「物理のエッセンス(熱・電磁気・原子)」徹底解説（熱力学31〜33問）：物理の”土台”を固める！完全マスター講座

熱力学範囲 31～33

31 熱効率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱サイクルの熱効率の計算」です。\(P-V\)グラフで与えられた熱サイクルについて、熱効率の定義式を正しく理解し、各過程における仕事や熱の出入りを計算して、サイクル全体の効率を求める問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

図aの熱効率

思考の道筋とポイント
図aは定積変化と定圧変化で構成される長方形のサイクルです。熱効率 \(e = \displaystyle\frac{W’}{Q_{in}}\) を計算するために、分子の \(W’\) と分母の \(Q_{in}\) をそれぞれ求めます。

1. 仕事 \(W’\) の計算
1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W’\) は、サイクルが\(P-V\)グラフ上で囲む図形の面積に等しくなります。図aでは、これは長方形の面積なので、簡単に計算できます。

2. 吸収熱量 \(Q_{in}\) の計算
気体が熱を吸収するのは、温度が上昇する過程です。温度は \(PV\) 積に比例する (\(T \propto PV\)) ので、\(PV\) 積が増加する過程を探します。

• 過程\(\mathrm{I}\) (A→B): \(PV \rightarrow 3PV\) (増加) → 熱吸収
• 過程\(\mathrm{II}\) (B→C): \(3PV \rightarrow 12PV\) (増加) → 熱吸収
• 過程\(\mathrm{III}\) (C→D): \(12PV \rightarrow 4PV\) (減少) → 熱放出
• 過程\(\mathrm{IV}\) (D→A): \(4PV \rightarrow PV\) (減少) → 熱放出

したがって、吸収熱量の総和 \(Q_{in}\) は、過程\(\mathrm{I}\)と過程\(\mathrm{II}\)で吸収した熱の和 (\(Q_{in} = Q_{\mathrm{I}} + Q_{\mathrm{II}}\)) となります。
各過程の熱量は、単原子気体のモル比熱の公式を使って計算します。
この設問における重要なポイント

• 仕事 \(W’\) はサイクルが囲む面積。
• 熱吸収は温度が上昇する過程 (\(PV\)積が増加する過程)。
• 過程\(\mathrm{I}\)は定積変化 (\(Q=nC_v\Delta T\))、過程\(\mathrm{II}\)は定圧変化 (\(Q=nC_p\Delta T\))。
• \(n R \Delta T = \Delta(PV)\) を利用して計算を簡略化する。

具体的な解説と立式
仕事 \(W’\) の計算
サイクルが囲む長方形の面積を計算します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= (\text{縦}) \times (\text{横}) \\[2.0ex]
&= (3P – P) \times (4V – V) \\[2.0ex]
&= (2P) \times (3V) \\[2.0ex]
&= 6PV
\end{aligned}
$$

吸収熱量 \(Q_{in}\) の計算
熱を吸収するのは過程\(\mathrm{I}\)と\(\mathrm{II}\)です。

• 過程\(\mathrm{I}\) (定積加熱):
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\mathrm{I}} &= nC_v(T_B – T_A) \\[2.0ex]
  &= n\left(\frac{3}{2}R\right)(T_B – T_A) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2}(nRT_B – nRT_A) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2}(P_B V_B – P_A V_A) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2}(3P \cdot V – P \cdot V) \\[2.0ex]
  &= \frac{3}{2}(2PV) \\[2.0ex]
  &= 3PV
  \end{aligned}
  $$
• 過程\(\mathrm{II}\) (定圧加熱):
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\mathrm{II}} &= nC_p(T_C – T_B) \\[2.0ex]
  &= n\left(\frac{5}{2}R\right)(T_C – T_B) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}(nRT_C – nRT_B) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}(P_C V_C – P_B V_B) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}(3P \cdot 4V – 3P \cdot V) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}(12PV – 3PV) \\[2.0ex]
  &= \frac{5}{2}(9PV) \\[2.0ex]
  &= \frac{45}{2}PV
  \end{aligned}
  $$

吸収した熱量の総和は、
$$
\begin{aligned}
Q_{in} &= Q_{\mathrm{I}} + Q_{\mathrm{II}} \\[2.0ex]
&= 3PV + \frac{45}{2}PV \\[2.0ex]
&= \frac{6+45}{2}PV \\[2.0ex]
&= \frac{51}{2}PV
\end{aligned}
$$

熱効率 \(e\) の計算
$$ e = \frac{W’}{Q_{in}} $$

$$
\begin{aligned}
e &= \frac{6PV}{\frac{51}{2}PV} \\[2.0ex]
&= \frac{6}{\frac{51}{2}} \\[2.0ex]
&= 6 \times \frac{2}{51} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{51} \\[2.0ex]
&= \frac{4}{17}
\end{aligned}
$$

熱効率は「（エンジンがした仕事）÷（投入した燃料の熱エネルギー）」で計算します。
まず、エンジンが1サイクルでした仕事は、\(P-V\)グラフの長方形の面積から \(6PV\) と計算できます。
次に、燃料を投入した（熱を吸収した）のは、温度が上がっている過程\(\mathrm{I}\)と\(\mathrm{II}\)です。それぞれの過程で吸収した熱量を計算して足し合わせると、\(\frac{51}{2}PV\) となります。
最後に、これらの値を熱効率の式に代入して、「\(6PV \div \frac{51}{2}PV\)」を計算すると、\(\frac{4}{17}\) という答えが得られます。

図aのサイクルの熱効率は \(\displaystyle\frac{4}{17}\) となります。

図bの熱効率

思考の道筋とポイント
図bは断熱変化を含むサイクルです。熱効率 \(e = \displaystyle\frac{W’}{Q_{in}}\) を計算する方針は同じですが、仕事 \(W’\) の計算方法が異なります。

1. 仕事 \(W’\) の計算
過程\(\mathrm{II}\)が曲線であるため、サイクルが囲む面積を直接計算することは困難です。そこで、サイクル全体に熱力学第一法則を適用して間接的に求めます。
1サイクル後には元の状態に戻るので、内部エネルギーの変化はゼロ (\(\Delta U = 0\)) です。
熱力学第一法則 \( \Delta U = Q_{net} – W’ \) より、\(0 = Q_{net} – W’\)、すなわち \(W’ = Q_{net}\) となります。
\(Q_{net}\) は1サイクルでの正味の吸収熱量 (\(Q_{in} – Q_{out}\)) なので、結局 \(W’ = Q_{in} – Q_{out}\) となります。

2. 吸収熱量 \(Q_{in}\) と放出熱量 \(Q_{out}\) の計算

• 過程\(\mathrm{I}\) (A→B): 定積変化。\(PV \rightarrow 32PV\) (増加) → 熱吸収。
• 過程\(\mathrm{II}\) (B→C): 断熱変化。\(Q=0\)。
• 過程\(\mathrm{III}\) (C→A): 定圧変化。\(8PV \rightarrow PV\) (減少) → 熱放出。

したがって、\(Q_{in} = Q_{\mathrm{I}}\)、\(Q_{out} = |Q_{\mathrm{III}}|\) となります。
この設問における重要なポイント

• 仕事 \(W’\) は \(W’ = Q_{in} – Q_{out}\) から間接的に求める。
• 熱吸収は過程\(\mathrm{I}\)（定積）、熱放出は過程\(\mathrm{III}\)（定圧）。
• 過程\(\mathrm{II}\)は断熱なので熱の出入りはゼロ。

具体的な解説と立式
吸収熱量 \(Q_{in}\) の計算
過程\(\mathrm{I}\) (定積加熱) のみです。
$$
\begin{aligned}
Q_{in} = Q_{\mathrm{I}} &= nC_v(T_B – T_A) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(P_B V_B – P_A V_A) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(32P \cdot V – P \cdot V) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(31PV) \\[2.0ex]
&= \frac{93}{2}PV
\end{aligned}
$$

放出熱量 \(Q_{out}\) の計算
過程\(\mathrm{III}\) (定圧冷却) のみです。
$$
\begin{aligned}
Q_{\mathrm{III}} &= nC_p(T_A – T_C) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(P_A V_A – P_C V_C) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(P \cdot V – P \cdot 8V) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(-7PV) \\[2.0ex]
&= -\frac{35}{2}PV
\end{aligned}
$$
よって、放出熱量の大きさは \(Q_{out} = |Q_{\mathrm{III}}| = \displaystyle\frac{35}{2}PV\)。

仕事 \(W’\) の計算
$$
\begin{aligned}
W’ &= Q_{in} – Q_{out} \\[2.0ex]
&= \frac{93}{2}PV – \frac{35}{2}PV \\[2.0ex]
&= \frac{58}{2}PV \\[2.0ex]
&= 29PV
\end{aligned}
$$

熱効率 \(e\) の計算
$$ e = \frac{W’}{Q_{in}} $$

$$
\begin{aligned}
e &= \frac{29PV}{\frac{93}{2}PV} \\[2.0ex]
&= \frac{29}{\frac{93}{2}} \\[2.0ex]
&= 29 \times \frac{2}{93} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{93}
\end{aligned}
$$

このエンジンの熱効率を求めます。
まず、エンジンに投入された熱エネルギーは、温度が上がっている過程\(\mathrm{I}\)だけで、計算すると \(\frac{93}{2}PV\) です。
次に、エンジンがした仕事ですが、グラフが曲線なので面積計算ができません。そこで、「仕事＝投入した熱－捨てた熱」というエネルギー保存則を使います。捨てた熱は、温度が下がっている過程\(\mathrm{III}\)だけで、計算すると \(\frac{35}{2}PV\) です。
したがって、仕事は \(\frac{93}{2}PV – \frac{35}{2}PV = 29PV\) となります。
最後に、熱効率の公式「仕事÷投入した熱」に当てはめて計算すると、\(\frac{58}{93}\) という答えが得られます。

図bのサイクルの熱効率は \(\displaystyle\frac{58}{93}\) となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱効率の定義と熱力学第一法則:
  • 核心: この問題の根幹は、熱機関の性能指標である「熱効率 \(e\)」の定義を正しく理解し、それを計算するために必要な物理量（仕事 \(W’\)、吸収熱量 \(Q_{in}\)）を、熱力学の法則を駆使して求めることにあります。
  • 理解のポイント:
    • 定義式: \(e = \displaystyle\frac{W’}{Q_{in}}\)。これは「投入した熱エネルギーのうち、どれだけの割合を有効な仕事に変換できたか」を表します。
    • 熱力学第一法則の応用: 1サイクル後には元の状態に戻るため、内部エネルギーの変化はゼロ (\(\Delta U = 0\))。このことから、熱力学第一法則は \(W’ = Q_{in} – Q_{out}\) という特別な形になります。これは「1サイクルでした仕事は、吸収した熱と放出した熱の差額に等しい」ことを意味します。
    • 別公式: 上記2式を組み合わせることで、\(e = 1 – \displaystyle\frac{Q_{out}}{Q_{in}}\) という、熱の出入りだけで効率を計算できる、もう一つの強力な公式が導かれます。
• 各状態変化における熱量の計算:
  • 核心: 熱効率を計算するためには、サイクル中のどの過程で熱を吸収（\(Q_{in}\)）し、どの過程で放出（\(Q_{out}\)）するのかを特定し、その量を計算する必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 熱の吸収／放出の判断: 温度が上昇する過程で熱を吸収し、下降する過程で熱を放出します。温度は \(PV\) 積に比例するため、\(P-V\)グラフ上で \(PV\) 積が増加する過程が熱吸収過程です。
    • 熱量の計算式:
      • 定積変化: \(Q = nC_v\Delta T\)
      • 定圧変化: \(Q = nC_p\Delta T\)
      • 断熱変化: \(Q = 0\)
    • 状態方程式の活用: \(n R \Delta T = \Delta(PV) = P_2V_2 – P_1V_1\) という関係式を使うと、温度を計算することなく、\(P-V\)グラフから直接読み取れる値だけで熱量を計算でき、非常に便利です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • カルノーサイクル: 2つの等温変化と2つの断熱変化で構成される、理論上最も効率の良い熱サイクル。各過程での熱の出入りを計算し、熱効率が \(e = 1 – \frac{T_L}{T_H}\)（\(T_L\): 低温熱源の温度, \(T_H\): 高温熱源の温度）となることを導く問題。
  • オットーサイクル、ディーゼルサイクル: 実際のガソリンエンジンやディーゼルエンジンを理想化した熱サイクル。断熱変化や定積・定圧変化を組み合わせており、本問と同様のアプローチで熱効率を計算します。
  • 冷凍機・ヒートポンプの成績係数: 本問のような反時計回りのサイクルでは、外部から仕事をすることで低温部から熱を奪い、高温部に熱を放出します。このときの性能を表す「成績係数（COP）」を計算する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 仕事 \(W’\) の計算方法を判断:
     • サイクルが囲む面積が、長方形や三角形など簡単に計算できる形か？ → Yesなら、面積から \(W’\) を直接計算する。
     • 曲線を含み、面積計算が困難か？ → Yesなら、\(W’ = Q_{in} – Q_{out}\) を利用して、熱量の差から間接的に \(W’\) を求める。
  2. 熱の吸収・放出過程を特定: サイクルを一周たどりながら、各過程で \(PV\) 積が増加しているか、減少しているかを確認します。\(PV\) 積が増加する過程が \(Q_{in}\) の対象、減少する過程が \(Q_{out}\) の対象です（断熱変化を除く）。
  3. 最適な熱効率の公式を選択:
     • \(W’\) と \(Q_{in}\) が簡単に求まるなら → \(e = \frac{W’}{Q_{in}}\)
     • \(W’\) の計算が面倒だが、\(Q_{in}\) と \(Q_{out}\) が計算しやすいなら → \(e = 1 – \frac{Q_{out}}{Q_{in}}\)

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(Q_{in}\) の計算対象の誤り:
  • 誤解: サイクル中のすべての過程で加えられた熱の総和（\(Q_{net}\)）を \(Q_{in}\) としてしまう。
  • 対策: 熱効率の定義における \(Q_{in}\) は、サイクル中で外部から吸収した熱量の総和（プラスのQの合計）です。放出された熱量（マイナスのQ）は含めません。
• 仕事 \(W’\) と熱量 \(Q\) の混同:
  • 誤解: 断熱変化（\(Q=0\)）なのに、仕事もゼロだと勘違いしたり、定積変化（\(W’=0\)）なのに、熱の出入りもゼロだと勘違いしたりする。
  • 対策: 熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W’\) を常に念頭に置き、\(Q, \Delta U, W’\) はそれぞれ独立した物理量であると認識することが重要です。一つの項がゼロでも、他の項はゼロとは限りません。
• モル比熱の係数の適用ミス:
  • 誤解: 定積変化なのに \(C_p = \frac{5}{2}R\) を使ったり、定圧変化なのに \(C_v = \frac{3}{2}R\) を使ったりする。
  • 対策: 「定積モル比熱 \(C_v\)」「定圧モル比熱 \(C_p\)」という名称と、それぞれの変化の対応を正確に記憶しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 熱効率の定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{in}}\) の選択:
  • 選定理由: これが熱効率の「定義」そのものであるため、最も基本的で本質的なアプローチです。熱機関の目的（仕事を取り出す）と、そのために必要なコスト（熱を投入する）の比率を表しており、物理的な意味が最も明確です。
  • 適用根拠: 熱機関の性能を評価するための普遍的な定義に基づいています。
• \(e = 1 – \frac{Q_{out}}{Q_{in}}\) の選択:
  • 選定理由: 仕事 \(W’\) の計算が困難または面倒な場合に、計算を簡略化するための、より実用的な公式として選択します。
  • 適用根拠: この公式は、熱力学第一法則をサイクルに適用した結果 (\(W’ = Q_{in} – Q_{out}\)) を、熱効率の定義式に代入して導かれる、数学的に等価な関係式です。したがって、物理的に完全に正当な方法です。
• \(n R \Delta T = \Delta(PV)\) の利用:
  • 選定理由: 熱量計算 \(Q=nC\Delta T\) を行う際に、各点の温度 \(T\) をいちいち計算する手間を省くためです。
  • 適用根拠: 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) の変化量をとったものです。\(n\) と \(R\) が定数なので、\(\Delta(PV) = \Delta(nRT) = nR\Delta T\) という関係が厳密に成り立ちます。これにより、\(P-V\)グラフから直接読み取れる \(PV\) の値を使って、温度変化に比例する量を計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• PV積を表にまとめる: サイクルの各頂点（A, B, C, D）について、\(P, V\) の値と、その積 \(PV\) の値を一覧表にすると、温度変化の判断や熱量計算の際に非常に役立ち、ミスを減らせます。
• 分数の計算を丁寧に行う: 熱効率の計算は、最終的に分数の割り算になることが多いです。\(\frac{6PV}{\frac{51}{2}PV}\) のような計算では、まず共通の \(PV\) を約分し、\(\frac{6}{51/2} = 6 \times \frac{2}{51}\) のように、逆数を掛ける形に直してから計算すると確実です。
• 物理的な意味で検算する: 熱効率 \(e\) は、定義上 \(0 \le e < 1\) の範囲の値をとります。計算結果が1以上になったり、負の値になったりした場合は、どこかで計算ミスをしている証拠です。必ず見直しを行いましょう。

関連記事

高校物理・物理基礎が「わかる」→「解ける」へ｜有名問題集・オリジナル問題の解説なら「まことの物理教室」

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]

32 気体の混合

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された容器内の気体の状態変化」です。細い管で結ばれた2つの容器内の気体は、常に圧力が等しくなるという条件下で、それぞれの状態が変化します。状態方程式と、気体の物質量（分子数）の保存則を正しく適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) B内の温度はいくらか。