「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 3】Step3

35 気球からの鉛直投げ上げ

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、動いている物体（気球）から別の物体（小石）を投射する、鉛直投げ上げ運動と相対速度の概念を組み合わせた問題です。地上に固定された座標系（静止系）で考えるか、気球とともに動く座標系（運動系）で考えるか、複数の視点から現象を分析する力が問われます。
この問題の核心は、2つの物体の運動を正しくモデル化し、「すれ違う」という条件を数式で表現することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度と鉛直投げ上げ運動の組み合わせ」です。地上から見た運動と、気球から見た運動の2つの視点を使い分けることがポイントになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小石の地上から見た初速度を求める問題です。「小石を投げてから4.0s後にすれ違った」という情報が鍵となります。この「すれ違う」という現象を、気球に乗っている人の視点（相対的な視点）で捉えることで、シンプルに立式できます。
この設問における重要なポイント

• 相対運動の視点: 気球に乗っている人から見ると、気球自身は静止しているように見えます。小石は、ある初速度で投げ上げられ、重力によって減速し、4.0s後には元の高さ（投げた人の手元）に戻ってきたように見えます。
• 相対初速度: 気球から見た小石の初速度 \(v_{0\text{相対}}\) は、地上から見た小石の初速度 \(v_0\) と気球の速度 \(v_{\text{気球}}\) の差で表されます。\(v_{0\text{相対}} = v_0 – v_{\text{気球}}\)。
• 変位の式: 気球から見た小石の運動は、初速度 \(v_{0\text{相対}}\) の鉛直投げ上げ運動です。4.0s後の変位が0になることを利用して式を立てます。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。気球に乗っている人から見た小石の運動を考えます。
気球から見た小石の初速度を \(v_{0\text{相対}}\) とすると、
$$ v_{0\text{相対}} = v_0 – v_{\text{気球}} \quad \cdots ① $$
と表せます。ここで \(v_0\) は求める地上から見た初速度、\(v_{\text{気球}} = 4.4 \, \text{m/s}\) です。
気球から見ると、小石は重力加速度 \(g\) で運動しているように見えます（気球は等速運動なので、加速度は0）。
4.0s後にすれ違うということは、気球から見た小石の4.0s後の変位 \(y_{\text{相対}}\) が0であることを意味します。
等加速度直線運動の変位の式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いて、
$$ y_{\text{相対}} = v_{0\text{相対}} t_1 + \frac{1}{2}(-g)t_1^2 \quad \cdots ② $$
ここで、\(y_{\text{相対}} = 0\)、\(t_1 = 4.0 \, \text{s}\) です。

式②に \(y_{\text{相対}} = 0\)、\(t_1 = 4.0\)、\(g=9.8\) を代入して、\(v_{0\text{相対}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= v_{0\text{相対}} \times 4.0 + \frac{1}{2}(-9.8) \times (4.0)^2 \\[2.0ex]0 &= 4.0 v_{0\text{相対}} – \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16.0 \\[2.0ex]4.0 v_{0\text{相対}} &= 78.4 \\[2.0ex]v_{0\text{相対}} &= \frac{78.4}{4.0} \\[2.0ex]&= 19.6 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式①に代入して、地上から見た初速度 \(v_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= v_0 – 4.4 \\[2.0ex]v_0 &= 19.6 + 4.4 \\[2.0ex]&= 24.0 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
答えは正の値なので、向きは鉛直上向きです。

気球に乗っている人から見ると、小石は「行って戻ってくる」運動をします。4.0秒かけて手元に戻ってくるということは、ちょうど2.0秒で最高点に達し、残りの2.0秒で落ちてきたということです。この情報から、気球から見た「投げ上げの速さ」を計算し、それに気球自体の速さを足し合わせることで、地上から見た本当の初速度を求めます。

小石を投げ上げたときの小石の地上から見た初速度は、上向きに \(24 \, \text{m/s}\) です。
気球が \(4.4 \, \text{m/s}\) で上昇しているので、気球から見ると小石は \(24.0 – 4.4 = 19.6 \, \text{m/s}\) の速さで投げ上げられたことになります。この速さで投げ上げられた物体が4.0秒後に元の位置に戻るか確認すると、\(y = 19.6 \times 4.0 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0^2 = 78.4 – 78.4 = 0\) となり、確かに元の位置に戻ります。結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
すれ違う瞬間の、気球に乗っている人から見た小石の速度（相対速度）を求める問題です。相対速度の定義 \(v_{\text{AB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\) に従って計算します。そのためには、まず地上から見たすれ違う瞬間の小石の速度を求める必要があります。
この設問における重要なポイント

• すれ違う瞬間の速度: 小石を投げてから \(t_1 = 4.0 \, \text{s}\) 後の、地上から見た小石の速度 \(v_{\text{小石}}\) を計算します。
• 相対速度の計算: \(v_{\text{相対}} = v_{\text{小石}} – v_{\text{気球}}\) の式に、計算した \(v_{\text{小石}}\) と与えられている \(v_{\text{気球}}\) を代入します。
• 符号と向き: 速度の符号が負であれば、鉛直下向きを意味します。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。
すれ違う瞬間、すなわち \(t_1 = 4.0 \, \text{s}\) 後の地上から見た小石の速度を \(v_{\text{小石}}\) とします。
等加速度直線運動の速度の式 \(v = v_0 + at\) を用いて、
$$ v_{\text{小石}} = v_0 + (-g)t_1 \quad \cdots ① $$
ここで、(1)で求めた \(v_0 = 24.0 \, \text{m/s}\) を用います。
求める相対速度を \(v_{\text{相対}}\) とすると、定義より
$$ v_{\text{相対}} = v_{\text{小石}} – v_{\text{気球}} \quad \cdots ② $$
となります。

まず、式①を用いて \(t_1 = 4.0 \, \text{s}\) 後の小石の速度 \(v_{\text{小石}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{小石}} &= 24.0 – 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 24.0 – 39.2 \\[2.0ex]&= -15.2 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を用いて相対速度 \(v_{\text{相対}}\) を計算します。気球の速度は常に \(v_{\text{気球}} = +4.4 \, \text{m/s}\) です。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}} &= -15.2 – 4.4 \\[2.0ex]&= -19.6 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(-20 \, \text{m/s}\) となります。負の符号は鉛直下向きを意味します。

すれ違うとき、地上から見ると小石は下向きに、気球は上向きに動いています。気球に乗っている人から見れば、小石はものすごい速さで下向きに遠ざかっていくように見えます。この「見かけの速さ」を、それぞれの地上から見た速度の引き算で計算します。

すれ違うときの、気球に乗っている人から見た小石の速度は、下向きに \(20 \, \text{m/s}\) です。
(1)の別解で計算したように、気球から見た小石の初速度は上向きに \(19.6 \, \text{m/s}\) でした。対称性から、4.0秒後に元の高さに戻ってきたときの速度は、下向きに \(19.6 \, \text{m/s}\) となるはずです。計算結果はこれと一致しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小石を投げ上げたときの気球の高さ \(H\) を求める問題です。「すれ違ってから2.0s後に地面に達した」という情報が鍵です。これは、小石を投げてから合計 \(4.0 + 2.0 = 6.0 \, \text{s}\) 後に地面に達したことを意味します。投げ上げた点を原点として、6.0s後の小石の変位を計算すると、それがそのまま求める高さ \(H\) に対応します。
この設問における重要なポイント

• 全飛行時間: 小石が空中にある時間は \(t_{\text{全}} = t_1 + t_2 = 4.0 + 2.0 = 6.0 \, \text{s}\) です。
• 変位と高さの関係: 投げ上げた位置を原点（\(y=0\)）とすると、地面は \(y = -H\) の位置にあります。したがって、\(t = t_{\text{全}}\) のときの小石の変位を計算すれば、\(H\) が求まります。
• 変位の公式: 鉛直投げ上げ運動の変位の式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とし、小石を投げ上げた瞬間の位置を原点（\(y=0\)）とします。
このとき、地面の位置は \(y = -H\) となります。ここで \(H\) は求める高さです。
小石は、\(t_{\text{全}} = 6.0 \, \text{s}\) 後に地面に達するので、このときの変位が \(-H\) になります。
変位の式に、\(t = t_{\text{全}}\)、\(y = -H\)、(1)で求めた初速度 \(v_0 = 24.0 \, \text{m/s}\) を代入します。
$$ -H = v_0 t_{\text{全}} + \frac{1}{2}(-g)t_{\text{全}}^2 $$

上記で立てた式に、\(v_0 = 24.0\)、\(t_{\text{全}} = 6.0\)、\(g=9.8\) を代入して \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
-H &= 24.0 \times 6.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (6.0)^2 \\[2.0ex]-H &= 144 – 4.9 \times 36 \\[2.0ex]-H &= 144 – 176.4 \\[2.0ex]-H &= -32.4 \\[2.0ex]H &= 32.4 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(32 \, \text{m}\) となります。

小石は投げられてから合計6.0秒間、空中を旅して地面に着きます。この6.0秒間の小石の「移動距離」を、物理公式を使って計算します。ただし、上に行ってから下に行くので、最終的な「位置の変化（変位）」を計算します。この変位が、最初にいた高さそのものになります。

小石を投げ上げたときの気球の高さは \(32 \, \text{m}\) です。
この高さから初速度 \(24.0 \, \text{m/s}\) で投げ上げた小石が、本当に6.0秒で地面に落ちるか検算してみましょう。
\(y = 24.0 \times 6.0 – 4.9 \times 6.0^2 = 144 – 176.4 = -32.4\)。
変位が \(-32.4 \, \text{m}\) となり、高さ \(32.4 \, \text{m}\) の地点から地面に落ちたことと一致します。結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の記述（静止系）:
  • 核心: 地上で静止している観測者から見ると、気球は「等速直線運動」、小石は「鉛直投げ上げ運動（等加速度直線運動）」をします。この2つの運動を、変位の公式 \(y = vt\) と \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いて正確に記述することが、問題を解く上での基本となります。
  • 理解のポイント: (1)の「すれ違う」という条件は、ある時刻 \(t\) における2つの物体の位置 \(y\) が等しくなること（\(y_{\text{気球}} = y_{\text{小石}}\)）を意味します。この関係を立式することが、静止系で解く場合の最も重要なステップです。
• 相対運動の記述（運動系）:
  • 核心: 気球に乗っている観測者から見ると、自分自身は静止しており、小石だけが運動しているように見えます。この「相対運動」を考えることで、問題をよりシンプルに捉えることができます。
  • 理解のポイント: 気球から見た小石の相対速度は \(v_{\text{相対}} = v_{\text{小石}} – v_{\text{気球}}\) で計算できます。気球は等速運動なので加速度は0です。したがって、気球から見ても小石の加速度は重力加速度 \(-g\) のままです。この視点では、「すれ違う」とは、投げた小石が元の位置（変位0）に戻ってくることを意味し、\(y_{\text{相対}} = 0\) という非常にシンプルな条件式を立てることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電車からの物体の投射: 一定速度で走る電車からボールを真上に投げ上げる問題。これも本問と同様に、地上から見た運動と電車から見た運動の2つの視点で解析できます。
  • 川を渡る船: 流れのある川を船が進む問題。船の速度（静水時）と川の流速のベクトル合成で、地上から見た船の運動が決まります。「相対速度」の概念が中心となる典型例です。
  • 空中での物体の分離・衝突: ロケットの切り離しや、空中での2物体の衝突など。運動量保存則と組み合わせられることも多いですが、その前段階として各物体の運動を相対的に捉える視点が役立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準となる座標系は何か？: まず、地上に固定された「静止系」で考えるのが基本です。すべての物体の速度や位置を、この共通の基準で記述します。
  2. 相対的な視点は使えないか？: 問題文に「Aから見たBの運動は…」といった記述がある場合や、2物体の接近・衝突・すれ違いを扱う場合は、「相対運動」の視点を導入すると計算が簡単になることが多いです。特に、一方の物体が等速直線運動をしている場合は、その物体に乗った視点で考えると非常に有効です。
  3. 現象の節目を捉える: 「投げた瞬間」「最高点」「すれ違う瞬間」「地面に達した瞬間」など、運動の様子が変化するポイントを明確に区別します。それぞれの瞬間の時刻、位置、速度の関係を整理することが、立式の助けになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の合成の誤り:
  • 誤解: 小石の初速度を、気球の速さ \(4.4 \, \text{m/s}\) と、気球から見た投げ上げの速さの単純な和としてしまい、地上から見た初速度 \(v_0\) を正しく設定できない。
  • 対策: 「地上から見た速度」＝「運動している物体（気球）の速度」＋「その物体から見た相対速度」というベクトル和の関係を常に意識しましょう。\(v_{\text{小石}} = v_{\text{気球}} + v_{\text{相対}}\) という関係式を正しく理解し、適用することが重要です。
• 座標系の混同:
  • 誤解: 地上から見た運動の式を立てている途中で、気球から見た相対速度を代入してしまうなど、静止系と運動系の物理量を一つの式にごちゃ混ぜにしてしまう。
  • 対策: 式を立てる前に、「今、自分はどの視点（静止系か、運動系か）で考えているのか」を明確に宣言する癖をつけましょう。一つの式の中では、必ず同じ座標系における物理量のみを用いることを徹底します。
• 符号のミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と決めたにもかかわらず、重力加速度 \(g\) を正の値のまま式に代入してしまう。あるいは、計算結果で速度が負になったのに、向きを下向きと解釈できない。
  • 対策: 最初に「鉛直上向きを正とする」と紙に明記し、ベクトル量（変位、速度、加速度）を式に代入する際は、その向きに応じて必ず `+` か `-` の符号を付けることを徹底しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの視点での \(y-t\) グラフ:
    • 静止系（地上から見る）: 横軸に時間 \(t\)、縦軸に高さ \(y\) をとります。気球の運動は原点を通る右上がりの直線（\(y = 4.4t\)）になります。小石の運動は、同じ原点から出発し、上に凸の放物線（\(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)）を描きます。この直線と放物線が交わる点が「すれ違い」の瞬間です。
    • 運動系（気球から見る）: 気球自身は常に \(y=0\) の位置にいます。小石は原点から投げ上げられ、上に凸の放物線を描いて、4.0秒後に再び \(y=0\) の点に戻ってきます。このイメージの方が、(1)の条件を直感的に理解しやすいです。
  • 速度ベクトルの図: 「地上から見た小石の初速度 \(\vec{v_0}\)」は、「気球の速度 \(\vec{v}_{\text{気球}}\)」と「気球から見た小石の初速度 \(\vec{v}_{0\text{相対}}\)」のベクトル和（\(\vec{v_0} = \vec{v}_{\text{気球}} + \vec{v}_{0\text{相対}}\)）として図示できます。すべてのベクトルが鉛直方向なので、矢印の長さの足し算として表現すると関係性が明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 運動の軌跡を明確に: 静止系で考えるなら、気球と小石の軌跡を1つのグラフ上に描きましょう。
  • 座標軸の明記: 縦軸が位置 \(y\) なのか速度 \(v\) なのか、横軸が時間 \(t\) なのかを必ず明記します。原点 \(O\) と正の向き（矢印）も忘れずに記入します。
  • 重要な点をプロット: 「投げた点」「すれ違う点」「地面」など、問題のキーとなる点を図の上にプロットし、そのときの時刻や高さを書き込むと、思考が整理されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式（\(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\), \(v = v_0 + at\)）:
  • 選定理由: 小石の運動は、一定の重力加速度 \(-g\) のもとでの運動だからです。時間と位置、時間と速度の関係を記述するために、これらの公式が必須となります。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) から導かれる、加速度が一定の場合の普遍的な運動法則です。
• 相対速度の公式（\(v_{\text{AB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\)）:
  • 選定理由: (2)で「気球に乗っている人から見た」速度が問われているため、また(1)を別解で解く際に「相対運動」という視点を導入するために、この公式が必要になります。
  • 適用根拠: 速度の定義そのものから導かれる関係式です。ある基準（静止系）に対する各物体の速度が分かっていれば、一方から見たもう一方の相対的な速度を計算できます。
• 等速直線運動の公式（\(y = vt\)）:
  • 選定理由: 気球は「一定の速さで」運動しているため、その位置を記述する最もシンプルな公式としてこれを選びます。
  • 適用根拠: 加速度が0の場合の等加速度直線運動の公式に \(a=0\) を代入したものと等価であり、運動の第一法則（慣性の法則）に対応します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 初速度の計算（相対運動で解く場合）:
   • 戦略: 気球から見た小石の運動に着目し、「4.0秒後に変位が0になる」条件で立式する。
   • フロー: ①気球から見た初速度を \(v_{0\text{相対}}\) とおく → ②変位の式 \(y_{\text{相対}} = v_{0\text{相対}}t_1 – \displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\) を立てる → ③\(y_{\text{相対}}=0\), \(t_1=4.0\) を代入し、\(v_{0\text{相対}}\) を計算 → ④相対速度の定義式 \(v_{0\text{相対}} = v_0 – v_{\text{気球}}\) を使い、\(v_0\) を計算。
2. (2) 相対速度の計算:
   • 戦略: すれ違う瞬間の、地上から見た小石の速度を求め、気球の速度との差を計算する。
   • フロー: ①速度の式 \(v_{\text{小石}} = v_0 – gt_1\) を立てる → ②(1)で求めた \(v_0\) と \(t_1=4.0\) を代入し、\(v_{\text{小石}}\) を計算 → ③相対速度の定義式 \(v_{\text{相対}} = v_{\text{小石}} – v_{\text{気球}}\) を使い、\(v_{\text{相対}}\) を計算。
3. (3) 高さの計算:
   • 戦略: 投げた瞬間から地面に達するまでの全時間を使って、投げた点を原点としたときの地面の変位を求める。
   • フロー: ①全飛行時間 \(t_{\text{全}} = 4.0 + 2.0 = 6.0 \, \text{s}\) を確認 → ②投げた点を原点とすると、地面の変位は \(-H\) となる → ③変位の式 \(-H = v_0 t_{\text{全}} – \displaystyle\frac{1}{2}gt_{\text{全}}^2\) を立てる → ④\(v_0\) と \(t_{\text{全}}\) を代入し、\(H\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 計算の各段階で単位（m, s, m/s, m/s²）を意識することで、次元の異なる量を足し合わせるようなミスを防げます。最終的な答えの単位が、求められている物理量の単位と一致しているかを確認しましょう。
• 有効数字の処理: 問題文で与えられた数値の有効数字（この問題では2桁）を確認し、計算の途中では多めの桁数（3〜4桁）で計算を進め、最後に答えを四捨五入して有効数字を合わせます。\(19.6 \rightarrow 20\), \(32.4 \rightarrow 32\) のような処理を最後に行います。
• 検算の習慣: (1)で求めた \(v_0\) を使って、本当に4.0秒後に気球と小石の高さが一致するかを確かめる（\(y_1 = 4.4 \times 4.0 = 17.6\), \(y_2 = 24.0 \times 4.0 – 4.9 \times 16 = 96 – 78.4 = 17.6\)）。このように、得られた答えを元の条件に戻してチェックする習慣は、ミスを大幅に減らします。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 初速度 \(v_0 = 24 \, \text{m/s}\): 気球自身の速度 \(4.4 \, \text{m/s}\) よりもかなり大きい。そうでなければ、投げた瞬間に小石は気球から離れて上昇していくことができないため、妥当な大きさです。
  • (2) 相対速度 \(-20 \, \text{m/s}\): (1)で計算した気球から見た初速度が \(+19.6 \, \text{m/s}\) だったので、同じ場所に戻ってきたときの速度が、対称性からほぼ同じ大きさで逆向き（\(-19.6 \, \text{m/s}\)）になるのは物理的に自然です。
  • (3) 高さ \(H = 32 \, \text{m}\): ビルの10階程度の高さに相当します。気球の高さとして非現実的な値ではありません。
• 別解との比較:
  • (1)の初速度は、「静止系」と「運動系」の2つの異なるアプローチで求められました。両者で全く同じ結果 (\(v_0 = 24.0 \, \text{m/s}\)) が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。
  • (3)の高さも、「全時間で一気に計算する方法」と「すれ違った点を基準に2段階で計算する方法」で同じ結果が得られました。これも同様に、解法の正しさを保証してくれます。複数の解法を試すことは、最高の検算方法です。

36 飛行機から落とした物体の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平方向に一定速度で運動する飛行機から静かに落とされた物体の運動、すなわち「水平投射」を扱う問題です。地上から見た運動と、飛行機から見た相対的な運動という2つの視点から現象を分析する能力が問われます。
この問題の核心は、物体の運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という2つの独立した運動の組み合わせとして捉えることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射と相対運動」です。地上から見た運動は放物線を描きますが、運動を水平・鉛直に分解して考えるのが定石です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
目標Pの方向を示す角 \(\theta\) のタンジェント \(\tan\theta\) を求める問題です。荷物を落とした瞬間、荷物は飛行機と同じ位置にあります。荷物が目標Pに命中するためには、荷物が落下する間に飛行機が進む距離と、荷物が水平方向に進む距離が等しくなければなりません。そして、その水平距離と高さの関係が \(\tan\theta\) を決定します。
この設問における重要なポイント

• 落下時間の計算: 荷物が高さ \(h = 78.4 \, \text{m}\) を自由落下するのにかかる時間 \(t\) を、鉛直方向の運動の式から求めます。
• 水平移動距離の計算: 落下時間 \(t\) の間に、荷物が水平方向に移動する距離 \(x\) を、水平方向の等速直線運動の式から求めます。
• 幾何学的関係: 図から、\(\tan\theta\) は高さ \(h\) と水平移動距離 \(x\) の比で表されることがわかります（\(\tan\theta = \displaystyle\frac{h}{x}\)）。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。
荷物の運動を鉛直方向と水平方向に分解して考えます。
鉛直方向は、初速度0の自由落下運動です。高さ \(h\) を落下するのにかかる時間を \(t\) とすると、変位の式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より、
$$ h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
水平方向は、速さ \(v_0\) の等速直線運動です。時間 \(t\) の間に進む距離を \(x\) とすると、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ② $$
図より、飛行機から目標Pを見たときの角度 \(\theta\) について、以下の関係が成り立ちます。
$$ \tan\theta = \frac{h}{x} \quad \cdots ③ $$

まず、式①に \(h=78.4\)、\(g=9.8\) を代入して、落下時間 \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
78.4 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex]78.4 &= 4.9 t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{78.4}{4.9} \\[2.0ex]t^2 &= 16 \\[2.0ex]t &= 4.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
次に、この時間 \(t\) を式②に代入して、水平移動距離 \(x\) を求めます。\(v_0 = 39.2 \, \text{m/s}\) です。
$$
\begin{aligned}
x &= 39.2 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 156.8 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
最後に、これらの値を式③に代入して \(\tan\theta\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{78.4}{156.8} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$

荷物が地面に落ちるまでの時間をまず計算します。その時間、荷物は飛行機と同じ水平スピードで前に進み続けます。この「前に進んだ距離」と「落ちた高さ」の比率が、ちょうど \(\tan\theta\) になります。

\(\tan\theta\) の値は \(0.50\) です。
これは、水平距離が高さの2倍であることを意味します。速さ \(v_0 = 39.2 \, \text{m/s}\) は、重力加速度 \(g=9.8 \, \text{m/s}^2\) のちょうど4倍です。落下時間が4.0秒なので、水平距離は \(39.2 \times 4.0\)、高さは \(\displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0^2\) であり、これらの関係性が物理法則と矛盾なく結びついています。

問(2)

思考の道筋とポイント
飛行機から見た荷物の運動がどう見えるかを問う問題です。これは相対運動の問題です。「Aから見たBの運動」は、Bの速度からAの速度をベクトル的に引き算することで得られる相対速度によって決まります。
この設問における重要なポイント

• 速度ベクトルの設定: 飛行機の速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{飛行機}}\) と、ある時刻の荷物の速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{荷物}}\) を考えます。
• 相対速度の計算: 飛行機から見た荷物の相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}}\) は、\(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{荷物}} – \vec{v}_{\text{飛行機}}\) で計算します。
• 運動の独立性の応用: 荷物を落とした後も、荷物の水平方向の速度は（空気抵抗を無視すれば）飛行機と全く同じです。

具体的な解説と立式
水平右向きをx軸、鉛直下向きをy軸とします。
飛行機の速度ベクトルは、常に \(\vec{v}_{\text{飛行機}} = (v_0, 0)\) です。
荷物を落としてから時間 \(t\) が経過した後の荷物の速度ベクトルは、水平成分が \(v_x = v_0\)、鉛直成分が \(v_y = gt\) なので、\(\vec{v}_{\text{荷物}} = (v_0, gt)\) となります。
したがって、飛行機から見た荷物の相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\vec{v}_{\text{相対}} &= \vec{v}_{\text{荷物}} – \vec{v}_{\text{飛行機}} \\[2.0ex]&= (v_0, gt) – (v_0, 0) \\[2.0ex]&= (0, gt)
\end{aligned}
$$
となります。

上記の立式から、相対速度の水平成分は \(0\)、鉛直成分は \(gt\) であることがわかります。
これは、水平方向には相対的に動かず、鉛直下向きにのみ速度 \(gt\) で運動していることを意味します。
このような運動は、初速度0で真下に落ちていく「自由落下」に他なりません。

飛行機と荷物は、横方向には全く同じスピードで飛び続けます。そのため、飛行機から見ると、荷物は横には動かず、ただ真下に落ちていくだけに見えます。これは「自由落下」です。

飛行機から見ると、荷物の運動は「自由落下」に見えます。
これは、荷物を「静かに落とす」という操作が、飛行機から見て初速度0で物体を放すことに相当するためです。飛行機と同じ慣性系に乗っている観測者にとっては、重力だけを受けて真下に落ちていく運動に見えるのは、物理的に極めて自然な結論です。

問(3)

思考の道筋とポイント
荷物が目標Pに命中する直前の「速さ」を求める問題です。「速さ」はスカラー量であり、速度ベクトルの大きさを指します。そのため、命中直前の速度の水平成分と鉛直成分をそれぞれ求め、三平方の定理を用いて合成する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 命中直前の速度成分:
  • 水平成分 \(v_x\): 水平方向は等速直線運動なので、初速度 \(v_0\) のまま変化しません。
  • 鉛直成分 \(v_y\): 鉛直方向は自由落下運動なので、落下時間 \(t\) を用いて \(v_y = gt\) から計算します。
• 速度の合成: 命中直前の速さ \(v\) は、\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で計算します。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。
(1)より、荷物の落下時間は \(t = 4.0 \, \text{s}\) です。
命中直前の速度の水平成分 \(v_x\) は、初速度 \(v_0\) に等しく、
$$ v_x = v_0 \quad \cdots ① $$
命中直前の速度の鉛直成分 \(v_y\) は、自由落下の速度の式より、
$$ v_y = gt \quad \cdots ② $$
求める速さ \(v\) は、これら2つの成分を合成して得られます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \cdots ③ $$

まず、式②を用いて鉛直成分 \(v_y\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 39.2 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
水平成分は \(v_x = v_0 = 39.2 \, \text{m/s}\) です。
これらの値を式③に代入して、速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(39.2)^2 + (39.2)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times (39.2)^2} \\[2.0ex]&= 39.2 \sqrt{2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 39.2 \times 1.41 \\[2.0ex]&= 55.272 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(55 \, \text{m/s}\) となります。

地面にぶつかる瞬間、荷物は「前に進む速さ」と「下に落ちる速さ」の両方を持っています。この2つの速さを、直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じように（三平方の定理で）合成して、最終的な本当の速さを計算します。

荷物がPに命中する直前の速さは \(55 \, \text{m/s}\) です。
興味深いことに、この問題では命中直前の速度の水平成分と鉛直成分が \(39.2 \, \text{m/s}\) で等しくなりました。これは、たまたま \(v_0 = gt\) となるような数値設定だったためです。このとき、速度ベクトルは水平面と45°の角度をなして地面に衝突することになります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: 水平投射された物体の運動は、水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「自由落下運動」という、2つの単純な運動の重ね合わせとして完全に記述できます。これがこの問題の最も重要な物理原則です。
  • 理解のポイント: 水平方向の速度は重力の影響を受けず一定であり、鉛直方向の速度は重力によって時間とともに直線的に増加します。この2つの運動は、時間\(t\)という共通のパラメータ以外は互いに干渉しません。この「運動の独立性」を理解することが、放物運動を攻略する鍵です。
• 相対運動の考え方:
  • 核心: (2)で問われているように、運動している物体（飛行機）から見た別の物体（荷物）の運動を考える場合、相対速度の概念が不可欠です。
  • 理解のポイント: 荷物は落とされた後も、水平方向には飛行機と全く同じ速度で運動し続けます（慣性の法則）。したがって、飛行機から見れば、荷物は水平方向には動いていない（相対速度がゼロ）ように見えます。鉛直方向には重力に従って落下するため、結果として「自由落下」に見えるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 地上から斜め上方に物体を投げ上げる運動。これも水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「鉛直投げ上げ運動」に分解して考えます。本質的な解法は全く同じです。
  • 斜面への投射: 水平に投げた物体が、斜面に衝突する問題。物体の放物運動の軌跡の式と、斜面を表す直線の式の交点を求めることで、衝突点や衝突時間を計算できます。
  • 動く台からの投射: 一定速度で動く台車の上からボールを真上に投げ上げる問題。本問の(2)と同様に、台車から見れば「鉛直投げ上げ」、地上から見れば「斜方投射」に見えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を分解できないか？: 2次元の運動に見える問題では、まず「直交する2方向（多くは水平・鉛直）に分解できないか」と考えます。分解することで、複雑な運動を2つの単純な1次元運動として扱えます。
  2. 時間\(t\)が共通の鍵: 分解した2つの運動を結びつける唯一のものが「時間」です。一方の運動（例：鉛直方向の落下）から時間を求め、それをもう一方の運動（例：水平方向の移動）に適用する、という流れが定石です。
  3. エネルギー保存則は使えないか？: (3)の別解のように、速さを問う問題で、働く力が重力や弾性力などの「保存力」のみの場合、力学的エネルギー保存則が強力な武器になります。運動の途中経過（時間など）を計算する必要がなく、始点と終点の状態だけで解けるため、計算が簡略化されることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平方向の運動の誤解:
  • 誤解: 荷物が落ちていくにつれて、水平方向の速度もだんだん遅くなる、あるいは速くなると考えてしまう。
  • 対策: 重力は鉛直下向きにしか働かないことを常に意識しましょう。水平方向には力が働かない（空気抵抗は無視）ので、加速度はゼロです。したがって、水平方向の速度は最初から最後まで一定（等速直線運動）です。
• 速度と速さの混同:
  • 誤解: (3)で命中直前の速さを問われた際に、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) だけを計算して答えてしまう。
  • 対策: 「速度」は向きを持つベクトル量、「速さ」は大きさのみを持つスカラー量であることを明確に区別しましょう。2次元運動の「速さ」を求めるには、必ず水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) を求め、\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) のように合成するプロセスが必要です。
• \(\tan\theta\) の定義の混同:
  • 誤解: 図における \(\tan\theta\) を、\(x/h\) のように分子と分母を逆にしてしまう。
  • 対策: 三角比の定義「\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\)」を、図と照らし合わせて丁寧にあてはめる習慣をつけましょう。この問題では、角度 \(\theta\) に対する対辺が高さ \(h\)、底辺が水平距離 \(x\) にあたります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ストロボ写真のイメージ: 水平投射された物体をストロボ撮影すると、横方向には等間隔で進み、縦方向には落下するにつれて間隔が広がっていく様子が写ります。このイメージは、水平方向が「等速」、鉛直方向が「加速」していることを直感的に理解するのに役立ちます。
  • 速度ベクトルの分解と合成の図: 任意の時刻における速度ベクトル \(\vec{v}\) を描きます。このベクトルは、常に一定の長さを持つ水平なベクトル \(\vec{v}_x\) と、時間とともに長くなる鉛直なベクトル \(\vec{v}_y\) の合成（ベクトルの和）として描くことができます。この図を描くことで、(3)の計算の意味が視覚的に理解できます。
  • 相対運動のイメージ: 飛行機と荷物を真上から見た図を想像します。両者は全く同じ位置を同じ速度で移動し続けるため、重なって見えます。次に、真横から見た図を想像します。飛行機は一定の高さを飛び、荷物はそこから落ちていきます。この2つの視点を組み合わせると、飛行機から見て荷物は真下に落ちていくことが理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 運動の軌跡（放物線）を滑らかに描く。
  • 水平・鉛直の座標軸を明確に設定し、原点と正の向きを記入する。
  • (1)の図では、角度 \(\theta\)、高さ \(h\)、水平距離 \(x\) の関係がわかるように、直角三角形を明確に描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の公式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)):
  • 選定理由: 荷物の鉛直方向の運動は、初速度0、加速度\(g\)の等加速度直線運動だからです。この運動における「変位と時間の関係」「速度と時間の関係」を記述するために、これらの公式が最適です。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動方程式 \(ma_y = mg\) から導かれる、最も基本的な運動法則です。
• 等速直線運動の公式 (\(x = v_0 t\)):
  • 選定理由: 荷物の水平方向の運動は、力が働かないため加速度0の等速直線運動だからです。
  • 適用根拠: 水平方向の運動方程式 \(ma_x = 0\) の結論です。
• 力学的エネルギー保存則 (\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2\)):
  • 選定理由: (3)の別解として、運動の途中経過を問わず、始点と終点の「速さ」と「高さ」の関係だけを知りたい場合に非常に有効だからです。
  • 適用根拠: 運動の過程で働く力が重力（保存力）のみであるため、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれるという物理学の基本法則に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) \(\tan\theta\) の計算:
   • 戦略: 落下時間 \(t\) を介して、鉛直方向の運動と水平方向の運動を結びつける。
   • フロー: ①鉛直方向の運動に着目し、\(h = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) から落下時間 \(t\) を計算 → ②水平方向の運動に着目し、\(x = v_0 t\) から水平距離 \(x\) を計算 → ③図の幾何学的関係から、\(\tan\theta = h/x\) を計算。
2. (2) 相対運動の考察:
   • 戦略: 飛行機と荷物の速度ベクトルの差を計算する。
   • フロー: ①飛行機の速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{飛行機}}\) と荷物の速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{荷物}}\) を成分表示 → ②相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{荷物}} – \vec{v}_{\text{飛行機}}\) を計算 → ③得られた相対速度ベクトルがどのような運動を表すかを解釈する。
3. (3) 命中直前の速さの計算:
   • 戦略: 命中直前の速度の水平成分と鉛直成分を求め、合成する。
   • フロー: ①水平成分 \(v_x\) は \(v_0\) のまま → ②鉛直成分 \(v_y\) を \(v_y = gt\) から計算（(1)で求めた \(t\) を使用） → ③三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて速さ \(v\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算: \(t^2=16\) から \(t=4.0\) のように、計算しやすい数値になっていることが多いです。また、(3)の \(v = \sqrt{39.2^2 + 39.2^2}\) のような形になったら、すぐに電卓を叩くのではなく、\(39.2\sqrt{2}\) のように式を簡潔にしてから最後に数値を代入すると、計算が楽になりミスも減ります。
• 数値の関連性に気づく: この問題では \(h=78.4\), \(v_0=39.2\), \(g=9.8\) と、数値間に \(78.4 = 2 \times 39.2 = 8 \times 9.8\) のような関係があります。計算過程で \(t=4.0\) や \(v_y=39.2\) のようにきれいな値が出てくるのはこのためです。出題者の意図を汲み取り、計算結果に自信を持つことができます。
• 別解による検算: (3)は運動学的なアプローチとエネルギー保存則のアプローチの2通りで解けました。全く異なる方法で同じ答えが出れば、その答えはほぼ間違いなく正しいと言えます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(\tan\theta = 0.50\): \(\theta\) は約26.6°です。極端に大きい、あるいは小さい角度ではなく、現実的な値です。
  • (3) 速さ \(v = 55 \, \text{m/s}\): 初速 \(39.2 \, \text{m/s}\) よりも速くなっています。これは、落下によって位置エネルギーが運動エネルギーに変換された結果であり、当然のことです。もし初速より遅くなっていたら、計算ミスを疑うべきです。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • もし初速度 \(v_0\) がもっと大きかったら？: 落下時間は変わらないので、水平距離 \(x\) はもっと大きくなります。その結果、\(\tan\theta = h/x\) は小さくなるはずです。これは、より遠くの目標を狙う必要があることに対応し、直感と一致します。
  • もしもっと高い場所 \(h\) から落としたら？: 落下時間 \(t\) は長くなり、そのぶん水平距離 \(x\) も大きくなります。しかし、\(t \propto \sqrt{h}\), \(x \propto t \propto \sqrt{h}\) なので、\(\tan\theta = h/x \propto h/\sqrt{h} = \sqrt{h}\) となり、\(\tan\theta\) は大きくなる（より真下に近い目標を狙う）ことがわかります。これも直感と一致します。

37 斜面上への斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜面に向かって物体を投げ上げる、いわゆる「斜面への斜方投射」を扱う問題です。通常の水平な地面への斜方投射と異なり、衝突する面が傾いているため、座標軸の取り方が解法の鍵となります。
この問題の核心は、2次元の放物運動を、適切な座標軸上で2つの1次元運動に分解し、「斜面上に落下する」という条件を数式で表現することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面への斜方投射」です。この種の問題を解くアプローチは大きく分けて2つあります。一つは水平・鉛直に座標軸をとる方法、もう一つは斜面に平行・垂直に座標軸をとる方法です。両方の解法を理解することが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球を打ち出してから斜面上に落下するまでの時間を求める問題です。ここでは、最も基本的な「水平・鉛直」に座標軸をとる方法で解説します。この方法では、運動の式はシンプルですが、「斜面上に落下する」という条件を座標の関係式で表す必要があります。
この設問における重要なポイント

• 座標軸の設定: 水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。原点は打ち出した点です。
• 初速度の分解: 初速度 \(v_0\) は、水平面と \(60^\circ\) の角をなします。したがって、x成分は \(v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ\)、y成分は \(v_{0y} = v_0 \sin 60^\circ\) となります。
• 落下点の座標: 落下点Pの座標を \((x_P, y_P)\) とすると、この点は傾斜角 \(30^\circ\) の斜面上にあるため、\(y_P = x_P \tan 30^\circ\) という関係が成り立ちます。
• 運動の立式: 時刻 \(t\) における小球の座標 \((x(t), y(t))\) を、等加速度運動の公式で表し、上記の関係式に代入します。

具体的な解説と立式
水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
初速度 \(v_0\) のx成分 \(v_{0x}\) とy成分 \(v_{0y}\) は、
$$ v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ = \frac{1}{2}v_0 $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 $$
時刻 \(t\) における小球のx座標とy座標は、
$$ x(t) = v_{0x} t = \frac{1}{2}v_0 t \quad \cdots ① $$
$$ y(t) = v_{0y} t – \frac{1}{2}gt^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
時刻 \(t\) で斜面上に落下したとすると、その点の座標は①、②で表され、かつ、斜面上の点であることから \(y(t) = x(t) \tan 30^\circ\) を満たします。
$$ y(t) = \frac{1}{\sqrt{3}} x(t) \quad \cdots ③ $$

式③に①と②を代入します。
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{2}v_0 t \right) $$
\(t \neq 0\) なので、両辺を \(t\) で割ることができます。また、両辺に2を掛けて整理します。
$$ \sqrt{3}v_0 – gt = \frac{1}{\sqrt{3}} v_0 $$
この式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
gt &= \sqrt{3}v_0 – \frac{1}{\sqrt{3}}v_0 \\[2.0ex]gt &= \left( \sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}} \right) v_0 \\[2.0ex]gt &= \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) v_0 \\[2.0ex]gt &= \frac{2}{\sqrt{3}} v_0 \\[2.0ex]t &= \frac{2v_0}{\sqrt{3}g}
\end{aligned}
$$
分母を有理化すると、
$$ t = \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g} $$

小球が描く放物線の軌跡と、斜面を表す直線が、原点以外で交わる点を求めます。それぞれの式を立てて連立方程式を解くことで、交わるまでの時間 \(t\) を計算します。

小球が斜面上に落下するまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}v_0}{3g}\) です。
もし斜面がなく水平な地面であれば、滞空時間は \(T = \displaystyle\frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2(\sqrt{3}/2)v_0}{g} = \frac{\sqrt{3}v_0}{g}\) となります。
\( \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \) なので、\(t \approx \displaystyle\frac{1.15 v_0}{g}\) であり、\(T \approx \displaystyle\frac{1.73 v_0}{g}\) です。斜面に早く着地するため、滞空時間が短くなるのは当然であり、結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
落下点までの斜面に沿った距離 \(L\) を求める問題です。(1)で求めた落下時間 \(t\) を使って、落下点のx座標またはy座標を計算し、三平方の定理や三角比を用いて原点からの距離を求めます。
この設問における重要なポイント

• 落下時間の利用: (1)で求めた時間 \(t = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}v_0}{3g}\) を使います。
• 落下点の座標計算: \(x(t) = \displaystyle\frac{1}{2}v_0 t\) の式に \(t\) を代入するのが最も計算が簡単です。
• 距離の計算: 落下点Pの座標が \((x_P, y_P)\) のとき、距離 \(L\) は \(L = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}\) で計算できます。また、\(x_P = L \cos 30^\circ\) の関係を使っても良いです。

具体的な解説と立式
(1)で求めた落下時間 \(t\) を、x座標の式 \(x(t) = \displaystyle\frac{1}{2}v_0 t\) に代入して、落下点のx座標 \(x_P\) を求めます。
$$ x_P = \frac{1}{2}v_0 \left( \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g} \right) \quad \cdots ① $$
落下点Pは斜面上にあるので、斜面に沿った距離 \(L\) とx座標 \(x_P\) の間には、
$$ x_P = L \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}L \quad \cdots ② $$
という関係があります。この式を \(L\) について解けば、距離が求まります。

まず、式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
x_P &= \frac{1}{2}v_0 \left( \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g} \right) \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}v_0^2}{3g}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式②に代入して \(L\) を求めます。
$$ \frac{\sqrt{3}v_0^2}{3g} = \frac{\sqrt{3}}{2}L $$
両辺を \(\sqrt{3}\) で割り、\(L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_0^2}{3g} &= \frac{1}{2}L \\[2.0ex]L &= \frac{2v_0^2}{3g}
\end{aligned}
$$

(1)で求めた「飛んでいる時間」を使って、小球が水平方向にどれだけ進んだかを計算します。その水平距離と斜面の角度から、斜面に沿って進んだ本当の距離を三角比を使って計算します。

落下点までの斜面に沿った距離は \(L = \displaystyle\frac{2v_0^2}{3g}\) です。
この結果は、初速度 \(v_0\) の2乗に比例し、重力加速度 \(g\) に反比例しています。これは、より速く投げれば遠くまで届き、重力が強ければあまり届かないという物理的直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（座標系の選択が鍵）:
  • 核心: この問題の根幹をなすのは、斜方投射という2次元の運動を、直交する2つの1次元の「等加速度直線運動」に分解して考えることです。特に、この問題のように衝突面が傾いている場合、どの方向に座標軸をとるかが解法の効率を大きく左右します。
  • 理解のポイント:
    1. 水平・鉛直座標系: 加速度の分解が不要（\(a_x=0, a_y=-g\)）でシンプルですが、落下条件が「直線 \(y=x\tan\theta\) 上の点」となり、連立方程式を解く必要があります。
    2. 斜面に平行・垂直な座標系: 落下条件が「\(y’=0\)」と非常にシンプルになりますが、代わりに重力加速度 \(\vec{g}\) を斜面に沿った成分と垂直な成分に分解する手間が生じます。

    どちらの座標系でも解けるようになっておくことが、応用力を高める上で極めて重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面の上からの投射: 斜面の上から下に向かって物体を投射する問題。考え方は全く同じですが、初速度や加速度の成分の符号が変わる点に注意が必要です。
  • 壁への衝突: 鉛直な壁に向かってボールを投げる問題。壁に衝突する条件は「x座標が壁の位置と等しくなる」ことなので、水平・鉛直座標系で考えるのが有利です。
  • 最高点の問題: 「斜面からの高さが最大になる点」を問う問題。これは、斜面に垂直な座標系（x’, y’）をとり、「y’方向の速度 \(v_{y’}\) が0になる」条件で解くと非常に簡単になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 衝突面（地面）は水平か、傾いているか？: これが座標系を選択する上での最大の判断基準です。
     • 地面が水平 → 迷わず「水平・鉛直」座標系を選択。
     • 地面が傾いている → 「水平・鉛直」と「斜面に平行・垂直」の両方の解法が考えられます。問題で何が問われているかによって有利な方を選びます。
  2. 何が問われているか？:
     • 「到達時間」「飛距離」→ どちらの座標系でも解けますが、斜面に平行・垂直な座標系の方が計算が楽な場合が多いです。
     • 「最高到達点（地面からの高さ）」→ 水平・鉛直座標系で、鉛直方向の速度 \(v_y\) が0になる点を求めます。
     • 「斜面からの最大高さ」→ 斜面に平行・垂直な座標系で、垂直方向の速度 \(v_{y’}\) が0になる点を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の取り違え:
  • 誤解: 初速度の分解で、水平面となす角（\(60^\circ\)）と斜面となす角（\(30^\circ\)）を混同する。あるいは、重力加速度を分解する際に、\(\sin\) と \(\cos\) を取り違える。
  • 対策: 必ず大きな図を描き、どの角度が何度なのかを明確に書き込みましょう。特に重力加速度の分解では、斜面の角度 \(\theta\) を使って、斜面に平行な成分が \(g\sin\theta\)、垂直な成分が \(g\cos\theta\) となることを、図を描いて毎回確認する習慣をつけましょう。
• 座標系の混同:
  • 誤解: 水平・鉛直座標系で考え始めたのに、途中で斜面に平行な成分の速度を使ってしまうなど、異なる座標系の物理量を一つの式に混ぜてしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、「水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとる」のように、使用する座標系を宣言しましょう。そして、その計算中は一貫してその座標系の中だけで考えることを徹底します。
• 落下条件の誤り:
  • 誤解: 斜面への投射なのに、鉛直方向の速度 \(v_y\) が0になる点を落下点としてしまう（これは水平面への投射の場合の最高点）。あるいは、y座標が0になる点を落下点としてしまう（これも水平面への投射の場合）。
  • 対策: 「斜面上に落下する」とはどういうことかを、数式で正しく表現することが重要です。水平・鉛直座標系なら「\(y = x \tan\theta\)」、斜面に平行・垂直な座標系なら「\(y’ = 0\)」という条件を、問題に応じて正しく使い分けましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 座標軸の回転イメージ: 水平・鉛直座標系を、斜面の角度だけ「ぐいっ」と回転させたものが、斜面に平行・垂直な座標系であるとイメージします。このとき、初速度ベクトル \(\vec{v_0}\) は固定されたままで、重力加速度ベクトル \(\vec{g}\) も鉛直下向きのままです。回転したのはあくまで「見るためのモノサシ（座標軸）」だけです。このイメージを持つと、各ベクトルを新しい座標軸に分解する操作が理解しやすくなります。
  • 重力加速度の分解図: 重力加速度ベクトル \(\vec{g}\)（鉛直下向きの矢印）を描き、その終点から斜面に平行な線と垂直な線に垂線を下ろします。これにより、\(\vec{g}\) を2つの成分ベクトルに分解する直角三角形が描けます。この図を描くことで、角度の関係が明確になり、\(\sin\) と \(\cos\) の間違いを劇的に減らせます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度を正確に記入する。水平面と斜面のなす角、斜面と初速度ベクトルのなす角など、問題で与えられたすべての角度情報を図に反映させます。
  • 座標軸は必ず描く。原点O、x軸、y軸（またはx’軸、y’軸）と、それぞれの正の向きを示す矢印を記入します。
  • ベクトルは矢印で表現する。初速度 \(\vec{v_0}\) や重力加速度 \(\vec{g}\) は、向きと大きさを持つベクトルとして矢印で描きましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式 (\(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\), \(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: 運動を直交する2方向に分解すると、各方向の運動は「一定の加速度」を持つ直線運動になるからです。この運動を記述するための唯一無二の公式セットです。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) において、力 \(F\) が一定の場合の解として導出される、極めて基本的な運動法則です。この問題では、各成分の力（重力成分）が一定であるため、この公式が適用できます。
• 三角比・三角関数 (\(y=x\tan\theta\), 成分分解):
  • 選定理由: ベクトル（初速度、重力加速度）を座標軸の成分に分解したり、斜面という図形的な条件を数式で表現したりするために、数学的なツールとして三角比・三角関数が必要になります。
  • 適用根拠: 図形における辺と角度の関係を代数的に扱うための数学的な規則です。物理法則そのものではありませんが、物理法則を立式する上で不可欠な言語の役割を果たします。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 解法1：水平・鉛直座標系
   • (1) 時間の計算:
     • 戦略: 小球の軌跡の式と、斜面の式を連立させる。
     • フロー: ①初速度を水平・鉛直成分に分解 → ②時刻\(t\)でのx, y座標の式を立てる → ③斜面の式 \(y = x\tan 30^\circ\) に代入 → ④\(t\)に関する方程式を解く。
   • (2) 距離の計算:
     • 戦略: 求めた時間\(t\)から落下点の座標を求め、距離を計算する。
     • フロー: ①\(x(t)\)の式に\(t\)を代入し、\(x_P\)を計算 → ②\(x_P = L\cos 30^\circ\) の関係から\(L\)を計算。
2. 解法2：斜面に平行・垂直な座標系（別解）
   • (1) 時間の計算:
     • 戦略: 斜面に垂直な方向の変位が0になる条件を使う。
     • フロー: ①初速度と重力加速度を斜面に平行・垂直な成分に分解 → ②y’方向の変位の式 \(y'(t) = v_{0y’}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_{y’}t^2\) を立てる → ③\(y'(t)=0\)として、\(t\)に関する方程式を解く。
   • (2) 距離の計算:
     • 戦略: 求めた時間\(t\)を、斜面に平行な方向の変位の式に代入する。
     • フロー: ①x’方向の変位の式 \(L = x'(t) = v_{0x’}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_{x’}t^2\) を立てる → ②(1)で求めた\(t\)を代入して\(L\)を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、与えられているのが文字（\(v_0, g\)）のみの場合、最後まで文字式のまま計算を進めるしかありません。計算過程で式が複雑になりますが、焦らず、分配法則や因数分解を丁寧に行いましょう。
• 三角関数の値の正確性: \(\sin 30^\circ, \cos 30^\circ, \tan 30^\circ\) や \(\sin 60^\circ, \cos 60^\circ\) の値を正確に（分母にルートが残らない形で）使えることが必須です。
• 次元の確認: 最終的に求めた時間の単位が[s]、距離の単位が[m]になるかを、式の次元（ディメンション）で確認する習慣をつけましょう。例えば、時間 \(t\) の答えが \(\displaystyle\frac{v_0}{g}\) の形をしていれば、次元は \(\displaystyle\frac{[\text{m/s}]}{[\text{m/s}^2]} = [\text{s}]\) となり、正しそうです。距離 \(L\) の答えが \(\displaystyle\frac{v_0^2}{g}\) の形なら、次元は \(\displaystyle\frac{[\text{m}^2/\text{s}^2]}{[\text{m/s}^2]} = [\text{m}]\) となり、これも正しそうです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 別解との比較: この問題は、2つの全く異なる座標系で解くことができました。両方のアプローチで、時間 \(t\) と距離 \(L\) が完全に一致したことは、それぞれの計算の正しさを強力に裏付けています。どちらか一方の解法で詰まったときに、もう一方の解法に切り替えるという実践的な力にも繋がります。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • もし斜面の角度が \(0^\circ\) だったら？（水平面への投射）: この場合、投射角は \(30^\circ\) となります。別解の式で斜面の角度を\(\alpha\)、投射角を\(\beta\)として一般化すると、\(t = \displaystyle\frac{2v_0 \sin\beta}{g\cos\alpha}\)。\(\alpha=0, \beta=30^\circ\) を代入すると \(t = \displaystyle\frac{2v_0 \sin 30^\circ}{g} = \frac{v_0}{g}\)。これは水平面への斜方投射の滞空時間の公式と一致しません（正しくは \(t=\displaystyle\frac{2v_0\sin(\alpha+\beta)}{g}\) から導くべき）。このように単純な代入はできませんが、物理的な状況がどう変わるかを考える良い訓練になります。
  • もし初速度 \(v_0\) が2倍になったら？: \(t\) は \(v_0\) に比例するので2倍、\(L\) は \(v_0^2\) に比例するので4倍になります。これは物理的な直感と一致します。

38 斜方投射と自由落下

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜め上方に打ち出された物体（斜方投射）と、真下に落ちる物体（自由落下）の運動を同時に扱う、通称「モンキーハンティング」として知られる有名な思考実験を題材にしています。
この問題の核心は、重力下での運動の普遍性を理解することです。すなわち、重力はすべての物体に等しく作用するため、重力がないと仮定した場合の運動からのズレが、すべての物体で共通になるという点です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2物体の運動の独立性と相対運動」です。地上から見たそれぞれの物体の運動を素直に追跡する方法と、一方の物体から見たもう一方の相対的な運動を考える方法があります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) におけるPとQの水平面からの高さをそれぞれ求める問題です。Qの打ち出し点を原点として、水平・鉛直座標軸を設定するのが考えやすいです。それぞれの物体の鉛直方向の運動を、等加速度直線運動の公式を用いて立式します。
この設問における重要なポイント

• 座標系の設定: Qを打ち出した点を原点(0, 0)とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
• Pの初期位置: Pの初期位置は、原点から距離 \(L\)、角度 \(\theta\) の方向にあるので、その座標は \((L\cos\theta, L\sin\theta)\) となります。
• Pの運動: Pは自由落下するので、初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度運動をします。
• Qの運動: Qは斜方投射なので、鉛直方向には初速度 \(v_0\sin\theta\)、加速度 \(-g\) の等加速度運動をします。

具体的な解説と立式
Qの打ち出し点を原点(0, 0)とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
小球Pの初期位置の高さは \(L\sin\theta\) です。時刻 \(t\) までに自由落下する距離は \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) なので、時刻 \(t\) におけるPの高さ \(h_P\) は、
$$ h_P(t) = L\sin\theta – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
小球Qの鉛直方向の初速度は \(v_{0y} = v_0\sin\theta\) です。したがって、時刻 \(t\) におけるQの高さ \(h_Q\) は、鉛直投げ上げの公式より、
$$ h_Q(t) = (v_0\sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

この設問は立式のみで計算は不要です。
Pの高さ: \(L\sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
Qの高さ: \(v_0 t \sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
（模範解答では \(v_0 \sin\theta t\) の順になっているが、物理的な意味は同じ）

Pの高さは、最初の高さから、重力で落ちた分を引き算して求めます。Qの高さは、もし重力がなければ届くはずの高さから、同じく重力で落ちた分を引き算して求めます。

両者の高さの式に、共通の項「\(-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)」が現れていることが重要です。これは、重力が両方の物体に全く同じ影響を与えていることを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
QがPの落下軌道に達するときの時刻を求める問題です。Pの落下軌道とは、Pの水平座標（x座標）と常に同じ位置のことです。Qがこのx座標に到達するまでの時間を計算します。
この設問における重要なポイント

• Pの落下軌道: Pは真下に落下するので、そのx座標は常に初期位置のx座標 \(L\cos\theta\) のままです。
• Qの水平運動: Qの水平方向の運動は、速さ \(v_{0x} = v_0\cos\theta\) の等速直線運動です。
• 到達条件: Qのx座標が \(L\cos\theta\) になる時刻を求めます。

具体的な解説と立式
Pの落下軌道のx座標は、常に \(x_P = L\cos\theta\) です。
Qの水平方向の運動は、初速度 \(v_{0x} = v_0\cos\theta\) の等速直線運動なので、時刻 \(t\) におけるQのx座標 \(x_Q(t)\) は、
$$ x_Q(t) = (v_0\cos\theta)t $$
QがPの落下軌道に達する時刻を \(T\) とすると、\(x_Q(T) = x_P\) となるので、
$$ (v_0\cos\theta)T = L\cos\theta $$

上記で立てた式を \(T\) について解きます。\(\cos\theta \neq 0\) なので、両辺を \(\cos\theta\) で割ることができます。
$$ v_0 T = L $$
したがって、
$$ T = \frac{L}{v_0} $$

Qは、Pの真下に向かって、水平方向には一定の速さで進みます。Pの真下までの水平距離は \(L\cos\theta\) で、Qの水平方向の速さは \(v_0\cos\theta\) です。距離を速さで割ることで、そこまで到達する時間を計算します。

時刻 \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) は、Qが初速度 \(v_0\) のまま重力なしで直進し、距離 \(L\) だけ離れたPに到達する時間と一致します。これは、この現象の本質を示唆しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた時刻 \(T\) におけるPとQの高さを比較し、何が起こるかを結論付ける問題です。(1)で求めた高さの式に、\(t=T\) を代入して、\(h_P(T)\) と \(h_Q(T)\) を具体的に計算します。
この設問における重要なポイント

• 時刻の代入: (1)で求めた2つの高さの式 \(h_P(t)\) と \(h_Q(t)\) に、(2)で求めた時刻 \(t = T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を代入します。
• 高さの比較: 計算した \(h_P(T)\) と \(h_Q(T)\) の値が等しいかどうかを確認します。
• 結論の導出: 時刻 \(T\) に、PとQは同じx座標にあり、かつ高さも等しい場合、それは2つの物体が衝突することを意味します。

具体的な解説と立式
(2)で求めた時刻 \(T = \displaystyle\frac{L}{v_0}\) を、(1)で求めたPの高さの式 \(h_P(t) = L\sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入します。
$$ h_P(T) = L\sin\theta – \frac{1}{2}g \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 = L\sin\theta – \frac{gL^2}{2v_0^2} \quad \cdots ③ $$
同様に、Qの高さの式 \(h_Q(t) = (v_0\sin\theta)t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入します。
$$ h_Q(T) = (v_0\sin\theta) \left( \frac{L}{v_0} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 = L\sin\theta – \frac{gL^2}{2v_0^2} \quad \cdots ④ $$

式③と④の結果を比較すると、
$$ h_P(T) = h_Q(T) $$
であることがわかります。
時刻 \(T\) において、PとQは同じx座標（\(L\cos\theta\)）にあり、かつ同じy座標（高さ）にいることになります。
したがって、PとQは時刻 \(T\) に衝突します。

QがPの真下にやってくる時刻を計算し、その瞬間のPの高さとQの高さをそれぞれ計算します。すると、驚くべきことに両者の高さがぴったり一致します。真下にいて高さも同じということは、二つの物体はぶつかる、ということです。

PとQは衝突する。
この結果は、「重力は、QがPに向かって直進する軌道を、P自身の落下と全く同じように下方にずらす」ということを意味しています。QをPに向けて発射すれば、Pがどこで落下を始めても、必ず命中するという、物理学的に非常に興味深い結論が得られます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重力下での運動の普遍性（重ね合わせの原理）:
  • 核心: この問題（モンキーハンティング）の最も重要な物理的教訓は、「重力は、運動している物体にも静止している物体にも、全く同じ影響（\(-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) の落下）を与える」という点です。
  • 理解のポイント: 小球Qの実際の運動は、「もし重力がなければ進むはずだった直線軌道」から、各時刻で鉛直下方に \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) だけズレたものと考えることができます。一方、小球Pの運動は、まさに「静止状態から鉛直下方に \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) だけズレる」運動そのものです。QはPを狙っているので、重力がなければPに当たります。そして、両者とも同じだけ落下するので、結果的に必ず衝突するのです。
• 相対運動における加速度の相殺:
  • 核心: 2つの物体が同じ加速度（この場合は重力加速度 \(\vec{g}\)）で運動しているとき、一方から見たもう一方の相対加速度はゼロになります。
  • 理解のポイント: (3)の別解で示したように、QからPを見ると、Pは加速度ゼロの「等速直線運動」をしているように見えます。これは、自分（Q）も相手（P）も同じように重力に引かれているため、お互いの間の運動には重力の影響が見えなくなる、ということです。この視点に立つと、複雑な放物運動の問題が、単純な等速直線運動の問題に帰着します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 動く物体から見た別の物体の運動: 電車に乗っている人から見た、外を飛ぶボールの運動など。両者に共通の加速度（もしあれば）や速度を差し引いて考える「相対運動」の視点は、あらゆる2体問題で有効です。
  • 放物運動をする物体同士の衝突: 例えば、2つのボールを異なる場所から同時に投げ上げ、空中で衝突させる問題。これも、一方から見たもう一方の相対運動を考えれば、等速直線運動の問題として解くことができます。
  • 無重力空間での運動との比較: この問題は、「もし無重力だったらどうなるか？」を考えることで本質が理解できます。無重力なら、QはPにまっすぐ飛んでいき、\(t=L/v_0\) で衝突します。重力はこの「衝突するという事実」を変えず、ただ衝突する場所を \(\displaystyle\frac{1}{2}gT^2\) だけ下方にずらすだけです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 複数の物体が登場するか？: 2つ以上の物体が同時に運動する問題では、まず「相対運動」の視点が使えないかを検討します。
  2. 共通の加速度はあるか？: すべての物体に共通の加速度（特に重力加速度）が働いている場合、相対加速度がゼロまたは単純な形になる可能性が高いです。これは相対運動で考える大きなヒントになります。
  3. 「もし重力がなかったら？」と考えてみる: 複雑な放物運動の問題で行き詰まったら、一度重力をオフにして、「もし無重力なら物体はどう動くか」を想像してみましょう。その単純な運動と、実際の運動との「差」が重力の効果です。この「差」がすべての物体で共通であることが多く、問題解決の糸口になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• PとQの運動の混同:
  • 誤解: Pの運動を考えるべきところでQの初速度を使ったり、Qの運動を考えるべきところでPの初期位置を使ってしまう。
  • 対策: 式を立てる前に、「今からPの運動について考える」「次にQの運動について考える」と、対象を明確に区別しましょう。それぞれの初期位置、初速度、加速度をきちんと整理してから立式に移るのが安全です。
• 座標原点と初期位置の混乱:
  • 誤解: Qの打ち出し点を原点(0, 0)としたのに、Pの初期高さを0としてしまったり、Pの初期位置を \((L, 0)\) や \((0, L)\) のように誤って設定してしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、自分で設定した座標軸（原点、x軸、y軸）を書き込みましょう。その上で、各物体の初期位置の座標を、問題文の幾何学的な情報（距離L、角度\(\theta\)）から三角比を使って正確に求め、図に記入します。
• 結論の飛躍:
  • 誤解: (2)でQがPの落下軌道に達する時刻を求めただけで、衝突すると即断してしまう。
  • 対策: (2)の時点では、QがPの「真下」に来たことしかわかっていません。衝突を証明するには、その時刻における両者の「高さ」も一致することを示す必要があります。(3)はそのための設問であり、論理のステップを一つずつ丁寧に進めることが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「重力OFF」と「重力ON」の比較図:
    1. まず、重力がない世界の図を描きます。Qは点線の直線軌道を描いて、時刻 \(T=L/v_0\) にPの初期位置に到達します。
    2. 次に、重力がある世界の図を描きます。Qの軌道は、1.の点線から各時刻で真下に \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) だけ下がった放物線になります。Pの軌道は、初期位置から真下に \(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) だけ下がった点になります。
    3. この2つの図を重ねると、時刻 \(T\) において、QもPも「もし重力がなければいたはずの場所」から同じ距離だけ落下しているため、衝突点がぴったり一致することが視覚的に理解できます。
  • 相対運動のベクトル図: Qから見たPの相対速度ベクトルを描きます。このベクトルは、時刻 \(t=0\) にPの初期位置を指しており、時間が経っても向きも大きさも変わらない（等速直線運動）ことを図示します。これにより、PがまっすぐQに向かってくるイメージが掴めます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初期状態（\(t=0\)）のPとQの位置関係、距離L、角度\(\theta\)を正確に描く。
  • 座標軸（原点、x軸、y軸）を明確に記入する。
  • Pの軌道（鉛直な直線）とQの軌道（放物線）を、区別して描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式 (\(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: Pの運動（自由落下）とQの鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）は、どちらも一定の加速度（重力加速度）のもとでの運動だからです。これらの運動における「位置と時間の関係」を記述するために、この公式が必須となります。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式を積分して得られる、加速度が一定の場合の普遍的な運動法則です。
• 等速直線運動の公式 (\(x = v_x t\)):
  • • 選定理由: Qの水平方向の運動は、力が働かないため加速度ゼロの等速直線運動だからです。この運動における「位置と時間の関係」を記述するために選択します。

  – 適用根拠: 運動の第一法則（慣性の法則）そのものです。

• 相対速度・相対加速度の定義 (\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\), \(\vec{a}_{AB} = \vec{a}_B – \vec{a}_A\)):
  • 選定理由: (3)の別解のように、2物体の運動をより本質的に、かつシンプルに捉えたい場合に選択します。特に、共通の加速度を持つ系では絶大な効果を発揮します。
  • 適用根拠: 速度や加速度の定義そのものから導かれる、座標変換の基本的な関係式です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 解法1：地上座標系（静止系）
   • (1) 高さの立式:
     • 戦略: Qの打ち出し点を原点とし、PとQそれぞれの鉛直方向の運動をモデル化する。
     • フロー: ①Pの初期高さを \(L\sin\theta\) と設定 → ②Pは自由落下なので、\(h_P = L\sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) → ③Qの鉛直初速度を \(v_0\sin\theta\) と設定 → ④Qは鉛直投げ上げなので、\(h_Q = (v_0\sin\theta)t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)。
   • (2) 到達時間の計算:
     • 戦略: Qの水平方向の運動に着目し、Pの真下（\(x=L\cos\theta\)）に達する時間を求める。
     • フロー: ①Qの水平運動は \(x_Q = (v_0\cos\theta)t\) → ②\(x_Q = L\cos\theta\) となる時刻 \(T\) を解く。
   • (3) 衝突の証明:
     • 戦略: (2)で求めた時刻 \(T\) を、(1)で求めた2つの高さの式に代入し、両者が等しくなることを示す。
     • フロー: ①\(h_P(T)\) を計算 → ②\(h_Q(T)\) を計算 → ③\(h_P(T) = h_Q(T)\) を確認し、「同時刻に同じ座標に達するので衝突する」と結論付ける。
2. 解法2：相対座標系（運動系）
   • (1)〜(3)の統合的解法:
     • 戦略: Qから見たPの相対運動を考える。
     • フロー: ①相対加速度 \(\vec{a}_{PQ} = \vec{a}_P – \vec{a}_Q\) を計算し、\(\vec{0}\) になることを確認 → ②Qから見るとPは等速直線運動をすると結論 → ③相対初速度 \(\vec{v}_{0,PQ}\) を計算し、その大きさが \(v_0\) であることを確認 → ④Qから見て、距離 \(L\) を速さ \(v_0\) で進むので、衝突時間 \(T=L/v_0\) が求まり、かつ必ず衝突すると結論付ける。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: \(v_0 \sin\theta t\) のように、物理的な意味の塊（\(v_0\sin\theta\) と \(t\)）を意識して項を整理すると、見通しが良くなります。
• 代入は最後に行う: (3)の計算では、(1)と(2)で求めた文字式のまま代入し、式を整理してから結論を導きます。途中で具体的な数値を代入するわけではないので、式の変形そのものが計算となります。慎重に展開・整理を行いましょう。
• 物理的意味からの検算: (2)で求めた時間 \(T=L/v_0\) が、重力のない世界でQがPに到達する時間と同じであることに気づけば、計算結果に自信が持てます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 別解との比較: 地上から見た運動を一つ一つ追跡する方法と、相対運動で一気に本質を突く方法。この2つのアプローチで同じ結論（時刻 \(T=L/v_0\) に衝突する）が得られたことは、物理法則の整合性と、自らの理解の正しさを示す強力な証拠です。
• 思考実験:
  • もしQの初速度 \(v_0\) がもっと大きかったら？: \(T=L/v_0\) より、衝突までの時間は短くなります。衝突する高さ \(h = L\sin\theta – \displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2}\) は、\(v_0\) が大きいほど第2項が小さくなるので、より高い位置で衝突することになります。これは直感と一致します。
  • もしQをPに向けずに、もっと上向きに投げたら？: QはPの落下軌道に到達するのが遅れるか、あるいは到達しません。たとえ到達しても、その時刻にはPはずっと下に落ちてしまっているので、衝突しません。このことから、「Pに向けて撃つ」という初期条件が如何に重要であるかがわかります。

39 鉛直投げ上げと分裂

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直投げ上げ運動の最高点での分裂という、運動量保存則と鉛直方向の投射運動を組み合わせた複合的な問題です。分裂後の2つの物体の運動をそれぞれ追跡し、与えられた時間情報から未知の物理量（高さや速さ）を特定する能力が問われます。
この問題の核心は、分裂後のPとQの運動を、それぞれ「鉛直投げ下ろし」と「鉛直投げ上げ」として正しくモデル化し、2つの運動に関する連立方程式を立てて解くことです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ・投げ下ろし運動」です。分裂という現象が含まれますが、分裂後の運動はそれぞれ独立した投げ上げ・投げ下ろし運動として扱うことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
分裂したときの高さ \(h\) を求める問題です。未知数は高さ \(h\) と分裂直後の速さ \(v\) の2つです。一方、条件としてPとQの落下時間に関する情報が2つ与えられています。したがって、Pの運動とQの運動についてそれぞれ立式すれば、未知数2つに対して式が2つ立つので、連立方程式として解けるはずです。
この設問における重要なポイント

• 未知数の設定: 分裂時の高さを \(h\)、分裂直後のPとQの速さを \(v\) とおきます。
• Pの運動（鉛直投げ下ろし）: Pについては、鉛直下向きを正とすると考えやすいです。初速度 \(v\)、時間 \(T\)、変位 \(h\)、加速度 \(g\) の関係を変位の式で表します。
• Qの運動（鉛直投げ上げ）: Qについては、鉛直上向きを正とすると考えやすいです。初速度 \(v\)、時間 \(2T\)、変位 \(-h\)、加速度 \(-g\) の関係を変位の式で表します。
• 連立方程式: 上記で立てた2つの式を連立させて、まず \(v\) を消去し、次に \(h\) を求めます。

具体的な解説と立式
分裂時の高さを \(h\)、分裂直後のP, Qの速さを \(v\) とします。

Pの運動について：
鉛直下向きを正とします。Pは初速度 \(v\) で鉛直投げ下ろし運動をし、時間 \(T\) で距離 \(h\) だけ落下します。
変位の式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いると、
$$ h = vT + \frac{1}{2}gT^2 \quad \cdots ① $$

Qの運動について：
鉛直上向きを正とします。Qは初速度 \(v\) で鉛直投げ上げ運動をし、時間 \(2T\) で変位 \(-h\) の位置（水平面）に達します。
変位の式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いると、
$$ -h = v(2T) + \frac{1}{2}(-g)(2T)^2 = 2vT – 2gT^2 \quad \cdots ② $$

①と②の連立方程式を解きます。
式①より \(vT = h – \displaystyle\frac{1}{2}gT^2\) です。これを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
-h &= 2(vT) – 2gT^2 \\[2.0ex]-h &= 2\left(h – \frac{1}{2}gT^2\right) – 2gT^2 \\[2.0ex]-h &= 2h – gT^2 – 2gT^2 \\[2.0ex]-h &= 2h – 3gT^2 \\[2.0ex]3h &= 3gT^2 \\[2.0ex]h &= gT^2
\end{aligned}
$$

分裂した高さを \(h\)、分裂したときの速さを \(v\) という2つの未知数とします。Pが落ちるまでの時間と、Qが上がって落ちるまでの時間の情報を使って、\(h\) と \(v\) に関する式を2本作ります。この2つの式を連立方程式として解くことで、求めたい高さ \(h\) を計算します。

分裂したときの高さは \(h = gT^2\) です。
この結果を使って、分裂直後の速さ \(v\) も求めておくと、\(vT = gT^2 – \displaystyle\frac{1}{2}gT^2 = \frac{1}{2}gT^2\) より、\(v = \displaystyle\frac{1}{2}gT\) となります。
これらの値が式②も満たすか検算します。
右辺 = \(2(\displaystyle\frac{1}{2}gT)T – 2gT^2 = gT^2 – 2gT^2 = -gT^2\)。
左辺 = \(-h = -gT^2\)。
となり、確かに成り立っています。結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
Qが到達した最高の高さ \(H\) を求める問題です。最高の高さは、分裂した高さ \(h\) に、Qが分裂後にさらに上昇した高さを加えたものです。Qが分裂後に上昇する運動は、初速度 \(v\) の鉛直投げ上げ運動です。
この設問における重要なポイント

• 最高の高さの定義: \(H = (\text{分裂時の高さ}) + (\text{分裂後のQの上昇距離})\)
• 分裂後のQの上昇距離: 初速度 \(v\) で投げ上げられた物体が最高点（速度0）に達するまでの距離です。時間を使わない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使うと便利です。
• (1)の結果の利用: (1)で求めた \(h = gT^2\) と、計算の途中で得られた \(v = \displaystyle\frac{1}{2}gT\) を利用します。

具体的な解説と立式
Qが到達した最高の高さを \(H\) とします。
分裂時の高さは \(h\) です。Qは分裂後、初速度 \(v\) でさらに上昇し、最高点では速度が0になります。
分裂地点から最高点までの距離を \(\Delta h\) とすると、時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を用いて（鉛直上向きを正とする）、
$$ 0^2 – v^2 = 2(-g)\Delta h $$
$$ \Delta h = \frac{v^2}{2g} $$
求める最高の高さ \(H\) は、
$$ H = h + \Delta h = h + \frac{v^2}{2g} $$

(1)の計算結果である \(h = gT^2\) と \(v = \displaystyle\frac{1}{2}gT\) を、上で立てた \(H\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= gT^2 + \frac{\left(\displaystyle\frac{1}{2}gT\right)^2}{2g} \\[2.0ex]&= gT^2 + \frac{\displaystyle\frac{1}{4}g^2T^2}{2g} \\[2.0ex]&= gT^2 + \frac{g^2T^2}{8g} \\[2.0ex]&= gT^2 + \frac{1}{8}gT^2 \\[2.0ex]&= \left(1 + \frac{1}{8}\right)gT^2 \\[2.0ex]&= \frac{9}{8}gT^2
\end{aligned}
$$

Qが一番高く上がるのは、分裂した場所から、分裂時の勢いでさらにジャンプした先です。(1)で計算した分裂した高さに、この「ジャンプした高さ」を足し合わせます。「ジャンプした高さ」は、分裂時の速さ \(v\) を使って計算できます。

Qが到達した最高の高さは \(H = \displaystyle\frac{9}{8}gT^2\) です。
分裂時の高さ \(h=gT^2\) よりも高くなるので、結果は定性的に正しいです。
\(H = h + \displaystyle\frac{1}{8}gT^2\) であり、分裂後に上昇した高さは \(\displaystyle\frac{1}{8}gT^2\) であることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 鉛直方向の等加速度直線運動:
  • 核心: この問題で起こるすべての運動（打ち上げ、分裂後のPの運動、分裂後のQの運動）は、本質的にはすべて「鉛直方向の等加速度直線運動」です。初速度と運動の向き（座標軸の正の向き）を正しく設定し、変位の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を適用することが、問題を解くための唯一かつ最も重要な法則です。
  • 理解のポイント:
    • Pの運動: 初速度 \(v\)（下向き）の「鉛直投げ下ろし」。
    • Qの運動: 初速度 \(v\)（上向き）の「鉛直投げ上げ」。
    • この2つの運動に対して、与えられた時間情報（\(T\) と \(2T\)）と変位（\(h\) と \(-h\)）を対応させて連立方程式を立てる、という数学的な処理能力が問われます。
• 運動量保存則（隠れたテーマ）:
  • 核心: 問題を解く上では不要ですが、この現象の背景には「運動量保存則」があります。分裂直前は速度0で運動量も0です。分裂後のPとQの速さが等しく、向きが逆なので、もし質量も等しければ、分裂後の全運動量も \(m(-v) + m(v) = 0\) となり、運動量保存則が成り立ちます。
  • 理解のポイント: この問題は、分裂現象を扱いながらも、あえて運動量保存則を使わずに解けるように作られています。しかし、分裂や合体といった現象の根底には運動量保存則があることを知っておくと、物理への理解が深まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 空中での分裂（斜方投射）: 斜めに打ち上げた物体が最高点で水平に分裂する問題。鉛直方向の運動は本問と似ていますが、水平方向には等速直線運動が加わります。分裂の前後で水平方向の運動量も保存されることを利用します。
  • 複数回の運動の組み合わせ: 例えば、「打ち上げ→最高点で静止→自由落下→地面で跳ね返り」のような、運動の性質が途中で変化する問題。各フェーズ（打ち上げ、落下、跳ね返り後）ごとに運動をモデル化し、それぞれの境界での速度や位置を次の運動の初期条件として引き継いでいく考え方は、本問と共通しています。
  • 未知数が複数ある問題: 本問のように、求めたい物理量（\(h\)）以外にも未知数（\(v\)）がある問題。問題文の中から、未知数の数と同じだけの独立した条件（Pの落下時間、Qの落下時間）を見つけ出し、連立方程式を立てるのが定石です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 未知数は何か？: まず、問題で求められている量と、それを求めるために必要だが与えられていない量（この問題では \(v\)）をすべてリストアップします。
  2. 使える条件は何か？: 次に、問題文で与えられている情報をすべてリストアップします（Pの落下時間\(T\)、Qの落下時間\(2T\)、分裂後の速さが等しい、など）。
  3. 未知数の数と条件の数は一致するか？: 未知数が2つ（\(h, v\)）で、条件が2つ（PとQの運動）なので、解ける見通しが立ちます。この「解けるはずだ」という見通しを持つことが、複雑な問題に立ち向かう上で重要です。
  4. 座標軸をどうとるか？: 1次元の運動なので、上向きを正とするか、下向きを正とするかを決めます。物体ごとに都合の良い向きを正としても構いませんが、その場合は変位の符号（\(h\) と \(-h\)）に細心の注意を払う必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標軸の向きと符号のミス:
  • 誤解: Qの運動で鉛直上向きを正としたのに、変位を \(h\) と置いてしまう（正しくは \(-h\)）。あるいは、加速度 \(g\) を正のまま代入してしまう（正しくは \(-g\)）。
  • 対策: 式を立てる前に、必ず「鉛直上向きを正とする」などと座標軸の向きを宣言し、紙に書きましょう。そして、ベクトル量である変位、初速度、加速度を式に代入する際は、その向きが正の向きと同じか逆かを一つ一つ確認し、符号を決定する癖をつけます。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 2つの式を足したり引いたり、代入したりする過程で計算を間違える。
  • 対策: 複雑な連立方程式を解く際は、焦らずに一手ずつ進めましょう。例えば、一方の式を「\(v = \dots\)」の形に変形してからもう一方の式に代入するなど、手順を明確にするとミスが減ります。計算後には、得られた解を元の両方の式に代入して検算する習慣をつけると、ほぼ確実にミスを防げます。
• 最高の高さを分裂後の上昇距離と勘違いする:
  • 誤解: (2)で求める最高の高さ \(H\) を、分裂点からさらに上昇した距離 \(\Delta h\) のことだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 問題文を正確に読み、「水平面からいくらか」と問われていることを確認します。したがって、\(H = (\text{分裂時の高さ} h) + (\text{分裂後の上昇距離} \Delta h)\) であることを正しく認識する必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • v-tグラフ: 横軸に時間、縦軸に速度をとったグラフを描くと、現象の理解が深まります。
    • Pの運動: 時刻0で速度 \(-v\) から始まり、傾き \(g\) で速度が増加していく直線になります。時刻 \(T\) でグラフと軸で囲まれる面積が、落下距離 \(h\) に相当します。
    • Qの運動: 時刻0で速度 \(+v\) から始まり、傾き \(-g\) で速度が減少していく直線になります。時刻 \(2T\) でグラフと軸で囲まれる面積が、変位 \(-h\) に相当します。
    • この2つのグラフの関係性を図示することで、時間と速度、変位の関係が視覚的に整理されます。
  • 時間軸上での運動の分解:
    • Qの運動を時間軸上で考えます。分裂（\(t=0\)）→最高点（\(t=t_{\text{上}}\)）→分裂点と同じ高さ（\(t=2t_{\text{上}}\)）→地面（\(t=2T\)）という各イベントの時刻を整理します。(2)の別解のように、この時間関係から問題を解くアプローチも有効です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 分裂時の高さ \(h\) を基準線として描く。
  • Pの軌道（下向きの矢印）とQの軌道（上向きに上がってから下向きに落ちる放物線）を明確に描く。
  • 最高の高さ \(H\) が、\(h\) と分裂後の上昇距離 \(\Delta h\) の和であることを図で示す。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の公式 (\(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: この問題では、「時間」と「変位（高さ）」に関する情報が与えられ、それらを用いて未知の「高さ」や「速さ」を求める必要があるからです。時間と変位を直接結びつけるこの公式が最も適しています。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動はすべて、一定の重力加速度のもとでの運動であるため、等加速度直線運動の公式が全面的に適用できます。
• 時間を含まない公式 (\(v^2 – v_0^2 = 2ay\)):
  • 選定理由: (2)でQが分裂後に上昇する距離を求める際に、最高点までの「時間」を計算する必要がなく、「初速度」と「変位」の関係だけで解けるため、計算が簡潔になります。
  • 適用根拠: 変位の公式と速度の公式（\(v=v_0+at\)）から時間を消去して導かれる関係式であり、等加速度直線運動において同様に成り立ちます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 分裂時の高さ \(h\) の計算:
   • 戦略: 未知数 \(h, v\) に対し、PとQの運動から2つの条件式を立てて連立させる。
   • フロー: ①Pの運動について立式 (\(h = vT + \displaystyle\frac{1}{2}gT^2\)) → ②Qの運動について立式 (\(-h = 2vT – 2gT^2\)) → ③①と②を連立方程式として解き、\(h\) を求める。
2. (2) 最高の高さ \(H\) の計算:
   • 戦略: 分裂時の高さ \(h\) に、分裂後のQの上昇距離 \(\Delta h\) を加える。
   • フロー: ①(1)の計算過程で \(v\) を求める (\(v=\displaystyle\frac{1}{2}gT\)) → ②時間を含まない公式を使い、分裂後の上昇距離 \(\Delta h = \displaystyle\frac{v^2}{2g}\) を計算 → ③\(H = h + \Delta h\) を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• • 代入法による連立方程式の解法: 2つの式からなる連立方程式では、一方の式を \(v = \dots\) や \(h = \dots\) の形に変形し、もう一方の式に代入する「代入法」が確実です。
  • 分数の計算: (2)の計算では \(\displaystyle\frac{1}{8}gT^2\) のような分数が出てきます。通分（\(gT^2 = \displaystyle\frac{8}{8}gT^2\)）などの基本的な計算を焦らず正確に行いましょう。
• 検算: (1)で求めた \(h=gT^2\) と \(v=\displaystyle\frac{1}{2}gT\) を、使わなかった方の式（例えば②）に代入して、式が成立するかを確認する。この一手間がミスをなくします。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(h = gT^2\): Pは初速度 \(v=\displaystyle\frac{1}{2}gT\) で投げ下ろされ、時間 \(T\) で落下します。もしPが自由落下だったら、落下時間は \(\sqrt{2h/g} = \sqrt{2gT^2/g} = \sqrt{2}T \approx 1.41T\) となり、\(T\) より長くなります。初速がある分、落下時間が短くなるのは当然であり、定性的に妥当です。
  • (2) \(H = \displaystyle\frac{9}{8}gT^2\): 分裂時の高さ \(h=gT^2\) よりも高くなっているため、物理的に矛盾はありません。
• 時間対称性からの考察:
  • Qは分裂後、時間 \(t_{\text{上}} = v/g = (\displaystyle\frac{1}{2}gT)/g = T/2\) で最高点に達します。最高点から分裂時の高さまで戻るのにも \(T/2\) かかります。つまり、分裂時の高さより上にいる時間は合計で \(T\) です。Qの全飛行時間は \(2T\) なので、分裂時の高さより下にいる時間（分裂点から地面まで）も \(T\) となります。Pの落下時間が \(T\) であったことと、この時間が一致するのは興味深い事実であり、問題設定の巧みさがうかがえます。

40 斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜め上方に打ち出した小球が、最高点で壁に垂直に衝突するという、典型的な「斜方投射」の問題です。運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えることが基本となります。
この問題の核心は、「最高点で衝突した」および「壁に垂直に衝突した」という2つの重要な条件を、物理法則を用いてどのように数式で表現するかです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「条件付きの斜方投射」です。小球の運動を水平・鉛直に分解し、それぞれの方向の運動方程式を立て、与えられた条件を適用していきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
発射から壁に到達するまでの時間 \(t\) を求める問題です。水平方向の運動は、空気抵抗を無視すれば、力が働かないため等速直線運動となります。この性質を利用して立式します。
この設問における重要なポイント

• 初速度の水平成分: 初速度 \(v\) の水平成分は \(v_x = v \cos 60^\circ\) です。
• 水平方向の運動: 水平方向には、距離 \(l\) を一定の速さ \(v_x\) で進みます。
• 時間、距離、速さの関係: \((\text{距離}) = (\text{速さ}) \times (\text{時間})\) の関係式を立てます。

具体的な解説と立式
水平右向きをx軸、鉛直上向きをy軸とします。
発射直後の小球の初速度の水平成分 \(v_x\) は、
$$ v_x = v \cos 60^\circ = \frac{1}{2}v $$
小球は水平方向にはこの速さ \(v_x\) で等速直線運動をし、時間 \(t\) で距離 \(l\) だけ進んで壁に衝突します。したがって、
$$ l = v_x t = \left(\frac{1}{2}v\right) t $$

上記で立てた式を \(t\) について解きます。
$$ t = \frac{l}{\frac{1}{2}v} = \frac{2l}{v} $$

小球が横方向に壁まで進む運動だけを考えます。横方向の速さは最初から最後まで一定です。壁までの横方向の距離 \(l\) を、横方向の速さで割れば、壁にぶつかるまでの時間がわかります。

発射から壁に到達するまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{2l}{v}\) です。
距離 \(l\) が大きいほど、また初速 \(v\) が小さいほど時間がかかるという、直感的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突点の高さ \(h\) を求める問題です。問題文に「高さが最高点に達したとき、点Qで壁面に垂直に衝突した」とあります。この「最高点」という条件が鍵です。鉛直方向の運動に着目し、最高点での速度が0になることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 初速度の鉛直成分: 初速度 \(v\) の鉛直成分は \(v_y = v \sin 60^\circ\) です。
• 鉛直方向の運動: 鉛直方向は、初速度 \(v_y\) の鉛直投げ上げ運動（加速度 \(-g\)）です。
• 最高点の条件: 最高点では、速度の鉛直成分が0になります。
• 時間を使わない公式の利用: 最高点までの高さを求めるには、時間 \(t\) を使わない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) が便利です。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。
発射直後の小球の初速度の鉛直成分 \(v_{0y}\) は、
$$ v_{0y} = v \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v $$
小球は高さ \(h\) の最高点Qに達したとき、その鉛直方向の速度は0になります。
初速度 \(v_{0y}\)、変位 \(h\)、最終速度0、加速度 \(-g\) の関係を、時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) に当てはめます。
$$ 0^2 – (v_{0y})^2 = 2(-g)h $$

上記で立てた式に \(v_{0y} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v\) を代入し、\(h\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
– \left(\frac{\sqrt{3}}{2}v\right)^2 &= -2gh \\[2.0ex]– \frac{3}{4}v^2 &= -2gh \\[2.0ex]h &= \frac{1}{2g} \left(\frac{3}{4}v^2\right) \\[2.0ex]&= \frac{3v^2}{8g}
\end{aligned}
$$

小球が打ち上げられてから一番高い点に達するまでの、縦方向の運動だけを考えます。一番高い点では、縦方向のスピードが一瞬ゼロになります。この条件を使って、物理公式から高さを計算します。

衝突点の高さは \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) です。
初速 \(v\) が大きいほど高く上がり、重力 \(g\) が大きいほど上がりにくいという、物理的直感と一致する結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
高さ \(h\) が水平距離 \(l\) の何倍かを求める問題です。これは、(1)で求めた \(t\) と \(l, v\) の関係式と、(2)で求めた \(h\) と \(v, g\) の関係式を組み合わせて、\(v\) を消去することで \(h\) と \(l\) の関係を導き出す問題です。
この設問における重要なポイント

• 関係式の利用: (1)で得た \(t = \displaystyle\frac{2l}{v}\) と、(2)で得た \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) を使います。
• 文字の消去: 2つの式から、共通の文字である \(v\) を消去して、\(h\) と \(l\) だけの関係式を作ります。
• 比の計算: 最終的に \(\displaystyle\frac{h}{l}\) の値を求めます。

具体的な解説と立式
(1)の結果より、\(v = \displaystyle\frac{2l}{t}\) ですが、この \(t\) はまだ未知の物理量に依存します。
(2)の結果 \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) から \(v^2\) を求めると、
$$ v^2 = \frac{8gh}{3} \quad \cdots ① $$
一方、鉛直方向の運動について、最高点に達するまでの時間 \(t\) は、\(v_y = v_{0y} – gt\) の式で \(v_y=0\) とおくことで求められます。
$$ 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}v – gt $$
$$ t = \frac{\sqrt{3}v}{2g} \quad \cdots ② $$
また、(1)で求めたように、水平方向の運動からは \(t = \displaystyle\frac{2l}{v}\) という関係が得られます。
この2つの \(t\) の表現が等しいとおくことで、\(v, l, g\) の関係式が得られます。
$$ \frac{\sqrt{3}v}{2g} = \frac{2l}{v} $$
$$ \sqrt{3}v^2 = 4gl \quad \cdots ③ $$
この③式と、(2)で求めた \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) を連立させて \(h\) と \(l\) の関係を求めます。

式③から \(v^2 = \displaystyle\frac{4gl}{\sqrt{3}}\) となります。
これを、(2)で求めた \(h\) の式 \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{3}{8g} \left( \frac{4gl}{\sqrt{3}} \right) \\[2.0ex]&= \frac{12gl}{8g\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{3l}{2\sqrt{3}}
\end{aligned}
$$
分母を有理化します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{3\sqrt{3}l}{2 \times 3} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2}l
\end{aligned}
$$
したがって、\(h\) は \(l\) の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍です。

(1)と(2)で、時間 \(t\) と高さ \(h\) を、それぞれ初速 \(v\) や距離 \(l\) を使って表しました。これらの式をうまく組み合わせて、邪魔な \(v\) を消去することで、\(h\) と \(l\) の直接の関係式を作り出します。

\(h\) は \(l\) の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍です。
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) なので、高さは水平距離より少し短いという結果です。
また、この比率は初速 \(v\) や重力加速度 \(g\) に依存しない、角度 \(60^\circ\) だけで決まる普遍的な値であるという点が重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: この問題は、斜方投射という2次元の運動を、互いに影響を及ぼさない2つの1次元運動、すなわち水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「鉛直投げ上げ運動（等加速度直線運動）」に分解して考えることが全ての基本です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、速度は \(v_x = v\cos 60^\circ\) で常に一定。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、初速度 \(v_y = v\sin 60^\circ\) の等加速度運動となる。
    • この2つの運動を結びつけるのが、共通のパラメータである「時間 \(t\)」です。
• 最高点の物理的条件:
  • 核心: 問題文の「高さが最高点に達したとき」という記述は、物理学的に「速度の鉛直成分が0になる (\(v_y = 0\))」という条件に翻訳されなければなりません。これが(2)と(3)を解く上での決定的な鍵となります。
  • 理解のポイント: 「壁に垂直に衝突した」という記述も、速度ベクトルが水平方向のみを向いていることを意味するため、「速度の鉛直成分が0」という条件と同じことを言っています。問題文の日本語表現を、物理的な条件式に変換する能力が試されています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 一般的な斜方投射: 最高点の高さや、水平到達距離を求める問題。本問の考え方をそのまま応用できます。
  • 壁に特定の角度で衝突する問題: 例えば、「壁に45°の角度で衝突した」という条件なら、衝突時の速度の水平成分と鉛直成分の大きさが等しい（\(|v_x| = |v_y|\)）という条件式を立てて解きます。
  • 動く壁への衝突: 一定速度で動く壁に衝突する問題。相対速度の考え方を組み合わせる必要があります。壁から見た小球の運動を考えると、問題が単純化されることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を分解する: 2次元の運動は、まず水平・鉛直に分解するのが鉄則です。初速度を \(v_x, v_y\) に分解し、それぞれの運動（等速直線運動、等加速度直線運動）を考えます。
  2. 問題文の「条件」を数式に変換する: 「最高点に達した」「地面に落ちた」「壁に垂直に衝突した」など、日本語で書かれた条件を、\(v_y=0\), \(y=0\), \(v_y=0\) のように、物理量を用いた数式に変換する作業が最も重要です。
  3. どの公式を使うか選択する:
     • 時間と変位の関係を知りたい → \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)
     • 時間と速度の関係を知りたい → \(v = v_0 + at\)
     • 時間を使わずに速度と変位の関係を知りたい → \(v^2 – v_0^2 = 2ay\)
     • (2)のように最高点の高さを求める場合、時間を経由しない \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) が最も効率的です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の分解ミス:
  • 誤解: 水平成分を \(v\sin 60^\circ\)、鉛直成分を \(v\cos 60^\circ\) のように、\(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、角度 \(60^\circ\) を挟む辺が \(\cos\)、向かい合う辺が \(\sin\) と、機械的に覚えるのではなく、三角比の定義に立ち返って確認する習慣をつけましょう。
• 最高点の条件の誤解:
  • 誤解: 最高点では「速度が0になる」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 最高点で0になるのは、あくまで「速度の鉛直成分 \(v_y\)」だけです。水平成分 \(v_x\) は、運動の最初から最後まで一定値を保っています。したがって、最高点での速さは \(v_x\) に等しく、0ではありません。
• 文字の消去の失敗:
  • 誤解: (3)で \(h\) と \(l\) の関係を求める際に、複数の式から \(v\) をうまく消去できず、計算に行き詰まる。
  • 対策: (1)の式から \(v = \displaystyle\frac{2l}{t}\)、(2)の式から \(v^2 = \displaystyle\frac{8gh}{3}\) のように、消去したい文字（この場合は \(v\)）について式を整理してから代入すると、見通しが良くなります。また、(3)の解説のように、時間 \(t\) を2通りで表して等しいとおき、\(v^2\) と \(l\) の関係式を導いてから代入する方法も有効です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 速度ベクトルの時間変化:
    1. 発射直後: 大きな鉛直上向きの速度成分と、一定の水平速度成分の合成ベクトルを描く。
    2. 運動の途中: 鉛直上向きの速度成分がだんだん短くなっていく様子を描く。水平成分は常に同じ長さです。
    3. 最高点（衝突点）: 鉛直成分の矢印がなくなり、水平成分のベクトルのみが残る様子を描く。

    この連続的な変化をイメージすることで、最高点の条件（\(v_y=0\)）が直感的に理解できます。

  • 放物線軌道の対称性:
    • もし壁がなく、そのまま運動を続けたら、小球は衝突点Qと対称な軌道を描いて落下します。水平到達距離は \(2l\)、滞空時間は \(2t\) となります。この対称性を知っていると、最高点が全軌道の中間点であることが理解でき、検算などに役立ちます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初速度ベクトル \(\vec{v}\) と、その水平成分 \(v_x\)、鉛直成分 \(v_y\) を、直角三角形をなすように明確に描く。
  • 衝突点Qが放物線の「頂点」であることがわかるように、滑らかな軌跡を描く。
  • 水平距離 \(l\) と高さ \(h\) を図に正確に記入する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の公式 (\(x = v_x t\)):
  • 選定理由: (1)で、水平方向の運動について「距離 \(l\)」と「時間 \(t\)」の関係を記述するため。水平方向は力が働かず、速度が一定だからです。
  • 適用根拠: 運動の第一法則（慣性の法則）そのものです。
• 時間を含まない公式 (\(v^2 – v_0^2 = 2ay\)):
  • 選定理由: (2)で、鉛直方向の運動について「高さ \(h\)」を求めるため。最高点までの「時間」を計算せずに、「初速度」と「最終速度（0）」と「変位（高さ）」の関係だけで解けるため、最も効率的です。
  • 適用根拠: 等加速度直線運動の変位と速度の公式から、時間を消去して導かれる関係式です。
• 変位の公式 (\(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)) と 速度の公式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: (3)で、時間 \(t\) を介して水平運動と鉛直運動を結びつけ、最終的に \(h\) と \(l\) の関係を導くために、これらの基本的な公式を組み合わせて使います。
  • 適用根拠: これらは等加速度直線運動を記述する最も基本的な2つの公式であり、あらゆる問題の出発点となります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 時間 \(t\) の計算:
   • 戦略: 水平方向の運動に着目する。
   • フロー: ①初速度の水平成分 \(v_x\) を計算 → ②等速直線運動の式 \(l = v_x t\) を立てる → ③\(t\) について解く。
2. (2) 高さ \(h\) の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の運動に着目し、「最高点」の条件を利用する。
   • フロー: ①初速度の鉛直成分 \(v_y\) を計算 → ②時間を含まない公式 \(0^2 – v_y^2 = -2gh\) を立てる → ③\(h\) について解く。
3. (3) \(h\) と \(l\) の関係の導出:
   • 戦略: 水平運動と鉛直運動を時間 \(t\) で結びつけ、媒介変数である \(v\) を消去する。
   • フロー: ①鉛直運動から最高点までの時間 \(t\) を \(v\) と \(g\) で表す (\(t = v_y/g\)) → ②水平運動から時間 \(t\) を \(l\) と \(v\) で表す (\(t = l/v_x\)) → ③この2つの \(t\) の式を等しいとおき、\(v^2\) と \(l\) の関係式を導く → ④(2)で求めた \(h\) の式に、この \(v^2\) を代入して \(v\) を消去する → ⑤得られた式を \(\displaystyle\frac{h}{l}\) について整理する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値の暗記と活用: \(\sin 60^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) は即座に出てくるようにしておく必要があります。
• 文字式の整理: (3)の計算では、複数の式を代入していくため、式が複雑になりがちです。分数の中に分数が現れるような場合は、焦らずに内側から順に整理していきましょう。
• 次元（単位）による検算: 例えば(2)の答え \(h = \displaystyle\frac{3v^2}{8g}\) の次元を調べると、\(\displaystyle\frac{(\text{m/s})^2}{\text{m/s}^2} = \frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m/s}^2} = \text{m}\) となり、高さの次元と一致します。もし間違った式を立てていれば、次元が合わなくなることが多く、ミスの発見に繋がります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 軌跡の式との比較: (3)の別解で示したように、軌跡の公式 \(y(x)\) を用いても同じ結果が得られます。これは、運動方程式を時間 \(t\) で積分して解く方法と、時間 \(t\) を消去して軌跡の関係式で解く方法が、数学的に等価であることを示しています。
• 物理的直感との照らし合わせ:
  • もし発射角が \(45^\circ\) で、最高点で壁に衝突した場合、水平到達距離の半分が \(l\)、最高点の高さが \(h\) となります。このとき、\(h/l = 1/2\) となることが知られています。本問では \(60^\circ\) とより急な角度で打ち上げているため、水平距離に比べて高さが高くなるはずです。実際、\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 > 0.5\) となっており、直感と一致します。このような他のケースとの比較は、答えの妥当性を判断する良い材料になります。

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