「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 14】基本例題～基本問題339

基本例題

基本例題45 横波の伝わり方

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「横波のグラフの読み取りと物理量の計算」です。波の形を表すグラフから、その波の基本的な性質（振幅、波長、速さなど）を読み解くための基礎が詰まった一問です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、波のグラフと問題文から読み取れる情報を整理し、基本的な公式に当てはめて未知の物理量を計算する、波の基本問題です。\(y-x\)グラフから直接読み取れる「振幅」と「波長」、そして問題文の状況設定から読み解く「周期」を正確に把握することが出発点となります。
この設問における重要なポイント

• 振幅 \(A\) は、振動の中心（\(y=0\)）から山（または谷）の頂点までの高さです。
• 波長 \(\lambda\) は、同じ形の繰り返し1つ分の水平方向の長さです。
• 問題文の「Oが単振動を始めて、\(0.40\,\text{s}\)後」の波形が、ちょうど1波長分（\(x=0\) から \(x=4.0\,\text{m}\) まで）描かれている点に注目します。これは、波が1波長進むのに \(0.40\,\text{s}\) かかったことを意味し、これがそのまま周期 \(T\) となります。

具体的な解説と立式
まず、グラフから振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を読み取ります。

• 振幅 \(A\): グラフの \(y\) 座標の最大値から、\(A = 0.20\,\text{m}\)
• 波長 \(\lambda\): グラフの1つの繰り返しパターンの長さから、\(\lambda = 4.0\,\text{m}\)

次に、問題文から周期 \(T\) を読み解きます。
原点Oが振動を始めてから \(t=0.40\,\text{s}\) で、波の先端が \(x=4.0\,\text{m}\) の位置にあります。波は1周期の時間 \(T\) で1波長の距離 \(\lambda\) を進みます。図の波はちょうど1波長分なので、波が伝わった時間は1周期に相当します。
したがって、周期 \(T\) は、
$$ T = 0.40\,\text{s} $$
最後に、これらの値を用いて振動数 \(f\) と波の速さ \(v\) を計算します。

• 振動数 \(f\): 周期 \(T\) との関係式は、
  $$ f = \frac{1}{T} $$
• 波の速さ \(v\): 振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) との関係式は、
  $$ v = f\lambda $$

• 振動数 \(f\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  f &= \frac{1}{0.40} \\[2.0ex]
  &= 2.5\,\text{Hz}
  \end{aligned}
  $$
• 波の速さ \(v\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  v &= f\lambda \\[2.0ex]
  &= 2.5 \times 4.0 \\[2.0ex]
  &= 10\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$

まず、グラフの見た目から、波の高さ（振幅）が \(0.20\,\text{m}\) で、波1個の長さ（波長）が \(4.0\,\text{m}\) であることを読み取ります。次に、問題文を読むと「\(0.40\) 秒でちょうど波が1個できた」と書いてあるので、波が1回揺れるのにかかる時間（周期）は \(0.40\,\text{s}\) だと分かります。あとは公式に当てはめるだけ。「振動数」は1秒間に揺れる回数のことなので、周期の逆数を計算して \(2.5\,\text{Hz}\)。「速さ」は「振動数×波長」で計算できるので、\(2.5 \times 4.0\) で \(10\,\text{m/s}\) と求まります。

振幅 \(A=0.20\,\text{m}\)、波長 \(\lambda=4.0\,\text{m}\)、振動数 \(f=2.5\,\text{Hz}\)、波の速さ \(v=10\,\text{m/s}\) と求まりました。
波の速さは、波が \(0.40\,\text{s}\) で \(4.0\,\text{m}\) 進んだことから、\(v = (\text{距離}) \div (\text{時間}) = 4.0 \div 0.40 = 10\,\text{m/s}\) と直接計算することもでき、結果が一致することから妥当であると確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
横波の重要な性質は、媒質そのものは波と一緒に進むのではなく、その場で上下（または前後）に振動するだけという点です。各点の媒質が次に「上」に動くか「下」に動くかを知るためには、波全体が少しだけ未来に進んだ様子を想像するのが最も簡単で確実な方法です。
この設問における重要なポイント

• 媒質の振動方向は、波の進行方向（この問題では \(+x\) 方向）と垂直な \(y\) 方向である。
• 振動の端、つまり変位が最大（山）または最小（谷）になる点では、媒質の速度は一瞬 \(0\) になる。
• 波を進行方向に少しだけずらした「微小時間後の波形」を描き、各点の \(y\) 座標がどちらに変化するかを調べる。

具体的な解説と立式
この波は \(+x\) 方向に進んでいます。そこで、図の波形（実線）を少しだけ右にずらした、微小時間後の波形（点線）を描き加えます。
（図は模範解答の指針にある図を参考にしてください）

この微小時間後の波形を見て、各点の媒質がどちらに動いたかを判断します。

• 点O (\(x=0\)):
  • 元の波形では \(y=0\) の位置にあります。微小時間後の波形を見ると、\(x=0\) の位置の変位は正の値になっています。したがって、点Oの媒質は上向きに動きます。
• 点a (\(x=1.0\)):
  • 谷の最も深い点です。単振動における折り返し点に相当するため、この瞬間、媒質の速度は \(0\) です。したがって、速さ0となります。
• 点b (\(x=2.0\)):
  • 元の波形では \(y=0\) の位置にあります。微小時間後の波形を見ると、\(x=2.0\) の位置の変位は負の値になっています。したがって、点bの媒質は下向きに動きます。
• 点c (\(x=3.0\)):
  • 山の最も高い点です。これも単振動における折り返し点なので、この瞬間の媒質の速度は \(0\) です。したがって、速さ0となります。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

波が、まるでパラパラ漫画のように少しだけ右に動いた瞬間を想像してみましょう。元の位置にいた媒質の人は、新しい波の形に合わせて動くはずです。

• O地点にいた人は、これから山がやってくるので、上に動きます。
• a地点にいた人は、谷の底にいるので、ちょうど折り返し地点です。一瞬だけ動きが止まります。
• b地点にいた人は、これから谷がやってくるので、下に動きます。
• c地点にいた人は、山のてっぺんにいるので、こちらも折り返し地点で、一瞬動きが止まります。

各点の速度の向きは、O: 上向き, a: 速さ0, b: 下向き, c: 速さ0 と求まりました。これは、媒質がその場で単振動している様子（中心付近で速く、端で止まる）と矛盾しておらず、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
波は、その形を保ったまま一定の速さで進むという性質があります。したがって、「ある時間後の波形」を問われたら、「その時間で波がどれだけの距離を進むか」を計算し、元の波形全体をその距離だけ平行移動させればよい、というシンプルな考え方で解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 経過時間 \(0.20\,\text{s}\) が、周期 \(T=0.40\,\text{s}\) のちょうど半分（半周期）であることに気づくこと。
• 波は1周期で1波長進むので、半周期では半波長だけ進む、という関係を理解していること。

具体的な解説と立式
(1)で求めたように、この波の周期は \(T=0.40\,\text{s}\)、波長は \(\lambda=4.0\,\text{m}\) です。
図の時刻から \(0.20\,\text{s}\) 後の波形を考えます。
経過時間 \(0.20\,\text{s}\) は、周期 \(T\) の半分です。
$$ \frac{0.20\,\text{s}}{T} = \frac{0.20}{0.40} = \frac{1}{2} $$
波は1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) 進むので、半周期 \(\frac{T}{2}\) の間には半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) だけ進みます。
進む距離を計算すると、
$$ \frac{\lambda}{2} = \frac{4.0\,\text{m}}{2} = 2.0\,\text{m} $$
したがって、図に示された波形全体を、波の進行方向である \(+x\) 方向に \(2.0\,\text{m}\) だけ平行移動したものが答えとなります。

（別のアプローチ）
波の速さ \(v=10\,\text{m/s}\) を使って、\(0.20\,\text{s}\) 間に進む距離 \(d\) を直接計算することもできます。
$$
\begin{aligned}
d &= v \times t \\[2.0ex]
&= 10\,\text{m/s} \times 0.20\,\text{s} \\[2.0ex]
&= 2.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
やはり、波形を \(+x\) 方向に \(2.0\,\text{m}\) 平行移動すればよいことが分かります。

（上記で計算済み）

この波が1回揺れるのにかかる時間（周期）は \(0.40\) 秒でした。問題では「\(0.20\) 秒後」の様子を聞かれているので、ちょうど周期の半分の時間が経った後のことですね。波は、周期の半分の時間で、波長の半分の距離を進みます。波長は \(4.0\,\text{m}\) だったので、その半分の \(2.0\,\text{m}\) だけ、波全体の形をそっくりそのまま右にスライドさせた絵を描けば、それが答えになります。

元の波形の \(x=0\) にあった部分は \(x=2.0\,\text{m}\) へ、\(x=2.0\,\text{m}\) にあった部分は \(x=4.0\,\text{m}\) へ、波の先端があった \(x=4.0\,\text{m}\) は \(x=6.0\,\text{m}\) へと移動します。このように特徴的な点を移動させて滑らかに結ぶことで、正しい波形を描くことができます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本性質のグラフからの読解
  • 核心: この問題の根幹は、波の一瞬を切り取ったスナップショットである \(y-x\) グラフから、波の持つ基本的な物理量（振幅、波長）を正確に読み取り、さらに問題文の情報（波の伝播時間）と組み合わせて、目に見えない物理量（周期、振動数、速さ）を導出する能力です。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\) グラフの意味: あくまで「ある時刻」における波の形であり、各媒質の位置（\(x\)）とその変位（\(y\)）の関係を示しています。このグラフから直接わかるのは空間的な情報（振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)）です。
    • 時間的情報の抽出: 時間的な情報（周期 \(T\)、振動数 \(f\)）は、\(y-x\) グラフだけでは分かりません。この問題では「原点Oが振動を始めてから \(0.40\,\text{s}\) 後に波の先端が \(x=4.0\,\text{m}\) に達した」という記述が、時間と空間を結びつける鍵となります。これにより、波が1波長 \(\lambda=4.0\,\text{m}\) 進むのにかかった時間が1周期 \(T=0.40\,\text{s}\) であると特定できます。
• 横波における媒質の運動の理解
  • 核心: 波はエネルギーと情報を伝えますが、媒質そのものは進行方向に移動しないという、波の最も基本的な性質を理解しているかどうかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 媒質の単振動: 横波の各媒質は、波の進行方向と垂直な方向に単振動しています。したがって、媒質の速度の向きは常に \(+y\) 方向か \(-y\) 方向（または速度 \(0\)）のいずれかです。
    • 速度の向きの判断法: 最も直感的で応用範囲が広いのが「微小時間後の波形を描く」方法です。波が少し進んだ未来を想像し、各媒質がどちらに動かざるを得ないかを視覚的に判断します。山の頂点や谷の底は、単振動の折り返し点にあたるため、速度が一瞬 \(0\) になることも重要なポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\) グラフが与えられる問題: ある特定の位置（例えば \(x=0\)）の媒質の時間的な揺れ方を示す \(y-t\) グラフが与えられることがあります。このグラフからは、振幅 \(A\) と周期 \(T\) を直接読み取ることができますが、波長 \(\lambda\) は直接分かりません。\(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの違いを明確に区別することが重要です。
  • 波の式 (\(y = A \sin(\omega t – kx)\) など) が与えられる問題: グラフの代わりに数式で波が表現される問題です。式の中の係数から振幅 \(A\)、角振動数 \(\omega\)、波数 \(k\) を読み取り、そこから \(T=2\pi/\omega\), \(\lambda=2\pi/k\), \(v=\omega/k\) などの関係式を使って各物理量を計算します。
  • 縦波の問題: 波の進行方向と媒質の振動方向が平行な波です。媒質の変位をグラフで表す場合、横波と同じように見えますが、媒質の「密」な部分と「疎」な部分を判断する問題など、縦波特有の考察が必要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはグラフの種類を確認する: 縦軸と横軸が何を表しているか（\(y-x\) グラフか \(y-t\) グラフか）を最初に確認します。これが全ての出発点です。
  2. グラフから直接読み取れる量を確定させる:
     • \(y-x\) グラフなら、振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\)。
     • \(y-t\) グラフなら、振幅 \(A\) と周期 \(T\)。
  3. 時間と空間を結びつける情報を探す: 問題文の中に、波の速さ \(v\) が直接与えられていたり、「\(t\) 秒後に波が \(d\) メートル進んだ」といった記述がないかを探します。これが、\(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの世界をつなぐ鍵となります。
  4. 媒質の速度を問われたら、波の進行方向を確認する: 媒質の速度の向きは、波がどちらに進んでいるか（\(+x\) 方向か \(-x\) 方向か）によって全く逆になります。問題文の指定や図の矢印を絶対に見落とさないようにします。
  5. 「微小時間後の波形」をイメージする: 媒質の速度の向きを判断する際の、最も確実で汎用的な思考ツールです。頭の中だけでなく、実際に問題用紙の図に薄く描き込んでみるとミスが減ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの混同:
  • 誤解: \(y-x\) グラフの横軸を時間だと勘違いして周期を読み取ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ず指差し確認で「縦軸は変位、横軸は位置」というように、軸の意味を声に出して確認する癖をつけましょう。
• 媒質が波と一緒に進むという誤解:
  • 誤解: 波が右に進むので、点bの媒質も右に進むと考えてしまう。
  • 対策: 「波は“形”や“状態”が伝わる現象であり、水面に浮かぶ葉っぱがその場で上下するだけのように、媒質自体は移動しない」という基本原則を常に念頭に置きましょう。横波なら上下振動、縦波なら前後振動です。
• 媒質の速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: 山に近い点は上に、谷に近い点は下に動くと直感で判断してしまう。例えば、点Oは谷に向かっているので下向きだと勘違いするなど。
  • 対策: 直感に頼らず、必ず「微小時間後の波形を描く」という機械的な手順を踏むことが最も確実です。この一手間を惜しまないことが、正解への近道です。あるいは、別解で示した数式 \(u_y = -v \frac{dy}{dx}\) を覚えておき、グラフの傾きから論理的に判断する方法も有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(f=1/T\), \(v=f\lambda\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「振動数 \(f\)」と「波の速さ \(v\)」です。これらは波の最も基本的な性質を表す量であり、それらを結びつけるのが波の基本公式 \(v=f\lambda\) です。また、振動数 \(f\) は周期 \(T\) の逆数として定義されているため、\(f=1/T\) も基本中の基本として選択されます。
  • 適用根拠: グラフと問題文から、波の空間的なスケールである波長 \(\lambda\) と、時間的なスケールである周期 \(T\) が特定できました。この2つの基本量が分かれば、\(f\) と \(v\) は定義式と基本式から一意に定まります。したがって、これらの公式を適用するのは論理的に必然です。
• (2)でのアプローチ選択（微小時間後の波形）:
  • 選定理由: 求めたいのは「媒質の速度の向き」という、瞬間の運動状態です。これは、その点の媒質が次の瞬間にどちらへ動くか、という未来予測の問題と捉えることができます。
  • 適用根拠: 波は形を保ったまま一定速度で進むため、「微小時間後の波形」は元の波形を少しだけ平行移動した形になります。ある特定の \(x\) 座標に注目したとき、元の波形での \(y\) 座標と、微小時間後の波形での \(y\) 座標を比較すれば、その媒質の変位の時間変化（つまり速度の向き）が分かります。これは、速度の定義（単位時間あたりの変位）に最も忠実で、直感的なアプローチと言えます。
• (2)別解でのアプローチ選択（\(u_y = -v \frac{dy}{dx}\)）:
  • 選定理由: 媒質の速度 \(u_y\) を、波の全体的な性質（速さ \(v\)）とその場の局所的な形状（傾き \(\frac{dy}{dx}\)）から求めたい場合に、この公式は直接的な関係を与えてくれます。視覚的なイメージングではなく、数学的な関係性から答えを導きたい場合に最適な選択です。
  • 適用根拠: この公式は、波の一般的な数式 \(y(x,t) = f(x-vt)\) を時間 \(t\) で偏微分することで導出される、普遍的な関係式です。したがって、正弦波に限らず、あらゆる進行波に対して適用することができます。問題で与えられた情報（\(v\) の向きとグラフの傾き）から、未知の量（\(u_y\) の向き）を論理的に導出するための根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認を徹底する:
  • グラフの軸に書かれている単位（[m]）を必ず確認しましょう。もし単位が [cm] であれば、計算前に [m] に直す必要があります。今回はその必要はありませんでしたが、常に意識する癖が大切です。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • (1)の振動数の計算で \(f = 1/0.40\) が出てきます。これを \(1/0.4\) と考えて \(10/4 = 2.5\) と落ち着いて計算しましょう。小数点の計算は、分数に直すとミスが減ることが多いです。
• 波の速さの検算:
  • (1)では \(v=f\lambda\) で速さを求めましたが、問題文の状況から「\(0.40\,\text{s}\) で \(4.0\,\text{m}\) 進んだ」ことが分かっているので、\(v = (\text{距離}) \div (\text{時間}) = 4.0 / 0.40 = 10\,\text{m/s}\) と直接計算することもできます。このように、異なる方法で計算して結果が一致するかを確認する（検算する）ことで、計算の信頼性が格段に上がります。
• 作図は大きく、丁寧に:
  • (2)や(3)のように作図が関わる問題では、フリーハンドで雑に描くと、特に媒質の速度の向きなどを誤って判断する原因になります。問題用紙の図が大きい場合はその上に、小さい場合はノートに大きく描き写し、定規などを使って丁寧に平行移動した波形を描くように心がけましょう。

基本例題46 縦波の横波表示

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示の解釈」です。空気の振動などを表す縦波は、そのまま図にすると非常に分かりにくいため、各点の変位を90度回転させて横波のように表示します。この特殊なグラフの意味を正しく理解し、実際の縦波の現象（密・疎、媒質の速度）と結びつける能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア) 最も密の部分, (イ) 最も疎の部分

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、一見すると横波に見えるグラフを、正しく縦波の物理現象に翻訳することです。グラフの縦軸の値が、媒質が「つり合いの位置から左右どちらに、どれだけズレたか」を表していることを理解することが出発点となります。各点のズレを矢印で可視化することで、媒質の混み具合（密度）が直感的に分かります。
この設問における重要なポイント

• グラフの縦軸が正の値 \(\rightarrow\) 媒質はつり合いの位置から右向き（\(+x\)方向）に変位。
• グラフの縦軸が負の値 \(\rightarrow\) 媒質はつり合いの位置から左向き（\(-x\)方向）に変位。
• 密な部分: 周囲の媒質が集まってくる場所。
• 疎な部分: 周囲の媒質が離れていく場所。

具体的な解説と立式
グラフから各点の変位の向きを読み取り、つり合いの位置からのズレを矢印で示します。（模範解答の指針の図を参照）

• 点a, c, e, g: 変位が \(0\) なので、ズレていない。
• 点b, f: 変位が正で最大なので、右向きに大きくズレている。
• 点d, h: 変位が負で最大なので、左向きに大きくズレている。

この変位の様子から、媒質の密度を考えます。

• (ア) 最も密の部分
  • 点c に注目すると、cの左側にある媒質（bなど）は右に変位し、cの右側にある媒質（dなど）は左に変位しています。つまり、点cに向かって両側から媒質が押し寄せてくる形になります。したがって、cは最も密な部分です。
  • 点g も同様に、左側のfは右に、右側のhは左に変位するため、gに媒質が集まってきて最も密になります。
• (イ) 最も疎の部分
  • 点a に注目すると、aの右側にある媒質（bなど）は右に変位し、aの左側にある媒質（図にはないが、前の波）は左に変位します。つまり、点aから両側へ媒質が離れていく形になります。したがって、aは最も疎な部分です。
  • 点e も同様に、左側のdは左に、右側のfは右に変位するため、eから媒質が遠ざかって最も疎になります。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

縦波は、満員電車の乗客が電車の揺れで「混む場所（密）」と「空く場所（疎）」を繰り返すようなものです。この問題のグラフは、各乗客が「右にどれだけずれたか（縦軸プラス）」、「左にどれだけずれたか（縦軸マイナス）」を示したものです。それぞれの人のズレを矢印で描いてみると、cさんとgさんの周りには人が集まってきて最も混雑し、aさんとeさんの周りからは人が離れていって最も空いていることがわかります。

最も密な部分はc, g、最も疎な部分はa, eと判断できました。重要なのは、変位が0の点が密または疎の中心になるということです。変位が最大の点（b, d, f, h）は、単に最も大きくズレているだけで、密・疎の中心ではありません。

問(ウ) 速度0の部分, (エ) 左向きの速度が最大になる部分

思考の道筋とポイント
波が伝わるとき、媒質はその場で単振動（行ったり来たりする動き）をしています。したがって、媒質の速度を考えるには、単振動の性質を当てはめればよいのです。ブランコの動きをイメージすると分かりやすいでしょう。
この設問における重要なポイント

• 単振動の性質:
  • 変位が最大（振幅の位置）のとき、速度は一瞬 \(0\) になる（ブランコの折り返し点）。
  • 変位が \(0\)（振動の中心）のとき、速度の大きさは最大になる（ブランコの最下点）。
• 速度の向きの判断: 波が進行方向（右向き）に少し進んだ「微小時間後の波形」を描き、各点の変位が次に正になるか負になるかを見る。

具体的な解説と立式

• (ウ) 速度0の部分
  • 媒質の速度が \(0\) になるのは、単振動の折り返し点、つまり変位が最大になるときです。
  • グラフ上で変位が最大になるのは、山の頂点である b, f と、谷の底である d, h です。これらの点では、媒質はそれぞれ右端、左端まで動いて一瞬静止します。
• (エ) 左向きの速度が最大になる部分
  • まず、速度の大きさが最大になるのは、変位が \(0\) の点です。候補は a, c, e, g となります。
  • 次に、これらの点での速度の向きを調べます。波は右に進んでいるので、微小時間後の波形を、元の波形から少し右にずらして描きます。
  • 点a: 微小時間後、変位は負の値になります。負の変位は「左向き」の動きを意味するので、点aは左向きに動きます。
  • 点c: 微小時間後、変位は正の値になります。正の変位は「右向き」の動きを意味するので、点cは右向きに動きます。
  • 点e: 微小時間後、変位は負の値になります。したがって、点eは左向きに動きます。
  • 点g: 微小時間後、変位は正の値になります。したがって、点gは右向きに動きます。
  • 以上から、速度が最大で、かつ左向きなのは a, e です。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

媒質の各点は、その場でブランコのように行ったり来たりしています。
(ウ) ブランコが一番高いところ（右端や左端）に来たとき、一瞬止まりますよね。それと同じで、変位が最大になる点b, d, f, hでは速度が \(0\) です。
(エ) ブランコが真ん中を通過するときが一番速いのと同じで、変位が \(0\) の点a, c, e, gで速度が最大になります。その中で「左向き」に動くのはどれか、波を少し右にずらしたパラパラ漫画を考えると、aとeがこれから左に動くタイミングであることがわかります。

媒質の運動を単振動として捉えることで、速度が0になる点と最大になる点を正しく判断できました。速度の向きは、横波のときと同様に「微小時間後の波形」を描く方法が有効です。

問(オ) aが1回振動し終わったとき、aから出た波が進んでいる点

思考の道筋とポイント
この設問は、波の基本的な定義である「周期」と「波長」の関係を理解しているかを問うものです。「1回の振動」という時間的な事象が、波の伝播という空間的な事象とどう結びつくかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 媒質が1回振動するのにかかる時間 \(=\) 1周期 \(T\)。
• 波が1周期 \(T\) の間に進む距離 \(= \) 1波長 \(\lambda\)。

具体的な解説と立式

1. 「点aが1回振動し終わったとき」とは、時間が 1周期 \(T\) だけ経過したことを意味します。
2. 波は、1周期 \(T\) の間に 1波長 \(\lambda\) だけ進みます。
3. したがって、この問題は「点aから1波長だけ進んだ点はどこか？」という問いと同じです。
4. グラフを見ると、波の1つの繰り返しパターン（1波長）は、aからeまでの区間に相当します。
5. よって、aから出た波は、1周期後には点 e に到達しています。

（計算はありません）

a地点の人が1回だけ「行って、戻って」くる振動を終えるのにかかる時間を「1周期」と言います。波には、「1周期の間に、ちょうど波1個分（1波長）進む」という大事なルールがあります。グラフで波1個の長さを見てみると、aからeまでがちょうど1個分ですね。なので、aからスタートした波は、aの人が1回振動し終わったときには、e地点に到着している、というわけです。

周期と波長の定義から、答えはeと明確に求まります。これは波の最も基本的な性質の一つです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示の正確な解釈
  • 核心: この問題の根幹は、縦波という物理現象を表現するために考案された「横波表示」という抽象的なグラフを、実際の媒質の物理的な動き（左右への変位）に正確に翻訳できる能力です。グラフの縦軸の正負が、実際の変位の向き（この問題では右/左）に対応していることを理解することが全ての始まりです。
  • 理解のポイント:
    • 変位の翻訳: グラフの山（正の変位最大）は「最も右にズレた点」、谷（負の変位最大）は「最も左にズレた点」を意味します。この翻訳作業が第一歩です。
    • 密・疎と変位の関係: 「密」や「疎」は、媒質の「集まり具合」を表す言葉です。これは個々の媒質の変位そのものではなく、変位の空間的な変化（グラフの傾き）によって決まります。具体的には、変位が0で、かつ周りから媒質が集まってくる点（変位グラフの傾きが負）が「密」、逆に変位が0で周りへ媒質が散っていく点（変位グラフの傾きが正）が「疎」となります。変位が最大の点が密・疎になるわけではない、という点が最重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縦波の圧力変動グラフ: 縦波の変位グラフから、圧力（または密度）の変動グラフを描かせる問題。媒質が最も密な点（c, g）が圧力最大、最も疎な点（a, e）が圧力最小となり、変位のグラフとは位相が4分の1波長ずれたグラフになります。
  • 音波の定常波（気柱の共鳴）: 開管や閉管の中の音波（縦波）の定常波を考える問題。変位が最も大きくなる「腹」と、全く動かない「節」の位置を考えます。このとき、変位の腹は圧力の節に、変位の節は圧力の腹に対応するという関係性が重要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず、グラフが「変位」を表していることを確認する: 縦波の問題では、グラフの縦軸が「変位」なのか「圧力」なのかで解釈が全く異なります。まずここを確認します。
  2. 変位の向きを定義する: 進行方向（右向き）への変位を正とするのが一般的です。グラフの縦軸の正負が、どちら向きの変位に対応するかを最初に明確にしましょう。
  3. 密・疎を判断する方法を確立する:
     • 基本は「各点の変位を矢印で図示し、集まり具合を見る」方法です。時間はかかりますが確実です。
     • 慣れてきたら「変位グラフの傾きが負で密、正で疎」という関係を使い、素早く判断します。
  4. 媒質の速度は単振動で考える: 速度が0になるのは変位が最大の点（山・谷）、速度が最大になるのは変位が0の点、という単振動の基本性質を機械的に適用します。
  5. 速度の向きは「微小時間後の波形」で判断する: これは横波でも縦波でも使える万能テクニックです。波を進行方向に少しずらして、各点の変位が次に正負どちらに変化するかを見ます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位最大の点を「密」または「疎」と誤解する:
  • 誤解: 点b（右への変位最大）が最も密、点d（左への変位最大）が最も疎、などと考えてしまう。
  • 対策: 「密・疎」は密度の話であり、変位の話ではないことを明確に区別しましょう。「密」は周りから集まってくる場所、「疎」は周りへ散っていく場所です。変位が0の点cは、左の媒質(b)が右に、右の媒質(d)が左に動くことで挟まれており、集まってくる中心点である、と正しく理解することが重要です。
• 変位0の点をすべて同じ状態だと考える:
  • 誤解: a, c, e, gはすべて変位0だから、物理的な状態も同じだと考えてしまう。
  • 対策: 変位が0でも、その点の周りの状況は全く異なります。a, eは周りの媒質が離れていく「疎」な点であり、c, gは集まってくる「密」な点です。また、速度の向きもa, eは左向き、c, gは右向きで逆になっています。
• グラフの見た目に惑わされて横波と勘違いする:
  • 誤解: グラフの山（b）の媒質は上に、谷（d）の媒質は下に動くと考えてしまう。
  • 対策: 問題文をよく読み、「縦波を、横波のように表したもの」という大前提を常に意識しましょう。グラフの縦軸はあくまで「x軸方向の変位」であり、y軸方向の動きではないことを自分に言い聞かせることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア)(イ)でのアプローチ選択（変位の図示）:
  • 選定理由: 「密」「疎」という言葉は、媒質の「密度」という物理的な状態を表します。この状態を最も直感的に理解する方法は、各媒質が実際にどう動いているか（変位しているか）を視覚化することです。
  • 適用根拠: 横波表示グラフは、各媒質の変位という情報を持っています。この情報を、実際のx軸上の変位の矢印に翻訳して図示することで、媒質の集まり具合、すなわち密度の状態を直接的に観察できます。これは定義に最も忠実なアプローチです。
• (ウ)(エ)でのアプローチ選択（単振動の性質と微小時間後の波形）:
  • 選定理由: 求めたいのは媒質の「速度」です。波の媒質は単振動しているので、その速度の性質は単振動の法則に従います。
  • 適用根拠:
    • 速度の大きさ: 単振動では、変位が最大の点で速度が0、変位が0の点で速度が最大になります。この普遍的な法則を適用することで、速度が0の点と最大になる点を特定できます。
    • 速度の向き: 速度の向きは、次の瞬間にどちらへ変位するかで決まります。波は形を保ったまま進むので、「微小時間後の波形」を考えることで、次の瞬間の変位を予測できます。これは速度の定義（時間変化）に基づいた、論理的で確実な方法です。
• (オ)でのアプローチ選択（周期と波長の定義）:
  • 選定理由: 「1回振動」という時間的な事象と、「波が進む」という空間的な事象の関係が問われています。この二つを結びつけるのが「周期」と「波長」の定義そのものです。
  • 適用根拠: 波の定義により、「媒質が1回振動する時間（=1周期）」の間に「波は波形1つ分（=1波長）進む」。この根源的な定義を適用すれば、答えは自明です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変位の矢印を丁寧に描く:
  • (ア)(イ)を解く際に、各点の変位の矢印を、グラフの真下に丁寧に描きましょう。矢印の向き（右か左か）と大きさ（変位の大きさに比例）を意識して描くことで、視覚的な判断ミスを防げます。
• 微小時間後の波形を色を変えて描く:
  • (エ)で速度の向きを判断する際に、元の波形の上に、鉛筆や違う色のペンで「微小時間後の波形」を重ねて描くと、各点の変位の変化が非常に分かりやすくなります。
• 指差し確認で翻訳する:
  • グラフの点bを指さし、「ここは変位が正で最大。つまり、媒質は最も右にズレている点だ」というように、一つ一つの点の物理的な意味を口に出して確認する（セルフ・ナレーション）ことで、横波のイメージのまま解いてしまう誤解を防ぎます。
• 結論の自己チェック:
  • 「密な点はc, g。ここは変位が0だ。変位が最大のb, fではないな、OK」
  • 「左向き速度最大はa, e。ここは変位が0で、これから変位が負になる点だ。OK」
  • というように、得られた結論が物理的な性質（単振動の性質など）と矛盾していないかを最後に確認する癖をつけましょう。

基本例題47 波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2つの波源からの波の干渉」です。複数の波が重なり合うことで、特定の場所では常に大きく振動し（強めあい）、別の場所では全く振動しなくなる（弱めあい）という、波に特有の現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Pが強めあうか弱めあうかは、AからPまでの距離とBからPまでの距離の差、すなわち「経路差」によって決まります。この経路差を計算し、波の干渉条件と照らし合わせることで、P点の運命が分かります。
この設問における重要なポイント

• 波源A, Bは同位相で振動している。
• 経路差 \(L = |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}|\) を計算する。
• 同位相の波源の場合の干渉条件:
  • 強めあう（腹）: 経路差 \(L = m\lambda\) （波長の整数倍）
  • 弱めあう（節）: 経路差 \(L = (m + \frac{1}{2})\lambda\) （波長の半整数倍、つまり半波長の奇数倍）
  • ここで \(m = 0, 1, 2, \dots\)

具体的な解説と立式
まず、与えられた情報から経路差を計算します。
波源Aから点Pまでの距離: \(\overline{\text{AP}} = 8.0\,\text{cm}\)
波源Bから点Pまでの距離: \(\overline{\text{BP}} = 5.0\,\text{cm}\)
経路差 \(L\) は、
$$
\begin{aligned}
L &= |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}| \\[2.0ex]
&= |8.0 – 5.0| \\[2.0ex]
&= 3.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
次に、この経路差が波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\) の何倍になっているかを調べます。
半波長は \(\lambda/2 = 1.0\,\text{cm}\) です。
経路差 \(L = 3.0\,\text{cm}\) を半波長で表すと、
$$
\begin{aligned}
L &= 3.0\,\text{cm} \\[2.0ex]
&= 3 \times (1.0\,\text{cm}) \\[2.0ex]
&= 3 \times \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
経路差が半波長の3倍（奇数倍）なので、点Pは弱めあう条件を満たします。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

AさんとBさんが池のほとりで、同じタイミングで水面をポンと叩いて波を起こしている状況を想像してください。P地点には、Aさんからの波とBさんからの波の両方が届きます。Aさんからの距離は8cm、Bさんからは5cmなので、P地点に届く2つの波には \(8.0 – 5.0 = 3.0\,\text{cm}\) 分の「ズレ」が生じます。この波は、波1個の長さ（波長）が2.0cmなので、半分の長さは1.0cmです。距離のズレ3.0cmは、この半分の長さのちょうど3個分（奇数個分）にあたります。波の世界では、距離のズレが半波長の奇数個分だと、一方の波の山ともう一方の波の谷がちょうどぶつかり、互いに打ち消し合ってしまいます。そのため、P地点は全く振動しません。

経路差が半波長の奇数倍であることから、点Pでは2つの波が逆位相で重なり、常に打ち消しあうことが分かります。したがって、点Pは振動しません。

問(2)

思考の道筋とポイント
弱めあう点を連ねた線（節線）は、一方の波源からの山（実線）と、もう一方の波源からの谷（破線）が重なる点を結ぶことで描くことができます。図の上で、実線と破線の交点を丁寧に見つけていく作業になります。
この設問における重要なポイント

• 弱めあう点（節） \(= \) Aからの山（実線）とBからの谷（破線）の交点、またはAからの谷（破線）とBからの山（実線）の交点。
• 節線は、波源A, Bを結ぶ線分に関して対称なペアで現れる。
• 節線は、波源A, Bを焦点とする双曲線を描く。

具体的な解説と立式
作図は、図中の実線と破線の交点を拾い、それらを滑らかに結ぶことで行います。
次に、節線の本数を数えます。節線は、弱めあいの条件を満たす点の集まりです。
弱めあう条件は、経路差 \(L = |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}|\) が半波長の奇数倍となることです。
$$
\begin{aligned}
L &= (m + \frac{1}{2})\lambda \\[2.0ex]
&= (m + 0.5) \times 2.0 \\[2.0ex]
&= 2m + 1.0 \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
経路差 \(L\) は、波源A, Bの間では、波源間距離 \(6.0\,\text{cm}\) を超えることはありません。つまり、\(L < 6.0\,\text{cm}\) です。
この条件を満たす \(m\) を探します。

• \(m=0\) のとき: \(L = 1.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=1\) のとき: \(L = 3.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=2\) のとき: \(L = 5.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=3\) のとき: \(L = 7.0\,\text{cm}\)。これは \(6.0\,\text{cm}\) を超えるので、この節線はA, Bの間には存在しません。

したがって、A, Bの間には \(m=0, 1, 2\) に対応する3組の節線が存在します。
それぞれの組は、線分ABを挟んで上下（左右）対称に2本ずつあるため、合計の本数は \(3 \times 2 = 6\) 本となります。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

弱めあう場所は、Aさんからの波の「山」とBさんからの波の「谷」がちょうど出会う点です。図でいうと、実線と破線が交わっている点がすべて弱めあう点にあたります。これらの交点を拾って、同じ仲間同士を線で結んでいくと、何本かの曲線が描けます。これが節線です。全部で何本あるかは、AとBの間で起こりうる「弱めあいのパターン」が何種類あるかを数えればわかります。計算すると、距離の差が1cm, 3cm, 5cmの3つのパターンが見つかります。それぞれのパターンについて、Aに近い側とBに近い側の2本の線ができるので、合計で3種類×2本=6本となります。

図から山と谷が重なる点を結ぶと、模範解答のような6本の双曲線が描けます。また、条件式からの計算でも6本という結果が得られ、両者は一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
線分AB上では、Aから右向きに進む波と、Bから左向きに進む波が正面衝突しています。これは、逆向きに進む同じ波（振幅、波長、振動数が等しい）の重ね合わせなので、その場に止まって振動するように見える「定常波」ができます。この定常波の、全く振動しない点（節）の位置を求めれば、それが答えとなります。
この設問における重要なポイント

• 波源A, Bは同位相なので、線分ABの中央の点は常に強めあい、定常波の腹（最も大きく振動する点）になる。
• 波源A, B自身は、波を送り出す振動源なので、定常波の腹と考えることができる。
• 定常波では、腹と節の間隔は波長の4分の1 (\(\lambda/4\))、節と節の間隔は波長の2分の1 (\(\lambda/2\)) である。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\) なので、

• 腹と節の間隔は
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{\lambda}{4} &= \frac{2.0}{4} \\[2.0ex]
  &= 0.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• 節と節の間隔は
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{\lambda}{2} &= \frac{2.0}{2} \\[2.0ex]
  &= 1.0\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

線分ABの長さは \(6.0\,\text{cm}\) なので、Aを原点 \(x=0\)、Bを \(x=6.0\) とします。
中央の点 \(x=3.0\) は腹です。
この中央の腹から、左右に \(\lambda/4 = 0.5\,\text{cm}\) だけ離れた位置に、最初の節が存在します。

• $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.0 – 0.5 \\[2.0ex]
  &= 2.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.0 + 0.5 \\[2.0ex]
  &= 3.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

これらの節から、さらに \(\lambda/2 = 1.0\,\text{cm}\) ごとに次の節が存在します。

• Aの方向へ:
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 2.5 – 1.0 \\[2.0ex]
  &= 1.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 1.5 – 1.0 \\[2.0ex]
  &= 0.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• Bの方向へ:
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.5 + 1.0 \\[2.0ex]
  &= 4.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 4.5 + 1.0 \\[2.0ex]
  &= 5.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

したがって、節線が線分ABと交わる点は、Aから測って \(0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5\,\text{cm}\) のところです。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

AさんとBさんの間には、波がぶつかり合ってできる「定常波」という特別な波ができています。これは、ギターの弦のように、全く揺れない「節」と、ものすごく揺れる「腹」が交互に並んだものです。AさんとBさんは同じタイミングで揺れているので、ちょうど真ん中の地点(Aから3.0cm)は、お互いの波が強めあって激しく揺れる「腹」になります。物理のルールで、「腹」と「節」は0.5cm間隔、「節」と「節」は1.0cm間隔で交互に並ぶことが決まっています。なので、真ん中の「腹」からスタートして、左右に0.5cm、1.5cm、2.5cm…と数えていくと、すべての「節」の位置がわかります。

線分AB上に6つの節が見つかりました。これは、(2)で求めた節線の本数が6本であることと対応しており、結果に整合性があります。各節線が線分ABを1回ずつ横切っていることがわかります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 経路差による干渉条件の決定
  • 核心: この問題の根幹は、2つの波源からある点に到達する波の「経路差（距離の差）」が、波の重ね合わせの結果（強めあうか、弱めあうか）を決定するという、波の干渉における最も基本的な原理です。
  • 理解のポイント:
    • 同位相波源: 問題で与えられているように波源A, Bが同位相の場合、2つの波は同じタイミングで山として送り出されます。もしある点までの経路差がちょうど波長\(\lambda\)の整数倍（\(m\lambda\)）であれば、2つの波は山と山（または谷と谷）として出会い、強めあいます。
    • 弱めあいの条件: 経路差が半波長\(\lambda/2\)の奇数倍（\((m+1/2)\lambda\)）であれば、一方の波が山として到達するタイミングで、もう一方は谷として到達するため、互いに打ち消し合い、弱めあいます。この条件式を正しく記憶し、適用できることが全ての基本となります。
• 線分AB上の定常波
  • 核心: 2つの波源を結ぶ直線（線分AB）上では、互いに逆向きに進む同じ波が常に重なり合うため、「定常波」という特別な状態が生まれることを理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節: 定常波は、全く振動しない点（節）と、最も大きく振動する点（腹）が交互に並ぶという特徴を持ちます。
    • 間隔の規則性: 腹と節の間隔は\(\lambda/4\)、節と節（または腹と腹）の間隔は\(\lambda/2\)という極めてシンプルな規則性があります。この規則性を知っていれば、どこか1点の腹または節の位置が分かれば、他のすべての腹と節の位置を機械的に計算できます。同位相波源の場合、中央点が腹になるという事実が、その計算の出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 波源Aが山を出すタイミングで、波源Bが谷を出す「逆位相」の問題。この場合、強めあいと弱めあいの干渉条件が同位相の場合と完全に逆になります。（経路差\(m\lambda\)で弱めあい、\((m+1/2)\lambda\)で強めあう）
  • 光の干渉（ヤングの実験など）: 2つのスリットを通過した光がスクリーン上で干渉縞を作る問題。考え方は波の干渉と全く同じで、経路差を計算し、光の波長\(\lambda\)と比較して明線（強めあい）と暗線（弱めあい）の位置を求めます。
  • 薄膜による光の干渉: シャボン玉や水面の油膜が色づいて見える現象。膜の表面で反射する光と裏面で反射する光の経路差（と位相のずれ）によって、特定の色の光が強めあう（または弱めあう）ことで起こります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず波源の位相を確認する: 問題文に「同位相」か「逆位相」か、必ず書いてあります。これを見落とすと、結論が全て逆になるため最重要です。
  2. 経路差を計算する: 干渉を考える点の、各波源からの距離を確認し、その差（経路差）を求めます。これが干渉条件を適用するための基本データです。
  3. 経路差と波長を比較する: 計算した経路差が、波長\(\lambda\)の何倍か、あるいは半波長\(\lambda/2\)の何倍かを調べます。整数倍か、半整数（奇数/2）倍かで運命が決まります。
  4. 節線・腹線の本数を問われたら:
     • 弱めあう条件（または強めあう条件）を満たす経路差が、波源間で何通り可能かを考えます。
     • 経路差の最大値は波源間距離\(\overline{\text{AB}}\)であることを利用し、条件式を満たす整数\(m\)がいくつ存在するかを数えます。
  5. 波源を結ぶ線分上の点を問われたら: 「定常波」の考え方が最も効率的です。中央点が腹か節か（同位相なら腹、逆位相なら節）を判断し、\(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)の間隔ルールを適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 同位相と逆位相の条件を混同する:
  • 誤解: 経路差が\(m\lambda\)なら強めあい、と機械的に暗記してしまい、逆位相の問題でも同じ条件を使ってしまう。
  • 対策: 「同位相なら\(m\lambda\)で強めあい」と基本をしっかり覚えた上で、「逆位相はその逆」とセットで理解しましょう。問題を解く前に、ノートの隅に「同位相：\(m\lambda\rightarrow\)強」のようにメモ書きするのも有効です。
• 半波長の「奇数倍」を忘れる:
  • 誤解: 弱めあう条件を「経路差が半波長の整数倍」と勘違いしてしまう。\(m=2\)のとき経路差は\(\lambda\)となり、強めあいの条件と矛盾します。
  • 対策: 弱めあうのは、山と谷が出会うとき、つまり位相が\(\pi\)ずれているときです。これは経路差が\(\lambda/2, 3\lambda/2, 5\lambda/2, \dots\)となるときに対応します。必ず「半波長の奇数倍」であることを強調して覚えましょう。
• 定常波の腹と節の間隔を間違える:
  • 誤解: 腹と節の間隔を\(\lambda/2\)と勘違いしてしまう。
  • 対策: 定常波の波形をイメージしましょう。腹から隣の腹までが波長\(\lambda\)の半分(\(\lambda/2\))です。節はそのちょうど中間に位置するので、腹と節の間隔はそのさらに半分、つまり\(\lambda/4\)となります。この視覚的なイメージとセットで覚えると間違いにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（干渉条件式）:
  • 選定理由: 求めたいのは点Pの「振動状態」であり、これは2つの波が強めあうか弱めあうかという「干渉」の問題です。波の干渉を支配する物理法則は、経路差と波長の関係で記述される「干渉条件式」以外にありません。
  • 適用根拠: 問題で与えられているのは、点Pまでの各波源からの距離と波長です。これらはまさしく干渉条件式を構成する要素そのものです。与えられた情報から経路差を計算し、それを干渉条件式に代入することで、論理的に振動状態を決定できます。
• (2)でのアプローチ選択（作図と条件式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「弱めあう点を連ねた線（節線）」です。これは、弱めあうという物理的条件を満たす点の集合を求める問題です。
  • 適用根拠:
    • 作図: 図が与えられている場合、弱めあう点（山と谷の交点）を視覚的に見つけるのが最も直接的です。これは、干渉の定義に最も忠実な方法です。
    • 条件式: 節線の本数を求めるには、作図に頼らずとも、弱めあいの条件式 \(L=(m+1/2)\lambda\) を満たす整数\(m\)が、物理的に可能な経路差の範囲内（\(L < \overline{\text{AB}}\)）にいくつ存在するかを数える方が、より網羅的で論理的です。
• (3)でのアプローチ選択（定常波）:
  • 選定理由: 考える対象が「2つの波源を結ぶ線分上」に限定されています。この特別な場所では、常に逆向きの同じ波が重なり合うため、「定常波」というよりシンプルで強力なモデルを適用できます。
  • 適用根拠: 定常波の腹と節の位置は、\(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)という極めて単純な間隔ルールに従います。波源が同位相であることから中央点が「腹」であることが確定するため、この出発点と間隔ルールを適用すれば、全ての節の位置を効率的に、かつ網羅的に求めることができます。これは、一般的な干渉条件を考えるよりも、この特殊な状況に特化した、より洗練された解法と言えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数値を丁寧に代入する:
  • 干渉条件の式に、\(\lambda=2.0\)などの値を代入する際に、計算を焦らないこと。特に、\((m+1/2)\lambda\)の計算では、分配法則を間違えないように注意しましょう。
• 単位を揃える:
  • この問題では全ての長さの単位がcmで統一されていますが、問題によってはmとcmが混在している場合があります。計算を始める前に、必ず全ての単位を揃える癖をつけましょう。
• 整数\(m\)の範囲を確認する:
  • 干渉条件の\(m\)は、\(m=0, 1, 2, \dots\)という非負整数です。負の値は考えません。また、(2)の別解のように、経路差の物理的な上限（波源間距離）から、\(m\)が取りうる最大値を正しく見積もることが重要です。
• 定常波の間隔の計算ミスに注意:
  • \(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)の計算は単純ですが、慌てていると間違えやすいポイントです。\(\lambda=2.0\,\text{cm}\)なら、\(\lambda/4=0.5\,\text{cm}\), \(\lambda/2=1.0\,\text{cm}\)と、最初に計算してメモしておくと良いでしょう。
• 答えの吟味:
  • (3)で求めた節の位置が、線分AB上（\(0\)から\(6.0\,\text{cm}\)の間）に収まっているか、また、中央の腹(\(3.0\,\text{cm}\))を挟んで対称な位置になっているかを確認することで、単純な計算ミスを発見できます。今回も、\(0.5\)と\(5.5\)、\(1.5\)と\(4.5\)、\(2.5\)と\(3.5\)が中央に対して対称なペアになっています。

基本例題48 波の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折とホイヘンスの原理」です。波が速さの異なる媒質へ進むときに進行方向を変える「屈折」という現象を、作図と計算の両面から理解することを目的とします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、ホイヘンスの原理を正しく理解し、作図によって屈折現象を再現できるかを問うています。重要なのは、「波面上の各点から出た素元波が、同じ時間でどれだけ進むか」を考えることです。点Bが媒質Iの中を進む時間と、点Aが媒質IIの中を進む時間は等しいですが、速さが異なるため進む距離も異なります。この距離の違いが、波面が折れ曲がる原因となります。
この設問における重要なポイント

• 点Bが点Cに達するまでの時間を \(t\) とする。この間にBが進む距離は \(\overline{\text{BC}}\)。
• 同じ時間 \(t\) の間に、点Aから出た素元波は媒質IIの中を進む。
• 媒質IIの中での素元波の半径 \(r\) は、「媒質IIでの速さ \(v\)\(\times\)時間 \(t\)」で計算される。
• 屈折波の波面は、点Cから、点Aを中心とする半径 \(r\) の円（素元波）に引いた接線となる。
• 屈折波の射線は、新しい波面CDに垂直に引く。

具体的な解説と立式
1. まず、波面AB上の点Bが点Cに達するのにかかる時間を \(t\) とします。媒質Iでの波の速さは \(v_1 = 2v\) なので、Bが進む距離 \(\overline{\text{BC}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BC}} &= v_1 t \\[2.0ex]
&= 2vt \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. この時間 \(t\) の間に、点Aから出た素元波は媒質IIの中を進みます。媒質IIでの波の速さは \(v_2 = v\) なので、この素元波が進む距離、すなわち素元波の半径を \(r\) とすると、
$$
\begin{aligned}
r &= v_2 t \\[2.0ex]
&= vt \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
3. 式①と②から、時間 \(t\) を消去して \(r\) と \(\overline{\text{BC}}\) の関係を求めます。
式①より \(t = \overline{\text{BC}}/(2v)\)。これを式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
r &= v \times \frac{\overline{\text{BC}}}{2v} \\[2.0ex]
&= \frac{\overline{\text{BC}}}{2}
\end{aligned}
$$
これは、Aから広がる素元波の半径が、線分BCの長さのちょうど半分になることを意味します。
4. 以上の考察から、以下の手順で作図します。

• 点Aを中心として、半径が \(\overline{\text{BC}}/2\) となる円を描きます。これがAから出た素元波です。
• 点Cから、この円に対して接線を引きます。この接線CDが、求める屈折波の波面となります。（点Dは接点）
• 屈折波の射線は、波面に垂直なので、AとDを結んで延長した矢印が射線となります。

（作図のための準備計算であり、上記で完了）

徒競走で、選手たちが横一列のスタートライン（波面AB）から走り出すのをイメージしてください。Bさんは速い地面（媒質I）を走り、C地点まで到達します。一方、Aさんはスタートと同時に走りづらい地面（媒質II）に入ります。Aさんの速さはBさんの半分なので、BさんがCまで走るのと同じ時間で、AさんはBC間の距離の半分しか進めません。Aさんが進める範囲は、Aを中心とした円で表せます。この円と、Bさんのゴール地点Cを結ぶように引いた線が、新しいスタートライン（屈折波の波面CD）になります。

作図の結果、波は媒質IIに入ると進行方向が境界線の法線に近づくように折れ曲がりました。これは、速さが遅い媒質に入射する際の屈折現象として正しい振る舞いです。ホイヘンスの原理によって、この現象を正しく説明できることが確認できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質Iに対する媒質IIの屈折率は、それぞれの媒質中の波の速さの比で定義されます。問題文で与えられた速さの値を、定義式に代入するだけで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 媒質Iに対する媒質IIの屈折率 \(n\)（または \(n_{12}\)）の定義式は、
  $$ n = \frac{\text{媒質Iでの速さ}}{\text{媒質IIでの速さ}} = \frac{v_1}{v_2} $$
  である。
• \(v_1 = 2v\), \(v_2 = v\) を正しく代入する。

具体的な解説と立式
媒質Iに対する媒質IIの屈折率を \(n\) とします。屈折の法則より、屈折率は2つの媒質における波の速さの比で表されます。
$$ n = \frac{v_1}{v_2} $$
ここに、媒質Iでの速さ \(v_1 = 2v\) と、媒質IIでの速さ \(v_2 = v\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2v}{v} \\[2.0ex]
&= 2
\end{aligned}
$$

「屈折率」とは、基準となる媒質（今回は媒質I）に比べて、もう一方の媒質（媒質II）がどれだけ波にとって「進みにくいか」を表す数値です。媒質Iでは速さ \(2v\) だったものが、媒質IIでは速さ \(v\) に落ちています。速さがちょうど半分になっているので、「進みにくさ」は2倍になったと考えられます。したがって、屈折率は2となります。

屈折率が \(n=2\) と求まりました。屈折率が1より大きいということは、媒質IIが媒質Iよりも波が伝わりにくい（光学的に密な）媒質であることを示しており、速さが \(2v\) から \(v\) に減少したという事実と一致しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホイヘンスの原理による波面の作図
  • 核心: この問題の根幹は、波の伝播を説明する基本モデルである「ホイヘンスの原理」を、屈折という具体的な現象に適用できる能力です。波面上の各点がそれぞれ新しい波源（素元波）となり、それらの素元波の重ね合わせ（包絡面）が次の波面を形成するという考え方を、作図によって体現することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 素元波の広がり: 屈折の鍵は、異なる媒質中では素元波の広がる速さが違うという点にあります。媒質Iに残っている波面上の点から出る素元波と、媒質IIに入った点から出る素元波は、同じ時間でも進む距離（半径）が異なります。
    • 作図の手順: (1)の解説にあるように、①ある時間\(t\)を設定し（通常は波面の一端が境界に達する時間）、②その時間\(t\)に各点がそれぞれの媒質中で進む距離を計算し、③それらを半径とする素元波を描き、④それらの素元波に共通な接線を引く、という手順を理解することが重要です。
• 屈折の法則
  • 核心: 波が異なる媒質に進む際に、その速さ、波長、進行方向（角度）がどのように変化するかを記述するのが屈折の法則です。特に、媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n\)が、速さの比\(v_1/v_2\)や波長の比\(\lambda_1/\lambda_2\)、そして入射角\(\theta_1\)と屈折角\(\theta_2\)の正弦（サイン）の比\(\sin\theta_1/\sin\theta_2\)に等しいという、一連の関係式を理解し、使いこなすことが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 屈折率の意味: 屈折率\(n\)は、基準となる媒質（媒質I）に比べて、波がどれだけ「進みにくいか」を示す指標です。\(n>1\)なら、媒質IIは媒質Iより進みにくい（速さが遅くなる）ことを意味します。
    • 不変量: 屈折が起こっても、波源の振動は変わらないため、振動数\(f\)は一定に保たれます。速さ\(v\)と波長\(\lambda\)は屈折率に応じて変化しますが、\(v=f\lambda\)の関係から、\(v\)と\(\lambda\)は同じ比率で変化します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 入射角・屈折角が与えられる問題: (1)で作図した三角形（ABCとADC）に注目すると、\(\angle\text{BAC}\)が入射角\(\theta_1\)、\(\angle\text{ACD}\)が屈折角\(\theta_2\)に対応します。これらの三角形から\(\sin\theta_1 = \overline{\text{BC}}/\overline{\text{AC}}\), \(\sin\theta_2 = \overline{\text{AD}}/\overline{\text{AC}}\)という関係が導け、ここから屈折の法則\(\sin\theta_1/\sin\theta_2 = v_1/v_2\)が証明できます。角度が与えられた場合は、この関係式を使います。
  • 全反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ波が進むとき、入射角をある角度（臨界角）以上にすると、波は屈折せずにすべて反射される「全反射」という現象が起こります。臨界角の条件を屈折の法則から導く問題などがあります。
  • レンズやプリズム: 光がレンズやプリズムを通過する際にも屈折が起こります。これらの問題も、境界で屈折の法則を繰り返し適用することで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 2つの媒質での速さ（または屈折率）を確認する: 問題文から、\(v_1, v_2\)（または\(n_1, n_2\)）の値を読み取ります。これが計算の基本データになります。
  2. 波面と射線の関係を意識する: 波の進行方向を示す「射線」と、波の山や谷を結んだ「波面」は常に垂直です。作図問題ではこの関係が非常に重要になります。
  3. ホイヘンスの原理を問われたら、時間の経過を考える: 「時間\(t\)の間に、波面上の各点はどこまで進むか？」という視点で考えます。速さが違う領域があれば、進む距離も違う、という点がポイントです。
  4. 屈折率を問われたら、定義式を思い出す: 媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n_{12}\)は、\(v_1/v_2\), \(\lambda_1/\lambda_2\), \(\sin\theta_1/\sin\theta_2\), \(n_2/n_1\)という4つの顔を持つことを思い出します。問題で与えられている物理量に応じて、最適な式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折率の比の分子・分母を間違える:
  • 誤解: 屈折率\(n\)を\(v_2/v_1\)と逆に覚えてしまう。
  • 対策: 屈折率の物理的な意味を考えましょう。速さが遅くなるほど「進みにくい」ので屈折率は大きくなるはずです。したがって、速い方の速さ\(v_1\)が分子、遅い方の速さ\(v_2\)が分母に来る（\(n=v_1/v_2 > 1\)となる）と意味づけして覚えると間違いにくくなります。
• ホイヘンスの原理の作図ミス:
  • 誤解: 点Aから出る素元波の半径を、点Bが進んだ距離\(\overline{\text{BC}}\)と等しいとしてしまう。
  • 対策: 「同じ時間に進むが、速さが違うので距離は違う」という屈折の根本原理を常に意識しましょう。計算で求めた半径（この問題では\(\overline{\text{BC}}/2\)）を正確に作図に反映させることが重要です。
• 絶対屈折率と相対屈折率の混同:
  • 誤解: 問題で問われている「媒質Iに対する媒質IIの屈折率」が、媒質IIの絶対屈折率\(n_2\)のことだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「Aに対するBの〜」という表現は、Aを基準(1)としたときのBの性質を表す「相対的な」値です。物理ではこれを相対屈折率\(n_{12}\)と呼び、\(n_2/n_1\)で計算されると整理しておきましょう。単に「屈折率」と書かれている場合は、文脈から絶対か相対かを見極める必要があります（高校物理では相対屈折率を指すことが多いです）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（ホイヘンスの原理）:
  • 選定理由: 求めたいのは「屈折波の波面」という、波の形状そのものです。波の形状が時間とともにどう変化し、伝播していくかを説明するための第一原理が「ホイヘンスの原理」です。したがって、波面の作図を求められた場合、この原理を用いるのは最も根本的で論理的な選択です。
  • 適用根拠: ホイヘンスの原理は、波の回折や干渉など、あらゆる波の振る舞いを説明できる普遍的なモデルです。特に、異なる媒質が接する境界での波面の変化を考える上で、各点からの素元波が異なる速さで広がる様子を考えるこのアプローチは、屈折現象の本質を的確に捉えています。
• (2)での公式選択（屈折の法則 \(n=v_1/v_2\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「屈折率」という、2つの媒質の関係性を表す物理量です。そして、問題で与えられているのは2つの媒質での「速さ」です。屈折率と速さの関係を直接結びつけるのが、屈折の法則の定義式\(n=v_1/v_2\)です。
  • 適用根拠: 屈折率は、まさに速さの比として定義されています。したがって、与えられた物理量（\(v_1, v_2\)）から求めたい物理量（\(n\)）を導出するための、最も直接的で無駄のない公式です。
• (2)別解でのアプローチ選択（絶対屈折率）:
  • 選定理由: 屈折という現象を、より普遍的で体系的な枠組みの中で理解したい場合に、このアプローチは有効です。個々の媒質が持つ「絶対屈折率」という性質を導入することで、なぜ速さの比が屈折率になるのかを、より深いレベルで説明できます。
  • 適用根拠: 物理法則\(n_1 v_1 = n_2 v_2\)は、「どの媒質においても、その媒質の絶対屈折率と光速の積は一定である」という、より基本的な法則（\(nv=c\), \(c\)は真空中の光速）の現れです。この普遍的な法則から出発し、求めたい相対屈折率\(n_{12}=n_2/n_1\)を導出するプロセスは、物理法則の階層構造を理解する上で非常に教育的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (1)の作図の準備段階で、いきなり具体的な数値を考えるのではなく、まずは\(v_1, v_2, t\)といった文字を使って半径\(r\)と距離\(\overline{\text{BC}}\)の関係を導きましょう。\(r = (v_2/v_1)\overline{\text{BC}}\)という一般式を導いてから、最後に\(v_1=2v, v_2=v\)を代入する方が、見通しが良く、応用も効きます。
• 比の計算を確実に行う:
  • (2)の計算は\(n=2v/v\)という単純なものですが、これが分数になったり、複雑な数値になったりすることもあります。約分や割り算を丁寧に行い、ケアレスミスを防ぎましょう。
• 作図は定規とコンパスで:
  • フリーハンドで描くと、接線がずれたり、半径が不正確になったりして、正しい波面が描けません。試験本番では難しいかもしれませんが、学習段階では定規とコンパスを使って正確に作図する経験が、原理の深い理解につながります。
• 物理的にありえるか吟味する:
  • 計算の結果、屈折率が1未満になった場合（速い媒質から遅い媒質への屈折の場合）、どこかで分子と分母を間違えた可能性が高いです。また、屈折角が90度を超えたり、負の値になったりした場合も、計算ミスを疑うべきです。常に物理的に妥当な範囲の値になっているかを確認する癖をつけましょう。

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336 波の発生

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基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)