「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 13】基本例題～基本問題313

基本例題

基本例題41 内部エネルギーの保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱された容器内での気体の混合とエネルギー保存」です。異なる状態の気体を混合したときに、最終的にどのような状態に落ち着くかを考える問題で、熱力学の基本法則を正しく適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「周囲と熱のやりとりはない」という記述から、容器AとBの気体を合わせた系全体の内部エネルギーが保存されることを見抜く点にあります。コックを開く前と後で、内部エネルギーの合計値が等しいという式を立てます。単原子分子なので、内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使って立式し、未知数である混合後の温度 \(T\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 系全体（Aの気体 + Bの気体）は、外部と熱のやりとりがない（\(Q=0\)）。
• 気体は容器の外に対して仕事をしない（\(W=0\)）。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\) より、系全体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(0\)、すなわち内部エネルギーは保存される。
• 混合後は、容器内の気体は全体で一つの均一な温度 \(T\) になる。

具体的な解説と立式
コックを開く前の容器A、B内の気体の内部エネルギーをそれぞれ \(U_A\)、\(U_B\) とします。

• 容器Aの内部エネルギー:
  $$
  \begin{aligned}
  U_A &= \frac{3}{2}n_A R T_A
  \end{aligned}
  $$
• 容器Bの内部エネルギー:
  $$
  \begin{aligned}
  U_B &= \frac{3}{2}n_B R T_B
  \end{aligned}
  $$

したがって、コックを開く前の内部エネルギーの和 \(U_{\text{前}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{前}} &= U_A + U_B \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B
\end{aligned}
$$
次に、コックを開いて十分に時間が経過した後の状態を考えます。気体は混合され、全体の物質量は \(n = n_A + n_B\)、温度は全体で均一な \(T\) になります。このときの内部エネルギーの和 \(U_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT
\end{aligned}
$$
内部エネルギー保存則より \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\) が成り立つので、以下の式が立てられます。
$$ \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT \quad \cdots ① $$

式①の両辺に共通する \(\frac{3}{2}R\) を消去すると、式は簡単になります。
$$
\begin{aligned}
n_A T_A + n_B T_B &= (n_A + n_B)T
\end{aligned}
$$
この式に、問題文で与えられた値を代入します。
\(n_A = 2.0\,\text{mol}\), \(T_A = 300\,\text{K}\), \(n_B = 3.0\,\text{mol}\), \(T_B = 400\,\text{K}\) です。
$$
\begin{aligned}
(2.0 \times 300) + (3.0 \times 400) &= (2.0 + 3.0) \times T \\[2.0ex]
600 + 1200 &= 5.0 T \\[2.0ex]
1800 &= 5.0 T \\[2.0ex]
T &= \frac{1800}{5.0} \\[2.0ex]
T &= 360\,\text{K}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(3.6 \times 10^2\,\text{K}\) となります。

容器AとBに入っている気体がそれぞれ持っている「熱エネルギー」を考えます。コックを開けて2つの気体が混ざっても、容器全体が魔法瓶のようになっているので、エネルギーは外に逃げません。つまり、「混ぜる前のエネルギーの合計」と「混ざった後のエネルギーの合計」は同じになります。このエネルギーのつりあいの式を立てて、混ざった後の最終的な温度を計算する、という流れです。

混合後の温度は \(360\,\text{K}\) と求まりました。この値は、はじめの温度である \(300\,\text{K}\) と \(400\,\text{K}\) の間の値です。また、物質量の多い(\(3.0\,\text{mol}\))気体Bの温度(\(400\,\text{K}\))により近い値になっており、物理的に妥当な結果であると言えます。もし物質量が同じであれば、ちょうど中間の \(350\,\text{K}\) になります。

問(2)

思考の道筋とポイント
設問(1)で、コックを開いた後の気体全体の温度が \(T=360\,\text{K}\) であることがわかりました。気体全体を一つの系として見ると、「全体の体積」「全体の物質量」「全体の温度」の3つの量が分かっていることになります。これらの関係を結びつけるのは理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。この式を使えば、残る未知数である「全体の圧力 \(p\)」を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 混合後の気体は、容器AとBを合わせた体積全体に広がっている。
• 全体の体積 \(V = V_A + V_B\)。
• 全体の物質量 \(n = n_A + n_B\)。
• 全体の温度 \(T\) は(1)で求めた値を使う。

具体的な解説と立式
混合後の気体全体について、理想気体の状態方程式を適用します。

• 圧力: \(p\)
• 体積: \(V = V_A + V_B = 4.0 \times 10^{-2} + 6.0 \times 10^{-2} = 10.0 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\)
• 物質量: \(n = n_A + n_B = 2.0 + 3.0 = 5.0\,\text{mol}\)
• 気体定数: \(R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• 温度: \(T = 360\,\text{K}\) （(1)の結果より）

これらの量を状態方程式 \(pV=nRT\) に当てはめると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
p \times (V_A + V_B) = (n_A + n_B)RT
\end{aligned}
$$

上記で立てた式に、具体的な数値を代入して \(p\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
p \times (4.0 \times 10^{-2} + 6.0 \times 10^{-2}) &= (2.0 + 3.0) \times 8.3 \times 360 \\[2.0ex]
p \times (10.0 \times 10^{-2}) &= 5.0 \times 8.3 \times 360 \\[2.0ex]
p \times 0.10 &= 14940 \\[2.0ex]
p &= \frac{14940}{0.10} \\[2.0ex]
p &= 149400\,\text{Pa} \\[2.0ex]
p &= 1.494 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(1.5 \times 10^5\,\text{Pa}\) となります。

(1)で、混ざった後の気体の「温度」がわかりました。気体はAとBを合わせた広い部屋（全体の体積）に、AとBの分子を合わせた数（全体の物質量）だけ存在しています。この「体積」「物質量」「温度」の3点セットがわかれば、おなじみの公式 \(pV=nRT\) を使って、残りの「圧力」を計算することができます。

圧力は \(1.5 \times 10^5\,\text{Pa}\) と求まりました。参考までに、混合前の圧力を計算すると \(p_A = \frac{n_A R T_A}{V_A} \approx 1.2 \times 10^5\,\text{Pa}\)、\(p_B = \frac{n_B R T_B}{V_B} \approx 1.7 \times 10^5\,\text{Pa}\) となり、混合後の圧力はこの間の値になっています。これは物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 断熱系における内部エネルギー保存則
  • 核心: この問題の根幹は、「周囲と熱のやりとりはなく」という一文から、容器AとBの気体を合わせた系全体が「断熱系」であると見抜くことです。断熱系内では、外部との熱の出入り(\(Q\))がありません。さらに、コックを開くだけで気体が容器内で広がるだけで、容器の壁を押して外部に仕事をすることもありません(\(W=0\))。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\) に従うと、\(Q=0\) かつ \(W=0\) なので、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(0\) となります。これが「内部エネルギーが保存される」ことの物理的な意味です。
  • 理解のポイント:
    • 保存されるのは「エネルギーの合計」: コックを開く前のAの内部エネルギーとBの内部エネルギーの「和」が、混合後の気体全体の内部エネルギーと等しくなります。温度や圧力が保存されるわけではない点に注意が必要です。
    • 内部エネルギーの正しい公式: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」とあるため、内部エネルギーの公式として \(U = \frac{3}{2}nRT\) を選択します。もし二原子分子であれば \(U = \frac{5}{2}nRT\) を使う必要があります。
• 理想気体の状態方程式の適用
  • 核心: 内部エネルギー保存則によって混合後の温度が求まった後、その状態における圧力を求めるために、気体の状態を記述するもう一つの基本法則である理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を適用します。
  • 理解のポイント:
    • 状態の区別: 状態方程式を適用する際は、「どの状態」について考えているのかを常に意識することが重要です。この問題では、「コックを開く前のAの状態」「コックを開く前のBの状態」「コックを開いた後の全体の状態」の3つを明確に区別し、それぞれの状態に対応する \(p, V, n, T\) の値を正しく使う必要があります。
    • 混合後の変数の扱い: 混合後は、体積は \(V_A+V_B\)、物質量は \(n_A+n_B\) となり、温度と圧力は全体で均一な \(T\) と \(p\) になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 断熱されたピストンで仕切られた気体: 断熱シリンダー内を、動くことができる断熱ピストンで2室に分け、それぞれに気体を入れる問題。ピストンが動いて静止した場合、両室の圧力が等しくなります。この過程でピストンは一方の気体から仕事をされ、もう一方の気体に仕事をするため、各部屋の内部エネルギーは保存されませんが、シリンダー全体を一つの系と見なせば、外部との熱や仕事のやりとりはないため、系全体の内部エネルギーは保存されます。
  • 真空への断熱自由膨張: 断熱容器の一方に気体を入れ、もう一方を真空にしておき、仕切りを外す問題。気体は真空中に広がるため、外部に対して仕事をしません(\(W=0\))。断熱なので \(Q=0\) でもあり、この場合も内部エネルギーが保存されます。結果として、理想気体であれば温度は変化しません。
  • 異なる種類の気体の混合: 単原子分子気体と二原子分子気体を混合する問題。内部エネルギー保存則を立てる際に、それぞれの内部エネルギーを \(U_1 = \frac{3}{2}n_1RT_1\)、\(U_2 = \frac{5}{2}n_2RT_2\) と正しく計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「断熱」のキーワードを探す: 問題文に「断熱」「熱のやりとりはない」「熱をよく通さない」などの記述があれば、熱力学第一法則、特にエネルギー保存則が使えないかを第一に考えます。
  2. 体積変化と「仕事」の有無を確認する: ピストンが動いたり、容器自体が膨張したりするなど、気体が外部に対して仕事をする（または、される）状況かどうかを確認します。仕事の有無によって、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\) の \(W\) の扱いが変わります。
  3. 気体の種類（単原子分子か、二原子分子か）をチェックする: この確認を怠ると、内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) や定積モル比熱 \(C_V\) の値を間違え、その後の計算がすべて無駄になってしまいます。
  4. どの物理量を先に求めるか戦略を立てる: 模範解答のように温度から求めるのが素直ですが、別解のように圧力から求めることも可能です。内部エネルギーの公式には \(U=\frac{3}{2}nRT\) と \(U=\frac{3}{2}pV\) の2つの表現があることを念頭に置き、どちらの未知数を先に求めると計算が楽になるかを見通す力を養うと応用が利きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度が平均されると誤解してしまう:
  • 誤解: 混合後の温度を、単純に2つの温度の算術平均、つまり \((300\,\text{K} + 400\,\text{K}) / 2 = 350\,\text{K}\) と計算してしまう。
  • 対策: 保存されるのはエネルギーであり、温度ではありません。内部エネルギーは物質量 \(n\) に比例するため、物質量の多い方の気体の温度に強く影響されます。実際には、混合後の温度は物質量を重みとした「加重平均」 \(T = \frac{n_A T_A + n_B T_B}{n_A + n_B}\) となります。この式を覚えるのではなく、「内部エネルギーの合計が保存される」という根本原理から毎回立式する癖をつけましょう。
• 内部エネルギー保存則をどんな状況でも適用してしまう:
  • 誤解: 気体が混ざる問題では、常に内部エネルギーが保存されると思い込んでしまう。
  • 対策: 内部エネルギーが保存されるのは、あくまで「断熱(\(Q=0\))」かつ「外部への仕事なし(\(W=0\))」という厳しい条件が満たされる場合のみです。例えば、容器の底をヒーターで加熱しながら混合すれば \(Q \neq 0\) ですし、ピストンが動いて外部のものを押せば \(W \neq 0\) となり、内部エネルギーは保存されません。必ず問題文の条件をよく読んで、熱力学第一法則に立ち返って考えることが重要です。
• 状態方程式の変数を混同する:
  • 誤解: 混合後の全体の圧力 \(p\) を計算する際に、なぜか容器Aだけの体積 \(V_A\) や物質量 \(n_A\) を使ってしまう。
  • 対策: 状態方程式 \(pV=nRT\) は、ある特定の均一な状態にある気体にのみ適用できる「状態の法則」です。混合後の状態を考えるのであれば、式に含まれる \(p, V, n, T\) はすべて「混合後の全体の値」でなければなりません。つまり、圧力は \(p_{\text{全体}}\)、体積は \(V_{\text{全体}} = V_A+V_B\)、物質量は \(n_{\text{全体}} = n_A+n_B\)、温度は \(T_{\text{全体}}\) を使う、という対応関係を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（内部エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは混合後の「温度 \(T\)」です。そして、問題文には「断熱」という極めて重要な条件が与えられています。この条件は、エネルギーの出入りがないことを示唆しており、このような状況での状態変化を解析するための最も強力な法則が「エネルギー保存則」です。特に、理想気体の内部エネルギーは温度と直接結びつく (\(U=\frac{3}{2}nRT\)) ため、内部エネルギー保存則を立てれば、温度 \(T\) を直接求める方程式が得られると予測できます。したがって、この公式選択は論理的必然です。
  • 適用根拠: 熱力学の基本法則である熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\) が全ての熱現象の出発点です。問題文の「周囲と熱のやりとりはなく」から \(Q=0\)、そして「コックを開く」という操作は外部に仕事をしないため \(W=0\) と判断できます。これにより \(\Delta U = 0\)、すなわち \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\) という内部エネルギー保存則を適用する根拠が確立されます。
• (2)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
  • 選定理由: (1)で混合後の温度 \(T\) が求まりました。これにより、混合後の気体の状態を特徴づける4つの物理量（圧力 \(p\)、体積 \(V\)、物質量 \(n\)、温度 \(T\)）のうち、\(V\) (=\(V_A+V_B\))、\(n\) (=\(n_A+n_B\))、\(T\) の3つが既知となりました。残る未知数は圧力 \(p\) のみです。これら4つの物理量を結びつける関係式は、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) しかありません。したがって、この公式を選択するのは唯一かつ最適な選択です。
  • 適用根拠: コックを開いて十分に時間が経った後、気体は容器全体で熱的に平衡な状態に達します。つまり、容器内のどこをとっても圧力と温度は均一になっています。このように、気体全体が単一の \(p\) と \(T\) で記述できる状態になっているため、気体全体を一つの系として状態方程式を適用することが正当化されます。
• 別解でのアプローチ選択（内部エネルギーの \(pV\) 表現）:
  • 選定理由: 内部エネルギーの公式 \(U=\frac{3}{2}nRT\) と状態方程式 \(pV=nRT\) は、理想気体において常に成り立つ2つの基本関係です。これらを組み合わせると、\(nRT\) を消去して \(U=\frac{3}{2}pV\) という別の表現を得ることができます。この表現を使えば、内部エネルギー保存則の式に温度 \(T\) ではなく圧力 \(p\) を登場させることが可能です。これにより、設問(1)を飛ばして設問(2)の圧力を直接求めるという、異なる道筋での解法が可能になります。
  • 適用根拠: 物理法則は、数学的な式変形によってその正しさを失いません。\(U=\frac{3}{2}nRT\) と \(pV=nRT\) が両方とも正しい以上、それらを連立させて得られる \(U=\frac{3}{2}pV\) もまた、理想気体の状態を正しく記述する式です。この式をエネルギー保存則に適用することは、物理的にも数学的にも完全に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式で最後まで計算する:
  • (1)の内部エネルギー保存則を立てた際、\( \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT \) の段階でいきなり数値を代入すると、\(8.3\) などの半端な数を何度も計算することになります。まず両辺の \(\frac{3}{2}R\) を約分して \( n_A T_A + n_B T_B = (n_A + n_B)T \) という最もシンプルな形にしてから数値を代入する方が、計算が格段に楽になり、ミスも減ります。
• 単位の次元を確認する:
  • 例えば、(2)で圧力を求める際に \(p = \frac{(n_A+n_B)RT}{V_A+V_B}\) を計算しますが、右辺の単位が本当に圧力の単位 \(\text{Pa} = \text{N/m}^2\) になっているかを確認する癖をつけましょう。 \(\frac{\text{mol} \cdot \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \cdot \text{K}}{\text{m}^3} = \frac{\text{J}}{\text{m}^3} = \frac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{m}^3} = \frac{\text{N}}{\text{m}^2}\) となり、確かに圧力の単位になっています。
• 指数計算はまとめて処理する:
  • (2)の計算では、体積に \(10^{-2}\) が含まれます。\(p = \frac{5.0 \times 8.3 \times 360}{10.0 \times 10^{-2}}\) のように、まずは指数以外の部分を計算し、最後に指数の部分を処理すると、桁の勘違いを防ぎやすくなります。
• 概算による検算:
  • (1) 温度: 物質量が \(2.0\,\text{mol}\) と \(3.0\,\text{mol}\) なので、温度は \(300\,\text{K}\) と \(400\,\text{K}\) の間を \(3:2\) に内分する点になります。全幅 \(100\,\text{K}\) を5等分(\(20\,\text{K}\))し、\(300\,\text{K}\) から3つ分進んだ点なので、\(300 + 20 \times 3 = 360\,\text{K}\)。計算結果と一致します。
  • (2) 圧力: 気体定数を \(R \approx 8.0\) として概算します。\(p = \frac{nRT}{V} \approx \frac{5.0 \times 8.0 \times 360}{0.1} = 40 \times 3600 = 144000\,\text{Pa} = 1.44 \times 10^5\,\text{Pa}\)。計算結果の \(1.49 \times 10^5\,\text{Pa}\) と非常に近い値であり、大きな間違いがないことが確認できます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (1)で求めた温度 \(360\,\text{K}\) が、初期温度である \(300\,\text{K}\) と \(400\,\text{K}\) の間の値になっているかを確認します。もしこの範囲外の値（例えば \(280\,\text{K}\) や \(420\,\text{K}\)）が出た場合、エネルギー保存の法則に反するため、計算ミスの可能性が極めて高いです。

基本例題42 定圧変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定圧変化における熱力学計算」です。ピストン付きシリンダー内の気体が、圧力を一定に保ったまま加熱され膨張する、という熱力学の最も基本的な過程の一つです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「圧力を一定に保ち」という条件から、この変化は定圧変化です。定圧変化では、シャルルの法則により、気体の体積 \(V\) は絶対温度 \(T\) に比例します。この法則を用いて、体積が \(2\) 倍になった後の絶対温度を求めます。最後に、問題で問われているセルシウス温度 \([^\circ\text{C}]\) に変換することを忘れないように注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化では、シャルルの法則 \(\frac{V}{T} = \text{一定}\) が成り立つ。
• 法則で使う温度は、必ず絶対温度 \(T\,[\text{K}]\) である。
• 絶対温度 \(T\,[\text{K}]\) とセルシウス温度 \(t\,[^\circ\text{C}]\) の関係は \(T = t + 273\)。

具体的な解説と立式
変化前の気体の体積を \(V_1\)、絶対温度を \(T_1\) とします。変化後の体積を \(V_2\)、絶対温度を \(T_2\) とします。
問題の条件より、\(V_2 = 2V_1\) です。
また、変化前の温度は \(t_1 = 27^\circ\text{C}\) なので、絶対温度に変換すると、
$$
\begin{aligned}
T_1 &= 27 + 273 \\[2.0ex]
&= 300\,\text{K}
\end{aligned}
$$
シャルルの法則より、
$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$
この式を \(T_2\) について解きます。

シャルルの法則の式に \(V_2 = 2V_1\) と \(T_1 = 300\,\text{K}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{V_1}{300} &= \frac{2V_1}{T_2}
\end{aligned}
$$
両辺の \(V_1\) を消去して \(T_2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= 2 \times 300 \\[2.0ex]
&= 600\,\text{K}
\end{aligned}
$$
これは絶対温度なので、セルシウス温度 \(t_2\) に変換します。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= T_2 – 273 \\[2.0ex]
&= 600 – 273 \\[2.0ex]
&= 327^\circ\text{C}
\end{aligned}
$$

風船を温めると膨らむように、気体は温めると体積が増えます。今回は、圧力を変えずに体積をきっちり2倍にしました。そのためには、温度をどれくらい上げればよいかを計算します。物理の法則では「絶対温度」という特別なものさしを使うので、まず摂氏(\(^\circ\text{C}\))を絶対温度(\(\text{K}\))に直します。体積が2倍になるなら、絶対温度も2倍になる、という単純な比例計算です。最後に、計算結果をまた摂氏に戻してあげます。

変化後の温度は \(327^\circ\text{C}\) と求まりました。体積を膨張させるために温度を上げたので、初めの \(27^\circ\text{C}\) より高くなっており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
単原子分子からなる理想気体の内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーの合計であり、絶対温度 \(T\) のみに比例します。したがって、内部エネルギーの増加量 \(\Delta U\) は、温度の上昇分 \(\Delta T\) に比例します。公式 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を使って計算します。
この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギーは、温度が変化しない限り変化しない。
• 単原子分子理想気体の場合、内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
• \(\Delta T\) は絶対温度での変化量。セルシウス温度の差と等しい。

具体的な解説と立式
(1)の結果から、温度は \(T_1 = 300\,\text{K}\) から \(T_2 = 600\,\text{K}\) に変化しました。
したがって、温度の上昇 \(\Delta T\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= T_2 – T_1 \\[2.0ex]
&= 600 – 300 \\[2.0ex]
&= 300\,\text{K}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) の公式に、\(n=1.0\,\text{mol}\), \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\), \(\Delta T = 300\,\text{K}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex]
&= 1.5 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex]
&= 3735\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(3.7 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

気体の温度が上がったということは、気体の中のつぶつぶ（分子）がより激しく動き回るようになったということです。「内部エネルギー」とは、この分子の運動の激しさを表すエネルギーのことです。温度がどれだけ上がったかが分かれば、分子の運動がどれだけ激しくなったか、つまり内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算できます。

温度が上昇しているので、内部エネルギーが増加する(\(\Delta U > 0\))のは当然です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
定圧変化において気体が吸収した熱量 \(Q\) を求めるには、定圧モル比熱 \(C_p\) を用いるのが定石です。公式は \(Q = nC_p\Delta T\) です。単原子分子理想気体の場合、定圧モル比熱は \(C_p = \frac{5}{2}R\) となることが知られています。これを用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化で吸収する熱量は \(Q = nC_p\Delta T\)。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_p = \frac{5}{2}R\)。

具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の定圧モル比熱 \(C_p\) は、
$$
\begin{aligned}
C_p &= \frac{5}{2}R
\end{aligned}
$$
これを用いて、熱量 \(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= nC_p\Delta T \\[2.0ex]
&= n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T
\end{aligned}
$$
この式に、\(n=1.0\,\text{mol}\), \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\), \(\Delta T = 300\,\text{K}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{5}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex]
&= 2.5 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex]
&= 6225\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(6.2 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

気体を温めて膨張させるためには、外部から熱エネルギーを与えてあげる必要があります。この設問では、その与えた熱エネルギーの総量を計算します。圧力が一定のまま温める場合には、専用の計算公式があり、それに数値を当てはめれば答えが出ます。

気体を加熱しているので、熱を得る(\(Q > 0\))のは当然です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。また、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) よりも大きな値になっており、与えた熱の一部が後述する「仕事」にも使われたことを示唆しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
気体が外部にした仕事 \(W’\) を求めます。これまでの設問で、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) と気体が吸収した熱量 \(Q\) が求まっています。これらの3つの量 (\(\Delta U, Q, W’\)) を結びつけるのが、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W’\) です。この式を変形して \(W’\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則はエネルギー保存則を表す。
• \(\Delta U = Q – W’\) の \(W’\) は、気体が「外部にした」仕事である。
• 各項の符号の意味を正しく理解する（\(Q>0\): 熱を吸収, \(\Delta U>0\): 温度上昇, \(W’>0\): 膨張して仕事をする）。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、
$$ \Delta U = Q – W’ $$
です。この式を \(W’\) について解くと、
$$ W’ = Q – \Delta U $$
この式に、(2)で求めた \(\Delta U = 3735\,\text{J}\) と (3)で求めた \(Q = 6225\,\text{J}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
W’ &= 6225 – 3735 \\[2.0ex]
&= 2490\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(2.5 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

気体にストーブで熱(\(Q\))を与えたとします。その熱エネルギーは、2つの役割を果たします。一つは気体自身の温度を上げる（内部エネルギーを増やす \(\Delta U\)）こと、もう一つはピストンを押して体積を大きくする（外部に仕事をする \(W’\)）ことです。エネルギー保存の法則から、「与えた熱の総量」から「温度上昇に使われた分」を差し引けば、「仕事に使われた分」が計算できます。

気体は体積が2倍に膨張しているので、外部に対して正の仕事をしたはずです。計算結果が \(W’ > 0\) となったことは、物理的な状況と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W’\))
  • 核心: この問題全体を貫く最も重要な法則です。これは「エネルギー保存則」の熱現象バージョンであり、「気体の内部エネルギーの増加分(\(\Delta U\))は、外部から吸収した熱量(\(Q\))から、気体が外部にした仕事(\(W’\))を差し引いたものに等しい」という関係を表します。この法則を軸に、各物理量を計算していくことが基本戦略となります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの収支関係: \(Q = \Delta U + W’\) と変形すると、「供給された熱エネルギー(\(Q\))が、内部エネルギーの増加(\(\Delta U\))と外部への仕事(\(W’\))という2つの用途に分配される」という、エネルギーの収支関係として直感的に理解できます。
    • 各項の定義と符号: \(\Delta U\), \(Q\), \(W’\) の3つの量が、それぞれ何を意味し、どのような場合に正負の値をとるのかを正確に把握することが不可欠です。
• 理想気体の状態方程式と内部エネルギーの公式
  • 核心: 熱力学第一法則の各項を具体的に計算するための「部品」となる法則です。特に、理想気体の内部エネルギーが温度だけで決まる (\(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)) という事実は、熱力学の問題を解く上で極めて重要です。また、状態方程式 (\(pV=nRT\)) は、気体の状態変化を追跡し、仕事などを計算する際の土台となります。
  • 理解のポイント:
    • 状態量と変化量: 状態方程式は気体のある一瞬の「状態」を記述するのに対し、熱力学第一法則や内部エネルギーの公式は、ある状態から別の状態への「変化」を記述します。この区別を意識することが重要です。
    • 気体の種類: 内部エネルギーの公式の係数(\(\frac{3}{2}\))やモル比熱の値は、気体が単原子分子か二原子分子かによって異なります。問題文の条件を必ず確認する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 定積変化: 体積を一定に保ったまま加熱・冷却する問題。この場合、気体は外部に仕事をしないので \(W’=0\) となります。熱力学第一法則は \(\Delta U = Q\) となり、与えられた熱がすべて内部エネルギーの増加に使われます。
  • 等温変化: 温度を一定に保ったまま体積を変化させる問題。この場合、温度が変化しないので内部エネルギーも変化せず \(\Delta U=0\) となります。熱力学第一法則は \(0 = Q – W’\)、すなわち \(Q=W’\) となり、吸収した熱がすべて外部への仕事に使われます。
  • 断熱変化: 外部との熱のやりとりを遮断して体積を変化させる問題。この場合、\(Q=0\) なので熱力学第一法則は \(\Delta U = -W’\) となります。気体が膨張して仕事(\(W’>0\))をすると、内部エネルギーが減少し(\(\Delta U<0\))、温度が下がります。
  • サイクル（循環過程）: 気体がいくつかの状態変化を経て元の状態に戻る問題。1サイクル全体で考えると、温度が元に戻るので内部エネルギーの変化は \(\Delta U = 0\) です。したがって、\(Q=W’\) となり、1サイクルで気体が吸収した正味の熱量が、外部にした正味の仕事に等しくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「何変化」かを見極める: 問題文から「圧力が一定（定圧）」「体積が一定（定積）」「温度が一定（等温）」「熱の出入りがない（断熱）」のどれに該当するかを最初に特定します。これにより、使うべき公式や、\( \Delta U, Q, W’ \) のうちどれかが \(0\) になるなどの条件が絞り込めます。
  2. P-Vグラフをイメージする: 状態変化をP-Vグラフ上で考えると、視覚的に理解しやすくなります。特に、気体がした仕事 \(W’\) は、グラフとV軸で囲まれた面積に相当します。定圧変化なら長方形、等温・断熱変化なら曲線の下の面積です。
  3. 熱力学第一法則を常に念頭に置く: どの物理量を問われていても、最終的には熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W’\) に帰着することがほとんどです。この式を立式し、未知数が何か、既知の量は何か、そして既知でない量をどうやって計算するか、という思考の設計図を描くことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度の単位換算ミス:
  • 誤解: シャルルの法則や状態方程式、内部エネルギーの公式に、セルシウス温度(\(^\circ\text{C}\))をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 熱力学で使われる公式の温度 \(T\) は、ほぼすべて「絶対温度(\(\text{K}\))」です。問題文で温度が \(^\circ\text{C}\) で与えられたら、計算を始める前にまず \(T = t + 273\) を使って絶対温度に変換する癖をつけましょう。ただし、温度「変化」\(\Delta T\) に関しては、\(\Delta T = \Delta t\) なので、セルシウス温度の差をそのまま使っても構いません。
• 仕事の符号の混同:
  • 誤解: 気体が「した」仕事と「された」仕事を取り違え、熱力学第一法則の符号を間違える。
  • 対策: 物理では、気体が外部にした仕事を \(W’\) (または \(W_{\text{out}}\))、外部からされた仕事を \(W\) (または \(W_{\text{in}}\)) として区別することがあります。法則の形も \(\Delta U = Q – W’\) や \(\Delta U = Q + W\) のように変わります。自分がどちらの定義で立式しているのかを常に明確に意識することが重要です。「膨張すれば気体は仕事をし(\(W’>0\))、圧縮されれば仕事をされる(\(W>0\))」という物理的なイメージを持つと間違いが減ります。
• モル比熱の混同:
  • 誤解: 定圧変化なのに定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) を使って熱量を計算してしまう（またはその逆）。
  • 対策: 「定圧」変化には「定圧」モル比熱 \(C_p\), 「定積」変化には「定積」モル比熱 \(C_V\) を使う、という対応を確実に覚えましょう。\(C_p\) の方が \(C_V\) より大きい (\(C_p = C_V + R\)) のは、定圧変化では外部への仕事にもエネルギーを消費するため、同じ温度を上げるのにより多くの熱が必要だから、という理由付けも理解しておくと忘れにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（シャルルの法則）:
  • 選定理由: 問題の条件が「圧力一定」であり、知りたいのが「体積と温度の関係」だからです。この条件に特化した物理法則がシャルルの法則 \(\frac{V}{T}=\text{一定}\) です。より根源的な理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) から出発し、\(p, n, R\) が定数であることから導いても同じ結論に至ります。
  • 適用根拠: 理想気体というモデルが、現実の気体の振る舞いをよく近似できる範囲で、この法則は常に成り立ちます。
• (2)での公式選択（内部エネルギーの公式）:
  • 選定理由: 求めたいのが「内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)」であり、(1)で「温度変化 \(\Delta T\)」が分かったからです。理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数であるため、\(\Delta T\) から \(\Delta U\) を計算する公式 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を選択するのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」と明記されていることが、係数 \(\frac{3}{2}\) を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。
• (3)での公式選択（定圧モル比熱の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのが「熱量 \(Q\)」であり、変化が「定圧変化」であることが分かっているからです。定圧変化における熱量を、物質量 \(n\) と温度変化 \(\Delta T\) から求めるために定義された量が「定圧モル比熱 \(C_p\)」であり、公式 \(Q=nC_p\Delta T\) はその定義そのものです。
  • 適用根拠: 単原子分子理想気体の場合、\(C_p = \frac{5}{2}R\) であるという物理的な事実が、この公式を具体的に計算するための根拠となります。
• (4)での公式選択（熱力学第一法則）:
  • 選定理由: 求めたいのが「仕事 \(W’\)」であり、ここまでの計算で、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W’\) を構成する他の2つの量、\(\Delta U\) と \(Q\) がすでに求まっているからです。3つの量のうち2つが分かっていれば、残りの1つはこの法則から計算できます。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則は、あらゆる熱力学的な過程に適用できる普遍的なエネルギー保存則であり、この問題の定圧変化も例外ではないため、無条件に適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の扱いは最後に:
  • 計算途中では、\(3735\,\text{J}\) や \(6225\,\text{J}\) のように、有効数字より1桁多く残しておきましょう。例えば(4)の計算で、丸めた後の \(3.7 \times 10^3\) と \(6.2 \times 10^3\) を使うと、\(W’ = (6.2-3.7)\times 10^3 = 2.5 \times 10^3\) となりますが、より正確な値で計算した \(2490\) を丸めた \(2.5 \times 10^3\) とは意味合いが異なります。途中で丸めると誤差が大きくなる可能性があるため、最終的な答えを出す段階で指定された有効数字に揃えるのが原則です。
• 分数のまま計算する:
  • \(\frac{3}{2}\) や \(\frac{5}{2}\) を \(1.5\) や \(2.5\) の小数に直して計算しても良いですが、場合によっては分数のままの方が計算が楽なこともあります。例えば、\(\Delta T = 200\,\text{K}\) だった場合、\(\frac{3}{2} \times 200 = 3 \times 100 = 300\) のように、先に約分することで暗算が容易になります。
• 関係式による検算:
  • 別解で示したように、定圧変化では \(W’ = nR\Delta T\) が成り立ちます。主たる解法で \(W’\) を求めた後、この式でも検算してみましょう。\(W’ = 1.0 \times 8.3 \times 300 = 2490\,\text{J}\)。(4)の答えと一致しており、計算が正しいことを裏付けられます。
  • 同様に、\(Q = \Delta U + W’\) の関係も検算に使えます。\(3735 + 2490 = 6225\,\text{J}\)。(3)の答えと一致します。このように、複数の物理法則が相互に関連していることを利用して検算する癖をつけると、ミスの発見率が格段に上がります。

基本例題43 \(p\)-\(V\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(p\)-\(V\)グラフの読解と熱力学サイクルの解析」です。グラフから気体の状態変化を読み取り、各過程における物理量を計算する典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
気体の物質量 \(n\) を求めるには、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を使います。この式を使うには、ある一つの状態における圧力 \(p\)、体積 \(V\)、温度 \(T\) の3つの値が必要です。問題の条件から、状態Aについてはこれらすべての値が分かっているので、状態Aについて状態方程式を立てて \(n\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• グラフの軸の単位に注意する。圧力は \(\times 10^5\,\text{Pa}\)、体積は \(\times 10^{-3}\,\text{m}^3\) となっている。
• 状態方程式に代入する値の単位をSI単位系に揃える。

具体的な解説と立式
\(p\)-\(V\)グラフから、状態Aの圧力 \(p_A\) と体積 \(V_A\) を読み取ります。

• 圧力: \(p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
• 体積: \(V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

問題文より、状態Aの温度 \(T_A\) は、

• 温度: \(T_A = 200\,\text{K}\)

これらの値を理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_A V_A &= n R T_A
\end{aligned}
$$
この式を \(n\) について解きます。

\(n\) についての式に変形します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{p_A V_A}{R T_A}
\end{aligned}
$$
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3})}{8.3 \times 200} \\[2.0ex]
&= \frac{1.0 \times 10^2}{200} \\[2.0ex]
&= \frac{100}{200} \\[2.0ex]
&= 0.50\,\text{mol}
\end{aligned}
$$

気体の性質を調べるための万能な公式が「状態方程式」です。この公式を使えば、気体の「圧力」「体積」「温度」の3点セットが分かっているときに、その気体がどれくらいの量（物質量）あるのかを計算できます。グラフからA地点の3点セットの値を読み取って、公式に当てはめるだけです。

気体の物質量は \(0.50\,\text{mol}\) と求まりました。計算過程で気体定数 \(R=8.3\) がきれいに約分できたことから、値の妥当性がうかがえます。

問(2)

思考の道筋とポイント
A→Bの過程は、グラフから体積が一定の「定積変化」であることがわかります。定積変化で気体が吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、公式 \(Q = nC_V\Delta T\) で計算できます。ここで \(C_V\) は定積モル比熱で、単原子分子理想気体の場合は \(C_V = \frac{3}{2}R\) です。
この計算には温度変化 \(\Delta T = T_B – T_A\) が必要なので、まず状態Bの温度 \(T_B\) を求める必要があります。模範解答ではボイル・シャルルの法則を使っています。
この設問における重要なポイント

• A→Bは定積変化。
• 定積変化で吸収する熱量は、内部エネルギーの増加に等しい (\(Q_{AB} = \Delta U_{AB}\))。
• 単原子分子の定積モル比熱は \(C_V = \frac{3}{2}R\)。
• まず状態Bの温度 \(T_B\) を求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、状態Bの温度 \(T_B\) を求めます。AとBの状態でボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
グラフから \(p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\), \(p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_B = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) であり、\(T_A = 200\,\text{K}\) です。

次に、吸収した熱量 \(Q_{AB}\) を計算します。A→Bは定積変化なので、気体がする仕事は \(0\) です。熱力学第一法則より、吸収した熱量はすべて内部エネルギーの増加になります。
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \Delta U_{AB}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの増加は、定積モル比熱 \(C_V\) を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{AB} &= nC_V \Delta T
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体では \(C_V = \frac{3}{2}R\) なので、
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= n \left(\frac{3}{2}R\right) (T_B – T_A)
\end{aligned}
$$

• 温度 \(T_B\) の計算
  ボイル・シャルルの法則の式に値を代入します。\(V_A = V_B\) なので、式は \(\frac{p_A}{T_A} = \frac{p_B}{T_B}\) と簡単になります。
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{1.0 \times 10^5}{200} &= \frac{2.0 \times 10^5}{T_B}
  \end{aligned}
  $$
  これを \(T_B\) について解くと、
  $$
  \begin{aligned}
  T_B &= 200 \times \frac{2.0 \times 10^5}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex]
  &= 400\,\text{K}
  \end{aligned}
  $$
• 熱量 \(Q_{AB}\) の計算
  \(n=0.50\,\text{mol}\), \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\), \(T_A=200\,\text{K}\), \(T_B=400\,\text{K}\) を熱量の式に代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{AB} &= \frac{3}{2} n R (T_B – T_A) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2} \times 0.50 \times 8.3 \times (400 – 200) \\[2.0ex]
  &= 1.5 \times 0.50 \times 8.3 \times 200 \\[2.0ex]
  &= 1245\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
  有効数字2桁で答えるため、\(1.2 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

AからBへは、体積を変えずに圧力を上げています。これは、容器を密閉したまま火で温めるような状況です。まず、圧力が2倍になったことで、温度が何Kになったかを計算します。次に、その温度上昇のために、どれだけの熱量を外部から与える必要があったかを計算します。

温度が \(200\,\text{K}\) から \(400\,\text{K}\) に上昇しているので、外部から熱を吸収したはずです。計算結果が \(Q_{AB} > 0\) となったことは、物理的な状況と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
C→Aの過程は、グラフから圧力が一定の「定圧変化」です。この過程で気体が「された」仕事 \(W_{CA}\) を求めます。気体が「外部にした」仕事を \(W’_{CA}\) とすると、\(W’_{CA} = p \Delta V = p_A (V_A – V_C)\) となります。気体が「された」仕事 \(W_{CA}\) は、この \(W’_{CA}\) の符号を逆にしたもの、すなわち \(W_{CA} = -W’_{CA}\) です。模範解答で使われている \(W = -p\Delta V\) はこの関係を直接表す公式です。
この設問における重要なポイント

• C→Aは定圧変化。
• 気体が「された」仕事 \(W\) と「した」仕事 \(W’\) の関係は \(W = -W’\)。
• C→Aは体積が減少する「圧縮」過程である。

具体的な解説と立式
C→Aの過程は圧力 \(p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) で一定です。
体積は \(V_C = 16.6 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) から \(V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) へ変化します。
体積変化 \(\Delta V\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= V_{\text{後}} – V_{\text{前}} \\[2.0ex]
&= V_A – V_C
\end{aligned}
$$
気体が「された」仕事 \(W_{CA}\) は、\(W = -p\Delta V\) の公式で計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -p_A \Delta V \\[2.0ex]
&= -p_A (V_A – V_C)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -(1.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3} – 16.6 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]
&= -(1.0 \times 10^5) \times (-8.3 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]
&= 8.3 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

CからAへは、ピストンが押されて気体の体積が縮んでいます。これは、外部が気体に対して力を加えて押し込んだ、つまり気体が「仕事をされた」状況です。仕事の量は「圧力 × 体積の変化量」で計算できます。

気体は圧縮されているので、外部から正の仕事をされています。計算結果が \(W_{CA} > 0\) となったことは、物理的な状況と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
B→Cの過程は、問題文に「温度一定」とあるので「等温変化」です。等温変化では、ボイルの法則により、圧力 \(p\) と体積 \(V\) の積は一定になります (\(pV = \text{一定}\))。この一定値を、状態Bの \(p_B\) と \(V_B\) の値を使って計算すれば、関係式が求まります。
この設問における重要なポイント

• B→Cは等温変化。
• 等温変化ではボイルの法則 \(pV = \text{一定}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
ボイルの法則より、B→Cの過程では常に \(pV\) の値は一定です。この一定値は、状態Bの圧力と体積の積 \(p_B V_B\) に等しいです。
$$
\begin{aligned}
pV &= p_B V_B
\end{aligned}
$$
グラフから \(p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_B = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) を読み取り、代入します。

$$
\begin{aligned}
pV &= (2.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]
&= 16.6 \times 10^2 \\[2.0ex]
&= 1660
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(1.7 \times 10^3\) となります。
したがって、関係式は \(pV = 1.7 \times 10^3\) です。

BからCへの変化は、温度を一定に保ったまま、ゆっくりピストンを引いていくような状況です。このとき、圧力と体積は「反比例」の関係になります。この関係を「\(p \times V = (\text{ある決まった数})\)」という数式で表します。その決まった数を、B地点の値を使って計算します。

関係式 \(pV = 1.7 \times 10^3\) が求まりました。これは \(p\) と \(V\) が反比例することを表す双曲線の方程式であり、グラフのB→Cの曲線と整合性がとれています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(p\)-\(V\)グラフの読解と基本法則の連携
  • 核心: この問題の根幹は、まず\(p\)-\(V\)グラフという「図」から物理的な情報を正確に読み取る能力です。グラフ上の各点(A, B, C)が気体の「状態」を、各点を結ぶ線(A→B, B→C, C→A)が「状態変化の過程」を表していることを理解し、それぞれの過程が定積・等温・定圧のどれに該当するかを特定することが全ての出発点となります。その上で、読み取った情報と熱力学の基本法則（状態方程式、熱力学第一法則）を有機的に結びつけて、未知の物理量を解き明かしていく思考プロセスが問われます。
  • 理解のポイント:
    • グラフと法則の対応: グラフの「点（状態）」に関する計算（例：物質量\(n\)や未知の温度\(T\)を求める）には状態方程式 \(pV=nRT\) を、グラフの「線（過程）」に関する計算（例：熱\(Q\)や仕事\(W’\)を求める）には熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W’\) と各過程の公式を適用する、という使い分けを意識することが重要です。
    • 過程の特定: グラフの線が縦軸に平行（垂直）なら体積一定の「定積変化」、横軸に平行（水平）なら圧力一定の「定圧変化」、反比例の曲線（双曲線）なら温度一定の「等温変化」であると瞬時に判断できるようにします。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W’\))
  • 核心: 各状態変化におけるエネルギーの出入りを計算するための中心的な法則です。気体の内部エネルギーの変化(\(\Delta U\))、吸収した熱量(\(Q\))、外部にした仕事(\(W’\))という3つの要素の関係性を表すエネルギー保存則であり、この問題のように複数の過程を解析する際には不可欠なツールとなります。
  • 理解のポイント:
    • 過程ごとの適用: 熱力学第一法則は、A→B、B→C、C→Aといった各過程「ごと」に適用します。それぞれの過程で \(\Delta U, Q, W’\) のうち、何がゼロになるか、あるいは簡単に計算できるかを見極めることが解法の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 断熱変化を含むサイクル: \(p\)-\(V\)グラフ上で、等温変化の曲線よりも傾きが急な曲線で表されるのが断熱変化です。この過程では \(Q=0\) となるため、熱力学第一法則は \(\Delta U = -W’\) となります。
  • サイクル全体の仕事と熱: 気体がA→B→C→Aと一周して元の状態に戻る場合、サイクル全体の内部エネルギー変化は \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\) です。したがって、熱力学第一法則は \(Q_{\text{net}} = W’_{\text{net}}\) となります。これは「1サイクルで気体が吸収した正味の熱量が、外部にした正味の仕事に等しい」ことを意味します。
  • サイクルが囲む面積: サイクル全体の仕事 \(W’_{\text{net}}\) は、\(p\)-\(V\)グラフ上でサイクルが囲む閉じたループの面積に等しくなります。サイクルが時計回りなら気体は正味の仕事をし(\(W’_{\text{net}} > 0\))、反時計回りなら正味の仕事をされます(\(W’_{\text{net}} < 0\))。
  • 熱効率を問う問題: このサイクルを熱機関とみなした場合、その熱効率 \(e\) は「（1サイクルでした正味の仕事）÷（1サイクルで吸収した熱量の合計）」、すなわち \(e = \frac{W’_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}}\) で計算されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸の単位を最優先で確認する: 圧力や体積の軸に \(\times 10^5\) や \(\times 10^{-3}\) のような指数が付いていないか、必ず最初に確認します。これを見落とすと、以降の計算がすべて無意味になります。
  2. 各過程の種類を特定する: A→B、B→C、C→Aがそれぞれ「定積」「等温」「定圧」「断熱」のどれに当たるかを、グラフの形状から判断し、問題用紙の余白に書き込んでおきます。
  3. 状態量をリストアップする: 各点（A, B, C）について、\(p, V, T\) の値を書き出すための表を作成すると便利です。最初はグラフから読み取れる値と問題文で与えられた値を埋め、計算で分かった値を随時追記していくことで、情報が整理され思考がクリアになります。
  4. どの法則から手をつけるか判断する:
     • 物質量 \(n\) や未知の温度 \(T\) を求めたい → まずは状態方程式 \(pV=nRT\) を考える。
     • 熱量 \(Q\)、内部エネルギー \(\Delta U\)、仕事 \(W’\) を求めたい → 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W’\) を基本に据え、各過程の性質（例：定積なら \(W’=0\)、等温なら \(\Delta U=0\)）を利用して式を簡略化できないか考える。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• グラフの軸の単位の見落とし:
  • 誤解: 軸の数値だけを見て、\(p_A=1.0\,\text{Pa}\), \(V_A=8.3\,\text{m}^3\) のように計算してしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、必ずグラフの軸のラベル全体（例: \(p\,[\times 10^5\,\text{Pa}]\)) を指差し確認する癖をつけましょう。読み取った値に、指定された倍率を掛けることを忘れないようにします。
• 仕事の符号の混同:
  • 誤解: (3)で「された仕事」を問われているのに、体積変化から計算した「した仕事」をそのまま答えてしまう。
  • 対策: 「体積が増加（膨張）すれば、気体は外部に正の仕事をし(\(W’>0\))」「体積が減少（圧縮）すれば、気体は外部から正の仕事をされる(\(W>0\))」という物理的イメージを常に持つことが重要です。数式上では \(W = -W’\) の関係が成り立ちます。\(p\)-\(V\)グラフでは、過程が右に進めば \(W’>0\)、左に進めば \(W'<0\) と視覚的に判断できます。
• 内部エネルギー変化の誤解:
  • 誤解: どんな過程でも内部エネルギーは変化する、あるいは、サイクルだから常にゼロだと考えてしまう。
  • 対策: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度だけで決まります。したがって、内部エネルギーが変化しない(\(\Delta U = 0\))のは「等温変化」の過程だけです（サイクル全体で始点と終点の温度が同じ場合も \(\Delta U_{\text{cycle}}=0\) となります）。温度が上がる過程（A→B）では \(\Delta U > 0\)、温度が下がる過程（C→A）では \(\Delta U < 0\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「物質量 \(n\)」です。そして、状態Aという一つの「点」において、圧力 \(p\)、体積 \(V\)、温度 \(T\) の3つの状態量がすべて判明しています。これら4つの物理量を結びつける唯一の法則が、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されているため、この方程式を適用することが正当化されます。
• (2)での公式選択（ボイル・シャルルの法則＋定積変化の熱量の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのはA→Bの過程で吸収した「熱量 \(Q_{AB}\)」です。A→Bは「定積変化」なので、気体は仕事をしません(\(W’_{AB}=0\))。熱力学第一法則は \(\Delta U_{AB} = Q_{AB}\) となり、熱量を求めるには内部エネルギーの変化を計算すればよい、と分かります。内部エネルギーの変化は \(\Delta U = nC_V\Delta T\) で計算できるため、温度変化 \(\Delta T = T_B – T_A\) が必要になります。そこで、まず \(T_B\) を求めるために、AとBの2状態を比較するボイル・シャルルの法則が選択されます。
  • 適用根拠: (1)で求めた物質量 \(n\) が変化しない閉じた系であるため、ボイル・シャルルの法則が適用できます。また、「単原子分子」という指定があるため、定積モル比熱として \(C_V = \frac{3}{2}R\) を用いることができます。
• (3)での公式選択（定圧変化の仕事の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのはC→Aの過程で「された仕事 \(W_{CA}\)」です。この過程は「定圧変化」であり、その仕事は \(p\) と \(\Delta V\) から直接計算できます。したがって、仕事の定義から導かれる公式 \(W = -p\Delta V\) を選択するのが最も直接的で効率的です。
  • 適用根拠: グラフから圧力が一定であることが読み取れるため、この公式が適用できます。
• (4)での公式選択（ボイルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのはB→Cの過程における「\(p\) と \(V\) の関係式」です。この過程は「等温変化」であると指定されています。等温変化における圧力と体積の関係を記述する法則が、ボイルの法則 \(pV = \text{一定}\) です。
  • 適用根拠: 問題文に「B→Cは温度一定であった」と明記されていることが、この法則を適用する直接的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 状態量を表にまとめる:
  • 計算を始める前に、以下のような表を作成し、分かっている値を書き込むことを強く推奨します。空欄を埋めていくことで、次に何をすべきかが明確になります。
    

    状態	\(p\,[\times 10^5\,\text{Pa}]\)	\(V\,[\times 10^{-3}\,\text{m}^3]\)	\(T\,[\text{K}]\)
    A	\(1.0\)	\(8.3\)	\(200\)
    B	\(2.0\)	\(8.3\)	(\(400\))
    C	(\(1.0\))	(\(16.6\))	(\(400\))

• 単位を含めて立式する:
  • 慣れないうちは、\(n = \frac{(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}) \times (8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3)}{(8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}) \times (200\,\text{K})}\) のように単位も一緒に書くと、単位が正しく約分されて \(\text{mol}\) になるかを確認でき、ケアレスミスを防げます。
• 指数計算を丁寧に行う:
  • \(10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2\) のような指数法則の計算は、焦ると間違えやすいポイントです。落ち着いて処理しましょう。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • A→B: 定積で加熱しているので、圧力と温度が上がるはず。(\(p_B > p_A\), \(T_B > T_A\)) → OK。
  • B→C: 等温で膨張しているので、圧力は下がるはず。(\(p_C < p_B\)) → OK。
  • C→A: 定圧で冷却（圧縮）しているので、温度は下がるはず。(\(T_A < T_C\)) → OK。
  • このように、各過程で状態量が物理的に妥当な変化をしているかを確認するだけで、大きな間違いに気づくことができます。
• サイクル全体の検算:
  • 1サイクル後の内部エネルギー変化がゼロになるかを確認するのも有効な検算です。\(\Delta U_{\text{cycle}} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA}\)。
  • \(\Delta U_{AB} = 1245\,\text{J}\)。B→Cは等温なので \(\Delta U_{BC}=0\)。C→Aは温度が \(400\,\text{K} \to 200\,\text{K}\) に下がるので、\(\Delta U_{CA} = \frac{3}{2}nR(T_A-T_C) = -1245\,\text{J}\)。
  • よって、\(\Delta U_{\text{cycle}} = 1245 + 0 + (-1245) = 0\)。計算全体に矛盾がないことが確認できます。

基本例題44 断熱変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱変化における熱力学計算」です。外部との熱のやりとりがない状態で気体を圧縮・膨張させたときに、内部エネルギーや仕事がどうなるかを問う問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
単原子分子からなる理想気体の内部エネルギーは、絶対温度 \(T\) のみに依存します。したがって、内部エネルギーの増加量 \(\Delta U\) は、温度の上昇分 \(\Delta T\) に比例します。問題文で変化前後の温度が与えられているので、公式 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を使って直接計算できます。
この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
• \(\Delta T\) は変化後の温度から変化前の温度を引いたもの (\(\Delta T = T_B – T_A\))。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている値は以下の通りです。

• 物質量: \(n = 0.10\,\text{mol}\)
• 気体定数: \(R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• 状態Aの温度: \(T_A = 500\,\text{K}\)
• 状態Bの温度: \(T_B = 900\,\text{K}\)

温度変化 \(\Delta T\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= T_B – T_A \\[2.0ex]
&= 900 – 500 \\[2.0ex]
&= 400\,\text{K}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) の公式に、これらの値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \times 0.10 \times 8.3 \times 400 \\[2.0ex]
&= 1.5 \times 0.10 \times 8.3 \times 400 \\[2.0ex]
&= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(5.0 \times 10^2\,\text{J}\) となります。

気体の「内部エネルギー」は、その気体の温度で決まります。今回は気体の温度が \(500\,\text{K}\) から \(900\,\text{K}\) に上がったので、内部エネルギーもその分だけ増えたはずです。どれくらい増えたかを、専用の公式を使って計算します。

温度が上昇しているので、内部エネルギーが増加する (\(\Delta U > 0\)) のは物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は「断熱的に変化させた」という記述です。これは、気体と外部との間で熱のやりとりがなかった (\(Q=0\)) ことを意味します。この条件を、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) (ここで \(W\) は気体が「された」仕事) に適用します。すると、された仕事 \(W\) が内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) に等しいことがわかります。
この設問における重要なポイント

• 断熱変化では、熱の出入りがないので \(Q=0\)。
• 熱力学第一法則は \(\Delta U = Q + W\)。
• 上記2点より、断熱変化では \(\Delta U = W\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、気体がされた仕事を \(W\) とすると、
$$ \Delta U = Q + W $$
と表されます。
断熱変化なので、外部との熱のやりとりは \(0\) です。
$$ Q = 0 $$
したがって、熱力学第一法則は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= 0 + W
\end{aligned}
$$
となり、
$$
\begin{aligned}
W &= \Delta U
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。つまり、気体がされた仕事は、(1)で求めた内部エネルギーの増加に等しくなります。

(1)で求めた \(\Delta U = 498\,\text{J}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
W &= \Delta U \\[2.0ex]
&= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(5.0 \times 10^2\,\text{J}\) となります。

「断熱」とは、熱が逃げたり入ってきたりしない魔法瓶のような状態のことです。このような状態で気体を無理やり押し縮める（仕事をする）と、加えたエネルギーは熱として逃げることができないため、すべて気体の温度を上げるために使われます。つまり、「気体がされた仕事」の分だけ、そのまま「内部エネルギーが増加」します。

グラフを見ると、気体は体積が \(V_A\) から \(V_B\) へと減少、つまり圧縮されています。気体が圧縮されるとき、外部から仕事をされるので、\(W\) が正の値になるのは物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
状態Bにおける気体の体積 \(V_B\) を求めます。状態Bについては、圧力 \(p_B\)、温度 \(T_B\)、そして物質量 \(n\) がすべて分かっています。これらの状態量を結びつける理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を用いれば、未知数である体積 \(V_B\) を計算することができます。
この設問における重要なポイント

• 状態Bの圧力、温度、物質量の値を正確に把握する。
• 理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を \(V\) について解く。
• 計算時に単位をSI単位系に統一する。

具体的な解説と立式
状態Bにおける各値は以下の通りです。

• 圧力: \(p_B = 3.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
• 温度: \(T_B = 900\,\text{K}\)
• 物質量: \(n = 0.10\,\text{mol}\)
• 気体定数: \(R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)

これらの値を、状態Bについての理想気体の状態方程式に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_B V_B &= n R T_B
\end{aligned}
$$
この式を \(V_B\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
V_B &= \frac{n R T_B}{p_B} \\[2.0ex]
&= \frac{0.10 \times 8.3 \times 900}{3.0 \times 10^5} \\[2.0ex]
&= \frac{747}{3.0 \times 10^5} \\[2.0ex]
&= 249 \times 10^{-5} \\[2.0ex]
&= 2.49 \times 10^{-3}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(2.5 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) となります。

気体の状態Bについて、「圧力」「温度」「量（物質量）」の3つの情報がわかっています。これらの情報を使えば、万能公式である「状態方程式」を用いて、残る1つの情報である「体積」を計算することができます。

断熱圧縮により、気体の体積は減少するはずです。参考として状態Aの体積を計算すると \(V_A = \frac{nRT_A}{p_A} = \frac{0.10 \times 8.3 \times 500}{1.0 \times 10^5} = 4.15 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) となり、\(V_B < V_A\) であることが確認できます。計算結果は物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 断熱変化における熱力学第一法則
  • 核心: この問題の根幹は、「断熱的に変化させた」という一文から、熱の出入りがゼロ (\(Q=0\)) であると即座に判断することです。この条件を熱力学の基本法則である熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q+W\)) に適用すると、式は \(\Delta U = W\) (Wはされた仕事) という非常にシンプルな形になります。これは「断熱圧縮では、外部からされた仕事がすべて内部エネルギーの増加に変わる」という断熱変化の本質を直接表しています。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの変換: 断熱変化は、仕事と内部エネルギーが直接変換される過程です。外部から仕事をされれば（圧縮）、そのエネルギーは内部エネルギーに変わり温度が上昇します。逆に外部へ仕事をすれば（膨張）、内部エネルギーを消費して仕事をするため温度が下降します。
    • 仕事の定義: この問題の模範解答では、熱力学第一法則の \(W\) を「気体が外部からされた仕事」として扱っています。圧縮過程では外部が気体を押すので、気体は正の仕事をされます。
• 理想気体の内部エネルギーの公式
  • 核心: 熱力学第一法則を具体的に計算するための重要な部品です。理想気体の内部エネルギーは絶対温度だけで決まるため、その変化量 \(\Delta U\) は温度変化 \(\Delta T\) から直接計算できます。特に、問題文の「単原子分子」という条件から、公式 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を選択することが鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 温度変化との直結: 内部エネルギーの変化を問われたら、まず温度変化を考えます。この問題では初めから温度が与えられているため、この公式を使えば直ちに \(\Delta U\) を計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 断熱膨張: 断熱圧縮の逆の過程です。例えば、エアダスターの缶から気体を噴出させると缶が冷たくなるのは、気体が外部へ仕事（膨張）をすることで内部エネルギーが減少し、温度が下がる断熱膨張の一例です。この場合、\(W\) は負の値（仕事をされるのではなく、する）となり、\(\Delta U\) も負になります。
  • ポアソンの法則を用いる問題: 断熱変化では、\(pV^\gamma = \text{一定}\) という関係（ポアソンの法則）が成り立ちます（\(\gamma\) は比熱比で、単原子分子なら \(\frac{5}{3}\)）。この問題では温度が与えられていたため不要でしたが、温度が未知の場合にはこの法則を使って状態量を計算する必要があります。
  • 等温変化とのグラフ比較: \(p\)-\(V\)グラフ上で、断熱変化を表す曲線は、等温変化を表す曲線（反比例のグラフ）よりも傾きが急になります。これは、断熱圧縮では温度が上昇するため、同じ体積変化でも等温変化より圧力が高くなるためです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「断熱」のキーワードを探す: 問題文に「断熱」とあれば、反射的に \(Q=0\) とし、熱力学第一法則が \(\Delta U = W\) (または \(\Delta U = -W’\)) となることを念頭に置きます。
  2. 「圧縮」か「膨張」かを見極める: グラフの矢印の向き（体積が減少か増加か）や、問題文の記述から、気体が仕事をされたのか、したのかを判断します。これにより、\(W\) や \(\Delta U\) の符号を予測できます。この問題では圧縮なので、\(W>0\), \(\Delta U>0\) となります。
  3. 与えられた状態量を確認する: 変化の前後の状態で、\(p, V, T\) のうちどの量が与えられているかを確認します。
     • 温度が分かっていれば → \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) から内部エネルギーを計算するのが早い。
     • 圧力と体積が分かっていれば → ポアソンの法則や状態方程式を駆使して未知の量を求める必要がある。
  4. 設問の順番にこだわらない: 例えば、(1)で \(\Delta U\) を求めるのに温度が必要だが与えられていない、しかし(3)で体積を求めれば \(\Delta U = \frac{3}{2}(p_B V_B – p_A V_A)\) で計算できる、といったケースもあります。解ける設問から解いていく戦略も有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 断熱変化と等温変化の混同:
  • 誤解: 「断熱」を「温度が一定」と勘違いし、\(\Delta U = 0\) と置いてしまう。
  • 対策: 「断熱」はあくまで「熱の出入りがない(\(Q=0\))」という意味です。熱の逃げ場がない状態で圧縮されれば、エネルギーが内部に溜まるので必ず温度は上昇します。逆に膨張すれば、内部のエネルギーを使って仕事をするので温度は下降します。「断熱 \(\neq\) 等温」と強く意識しましょう。
• 仕事の符号の混同:
  • 誤解: 「された仕事」を問われているのに、感覚的に「した仕事」を計算して符号を間違える。
  • 対策: 熱力学第一法則の \(W\) が「された仕事」なのか「した仕事」なのか、自分が使っている式の定義を常に明確にすることが最も重要です。物理的なイメージとして、「気体がエネルギーを得る（＝仕事をされる）なら \(W\) は正」「気体がエネルギーを失う（＝仕事をする）なら \(W\) は負」と考えると、\(\Delta U = Q+W\) の式と整合性がとれます。
• 内部エネルギーの公式の係数ミス:
  • 誤解: 気体の種類に関わらず、常に \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を使ってしまう。
  • 対策: この公式の係数 \(\frac{3}{2}\) は「単原子分子」の場合に限定されます。問題文に「単原子分子」という記述があるかを必ず指差し確認する癖をつけましょう。もし「二原子分子」であれば、係数は \(\frac{5}{2}\) になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（内部エネルギーの公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「内部エネルギーの増加 \(\Delta U\)」であり、問題文で変化前後の「温度 \(T_A, T_B\)」が直接与えられています。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるため、この2つの物理量を直接結びつける公式 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) を選択するのが最も合理的かつ効率的です。
  • 適用根拠: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」と明記されていることが、係数 \(\frac{3}{2}\) を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。
• (2)での公式選択（熱力学第一法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「された仕事 \(W\)」です。そして、この問題の最も重要な条件は「断熱変化」であることです。この条件 (\(Q=0\)) を最大限に活用できるのが、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\) です。この法則に \(Q=0\) を代入すれば、(1)で求めた \(\Delta U\) と求めたい \(W\) が \( \Delta U = W \) という形で直接結びつきます。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則は、あらゆる熱力学的な過程に適用できる普遍的なエネルギー保存則であり、この問題の断熱変化も例外ではないため、無条件に適用できます。
• (3)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは状態Bにおける「体積 \(V_B\)」です。状態Bという一つの「点（状態）」について、他の3つの状態量（圧力 \(p_B\)、温度 \(T_B\)、物質量 \(n\)）がすべて既知です。ある一つの状態における4つの物理量 \(p, V, n, T\) を関係づける法則は、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) しかありません。
  • 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されていることが、この方程式を適用する根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と接頭語の確認を徹底する:
  • 計算を始める前に、圧力の単位が \(\text{Pa}\) であること、グラフの軸に \(\times 10^5\) のような倍率がついていることを確認します。これらの値を計算式に正しく反映させることが、正確な計算の第一歩です。
• 有効数字の意識:
  • 問題文で与えられている物理量（\(0.10\,\text{mol}\), \(1.0\times 10^5\,\text{Pa}\) など）は有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に揃える必要があります。計算途中では \(498\,\text{J}\) のように少し多めに桁を残しておき、最後に四捨五入するのが基本です。
• 物理的な妥当性を常に吟味する:
  • 計算結果が出たら、それが物理的にありえるかどうかを考えます。
    • (1) 断熱圧縮で温度が \(500\,\text{K} \to 900\,\text{K}\) と上昇しているので、内部エネルギーは増加するはず。→ \(\Delta U > 0\) であり、OK。
    • (2) 気体は圧縮されているので、外部から仕事を「された」はず。→ \(W > 0\) であり、OK。
    • (3) 断熱圧縮なので、体積は減少するはず。計算結果が初期体積 \(V_A\) より小さくなっているかを確認する。(\(V_A = 4.15 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) に対し \(V_B = 2.5 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) なのでOK)
• 概算による検算:
  • 気体定数を \(R \approx 8.0\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) として、大まかな値を計算してみます。
    • (1) \(\Delta U \approx 1.5 \times 0.1 \times 8.0 \times 400 = 480\,\text{J}\)。計算結果の \(498\,\text{J}\) と近い値です。
    • (3) \(V_B \approx \frac{0.1 \times 8.0 \times 900}{3.0 \times 10^5} = \frac{720}{3.0 \times 10^5} = 240 \times 10^{-5} = 2.4 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)。計算結果の \(2.49 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) と非常に近く、桁違いのミスがないことを確認できます。

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基本問題

307 内部エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

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