「良問の風」攻略ガイド（36〜40問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題36 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直上向きに加速度運動するエレベーター内で、天井から糸でつるされた小球の運動について考察するものです。エレベーターという非慣性系（加速度運動する座標系）での力の見え方、特に「慣性力」の概念が重要になります。また、エレベーター全体の運動と、エレベーター内の小球の運動を、それぞれ運動方程式を立てて解析する力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、加速度運動するエレベーターという非慣性系における物体の運動を扱う典型的な問題です。まず、エレベーター（と小球）全体の運動を外部の静止系から見て運動方程式を立てることから始まり、次に小球単独の運動、そして糸が切れた後のエレベーターおよび小球の運動へと展開します。特に、エレベーター内部の観測者から見たときの「慣性力」の考え方が鍵となります。

問1

思考の道筋とポイント
エレベーターと小球を一体の「系」として考えます。この系全体の質量は \((M+m)\) です。系全体が鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しているので、この系全体についての運動方程式を立てます。系全体に働く力は、上向きにエレベーターを引き上げる力\(F\)と、下向きに働く系全体の重力 \((M+m)g\) です。

この設問における重要なポイント

• エレベーターと小球を一つの「系」として扱い、その全体の質量 \((M+m)\) で運動方程式を立てる。
• 系全体に働く鉛直方向の力は、引き上げる力\(F\)（上向き）と、全体の重力\((M+m)g\)（下向き）である。
• 運動方程式 \((\text{全体の質量}) \times (\text{加速度}) = (\text{合力})\) を鉛直上向きを正として適用する。

具体的な解説と立式
エレベーターと小球を合わせた系全体の質量は \((M+m)\) です。
この系は、鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しています。
系全体に働く力は以下の通りです。

• 鉛直上向き: エレベーターを引き上げる力 \(F\)
• 鉛直下向き: 系全体の重力 \((M+m)g\)

鉛直上向きを正の向きとして、系全体の運動方程式を立てます。
$$ (M+m)\alpha = F – (M+m)g $$
この式を \(F\) について解くと、
$$ F = (M+m)\alpha + (M+m)g $$
$$ F = (M+m)(\alpha + g) $$

エレベーターと小球を一体として考えた系の運動方程式は、鉛直上向きを正として、
$$ (M+m)\alpha = F – (M+m)g $$
この式から、エレベーターを引き上げる力 \(F\) を求めます。
\(-(M+m)g\) の項を左辺から右辺に移項します。
$$ F = (M+m)\alpha + (M+m)g $$
共通因数 \((M+m)\) でくくり出します。
$$ F = (M+m)(\alpha + g) $$

エレベーターと、その中につるされている小球を全部まとめて一つの大きな「荷物」だと考えましょう。この荷物の全体の質量は \((M+m)\) です。
この大きな荷物が、上向きに加速度 \(\alpha\) でグイッと加速しながら上がっています。
運動のルール（運動方程式）は、「荷物の質量 \(\times\) 加速度 ＝ 荷物にかかっている力の合計」です。
荷物にかかっている力は、誰かが上に引っ張る力 \(F\) と、地球が下に引っ張る全体の重力 \((M+m)g\) の2つです。
上向きをプラスの方向とすると、力の合計は \(F – (M+m)g\) と書けます。
なので、運動方程式は、
$$ (M+m)\alpha = F – (M+m)g $$
となります。この式を \(F\) について解くと、\(F = (M+m)\alpha + (M+m)g\)。これを整理して \(F = (M+m)(\alpha+g)\) となります。

エレベーターを引き上げる力の大きさ\(F\)は \( (M+m)(\alpha + g) \, [\text{N}] \) です。
この結果は、系全体の質量 \((M+m)\) に、重力加速度 \(g\) と実際の上昇加速度 \(\alpha\) の和を掛けたものとなっており、直感的に理解しやすい形です。もしエレベーターが静止または等速で上昇している場合 (\(\alpha=0\)) は、\(F=(M+m)g\) となり、全体の重さにつり合う力で引き上げていることになり、物理的に妥当です。単位も \([\text{kg}] \cdot [\text{m/s}^2] = [\text{N}]\) であり、力の単位として正しいです。

問2

思考の道筋とポイント
エレベーターが加速度\(\alpha\)で上昇しているときの糸の張力\(T\)を求めるために、今度は小球（質量\(m\)）単独に着目し、その運動方程式を立てます。小球に働く力は、上向きの糸の張力\(T\)と下向きの重力\(mg\)です。小球もエレベーターと同じ加速度\(\alpha\)で上昇しています。
次に、エレベーターが静止している場合の糸の張力\(T_0\)を求めます。この場合は、小球に働く力がつり合っていると考えます。
最後に、\(T\) と \(T_0\) の比を計算します。

この設問における重要なポイント

• エレベーター上昇時は、小球もエレベーターと同じ加速度\(\alpha\)で上昇している。
• 小球に働く力を正確に特定し（張力\(T\)、重力\(mg\)）、小球の運動方程式を立てる。
• エレベーター静止時は、力のつり合い (\(T_0 – mg = 0\)) から張力を求める。

具体的な解説と立式
エレベーターが加速度\(\alpha\)で上昇しているときの張力\(T\):
小球（質量\(m\)）は、エレベーターと同じく鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しています。
小球に働く力は、

• 鉛直上向き: 糸の張力 \(T\)
• 鉛直下向き: 重力 \(mg\)

鉛直上向きを正の向きとして、小球の運動方程式を立てます。
$$ m\alpha = T – mg $$
この式から張力\(T\)を求めると、
$$ T = m\alpha + mg = m(\alpha + g) $$

エレベーターが静止しているときの張力\(T_0\):
エレベーターが静止しているとき、小球も静止しています。したがって、小球に働く力はつり合っています。
鉛直上向きの張力を \(T_0\) とすると、力のつり合いより、
$$ T_0 – mg = 0 $$
$$ T_0 = mg $$

張力の比較 (何倍になるか):
上昇中の張力\(T\)が、静止時の張力\(T_0\)の何倍になるかを計算します。
$$ \frac{T}{T_0} = \frac{m(\alpha+g)}{mg} $$
両辺の \(m\) を消去すると、
$$ \frac{T}{T_0} = \frac{\alpha+g}{g} $$
これは \( \displaystyle 1 + \frac{\alpha}{g} \) とも書けます。

1. エレベーター上昇中の張力 \(T\) の計算:
小球の運動方程式（鉛直上向きを正）: \(m\alpha = T – mg\)
\(T\) について解くと: \(T = mg + m\alpha = m(g+\alpha)\)
2. エレベーター静止時の張力 \(T_0\) の計算:
小球の力のつり合い（鉛直上向きを正）: \(T_0 – mg = 0\)
\(T_0\) について解くと: \(T_0 = mg\)
3. 倍率の計算:
$$ \frac{T}{T_0} = \frac{m(g+\alpha)}{mg} $$
共通の \(m\) を約分します。
$$ \frac{T}{T_0} = \frac{g+\alpha}{g} $$

まず、エレベーターが上に加速度 \(\alpha\) で動いているときの、糸が小球を引く力（張力）\(T\) を考えましょう。
小球も同じ加速度 \(\alpha\) で上に動いています。小球には、糸が上に引く力 \(T\) と、地球が下に引く力（重力）\(mg\) が働いています。
運動のルール（運動方程式）から、「小球の質量 \(m \times\) 加速度 \(\alpha\) ＝ 小球にかかる力の合計（上向きをプラスとして \(T-mg\)）」となります。
つまり、\(m\alpha = T – mg\)。ここから \(T = mg + m\alpha = m(g+\alpha)\) です。

次に、エレベーターが止まっているときの糸の張力 \(T_0\) を考えます。
このとき、小球は静止しているので、力がつり合っています。つまり、糸が上に引く力 \(T_0\) と、重力 \(mg\) が等しいので、\(T_0 = mg\) です。

最後に、\(T\) が \(T_0\) の何倍かを計算します。
\( \frac{T}{T_0} = \frac{m(g+\alpha)}{mg} \)
\(m\) が分母と分子で消えるので、\( \frac{g+\alpha}{g} \) 倍となります。

小球をつるしている糸の張力\(T\)は、エレベーターが静止している場合の \( \displaystyle \frac{g+\alpha}{g} \) 倍 (または \( \displaystyle 1 + \frac{\alpha}{g} \) 倍) になります。
エレベーターが上向きに加速すると (\(\alpha > 0\))、この比は1より大きくなり、張力は静止時より増します。これは、小球を重力に抗して支えるだけでなく、さらに上向きに加速させるための力が必要になるためで、日常経験（急上昇するエレベーターで体が重く感じる）とも一致します。

問3

思考の道筋とポイント
糸を切ると、エレベーターの運動に影響を与えていた小球の質量分の「下向きの力」（張力としてエレベーターの天井に作用していた）がなくなります。しかし、エレベーターを外部から引き上げる力\(F\)の大きさは(1)のときと変わりません。
糸が切れた後のエレベーター（質量\(M\)）単独の運動方程式を立てます。エレベーターに働く力は、上向きの引き上げる力\(F\)と、下向きのエレベーター自身の重力\(Mg\)です。このときの新しい上昇加速度が\(b\)です。(1)で求めた\(F\)の式 \(F=(M+m)(g+\alpha)\) を利用して、\(b\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 糸が切れた後は、エレベーター単体（質量\(M\)）の運動方程式を考える。
• エレベーターを引き上げる外部からの力\(F\)の大きさは、(1)で求めた値のまま変わらないと問題文にある。
• エレベーターに働く力を正しく特定し（上向きの\(F\)、下向きの\(Mg\)）、運動方程式を立てる。
• (1)で求めた \(F=(M+m)(g+\alpha)\) の関係を代入し、\(b\) を \(\alpha, M, m, g\) で表す。

具体的な解説と立式
糸が切れた後、エレベーター（質量\(M\)）は新しい加速度\(b\)で鉛直上向きに運動します。
エレベーターに働く力は、

• 鉛直上向き: 引き上げる力 \(F\) （大きさは(1)のときと同じ）
• 鉛直下向き: エレベーター自身の重力 \(Mg\)

鉛直上向きを正の向きとして、エレベーターの運動方程式を立てます。
$$ Mb = F – Mg $$
ここで、引き上げる力\(F\)は(1)で求めた \(F = (M+m)(g+\alpha)\) です。この\(F\)を上記運動方程式に代入します。
$$ Mb = (M+m)(g+\alpha) – Mg $$

エレベーターの新しい運動方程式 \(Mb = F – Mg\) に、\(F = (M+m)(g+\alpha)\) を代入します。
$$ Mb = (M+m)(g+\alpha) – Mg $$
右辺を展開します:
$$ (M+m)(g+\alpha) = Mg + M\alpha + mg + m\alpha $$
よって、運動方程式は、
$$ Mb = (Mg + M\alpha + mg + m\alpha) – Mg $$
右辺の \(Mg\) と \(-Mg\) が相殺されます。
$$ Mb = M\alpha + mg + m\alpha $$
新しい加速度\(b\)について解くために、両辺を\(M\)で割ります（\(M \neq 0\)）。
$$ b = \frac{M\alpha + mg + m\alpha}{M} $$
これを整理すると、
$$ b = \frac{M\alpha}{M} + \frac{mg + m\alpha}{M} $$
$$ b = \alpha + \frac{m(g+\alpha)}{M} $$

糸が切れると、エレベーターを上に引っ張る力 \(F\) は変わりませんが、エレベーターが「背負っていた重荷」である小球からの下向きの力（張力）がなくなります。エレベーター自身の質量は \(M\) です。
糸が切れた後のエレベーターの加速度は \(b\) になりました。
エレベーターにかかる力は、上に引っ張る力 \(F\) と、下に働くエレベーター自身の重さ \(Mg\) です。
運動のルール（運動方程式）は、
$$ Mb = F – Mg $$
ここで、\(F\) の大きさは(1)で求めた \(F = (M+m)(g+\alpha)\) のままです。これを代入すると、
$$ Mb = (M+m)(g+\alpha) – Mg $$
この式を \(b\) について解きます。右辺を展開すると \(Mg + M\alpha + mg + m\alpha – Mg\)。
\(Mg\) の項が消えるので、\(Mb = M\alpha + mg + m\alpha\)。
両辺を \(M\) で割ると、\(b = \alpha + \frac{mg + m\alpha}{M}\)。これを整理して \(b = \alpha + \frac{m(g+\alpha)}{M}\) となります。

エレベーターの上昇加速度の大きさが変わった後の値\(b\)は \( \displaystyle b = \alpha + \frac{m(g+\alpha)}{M} \, [\text{m/s}^2] \) です。
糸が切れる前、力\(F\)は質量\((M+m)\)の系を加速度\(\alpha\)で動かしていました。糸が切れた後は、同じ力\(F\)がより軽い質量\(M\)のエレベーターを動かすため、加速度は\(\alpha\)よりも大きくなる (\(b > \alpha\)) ことが予想されます。実際に \(m(g+\alpha)/M\) は正の値（\(\alpha\)が上向き加速度なので \(g+\alpha>0\), \(m,M>0\)）なので、この予想と一致します。単位も加速度の単位 \([\text{m/s}^2]\) であり適切です。

問4

思考の道筋とポイント
エレベーター（加速度\(b\)で上昇中）の中にいる人から小球（糸は切れている）の運動を見る場合、これは非慣性系からの観測となります。
小球に実際に働く力（実働力）は重力\(mg\)（鉛直下向き）のみです。
エレベーターが上向きに加速度\(b\)で運動しているため、エレベーター内の観測者から見ると、小球にはエレベーターの加速度と逆向き、つまり鉛直下向きに大きさ\(mb\)の慣性力が働くように見えます。
したがって、車内の人から見た小球に働く合力は、この重力と慣性力のベクトル和（この場合はどちらも下向きなので、大きさはスカラー和）となります。

この設問における重要なポイント

• 非慣性系（加速度\(b\)で上昇するエレベーター内）からの観測であることを明確に意識する。
• 小球に実際に働く力（実働力）は重力\(mg\)（下向き）のみであることを確認する（糸は切れている）。
• エレベーターの加速度\(b\)（上向き）によって生じる慣性力（大きさ\(mb\)、向きは下向き）を考慮する。
• これらの力の合力（ベクトル和）を求める。この場合は両方とも下向きなので、大きさの和となる。

具体的な解説と立式
エレベーターは鉛直上向きに加速度\(b\)で運動しています。
エレベーターの中にいる人から質量\(m\)の小球を観測します。
小球に実際に働く力（実働力）は、鉛直下向きの重力\(mg\)のみです。
エレベーターが上向きに加速度\(b\)で運動しているため、エレベーター内の観測者から見ると、小球にはエレベーターの加速度と逆向き、つまり鉛直下向きに大きさ\(mb\)の慣性力が働くように見えます。
したがって、エレベーター内の人が観測する小球に働いている力の合力 \(F_{\text{合力,車内}}\) は、重力と慣性力の和になります。両方の力は鉛直下向きなので、その合力の大きさは単純な和で求められます。
$$ F_{\text{合力,車内}} = mg + mb $$
共通因数\(m\)でくくり出すと、
$$ F_{\text{合力,車内}} = m(g+b) $$
この合力は「見かけの重力」とも呼ばれます。

小球に働く実働力は、鉛直下向きに重力\(mg\)。
エレベーターの加速度は、鉛直上向きに\(b\)。
よって、エレベーター内の観測者から見た小球に働く慣性力は、鉛直下向きに大きさ\(mb\)。
これらの合力の大きさは、両方とも下向きなので、
$$ F_{\text{合力,車内}} = mg + mb $$
共通因数\(m\)でくくると、
$$ F_{\text{合力,車内}} = m(g+b) $$

糸が切れた後、エレベーターは上向きに加速度 \(b\) で動いています。
あなたがエレベーターの中にいるとします。このとき、自由になった小球を見ると、まず小球には地球からの引力（重力）\(mg\) が下向きにかかっています。これはどこにいても同じです。
さらに、エレベーターが上に加速しているので、「慣性力」という見かけの力が小球に働きます。慣性力はエレベーターの加速度と反対向き、つまり下向きに、大きさ（小球の質量 \(m \times\) エレベーターの加速度 \(b\)）でかかります。
ということは、あなたから見ると、小球には下向きに \(mg\) の力と、さらに下向きに \(mb\) の力が合わさってかかっているように見えるわけです。
なので、小球に働いている力の合計（合力）の大きさは、これら二つの力を単純に足し合わせた \(mg + mb\)、つまり \(m(g+b)\) となります。これを「見かけの重力」と呼ぶこともあります。

エレベーターの中の人が小球の運動を観測すると、小球に働いている力(合力)の大きさは \( m(g+b) \, [\text{N}] \) です。
これは、エレベーターが上向きに加速度\(b\)で運動しているため、通常の重力\(mg\)に加えて下向きの慣性力\(mb\)が作用し、それらが合成された「見かけの重力」として観測されることを示しています。単位も力の単位 \([\text{N}]\) であり適切です。

問5

思考の道筋とポイント
エレベーターの中の人から見ると、小球は問(4)で求めた下向きの合力 \(m(g+b)\) を受けて運動します。この合力による小球の加速度（車内の人から見た加速度、すなわち「見かけの重力加速度」）は、運動方程式より \(\frac{m(g+b)}{m} = g+b\) となります。
糸が切れた瞬間、小球はエレベーターに対して相対的に静止していた（つまり、車内から見た初速度は0）と考えるのが自然です。この小球が、見かけの重力加速度 \(g’ = g+b\) で、初期の床からの高さ\(h\)からエレベーターの床まで「自由落下」するのと同じ運動をすると考え、等加速度直線運動の公式を用いて落下時間\(t\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• エレベーター内の観測者から見ると、小球は「見かけの重力加速度」\(g’ = g+b\) で鉛直下向きに落下運動をする。
• 糸が切れた瞬間の、エレベーター内の人から見た小球の初速度は0である。
• 小球がエレベーターの床に達するまでの落下距離が\(h\)である。
• 等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}a t^2\) を適用する。

具体的な解説と立式
エレベーターの中の人から見ると、小球に働く下向きの合力は \(m(g+b)\) です。
したがって、車内の人から見た小球の落下加速度（これを「見かけの重力加速度」と呼び \(g’\) とします）の大きさは、運動方程式 \(m g’ = F_{\text{合力,車内}}\) より、
$$ m g’ = m(g+b) $$
$$ g’ = g+b $$
糸が切れた瞬間、小球はエレベーターに対して相対的にその位置に静止していた（つまり、車内から見た小球の鉛直方向の初速度は0）と考えられます。
この小球が、見かけの重力加速度 \(g’ = g+b\) で、距離 \(h\) だけ鉛直下向きに落下するのに要する時間 \(t\) を求めます。
等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}a t^2\) において、
落下距離 \(x=h\)、初速度 \(v_0=0\)、加速度 \(a=g’\) なので、
$$ h = 0 \cdot t + \frac{1}{2}g’ t^2 $$
$$ h = \frac{1}{2}(g+b)t^2 $$
この式を \(t\) について解きます。
$$ t^2 = \frac{2h}{g+b} $$
時間 \(t\) は正の値なので、
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}} $$

1. エレベーター内の観測者から見た小球の落下加速度 \(g’\) の特定:
問(4)より、小球に働く見かけの重力は \(m(g+b)\)。よって、見かけの重力加速度は \(g’ = \frac{m(g+b)}{m} = g+b\)。
2. 等加速度直線運動の公式の適用:
小球は初速度0で、加速度 \(g’\) で距離 \(h\) だけ落下します。
公式 \(h = v_0 t + \frac{1}{2}g’t^2\) に、\(v_0=0\) を代入します。
$$ h = \frac{1}{2}g’t^2 $$
\(t^2\) について解くと、
$$ t^2 = \frac{2h}{g’} $$
\(g’ = g+b\) を代入します。
$$ t^2 = \frac{2h}{g+b} $$
時間 \(t\) は正なので、両辺の正の平方根をとります。
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}} $$

エレベーターの中にいるあなたから見ると、小球は(4)で見たように「見かけの重力」\(m(g+b)\) を受けて下に落ちていきます。
このときの「見かけの重力加速度」は、力の大きさを小球の質量 \(m\) で割ったものなので、\(g’ = \frac{m(g+b)}{m} = g+b\) となります。
つまり、あなたから見ると、小球はあたかも重力加速度が \(g+b\) の世界で自由落下をするように見えるのです。
糸が切れた瞬間、小球はあなたから見てその場で静止していた（初速0）と考えられます。そして、高さ \(h\) の位置から床まで、この \(g+b\) という見かけの重力加速度で落ちていきます。
自由落下の公式「落下距離 \(h\) = \(\frac{1}{2} \times\) 加速度 \(\times\) (時間 \(t\))^2」を使うと、
$$ h = \frac{1}{2}(g+b)t^2 $$
と表せます。この式を \(t\) について解くと、まず \(t^2 = \frac{2h}{g+b}\)。時間は必ずプラスなので、両辺の平方根をとって、
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}} $$
となります。

糸が切れてから、小球がエレベーターの床に達するまでの時間\(t\)は \( \displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}} \, \text{[s]} \) です。
この式は、通常の静止した系での自由落下時間 \(t=\sqrt{2h/g}\) の \(g\) を、エレベーター内での「見かけの重力加速度」 \(g’ = g+b\) で置き換えた形になっており、物理的に非常にリーズナブルです。エレベーターが上向きに加速している (\(b>0\)) 場合、見かけの重力加速度 \(g’\) は \(g\) より大きくなるため、床に達するまでの時間は短くなります。逆に、もしエレベーターが下向きに加速していれば（\(b\)が負の値で\(g+b < g\)）、時間は長くなります。単位も \(\sqrt{[\text{m}]/[\text{m/s}^2]} = \sqrt{[\text{s}^2]} = [\text{s}]\) となり、時間の単位として適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 (\(F=ma\)):
  • 核心: 全ての設問を通じて、物体または物体系の運動を記述する基本法則。どの物体（または系）に注目し、どのような力が働いているかを正確に把握して立式することが重要。
  • 適用: (1)エレベーターと小球の系全体、(2)小球単独、(3)糸が切れた後のエレベーター単独。
• 慣性力:
  • 核心: (4)(5)で、加速度運動するエレベーター（非慣性系）の内部から小球の運動を観測する際に導入される「見かけの力」。大きさは \(m_{\text{物体}}a_{\text{座標系}}\)、向きは座標系の加速度と逆向き。
• 力のつり合い:
  • 核心: (2)でエレベーターが静止している場合の張力を求める際に使用。物体が静止または等速直線運動している場合、合力は0。
• 見かけの重力・見かけの重力加速度:
  • 核心: (4)(5)において、非慣性系内で物体に働く実働力（重力）と慣性力の合力を「見かけの重力」と捉え、それによる加速度を「見かけの重力加速度」として扱うことで、非慣性系内の運動を慣性系と同様の形式で記述できる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 加速度運動する電車やエレベーター内で、物体が受ける力（張力、垂直抗力など）や、物体がどのように運動するかを問う問題。
  • 慣性力を考慮した上での力のつり合いや運動方程式の立式。
  • 見かけの重力加速度下での振り子の周期や、物体の放物運動、落下運動。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 観測者の立場（座標系）の特定: 問題文が「床から見て」なのか、「エレベーター（電車）内の人から見て」なのかを最初に確認する。これにより、慣性力を導入する必要があるかどうかが決まる。
  2. 座標系の加速度の把握: 非慣性系の場合、その座標系（エレベーターなど）の加速度の大きさと向きを正確に特定する。慣性力の計算に必要。
  3. 物体に働く全ての力の図示: 注目する物体に働く実働力（重力、張力、垂直抗力、摩擦力など）と、非慣性系であれば慣性力を、ベクトルとして正確に図示する。
  4. 運動の状況判断: 物体が静止しているのか、等速直線運動か、加速度運動か。これにより、力のつり合いの式を立てるか、運動方程式を立てるかが決まる。
  5. 「見かけの」物理量の活用: 非慣性系内の運動では、「見かけの重力」や「見かけの重力加速度」を定義すると、問題を静止系での運動と同じように扱える場合があり、見通しが良くなることがある。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力を座標系の加速度と同じ向きに作用させてしまう。
  • 対策: 慣性力は常に「座標系の加速度とは逆向き」に働くことを徹底的に意識する。図を描く際に必ず確認する。
• 慣性力の大きさに用いる質量の誤り:
  • 誤解: 慣性力の計算で、観測対象の物体の質量ではなく、座標系（エレベーターなど）の質量を使ってしまう。
  • 対策: 慣性力 \(F_{\text{慣性}} = m_{\text{物体}}a_{\text{座標系}}\) の \(m_{\text{物体}}\) は、あくまで慣性力を受けると考える「物体」の質量であることを確認する。
• 運動方程式の立て間違い:
  • 誤解: 注目物体に働く力を一部見落とす（特に慣性力）。設定した正の向きと力の向きから、力の符号を間違える。
  • 対策: 必ず物体ごとにフリーボディダイアグラム（働く力をすべて図示）を描き、設定した座標軸の正の向きに沿って各力の成分を正しく運動方程式に代入する。
• 「見かけの重力」の方向の誤解:
  • 誤解: エレベーターが上昇加速度を持つ場合、見かけの重力が軽くなる（上向きに何か力が働く）と勘違いする。
  • 対策: 上昇加速度の場合、慣性力は下向きに働くため、見かけの重力は \(mg + ma_{\text{座標系}}\) となり、重くなる。図で力のベクトルを描いて合成する習慣をつける。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. エレベーター全体の運動図: エレベーター（質量\(M\)）と小球（質量\(m\)）を一体として、引き上げる力\(F\)、全体の重力\((M+m)g\)、全体の加速度\(\alpha\)を描き込む。
  2. 小球単独の力の図示（静止系から）: 小球に働く張力\(T\)（上向き）、重力\(mg\)（下向き）、そして小球の加速度\(\alpha\)（上向き）を描く。
  3. 小球単独の力の図示（エレベーター内の人から）: 糸が切れた後、小球に働く重力\(mg\)（下向き）と慣性力\(mb\)（下向き、エレベーターの加速度\(b\)と逆向き）を描き、これらの合力が見かけの重力となることを示す。
• 図を描く際の注意点:
  • 観測者の立場（静止系か、エレベーター内か）を明確にする。
  • 力のベクトルは作用点と向きを正確に。加速度のベクトルも同様。
  • 座標軸の正の向きを必ず図中に示す。
  • 複数の物体や状態を比較する場合は、それぞれに対応する図を描くと混乱しにくい。
• エレベーターが急上昇/急降下する際の体の感覚（重く感じる/軽く感じる）と、慣性力の向き・大きさを結びつけてイメージすると理解が深まる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(F=ma\) (全ての問いの基本):
  • なぜ？: 物体の運動状態（加速度）と、それに作用する力との間の普遍的な関係を表すため。どの物体（または系）に注目し、どのような力が働いているかを特定することが出発点。
• (1) \((M+m)\alpha = F-(M+m)g\):
  • なぜ？: エレベーターと小球を「一体の剛体」と見なし、この系全体の質量\((M+m)\)と全体の加速度\(\alpha\)、そしてこの系に働く「外力」の合力（\(F\)と全体の重力）で運動方程式を立てるため。
• (2) \(m\alpha = T-mg\):
  • なぜ？: 小球という特定の物体に着目し、その質量\(m\)、その加速度\(\alpha\)、そしてその物体に働く力の合力（張力\(T\)と重力\(mg\)）で運動方程式を立てるため。
• (3) \(Mb = F-Mg\):
  • なぜ？: 糸が切れた後はエレベーター単独の運動を考える。その質量\(M\)、新しい加速度\(b\)、そしてエレベーターに働く力の合力（引き上げる力\(F\)とエレベーターの重力\(Mg\)）で運動方程式を立てるため。
• (4) \(F_{\text{合力,車内}} = mg+mb\):
  • なぜ？: エレベーター内（加速度\(b\)の非慣性系）の観測者から見ると、小球には実働力である重力\(mg\)（下向き）に加え、座標系の加速度\(b\)と逆向き（下向き）に慣性力\(mb\)が作用しているように見えるため、これらのベクトル和が観測される合力となる。
• (5) \(h = \frac{1}{2}(g+b)t^2\):
  • なぜ？: (4)で求めた合力による加速度（見かけの重力加速度 \(g’=g+b\)）が一定であるため、初速度0の等加速度直線運動の公式が適用できるから。
• これらの選択は、それぞれの物理的状況（系全体か部分か、静止系か非慣性系か、力が一定か変化するかなど）を正確に把握した上で、最も適切に現象を記述できる法則を選び出す思考プロセスに基づいている。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問1 (引き上げる力\(F\)):
   1. 対象: エレベーター + 小球（一体の系）。
   2. 法則: 運動方程式。
   3. 立式: \((M+m)\alpha = F – (M+m)g\)。
   4. 計算: \(F\)について解く。
2. 問2 (張力の倍率):
   1. 対象1: 加速中の小球。法則: 運動方程式。立式: \(m\alpha = T – mg\)。\(T\)を求める。
   2. 対象2: 静止時の小球。法則: 力のつり合い。立式: \(T_0 – mg = 0\)。\(T_0\)を求める。
   3. 計算: 比 \(T/T_0\) を計算する。
3. 問3 (糸を切った後の加速度\(b\)):
   1. 対象: エレベーター単独。法則: 運動方程式。
   2. 立式: \(Mb = F – Mg\)。\(F\)は問1の結果を使用。
   3. 計算: \(b\)について解く。
4. 問4 (車内から見た合力):
   1. 観測系: エレベーター内（非慣性系、加速度\(b\)）。対象: 小球。
   2. 力: 実働力（重力\(mg\)） + 慣性力（大きさ\(mb\)、向きは\(b\)と逆）。
   3. 計算: 両方とも下向きなので、大きさの和 \(mg+mb\) を求める。
5. 問5 (落下時間\(t\)):
   1. 観測系: エレベーター内。対象: 小球。
   2. 運動: 見かけの重力加速度 \(g’ = g+b\) による初速度0の等加速度落下。
   3. 法則: 等加速度運動の公式。立式: \(h = \frac{1}{2}(g+b)t^2\)。
   4. 計算: \(t\)について解く。

このように、問題の各パートで「何に注目し」「どの法則を使い」「どの状態を比較するのか」を明確にしながら進めることが重要。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性チェック: 計算の各段階や最終結果の単位が、物理的に正しいものになっているか（例：力は[N]、加速度は[m/s²]、時間は[s]）を常に意識する。
• 文字記号の正確な使用: 問題文で与えられた文字（\(\alpha, M, m, g, h, b\)など）と、自分で定義した文字（\(F, T, T_0, g’, t\)など）を混同しないよう、明確に書き分け、その意味を把握しておく。
• 符号の管理（特に力の向き）: 運動方程式を立てる際、設定した座標軸の正の向きに対して、各力や加速度の成分の符号が正しいかを慎重に確認する。特に慣性力の向きは間違えやすいポイント。
• 代入時の注意: ある設問で求めた結果（例：問1の\(F\)）を後の設問（例：問3）で使用する際には、代入ミスがないように注意深く行う。
• 式の展開と整理: 特に複数の項や文字が含まれる式を展開したり整理したりする際は、計算ステップを省略せず、一つ一つ確認しながら丁寧に進める。共通因数でのくくり出しなども有効。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感・経験との照らし合わせ:
  • (1) \(F=(M+m)(g+\alpha)\): エレベーターが上に加速する (\(\alpha>0\)) なら、全体の重さ \((M+m)g\) より大きな力で引く必要があるのは自然。
  • (2) 張力が \((g+\alpha)/g\) 倍: 上に加速すれば張力が増し、下に加速（\(\alpha\)が負）すれば張力が減るというのは、エレベーターに乗った時の体感と一致。
  • (3) \(b = \alpha + m(g+\alpha)/M\): 糸が切れて引っ張るべき質量が \(M+m\) から \(M\) に減ったのに、引く力 \(F\) が同じなら、加速度は元の\(\alpha\)より大きくなるはず (\(b>\alpha\))。これは式と合致。
  • (4) 車内の合力 \(m(g+b)\): エレベーターが上に加速（\(b>0\)）すると、下向きの力が強まる（体が重く感じる）のと同様、小球にもより大きな下向きの合力が働くのは自然。
  • (5) 落下時間 \(t = \sqrt{2h/(g+b)}\): 見かけの重力加速度 \(g+b\) が大きいほど、落下時間が短くなるのは、通常の自由落下と同じ。
• 単位の一貫性: 導出した各物理量の単位が、その物理量本来の単位と一致しているか（例：力なら[N]、加速度なら[m/s²]、時間なら[s]）を必ず確認する。
• 極端な条件での検証:
  • 例えば、もしエレベーターの加速度\(\alpha=0\)（等速または静止）なら、(1)で\(F=(M+m)g\)、(2)で張力は\(1\)倍、(3)で\(b=mg/M\)（糸を切ると\(F\)が\(Mg\)より大きいので加速する）。
  • もしエレベーターが自由落下（\(b=-g\))する状況なら、(4)で車内の合力は\(m(g-g)=0\)（無重力状態）、(5)で\(t \to \infty\)（床に相対的に近づかない）。これらが物理的な直観と合うか考える。
• これらの吟味は、計算ミスを発見するだけでなく、物理法則が様々な状況でどのように現れるかを理解し、応用力を高める上で非常に有効。

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問題37 (玉川大＋大阪電通大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、三角柱の運動状態によって小物体Pに働く力やPの運動がどのように変化するかを考察する問題です。特に、慣性力という見かけの力を導入することで、加速する座標系（三角柱）から見た物体の運動や力のつりあいを考えることがポイントになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、力のつりあい、ニュートンの運動方程式、そして慣性力の概念を総合的に理解しているかを問うています。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力のつりあい: 物体が静止している、または等速直線運動をしている場合、物体に働く力の合力は0になります（\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)）。
• 運動方程式: 物体に力が働くと、物体は加速度運動をします（\(m\vec{a} = \vec{F}\)）。
• 慣性力: 加速度運動する観測者から物体を見たとき、物体には実際の力に加えて、観測者の加速度と逆向きに、質量と加速度の積（\(-m\vec{a}_{\text{観測者}}\)）で表される見かけの力（慣性力）が働いているように見えます。慣性力を考慮することで、加速中の座標系でも力のつりあいや運動方程式と同様の考え方が適用できます。
• 等加速度直線運動の公式: 加速度が一定の場合の速度と変位の関係式（例: \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)）。

全体的な戦略としては、各状況に応じて働く力を正確に把握し、適切な座標系で力のつりあいや運動方程式を立てて解き進めます。

問1

思考の道筋とポイント

小物体Pは静止しているので、Pに働く力はつり合っています。力を図示し、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解してつり合いの式を立てるのが定石です。

この設問における重要なポイント

• 力を正確に図示すること（重力 \(mg\)、糸の張力 \(T_0\)、垂直抗力 \(N_0\)）。
• 力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解すること。重力の斜面平行成分は \(mg \sin\theta\)、斜面垂直成分は \(mg \cos\theta\) です。
• それぞれの方向で力のつり合いの式を立てること。

具体的な解説と立式

小物体Pにはたらく力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）、糸の張力 \(T_0\)（斜面に沿って上向き）、斜面からの垂直抗力 \(N_0\)（斜面に垂直で上向き）です。これらの力を、斜面に平行な方向と斜面に垂直な方向に分解して考えます。

• 斜面に平行な方向の力のつりあい:
  斜面に沿って上向きを正とすると、張力 \(T_0\) と重力の斜面平行成分 \(mg \sin\theta\)（斜面に沿って下向き）がつり合っています。
  $$T_0 – mg \sin\theta = 0$$
• 斜面に垂直な方向の力のつりあい:
  斜面に垂直で上向きを正とすると、垂直抗力 \(N_0\) と重力の斜面垂直成分 \(mg \cos\theta\)（斜面に垂直で下向き）がつり合っています。
  $$N_0 – mg \cos\theta = 0$$

斜面に平行な方向の力のつりあいから \(T_0\) を求めます。

$$T_0 – mg \sin\theta = 0$$

\(mg \sin\theta\) を右辺に移項すると、

$$T_0 = mg \sin\theta$$

斜面に垂直な方向の力のつりあいから \(N_0\) を求めます。

$$N_0 – mg \cos\theta = 0$$

\(mg \cos\theta\) を右辺に移項すると、

$$N_0 = mg \cos\theta$$

物体Pはじっとしていますね。このとき、糸がPを上に引っ張る力 \(T_0\) と、重力がPを斜め下に引きずり下ろそうとする力のうち斜面方向の成分 \(mg \sin\theta\) がちょうど同じ大きさになっています。だから、\(T_0 = mg \sin\theta\) です。また、Pが斜面にめり込んだり浮き上がったりしないのは、斜面がPを押し返す力（垂直抗力 \(N_0\)）と、重力がPを斜面に押し付ける力（斜面垂直成分 \(mg \cos\theta\)）がちょうど同じ大きさだからです。なので、\(N_0 = mg \cos\theta\) となります。

糸の張力 \(T_0 = mg \sin\theta\)、垂直抗力 \(N_0 = mg \cos\theta\) となります。これらの結果は、静止した斜面上にある物体の力のつり合いとして基本的な形であり、物理的に妥当です。

問2

思考の道筋とポイント

三角柱が左向きに加速度 \(a\) で運動するので、小物体Pにはたらく慣性力を考える必要があります。慣性力は三角柱の加速度と逆向き（右向き）に \(ma\) です。Pは斜面に対して静止し、糸の張力は \(0\) です。この状態でPに働く力（重力、垂直抗力 \(N\)、慣性力 \(ma\)）のつり合いを考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力を正しく導入すること（向きは加速度と逆、大きさは質量×加速度）。
• 慣性力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解すること。水平右向きの慣性力 \(ma\) の斜面平行成分は \(ma \cos\theta\)、斜面垂直成分は \(ma \sin\theta\) となります。
• 張力が \(0\) であるという条件を忘れずに使うこと。
• 力のつり合いの式を立てること。

具体的な解説と立式

三角柱が左向きに加速度 \(a\) で運動しているので、Pには水平右向きに大きさ \(ma\) の慣性力が働いているように見えます。このとき、Pに働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、慣性力 \(ma\) です（張力は0）。これらの力を斜面に平行・垂直に分解します。

• 斜面に平行な方向の力のつりあい: (斜面上向き正)
  $$ma \cos\theta – mg \sin\theta = 0$$
• 斜面に垂直な方向の力のつりあい: (斜面垂直上向き正)
  $$N – mg \cos\theta – ma \sin\theta = 0$$

斜面に平行な方向の力のつりあいから加速度 \(a\) を求めます。

$$ma \cos\theta – mg \sin\theta = 0$$
$$ma \cos\theta = mg \sin\theta$$

両辺を \(m \cos\theta\) で割ると、

$$a = \frac{g \sin\theta}{\cos\theta} = g \tan\theta$$

次に、この \(a\) を用いて、斜面に垂直な方向の力のつりあいから垂直抗力 \(N\) を求めます。

$$N = mg \cos\theta + ma \sin\theta$$

\(a = g \tan\theta = g \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) を代入すると、

$$N = mg \cos\theta + m \left(g \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) \sin\theta$$
$$N = mg \cos\theta + mg \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$

\(mg\) でくくりだし、通分すると、

$$N = mg \left( \cos\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \right) = mg \left( \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta} \right)$$

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、

$$N = \frac{mg}{\cos\theta}$$

三角柱が左に加速すると、Pは右向きに慣性力 \(ma\) を感じます。糸の張力がゼロなので、この慣性力の斜面上向き成分 \(ma \cos\theta\) と重力の斜面下向き成分 \(mg \sin\theta\) がつり合います。ここから \(a = g \tan\theta\) が求まります。垂直抗力 \(N\) は、重力の斜面垂直成分 \(mg \cos\theta\) と慣性力の斜面垂直成分 \(ma \sin\theta\) の和となります。 \(a\) を代入して整理すると \(N = mg/\cos\theta\) となります。

加速度 \(a = g \tan\theta\)、垂直抗力 \(N = \frac{mg}{\cos\theta}\) となります。これらは物理的に妥当な結果です。

問3

思考の道筋とポイント

三角柱が右向きに加速度 \(\beta\) で運動するので、Pには慣性力が左向きに \(m\beta\) で働きます。Pは斜面に対して静止し、垂直抗力は \(0\) です。この状態でPに働く力（重力、張力 \(T\)、慣性力 \(m\beta\)）のつり合いを考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力を正しく導入すること。
• 慣性力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解すること。
• 垂直抗力が \(0\) であるという条件を使うこと。
• 力のつり合いの式を立てること。

具体的な解説と立式

三角柱が右向きに加速度 \(\beta\) で運動しているので、Pには水平左向きに大きさ \(m\beta\) の慣性力が働きます。このとき、Pに働く力は、重力 \(mg\)、張力 \(T\)、慣性力 \(m\beta\) です（垂直抗力は0）。これらの力を斜面に平行・垂直に分解します。

• 斜面に垂直な方向の力のつりあい: (斜面垂直上向き正、\(N=0\))
  慣性力の斜面垂直成分（上向き）と重力の斜面垂直成分（下向き）がつり合います。
  $$m\beta \sin\theta – mg \cos\theta = 0$$
• 斜面に平行な方向の力のつりあい: (斜面上向き正)
  $$T – mg \sin\theta – m\beta \cos\theta = 0$$

斜面に垂直な方向の力のつりあいから加速度 \(\beta\) を求めます。

$$m\beta \sin\theta – mg \cos\theta = 0$$
$$m\beta \sin\theta = mg \cos\theta$$

両辺を \(m \sin\theta\) で割ると、

$$\beta = \frac{g \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{g}{\tan\theta}$$

次に、この \(\beta\) を用いて、斜面に平行な方向の力のつりあいから張力 \(T\) を求めます。

$$T = mg \sin\theta + m\beta \cos\theta$$

\(\beta = g \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\) を代入すると、

$$T = mg \sin\theta + m \left(g \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) \cos\theta$$
$$T = mg \sin\theta + mg \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$$

\(mg\) でくくりだし、通分すると、

$$T = mg \left( \sin\theta + \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \right) = mg \left( \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta} \right)$$

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、

$$T = \frac{mg}{\sin\theta}$$

三角柱が右に加速すると、Pは左向きに慣性力 \(m\beta\) を感じます。Pが斜面から浮き上がる寸前（垂直抗力ゼロ）なので、慣性力の斜面垂直上向き成分 \(m\beta \sin\theta\) と重力の斜面垂直下向き成分 \(mg \cos\theta\) がつり合います。ここから \(\beta = g/\tan\theta\) が求まります。張力 \(T\) は、重力の斜面下向き成分 \(mg \sin\theta\) と慣性力の斜面下向き成分 \(m\beta \cos\theta\) の和となります。\(\beta\) を代入して整理すると \(T = mg/\sin\theta\) となります。

加速度 \(\beta = \frac{g}{\tan\theta}\)、張力 \(T = \frac{mg}{\sin\theta}\) となります。これらも物理的に妥当な結果です。

問4

思考の道筋とポイント

(3)の状態で糸を切るので、張力 \(T\) が \(0\) になります。Pは引き続き三角柱（右向き加速度 \(\beta\)）の上を運動します。三角柱から見たPの運動を考えるため、Pに働く力（重力、慣性力 \(m\beta\)）の斜面方向成分を考え、運動方程式を立ててPの斜面に対する加速度 \(a’\) を求めます。その後、等加速度直線運動の公式を使って速さ \(v\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 糸を切った直後も、三角柱は加速度 \(\beta\) で運動し続けていると考える。
• Pに働く力（重力、慣性力、垂直抗力）を考え、斜面方向の合力を求める。
• 三角柱に対するPの加速度 \(a’\) を求めるための運動方程式を立てる。
• 等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2a’l\) を用いる（初速度 \(v_0=0\)）。

具体的な解説と立式

(3)の状態で三角柱は右向きに加速度 \(\beta = \frac{g \cos\theta}{\sin\theta}\) で運動しています。糸を切ると張力は0になります。小物体Pに働く力は重力 \(mg\)、慣性力 \(m\beta\)（水平左向き）、垂直抗力 \(N’\) です。Pの斜面に沿った運動（下向き正）を考えます。

Pの斜面方向の運動方程式は、Pの斜面に対する加速度を \(a’\) とすると、

$$ma’ = mg \sin\theta + m\beta \cos\theta$$

ここに、(3)で求めた \(\beta = \frac{g \cos\theta}{\sin\theta}\) を代入します。

$$ma’ = mg \sin\theta + m \left( \frac{g \cos\theta}{\sin\theta} \right) \cos\theta$$

Pは初速度 \(0\) で斜面を距離 \(l\) だけ滑り降りるので、等加速度直線運動の公式 \(v^2 – 0^2 = 2a’l\) を用いて速さ \(v\) を求めます。

まず、加速度 \(a’\) を求めます。

$$ma’ = mg \sin\theta + mg \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$$

両辺を \(m\) で割ると、

$$a’ = g \sin\theta + g \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$$

\(g\) でくくりだし、通分すると、

$$a’ = g \left( \sin\theta + \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \right) = g \left( \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta} \right)$$

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より、

$$a’ = g \frac{1}{\sin\theta} = \frac{g}{\sin\theta}$$

次に、この \(a’\) を用いて、Pが距離 \(l\) 滑り降りたときの速さ \(v\) を求めます。初速度 \(v_0 = 0\) なので、

$$v^2 – 0^2 = 2 a’ l$$
$$v^2 = 2 \left( \frac{g}{\sin\theta} \right) l = \frac{2gl}{\sin\theta}$$

したがって、

$$v = \sqrt{\frac{2gl}{\sin\theta}}$$

(3)の状態で糸を切ると、張力はなくなりますが、三角柱は加速度 \(\beta\) で運動しているのでPには慣性力 \(m\beta\) が働き続けます。Pを斜面下向きに滑らせる力は、重力の斜面成分 \(mg \sin\theta\) と慣性力の斜面成分 \(m\beta \cos\theta\) の和です。運動方程式からPの斜面に対する加速度 \(a’\) を求めると \(a’ = g/\sin\theta\) となります。初速度0で距離 \(l\) 滑るので、\(v^2 = 2a’l\) から \(v = \sqrt{2gl/\sin\theta}\) が求まります。

Pが斜面上を距離 \(l\) だけ滑り降りたときの速さは \(v = \sqrt{\frac{2gl}{\sin\theta}}\) となります。この結果は、慣性力の影響で、通常の静止した斜面を滑る場合よりも大きな加速度で滑り降りることを示しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい: 物体が静止または観測者に対して相対的に静止している場合に、合力がゼロになるという基本原則。特に、力を適切な方向に分解して考えるスキルが重要でした（問1, 2, 3）。
• ニュートンの運動方程式 (\(ma=F\)): 物体が加速運動する場合の基本法則。問4では、この法則を三角柱から見た小物体の運動に適用しました。
• 慣性力: 加速する座標系（観測者）から物体を見たときに導入される見かけの力。大きさは \(m \times (\text{観測者の加速度})\)、向きは観測者の加速度と逆向き。慣性力を導入することで、加速座標系においても力のつりあいや運動方程式と同様の形式で問題を扱えるようになります（問2, 3, 4）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電車やエレベーターなど、加速度運動する乗り物の中での物体の運動。
  • 回転する円盤上の物体の運動（遠心力という慣性力を考える）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者はどこか？その観測者は加速しているか？（慣性力の要否）
  2. 物体に働く「実際の力」は何か？（重力、張力、垂直抗力など）
  3. 座標系（力の分解方向）はどう設定するか？
  4. 問題の条件（「静止」「張力0」など）は何か？
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 慣性力の向き（観測者の加速度と逆向き）と大きさを正確に。
  • 力の分解（特に角度、\(\sin, \cos\)）は図を丁寧に描いて確認。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の取り扱いの誤り: 存在を忘れる、向きを間違える、大きさを間違える。
  • 対策: 加速座標系では必ず慣性力を意識し、定義通りに適用する。
• 力の分解ミス: 特に斜面上で水平方向の慣性力を分解するとき。
  • 対策: 大きな図を描き、角度の関係を明確にする。
• 条件の誤解: 「張力0」「垂直抗力0」などの物理的状況を正しく理解していない。
  • 対策: 条件が何を意味するのかを図や言葉で再確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. 力のベクトル図（各物体に働く力を矢印で）。
  2. 力の分解図（特に重力や慣性力を斜面方向・垂直方向に分解）。
• 図を描く際の注意点: 力の作用点、向き、相対的な大きさを意識する。分解する成分と元の力の関係を明確にする。角度 \(\theta\) の位置を正確に。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい (\(\sum F = 0\)): 物体が静止、または観測者に対し相対的に静止している場合に適用。
• 運動方程式 (\(ma = F\)): 物体が加速度運動している場合に適用。
• 慣性力 ( \(F_{\text{慣性}} = -ma_{\text{観測者}}\) ): 加速座標系で運動を記述する際に、見かけの力として導入。
• 等加速度直線運動の公式: 加速度が一定の場合の運動を記述する際に適用。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題状況の把握（静止か加速か、どんな力が働くか）。
2. 座標系の設定と力の図示・分解（慣性力も忘れずに）。
3. 物理法則の適用（力のつりあい or 運動方程式）。
4. 立式と計算（連立方程式を解くなど）。
5. 解の吟味（単位、極端な場合、物理的妥当性）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 途中式を丁寧に書き、符号や文字の書き間違いに注意する。
• 単位を常に意識し、次元のチェックを行う。
• できるだけ文字式のままで計算を進め、最後に数値を代入する。
• 図と式を照らし合わせながら、矛盾がないか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 単位の確認: 求めた物理量の単位が正しいか。
• 極端な場合の考察: 例えば \(\theta = 0^\circ\) や \(\theta = 90^\circ\) のとき、答えはどうなるか。物理的な直感と合うか。
  • 例：問4で \(\theta = 90^\circ\) なら \(v = \sqrt{2gl}\) となり自由落下と同じ。
• 物理的な直観との比較: 加速度の向きや力の変化が、直感的な理解と一致するか。

問題38 (金沢大＋お茶の水女子大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直方体にはたらく外力や台の加速度によって、直方体が「滑る」か「傾く」かという二つの現象の境界条件を考察するものです。特に、力のつりあいだけでなく、力のモーメントのつりあいが重要な役割を果たします。また、後半では慣性力も登場します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは剛体のつりあいです。剛体が静止し続けるためには、並進運動に関する力のつりあい（全ての力のベクトル和がゼロ）と、回転運動に関する力のモーメントのつりあい（任意の点のまわりの力のモーメントの和がゼロ）の両方が満たされる必要があります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力のつりあい: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\)
• 力のモーメントのつりあい: \(\sum M = 0\)
• 静止摩擦力と最大静止摩擦力: 静止摩擦力 \(f\) は外力に応じて変化し、その最大値 \(f_{\text{max}} = \mu N\)（\(N\) は垂直抗力）を超えると物体は滑り始めます。
• 慣性力: 加速度 \(\vec{a}_{\text{台}}\) で運動する台の上にある物体には、台から見ると \(-m\vec{a}_{\text{台}}\) の慣性力が働いているように見えます。

全体的な戦略としては、各状況に応じて「滑る条件」と「傾く条件」を的確に判断し、それぞれに対応する物理法則（力のつりあい、モーメントのつりあい、摩擦力の条件）を適用して立式していきます。

問1

思考の道筋とポイント

直方体Pが「滑ることなく傾き始めた」とき、Pは右下の点（これをC点とします）を回転軸として傾き始めます。この瞬間、Pはまだ回転していないので、C点のまわりの力のモーメントはつり合っています。

この設問における重要なポイント

• 傾き始めるときの回転軸を正しく特定すること（この場合は右下の点C）。
• 各力の作用点と、回転軸からの腕の長さを正確に把握すること。
• 力のモーメントのつりあいの式 (\(\sum M = 0\)) を立てること。外力 \(F_0\) は斜め向きなので、水平成分と鉛直成分に分解してそれぞれのモーメントを考えると計算しやすいです。

具体的な解説と立式

直方体Pが右下の点Cを軸に傾き始めるときを考えます。C点のまわりの力のモーメントのつりあいを考えます（反時計回りを正とします）。

• 重力 \(mg\) によるモーメント: \( -mg \times \frac{d}{2} \) (時計回り)
• 外力 \(F_0\) の水平成分 \(F_{0x} = F_0 \cos30^\circ\) によるモーメント: \( (F_0 \cos30^\circ) \times h \) (反時計回り)
• 外力 \(F_0\) の鉛直成分 \(F_{0y} = F_0 \sin30^\circ\) によるモーメント: \( (F_0 \sin30^\circ) \times d \) (反時計回り)

力のモーメントのつりあいの式は、

$$(F_0 \cos30^\circ)h + (F_0 \sin30^\circ)d – mg\frac{d}{2} = 0$$

\(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\) を代入すると、

$$F_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}h + \frac{1}{2}d \right) = mg\frac{d}{2}$$

上記のモーメントのつりあいの式から \(F_0\) を求めます。

$$F_0 \frac{\sqrt{3}h+d}{2} = mg\frac{d}{2}$$

両辺に \(2\) を掛けて分母を払うと、

$$F_0 (d+\sqrt{3}h) = mgd$$

したがって、

$$F_0 = \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h}$$

直方体が傾き始める瞬間は、右下の角Cを中心に回転しようとします。このC点の周りで、重力が物体を時計回りに倒そうとするモーメント (\(mg \cdot d/2\)) と、外力 \(F_0\) が物体を反時計回りに起こそうとするモーメント（水平成分によるものと鉛直成分によるものの合計）が釣り合っています。この釣り合いの式を \(F_0\) について解きます。

外力の大きさ \(F_0 = \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h}\) となります。この式の形から、直方体の寸法 \(d, h\) が \(F_0\) の値に影響を与えることがわかります。単位も力の単位 [N] となり、物理的に妥当です。

問2

思考の道筋とポイント

Pが「滑ることなく」傾き始めたという条件から、このときの静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えていない（\(f \le \mu N\)）と考えます。まず、力のつりあいから静止摩擦力 \(f\) と垂直抗力 \(N\) を \(F_0\) を用いて表します。

この設問における重要なポイント

• 水平方向と鉛直方向の力のつりあいを考えること。
• 滑らない条件 \(f \le \mu N\) を正しく適用すること。
• (1)で求めた \(F_0\) の結果を利用すること。

具体的な解説と立式

直方体Pに働く力の水平方向と鉛直方向のつりあいを考えます。

• • 水平方向の力のつりあい: \(f = F_0 \cos30^\circ = F_0 \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • 鉛直方向の力のつりあい: \(N + F_0 \sin30^\circ = mg\)、よって \(N = mg – F_0 \sin30^\circ = mg – F_0 \frac{1}{2}\)

Pが滑らないための条件は \(f \le \mu N\) です。

$$F_0 \frac{\sqrt{3}}{2} \le \mu \left(mg – F_0 \frac{1}{2}\right)$$

\(\mu\) について解くと、

$$\mu \ge \frac{\sqrt{3}F_0}{2mg – F_0}$$

(1)で求めた \(F_0 = \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h}\) を代入します。

分母 \(2mg – F_0 = 2mg – \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h} = mg \frac{2(d+\sqrt{3}h) – d}{d+\sqrt{3}h} = mg \frac{d+2\sqrt{3}h}{d+\sqrt{3}h}\)。

分子 \(\sqrt{3}F_0 = \sqrt{3} \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h}\)。

よって、

$$\mu \ge \frac{\sqrt{3} \frac{mgd}{d+\sqrt{3}h}}{mg \frac{d+2\sqrt{3}h}{d+\sqrt{3}h}} = \frac{\sqrt{3}d}{d+2\sqrt{3}h}$$

直方体が滑らないためには、水平方向に働く力（外力の水平成分）と釣り合う静止摩擦力 \(f\) が、最大静止摩擦力 \(\mu N\) 以下である必要があります。力の釣り合いから \(f\) と \(N\) を \(F_0\) で表し、\(f \le \mu N\) の式に代入します。さらに(1)で求めた \(F_0\) を代入して \(\mu\) について整理します。

静止摩擦係数 \(\mu\) に対する条件は \(\mu \ge \frac{\sqrt{3}d}{d+2\sqrt{3}h}\) となります。この式の右辺は無次元量であり、\(\mu\) が無次元であることと一致します。

問3

思考の道筋とポイント

台が水平右向きに加速度 \(\alpha\) で運動するため、直方体Pには、その重心に水平左向きに大きさ \(m\alpha\) の慣性力が働いているように見えます。Pが「滑ることなく、やがて傾き始めた」とあるので、このときはPの左下の点（これをB点とします）を回転軸として傾き始めます。この瞬間のB点のまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力を正しく導入すること（向きは台の加速度と逆、大きさ \(m\alpha\)、作用点は重心）。
• 傾き始めるときの回転軸を正しく特定すること（この場合は左下の点B）。
• 力のモーメントのつりあいの式を立てること。

具体的な解説と立式

台が右向きに加速度 \(\alpha\) で運動するとき、Pの重心には水平左向きに大きさ \(m\alpha\) の慣性力が作用します。Pが左下の点Bを軸に傾き始めるとき、B点のまわりの力のモーメントのつりあいを考えます（反時計回りを正とします）。

• 重力 \(mg\) によるモーメント: \( -mg \times \frac{d}{2} \) (時計回り)
• 慣性力 \(m\alpha\) によるモーメント: \( (m\alpha) \times \frac{h}{2} \) (反時計回り)

力のモーメントのつりあいの式は、

$$(m\alpha) \frac{h}{2} – mg\frac{d}{2} = 0$$

上記のモーメントのつりあいの式から \(\alpha\) を求めます。

$$m\alpha \frac{h}{2} = mg\frac{d}{2}$$

両辺の \(m\) と \(\frac{1}{2}\) を消去すると、

$$\alpha h = gd$$

したがって、

$$\alpha = \frac{d}{h}g$$

台が右に加速すると、直方体Pは左向きに慣性力 \(m\alpha\) を受けます。この慣性力によって、Pは左下の角Bを中心に傾こうとします。慣性力がPを反時計回りに倒そうとするモーメント (\(m\alpha \cdot h/2\)) と、重力がPを時計回りに倒そうとするモーメント (\(mg \cdot d/2\)) が釣り合うときの加速度 \(\alpha\) を求めます。

加速度の大きさ \(\alpha = \frac{d}{h}g\) となります。この結果は、直方体の形状（\(d/h\)の比）が傾きやすさに影響することを示しており、直感的にも理解しやすいです。単位も加速度 [m/s²] となり正しいです。

問4

思考の道筋とポイント

(3)の状況でPが「滑ることなく」傾き始めたという条件から、このときの静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えていない（\(f’ \le \mu N’\)）と考えます。まず、慣性力を考慮した力のつりあいから静止摩擦力 \(f’\) と垂直抗力 \(N’\) を \(\alpha\) を用いて表します。

この設問における重要なポイント

• 慣性力を考慮した水平方向と鉛直方向の力のつりあいを考えること。
• 滑らない条件 \(f’ \le \mu N’\) を正しく適用すること。
• (3)で求めた \(\alpha\) の結果を利用すること。

具体的な解説と立式

直方体Pに働く力の水平方向と鉛直方向のつりあいを考えます（台と共に動く観測者から見て）。

• 水平方向の力のつりあい: \(f’ = m\alpha\) (摩擦力 \(f’\) は右向き)
• 鉛直方向の力のつりあい: \(N’ = mg\)

Pが滑らないための条件は \(f’ \le \mu N’\) です。

$$m\alpha \le \mu (mg)$$

\(\mu\) について解くと、

$$\mu \ge \frac{\alpha}{g}$$

(3)で求めた \(\alpha = \frac{d}{h}g\) を \(\mu \ge \frac{\alpha}{g}\) に代入します。

$$\mu \ge \frac{\left(\frac{d}{h}g\right)}{g}$$
$$\mu \ge \frac{d}{h}$$

(3)の状況で直方体Pが滑らないためには、Pを左に引っ張る慣性力 \(m\alpha\) と釣り合う静止摩擦力 \(f’\) が、最大静止摩擦力 \(\mu N’\) 以下である必要があります。力の釣り合いから \(f’ = m\alpha\)、\(N’ = mg\) となるので、\(m\alpha \le \mu mg\) という条件に(3)で求めた \(\alpha\) を代入して \(\mu\) について整理します。

静止摩擦係数 \(\mu\) に対する条件は \(\mu \ge \frac{d}{h}\) となります。この結果は、直方体の形状が、慣性力によって傾く前に滑らないために必要な摩擦係数の大きさに影響することを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のモーメントのつりあい: 剛体が回転し始めない（傾き始めない）ための条件。回転軸の選び方、腕の長さの計算、力の分解がポイントでした（問1, 3）。
• 力のつりあい: 剛体が並進運動をしないための条件。静止摩擦力や垂直抗力を求める際に使用しました（問2, 4）。
• 静止摩擦力と滑り出す条件: 物体が滑り出すのは、静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(f_{\text{max}} = \mu N\) に達したとき。滑らない条件は \(f \le \mu N\) です（問2, 4）。
• 慣性力: 加速する基準系から物体の運動や力のつりあいを考える際に導入される見かけの力（問3, 4）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 物体が滑るか倒れる（傾く）か、どちらが先に起こるかを判定する問題。
  • 積み重ねた物体や、連結された物体の安定性に関する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「滑る」可能性と「傾く」可能性の両方を常に意識する。
  2. 「傾き始める」とき、回転軸はどこになるかイメージする。
  3. 力のモーメントを計算する際、力の分解は有効か、腕の長さは正確か確認する。
  4. 加速系であれば、慣性力の向きと作用点を正しく設定する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 回転軸の選定ミス: 傾き始めるときの回転軸を間違えると、モーメントの計算が全て誤りになります。
  • 対策: 物体がどのように傾くかを具体的にイメージし、最後まで接していると考えられる点を選びます。
• モーメントの腕の長さの計算ミス: 回転軸から力の「作用線」への垂線の長さを正確に。
  • 対策: 図を丁寧に描き、幾何学的な関係から求めます。
• 静止摩擦力の誤解: 静止摩擦力は常に \(\mu N\) ではなく、つり合いから決まる値であり、\(\mu N\) はその最大値です。
  • 対策: まず力のつりあいから静止摩擦力 \(f\) を求め、その上で \(f \le \mu N\) の条件を適用します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 物体に働く全ての力を作用点とともに描いた図。
  2. モーメント計算のために、回転軸、力の作用線、腕の長さを明確にした図。
  3. 慣性力が働く場合は、その向きと作用点（重心）を明示した図。
• 図を描く際の注意点: 大きく、正確に。力のベクトル、腕の長さ、角度を明確に。複雑な場合は複数の図に分けることも有効。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)): 物体が並進方向に加速していない場合に適用。
• 力のモーメントのつりあい (\(\sum M = 0\)): 物体が回転方向に加速していない（傾き始める直前など）場合に適用。
• 静止摩擦力の条件 (\(f \le \mu N\)): 物体が滑らないための条件。
• 慣性力: 加速座標系で物体を考える際に、実在の力と同様に扱います。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題文から物理的状況（静止、加速、外力、摩擦など）を把握。
2. 着目する物体に働く全ての力（慣性力含む）を図示。
3. 「傾く条件」ならモーメントのつりあい、「滑る条件」なら摩擦力の条件と力のつりあいを適用。
4. 方程式を立て、未知数について解く。
5. 得られた解が物理的に妥当か（単位、極端な場合など）を吟味。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力の分解、モーメントの腕の長さの計算は特に慎重に。
• 途中式を丁寧に書き、符号や文字の混同を防ぐ。
• 文字式の段階でできるだけ整理し、最後に数値を代入する（今回は数値なし）。
• 図と式を常に見比べ、矛盾がないか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • \(F_0\) や \(\alpha\) の式が、直方体の寸法 \(d, h\) に対して直感的な傾向（例：細長い方が倒れやすい）と合うか。
  • \(\mu\) の条件式が、どのような形状のときに大きな \(\mu\) が要求されるか、直感と合うか。
• 単位確認: \(F_0\) は[N]、\(\mu\) は無次元、\(\alpha\) は[m/s²]になっているか。
• 極端な場合: 例えば \(h \to 0\) や \(d \to 0\) といった極限で、式が物理的に意味のある振る舞いをするか。

問題39 (山口大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、糸でつながれたおもりによって張力を受けながら、水平面上で運動する小物体の運動を扱うものです。前半は摩擦がない場合の等速円運動、後半は摩擦がある場合の回転台上の静止条件（これも円運動）を考えます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、等速円運動における向心力の理解、そして静止摩擦力が関わる場合の力のつり合い（回転座標系で考えれば慣性力と実質の力のつりあい、静止系で考えれば向心力の供給）を問うています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• ニュートンの運動法則（運動方程式）: \(m\vec{a} = \vec{F}\)
• 等速円運動の運動方程式: 向心加速度 \(a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\)。向心力 \(F_c = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2\)。
• 力のつりあい: 物体が静止している場合、力の合力はゼロです。
• 静止摩擦力: 物体が滑り出さないように働く摩擦力。その大きさは \(0 \le f_s \le \mu N\) の範囲で変化します。

全体的な戦略としては、まず各物体に働く力を正確に図示し、力のつりあいや運動方程式を適用します。特に(2)では、静止摩擦力の向きが状況によって変わるため、場合分けが必要です。

問1

思考の道筋とポイント

小物体Aは等速円運動をしています。この円運動に必要な向心力は、糸の張力によって供給されます。一方、おもりBは静止しているので、糸の張力とおもりBの重力がつり合っています。

この設問における重要なポイント

• おもりBの力のつりあいを正しく立てること。
• 小物体Aの円運動の向心力が何によって供給されているかを理解すること。
• 等速円運動の運動方程式を正しく適用すること。

具体的な解説と立式

まず、おもりBに働く力は、鉛直下向きの重力 \(Mg\) と鉛直上向きの糸の張力 \(T\) です。Bは静止しているので、これらの力はつり合っています。

$$T = Mg \quad \cdots ①$$

次に、小物体Aに働く水平方向の力は糸の張力 \(T\) のみです。この張力 \(T\) が向心力となり、Aは半径 \(r\)、速さ \(v_1\) の等速円運動をします。Aの運動方程式は、

$$m\frac{v_1^2}{r} = T \quad \cdots ②$$

式①を式②に代入します。

$$m\frac{v_1^2}{r} = Mg$$

この式を \(v_1\) について解きます。両辺に \(r\) を掛け、\(m\) で割ると、

$$v_1^2 = \frac{Mgr}{m}$$

\(v_1 > 0\) なので、平方根をとると、

$$v_1 = \sqrt{\frac{Mgr}{m}}$$

おもりBは静止しているので、糸の張力 \(T\) はBの重さ \(Mg\) と等しくなります。小物体Aは円運動をしており、その中心に向かう力（向心力）は糸の張力 \(T\) です。Aの質量を \(m\)、速さを \(v_1\)、半径を \(r\) とすると、向心力は \(mv_1^2/r\) と表せます。したがって、\(mv_1^2/r = Mg\) という関係が成り立ち、これを \(v_1\) について解きます。

小物体Aの速さ \(v_1 = \sqrt{\frac{Mgr}{m}}\) となります。この結果は、おもりBが重いほど (\(M\)大)、また半径 \(r\) が大きいほど、速さ \(v_1\) が大きくなることを示しており、物理的に妥当です。単位も速さの単位 [m/s] となります。

問2

思考の道筋とポイント

小物体Aは角速度 \(\omega\) で回転する板に対して静止しているため、A自身も角速度 \(\omega\)、半径 \(r\) で等速円運動をしています。必要な向心力は \(mr\omega^2\) です。この向心力は、糸の張力 \(T\) と静止摩擦力 \(f_s\) の合力によって供給されます。静止摩擦力の向きは、\(\omega\) の大きさによって変わるため、場合分けが必要です。

この設問における重要なポイント

• Aが板と共に円運動していること（向心力 \(mr\omega^2\) が必要）。
• 糸の張力 \(T=Mg\) は一定。
• 垂直抗力 \(N=mg\) から、最大静止摩擦力 \(f_{s, \text{max}} = \mu mg\) を求める。
• 静止摩擦力の向きが2通り（内向きと外向き）あり得ることに注意し、それぞれの場合で立式する。
• 「板を止め、Aを静かに放すと、Aは穴に向かって動く」という条件から \(Mg > \mu mg\) (つまり \(M > \mu m\)) が成り立つことを利用する。

具体的な解説と立式

糸の張力 \(T = Mg\)、垂直抗力 \(N = mg\)、最大静止摩擦力 \(f_{s, \text{max}} = \mu mg\) です。Aに必要な向心力は \(mr\omega^2\) です。

場合1: Aが内側（穴Oの方向）に滑り出そうとするとき (\(\omega\) が小さい場合)

静止摩擦力 \(f_s\) は外向きに働きます。中心向きを正として運動方程式を立てると、

$$T – f_s = mr\omega^2$$

よって、\(f_s = T – mr\omega^2 = Mg – mr\omega^2\)。

滑らない条件 \(0 \le f_s \le f_{s, \text{max}}\) より、\(Mg – mr\omega^2 \le \mu mg\)。

$$Mg – \mu mg \le mr\omega^2$$
$$\omega^2 \ge \frac{(M-\mu m)g}{mr}$$

場合2: Aが外側（中心から遠ざかる方向）に滑り出そうとするとき (\(\omega\) が大きい場合)

静止摩擦力 \(f_s\) は内向きに働きます。中心向きを正として運動方程式を立てると、

$$T + f_s = mr\omega^2$$

よって、\(f_s = mr\omega^2 – T = mr\omega^2 – Mg\)。

滑らない条件 \(0 \le f_s \le f_{s, \text{max}}\) より、\(mr\omega^2 – Mg \le \mu mg\)。

$$mr\omega^2 \le Mg + \mu mg$$
$$\omega^2 \le \frac{(M+\mu m)g}{mr}$$

場合1と場合2の結果を組み合わせると、Aが静止するための \(\omega^2\) の範囲は、

$$\frac{(M-\mu m)g}{mr} \le \omega^2 \le \frac{(M+\mu m)g}{mr}$$

問題文の初期条件「板を止め、Aを静かに放すと、Aは穴に向かって動く」から \(Mg > \mu mg\)、すなわち \(M > \mu m\) です。これにより、\((M-\mu m)g/mr > 0\) となり、下限の平方根が実数値を持ちます。\(\omega > 0\) なので、各辺の平方根をとると、

$$\sqrt{\frac{(M-\mu m)g}{mr}} \le \omega \le \sqrt{\frac{(M+\mu m)g}{mr}}$$

Aが板の上で滑らずに回転するためには、糸の張力 \(Mg\) と静止摩擦力 \(f_s\) (最大 \(\mu mg\)) が協力して、円運動に必要な向心力 \(mr\omega^2\) を供給する必要があります。回転が遅いとAは内側に滑りそうになるため摩擦は外向きに働き、これが \(\omega\) の下限を決めます。回転が速いとAは外側に滑りそうになるため摩擦は内向きに働き、これが \(\omega\) の上限を決めます。

小物体Aが板に対して静止するための角速度 \(\omega\) の取り得る範囲は \(\sqrt{\frac{(M-\mu m)g}{mr}} \le \omega \le \sqrt{\frac{(M+\mu m)g}{mr}}\) です。もし摩擦がない場合 (\(\mu=0\))、この範囲は \(\omega = \sqrt{\frac{Mg}{mr}}\) の一点となり、問1の結果 (\(v_1 = r\omega\) より \(\omega = v_1/r = \sqrt{Mg/mr}\)) と一致し、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等速円運動と向心力: 物体が等速円運動をするためには、常に円の中心を向いた一定の大きさの力（向心力）が必要であり、これは様々な力の合力として実現されます。
• 力のつりあい: 静止物体（おもりB）や鉛直方向に運動しない物体（小物体A）では、力の合力がゼロになります。
• 静止摩擦力: 滑り出すのを妨げる力で、最大値は \(\mu N\)。向きは状況に応じて変わります。
• 運動方程式: 円運動の場合は向心力バージョン (\(mr\omega^2 = F_{\text{向心力}}\)) を使います。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 回転する円盤上の物体の運動。
  • 自動車のカーブ走行（向心力と摩擦力）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の種類は何か？（等速円運動か、等）。
  2. 各物体に働く力は何か？（重力、張力、垂直抗力、摩擦力など）。
  3. 静止摩擦力がある場合、その向きはどちらか？（物体が滑り出そうとするのを妨げる向き）。
  4. 向心力として働くのはどの力の合力か？

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力の誤解: 向心力を他の力と独立した特別な力と捉えてしまうこと。向心力は常に「中心向きの力の合力」です。
• 静止摩擦力の向きの判断ミス: 特に回転運動では、物体が内側に滑りそうか外側に滑りそうかによって摩擦力の向きが変わります。
  • 対策: 「もし摩擦がなかったら物体はどちらに動くか」を考えて、それを妨げる向きに摩擦力が働くと判断します。
• 不等式の取り扱い: \(f_s \le \mu N\) から \(\omega\) の範囲を導く際の不等号の向きの間違い。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. おもりBの力のつりあい図。
  2. 小物体Aの円運動の様子と、それに働く水平方向の力（張力、静止摩擦力）の図。摩擦力の向きを場合分けして描くと良いでしょう。
  3. 小物体Aの鉛直方向の力のつりあい図。
• 図を描く際の注意点: 力はベクトルなので作用点と向きを正確に。円運動では中心方向を意識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(T=Mg\): おもりBが静止しているための力のつりあい。
• \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\) や \(mr\omega^2 = F_{\text{向心力}}\): 小物体Aが等速円運動しているための運動方程式。
• \(N=mg\): 小物体Aの鉛直方向の力のつりあい。
• \(f_s \le \mu N\): 小物体Aが滑らないための静止摩擦力の条件。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 各物体の運動状態（静止、等速円運動）を把握する。
2. 各物体に働く力を全て図示する。
3. 力のつりあいや運動方程式を適切に立てる。
4. 摩擦が関わる場合は、その向きと大きさに注意して条件式を立てる。
5. 連立方程式や不等式を解いて、求める量を導出する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進め、代入は最後に行う。
• 符号や不等号の向きに細心の注意を払う。
• 場合分けした場合は、それぞれの条件を明確にし、混同しないようにする。
• 単位が一貫しているか、最終的な答えの単位が物理的に正しいかを確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (2)で摩擦係数 \(\mu = 0\) とした場合、問1の結果と一致するか？（範囲が一点 \(\omega = \sqrt{Mg/mr}\) となり一致する）。
  • \(M \le \mu m\) の場合、\(\omega\) の下限は0になる。これは、張力だけでは内側に滑り落ちず、ある程度の角速度までは摩擦力だけで外向きの力を支えられることを意味し、妥当。
• 単位確認: \(v_1\) が[m/s]、\(\omega\) が[rad/s]など、単位が正しいか。

問題40 (九州大＋信州大＋センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円すいのなめらかな内面にそって等速円運動する小球に関するものです。力のつりあい、向心力、円運動の周期、そして円すい面が加速する場合の運動の変化（見かけの重力）といった、円運動と慣性力に関する重要な概念を扱います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、等速円運動における力のつり合いが中心テーマです。小球に働く力を正確に図示し、円運動の向心力がどの力（または力の成分）によって供給されているのかを明らかにすることが鍵となります。また、(4)では非慣性系（加速する円すい面）における運動を考えるため、見かけの力（慣性力） や 等価原理 の考え方を応用します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• ニュートンの運動法則（運動方程式）: \(m\vec{a} = \vec{F}\)
• 等速円運動の運動方程式: 向心加速度 \(a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\)。向心力 \(F_c = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2\)。
• 力の分解: 力を適切な方向（水平・鉛直など）に分解して考えます。
• 見かけの力（慣性力）: 加速座標系で運動を記述する際に考慮する力。

全体的な戦略としては、まず小球に働く力を図示し、円運動の幾何学的条件（半径）を把握します。次に、力のつりあいと運動方程式を連立させて未知数を求めます。(4)では見かけの重力を考えます。

問1 および 問2

思考の道筋とポイント

小球は水平面内で等速円運動をしています。この運動を維持するためには、円の中心に向かう向心力が必要です。小球に働く力は重力 \(mg\) と、円すい面からの垂直抗力 \(N\) です。垂直抗力 \(N\) を水平成分と鉛直成分に分解し、鉛直方向の力のつりあいと、水平方向の向心力に関する運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 働く力を正しく図示し、作用点を確認すること。
• 円運動の半径 \(r\) を \(h\) と \(\theta\) で正確に表すこと。 \(r = h\tan\theta\) となります。
• 垂直抗力 \(N\) を適切に分解すること。問題文の半頂角 \(\theta\) （鉛直軸と母線のなす角）を用いると、垂直抗力 \(N\) は円すい面に垂直なので、\(N\) と水平面のなす角が \(\theta\) になります。したがって、鉛直成分は \(N\sin\theta\)、水平成分は \(N\cos\theta\) となります。
• 鉛直方向は力がつり合っていること、水平方向は合力が向心力となっていることを理解すること。

具体的な解説と立式

小球に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、円すい面から面に垂直な向きに受ける垂直抗力 \(N\) です。円運動の半径を \(r\) とすると、円すいの頂点からの高さが \(h\)、半頂角が \(\theta\) なので、幾何学的関係から、

$$r = h\tan\theta \quad \cdots ①$$

垂直抗力 \(N\) が水平面となす角は \(\theta\) です。したがって、\(N\) を鉛直成分と水平成分に分解すると、

• 鉛直成分: \(N_{\text{鉛直}} = N\sin\theta\) （上向き）
• 水平成分: \(N_{\text{水平}} = N\cos\theta\) （円運動の中心向き）

小球は鉛直方向には運動しないので、鉛直方向の力はつり合っています。

$$N\sin\theta = mg \quad \cdots ②$$

水平方向については、垂直抗力の水平成分 \(N\cos\theta\) が小球の等速円運動の向心力となります。小球の速さを \(v\) とすると、運動方程式は、

$$m\frac{v^2}{r} = N\cos\theta \quad \cdots ③$$

問(2) 垂直抗力 \(N\):

式② \(N\sin\theta = mg\) より、

$$N = \frac{mg}{\sin\theta}$$

問(1) 速さ \(v\):

式②から \(N = \frac{mg}{\sin\theta}\) を式③ に代入します。

$$m\frac{v^2}{r} = \left(\frac{mg}{\sin\theta}\right)\cos\theta$$
$$m\frac{v^2}{r} = mg\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{mg}{\tan\theta}$$

両辺の \(m\) を消去し、\(r\) を掛けると、

$$v^2 = \frac{gr}{\tan\theta}$$

ここに式① \(r = h\tan\theta\) を代入します。

$$v^2 = \frac{g(h\tan\theta)}{\tan\theta} = gh$$

\(v>0\) なので、平方根をとると、

$$v = \sqrt{gh}$$

小球には重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N\) が働きます。円運動の半径は \(r = h\tan\theta\) です。垂直抗力 \(N\) の鉛直成分 \(N\sin\theta\) が重力 \(mg\) とつり合い (\(N\sin\theta = mg\))、ここから \(N\) が求まります（問2）。また、\(N\) の水平成分 \(N\cos\theta\) が向心力 (\(mv^2/r\)) となります (\(N\cos\theta = mv^2/r\))。これらの式を解くと \(v = \sqrt{gh}\) が得られます（問1）。

問(2) 垂直抗力の大きさ \(N = \frac{mg}{\sin\theta}\)。 問(1) 小球の速さ \(v = \sqrt{gh}\)。 これらの結果は、模範解答の最終的な値と一致します。速さが角度 \(\theta\) に直接依存しない形になっているのは、力のつり合いと幾何学的関係の結果です。

問3

思考の道筋とポイント

円運動の周期 \(T\) は、円周の長さ \(2\pi r\) を速さ \(v\) で割ることで求められます。既に \(r = h\tan\theta\) と \(v = \sqrt{gh}\) が求まっているので、これらを代入して整理します。

この設問における重要なポイント

• 周期の定義式 \(T = \frac{2\pi r}{v}\) を正しく使うこと。
• (1)で求めた \(v\) と、\(r=h\tan\theta\) の関係を代入すること。

具体的な解説と立式

等速円運動の周期 \(T\) は、

$$T = \frac{2\pi r}{v}$$

ここに、\(r = h\tan\theta\) と、(1)で求めた \(v = \sqrt{gh}\) を代入します。

$$T = \frac{2\pi (h\tan\theta)}{\sqrt{gh}} = 2\pi h\tan\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{gh}} = 2\pi \tan\theta \sqrt{\frac{h^2}{gh}} = 2\pi \tan\theta \sqrt{\frac{h}{g}}$$

これは模範解答の \(T = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}\tan\theta\) と一致します。

周期 \(T\) は小球が円を一周する時間です。「時間＝距離÷速さ」なので、円周 \(2\pi r\) (ここで \(r=h\tan\theta\)) を速さ \(v\) (\(v=\sqrt{gh}\)) で割ります。

円運動の周期 \(T = 2\pi \tan\theta \sqrt{\frac{h}{g}}\)。この結果は、周期が円すいの半頂角 \(\theta\) と高さ \(h\) の両方に依存することを示しています。

問4

思考の道筋とポイント

円すい面が鉛直上向きに加速度 \(\alpha\) で上昇する場合、小球は円すい面に対して静止しています。このとき、小球と共に加速度 \(\alpha\) で上昇する観測系から見ると、小球には通常の重力 \(mg\) に加えて、慣性力 \(m\alpha\) が鉛直下向きに働いているように見えます。したがって、見かけの重力加速度が \(g’ = g+\alpha\) として扱うことができます。

この設問における重要なポイント

• 加速する基準系における慣性力の考え方を理解していること。
• 見かけの重力加速度 \(g’ = g+\alpha\) を導入し、(1)の速さの公式 \(v=\sqrt{gh}\) を適用できること。

具体的な解説と立式

円すい面が鉛直上向きに加速度 \(\alpha\) で上昇しているとき、見かけの重力加速度は \(g’ = g+\alpha\) となります。 (1)で求めた速さの公式 \(v = \sqrt{gh}\) の中の \(g\) を、この見かけの重力加速度 \(g’ = g+\alpha\) で置き換えることで、求める速さ \(v’\) が得られます。

$$v’ = \sqrt{g’h} = \sqrt{(g+\alpha)h}$$

上記の置き換えを行うだけです。

$$v’ = \sqrt{(g+\alpha)h}$$

これは模範解答の結果 と一致します。

円すいが上に加速すると、小球は通常より強く下に押されるように感じます。これは見かけの重力加速度が \(g\) から \(g+\alpha\) に増えたと考えることができます。 (1)で求めた速さの式 \(v=\sqrt{gh}\) の \(g\) をこの新しい \(g+\alpha\) に置き換えれば、新しい速さ \(v’\) が求まります。

円すい面が加速度 \(\alpha\) で上昇するときの小球の速さ \(v’ = \sqrt{(g+\alpha)h}\)。この結果は、上昇加速度 \(\alpha\) が大きいほど、同じ高さ \(h\) で円運動を続けるためにはより大きな速さが必要になることを示しています。\(\alpha=0\) なら \(v’=\sqrt{gh}\) となり、(1)の速さと一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等速円運動と向心力: 水平面内での等速円運動には、常に円の中心に向かう向心力が必要であり、この問題では垂直抗力の水平成分がその役割を担います。
• 力の分解とつりあい: 垂直抗力を水平成分と鉛直成分に正しく分解し（角度の定義に注意！）、鉛直方向の力のつりあいと水平方向の運動方程式を考えることが基本です。
• 円運動の半径と周期: 円運動の幾何学的関係（半径 \(r=h\tan\theta\)）と、周期の定義 (\(T=2\pi r/v\)) を正しく理解し適用することが求められます。
• 慣性力と見かけの重力: (4)では、加速する座標系で考えると、慣性力により見かけの重力が変化します。鉛直上向きの加速度 \(\alpha\) の場合、見かけの重力加速度は \(g+\alpha\) となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • いわゆる「円すい振り子」。
  • バンクのついたカーブを走る自動車の運動。
  • 加速するエレベーター内での振り子の運動など。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の軌跡は何か？（水平面内の円運動か）。
  2. どの力が働いているかを図示する（重力、垂直抗力など）。
  3. 向心力は何によって供給されているか？
  4. 力の分解はどの方向に行うのが適切か？角度の定義は何か？
  5. 加速系が関わる場合、慣性力を考慮するか、見かけの重力で置き換えるか。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の分解の誤り: 垂直抗力 \(N\) を分解する際に、角度 \(\theta\) の定義を誤解し、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を取り違える。
  • 対策: 問題文の角度の定義を正確に把握し、図を丁寧に描いて力の成分を確認します。この問題では、半頂角 \(\theta\) が鉛直軸となす角なので、垂直抗力 \(N\) は水平面と \(\theta\) の角をなします。その結果、鉛直成分が \(N\sin\theta\)、水平成分が \(N\cos\theta\) となります。
• 円運動の半径の誤認: 問題で与えられた高さ \(h\) をそのまま半径 \(r\) としてしまうミス。
  • 対策: 必ず図を描いて、円運動の半径が \(r=h\tan\theta\) であることを確認します。
• (4)での加速度の扱い: 円すい面の上昇加速度 \(\alpha\) を、小球の向心加速度などに直接足し引きしてしまう誤解。
  • 対策: 慣性力を考えるか、見かけの重力加速度 \(g’ = g+\alpha\) で置き換えるという正しいアプローチを理解します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 小球に働く力のベクトル図（重力、垂直抗力）。
  2. 垂直抗力を水平成分と鉛直成分に分解した図（角度 \(\theta\) の位置を明確に）。
  3. 円運動の半径 \(r\)、高さ \(h\)、半頂角 \(\theta\) の関係を示す幾何学的な図。
• 図を描く際の注意点: 力の作用点、向き、角度を正確に。特に、垂直抗力は面に垂直であることを常に意識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(N\sin\theta = mg\): 鉛直方向の力のつりあい（小球は鉛直方向に動かないため）。
• \(m v^2/r = N\cos\theta\): 水平方向の運動方程式（垂直抗力の水平成分が向心力となるため）。
• \(r = h\tan\theta\): 円すいの幾何学的形状から導かれる円運動の半径。
• \(T = 2\pi r/v\): 等速円運動の周期の普遍的な定義。
• \(g’ = g+\alpha\): 鉛直上向きに加速度 \(\alpha\) で運動する基準系における見かけの重力加速度。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 小球の運動（水平面内の等速円運動）と働く力（重力、垂直抗力）を特定。
2. 円運動の半径 \(r\) を \(h, \theta\) で表す。
3. 垂直抗力 \(N\) を水平・鉛直成分に分解。
4. 鉛直方向の力のつりあい、水平方向の円運動の運動方程式を立式。
5. これらを解いて \(v\) と \(N\) を求める。
6. 周期 \(T\) を計算。
7. (4)では見かけの重力加速度を考え、(1)の結果を応用。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力の分解時の \(\sin\theta, \cos\theta\) の適用は、図をよく見て慎重に。
• 文字式の計算では、項を省略したり符号を間違えたりしないように丁寧に。
• 単位が一貫しているか、最終的な答えの単位が物理量として正しいかを確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • \(v = \sqrt{gh}\) は、\(\theta\) が消える結果。力のつり合いから、この関係が導かれることを確認する。
  • 周期 \(T = 2\pi \tan\theta \sqrt{h/g}\) は、\(\theta\) が小さい（円すいが細い）と \(T\) も小さく（速く回る）、\(h\) が大きいと \(T\) も大きい（ゆっくり回る）。
  • (4)で \(\alpha > 0\) なら \(v’ > v\)。加速で上に引っ張られると、同じ高さを保つには速く回る必要があるのは直感的か。
• 極端な場合: \(\theta \to 0\) や \(\theta \to 90^\circ\) （物理的に可能な範囲で）で式がどうなるか。

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