未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「自由落下と鉛直投げ下ろし（同時到達）」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由落下と鉛直投げ下ろし」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球Aは初速度0で落下するので、これは「自由落下」運動です。落下する距離（高さ）と重力加速度が分かっているので、等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2\) を使って、落下時間\(t_A\)を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 自由落下は、初速度\(v_0=0\)、加速度\(g\)の等加速度直線運動である。
• 変位、初速度、加速度、時間の関係式を正しく選択する。
• 計算の際には、鉛直下向きを正とすると符号の扱いが楽になる。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとします。小球Aが水平面に到達するまでの時間を \(t_A\) [s] とします。
小球Aの運動について、与えられた条件は、

• 初速度 \(v_{A0} = 0\) m/s
• 変位 \(y = 19.6\) m
• 加速度 \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

等加速度直線運動の変位の公式にこれらの値を代入します。
$$ y = v_{A0} t_A + \frac{1}{2} g t_A^2 \quad \cdots ① $$

式①に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= 0 \times t_A + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_A^2 \\[2.0ex]19.6 &= 4.9 t_A^2 \\[2.0ex]t_A^2 &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]t_A^2 &= 4.0
\end{aligned}
$$
\(t_A > 0\) なので、
$$ t_A = \sqrt{4.0} = 2.0 \text{ [s]} $$

ボールAが \(19.6\) m 落ちるのにかかる時間を求めます。自由落下の距離の公式は「距離 = \( \frac{1}{2} \times \) 重力加速度 \( \times \) 時間の2乗」です。ここに数値を当てはめると、\(19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2\)、つまり \(19.6 = 4.9 \times t^2\) となります。この式を解くと、\(t^2 = 4\) となり、時間は \(2.0\) 秒とわかります。

Aが水平面に到達するまでに要する時間は \(2.0\) 秒です。\(g=9.8\) の問題では、\(19.6 (=2 \times 9.8)\) や \(4.9 (=9.8/2)\) といった数値がよく使われ、計算結果がきれいな値になることが多いです。

問(2)

思考の道筋とポイント
「Aと同時にBが水平面に到達する」という条件が鍵です。(1)でAの落下時間は \(2.0\) s とわかりました。BはAより \(1.0\) s 遅れて出発するので、Bが運動している時間は \(2.0 – 1.0 = 1.0\) s となります。この \(1.0\) s の間に、Bは初速度 \(v_0\) で投げ下ろされて \(19.6\) m 進む必要があります。これらの情報（運動時間、移動距離、加速度）を使って、初速度 \(v_0\) を逆算します。

この設問における重要なポイント

• 「同時に到達」という条件から、Bの運動時間を正しく計算する。
• 鉛直投げ下ろしも、加速度\(g\)の等加速度直線運動として扱う。
• 変位の公式を、未知の初速度\(v_0\)を求めるために使う。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。
Aが水平面に到達するのは、出発から \(t_A = 2.0\) s 後です。
BはAより \(1.0\) s 遅れて出発し、Aと同時に到達するので、Bの運動時間 \(t_B\) は、
$$ t_B = t_A – 1.0 = 2.0 – 1.0 = 1.0 \text{ [s]} $$
小球Bの運動について、与えられた条件は、

• 初速度 \(v_{B0} = v_0\) [m/s] （求める値）
• 変位 \(y = 19.6\) m
• 加速度 \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
• 運動時間 \(t_B = 1.0\) s

等加速度直線運動の変位の公式にこれらの値を代入します。
$$ y = v_{B0} t_B + \frac{1}{2} g t_B^2 \quad \cdots ② $$

式②に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= v_0 \times 1.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 \\[2.0ex]19.6 &= v_0 + 4.9 \times 1.0 \\[2.0ex]19.6 &= v_0 + 4.9
\end{aligned}
$$
これを \(v_0\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
v_0 &= 19.6 – 4.9 \\[2.0ex]&= 14.7
\end{aligned}
$$
したがって、初速度 \(v_0\) は \(14.7\) m/s となります。

Aが地面に着くのは2.0秒後です。BはAより1.0秒遅れて出発するので、Bが飛んでいられる時間は \(2.0 – 1.0 = 1.0\) 秒しかありません。このたった1.0秒で、BはAと同じ \(19.6\) m の距離を落ちる必要があります。鉛直投げ下ろしの距離の公式「距離 = 初速度 × 時間 + \( \frac{1}{2} \times \) 重力加速度 \( \times \) 時間の2乗」に、距離=19.6、時間=1.0 を代入して、初速度を逆算します。

Bの初速度は \(14.7\) m/s です。Aより運動時間が短い分、初めから速さをつけて投げ下ろす必要があり、\(v_0 > 0\) という結果は物理的に妥当です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動のモデル化:
  • 核心: この問題は、自由落下も鉛直投げ下ろしも、どちらも「加速度が重力加速度\(g\)で一定の等加速度直線運動」という統一されたモデルで捉え、適切な公式を適用できるかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    • 自由落下: 初速度\(v_0=0\) の特殊なケース。
    • 鉛直投げ下ろし: 初速度\(v_0>0\) の一般的なケース。

    この2つを別々のものとして暗記するのではなく、同じ等加速度直線運動のバリエーションとして理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直投げ上げ: 物体を上に投げ上げる問題。この場合、初速度と逆向きに重力加速度がかかるため、鉛直上向きを正とすると加速度は \(-g\) となります。最高点では速度が一時的に0になります。
  • すれ違う・追い越す問題: 2つの物体が空中で出会う時刻や高さを求める問題。それぞれの物体の位置を時間の関数として表し（例: \(y_A(t), y_B(t)\)）、\(y_A(t) = y_B(t)\) となる時刻\(t\)を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸と正の向きを設定する: まず、鉛直上向きか下向きのどちらかを正と決めます。落下運動では、下向きを正とすると、変位・速度・加速度がすべて正の値となり、計算が簡単になることが多いです。
  2. 物体ごとに情報を整理する: 物体Aと物体Bについて、それぞれ「初速度」「加速度」「変位」「時間」の情報を表のように整理します。これにより、何が分かっていて何が未知なのかが一目瞭然になります。
  3. 時間関係を把握する: 「Aが落ちてから1.0秒後にBが落ちる」「AとBは同時に着地する」といった時間に関する条件を図や数直線に描いて整理し、各物体の運動時間を正確に把握します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動時間の誤認:
  • 誤解: (2)で、Bの運動時間をAと同じ \(2.0\) s として計算してしまう。
  • 対策: 「Aの出発」を基準時刻 \(t=0\) としたとき、Bが運動を開始するのは \(t=1.0\) s、終了するのは \(t=2.0\) s です。したがって、Bの運動時間は \(2.0 – 1.0 = 1.0\) s となります。時間軸を書いて、各物体の運動区間を可視化するとミスを防げます。
• 公式の選択ミス:
  • 誤解: 時間が関係する問題なのに、時間\(t\)を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2gy\) を使おうとして、未知数が増えて混乱する。
  • 対策: 問題で与えられている量と求めたい量をリストアップし、それらを結びつける最適な公式はどれか、と考える癖をつけましょう。
• 符号のミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正とした場合に、重力加速度を \(g=9.8\) のまま代入してしまう。
  • 対策: 最初に設定した正の向きと、各ベクトル量（変位、速度、加速度）の実際の向きを比較し、符号を決定するルールを徹底しましょう。上向き正なら \(g\) は負、下向き正なら \(g\) は正です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2\) の万能性:
  • 選定理由: この公式は、運動の基本的な要素である「初速度\(v_0\)」「加速度\(g\)」「時間\(t\)」から「変位\(y\)」を求める、最も基本的な関係式の一つです。
  • 適用根拠:
    • \(v_0 t\) の項は、「もし重力がなく、初速度のまま等速運動を続けた場合に移動する距離」を表します。
    • \(\frac{1}{2}gt^2\) の項は、「重力によって、静止状態から加速されて移動する距離」を表します。

    つまり、この公式は「初速度による移動」と「重力による加速移動」という2つの効果の足し合わせ（重ね合わせの原理）として、物理的な意味を直感的に理解することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数値の代入は最後に行う: (1)で \(t_A^2 = \frac{y}{g/2} = \frac{2y}{g}\) のように、まず文字式で解いてから最後に数値を代入すると、計算の見通しが良くなり、検算もしやすくなります。
• \(g=9.8\) の計算に慣れる: \(9.8 \times 2 = 19.6\), \(9.8 \times 3 = 29.4\), \(9.8 \div 2 = 4.9\) など、頻出の計算は覚えてしまうと速いです。また、\(19.6 \div 4.9\) のような計算は、\(196 \div 49\) と考えて、\(49 \times 4 = 196\) であることから4と見当をつけることができます。
• 単位を書いて検算: \(t^2 = \frac{19.6 \text{ [m]}}{4.9 \text{ [m/s}^2\text{]}} = 4.0 \text{ [s}^2\text{]}\) のように、単位計算も同時に行うと、式の立て間違いに気づくことがあります。

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