「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 6】Step1 & 例題

Step1

① 力のモーメント

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「力のモーメントの計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

【設問aの解説】

思考の道筋とポイント
力のモーメントは、物体をどれだけ効率よく回転させられるかを示す指標です。図aのケースは、力が回転軸からの距離（腕）に対して垂直に作用している最も基本的な状況です。ドアノブをまっすぐ押すのと同じで、力のすべてが回転に寄与します。したがって、モーメントの大きさは単純に「力の大きさ」と「回転軸から力の作用点までの距離」の積で求められます。

この設問における重要なポイント

• 力のモーメントの公式: \(M = Fh\)。ここで \(F\) は力の大きさ、\(h\) は腕の長さです。
• 腕の長さの定義: 回転軸から力の作用線に下ろした垂線の長さ。
• 図aでは、力が腕に対して垂直なので、腕の長さ \(h\) は回転軸Oから力の作用点までの距離 \(3.0 \, \text{m}\) にそのまま等しくなります。

具体的な解説と立式
図aにおいて、力の大きさを \(F_a = 2.0 \, \text{N}\)、回転軸Oから力の作用点までの距離を \(L_a = 3.0 \, \text{m}\) とします。
力が距離のベクトルに対して垂直であるため、腕の長さ \(h_a\) は \(L_a\) と等しくなります。
$$ h_a = 3.0 \, \text{m} $$
力のモーメントの大きさ \(M_a\) は、公式 \(M = Fh\) を用いて次のように立式できます。
$$ M_a = F_a \times h_a $$

立式した式に、与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
M_a &= 2.0 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 6.0
\end{aligned}
$$
したがって、力のモーメントの大きさは \(6.0 \, \text{N} \cdot \text{m}\) となります。

力のモーメントは「回転させる力」のことです。図aのように、回転の中心から離れた場所をまっすぐ（垂直に）押す場合、計算はとてもシンプルです。「加えた力の大きさ」と「中心からの距離」を掛け算するだけで求めることができます。
\(2.0 \, \text{N}\) の力で、中心から \(3.0 \, \text{m}\) の場所を押しているので、\(2.0 \times 3.0 = 6.0\) となります。

【設問bの解説】

思考の道筋とポイント
図bでは、力が腕に対して斜め \(30^\circ\) の角度で作用しています。このように斜めに力がかかる場合、力のすべてが回転に寄与するわけではありません。回転に直接影響するのは、腕に対して垂直な成分のみです。そのため、モーメントを計算するには2つの考え方があります。
1. 力を「腕に垂直な成分」と「腕に平行な成分」に分解し、垂直成分を使って計算する方法。
2. 力のモーメントの定義 `力 × 腕の長さ` に立ち返り、回転軸から力の作用線までの垂直距離（腕の長さ）を三角比で求めてから計算する方法。
どちらの方法でも同じ結果が得られます。ここでは、力を分解する方法をメインに解説します。

この設問における重要なポイント

• 力の分解: 斜めにかかる力を、互いに直交する2つの力（腕に垂直な成分と平行な成分）に分解して考えます。回転に寄与するのは垂直成分だけです。
• 力のモーメントの公式（力を分解する場合）: \(M = L \times F_{\perp} = L F \sin\theta\)。ここで \(L\) は回転軸から作用点までの距離、\(F_{\perp}\) は力の垂直成分、\(\theta\) は腕と力のなす角です。
• 三角比: \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) の値を知っていることが計算の鍵となります。

具体的な解説と立式
図bにおいて、力の大きさを \(F_b = 6.0 \, \text{N}\)、回転軸Oから力の作用点までの距離を \(L_b = 3.0 \, \text{m}\) とします。力と腕のなす角は \(30^\circ\) です。
力を、腕に対して垂直な成分 \(F_{\perp}\) と平行な成分 \(F_{\parallel}\) に分解します。回転に寄与するのは垂直成分 \(F_{\perp}\) のみです。
$$ F_{\perp} = F_b \sin 30^\circ $$
力のモーメントの大きさ \(M_b\) は、距離 \(L_b\) と力の垂直成分 \(F_{\perp}\) の積で求められます。
$$ M_b = L_b \times F_{\perp} = L_b \times (F_b \sin 30^\circ) $$

立式した式に、与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
M_b &= 3.0 \times (6.0 \times \sin 30^\circ) \\[2.0ex]&= 3.0 \times (6.0 \times \frac{1}{2}) \\[2.0ex]&= 3.0 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 9.0
\end{aligned}
$$
したがって、力のモーメントの大きさは \(9.0 \, \text{N} \cdot \text{m}\) となります。

ドアノブを斜めに押してもドアは回りますが、まっすぐ押すよりは効率が悪くなります。この問題では、その「回転に本当に効いている力」がどれだけかを考えます。
斜め \(6.0 \, \text{N}\) の力のうち、回転に有効な「まっすぐ押す成分」は \(6.0 \times \sin 30^\circ = 3.0 \, \text{N}\) です。
この有効な力 \(3.0 \, \text{N}\) が、中心から \(3.0 \, \text{m}\) の距離にかかっているので、モーメントは \(3.0 \times 3.0 = 9.0\) と計算できます。

② 平行な2力の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平行な2力の合成」です。複数の力を、それらと等価な一つの力（合力）に置き換える方法を学びます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

【設問cの解説】

思考の道筋とポイント
図cでは、\(2.0 \, \text{N}\) と \(6.0 \, \text{N}\) の2つの力が平行かつ同じ向き（下向き）に働いています。
まず、合力の大きさは単純に2つの力の和で求められます。向きも同じく下向きです。
次に、合力の作用点の位置を考えます。これは、2つの力が作る回転の効果を打ち消す点、つまり「力のモーメントがつりあう点」になります。直感的には、シーソーで重い人（力が大きい方）が支点の近くに座るのと同じで、合力の作用点は力が大きい \(6.0 \, \text{N}\) の方に寄ります。この位置は、2つの力の作用点を結ぶ線分を、力の大きさの「逆比」に内分する点として計算できます。

この設問における重要なポイント

• 合力の大きさ（同方向）: \(F = F_1 + F_2\)。
• 合力の作用点: 2つの力の作用点を結ぶ線分を、力の大きさの逆比 \(F_2 : F_1\) に内分する点。
• 力のモーメントのつり合い: 合力の作用点を回転軸と考えると、各力が作るモーメントの和は \(0\) になる。

具体的な解説と立式
2つの力を \(F_1 = 2.0 \, \text{N}\), \(F_2 = 6.0 \, \text{N}\) とします。
1. 合力の大きさ \(F_c\)
同じ向きなので、大きさは和になります。
$$ F_c = F_1 + F_2 $$
2. 合力の作用点の位置 \(x\)
2つの力の作用点を結ぶ線分（長さ \(12 \, \text{m}\)）を、力の大きさの逆比 \(F_2 : F_1 = 6.0 : 2.0\) に内分する点が合力の作用点です。左の力の作用点からの距離を \(x\)、右の力の作用点からの距離を \(12-x\) とすると、次の比例式が成り立ちます。
$$ x : (12-x) = 6.0 : 2.0 \quad \cdots ① $$

1. 合力の大きさの計算
$$
\begin{aligned}
F_c &= 2.0 + 6.0 \\[2.0ex]&= 8.0 \, \text{N}
\end{aligned}
$$
2. 作用点の位置の計算
式①より、比の内項の積と外項の積は等しいので、
$$
\begin{aligned}
2.0 \times x &= 6.0 \times (12-x) \\[2.0ex]2x &= 72 – 6x \\[2.0ex]8x &= 72 \\[2.0ex]x &= 9.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$

2つの力をまとめた「合力」を求めます。
まず大きさは、同じ方向を向いているので単純に足し算です。\(2.0 + 6.0 = 8.0 \, \text{N}\)。
次に場所ですが、シーソーを考えると分かりやすいです。支点（合力の場所）は、重い人（力が大きい方）の近くに来ますよね。力の比が \(2.0 : 6.0 = 1 : 3\) なので、支点からの距離の比は逆の \(3 : 1\) になります。全長 \(12 \, \text{m}\) を \(3:1\) に分けるので、\(2.0 \, \text{N}\) の力からの距離は \(12 \times \displaystyle\frac{3}{3+1} = 9.0 \, \text{m}\) となります。

【設問dの解説】

思考の道筋とポイント
図dでは、\(2.0 \, \text{N}\)（上向き）と \(6.0 \, \text{N}\)（下向き）の力が平行かつ逆向きに働いています。
合力の大きさは2つの力の大きさの差で、向きは大きい方の力（\(6.0 \, \text{N}\)）と同じ下向きになります。
作用点の位置は、2つの力の作用点を結ぶ線分の延長線上、つまり「外側」に来ます。特に、大きい方の力の側に作用点が現れます。これは、棒の両端を逆向きにひねるような状況を想像すると、棒全体を動かす支点は外側に必要になることから理解できます。この位置は、2つの力の作用点を結ぶ線分を、力の大きさの「逆比」に外分する点として計算できます。

この設問における重要なポイント

• 合力の大きさ（逆方向）: \(F = |F_1 – F_2|\)。向きは大きい方の力と同じ。
• 合力の作用点: 2つの力の作用点を結ぶ線分を、力の大きさの逆比 \(F_2 : F_1\) に外分する点。作用点は大きい方の力の外側にくる。
• 力のモーメントのつり合い: この場合も、合力の作用点を回転軸と考えるとモーメントはつりあう。

具体的な解説と立式
2つの力を \(F_1 = 2.0 \, \text{N}\) (上向き), \(F_2 = 6.0 \, \text{N}\) (下向き) とします。
1. 合力の大きさ \(F_d\)
逆向きなので、大きさは差になります。向きは大きい方の \(F_2\) と同じ下向きです。
$$ F_d = F_2 – F_1 $$
2. 合力の作用点の位置 \(x\)
2つの力の作用点を結ぶ線分を、力の大きさの逆比 \(F_2 : F_1 = 6.0 : 2.0\) に外分する点が合力の作用点です。
左の力の作用点から合力の作用点までの距離は \(12+x\)、右の力の作用点からの距離は \(x\) です。
次の比例式が成り立ちます。
$$ (12+x) : x = 6.0 : 2.0 \quad \cdots ② $$

1. 合力の大きさの計算
$$
\begin{aligned}
F_d &= 6.0 – 2.0 \\[2.0ex]&= 4.0 \, \text{N}
\end{aligned}
$$
2. 作用点の位置の計算
式②より、
$$
\begin{aligned}
2.0 \times (12+x) &= 6.0 \times x \\[2.0ex]24 + 2x &= 6x \\[2.0ex]24 &= 4x \\[2.0ex]x &= 6.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$

逆向きの力をまとめます。
まず大きさは、逆向きなので引き算です。\(6.0 – 2.0 = 4.0 \, \text{N}\)。向きは大きい方の下向きです。
次に場所ですが、今度は2つの力の間ではなく、外側になります。そして、やはり力が大きい \(6.0 \, \text{N}\) の力の側に寄ります。
力の比が \(2.0 : 6.0 = 1 : 3\) なので、合力の場所からの距離の比は逆の \(3 : 1\) になります。つまり、\(2.0 \, \text{N}\) の力からの距離が、\(6.0 \, \text{N}\) の力からの距離の3倍になればOKです。
\(6.0 \, \text{N}\) の力からの距離を \(x\) とすると、\(2.0 \, \text{N}\) の力からの距離は \(12+x\) です。
\((12+x) = 3 \times x\) という式を解くと、\(x=6.0 \, \text{m}\) と求まります。

③ 重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2質点系の重心の計算」です。複数の質点からなる物体全体の「重さの中心」である重心の位置を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
重心の位置を求める最も直接的な方法は、重心の座標公式を利用することです。この公式は、質点がいくつあっても適用できる汎用性の高いものです。公式を正しく使うためには、まず基準となる座標軸を設定し、各質点の「質量」と「座標」を正確に把握することが第一歩となります。計算を簡単にするため、質点の一つを座標の原点に置くのが定石です。

この設問における重要なポイント

• 重心の座標公式: 2質点の場合、\(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}\)。
• 座標軸の設定: 点Aを原点(\(x=0\))とすると、点Bの座標は \(x=12\) となり、計算が簡潔になります。
• 各質点の情報整理:
  • 質点A: 質量 \(m_A = 3.0 \, \text{kg}\), 座標 \(x_A = 0\)
  • 質点B: 質量 \(m_B = 6.0 \, \text{kg}\), 座標 \(x_B = 12 \, \text{m}\)

具体的な解説と立式
質点AとBを結ぶ直線上にx軸をとり、点Aを原点(\(x=0\))とします。

• 質点Aの質量を \(m_A = 3.0 \, \text{kg}\)、座標を \(x_A = 0\) とします。
• 質点Bの質量を \(m_B = 6.0 \, \text{kg}\)、座標を \(x_B = 12 \, \text{m}\) とします。

重心のx座標 \(x_G\) は、重心の公式を用いて次のように立式できます。
$$ x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B} \quad \cdots ① $$

式①に各数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{3.0 \times 0 + 6.0 \times 12}{3.0 + 6.0} \\[2.0ex]&= \frac{0 + 72}{9.0} \\[2.0ex]&= \frac{72}{9.0} \\[2.0ex]&= 8.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、重心Gは点Aから \(8.0 \, \text{m}\) の位置にあります。

重心は「重さの平均点」のようなものです。公式を使って機械的に計算できます。
まず、点Aをスタート地点(0m)と決めます。すると点Bは12m地点になります。
重心の位置は、「(Aの質量×Aの位置)＋(Bの質量×Bの位置)」を「全体の質量」で割ることで求まります。
計算すると、\((3.0 \times 0 + 6.0 \times 12) \div (3.0 + 6.0) = 72 \div 9.0 = 8.0\) となり、重心はスタート地点Aから8.0mの場所にあることがわかります。

④ 偶力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「偶力のモーメントの計算」です。水道の蛇口をひねるような、対になった力が物体に与える回転効果について考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

【設問の解説】

思考の道筋とポイント
この問題で問われているのは「偶力のモーメント」です。偶力とは、図のように、大きさが同じで向きが反対の平行な力のペアを指します。この力は、物体を移動させる（並進運動させる）ことなく、その場で回転させる効果だけを持ちます。
偶力のモーメントの計算は非常にシンプルで、専用の公式 \(M = Fd\) に当てはめるだけで解くことができます。ここで \(F\) はペアになっている力のうちの一方の大きさ、\(d\) は2つの力の間の垂直距離です。
この問題を解く上での唯一の注意点は、距離の単位です。問題では \(4.0 \, \text{cm}\) と与えられていますが、力の単位がN（ニュートン）であるため、距離も基本単位であるm（メートル）に直してから計算する必要があります。この単位換算を忘れないことが、正解への鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 偶力のモーメントの公式: \(M = Fd\)。この公式を正しく記憶していることが大前提です。
• \(F\)と\(d\)の特定: 問題文から、\(F = 5.0 \, \text{N}\)、\(d = 4.0 \, \text{cm}\) であることを正確に読み取ります。
• 単位換算: 物理計算の基本ルールとして、単位をSI基本単位系に統一します。\(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\) を用いて、\(4.0 \, \text{cm}\) を \(0.04 \, \text{m}\) または \(4.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) に変換します。

具体的な解説と立式
偶力のモーメントの大きさを \(M\) とします。
問題文より、偶力を構成する一方の力の大きさ \(F\) は、
$$ F = 5.0 \, \text{N} $$
2つの力の作用線間の距離 \(d\) は、
$$ d = 4.0 \, \text{cm} $$
計算のために、距離 \(d\) の単位をmに換算します。
$$ d = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{m} $$
偶力のモーメントの公式 \(M = Fd\) を用いて、次のように立式できます。
$$ M = F \times d $$

立式した式に、与えられた数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
M &= 5.0 \times (4.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]&= 20 \times 10^{-2} \\[2.0ex]&= 0.20
\end{aligned}
$$
したがって、偶力のモーメントの大きさは \(0.20 \, \text{N} \cdot \text{m}\) となります。

「偶力」とは、水道の蛇口や車のハンドルを両手でひねる時のような、「ペアになった力」のことです。このペアの力が生み出す回転パワー（モーメント）は、とても簡単な掛け算で求めることができます。

回転パワー = (片方の手の力) × (2つの力がかかっている点の間の距離)

この問題に当てはめると、

• 片方の力: \(5.0 \, \text{N}\)
• 2つの力の間の距離: \(4.0 \, \text{cm}\)

ただし、物理の計算では単位を「メートル」に揃えるのがお約束です。\(4.0 \, \text{cm}\) は \(0.04 \, \text{m}\) なので、

回転パワー = \(5.0 \times 0.04 = 0.20\)

となり、答えは \(0.20 \, \text{N} \cdot \text{m}\) です。

例題

例題19 重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重心の計算」です。一部を切り取った板の重心を求める問題で、2つの代表的な解法（分割法と負の質量法）を学ぶことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

設問

思考の道筋とポイント
残った部分の重心を求めるために、この図形を重心位置が明らかな複数の部分に分割して考える「分割法」を用います。残った図形は、一辺が\(\frac{L}{2}\)の同じ大きさの正方形3つで構成されていると見なすことができます。それぞれの質量と重心座標を求め、重心の公式に代入することで、全体の重心を計算します。
この設問における重要なポイント

• 重心の公式: \(x_G = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\)
• 一様な板なので、質量は面積に比例する。
• 正方形の重心はその幾何学的な中心に位置する。

具体的な解説と立式
元の正方形OABCの質量は\(M\)、面積は\(L^2\)です。
切り取った正方形TQBRの面積は \(\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{L^2}{4}\) であり、これは全体の面積の\(\frac{1}{4}\)です。
板は一様なため、質量は面積に比例します。したがって、切り取った部分の質量は\(\frac{M}{4}\)です。
残りの部分OAQTRCの質量は \(M – \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}\) となります。

この残りの部分を、図のように3つの小正方形（①OPTS, ②PAQT, ③STRC）に分割します。
各小正方形の面積は\(\frac{L^2}{4}\)なので、その質量はそれぞれ\(\frac{M}{4}\)です。
それぞれの重心座標は、各小正方形の中心なので、

• 小正方形① (OPTS) の重心 \(G_1\): \( (x_1, y_1) = (\frac{L}{4}, \frac{L}{4}) \)
• 小正方形② (PAQT) の重心 \(G_2\): \( (x_2, y_2) = (\frac{3L}{4}, \frac{L}{4}) \)
• 小正方形③ (STRC) の重心 \(G_3\): \( (x_3, y_3) = (\frac{L}{4}, \frac{3L}{4}) \)

求める重心Gのx座標\(x_G\)は、重心の公式より次のように立式できます。
$$ x_G = \frac{\frac{M}{4}x_1 + \frac{M}{4}x_2 + \frac{M}{4}x_3}{\frac{M}{4} + \frac{M}{4} + \frac{M}{4}} $$
y座標\(y_G\)も同様に立式できます。

まず、x座標\(x_G\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{\frac{M}{4} \cdot \frac{L}{4} + \frac{M}{4} \cdot \frac{3L}{4} + \frac{M}{4} \cdot \frac{L}{4}}{\frac{M}{4} + \frac{M}{4} + \frac{M}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{M}{4} \left(\frac{L}{4} + \frac{3L}{4} + \frac{L}{4}\right)}{\frac{3M}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{5L}{4}}{3} \\[2.0ex]&= \frac{5L}{12}
\end{aligned}
$$
次に、y座標\(y_G\)を計算します。図形が直線\(y=x\)に関して対称であるため、\(y_G = x_G = \frac{5L}{12}\)となることは明らかですが、同様に計算で求めます。
$$
\begin{aligned}
y_G &= \frac{\frac{M}{4} \cdot \frac{L}{4} + \frac{M}{4} \cdot \frac{L}{4} + \frac{M}{4} \cdot \frac{3L}{4}}{\frac{M}{4} + \frac{M}{4} + \frac{M}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{M}{4} \left(\frac{L}{4} + \frac{L}{4} + \frac{3L}{4}\right)}{\frac{3M}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{\frac{5L}{4}}{3} \\[2.0ex]&= \frac{5L}{12}
\end{aligned}
$$

残ったL字が3つ合わさったような形を、3つの同じ大きさの正方形に分解します。それぞれの正方形の重さ（質量）は、全体の\(\frac{1}{4}\)なので\(\frac{M}{4}\)です。それぞれの正方形の重心（中心点）の座標を求めます。3つの「おもり」の全体の重心を求める公式に、それぞれの重さと座標を代入して計算します。

重心Gの座標は \((\frac{5L}{12}, \frac{5L}{12})\) となります。\(\frac{5}{12} \approx 0.417\) なので、\(x, y\)ともに元の正方形の中心 \((\frac{L}{2}, \frac{L}{2})\) よりも原点側にずれています。右上の部分を切り取ったので、重心が左下に移動するのは直感とも一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重心の定義式とその応用:
  • 核心: この問題は、重心の定義式 \(x_G = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) をいかに使いこなすかに尽きます。特に、複雑な形状に対して、以下の2つのアプローチを自在に選択・適用できることが重要です。
    1. 分割法: 複雑な図形を、重心が既知の単純な図形（今回は3つの小正方形）の集合とみなし、それらの合成重心として計算する方法。
    2. 負の質量法（補集合法）: 「（元の全体）＝（残りの部分）＋（切り取った部分）」という関係を利用し、切り取った部分を「負の質量」を持つ物体とみなして、全体の重心から差し引くという考え方。
  • 理解のポイント: どちらの解法も、根本は同じ重心の定義式に基づいています。問題の形状に応じて、より計算が楽になる方を選択できる応用力が求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円板から円をくり抜く問題: ドーナツ形や、偏心した穴が開いた円板の重心を求める問題。この場合、分割は困難なため、負の質量法が絶大な威力を発揮します。
  • 異なる図形の組み合わせ: 三角形の板と長方形の板を組み合わせたT字型やL字型の物体の重心。この場合は、各図形の重心位置と質量（面積）を求め、分割法（合成重心）で解くのが一般的です。
  • 3次元の物体: 直方体から球をくり抜いた物体の重心など。考え方は2次元と全く同じで、各座標成分（x, y, z）について独立に重心の公式を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性の利用: まず、図形全体に対称性がないかを探します。もし対称軸が存在すれば、重心はその軸上にあります。この問題では、図形が直線\(y=x\)に対して対称なので、計算する前から\(x_G = y_G\)であることが確定します。これにより、計算量を半分にでき、検算にも使えます。
  2. 解法の選択:
     • 分割法は有効か？: 残った図形を、重心が簡単にわかる単純な図形（正方形、長方形、三角形、円など）にきれいに分割できるか。
     • 負の質量法は有効か？: 元の全体の図形と、切り取った部分の図形の重心が、それぞれ簡単にわかるか。

     くり抜き問題では、多くの場合「負の質量法」が計算を簡潔にします。

  3. 座標系の設定: 座標系が与えられていない場合は、計算が最も楽になるように、図形の頂点や対称軸を基準に自分で原点や軸を設定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 各部分の重心座標の誤認:
  • 誤解: 分割した小正方形や、切り取った部分の正方形の重心座標を間違える。例えば、切り取った正方形TQBRの重心を、元の正方形の中心である\((\frac{L}{2}, \frac{L}{2})\)と勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず図に座標を書き込み、各部分の中心点の座標を、\(x\)座標、\(y\)座標それぞれ慎重に読み取る習慣をつけます。
• 負の質量法の公式の符号ミス:
  • 誤解: 負の質量法を用いる際に、分子を\(m_1x_1 + m_2x_2\)のように足し算にしたり、分母を\(m_1+m_2\)と足し算にしてしまったりする。
  • 対策: 「全体から一部を引く」という操作なので、分子も分母も「引き算」になると覚えます。\(x_G = \frac{(\text{全体のモーメント}) – (\text{引く部分のモーメント})}{(\text{全体の質量}) – (\text{引く部分の質量})}\) という、式の物理的な意味を理解することが重要です。
• 質量と面積の関係の誤解:
  • 誤解: 一様な板では質量が面積に比例するという関係を忘れ、各部分の質量をどう設定してよいかわからなくなる。
  • 対策: 「一様」という言葉を見たら「質量 \(\propto\) 面積」と機械的に連想します。全体の面積と部分の面積の比を計算し、それをそのまま質量の比として用います。例えば、質量を\(M, \frac{M}{4}\)と置かずに、面積比から\(4, 1\)や\(3, 1\)といった簡単な整数比で計算すると、計算がさらに楽になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重心の公式 (\(x_G = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\)):
  • 選定理由: これが重心の「定義式」そのものであるためです。重心とは、物理的には「力のモーメントのつり合いの中心」であり、その点に全質量が集中しているとみなして力学的な計算ができる、非常に重要な点です。
  • 適用根拠:
    • 分割法: 複数の質点（この場合は分割した各部分の重心に質量が集中しているとみなす）の集まりとして、定義式を直接適用しています。
    • 負の質量法: これは定義式の応用形です。\(m_{\text{全体}}x_{\text{全体}} = m_{\text{残り}}x_{\text{残り}} + m_{\text{切り取り}}x_{\text{切り取り}}\) という「モーメントの足し算」の式を、求めたい \(x_{\text{残り}}\) について変形したものと解釈できます。この背景を理解すると、なぜ負の質量法が成り立つのかが論理的にわかります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 質量の比を用いる:
  • 質量を\(M\)や\(\frac{M}{4}\)と文字で置く代わりに、面積比から質量の比を簡単な整数で表すと、計算が大幅に簡略化されます。
  • 分割法の場合: 3つの小正方形の質量比は\(1:1:1\)。\(x_G = \frac{1 \cdot \frac{L}{4} + 1 \cdot \frac{3L}{4} + 1 \cdot \frac{L}{4}}{1+1+1} = \frac{5L/4}{3} = \frac{5L}{12}\)。
  • 負の質量法の場合: 元の全体と切り抜きの質量比は\(4:1\)。\(x_G = \frac{4 \cdot \frac{L}{2} – 1 \cdot \frac{3L}{4}}{4-1} = \frac{2L – \frac{3L}{4}}{3} = \frac{5L/4}{3} = \frac{5L}{12}\)。

  このように、\(M\)の文字が消えて計算が楽になります。

• 繁分数の計算:
  • 負の質量法で出てくる \(x_G = \frac{M \frac{L}{2} – \frac{M}{4} \frac{3L}{4}}{M – \frac{M}{4}}\) のような繁分数は、まず分子と分母をそれぞれ通分して整理してから、最後に割り算（逆数を掛ける）を実行するとミスが少なくなります。
• 対称性の活用による検算:
  • 最初に\(y=x\)の対称性を見抜いていれば、\(x_G\)だけを計算すれば\(y_G\)も自動的に求まります。もし、わざわざ\(y_G\)も計算してみて、\(x_G\)と値が異なったら、どこかで計算ミスをしていると気づくことができます。

例題20 剛体のつり合い

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつり合い」です。床に立てかけた棒が、すべり始める瞬間の条件を求める問題です。剛体が静止し続けるための2つの条件、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」を正しく立式し、連立させて解くことが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

設問

思考の道筋とポイント
床に立てかけた棒が「すべり始める」瞬間のつり合いを考える問題です。この「すべり始める瞬間」という言葉が、床からの摩擦力が「最大静止摩擦力」になっていることを示唆しています。
剛体のつり合いの問題では、常に「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」の2つの条件を考える必要があります。これらを立式するために、まずは棒に働くすべての力を正確に図示することが第一歩となります。
この設問における重要なポイント

• 力の図示: 棒には、①重力\(Mg\)、②床からの垂直抗力\(N_1\)、③壁からの垂直抗力\(N_2\)、④床からの静止摩擦力\(f\) の4つの力が働く。
• すべり始めの条件: 静止摩擦力\(f\)が最大静止摩擦力 \(\mu_0 N_1\) に等しくなる。
• つり合いの条件式:
  1. 水平方向の力のつり合い
  2. 鉛直方向の力のつり合い
  3. 力のモーメントのつり合い

具体的な解説と立式
棒に働く力は以下の通りです。

1. 重力: 棒は一様なので、重心（中心）に鉛直下向きに大きさ\(Mg\)の力が働く。
2. 床からの垂直抗力: 床から棒に、鉛直上向きに大きさ\(N_1\)の力が働く。
3. 壁からの垂直抗力: 壁はなめらかなので摩擦力はなく、棒に水平右向きに大きさ\(N_2\)の力が働く。
4. 床からの静止摩擦力: 棒は右にすべろうとするので、それを妨げる向き、すなわち水平左向きに静止摩擦力が働く。すべり始める瞬間なので、その大きさは最大静止摩擦力 \(\mu_0 N_1\) となる。

これらの力について、つり合いの式を立てます。

• 水平方向の力のつり合い:
  $$ N_2 – \mu_0 N_1 = 0 \quad \cdots ① $$
• 鉛直方向の力のつり合い:
  $$ N_1 – Mg = 0 \quad \cdots ② $$
• 力のモーメントのつり合い:
  計算を簡単にするため、未知の力が最も多く集まる点、すなわち棒の下端（床との接点）を回転軸Pとします。Pのまわりの力のモーメントのつり合いを考えます。\(N_1\)と\(\mu_0 N_1\)はPに働く力なので、モーメントは0です。
  • \(N_2\)によるモーメント: (反時計回りを正とする)
    腕の長さは \(2L\sin\theta\)。力の大きさは\(N_2\)。モーメントは \(N_2 \times 2L\sin\theta\)。
  • 重力\(Mg\)によるモーメント: (時計回りなので負)
    腕の長さは \(L\cos\theta\)。力の大きさは\(Mg\)。モーメントは \(-Mg \times L\cos\theta\)。

  したがって、モーメントのつり合いの式は、
  $$ N_2 \cdot 2L\sin\theta – Mg \cdot L\cos\theta = 0 \quad \cdots ③ $$

①, ②, ③の3つの式を連立させて、\(\theta\)の条件を求めます。
まず、②式より、
$$ N_1 = Mg $$
これを①式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
N_2 – \mu_0 (Mg) &= 0 \\[2.0ex]N_2 &= \mu_0 Mg
\end{aligned}
$$
次に、求まった\(N_2\)の値を③式に代入します。
$$ (\mu_0 Mg) \cdot 2L\sin\theta – Mg \cdot L\cos\theta = 0 $$
この式の両辺を \(MgL\) で割ります。（\(M, g, L\)は0ではない）
$$
\begin{aligned}
\mu_0 \cdot 2\sin\theta – \cos\theta &= 0 \\[2.0ex]2\mu_0\sin\theta &= \cos\theta
\end{aligned}
$$
\(\cos\theta \neq 0\) として両辺を \(\cos\theta\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
2\mu_0 \frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= 1 \\[2.0ex]2\mu_0 \tan\theta &= 1
\end{aligned}
$$
したがって、\(\theta\)の満たす条件は、
$$ \tan\theta = \frac{1}{2\mu_0} $$

棒が倒れず、すべりもせず、静止している状態を考えます。このとき、「上下方向の力」「左右方向の力」「回転させる力（モーメント）」の3つがすべてつり合っているはずです。

1. 上下方向：床が支える力(\(N_1\))と、棒の重さ(\(Mg\))がつり合う。
2. 左右方向：壁が押す力(\(N_2\))と、床の摩擦力(\(\mu_0 N_1\))がつり合う。
3. 回転方向：棒の下の点を中心に考えると、壁が押す力による回転効果と、重さによる回転効果がつり合う。

この3つのつり合いの式を立てて、連立方程式として解くと、角度\(\theta\)に関する条件が求まります。

棒がすべり始める瞬間の角度\(\theta\)は、\(\tan\theta = \frac{1}{2\mu_0}\) を満たします。
この式から、静止摩擦係数\(\mu_0\)が大きい（床がザラザラしている）ほど、\(\tan\theta\)は小さくなり、より小さい角度\(\theta\)まで棒を傾けても耐えられることがわかります。逆に\(\mu_0\)が小さい（床が滑りやすい）ほど、\(\tan\theta\)は大きくなり、少し傾けただけですぐにすべってしまうことになります。これは我々の日常的な感覚と一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件:
  • 核心: 棒のような大きさを持つ物体（剛体）が静止している状態を解析するには、必ず2種類のつり合いを考える必要があります。
    1. 力のつり合い: 物体が並進運動（上下左右に動くこと）を始めないための条件。\((\text{力のベクトル和}) = 0\)。通常は、水平方向と鉛直方向に分解して2本の式を立てます。
    2. 力のモーメントのつり合い: 物体が回転運動を始めないための条件。\((\text{任意の点のまわりのモーメントの和}) = 0\)。
  • 理解のポイント: 力のつり合いだけでは、物体がその場で回転してしまう可能性を排除できません。剛体の静止を保証するためには、この2つの条件が両方とも満たされることが不可欠です。
• すべり始める瞬間の摩擦力:
  • 核心: 問題文の「すべり始めた」という記述は、その直前まで働いていた静止摩擦力が、限界値である「最大静止摩擦力」に達したことを意味します。
  • 理解のポイント: この条件により、静止摩擦力\(f\)の大きさを、公式 \(f = \mu_0 N\) を使って具体的な形で表すことができます。これにより、未知数が一つ減り、方程式を解くことが可能になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁もあらい場合: 壁にも摩擦力が働く問題。壁が棒を押し上げる向き（上向き）に摩擦力が加わります。力の図示の際に、この力を追加で考慮する必要があります。
  • 人がはしごを登る問題: 棒（はしご）の上に人が乗っている場合。人の重力が、棒に働く力として追加されます。人が登るにつれて、重力の作用点が変わるため、力のモーメントが変化し、すべりやすくなる条件を計算します。
  • ちょうつがいで固定された棒: 棒の一端がちょうつがいで壁に固定されている問題。ちょうつがいからは、水平方向と鉛直方向の両方に未知の力が働く可能性があります。この場合、ちょうつがいをモーメントの回転軸に選ぶと、これらの未知の力を計算から排除できるため、非常に有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示を完璧に: まず、剛体に働く力をすべて（重力、垂直抗力、摩擦力、張力など）矢印で描き込みます。作用点を間違えないように注意します。
  2. つり合いの条件をリストアップ: 頭の中で「①水平方向の力のつり合い」「②鉛直方向の力のつり合い」「③力のモーメントのつり合い」の3本の式を立てる、という計画を立てます。
  3. モーメントの回転軸を選ぶ: 力のモーメントのつり合いを考える際、回転軸はどこに選んでも構いません。しかし、計算を最も簡単にするためには、「未知の力が最も多く集まっている点」や「力が集中している点（棒の端など）」を回転軸に選ぶのが鉄則です。これにより、その点に働く力のモーメントが0になり、式がシンプルになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力のモーメントの計算ミス:
  • 誤解: モーメントを計算する際の「腕の長さ」を間違える。例えば、重力\(Mg\)の腕の長さを、棒の長さの半分である\(L\)そのものだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「腕の長さ」とは、「回転軸から、力の作用線に下ろした垂線の長さ」であると定義に立ち返ります。必ず図を描き、回転軸と力の矢印、そしてその間の垂直距離を三角形の辺として正確に把握します。\(L\cos\theta\)や\(2L\sin\theta\)などを、三角比を用いて正しく計算する練習が必要です。
• 力のモーメントの符号ミス:
  • 誤解: 時計回りと反時計回りのモーメントの符号を取り違え、つり合いの式を \(M_1 + M_2 = 0\) のように、両方足してしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、「反時計回りを正とする」など、自分で符号のルールを明確に決めます。そして、各力が物体をどちら向きに回転させようとするかを一つずつ確認し、符号を決定します。
• 力のつり合いの式の立て忘れ:
  • 誤解: 力のモーメントのつり合いだけで解けると思い込み、力のつり合いの式を立て忘れる。
  • 対策: 剛体のつり合いは「力のつり合い」と「モーメントのつり合い」がセットである、と常に意識します。未知数が3つ（\(N_1, N_2, \theta\)）あるのに対し、式も3本（水平、鉛直、モーメント）必要だ、という関係からも式の立て忘れを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (水平・鉛直方向の合力が0):
  • 選定理由: 物体が静止している、つまり並進運動の加速度が0であるという物理的な事実を数式で表現するためです。
  • 適用根拠: 運動の第2法則 \(F=ma\) において、加速度\(a=0\) の場合に相当します。物体に働く力の合力が0でなければ、物体は必ず加速して動き出してしまいます。
• 力のモーメントのつり合いの式 (モーメントの総和が0):
  • 選定理由: 物体が静止している、つまり回転運動の角加速度が0であるという物理的な事実を数式で表現するためです。
  • 適用根拠: 回転運動の運動方程式 \(I\alpha = N\)（\(I\)は慣性モーメント, \(\alpha\)は角加速度, \(N\)は力のモーメントの総和）において、角加速度\(\alpha=0\) の場合に相当します。力のモーメントの合力が0でなければ、物体は必ず回転を始めてしまいます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字のまま計算を進める:
  • ①, ②, ③の式を立てた後、すぐに数値を代入するのではなく、まずは文字（\(N_1, N_2, Mg\)など）のまま計算を進め、最終的に求めたい \(\tan\theta\) の形を導出しましょう。これにより、計算過程がすっきりし、ミスが減ります。
• 式の代入順序を工夫する:
  • まず、最も簡単な式（② \(N_1=Mg\)）から得られる情報を、他の式（①）に代入して未知数を減らしていく（\(N_2 = \mu_0 Mg\)）、という流れが効率的です。
  • 最後に、最も複雑なモーメントの式（③）に、それまでに求めた関係式をすべて代入することで、一気に答えにたどり着けます。
• 共通因子の消去:
  • モーメントの式に代入した \((\mu_0 Mg) \cdot 2L\sin\theta – Mg \cdot L\cos\theta = 0\) の段階で、両方の項に共通する \(MgL\) をすぐに消去（割り算）することで、式が \(2\mu_0\sin\theta – \cos\theta = 0\) と非常にシンプルになり、その後の変形が容易になります。

例題21 剛体のつり合い

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ちょうつがいを含む剛体のつり合い」です。一端がちょうつがいで固定され、他端が糸で支えられた棒が静止している状態を解析します。剛体のつり合いの条件（力のつり合い、力のモーメントのつり合い）を適用して、未知の力である張力と、ちょうつがいから受ける力の大きさを求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

設問

思考の道筋とポイント
ちょうつがいで支えられた棒のつり合いを考える問題です。剛体のつり合いの基本に忠実に、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」の2つの条件を適用します。
この問題の最大のポイントは、ちょうつがいAが棒に及ぼす力の扱いです。この力は大きさと向きがわからないため、水平成分\(f_x\)と鉛直成分\(f_y\)の2つの未知数として設定します。
もう一つの重要なポイントは、力のモーメントの回転軸の選び方です。未知の力\(f_x, f_y\)が働くちょうつがいAを回転軸に選ぶことで、これらの力のモーメントが0になり、糸の張力\(T\)だけを含むシンプルな式を立てることができます。
この設問における重要なポイント

• 力の図示: 棒には、①重力\(W\)、②糸の張力\(T\)、③ちょうつがいからの力（水平成分\(f_x\)、鉛直成分\(f_y\)）が働く。
• 力の分解: 張力\(T\)を水平成分\(T\cos30^\circ\)と鉛直成分\(T\sin30^\circ\)に分解する。
• モーメントの回転軸: 未知の力\(f_x, f_y\)が働くちょうつがいAを回転軸に選ぶ。
• つり合いの条件式:
  1. 水平方向の力のつり合い
  2. 鉛直方向の力のつり合い
  3. A点のまわりの力のモーメントのつり合い

具体的な解説と立式
棒に働く力を図示し、未知の力を設定します。

• 糸が棒を引く力の大きさを\(T\)。
• ちょうつがいAが棒に及ぼす力の水平成分を\(f_x\)、鉛直成分を\(f_y\)。
• 重力\(W\)は、一様な棒なので中心（Aから\(\frac{L}{2}\)の距離）に働く。

これらの力について、つり合いの式を立てます。

• 力のモーメントのつり合い:
  ちょうつがいAを回転軸とします。（反時計回りを正とする）
  • 張力\(T\)の鉛直成分\(T\sin30^\circ\)によるモーメント: 腕の長さは\(L\)。モーメントは \( (T\sin30^\circ) \times L \)。
  • 重力\(W\)によるモーメント: 腕の長さは\(\frac{L}{2}\)。時計回りに回転させるので、モーメントは \( -W \times \frac{L}{2} \)。
  • 張力\(T\)の水平成分や、ちょうつがいの力は、回転軸Aを通るためモーメントは0。

  したがって、モーメントのつり合いの式は、
  $$ (T\sin30^\circ) \cdot L – W \cdot \frac{L}{2} = 0 \quad \cdots ① $$

• 水平方向の力のつり合い:
  $$ f_x – T\cos30^\circ = 0 \quad \cdots ② $$
• 鉛直方向の力のつり合い:
  $$ f_y + T\sin30^\circ – W = 0 \quad \cdots ③ $$

まず、①式（モーメントのつり合い）から張力\(T\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
(T\sin30^\circ) \cdot L – W \cdot \frac{L}{2} &= 0 \\[2.0ex]T \cdot \frac{1}{2} \cdot L &= W \cdot \frac{L}{2}
\end{aligned}
$$
両辺の \(\frac{L}{2}\) を消去すると、
$$ T = W $$
次に、この結果を②式と③式に代入して、\(f_x\)と\(f_y\)を求めます。
②式より、
$$
\begin{aligned}
f_x &= T\cos30^\circ \\[2.0ex]&= W \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}W
\end{aligned}
$$
③式より、
$$
\begin{aligned}
f_y &= W – T\sin30^\circ \\[2.0ex]&= W – W \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}W
\end{aligned}
$$
最後に、ちょうつがいが及ぼす力\(f\)の大きさを、三平方の定理を用いて求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}W\right)^2 + \left(\frac{1}{2}W\right)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{3}{4}W^2 + \frac{1}{4}W^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{4}{4}W^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{W^2} = W
\end{aligned}
$$

棒が静止しているので、「力のつり合い」と「回転のつり合い（モーメントのつり合い）」の2つが成り立っています。

1. まず、回転のつり合いを考えます。ちょうつがいAを回転の中心に選ぶと、計算が楽になります。糸が棒を上に引っ張り上げる回転効果と、棒の重さが下に引き下ろす回転効果が等しい、という式を立てると、糸の張力\(T\)がすぐに求まります。
2. 次に、力のつり合いを考えます。左右方向では、ちょうつがいが押す力と、糸が斜めに引く力の横成分がつり合っています。上下方向では、ちょうつがいが支える力と糸が斜めに引く力の上成分の合計が、棒の重さとつり合っています。
3. これらの式に、1で求めた張力\(T\)の値を代入すると、ちょうつがいが及ぼす力の横成分と縦成分がわかります。最後に、三平方の定理を使って、その力の大きさを計算します。

棒が糸から受ける力の大きさ（張力）は\(W\)、棒がA端で受ける力の大きさは\(W\)となります。ちょうつがいが及ぼす力の大きさが、棒の重さや張力の大きさと等しくなったのは、この問題の角度設定（30°）による偶然の結果ですが、物理的なつり合いの条件を正しく適用することで導かれた妥当な解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件:
  • 核心: 棒のような大きさを持つ物体（剛体）が静止している状態を解析するには、必ず2種類のつり合いを考える必要があります。
    1. 力のつり合い: 物体が並進運動（上下左右に動くこと）を始めないための条件。水平方向と鉛直方向に分解して考えます。
    2. 力のモーメントのつり合い: 物体が回転運動を始めないための条件。任意の点のまわりの力のモーメントの和が0になります。
  • 理解のポイント: この問題のように、力の作用点が複数ある場合、力のつり合いだけでは解けません。物体が回転しないという条件、すなわち「力のモーメントのつり合い」を組み合わせることが不可欠です。
• ちょうつがいの力の扱いとモーメントの回転軸の選定:
  • 核心: ちょうつがいが及ぼす力は、その大きさと向きが事前にわかりません。そのため、水平成分\(f_x\)と鉛直成分\(f_y\)の2つの未知数として設定するのが定石です。そして、この未知の力が働く「ちょうつがい」を力のモーメントの回転軸に選ぶことで、\(f_x\)と\(f_y\)のモーメントが0になり、他の未知数（この場合は張力\(T\)）を直接求めることができます。
  • 理解のポイント: この「未知の力が集中する点を回転軸に選ぶ」というテクニックは、剛体のつり合いの問題を解く上で最も重要な戦略です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 棒が斜めになっている問題: 棒が水平ではなく、斜めに静止している場合。重力や張力のモーメントを計算する際の「腕の長さ」が変わってきます。三角比を用いて、回転軸からの垂直距離を正確に計算する必要があります。
  • 糸の取り付け位置や角度が異なる問題: 糸が端B以外の場所についていたり、壁の異なる高さの点に結ばれていたりする場合。力の作用点や力の向きが変わるため、力の分解やモーメントの腕の長さの計算が変化します。
  • 複数の糸で支える問題: 1本の糸ではなく、複数の糸で棒を支える場合。未知の張力の数が増えますが、力のつり合いとモーメントのつり合いの式を立てて連立させるという基本方針は変わりません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示と分解: まず、棒に働く力をすべて図示します。ちょうつがいからの力は必ず水平・鉛直成分（\(f_x, f_y\)）で描きます。張力のような斜めの力は、つり合いの式で使いやすいように、水平・鉛直成分に分解しておきます。
  2. モーメントの軸の決定: 図を見ながら、「どこを回転軸にすれば計算が一番楽になるか？」と考えます。ちょうつがいのように未知の力が集まる点があれば、そこを軸に選ぶのが最善手です。
  3. 立式の順番: まず、選んだ軸のまわりの「力のモーメントのつり合い」の式を立てます。多くの場合、この式だけで未知数の一つ（今回は\(T\)）が求まります。次に、その結果を使って「水平方向の力のつり合い」「鉛直方向の力のつり合い」の式を立て、残りの未知数（今回は\(f_x, f_y\)）を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ちょうつがいの力の向きの誤認:
  • 誤解: ちょうつがいが及ぼす力の向きを、水平方向や鉛直方向、あるいは棒の方向などと安易に仮定してしまう。
  • 対策: ちょうつがいの力の向きは、他の力のつり合いによって決まるため、事前にはわかりません。「向きがわからない力は、成分に分解して未知数として扱う」という原則を徹底しましょう。
• 力のモーメントの腕の長さの計算ミス:
  • 誤解: 重力\(W\)のモーメントを計算する際に、腕の長さを棒の長さ\(L\)と勘違いする。
  • 対策: 腕の長さは「回転軸から、力の作用線までの垂直な距離」です。重力は棒の中心（Aから距離\(\frac{L}{2}\)の点）に働くので、腕の長さは\(\frac{L}{2}\)です。張力の鉛直成分\(T\sin30^\circ\)は端B（Aから距離\(L\)の点）に働くので、腕の長さは\(L\)です。作用点と腕の長さを正確に対応させることが重要です。
• 力の分解のミス:
  • 誤解: 張力\(T\)の水平成分を\(T\sin30^\circ\)、鉛直成分を\(T\cos30^\circ\)のように、\(\sin\)と\(\cos\)を取り違える。
  • 対策: 角度\(\theta\)を挟む辺が\(\cos\theta\)、向かい合う辺が\(\sin\theta\)と覚えるのが基本です。必ず図を描いて、分解した成分がどの辺に対応するかを視覚的に確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつり合いの式 (モーメントの総和が0):
  • 選定理由: この問題には未知数が張力\(T\)、ちょうつがいの力の水平成分\(f_x\)、鉛直成分\(f_y\)の3つあります。これらを解くには3本の独立した方程式が必要です。力のつり合い（水平・鉛直）の2式だけでは足りず、回転のつり合いを表すこの式が不可欠となります。
  • 適用根拠: 物体が回転せずに静止しているという物理的な事実を数式で表現したものです。特に、ちょうつがいAを回転軸に選ぶのは、未知数\(f_x, f_y\)を式から消去し、まず\(T\)を求めるという計算上の戦略に基づいています。
• 力のつり合いの式 (水平・鉛直方向の合力が0):
  • 選定理由: モーメントのつり合いだけでは、残りの未知数\(f_x, f_y\)を求めることができません。物体の並進運動（上下左右への移動）がないことを保証する、この2つの条件式が必要です。
  • 適用根拠: 物体が静止している以上、どの方向にも加速していない（加速度が0）ということです。運動方程式\(F=ma\)において\(a=0\)の状態であり、物体に働く力の合力は必ず0になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三平方の定理の適用:
  • ちょうつがいの力\(f\)の大きさを求めるには、その成分\(f_x, f_y\)から三平方の定理 \(f = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\) を使います。この最終ステップを忘れないようにしましょう。
• 三角比の値の正確性:
  • \(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) といった基本的な三角比の値を正確に覚えておくことが、計算の前提となります。
• 計算結果の確認:
  • 今回、張力\(T\)とちょうつがいの力\(f\)が、どちらも棒の重さ\(W\)と等しくなりました。これは美しい結果ですが、常にこうなるとは限りません。角度や長さの設定が変われば、値も変わります。計算結果を鵜呑みにせず、毎回きちんとつり合いの式から導出する姿勢が大切です。

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