「良問の風」攻略ガイド（16〜20問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題16 (富山大 + 横浜国大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜面上の物体Pと、滑車を介して糸でつながれた物体Qの運動を扱います。前半(1)では、PとQが静止している状態での力のつり合いと静止摩擦力の条件から、Qの質量\(M\)の取りうる範囲を求めます。後半(2)では、特定の質量\(M\)でQを静かに放した後の、Qの落下運動とPの斜面上の運動、さらにQが床に達した後のPの運動について、加速度、速度、移動距離、時間などを計算します。静止摩擦と動摩擦の区別、および運動のフェーズに応じた力の分析が鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の物体と滑車で繋がれた物体の、摩擦を含む運動」です。静止している場合の「力のつり合い」と、運動している場合の「運動方程式」を正しく使い分けることが基本となります。また、静止摩擦力と動摩擦力の性質の違いを正確に理解し、適用することが不可欠です。

問(1)

思考の道筋とポイント
PとQが静止しているためには、物体Pが斜面上で滑り出さないことが条件です。Pが滑り出す可能性としては、斜面下向きと斜面上向きの2つの方向が考えられます。それぞれの限界状態（滑り出す直前）で、Pにはたらく静止摩擦力は最大静止摩擦力 \(\mu_{\text{静止}} N\) となりますが、その向きが異なります。この2つの限界状態に対応するQの質量\(M\)を求めることで、静止できる\(M\)の範囲を決定します。
この設問における重要なポイント

• 物体Pが滑り出す限界の状況を2パターン（斜面下向き、斜面上向き）考えること。
• 各限界状態で、静止摩擦力が最大値 \(\mu_{\text{静止}} N\) となり、その向きが滑りを妨げる方向になることを理解する。
• 物体Pにはたらく力の斜面方向のつり合いと、物体Qの力のつり合い（糸の張力 \(T=Mg\)）を連立させる。
• Pにはたらく垂直抗力 \(N\) は \(mg\cos 30^\circ\) である。

具体的な解説と立式
まず、物体Pにはたらく斜面に垂直な方向の力のつり合いより、垂直抗力\(N\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= mg \cos 30^\circ \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{3}}{2}mg
\end{aligned}
$$
したがって、最大静止摩擦力 \(F_{\text{最大}}\) の大きさは、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{最大}} &= \mu_{\text{静止}} N \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{3}}{6}mg
\end{aligned}
$$
物体Qは静止しているので、力のつり合いより糸の張力\(T\)は \(T=Mg\) となります。

ケース1: Pが斜面下向きに滑り出す直前（\(M\)が最小値\(M_1\)のとき）
このとき、静止摩擦力は滑りを妨げるため、斜面上向きに最大値 \(F_{\text{最大}}\) で働きます。
Pの斜面方向の力のつり合いより、
$$ T_1 + F_{\text{最大}} – mg \sin 30^\circ = 0 $$
\(T_1 = M_1 g\) を代入すると、
$$ M_1 g + \frac{\sqrt{3}}{6}mg – \frac{1}{2}mg = 0 \quad \cdots ① $$

ケース2: Pが斜面上向きに滑り出す直前（\(M\)が最大値\(M_2\)のとき）
このとき、静止摩擦力は滑りを妨げるため、斜面下向きに最大値 \(F_{\text{最大}}\) で働きます。
Pの斜面方向の力のつり合いより、
$$ T_2 – F_{\text{最大}} – mg \sin 30^\circ = 0 $$
\(T_2 = M_2 g\) を代入すると、
$$ M_2 g – \frac{\sqrt{3}}{6}mg – \frac{1}{2}mg = 0 \quad \cdots ② $$

式①から\(M_1\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
M_1 g &= \frac{1}{2}mg – \frac{\sqrt{3}}{6}mg \\[2.0ex]
&= \left( \frac{3}{6} – \frac{\sqrt{3}}{6} \right)mg \\[2.0ex]
&= \frac{3-\sqrt{3}}{6}mg
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ M_1 = \frac{3-\sqrt{3}}{6}m $$
式②から\(M_2\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
M_2 g &= \frac{1}{2}mg + \frac{\sqrt{3}}{6}mg \\[2.0ex]
&= \left( \frac{3}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \right)mg \\[2.0ex]
&= \frac{3+\sqrt{3}}{6}mg
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ M_2 = \frac{3+\sqrt{3}}{6}m $$
PとQが静止していられる\(M\)の範囲は \(M_1 \le M \le M_2\) です。

物体Pが斜面でじっとしているためには、Pを滑らせようとする力が、Pと斜面の間の静止摩擦力で支えられる必要があります。Pが下に滑りそうになるギリギリの状態（このときQの重さ\(M\)は一番小さい）と、Pが上に滑りそうになるギリギリの状態（このときQの重さ\(M\)は一番大きい）を考えます。それぞれの状態で力の釣り合いの式を立てることで、\(M\)の最小値と最大値が求まり、その間がPとQが静止できる\(M\)の範囲となります。

PとQが静止しているための\(M\)の範囲は \(\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}}{6}m \le M \le \frac{3+\sqrt{3}}{6}m\) です。
\(\sqrt{3} \approx 1.732\) なので、数値的にはおよそ \(0.211m \le M \le 0.789m\) となります。この範囲外の\(M\)の値では、Pは静止摩擦力の限界を超えて滑り出すことになります。

問(2)

思考の道筋とポイント
(ア) \(M = \displaystyle\frac{3}{2}m = 1.5m\) は、問(1)で求めた静止範囲の上限（約 \(0.789m\)）よりも大きいため、Qは下がり、Pは斜面を上がります。このとき、PとQは同じ大きさの加速度\(a\)で運動し、Pと斜面の間には動摩擦力が働きます（Pが上がるので動摩擦力は斜面下向き）。PとQそれぞれについて運動方程式を立て、連立して加速度\(a\)を求めます。その後、Qが距離\(h\)落下したときの速さ\(v\)を等加速度直線運動の公式から求めます。
この設問における重要なポイント

• 与えられた\(M\)の値が静止範囲外であることを確認し、運動の向きを判断する（Qが下降、Pが上昇）。
• 運動中の物体Pには動摩擦力が働く。その向きはPの運動方向（斜面上向き）と逆（斜面下向き）。
• 物体Pと物体Qは糸で繋がれているため、加速度の大きさは共通である。
• 各物体の運動方程式を立て、連立して加速度と張力を求める。

具体的な解説と立式
Qが下がる加速度の大きさを\(a\)、このときの糸の張力を\(T\)とします。Pも同じ大きさ\(a\)で斜面を上がります。
Pの斜面に垂直な方向の力のつり合いから、垂直抗力\(N\)は問(1)と同じです。
$$
\begin{aligned}
N &= mg \cos 30^\circ \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{3}}{2}mg
\end{aligned}
$$
Pにはたらく動摩擦力\(F_{\text{動}}\)の大きさは、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{動}} &= \mu_{\text{動}} N \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg \\[2.0ex]
&= \frac{1}{4}mg
\end{aligned}
$$
この動摩擦力は、Pの運動方向（斜面上向き）と逆向き（斜面下向き）にはたらきます。

物体P（質量\(m\)）の運動方程式（斜面上向きを正）:
$$ ma = T – mg \sin 30^\circ – F_{\text{動}} \quad \cdots ③ $$
物体Q（質量\(M=\displaystyle\frac{3}{2}m\)）の運動方程式（鉛直下向きを正）:
$$ Ma = Mg – T \quad \cdots ④ $$
これらの連立方程式を解くことで、加速度\(a\)が求まります。
Qが床に達するときの速さ\(v\)は、初速\(v_0=0\)、加速度\(a\)、距離\(h\)なので、等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ah\) より求めます。

式③と④に具体的な値を代入します。
$$
\begin{aligned}
ma &= T – \frac{1}{2}mg – \frac{1}{4}mg \\[2.0ex]
&= T – \frac{3}{4}mg \quad \cdots ③’
\end{aligned}
$$
$$ \frac{3}{2}ma = \frac{3}{2}mg – T \quad \cdots ④’ $$
③’ \(+\) ④’ より、\(T\)を消去します。
$$
\begin{aligned}
ma + \frac{3}{2}ma &= \left(T – \frac{3}{4}mg\right) + \left(\frac{3}{2}mg – T\right) \\[2.0ex]
\frac{5}{2}ma &= \left(-\frac{3}{4} + \frac{6}{4}\right)mg \\[2.0ex]
\frac{5}{2}ma &= \frac{3}{4}mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(\displaystyle\frac{5}{2}m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{3}{4}g \cdot \frac{2}{5} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{10}g
\end{aligned}
$$
次に、速さ\(v\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2ah \\[2.0ex]
&= 2 \cdot \left(\frac{3}{10}g\right) \cdot h \\[2.0ex]
&= \frac{3}{5}gh
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ v = \sqrt{\frac{3}{5}gh} $$

(加速度) Qの重さがPを上に引き上げる力よりも大きいので、Qは下に、Pは斜面を上に動き出します。このとき、Pには動摩擦力が運動と反対向き（斜面下向き）に働きます。PとQは糸で繋がれているので、同じ大きさの加速度で運動します。それぞれの物体について運動の法則（質量×加速度＝合力）の式を立て、それらを組み合わせることで加速度\(a\)が求まります。
(速さ) Qが高さ\(h\)だけ落下するときの速さ\(v\)は、初めの速さが\(0\)で、上で求めた一定の加速度で運動した場合の速さを、運動の公式 \(v^2 = 2ah\) から計算します。

Qの加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{3}{10}g\)、Qが床に達するときの速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{3}{5}gh}\) です。加速度は重力加速度\(g\)よりも小さく、これは物体Pの質量や摩擦力の影響によるものです。速さは落下距離\(h\)が大きいほど、また加速度\(a\)が大きいほど大きくなり、物理的に妥当な結果です。

思考の道筋とポイント
(イ) この設問は2つのフェーズに分けて考えます。
フェーズ1: Qが床に達するまでの運動。このときPは斜面を\(h\)だけ上がります。かかる時間を\(t_1\)とします。
フェーズ2: Qが床に達した後、Pが単独で斜面を上がり、最高点に達して止まるまでの運動。このときの初速度はフェーズ1の終わりの速さ\(v\)です。Pには重力の斜面成分と動摩擦力が働き減速します。このときの移動距離を\(x\)、時間を\(t_2\)とします。
最終的に求める総移動距離\(l\)は \(l = h+x\)、総時間\(t\)は \(t = t_1+t_2\) です。
この設問における重要なポイント

• 運動を2つのフェーズ（Qが床に達するまで、Qが床に達した後Pが止まるまで）に明確に分けて考えること。
• フェーズ1では、PはQと共に加速度\(a\)で運動し、移動距離は\(h\)。
• フェーズ2では、Pは糸の張力を受けなくなり、初速\(v\)で動摩擦力と重力の斜面成分によって減速する。このときの新しい加速度\(a’\)を求める必要がある。
• 各フェーズでの移動距離と時間をそれぞれ計算し、最後に合計する。

具体的な解説と立式
フェーズ1: Qが床に達するまで
Pの上昇距離は\(h\)。加速度は(ア)で求めた \(a = \displaystyle\frac{3}{10}g\)。初速は\(0\)。
かかる時間\(t_1\)を、等加速度直線運動の公式 \(h = \displaystyle\frac{1}{2}at_1^2\) より求めます。
このフェーズの終わりの速さは、(ア)で求めた \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{3}{5}gh}\) です。

フェーズ2: Qが床に達した後、Pが止まるまで
このフェーズでのPの初速は\(v\)です。糸の張力はなくなるので、Pにはたらく力は重力の斜面成分と動摩擦力のみで、どちらも斜面下向きです。
Pの運動方程式（斜面上向きを正）を立て、新しい加速度\(a’\)を求めます。
$$ ma’ = -mg \sin 30^\circ – F_{\text{動}} $$
この加速度\(a’\)を用いて、Pが止まる（終端速度\(0\)）までに進む距離\(x\)と、かかる時間\(t_2\)を等加速度直線運動の公式から求めます。
距離\(x\)は \(0^2 – v^2 = 2a’x\) より、時間は\(t_2\)は \(0 = v + a’t_2\) より求めます。

フェーズ1の時間\(t_1\):
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \sqrt{\frac{2h}{a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{2h}{\frac{3}{10}g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{20h}{3g}} \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{\frac{5h}{3g}}
\end{aligned}
$$

フェーズ2の加速度\(a’\):
$$
\begin{aligned}
ma’ &= -mg \sin 30^\circ – F_{\text{動}} \\[2.0ex]
&= -\frac{1}{2}mg – \frac{1}{4}mg \\[2.0ex]
&= -\frac{3}{4}mg
\end{aligned}
$$
よって、
$$ a’ = -\frac{3}{4}g $$

フェーズ2の距離\(x\):
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{-v^2}{2a’} \\[2.0ex]
&= \frac{-\left(\frac{3}{5}gh\right)}{2\left(-\frac{3}{4}g\right)} \\[2.0ex]
&= \frac{\frac{3}{5}h}{\frac{3}{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{5}h \cdot \frac{2}{3} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{5}h
\end{aligned}
$$

フェーズ2の時間\(t_2\):
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{-v}{a’} \\[2.0ex]
&= \frac{-\sqrt{\frac{3}{5}gh}}{-\frac{3}{4}g} \\[2.0ex]
&= \frac{4}{3g}\sqrt{\frac{3gh}{5}} \\[2.0ex]
&= \frac{4}{3}\sqrt{\frac{3h}{5g}} \\[2.0ex]
&= 4\sqrt{\frac{h}{15g}}
\end{aligned}
$$

総移動距離\(l\)と総時間\(t\):
$$
\begin{aligned}
l &= h + x \\[2.0ex]
&= h + \frac{2}{5}h \\[2.0ex]
&= \frac{7}{5}h
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
t &= t_1 + t_2 \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{\frac{5h}{3g}} + 4\sqrt{\frac{h}{15g}} \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{\frac{25h}{15g}} + 4\sqrt{\frac{h}{15g}} \\[2.0ex]
&= 2 \cdot 5 \sqrt{\frac{h}{15g}} + 4\sqrt{\frac{h}{15g}} \\[2.0ex]
&= 10\sqrt{\frac{h}{15g}} + 4\sqrt{\frac{h}{15g}} \\[2.0ex]
&= 14\sqrt{\frac{h}{15g}}
\end{aligned}
$$

Pの運動は2段階に分かれます。
第1段階は、Qが床に落ちるまでです。この間、PはQと一緒に加速しながら斜面を\(h\)だけ上がります。このときにかかる時間を\(t_1\)とします。
第2段階は、Qが床に落ちた後です。糸の力がなくなり、Pは第1段階の最後に持っていた速さで、今度は摩擦力と重力の一部で減速しながらさらに斜面を上がって止まります。この間に進む距離を\(x\)、かかる時間を\(t_2\)とします。
Pが動き始めてから止まるまでの総移動距離は\(h+x\)、総時間は\(t_1+t_2\)となります。

Pが動き始めてから止まるまでに移動した総距離は \(l = \displaystyle\frac{7}{5}h\)、かかった総時間は \(t = 14\sqrt{\displaystyle\frac{h}{15g}}\) です。
Qが床に達した後もPはそれまでに得た速さでさらに斜面を少し登り、最終的に止まります。総移動距離が\(h\)より大きいこと、総時間が各区間の時間の和であることは理にかなっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと運動方程式:
  • 核心: この問題は、物体が静止している状況と運動している状況が混在しています。静止時には「力のつり合い (\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\))」、運動時には「運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}}\))」を的確に使い分けることが、問題を解く上での最も基本的な原則です。
  • 理解のポイント:
    1. 状況判断: まず問題文から、物体が「静止している」「滑り出す直前」「運動している」のどの状態にあるかを正確に読み取ります。
    2. 法則選択: 静止状態なら力のつり合いの式を、運動状態なら運動方程式を立てます。
    3. 力の図示: どちらの法則を適用するにせよ、物体にはたらく全ての力（重力、張力、垂直抗力、摩擦力）を正確に図示することが全ての出発点となります。
• 摩擦力の正しい理解:
  • 核心: 静止摩擦力と動摩擦力は性質が全く異なります。特に静止摩擦力は「滑りを妨げるために必要な分だけはたらき、上限値（最大静止摩擦力）がある」という点を理解することが問(1)の鍵です。動摩擦力は「運動中は常に一定の大きさで、運動と逆向きにはたらく」という点を理解することが問(2)の鍵です。
  • 理解のポイント:
    1. 静止摩擦力: 大きさが \(0 \le f \le \mu_{\text{静止}}N\) の範囲で変化する「調整役」の力です。問(1)では、この上限値 \(f = \mu_{\text{静止}}N\) を使って限界条件を考えます。
    2. 動摩擦力: 大きさが \(f’ = \mu_{\text{動}}N\) で一定の「抵抗力」です。問(2)では、運動しているPに常にはたらき続けます。
    3. 向きの判断: 摩擦力の向きは常に「滑ろうとする動き」または「実際の動き」と逆向きです。これを間違えると全ての計算が狂ってしまいます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 条件が途中で変化する運動: 物体が床に到達する、糸が切れる、ばねが壁に接触するなど、運動の途中で拘束条件やはたらく力が変わる問題。
  • 静止条件を問う問題: 物体が滑り出さないための角度、質量、外力の範囲などを求める問題。本問の問(1)が典型例です。
  • エネルギー保存則が使える問題: 摩擦や空気抵抗などの非保存力が仕事をする場合でも、「（非保存力の仕事）＝（力学的エネルギーの変化）」という関係式は常に成り立ちます。運動方程式とエネルギー法の両方で解けるようになっておくと、解法の選択肢が広がります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズ分け: 問題全体を一つの流れで解こうとせず、「Qが落下中」「Qが床に到達後」のように、物理的な状況が変化する点で区切り、それぞれのフェーズで何が起きるかを個別に分析する視点が重要です。
  2. 力の図示と座標軸設定: 複雑な問題ほど、基本に立ち返ることが大切です。各物体についてフリーボディダイアグラム（物体にはたらく力だけを描いた図）を作成し、斜面方向・斜面に垂直な方向などに座標軸を設定することで、立式が容易になります。
  3. 保存則適用の可否: 問題を見たときに、「この系でエネルギーは保存されるか？」「非保存力が仕事をしているか？」と自問する習慣をつけると、運動方程式以外の解法（エネルギー法）に気づきやすくなります。本問の問(2)は、まさにその典型例です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力と最大静止摩擦力の混同:
  • 誤解: 静止している物体にはたらく摩擦力は、常に最大静止摩擦力 \(\mu_{\text{静止}}N\) だと思い込んでしまう。
  • 対策: 静止摩擦力は、あくまで外力とつりあうために必要な大きさしかはたらきません。\(\mu_{\text{静止}}N\) はその上限値であり、「滑り出す直前」という特別な状況でのみ使う値であることを強く意識してください。
• 摩擦力の向きの間違い:
  • 誤解: 問(1)で、Pが下に滑りそうなときも上に滑りそうなときも、同じ向きに摩擦力を描いてしまう。
  • 対策: 摩擦力は「運動を妨げる向き」にはたらく、という原理を常に思い出すこと。物体が「どちらに動こうとしているか」をまず判断し、その逆向きに摩擦力の矢印を描く習慣をつけましょう。
• Qが床に達した後の張力の扱い:
  • 誤解: 問(2)(イ)で、Qが床に達した後も、Pには張力\(T\)がはたらき続けるとして運動方程式を立ててしまう。
  • 対策: Qが床に着くと糸はたるみ、Pを引く力はなくなります（張力\(T=0\)）。このように、運動のフェーズが変わる点では「どの力が消え、どの力が残るか」を再確認することが極めて重要です。
• 垂直抗力を \(mg\) と勘違いする:
  • 誤解: 斜面上の物体にはたらく垂直抗力を、水平な面の場合と同じように \(N=mg\) と誤って計算してしまう。
  • 対策: 垂直抗力は「面が物体を押す力」であり、常に重力とつりあうとは限りません。必ず、面に垂直な方向の力のつり合いの式を立てて \(N\) を求める癖をつけましょう。斜面の場合は \(N=mg\cos\theta\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\)):
  • 選定理由: 問(1)で「PとQが静止している」という条件が与えられているため。物体が静止している（＝加速度がゼロ）状態を記述する基本法則です。
  • 適用根拠: 「静止」「つりあっている」というキーワードが、この公式を選択する直接的なトリガーとなります。
• 運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}}\)):
  • 選定理由: 問(2)で「静かに放すと、Qが下がり始めた」とあり、物体が加速度運動をしているため。物体の運動（加速度）と力の関係を記述する法則です。
  • 適用根拠: 物体が「動き出す」「加速する」「運動する」といった記述がある場合、その運動の原因である力を特定し、運動の状態（加速度）と結びつけるためにこの式を用います。
• 仕事とエネルギーの関係 (\(W_{\text{非保存力}} = \Delta E\)):
  • 選定理由: 問(2)の別解として。加速度や張力を経由せずに、始状態と終状態の速さや位置の関係を知りたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 運動方程式を連立して解くのが複雑な場合や、系全体のエネルギー収支に着目したい場合に選択します。特に「速さ\(v\)を求めよ」という設問では、エネルギー法が計算を簡略化できることが多いです。
• 等加速度直線運動の公式群:
  • 選定理由: 運動方程式を解いて加速度\(a\)が一定値として求まった後、その運動における速度、変位、時間の関係を調べるため。
  • 適用根拠: 「加速度が一定」であることが確認できた運動に対してのみ適用できます。本問では、Qが床に達するまでと達した後で、それぞれ加速度が一定なので、各フェーズでこれらの公式が使えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 自分で設定した座標軸の正の向きを常に意識すること。力の成分や加速度が正の向きか負の向きかを判断し、式に正しく符号を反映させることが重要です。特に、問(2)(イ)のフェーズ2では、Pの加速度\(a’\)は運動の向きと逆なので負になります。
  • 日頃の練習: 式を立てる前に、必ず図中に座標軸（正の向きを示す矢印）を描き込む習慣をつけましょう。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(\sin 30^\circ\), \(\cos 30^\circ\), \(\mu_{\text{静止}}\), \(\mu_{\text{動}}\) など、多くの記号や数値が登場します。値を代入する際に間違えたり、項をまとめるときに計算ミスをしたりしやすいです。
  • 日頃の練習: 最終的な答えを出すまでは、なるべく文字のまま計算を進め、最後にまとめて値を代入すると、間違いが減り、見直しもしやすくなります。例えば、\(mg \sin 30^\circ\) や \(F_{\text{動}}\) などを一つの塊として扱うと式がすっきりします。
• 平方根の計算:
  • 特に注意すべき点: 問(2)(イ)の時間\(t\)の計算のように、ルートの中に分数や数字が混在する計算はミスしやすいポイントです。
  • 日頃の練習: ルートの中を整理する際は、焦らず段階的に行うこと。例えば、\(2\sqrt{\frac{5h}{3g}}\) を \( \sqrt{\frac{h}{15g}}\) の形にそろえるために、まずルートの中の分母を \(15g\) に通分するなど、手順を丁寧に踏むことが大切です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(M\)の範囲: \(M\)の最小値 \(M_1\) と最大値 \(M_2\) がどちらも正の値であり、\(M_1 < M_2\) となっていることを確認します。もし \(M_1\) が負になったり、\(M_1 > M_2\) となったりした場合は、計算ミスの可能性があります。
  • (2ア) 加速度\(a\)と速さ\(v\): 加速度\(a\)は \(0 < a < g\) の範囲にあるはずです（自由落下よりは遅い）。速さ\(v\)は、\(g\) と \(h\) の積の平方根の次元を持っていることを確認します。
  • (2イ) 総距離\(l\)と総時間\(t\): 総距離\(l\)は、Pが最初に上昇した距離\(h\)よりも必ず大きくなります (\(l > h\))。もし \(l \le h\) となったら、計算が間違っている証拠です。総時間\(t\)も正の値になるはずです。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし斜面がなめらかだったら？ (\(\mu_{\text{静止}}=\mu_{\text{動}}=0\)):
    • 問(1)の静止条件は、斜面方向の力のつり合い \(Mg = mg \sin 30^\circ\) のみとなり、\(M = m/2\) の一点だけになります。得られた範囲の式で \(\sqrt{3}\) の項をゼロにすると、\(M=3m/6 = m/2\) となり、つじつまが合います。
    • 問(2)の加速度は、摩擦による抵抗がなくなるため、本問で得た値 \(a = \frac{3}{10}g\) よりも大きくなるはずです。
  • もしQが非常に重かったら？ (\(M \gg m\)):
    • Pの質量や摩擦力の影響は無視できるようになり、系全体の加速度はQの自由落下に近づくはずです (\(a \rightarrow g\))。得られた加速度の式を一般化すると \(a = \displaystyle\frac{M – m(\sin 30^\circ + \mu_{\text{動}}\cos 30^\circ)}{M+m}g\) となりますが、この式で \(M \rightarrow \infty\) の極限をとると、\(a \rightarrow g\) となり、直感と一致します。

問題17 (信州大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気球とそれに吊るされた物体の運動に関するもので、力のつり合い、浮力、そして糸が切断された後の各物体の運動（鉛直投げ上げや加速運動）を扱います。空気抵抗や物体Aの浮力は無視するという条件のもと、各問いに答えていきます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「浮力と連結された物体の運動」です。物体にはたらく力を正確に図示し、その運動状態（等速運動か、加速度運動か）に応じて「力のつり合い」または「運動方程式」を正しく適用することが鍵となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
小物体Aは、気球Bとともに一定の速さ\(v\)で上昇しています。この「一定の速さ」という記述は、物体Aが等速直線運動をしていることを意味し、したがって加速度はゼロです。ニュートンの第一法則（または運動方程式で加速度\(a=0\)とした場合）により、物体Aにはたらく力の合力はゼロとなります。
この設問における重要なポイント

• 「一定の速さで上昇」という条件から、物体Aにはたらく力は釣り合っていると判断すること。
• 物体Aにはたらく力は、鉛直上向きの糸の張力\(T\)と鉛直下向きの重力\(mg\)のみである（問題文よりAの浮力は無視）。

具体的な解説と立式
小物体Aにはたらく力は、鉛直上向きの糸の張力\(T\)と、鉛直下向きの重力\(mg\)です。
物体Aは一定の速さで上昇しているので、力のつり合いが成り立ちます。
鉛直上向きを正とすると、力のつり合いの式は、
$$ T – mg = 0 $$

上記の力のつり合いの式から、糸の張力\(T\)は、
$$ T = mg $$

小物体Aは一定の速さで上に動いています。これは、Aにはたらいている力がちょうど釣り合っている状態だということです。Aには、糸が上に引く力（張力\(T\)）と、地球が下に引く力（重力\(mg\)）がはたらいています。これらの力が釣り合っているので、張力\(T\)の大きさはAの重さ\(mg\)と等しくなります。

糸の張力\(T\)は\(mg\)です。物体が等速直線運動をしている場合、その物体にはたらく力の合力はゼロになるという、ニュートンの運動法則の基本に立ち返れば理解できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
気球Bも小物体Aと同様に一定の速さ\(v\)で上昇しているため、気球Bにはたらく力も釣り合っています。気球Bにはたらく力は、鉛直上向きの浮力\(F\)、鉛直下向きの気球自身の重力\(Mg\)、そして鉛直下向きに糸から受ける張力\(T\)です。これらの力のつり合いから浮力\(F\)を求め、次に浮力の公式\(F = \rho Vg\)を用いて気球の体積\(V\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 気球Bも等速直線運動をしているため、力が釣り合っていると判断すること。
• 気球Bにはたらく力を全て（浮力、重力、張力）図示し、力のつり合いの式を立てること。張力\(T\)は問(1)の結果を利用する。
• 浮力の公式\(F = \rho Vg\)を理解し、正しく適用すること。

具体的な解説と立式
気球Bにはたらく力は、鉛直上向きの浮力\(F\)、鉛直下向きの重力\(Mg\)、鉛直下向きの糸の張力\(T\)です。
気球Bは一定の速さで上昇しているので、力のつり合いが成り立ちます。
鉛直上向きを正とすると、力のつり合いの式は、
$$ F – Mg – T = 0 $$
問(1)より\(T=mg\)なので、
$$ F – Mg – mg = 0 $$
ここから浮力\(F\)が求まります。
次に、浮力の公式\(F = \rho Vg\)より、体積\(V\)は、
$$ V = \frac{F}{\rho g} $$

浮力\(F\)の計算:
$$
\begin{aligned}
F &= Mg + T \\[2.0ex]
&= Mg + mg \\[2.0ex]
&= (M+m)g
\end{aligned}
$$
体積\(V\)の計算:
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{F}{\rho g} \\[2.0ex]
&= \frac{(M+m)g}{\rho g} \\[2.0ex]
&= \frac{M+m}{\rho}
\end{aligned}
$$

(浮力) 気球Bも一定の速さで上に動いているので、Bにはたらいている力は釣り合っています。Bには、(a)空気がBを上に押し上げる力（浮力\(F\)）、(b)地球がBを下に引く力（Bの重さ\(Mg\)）、(c)糸がBを下に引く力（張力\(T\)、これはAの重さ\(mg\)に等しい）がはたらいています。これらの力が釣り合っているので、「浮力\(F\) ＝ Bの重さ\(Mg\) ＋ 張力\(T\)」となります。
(体積) 浮力の大きさは、「まわりの空気の密度\(\rho\) × 気球の体積\(V\) × 重力加速度\(g\)」という公式で表されます。上で求めた浮力\(F\)とこの公式を等しいとおくことで、気球の体積\(V\)が計算できます。

気球Bにはたらく浮力\(F = (M+m)g\)、気球の体積\(V = \displaystyle\frac{M+m}{\rho}\)です。
浮力は、気球B自身の重力\(Mg\)と、吊るしている小物体Aの重力\(mg\)の合計、つまり気球と小物体Aを合わせた全体の重力と釣り合っていることがわかります。これは、系全体が等速上昇していることから妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体Aが地面から\(h\)の高さで糸を切断された瞬間、Aはそれまで気球と共に上昇していた速さ\(v\)を鉛直上向きに持っています。切断後は、Aは重力のみを受けて運動します。これは鉛直投げ上げ運動に相当します。地面に到達するまでの時間を求めるには、鉛直上向きを正として座標軸を設定し、変位が\(-h\)となる時刻を等加速度直線運動の公式を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 糸が切断された瞬間の物体Aの初速度（大きさと向き）を正しく把握すること。
• 切断後の物体Aには重力のみがはたらく（空気抵抗や浮力は無視）ため、鉛直投げ上げ運動となることを理解する。
• 座標軸の原点と正の向きを明確に設定し、変位、初速度、加速度の符号に注意して等加速度直線運動の公式を適用する。
• 時間が\(t_0 > 0\)となる物理的に意味のある解を選択する。

具体的な解説と立式
糸を切断した位置を原点(\(x=0\))、鉛直上向きを正とします。
物体Aの初期条件は、初速度 \(v_{\text{初}} = +v\)、加速度 \(a = -g\)（重力は鉛直下向きにはたらくため）です。
地面に到達するときのAの位置は\(x = -h\)です。
このときの時刻を\(t_0\)とすると、等加速度直線運動の公式 \(x = v_{\text{初}} t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) より、
$$ -h = v t_0 + \frac{1}{2}(-g)t_0^2 $$
これを\(t_0\)についての2次方程式として整理します。
$$
\begin{aligned}
-h &= vt_0 – \frac{1}{2}gt_0^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}gt_0^2 – vt_0 – h &= 0 \\[2.0ex]
gt_0^2 – 2vt_0 – 2h &= 0
\end{aligned}
$$

2次方程式 \(gt_0^2 – 2vt_0 – 2h = 0\) を解の公式を用いて解きます。
$$
\begin{aligned}
t_0 &= \frac{-(-2v) \pm \sqrt{(-2v)^2 – 4(g)(-2h)}}{2(g)} \\[2.0ex]
&= \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{2v \pm \sqrt{4(v^2 + 2gh)}}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{2v \pm 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{v \pm \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}
\end{aligned}
$$
時間は正でなければならない (\(t_0 > 0\))。ここで、\(\sqrt{v^2 + 2gh} > \sqrt{v^2} = v\) (\(v \ge 0, g>0, h>0\)より) なので、分子が正となるためには、\(\pm\)のうち\(+\)を選択する必要があります。
$$ t_0 = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g} $$

糸が切れたとき、物体Aは上向きに速さ\(v\)で運動しています。その後は重力だけを受けて、いったん上に上がり、やがて下に落ちて地面に到達します。これはボールを上に速さ\(v\)で投げ上げたのと同じ運動です（ただし、投げたスタート地点が地面から高さ\(h\)の場所）。地面に到達するまでの時間は、運動の公式（移動距離＝初めの速さ×時間＋1/2×加速度×時間の2乗）を使って計算できます。上向きを正とすると、加速度は下向きの重力加速度なので\(-g\)、地面までの移動距離は\(-h\)となります。これらの値を公式に入れて時間を求めると、時間の2次方程式が出てくるので、それを解きます。

Aが地面に到達するまでに要する時間 \(t_0 = \displaystyle\frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}\) です。
この式は、例えば\(h=0\)（地面で糸が切れる）とすると \(t_0 = (v+\sqrt{v^2})/g = 2v/g\) となり、これは初速\(v\)の鉛直投げ上げが元の高さに戻ってくるまでの時間と一致し、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
糸が切断された瞬間、気球Bの初速は鉛直上向きに\(v\)です。切断により、気球Bから下向きに作用していた糸の張力\(T=mg\)がなくなります。気球Bにはたらく力は、鉛直上向きの浮力\(F=(M+m)g\)（問2で求めた値、これは変化しないと仮定）と、鉛直下向きの気球自身の重力\(Mg\)のみになります。これらの力の合力によって気球Bは加速上昇します。まず運動方程式から気球Bの加速度\(\alpha\)を求め、次に等加速度直線運動の公式 \(v_f^2 – v_i^2 = 2as\) を用いて、さらに距離\(h\)だけ上昇したときの速さ\(v_1\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 糸が切断されたことによる気球Bにはたらく力の変化（張力がなくなる）を正確に把握すること。
• 浮力\(F\)は糸の切断後も変わらず\((M+m)g\)であると考える（気球の体積や空気の密度は変化しないため）。
• 変化後の力に基づいて新しい運動方程式を立て、気球の加速度\(\alpha\)を求めること。
• 等加速度直線運動の公式を適用して、特定の距離上昇後の速度を計算すること。

具体的な解説と立式
糸切断後の気球B（質量\(M\)）の運動を考えます。鉛直上向きを正とします。
初速度は \(v_{\text{初}} = v\) です。
はたらく力は、上向きの浮力 \(F = (M+m)g\) と下向きの重力 \(Mg\) です。
気球Bの運動方程式 \(M\alpha = F_{\text{合力}}\) より、
$$ M\alpha = F – Mg $$
気球がさらに\(h\)だけ上昇したときの速さを\(v_1\)とすると、等加速度直線運動の公式 \(v_f^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) より、
$$ v_1^2 – v^2 = 2\alpha h $$

加速度\(\alpha\)の計算:
$$
\begin{aligned}
M\alpha &= (M+m)g – Mg \\[2.0ex]
&= Mg + mg – Mg \\[2.0ex]
&= mg
\end{aligned}
$$
よって、
$$ \alpha = \frac{m}{M}g $$
速さ\(v_1\)の計算:
$$ v_1^2 – v^2 = 2\alpha h $$
より、
$$
\begin{aligned}
v_1^2 &= v^2 + 2\alpha h \\[2.0ex]
&= v^2 + 2\left(\frac{m}{M}g\right)h \\[2.0ex]
&= v^2 + \frac{2mgh}{M}
\end{aligned}
$$
速さは正なので、
$$ v_1 = \sqrt{v^2 + \frac{2mgh}{M}} $$

糸が切れると、気球Bを下に引っ張っていた力（物体Aの重さ\(mg\)に相当する力）がなくなります。気球Bには依然として上向きの浮力と下向きのB自身の重さがはたらいていますが、下向きの力が減ったため、気球Bは上に加速していきます。このときの加速度をまず計算します（気球の質量×加速度＝浮力－気球の重さ）。気球Bは糸が切れた瞬間の速さ\(v\)から、この新しい加速度でさらに距離\(h\)だけ上昇します。そのときの速さ\(v_1\)を、運動の公式（速さの2乗の関係式 \(v_1^2 – v^2 = 2\alpha h\)）を使って求めます。

糸が切断された後、気球がさらに\(h\)だけ上がったときの気球の速さは \(v_1 = \sqrt{v^2 + \displaystyle\frac{2mgh}{M}}\) です。
加速度\(\alpha = \displaystyle\frac{m}{M}g\)は、切断された物体Aの質量\(m\)が大きいほど、また気球Bの質量\(M\)が小さいほど大きくなり、より急速に加速することを示しています。速さ\(v_1\)は、糸切断時の速さ\(v\)よりも大きくなっており、加速上昇していることと整合します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと運動方程式の使い分け:
  • 核心: この問題は、物体の運動状態が変化する点が特徴です。初期状態の「一定の速さ」という記述から「力のつり合い (\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\))」を適用し、糸の切断後に力が不均衡になることで生じる運動には「運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}}\))」を適用します。この的確な使い分けが、問題を解く上での最も重要な分岐点です。
  • 理解のポイント:
    1. 「一定の速さ」＝「加速度ゼロ」: このキーワードを見たら、即座に「力が釣り合っている」と判断します。問(1), (2)はこれだけで解決します。
    2. 「力が変化」→「加速度運動」: 糸の切断のように、物体にはたらく力が変化した瞬間から、物体はもはや等速運動を続けられません。力の不均衡（合力）が生じ、加速度運動が始まります。問(3), (4)はこの状態を運動方程式で記述します。
• 浮力の原理:
  • 核心: 気球が浮上する原理である浮力は、気球が押しのけた空気の重さに等しい力です。公式 \(F = \rho V g\) は、この原理を数式で表現したものです。
  • 理解のポイント:
    1. \(\rho\)は「周囲の流体」の密度: 気球内部の気体の密度ではなく、外部の空気の密度\(\rho\)を使うことを明確に区別します。
    2. \(V\)は「物体の体積」: 浮力は物体の体積\(V\)に比例します。
    3. 浮力は変化しない: 糸が切れても、気球の体積\(V\)と周囲の空気の密度\(\rho\)は変わらないため、浮力\(F\)の大きさは一定であると考えるのがこの問題のポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 連結された物体の運動: ロープウェイのゴンドラから荷物を落とす、エレベーター内で物体を放すなど、複数の物体が一体となって運動している状態から、一部が分離・独立して運動を始める問題。
  • 浮力が関わる運動: 水中の物体を放す、船から荷物を降ろすなど、浮力と重力の関係で運動が決定される問題。
  • 等速運動から加速度運動への移行: ロケットのエンジン噴射、摩擦のある面からなめらかな面への移行など、力のつり合い状態が崩れて加速が始まる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動状態の変化点を見つける: 「糸を切断した」「物体を放した」「力を加え始めた」など、問題文中の状況変化を示すキーワードに注目します。この前後で、適用すべき物理法則が変わる可能性が高いです。
  2. 各物体・各状態で力を図示し直す: 状況が変化したら、面倒くさがらずに必ず力の図をもう一度描き直すことが重要です。どの力が消え、どの力が残るのかを視覚的に確認することで、立式ミスを防げます。
  3. 座標軸の一貫性: 特に鉛直方向の運動では、最初に「上向き正」か「下向き正」かを決め、そのルールを問題全体を通して（あるいは各設問で明確に再定義して）一貫して適用することが、符号ミスを防ぐ鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 等速運動を「力がはたらいていない」と誤解する:
  • 誤解: 「一定の速さ」なので、力がはたらいていないと勘違いしてしまう。
  • 対策: 正しくは「合力がゼロ」です。重力や張力、浮力など、複数の力がはたらいていても、それらがベクトル的に打ち消しあっていれば等速運動になります。必ず全ての力をリストアップし、つり合いの式を立てましょう。
• 糸切断後の初速度をゼロと間違う:
  • 誤解: 問(3)で、糸が切れた瞬間の物体Aの速度を\(0\)として、自由落下で計算してしまう。
  • 対策: 慣性の法則を思い出してください。物体は、直前までの運動状態を維持しようとします。糸が切れた瞬間、物体Aは気球と同じ上向きの速度\(v\)を持っています。この速度が鉛直投げ上げ運動の「初速度」となります。
• 浮力の大きさを状況変化後も同じと気づかない:
  • 誤解: 問(4)で、糸が切れた後の浮力\(F\)をどう求めたらよいか分からなくなる。
  • 対策: 浮力は \(F=\rho V g\) で決まります。糸が切れても気球の体積\(V\)や空気の密度\(\rho\)は変わらないので、浮力\(F\)の大きさは問(2)で求めた値のままです。力が変化するのは張力\(T\)だけである点を見抜くことが重要です。
• 気球の運動方程式で質量を\(M+m\)としてしまう:
  • 誤解: 問(4)で、糸が切れた後も気球の質量を\(M+m\)として運動方程式を立ててしまう。
  • 対策: 運動方程式 \(ma=F\) の\(m\)は、運動する「その物体」の質量です。糸が切れた後は、気球B（質量\(M\)）だけが運動の主体なので、運動方程式は \(M\alpha = F_{\text{合力}}\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\)):
  • 選定理由: 問(1), (2)で物体が「一定の速さ」で運動しているため。加速度がゼロの状態を記述する法則です。
  • 適用根拠: 「静止」または「等速直線運動」というキーワードが、この公式を選択する直接的なトリガーです。
• 浮力の公式 (\(F = \rho V g\)):
  • • 選定理由: 問(2)で「浮力」と「体積」の関係が問われているため。浮力の大きさを定義する基本公式です。
    • 適用根拠: 気球や水中物体など、流体から力を受ける状況で、その力の大きさを定量的に計算する必要がある場合に用います。
• 等加速度直線運動の公式 (\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\), \(v^2 – v_0^2 = 2as\)):
  • 選定理由: 問(3), (4)で、物体が「一定の力（合力）」を受けて運動するため、加速度が一定となるからです。
  • 適用根拠: 運動方程式を解いて加速度が定数であることが分かった後、その運動における変位、速度、時間の関係を調べるために用います。何を求めたいか（時間か、速度か）によって、適切な公式を選択します。
• 運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}}\)):
  • 選定理由: 問(4)で、糸が切れて力のつり合いが崩れ、気球が加速運動を始めるため。運動の変化（加速度）とその原因（力）を結びつける法則です。
  • 適用根拠: 物体にはたらく力の合力がゼロでない場合、その物体の運動状態を記述するために必須の法則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の一貫性:
  • 特に注意すべき点: 問(3)の鉛直投げ上げ運動では、初速度、変位、加速度の符号を正しく設定することが極めて重要です。例えば、上向きを正とした場合、初速度は\(+v\)、加速度は\(-g\)、地面への変位は\(-h\)となります。一つでも符号を間違えると、正しい答えは得られません。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、必ず図に座標軸の原点と正の向きを明記する習慣をつけましょう。
• 文字の代入ミス:
  • 特に注意すべき点: 問(2)で浮力\(F\)を求め、それを体積\(V\)の計算に使う、問(1)で張力\(T\)を求め、それを問(2)の浮力の計算に使うなど、前の設問の結果を次の設問で使う場面が多いです。値を正確に代入するように注意しましょう。
  • 日頃の練習: 複雑な文字式は、一度別の記号（例えば \(F_{\text{合力}}\) など）で置いておき、計算の最終段階で具体的な式を代入すると、見通しが良くなりミスが減ります。
• 2次方程式の解の吟味:
  • 特に注意すべき点: 問(3)では、時間\(t_0\)に関する2次方程式が出てきます。解の公式を使うと、通常2つの解（プラスとマイナス）が出てきます。
  • 日頃の練習: 計算して出てきた解をそのまま答えにせず、「時間は負の値を取り得ない」といった物理的な条件を考慮して、適切な解を選択する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 張力\(T\): \(T=mg\) は、物体Aの重さに等しい。これは直感的にも正しいです。
  • (2) 浮力\(F\): \(F=(M+m)g\) は、気球と物体を合わせた全体の重さに等しい。全体が等速運動しているのだから、全体の重力と浮力がつりあうのは妥当です。体積 \(V\) の式も、全体の質量を空気密度で割る形になっているか。
  • (3) 時間\(t_0\): もし初速\(v=0\)なら、\(t_0 = \sqrt{2gh}/g = \sqrt{2h/g}\) となり、これは高さ\(h\)からの自由落下の時間と一致します。もし\(h=0\)なら、\(t_0 = (v+v)/g = 2v/g\) となり、投げ上げた物体が元の位置に戻るまでの時間と一致します。このように、既知の状況を代入して確認できます。
  • (4) 速さ\(v_1\): \(v_1 = \sqrt{v^2 + \frac{2mgh}{M}}\) は、\(v\)より必ず大きくなります (\(v_1 > v\))。おもりが外れて軽くなったのだから、加速するのは当然です。もしおもりの質量\(m=0\)なら、\(v_1 = \sqrt{v^2} = v\) となり、何も変わらないので等速運動を続けることになり、これも正しいです。
• 単位・次元の確認:
  • 全ての問いで、求められた物理量の単位（次元）が正しいかを確認します。例えば、問(3)の\(t_0\)の式で、分子の\(v\)は速度(\(L/T\))、\(\sqrt{v^2+2gh}\)も根号の中が速度の2乗(\(L^2/T^2\))なので、全体として速度の次元を持ちます。これを\(g\)(\(L/T^2\))で割るので、最終的に\(T\)（時間）の次元となり、正しいことが分かります。

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問題18 (岐阜大 + 東京大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、傾斜面上を滑り降りる物体の運動に、動摩擦力だけでなく速度に比例する空気抵抗力が働く状況を扱っています。まず一般的な運動方程式を立て、次に物体が等速度運動（終端速度）に達する条件を考えます。後半では、具体的な数値と実験データ（v-tグラフ）を用いて、動摩擦係数と空気抵抗の係数を決定します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【注記】本問については、模範解答のアプローチが最も標準的かつ効率的であるため、別解の提示は省略します。
この問題のテーマは「速度に比例する抵抗力を受ける物体の運動」です。物体にはたらく全ての力（重力、垂直抗力、動摩擦力、空気抵抗力）を正確に把握し、運動方程式を立てることが基本です。また、等速度運動（終端速度）の状態や、v-tグラフから物理量を読み取る能力も問われます。

問(1)