「良問の風」攻略ガイド（36〜40問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題36 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直上向きに加速度運動するエレベーター内で、天井から糸でつるされた小球の運動について考察するものです。エレベーターという非慣性系（加速度運動する座標系）での力の見え方、特に「慣性力」の概念が重要になります。また、エレベーター全体の運動と、エレベーター内の小球の運動を、それぞれ運動方程式を立てて解析する力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、加速度運動するエレベーターという非慣性系における物体の運動を扱う典型的な問題です。まず、エレベーター（と小球）全体の運動を外部の静止系から見て運動方程式を立てることから始まり、次に小球単独の運動、そして糸が切れた後のエレベーターおよび小球の運動へと展開します。特に、エレベーター内部の観測者から見たときの「慣性力」の考え方が鍵となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
エレベーターと小球を一体の「系」として考えます。この系全体の質量は\((M+m)\)です。系全体が鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しているので、この系全体についての運動方程式を立てます。系全体に働く力は、上向きにエレベーターを引き上げる力\(F\)と、下向きに働く系全体の重力\((M+m)g\)です。
この設問における重要なポイント

• エレベーターと小球を一つの「系」として扱い、その全体の質量\((M+m)\)で運動方程式を立てる。
• 系全体に働く鉛直方向の力は、引き上げる力\(F\)（上向き）と、全体の重力\((M+m)g\)（下向き）である。
• 運動方程式を鉛直上向きを正として適用する。

具体的な解説と立式
エレベーターと小球を合わせた系全体の質量は\((M+m)\)です。この系は、鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しています。

系全体に働く力は、上向きの引き上げる力\(F\)と、下向きの全体の重力\((M+m)g\)です。

鉛直上向きを正の向きとして、系全体の運動方程式を立てます。
$$ (M+m)\alpha = F – (M+m)g $$

運動方程式を\(F\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
F &= (M+m)\alpha + (M+m)g \\[2.0ex]
&= (M+m)(g+\alpha)
\end{aligned}
$$

エレベーターと、その中につるされている小球を全部まとめて一つの大きな「荷物」だと考えましょう。この荷物の全体の質量は\((M+m)\)です。この荷物が、上向きに加速度\(\alpha\)で加速しながら上がっています。
運動のルール（運動方程式）は、「荷物の質量 \(\times\) 加速度 ＝ 荷物にかかっている力の合計」です。
荷物にかかっている力は、上に引っ張る力\(F\)と、下に働く全体の重力\((M+m)g\)の2つです。上向きをプラスとすると、力の合計は\(F – (M+m)g\)です。
したがって、運動方程式は\((M+m)\alpha = F – (M+m)g\)となり、これを\(F\)について解けば答えが求まります。

エレベーターを引き上げる力の大きさ\(F\)は\((M+m)(g+\alpha)\)です。
もしエレベーターが静止または等速で上昇している場合(\(\alpha=0\))は、\(F=(M+m)g\)となり、全体の重さにつり合う力で引き上げていることになり、物理的に妥当です。単位も\([\text{kg}] \cdot [\text{m/s}^2] = [\text{N}]\)であり、力の単位として正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
エレベーターが加速度\(\alpha\)で上昇しているときの糸の張力\(T\)を求めるために、小球（質量\(m\)）単独に着目し、その運動方程式を立てます。小球に働く力は、上向きの糸の張力\(T\)と下向きの重力\(mg\)です。小球もエレベーターと同じ加速度\(\alpha\)で上昇しています。次に、エレベーターが静止している場合の糸の張力\(T_0\)を求め、最後に\(T\)と\(T_0\)の比を計算します。
この設問における重要なポイント

• エレベーター上昇時は、小球もエレベーターと同じ加速度\(\alpha\)で上昇している。
• 小球に働く力を正確に特定し（張力\(T\)、重力\(mg\)）、小球の運動方程式を立てる。
• エレベーター静止時は、力のつり合いから張力を求める。

具体的な解説と立式
エレベーターが加速度\(\alpha\)で上昇しているときの張力\(T\)

小球（質量\(m\)）は、鉛直上向きに加速度\(\alpha\)で運動しています。鉛直上向きを正として、小球の運動方程式を立てます。
$$ m\alpha = T – mg $$

エレベーターが静止しているときの張力\(T_0\)

エレベーターが静止しているとき、小球に働く力はつり合っています。
$$ T_0 – mg = 0 $$

張力の比較

上昇中の張力\(T\)が、静止時の張力\(T_0\)の何倍になるか、比\(\displaystyle\frac{T}{T_0}\)を計算します。

まず、加速中の張力\(T\)を求めます。
$$ T = mg + m\alpha = m(g+\alpha) $$
次に、静止時の張力\(T_0\)を求めます。
$$ T_0 = mg $$
最後に、これらの比を計算します。
$$ \frac{T}{T_0} = \frac{m(g+\alpha)}{mg} = \frac{g+\alpha}{g} $$

エレベーターが上に加速しているとき、糸は小球を支えるだけでなく、さらに上向きに加速させるための力も加えなければなりません。そのため、張力はただ支えているだけの静止時よりも大きくなります。
まず、加速中の張力\(T\)を運動方程式\(m\alpha = T – mg\)から求めます。次に、静止時の張力\(T_0\)は重力とつりあうので\(T_0 = mg\)です。この2つの値を割り算して、何倍になるかを計算します。

糸の張力は、静止している場合の\(\displaystyle\frac{g+\alpha}{g}\)倍になります。
エレベーターが上向きに加速すると(\(\alpha > 0\))、この比は1より大きくなり、張力は増します。これは、急上昇するエレベーターで体が重く感じる日常経験とも一致しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
糸を切ると、エレベーターの運動に影響を与えていた小球からの下向きの力（張力）がなくなります。しかし、エレベーターを外部から引き上げる力\(F\)の大きさは問(1)のときと変わりません。
糸が切れた後のエレベーター（質量\(M\)）単独の運動方程式を立てます。エレベーターに働く力は、上向きの引き上げる力\(F\)と、下向きのエレベーター自身の重力\(Mg\)です。このときの新しい上昇加速度が\(b\)です。問(1)で求めた\(F\)の式を利用して、\(b\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 糸が切れた後は、エレベーター単体（質量\(M\)）の運動方程式を考える。
• エレベーターを引き上げる外部からの力\(F\)の大きさは、問(1)で求めた値のまま変わらない。
• エレベーターに働く力を正しく特定し（上向きの\(F\)、下向きの\(Mg\)）、運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
糸が切れた後、エレベーター（質量\(M\)）は新しい加速度\(b\)で鉛直上向きに運動します。鉛直上向きを正として、エレベーターの運動方程式を立てます。
$$ Mb = F – Mg $$
ここで、引き上げる力\(F\)は問(1)で求めた\(F = (M+m)(g+\alpha)\)です。この\(F\)を上記運動方程式に代入します。
$$ Mb = (M+m)(g+\alpha) – Mg $$

運動方程式に\(F\)を代入し、\(b\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
Mb &= (M+m)(g+\alpha) – Mg \\[2.0ex]
Mb &= (Mg + M\alpha + mg + m\alpha) – Mg \\[2.0ex]
Mb &= M\alpha + mg + m\alpha \\[2.0ex]
b &= \frac{M\alpha + mg + m\alpha}{M} \\[2.0ex]
b &= \alpha + \frac{m(g+\alpha)}{M}
\end{aligned}
$$

糸が切れると、エレベーターを上に引っ張る力\(F\)は変わりませんが、エレベーターが「背負っていた重荷」である小球からの下向きの力がなくなります。同じ力でより軽いものを引っ張るので、加速度は大きくなるはずです。
糸が切れた後のエレベーターの運動方程式は\(Mb = F – Mg\)です。ここに問(1)で求めた\(F\)を代入して、新しい加速度\(b\)を計算します。

新しい加速度\(b\)は\(b = \alpha + \displaystyle\frac{m(g+\alpha)}{M}\)です。
\(m, M, g, \alpha\)は全て正なので、\(\displaystyle\frac{m(g+\alpha)}{M}\)の項は正です。したがって、\(b > \alpha\)となり、糸が切れた後にエレベーターの加速度が増加するという物理的な直感と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
エレベーター（加速度\(b\)で上昇中）の中にいる人から小球（糸は切れている）の運動を見る場合、これは非慣性系からの観測となります。小球に実際に働く力（実働力）は重力\(mg\)（鉛直下向き）のみです。エレベーターが上向きに加速度\(b\)で運動しているため、エレベーター内の観測者から見ると、小球にはエレベーターの加速度と逆向き、つまり鉛直下向きに大きさ\(mb\)の慣性力が働くように見えます。車内の人から見た小球に働く合力は、この重力と慣性力のベクトル和となります。
この設問における重要なポイント

• 非慣性系（加速度\(b\)で上昇するエレベーター内）からの観測であることを明確に意識する。
• 小球に実際に働く力（実働力）は重力\(mg\)（下向き）のみである。
• エレベーターの加速度\(b\)（上向き）によって生じる慣性力（大きさ\(mb\)、向きは下向き）を考慮する。

具体的な解説と立式
エレベーターは鉛直上向きに加速度\(b\)で運動しています。エレベーター内の人から質量\(m\)の小球を観測します。

小球に実際に働く力は、鉛直下向きの重力\(mg\)のみです。

エレベーター内の観測者から見ると、小球には鉛直下向きに大きさ\(mb\)の慣性力が働くように見えます。

したがって、エレベーター内の人が観測する小球に働いている力の合力\(F_{\text{合力,車内}}\)は、重力と慣性力の和になります。両方の力は鉛直下向きなので、その合力の大きさは単純な和で求められます。
$$ F_{\text{合力,車内}} = mg + mb $$

合力の大きさは、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{合力,車内}} &= mg + mb \\[2.0ex]
&= m(g+b)
\end{aligned}
$$

糸が切れた後、エレベーターは上向きに加速度\(b\)で動いています。あなたがエレベーターの中にいるとします。このとき、自由になった小球を見ると、まず小球には地球からの重力\(mg\)が下向きにかかっています。さらに、エレベーターが上に加速しているので、「慣性力」という見かけの力が小球に下向きに働きます。その大きさは\(mb\)です。
あなたから見ると、小球には下向きに\(mg\)の力と、さらに下向きに\(mb\)の力が合わさってかかっているように見えるわけです。力の合計（合力）の大きさは、これら二つの力を足し合わせた\(mg + mb\)、つまり\(m(g+b)\)となります。

エレベーターの中の人が観測する小球に働いている合力の大きさは\(m(g+b)\)です。
これは、エレベーターが上向きに加速しているため、通常の重力\(mg\)に加えて下向きの慣性力\(mb\)が作用し、それらが合成された「見かけの重力」として観測されることを示しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
エレベーターの中の人から見ると、小球は問(4)で求めた下向きの合力\(m(g+b)\)を受けて運動します。この合力による小球の加速度（車内の人から見た加速度、すなわち「見かけの重力加速度」）は\(g+b\)となります。
糸が切れた瞬間、小球はエレベーターに対して相対的に静止していた、つまり車内から見た初速度は0です。この小球が、見かけの重力加速度\(g’ = g+b\)で、高さ\(h\)からエレベーターの床まで「自由落下」するのと同じ運動をすると考え、等加速度直線運動の公式を用いて落下時間\(t\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• エレベーター内の観測者から見ると、小球は「見かけの重力加速度」\(g’ = g+b\)で鉛直下向きに落下運動をする。
• 糸が切れた瞬間の、エレベーター内の人から見た小球の初速度は0である。
• 等加速度直線運動の公式\(x = v_0 t + \frac{1}{2}a t^2\)を適用する。

具体的な解説と立式
エレベーターの中の人から見ると、小球に働く下向きの合力は\(m(g+b)\)です。したがって、車内の人から見た小球の落下加速度（見かけの重力加速度\(g’\)）の大きさは、
$$ g’ = \frac{F_{\text{合力,車内}}}{m} = \frac{m(g+b)}{m} = g+b $$
糸が切れた瞬間の車内から見た小球の初速度は0です。この小球が、見かけの重力加速度\(g’\)で、距離\(h\)だけ落下するのに要する時間\(t\)を、等加速度直線運動の公式を用いて求めます。
$$ h = \frac{1}{2}g’ t^2 $$

公式に\(g’ = g+b\)を代入します。
$$ h = \frac{1}{2}(g+b)t^2 $$
この式を\(t\)について解きます。
$$ t^2 = \frac{2h}{g+b} $$
時間\(t\)は正の値なので、
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}} $$

エレベーターの中にいるあなたから見ると、小球は「見かけの重力加速度」\(g’ = g+b\)で下に落ちていきます。これは、あたかも重力が\(g+b\)の世界で、高さ\(h\)から物体を静かに手放したときの自由落下と同じです。
自由落下の公式「落下距離\(h\) = \(\frac{1}{2} \times\)加速度\(\times\)(時間\(t\))^2」を使うと、\(h = \frac{1}{2}(g+b)t^2\)と表せます。この式を\(t\)について解けば、答えが求まります。

床に達するまでの時間\(t\)は\(\displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g+b}}\)です。
この式は、通常の自由落下時間\(t=\sqrt{2h/g}\)の\(g\)を、「見かけの重力加速度」\(g’ = g+b\)で置き換えた形になっており、物理的に妥当です。エレベーターが上向きに加速している(\(b>0\))場合、見かけの重力加速度は\(g\)より大きくなるため、床に達するまでの時間は短くなります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 核心: 全ての設問を通じて、物体または物体系の運動を記述する基本法則です。どの物体（または系）に注目し、どのような力が働いているかを正確に把握して立式することが重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 対象の明確化: まず「何」の運動方程式を立てるのか（小球か、エレベーターか、両者を合わせた系か）を決めます。
    2. 力の図示: 次に、その対象に働く力をすべてベクトルで図示します（フリーボディダイアグラム）。
    3. 座標軸の設定: 運動の方向に合わせて座標軸（正の向き）を設定します。
    4. 立式: 座標軸に沿って力の成分を計算し、\(ma = F_{\text{合力}}\)の形にまとめます。
• 慣性力:
  • 核心: 問(4), (5)で、加速度運動するエレベーター（非慣性系）の内部から小球の運動を観測する際に導入される「見かけの力」です。大きさは\(m_{\text{物体}}a_{\text{座標系}}\)、向きは座標系の加速度と逆向きになります。
  • 理解のポイント:
    1. 非慣性系の認識: 観測者が加速度運動する座標系に乗っている場合にのみ考えます。
    2. 力の追加: 運動方程式を立てる際に、実際に働く力に加えて、慣性力を一つの力として追加します。
    3. 向きと大きさの公式**: 慣性力の向きは座標系の加速度と「逆」、大きさは「物体の質量 \(\times\) 座標系の加速度」であることを正確に適用します。
• 見かけの重力・見かけの重力加速度:
  • 核心: 問(4), (5)において、非慣性系内で物体に働く実働力（重力）と慣性力の合力を「見かけの重力」と捉え、それによる加速度を「見かけの重力加速度」として扱うことで、非慣性系内の運動を慣性系と同様の形式で記述できます。
  • 理解のポイント:
    1. 力の合成: 非慣性系内で、物体に働く重力と慣性力をベクトル的に合成します。
    2. 新しい「重力」の定義: この合成された力を見かけの重力\(mg’\)と定義し、\(g’\)を見かけの重力加速度とします。
    3. 問題の単純化: この\(g’\)を用いることで、非慣性系内の落下運動などを、あたかも重力加速度が\(g’\)の世界での自由落下のように単純化して考えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 加速度運動する電車内の運動: 電車内で物体が滑り出す条件や、天井から吊るされた振り子のつり合いの位置や周期など。
  • 回転座標系の運動: 回転する円盤上の物体に働く遠心力（慣性力の一種）と摩擦力のつり合いや、コリオリの力（高校範囲外だが大学で学ぶ）が関わる運動。
  • 見かけの重力が変化する状況: エレベーター内での振り子の周期や、ばね振り子のつり合いの位置の変化など。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者の立場（座標系）の特定: 問題文が「床から見て」なのか、「エレベーター（電車）内の人から見て」なのかを最初に確認します。これにより、慣性力を導入する必要があるかどうかが決まります。
  2. 「一体と見る」か「個別にみる」か: 複数の物体が同じ加速度で動いている場合、問(1)のように「一体」と見なすと内力（張力など）を考えずに済み、計算が楽になることがあります。一方で、内力を求めたい場合は問(2)のように「個別」に見る必要があります。
  3. 運動の状況変化: 問(3)のように、途中で条件が変わる（糸が切れるなど）問題では、変化の前後で何が変わり（働く力、質量など）、何が変わらないか（引き上げる力\(F\)など）を正確に整理することが重要です。
  4. 「見かけの」物理量の活用: 非慣性系内の運動では、「見かけの重力」や「見かけの重力加速度」を定義すると、問題を静止系での運動と同じように扱える場合があり、見通しが良くなることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力を座標系の加速度と同じ向きに作用させてしまう。
  • 対策: 慣性力は常に「座標系の加速度とは逆向き」に働くことを徹底的に意識します。エレベーターが「上に加速」なら慣性力は「下」、「下に加速」なら慣性力は「上」です。
• 慣性力の大きさに用いる質量の誤り:
  • 誤解: 慣性力の計算で、観測対象の物体の質量ではなく、座標系（エレベーターなど）の質量を使ってしまう。
  • 対策: 慣性力 \(F_{\text{慣性}} = m_{\text{物体}}a_{\text{座標系}}\) の \(m_{\text{物体}}\) は、あくまで慣性力を受けると考える「物体」の質量であることを確認します。
• 運動方程式の立て間違い:
  • 誤解: 注目物体に働く力を一部見落とす（特に慣性力や、作用・反作用の力）。設定した正の向きと力の向きから、力の符号を間違える。
  • 対策: 必ず物体ごとにフリーボディダイアグラム（働く力をすべて図示）を描き、設定した座標軸の正の向きに沿って各力の成分を正しく運動方程式に代入します。
• 「見かけの重力」の方向の誤解:
  • 誤解: エレベーターが上昇加速度を持つ場合、見かけの重力が軽くなる（上向きに何か力が働く）と勘違いする。
  • 対策: 上昇加速度の場合、慣性力は下向きに働くため、見かけの重力は\(mg + ma_{\text{座標系}}\)となり、重くなります。図で力のベクトルを描いて合成する習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(ma=F\) (全ての問いの基本):
  • 選定理由: 物体の運動状態（加速度）と、それに作用する力との間の普遍的な関係を表すため。どの物体（または系）に注目し、どのような力が働いているかを特定することが物理問題解決の出発点です。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則であり、力学の最も基本的な法則です。静止系（慣性系）で厳密に成り立ちます。
• 慣性力の導入 (問(4), (5)):
  • 選定理由: 加速度運動する座標系（非慣性系）で運動を記述する際に、静止系と同じ形の運動方程式を形式的に成り立たせるための便利な手法だからです。
  • 適用根拠: 観測者が加速度運動しているという物理的状況そのものが、慣性力を考慮する根拠となります。これにより、非慣性系内の観測者にとっての「自然な」運動法則を記述できます。
• 等加速度直線運動の公式 (問(5)):
  • 選定理由: 「時間」や「速さ」「距離」を問われており、かつ加速度が一定であるため、これらの量を関連付ける等加速度直線運動の公式が最適です。
  • 適用根拠: 問(4)で求めた合力（見かけの重力）が一定であるため、それによる加速度（見かけの重力加速度）も時間によらず一定であるという事実が適用根拠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 運動方程式を立てる際、設定した座標軸の正の向きに対して、各力や加速度の成分の符号が正しいかを慎重に確認します。特に慣性力の向きは間違えやすいポイントです。
  • 日頃の練習: 式を立てる前に、必ず力のベクトル図と座標軸をセットで描く習慣をつけ、図を見ながら立式することで符号ミスを防ぎます。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: 問(3)のように、複数の項や文字が含まれる式を展開したり整理したりする際は、計算ステップを省略せず、一つ一つ確認しながら丁寧に進めることが重要です。共通因数でのくくり出しも有効です。
  • 日頃の練習: 複雑な式を扱う前に、共通の文字で約分できないか、式をより簡単な形に整理できないかを常に考える癖をつけましょう。
• 代入のタイミング:
  • 特に注意すべき点: 問(3)で問(1)の結果を代入する際など、複雑な式を代入するときは、どの文字がどの式に対応するのかを明確に確認し、代入ミスを防ぎます。
  • 日頃の練習: 代入する前に、代入される式と代入する式の両方を書き出し、対応関係を確認する習慣をつけると良いでしょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 引き上げる力\(F\): \(F=(M+m)(g+\alpha)\)。エレベーターが上に加速する(\(\alpha>0\))なら、全体の重さ\((M+m)g\)より大きな力で引く必要があるのは自然です。
  • (2) 張力の倍率: \((g+\alpha)/g\)。上に加速すれば張力が増し、下に加速（\(\alpha\)が負）すれば張力が減るというのは、エレベーターに乗った時の体感と一致します。
  • (3) 新しい加速度\(b\): \(b = \alpha + m(g+\alpha)/M\)。糸が切れて引っ張るべき質量が\(M+m\)から\(M\)に減ったのに、引く力\(F\)が同じなら、加速度は元の\(\alpha\)より大きくなるはず(\(b>\alpha\))。これは式と合致します。
  • (5) 落下時間\(t\): \(t = \sqrt{2h/(g+b)}\)。見かけの重力加速度\(g+b\)が大きいほど、落下時間が短くなるのは、通常の自由落下と同じで直感に合います。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もしエレベーターの加速度\(\alpha=0\)（等速または静止）なら、(1)で\(F=(M+m)g\)、(2)で張力は\(1\)倍、(3)で\(b=mg/M\)（糸を切ると\(F\)が\(Mg\)より大きいので加速する）となり、それぞれ物理的に妥当な結果に帰着します。
  • もし小球の質量が無視できる(\(m \to 0\))なら、(1)で\(F=Mg\)、(2)で張力は\(0\)、(3)で\(b=0\)（\(\alpha=0\)の場合）となり、これも直感と一致します。

問題37 (玉川大＋大阪電通大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、三角柱の運動状態によって小物体Pに働く力やPの運動がどのように変化するかを考察する問題です。特に、慣性力という見かけの力を導入することで、加速する座標系（三角柱）から見た物体の運動や力のつりあいを考えることがポイントになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「慣性力」です。加速度運動する物体の上にある別の物体の運動を考えるとき、加速する物体と一緒に動く観測者の視点に立つと、「慣性力」という見かけの力を導入することで、静止している場合と同じように「力のつりあい」として問題を扱うことができます。

問(1)

思考の道筋とポイント
三角柱が静止しているとき、小物体Pも静止しています。したがって、Pにはたらくすべての力はつりあっています。重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解し、それぞれの方向で力のつりあいの式を立てるのが基本的な解法です。

この設問における重要なポイント

• Pにはたらく力（重力 \(mg\)、糸の張力 \(T_0\)、垂直抗力 \(N_0\)）をすべて図示する。
• 座標軸を斜面に平行な方向と垂直な方向に設定し、力を分解する。
• それぞれの方向で力の総和がゼロになるという、つりあいの式を立てる。

具体的な解説と立式
小物体Pにはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(mg\)、斜面に沿って上向きの糸の張力 \(T_0\)、斜面から垂直に受ける垂直抗力 \(N_0\) の3つです。
重力 \(mg\) を斜面に平行な成分 \(mg \sin\theta\) と、斜面に垂直な成分 \(mg \cos\theta\) に分解します。

Pは静止しているので、各方向の力はつりあっています。

• 斜面に平行な方向の力のつりあい（斜面上向きを正とする）
  $$ T_0 – mg \sin\theta = 0 \quad \cdots ① $$
• 斜面に垂直な方向の力のつりあい（斜面に垂直上向きを正とする）
  $$ N_0 – mg \cos\theta = 0 \quad \cdots ② $$

式①より、\(mg \sin\theta\) を右辺に移項して、
$$ T_0 = mg \sin\theta $$
式②より、\(mg \cos\theta\) を右辺に移項して、
$$ N_0 = mg \cos\theta $$

おもりPは斜面の上でじっとしています。このとき、糸がおもりを斜め上に引っぱる力と、重力がおもりを斜め下に引きずりおろそうとする力が、ちょうど同じ大きさでつりあっています。また、おもりが斜面にめり込んだり、浮き上がったりしないのは、斜面がおもりを押し返す力（垂直抗力）と、重力がおもりを斜面に押し付ける力がつりあっているからです。この2つのつりあいの関係から、張力と垂直抗力を計算します。

糸の張力 \(T_0 = mg \sin\theta\)、垂直抗力 \(N_0 = mg \cos\theta\) となります。これは静止した斜面上の物体における力のつりあいの基本形であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
三角柱が左向きに加速度 \(\alpha\) で運動するため、三角柱と一緒に動く観測者から見ると、小物体Pには加速度と逆向き（右向き）に大きさ \(m\alpha\) の「慣性力」がはたらいているように見えます。Pは斜面に対して静止しており、糸の張力は \(0\) なので、この状態でPにはたらく力（重力、垂直抗力、慣性力）がつりあっていると考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力を正しく導入する（向きは加速度と逆、大きさは \(m\alpha\)）。
• Pにはたらく力（重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、慣性力 \(m\alpha\)）を図示する。
• 力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解する。特に、水平な慣性力を分解する際の角度に注意する。
• 張力が \(0\) という条件を適用し、力のつりあいの式を立てる。

具体的な解説と立式
三角柱上の観測者から見ると、Pにはたらく力は以下の通りです。

1. 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
2. 垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直上向き）
3. 慣性力 \(m\alpha\)（水平右向き）

これらの力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。

• 重力の成分: 斜面平行下向きに \(mg \sin\theta\)、斜面垂直下向きに \(mg \cos\theta\)
• 慣性力の成分: 斜面平行上向きに \(m\alpha \cos\theta\)、斜面垂直下向きに \(m\alpha \sin\theta\)

Pは斜面に対して静止しているので、これらの力はつりあっています。

• 斜面に平行な方向の力のつりあい（斜面上向きを正とする）
  $$ m\alpha \cos\theta – mg \sin\theta = 0 \quad \cdots ① $$
• 斜面に垂直な方向の力のつりあい（斜面に垂直上向きを正とする）
  $$ N – mg \cos\theta – m\alpha \sin\theta = 0 \quad \cdots ② $$

まず、式①から加速度 \(\alpha\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m\alpha \cos\theta &= mg \sin\theta \\[2.0ex]
\alpha &= g \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[2.0ex]
&= g \tan\theta
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式②に代入して垂直抗力 \(N\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= mg \cos\theta + m\alpha \sin\theta \\[2.0ex]
&= mg \cos\theta + m(g \tan\theta) \sin\theta \\[2.0ex]
&= mg \cos\theta + mg \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \\[2.0ex]
&= mg \left( \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta} \right)
\end{aligned}
$$
三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、
$$ N = \frac{mg}{\cos\theta} $$

電車が急発進すると、私たちは進行方向と逆向きに押されるような力を感じます。これが慣性力です。この問題では、三角柱が左に加速するので、おもりPは右向きに慣性力を受けます。糸がたるんでいる（張力ゼロ）状態でPが斜面を滑り落ちないのは、この慣性力による「斜面を駆け上がろうとする力」と、重力による「斜面を滑り落ちようとする力」がちょうどつりあっているからです。このつりあいから加速度 \(\alpha\) が求まります。垂直抗力は、重力と慣性力がおもりを斜面に押し付ける力の合計になります。

加速度 \(\alpha = g \tan\theta\)、垂直抗力 \(N = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) となります。
\(\theta > 0\) なので \(\alpha > 0\)、\(N > N_0 = mg \cos\theta\) となり、静止時よりもしっかりと斜面に押し付けられていることがわかります。物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は三角柱が右向きに加速度 \(\beta\) で運動します。三角柱上の観測者から見ると、Pには左向きに大きさ \(m\beta\) の慣性力がはたらきます。このとき、Pは斜面から浮き上がる寸前、つまり垂直抗力が \(0\) になります。この状態でPにはたらく力（重力、張力、慣性力）がつりあっていると考えます。

この設問における重要なポイント

• 慣性力（左向き、大きさ \(m\beta\)）を導入する。
• 垂直抗力が \(0\) という条件を適用する。
• Pにはたらく力（重力 \(mg\)、張力 \(T\)、慣性力 \(m\beta\)）を図示し、斜面に平行・垂直に分解する。
• 力のつりあいの式を立てる。

具体的な解説と立式
三角柱上の観測者から見ると、Pにはたらく力は以下の通りです。

1. 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
2. 張力 \(T\)（斜面上向き）
3. 慣性力 \(m\beta\)（水平左向き）

これらの力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。

• 重力の成分: 斜面平行下向きに \(mg \sin\theta\)、斜面垂直下向きに \(mg \cos\theta\)
• 慣性力の成分: 斜面平行下向きに \(m\beta \cos\theta\)、斜面垂直上向きに \(m\beta \sin\theta\)

Pは斜面に対して静止し、垂直抗力は \(0\) なので、これらの力はつりあっています。

• 斜面に垂直な方向の力のつりあい（斜面に垂直上向きを正とする）
  $$ m\beta \sin\theta – mg \cos\theta = 0 \quad \cdots ① $$
• 斜面に平行な方向の力のつりあい（斜面上向きを正とする）
  $$ T – mg \sin\theta – m\beta \cos\theta = 0 \quad \cdots ② $$

まず、式①から加速度 \(\beta\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m\beta \sin\theta &= mg \cos\theta \\[2.0ex]
\beta &= g \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex]
&= \frac{g}{\tan\theta}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式②に代入して張力 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= mg \sin\theta + m\beta \cos\theta \\[2.0ex]
&= mg \sin\theta + m\left( \frac{g \cos\theta}{\sin\theta} \right) \cos\theta \\[2.0ex]
&= mg \sin\theta + mg \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex]
&= mg \left( \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta} \right)
\end{aligned}
$$
三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、
$$ T = \frac{mg}{\sin\theta} $$

三角柱が右に加速すると、おもりPは左向きに慣性力を受けます。この慣性力には、Pを斜面から浮き上がらせようとする上向きの成分があります。加速度がある値 \(\beta\) に達すると、この浮き上がらせる力と、重力が斜面に押し付ける力がつりあい、Pはちょうど斜面から離れる寸前（垂直抗力ゼロ）になります。このつりあいから加速度 \(\beta\) が求まります。このとき糸の張力は、重力と慣性力によってPを斜め下に引っぱる力の合計を支える必要があります。

加速度 \(\beta = \displaystyle\frac{g}{\tan\theta}\)、張力 \(T = \displaystyle\frac{mg}{\sin\theta}\) となります。
\(\theta\) が \(0\) に近い（斜面が緩やか）ほど、浮き上がらせるためには大きな加速度 \(\beta\) が必要となり、\(\theta\) が \(90^\circ\) に近い（斜面が急）ほど、小さな加速度で浮き上がるという直感と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)の状態で糸を切るので、張力 \(T\) が \(0\) になります。三角柱は加速度 \(\beta\) で運動を続けていると考えるので、Pには引き続き慣性力 \(m\beta\) がはたらきます。三角柱上の観測者から見て、Pは斜面に沿って運動を始めます。Pにはたらく力の斜面方向の合力を求め、運動方程式を立ててPの斜面に対する加速度 \(a\) を求めます。最後に、初速度 \(0\) から距離 \(l\) を滑ったときの速さを、等加速度直線運動の公式を使って計算します。

この設問における重要なポイント

• 糸を切った後も、三角柱の加速度は \(\beta\) のままで、Pには慣性力がはたらき続けると考える。
• 三角柱に対するPの相対的な運動を考えるので、三角柱上の観測者の視点が便利。
• Pにはたらく力（重力、慣性力）の斜面方向成分の合力を求める。
• 斜面方向の運動方程式を立てて、Pの（斜面に対する）加速度 \(a\) を求める。
• 等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2al\) を適用する。

具体的な解説と立式
三角柱は右向きに加速度 \(\beta = \displaystyle\frac{g \cos\theta}{\sin\theta}\) で運動しています。糸を切ると張力は \(0\) になります。三角柱上の観測者から見ると、小物体Pにはたらく力は重力 \(mg\) と慣性力 \(m\beta\)（水平左向き）です。（垂直抗力ははたらきますが、斜面方向の運動には影響しません。）

Pの斜面に沿った運動を考えます。斜面下向きを正とします。
Pを斜面下向きに加速させる力は、重力の斜面成分 \(mg \sin\theta\) と、慣性力の斜面成分 \(m\beta \cos\theta\) の和になります。
Pの斜面に対する加速度を \(a\) として、運動方程式を立てます。
$$ ma = mg \sin\theta + m\beta \cos\theta \quad \cdots ① $$
Pは初速度 \(v_0=0\) で斜面を距離 \(l\) だけ滑り降りるので、そのときの速さ \(v\) は、等加速度直線運動の公式から求められます。
$$ v^2 – 0^2 = 2al \quad \cdots ② $$

まず、式①に(3)で求めた \(\beta = \displaystyle\frac{g \cos\theta}{\sin\theta}\) を代入して、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg \sin\theta + m\left( \frac{g \cos\theta}{\sin\theta} \right) \cos\theta \\[2.0ex]
a &= g \sin\theta + g \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex]
&= g \left( \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta} \right)
\end{aligned}
$$
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より、
$$ a = \frac{g}{\sin\theta} $$
次に、この \(a\) を式②に代入して速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2al \\[2.0ex]
&= 2 \left( \frac{g}{\sin\theta} \right) l \\[2.0ex]
&= \frac{2gl}{\sin\theta}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ v = \sqrt{\frac{2gl}{\sin\theta}} $$

糸を切ると、Pは斜面を滑り始めます。このとき、Pを滑らせる力は、いつもの重力の斜面成分に加えて、慣性力による「斜面を滑り落ちようとする力」も加わります。つまり、普段より強い力で斜面を滑り落ちることになるので、加速度も大きくなります。この新しい加速度を計算し、あとは「初速度ゼロで距離 \(l\) を進んだときの速さは？」というおなじみの問題として解くことができます。

速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{2gl}{\sin\theta}}\) となります。
もし三角柱が静止していれば、加速度は \(g \sin\theta\) で、速さは \(v = \sqrt{2(g \sin\theta)l}\) となるはずです。
\(\sin\theta \le 1\) なので、\(\displaystyle\frac{g}{\sin\theta} \ge g \ge g \sin\theta\) となり、今回の加速度は静止している場合や自由落下よりも大きいことがわかります。これは慣性力によって加速が助けられていることを示しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力:
  • 核心: この問題は、加速度運動する座標系（三角柱）の上で起こる物理現象を扱うため、「慣性力」の概念を正しく理解し、適用できるかが最大のポイントです。慣性力は、加速度 \(\vec{a}\) で運動する観測者から質量 \(m\) の物体を見たときに観測される「見かけの力」であり、\(\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}\) と表されます。
  • 理解のポイント:
    1. 視点の切り替え: 問題を解くにあたり、「床に固定された静止した観測者（静止系）」の視点と、「加速する三角柱と一緒に動く観測者（加速系）」の視点を使い分けることができます。
    2. 加速系での解法: 加速系の視点に立つと、慣性力を導入することで、本来は複雑な運動をしている物体を「力のつりあい」という静力学的な問題として扱うことができます。これが慣性力を用いる最大の利点です。
    3. 静止系での解法: 静止系の視点に立つ場合は、慣性力は考えず、物体にはたらく「実際の力」のみを考慮し、ニュートンの運動方程式 \(m\vec{a}=\vec{F}\) を直接適用します。
• 力の分解とつりあい/運動方程式:
  • 核心: 慣性力を含め、物体にはたらくすべての力を適切な座標軸に沿って分解し、状況に応じて「力のつりあいの式」または「運動方程式」を立てるという、力学の基本的な手続きが土台となります。
  • 理解のポイント:
    1. 座標系の選択: 斜面上の問題では、通常「斜面に平行・垂直な座標系」が有効ですが、水平方向の加速度が関わる場合は「水平・鉛直な座標系」で考える方が見通しが良いこともあります。両方で解ける力を養うことが重要です。
    2. 正確な力の図示: 重力、張力、垂直抗力、そして慣性力を、向きと作用点を意識して正確に図示することが、正しい立式の第一歩です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電車・エレベーター内の物理現象: 加速・減速する電車内で振れる振り子や、上昇・下降するエレベーター内の体重計の目盛りなど、日常生活に即した慣性力の問題。
  • 回転座標系と遠心力: 回転する円盤上の物体の運動。この場合、慣性力は「遠心力」として現れます。
  • 流体中の物体の運動: 加速する水槽の中の水面の傾きなども、慣性力を用いて説明できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者は誰か？: まず、自分がどの視点（静止系か、加速系か）で問題を解くかを明確に定めます。これにより、慣性力を導入するか、運動方程式を直接立てるかの方針が決まります。
  2. 加速度はどちら向きか？: 観測者が乗っている物体の加速度の向きを正確に把握します。慣性力の向きは、その加速度と真逆になります。
  3. 問題文のキーワードを見抜く: 「斜面に対して静止」「張力が0になる」「垂直抗力が0になる」といったキーワードは、物理的な状態を特定する重要な条件です。これらの条件を数式に変換することが解法の鍵となります。
  4. 座標系はどちらが有利か？: はたらく力や物体の運動方向を見て、斜面に沿った座標系と水平・鉛直な座標系のどちらが計算を簡単にできるかを見極めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力の向きを、物体の運動方向や加速度の方向と同じにしてしまう。
  • 対策: 慣性力は「観測者の加速度」と「逆向き」である、という定義を徹底する。必ず「観測者（台車など）の加速度 \(\vec{a}\)」を図示し、その逆向きに「慣性力 \(-m\vec{a}\)」を描き込む習慣をつける。
• 力の分解ミス:
  • 誤解: 水平方向の慣性力を斜面に沿って分解する際に、角度 \(\theta\) の位置を取り違え、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 大きく丁寧な図を描き、平行線と錯角・同位角の関係を利用して、どこが角度 \(\theta\) になるかを正確に特定する。自信がなければ、補助線を引いて直角三角形を作って確認する。
• 静止系と加速系の力の混同:
  • 誤解: 静止系で運動方程式を立てているのに、慣性力を書き加えてしまう。あるいは、加速系で力のつりあいを考えているのに、慣性力を忘れる。
  • 対策: 問題を解き始める前に、「自分は今、静止系／加速系のどちらの視点にいるか」を宣言し、意識を固定する。それぞれの視点で「考えてよい力」と「立てるべき式（つりあい or 運動方程式）」のルールを明確に区別する。
• 垂直抗力と重力のつりあいに関する誤解:
  • 誤解: 斜面上の物体では、常に \(N = mg \cos\theta\) が成り立つと思い込む。
  • 対策: \(N = mg \cos\theta\) は、あくまで「静止した斜面上で、他に斜面に垂直な方向の力がない場合」にのみ成立する関係式であると理解する。本問の問(2)や問(3)のように、慣性力など他の力が加わる場合は、必ず力のつりあいの式をゼロから立て直す必要があることを肝に銘じる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式 (\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\)):
  • 選定理由: 物体が「静止」している、または「観測者に対して相対的に静止」している状況を記述するため。
  • 適用根拠: 問(1)では実際に静止しているため。問(2), (3)では、加速系に視点を移し、慣性力を導入することで、見かけ上「相対的に静止」していると見なせるため、この式を適用できる。
• 運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}\)):
  • 選定理由: 物体が「加速度運動」をしている状況を記述する、力学の基本法則であるため。
  • 適用根拠: 問(4)では、糸が切れた後にPが斜面を滑り落ちるという「加速度運動」が起こるため。また、別解では、静止系から見てPが三角柱とともに「加速度運動」している状況を記述するために用いる。
• 慣性力の式 (\(\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}_{\text{観測者}}\)):
  • 選定理由: 「加速系」という特殊な視点から物体の運動を記述するための、便利な道具（見かけの力）だから。
  • 適用根拠: 三角柱という「加速度運動する物体」の上で起こる現象を、その三角柱に乗った視点から、より簡単に（力のつりあいとして）解析したい場合に導入する。
• 等加速度直線運動の公式 (\(v^2 – v_0^2 = 2ax\)):
  • 選定理由: 「一定の加速度」で運動する物体の、「距離」と「速さ」の関係を問われているため。
  • 適用根拠: 問(4)で、Pにはたらく力の合力が一定であるため、Pの（斜面に対する）加速度も一定になる。この条件のもとで、滑った距離 \(l\) とそのときの速さ \(v\) を関係づけるために、この公式が最も適している。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 座標軸の正の向きを最初に明確に定めること。重力や慣性力の成分が、その座標軸の正の向きなのか負の向きなのかを、一つ一つ確認しながら立式する。特に、力の分解後の成分の向きに注意が必要。
  • 日頃の練習: 式を立てる前に、必ず力のベクトル図と設定した座標軸をセットで描く。力の成分の矢印の向きと、座標軸の正の向きを指でさして確認する癖をつける。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の混同や、文字(\(\alpha, \beta\))の書き間違い。特に、三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) や \(\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta\) を使って式を簡略化する場面で計算ミスが起こりやすい。
  • 日頃の練習: 途中式を省略せず、一行一行、等号を揃えて丁寧に書く。特に、分数の計算や通分の過程は、面倒でも省略しない。最終的な答えが出たら、それが物理的に意味のある形になっているか（例えば、加速度の次元になっているか）を確認する。
• 立式の見直し:
  • 特に注意すべき点: 慣性力を導入した場合、力のつりあいの式を立てるべきところを、誤って運動方程式を立ててしまう（右辺を \(ma\) などとしてしまう）。
  • 日頃の練習: 「加速系（慣性力あり）→ 力のつりあい」「静止系（慣性力なし）→ 運動方程式」という対応関係を呪文のように唱え、立式した後に、自分の視点と式の形が矛盾していないかを必ずチェックする。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(2) 加速度 \(\alpha = g \tan\theta\):
    • 吟味の視点: もし斜面が水平なら (\(\theta \rightarrow 0\))、\(\tan\theta \rightarrow 0\) なので \(\alpha \rightarrow 0\)。つまり、ほんの少し押すだけで糸はたるむ。もし斜面が垂直なら (\(\theta \rightarrow 90^\circ\))、\(\tan\theta \rightarrow \infty\) なので \(\alpha \rightarrow \infty\)。つまり、壁に貼り付けた物体を糸なしで支えるには無限の加速度が必要。どちらも直感的に正しい。
  • 問(3) 加速度 \(\beta = g / \tan\theta\):
    • 吟味の視点: もし斜面が水平なら (\(\theta \rightarrow 0\))、\(\tan\theta \rightarrow 0\) なので \(\beta \rightarrow \infty\)。水平な床の物体を浮かすには無限の加速度が必要。もし斜面が垂直なら (\(\theta \rightarrow 90^\circ\))、\(\tan\theta \rightarrow \infty\) なので \(\beta \rightarrow 0\)。つまり、自由落下させれば垂直抗力はゼロになる。これも直感と一致する。
  • 問(4) 速さ \(v = \sqrt{2gl/\sin\theta}\):
    • 吟味の視点: 静止したなめらかな斜面を滑るときの速さは \(v_{\text{静止}} = \sqrt{2(g\sin\theta)l}\) である。\(0 < \theta \le 90^\circ\) の範囲で \(\sin^2\theta \le 1\) なので、\(g/\sin\theta \ge g\sin\theta\) となり、\(v \ge v_{\text{静止}}\) であることがわかる。慣性力に助けられてより速くなる、という結果は妥当である。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • \(\theta = 90^\circ\) の場合を考える:
    • 問(1): \(T_0 = mg\), \(N_0 = 0\)。これは単に糸で物体を吊るした状況と一致する。
    • 問(2): \(\alpha \rightarrow \infty\)。(上記参照)
    • 問(3): \(\beta = 0\)。これは物体を自由落下させれば、糸がぴんと張ったまま垂直抗力がゼロになる状況に対応する。
    • 問(4): \(v = \sqrt{2gl}\)。これは初速度ゼロの自由落下で距離 \(l\) を落ちたときの速さの公式と完全に一致する。
  • これらの極端なケースで既知の結果と一致することから、導出した式全体の信頼性が高いと判断できる。

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問(1)