無料でしっかり基礎固め！物理基礎 問題演習「自由落下と鉛直投げ下ろし（同時到達）」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、鉛直方向の運動（自由落下と鉛直投げ下ろし）に関する問題です。等加速度直線運動の公式を用いて解くことができます。鉛直下向きを正の向きとして座標軸を設定すると考えやすいです。

1. まず、小球Aの運動について解析し、地面に到達する時間を求めます（設問1）。
2. 次に、小球Bの運動について考えます。小球BがAと同時に地面に到達するという条件から、Bが運動している時間を特定します。
3. Bの運動時間と移動距離（高さ \(h\)）が分かれば、鉛直投げ下ろしの公式を用いて初速度 \(v_{B0}\) を求めることができます（設問2）。

鉛直方向の運動（鉛直下向きを正とする）の主な公式は以下です。

• 変位 \(y\): \(\displaystyle y = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2\)
• 速度 \(v\): \(v = v_0 + gt\)
• 関係式: \(v^2 – v_0^2 = 2gy\)

各設問の具体的な解説と解答

(1) A が水平面に到達するまでに要する時間は何秒か。

問われている内容の明確化:
小球Aが初速度 \(0\) m/s で自由落下し、\(19.6\) m下の水平面に到達するまでの時間 \(t_A\) を求めます。

具体的な解説と計算手順:
小球Aについて、鉛直下向きを正とします。

• 初速度 \(v_{A0} = 0\) m/s
• 落下距離 \(y_A = h = 19.6\) m
• 重力加速度 \(g = 9.8\) m/s²
• 所要時間 \(t_A\) [s]

変位の公式 \(\displaystyle y = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2\) を用います。

値を代入すると、
$$19.6 = (0) \cdot t_A + \frac{1}{2} \cdot (9.8) \cdot t_A^2$$
$$19.6 = 4.9 t_A^2$$
\(t_A^2\) について解くと、
$$t_A^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4.0$$
\(t_A > 0\) なので、
$$t_A = \sqrt{4.0} = 2.0 \text{ s}$$

計算方法の平易な説明:
ボールAは最初止まった状態（初速度0）から、重力に引かれて \(19.6\) m 落ちます。この運動を自由落下といいます。

自由落下の距離の公式は、「距離 \( = \frac{1}{2} \times \) 重力加速度 \( \times (\text{時間})^2 \)」です。

ここに数値を当てはめます。

\(19.6 \text{ m} = \frac{1}{2} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (t_A)^2\)

\(19.6 = 4.9 \times (t_A)^2\)

両辺を \(4.9\) で割ると、

\((t_A)^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4.0\)

時間は正の値なので、\(t_A = \sqrt{4.0} = 2.0\) 秒となります。

(2) Aと同時にBが水平面に到達するには初速度 \(v_{B0}[m/s]\) をいくらにすればよいか。

問われている内容の明確化:
小球Aが落下を始めてから \(1.0\) 秒後に小球Bを鉛直に投げ下ろし、小球AとBが同時に水平面に到達するために必要な小球Bの初速度 \(v_{B0}\) を求めます。

具体的な解説と計算手順:
(1)より、小球Aが水平面に到達するのにかかる時間は \(t_A = 2.0\) s です。

小球Bは、Aが落下を始めてから \(1.0\) 秒後に運動を開始し、Aと同時に水平面に到達します。

したがって、小球Bが運動している時間 \(t_B\) は、

\(t_B = t_A – 1.0 \text{ s} = 2.0 \text{ s} – 1.0 \text{ s} = 1.0 \text{ s}\)

小球Bについて、鉛直下向きを正とします。

• 運動時間 \(t_B = 1.0\) s
• 落下距離 \(y_B = h = 19.6\) m
• 重力加速度 \(g = 9.8\) m/s²
• 初速度 \(v_{B0}\) [m/s]

変位の公式 \(\displaystyle y = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2\) を用います。

値を代入すると、
$$19.6 = v_{B0} \cdot (1.0) + \frac{1}{2} \cdot (9.8) \cdot (1.0)^2$$
$$19.6 = v_{B0} + 4.9 \cdot 1.0$$
$$19.6 = v_{B0} + 4.9$$
\(v_{B0}\) について解くと、
$$v_{B0} = 19.6 – 4.9$$
$$v_{B0} = 14.7 \text{ m/s}$$

計算方法の平易な説明:
ボールAが地面に着くのは \(2.0\) 秒後です。ボールBもAと同時に地面に着く必要があります。

ボールBはAより \(1.0\) 秒遅れて出発するので、Bが実際に運動している時間は、\(2.0 \text{ 秒} – 1.0 \text{ 秒} = 1.0 \text{ 秒}\) です。

この \(1.0\) 秒間に、ボールBは \(19.6\) m の距離を、初めの速さ \(v_{B0}\) で投げ下ろされて進みます。

鉛直投げ下ろしの距離の公式は、「距離 \( = (\text{初めの速さ}) \times (\text{時間}) + \frac{1}{2} \times (\text{重力加速度}) \times (\text{時間})^2 \)」です。

ここに数値を当てはめます。

\(19.6 \text{ m} = v_{B0} \times 1.0 \text{ s} + \frac{1}{2} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (1.0 \text{ s})^2\)

\(19.6 = v_{B0} \times 1.0 + 4.9 \times 1.0\)

\(19.6 = v_{B0} + 4.9\)

\(v_{B0}\) を求めるために \(4.9\) を左辺に移項すると、

\(v_{B0} = 19.6 – 4.9 = 14.7\) m/s となります。

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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則

• 自由落下: 物体が初速度 \(0\) で重力のみの影響を受けて落下する運動。等加速度直線運動の一種であり、加速度は重力加速度 \(g\)。
• 鉛直投げ下ろし: 物体が初速度を持って鉛直下向きに投げ出される運動。これも等加速度直線運動であり、加速度は重力加速度 \(g\)。
• 等加速度直線運動の公式:
  • 変位: \(\displaystyle y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
  • 速度: \(v = v_0 + at\)
  • 時間を含まない関係式: \(v^2 – v_0^2 = 2ay\)
  • （鉛直運動の場合、加速度 \(a\) は \(g\) となり、向きによって符号を考慮する）
• 時間の相対性: 複数の物体が異なるタイミングで運動を始める場合、それぞれの運動時間と、全体の中での時間経過を正確に区別して考える必要がある。

類似の問題を解く上でのヒントや注意点

• 運動の向きと座標軸: 鉛直上向きを正とするか、鉛直下向きを正とするかを最初に明確に定め、それに従って速度、変位、加速度の符号を一貫して扱う。一般的に落下運動では鉛直下向きを正とすると計算が簡潔になる場合が多い。
• 情報整理: 各物体について、初速度、時間、変位、加速度の情報を整理し、どの公式を使えば未知数を求められるか検討する。
• 「同時」や「時間差」の条件: 問題文中の時間に関するキーワード（例：「同時に」、「〜秒後に」）から、各物体の運動時間や、物体間の時間関係を正確に数式化する。
• 単位の一貫性: 全ての物理量が基本的な単位（メートル、秒、kgなど）で表されているか確認する。

よくある誤解や間違いやすいポイント

• 運動時間の誤認: 遅れて出発する物体の運動時間を、全体の時間や先に出発した物体の運動時間と混同する。
• 初速度の扱い: 自由落下（初速度 \(0\)）と鉛直投げ下ろし（初速度あり）の区別が曖昧で、公式適用時に初速度の項を誤る。
• 重力加速度の符号: 座標軸の向きと重力加速度の向きを考慮せず、符号を間違える。鉛直下向きを正とすれば、重力加速度 \(g\) は正の値として扱える。
• 代数計算のミス: 方程式を解く過程での移項、割り算、平方根の計算などでミスをしやすい。
• 問題文の読み落とし: 特に時間に関する条件や、初期条件（初速度、初期位置）を正確に読み取らないことによる誤り。

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