「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 5】Step1 & 例題

Step1

① 慣性の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「慣性の法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、日常生活で体験する電車内の現象を、物理の基本法則である「慣性の法則」と結びつけて理解するものです。電車が加速するとき、乗客の体は元の「静止」状態を保とうとします。逆に、電車が減速するときは、元の「運動」状態を保とうとします。この「変化に抵抗し、現状を維持しようとする性質」が慣性の本質です。

この設問における重要なポイント

• 慣性：物体が現在の運動状態（静止または等速直線運動）を維持しようとする性質のこと。質量の大きい物体ほど慣性が大きく、その運動状態は変えにくい。
• 慣性の法則（運動の第一法則）：物体に力がはたらかない場合、または、はたらく力がつりあっている場合、静止している物体は静止を続け、運動している物体は等速直線運動を続ける。
• 電車内の現象は、この慣性の法則で説明できます。電車（座標系）が加速・減速するため、その中にいる乗客は慣性の影響を直接体験します。

具体的な解説と立式
この問題は物理法則の概念的な理解を問うものであり、計算式を立てる必要はありません。各場面を物理的に考察します。

1. 空欄①について（電車が動き出すとき）
   電車が発進する前、乗客は電車とともに地面に対して静止しています。電車が前方に加速すると、乗客の足は床との摩擦によって電車と一緒に前方に動き始めます。しかし、乗客の上半身は「静止し続けよう」とする慣性のため、その場に留まろうとします。その結果、足だけが前方に移動し、上半身が取り残される形になるため、乗客は後方へ倒れそうになります。
2. 空欄②について（電車が減速するとき）
   電車が減速する前、乗客は電車とともに一定の速さで前方に運動しています。電車がブレーキをかけて減速すると、乗客の足は床との摩擦によって電車と一緒に減速します。しかし、乗客の上半身は「前方に運動し続けよう」とする慣性のため、元の速さを保って前進しようとします。その結果、足は減速しているのに上半身は前進し続けるため、乗客は前方へ倒れそうになります。
3. 空欄③について（運動の状態を保とうとする性質）
   上記で説明した、静止している物体は静止し続け、運動している物体は運動し続けようとする、物体の基本的な性質を「慣性」と呼びます。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた各場面の物理的な考察が解答プロセスとなります。

• ① → 後方
• ② → 前方
• ③ → 慣性

この現象は、自分の体でイメージするととても分かりやすいです。

• 発進するとき：電車が「行くぞ！」と前に進み始めても、あなたの体は「え、まだここにいたいんだけど…」とその場に留まろうとします。だから、足だけが電車に連れていかれて、体は後ろに置いていかれる感じになり、ぐらっと後ろに倒れそうになります。これが①「後方」です。
• 減速するとき：電車と一緒に前に進んでいる最中に、急に電車が「止まる！」とブレーキをかけても、あなたの体は「いや、まだ前に進みたい！」という気持ちが残っています。だから、電車は止まろうとしているのに、体だけが前に突っ込んでしまい、前のめりになります。これが②「前方」です。
• この「今の状態を続けたい！」という、物体の”意地っ張り”な性質のことを、物理では「慣性」と呼びます。これが③の答えです。

② 運動方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「運動方程式の基本的な適用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ニュートンの運動の第二法則、すなわち運動方程式を最も基本的な形で使用する問題です。物体に力が働くと、その物体は力の向きに加速するという因果関係を理解することが重要です。「なめらかな水平面」という記述から、摩擦力は無視して良いことがわかります。したがって、物体に働く水平方向の力は、問題で問われている「加えた力」のみと考えます。

この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\): 物体の加速度 \(a\) は、物体に働く合力 \(F\) に比例し、質量 \(m\) に反比例するという関係を示します。これは力学の根幹をなす法則です。
• 力の単位: 力の単位はニュートン(\(N\))です。\(1\,\text{N}\) は、質量 \(1\,\text{kg}\) の物体に \(1\,\text{m/s}^2\) の加速度を生じさせる力として定義されます。(\(1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\))
• 有効数字: 問題文で与えられている数値は「\(5.0\,\text{kg}\)」「\(0.40\,\text{m/s}^2\)」であり、どちらも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。

具体的な解説と立式
求める力の大きさを \(F\) [N] とします。
問題文から、物体の質量 \(m\) は \(5.0\,\text{kg}\)、生じた加速度 \(a\) は \(0.40\,\text{m/s}^2\) であることが分かります。
物体の運動（加速度 \(a\)）とその原因（力 \(F\)）を結びつける運動方程式を立てます。水平方向には、加えた力 \(F\) のみが働いているので、運動方程式は以下のようになります。
$$
ma = F
$$

「具体的な解説と立式」で立てた運動方程式 \(ma=F\) に、与えられた値を代入します。
質量 \(m = 5.0\,\text{kg}\)、加速度 \(a = 0.40\,\text{m/s}^2\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
F &= ma \\[2.0ex]&= 5.0 \times 0.40 \\[2.0ex]&= 2.0
\end{aligned}
$$
計算に用いた \(5.0\) と \(0.40\) はどちらも有効数字が2桁なので、計算結果も有効数字2桁で表します。
したがって、加えた力の大きさは \(2.0\,\text{N}\) となります。

この問題は、物理の超基本ルールである「運動方程式 \(ma=F\)」を使います。これは「物体の質量(\(m\)) × 加速度(\(a\)) = 加えた力(\(F\))」という関係式です。
問題文に、物体の質量 \(m\) が \(5.0\,\text{kg}\)、加速度 \(a\) が \(0.40\,\text{m/s}^2\) と書かれています。
この2つの数字を運動方程式にあてはめて、単純に掛け算するだけで、加えた力 \(F\) が求められます。
\(5.0 \times 0.40 = 2.0\) なので、答えは \(2.0\,\text{N}\) です。

③ 重力と質量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「質量と重力の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、物体の「質量」と、その物体に働く「重さ（重力）」の関係を理解しているかを問うています。問題文の「重力を受けて\(9.8\,\text{m/s}^2\)の加速度で落下している」という記述が重要です。これは、空気抵抗などを無視した場合の物体の自由落下運動を指しており、このときの加速度 \(9.8\,\text{m/s}^2\) が、その場所における「重力加速度 \(g\)」に他なりません。したがって、この問題は質量 \(m\) と重力加速度 \(g\) が与えられた上で、重力 \(W\) を計算する基本的な問題と解釈できます。

この設問における重要なポイント

• 質量 \(m\): 物体が持つ物質そのものの量で、場所によって変化しない普遍的な値です。単位は \(\text{kg}\)。
• 重力 \(W\): その物体が地球などの天体から受ける引力のこと。「重さ」とも呼ばれます。場所によって大きさが変わります。単位は力の単位である \(\text{N}\)（ニュートン）。
• 重力加速度 \(g\): 重力によって生じる加速度のこと。地球の表面近くでは約 \(9.8\,\text{m/s}^2\) です。
• 関係式 \(W=mg\): この式は、運動方程式 \(F=ma\) において、力 \(F\) が重力 \(W\)、加速度 \(a\) が重力加速度 \(g\) である特別な場合と考えることができます。

具体的な解説と立式
求める重力の大きさを \(W\) [N]、物体の質量を \(m\) [kg]、重力加速度の大きさを \(g\) [m/s²] とします。
質量と重力の関係は、次の式で表されます。
$$
W = mg
$$
問題文から、質量は \(m = 1.0\,\text{kg}\) です。
また、「重力を受けて \(9.8\,\text{m/s}^2\) の加速度で落下」とあるので、これが重力加速度 \(g\) にあたります。
$$
g = 9.8\,\text{m/s}^2
$$
これらの値を公式に代入して、重力 \(W\) を求めます。

「具体的な解説と立式」で確認した値を、重力の公式 \(W=mg\) に代入します。
質量 \(m = 1.0\,\text{kg}\)、重力加速度 \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) なので、
$$
\begin{aligned}
W &= mg \\[2.0ex]&= 1.0 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 9.8
\end{aligned}
$$
計算に用いた数値の有効数字は \(1.0\) (2桁)、\(9.8\) (2桁) なので、結果も有効数字2桁で答えます。
したがって、重力の大きさは \(9.8\,\text{N}\) となります。

物体の「重さ（物理では重力と呼びます）」を計算するには、とても簡単な公式「重さ = 質量 × 重力加速度」を使います。
問題文を見ると、「質量は \(1.0\,\text{kg}\)」、「加速度は \(9.8\,\text{m/s}^2\)」と、計算に必要な数字がすべて書かれています。この問題に出てくる加速度は、地球が物体を引っ張ることで生じる「重力加速度」のことです。
あとは、この2つの数字を掛け算するだけです。
\(1.0 \times 9.8 = 9.8\)
なので、答えは \(9.8\,\text{N}\) です。体重計で測る「体重」は質量(\(\text{kg}\))のことですが、物理でいう「重さ」は力(\(\text{N}\))のこと、と区別できるとバッチリです。

④ 単位と次元

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物理量の単位と次元」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物理で扱う様々な量（物理量）は、その性質を「単位」と「次元」という2つの側面から捉えることができます。「単位」は物理量を測定するための基準（例：メートル、秒）であり、「次元」はその物理量がどのような基本的な要素（質量、長さ、時間）から成り立っているかを示す構成情報です。この問題では、力学の基本となる「加速度」と「力」について、これらの概念を正しく理解し、表現できるかが問われます。

この設問における重要なポイント

• SI単位系: 物理学で世界共通で使われる単位の体系。基本となる単位は、長さのメートル(\(\text{m}\))、質量のキログラム(\(\text{kg}\))、時間の秒(\(\text{s}\))などです。
• 次元: 物理量を、基本量である質量(\(M\))、長さ(\(L\))、時間(\(T\))のべき乗の積で表したもの。例えば、面積は（長さ）×（長さ）なので、次元は \([L^2]\) となります。
• 次元解析: 方程式の両辺で次元が一致することを確認するなど、物理法則の妥当性を検証する強力なツールです。

具体的な解説と立式
この問題は、加速度と力、それぞれの単位と次元を答えるものです。

1. 加速度の単位と次元
   • 単位: 加速度は「単位時間あたりの速度の変化量」です。速度のSI単位はメートル毎秒(\(\text{m/s}\))であり、時間の単位は秒(\(\text{s}\))です。したがって、加速度の単位は、速度の単位をさらに時間の単位で割ることで得られます。
     $$
     (\text{加速度の単位}) = \frac{(\text{速度の単位})}{(\text{時間の単位})} = \frac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^2
     $$
   • 次元: 長さの次元を \([L]\)、時間の次元を \([T]\) とします。速度の次元は \([\text{長さ}]/[\text{時間}] = [L]/[T] = [LT^{-1}]\) です。したがって、加速度の次元は、速度の次元をさらに時間の次元で割ることで求められます。
     $$
     [\text{加速度}] = \frac{[\text{速度}]}{[\text{時間}]} = \frac{[LT^{-1}]}{[T]} = [LT^{-2}]$$
2. 力の単位と次元
   • 単位: SIにおける力の単位は、ニュートン(\(\text{N}\))です。
   • 次元: 力の次元は、運動方程式 \(F=ma\) を用いて導出するのが最も分かりやすいです。この式は、物理法則が次元の観点からも成立することを示しています。
     $$
     [\text{力}] = [\text{質量}] \times [\text{加速度}]$$
     質量の次元は \([M]\)、加速度の次元は上で求めた \([LT^{-2}]\) ですから、これらを掛け合わせます。

この問題は、次元を導出する過程が計算に相当します。

• 加速度の次元の導出
  $$
  \begin{aligned}
  [\text{加速度}] &= \frac{[\text{速度}]}{[\text{時間}]} \\[2.0ex]&= \frac{[L]/[T]}{[T]} \\[2.0ex]&= [LT^{-2}]\end{aligned}
  $$
• 力の次元の導出
  $$
  \begin{aligned}
  [\text{力}] &= [\text{質量}] \times [\text{加速度}] \\[2.0ex]&= [M] \times [LT^{-2}] \\[2.0ex]&= [MLT^{-2}]\end{aligned}
  $$

「単位」は物理量を表すときの”苗字”のようなもの（例：\(3\) “メートル”）、「次元」はその物理量がどんな”材料”（長さ、質量、時間）でできているかを示す”成分表”のようなものです。

• 加速度
  • 単位: 加速度は「スピードが1秒間にどれだけ変化するか」です。スピードの単位が「メートル毎秒(\(\text{m/s}\))」なので、加速度の単位はそれをもう一度「秒(\(\text{s}\))」で割って「メートル毎秒毎秒(\(\text{m/s}^2\))」となります。
  • 次元: 「長さ(\(L\))」を「時間(\(T\))」で2回割っているので、成分表は \([LT^{-2}]\) と書きます。
• 力
  • 単位: 力の単位は、ニュートンさんの名前にちなんで「ニュートン(\(\text{N}\))」と決められています。
  • 次元: 力の成分表は、公式「力 = 質量 × 加速度 (\(F=ma\))」から作れます。「質量(\(M\))」と「加速度(\([LT^{-2}]\))」を掛け合わせるので、力の成分表は \([M] \times [LT^{-2}] = [MLT^{-2}]\) となります。

⑤ 静止摩擦力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静止摩擦力と最大摩擦力」です。物体が動き出す条件と、静止しているときに働く力の関係を正しく理解することが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)

思考の道筋とポイント
設問(1)は、静止摩擦力の特徴を問う問題です。物体に力を加えても動かないとき、その物体には加えた力と「つり合う」ための静止摩擦力が働いています。重要なのは、静止摩擦力は常に一定の値ではなく、加える力に応じて大きさが変わるということです。問題文にある「\(F\)が\(9.8\,\text{N}\)を超えると物体は動き出した」という記述から、この物体の最大摩擦力が\(9.8\,\text{N}\)であることが分かります。設問で問われているのは、\(F=4.9\,\text{N}\)の力を加えた場合です。この力は最大摩擦力よりも小さいので、物体はまだ動きません。したがって、静止摩擦力は加えた力とつり合う大きさになります。

この設問における重要なポイント

• 静止摩擦力 \(f\) は、物体が動き出すまでは、加える力 \(F\) と同じ大きさです (\(f=F\))。
• 静止摩擦力には上限があり、その最大値を最大摩擦力 \(F_0\) といいます。
• 加える力 \(F\) が最大摩擦力 \(F_0\) を超えない限り、物体は静止し続けます (\(F \le F_0\))。
• この問題では、最大摩擦力 \(F_0 = 9.8\,\text{N}\) です。

具体的な解説と立式
物体に水平方向に加える力を \(F\)、物体にはたらく静止摩擦力を \(f\) とします。
問題文から、物体が動き出すのは力が \(9.8\,\text{N}\) を超えたときなので、最大摩擦力 \(F_0\) は \(9.8\,\text{N}\) です。
$$ F_0 = 9.8\,\text{N} $$
設問(1)では、\(F = 4.9\,\text{N}\) の力を加えます。この力は最大摩擦力 \(F_0\) よりも小さい（\(4.9\,\text{N} < 9.8\,\text{N}\)）ため、物体は静止したままです。
物体が静止しているとき、水平方向の力のつり合いが成り立っているので、静止摩擦力 \(f\) の大きさは加えた力 \(F\) の大きさに等しくなります。
$$ f = F $$

「具体的な解説と立式」で立てた力のつり合いの式に、問題の値を代入します。
加える力は \(F = 4.9\,\text{N}\) なので、このときにはたらく静止摩擦力 \(f\) は、
$$
\begin{aligned}
f &= F \\[2.0ex]&= 4.9\,\text{N}
\end{aligned}
$$

重い家具を押すときをイメージしてください。少しの力で押しても家具は動きません。これは、押した力と全く同じ大きさの「静止摩擦力」が床との間で発生し、あなたの力を打ち消しているからです。もっと強く押していくと、ある瞬間にガクッと動き出します。この動き出す限界の力が「最大摩擦力」です。
この問題では、動き出す限界の力（最大摩擦力）が \(9.8\,\text{N}\) だと教えてくれています。(1)では \(4.9\,\text{N}\) の力で押しているので、まだ限界に達していません。そのため、物体は動かず、静止摩擦力は押した力とぴったり同じ \(4.9\,\text{N}\) となります。

(2)

思考の道筋とポイント
設問(2)では、静止摩擦係数 \(\mu_0\) を求めます。静止摩擦係数は、最大摩擦力の公式 \(F_0 = \mu_0 N\) に含まれています。この式を使って \(\mu_0\) を計算するためには、最大摩擦力 \(F_0\) と垂直抗力 \(N\) の値が必要です。
\(F_0\) は設問(1)でも確認した通り、問題文から \(9.8\,\text{N}\) と分かります。
一方、垂直抗力 \(N\) は、物体にはたらく鉛直方向の力のつり合いから求めることができます。物体にはたらく鉛直方向の力は、地球が物体を引く「重力」と、床が物体を支える「垂直抗力」の2つです。これらがつり合っているため、垂直抗力の大きさは重力の大きさに等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 最大摩擦力の公式: \(F_0 = \mu_0 N\)。
• 垂直抗力 \(N\) は、水平な面に置かれた物体の場合、その物体にはたらく重力 \(W=mg\) の大きさに等しい。
• 物体の質量は \(m=2.0\,\text{kg}\)、重力加速度の大きさは \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) を用いて計算する。

具体的な解説と立式
最大摩擦力 \(F_0\)、静止摩擦係数 \(\mu_0\)、垂直抗力 \(N\) の間には、以下の関係式が成り立ちます。
$$ F_0 = \mu_0 N \quad \cdots ① $$
問題文より、最大摩擦力は \(F_0 = 9.8\,\text{N}\) です。
次に、垂直抗力 \(N\) を求めます。物体にはたらく鉛直方向の力は、下向きの重力 \(W\) と、床から上向きに受ける垂直抗力 \(N\) です。物体は鉛直方向には動かないので、これらの力はつり合っています。
$$ N = W \quad \cdots ② $$
重力 \(W\) の大きさは、物体の質量 \(m=2.0\,\text{kg}\) と重力加速度の大きさ \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) を用いて計算できます。
$$ W = mg \quad \cdots ③ $$
これらの式を用いて、静止摩擦係数 \(\mu_0\) を求めます。

まず、式②と③を用いて、垂直抗力 \(N\) の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= W \\[2.0ex]&= mg \\[2.0ex]&= 2.0\,\text{kg} \times 9.8\,\text{m/s}^2 \\[2.0ex]&= 19.6\,\text{N}
\end{aligned}
$$
次に、この \(N\) の値と \(F_0 = 9.8\,\text{N}\) を式①に代入して、\(\mu_0\) を求めます。
式①を \(\mu_0\) について解くと、
$$ \mu_0 = \displaystyle\frac{F_0}{N} $$
これに値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\mu_0 &= \displaystyle\frac{9.8\,\text{N}}{19.6\,\text{N}} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$

「滑りにくさの度合い」を示すのが静止摩擦係数 \(\mu_0\) です。これは、公式「最大摩擦力 = 静止摩擦係数 × 垂直抗力」を使って計算できます。
この公式を解くために、まず「垂直抗力」を求めましょう。垂直抗力は、床が物体を支える力のことです。水平な床の上では、物体の重さと同じ大きさになります。物体の質量は \(2.0\,\text{kg}\) なので、重さは \(2.0 \times 9.8 = 19.6\,\text{N}\) です。したがって、垂直抗力も \(19.6\,\text{N}\) です。
次に、問題文から「最大摩擦力」は \(9.8\,\text{N}\) であることがわかっています。
これで材料が揃いました。公式 \(9.8 = \mu_0 \times 19.6\) に当てはめて計算すると、\(\mu_0 = 9.8 \div 19.6 = 0.50\) となり、滑りにくさの度合いが求められます。

⑥ 動摩擦力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力と力のつり合い」です。物体が一定の速度で運動しているときの力の関係を理解し、動摩擦係数を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の最大のポイントは「一定の速度で動かし続ける」という記述を物理的にどう解釈するかです。ニュートンの運動の第1法則（慣性の法則）によれば、物体が静止しているか、等速直線運動をしているとき、物体にはたらく力の合力はゼロになります。つまり、「一定の速度」は「加速度がゼロ」であり、したがって「物体にはたらく合力もゼロ」であるという関係を理解することが極めて重要です。
このことから、水平方向に物体を動かし続けている力と、その運動を妨げる向きにはたらく動摩擦力が、大きさが等しくつり合っている状態だと判断できます。動摩擦力の大きさがわかれば、あとは公式 \(F’ = \mu’ N\) を使って動摩擦係数 \(\mu’\) を求めるだけです。そのために、まず垂直抗力 \(N\) の大きさを計算する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 等速直線運動 \(\rightarrow\) 加速度 \(a=0\) \(\rightarrow\) 合力 \(F_{\text{合力}}=0\)。
• 動摩擦力の公式: \(F’ = \mu’ N\)。動摩擦力の大きさは、物体の速さによらずほぼ一定であるとみなします。
• 水平な面に置かれた物体にはたらく垂直抗力 \(N\) は、その物体にはたらく重力 \(W=mg\) の大きさに等しい。

具体的な解説と立式
物体に水平方向に加える力を \(F\)、物体にはたらく動摩擦力を \(F’\) とします。
問題文より、物体は一定の速度で運動しているので、加速度は \(a=0\) です。
運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) より、物体にはたらく合力はゼロでなければなりません。水平方向には、加える力 \(F\) と、その反対向きにはたらく動摩擦力 \(F’\) があるため、これらの力はつり合っています。
$$ F = F’ \quad \cdots ① $$
問題文より、一定の速度で動かし続けるために必要な力は \(F = 9.8\,\text{N}\) なので、動摩擦力の大きさも \(F’ = 9.8\,\text{N}\) となります。
動摩擦係数 \(\mu’\) は、動摩擦力の公式で与えられます。
$$ F’ = \mu’ N \quad \cdots ② $$
この式から \(\mu’\) を求めるには、垂直抗力 \(N\) の大きさが必要です。
鉛直方向の力に着目すると、下向きの重力 \(W\) と、床から上向きに受ける垂直抗力 \(N\) がつり合っています。
$$ N = W \quad \cdots ③ $$
重力 \(W\) の大きさは、物体の質量 \(m=2.0\,\text{kg}\) と重力加速度の大きさ \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) を用いて計算できます。
$$ W = mg \quad \cdots ④ $$

まず、式③と④を用いて、垂直抗力 \(N\) の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= W \\[2.0ex]&= mg \\[2.0ex]&= 2.0\,\text{kg} \times 9.8\,\text{m/s}^2 \\[2.0ex]&= 19.6\,\text{N}
\end{aligned}
$$
次に、式①より、動摩擦力 \(F’\) の大きさは加えている力 \(F\) に等しいので、\(F’ = 9.8\,\text{N}\) です。
最後に、これらの値を式②に代入して、動摩擦係数 \(\mu’\) を求めます。
式②を \(\mu’\) について解くと、
$$ \mu’ = \displaystyle\frac{F’}{N} $$
これに値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\mu’ &= \displaystyle\frac{9.8\,\text{N}}{19.6\,\text{N}} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$

この問題のキーワードは「一定の速度で動かし続ける」です。物理の世界では、「一定の速度」は「力が完全につり合っている状態」を意味します。
つまり、物体を前に引く力 (\(9.8\,\text{N}\)) と、それを邪魔する後ろ向きの力（動摩擦力）が、ちょうど同じ大きさになっているということです。したがって、動摩擦力の大きさは \(9.8\,\text{N}\) と分かります。
動摩擦係数（滑りやすさの度合い）は、「動摩擦力 = 動摩擦係数 × 垂直抗力」という公式で計算できます。
「垂直抗力」は床が物体を支える力で、この場合は物体の重さと同じです。物体の質量は \(2.0\,\text{kg}\) なので、重さは \(2.0 \times 9.8 = 19.6\,\text{N}\) です。したがって、垂直抗力も \(19.6\,\text{N}\) となります。
これで材料が揃いました。公式に当てはめて \(9.8 = \mu’ \times 19.6\) という式を作り、これを解くと \(\mu’ = 9.8 \div 19.6 = 0.50\) と答えが出ます。

⑦ 圧力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「圧力の基本計算」です。圧力の定義を正しく理解し、公式に値を代入して計算する基本的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、圧力の定義そのものを問う、非常に基本的な問題です。「圧力」と聞くと難しく感じるかもしれませんが、その本質は「単位面積あたりの力」です。つまり、ある広さの面に力がかかっているとき、それを「もし面積が \(1\,\text{m}^2\) だったら、どれくらいの力になるか？」に換算したものが圧力です。
この考え方から、圧力は「力 ÷ 面積」で計算できることが直感的にわかります。問題文では、力 \(F\) と面積 \(S\) が直接与えられており、かつ力が「垂直に」はたらいていると明記されているため、公式にそのまま当てはめるだけで解答できます。

この設問における重要なポイント

• 圧力の公式: \(p = \displaystyle\frac{F}{S}\)
• \(p\): 圧力 (単位: \(\text{Pa}\))
• \(F\): 面に垂直にはたらく力 (単位: \(\text{N}\))
• \(S\): 力がはたらく面積 (単位: \(\text{m}^2\))
• 単位の関係: \(1\,\text{Pa} = 1\,\text{N/m}^2\)

具体的な解説と立式
求める圧力を \(p\) [\(\text{Pa}\)] とします。
圧力の定義より、面に垂直にはたらく力の大きさを \(F\) [\(\text{N}\)]、力がはたらく面積を \(S\) [\(\text{m}^2\)] とすると、圧力 \(p\) は次の式で表されます。
$$ p = \displaystyle\frac{F}{S} $$
問題文から、力は \(F = 60\,\text{N}\)、面積は \(S = 4.0\,\text{m}^2\) と与えられています。これらの値をこの式に代入することで、圧力を計算します。

圧力の公式に、問題文の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= \displaystyle\frac{F}{S} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{60\,\text{N}}{4.0\,\text{m}^2} \\[2.0ex]&= 15\,\text{N/m}^2 \\[2.0ex]&= 15\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
問題で与えられた数値の有効数字は、\(60\,\text{N}\) (2桁)、\(4.0\,\text{m}^2\) (2桁) であるため、計算結果も有効数字2桁で答えるのが適切です。したがって、圧力は \(15\,\text{Pa}\) となります。

「圧力」とは、簡単に言うと「\(1\,\text{m}^2\) の広さあたりに、どれくらいの力がかかっているか」を表す量です。
この問題では、\(4.0\,\text{m}^2\) という広さの板全体に、\(60\,\text{N}\) の力が均等にかかっている状況です。
これを「\(1\,\text{m}^2\) あたり」に換算するには、全体の力 \(60\,\text{N}\) を、全体の面積 \(4.0\,\text{m}^2\) で割り算すればよいのです。
計算式は \(60 \div 4.0 = 15\) となります。
したがって、この面にかかる圧力は \(15\,\text{Pa}\) です。

⑧ 水圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水圧と水深の関係」です。水圧が水面からの深さに比例することを利用して、圧力の変化量から深さの変化量を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、水圧の「増加分」が何によって決まるかを理解することです。水中のある点にかかる圧力（全圧）は、水面にかかる大気圧と、その点までの深さによる水圧の合計です。しかし、物体をさらに深く沈めたときの圧力の「増加分」を考える場合、大気圧や元の深さは関係ありません。なぜなら、圧力の差は深さの差のみに依存するからです。
具体的には、初めの深さを \(h_1\)、後の深さを \(h_2\) とすると、それぞれの全圧は \(p_1′ = p_0 + \rho g h_1\)、\(p_2′ = p_0 + \rho g h_2\) となります。圧力の増加分は \(p_2′ – p_1′ = (p_0 + \rho g h_2) – (p_0 + \rho g h_1) = \rho g (h_2 – h_1)\) となり、大気圧 \(p_0\) や初めの水深 \(h_1\) には依存せず、深さの変化量 (\(h_2 – h_1\)) だけで決まることがわかります。
この問題では、深さの変化量が \(h\) なので、圧力の増加分は \(\rho g h\) となります。

この設問における重要なポイント

• 水圧の増加分 \(\Delta p\) は、深さの増加分 \(h\) によって生じる水圧に等しい。すなわち、\(\Delta p = \rho g h\)。
• 大気圧や、物体が最初にあった深さは、圧力の「差」を計算する過程で相殺されるため、考慮する必要がない。
• 使用する値は、圧力の増加 \(\Delta p = 4.9 \times 10^3\,\text{Pa}\)、水の密度 \(\rho = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3\)、重力加速度の大きさ \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\)。

具体的な解説と立式
物体をさらに \(h\) [m] 沈めたことによる水圧の増加分を \(\Delta p\) とします。
この圧力の増加分は、深さが \(h\) [m] 増えたことによる水圧に等しくなります。
水の密度を \(\rho\)、重力加速度の大きさを \(g\) とすると、深さ \(h\) の水柱による圧力は \(\rho g h\) と表せるので、以下の関係式が成り立ちます。
$$ \Delta p = \rho g h $$
問題文より、圧力の増加分は \(\Delta p = 4.9 \times 10^3\,\text{Pa}\)、水の密度は \(\rho = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3\)、重力加速度の大きさは \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) です。これらの値をこの式に代入して \(h\) を求めます。

「具体的な解説と立式」で立てた式 \(\Delta p = \rho g h\) を \(h\) について解きます。
$$ h = \displaystyle\frac{\Delta p}{\rho g} $$
この式に、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \displaystyle\frac{4.9 \times 10^3}{ (1.0 \times 10^3) \times 9.8 } \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{4.9 \times 10^3}{ 9.8 \times 10^3 } \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{4.9}{9.8} \\[2.0ex]&= 0.50\,\text{m}
\end{aligned}
$$

水の中に深く潜れば潜るほど、体にかかる水の圧力（水圧）は大きくなります。この問題は、その性質を利用した簡単な計算問題です。
ポイントは、「水圧の増加量」は「どれだけ深く潜ったか」だけで決まる、ということです。
公式は「水圧の増加量 = 水の密度 × 重力加速度 × 深くなった距離(\(h\))」です。
問題文から、

• 水圧の増加量 = \(4.9 \times 10^3\) Pa
• 水の密度 = \(1.0 \times 10^3\) kg/m³
• 重力加速度 = \(9.8\) m/s²

ということがわかっています。
これらの値を公式に当てはめると、\(4.9 \times 10^3 = (1.0 \times 10^3) \times 9.8 \times h\) という式ができます。
この式を \(h\) について解くと、\(h = 0.50\) m となります。最初に物体がどれくらいの深さにあったかは、答えに関係ありません。

⑨ 浮力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「浮力の基本計算」です。アルキメデスの原理に基づいて、流体中の物体にはたらく浮力を公式を用いて計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、浮力の公式 \(F = \rho V g\) を正しく使えるかを問う基本的な問題です。公式を適用する上で最も重要な注意点は、公式中の \(\rho\) と \(V\) が何を指しているかを正確に把握することです。
\(\rho\) は物体の密度ではなく、周囲の「流体」（この場合は水）の密度です。
\(V\) は物体が押しのけている流体の体積を指します。この問題では金属球が完全に水の中にあるため、金属球自身の体積がそのまま \(V\) となります。もし物体の一部だけが水に沈んでいる場合は、その沈んでいる部分の体積のみを \(V\) として計算する必要があります。
問題文に金属球の密度や質量が与えられていませんが、これらは浮力の計算には不要な情報であることもポイントです。

この設問における重要なポイント

• 浮力の公式: \(F = \rho V g\)
• \(F\): 浮力 [\(\text{N}\)]
• \(\rho\): 流体の密度 [\(\text{kg/m}^3\)] (この問題では水の密度)
• \(V\): 物体が押しのけた流体の体積 [\(\text{m}^3\)] (この問題では金属球の体積)
• \(g\): 重力加速度の大きさ [\(\text{m/s}^2\)]
• 物体の密度や質量は浮力の計算には直接関係ない。

具体的な解説と立式
求める浮力の大きさを \(F\) [\(\text{N}\)] とします。
アルキメデスの原理によれば、浮力は物体が押しのけた流体の重さに等しいです。
押しのけた水の体積は、金属球の体積 \(V = 2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\) に等しいです。
この体積の水の質量 \(m_{\text{水}}\) は、水の密度 \(\rho = 1.0 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3\) を用いて、\(m_{\text{水}} = \rho V\) となります。
したがって、浮力 \(F\) はこの水の重さ \(m_{\text{水}}g\) に等しくなります。
以上のことから、浮力の公式は以下のように表されます。
$$ F = \rho V g $$
問題文から、\(\rho = 1.0 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3\)、\(V = 2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)、重力加速度の大きさは \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) を用います。

浮力の公式に、問題文で与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \rho V g \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3) \times (2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3) \times (9.8 \, \text{m/s}^2) \\[2.0ex]&= (1.0 \times 2.0) \times (10^3 \times 10^{-3}) \times 9.8 \\[2.0ex]&= 2.0 \times 1 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 19.6 \, \text{N}
\end{aligned}
$$
問題文の数値の有効数字は \(2.0 \times 10^{-3}\) (2桁)、\(1.0 \times 10^3\) (2桁) であるため、解答も有効数字2桁で表すのが適切です。
したがって、\(19.6\,\text{N}\) を四捨五入して \(20\,\text{N}\) とします。

「浮力」とは、水などの液体が、中にある物体を押し上げようとする力のことです。この力の大きさは、「物体が押しのけた水の重さ」と全く同じになります。これがアルキメデスの原理です。
まず、「押しのけた水の重さ」を計算しましょう。

1. 押しのけた水の体積: 金属球は完全に水の中にあるので、その体積 \(2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\) と同じ体積の水を押し出しています。
2. 押しのけた水の質量: 水の密度は \(1.0 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3\) なので、押しのけた水の質量は「密度 × 体積」で計算できます。\( (1.0 \times 10^3) \times (2.0 \times 10^{-3}) = 2.0 \, \text{kg} \)。
3. 押しのけた水の重さ: 質量 \(2.0 \, \text{kg}\) の物体にかかる重力は「質量 × 重力加速度」なので、\(2.0 \times 9.8 = 19.6 \, \text{N}\) となります。

この「押しのけた水の重さ」がそのまま浮力の大きさになるので、答えは \(19.6 \, \text{N}\) です。有効数字を考えて、約 \(20 \, \text{N}\) とします。

例題

例題12 運動方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「運動方程式の基本的な立て方と応用」です。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
質量 \(m\) の物体に力 \(F\) を加えたときの加速度を求める、最も基本的な運動方程式の問題です。運動方程式 \(ma=F\) を正しく適用できるかがポイントになります。どの向きを正とするかを最初に明確に決めることが、問題を正確に解くための第一歩です。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\) の \(F\) は、物体にはたらく「合力」である。
• 加速度の向きは、合力の向きと一致する。
• 問題文に「なめらかな水平面」とあるので、摩擦力は考えなくてよい。

具体的な解説と立式
小物体の質量は \(m\)、求める加速度を \(a_1\) とします。まず、運動の方向である水平方向について、右向きを正の向きと定めます。
小物体にはたらく力は、水平方向には右向きに大きさ \(F\) の力のみです。（鉛直方向には重力と垂直抗力がはたらいていますが、これらはつり合っているため、水平方向の運動には影響しません。）
したがって、運動方程式 \(ma=F\) は以下のようになります。
$$ ma_1 = F $$

上記で立式した運動方程式を \(a_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma_1 &= F \\[2.0ex]a_1 &= \displaystyle\frac{F}{m}
\end{aligned}
$$
計算結果の \(a_1\) は正の値なので、加速度の向きは正と定めた右向きであることがわかります。

物理の基本ルールである「運動方程式 \(ma=F\)」を使います。これは「物体の重さ(\(m\)) × 加速の度合い(\(a\)) = 加えられた力の合計(\(F\))」という関係を表す式です。今回は、右向きに力 \(F\) が加えられているだけなので、この式にそのまま値を当てはめます。\(ma_1 = F\) という式を、知りたい \(a_1\) について解くと、\(a_1 = F \div m\) となります。

加速度は、水平方向右向きに大きさ \(\displaystyle\frac{F}{m} \text{ [m/s²]}\) となります。加えた力の向きに物体が加速するという、直感とも一致する妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
加える力を2倍にしたときの加速度が、もとの何倍になるかを問う問題です。(1)と同様に運動方程式を立てることで、加速度が力の大きさに比例するという関係性を確認します。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\) より、質量 \(m\) が一定の場合、加速度 \(a\) は力 \(F\) に比例する。
• 比を計算することで、何倍になるかを求める。

具体的な解説と立式
小物体の質量は \(m\)、この場合の加速度を \(a_2\) とします。(1)と同様に、水平方向右向きを正の向きと定めます。
小物体にはたらく力は、水平方向右向きに大きさ \(2F\) の力のみです。
したがって、運動方程式は以下のようになります。
$$ ma_2 = 2F $$
この加速度 \(a_2\) が、(1)で求めた加速度 \(a_1\) の何倍かを求めます。

まず、運動方程式を \(a_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma_2 &= 2F \\[2.0ex]a_2 &= \displaystyle\frac{2F}{m}
\end{aligned}
$$
次に、\(a_2\) が \(a_1\) の何倍かを計算するために、比 \(\displaystyle\frac{a_2}{a_1}\) を求めます。(1)より \(a_1 = \displaystyle\frac{F}{m}\) です。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{a_2}{a_1} &= \frac{\left(\displaystyle\frac{2F}{m}\right)}{\left(\displaystyle\frac{F}{m}\right)} \\[2.0ex]&= 2
\end{aligned}
$$

(1)と同じように運動方程式を立てます。今度は力が \(2F\) なので、式は \(ma_2 = 2F\) となります。これを解くと \(a_2 = 2F \div m\) です。(1)のときの加速度は \(a_1 = F \div m\) だったので、これと比べると、力の部分が \(F\) から \(2F\) に変わっただけです。したがって、加速度はちょうど2倍になります。

加速度は(1)の2倍になります。運動方程式から、質量が同じであれば、加える力が2倍になると加速度も2倍になるという比例関係が確認でき、物理的に正しい結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
互いに逆向きの2つの力がはたらく場合の加速度を求める問題です。運動方程式の力の項 \(F\) には、複数の力を合成した「合力」を代入する必要があることを理解しているかが鍵となります。力の向きを正負の符号で正しく表現し、それらを足し合わせる（代数和をとる）ことが重要です。
この設問における重要なポイント

• 力はベクトル量であり、向きを持つ。
• 一直線上の力の合成は、正の向きを基準として、各力の向きに応じて正負の符号をつけ、それらの和（代数和）をとることで計算できる。
• 計算結果として得られる加速度の符号が、運動の向きを示す。

具体的な解説と立式
小物体の質量は \(m\)、この場合の加速度を \(a_3\) とします。これまでと同様に、水平方向右向きを正の向きと定めます。
小物体にはたらく力は、水平方向右向きに大きさ \(F\) の力と、水平方向左向きに大きさ \(2F\) の力の2つです。
右向きを正としているので、右向きの力は \(+F\)、左向きの力は \(-2F\) と表すことができます。
したがって、小物体にはたらく合力 \(F_{\text{合力}}\) は、
$$ F_{\text{合力}} = F + (-2F) = -F $$
この合力を用いて運動方程式を立てると、以下のようになります。
$$ ma_3 = -F $$

上記で立式した運動方程式を \(a_3\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma_3 &= -F \\[2.0ex]a_3 &= -\displaystyle\frac{F}{m}
\end{aligned}
$$
計算結果の \(a_3\) は負の値となりました。これは、加速度の向きが、正と定めた右向きとは逆の「左向き」であることを意味します。加速度の大きさは、その絶対値である \(\displaystyle\frac{F}{m}\) です。

まず、右向きをプラス（＋）、左向きをマイナス（ー）とルールを決めます。すると、右向きの力は \(+F\)、左向きの力は \(-2F\) と表せます。物体にはたらく力の合計（合力）は、この2つを足し算して \(F – 2F = -F\) となります。これは、結局「左向きに大きさ \(F\) の力がはたらいている」のと同じ意味です。この合力を使って運動方程式を立てると \(ma_3 = -F\) となり、これを解くと \(a_3 = -F \div m\) となります。答えに付いたマイナスの符号は「左向き」という意味なので、加速度は「左向きに大きさ \(\displaystyle\frac{F}{m}\)」となります。

加速度は、水平方向左向きに大きさ \(\displaystyle\frac{F}{m} \text{ [m/s²]}\) となります。右向きの力 \(F\) よりも左向きの力 \(2F\) の方が大きいので、物体は力の強い左向きに加速するはずです。計算結果の向き（左向き）と大きさは、この直感的な考察と一致しており、妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\)
  • 核心: この問題は、ニュートンの第二法則である運動方程式 \(ma=F\) を理解し、正しく適用できるかを試すものです。この一つの法則が、全ての設問を解くための鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • \(m\): 物体の質量 [kg]。動きにくさの度合いを表します。
    • \(a\): 物体の加速度 [m/s²]。速度が1秒あたりにどれだけ変化するかを表します。
    • \(F\): 物体にはたらく「力の合計（合力）」[N]。ここが最も重要で、複数の力がはたらく場合は、それらをベクトルとして足し合わせたものを代入しなければなりません。
    • ベクトルとしての関係: 加速度 \(a\) の向きは、合力 \(F\) の向きと常に同じです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦力のある運動: 水平面や斜面が「なめらか」でなく「粗い」場合。運動方向と逆向きに動摩擦力 \(f’ = \mu’ N\)（\(\mu’\) は動摩擦係数, \(N\) は垂直抗力）がはたらくため、合力を計算する際にこの力を考慮に入れる必要があります。
  • 斜面上の運動: 物体を斜面に置いた場合。重力 \(mg\) を、斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解し、斜面方向の運動方程式を立てることが基本になります。
  • 連結物体の運動: 複数の物体が糸でつながれている問題。
    1. 全体を一つの大きな物体と見なし、外力のみで運動方程式を立てる方法。
    2. 各物体に分けて、それぞれにはたらく力（張力など）を図示し、物体ごとに運動方程式を立てて連立方程式として解く方法。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動方程式を立てる物体を決める: まず、どの物体に着目するのかを明確にします。
  2. 物体にはたらく力を全て図示する: これが最も重要なステップです。重力、垂直抗力、張力、摩擦力、問題で与えられた外力など、考えられる力を「もれなく」矢印で書き出します。
  3. 座標軸を設定する: 運動の方向（加速度の向き）を正とすることが多いです。この軸に沿って、各力を正負の成分で表します。
  4. 運動方程式を立てる: 軸の方向ごとに、\(ma = (\text{力の合力})\) の形で立式します。合力は、正の向きの力の和から負の向きの力の和を引くことで求められます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の合成（合力）の計算ミス:
  • 誤解: (3)で、逆向きの力を考えずに、力の大きさ \(F\) と \(2F\) を単純に足してしまう（\(3F\)）か、大きい方から小さい方を引くだけで（\(2F-F=F\)）、向きを正しく考慮しない。
  • 対策: 必ず最初に「どちらの向きを正とするか」を決め、紙に書き出します。そして、各力をその向きに応じて「プラスの符号」または「マイナスの符号」をつけて表現します。その上で代数和（符号を含めた足し算）をとることで、合力を機械的かつ正確に計算できます。例：「右向きを正とすると、合力は \((+F) + (-2F) = -F\)」。
• 質量 \(m\) と重力 \(mg\) の混同:
  • 誤解: 運動方程式 \(ma=F\) の左辺の \(m\) に、質量 [kg] ではなく重力の大きさ \(mg\) [N] を代入してしまう。
  • 対策: 「質量 \(m\)」は物質そのものの量（単位: kg）、「力 \(F\)」は運動状態を変化させる原因（単位: N）であり、物理的に全く異なる量であることを常に意識します。単位に注目する癖をつけることが有効です。（\(ma\) の単位は [kg・m/s²] = [N] となり、右辺の力の単位と一致する）
• 力の見落とし:
  • 誤解: 今回は単純な設定ですが、複雑な問題では重力、垂直抗力、張力など、目に見えない力を見落としがちです。
  • 対策: 「物体にはたらく力を全て図示する」という手順を絶対に省略しないこと。「物体が触れているものから受ける力」と「離れていても受ける力（重力など）」の2種類に分けて考えると、力のリストアップがしやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題が「力を加えたときの加速度を求めよ」という、まさに「力と運動の関係」を問う内容だからです。この関係を記述する法則が運動方程式であり、力学の問題を解く上での最も基本的な出発点となります。
  • 適用根拠:
    • (1)と(2)では、単一の力が物体の運動をどのように決定するかを示しており、運動方程式の最も直接的な適用例です。
    • (3)では、複数の力がはたらく状況を扱います。物体の加速度は個々の力によって決まるのではなく、全ての力を合わせた「合力」によってただ一つ決まる、という物理学の根本原理（力の重ね合わせの原理）を体現しています。運動方程式の \(F\) が合力であることを理解していれば、この法則を適用するのは必然と言えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の管理を徹底する:
  • 最初に「正の向き」を答案用紙の隅にでも図で明記しておく。
  • 計算結果の加速度が負になった場合、それは「最初に決めた正の向きとは逆向き」という意味であることを明確に理解する。
  • 最終的な答えは、「（向き）に大きさ（正の値）」という形で記述する習慣をつける。（例：「左向きに \(\displaystyle\frac{F}{m}\)」）
• 文字式の扱いに慣れる:
  • (2)のように比を計算する場合、\(\displaystyle\frac{a_2}{a_1}\) のような分数の計算を丁寧に行う。特に、\(a_1\) や \(a_2\) が分数式の場合、\(\displaystyle\frac{\frac{2F}{m}}{\frac{F}{m}}\) のように分数が入れ子になるので、どの線が主たる分数線かを見誤らないように注意する。
• 常に「合力」を意識する:
  • 運動方程式を立てる前に、頭の中やメモ書きで「\(F_{\text{合力}} = \dots\)」という計算をワンクッション挟む癖をつける。これにより、(3)のような問題で単純な力 \(F\) や \(2F\) をそのまま式に入れてしまうミスを防げます。

例題13 摩擦のある斜面上での物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦のある斜面上の運動」です。斜面上の物体にはたらく力を正しく分析し、運動方程式を立てる総合力が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体にはたらく力を漏れなく見つけ出し、その向きを正しく図示する、力学の最も基本的なステップです。「物体が接しているものから受ける力」と「離れていてもはたらく力（重力）」に分けて考えると、力を見落としにくくなります。
この設問における重要なポイント

• 重力は、物体の質量中心から常に鉛直下向きにはたらく。
• 垂直抗力は、接している面から物体を垂直に押す向きにはたらく。
• 動摩擦力は、物体の運動を妨げる向きにはたらく。今回は物体が斜面をすべりおりるので、動摩擦力は斜面に沿って上向きにはたらく。

具体的な解説と立式
物体にはたらく力は、以下の3つです。

1. 重力: 地球が物体を引く力。向きは鉛直下向き。
2. 垂直抗力: 斜面が物体を押し返す力。向きは斜面に対して垂直な上向き。
3. 動摩擦力: 物体が斜面をすべりおりるのを妨げる力。向きは斜面に沿って上向き。

これらの力を、物体の作用点（通常は物体の中心）を始点とする矢印で図に描き入れます。

この設問は作図と名称の解答であり、計算は不要です。

物体にどんな力がかかっているかを探す問題です。まず、地球が常に物体を真下に引っ張る「重力」があります。次に、物体が触れている「斜面」から受ける力を考えます。斜面は物体がめり込まないように支えているので、斜面から垂直に押し返す「垂直抗力」がはたらきます。また、斜面は「あらい（ザラザラしている）」ので、物体が滑るのを邪魔する「動摩擦力」が、滑る方向とは逆向き（斜面上向き）にはたらきます。この3つの力を矢印で描けばOKです。

物体にはたらく力は「重力」「垂直抗力」「動摩擦力」の3つです。それぞれの力の向き（重力は鉛直下向き、垂直抗力は斜面に垂直、動摩擦力は運動と逆向き）が正しく図示されていることを確認します。

問(2)

思考の道筋とポイント
動摩擦力の大きさを計算する問題です。公式 \(F’ = \mu’N\) を利用しますが、そのためにはまず垂直抗力 \(N\) の大きさを求める必要があります。垂直抗力は、斜面に垂直な方向の力のつり合いから計算できます。このため、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解することが最初のステップとなります。
この設問における重要なポイント

• 動摩擦力の公式は \(F’ = \mu’N\) である。
• 力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解して考える。
• 斜面に垂直な方向では、物体は動かない（加速度が0）ので、力のつり合いが成立する。

具体的な解説と立式
まず、物体にはたらく重力 \(mg\) を、斜面に平行な成分と垂直な成分に分解します。斜面の傾斜角が \(30^\circ\) なので、

• 重力の斜面に平行な成分: \(mg \sin 30^\circ\) （斜面下向き）
• 重力の斜面に垂直な成分: \(mg \cos 30^\circ\) （斜面に垂直で下向き）

次に、斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えます。この方向には、斜面が物体を押す「垂直抗力 \(N\)」（上向き）と、「重力の垂直成分 \(mg \cos 30^\circ\)」（下向き）がはたらいています。物体はこの方向に動かないので、これらの力はつり合っています。
$$ N = mg \cos 30^\circ $$
これで垂直抗力 \(N\) が求まりました。次に、動摩擦力の公式 \(F’ = \mu’N\) を使って、動摩擦力の大きさ \(F’\) を求めます。
$$ F’ = \mu’ N = \mu’ mg \cos 30^\circ $$

与えられた数値を代入して、動摩擦力 \(F’\) を計算します。
質量 \(m = 4.0 \text{ kg}\)、重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \text{ m/s²}\)、動摩擦係数 \(\mu’ = 0.20\)、\(\cos 30^\circ \approx 0.866\) を用います。
$$
\begin{aligned}
F’ &= \mu’ mg \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 0.20 \times 4.0 \times 9.8 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 7.84 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&\approx 7.84 \times 0.866 \\[2.0ex]&= 6.78944 \\[2.0ex]&\approx 6.8 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
問題の解答で与えられている有効数字2桁に合わせると、\(6.8 \text{ N}\) となります。

動摩擦力は「滑りにくさの係数(\(\mu’\)) × 垂直抗力(\(N\))」という公式で計算できます。まず垂直抗力 \(N\) を求めましょう。垂直抗力は「斜面が物体を垂直に押し返す力」です。これは、「重力が斜面を垂直に押す力」とちょうど同じ大きさになります。重力は真下にはたらく力なので、これを「斜面に平行な力」と「斜面に垂直な力」に分解します。三角関数を使って計算すると、重力の垂直成分が求まり、これが垂直抗力 \(N\) の大きさです。最後に、求めた \(N\) を動摩擦力の公式に当てはめて計算します。

物体にはたらく動摩擦力の大きさは約 \(6.8 \text{ N}\) です。計算過程で用いた物理量（質量、動摩擦係数）の有効数字が2桁であるため、最終的な答えも有効数字2桁で \(6.8 \text{ N}\) とするのは適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体の加速度の大きさを求める問題です。物体は力のはたらきによって加速しながら運動しているので、運動方程式 \(ma=F\) を立てて解きます。運動が起こっている「斜面に平行な方向」に着目し、その方向の合力を正しく計算することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\) の \(F\) は、運動方向にはたらく力の「合力」である。
• 斜面に沿ってすべりおりる向きを正として、各力の成分の向き（正負）に注意して合力を計算する。
• (2)で計算した動摩擦力の値を使用する。

具体的な解説と立式
物体の運動方向である、斜面に沿って下向きを正とします。この方向の加速度の大きさを \(a\) とします。
斜面に平行な方向にはたらく力は、以下の2つです。

1. 重力の斜面平行成分: 大きさは \(mg \sin 30^\circ\)。向きは斜面下向き（正の向き）。
2. 動摩擦力: 大きさは \(F’\)。向きは斜面上向き（負の向き）。

したがって、斜面に平行な方向の合力 \(F_{\text{合力}}\) は、
$$ F_{\text{合力}} = mg \sin 30^\circ – F’ $$
これを運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) に代入します。
$$ ma = mg \sin 30^\circ – F’ $$

上記で立てた運動方程式に、与えられた数値と(2)で求めた \(F’\) の値を代入して、加速度 \(a\) を求めます。
\(m = 4.0 \text{ kg}\), \(g = 9.8 \text{ m/s²}\), \(\sin 30^\circ = 0.5\), \(F’ \approx 6.78 \text{ N}\) （(2)の計算結果より）を用います。
$$
\begin{aligned}
4.0 \times a &= 4.0 \times 9.8 \times \sin 30^\circ – 6.78 \\[2.0ex]4.0 a &= 4.0 \times 9.8 \times 0.5 – 6.78 \\[2.0ex]4.0 a &= 19.6 – 6.78 \\[2.0ex]4.0 a &= 12.82 \\[2.0ex]a &= \displaystyle\frac{12.82}{4.0} \\[2.0ex]a &= 3.205 \\[2.0ex]&\approx 3.2 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に合わせると、\(3.2 \text{ m/s²}\) となります。

物体の加速の様子は、運動方程式 \(ma=F\) でわかります。今回は斜面を滑り落ちる運動なので、斜面に平行な方向の力だけを考えます。物体を斜面下向きに引っ張る力は「重力の斜面平行成分」です。一方、それにブレーキをかけるように反対向きにはたらくのが、(2)で求めた「動摩擦力」です。したがって、物体を実際に加速させる正味の力（合力）は、「重力の斜面平行成分 – 動摩擦力」となります。この合力を運動方程式の \(F\) に代入し、質量 \(m\) で割れば、加速度 \(a\) が計算できます。

物体の加速度の大きさは約 \(3.2 \text{ m/s²}\) です。計算結果が正の値となったので、仮定した通り、物体は斜面下向きに加速していることがわかります。これは問題文の「すべりおりた」という記述と一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜面上の運動における力の分析手法
  • 核心: この問題は、斜面上の物体にはたらく力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解して考える、という力学の定石をマスターしているかが問われます。この分析手法が全ての設問を解くための土台となります。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 力の図示: まず、物体にはたらく全ての力（重力、垂直抗力、動摩擦力）を漏れなく図示する。
    2. 力の分解: 重力を、斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と、斜面に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解する。
    3. 垂直方向のつり合い: 斜面に垂直な方向では物体は動かないので、力のつり合いの式（\(N = mg\cos\theta\)）を立て、垂直抗力 \(N\) を求める。
    4. 平行方向の運動方程式: 物体が運動する斜面に平行な方向について、合力を計算し、運動方程式 \(ma = mg\sin\theta – \mu’N\) を立てる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面をすべり上がる運動: 物体に初速を与えて斜面をすべり上がらせる場合。運動の向きが斜面上向きになるため、動摩擦力の向きは「斜面下向き」に変わります。運動方程式は \(ma = -mg\sin\theta – \mu’N\) となり、減速することがわかります。
  • 静止摩擦力との比較: 物体が「すべりだす直前」や「静止し続けている」状況を問う問題。この場合、はたらくのは「静止摩擦力」です。静止摩擦力は力のつり合い（\(f = mg\sin\theta\)）から求め、その値が最大静止摩擦力 \(F_0 = \mu N\) を超えるかどうかで、実際にすべるかどうかを判断します。
  • 外部から力を加える運動: 糸で斜面上向きに引くなど、外部から力が加わる場合。力の図示の段階でその外力を追加し、運動方程式の合力の項に含めて計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体にはたらく力を全て図示する: 何よりも先に、重力、垂直抗力、摩擦力（＋外力）を書き出す。これが全ての始まりです。
  2. 座標軸を斜面に設定する: 思考の軸を、水平・鉛直から「斜面に平行・垂直」に切り替えることが重要です。
  3. 問題文の動詞に注目する: 「すべりおりた」という記述から、物体は動いており、はたらく摩擦は「動摩擦力」であると判断します。「静止していた」「すべりだす寸前」などの言葉があれば、静止摩擦力を考えます。
  4. 力の分解を機械的に行う: 斜面の問題を見たら、何も考えずに重力を分解する、というくらいに手順を体に染み込ませておくとスムーズです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 垂直抗力の大きさの誤解:
  • 誤解: 垂直抗力 \(N\) の大きさを、水平な面の場合と同じように \(mg\) だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 垂直抗力は「重力の斜面に垂直な成分」とつり合っている、と常に意識する。\(N=mg\) は水平面での話であり、斜面では \(N=mg\cos\theta\) となることを、必ず力のつり合いの式を立てて確認する癖をつける。
• 重力の分解ミス（sinとcosの混同）:
  • 誤解: 斜面に平行な成分を \(mg\cos\theta\)、垂直な成分を \(mg\sin\theta\) と逆にしてしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) が非常に小さい（ほぼ水平な）斜面をイメージします。このとき、斜面に平行な成分（すべり落とす力）はほぼ0になるはずです。 \(\sin 0^\circ = 0\), \(\cos 0^\circ = 1\) なので、平行成分が \(\sin\theta\) を含む方だと確認できます。この「極端な状況を考える」方法は、多くの場面で有効な確認手段です。
• 動摩擦力の向きの間違い:
  • 誤解: 動摩擦力は常に斜面上向きにはたらく、と固定的に覚えてしまう。
  • 対策: 動摩擦力は「物体の運動を妨げる向き」または「相対的なすべりの向きと逆」と本質的に理解する。物体が斜面をすべり上がっているなら、動摩擦力は斜面下向きにはたらきます。必ず物体の運動方向を先に確認し、その逆向きに摩擦力を設定しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式（斜面に垂直な方向）:
  • 選定理由: (2)で動摩擦力 \(F’ = \mu’N\) を計算するために、未知数である垂直抗力 \(N\) の値を求める必要があったからです。
  • 適用根拠: 物体は斜面にめり込んだり、空中を飛んだりしません。つまり、斜面に垂直な方向には一切運動（加速）していません。加速度が0であるということは、その方向の合力が0であることを意味し、力のつり合いが成立していると判断できます。
• 運動方程式 \(ma=F\)（斜面に平行な方向）:
  • 選定理由: (3)で「加速度の大きさ」を問われているためです。力と加速度の関係を記述する物理法則は、運動方程式以外にありません。
  • 適用根拠: 問題文に「物体は斜面上をすべりおりた」と明記されており、物体が実際に加速運動をしていることがわかります。この運動（結果）と、それを引き起こしている原因（斜面方向の合力）との因果関係を数式で表現するために、運動方程式を適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値（\(m=4.0 \text{ kg}\), \(\mu’=0.20\)）は有効数字2桁です。計算途中では、それより1桁多い3桁程度（例：\(F’ \approx 6.78 \text{ N}\)）で計算を進め、最終的な答えを問題の有効数字に合わせて2桁に丸めると、誤差が少なくなります。
• 三角関数の値: \(\sin 30^\circ = 0.5\), \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) のような頻出する値は覚えておくと便利です。問題によっては \(\sqrt{3}=1.73\) として計算せよ、などの指示があるので見落とさないようにしましょう。
• 段階的な計算の確認: この問題のように、(2)の答えを(3)で使う場合、(2)での計算ミスが致命的になります。各設問を解き終えるたびに、「力の向きは正しいか」「代入する値は間違っていないか」など、簡単な検算をする習慣をつけることが大切です。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が正しいかを確認するのも、ケアレスミスを防ぐ有効な手段です。力なら [N]、加速度なら [m/s²] になっているかを確認しましょう。

例題14 接触した物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「接触して運動する2物体の運動」、いわゆる「連結体の運動」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1), (2)

思考の道筋とポイント
接触した2物体が一体となって運動する典型的な問題です。(1)で全体の加速度を、(2)で物体間にはたらく力（内力）を求めます。これらを求めるには、2つの物体を別々に考えて運動方程式を立て、連立して解く方法（分離法）が基本です。また、(1)の加速度だけなら、2物体を一体と見なす方法（一体法）でより簡単に求めることもできます。ここではまず、模範解答に沿った分離法で解説し、その後、別解として一体法を用いた解法を示します。
この設問における重要なポイント

• 接触して一体で運動する物体は、同じ加速度を持つ。
• 物体AがBを押す力と、物体BがAを押し返す力は、作用・反作用の関係にあり、大きさが等しく向きが逆である。
• 運動方程式を立てる際は、着目する物体にはたらく力をすべて正確に把握することが重要。

具体的な解説と立式
物体AとBは一体となって運動するため、両者の加速度は等しくなります。この共通の加速度の大きさを \(a \text{ [m/s²]}\)、AがBに及ぼす力の大きさを \(f \text{ [N]}\) とします。
作用・反作用の法則により、BがAに及ぼす力（押し返す力）の大きさも \(f\) となります。
水平右向きを正の向きとして、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます。

物体Aにはたらく力:

• 外部から押される右向きの力: \(+40 \text{ N}\)
• Bから押し返される左向きの力: \(-f\)

物体Aの運動方程式:
$$ 6.0 a = 40 – f \quad \cdots ① $$

物体Bにはたらく力:

• Aから押される右向きの力: \(+f\)

物体Bの運動方程式:
$$ 4.0 a = f \quad \cdots ② $$

これで、未知数が \(a\) と \(f\) の2つ、式が2本の連立方程式が立てられました。

①式と②式を連立して解きます。
$$
\begin{cases}
6.0 a = 40 – f & \cdots ① \\
4.0 a = f & \cdots ②
\end{cases}
$$
②式を①式に代入して \(f\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
6.0 a &= 40 – (4.0 a) \\[2.0ex]6.0 a + 4.0 a &= 40 \\[2.0ex]10.0 a &= 40 \\[2.0ex]a &= \displaystyle\frac{40}{10.0} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
これが(1)の答えです。

次に、この \(a\) の値を②式に代入して \(f\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= 4.0 a \\[2.0ex]&= 4.0 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 16 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
これが(2)の答えです。

AとBを別々の物体として、それぞれに運動方程式を立てます。Aは「\(40\text{N}\)で押される力」と「Bから押し返される力\(f\)」の差で加速します。Bは「Aから押される力\(f\)」だけで加速します。この関係を表す2つの式を立て、中学校で習う連立方程式として解くと、加速度\(a\)と力\(f\)が両方求まります。

(1) 両物体の加速度の大きさは \(4.0 \text{ m/s²}\) です。
(2) AがBに及ぼす力の大きさは \(16 \text{ N}\) です。
全体を押す力 \(40 \text{ N}\) のうち、\(16 \text{ N}\) が物体Bを加速させるために使われ、残りの \(40 – 16 = 24 \text{ N}\) が物体A自身を加速させるために使われている（\(6.0 \text{ kg} \times 4.0 \text{ m/s²} = 24 \text{ N}\)）と考えると、物理的に辻褄が合います。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連結体の運動方程式と2つの視点
  • 核心: この問題は、複数の物体が接触（または連結）して一体で運動する「連結体問題」の典型例です。核心は、運動方程式を立てる際の2つの視点、「分離法」と「一体法」を理解し、使い分けることにあります。
  • 理解のポイント:
    • 分離法（個別に考える）: 各物体を一つずつ分離し、それぞれにはたらく力（外力と、物体間の内力）をすべて図示して、物体ごとに運動方程式を立てる方法。連立方程式を解く手間はありますが、加速度と内力（今回は押し合う力）を同時に求めることができます。
    • 一体法（まとめて考える）: 連結している物体全体を、質量を合計した一つの大きな物体と見なす方法。このとき、物体間ではたらく内力は作用・反作用で相殺されるため、系全体にはたらく「外力」のみを考えればよくなります。全体の加速度を素早く求めるのに非常に有効です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 糸でつながれた物体: 今回の「押し合う力」が「糸の張力」に変わるだけで、解法の考え方は全く同じです。物体Aを引く場合と物体Bを引く場合で、張力の大きさが異なることを計算で確かめる問題は頻出です。
  • 滑車を介した連結物体: 2つの物体が滑車でつながれている場合。重力が運動の駆動力となります。物体ごとに運動の向きが異なる（一方は鉛直下向き、もう一方は水平右向きなど）ため、それぞれの運動方向に合わせて正の向きを適切に設定することが重要です。
  • 3つ以上の物体が連結: 物体が3つ、4つと増えても、基本的な考え方は同じです。一体法で全体の加速度を求め、力の少ない端の物体から順に分離して運動方程式を立てていくと、各区間の内力を効率的に求めることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何を問われているか確認する: (1)「加速度」だけか、(2)「内力（押し合う力や張力）」も問われているかを確認します。
  2. 解法戦略を立てる:
     • 加速度だけを問う問題なら、「一体法」が圧倒的に速くて簡単です。
     • 内力も問われているなら、「一体法で加速度を求めてから、分離法で内力を求める」という2ステップの解法が最も見通しが良いでしょう。
  3. 力を正確に図示する: 各物体にはたらく力を「外力」と「内力」に区別して、もれなく矢印で書き出します。特に、作用・反作用の関係にある内力は、必ずペアで、逆向きに、同じ大きさの記号（例: \(f\)）で描くことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内力の向きの間違い:
  • 誤解: 物体Aの運動方程式を立てる際、Bから受ける力 \(f\) を、Aを押す外力と同じ右向きだと勘違いし、\(6.0a = 40 + f\) と立式してしまう。
  • 対策: 力の主語と目的語を明確にしましょう。「BがAを押し返す力」なのだから、Aにとっては進行方向と逆の左向きにはたらきます。力を図示する際に、どの物体がどの物体から受ける力なのかを意識することで、向きの間違いを防げます。
• 一体法と分離法の混同:
  • 誤解: 一体として考えているのに、運動方程式に内力 \(f\) を含めてしまう。（例: \((6.0+4.0)a = 40 – f\)）
  • 対策: 「一体法では内力は無視する」と割り切りましょう。内力は、その系（AとBのセット）の内部で作用・反作用によりキャンセルされるため、系の外部から見た運動には影響を与えません。運動方程式の力の項には、考えている系の”外”から加えられる「外力」だけを書く、というルールを徹底します。
• 内力を求める際の計算の手間:
  • 誤解: (2)で内力 \(f\) を求める際に、必ず物体Aの運動方程式 \(6.0a = 40 – f\) を使って計算しようとする。間違いではありませんが、移項が必要で少し面倒です。
  • 対策: 内力を求めるときは、はたらく力が最も少ない物体に着目するのがセオリーです。この問題では、物体Bにはたらく水平方向の力は \(f\) のみなので、Bの運動方程式 \(4.0a = f\) を使うのが最も簡単かつ速く計算できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題は「力を加えた物体の加速度」と「物体間にはたらく力」を問うており、力と運動の関係を記述する根源的な法則である運動方程式が、解法の中心となるのは必然です。
  • 適用根拠:
    • 分離法: ニュートンの法則は個々の物体に対して成立するため、AとBをそれぞれ独立した物体と見なし、各々について運動方程式を立てます。未知数が加速度 \(a\) と内力 \(f\) の2つなので、独立した方程式が2本必要となり、このアプローチが論理的に正当化されます。
    • 一体法: 接触したまま同じ加速度で運動する物体群は、剛体（変形しない一つの物体）と見なすことができます。この「系」全体に対しても運動方程式は適用可能で、これにより複雑な問題を単純化して、まず系全体の運動（加速度）を把握するという強力な手段が得られます。
• 作用・反作用の法則:
  • 選定理由: 2つの物体が接触し、互いに力を及ぼし合っているため、その力の関係性を規定する必要があります。
  • 適用根拠: 分離法でAとBの運動方程式を立てる際、AがBから受ける力と、BがAから受ける力は、本来別々の未知数です。しかし、作用・反作用の法則によって、これらが「大きさが等しく向きが逆」であることが保証されるため、両者を同じ文字 \(f\) で表すことができ、連立方程式が解けるようになります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の解法:
  • 模範解答のように、2つの運動方程式を辺々足し合わせる（\( (6.0a) + (4.0a) = (40-f) + (f) \)）と、内力 \(f\) がきれいに消去され、\(10.0a = 40\) という一体法の式そのものが現れます。この解法はスマートで、計算ミスも減らせます。
• 符号の徹底:
  • 最初に「右向きを正」と決めたら、機械的に符号を割り振ります。Aにはたらく力は \(+40\) と \(-f\)。Bにはたらく力は \(+f\)。このルールを厳守すれば、式の立て間違いがなくなります。
• 検算の習慣:
  • 求めた \(a=4.0 \text{ m/s²}\) と \(f=16 \text{ N}\) を、最初に立てた両方の運動方程式に代入して、等式が成立するかを確認します。
    • Aの式: \(6.0 \times 4.0 = 24\), \(40 – 16 = 24\)。OK。
    • Bの式: \(4.0 \times 4.0 = 16\), 右辺も \(16\)。OK。
  • この一手間が、テストでの失点を大きく減らします。

例題15 連結した物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「滑車を介して連結された物体の運動」です。水平運動と鉛直運動が組み合わさった、連結体問題の典型例です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
滑車を介して水平運動と鉛直運動が連動する、連結体の典型問題です。物体AとBは運動の向きが異なりますが、「軽くて伸びない糸」でつながれているため、両者の加速度の「大きさ」は同じになります。また、糸の張力の大きさも両物体に同じ大きさではたらきます。この2つの未知数（加速度 \(a\)、張力 \(T\)）に対し、AとBそれぞれについて運動方程式を立て、連立して解くのが基本的な方針です。
この設問における重要なポイント

• 糸が「軽くて伸びない」という条件から、AとBの加速度の大きさは等しく、糸の両端での張力の大きさも等しいと考える。
• 滑車が「なめらか」という条件から、滑車による摩擦は無視でき、糸の張力は滑車を挟んでも大きさが変わらない。
• 物体ごとに運動方向が違うため、それぞれに最適な座標軸（正の向き）を設定する。Aは水平右向き、Bは鉛直下向きを正とすると計算しやすい。

具体的な解説と立式
A, B両物体の加速度の大きさを \(a \text{ [m/s²]}\)、糸の張力の大きさを \(T \text{ [N]}\) とします。
それぞれの物体について、運動方向に合わせて運動方程式を立てます。

物体Aについて
運動方向は水平方向です。水平右向きを正の向きとします。
物体Aにはたらく水平方向の力は、糸が引く張力 \(T\) のみです。
したがって、物体Aの運動方程式は、
$$ 5.0 a = T \quad \cdots ① $$

物体Bについて
運動方向は鉛直方向です。鉛直下向きを正の向きとします。
物体Bにはたらく鉛直方向の力は、下向きの重力 \(m_B g = 2.0 \times 9.8 \text{ [N]}\) と、上向きの張力 \(T\) です。
したがって、物体Bの運動方程式は、
$$ 2.0 a = 2.0 \times 9.8 – T \quad \cdots ② $$

これで、未知数が \(a\) と \(T\) の2つ、式が2本の連立方程式が立てられました。

①式と②式を連立して解きます。
$$
\begin{cases}
5.0 a = T & \cdots ① \\
2.0 a = 2.0 \times 9.8 – T & \cdots ②
\end{cases}
$$
①式と②式を辺々足し合わせることで、\(T\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
(5.0 a) + (2.0 a) &= T + (2.0 \times 9.8 – T) \\[2.0ex]7.0 a &= 19.6 \\[2.0ex]a &= \displaystyle\frac{19.6}{7.0} \\[2.0ex]&= 2.8 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(a\) の値を①式に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= 5.0 a \\[2.0ex]&= 5.0 \times 2.8 \\[2.0ex]&= 14 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

AとBは糸でつながっているので、同じ加速度の大きさ \(a\) で動き、糸から受ける張力の大きさ \(T\) も同じです。
物体Aを右に引っ張っているのは張力 \(T\) だけなので、Aの運動方程式は「\(5.0 \times a = T\)」となります。
一方、物体Bは「下向きの重力」と「上向きの張力 \(T\)」の綱引き状態で下に動きます。なので、Bの運動方程式は「\(2.0 \times a = \text{重力} – T\)」となります。
この2つの式を足し算すると、プラスの \(T\) とマイナスの \(T\) が打ち消し合って消えるので、まず加速度 \(a\) を求めることができます。
最後に、求まった \(a\) を最初の式に代入すれば、張力 \(T\) も計算できます。

両物体の加速度の大きさは \(2.8 \text{ m/s²}\)、糸の張力の大きさは \(14 \text{ N}\) です。
物体Bの重力は \(m_B g = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N}\) です。張力 \(T=14 \text{ N}\) はこの重力よりも小さいです。もし張力が重力と同じ大きさなら物体Bは動きませんが、重力の方が大きいからこそ、物体Bは下向きに加速することができます。この結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 滑車を介した連結体の運動方程式
  • 核心: この問題は、水平運動する物体と鉛直運動する物体が滑車と糸でつながれた、連結体問題の代表例です。核心は、2つの物体を個別に考え、それぞれの運動方向に合わせて正しく運動方程式を立てることにあります。
  • 理解のポイント:
    1. 力の図示: まず、物体AとBそれぞれにはたらく力（重力、垂直抗力、張力）をすべて図示します。
    2. 共通の物理量: 「軽くて伸びない糸」という条件から、2つの重要な仮定が成り立ちます。
       • 両物体の加速度の「大きさ」は等しい（\(a\)）。
       • 糸が両物体を引く張力の「大きさ」は等しい（\(T\)）。
    3. 物体ごとの座標設定: 物体Aは水平方向、物体Bは鉛直方向に運動するため、それぞれの運動方向に合わせて正の向きを設定します。Aは右向き、Bは下向きを正とすると、両方の加速度を同じ文字 \(a\)（正の値）で扱え、計算がスムーズになります。
    4. 連立方程式: AとBそれぞれについて運動方程式を立て、未知数 \(a\) と \(T\) に関する連立方程式として解きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • アトウッドの器械: 滑車の両側に物体AとBが吊り下げられている問題。系を動かす駆動力は、両物体の重力の差（\(m_B g – m_A g\)）になります。
  • 斜面上の物体との連結: 物体Aが水平面ではなく、斜面上に置かれている問題。物体Aの運動方程式に、重力の斜面成分（\(m_A g \sin\theta\)）が抵抗力または駆動力として加わります。
  • 摩擦がある場合: 物体Aが置かれている面が「粗い」場合。物体Aの運動方程式に、運動を妨げる向きに動摩擦力（\(\mu’ N = \mu’ m_A g\)）が加わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系全体を動かす「駆動力」は何か？: この問題では、物体Bの重力 \(m_B g\) が唯一の駆動力です。物体Aの重力は運動方向（水平）には影響しません。
  2. 運動を妨げる「抵抗力」は何か？: この問題では摩擦がないため抵抗力はありませんが、摩擦や空気抵抗がある場合はそれらを考慮します。
  3. 「一体法」で加速度を素早く求める: 系全体の質量（\(m_A+m_B\)）と、系全体にはたらく外力の合力（駆動力 – 抵抗力）がわかれば、\( (m_A+m_B)a = F_{\text{合力}} \) という一体の運動方程式で、加速度 \(a\) を素早く計算できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力\(T\)と重力\(m_B g\)の混同:
  • 誤解: 物体Bが落下するのだから、張力は重力より小さいはずなのに、なぜか \(T=m_B g\) として計算してしまう。
  • 対策: 張力は未知数です。物体が静止しているか等速運動している場合にのみ、力はつり合います。この問題では物体Bは「加速」しているので、力はつり合っていません。\(m_B g > T\) だからこそ、下向きの合力が生じて加速できる、という因果関係を理解しましょう。
• 正の向きの設定ミス:
  • 誤解: 物体Aは右向きを正、物体Bは（一般的な習慣で）鉛直上向きを正としてしまう。すると、Aの加速度は \(+a\)、Bの加速度は \(-a\) となり、符号の扱いで混乱し、計算ミスを誘発します。
  • 対策: 2つの物体が「実際に動く向き」を、それぞれの物体にとっての「正の向き」と定義するのが最も簡単です。Aは右に、Bは下に動くので、Aは「右向きが正」、Bは「下向きが正」と設定します。これにより、両方の加速度を同じ \(a\)（正の値）として扱えます。
• 一体法での駆動力の間違い:
  • 誤解: 一体法で考える際に、系全体の質量を \(m_A+m_B\) と正しく設定したものの、駆動力としてAとB両方の重力を足してしまう（\(m_A g + m_B g\)）。
  • 対策: 運動に寄与する力は何か、という視点が重要です。Aの重力は垂直抗力とつり合っており、水平方向の運動には全く寄与しません。この系を動かしているエンジンは、純粋に「Bの重力」だけである、と正しく見抜くことが必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題が「加速度」と「張力」という、力と運動の関係そのものを問うているため、運動方程式を用いるのは必然です。
  • 適用根拠: 2つの物体が糸という内力を介して連動しています。ニュートンの法則は個々の物体に対して成立するため、AとBをそれぞれ分離し、各々について運動方程式を立てる「分離法」が最も基本的で確実なアプローチです。未知数が \(a\) と \(T\) の2つなので、独立した方程式が2本必要となり、この方法が論理的に正当化されます。
• 一体法（概念的なアプローチ）:
  • 選定理由: 加速度を求める際に、内力である張力を計算の過程から排除でき、見通しよく、かつ素早く計算できるためです。
  • 適用根拠: 糸でつながれ、同じ大きさの加速度で動く物体群は、一つの「系」として扱うことができます。この系全体の運動（加速度）は、系全体にはたらく外力の合力（この問題ではBの重力）と、系全体の質量（\(m_A+m_B\)）によって決まります。これは、運動方程式の考え方を個々の物体から「系全体」へと拡張したもので、連結体問題を解く上で非常に強力な思考ツールとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の確実な解法:
  • この問題のように、一方の式に \(+T\)、もう一方に \(-T\) が現れる場合、2式をそのまま足し算すると \(T\) がきれいに消去できます。これは計算ミスが少なく、最も推奨される方法です。
• 重力加速度 \(g=9.8\) の計算:
  • \(2.0 \times 9.8 = 19.6\) のような計算は、焦らず筆算するなどして正確に行いましょう。テストでは、この部分の計算ミスが失点に直結します。
• 単位の確認:
  • 最終的な答えの単位が正しいかを確認する癖をつけましょう。加速度なら [m/s²]、力（張力）なら [N] になっているかを確認するだけで、大きな間違いに気づけることがあります。
• 検算の徹底:
  • 求めた \(a=2.8 \text{ m/s²}\) と \(T=14 \text{ N}\) を、最初に立てた両方の運動方程式に代入して、等式が成立するかを必ず確認します。
    • ①式: \(5.0 \times 2.8 = 14\)。右辺も \(T=14\)。OK。
    • ②式: \(2.0 \times 2.8 = 5.6\)。右辺は \(2.0 \times 9.8 – 14 = 19.6 – 14 = 5.6\)。OK。
  • この一手間が、満点を取るための重要な習慣です。

例題16 動摩擦力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力を受けて減速する物体の運動」です。力学の法則（運動方程式）を用いて物体の加速度を求め、その結果を運動学の公式に適用して、静止するまでの時間を計算する、という物理の基本的な問題解決プロセスが問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
初速度を与えられた物体が、摩擦力という一定のブレーキを受けて減速し、やがて止まる運動を分析する問題です。この種の問題は、2段階の思考プロセスで解くのが定石です。

Step 1 (力学): 物体にはたらく力（動摩擦力）を特定し、運動方程式を立てて「加速度」を求めます。

Step 2 (運動学): Step 1で求めた加速度を使い、等加速度直線運動の公式を用いて「時間」を求めます。
この設問における重要なポイント

• 動摩擦力は、常に物体の運動を妨げる向き（この場合は初速度と逆向き）にはたらく。
• 動摩擦力の大きさは、物体の速度によらず一定である（高校物理の範囲では）。
• 加速度が一定なので、等加速度直線運動の公式が適用できる。

具体的な解説と立式
物体の質量を \(m\) [kg] とします。

まず、物体の加速度 \(a\) を求めるために、物体にはたらく力を考えます。

1. 鉛直方向の力の分析:
物体には鉛直下向きに重力 \(mg\)、鉛直上向きに垂直抗力 \(N\) がはたらいています。物体は鉛直方向には運動しないので、これらの力はつり合っています。
$$ N – mg = 0 $$
よって、垂直抗力の大きさは \(N = mg\) となります。

2. 水平方向の力の分析:
物体にはたらく水平方向の力は、運動を妨げる向きにはたらく動摩擦力 \(f’\) のみです。動摩擦力の大きさは公式 \(f’ = \mu’N\) で与えられます。
$$ f’ = \mu’N = \mu’mg $$
初速度の向き（右向き）を正とすると、動摩擦力は逆向き（左向き）にはたらくので、運動方程式 \(ma=F\) の力の項は \(-f’\) となります。
$$ ma = -f’ = -\mu’mg $$

次に、この加速度 \(a\) を用いて、静止するまでの時間 \(t\) を求めます。
物体は一定の加速度 \(a\) で運動するので、等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を使います。
初速度は \(v_0\)、静止したときの最終速度は \(v=0\) です。これらの値を公式に代入します。
$$ 0 = v_0 + at $$

まず、運動方程式から加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
ma &= -\mu’mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割って、
$$ a = -\mu’g $$
次に、この \(a\) を等加速度直線運動の公式に代入して、時間 \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 + (-\mu’g)t \\[2.0ex]\mu’gt &= v_0 \\[2.0ex]t &= \displaystyle\frac{v_0}{\mu’g}
\end{aligned}
$$

物体が止まるのは、床との摩擦がブレーキをかけるからです。この問題を解くには、2つのステップを踏みます。
ステップ1は「ブレーキの強さ（加速度）を計算する」ことです。運動方程式 \(ma=F\) を使います。物体にはたらくブレーキ力（動摩擦力）の大きさは \(f’ = \mu’mg\) です。運動の向きと逆向きなので、運動方程式は \(ma = -\mu’mg\) となります。ここから、加速度 \(a = -\mu’g\) が求まります。マイナス符号は、速度が減っていく（減速）ことを意味します。
ステップ2は「止まるまでの時間を計算する」ことです。初速度 \(v_0\) の物体が、ステップ1で求めた加速度でいつ速度が0になるかを計算します。速度の公式 \(v = v_0 + at\) に、最終速度 \(v=0\) と加速度 \(a=-\mu’g\) を入れて、時間 \(t\) について解けば答えが求まります。

物体が静止するまでにかかる時間は \(t = \displaystyle\frac{v_0}{\mu’g}\) [s] です。
この結果を吟味してみましょう。

• 初速度 \(v_0\) が大きいほど、止まるのに時間がかかる（分子にあるので比例）。
• 動摩擦係数 \(\mu’\) が大きい（＝床がザラザラしている）ほど、早く止まる（分母にあるので反比例）。
• 重力加速度 \(g\) が大きい（＝垂直抗力が大きくなり、摩擦が強まる）ほど、早く止まる（分母にあるので反比例）。

これらはすべて私たちの日常的な感覚と一致しており、物理的に妥当な結果であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学と運動学の連携
  • 核心: この問題は、物理学の2大分野である「力学（なぜ運動が変化するのか）」と「運動学（運動をどう記述するか）」を結びつけて解く、最も基本的な問題構造をしています。この連携プロセスを理解することが核心です。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 力学フェーズ: 物体にはたらく力（この場合は動摩擦力）を分析し、運動方程式 \(ma=F\) を立てて、運動の原因である「加速度 \(a\)」を求める。
    2. 運動学フェーズ: 力学フェーズで求めた加速度 \(a\) を使って、等加速度直線運動の公式（\(v=v_0+at\) など）に代入し、時間 \(t\) や距離 \(x\) などの運動の具体的な様子を明らかにする。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 静止するまでの距離を求める問題: 今回は時間を問われましたが、「静止するまでにすべる距離 \(x\)」を問われることも非常に多いです。その場合は、時間 \(t\) を含まない等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと、\(0^2 – v_0^2 = 2(-\mu’g)x\) から直接 \(x\) を求めることができます。
  • 斜面をすべり上がる運動: 斜面上で物体に初速を与えてすべり上がらせる場合。加速度は、動摩擦力と重力の斜面成分の両方がブレーキとして働くため、\(a = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) となります。この加速度を使って、最高点に達するまでの時間や距離を同様に計算します。
  • 仕事とエネルギーの関係で解く: この問題は、力学的エネルギー保存則が成り立たない（摩擦力が仕事をする）典型例です。運動エネルギーの変化が動摩擦力のした仕事に等しいという関係（\(\Delta E_k = W\)）から、\(\frac{1}{2}m(0)^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -f’x = -(\mu’mg)x\) を立てて、距離 \(x\) を求めることもできます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の種類を判断する: 物体にはたらく力（動摩擦力）が一定かどうかを確認します。一定であれば、加速度も一定となり「等加速度直線運動」として扱えます。
  2. 何を求め、何が与えられているか: 問題で問われている量（時間 \(t\)）と、与えられている量（\(v_0\), \(v=0\)）を確認し、どの等加速度直線運動の公式を使えば最も効率的かを判断します。
  3. 力の分析を怠らない: 加速度を求めるためには、物体にはたらく力をすべて正確に図示し、運動方程式を立てるという力学の基本手順を必ず踏むことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度の符号ミス:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、動摩擦力を正の値としてしまい、\(ma = \mu’mg\) と立式してしまう。
  • 対策: 最初に「初速度の向きを正」と明確に定義します。動摩擦力は常に運動を妨げる向きにはたらくので、この場合は負の向きになります。したがって、運動方程式の力の項には必ずマイナス符号をつけて \(ma = -\mu’mg\) とする必要があります。
• 垂直抗力 \(N\) を \(mg\) と即断する:
  • 誤解: どんな状況でも垂直抗力は \(mg\) だと思い込んでしまう。
  • 対策: この問題では水平面なので \(N=mg\) で正しいですが、斜面上の物体や、鉛直方向に別の力が加わっている場合は \(N \neq mg\) となります。必ず鉛直方向（あるいは面に垂直な方向）の力のつり合いの式を立てて、\(N\) を求める習慣をつけましょう。
• 運動方程式と運動の公式の混同:
  • 誤解: 運動方程式 \(ma=F\) だけで時間 \(t\) を求めようとしたり、逆に、等加速度直線運動の公式だけで問題を解こうとして、加速度 \(a\) が不明なまま行き詰まる。
  • 対策: 「力から加速度を求めるのが運動方程式」「加速度を使って運動の様子（時間、距離）を記述するのが運動の公式」という役割分担を明確に意識します。この2つはセットで使うことが多い、と覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 物体の運動がどのように変化するか（＝加速度）を知るためには、その原因である力との関係を記述するこの法則が不可欠だからです。
  • 適用根拠: 物体には動摩擦力という力がはたらき、その結果として速度が変化（加速）しています。この因果関係を定量的に結びつけるために、運動方程式を適用します。
• 等加速度直線運動の公式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: 問題で問われているのが「時間」であり、初速度と最終速度がわかっているため、速度と時間の関係を表すこの公式が最適です。
  • 適用根拠: 運動方程式から求めた加速度 \(a = -\mu’g\) は、\(\mu’\) と \(g\) が定数であるため、一定です。加速度が一定の運動は「等加速度直線運動」であり、その運動を記述する一連の公式を使用する正当な根拠となります。もし加速度が時間的に変化するような場合は、これらの公式は使えません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の計算:
  • この問題のように、答えが文字式になる場合、最終的な式の形が物理的に妥当か（次元が合っているかなど）を考えると、検算になります。例えば、\(t = \frac{v_0}{\mu’g}\) の単位は \(\frac{[\text{m/s}]}{[] \cdot [\text{m/s²}]} = [\text{s}]\) となり、時間の単位と一致します。
• 移項の際の符号ミス:
  • \(0 = v_0 – \mu’gt\) から \(t\) を求める際に、\(\mu’gt = v_0\) と正しく移項すること。焦っていると符号ミスが起こりやすいポイントです。
• 質量 \(m\) の消去:
  • 計算過程で、運動方程式 \(ma = -\mu’mg\) の両辺から質量 \(m\) が消去されます。これは「摩擦による減速の度合いは、物体の質量によらない」という重要な物理的結論を意味します。計算の各ステップが持つ物理的な意味を考えながら進めると、理解が深まり、ミスも減ります。

例題17 重ねた物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重ねた物体の運動と摩擦力」です。力が大きくなるにつれて、2物体が「一体で運動する状態」から「互いにすべり始める状態」へ移行する、非常に重要な問題を扱います。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「Fの値が29.4Nを超えたとき、AがBの上をすべり始めた」という記述から、F=29.4Nのときが「AとBが一体となって運動できる限界の瞬間」であると読み取ることが最も重要です。この限界の瞬間では、以下の2つのことが同時に成り立っています。

1. AとBは、まだかろうじて一体で運動しているため、加速度は等しい。
2. AをBと一緒に加速させている静止摩擦力が、その最大値（最大静止摩擦力）に達している。

この2つの条件を使って、AとBそれぞれについて運動方程式を立て、連立して解くことで静止摩擦係数 \(\mu_0\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 一体で運動している間、AとBの加速度は等しい。
• Aを加速させる水平方向の力は、Bからの静止摩擦力のみである。
• すべり出す直前、Aにはたらく静止摩擦力は最大値 \(f_{\text{max}} = \mu_0 N\) となる。

具体的な解説と立式
AとBが一体で運動する限界の加速度を \(a\) [m/s²]、このときAにはたらく最大静止摩擦力の大きさを \(f_{\text{max}}\) とします。水平右向きを正とします。

まず、AとBの間にはたらく垂直抗力 \(N\) を求めます。物体Aの鉛直方向の力のつり合いより、
$$ N = m_A g = 2.0 \times 9.8 \text{ [N]} $$

次に、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます。

物体Aについて:
Aを右向きに加速させる力は、Bからの静止摩擦力のみです。すべり出す直前なので、この力は最大静止摩擦力 \(f_{\text{max}}\) に等しくなります。
$$ m_A a = f_{\text{max}} \quad \cdots ① $$
ここで、\(f_{\text{max}} = \mu_0 N = \mu_0 (2.0 \times 9.8)\) です。

物体Bについて:
Bには、右向きに外力 \(F=29.4 \text{ N}\) がはたらき、Aから受ける摩擦力の反作用が左向きにはたらきます。この力の大きさも \(f_{\text{max}}\) です。
$$ m_B a = F – f_{\text{max}} \quad \cdots ② $$

これで、未知数が \(a\), \(f_{\text{max}}\), \(\mu_0\) の3つ、式が3本（①, ②, \(f_{\text{max}}=\mu_0 N\)）立てられました。

まず、①式と②式を連立させて \(a\) と \(f_{\text{max}}\) を求めます。
$$
\begin{cases}
2.0 a = f_{\text{max}} & \cdots ① \\
3.0 a = 29.4 – f_{\text{max}} & \cdots ②
\end{cases}
$$
①を②に代入して \(f_{\text{max}}\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
3.0 a &= 29.4 – 2.0 a \\[2.0ex]5.0 a &= 29.4 \\[2.0ex]a &= 5.88 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
この \(a\) を①式に代入して \(f_{\text{max}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{max}} &= 2.0 \times 5.88 \\[2.0ex]&= 11.76 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
最後に、\(f_{\text{max}} = \mu_0 N\) の関係から静止摩擦係数 \(\mu_0\) を求めます。
垂直抗力 \(N = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N}\) なので、
$$
\begin{aligned}
11.76 &= \mu_0 \times 19.6 \\[2.0ex]\mu_0 &= \displaystyle\frac{11.76}{19.6} \\[2.0ex]&= 0.60
\end{aligned}
$$

AとBが一緒に動けるギリギリの状況を考えます。このとき、Aを引っ張っているのはBとの間の「静止摩擦力」で、この力が限界に達しています。まず、AとBを別々の物体として運動方程式を2つ立てます。これを連立方程式として解くことで、限界時の加速度と、そのときに働いていた摩擦力の大きさがわかります。この摩擦力が「最大静止摩擦力」なので、公式 \(f_{\text{max}} = \mu_0 N\) に当てはめることで、静止摩擦係数 \(\mu_0\) を計算できます。

AとBとの間の静止摩擦係数は \(0.60\) です。問題で与えられている動摩擦係数 \(0.50\) よりも大きい値であり、一般的に静止摩擦係数は動摩擦係数より大きいという物理的な事実に合致しているため、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
加える力 \(F=39.2 \text{ N}\) は、(1)で求めたすべり始める限界の力 \(29.4 \text{ N}\) を超えています。このことから、AはBの上をすべっており、もはや一体では運動していないと判断します。
AとBが互いにすべっているとき、両者の間にはたらく摩擦力は、一定の大きさを持つ「動摩擦力」になります。AとBは異なる加速度で運動するため、それぞれについて運動方程式を立てて、各々の加速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• AとBは別々の加速度 \(a_A\), \(a_B\) で運動する。
• AとBの間にはたらく摩擦力は、動摩擦力 \(f’ = \mu’ N\) である。
• Aにはたらく動摩擦力の向きは、床から見て右向き（Aを加速させる向き）。
• Bにはたらく動摩擦力は、その反作用で左向き（Bの加速を妨げる向き）。

具体的な解説と立式
AとBは別々の加速度 \(a_A\), \(a_B\) で運動します。
まず、AとBの間にはたらく動摩擦力の大きさ \(f’\) を計算します。垂直抗力 \(N\) は(1)と同じく \(N = m_A g = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N}\) です。
$$ f’ = \mu’ N = 0.50 \times 19.6 = 9.8 \text{ N} $$
次に、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます。水平右向きを正とします。

物体Aについて:
Aを加速させる水平方向の力は、Bからの動摩擦力 \(f’\) のみです。
$$ m_A a_A = f’ $$

物体Bについて:
Bには、右向きに外力 \(F=39.2 \text{ N}\) がはたらき、Aから受ける動摩擦力の反作用が左向きにはたらきます。
$$ m_B a_B = F – f’ $$

動摩擦力 \(f’ = 9.8 \text{ N}\) を使って、\(a_A\) と \(a_B\) をそれぞれ計算します。

物体Aの加速度 \(a_A\):
$$
\begin{aligned}
2.0 a_A &= 9.8 \\[2.0ex]a_A &= \displaystyle\frac{9.8}{2.0} \\[2.0ex]&= 4.9 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$

物体Bの加速度 \(a_B\):
$$
\begin{aligned}
3.0 a_B &= 39.2 – 9.8 \\[2.0ex]3.0 a_B &= 29.4 \\[2.0ex]a_B &= \displaystyle\frac{29.4}{3.0} \\[2.0ex]&= 9.8 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$

今度は、AがBの上をズルズルと滑っている状態です。このとき、AとBの間にはたらく摩擦力は、一定の大きさの「動摩擦力」になります。まず、この動摩擦力の大きさを公式 \(f’ = \mu’ N\) で計算しておきます。
Aを加速させる力は、この動摩擦力だけです。Aの運動方程式を立てれば、Aの加速度が求まります。
Bは、外から押される力 \(F\) から、Aに引きずられてブレーキをかけられる動摩擦力を引いた、残りの力で加速します。Bの運動方程式を立てれば、Bの加速度が求まります。

物体Aの加速度の大きさは \(4.9 \text{ m/s²}\)、物体Bの加速度の大きさは \(9.8 \text{ m/s²}\) です。
\(a_B > a_A\) となり、下の板Bの方が上の物体Aよりも速く加速していくことがわかります。これは、AがBの上をすべり、後ろに取り残されていくという状況と一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静止摩擦力と動摩擦力の使い分けと、運動状態の遷移
  • 核心: この問題の核心は、重ねた物体間にはたらく摩擦力が、外力の大きさによって「静止摩擦力」から「動摩擦力」へと変化する点にあります。物体が一体で運動する状態と、互いにすべる状態の2つのレジーム（体制）を正しく見極め、それぞれに応じた物理法則を適用する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    1. 一体で運動する状態（\(F \le 29.4 \text{ N}\)）:
       • AとBの加速度は等しい。
       • Aを加速させる力は「静止摩擦力」である。この静止摩擦力は、Aを加速させるのに必要な分だけはたらき、外力 \(F\) が大きくなるにつれて大きくなる。
    2. すべり出す瞬間の状態（\(F = 29.4 \text{ N}\)）:
       • 一体で運動できる限界点。
       • Aにはたらく静止摩擦力が、その最大値「最大静止摩擦力 \(f_{\text{max}} = \mu_0 N\)」に達している。
    3. 別々に運動する状態（\(F > 29.4 \text{ N}\)）:
       • AとBの加速度は異なる。
       • AとBの間には、一定の大きさの「動摩擦力 \(f’ = \mu’ N\)」がはたらく。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 上の物体Aに力を加える場合: この場合、Aを動かそうとする外力に対し、Bからの静止摩擦力がブレーキとして働きます。Bを動かすのはAからの摩擦力の反作用のみです。
  • 摩擦の有無が逆の場合: 床とBの間に摩擦があり、AとBの間には摩擦がない場合。Aは力を受けないのでその場に留まろうとし（慣性の法則）、Bだけが動こうとするため、AはBの上から滑り落ちます。
  • 「仮定して検証する」解法: 外力 \(F\) が与えられ、すべるかすべらないか不明な場合。まず「一体で運動する（すべらない）」と仮定して、全体の加速度 \(a\) と、Aをその加速度で動かすのに必要な静止摩擦力 \(f_{\text{必要}}\) を計算します。そして、\(f_{\text{必要}}\) が最大静止摩擦力 \(\mu_0 N\) 以下であれば仮定は正しく（すべらない）、超えていれば仮定は誤り（すべる）と判断できます。この手法は非常に強力です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 摩擦力の向きを正確に把握する: 「AはBに引きずられて加速する」「BはAに邪魔されながら進む」というイメージを持つ。Aにはたらく摩擦力はAの運動を助ける向き（右向き）、Bにはたらく摩擦力はその反作用でBの運動を妨げる向き（左向き）になります。
  2. 力の大きさを判断する: 問題文の「すべり始めた」「すべっている」などのキーワードから、はたらいている摩擦力が「最大静止摩擦力」なのか「動摩擦力」なのかを判断します。
  3. 運動状態を見極める: 「一体で運動している」のか「別々の加速度で運動している」のかを判断し、加速度を共通の文字 \(a\) で置くか、別々の文字 \(a_A, a_B\) で置くかを決定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力の向きの誤解:
  • 誤解: Aにはたらく摩擦力を、運動を妨げる左向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: Aに水平方向の力を直接加えているものはありません。Aが右に動くのは、下の板Bが動くことで、Bとの間の摩擦力によって「引きずられる」からです。したがって、Aにはたらく摩擦力はAを加速させる向き（右向き）です。
• 一体で運動するときの加速度の計算ミス:
  • 誤解: (1)でAとBが一体で運動しているからといって、全体の運動方程式を \((m_A+m_B)a = F\) と立ててしまう。
  • 対策: この式は、AとBが摩擦なく固定されている場合にのみ成り立ちます。この問題では、AとBの間で摩擦力がはたらき、それが内力として機能しています。必ず物体ごとに分離し、それぞれについて運動方程式を立てる必要があります。
• 静止摩擦力と動摩擦力の係数の使い分けミス:
  • 誤解: (1)のすべり出す直前の計算で、動摩擦係数 \(\mu’\) を使ってしまう。逆に(2)のすべっている状況で、静止摩擦係数 \(\mu_0\) を使おうとする。
  • 対策: 「すべり出す直前」というキーワードは「最大静止摩擦力」に、「すべっている」というキーワードは「動摩擦力」に直結します。問題の状況に応じて、\(\mu_0\) と \(\mu’\) を正しく使い分けましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 物体の加速度と、それにはたらく力の関係を問う問題の根幹をなす法則だからです。
  • 適用根拠: (1)では一体で運動する限界の加速度を、(2)では別々に運動する加速度を求めるために、各物体にはたらく力を分析し、運動方程式を立てます。2物体あるので、2つの運動方程式を連立させるのが基本です。
• 最大静止摩擦力の公式 (\(f_{\text{max}} = \mu_0 N\)):
  • 選定理由: (1)で「すべり始めた」という、静止摩擦力が限界に達した物理現象を数式で表現する必要があるためです。
  • 適用根拠: この公式は、物体がすべるかすべらないかの境界条件を定量的に与えます。この境界を越えると、はたらく摩擦力は動摩擦力に切り替わるという、物理状態の遷移点を特定するために用います。
• 動摩擦力の公式 (\(f’ = \mu’ N\)):
  • 選定理由: (2)で「すべっている」状況を扱うためです。
  • 適用根拠: 物体が実際にすべっているとき、その運動を妨げる力は動摩擦力であり、その大きさは（高校物理の範囲では）速度によらず一定の値 \(\mu’N\) となります。この力を運動方程式に代入することで、すべっている最中の運動を解析できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理: (1)では、2つの運動方程式 \(m_A a = f_{\text{max}}\) と \(m_B a = F – f_{\text{max}}\) を辺々足し合わせると、内力である \(f_{\text{max}}\) が消去され、\((m_A+m_B)a = F\) という形になり、加速度 \(a\) を素早く求められます。
• 有効数字の確認: 問題文で与えられている数値の有効数字（2桁または3桁）を確認し、最終的な答えもそれに合わせるように意識します。\(g=9.8\) を使う場合、答えは有効数字2桁で答えるのが一般的です。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • (1)で求めた静止摩擦係数 \(\mu_0=0.60\) が、与えられた動摩擦係数 \(\mu’=0.50\) より大きいことを確認する（\(\mu_0 > \mu’\) は物理的に常に成り立つ）。
  • (2)で求めた加速度が \(a_B > a_A\) となっていることを確認し、「下の板Bが上の物体Aを置き去りにしていく」という、すべっている状況と矛盾がないかを確かめる。

例題18 水圧と浮力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水圧と浮力の基本原理」です。水圧が深さによってどのように変化するのか、そして浮力がなぜ生じるのかを、定義に立ち返って理解することが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
水中のある点での圧力を求める問題です。水圧の公式 \(p = p_0 + \rho g d\) を正しく使えるかが問われます。この公式の \(d\) は「水面からの深さ」を意味します。円柱の上面と下面の深さをそれぞれ正確に把握し、公式に代入します。
この設問における重要なポイント

• 水圧は、水面にかかる大気圧 \(p_0\) と、水の重さによる圧力 \(\rho g d\) の和で表される。
• 円柱の上面の深さは \(h\)、下面の深さは \(h+L\) である。

具体的な解説と立式
水圧の公式 \(p = p_0 + \rho g d\) を用います。

円柱の上面について:
水面からの深さは \(d=h\) です。したがって、上面にはたらく圧力 \(p_1\) は、
$$ p_1 = p_0 + \rho g h $$

円柱の下面について:
水面からの深さは、上面の深さ \(h\) に円柱の長さ \(L\) を加えた \(d=h+L\) です。したがって、下面にはたらく圧力 \(p_2\) は、
$$ p_2 = p_0 + \rho g (h+L) $$

この設問は公式に値を代入するだけであり、さらなる計算は不要です。

水の中の圧力は、上にある空気の重さ（大気圧 \(p_0\)）と、その点より上にある水の重さ（水圧 \(\rho g d\)）の合計で決まります。水の重さによる圧力は、水が深いほど大きくなります。上面は深さ \(h\) の場所にあるので、圧力は \(p_0 + \rho g h\) です。下面はさらに \(L\) だけ深い、つまり深さ \(h+L\) の場所にあるので、圧力は \(p_0 + \rho g (h+L)\) となります。

円柱の上面にはたらく圧力は \(p_0 + \rho g h\) [Pa]、下面にはたらく圧力は \(p_0 + \rho g (h+L)\) [Pa] です。下面の方が上面より深いため、下面の圧力の方が大きいという、物理的に妥当な結果が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
円柱にはたらく浮力の大きさを求める問題です。浮力の根本的な原因が「流体中の圧力差」であることを理解しているかが問われます。円柱の下面は上面よりも深い位置にあるため、より大きな上向きの力を水から受けます。この「下面を押し上げる力」と「上面を押し下げる力」の差が、円柱全体を上に持ち上げようとする力、すなわち浮力となります。
この設問における重要なポイント

• 浮力は、物体が流体から受ける力の合力である。
• 力 \(F\) は、圧力 \(p\) と面積 \(S\) を用いて \(F=pS\) と計算できる。
• 浮力 = (下面が受ける上向きの力) – (上面が受ける下向きの力)。

具体的な解説と立式
(1)で求めた圧力 \(p_1\), \(p_2\) を使って、円柱の上面と下面が受ける力を計算します。円柱の断面積は \(S\) です。

• 上面が受ける力 \(F_1\):
  大きさは \(F_1 = p_1 S\)。向きは鉛直下向き。
• 下面が受ける力 \(F_2\):
  大きさは \(F_2 = p_2 S\)。向きは鉛直上向き。

浮力 \(F_{\text{浮力}}\) は、これらの力の合力（鉛直上向きを正とする）として求められます。
$$ F_{\text{浮力}} = F_2 – F_1 = p_2 S – p_1 S $$

上記で立式した浮力の式に、(1)で求めた圧力の具体的な形を代入します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{浮力}} &= p_2 S – p_1 S \\[2.0ex]&= \{p_0 + \rho g(h+L)\}S – \{p_0 + \rho g h\}S \\[2.0ex]&= (p_0 S + \rho g h S + \rho g L S) – (p_0 S + \rho g h S) \\[2.0ex]&= \rho g L S
\end{aligned}
$$
計算の途中で、大気圧 \(p_0\) や上面までの深さ \(h\) に関係する項は相殺されて消えます。

浮力とは、水が物体を上に押し上げようとする力のことです。これは、物体の下側にかかる水の力が、上側にかかる水の力よりも強いからです。この力の差を計算すれば、浮力が求まります。(1)で求めた上面と下面の圧力に、それぞれ面積 \(S\) を掛けて力に直し、大きい方（下面の力）から小さい方（上面の力）を引き算します。

円柱にはたらく浮力の大きさは \(\rho S L g\) [N] です。ここで \(SL\) は円柱の体積 \(V\) を表すので、浮力は \(\rho V g\) と書けます。これは、物体が押しのけた水の質量（\(\rho V\)）にはたらく重力、つまり「物体が押しのけた水の重さ」に等しく、アルキメデスの原理と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
円柱の質量を求める問題です。問題文に「円柱は静止して水中に浮いていた」とあることから、円柱にはたらく力がつり合っていることがわかります。円柱にはたらく鉛直方向の力は「重力」と「浮力」の2つです。これらの力のつり合いの式を立てることで、質量を求めます。
この設問における重要なポイント

• 静止している物体にはたらく力はつり合っている。
• 円柱にはたらく鉛直方向の力は、下向きの重力と上向きの浮力である。

具体的な解説と立式
円柱の質量を \(m\) [kg] とします。円柱にはたらく力は以下の通りです。

• 重力: 大きさ \(mg\)、向きは鉛直下向き。
• 浮力: 大きさ \(F_{\text{浮力}} = \rho S L g\)、向きは鉛直上向き。（(2)の結果より）

円柱は静止しているので、これらの力はつり合っています。
$$ mg = F_{\text{浮力}} $$
したがって、
$$ mg = \rho S L g $$

上記で立てたつり合いの式を、質量 \(m\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg &= \rho S L g
\end{aligned}
$$
両辺を重力加速度 \(g\) で割ると、
$$ m = \rho S L $$

物体が水中で静止して浮かんでいられるのは、地球が物体を下に引く「重力」と、水が物体を上に押し上げる「浮力」が、ちょうど同じ大きさで引き合っているからです。したがって、「重力 = 浮力」という式が成り立ちます。(2)で求めた浮力の大きさと、重力（質量 \(m \times\) 重力加速度 \(g\)）が等しいという式を立て、質量 \(m\) について解けば答えが求まります。

円柱の質量は \(\rho S L\) [kg] です。これは、円柱が押しのけた水の質量と等しいことを意味します。物体の質量が、自身が押しのける水の質量と等しいとき、つまり物体の密度が水の密度と等しいときに、物体は水中の任意の位置で静止できるという物理的な事実と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 浮力の原理と力のつり合い
  • 核心: この問題は、浮力が「物体が受ける流体からの圧力の合力」として生じるという根本原理を理解し、それを用いて静止している物体の力のつり合いを考える、という流体力学の基本を問うています。
  • 理解のポイント:
    1. 水圧の公式 \(p = p_0 + \rho g d\): 浮力を計算する大前提として、水圧が深さに比例して増加することを理解している必要があります。
    2. 浮力の導出: 浮力は、物体の下面が受ける上向きの力 \(p_2 S\) と上面が受ける下向きの力 \(p_1 S\) の差、\(F_{\text{浮力}} = (p_2 – p_1)S\) として計算されます。この計算を実行すると、結果的にアルキメデスの原理 \(F_{\text{浮力}} = \rho V g\) が導かれます。
    3. 力のつり合い: 物体が静止している（浮いている）という条件から、物体にはたらく全ての力の合力がゼロである、という力学の基本原則を適用します。この問題では、鉛直方向の「重力」と「浮力」がつり合っています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 物体が浮き沈みする運動: 物体の密度が水の密度と異なる場合、浮力と重力がつり合わず、物体は加速運動をします。この場合、運動方程式 \(ma = F_{\text{浮力}} – mg\) を立てて、加速度を求める問題に応用できます。
  • 一部だけ水中に沈んでいる物体: 物体の一部が水面から出ている場合。浮力の計算に使う体積 \(V\) は、水面下にある部分の体積のみです。力のつり合いの式は \(mg = \rho V_{\text{水面下}} g\) となります。
  • 異なる液体に浮かぶ物体: 水以外の液体（密度 \(\rho’\)）に浮かべる場合。浮力の公式は \(F_{\text{浮力}} = \rho’ V g\) となります。
  • 糸で吊るされた物体: 水中の物体を糸で吊るして静止させた場合。力のつり合いは「張力 \(T\) + 浮力 \(F_{\text{浮力}}\) = 重力 \(mg\)」となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体の状態を確認する: 「静止している」「浮いている」のか、「沈んでいる」「加速している」のかを問題文から読み取ります。これにより、力のつり合いを考えるのか、運動方程式を立てるのかが決まります。
  2. 浮力の計算方法を選択する:
     • 浮力の原理から計算する場合（本問(2)）: 上面と下面の圧力差から計算します。
     • アルキメデスの原理を使う場合: \(F_{\text{浮力}} = \rho V g\) （\(\rho\)は流体の密度, \(V\)は物体が流体中に沈んでいる部分の体積）を直接使います。通常はこちらの方が計算が早いです。
  3. 物体にはたらく力を全て図示する: 重力、浮力、張力など、物体にはたらく鉛直方向の力を漏れなく書き出すことが、正しい式を立てるための第一歩です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 大気圧の扱い:
  • 誤解: 浮力を計算する際に、大気圧 \(p_0\) をどう扱っていいかわからなくなる。
  • 対策: (2)の計算過程でわかるように、浮力（上面と下面の力の差）を計算すると、大気圧の項 \(p_0 S\) は必ず相殺されて消えます。したがって、浮力だけを考える場合は、最初から大気圧を無視して計算しても同じ結果になります。ただし、(1)のように各面の「絶対圧」を問われた場合は、大気圧を足し忘れないように注意が必要です。
• 浮力の公式の文字の混同:
  • 誤解: 浮力の公式 \(F_{\text{浮力}} = \rho V g\) の密度 \(\rho\) に、物体の密度を使ってしまう。
  • 対策: 浮力は「物体が押しのけた流体の重さ」です。したがって、公式の \(\rho\) は、必ず周囲の「流体の密度」を使います。物体の密度は、物体の質量を計算するとき（\(m = \rho_{\text{物体}} V\)）に使うものです。
• 力のつり合いの式の立て間違い:
  • 誤解: (3)で、力のつり合いを立てる際に、重力と浮力の向きを逆にしたり、両者を足してしまったりする。
  • 対策: 必ず力の図を描きましょう。重力は常に鉛直下向き、浮力は常に鉛直上向きです。この2つが逆向きにはたらいてつり合っている、という図を描けば、\(mg = F_{\text{浮力}}\) という正しい式を自然に立てることができます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 水圧の公式 (\(p = p_0 + \rho g d\)):
  • 選定理由: (1)で、水中の特定の深さにおける圧力を直接問われているため、この公式の適用が必須です。
  • 適用根拠: この公式は、静止した流体中では、圧力は上にある流体の重さに比例して増加するという静水圧の基本原理を数式化したものです。
• 浮力の定義（圧力差による力の合力）:
  • 選定理由: (2)で「浮力の大きさ」を問われており、(1)で計算した圧力差を利用することで、浮力の根源からその大きさを導出できるためです。
  • 適用根拠: 浮力という現象は、ミクロに見れば流体分子が物体表面を押す力の集まりです。これをマクロに捉え、上面と下面の圧力差に起因する力の合力として計算するのが、浮力の最も基本的な定義です。この問題は、その定義を理解しているかを確認する意図で構成されています。
• 力のつり合い (\(\text{合力}=0\)):
  • 選定理由: (3)で、静止している物体の質量を問われているためです。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（慣性の法則）によれば、物体が静止または等速直線運動しているとき、その物体にはたらく力の合力はゼロです。この問題では円柱が「静止して」いるため、鉛直方向の力がつり合っていると判断し、この法則を適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • (2)の計算 \(\{p_0 + \rho g(h+L)\}S – \{p_0 + \rho g h\}S\) では、分配法則を使って括弧を外す際に、符号に注意します。共通項（\(p_0 S\) や \(\rho g h S\)）がうまく消えることを確認しながら計算を進めると、ミスが減ります。
• 単位の確認:
  • (3)で求めた質量 \(m = \rho S L\) の単位をチェックしてみましょう。\( [\text{kg/m³}] \times [\text{m²}] \times [\text{m}] = [\text{kg}] \) となり、確かに質量の単位になっています。このように、文字式でも単位計算（次元解析）を行うことで、式の妥当性を検証できます。
• 物理量の意味を考える:
  • \(SL\) は円柱の体積 \(V\) を意味します。したがって、浮力は \(\rho g V\)、質量は \(\rho V\) となります。このように、式の各部分が持つ物理的な意味を常に考えながら解くと、より深い理解につながり、ケアレスミスも防げます。

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