プロセス
1 単振動の周期
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振動の周期と振動数の関係」です。それぞれの物理量の定義に立ち返って考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 周期 \(T\) の定義: \(1\)回の振動にかかる時間。
- 振動数 \(f\) の定義: \(1\)秒間あたりの振動の回数。
- 周期 \(T\) と振動数 \(f\) の関係式: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\)。
- 有効数字の考え方。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文の情報から、まず振動数 \(f\) を計算する。
- 振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係式を用いて、周期 \(T\) を求める。
- 計算結果を有効数字\(2\)桁で答える。
思考の道筋とポイント
単振動の基本的な性質を問う問題です。「\(1.0\)\(\text{s}\) 間に\(20\)回振動する」という情報が何を表しているかを正確に読み取ることが第一歩です。これは「\(1\)秒あたりの振動回数」、すなわち「振動数 \(f\)」を直接与えていると解釈できます。求める量は「\(1\)回の振動に要する時間」、すなわち「周期 \(T\)」です。振動数と周期が互いに逆数の関係にあることを理解していれば、すぐに計算できます。問題文の数値「\(1.0\)\(\text{s}\)」「\(20\)回」の有効数字にも注意が必要です。\(1.0\)は\(2\)桁、\(20\)は整数で回数を表しているので、計算結果は\(1.0\)に合わせて\(2\)桁で答えるのが適切です。
この設問における重要なポイント
- 周期 \(T\) [\(\text{s}\)]: \(1\)回の完全な振動（例えば、おもりが元の位置に戻り、同じ向きに運動を始めるまで）にかかる時間。単位は秒 [\(\text{s}\)]。
- 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: \(1\)秒間に振動する回数。単位はヘルツ [\(\text{Hz}\)]。\(1\) \(\text{Hz}\) は\(1\)秒間に\(1\)回振動することを意味します。
- 関係式: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\) または \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。周期と振動数は互いに逆数の関係にあります。この関係は波の分野でも非常に重要になります。
具体的な解説と立式
まず、問題文から振動数 \(f\) を求めます。
振動数の定義は「\(1\)秒間あたりの振動の回数」です。
問題文には「\(1.0\)\(\text{s}\) 間に\(20\)回振動する」とあるので、\(1\)秒あたりの振動回数は\(20\)回です。
したがって、振動数 \(f\) は、
$$
f = 20 \, [\text{Hz}]
$$
次に、求めたい量である周期 \(T\)（\(1\)回の振動に要する時間）を計算します。
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には以下の関係式が成り立ちます。
$$
T = \displaystyle\frac{1}{f} \quad \cdots ①
$$
使用した物理公式
- 振動数の定義: \(f = \displaystyle\frac{\text{振動回数}}{\text{かかった時間}}\)
- 周期と振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\)
「具体的な解説と立式」で立てた式①に、求めた振動数 \(f\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \displaystyle\frac{1}{20} \\[2.0ex]
&= 0.050 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
問題文の「\(1.0\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁であるため、答えも有効数字\(2\)桁で表現します。
\(0.050\) を指数形式で表すと \(5.0 \times 10^{-2}\) となります。
$$
T = 5.0 \times 10^{-2} \, [\text{s}]
$$
「\(1.0\)秒で\(20\)回振動する」ということは、\(20\)回の振動をひとまとめにして、その全体にかかる時間が\(1.0\)秒だということです。
知りたいのは「\(1\)回分の振動にかかる時間」です。
これは、全体の時間 \(1.0\)秒を、回数の\(20\)回で割り算すれば求まります。
ちょうど、\(20\)個で\(100\)円のお菓子があったら、\(1\)個あたりの値段は \(100 \div 20 = 5\)円と計算するのと同じ考え方です。
なので、\(1.0 \div 20 = 0.050\) となり、\(1\)回あたり \(0.050\)秒かかることが分かります。
思考の道筋とポイント
このアプローチでは、振動数という中間的な概念を考えずに、周期の定義に直接立ち返って立式します。周期 \(T\) は「\(1\)回の振動に要する時間」です。問題文の「\(1.0\)\(\text{s}\) 間に\(20\)回振動する」という情報を、「\(20\)回の振動に \(1.0\)\(\text{s}\) かかる」と読み替えます。ここから、単純な比例計算（割り算）によって \(1\)回あたりの時間を求めることができます。この方法は物理的な定義に忠実で、直感的に理解しやすいです。
この設問における重要なポイント
- 周期 \(T\) の定義の再確認: 周期とは、\(1\)サイクルあたりの時間 [\(\text{s}\)/\(\text{回}\)] であることを強く意識します。
- 問題文の情報の整理: 「\(1.0\)\(\text{s}\)」という総時間と、「\(20\)回」という総回数を対応付けて考えます。
- 単位の意識: 計算結果の単位が [\(\text{s}\)] になることを確認します。 (\(\text{時間}\)) \(\div\) (\(\text{回数}\)) なので、単位は [\(\text{s}\)/\(\text{回}\)] となり、\(1\)回あたりの時間、すなわち周期の単位 [\(\text{s}\)] と一致します。
具体的な解説と立式
周期 \(T\) の定義は「\(1\)回の振動に要する時間」です。
問題文より、\(20\)回の振動に要する時間が \(1.0\)\(\text{s}\) であることがわかります。
したがって、\(1\)回の振動に要する時間 \(T\) は、総時間を振動回数で割ることで求められます。
$$
T = \displaystyle\frac{\text{かかった時間}}{\text{振動回数}} \quad \cdots ②
$$
使用した物理公式
- 周期の定義: \(T = \displaystyle\frac{\text{かかった時間}}{\text{振動回数}}\)
「具体的な解説と立式」で立てた式②に、問題文の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \displaystyle\frac{1.0 \, [\text{s}]}{20 \, [\text{回}]} \\[2.0ex]
&= 0.050 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
問題文の「\(1.0\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁であるため、答えも有効数字\(2\)桁で表現します。
$$
T = 5.0 \times 10^{-2} \, [\text{s}]
$$
この問題は、「\(20\)個のケーキを食べるのに\(1.0\)秒かかったとき、\(1\)個のケーキを食べるのに何秒かかりますか？」という質問と全く同じです。
全体の時間（\(1.0\)秒）を全体の個数（\(20\)回）で割れば、\(1\)個あたりの時間が出てきます。
\(1.0 \div 20 = 0.050\) なので、答えは \(0.050\)秒です。物理用語を使わなくても、日常の感覚で解くことができます。
2 単振動の振動数
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振動の周期と振動数の関係」です。それぞれの物理量の定義に立ち返って考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 周期 \(T\) の定義: \(1\)回の振動にかかる時間。
- 振動数 \(f\) の定義: \(1\)秒間あたりの振動の回数。
- 周期 \(T\) と振動数 \(f\) の関係式: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。
- 有効数字の考え方。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた周期 \(T\) の値を確認する。
- 周期 \(T\) と振動数 \(f\) の関係式を用いて、振動数 \(f\) を求める。
- 計算結果を有効数字\(2\)桁で答える。
思考の道筋とポイント
周期 \(T\) が与えられ、振動数 \(f\) を求める問題です。周期と振動数が互いに逆数の関係にあること、すなわち \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) という関係式を理解しているかが問われます。この関係式に与えられた周期の値を代入するだけで答えが求まります。また、問題文の数値「\(0.20\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁であるため、計算結果もそれに合わせて有効数字\(2\)桁で表現する必要があります。
この設問における重要なポイント
- 周期 \(T\) [\(\text{s}\)]: \(1\)回の振動にかかる時間。
- 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: \(1\)秒間に振動する回数。
- 関係式: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。この式は、周期が短い（\(1\)回の振動にかかる時間が短い）ほど、\(1\)秒間にたくさんの回数振動できる（振動数が大きい）という直感的な物理的イメージと一致します。
具体的な解説と立式
問題文より、単振動の周期 \(T\) は \(0.20\)\(\text{s}\) です。
求めたい量は振動数 \(f\) です。
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には以下の関係式が成り立ちます。
$$
f = \displaystyle\frac{1}{T} \quad \cdots ①
$$
使用した物理公式
- 周期と振動数の関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
「具体的な解説と立式」で立てた式①に、問題文で与えられた周期 \(T = 0.20 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \displaystyle\frac{1}{0.20} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{1}{2.0 \times 10^{-1}} \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 10^{1} \\[2.0ex]
&= 5.0 \, [\text{Hz}]
\end{aligned}
$$
問題文の「\(0.20\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁なので、答えも有効数字\(2\)桁で \(5.0 \, \text{Hz}\) となります。
「周期が \(0.20\)秒」というのは、「\(1\)回振動するのに \(0.20\)秒かかる」という意味です。
ここで知りたいのは、「じゃあ、\(1\)秒間では何回振動できるの？」ということです。
これは、\(1\)秒という時間を、\(1\)回あたりにかかる時間（\(0.20\)秒）で割り算すれば求まります。
例えば、「\(1\)個のパンを食べるのに \(0.20\)分かかる人が、\(1\)分間で何個のパンを食べられるか？」という問題と同じ考え方です。
計算は \(1 \div 0.20 = 5\) となります。つまり、\(1\)秒間に\(5\)回振動できるということです。物理では有効数字を考えて \(5.0\)回とし、単位をつけて \(5.0 \, \text{Hz}\) と答えます。
思考の道筋とポイント
振動数の定義である「\(1\)秒あたりの振動回数」に立ち返り、比例関係を用いて解く方法です。公式 \(f=1/T\) を暗記していなくても、物理量の定義から直接答えを導き出すことができます。「\(1\)回の振動」と「それに要する時間（周期）」のペアと、「求めたい回数 \(f\)」と「その基準時間（\(1\)秒）」のペアで比例式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 比例式の立て方:
(量1) : (対応する値1) = (量2) : (対応する値2)という関係を正しく設定することが重要です。 - 振動数 \(f\) の物理的意味: \(1\)秒間に振動する回数。
- 周期 \(T\) の物理的意味: \(1\)回振動するのにかかる時間。
具体的な解説と立式
周期が \(0.20\)\(\text{s}\) ということは、「\(1\)回の振動に \(0.20\)\(\text{s}\) かかる」ことを意味します。
求めたい振動数 \(f\) は、「\(1\)\(\text{s}\) 間に \(f\) 回振動する」ことを意味します。
「振動回数」と「かかった時間」は比例関係にあるので、以下の比例式を立てることができます。
$$
1 \, [\text{回}] : 0.20 \, [\text{s}] = f \, [\text{回}] : 1 \, [\text{s}]
$$
使用した物理公式
- 比例式の関係
比例式の「内項の積 = 外項の積」の性質を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
0.20 \times f &= 1 \times 1 \\[2.0ex]
f &= \displaystyle\frac{1}{0.20} \\[2.0ex]
&= 5.0 \, [\text{Hz}]
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して \(f = 5.0 \, \text{Hz}\) となります。この結果は、\(f=1/T\) の公式を用いた場合と当然一致します。
「\(1\)個のリンゴを食べるのに \(0.20\)秒かかる」とします。
では、「\(1\)秒間では何個のリンゴが食べられますか？」というのがこの問題です。
\(0.20\)秒で\(1\)個、\(0.40\)秒で\(2\)個、…と順番に考えていくと、\(1\)秒では \(1 \div 0.20 = 5\)個食べられることがわかります。
この「\(1\)秒あたりに食べられるリンゴの個数」が、物理でいう「振動数」にあたります。
3 波のグラフの読み取り
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「波のグラフ（\(y-x\)グラフ）の読み取り」です。グラフから波の基本的な物理量を読み取る方法を学びます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- \(y-x\)グラフの意味の理解：ある瞬間の波の形（スナップショット）を表す。
- 振幅 \(A\) の定義：振動の中心からの変位の最大値。
- 波長 \(\lambda\) の定義：波形が1サイクル繰り返すのに必要な長さ。
- グラフの縦軸と横軸がそれぞれ何を表しているかを確認する。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- グラフの縦軸（変位 \(y\)）に注目し、振動の中心（\(y=0\)）からの最大値を見つけて振幅を求める。
- グラフの横軸（位置 \(x\)）に注目し、波形がちょうど一回分繰り返される長さを読み取って波長を求める。
思考の道筋とポイント
波の問題では、まず与えられたグラフが何を表しているかを確認することが最も重要です。この問題のグラフは、縦軸が変位 \(y\)、横軸が位置 \(x\) の「\(y-x\)グラフ」です。これは、ある瞬間の波の形を写真に撮ったものだとイメージすると分かりやすいです。
「振幅」は、波の高さそのものではなく、振動の中心（\(x\)軸）から最も離れた点（山または谷）までの距離を指します。グラフの \(y\) 軸の最大値または最小値の絶対値を見れば分かります。
「波長」は、波一つ分の長さです。グラフ上で同じ形の繰り返しが始まるまでの距離を読み取ります。例えば、「山の頂上から次の山の頂上まで」や「谷の底から次の谷の底まで」の水平距離が波長にあたります。あるいは、\(x=0\) から出発して、波が上下に一回振動して元の状態に戻るまでの水平距離を読み取っても構いません。
この設問における重要なポイント
- \(y-x\)グラフ: ある時刻 \(t\) における、各位置 \(x\) での媒質の変位 \(y\) を示したグラフ。波の「形」そのものを表します。
- 振幅 \(A\) [\(\text{m}\)]: 媒質の振動の中心（つりあいの位置、\(y=0\) の線）からの変位の最大値です。グラフの山の高さ、または谷の深さに相当します。
- 波長 \(\lambda\) [\(\text{m}\)]: 波が空間的に1周期分進む距離です。グラフ上では、同じ位相を持つ隣り合う2点間の距離（例：山と隣の山、谷と隣の谷の間の距離）として現れます。
具体的な解説と立式
この問題は、グラフから値を直接読み取るため、計算式を立てるというよりは定義に従って値を探すプロセスになります。
1. 振幅 \(A\) の求め方
振幅は、振動の中心（\(x\)軸）からの変位 \(y\) の最大値です。
グラフを見ると、変位 \(y\) の最大値は \(+0.30 \, \text{m}\)（山の頂上）、最小値は \(-0.30 \, \text{m}\)（谷の底）です。
したがって、振幅 \(A\) はその絶対値なので、
$$
A = 0.30 \, [\text{m}]
$$
となります。
2. 波長 \(\lambda\) の求め方
波長は、波形が1サイクルするのに必要な長さです。グラフからいくつかの方法で読み取れます。
- 方法1：谷と谷の間隔から読み取る
グラフには、\(x=1.0 \, \text{m}\) の位置に谷があり、その次の谷は \(x=5.0 \, \text{m}\) の位置にあります。この隣り合う谷と谷の水平距離が1波長です。
$$
\lambda = 5.0 \, [\text{m}] – 1.0 \, [\text{m}] = 4.0 \, [\text{m}]
$$ - 方法2：原点から1周期分を読み取る
\(x=0\) の点では、変位は \(0\) で、媒質はこの後マイナス方向（谷）へ動きます。波形を追っていくと、再び変位が \(0\) になり、媒質がマイナス方向へ動こうとするのは \(x=4.0 \, \text{m}\) の点です。この \(x=0\) から \(x=4.0 \, \text{m}\) までが波一つ分にあたります。
$$
\lambda = 4.0 \, [\text{m}]
$$
使用した物理公式
- 振幅の定義: \(A = |y_{\text{最大}}|\)
- 波長の定義: 1周期分の波の長さ
この問題はグラフの読み取りが主であり、計算過程は「具体的な解説と立式」で述べた引き算のみです。
- 振幅: グラフの \(y\) 軸の最大値から、\(A = 0.30 \, \text{m}\)。
- 波長: グラフの \(x\) 軸から、隣り合う谷の間隔を計算して、\(\lambda = 5.0 – 1.0 = 4.0 \, \text{m}\)。
波のグラフは、海に浮かぶ波を横からパシャリと撮った「写真」だと思ってください。
- 振幅: 「波の高さ」のことですが、物理では「穏やかな水面（\(x\)軸の線）から、波の一番てっぺん（山）までの高さ」を指します。グラフを見ると、一番高いところが \(0.30\) なので、振幅は \(0.30 \, \text{m}\) です。一番深い谷底までの深さも同じく \(0.30 \, \text{m}\) です。
- 波長: 「波の一区切り」の長さのことです。例えば、波の谷底から次の谷底までの長さを測れば、それが波長になります。グラフを見ると、最初の谷底は \(x=1.0\) の場所にあり、次の谷底は \(x=5.0\) の場所にあります。なので、その間の長さは \(5.0 – 1.0 = 4.0\) となり、波長は \(4.0 \, \text{m}\) だと分かります。
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4 波の基本式
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「波の基本式の適用」です。波の3要素である速さ、振動数、波長の関係を理解し、式を正しく使うことが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の速さ \(v\), 振動数 \(f\), 波長 \(\lambda\) の関係式（波の基本式）。
- 振動数 \(f\) の物理的意味（1秒あたりの振動回数）。
- 波長 \(\lambda\) の物理的意味（波1つ分の長さ）。
- 有効数字の処理。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた波長 \(\lambda\) と振動数 \(f\) の値を確認する。
- 波の基本式 \(v=f\lambda\) に値を代入して速さ \(v\) を計算する。
- 計算結果の有効数字を検討する。
