「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 19】発展例題～発展問題492

発展例題

発展例題39 電子の運動とジュール熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「金属中の自由電子の運動モデル（ドルーデモデル）」です。オームの法則やジュール熱といった電気回路の基本法則が、ミクロな電子の運動からどのように導かれるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体には電圧 \(V\) がかかっており、長さは \(L\) です。導体内部の電場が一様であると仮定して、電位差と電場の関係式を用います。
この設問における重要なポイント

• 導体内部の電場は一様であると考えます。
• 電場の向きは電位の高い方から低い方へ向かいます。

具体的な解説と立式
一様な電場の強さを \(E\) とします。距離 \(L\) だけ離れた両端の電位差が \(V\) であることから、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= EL
\end{aligned}
$$
この式を \(E\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
E &= \frac{V}{L}
\end{aligned}
$$

電圧というのは、電気的な「高さの差」のようなものです。長さ \(L\) の坂道で高さが \(V\) だけ変化しているとき、その坂の傾き具合が電場 \(E\) に相当します。単純に全体の高低差を距離で割れば、平均的な傾き（電場の強さ）が求まります。

電場の強さは \(E = \frac{V}{L}\,\text{[V/m]}\) です。単位を確認すると、\(\text{[V]}\) を \(\text{[m]}\) で割っているので \(\text{[V/m]}\) となり、正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子は電場から静電気力を受けて加速します。まず、電子に働く力を特定し、運動方程式を立てて加速度 \(a\) を求めます。その後、等加速度直線運動の公式を用いて、時刻 \(T\) における速度 \(v_M\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 電子の電荷の大きさは \(e\) なので、受ける静電気力の大きさは \(F = eE\) です。
• 電子は初速度 \(0\) からスタートし、時間 \(T\) の間、一定の加速度で加速し続けます。

具体的な解説と立式
まず、電子の運動方程式を立てます。電子の質量を \(m\)、加速度を \(a\) とし、運動方向（電場と逆向き）を正とします。電子が受ける力は \(eE\) なので、
$$
\begin{aligned}
ma &= eE
\end{aligned}
$$
次に、等加速度直線運動の速度の式を立てます。初速度は \(0\) なので、時刻 \(t\) における速度 \(v\) は、
$$
\begin{aligned}
v &= at
\end{aligned}
$$
求めたいのは、時刻 \(t=T\) における最大速度 \(v_M\) です。

まず、運動方程式から加速度 \(a\) を求めます。(1)の結果 \(E = \frac{V}{L}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
ma &= e \times \frac{V}{L} \\[2.0ex] a &= \frac{eV}{mL}
\end{aligned}
$$
次に、この加速度 \(a\) を速度の式に代入し、\(t=T\) とします。
$$
\begin{aligned}
v_M &= aT \\[2.0ex] &= \frac{eV}{mL} \times T \\[2.0ex] &= \frac{eVT}{mL}
\end{aligned}
$$

電子は電気の力で背中を押されて、どんどんスピードアップしていきます。ニュートンの運動方程式を使って「どれくらいの勢いで加速するか（加速度）」を計算し、その勢いで時間 \(T\) だけ加速し続けたら最終的にどれくらいのスピード（最大速度）になるかを計算しました。

最大速度は \(v_M = \frac{eVT}{mL}\,\text{[m/s]}\) です。電圧 \(V\) が大きいほど、また加速時間 \(T\) が長いほど速度が大きくなるという結果は、直感的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
抵抗率 \(\rho\) を求めるには、オームの法則 \(V=RI\) の形に持ち込む必要があります。そのために、まず電子の平均速度 \(\overline{v}\) を求め、電流の定義式 \(I = en\overline{v}S\) を使って電流 \(I\) と電圧 \(V\) の関係式を導きます。
この設問における重要なポイント

• 図2より、速度は \(0\) から \(v_M\) まで直線的に増加するので、平均速度 \(\overline{v}\) は最大速度 \(v_M\) のちょうど半分になります。
• 導体の抵抗 \(R\) は、抵抗率 \(\rho\)、長さ \(L\)、断面積 \(S\) を用いて \(R = \rho \frac{L}{S}\) と表されます。

具体的な解説と立式
まず、平均速度 \(\overline{v}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\overline{v} &= \frac{0 + v_M}{2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}v_M
\end{aligned}
$$
次に、電流の定義式にこれを代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= en\overline{v}S
\end{aligned}
$$
これに(2)の結果を代入して \(I\) を \(V\) で表し、オームの法則の形 \(V = (\dots)I\) に変形します。
最後に、導体の抵抗の式 \(R = \rho \frac{L}{S}\) と係数を比較して \(\rho\) を求めます。

平均速度 \(\overline{v}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\overline{v} &= \frac{1}{2} \times \frac{eVT}{mL} \\[2.0ex] &= \frac{eVT}{2mL}
\end{aligned}
$$
これを電流の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= en \times \left( \frac{eVT}{2mL} \right) \times S \\[2.0ex] I &= \frac{e^2nTS}{2mL} V
\end{aligned}
$$
この式を \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{2mL}{e^2nTS} I \\[2.0ex] V &= \left( \frac{2m}{e^2nT} \times \frac{L}{S} \right) I
\end{aligned}
$$
この式のカッコ内の部分は、オームの法則 \(V=RI\) における抵抗 \(R\) に相当します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{2m}{e^2nT} \times \frac{L}{S}
\end{aligned}
$$
一方、抵抗の公式は \(R = \rho \frac{L}{S}\) です。これらを比較すると、
$$
\begin{aligned}
\rho \frac{L}{S} &= \frac{2m}{e^2nT} \frac{L}{S} \\[2.0ex] \rho &= \frac{2m}{e^2nT}
\end{aligned}
$$

電流というのは、電子の大群が流れることです。電子1個の平均スピードがわかれば、全体でどれくらいの電流が流れるかが計算できます。計算の結果、「電圧 \(V\) をかけると電流 \(I\) が流れる」という関係式が作れます。この式の比例係数が「抵抗 \(R\)」です。そこから、導体の形（長さや太さ）に依存しない素材そのものの電気の通しにくさである「抵抗率」を抜き出しました。

抵抗率は \(\rho = \frac{2m}{e^2nT}\,\text{[}\Omega \cdot \text{m}\text{]}\) です。電子の質量 \(m\) が大きい（動きにくい）ほど抵抗率が大きく、電子の数密度 \(n\) や電荷 \(e\) が大きい（運び手が多い・強い）ほど抵抗率が小さくなるという結果は、物理的に妥当です。また、衝突間隔 \(T\) が長い（なかなかぶつからない）ほど抵抗率が小さくなるのも納得できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
「1秒間あたりに電場から得るエネルギー」とは、すなわち電場が電子にする仕事率のことです。電子は平均速度 \(\overline{v}\) で移動しながら、一定の力 \(F\) を受け続けているとみなして計算します。
この設問における重要なポイント

• 仕事率 \(P\) は、力 \(F\) と速度 \(v\) の積 \(P = Fv\) で表されます。
• ここでは平均的な仕事率を求めるため、速度として平均速度 \(\overline{v}\) を用います。

具体的な解説と立式
電子1個が受ける力は \(F = eE\) です。
電子の平均速度は \(\overline{v}\) です。
求める仕事率（1秒間あたりのエネルギー）を \(p\) とすると、
$$
\begin{aligned}
p &= F \overline{v}
\end{aligned}
$$
これにこれまでの結果を代入して計算します。

(1)より \(E = \frac{V}{L}\)、(3)より \(\overline{v} = \frac{eVT}{2mL}\) です。
$$
\begin{aligned}
p &= \left( e \times \frac{V}{L} \right) \times \frac{eVT}{2mL} \\[2.0ex] &= \frac{eV}{L} \times \frac{eVT}{2mL} \\[2.0ex] &= \frac{e^2 T}{2mL^2} V^2
\end{aligned}
$$

「仕事率」とは、1秒間にどれだけ仕事をするか（エネルギーを与えるか）を表す量です。一定の力で物体を押し続けるとき、その力と進むスピードを掛け算すると仕事率になります。ここでは、電気の力と電子の平均スピードを掛け算して求めました。

1個あたりの仕事率は \(p = \frac{e^2 T}{2mL^2} V^2\,\text{[J]}\) です。電圧の2乗に比例しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
導体中の「全電子」が得るエネルギーを求めます。これは、(4)で求めた「電子1個あたり」のエネルギーに、導体中の「全電子数」を掛けることで求められます。
この設問における重要なポイント

• 単位体積あたりの電子数（数密度）は \(n\) です。
• 導体の体積は、断面積 \(S\) と長さ \(L\) の積 \(SL\) です。
• したがって、全電子数は \(nSL\) となります。

具体的な解説と立式
全電子数を \(N_{\text{全}}\) とすると、
$$
\begin{aligned}
N_{\text{全}} &= n \times (S \times L) \\[2.0ex] &= nSL
\end{aligned}
$$
求める全エネルギー（消費電力） \(P\) は、電子1個あたりの仕事率 \(p\) に全電子数を掛けたものです。
$$
\begin{aligned}
P &= N_{\text{全}} \times p
\end{aligned}
$$

(4)の結果 \(p = \frac{e^2 T}{2mL^2} V^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
P &= nSL \times \frac{e^2 T}{2mL^2} V^2 \\[2.0ex] &= \frac{nSLe^2 T}{2mL^2} V^2 \\[2.0ex] &= \frac{e^2 nTS}{2mL} V^2
\end{aligned}
$$

(4)で電子1個が稼ぐエネルギーがわかったので、あとは導体の中に全部で何個の電子がいるかを計算して、掛け算するだけです。導体の体積（底面積×高さ）に、密度（1立方メートルあたりの個数）を掛ければ、全個数が出ます。

答えは \(P = \frac{e^2 nTS}{2mL} V^2\,\text{[J]}\) です。
ここで、(3)で求めた抵抗 \(R = \frac{2mL}{e^2nTS}\) を思い出してみましょう。
今回の答えの係数部分は、ちょうど \(1/R\) になっています。
つまり、\(P = \frac{1}{R} V^2 = \frac{V^2}{R}\) となり、これは電気回路における消費電力の公式そのものです。ミクロな計算からマクロな法則が導かれました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と電流の微視的定義の結合
  • 核心: この問題の根幹は、電子というミクロな粒子の運動（質量 \(m\)、電荷 \(e\)、加速度 \(a\)）を運動方程式 \(ma=F\) で記述し、それを電流の定義式 \(I=en\overline{v}S\) を介して、マクロな電気回路の法則（オームの法則 \(V=RI\)、ジュール熱 \(P=IV\)）に結びつける論理展開にあります。
  • 理解のポイント:
    • 因果関係の連鎖: 電位差 \(V\) \(\rightarrow\) 電場 \(E\) \(\rightarrow\) 静電気力 \(F\) \(\rightarrow\) 加速度 \(a\) \(\rightarrow\) 速度 \(v\) \(\rightarrow\) 電流 \(I\) という物理量の因果関係を整理して理解することが重要です。
    • 平均化のモデル（ドルーデモデル）: 個々の電子は加速と衝突を激しく繰り返しますが、導体全体として見れば、電子群は一定の「平均速度 \(\overline{v}\)」で流れているとみなすモデル化の手法を理解しましょう。
• エネルギー変換のプロセス
  • 核心: 電場が電子に対して仕事をし、それが電子の運動エネルギーになり、最終的に原子との衝突によって熱エネルギー（ジュール熱）に変わるというエネルギーの流れを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 仕事率の解釈: マクロな「消費電力 \(P\)」は、ミクロに見れば「電場が全電子に対して行う仕事率」そのものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 磁場中を運動する電子がローレンツ力を受けて偏る現象。この問題と同様に、電流の微視的定義式 \(I=en\overline{v}S\) が解析の鍵となります。
  • 気体分子運動論: 気体分子が壁に衝突して圧力を生じるモデル。電子が原子に衝突して抵抗を生じるモデルと、統計的な処理（平均化）の手法が非常に似ています。
  • 終端速度型の抵抗モデル: 電子が速度に比例する抵抗力 \(kv\) を受けて等速運動すると仮定するモデル。本問（等加速度運動＋周期的衝突）とは前提が異なりますが、結果としてオームの法則が導かれる点は共通しており、比較して出題されることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「平均」の定義を確認する: 問題文やグラフから、速度の変化がどのように記述されているかを読み取ります。本問のように等加速度運動なら平均は \(\frac{0+v_M}{2}\) ですが、終端速度モデルなら一定速度 \(v\) そのものが平均になります。
  2. 単位時間・単位体積あたり: 「1秒間あたり」「単位体積あたり」という言葉が出てきたら、全体の量を時間 \(t\) や体積 \(SL\) で割る、あるいは数密度 \(n\) を掛けるといった操作を即座に想起しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 平均速度と最大速度の混同:
  • 誤解: 電流の式 \(I=en\overline{v}S\) や仕事率の式 \(P=F\overline{v}\) に、衝突直前の最大速度 \(v_M\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 図2のグラフを常にイメージしましょう。速度は \(0\) から \(v_M\) まで三角形を描いて変化しているので、その平均（重心の高さ）は真ん中の \(\frac{1}{2}v_M\) になることを意識します。
• 仕事率の計算における力の取り扱い:
  • 誤解: 仕事率を求める際、力 \(F\) も時間変化すると勘違いしたり、逆に平均の力などを考えすぎて混乱する。
  • 対策: 一様な電場中では、電子にかかる力 \(F=eE\) は常に一定です。一定の力がかかりながら速度が変化する場合、平均の仕事率は \((\text{一定の力}) \times (\text{平均速度})\) で求められます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(2)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 電子の「質量」と「加速度」が関わる問題なので、力学の基本原理であるニュートンの運動方程式 \(ma=F\) が第一選択となります。
  • 適用根拠: 電子を古典的な粒子とみなし、静電気力 \(F=eE\) 以外の力（重力など）は無視できるため、単純な等加速度直線運動として扱えます。
• 問(3)での公式選択（電流の定義式）:
  • 選定理由: ミクロな量（電荷 \(e\)、数密度 \(n\)、速度 \(v\)）とマクロな量（電流 \(I\)）を結びつける式は、高校物理では \(I=en\overline{v}S\) しかありません。
  • 適用根拠: 導体中の電子の流れを一様な流体のようにみなして適用します。この式を使うことで、初めて電圧 \(V\) と電流 \(I\) の関係（オームの法則）を導くことができます。
• 問(4)での公式選択（仕事率の公式）:
  • 選定理由: 「1秒間あたりのエネルギー」は物理用語で「仕事率」です。力と速度がわかっている場合、\(P=Fv\) が最も直接的です。
  • 適用根拠: 速度が時間とともに変動するため、平均の仕事率として \(P=F\overline{v}\) を適用します。別解のエネルギー保存則的アプローチ（\(\frac{1}{2}mv^2 \times \text{回数}\)）も有効ですが、仕事率の公式の方が計算ステップが少なく済みます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元解析（単位チェック）:
  • 答えが出たら、単位や次元を確認しましょう。例えば(3)の抵抗率 \(\rho\) なら、\(R = \rho \frac{L}{S}\) より \(\rho = R \frac{S}{L}\) なので、単位は \([\Omega \cdot \text{m}]\) になるはずです。
  • (5)の消費電力 \(P\) なら、最終的に \(\frac{V^2}{R}\) の形（係数が \(1/R\) に相当）になっているかを確認することで、計算ミスを強力に検出できます。
• 係数「2」の管理:
  • 平均速度の計算で \(\frac{1}{2}\) が出てくるため、分母に \(2\) が残ります。計算の途中でこの \(2\) を書き落としたり、分子に書いてしまったりするミスが多発します。分数は常に \(\displaystyle\frac{…}{…}\) の形で大きく書き、約分できるかどうかも慎重に判断しましょう。

発展例題40 電位差計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位差計（ポテンショメーター）の原理と回路解析」です。電圧計を用いずに、既知の電圧源と平衡させることで未知の起電力を精密に測定する仕組みを理解します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
抵抗線ABには電流 \(I=0.10\,\text{A}\) が流れており、これによって電圧降下が生じています。抵抗線は一様なので、電圧降下の大きさは長さに比例します。まずAB全体の電圧降下を求め、それを長さの比で按分してAC間の電圧降下を求めます。
この設問における重要なポイント

• 抵抗線ABの抵抗値 \(R_{AB} = 40\,\Omega\) と電流 \(I = 0.10\,\text{A}\) から、全体の電圧降下が求まる。
• AC間の長さ \(L_{AC} = 0.30\,\text{m}\) とAB間の長さ \(L_{AB} = 1.0\,\text{m}\) の比を利用する。
• 電圧降下 \(V\) は長さ \(L\) に比例する（\(V \propto L\)）。

具体的な解説と立式
まず、抵抗線AB間の電圧降下 \(V_{AB}\) をオームの法則により立式します。
$$
\begin{aligned}
V_{AB} &= R_{AB} I
\end{aligned}
$$
次に、AC間の電圧降下 \(V_{AC}\) は、長さの比に応じて \(V_{AB}\) を分配したものとなります。
$$
\begin{aligned}
V_{AC} &= V_{AB} \times \frac{L_{AC}}{L_{AB}}
\end{aligned}
$$

まず \(V_{AB}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{AB} &= 40 \times 0.10 \\[2.0ex] &= 4.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$
次に \(V_{AC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{AC} &= 4.0 \times \frac{0.30}{1.0} \\[2.0ex] &= 1.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

抵抗線AB全体を一つの長い坂道と考えてみましょう。この坂道の高低差（電圧）は全体で \(4.0\,\text{V}\) です。C点はスタート地点Aから全長の \(30\%\) だけ進んだ場所にあります。坂の勾配が一定なら、C点の高さはスタート地点より全体の \(30\%\) 分だけ下がっているはずです。つまり、\(4.0\,\text{V}\) の \(0.3\) 倍が答えになります。

答えは \(1.2\,\text{V}\) です。
求めた \(V_{AC}=1.2\,\text{V}\) は、全体の電圧降下 \(V_{AB}=4.0\,\text{V}\) よりも小さく、かつ正の値です。また、長さの比 \(0.30\) と電圧の比 \(1.2/4.0 = 0.30\) が一致しており、抵抗線が一様である（電圧降下が長さに比例する）という物理的性質と整合しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
検流計に電流が流れないということは、下側の測定回路において、電流を流そうとする電位差が打ち消し合っていることを意味します。A点とC点の間の電位差（電圧降下）と、電池 \(E_2\) の起電力の関係を考察します。
この設問における重要なポイント

• 検流計に電流が流れないとき、抵抗 \(R_2\) での電圧降下は \(0\) である。
• A点はC点より電位が高い（電流がA \(\to\) Bへ流れているため）。
• 電池 \(E_2\) はA点側に正極を向けており、A点の電位をC点より高く保とうとする向きにつながれている。

具体的な解説と立式
検流計に電流が流れないとき、下側の閉回路（A \(\to\) \(E_2\) \(\to\) \(R_2\) \(\to\) 検流計 \(\to\) C \(\to\) A）内の電位の関係を考えます。
A点とC点の間の電位差は \(V_{AC}\) です。
一方、この区間には電池 \(E_2\) が並列に接続されています。電流がゼロなので \(R_2\) での電圧降下はなく、電池の両端の電圧は起電力 \(E_2\) そのものです。
これらが釣り合っているため、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= V_{AC}
\end{aligned}
$$

(1)の結果より \(V_{AC} = 1.2\,\text{V}\) なので、これを代入します。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= 1.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

A点とC点の間には、上の回路の電流によって \(1.2\,\text{V}\) の電圧が発生しています。これは電流をAからCへ流そうとする圧力です。一方、下の回路には電池 \(E_2\) があり、これは電流を逆向き（CからAへ）に押し戻そうとしています。検流計が動かないということは、この2つの圧力が完全に互角で、押し合いへし合いして動かない状態（平衡状態）だということです。つまり、電池の強さは \(1.2\,\text{V}\) です。

答えは \(1.2\,\text{V}\) です。
起電力が正の値として求まり、かつ回路全体の電圧規模（\(4.0\,\text{V}\)）の範囲内に収まっているため、物理的に妥当な解です。もし \(E_2\) が \(V_{AB}\) より大きければ、C点をどこに動かしても平衡点は見つからないことになりますが、今回は \(1.2 < 4.0\) なので測定可能です。

問(3)

思考の道筋とポイント
接点CをB側に動かすと、AC間の距離が変化し、それに伴い \(V_{AC}\) が変化します。平衡状態（\(V_{AC} = E_2\)）が崩れたとき、どちらの電圧が支配的になるかを比較して電流の向きを決定します。
この設問における重要なポイント

• CをB側に動かすと、長さ \(L_{AC}\) が増加する。
• 長さが増加すると、電圧降下 \(V_{AC}\) も増加する。
• 回路には、\(V_{AC}\)（A \(\to\) C 向きの電流要因）と \(E_2\)（C \(\to\) A 向きの電流要因）が競合している。

具体的な解説と立式
接点CをB側に動かすと、AC間の長さ \(L_{AC}\) が大きくなります。
(1)で確認した通り、\(V_{AC} \propto L_{AC}\) なので、AC間の電圧降下 \(V’_{AC}\) は元の \(V_{AC}\) より大きくなります。
$$
\begin{aligned}
V’_{AC} > V_{AC} = E_2
\end{aligned}
$$
下側の閉回路において、\(V’_{AC}\) は検流計に対して「右向き（A \(\to\) C方向）」に電流を流そうとする働きをします。
一方、電池 \(E_2\) は検流計に対して「左向き（C \(\to\) A方向）」に電流を流そうとします。
\(V’_{AC} > E_2\) となったため、\(V’_{AC}\) の作用が勝ちます。
したがって、電流は \(V’_{AC}\) が流そうとする向き、すなわち図において右向きに流れます。

（定性的な比較のため計算過程なし）

Cを右に動かすと、AC間の「電気の坂道」の距離が長くなり、高低差（電圧）が \(1.2\,\text{V}\) より大きくなります。電池 \(E_2\) の押し上げる力は \(1.2\,\text{V}\) のまま変わりません。すると、上からの押し下げる力の方が強くなるため、バランスが崩れて電流が押し出されます。その向きは、坂を下る方向、つまり図でいうと右向きになります。

答えは「右向き」です。
電位差計の原理において、未知起電力より大きな電圧降下を与えれば、その差分によって順方向（電圧降下の方向）に電流が流れるという振る舞いは物理的に妥当です。逆にCをA側に動かせば \(V_{AC} < E_2\) となり、電池が押し勝って左向きに流れるはずです。この対称性からも、結論が正しいことが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位差計（ポテンショメーター）の原理
  • 核心: 電圧計のように電流を流して測定するのではなく、既知の電圧と未知の電圧を対抗させ、電流が流れない「平衡状態」を作り出すことで、回路に影響を与えずに電圧を精密に測定する手法です。
  • 理解のポイント:
    • ゼロメソッド（零位法）: 検流計の針がゼロになる点を探す測定法です。電流がゼロなので、内部抵抗や接触抵抗による電圧降下の影響を受けず、真の起電力を測定できる点が最大の特徴です。
    • 電圧の空間的分布: 一様な抵抗線上の位置（長さ）と電位（電圧）が1対1に対応していることを理解しましょう。「長さ＝電圧」という定規のような役割を果たしています。
• キルヒホッフの第2法則と電位の概念
  • 核心: 複雑に見える回路でも、任意の閉回路（ループ）を選んで一周すれば、電位の変化の総和は必ずゼロになるという法則です。
  • 理解のポイント:
    • 電位の可視化: 回路図を「高さのある地形図」としてイメージする力が重要です。電池はポンプ（揚水）、抵抗は水路（落差）です。
    • 平衡条件の数式化: 「電流が流れない」という現象を、単なる事実としてではなく、\(V_{AC} – E_2 = 0\) という数式として捉えることで、条件が変わったときの挙動（問3）も論理的に導けます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • メートルブリッジ（ホイートストンブリッジ）: 抵抗線上の接点を動かして平衡点を探す構造が共通しています。ブリッジ回路では「抵抗の比」が等しくなるのに対し、電位差計では「電圧」そのものが等しくなる点が異なりますが、アプローチは似ています。
  • 内部抵抗を含む電池の測定: 電位差計は電流を流さないため、電池の内部抵抗 \(r\) による電圧降下 \(ri\) が発生しません。したがって、端子電圧 \(V = E – ri\) ではなく、起電力 \(E\) そのものを測定できるという文脈で出題されることが多いです。
  • セルの起電力比較: 標準電池（起電力が既知）と測定したい電池を切り替えて、それぞれの平衡点 \(L_1, L_2\) を求める問題。\(E_1 : E_2 = L_1 : L_2\) という比例関係を使います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「検流計の電流が0」の意味: これを見たら即座に「その区間の両端の電位差が等しい」「その区間にある抵抗での電圧降下は0」という2つの情報を引き出してください。
  2. 回路の分離: 検流計に電流が流れないとき、上側の主回路と下側の測定回路は電気的に独立しているとみなせます。上側の回路だけで電流 \(I\) を計算し、その結果を下側の回路の検討に使うという手順が定石です。
  3. 抵抗線の非一様性: もし「抵抗線の太さが一様でない」という応用問題が出たら、長さの比は使えません。その場合は、抵抗値 \(R(x)\) の関数積分や、断面積 \(S(x)\) を考慮した \(R = \rho L/S\) の計算が必要になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きと電位の大小関係の混乱:
  • 誤解: 問(3)で、電圧が大きい方から小さい方へ電流が流れることは分かっていても、具体的に図の左右どちらなのか混乱する。
  • 対策: 必ず「電位の高い方」を特定しましょう。この回路では電池 \(E_1\) の向きからA点が高電位、B点が低電位です。\(V_{AC}\) が勝つということは、AからCへ向かう流れ（主回路の電流と同じ向き）が分岐して検流計へ流れ込むイメージを持つと分かりやすいです。
• 比例計算の基準間違い:
  • 誤解: \(V_{AC}\) を求める際、分母を抵抗線全体の長さ \(1.0\,\text{m}\) ではなく、残りの長さ \(0.7\,\text{m}\) にしてしまうなどのケアレスミス。
  • 対策: 「部分 / 全体」なのか「部分 / 部分」なのかを常に意識します。電位差計では「基準となる全体の電圧」に対する割合を考えるので、分母は必ず全長（または基準となる長さ）になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（オームの法則と比例配分）:
  • 選定理由: 一様な抵抗線という条件から、抵抗値および電圧降下が長さに比例することは自明です。
  • 適用根拠: まず回路全体を流れる電流 \(I\) を決定する要素（\(E_1, R_1, R_{AB}\)）が全て既知であるため、\(V_{AB}=R_{AB}I\) で基準となる電圧を確定させ、それを幾何学的な比率で分配するのが最も効率的です。
• 問(2)での公式選択（キルヒホッフの第2法則）:
  • 選定理由: 複数の電源や抵抗を含む回路網において、電圧と電流の関係を記述する最も一般的かつ強力な法則だからです。
  • 適用根拠: 「電流が流れない」という静的な状態だけでなく、問(3)のような動的な変化を考察する際にも、\(E_2 – V_{AC}\) という「差分」を数式として評価できるため、単なる直感以上の論理的根拠を与えてくれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算での単位確認:
  • 長さの比 \(\frac{30\,\text{cm}}{1.0\,\text{m}}\) を計算する際、単位を揃え忘れて \(\frac{30}{1}\) と計算してしまうミスがあります。必ず \(\frac{0.30\,\text{m}}{1.0\,\text{m}}\) または \(\frac{30\,\text{cm}}{100\,\text{cm}}\) と単位を統一してから計算しましょう。
• 回路図への書き込み:
  • 求めた電圧や電流の値（\(4.0\,\text{V}, 1.2\,\text{V}\) など）を、回路図の該当箇所に直接書き込む癖をつけましょう。視覚的に情報を整理することで、問(3)のような大小比較の際に勘違いを防げます。
• 極端な場合の想定:
  • 問(3)で迷ったら、「もしC点がB点（右端）まで移動したらどうなるか？」と考えてみましょう。\(V_{AC}\) は最大値 \(4.0\,\text{V}\) になり、明らかに \(E_2 (1.2\,\text{V})\) より大きくなります。このとき電流はどう流れるか？と極端なケースで思考実験することで、向きの判断ミスを防げます。

発展例題41 コンデンサーを含む回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定常状態におけるコンデンサーを含む直流回路の解析」です。スイッチの開閉によって回路の接続状態が変化したとき、十分に時間が経過した後の電流、電圧、電気量の分布を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSが開いているとき、回路は上側の経路（\(R_1\) と \(C_2\) の直列）と下側の経路（\(C_1\) と \(R_2\) の直列）に分かれています。十分に時間が経過すると、コンデンサーの充電が完了し、電流は流れなくなります。電流がゼロならば、抵抗での電圧降下もゼロになります。
この設問における重要なポイント

• 定常状態では、コンデンサーを含む枝に電流は流れない（\(I=0\)）。
• 電流が流れない抵抗の両端の電位差は \(0\) である（等電位）。
• 接地（アース）点の電位は \(0\) である。

具体的な解説と立式
十分に時間が経過した後、回路に電流は流れません。
したがって、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) での電圧降下はともに \(0\) です。
これは、抵抗の両端で電位が変わらないことを意味します。
電池の負極側（アース）の電位を \(0\) とすると、正極側の電位は \(E\) です。

• コンデンサー \(C_1\) について:
  左側の極板は電池の正極（電位 \(E\)）に、右側の極板は抵抗 \(R_2\) を介してアース（電位 \(0\)）につながっています。\(R_2\) での電圧降下がないため、右側極板の電位も \(0\) です。
  よって、\(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) は \(E\) です。
  蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  Q_1 &= C_1 E
  \end{aligned}
  $$
• コンデンサー \(C_2\) について:
  左側の極板は抵抗 \(R_1\) を介して電池の正極（電位 \(E\)）につながっています。\(R_1\) での電圧降下がないため、左側極板（点P）の電位も \(E\) です。
  右側の極板はアース（電位 \(0\)）につながっています。
  よって、\(C_2\) にかかる電圧 \(V_2\) は \(E\) です。
  蓄えられる電気量 \(Q_2\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  Q_2 &= C_2 E
  \end{aligned}
  $$
• 点Pの電位について:
  点Pは抵抗 \(R_1\) を介して電池の正極とつながっており、電流が流れていないため、電池の正極と等電位になります。
  $$
  \begin{aligned}
  V_P &= E
  \end{aligned}
  $$

（立式そのものが答えとなっているため、追加の計算過程なし）

「十分に時間が経つ」ということは、コンデンサーがお腹いっぱいに電気を貯めて、もうこれ以上電気を通さない状態になったということです。電気が流れないので、抵抗はただの導線と同じ扱いになります。つまり、コンデンサーは電池と直接つながっているのと同じ状態になり、電池の電圧 \(E\) がそのままコンデンサーにかかります。点Pも電池のプラス側と直接つながっているのと同じなので、電位は \(E\) です。

\(C_1\) の電気量は \(C_1 E\)、\(C_2\) の電気量は \(C_2 E\)、点Pの電位は \(E\) です。
電流が流れないため抵抗による電圧降下がなく、電源電圧がそのままコンデンサーにかかるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、\(R_1\) と \(R_2\) が直列に接続された閉回路（\(E \to R_1 \to \text{S} \to R_2 \to E\)）が形成されます。コンデンサー \(C_1\) と \(C_2\) には定常状態では電流が流れませんが、抵抗を含むこのループには電流が流れ続けます。この電流によって抵抗に電圧降下が生じ、それが並列に接続されたコンデンサーの電圧となります。
この設問における重要なポイント

• 定常状態でも、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の直列回路には電流が流れる。
• コンデンサー \(C_1\) は抵抗 \(R_1\) と並列に接続されているとみなせる。
• コンデンサー \(C_2\) は抵抗 \(R_2\) と並列に接続されているとみなせる。
• 点Pは \(R_1\) と \(C_2\) の間の点であり、\(R_1\) での電圧降下後の電位を持つ。

具体的な解説と立式
まず、抵抗 \(R_1, R_2\) を流れる電流 \(I\) を求めます。これらは直列に接続されているので、合成抵抗は \(R_1 + R_2\) です。オームの法則より、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{E}{R_1 + R_2}
\end{aligned}
$$
次に、各抵抗にかかる電圧を求めます。
\(R_1\) の両端の電圧 \(V_{R1}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{R1} &= R_1 I \\[2.0ex] &= \frac{R_1}{R_1 + R_2} E
\end{aligned}
$$
\(R_2\) の両端の電圧 \(V_{R2}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{R2} &= R_2 I \\[2.0ex] &= \frac{R_2}{R_1 + R_2} E
\end{aligned}
$$
回路図を見ると、\(C_1\) は \(R_1\) と並列に、\(C_2\) は \(R_2\) と並列に接続されています。
したがって、\(C_1\) の電圧 \(V_1\) は \(V_{R1}\) に等しく、\(C_2\) の電圧 \(V_2\) は \(V_{R2}\) に等しくなります。

• \(C_1\) の電気量 \(Q_1\):
  $$
  \begin{aligned}
  Q_1 &= C_1 V_{R1} \\[2.0ex] &= C_1 \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} E
  \end{aligned}
  $$
• \(C_2\) の電気量 \(Q_2\):
  $$
  \begin{aligned}
  Q_2 &= C_2 V_{R2} \\[2.0ex] &= C_2 \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} E
  \end{aligned}
  $$
• 点Pの電位:
  点Pは \(C_2\) の左側の極板につながっており、\(C_2\) の右側極板はアース（電位 \(0\)）です。したがって、点Pの電位は \(C_2\) の両端の電圧 \(V_{R2}\) に等しくなります。
  $$
  \begin{aligned}
  V_P &= V_{R2} \\[2.0ex] &= \frac{R_2}{R_1 + R_2} E
  \end{aligned}
  $$

（立式過程で計算済み）

スイッチを閉じると、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) を通って電気が流れ続けます。このとき、電池の電圧 \(E\) は、抵抗の大きさの比率（\(R_1 : R_2\)）に応じて分け合われます（分圧）。コンデンサー \(C_1\) は \(R_1\) と、\(C_2\) は \(R_2\) と「抱き合わせ（並列）」になっているので、それぞれの抵抗にかかっている電圧と同じ電圧をもらいます。点Pの高さ（電位）は、アース（地面）から見て \(R_2\) の電圧分だけ高い位置になります。

\(Q_1 = \frac{R_1 C_1 E}{R_1 + R_2}\)、\(Q_2 = \frac{R_2 C_2 E}{R_1 + R_2}\)、点Pの電位は \(\frac{R_2 E}{R_1 + R_2}\) です。
抵抗値の比による分圧として理解でき、物理的に妥当です。例えば \(R_1=0\) なら \(Q_1=0, Q_2=C_2 E\) となり、(1)の状況（ただし \(C_1\) は短絡）と整合性を確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常状態におけるコンデンサーの振る舞い
  • 核心: 直流回路において十分に時間が経過すると、コンデンサーは充電を完了し、電流を一切通さなくなります（断線状態）。
  • 理解のポイント:
    • 電流の遮断: コンデンサーがある枝には電流が流れないため、その枝にある抵抗での電圧降下はゼロになります。
    • 電位の伝達: 電流が流れていない抵抗は、単なる導線と同じように電位をそのまま伝えます。これにより、離れた点の電位が等しくなる現象（等電位）を理解することが重要です。
• 回路の接続状態の変化と電位分布
  • 核心: スイッチの開閉によって電流の流れる経路が変わり、それに伴って各点の電位（高さ）が変化します。
  • 理解のポイント:
    • 独立と従属: (1)では上下の枝が独立していますが、(2)では抵抗同士が直列回路を形成し、コンデンサーはその電圧に従属する形になります。
    • 分圧の法則: 直列接続された抵抗では、抵抗値の比に応じて電圧が分配されることを直感的に使えるようにしましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチ切り替え問題: スイッチをA側からB側に切り替えたときの電気量の移動量 \(\Delta Q\) を求める問題。この場合、切り替え前後の \(Q\) をそれぞれ計算し、その差分をとります。
  • 過渡現象（定性的な理解）: 「スイッチを入れた直後」はコンデンサーは導線（電圧0）とみなせ、「十分時間が経った後」は断線（電流0）とみなせる、という両極端の状態を比較させる問題。
  • ブリッジ回路: コンデンサーを含むブリッジ回路で、検流計に電流が流れない条件（平衡条件）を求める問題。電位が等しい点を見つける考え方は本問と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「十分に時間が経過した」のキーワード: これを見たら即座に「コンデンサーの電流 \(I=0\)」「抵抗の電圧降下 \(RI=0\)」という条件を書き込みましょう。
  2. 電位の色塗り: 回路図上で、等電位になる部分を同じ色で塗る（または同じ記号を振る）と、どのコンデンサーにどの電圧がかかっているかが一目瞭然になります。特にアース（\(0\,\text{V}\)）から辿っていくのがコツです。
  3. 孤立部分の電荷保存: スイッチの切り替え問題などで、極板がどこにも繋がっていない（孤立している）場合、その部分の電気量の総和は保存されます。本問では直接使いませんが、応用問題では必須のテクニックです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチが開いているときの電圧の勘違い:
  • 誤解: (1)でスイッチが開いているとき、\(C_1\) と \(C_2\) が直列になっていると考えて、電圧を \(C\) の逆比で分配してしまう。
  • 対策: 回路図をよく見て、電流が流れていないことを確認します。電流がなければ抵抗での電圧降下はなく、電池の電圧がそのまま端まで伝わります。「直列接続」とは電流が共通して流れる状態を指すので、電流ゼロの状態では分圧の法則は適用されません。
• 電位と電圧の混同:
  • 誤解: 点Pの電位を求める際に、どこを基準（\(0\,\text{V}\)）にしているかを忘れて、電位差（電圧）を答えてしまう。
  • 対策: 必ずアース（接地）マークを探し、そこを \(0\,\text{V}\) と書き込みます。そこから「上がる」「下がる」を意識して計算しましょう。点Pの電位は「アースからPまでの高さ」です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（\(Q=CV\) と等電位）:
  • 選定理由: 電流が流れない静的な状態なので、オームの法則よりも「導体は等電位」という静電場の性質が支配的です。
  • 適用根拠: 抵抗に電流が流れないため \(V=RI=0\) となり、抵抗の両端が等電位になります。これにより、コンデンサーの電圧が電池の電圧 \(E\) と等しくなることが論理的に導かれます。
• 問(2)での公式選択（分圧の法則と並列接続）:
  • 選定理由: 抵抗に定常電流が流れる動的な状態なので、オームの法則（分圧の法則）が主役になります。
  • 適用根拠: スイッチを閉じることで \(R_1\) と \(R_2\) が一本の道（直列）になり、コンデンサーはそれぞれの抵抗に対して並列（電圧が共通）な配置になります。並列接続の特徴である「電圧が等しい」という性質を利用するのが最も効率的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認:
  • 答えが分数の形になったとき、分母と分子の抵抗 \(R\) の次数を確認しましょう。例えば電圧なら \(\frac{R}{R+R}E\) で抵抗の次元がキャンセルされて電圧の次元が残ります。もし \(\frac{R^2}{R+R}E\) なら次元がおかしい（電圧×抵抗になってしまう）のでミスに気づけます。
• 極端な値での検算:
  • \(R_1=0\) や \(R_2=0\) と置いたときに、物理的にあり得る結果になるか確認します。例えば \(R_1=0\) なら \(C_1\) は短絡されて \(Q_1=0\) になるはずです。計算結果の式に代入して整合性を確かめる癖をつけましょう。

発展例題42 コンデンサーを含む複雑な回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ブリッジ回路を含む複雑なコンデンサー回路の定常状態解析」です。一見複雑に見える回路でも、定常状態における電流の経路と、孤立部分における電気量保存則に着目することで解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
十分に時間が経過した定常状態では、コンデンサー \(C_1, C_2, C_3\) には電流が流れません。したがって、電流が流れるのは電池 \(E\) \(\to\) 点A \(\to\) 抵抗 \(R_1\) \(\to\) 点C \(\to\) 抵抗 \(R_2\) \(\to\) 点B \(\to\) 電池 \(E\) という経路のみです。この経路は単純な直列回路とみなせます。
この設問における重要なポイント

• 定常状態ではコンデンサーを含む枝（AD間, DB間, CD間）に電流は流れない。
• 抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は直列に接続されているとみなせる。
• オームの法則 \(V=RI\) を適用する。

具体的な解説と立式
抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) を流れる電流を \(I\) とします。
回路全体の合成抵抗 \(R\) は、直列接続なので
$$
\begin{aligned}
R &= R_1 + R_2
\end{aligned}
$$
オームの法則より、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{E}{R_1 + R_2}
\end{aligned}
$$

与えられた数値を代入します。\(E = 9.0\,\text{V}\), \(R_1 = 2.0\,\text{k}\Omega = 2.0 \times 10^3\,\Omega\), \(R_2 = 3.0\,\text{k}\Omega = 3.0 \times 10^3\,\Omega\) です。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{9.0}{(2.0 \times 10^3) + (3.0 \times 10^3)} \\[2.0ex] &= \frac{9.0}{5.0 \times 10^3} \\[2.0ex] &= 1.8 \times 10^{-3}\,\text{A}
\end{aligned}
$$
単位を \(\text{mA}\) に変換します。
$$
\begin{aligned}
1.8 \times 10^{-3}\,\text{A} &= 1.8\,\text{mA}
\end{aligned}
$$

時間が経つとコンデンサーは電気で満タンになり、もう電気を通さなくなります。すると、電気の通り道は抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) を通る一本道だけになります。この一本道の合計の抵抗値で電池の電圧を割れば、流れる電流が求まります。

答えは \(1.8\,\text{mA}\) です。
電圧 \(9.0\,\text{V}\) に対して抵抗が \(5.0\,\text{k}\Omega\) なので、電流が \(\text{mA}\) オーダーになるのは妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
各コンデンサーのD側の極板の電荷を求めます。点Dに接続されている3つの極板（\(C_1\)の右側、\(C_2\)の左側、\(C_3\)の下側）は、他の部分から絶縁された「孤立部分」を形成しています。はじめ電荷がなかったことから、この部分の電荷の総和は常に \(0\) です（電気量保存則）。
また、各コンデンサーの電圧は、回路内の電位差によって決まります。
この設問における重要なポイント

• 電気量保存則: 点Dに集まる3つの極板の電荷の和は \(0\) である。
• 電位の関係:
  • 点Aの電位を基準（\(9.0\,\text{V}\)）とすると、点Bの電位は \(0\,\text{V}\)。
  • 点Cの電位は、点Aから \(R_1\) での電圧降下分だけ下がった値。
  • 点Dの電位は未知数だが、これを使って各コンデンサーの電圧を表せる。

具体的な解説と立式
模範解答のアプローチ（電荷を未知数とする方法）で解説します。
各コンデンサーに蓄えられる電気量の大きさを \(q_1, q_2, q_3\) とし、極板の符号を図のように仮定します。

• \(C_1\): A側 \(+q_1\), D側 \(-q_1\)
• \(C_2\): D側 \(+q_2\), B側 \(-q_2\)
• \(C_3\): C側 \(+q_3\), D側 \(-q_3\)

1. 電気量保存則: 点Dに接続された極板の電荷の和は \(0\) です。
   $$
   \begin{aligned}
   -q_1 + q_2 – q_3 &= 0 \quad \cdots ①
   \end{aligned}
   $$
2. キルヒホッフの第2法則（電圧の関係）:
   • 閉回路 A \(\to\) C \(\to\) D \(\to\) A について:
     A \(\to\) C の電圧降下は \(R_1 I\)。
     C \(\to\) D の電圧降下は \(q_3 / C_3\)。
     D \(\to\) A の電位上昇は \(q_1 / C_1\)。
     $$
     \begin{aligned}
     R_1 I + \frac{q_3}{C_3} – \frac{q_1}{C_1} &= 0 \quad \cdots ②
     \end{aligned}
     $$
   • 閉回路 C \(\to\) B \(\to\) D \(\to\) C について:
     C \(\to\) B の電圧降下は \(R_2 I\)。
     B \(\to\) D の電位上昇は \(q_2 / C_2\)。
     D \(\to\) C の電位上昇は \(q_3 / C_3\)。
     $$
     \begin{aligned}
     R_2 I – \frac{q_2}{C_2} – \frac{q_3}{C_3} &= 0 \quad \cdots ③
     \end{aligned}
     $$

既知の値を代入して連立方程式を解きます。
\(I = 1.8\,\text{mA}\), \(R_1 = 2.0\,\text{k}\Omega\), \(R_2 = 3.0\,\text{k}\Omega\)
\(C_1 = 1.0\,\mu\text{F}\), \(C_2 = 2.0\,\mu\text{F}\), \(C_3 = 3.0\,\mu\text{F}\)
単位に注意します（\(\text{k}\Omega \times \text{mA} = \text{V}\), \(\mu\text{F} \times \text{V} = \mu\text{C}\) なので、\(q\) を \(\mu\text{C}\) 単位で計算すれば数値のみで扱えます）。

式②より:
$$
\begin{aligned}
2.0 \times 1.8 + \frac{q_3}{3.0} – \frac{q_1}{1.0} &= 0 \\[2.0ex] 3.6 + \frac{q_3}{3.0} – q_1 &= 0 \\[2.0ex] 10.8 + q_3 – 3.0q_1 &= 0 \quad (\text{全体を3倍}) \\[2.0ex] 3.0q_1 – q_3 &= 10.8 \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
式③より:
$$
\begin{aligned}
3.0 \times 1.8 – \frac{q_2}{2.0} – \frac{q_3}{3.0} &= 0 \\[2.0ex] 5.4 – \frac{q_2}{2.0} – \frac{q_3}{3.0} &= 0 \\[2.0ex] 32.4 – 3.0q_2 – 2.0q_3 &= 0 \quad (\text{全体を6倍}) \\[2.0ex] 3.0q_2 + 2.0q_3 &= 32.4 \quad \cdots ③’
\end{aligned}
$$
式①より \(q_2 = q_1 + q_3\) を式③’に代入:
$$
\begin{aligned}
3.0(q_1 + q_3) + 2.0q_3 &= 32.4 \\[2.0ex] 3.0q_1 + 5.0q_3 &= 32.4 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
式②’と式④を連立:
②’より \(3.0q_1 = q_3 + 10.8\)。これを④に代入。
$$
\begin{aligned}
(q_3 + 10.8) + 5.0q_3 &= 32.4 \\[2.0ex] 6.0q_3 &= 21.6 \\[2.0ex] q_3 &= 3.6\,\mu\text{C}
\end{aligned}
$$
\(q_1\) を求める:
$$
\begin{aligned}
3.0q_1 &= 3.6 + 10.8 \\[2.0ex] 3.0q_1 &= 14.4 \\[2.0ex] q_1 &= 4.8\,\mu\text{C}
\end{aligned}
$$
\(q_2\) を求める:
$$
\begin{aligned}
q_2 &= 4.8 + 3.6 \\[2.0ex] &= 8.4\,\mu\text{C}
\end{aligned}
$$

求めるのは「D側の極板の電荷」です。

• \(C_1\): D側は \(-q_1\) なので \(-4.8\,\mu\text{C}\)
• \(C_2\): D側は \(+q_2\) なので \(+8.4\,\mu\text{C}\)
• \(C_3\): D側は \(-q_3\) なので \(-3.6\,\mu\text{C}\)

点Dに集まっている3つのコンデンサーの極板は、どこにもつながっていない「離れ小島」のような場所です。最初は電気が空っぽだったので、あとから電気が移動してきても、合計の電気量はゼロのまま変わりません。このルール（電気量保存則）と、回路の電圧のルール（キルヒホッフの法則）を組み合わせて連立方程式を解くと、それぞれのコンデンサーに溜まった電気が求まります。

\(C_1: -4.8\,\mu\text{C}\), \(C_2: 8.4\,\mu\text{C}\), \(C_3: -3.6\,\mu\text{C}\)
保存則 \(-4.8 + 8.4 – 3.6 = 0\) が成り立っていることを確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常状態における電流経路の特定
  • 核心: 直流回路において十分に時間が経過すると、コンデンサーは充電を完了して電流を通さなくなります。これにより、回路網の中で「電流が流れる経路（抵抗のみの経路）」と「電流が流れない経路（コンデンサーを含む経路）」が明確に分離されます。
  • 理解のポイント:
    • 回路の簡略化: コンデンサーがある枝を「断線」とみなすことで、複雑な回路図を単純な抵抗の直列・並列回路として捉え直すことができます。本問では、\(R_1\) と \(R_2\) の単純な直列回路が見えてきます。
• 孤立部分における電気量保存則
  • 核心: コンデンサーの極板が導線で結ばれているものの、電源や他の回路部分とは絶縁されている（コンデンサーのギャップで隔てられている）領域を「孤立部分」と呼びます。この領域内の総電荷量は、外部からの流入出がないため常に一定（初期電荷の和に等しい）に保たれます。
  • 理解のポイント:
    • ノード方程式の立式: 点Dに接続された3つの極板の電荷の和が \(0\) であるという式（\(-q_1 + q_2 – q_3 = 0\)）は、この問題を解くための決定的な条件式となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホイートストンブリッジ: 抵抗のみで構成されたブリッジ回路。検流計に電流が流れない条件（\(R_1 R_4 = R_2 R_3\)）は、点Cと点Dの電位が等しいことと同義です。本問でも \(V_C = V_D\) ならば \(C_3\) の電荷は \(0\) になります。
  • スイッチ切り替えを含む回路: スイッチを切り替えて回路構成が変わる問題でも、「孤立部分の電荷保存」は最強のツールです。スイッチ操作の前後で保存される領域を見つけることが鍵になります。
  • 対称性のある回路: 立方体回路など、対称性が高い回路では、対称な点の電位が等しいことを利用して回路を簡略化したり、未知数を減らしたりできます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「孤立部分」を探せ: コンデンサーに挟まれた導線部分（島）を見つけたら、すぐに丸で囲んで「\(Q_{\text{total}} = \text{const}\)」と書き込みましょう。これが方程式の1つになります。
  2. 電位法（ノード解析）の検討: 未知の電荷 \(q_1, q_2, \dots\) を置くよりも、接続点の電位 \(V\) を未知数に置く方が、変数の数が減り計算が楽になるケースが多々あります。特に分岐が多い回路では有効です。
  3. 単位の省略: \(\mu\text{F}\), \(\text{k}\Omega\), \(\text{mA}\) などが使われている場合、\(10^{-6}\) などをいちいち書かずに、\(\mu\text{C}\) 単位で計算を進めるとミスが減ります。ただし、最終的な答えの単位には十分注意してください。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電荷の符号の定義ミス:
  • 誤解: 未知の電荷 \(q\) を置く際、適当に符号を決めてしまい、保存則の式（\(+q\) か \(-q\) か）と電圧の式（電位が上がるか下がるか）で整合性が取れなくなる。
  • 対策: 図に必ず「\(+q\)」「\(-q\)」を書き込み、電位が高いと仮定した方をプラスにします。計算結果が負になれば、仮定と逆だったと解釈すればよいだけです。保存則の式を立てるときは、図に書いた符号をそのまま足し合わせます。
• キルヒホッフの法則の周回方向:
  • 誤解: 閉回路を一周する際、電位の上がり下がりを逆にしてしまう。
  • 対策: 「電流の向きに進むと抵抗で電位が下がる」「コンデンサーの \(+\) から \(-\) へ進むと電位が下がる」というルールを徹底します。不安なら、別解のように「電位法」を使うと、符号ミスを大幅に減らせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（オームの法則）:
  • 選定理由: 定常状態ではコンデンサーは無視でき、抵抗のみの回路となるため、最も基本的なオームの法則が適用できます。
  • 適用根拠: 電流経路が一筆書きの直列回路になることが明確なので、合成抵抗 \(R_1+R_2\) を用いて一発で電流を求められます。
• 問(2)での公式選択（電気量保存則とキルヒホッフの法則）:
  • 選定理由: 未知数が複数ある連立方程式を立てる必要があります。回路網解析の基本セットである「電流則（ここでは電荷保存則）」と「電圧則（キルヒホッフ）」を組み合わせるのが定石です。
  • 適用根拠: 点Dが孤立していることから保存則が、回路が閉ループを形成していることからキルヒホッフの法則が、それぞれ物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の整理:
  • \(3.0q_1 – q_3 = 10.8\) のように、変数を左辺、定数を右辺に寄せ、変数の順番（\(q_1, q_2, q_3\)）を揃えて縦に並べて書くと、計算ミスを防ぎやすくなります。
• 検算の習慣:
  • 求めた \(q_1, q_2, q_3\) を保存則の式（\(-q_1 + q_2 – q_3 = 0\)）に代入して、ゼロになるか必ず確認しましょう。これが合っていれば、計算はほぼ間違いなく正解です。
• 電位法の活用:
  • 別解で示した「電位法」は、連立方程式を解く手間を劇的に減らせます。検算用としてだけでなく、メインの解法としても使えるように練習しておくと、試験での強力な武器になります。

発展問題

490 導体中の自由電子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由電子モデルによるオームの法則とジュール熱の導出」です。金属などの導体中を流れる電流の正体が電子の移動であることを理解し、力学的な運動法則から電気回路の法則（オームの法則など）を導き出す、物理学における非常に重要な単元です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体の両端に電位差 \(V\) が与えられています。導体内部の電場が一様であると仮定し、電位差と距離の関係式を用いて電場の強さを求めます。向きについては、電位の高い方から低い方へ向かうという定義に従います。
この設問における重要なポイント

• 一様な電場 \(E\) において、距離 \(d\) 離れた2点間の電位差 \(V\) は \(V = Ed\) である。
• 電場の向きは、電位が下がる向き（正電荷が力を受ける向き）である。
• 図の電池の記号から、左側が正極（高電位）、右側が負極（低電位）であることを読み取る。

具体的な解説と立式
導体の長さを \(L\)、両端の電位差を \(V\) とします。導体内部の電場は一様であるため、電場の強さ \(E\) と電位差 \(V\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= EL
\end{aligned}
$$
これを \(E\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{V}{L}
\end{aligned}
$$
次に向きを考えます。電池の記号（長い線がプラス、短い線がマイナス）より、導体の左端が高電位、右端が低電位です。電場は高電位から低電位に向かうベクトルなので、向きは「右向き」となります。

式変形のみのため、計算過程は上記に含まれます。

「電場」とは、電気的な「坂道の急さ」のようなものです。高さの差（電位差 \(V\)）が同じでも、距離（長さ \(L\)）が長ければ坂道は緩やかになります。逆に距離が短ければ急になります。ここでは、高さ \(V\) の差が距離 \(L\) にわたって均等に広がっているので、その傾き（電場の強さ）は \(V\) を \(L\) で割った値になります。向きは、ボールが転がり落ちる方向、つまり高い方（左）から低い方（右）へ向かう方向です。

電場の強さは \(E = \frac{V}{L}\)、向きは右向きです。単位を確認すると、\(V\) はボルト \([\text{V}]\)、\(L\) はメートル \([\text{m}]\) なので、電場の単位は \([\text{V/m}]\) となり、正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
電場の中に置かれた電荷は、静電気力を受けます。電子の電荷は \(-e\) なので、力の大きさは電荷の絶対値と電場の強さの積で求まります。向きは、負電荷であることに注意して決定します。
この設問における重要なポイント

• 電場 \(E\) 中の電荷 \(q\) が受ける静電気力は \(F = qE\)（ベクトルとしての式）。
• 力の大きさは \(|F| = |q|E\)。
• 正電荷は電場と同じ向きに、負電荷は電場と逆向きに力を受ける。

具体的な解説と立式
電子の電荷量は \(-e\)（\(e > 0\)）です。(1)で求めた電場の強さ \(E = \frac{V}{L}\) を用いて、電子が受ける静電気力 \(F_1\) の大きさを求めます。
$$
\begin{aligned}
F_1 &= eE
\end{aligned}
$$
これに \(E\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F_1 &= e \times \frac{V}{L}
\end{aligned}
$$
向きについて考えます。電子は負の電荷を持っているため、電場の向き（右向き）とは逆向きの力を受けます。したがって、力の向きは「左向き」です。

$$
\begin{aligned}
F_1 &= e \left( \frac{V}{L} \right) \\[2.0ex] &= \frac{eV}{L}
\end{aligned}
$$

電場という「電気的な風」が右向きに吹いていると考えてください。プラスの電気を持つ粒子なら風に乗って右に流されますが、電子はマイナスの電気を持っているので、風に逆らって左向きに力を受けます。その力の強さは、電子の電気量 \(e\) と風の強さ \(E\) を掛け合わせたものになります。

力の大きさは \(F_1 = \frac{eV}{L}\)、向きは左向きです。電位差 \(V\) が大きいほど、また距離 \(L\) が短いほど（電場が強いほど）、力は大きくなります。これは物理的直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
電子は静電気力 \(F_1\) で加速されますが、同時に原子から抵抗力 \(F_2\) を受けます。問題文に「一定の速さ \(v\) で移動している」とあるので、力がつりあっている状態です。力のつりあいの式を立てて \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 電子は一定の速さで運動している（等速直線運動）。
• 等速運動する場合、物体に働く合力は \(0\) である（力のつりあい）。
• 抵抗力 \(F_2\) は速さ \(v\) に比例し、\(F_2 = kv\) と表される。

具体的な解説と立式
電子は左向きに運動しており、左向きに静電気力 \(F_1\)、右向き（運動を妨げる向き）に抵抗力 \(F_2\) を受けています。
速さが一定であるため、これらの力はつりあっています。
左向きを正として力のつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{左向きの力}) &= (\text{右向きの力}) \\[2.0ex] F_1 &= F_2
\end{aligned}
$$
ここに、(2)の結果 \(F_1 = \frac{eV}{L}\) と、抵抗力の式 \(F_2 = kv\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{eV}{L} &= kv
\end{aligned}
$$

\(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
kv &= \frac{eV}{L} \\[2.0ex] v &= \frac{eV}{kL}
\end{aligned}
$$

電子は最初、静電気力によって加速しますが、スピードが出るほど空気抵抗のような「邪魔する力（抵抗力）」が大きくなります。やがて、「進ませようとする力」と「邪魔する力」がちょうど同じ大きさになり、スピードが変わらなくなります。このときのスピードを計算しました。

速さは \(v = \frac{eV}{kL}\) です。電圧 \(V\) が大きいほど速くなり、抵抗の比例定数 \(k\) や長さ \(L\) が大きいほど遅くなるという結果は、直感的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
電流の定義に立ち返ります。電流とは「単位時間（1秒間）に断面を通過する電気量」のことです。電子の数密度 \(n\)、速さ \(v\)、断面積 \(S\)、電気素量 \(e\) を用いて電流 \(I\) を表す式を導き、そこに(3)で求めた \(v\) を代入します。
この設問における重要なポイント

• 電流の定義式 \(I = \frac{Q}{t}\)（\(Q\) は時間 \(t\) に通過する電気量）。
• 微視的な電流の式 \(I = envS\) の導出プロセスを理解していること。
• 電子は負電荷だが、電流の大きさとしては電気量の絶対値を考える。

具体的な解説と立式
まず、電流 \(I\) を \(e, n, v, S\) で表します。
時間 \(t\) の間に、速さ \(v\) の電子は距離 \(vt\) だけ進みます。
したがって、時間 \(t\) の間に導体の断面 \(S\) を通過できるのは、断面から距離 \(vt\) 以内に存在する電子です。
この範囲の体積は \(S \times vt\) です。
単位体積あたりの電子数が \(n\) なので、この体積中の電子の総数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= n \times (Svt)
\end{aligned}
$$
電子1個の電気量の大きさは \(e\) なので、通過する総電気量 \(Q\) の大きさは、
$$
\begin{aligned}
Q &= eN \\[2.0ex] &= envSt
\end{aligned}
$$
電流 \(I\) は単位時間あたりの電気量なので、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{Q}{t} \\[2.0ex] &= envS
\end{aligned}
$$
この式に、(3)で求めた \(v = \frac{eV}{kL}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= en \left( \frac{eV}{kL} \right) S
\end{aligned}
$$

式を整理します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{e^2 n S V}{kL}
\end{aligned}
$$

電流とは、川を流れる水の量のようなものです。
1. 川の幅と深さ（断面積 \(S\)）
2. 水の流れる速さ（速さ \(v\)）
3. 水の密度（電子の密度 \(n\)）
4. 水滴1粒の大きさ（電気量 \(e\)）
これらを全部掛け合わせると、1秒間に流れる水の総量（電流 \(I\)）になります。この関係式に、さっき計算した電子の速さを当てはめました。

電流 \(I = \frac{e^2 n S}{kL} V\) となりました。電圧 \(V\) に比例し、断面積 \(S\) に比例し、長さ \(L\) に反比例するという結果は、オームの法則や抵抗の性質と整合しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で求めた電流の式を、オームの法則 \(V = RI\) の形に変形して抵抗 \(R\) を求めます。さらに、抵抗の公式 \(R = \rho \frac{L}{S}\) と比較して、抵抗率 \(\rho\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• オームの法則: \(V = RI\) または \(R = \frac{V}{I}\)。
• 抵抗と抵抗率の関係: \(R = \rho \frac{L}{S}\)。
• これらを係数比較して、物理定数との対応を見つける。

具体的な解説と立式
(4)の結果 \(I = \frac{e^2 n S}{kL} V\) を \(V\) について解き、オームの法則 \(V = RI\) の形にします。
$$
\begin{aligned}
V &= \left( \frac{kL}{e^2 n S} \right) I
\end{aligned}
$$
オームの法則 \(V = RI\) と係数を比較すると、抵抗 \(R\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{kL}{e^2 n S}
\end{aligned}
$$
次に、抵抗率 \(\rho\) を求めます。抵抗の公式 \(R = \rho \frac{L}{S}\) と比較します。
$$
\begin{aligned}
\rho \frac{L}{S} &= \frac{kL}{e^2 n S} \\[2.0ex] \rho \frac{L}{S} &= \left( \frac{k}{e^2 n} \right) \frac{L}{S}
\end{aligned}
$$

係数を比較して、
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{k}{e^2 n}
\end{aligned}
$$

(4)で作った式を、「電圧 \(=\) 〇〇 \(\times\) 電流」という形に書き直しました。この「〇〇」の部分が電気抵抗 \(R\) です。さらに、抵抗 \(R\) の中から、形（長さ \(L\) や太さ \(S\)）に関係する部分を取り除いた残りが、素材そのものの電気の通しにくさを表す「抵抗率 \(\rho\)」になります。

抵抗 \(R = \frac{kL}{e^2 n S}\)、抵抗率 \(\rho = \frac{k}{e^2 n}\) です。
抵抗率 \(\rho\) は、抵抗係数 \(k\) が大きいほど（動きにくいほど）大きく、電子密度 \(n\) が大きいほど（運び手が多いほど）小さくなります。これは物理的に非常に納得のいく結果です。

問(6)

思考の道筋とポイント
ジュール熱は、電場が電子に対してした仕事が、抵抗力によるエネルギー散逸として熱に変わったものです。単位時間あたりのジュール熱 \(P\) が \(VI\) になることを示します。
この設問における重要なポイント

• 電子の速さは一定なので、運動エネルギーは変化しない。
• エネルギー保存則より、電場が電子にした仕事はすべて熱エネルギーに変換される。
• 仕事率 \(P\) は、力 \(F\) と速さ \(v\) の積 \(P = Fv\) で表される。

具体的な解説と立式
電子1個が単位時間に電場からされる仕事 \(w\) を考えます。
電子が受ける力は \(F_1 = eE = \frac{eV}{L}\)、速さは \(v\) です。
力の向きと移動方向は同じ（左向き）なので、仕事率（単位時間の仕事）は、
$$
\begin{aligned}
w &= F_1 v \\[2.0ex] &= \frac{eV}{L} v
\end{aligned}
$$
導体全体には \(nSL\) 個の自由電子が含まれています。
導体全体で単位時間に生じるジュール熱 \(P\) は、全電子が受ける仕事率の合計に等しいので、
$$
\begin{aligned}
P &= (\text{全電子数}) \times w \\[2.0ex] &= (nSL) \times \left( \frac{eV}{L} v \right)
\end{aligned}
$$

式を整理します。
$$
\begin{aligned}
P &= nSL \times \frac{eV}{L} v \\[2.0ex] &= (envS) \times V
\end{aligned}
$$
ここで、(4)より \(I = envS\) なので、これを代入すると、
$$
\begin{aligned}
P &= IV \\[2.0ex] &= VI
\end{aligned}
$$
となり、題意が示されました。

電子はずっと同じ速さで動いているので、電場から押されてもらったエネルギーは、スピードアップには使われず、すべて何かにぶつかって熱（ジュール熱）として捨てられています。
「電子1個がもらうエネルギー」×「電子の総数」を計算すると、ちょうど回路全体の「電圧 \(\times\) 電流」という式に変形できることを確かめました。

微視的な力の仕事の総和が、巨視的な電力 \(VI\) と一致することが示されました。これはエネルギー保存則がミクロとマクロをつないで成立していることを意味します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 微視的（ミクロ）な運動と巨視的（マクロ）な法則の結合
  • 核心: この問題の最大のテーマは、目に見えない「電子1個の運動」と、実験室で測定できる「オームの法則」や「ジュール熱」をつなぐことです。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい \(\leftrightarrow\) オームの法則: 電子が抵抗力を受けて等速運動するという力学的な事実が、電圧と電流が比例するという電気回路の法則の正体です。
    • 仕事とエネルギー \(\leftrightarrow\) ジュール熱: 電場が電子にする仕事が、運動エネルギーにならずに熱として散逸するというエネルギー保存の考え方が、発熱のメカニズムです。
• 電流の定義式 \(I = envS\) の導出と適用
  • 核心: 電流を「1秒間に流れる電気の粒の総量」として捉え、数式化する能力です。
  • 理解のポイント:
    • 単に公式を暗記するのではなく、「速さ \(v\) で動く電子が時間 \(t\) に進む距離 \(vt\)」→「その円柱の体積 \(Svt\)」→「中の電子数 \(nSvt\)」→「総電気量 \(enSvt\)」というロジックを自分で組み立てられることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 磁場中を流れる電流の問題でも、この「自由電子モデル」が基礎になります。ローレンツ力と静電気力のつりあいを考える際、本問の(2)や(3)の考え方がそのまま使えます。
  • 半導体や電解質溶液: キャリアが電子だけでなく正孔（ホール）やイオンになる場合も、電荷 \(q\) や数密度 \(n\) を置き換えるだけで、同じロジック（\(I=qnvS\)）が通用します。
  • 終端速度の問題: 雨滴の落下や粘性抵抗を受ける物体の運動など、力学分野でも「抵抗力が速さに比例する \(\rightarrow\) 一定の速さに落ち着く」というパターンは頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. キャリア（運び手）は何か？: 電子なのか、イオンなのか、正孔なのか。その電荷の符号と大きさを確認します。
  2. 力のつりあいを図示する: 電場から受ける力（加速させる力）と、抵抗力（妨げる力）の向きを正しく図示します。特に負電荷の場合、電場と逆向きに力を受ける点に注意が必要です。
  3. 「単位〇〇あたり」の量に注意: 単位体積あたりの個数 \(n\)、単位時間あたりの電気量 \(I\) など、定義を正確に把握して立式します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電子の受ける力の向きの誤り:
  • 誤解: 電場の向き（右）と力の向き（左）を混同してしまう。
  • 対策: 「電場はプラスの電荷が受ける力の向き」と定義されています。電子はマイナスなので、必ず電場の矢印と逆向きに力が働くと、図に書き込んで確認しましょう。
• 電流の定義式の丸暗記による適用ミス:
  • 誤解: \(I = envS\) の \(v\) を「体積」と間違えたり、\(n\) を「全個数」と間違えたりする。
  • 対策: 単位を確認する癖をつけましょう。\(n\) は \([\text{個}/\text{m}^3]\)、\(v\) は \([\text{m/s}]\) です。単位を掛け合わせて \([\text{A}] = [\text{C/s}]\) になるか確認すればミスを防げます。
• 抵抗率 \(\rho\) と抵抗 \(R\) の混同:
  • 誤解: どちらが物質固有の値で、どちらが形状による値か分からなくなる。
  • 対策: \(R = \rho \frac{L}{S}\) の式を、「抵抗 \(R\) は長くて細いほど大きくなる」というイメージと共に覚えます。比例定数である \(\rho\) が素材そのものの性質（抵抗率）です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（一様電場の式）:
  • 選定理由: 導体内部の電場が一様であるという前提と、与えられた物理量が電位差 \(V\) と距離 \(L\) であることから、\(V = Ed\) の関係式を使うのが必然です。
  • 適用根拠: 電位のグラフ（\(V-x\) グラフ）の傾きが電場 \(E\) に相当します。傾きが一定（一様電場）なので、単純な割り算 \(E = V/L\) で求まります。
• 問(3)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 「一定の速さ」というキーワードが決定打です。加速度がゼロであることを意味するため、運動方程式 \(ma=F\) において \(a=0\)、つまり \(F_{\text{合力}}=0\) を適用します。
  • 適用根拠: 電子にはたらく力は、加速させる静電気力 \(F_1\) と、減速させる抵抗力 \(F_2\) の2つだけです。これらが逆向きに働き、大きさが等しくなることで等速運動が実現します。したがって、\(F_1 = F_2\) という式を立てる根拠となります。
• 問(6)での公式選択（仕事率とジュール熱）:
  • 選定理由: 「ジュール熱」の起源を問われています。熱エネルギーの源は、電場が電子に対して行った仕事以外にありません。したがって、力学的な仕事率 \(P=Fv\) を計算し、それを総和する方法を選択します。
  • 適用根拠: エネルギー保存則により、「電場がした仕事」＝「電子の運動エネルギー変化」＋「発生した熱」となります。ここでは電子の速さが一定で運動エネルギーが変化しないため、「電場がした仕事」がそのまま「発生した熱」に等しくなるという論理が成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元（単位）チェック:
  • 例えば \(v = \frac{eV}{kL}\) という答えが出たとき、もし分母分子が逆になっていたら、単位がおかしくなるはずです。物理定数の単位を意識し、式の形が妥当か常に疑う視点を持ちましょう。
• 係数比較は慎重に:
  • (5)のように、自分で作った式 \(V = (\dots)I\) と、公式 \(V = RI\) を見比べるときは、対応する部分を指でなぞりながら、書き写し間違いがないか確認します。特に \(e^2\) のような2乗の落とし穴に注意してください。
• 正負の符号の管理:
  • 電子の電荷を \(-e\) として計算する場合、力の大きさは \(|-eE| = eE\) となります。ベクトル（向き）とスカラー（大きさ）を混同せず、大きさの計算では絶対値を用いることを徹底しましょう。

491 抵抗の接続

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複雑な抵抗回路の読解と合成抵抗」です。一見複雑に見える回路図を、電流の流れに沿って整理し、見慣れた「直列・並列」の形（等価回路）に書き換える力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路図の見た目に惑わされず、電気的な接続関係を見抜くことが最重要です。
図1は単純な直列接続です。
図2は複雑ですが、「電流がどこで分かれ、どこで合流するか」を追うことで構造が見えてきます。
この設問における重要なポイント

• 図1の解析: aから入った電流は、一本道で2つの抵抗を通ってbへ抜ける。
• 図2の解析:
  • 端子cから入り、まず抵抗Cを通る。
  • 抵抗Cを抜けた後、道が2つに分かれる（分岐点）。
  • 一方の道は、抵抗Aを通り、さらに抵抗Bを通る（AとBは直列）。
  • もう一方の道は、抵抗Dを通る。
  • 抵抗Bを通った道と、抵抗Dを通った道が合流し、端子dへ抜ける。
  • つまり、「抵抗C」に対し、「抵抗A・Bの直列部分」と「抵抗D」の並列部分が、直列につながっている構成です。

具体的な解説と立式
各選択肢について検討します。すべての抵抗の抵抗値を \(r\) とします。

• アについて
  図1では、aからbへ向かう電流の経路に分岐はありません。2つの抵抗は直列に接続されています。
  直列回路では流れる電流 \(I\) は共通です。
  オームの法則 \(V = rI\) より、抵抗値 \(r\) も電流 \(I\) も等しいため、各抵抗に加わる電圧は等しくなります。
  したがって、アは正しいです。
• イについて
  図2の等価回路を考えます。
  分岐した後の「上側のルート」には、抵抗Aと抵抗Bが含まれています。このルート内で、電流の逃げ道や入り込みはないため、抵抗Aと抵抗Bには同じ大きさの電流 \(I_{AB}\) が流れます（直列接続）。
  オームの法則 \(V = rI\) より、抵抗値 \(r\) も電流 \(I_{AB}\) も等しいため、抵抗Aと抵抗Bに加わる電圧は等しくなります。
  したがって、イは正しいです。
• ウについて
  抵抗Cと抵抗Dの電圧を比較します。
  回路全体の電流を \(I\) とすると、抵抗Cには分岐前の全電流 \(I\) が流れます。
  したがって、抵抗Cに加わる電圧 \(V_C\) は、
  $$ V_C = rI $$
  一方、抵抗Dは分岐後の並列部分にあります。並列部分全体の合成抵抗 \(R_p\) を考えます。
  抵抗AとBの合成抵抗は \(r + r = 2r\) です。これと抵抗D（抵抗値 \(r\)）が並列になっています。
  並列部分の合成抵抗 \(R_p\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{1}{R_p} &= \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} \\[2.0ex] &= \frac{1 + 2}{2r} \\[2.0ex] &= \frac{3}{2r}
  \end{aligned}
  $$
  $$ R_p = \frac{2}{3}r $$
  この並列部分全体に流れる電流は \(I\) なので、並列部分の電圧（抵抗Dに加わる電圧）\(V_D\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  V_D &= R_p I \\[2.0ex] &= \frac{2}{3}rI
  \end{aligned}
  $$
  \(V_C = rI\) と \(V_D = \frac{2}{3}rI\) を比較すると、\(V_C \neq V_D\)（具体的には \(V_C > V_D\)）です。
  したがって、ウは誤りです。

上記の解説内で計算済み。

図2の回路は、まず「C」という関所を通り、そのあと「A→Bという長い道」と「Dという短い道」の2つに分かれて進む、という形になっています。

• ア: 図1は一本道なので、2つの抵抗は対等です。電圧も同じです。
• イ: 図2のAとBは、分かれた後の同じ一本道の上にあります。だから流れる電流も同じで、電圧も同じになります。
• ウ: Cは全員が通る道ですが、Dは分かれた後の片方の道です。全員が通るCの方が電流が多く、電圧（＝電流×抵抗）も大きくなります。だからCとDの電圧は等しくありません。

正しい記述はアとイです。
ウについては、\(V_C : V_D = 3 : 2\) となり、明らかに異なります。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で明らかにした等価回路の構造に従って、順に合成抵抗を計算していきます。
手順は「内側から外側へ」です。
1. まず、直列接続されているAとBを合成します。
2. 次に、それと並列接続されているDを合成します。
3. 最後に、それと直列接続されているCを合成します。
この設問における重要なポイント

• 抵抗AとBは直列。
• (A+B)とDは並列。
• Cと{(A+B)//D}は直列。

具体的な解説と立式
各抵抗の抵抗値を \(r\) とします。

1. 抵抗Aと抵抗Bの合成
これらは直列接続なので、合成抵抗 \(R_{AB}\) は単純な和です。
$$ R_{AB} = r + r = 2r $$

2. 並列部分（\(R_{AB}\) と抵抗D）の合成
抵抗値 \(2r\) の \(R_{AB}\) と、抵抗値 \(r\) の抵抗Dが並列に接続されています。
この部分の合成抵抗 \(R_p\) は、以下の式で求められます。
$$ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{r} $$
$$ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} $$

3. 全体の合成
抵抗C（抵抗値 \(r\)）と、並列部分の合成抵抗 \(R_p\) が直列に接続されています。
求めるcd間の合成抵抗 \(R_{total}\) は、
$$ R_{total} = r + R_p $$

まず、並列部分の合成抵抗 \(R_p\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_p} &= \frac{1}{2r} + \frac{2}{2r} \\[2.0ex] &= \frac{3}{2r}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
R_p &= \frac{2r}{3} \\[2.0ex] &= \frac{2}{3}r
\end{aligned}
$$
次に、全体の合成抵抗 \(R_{total}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R_{total} &= r + \frac{2}{3}r \\[2.0ex] &= \frac{3}{3}r + \frac{2}{3}r \\[2.0ex] &= \frac{5}{3}r
\end{aligned}
$$

計算の手順は以下の通りです。
1. まず、AとBのルートをまとめます。\(r\) が2つ直列なので \(2r\) になります。
2. 次に、その \(2r\) のルートと、Dの \(r\) のルートをまとめます（並列）。「和分の積」の公式を使うと、\(\frac{2r \times r}{2r + r} = \frac{2}{3}r\) になります。
3. 最後に、入口にあるCの \(r\) を足します（直列）。\(r + \frac{2}{3}r = \frac{5}{3}r\) が答えです。

答えは \(\frac{5}{3}r\) です。
直列につなぐと抵抗は増え、並列につなぐと抵抗は減ります。
\(r\)（C）に何かを足すので、答えは \(r\) より大きくなるはずです。\(\frac{5}{3}r \approx 1.67r\) なので妥当です。また、単純に全部直列にした \(4r\) よりは小さくなるはずで、これも満たしています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回路の等価変換と接続関係の把握
  • 核心: 一見複雑な回路図を、電流の経路（分岐と合流）に基づいて整理し、単純な「直列」と「並列」の組み合わせ（等価回路）に変換する能力です。
  • 理解のポイント:
    • 電流の追跡: 電源の正極（または電流の入口）から出発し、電流がどこで分かれ、どの抵抗を通って、どこで合流するかを指でなぞって確認します。
    • 直列の定義: 電流の逃げ道も入り込みもなく、一本道でつながっている状態。電流が共通です。
    • 並列の定義: 電流が分岐してから合流するまでの、複数の並行した経路。分岐点と合流点の間の電圧（電位差）が共通です。
• 合成抵抗の計算手順
  • 核心: 複雑な回路の合成抵抗を求める際、「最も内側の小さなブロック」から順に計算し、徐々に回路全体へと広げていく手順です。
  • 理解のポイント:
    • いきなり全体を見ず、まずは「AとBの直列」のような最小単位を合成して1つの抵抗とみなします。次にその合成抵抗と「Dの並列」を計算する、というように段階的に処理します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路: 抵抗がひし形に接続されている場合など。平衡条件（\(R_1 R_4 = R_2 R_3\)）を満たせば真ん中の抵抗を無視できますが、満たさない場合はキルヒホッフの法則や対称性を利用する必要があります。
  • 対称性のある回路: 立方体の各辺に抵抗がある問題など。対称面を見つけ、等電位となる点を接続したり切り離したりして回路を簡略化します。
  • 無限回路: はしご状に無限に抵抗が続く回路。全体の合成抵抗 \(R\) が、一部を切り取った残りの部分の合成抵抗と等しい（\(R = R’\)）という自己相似性を利用して方程式を立てます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 等電位点を探す: 導線だけでつながっている点はすべて同じ電位（同じ点）とみなせます。回路図を変形する際の基準になります。
  2. 回路図を描き直す: 問題の図が分かりにくい場合、電源を左、接地（または負極）を右に配置し、電位の高い順に抵抗を並べ替えて描き直すと、直列・並列の関係が一目瞭然になります。
  3. 極端な場合を考える: ある抵抗値が \(0\)（短絡）や \(\infty\)（断線）になったとき、回路がどうなるかを想像すると、検算や定性的な理解に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 見た目による直列・並列の誤認:
  • 誤解: 回路図上で隣り合って並行に描かれているから「並列」、横に並んでいるから「直列」と判断してしまう。
  • 対策: 必ず「電流の経路」で判断します。間に分岐点があれば直列ではありません。両端が共通の点につながっていなければ並列ではありません。
• 合成抵抗の公式の適用ミス:
  • 誤解: 並列回路の合成抵抗を計算する際、逆数の和（\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)）を計算した後、逆数を取るのを忘れて \(R = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) としてしまう。
  • 対策: 「和分の積（\(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\)）」の公式を使うと、逆数を取る手間が省け、ミスが減ります。3つ以上の並列では使えませんが、2つの場合は最強のツールです。
• 電圧・電流の取り違え:
  • 誤解: 直列回路で電圧が等しい、並列回路で電流が等しいと思い込んでしまう。
  • 対策: 「直列は一本道だから電流共通」「並列は高さ（電位差）が同じだから電圧共通」という物理的なイメージを常に持ちましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（オームの法則）:
  • 選定理由: 抵抗値 \(R\) と電流 \(I\) の関係から電圧 \(V\) の大小を比較したい場面です。これら3つの物理量を結びつける基本法則はオームの法則 \(V=RI\) です。
  • 適用根拠: 抵抗値 \(r\) がすべて等しいという条件があるため、電圧の大小比較は電流 \(I\) の大小比較に帰着します。直列回路では \(I\) が等しいので \(V\) も等しく、並列回路の分岐では抵抗値に応じて \(I\) が分配されるため \(V\) もそれに応じて決まる、という論理で判定できます。
• 問(2)での公式選択（合成抵抗の公式）:
  • 選定理由: 複数の抵抗を1つの抵抗とみなしたときの抵抗値（合成抵抗）を求める問題です。接続形態（直列・並列）に応じた公式を選択します。
  • 適用根拠:
    • 直列部分（AとB）: 電流が共通で電圧が加算されるため、抵抗も加算（\(R=R_1+R_2\)）されます。
    • 並列部分（ABとD）: 電圧が共通で電流が加算されるため、コンダクタンス（抵抗の逆数）が加算（\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)）されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 途中式に文字を残す:
  • いきなり数値を代入せず、\(R_A, R_B\) や \(r\) などの文字のまま式を変形し、最後に数値を代入します。これにより、次元（単位）のチェックができ、計算ミスの発見が容易になります。
• 「和分の積」の活用:
  • 2つの抵抗の並列合成は、通分計算の手間とミスを減らすために、\(\frac{1}{R} = \dots\) ではなく \(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) を積極的に使いましょう。
• 大小関係のチェック:
  • 計算結果が出たら、必ず直感的なチェックを行います。「直列合成抵抗は、元のどの抵抗よりも大きくなるはず」「並列合成抵抗は、元のどの抵抗よりも小さくなるはず」という原則を満たしているか確認するだけで、多くのミスを防げます。例えば、\(2r\) と \(r\) の並列合成が \(r\) より大きくなっていたら、その時点で間違いに気づけます。

492 抵抗の発熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ジュール熱による液体の温度上昇」です。電気エネルギーが熱エネルギーに変換され、それが物質の温度を上昇させるというエネルギー保存のプロセスを定量的に扱う力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは「電気エネルギー」と「熱エネルギー」のそれぞれの式を思い出します。
問題文に「発生したジュール熱は、すべて液体の温度上昇に使われる」とあるので、これら2つのエネルギー量が等しいという式（エネルギー保存則）を立てるのが出発点です。
求めたいのは「グラフの傾き」です。図3のグラフは縦軸が温度 \(T\)、横軸が時間 \(t\) なので、傾きは \(\frac{\text{温度変化}}{\text{時間}}\) です。
この設問における重要なポイント

• ジュール熱の公式: \(Q = IVt = I^2Rt = \frac{V^2}{R}t\)。今回は \(V\) と \(R\) が与えられているので \(\frac{V^2}{R}t\) を使います。
• 熱量の公式: \(Q = mc\Delta T\)。
• グラフの傾きの定義: 直線グラフにおいて、傾き \(a\) は以下のように表されます。
  $$ a = \frac{y\text{の変化量}}{x\text{の変化量}} $$
  ここでは \(\frac{T_1 – T_0}{t_f}\) です。

具体的な解説と立式
まず、時間 \(0\) から \(t_f\) までの間に導体で発生するジュール熱 \(Q_1\) を求めます。
電圧 \(V\)、抵抗 \(R\)、時間 \(t_f\) を用いると、
$$ Q_1 = \frac{V^2}{R} t_f \quad \cdots ① $$
次に、この熱によって液体の温度が \(T_0\) から \(T_1\) まで上昇したときの、液体が得た熱量 \(Q_2\) を求めます。
質量 \(m\)、比熱 \(c\)、温度変化 \(T_1 – T_0\) を用いると、
$$ Q_2 = mc(T_1 – T_0) \quad \cdots ② $$
発生した熱はすべて温度上昇に使われたので、\(Q_1 = Q_2\) が成り立ちます。
$$ \frac{V^2}{R} t_f = mc(T_1 – T_0) $$
求めたいのは、図3のグラフの傾きです。
グラフは原点（時刻 \(0\)、温度 \(T_0\)）と点（時刻 \(t_f\)、温度 \(T_1\)）を通る直線なので、その傾き \(a\) は、
$$ a = \frac{T_1 – T_0}{t_f} $$
先ほどの等式を変形して、この形を作ります。

等式の両辺を \(t_f\) と \(mc\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{V^2}{R} t_f &= mc(T_1 – T_0) \\[2.0ex] \frac{V^2}{mcR} &= \frac{T_1 – T_0}{t_f}
\end{aligned}
$$
左辺と右辺を入れ替えると、
$$ \frac{T_1 – T_0}{t_f} = \frac{V^2}{mcR} $$

電気ヒーターで水を温める場面を想像してください。
「ヒーターが出した熱パワー」と「水が受け取って温度が上がった分」はイコールになります。
ヒーターのパワーは電圧の2乗に比例し、抵抗に反比例します（\(\frac{V^2}{R}\)）。
一方、水の温度の上がりやすさは、水の量（質量 \(m\)）と温まりにくさ（比熱 \(c\)）で決まります。
これらをイコールで結んで、「1秒あたり何度上がるか（＝グラフの傾き）」を計算しました。

グラフの傾きは \(\frac{V^2}{mcR}\) です。
電圧 \(V\) が大きいほど傾き（温度上昇の速さ）は大きくなり、液体の量 \(m\) や比熱 \(c\) が大きいほど傾きは小さくなります。これは直感的に正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
導体の形状が変わると、抵抗値 \(R\) が変化します。
まずは新しい抵抗値 \(R’\) が元の抵抗値 \(R\) の何倍になるかを計算します。
次に、その新しい抵抗値 \(R’\) を(1)で求めた傾きの式に代入し、新しい傾きが元の傾きの何倍になるかを求めます。
最後に、その傾きを持つ直線をグラフに描きます。
この設問における重要なポイント

• 抵抗の公式: \(R = \rho \frac{L}{S}\)。抵抗は長さに比例し、断面積に反比例する。
• (1)の結果より、グラフの傾きは抵抗 \(R\) に反比例する（傾き \(\propto \frac{1}{R}\)）。

具体的な解説と立式
元の導体の抵抗を \(R\)、長さを \(L\)、断面積を \(S\)、抵抗率を \(\rho\) とします。
$$ R = \rho \frac{L}{S} $$
新しい導体の抵抗を \(R’\) とします。長さは \(3L\)、断面積は \(2S\) です。
$$ R’ = \rho \frac{3L}{2S} $$
これより、\(R’\) と \(R\) の関係を求めます。
$$
\begin{aligned}
R’ &= \frac{3}{2} \left( \rho \frac{L}{S} \right) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} R
\end{aligned}
$$
次に、新しいグラフの傾き \(a’\) を求めます。(1)の式 \(a = \frac{V^2}{mcR}\) の \(R\) を \(R’\) に置き換えます。
$$ a’ = \frac{V^2}{mcR’} $$

\(a’\) の式に \(R’ = \frac{3}{2}R\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
a’ &= \frac{V^2}{mc \left( \frac{3}{2}R \right)} \\[2.0ex] &= \frac{2}{3} \times \frac{V^2}{mcR}
\end{aligned}
$$
元の傾き \(a = \frac{V^2}{mcR}\) と比較すると、
$$ a’ = \frac{2}{3} a $$
つまり、新しいグラフの傾きは、元のグラフの傾きの \(\frac{2}{3}\) 倍になります。
元のグラフでは、時刻 \(t_f\) で温度が \(T_1\) に達していました。温度上昇量は \(T_1 – T_0\) です。
新しいグラフでは、時刻 \(t_f\) での温度上昇量が元の \(\frac{2}{3}\) 倍になります。
図3のグリッドを見ると、\(T_1 – T_0\) はちょうど3目盛り分です。
したがって、新しい温度上昇量は \(3 \text{目盛り} \times \frac{2}{3} = 2 \text{目盛り}\) 分となります。
よって、時刻 \(t_f\) における温度 \(T_2\) は、\(T_0\) から2目盛り上がった位置になります。

まず、ヒーターの形が変わったことで抵抗がどうなったかを計算します。
長さが3倍で通りにくくなり、太さが2倍で通りやすくなったので、トータルでは \(\frac{3}{2}\) 倍通りにくく（抵抗が大きく）なりました。
抵抗が大きくなると、流れる電流が減ってパワー（発熱量）が落ちます。パワーは抵抗に反比例するので、抵抗が \(\frac{3}{2}\) 倍になると、パワーは \(\frac{2}{3}\) 倍になります。
パワーが \(\frac{2}{3}\) 倍なら、温度が上がるスピード（傾き）も \(\frac{2}{3}\) 倍です。
元のグラフが3マス上がっていたので、今度はその \(\frac{2}{3}\) の2マス分だけ上がる直線を引けばOKです。

新しいグラフは、原点 \((0, T_0)\) を通り、時刻 \(t_f\) で \(T_0\) より2目盛り上の点を通る直線です。
抵抗が増えたため発熱が減り、温度上昇が緩やかになるという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気エネルギーと熱エネルギーの変換・保存
  • 核心: 電気回路で消費されるエネルギー（ジュール熱）が、物質の内部エネルギー（温度上昇）に変換されるというエネルギー保存則の適用です。
  • 理解のポイント:
    • ジュール熱の公式: \(Q = IVt = \frac{V^2}{R}t = I^2Rt\) の3つの形を自在に使い分けること。今回は電圧 \(V\) と抵抗 \(R\) が与えられているので \(\frac{V^2}{R}t\) を選びます。
    • 熱量の公式: \(Q = mc\Delta T\)（または \(Q = C\Delta T\)）。質量 \(m\) と比熱 \(c\) の積が熱容量 \(C\) であることを理解します。
    • 等式の立式: 「発生した熱」＝「吸収された熱」というシンプルな等式がすべての出発点です。
• 抵抗の形状依存性
  • 核心: 抵抗値 \(R\) が導体の材質（抵抗率 \(\rho\)）と形状（長さ \(L\)、断面積 \(S\)）によって決まること（\(R = \rho \frac{L}{S}\)）を理解し、形状変化に伴う抵抗値の変化を計算できることです。
  • 理解のポイント:
    • 長さ \(L\): 長いほど電子が衝突する回数が増えるため、抵抗は大きくなる（比例）。
    • 断面積 \(S\): 太いほど電子の通り道が広がるため、抵抗は小さくなる（反比例）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 湯沸かしポットの沸騰時間: 水の量やヒーターの抵抗値が変わったとき、沸騰するまでの時間がどう変わるかを問う問題。本問の(1)の式変形で \(t\) について解けば対応できます。
  • 送電線の電力損失: 送電線の抵抗によるジュール熱損失を計算する問題。\(P = I^2R\) を用いて、電圧を高くすると電流が減り損失が減ることを導きます。
  • ヒューズの溶断: 電流が大きすぎるとジュール熱で金属が溶ける現象。熱の発生と放熱のバランスを考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの移動元と移動先を特定する: 「何が熱を出しているか（電気抵抗、摩擦など）」と「何が熱を受け取っているか（水、金属容器、空気など）」を明確にします。
  2. 与えられた物理量に合わせて公式を選ぶ: 電圧 \(V\) 一定なら \(P = \frac{V^2}{R}\)、電流 \(I\) 一定なら \(P = I^2R\) を使います。ここを間違えると、抵抗が増えたときに発熱が増えるか減るかの結論が逆になってしまいます。
  3. グラフの傾きの意味を考える: 縦軸と横軸の物理量を確認し、傾きが何を表しているか（本問では温度上昇速度）を数式で表現します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電力の公式選択ミス:
  • 誤解: 「抵抗が大きいほど発熱が大きい」と単純に思い込み、\(P = I^2R\) だけを考えてしまう。
  • 対策: 電圧源（電池）がつながっている場合は電圧 \(V\) が一定なので、\(P = \frac{V^2}{R}\) を使い、「抵抗が大きいほど発熱は小さい（電流が流れにくくなるから）」と判断します。逆に、直列回路などで電流 \(I\) が一定の場合は \(P = I^2R\) が有効です。
• 抵抗の形状変化の計算ミス:
  • 誤解: 断面積が2倍になると抵抗も2倍になる、あるいは半径が2倍になると断面積は2倍（実際は4倍）になる、といった勘違い。
  • 対策: \(R \propto \frac{L}{S}\) の関係を常に書き出し、分母・分子のどちらが変わるかを慎重に代入します。特に「半径」と「断面積」の違いには要注意です。
• 単位時間あたりの量と総量の混同:
  • 誤解: 仕事率（W）と仕事（J）、あるいは温度上昇率（K/s）と温度上昇（K）を取り違える。
  • 対策: 単位を確認する癖をつけましょう。また、別解のように「1秒あたり」で考える思考法を身につけると、時間 \(t\) の扱いミスが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（ジュール熱と熱容量）:
  • 選定理由: 電気的な発熱と温度上昇を結びつける問題なので、それぞれのエネルギーを表す公式が必要です。
  • 適用根拠:
    • 電気側: 電圧 \(V\) と抵抗 \(R\) が既知なので、\(Q = \frac{V^2}{R}t\) が最適です。
    • 熱側: 質量 \(m\) と比熱 \(c\) が既知なので、\(Q = mc\Delta T\) が最適です。
    • これらを等号で結ぶ根拠は、問題文の「発生したジュール熱は、すべて液体の温度上昇に使われる」という記述（エネルギー保存則）です。
• 問(2)での公式選択（抵抗の公式）:
  • 選定理由: 導体の「長さ」と「断面積」が変化したときの抵抗値を知りたいので、抵抗の形状依存性を表す公式が必要です。
  • 適用根拠: 導体の材質（抵抗率 \(\rho\)）は変わらず、幾何学的な形状のみが変わるため、\(R = \rho \frac{L}{S}\) を用いて比率計算を行います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比例・反比例の感覚を持つ:
  • いちいち数値を代入して計算するのではなく、「抵抗が \(\frac{3}{2}\) 倍になったから、分母にある \(R\) が \(\frac{3}{2}\) 倍になり、全体は \(\frac{2}{3}\) 倍になる」といった倍率計算（スケーリング）で処理すると、計算ミスが激減し、スピードも上がります。
• グラフの目盛りを読む:
  • (2)で「\(\frac{2}{3}\) 倍」という数値が出たら、すぐにグラフの目盛りを確認します。「元の変化が3目盛りだから、その \(\frac{2}{3}\) は2目盛りだ」と、具体的な整数値に落とし込むことで、作図のミスを防げます。
• 極端なケースで検算:
  • もし抵抗 \(R\) が無限大（断線）になったらどうなるか？ \(\frac{V^2}{R}\) は0になり、温度は上がらない（傾き0）。これは式の結果と一致します。逆に抵抗が0（短絡）なら発熱は無限大。こうした極限の振る舞いを想像することで、式の形（\(R\) が分母か分子か）の正しさをチェックできます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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