、「水平方向の速さ」と「鉛直方向の速さ」の2つに分けます。これは、元の速さに三角比（コサインとサイン）をそれぞれ掛け算することで計算できます。

速度の水平成分は約 \(26 \text{ m/s}\)、鉛直成分は \(15 \text{ m/s}\) です。
分解された各成分の大きさは、元の速度の大きさ \(30 \text{ m/s}\) よりも小さくなっています。これは、1つの力を複数の方向に分解すると各分力が元の力より小さくなる（または等しくなる）のと同じで、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ベクトルの合成と分解の概念:
  • 核心: この問題の全ての計算は、「速度はベクトル量である」という一点に集約されます。ベクトルは大きさと向きを持ち、互いに直交する成分に分解したり、逆に成分から全体を合成したりできます。
  • 理解のポイント: 水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) は、合成された速度 \(\vec{v}\) との間に、直角三角形の関係をなします。この幾何学的な関係を物理現象に適用することが、この問題の最も重要なポイントです。
    • 合成: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) （三平方の定理）
    • 分解: \(v_x = v \cos\theta\), \(v_y = v \sin\theta\) （三角比）

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 力の分解・合成: 床に置かれた物体を斜めに引く力、斜面上の物体に働く重力など、力を水平・鉛直方向や斜面方向・垂直方向に分解・合成する問題は、全く同じ考え方で解けます。
  • 放物運動: 初速度を水平成分と鉛直成分に分解して、それぞれの方向の運動を独立に考える放物運動の解析は、この問題の「分解」の考え方が基礎となります。
  • 相対速度: 川を渡る船の問題などで、船の速度と川の流れの速度を合成して、岸から見た船の実際の速度を求める問題も、ベクトルの合成という点で共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ベクトル量を見抜く: 問題で扱われている物理量がベクトル（速度、加速度、力など）か、スカラー（質量、エネルギー、時間など）かを見極めます。
  2. 座標軸を設定する: ベクトルを扱う際は、水平・鉛直方向など、互いに直交する座標軸を設定すると、成分の計算が容易になります。
  3. 図を描いて関係を可視化する: ベクトルの矢印と、その成分がなす直角三角形を図に描くことで、三平方の定理や三角比をどの部分に適用すればよいかが一目瞭然になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\sin\) と \(\cos\) の取り違え:
  • 誤解: ベクトルを分解する際に、水平成分は常に \(\cos\)、鉛直成分は常に \(\sin\) だと暗記してしまう。角度 \(\theta\) がどの角を指しているかによって、\(\sin\) と \(\cos\) の使い分けは変わります。
  • 対策: 必ず図を描き、「\(\theta\) を挟む辺が \(\cos\)、挟まない辺が \(\sin\)」と覚えるのが確実です。例えば、角度が鉛直方向から測られている場合は、鉛直成分が \(\cos\)、水平成分が \(\sin\) になります。
• 三平方の定理の誤用:
  • 誤解: 成分の2乗の和が、合成ベクトルの「2乗」になることを忘れ、\(v = v_x + v_y\) のように単純な足し算をしてしまう。
  • 対策: ベクトルは向きを持つため、スカラーのように単純な足し算はできません。必ず「2乗の和の平方根」という手順を意識しましょう。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 計算途中で出てきた数値をそのまま使ったり、最終的な答えの桁数を問題文の指示に合わせなかったりする。
  • 対策: 問題文で与えられている数値の有効数字を確認し（この問題では2桁）、最終的な答えもそれに合わせる習慣をつけましょう。特に、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) のような近似値を使う際は、計算結果を丸めるタイミングに注意が必要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 速度のベクトル図: 水平右向きの矢印（\(v_x = 12\)）と、その先端から鉛直上向きの矢印（\(v_y = 9.0\)）を描きます。始点と終点を結ぶ斜めの矢印が、合成された速度 \(\vec{v}\) を表します。この直角三角形を見ることで、三平方の定理や \(\tan\theta\) の意味が直感的に理解できます。
  • 分解のイメージ: 逆に、斜め上向きの矢印（\(v’ = 30\), 角度 \(30^\circ\)）を描き、その矢印を対角線とする長方形を描きます。その長方形の横の辺が水平成分 \(v_x’\)、縦の辺が鉛直成分 \(v_y’\) となります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 矢印の長さ: ベクトルの大きさを反映して、矢印の長さをある程度正確に描くと、大小関係が視覚的に把握しやすくなります。（例: \(v_x=12\) の矢印は \(v_y=9.0\) の矢印より長く描く）
  • 角度を明確に: どの角が \(\theta\) や \(30^\circ\) なのかを明確に図に書き込みます。これにより、\(\sin\) と \(\cos\) の選択ミスを防ぎます。
  • 成分は点線で: 合成ベクトルを実線で描き、分解した成分を点線で描くと、どれが元のベクトルでどれが成分なのかを区別しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 三平方の定理 (\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)):
  • 選定理由: 互いに直交する2つの成分の大きさから、合成されたベクトルの大きさを求めるため。
  • 適用根拠: 速度ベクトルとその成分がなす幾何学的な関係が、直角三角形のそれと全く同じだからです。これはユークリッド幾何学の基本的な定理を物理現象に適用したものです。
• 三角比 (\(\tan\theta = v_y/v_x\), \(v_x = v\cos\theta\), \(v_y = v\sin\theta\)):
  • 選定理由: ベクトルの「大きさ」と「向き（角度）」と「成分」という3つの要素を相互に変換するため。
  • 適用根拠: 三平方の定理と同様に、ベクトルとその成分がなす直角三角形において、辺と角の間に成り立つ数学的な関係を利用しています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 前半（合成）:
   • 戦略: 与えられた2成分から、速度の大きさと向きを求める。
   • フロー: ①水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) を確認 → ②三平方の定理の式 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を立て、数値を代入して \(v\) を計算 → ③\(\tan\theta\) の定義式 \(\tan\theta = v_y/v_x\) を立て、数値を代入して値を計算。
2. 後半（分解）:
   • 戦略: 与えられた速度の大きさと向きから、2つの成分を求める。
   • フロー: ①速度の大きさ \(v’\) と角度 \(\theta’\) を確認 → ②水平成分の式 \(v_x’ = v’ \cos\theta’\) を立て、数値を代入して \(v_x’\) を計算 → ③鉛直成分の式 \(v_y’ = v’ \sin\theta’\) を立て、数値を代入して \(v_y’\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名な辺の比を覚えておく: \(3:4:5\) や \(5:12:13\) といった有名な直角三角形の辺の比、および \(1:1:\sqrt{2}\) (\(45^\circ\)) や \(1:2:\sqrt{3}\) (\(30^\circ, 60^\circ\)) といった三角定規の辺の比を覚えておくと、計算を大幅に簡略化でき、検算にも役立ちます。前半の問題は \(9:12:v = 3 \times 3 : 3 \times 4 : v\) なので、\(v = 3 \times 5 = 15\) と暗算で求めることも可能です。
• 三角関数の値の正確性: \(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\) といった基本的な値を正確に使いこなすことが必須です。
• 単位の確認: 計算結果の単位が、求められている物理量の単位（この場合は \(\text{m/s}\)）と一致しているか、\(\tan\theta\) のように単位がない量になっているかを確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 合成: 合成された速度の大きさ \(v=15\text{ m/s}\) は、各成分 \(v_x=12\text{ m/s}\), \(v_y=9.0\text{ m/s}\) のどちらよりも大きい。これは直角三角形の斜辺が他の2辺より必ず長くなることと対応しており、妥当です。
  • 分解: 分解された成分 \(v_x’ \approx 26\text{ m/s}\), \(v_y’ = 15\text{ m/s}\) は、どちらも元の速度の大きさ \(v’=30\text{ m/s}\) より小さい。これも直角三角形の斜辺以外の辺は斜辺より短くなることに対応しており、妥当です。
• 再計算による確認:
  • 後半で求めた成分を使って、逆に大きさを計算してみる検算が有効です。\(v’ = \sqrt{(15\sqrt{3})^2 + 15^2} = \sqrt{225 \times 3 + 225} = \sqrt{225 \times 4} = \sqrt{900} = 30 \text{ [m/s]}\)。元の大きさと一致するため、計算が正しいことが確認できます。

13 速度の合成

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、川を渡る船の運動を題材とした「速度の合成」に関する典型問題です。静水での船の速度と川の流れの速度という2つのベクトルを合成し、岸から見た実際の船の運動（合成速度）を考える能力が問われます。
この問題の核心は、「岸から見た船の速度」が「静水での船の速度」と「川の流れの速度」のベクトル和で与えられることを理解し、目的に応じて（(1)最短時間、(2)特定の向き）、速度の成分を考えたり、ベクトル図を利用したりすることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成（相対速度）」です。動く座標系（流れる川）の上をさらに物体（船）が動く状況を、静止した座標系（岸）からどう見えるか、という視点で考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
対岸へ到達するまでの時間を最短にするには、どうすればよいかを考える問題です。時間は「距離 ÷ 速さ」で求められます。川を渡るという目的において、渡るべき距離は川幅 \(d=60\text{ m}\) で一定です。したがって、時間を最短にするには、「川を横切る方向の速さ」を最大にする必要があります。
この設問における重要なポイント

• 運動の独立性: 川を横切る運動と、川に沿って流される運動は、互いに独立して考えることができます。
• 到達時間を決める要因: 対岸に到達する、という現象は、川を横切る方向の運動によってのみ達成されます。したがって、到達時間は「川幅」と「川を横切る方向の速度成分」だけで決まります。
• 横切る速度の最大化: 川を横切る方向の速度成分は、静水での船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) の成分によってのみもたらされます（川の流れ \(\vec{v}_{\text{川}}\) はこの方向の成分を持ちません）。\(v_{\text{船}}\) の大きさは一定なので、その全てを川を横切る方向に向けるのが最も効率的です。

具体的な解説と立式
川の流れに垂直な方向（対岸方向）をy軸、平行な方向（下流方向）をx軸とします。
岸から見た船の速度（合成速度）のy成分を \(v_y\) とすると、対岸に到達するまでの時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{d}{v_y} $$
と表せます。\(d\) は一定なので、\(t\) を最小にするには、分母の \(v_y\) を最大にする必要があります。

合成速度のy成分 \(v_y\) は、静水での船の速度のy成分 \(v_{\text{船},y}\) と川の流れの速度のy成分 \(v_{\text{川},y}\) の和です。
$$ v_y = v_{\text{船},y} + v_{\text{川},y} $$
ここで、\(v_{\text{船},y} = v_{\text{船}} \sin\theta = 4.0 \sin\theta\)、そして川の流れはy方向の成分を持たないので \(v_{\text{川},y} = 0\) です。
したがって、
$$ v_y = 4.0 \sin\theta $$
\(v_y\) を最大にするには、\(\sin\theta\) が最大値である \(1\) をとればよいので、\(\theta = 90^\circ\) となります。
このときの到達時間 \(t_1\) は、
$$ t_1 = \frac{d}{v_{\text{船}} \sin 90^\circ} $$
と立式できます。

まず、時間を最短にするための角度 \(\theta\) を求めます。
\(\sin\theta\) が最大値 \(1\) をとるときなので、
$$ \theta = 90^\circ $$
次に、このときの到達時間 \(t_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{60}{4.0 \times \sin 90^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{60}{4.0 \times 1} \\[2.0ex]&= 15 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

川を一番速く渡るには、船の持つスピードの全てを、まっすぐ対岸に向けるのが一番です。つまり、船のへさきを川の流れに対して垂直（\(90^\circ\)）に向けます。このとき、船は川に流されながら斜めに進みますが、対岸に到達するまでの時間自体はこれが最短になります。時間は、川幅を船の本来の速さで割るだけで計算できます。

時間を最短にするための角度は \(\theta = 90^\circ\)、そのときの到達時間は \(15 \text{ s}\) です。
船の持つ速さ \(4.0 \text{ m/s}\) を全て川を渡るために使った場合が、最も効率が良い（時間が短い）というのは直感的にも理解しやすく、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(\theta=60^\circ\) という特定の向きにへさきを向けたときの、岸から見た船の速さ（合成速度の大きさ）と到達時間を求める問題です。静水での船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) と川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\) をベクトルとして正しく合成することが鍵となります。ここでは、各速度を成分に分解して計算する方法で解説します。
この設問における重要なポイント

• 座標軸の設定: 川の流れの向きをx軸、川を横切る向きをy軸と設定すると、計算が体系的に行えます。
• 成分ごとの合成: 合成速度のx成分は、各速度のx成分の和になります。y成分も同様です。
• 合成速度の大きさ: 各成分が求まれば、三平方の定理を使って合成速度の大きさを計算できます。
• 到達時間の計算: 到達時間は、(1)と同様に、川幅を「合成速度のy成分」で割ることで求められます。

具体的な解説と立式
(1)と同様に、川の流れの向きをx軸、対岸の向きをy軸とします。
静水での船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) の各成分は、
$$ v_{\text{船},x} = v_{\text{船}} \cos 60^\circ $$
$$ v_{\text{船},y} = v_{\text{船}} \sin 60^\circ $$
川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\) の各成分は、
$$ v_{\text{川},x} = v_{\text{川}} = 4.0 \text{ [m/s]} $$
$$ v_{\text{川},y} = 0 $$
岸から見た合成速度 \(\vec{v}\) の各成分 \(v_x, v_y\) は、これらの和なので、
$$ v_x = v_{\text{船},x} + v_{\text{川},x} = v_{\text{船}} \cos 60^\circ + v_{\text{川}} \quad \cdots ① $$
$$ v_y = v_{\text{船},y} + v_{\text{川},y} = v_{\text{船}} \sin 60^\circ \quad \cdots ② $$
合成速度の大きさ（速さ） \(v\) は、三平方の定理より、
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \cdots ③ $$
対岸までの到達時間 \(t_2\) は、
$$ t_2 = \frac{d}{v_y} \quad \cdots ④ $$
と立式できます。

まず、①, ②式から合成速度の各成分を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_x &= 4.0 \times \cos 60^\circ + 4.0 \\[2.0ex]&= 4.0 \times \frac{1}{2} + 4.0 \\[2.0ex]&= 2.0 + 4.0 = 6.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
v_y &= 4.0 \times \sin 60^\circ \\[2.0ex]&= 4.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 2\sqrt{3} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、③式を用いて合成速度の大きさ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(6.0)^2 + (2\sqrt{3})^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{36 + 12} \\[2.0ex]&= \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} \\[2.0ex]&= 4\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁に合わせます。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 4 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 6.92 \\[2.0ex]&\approx 6.9 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
最後に、④式を用いて到達時間 \(t_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{60}{v_y} \\[2.0ex]&= \frac{60}{2\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} \\[2.0ex]&= 10\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁に合わせます。
$$
\begin{aligned}
t_2 &\approx 10 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 17.3 \\[2.0ex]&\approx 17 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

船の進む向きが斜め \(60^\circ\) の場合、船の速さを「下流方向」と「対岸方向」に分けます。岸から見た実際の速さは、この「下流方向の速さ」に「川の流れの速さ」を足したものと、「対岸方向の速さ」を合成して、三平方の定理で計算します。対岸に着くまでの時間は、川幅を「対岸方向の速さ」で割ることで求められます。

岸から見た船の速さは約 \(6.9 \text{ m/s}\)、対岸への到達時間は約 \(17 \text{ s}\) です。
到達時間 \(17 \text{ s}\) は、(1)で求めた最短時間 \(15 \text{ s}\) よりも長くなっています。これは、船の速さの一部しか川を渡るために使われていないため、時間が余計にかかることを意味しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成:
  • 核心: 岸から見た船の運動は、船自身の運動（静水での速度）と、川全体の運動（流れの速度）を足し合わせたものとして記述されます。この「ベクトルの足し算」が速度の合成であり、この問題の全ての現象を支配する根本原理です。数式で表現すると \(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\) となります。
• 運動の独立性（速度の分解）:
  • 核心: 川を横切る方向（対岸方向）の運動と、川に沿って流れる方向（下流方向）の運動は、互いに影響を与えません。このため、2つの方向の運動を独立して考えることができます。
  • 理解のポイント: (1)の「最短到達時間」は、川を横切る方向の速度成分だけで決まります。下流にどれだけ流されようと、対岸に到達するまでの時間には影響しない、という点が極めて重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 飛行機の対気速度（風がないときの速度）と風の速度を合成して、地上から見た実際の速度（対地速度）を求める問題。川が風に、船が飛行機に置き換わっただけで、物理的な構造は全く同じです。
  • 動く歩道上の人の運動: 人が歩く速度と動く歩道の速度を合成して、床から見た人の実際の速度を求める問題。
  • 最短距離で対岸に渡る問題: この問題の(1)は「最短時間」でしたが、「最短距離」（つまり、真向かいの点に到達する）を問う問題も頻出です。この場合は、合成速度の川の流れ方向の成分がゼロになるように、船を上流側に向けて進む必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準となる座標系（誰から見るか）を明確にする: 「岸から見るのか」「水（川）と一緒に動く人から見るのか」を意識します。問題で問われているのは通常「岸から見た速度（合成速度）」です。
  2. 速度ベクトルを図示する: \(\vec{v}_{\text{船}}\)、\(\vec{v}_{\text{川}}\)、\(\vec{v}_{\text{合成}}\) の3つのベクトルを、始点をそろえるか、ベクトルの和の形（つなぎ合わせる形）で図示します。これにより、幾何学的な関係が明確になります。
  3. 目的を明確にする: 「最短時間」なのか、「最短距離」なのか、あるいは特定の方向に進むのかによって、立てるべき条件が変わります。
     • 最短時間 → 川を横切る速度成分を最大化
     • 最短距離 → 川に沿った速度成分をゼロ化

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 最短時間と最短距離の混同:
  • 誤解: 川を最短時間で渡るためには、最短距離で進む（真向かいに着く）のが良いと考えてしまう。
  • 対策: 「時間」と「距離」は別物だと明確に区別します。「最短時間」は川を横切る速度成分の最大化（\(\theta=90^\circ\)）、「最短距離」は川に流される速度を打ち消すこと（合成速度が対岸方向を向く）が目的です。両者は一般に両立しません。
• 角度 \(\theta\) の定義の勘違い:
  • 誤解: 問題で定義された角度 \(\theta\) が、どのベクトル間の角なのかを正確に把握しないまま計算してしまう。この問題では「川の流れ」と「船のへさき」の間の角です。
  • 対策: 必ず図を描き、問題文で定義された角度を正確に記入しましょう。余弦定理を使う場合、三角形の内角は \(180^\circ – \theta\) になるなど、図を描くことで間違いを防げます。
• 合成速度の大きさの計算ミス:
  • 誤解: \(v = v_{\text{船}} + v_{\text{川}}\) のように、ベクトルの大きさを単純に足してしまう。
  • 対策: 速度はベクトルなので、向きを考慮した合成が必要です。成分分解からの三平方の定理、または余弦定理を用いるのが正しい方法です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ベクトル和の図: 川の流れのベクトル \(\vec{v}_{\text{川}}\) の終点から、船のへさきの向きのベクトル \(\vec{v}_{\text{船}}\) を描きます。すると、\(\vec{v}_{\text{川}}\) の始点から \(\vec{v}_{\text{船}}\) の終点までを結んだベクトルが、岸から見た合成速度 \(\vec{v}\) となります。この「ベクトルの三角形」を描くことで、全ての速度の関係性が一目でわかります。
  • (1)最短時間のイメージ: 船の持つ全ての力を対岸に向けるイメージ。「下流に流されるのは仕方ない、とにかく全力で対岸を目指す」という状況です。
  • (2)最短距離のイメージ（応用）: 川の流れに逆らって少し上流にへさきを向けることで、流される分を相殺し、結果的に真横に進むイメージです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 3つのベクトルを区別する: \(\vec{v}_{\text{船}}\), \(\vec{v}_{\text{川}}\), \(\vec{v}\) を、実線、点線、波線などで描き分けると、混乱を防げます。
  • 座標軸を書き込む: 川の流れ方向をx軸、対岸方向をy軸と明記することで、成分分解の計算ミスを減らせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\)):
  • 選定理由: 複数の運動が重なっている状況で、静止系から見た最終的な運動を記述するための基本法則だから。
  • 適用根拠: ガリレイの相対性原理に基づき、ある座標系での運動は、別の座標系から見ると、その座標系自体の運動とのベクトル和として観測される、という物理学の基本原理を適用しています。
• 余弦定理:
  • 選定理由: (2)の別解のように、ベクトルの大きさが2つと、その間の角が分かっているときに、合成ベクトルの大きさを直接求めるための数学的なツールとして有効だから。
  • 適用根拠: ベクトルが作る三角形の辺と角の関係を記述する、幾何学の定理です。
• 等速直線運動の式 (\(d = v_y t\)):
  • 選定理由: 川を横切る方向の運動に着目したとき、その方向の速度成分は一定であるため、単純な「距離＝速さ×時間」の関係式を適用できるから。
  • 適用根拠: 運動を直交する方向に分解することで、複雑な運動を単純な等速直線運動の組み合わせとして扱うことができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 最短時間の問題:
   • 戦略: 到達時間は川を横切る速度成分で決まることに着目し、その速度成分を最大化する。
   • フロー: ①到達時間の式 \(t = d/v_y\) を立てる → ②\(v_y\) を \(\theta\) で表す (\(v_y = v_{\text{船}}\sin\theta\)) → ③\(v_y\) が最大になる条件 (\(\sin\theta=1 \rightarrow \theta=90^\circ\)) を求める → ④そのときの \(v_y\) を使って \(t_1\) を計算。
2. (2) 特定の角度の問題:
   • 戦略: 与えられた角度で速度を合成し、合成速度の大きさと、川を横切る成分を求める。
   • フロー（成分分解）: ①各速度をx, y成分に分解 → ②x成分同士、y成分同士を足して合成速度の成分 \(v_x, v_y\) を求める → ③三平方の定理で合成速度の大きさ \(v\) を計算 → ④川幅 \(d\) と \(v_y\) から到達時間 \(t_2\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)の計算で、\(v_x = 4\cos60^\circ+4\), \(v_y = 4\sin60^\circ\) のように、すぐに数値を代入するのではなく、まずは文字式で関係を整理すると見通しが良くなります。
• 三角関数の値と有理化: \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\) などの値を正確に使うこと、そして計算過程で \(\frac{30}{\sqrt{3}}\) のような形が出てきたときに、正しく有理化 (\(10\sqrt{3}\)) することが重要です。
• 近似値の扱い: \(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入するのは、計算の最後の段階で行うようにしましょう。途中で代入すると、誤差が大きくなる可能性があります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)と(2)の時間の比較: (2)の到達時間 \(t_2 \approx 17\text{ s}\) は、(1)の最短時間 \(t_1 = 15\text{ s}\) よりも長い。へさきを斜めに向けると、川を渡るための速度成分が減るため、時間がかかるのは当然です。この大小関係は妥当です。
  • (2)の速さ: 合成速度 \(v \approx 6.9\text{ m/s}\) は、船の速さ \(4.0\text{ m/s}\) や川の速さ \(4.0\text{ m/s}\) よりも大きい。2つの速度が合成され、特に下流方向に加速されているため、速さが増すのは妥当です。
• 別解との比較:
  • (2)の合成速度の大きさは、成分分解と余弦定理の2つの方法で求められました。両者で \(v = 4\sqrt{3}\) という全く同じ結果が得られたことは、計算の正しさを強力に裏付けています。

14 相対速度

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、動いている観測者（人）が観測する物体の運動（風）を扱う「相対速度」の典型問題です。人が歩く場合と走る場合の2つの状況から、静止している地面に対する「実際の風の速度」を特定することが求められます。
この問題の核心は、相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} – \vec{v}_{\text{自分}}\) を正しく理解し、2つの異なる観測条件から未知のベクトル（実際の風の速度）を決定することです。解法には、ベクトル図を用いた幾何学的なアプローチと、成分計算による代数的なアプローチがあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。2つの観測情報から、1つの未知なベクトルを決定するパズルのような問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

風の速さの計算

思考の道筋とポイント
この問題は、模範解答で示されているように、ベクトル図を用いて幾何学的に解くのが非常に見通しが良いです。相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{相対風}} = \vec{v}_{\text{風}} – \vec{v}_{\text{人}}\) を、\(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{相対風}} + \vec{v}_{\text{人}}\) と変形して考えます。
2つの観測で「実際の風の速度 \(\vec{v}_{\text{風}}\)」は共通です。この共通のベクトル \(\vec{v}_{\text{風}}\) を、2通りの「ベクトル和」で表現し、それを1つの図にまとめることで、未知のベクトルの終点が特定できます。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の式の変形: \(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{相対風}} + \vec{v}_{\text{人}}\) の関係式を正しく理解し、作図に利用します。
• 共通ベクトルの利用: 2つの観測から得られるベクトル図は、共通のベクトル \(\vec{v}_{\text{風}}\) を持ちます。このベクトルの始点と終点を共有させることで、すべてのベクトルを1つの図にまとめることができます。
• 図形の性質の利用: 作図によって現れる図形（この問題では直角三角形）の辺の長さの関係から、求めたい速さを計算します。
• 風の向きの解釈: 「北東から吹く」は「南西へ向かう」ベクトル、「北から吹く」は「南へ向かう」ベクトルを意味します。この変換を間違えないことが重要です。

具体的な解説と立式
相対速度の基本式は、
$$ \vec{v}_{\text{相対風}} = \vec{v}_{\text{風}} – \vec{v}_{\text{人}} $$
これを変形すると、
$$ \vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人}} + \vec{v}_{\text{相対風}} $$
となります。この式は、「実際の風の速度」が「人の速度」と「人が感じる風の速度」のベクトル和で表されることを示しています。

観測1: 人の速度を \(\vec{v}_{\text{人1}}\)、相対風速を \(\vec{v}_{\text{相対1}}\) とすると、
$$ \vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人1}} + \vec{v}_{\text{相対1}} \quad \cdots ① $$
観測2: 人の速度を \(\vec{v}_{\text{人2}}\)、相対風速を \(\vec{v}_{\text{相対2}}\) とすると、
$$ \vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人2}} + \vec{v}_{\text{相対2}} \quad \cdots ② $$
①と②の \(\vec{v}_{\text{風}}\) は同じベクトルなので、この2つの関係を1つの図に描くことを考えます。
東向きをx軸正、北向きをy軸正とする座標を考え、ベクトルの始点を原点Oに置きます。
\(\vec{v}_{\text{風}}\) の終点をPとすると、\(\vec{OP} = \vec{v}_{\text{風}}\) です。
人の速度ベクトルの終点をそれぞれ \(A_1, A_2\) とすると、\(\vec{OA_1} = \vec{v}_{\text{人1}}\), \(\vec{OA_2} = \vec{v}_{\text{人2}}\) です。
このとき、①, ②の関係から、\(\vec{A_1P} = \vec{v}_{\text{相対1}}\), \(\vec{A_2P} = \vec{v}_{\text{相対2}}\) となります。
点Pは、「点 \(A_1\) を通り南西向きの直線」と「点 \(A_2\) を通り南向きの直線」の交点として求まります。

東向きをx軸正、北向きをy軸正とし、原点をO(0, 0)とします。

• 観測1: 人の速度 \(\vec{v}_{\text{人1}}\) は西向きに \(1.0 \text{ m/s}\)。よって、点 \(A_1\) の座標は \((-1.0, 0)\)。
• 観測2: 人の速度 \(\vec{v}_{\text{人2}}\) は西向きに \(4.0 \text{ m/s}\)。よって、点 \(A_2\) の座標は \((-4.0, 0)\)。

求める実際の風の速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{風}}\) の終点をP\((x, y)\)とします。

• 観測2より、相対風速 \(\vec{v}_{\text{相対2}} = \vec{A_2P}\) は南向きです。これは、Pのx座標が \(A_2\) のx座標と同じであることを意味します。
  $$ x = -4.0 $$
• 観測1より、相対風速 \(\vec{v}_{\text{相対1}} = \vec{A_1P}\) は南西向きです。南西向きとは、x成分とy成分が共に負で、その大きさが等しいことを意味します。
  ベクトルの成分は \(\vec{A_1P} = (x_P – x_{A1}, y_P – y_{A1}) = (-4.0 – (-1.0), y – 0) = (-3.0, y)\) となります。
  このベクトルが南西向きなので、y成分はx成分と同じ大きさで負の値をとります。
  $$ y = -3.0 $$

したがって、点Pの座標は \((-4.0, -3.0)\) と求まります。
実際の風の速度ベクトルは \(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{OP}\) なので、その大きさ（速さ）は原点Oと点Pの距離です。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{風}} &= |\vec{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(-4.0)^2 + (-3.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{16 + 9} \\[2.0ex]&= \sqrt{25} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「実際の風」の正体は、人がどんな速さで動いても変わらないはずです。この変わらない「実際の風」をゴール地点(P)とします。人が「時速1kmで西に歩いた地点(A1)」からゴール(P)を見ると「南西」に見え、人が「時速4kmで西に走った地点(A2)」からゴール(P)を見ると「真南」に見える、という条件を図に描きます。すると、ゴールの場所(P)がただ一点に決まります。そのゴールとスタート地点(O)との距離を測れば、それが実際の風の速さになります。

実際の風の速さは \(5.0 \text{ m/s}\) です。
求まった実際の風の速度は \((-4.0, -3.0)\) であり、これは西南西の風に相当します。この風が吹いている中で西に進むと、相対的に南からの成分が強調されるため、人が感じる風が南西や南向きになるのは直感とも一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度のベクトル演算:
  • 核心: この問題は、相対速度の定義式 \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} – \vec{v}_{\text{自分}}\) をいかに使いこなすかに尽きます。ここで「相手」は風、「自分」は人です。この式はベクトルの引き算であり、向きを考慮した計算が不可欠です。
  • 理解のポイント: この式を変形した \(\vec{v}_{\text{相手}} = \vec{v}_{\text{自分}} + \vec{v}_{\text{相対}}\) (\(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人}} + \vec{v}_{\text{相対風}}\)) の形は、作図や立式において非常に強力なツールとなります。「未知の真の速度」は、「観測者の速度」と「観測された相対速度」のベクトル和で表せる、と解釈できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 雨の中を走る電車: 電車の中から見ると雨が斜めに降ってくる問題。雨粒の実際の落下速度を求めるなど、本問と全く同じ構造です。
  • 川を横切る船: 岸から見た船の速度、船から見た水の速度、岸から見た水の速度（川の流れ）の関係も、相対速度の問題として捉えることができます。
  • 天体の見かけの運動: 地球の公転運動により、遠くの恒星が一年を通じて小さな円を描くように見える「年周光行差」も、光の速度と地球の速度の相対速度で説明される高度な応用例です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度を特定する: 問題文から「自分（観測者）の速度」「相手（観測対象）の速度」「相対速度」の3つを明確に区別します。この問題では、\(\vec{v}_{\text{人}}\), \(\vec{v}_{\text{風}}\), \(\vec{v}_{\text{相対風}}\) です。
  2. 不変のベクトルを見つける: 状況が変わっても変化しないベクトルは何かを探します。この問題では、人が歩こうが走ろうが「実際の風の速度 \(\vec{v}_{\text{風}}\)」は不変です。これが問題を解く最大の鍵となります。
  3. 解法を選択する（図解か計算か）:
     • 角度が \(45^\circ\) や \(90^\circ\) など、図形的な特徴が掴みやすい場合は、ベクトル図を描く幾何学的解法が直感的で速いことが多いです。
     • 角度が複雑であったり、図を描くのが苦手な場合は、成分を設定して連立方程式を解く代数的解法が確実です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトルの引き算の向き:
  • 誤解: \(\vec{v}_{\text{風}} – \vec{v}_{\text{人}}\) を計算する際に、ベクトルの矢印の向きを逆にしてしまう。特に作図の際に \(\vec{v}_{\text{風}} + \vec{v}_{\text{人}}\) を描いてしまうミスが頻発します。
  • 対策: \(\vec{A} – \vec{B}\) は \(\vec{A} + (-\vec{B})\) と考え、「\(\vec{B}\) の逆ベクトルを足す」と意識すると間違いが減ります。または、\(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人}} + \vec{v}_{\text{相対風}}\) の足し算の形に直してから作図するのが最も安全です。
• 風の向きの解釈ミス:
  • 誤解: 「北東から吹く風」を、北東向きのベクトルだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 天気予報などと同じで、風向は「風がやってくる方向」を指します。「北東から吹く」ならベクトルは「南西向き」(\(225^\circ\)方向)、「北から吹く」なら「南向き」(\(270^\circ\)方向)です。必ずベクトルの向きに変換してから考えましょう。
• 成分計算での符号ミス:
  • 誤解: 座標軸を設定した際に、西向きや南向きの成分を正の値で計算してしまう。
  • 対策: 「東がxの正、北がyの正」など、最初に座標軸の向きを明確に定義し、各ベクトルの成分の符号を慎重に決定する習慣をつけましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 共通の終点を持つベクトル図: メインの解法で用いたように、「実際の風の速度ベクトルの終点P」を共通のゴールと見なす図が非常に有効です。人の速度ベクトルの始点を原点Oに固定し、人の位置 \(A_1, A_2\) をプロットします。そこから観測された相対風の方向（南西、南）に直線を引くと、その交点がPとして一意に定まります。この図は、2つの条件を同時に満たす解を視覚的に見つけるプロセスそのものです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 基準点を明確に: 全てのベクトルの基準となる原点Oを定め、そこからの位置ベクトルとして速度を考えると、関係性が整理しやすくなります。
  • スケールを合わせる: \(1.0 \text{ m/s}\) と \(4.0 \text{ m/s}\) の長さの比をある程度正確に描くと、図の信頼性が増し、幾何学的な関係が見えやすくなります。
  • 角度を正確に: 「南西向き」が水平線（東西方向）と \(45^\circ\) の角をなすこと、「南向き」が水平線と \(90^\circ\) の角をなすことを正確に図に反映させることが、幾何学的解法の生命線です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の公式 (\(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} – \vec{v}_{\text{自分}}\)):
  • 選定理由: 動いている観測者から見た物体の運動を記述するための、物理学における基本的な定義式だから。
  • 適用根拠: この公式は、異なる慣性系（静止系と、等速直線運動する観測者の系）の間での速度の変換則（ガリレイ変換）から導かれます。物理現象を異なる視点から見るための普遍的なルールです。
• ベクトルの成分分解と三平方の定理:
  • 選定理由: ベクトルという幾何学的な量を、扱いやすい数値（成分）の組に変換し、代数的に処理するため。最終的にベクトルの大きさ（速さ）を求めるには、成分から三平方の定理で計算するのが定石です。
  • 適用根拠: デカルト座標系において、ベクトルとその成分、大きさの関係は、ピタゴラスの定理（三平方の定理）によって保証されています。これは物理法則というより、物理を記述するための数学的な道具です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 図解法（幾何学的アプローチ）:
   • 戦略: 2つの観測条件を1つのベクトル図にまとめ、図形の性質から解を求める。
   • フロー: ①相対速度の式を \(\vec{v}_{\text{風}} = \vec{v}_{\text{人}} + \vec{v}_{\text{相対風}}\) と変形 → ②座標を設定し、2つの \(\vec{v}_{\text{人}}\) の終点 \(A_1, A_2\) をプロット → ③\(A_1, A_2\) からそれぞれの \(\vec{v}_{\text{相対風}}\) の向きに直線を引く → ④交点Pを \(\vec{v}_{\text{風}}\) の終点として特定 → ⑤図形（直角三角形）の辺の長さを計算し、\(\vec{v}_{\text{風}}\) の大きさ（速さ）を求める。
2. 計算解法（代数的アプローチ）:
   • 戦略: 未知のベクトルを成分で表し、2つの観測条件から連立方程式を立てて解く。
   • フロー: ①\(\vec{v}_{\text{風}} = (v_x, v_y)\) とおく → ②観測1の条件を成分で表し、向きの情報から \(v_x, v_y\) の関係式を立てる → ③観測2の条件も同様に関係式を立てる → ④2つの関係式を連立方程式として解き、\(v_x, v_y\) の値を決定 → ⑤三平方の定理で \(v_{\text{風}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• • 図と計算の併用: 図解法で解く場合でも、簡単な座標計算を併用すると確実性が増します。逆に計算解法で解いた後、簡単なベクトル図を描いてみて、求まった答えが図のイメージと合っているか（例：風の向きはだいたい合っているか）を検算するのも有効です。

– **単位の統一**: この問題では全て \(\text{m/s}\) ですが、もし \(\text{km/h}\) などが混在していたら、必ず単位を統一してから計算を開始しましょう。

• 最終的な答えの確認: 求められているのは「風の速さ」（スカラー量）なのか、「風の速度」（ベクトル量、つまり速さと向き）なのかを最後に確認しましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 求まった風の速さは \(5.0 \text{ m/s}\) で、人の速度 \(1.0 \text{ m/s}\) や \(4.0 \text{ m/s}\) と同程度のオーダーであり、極端に大きすぎたり小さすぎたりしないため、常識的な範囲の値と言えます。
  • 風の速度は \((-4.0, -3.0)\) で、これは「西に \(4.0\)、南に \(3.0\)」の成分を持つ風です。この風の中で西に \(1.0\) 進むと、相対的に風の西成分は \(-4.0 – (-1.0) = -3.0\) に弱まります。南成分は変わらず \(-3.0\)。結果、相対風は \((-3.0, -3.0)\) となり、確かに南西向きです。西に \(4.0\) 進むと、相対的に風の西成分は \(-4.0 – (-4.0) = 0\) となり、南成分は \(-3.0\)。結果、相対風は \((0, -3.0)\) となり、確かに南向きです。このように、得られた答えを元の条件に代入して検証することで、解答の正しさを確信できます。
• 別解との比較:
  • 図を用いた幾何学的解法と、成分計算による代数的解法の両方で、全く同じ答えが得られました。これは、異なるアプローチでも同じ結論に至る物理法則の整合性を示すものであり、計算の正しさを強く裏付けます。

15 飛行機から落とした物体の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平に飛ぶ飛行機から落とされた荷物の運動を扱う、水平投射と相対速度の複合問題です。地上から見た運動と、飛行機から見た運動という2つの視点を切り替えながら考える能力が問われます。
この問題の核心は、運動を水平方向と鉛直方向に分解して考える「運動の独立性」と、観測者（飛行機）自身が運動している場合の「相対速度」の概念を正しく適用することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射と相対速度」です。地上にいる観測者と、飛行機に乗っている観測者の2つの視点から、同じ物理現象を解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
目標Pに荷物を命中させるには、荷物が落下している間に、荷物が水平方向に進んだ距離が、ちょうど投下点の真下からPまでの距離に等しくなるようにタイミングを合わせる必要があります。この関係から、飛行機からPを見るべき角度 \(\theta\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 荷物の初速度: 飛行機から「静かに」落とされた荷物の初速度は、その瞬間の飛行機の速度と同じです。つまり、地上から見ると、荷物は速さ \(v_0 = 39.2 \text{ m/s}\) で水平に投げ出されたのと同じ運動（水平投射）をします。
• 落下時間の計算: 荷物が地上に到達するまでの時間は、鉛直方向の運動（自由落下）だけで決まります。
• 水平到達距離の計算: 落下時間 \(t\) の間に荷物が進む水平距離 \(x\) は、水平方向の運動（等速直線運動）で決まります。
• 角度の計算: 図より、\(\tan\theta\) は、飛行機の高度 \(h\) と水平到達距離 \(x\) の比で表されます (\(\tan\theta = \displaystyle\frac{h}{x}\))。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とし、荷物が落下する時間を \(t\) とします。鉛直方向は初速度0の自由落下運動なので、落下距離 \(h\) は次式で表せます。
$$ h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
この時間 \(t\) の間に、荷物は水平方向に等速直線運動をします。その距離を \(x\) とすると、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ② $$
図より、飛行機から目標Pを見たときの角度 \(\theta\) は、
$$ \tan\theta = \frac{h}{x} \quad \cdots ③ $$
という関係にあります。

まず、①式から落下時間 \(t\) を求めます。
$$ 78.4 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
$$ t^2 = \frac{78.4 \times 2}{9.8} = \frac{156.8}{9.8} = 16 $$
$$ t = 4.0 \text{ [s]} $$
次に、②式から水平到達距離 \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
x &= 39.2 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 156.8 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
最後に、③式から \(\tan\theta\) の値を求めます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{78.4}{156.8} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$

爆弾を目標に当てるには、爆弾が落ちる時間だけ手前で落とす必要があります。まず、高さ78.4mから物が落ちる時間を計算します（結果は4.0秒）。次に、その4.0秒の間に飛行機（と爆弾）が水平にどれだけ進むかを計算します（結果は156.8m）。最後に、飛行機から目標までの「高さ」と「水平距離」の比率を計算すると、それが狙うべき角度のタンジェントになります。

\(\tan\theta\) の値は \(0.50\) です。これは、水平距離が高さのちょうど2倍になる地点を狙うことを意味します。

問(2)

思考の道筋とポイント
飛行機に乗っている観測者から見た荷物の運動を考えます。これは相対速度の問題です。相対速度は「相手の速度」から「自分の速度」をベクトル的に引き算することで求められます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の相対速度: 飛行機も荷物も、水平方向には常に同じ速度 \(v_0\) で運動しています（空気抵抗は無視）。したがって、水平方向の相対速度は \(v_0 – v_0 = 0\) です。
• 鉛直方向の相対速度: 飛行機は水平飛行を続けるので鉛直方向の速度は0です。一方、荷物は重力で下向きに加速されます。したがって、鉛直方向の相対速度は、荷物の鉛直速度そのものになります。
• 合成された相対運動: 水平方向の相対速度が0で、鉛直方向には下向きに加速される運動、これはまさに「自由落下」です。

具体的な解説と立式
時刻 \(t\) における飛行機と荷物の速度を、水平右向きをx軸正、鉛直下向きをy軸正として成分表示します。

• 飛行機の速度: \(\vec{v}_{\text{飛行機}} = (v_0, 0)\)
• 荷物の速度: \(\vec{v}_{\text{荷物}} = (v_0, gt)\)

飛行機から見た荷物の相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\vec{v}_{\text{相対}} &= \vec{v}_{\text{荷物}} – \vec{v}_{\text{飛行機}} \\[2.0ex]&= (v_0, gt) – (v_0, 0) \\[2.0ex]&= (v_0 – v_0, gt – 0) \\[2.0ex]&= (0, gt)
\end{aligned}
$$
この結果は、初速度が0で、鉛直下向きに加速度 \(g\) で運動することを示しています。これは自由落下の定義そのものです。

上記の立式により、相対速度が \((0, gt)\) となることが示され、これが自由落下運動であることがわかります。

飛行機と荷物は、横方向にはずっと一緒に並んで進み続けます。そのため、飛行機に乗っている人から見ると、荷物は横には全く動かず、ただただ真下に落ちていくように見えます。このような運動を「自由落下」と呼びます。

飛行機から見ると、荷物の運動は「自由落下」に見えます。これは、水平投射された物体を、同じ速度で水平に追いかけながら見ると真下に落ちるように見えるという、物理的に重要な事実を示しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
地上にある目標Pに命中する直前の、荷物の速さを求めます。速さはスカラー量ですが、速度というベクトル量の大きさです。速度を水平成分と鉛直成分に分け、三平方の定理を用いて合成することで速さを求めます。
この設問における重要なポイント

• 水平速度成分: 水平方向は等速直線運動なので、命中直前でも速度は \(v_x = v_0 = 39.2 \text{ m/s}\) のままです。
• 鉛直速度成分: 鉛直方向は自由落下なので、落下時間 \(t\) 後の速度は \(v_y = gt\) で計算できます。落下時間 \(t=4.0 \text{ s}\) は(1)で求めています。
• 速さの合成: 2つの直交する速度成分 \(v_x\) と \(v_y\) から、速さ \(v\) を \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で計算します。

具体的な解説と立式
命中直前の荷物の速度の水平成分を \(v_x\)、鉛直成分を \(v_y\) とします。
水平成分は常に一定です。
$$ v_x = v_0 \quad \cdots ① $$
鉛直成分は、落下時間 \(t\) 後の自由落下の速度です。
$$ v_y = gt \quad \cdots ② $$
求める速さ \(v\) は、これらの成分を合成して得られます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \cdots ③ $$

(1)で求めた落下時間 \(t = 4.0 \text{ s}\) を用います。
①より、水平成分は、
$$ v_x = 39.2 \text{ [m/s]} $$
②より、鉛直成分は、
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 39.2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
③より、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(39.2)^2 + (39.2)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times (39.2)^2} \\[2.0ex]&= 39.2\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) として、有効数字2桁で計算します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 39.2 \times 1.41 \\[2.0ex]&= 55.272 \\[2.0ex]&\approx 55 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

地面にぶつかる直前の荷物の速さを求めます。この速さには「横向きの速さ」と「下向きの速さ」の2つの成分があります。横向きの速さは、落とされた瞬間から変わらず \(39.2 \text{ m/s}\) です。下向きの速さは、重力によって4.0秒間加速された結果を計算します（偶然にも \(39.2 \text{ m/s}\) になります）。最後に、この2つの速さを三平方の定理で合体させて、最終的な速さを求めます。

命中直前の荷物の速さは約 \(55 \text{ m/s}\) です。この速さは、初速度 \(39.2 \text{ m/s}\) よりも大きくなっており、重力によって加速された結果として妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（水平投射）:
  • 核心: 水平投射された物体の運動は、互いに影響しない2つの単純な運動の組み合わせとして分析できます。これがこの問題の全ての計算の基礎となります。
    • 水平方向: 力が働かないため「等速直線運動」
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため「自由落下運動」
  • 理解のポイント: 落下時間を決めるのは鉛直方向の運動だけであり、水平方向の初速度の大きさにはよりません。逆に、水平方向に進む距離は、水平方向の速度と落下時間だけで決まります。
• 相対速度:
  • 核心: (2)で問われているように、運動している観測者から見た物体の運動は、静止している観測者から見た運動とは異なります。相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} – \vec{v}_{\text{自分}}\) を適用することで、この違いを定量的に理解できます。
  • 理解のポイント: 飛行機と荷物は水平方向には全く同じ運動をするため、水平方向の相対速度はゼロになります。その結果、飛行機からは荷物が真下に落ちていくように見えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 地上から斜め上に物体を投げ上げる運動。これも水平方向の「等速直線運動」と、鉛直方向の「鉛直投げ上げ運動」に分解して考える点で、本質は同じです。
  • 電車から見たボールの運動: 等速で走る電車の中でボールを真上に投げ上げると、投げた人の手元に戻ってきます。これは、電車から見ればボールは鉛直投げ上げ運動、地上から見れば放物運動をしているという、相対速度の良い例です。
  • モンキーハンティング: 猟師がサルを狙って弾丸を発射するのと同時に、サルが木から手を放して自由落下を始める場合、弾丸は必ずサルに命中するという有名な問題。これも、重力下での相対運動を考えることで簡単に証明できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者を明確にする: 「地上から見るのか」「飛行機から見るのか」で、物体の運動の記述は全く異なります。問題がどちらの視点を要求しているのかを最初に確認します。
  2. 運動を分解する: 2次元の運動は、必ず水平（x）と鉛直（y）の2つの1次元の運動に分解します。これにより、複雑な現象を単純な公式の組み合わせで解くことができます。
  3. 初速度を正しく設定する: 「静かに落とす」場合、物体の初速度は観測者（飛行機）の速度と同じになります。「投げ出す」場合は、観測者の速度に、投げ出す速度をベクトル的に加える必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 荷物の初速度の誤認:
  • 誤解: 飛行機から「静かに」落としたので、荷物の初速度はゼロだと考えてしまう。
  • 対策: 「静かに落とす」は、あくまで「飛行機に対して初速度ゼロで」落とすという意味です。地上から見れば、荷物は飛行機と同じ水平速度を持っています。これは慣性の法則によるものです。
• 水平方向の運動の誤解:
  • 誤解: 荷物が落ちていくにつれて、水平方向の速度も遅くなる、あるいは重力の影響を受けると考えてしまう。
  • 対策: （空気抵抗を無視すれば）水平方向には何も力が働かないため、速度は変化しようがありません。水平方向は常に「等速」であると徹底して覚えましょう。
• \(\tan\theta\) の定義の間違い:
  • 誤解: 図で示された角度 \(\theta\) に対して、\(\tan\theta\) を \(\displaystyle\frac{x}{h}\) のように、分子と分母を逆にしてしまう。
  • 対策: 必ず「\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\)」という定義に立ち返り、図中のどの辺が対辺で、どの辺が底辺なのかを慎重に確認しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 地上からの視点（放物線）: 地上から見ると、荷物は美しい放物線を描いて落下します。この軌跡は、等速で進む水平運動と、加速しながら落ちる鉛直運動を合成した結果です。
  • 飛行機からの視点（直線）: 飛行機から見ると、荷物は真下の地面に向かって一直線に落ちていきます。これは、自分も荷物も水平方向には同じように動いているため、水平方向のズレが全く生じないからです。この2つの視点の違いをイメージできることが重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 速度ベクトルの分解: 命中直前の速度 \(\vec{v}\) を、水平成分 \(\vec{v}_x\) と鉛直成分 \(\vec{v}_y\) に分解したベクトル図を描くと、三平方の定理の関係が視覚的に理解できます。
  • 位置関係の図: (1)で \(\tan\theta\) を求める際には、飛行機の位置、投下点の真下の地面、目標Pを結んでできる直角三角形を正確に描くことが、立式の助けになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の公式 (\(y = \frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)):
  • 選定理由: 鉛直方向の運動は、初速度0、加速度\(g\)の等加速度直線運動（=自由落下）だから。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動方程式 \(ma_y = mg\) を解くと、これらの公式が導かれます。
• 等速直線運動の公式 (\(x = v_0 t\)):
  • 選定理由: 水平方向の運動は、力が働かず加速度が0の等速直線運動だから。
  • 適用根拠: 水平方向の運動方程式 \(ma_x = 0\) を解くと、この公式が導かれます。
• 力学的エネルギー保存則 (\(\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2\)):
  • 選定理由: (3)で速さを求める際に、時間を介さずに始点と終点の状態だけで計算できるため。
  • 適用根拠: 荷物に働く力は保存力である重力のみです（空気抵抗は無視）。保存力のみが仕事をする場合、系の力学的エネルギーは保存されるという普遍的な法則を適用しています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 投下角度の計算:
   • 戦略: 落下時間から水平到達距離を求め、幾何学的関係に持ち込む。
   • フロー: ①鉛直方向の運動に着目し、\(h = \frac{1}{2}gt^2\) から落下時間 \(t\) を計算 → ②水平方向の運動に着目し、\(x = v_0 t\) から水平距離 \(x\) を計算 → ③図から \(\tan\theta = h/x\) の関係を見出し、値を計算。
2. (2) 相対運動の特定:
   • 戦略: 飛行機と荷物の速度ベクトルを比較し、引き算する。
   • フロー: ①飛行機と荷物の速度をそれぞれ成分表示 → ②相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{荷物}} – \vec{v}_{\text{飛行機}}\) を計算 → ③結果のベクトルが示す運動（水平速度0、鉛直速度あり）が何かを解釈。
3. (3) 命中直前の速さの計算:
   • 戦略: 命中直前の速度の水平・鉛直成分を求め、合成する。
   • フロー: ①水平速度 \(v_x\) は \(v_0\) のまま → ②鉛直速度 \(v_y\) を \(v_y = gt\) で計算 → ③三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で速さ \(v\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算: \(v = \sqrt{A^2 + B^2}\) のような計算では、先に \(A^2\) や \(B^2\) を計算する前に、共通因数でくくれないか考えると楽になる場合があります。この問題では \(v = \sqrt{(39.2)^2 + (39.2)^2} = \sqrt{(39.2)^2 \times (1+1)} = 39.2\sqrt{2}\) と変形でき、計算が大幅に簡略化されます。
• 有効数字の意識: 問題文で「有効数字2桁で答えよ」と指示されているため、最終的な答えは必ず2桁に丸める必要があります。\(\sqrt{2}=1.41\) を使った計算結果 \(55.272\) を \(55\) と丸めるプロセスを忘れないようにしましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(\tan\theta = 0.50\): \(\theta\) は約 \(26.6^\circ\) であり、鋭角です。非常に遠くから落とすわけでも、真上で落とすわけでもない、常識的な角度と言えます。
  • (3) 速さ \(v \approx 55 \text{ m/s}\): 落下後の速さは、初速度 \(39.2 \text{ m/s}\) よりも大きくなっています。重力によって加速されたのですから、速さが増加するのは当然であり、妥当です。
• 別解との比較:
  • (3)の速さは、運動学の公式を使った方法と、力学的エネルギー保存則を使った方法の2通りで求められました。両者で全く同じ \(v = 39.2\sqrt{2}\) という結果が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。

16 斜面上への斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜面上の点から打ち出された小球が、再び斜面上に落下する運動を扱う、応用的な斜方投射の問題です。通常の水平な地面への斜方投射と異なり、着地点が打ち出し点と異なる高さにあるため、着地条件を正しく立式できるかが問われます。
この問題の核心は、運動を分析するための「座標軸の取り方」です。座標軸の取り方によって、計算の複雑さや考えやすさが変わるため、複数のアプローチを理解しておくことが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面への斜方投射」です。解法は主に、座標軸の取り方によって2つに大別されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)と(2)は密接に関連しているため、同時に解いていきます。

メイン解法：水平・鉛直座標系での解析

思考の道筋とポイント
物理の問題で最も標準的な、水平方向をx軸、鉛直方向をy軸とする座標系で解く方法です。この座標系では、重力加速度はy成分のみを持つため、加速度の扱いが簡単です。その代わり、小球が斜面上に落下するという条件を、x座標とy座標の関係式で表現する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 初速度の分解: 打ち出し方向は、水平面から見て斜面の \(30^\circ\) と打ち出し角の \(30^\circ\) を合わせて \(60^\circ\) の角度になります。この角度を用いて、初速度 \(v_0\) を水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) に分解します。
• 運動の記述: 時刻 \(t\) における小球の座標 \((x, y)\) を、水平方向の等速直線運動と鉛直方向の鉛直投げ上げ運動の公式で表します。
• 着地条件の立式: 落下点P\((x_P, y_P)\)は、原点を通り傾きが \(\tan 30^\circ\) の直線上にある点です。したがって、\(y_P = x_P \tan 30^\circ\) という関係が成り立ちます。この式が落下時間を決定する鍵となります。

具体的な解説と立式
水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
打ち出しの角度は水平面に対して \(30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\) なので、初速度の成分は、
$$ v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ = \frac{1}{2}v_0 $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 $$
時刻 \(t\) における小球の座標 \((x, y)\) は、
$$ x = v_{0x} t = \left(\frac{1}{2}v_0\right)t \quad \cdots ① $$
$$ y = v_{0y} t – \frac{1}{2}gt^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\right)t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
小球が斜面上に落下するとき、その座標は \(y = x \tan 30^\circ\) の関係を満たします。
$$ y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \quad \cdots ③ $$
①, ②, ③を連立させて、時間 \(t\) と距離 \(L\) を求めます。

(1) 落下時間 \(t\) の計算

①, ②を③に代入します。

$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\right)t – \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{2}v_0 \right)t $$

打ち出し直後 (\(t=0\)) ではないので、両辺を \(t\) で割ることができます。

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 – \frac{1}{2}gt = \frac{1}{2\sqrt{3}}v_0 $$

この式を \(t\) について解きます。両辺に \(2\sqrt{3}\) を掛けて分母を払うと、

$$ 3v_0 – \sqrt{3}gt = v_0 $$
$$ \sqrt{3}gt = 2v_0 $$
$$ t = \frac{2v_0}{\sqrt{3}g} = \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g} $$
(2) 落下距離 \(L\) の計算

落下点Pのx座標は \(x_P = (\frac{1}{2}v_0)t\)。斜面上の距離 \(L\) は、\(x_P = L \cos 30^\circ\) の関係にあるので、

$$ L = \frac{x_P}{\cos 30^\circ} = \frac{(\frac{1}{2}v_0)t}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{v_0 t}{\sqrt{3}} $$

ここに(1)で求めた \(t\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
L &= \frac{v_0}{\sqrt{3}} \times \left( \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g} \right) \\[2.0ex]&= \frac{2v_0^2}{3g}
\end{aligned}
$$

ボールの運動を、慣れ親しんだ水平方向と上下方向に分けて考えます。ボールが斜面に着地する瞬間は、その「高さ」と「水平に進んだ距離」の比が、斜面の傾きと一致する瞬間です。この条件を使って時間を割り出し、その時間と水平に進む速さから、斜面に沿った距離を計算します。

(1) 落下までの時間は \(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}v_0}{3g}\)、(2) 落下位置までの距離は \(\displaystyle\frac{2v_0^2}{3g}\) です。
初速度 \(v_0\) が大きいほど、滞空時間と飛距離が伸びること、重力加速度 \(g\) が大きいほど、滞空時間と飛距離が短くなることが式から読み取れ、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と等加速度直線運動:
  • 核心: この問題の根幹は、2次元の放物運動を、互いに直交する2つの1次元の「等加速度直線運動」に分解して考える点にあります。どの方向に座標軸をとっても、この原則は変わりません。
  • 理解のポイント:
    • 水平・鉛直座標系: 加速度ベクトルが \(\vec{a}=(0, -g)\) とシンプルになる。
    • 斜面座標系: 加速度ベクトルが \(\vec{a}=(-g\sin\alpha, -g\cos\alpha)\) と成分を持つが、着地条件が \(y=0\) とシンプルになる。（\(\alpha\)は斜面の傾斜角）

    どちらの座標系を選ぶかは、どちらの「シンプルさ」を優先するかの戦略の違いに過ぎません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面の上から下への投射: 斜面の上端から下に向かって物体を投げ出す問題。基本的な考え方は同じですが、初速度や重力加速度の成分の符号が変わる点に注意が必要です。
  • 建物の屋上から隣のビルへの投射: ある高さから別の高さの点へ物体を投げる問題。着地点の座標が \((x, y)\) となり、本問の \(y=x\tan\theta\) の条件が、特定の座標値に変わるだけで、解法の流れは同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系の原点と向きを決める: まず、どこを原点とし、どの向きをx, yの正とするかを決めます。これが全ての計算の基準となります。
  2. 初速度と加速度を成分分解する: 決めた座標系に合わせて、初速度ベクトル \(\vec{v_0}\) と重力加速度ベクトル \(\vec{g}\) を、それぞれx成分とy成分に分解します。特に、斜面座標系では \(\vec{g}\) の分解が鍵となります。
  3. 着地条件を数式で表現する: 物体が最終的にどこに到達するのか、その位置のx座標とy座標が満たすべき関係式（例: \(y=x\tan\theta\), \(y=0\), \(y=H\) など）を立てます。この式が、滞空時間を決定する方程式になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 打ち出し角度の誤解（水平・鉛直座標系）:
  • 誤解: 打ち出し角度を、問題文にある \(30^\circ\) だと勘違いし、初速度を \(v_{0x}=v_0\cos30^\circ\), \(v_{0y}=v_0\sin30^\circ\) と分解してしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、基準となる「水平面」から測った角度が何度になるかを確認します。この問題では、斜面の \(30^\circ\) と打ち出し角の \(30^\circ\) を足した \(60^\circ\) が、水平面となす角度です。
• 重力加速度の分解ミス（斜面座標系）:
  • 誤解: 重力加速度 \(\vec{g}\) を斜面に平行・垂直な成分に分解する際、\(\sin\) と \(\cos\) を取り違える。
  • 対策: 傾斜角が小さい極端な斜面をイメージすると間違いを防げます。細長い直角三角形を描き、重力ベクトルの分解図を丁寧に描く習慣をつけましょう。「斜面に平行な成分は \(g\sin\theta\), 垂直な成分は \(g\cos\theta\)」と機械的に覚えるのではなく、毎回図から導出するのが安全です。
• 計算過程での符号ミス:
  • 誤解: 座標軸の正の向きと、速度や加速度のベクトルの向きが逆の場合に、符号を付け忘れる。
  • 対策: 最初に設定した座標軸の正の向きを常に意識し、各ベクトル成分がその向きと同じか逆かを判断して、正負の符号を慎重に与えましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの座標系の比較図: 水平・鉛直座標系で描いた放物線と、斜面座標系で描いた放物線を並べて描いてみると、同じ物理現象を異なる視点から見ていることがよくわかります。物理法則は座標系の取り方によらない（共変性）という、物理学の重要な概念を体感できます。
  • 重力加速度の分解図: 斜面座標系で解く場合、重力加速度 \(\vec{g}\) の分解図を大きく丁寧に描くことが最重要です。鉛直下向きの \(\vec{g}\) を対角線とし、斜面に平行・垂直な2辺を持つ長方形を描くことで、各成分の大きさと向きが明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の明記: 図中のどの角度が \(30^\circ\) で、どの角度が \(60^\circ\) なのかを明確に書き込みます。
  • ベクトルの始点: 全てのベクトル（初速度、加速度）の始点を小球の位置にそろえて描くと、力の働き方や運動の方向性が理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式群:
  • 選定理由: 運動を直交する2方向に分解すると、各方向の運動は（空気抵抗を無視すれば）重力の影響による「等加速度直線運動」となるため。これは放物運動解析の基本中の基本です。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(\vec{F}=m\vec{a}\) において、働く力 \(\vec{F}\) が一定（この場合は重力 \(\vec{F}=(0, -mg)\)）の場合、加速度 \(\vec{a}\) も一定となります。一定の加速度の下での運動は、等加速度直線運動の公式で完全に記述できます。
• 着地条件式 (\(y=x\tan\theta\) または \(y=0\)):
  • 選定理由: 運動の時間的終点（落下する瞬間）を特定するため。運動方程式だけでは「いつ」落下するかがわからないため、この幾何学的な束縛条件が必要になります。
  • 適用根拠: これは物理法則ではなく、問題設定によって課せられる数学的な条件です。「斜面上に落下する」という言葉を、座標を用いた数式に翻訳したものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 座標系を選択する: 水平・鉛直か、斜面平行・垂直か、自分の解きやすい方を選ぶ。
2. 初期条件と運動方程式（加速度）を整理する:
   • 選んだ座標系で、初速度 \(\vec{v_0}\) と加速度 \(\vec{a}\) の各成分を求める。
3. 任意の時刻 \(t\) での位置を立式する:
   • 等加速度直線運動の公式を用いて、\(x(t)\) と \(y(t)\) の式を立てる。
4. 着地条件を立式する:
   • 落下点のx, y座標が満たすべき関係式を立てる。
5. 連立方程式を解く:
   • 位置の式と着地条件の式を連立させ、落下時間 \(t\) を求める。
6. 最終的な値を計算する:
   • 求めた \(t\) を使って、問われている距離 \(L\) などを計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、与えられているのが文字（\(v_0, g\)）の場合、最後まで文字式のまま計算を進めるしかありません。計算過程で式が複雑になりますが、焦らず、一つ一つの項を丁寧に変形していくことが重要です。
• 分数の整理: 計算途中で複雑な分数が出てきた場合、分母と分子に同じ数を掛けるなどして、見やすい形に整理しながら進めると、ミスが減ります。（例：メイン解法の計算途中で両辺に \(2\sqrt{3}\) を掛ける操作）
• 別解による検算: もし時間に余裕があれば、一方の座標系で解いた後、もう一方の座標系でも計算してみて、同じ答えになるかを確認するのが最も確実な検算方法です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 次元（単位）の確認:
  • 時間 \(t\) の答えが、\(\frac{v_0}{g}\) の次元（\(\frac{[\text{m/s}]}{[\text{m/s}^2]} = [\text{s}]\)）になっているかを確認します。
  • 距離 \(L\) の答えが、\(\frac{v_0^2}{g}\) の次元（\(\frac{[\text{m/s}]^2}{[\text{m/s}^2]} = [\text{m}]\)）になっているかを確認します。これにより、大きな計算間違いを発見できます。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • もし \(g \rightarrow 0\) なら（無重力なら）、\(t \rightarrow \infty\), \(L \rightarrow \infty\) となり、無限に飛んでいくはずです。求まった式はこの振る舞いを満たしており、妥当です。
  • もし \(v_0 \rightarrow 0\) なら、\(t \rightarrow 0\), \(L \rightarrow 0\) となり、その場に落ちるはずです。これも式と一致しており、妥当です。
• 別解との比較:
  • 水平・鉛直座標系と斜面座標系という、全く異なる2つのアプローチで、時間 \(t\) と距離 \(L\) が完全に一致しました。これは、両方の計算が正しく、物理的な理解が正確であることを強く示唆しています。

17 斜方投射と自由落下

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、特定の目標（自由落下する小球P）に向けて物体（小球Q）を打ち上げる運動を扱う、斜方投射の応用問題です。「モンキーハンティング」という愛称で知られる有名な設定で、重力下での2物体の運動と衝突の本質を問います。
この問題の核心は、地上に固定された静止系から見たPとQそれぞれの運動を記述する方法と、運動するQからPを見た相対的な運動を記述する方法の2つのアプローチを理解することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重力下での2物体の運動と衝突」です。一見複雑に見えますが、運動の分解や相対速度の考え方を用いることで、現象をシンプルに捉えることができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) におけるPとQの水平面からの高さを、それぞれ運動の公式を用いて求めます。Pは自由落下、Qは鉛直投げ上げ運動として、それぞれの鉛直方向の運動を立式します。
この設問における重要なポイント

• 座標軸の設定: 水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとり、Qの初期位置を原点(0, 0)とします。
• Pの初期高さ: Pの初期位置は、Qから見て距離 \(L\)、角度 \(\theta\) の方向にあるので、その座標は \((L\cos\theta, L\sin\theta)\) となります。したがって、Pの初期高さは \(y_{P0} = L\sin\theta\) です。
• Qの初速度の鉛直成分: Qの初速度 \(v_0\) の鉛直成分は \(v_{0y} = v_0\sin\theta\) です。

具体的な解説と立式
Qの初期位置を原点(0, 0)とし、鉛直上向きを正とします。

• 小球Pの高さ \(y_P\)
  Pの初期高さは \(y_{P0} = L\sin\theta\)。ここから自由落下するので、時刻 \(t\) での落下距離は \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) です。
  したがって、時刻 \(t\) での高さ \(y_P\) は、
  $$ y_P = L\sin\theta – \frac{1}{2}gt^2 $$
• 小球Qの高さ \(y_Q\)
  Qは初速度の鉛直成分 \(v_{0y} = v_0\sin\theta\) で鉛直投げ上げ運動をします。
  したがって、時刻 \(t\) での高さ \(y_Q\) は、
  $$ y_Q = (v_0\sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2 $$

上記の立式がそのまま解答となります。

Pの高さは、最初の高さから、重力で落ちた分だけ低くなります。Qの高さは、初めの勢いで上がった分から、重力で引き戻された分を引いたものになります。それぞれの状況を数式で表現します。

Pの高さは \(L\sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)、Qの高さは \((v_0\sin\theta)t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) となります。両者の式に共通して \(- \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) という項が含まれている点に注目です。これは、重力が両者に全く同じ影響を与えていることを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「QがPの落下軌道に達する」という条件を考えます。Pは鉛直真下に落下するので、その軌道は \(x = L\cos\theta\) という鉛直線です。したがって、この条件は「Qのx座標が \(L\cos\theta\) になる」ことと同じです。Qの水平方向の運動は等速直線運動なので、この条件から時刻を計算できます。
この設問における重要なポイント

• Pの落下軌道: Pの初期位置のx座標は \(L\cos\theta\) であり、Pは真下にしか動かないため、軌道は常に \(x=L\cos\theta\) です。
• Qの水平運動: Qの水平方向の運動は、初速度の水平成分 \(v_{0x} = v_0\cos\theta\) の等速直線運動です。

具体的な解説と立式
QがPの落下軌道に達する時刻を \(T\) とします。このとき、Qは水平方向に \(L\cos\theta\) の距離を進んでいます。
Qの水平方向の速さは \(v_{0x} = v_0\cos\theta\) で一定なので、「距離 = 速さ × 時間」の関係から、
$$ L\cos\theta = (v_0\cos\theta) T $$

上記で立てた式を \(T\) について解きます。両辺を \(\cos\theta\) (\(\neq 0\)) で割ると、
$$ L = v_0 T $$
$$ T = \frac{L}{v_0} $$

QがPの真下に来るまでの時間を求めます。Qが水平方向に進むべき距離は \(L\cos\theta\)、Qの水平方向の速さは \(v_0\cos\theta\) です。時間を求めるには「距離 ÷ 速さ」を計算します。

時刻 \(T\) は \(\displaystyle\frac{L}{v_0}\) となります。この結果は、打ち出し角度 \(\theta\) や重力加速度 \(g\) に依存しません。これは、QがPを狙って打ち出されれば、その角度や重力の有無に関わらず、Pの真下に到達するまでの時間は常に同じであることを示唆する、非常に興味深い結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた時刻 \(T\) における、PとQのそれぞれの高さを(1)の式を使って計算し、比較します。
この設問における重要なポイント

• 時刻の代入: (1)で求めた \(y_P\) と \(y_Q\) の式に含まれる \(t\) に、(2)で求めた \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を代入します。
• 結果の比較: 計算した \(y_P(T)\) と \(y_Q(T)\) が等しくなることを確認します。

具体的な解説と立式
(2)で求めた時刻 \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) におけるPとQの高さを、(1)で立てた式を用いて比較します。
時刻 \(T\) におけるPの高さを \(y_P(T)\)、Qの高さを \(y_Q(T)\) とします。

• Pの高さ: (1)で求めた \(y_P\) の式に \(t=T\) を代入します。
  $$ y_P(T) = L\sin\theta – \frac{1}{2}gT^2 $$
• Qの高さ: (1)で求めた \(y_Q\) の式に \(t=T\) を代入します。
  $$ y_Q(T) = (v_0\sin\theta)T – \frac{1}{2}gT^2 $$

これらの式に \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を代入し、値を比較します。

まず、Pの高さ \(y_P(T)\) に \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
y_P(T) &= L\sin\theta – \frac{1}{2}gT^2 \\[2.0ex]&= L\sin\theta – \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0}\right)^2
\end{aligned}
$$

次に、Qの高さ \(y_Q(T)\) に \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
y_Q(T) &= (v_0\sin\theta)T – \frac{1}{2}gT^2 \\[2.0ex]&= (v_0\sin\theta)\left(\frac{L}{v_0}\right) – \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0}\right)^2 \\[2.0ex]&= L\sin\theta – \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0}\right)^2
\end{aligned}
$$

計算の結果、\(y_P(T)\) と \(y_Q(T)\) は完全に一致します。

$$ y_P(T) = y_Q(T) $$

QがPの落下軌道に達した時刻に、PとQの高さが同じになるということは、両者がその時刻に同じ場所 \((x, y) = (L\cos\theta, y_P(T))\) に存在することを意味します。
したがって、この現象で起こることは「PとQが衝突する」ことです。

(2)で計算した「QがPの真下に来る時刻」での、Pの実際の高さとQの実際の高さをそれぞれ計算します。すると、驚くべきことに両者の高さは全く同じ値になります。同じ時刻に同じ場所にいる、ということは、2つの小球が出会う、つまり衝突することを意味します。

PとQは衝突します。これは、重力がなければQはPにまっすぐ飛んでいって衝突するはずのところ、重力がある世界では、PもQも同じだけ下にずらされる(\(-\frac{1}{2}gt^2\))ため、結果的にやはり衝突するという物理原理を示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重力下での運動の重ね合わせ:
  • 核心: この問題は、一見複雑な2物体の運動ですが、その本質は「もし重力がなければどうなるか」という運動に、「全ての物体が等しく自由落下する」という運動を重ね合わせたものとして理解できる点にあります。
  • 理解のポイント: 重力がなければ、QはPにまっすぐ飛んでいき、時刻 \(T=L/v_0\) で衝突します。現実には重力が働くため、PもQも、この「重力がない場合の軌道」から同じ距離 \(\frac{1}{2}gt^2\) だけ鉛直下方にずれます。結果として、両者はやはり同じ時刻に同じ場所で出会う（衝突する）ことになります。
• 相対加速度の概念:
  • 核心:（別解で用いた）この問題の現象を最もエレガントに説明するのが相対加速度です。観測者（Q）と観測対象（P）が同じ加速度（重力加速度 \(\vec{g}\)）で運動している場合、相対加速度はゼロ (\(\vec{a}_{PQ} = \vec{g} – \vec{g} = \vec{0}\)) となります。
  • 理解のポイント: 相対加速度がゼロであるため、Qから見たPの運動は、重力の影響が全くないかのような「等速直線運動」に見えます。この視点に立つことで、問題は「距離Lを速さv0で進む物体の運動」という極めて単純な問題に帰着します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • モンキーハンティング: この問題そのものが「モンキーハンティング」として知られる典型問題です。サルの初期位置や猟師の打ち出し角度が変わっても、本質は全く同じです。
  • 爆撃機と対空砲: 水平に飛ぶ爆撃機が爆弾を投下するのと同時に、地上から対空砲弾を爆撃機に向けて発射する問題。爆弾と砲弾は、空気抵抗を無視すれば同じ重力加速度で運動するため、相対運動は等速直線運動となり、必ず空中で衝突します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 複数の物体に共通して働く力を探す: この問題では、PとQの両方に重力が働いています。このように、複数の物体に共通の力が作用している（＝共通の加速度が生じている）場合、相対運動を考えると問題が劇的に簡単になる可能性があります。
  2. 「もし重力がなかったら？」を想像する: まず、重力がない仮想的な世界で物体がどう動くかを考えます（この問題では、QはPに直進する）。次に、その運動に重力による落下（全ての物体が同じように下にずれる）を加味すると、実際の運動がどうなるかをイメージします。
  3. 静止系と運動系（相対座標系）の視点を使い分ける: 問題を解く上で、地上に固定された「静止系」の視点と、物体と一緒に動く「運動系」の視点の両方を持ち、どちらが問題を解きやすいかを見極めることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• Pの初期位置の誤解:
  • 誤解: Pの初期高さを \(L\) そのものだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 問題で与えられた \(L\) は、PとQの「直線距離」です。座標を設定して高さを考える場合は、必ず三角比を用いて \(y_{P0} = L\sin\theta\) と正しく成分分解する必要があります。
• Qの運動の誤解:
  • 誤解: QがPに向かって飛んでいくので、その軌道が直線だと考えてしまう。
  • 対策: 地上から見れば、Qは重力の影響を受けるため、必ず放物線を描きます。直線運動に見えるのは、あくまでQからPを見た「相対運動」の場合だけです。観測者の視点を混同しないように注意しましょう。
• 衝突条件の立式ミス:
  • 誤解: 衝突条件を、単に「高さが等しくなる」ことだと考えてしまう。
  • 対策: 衝突するためには、同じ時刻に「x座標とy座標が共に等しくなる」必要があります。この問題では、(2)でx座標が等しくなる時刻を求め、(3)でその時刻にy座標も等しくなることを確認するという、段階的な証明になっています。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの軌道の重ね描き: 地上から見たPの落下軌道（鉛直線）と、Qの軌道（放物線）を1つの図に描きます。そして、時刻 \(T\) において、PとQが軌道上の同じ点に到達することを視覚的に確認するイメージが有効です。
  • 相対運動のイメージ: Qの視点に立ち、周りの景色が自分から遠ざかっていく中で、Pだけがまっすぐ自分に向かって飛んでくる映像をイメージします。これは、エレベーターの中でボールを投げたときに、重力の影響を感じずにボールが等速直線運動するように見えるのと同じ原理です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初期状態の図: 時刻 \(t=0\) でのPとQの位置関係、距離L、角度\(\theta\)を正確に図示することが、全ての計算の出発点となります。
  • ベクトルを明確に: Qの初速度ベクトル \(\vec{v}_0\) の向きが、正確にPの初期位置を向いていることを図で明確に表現しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動の各公式（自由落下、鉛直投げ上げ、等速直線運動）:
  • 選定理由: PとQの運動を、地上に固定された静止系から記述するため。運動を水平・鉛直に分解すると、それぞれの方向の運動はこれらの単純な運動モデルに帰着します。
  • 適用根拠: これらは全て、運動方程式 \(\vec{F}=m\vec{a}\) を、重力という一定の力が働く状況で解いた結果です。
• 相対速度・相対加速度の公式:
  • 選定理由: 2物体の運動を、一方の視点からシンプルに記述し直すため。特に、両者に共通の加速度が働く場合に絶大な効果を発揮します。
  • 適用根拠: ある慣性系から別の慣性系へ視点を移す際の、速度や加速度の変換ルール（ガリレイ変換）に基づいています。物理法則がどの慣性系でも同じ形で成り立つという原理の現れです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 静止系アプローチ:
   • 戦略: PとQの運動を個別に記述し、後で座標を比較する。
   • フロー: ①座標系を設定し、PとQの初期座標と初速度を成分表示する → ②(1) 時刻\(t\)でのPとQの高さの式 \(y_P(t), y_Q(t)\) を立てる → ③(2) Qのx座標がPの初期x座標と等しくなる条件から、時刻\(T\)を求める → ④(3) \(y_P(T)\) と \(y_Q(T)\) を計算し、両者が等しいことを示して「衝突する」と結論づける。
2. 相対運動アプローチ（別解）:
   • 戦略: Qから見たPの相対運動を考え、問題を単純化する。
   • フロー: ①相対加速度 \(\vec{a}_{PQ}\) を計算し、ゼロになることを確認 → ②Qから見たPの運動が等速直線運動であることを理解 → ③初期相対速度の大きさが \(v_0\) であることから、衝突までの時間 \(T = L/v_0\) を直接導出 → ④等速直線運動で相手に向かってくるのだから、必ず衝突すると結論づける。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の扱いに慣れる: この問題は全て文字式で計算が進みます。\(L\sin\theta\) や \(\frac{1}{2}g(\frac{L}{v_0})^2\) のような項を、一つの塊として捉え、焦らず丁寧に式変形を行う練習が重要です。
• 代入のタイミング: (3)の計算では、(1)と(2)で求めた複数の結果を代入します。どの文字にどの式を代入するのかを明確に意識し、慎重に計算を進めましょう。
• 結論から逆算する思考: この問題が「衝突する」ことを示唆していると知っていれば、計算結果が \(y_P(T) = y_Q(T)\) になるはずだ、というゴールが見えています。計算途中で辻褄が合わなくなった場合、どこで間違えたかを発見しやすくなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 別解との比較:
  • 静止系での段階的な計算と、相対運動を用いた一気の計算で、同じ結論（時刻 \(T=L/v_0\) で衝突する）が得られました。これは、2つのアプローチが物理的に等価であることを示しており、現象の深い理解につながります。
• 思考実験による妥当性確認:
  • もし \(g=0\)（無重力）なら、Pはその場に留まり、QはPに向かって速さ \(v_0\) で直進します。距離 \(L\) を進むのにかかる時間は \(T=L/v_0\) であり、当然衝突します。求まった答えは、この無重力の場合の結果と一致しており、重力は衝突時刻に影響を与えないという本質を示しています。
  • もしQがPを狙わずに別の方向（例えば真上）に打ち出されたら、当然衝突しません。この問題の結論は、Qが時刻0でPを「狙って」打ち出された、という初期条件に強く依存していることを再認識しましょう。

18 斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜め上方に打ち出された小球が、その軌道の最高点で壁に垂直に衝突するという、条件が特徴的な斜方投射の問題です。
この問題の核心は、「最高点に達した」という条件と「壁に垂直に衝突した」という条件を、物理的に正しく解釈し、数式に落とし込むことです。運動を水平方向と鉛直方向に分解して考える、斜方投射の基本的なアプローチが試されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「条件付きの斜方投射」です。運動の分解という基本に忠実に、与えられた物理的条件を一つずつ数式に変換していくことで解くことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
発射されてから壁に衝突するまでの時間 \(t\) を求めます。水平方向には力が働かないため、小球は初速度の水平成分を保ったまま等速直線運動をします。壁までの水平距離が \(l\) と与えられているので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」の関係から \(t\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 初速度の分解: まず、初速度 \(v\) を水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解します。
• 水平方向の運動: 水平方向は、速さ \(v_x\) の等速直線運動です。

具体的な解説と立式
水平右向きをx軸正、鉛直上向きをy軸正とします。
初速度 \(v\) の水平成分 \(v_x\) は、
$$ v_x = v \cos 60^\circ = \frac{1}{2}v $$
小球は水平方向に距離 \(l\) を、速さ \(v_x\) で時間 \(t\) をかけて進むので、
$$ l = v_x t $$

上記で立てた式に \(v_x = \displaystyle\frac{1}{2}v\) を代入し、\(t\) について解きます。
$$ l = \left(\frac{1}{2}v\right) t $$
$$ t = \frac{2l}{v} $$

ボールが壁に当たるまでの時間を知りたい場合、横方向の動きだけを見ます。ボールは横方向には一定の速さで進みます。壁までの横の距離（\(l\)）を、その横方向の速さで割れば、かかる時間が計算できます。

発射から壁に到達するまでの時間は \(\displaystyle\frac{2l}{v}\) です。
水平距離 \(l\) が長いほど、また初速 \(v\) が小さいほど時間がかかるという、直感的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
発射点から衝突点までの高さの差 \(h\) を求めます。問題文から、衝突点Qは軌道の最高点です。鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）において、最高点では鉛直方向の速度が \(0\) になります。この条件を、時間を含まない等加速度直線運動の公式に適用することで、\(h\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動: 鉛直方向は、初速度 \(v_y\) の鉛直投げ上げ運動です。
• 最高点の条件: 最高点Qでは、鉛直方向の速度成分が \(0\) になります。
• 時間を含まない公式の利用: 等加速度直線運動の公式 \(V^2 – V_0^2 = 2ax\) を使うと、時間を介さずに変位を求めることができます。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。初速度 \(v\) の鉛直成分 \(v_y\) は、
$$ v_y = v \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v $$
鉛直方向の運動について、初速度が \(v_y\)、最高点での速度が \(0\)、変位が \(h\)、加速度が \(-g\) なので、等加速度直線運動の公式 \(V^2 – V_0^2 = 2a \cdot \text{変位}\) を適用すると、
$$ 0^2 – v_y^2 = 2(-g)h $$

上記で立てた式に \(v_y = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v\) を代入し、\(h\) について解きます。
$$ -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}v\right)^2 = -2gh $$
$$ \frac{3}{4}v^2 = 2gh $$
$$ h = \frac{3v^2}{8g} $$

ボールがどれだけ高く上がるかを知りたい場合、上下方向の動きだけを見ます。ボールが一番高い場所に来たとき、上向きの勢いは一瞬だけゼロになります。この「勢いがゼロになる」という条件と、最初の上向きの勢いの関係を数式にすることで、高さを計算できます。

高さ \(h\) は \(\displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) です。
初速 \(v\) が大きいほど高く到達し、重力 \(g\) が大きいほど到達高度が低くなるという、物理的に妥当な関係式が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(h\) が \(l\) の何倍かを求めるには、(1)と(2)で導出した関係式から、媒介変数となっている初速度 \(v\) を消去して、\(h\) と \(l\) だけの関係式を作ります。
この設問における重要なポイント

• 複数の方程式の利用: 物理現象を異なる側面（水平運動と鉛直運動）から記述した複数の式を組み合わせることで、未知の変数を消去し、所望の関係を導きます。
• 時間の関係式の利用: 壁に到達する時間 \(t\) は、水平方向の運動から \(t = 2l/v\) と表せる一方、鉛直方向の運動（最高点到達）から \(t = v_y/g\) とも表せます。この2つの \(t\) が等しいことを利用します。

具体的な解説と立式
壁に到達する時間 \(t\) について、2つの表現が可能です。
1. 水平方向の運動より（問(1)の結果）:
$$ t = \frac{2l}{v} \quad \cdots ① $$
2. 鉛直方向の運動（最高点到達）より:
鉛直投げ上げの公式 \(V_y = v_{0y} – gt\) において、最高点では \(V_y=0\)、\(v_{0y} = v\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v\) なので、
$$ 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}v – gt $$
これを \(t\) について解くと、
$$ t = \frac{\sqrt{3}v}{2g} \quad \cdots ② $$
①と②は同じ時間 \(t\) を表しているので、これらを等しいとおくことで \(v\) を消去する準備をします。

①式と②式を等しいとおきます。
$$ \frac{2l}{v} = \frac{\sqrt{3}v}{2g} $$
この式を整理して、\(v^2\) を \(l\) と \(g\) で表します。
$$ 4gl = \sqrt{3}v^2 $$
$$ v^2 = \frac{4gl}{\sqrt{3}} \quad \cdots ③ $$
この \(v^2\) を、(2)で求めた \(h\) の式 \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{3}{8g} \left( \frac{4gl}{\sqrt{3}} \right) \\[2.0ex]&= \frac{12gl}{8g\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{3l}{2\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}\sqrt{3}l}{2\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2}l
\end{aligned}
$$
したがって、\(h\) は \(l\) の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍です。

高さ\(h\)と横の距離\(l\)の関係を知るために、両方の式に共通して含まれている「初速\(v\)」を消去します。壁に到達する時間は「横の動き」から計算する方法と「縦の動き」から計算する方法の2通りがあり、これらが等しいという関係を使うと「初速\(v\)」を消すことができます。その結果、\(h\)と\(l\)だけの関係式が手に入ります。

\(h\) は \(l\) の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍です。
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) なので、高さは水平距離より少し短いという、見た目の印象とも合う妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（斜方投射の基本）:
  • 核心: 斜方投射という2次元の運動を、互いに独立した2つの1次元の運動に分解して考えることが、この問題の全ての出発点です。
    • 水平方向: 力が働かないため、初速度の水平成分を保ったままの「等速直線運動」。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、初速度の鉛直成分を持つ「鉛直投げ上げ運動」（等加速度直線運動）。
• 物理的条件の数式化:
  • 核心: 問題文に記述された「最高点に達した」「壁に垂直に衝突した」という物理的な状況を、運動学の言葉（数式）に翻訳する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 「最高点に達した」 \(\rightarrow\) 速度の鉛直成分が \(0\) (\(v_y = 0\))。
    • 「鉛直な壁に垂直に衝突した」 \(\rightarrow\) 衝突時の速度ベクトルが水平方向を向いている \(\rightarrow\) 速度の鉛直成分が \(0\) (\(v_y = 0\))。

    この問題では、2つの条件が物理的に全く同じことを意味していると見抜くことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 特定の高さ・時刻での速度を問う問題: 「打ち出しから \(t\) 秒後の速さと向きを求めよ」「高さ \(H\) を通過するときの速さを求めよ」といった問題。運動の公式に具体的な値を代入して解く、基本的なパターンです。
  • 壁との弾性衝突: 壁に衝突した後、跳ね返る運動を考える問題。衝突直前の速度を求め、壁に垂直な方向の速度成分の符号だけを反転させて、衝突後の運動を解析します。
  • 到達距離や到達時間を最大にする角度を求める問題: 初速 \(v\) が一定のとき、水平到達距離が最大になるのは \(45^\circ\) で打ち上げたとき、というような最適化問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を分解する: まずは何も考えずに、初速度を水平成分と鉛直成分に分解します。これが定石です。
  2. 条件をリストアップする: 問題文中の「最高点」「垂直衝突」「特定の点を通過」などのキーワードを見つけ、それが運動学的に何を意味するのか（例: \(v_y=0\), \(x=l\), \(y=h\)）を箇条書きにします。
  3. どの公式を使うか選択する:
     • 時間 \(t\) が関わる場合 \(\rightarrow\) \(x=v_xt\), \(y=v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = v_{0y} – gt\)
     • 時間 \(t\) が関わらない場合 \(\rightarrow\) \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\), 力学的エネルギー保存則

     このように、求めたい量と与えられた量に応じて、適切な公式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の分解ミス:
  • 誤解: 水平成分を \(\sin\)、鉛直成分を \(\cos\) と取り違える。
  • 対策: 必ず図を描き、角度 \(60^\circ\) を挟む辺が \(\cos\)、挟まない辺が \(\sin\) と確認する習慣をつけましょう。
• 「最高点」と「垂直衝突」の条件の結びつけ:
  • 誤解: 「最高点」と「垂直衝突」を別々の現象として捉え、どう扱っていいか混乱する。
  • 対策: 「壁に垂直に衝突」とは、速度ベクトルが壁に垂直（つまり水平）になることを意味します。速度ベクトルが水平になるのは、軌道上でただ一点、最高点しかありません。この2つの条件が同値であることに気づくことが、問題を解く上でのショートカットになります。
• 媒介変数の消去の発想:
  • 誤解: (3)で \(h\) と \(l\) の関係を問われたときに、どう手をつけていいかわからなくなる。
  • 対策: 物理の問題では、複数の異なる法則や側面から立式すると、共通の変数（この問題では初速 \(v\) や時間 \(t\)）が含まれることがよくあります。求めたい関係以外の変数を「媒介変数」とみなし、連立方程式を解いて消去するという数学的なテクニックは、様々な場面で有効です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 放物線軌道の描画: 小球が綺麗な放物線を描き、その頂点で壁に衝突するイメージを明確に描きます。
  • 速度ベクトルの変化: 打ち出し直後は斜め上を向いていた速度ベクトルが、上昇するにつれてだんだん水平に近づき、最高点で完全に水平になり、その後は斜め下を向いていく、という連続的な変化をイメージします。この問題は、その「完全に水平になった瞬間」を捉えたものです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初期条件と最終条件の明記: 発射点Pでの初速度ベクトル（大きさと向き）と、衝突点Qでの速度ベクトル（水平向き）を明確に描き分けます。
  • 幾何学的関係の記入: 水平距離 \(l\) と高さ \(h\) を図に正確に記入し、座標軸との関係を明確にします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 水平方向: 等速直線運動 (\(l = v_x t\)):
  • 選定理由: (1)で時間 \(t\) を求めるため。水平方向の運動は情報（距離 \(l\), 水平速度 \(v_x\)）が揃っており、最も単純な関係式で \(t\) を表現できるから。
  • 適用根拠: 水平方向には力が作用しない（加速度がゼロ）ため。
• 鉛直方向: 時間を含まない公式 (\(0^2 – v_y^2 = -2gh\)):
  • 選定理由: (2)で高さ \(h\) を求めるため。最高点(\(v_y=0\))という条件を使うことで、時間を計算せずに直接 \(h\) を求められる最も効率的な公式だから。
  • 適用根拠: 鉛直方向には一定の重力加速度 \(-g\) が作用するため。
• 媒介変数の消去のための連立:
  • 選定理由: (3)で、問題文で与えられていない変数 \(v\) を消去し、与えられた変数 \(l\) と求めたい変数 \(h\) の関係だけを導き出すため。
  • 適用根拠: 同じ物理現象（壁への衝突）を、水平運動と鉛直運動という異なる側面から記述した式は、当然同じ時間 \(t\) や初速 \(v\) について成り立っているはずです。この物理的な要請を、連立方程式を解くという数学的な操作で実現します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 運動の分解: 初速度 \(v\) を水平成分 \(v_x = v\cos60^\circ\) と鉛直成分 \(v_y = v\sin60^\circ\) に分解する。
2. (1) 時間 \(t\) の計算:
   • 戦略: 水平方向の等速直線運動に着目。
   • フロー: \(l = v_x t\) の式を立て、\(v_x\) を代入し \(t\) について解く。
3. (2) 高さ \(h\) の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の鉛直投げ上げ運動と、最高点(\(v_y=0\))の条件に着目。
   • フロー: \(V_y^2 – v_{0y}^2 = -2gh\) の式を立て、\(V_y=0\), \(v_{0y}\) を代入し \(h\) について解く。
4. (3) \(h\) と \(l\) の関係式の導出:
   • 戦略: (1), (2)の結果や他の運動公式から、媒介変数 \(v\) を消去する。
   • フロー: ①水平運動から \(t = 2l/v\)、②鉛直運動から \(t = v_y/g = \sqrt{3}v/2g\) と、2通りで \(t\) を表現 → ③両者を等しいとおき、\(v^2\) を \(l, g\) で表す → ④その \(v^2\) を(2)で求めた \(h\) の式に代入し、\(h\) と \(l\) の関係を導く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値: \(\cos 60^\circ = 1/2\), \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\) を正確に使うことが基本です。
• 分数の計算: \(\displaystyle h = \frac{3v^2}{8g}\) のような分数が絡む計算では、分子と分母の整理を慎重に行いましょう。
• 文字の消去: (3)のように複数の式を連立させる場合、どの文字を消去したいのかを明確にし、最も簡単な代入方法を考えましょう。例えば、\(v\) ではなく \(v^2\) の形で代入すると、平方根の計算を避けられて楽になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 次元（単位）の確認:
  • \(t = 2l/v\) の次元は \([\text{m}]/[\text{m/s}] = [\text{s}]\) であり、時間の次元と一致。
  • \(h = 3v^2/8g\) の次元は \([\text{m/s}]^2/[\text{m/s}^2] = [\text{m}]\) であり、長さの次元と一致。
  • \(h = (\sqrt{3}/2)l\) は、両辺とも長さの次元であり、無次元量の定数倍となっているため妥当。
• 別解との比較:
  • (2)の高さ \(h\) は、運動学の公式と力学的エネルギー保存則の2通りで求められ、結果が一致しました。これは計算の正しさを裏付けます。
  • (3)の関係式は、(2)で求めた \(h\) の式 \(h=3v^2/8g\) を使う方法の他に、模範解答のように鉛直方向の変位の式 \(h = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\) に \(t=2l/v\) を代入し、(2)の結果も利用して解く方法もあります。複数の導出経路で同じ結果が得られることを確認するのも良い練習になります。

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