問題146 (千葉大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（位置エネルギーの導出）
- 模範解答は公式 \(U=qV\) を用いていますが、別解1ではクーロン力 \(F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\) を無限遠から距離 \(r\) まで積分することで、位置エネルギーの式を原理的に導出します。
- 設問(6)の別解2: リュードベリ定数を用いた解法
- 模範解答はエネルギー準位の差から直接波長を計算していますが、別解2では水素原子のスペクトル公式 \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)\) を導出し、リュードベリ定数 \(R\) を計算してから波長を求める、より分光学的で一般的なアプローチをとります。
- 設問(2)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（位置エネルギーの導出）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「位置エネルギーとは保存力に逆らってする仕事である」という定義に立ち返ることで、公式の成り立ちを深く理解できます。
- リュードベリ定数の解法: ボーア模型がバルマー系列などの実験事実をどのように説明したかという歴史的・物理的背景への理解を深め、応用力を高めます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「ボーアの水素原子模型」です。古典物理学（円運動、クーロン力）と量子論（ド・ブロイ波、量子条件）を融合させ、原子の安定性や発光スペクトルを説明する歴史的に重要なモデルです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 円運動の運動方程式: 向心力としてクーロン力が働きます。
- クーロンの法則: 電荷 \(q_1, q_2\) 間の力は \(F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\) です。
- 静電気力による位置エネルギー: 無限遠を基準とすると \(U = k\frac{q_1 q_2}{r}\) です。
- 量子条件（ボーアの量子化条件）: 円周の長さが電子波の波長の整数倍になるとき、定常状態となります（\(2\pi r = n\lambda\)）。
- 振動数条件: エネルギー準位間の遷移に伴い、エネルギー差に相当する光子（\(h\nu = E_n – E_{n’}\)）が放出または吸収されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、古典的な円運動の運動方程式を立てます。
- (2)では、運動エネルギーと位置エネルギーの和として全エネルギーを表します。
- (3)では、ド・ブロイ波長の式を用いて量子条件を立式します。
- (4)(5)では、(1)と(3)の式を連立させて、軌道半径 \(r_n\) とエネルギー \(E_n\) を量子数 \(n\) の関数として導出します。
- (6)では、エネルギー準位間の遷移による光の波長を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
電子は原子核の周りを等速円運動しています。
円運動には中心向きの力（向心力）が必要です。この向心力の役割を果たしているのが、正の原子核と負の電子の間に働く静電気力（クーロン力）です。
この設問における重要なポイント
- 向心力の正体: 質量 \(m\)、速さ \(v\)、半径 \(r\) の円運動に必要な向心力は \(m\frac{v^2}{r}\) です。
- クーロン力の大きさ: 電気量 \(+e\) と \(-e\) の間の引力は \(k\frac{e^2}{r^2}\) です。
具体的な解説と立式
電子（質量 \(m\)）の円運動の運動方程式を立てます。
半径方向（中心向きを正）について考えます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{v^2}{r} &= k \frac{e^2}{r^2} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(ma = F\) （\(a = \frac{v^2}{r}\)）
- クーロンの法則: \(F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\)
立式そのものが解答となります。
電子が原子核の周りをグルグル回るためには、内側に引っ張る力が必要です。
その力は、プラスの電気とマイナスの電気が引き合う力（クーロン力）です。
「遠心力とクーロン力がつり合っている」と考えても同じ式になりますが、物理的には「クーロン力が向心力となって円運動させている」と考えるのが正確です。
両辺の次元を確認すると、力 \([\text{N}]\) の次元で一致しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
電子の全エネルギー \(E\) は、運動エネルギー \(K\) と位置エネルギー \(U\) の和です。
位置エネルギーの基準点は無限遠とされています。
この設問における重要なポイント
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\) です。
- 位置エネルギー: 無限遠基準での点電荷 \(Q\) による距離 \(r\) の電位は \(V = k\frac{Q}{r}\) です。電子の電荷は \(-e\) なので、位置エネルギーは \(U = (-e)V\) となります。
- ビリアル定理的な関係: 円運動の運動方程式①を用いると、運動エネルギーを位置エネルギーの項で書き換えることができます。
具体的な解説と立式
全エネルギー \(E\) は運動エネルギーと位置エネルギーの和です。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2}mv^2 + k \frac{(+e)(-e)}{r}
\end{aligned}
$$
ここで、問(1)の式① \(m\frac{v^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}\) の両辺に \(\frac{r}{2}\) を掛けて、運動エネルギーの項を作ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}
\end{aligned}
$$
これを全エネルギーの式に代入して整理します。
使用した物理公式
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
- 静電気力による位置エネルギー: \(U = k\frac{q_1 q_2}{r}\)
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r} – k \frac{e^2}{r} \\[2.0ex]
&= – \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r} \\[2.0ex]
&= – \frac{ke^2}{2r}
\end{aligned}
$$
電子は運動しているので「運動エネルギー（プラス）」を持っていますが、原子核に束縛されているため「位置エネルギー（マイナス）」も持っています。
円運動の条件を使うと、運動エネルギーの大きさは位置エネルギーの大きさのちょうど半分であることが分かります。
これらを合計すると、全体としてはマイナスのエネルギーになります。これは、電子が原子核から逃げ出すにはエネルギーをもらう必要がある（束縛されている）ことを意味します。
エネルギーが負になることは、束縛状態であることを示しており妥当です。
思考の道筋とポイント
位置エネルギーの公式 \(U = k\frac{q_1 q_2}{r}\) を暗記していなくても、クーロン力（保存力）の定義から積分計算によって導出できます。
位置エネルギーの定義は「基準点（無限遠）からその点まで、外力がゆっくりと運ぶのに必要な仕事」あるいは「保存力に逆らってする仕事」です。
この設問における重要なポイント
- 仕事の定義: 仕事 \(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\) です。
- 外力とクーロン力: 電子を無限遠から距離 \(r\) まで運ぶとき、外力はクーロン力（引力）とつり合うように、反対向き（外向き）に加える必要があります。
具体的な解説と立式
原子核（原点）に電荷 \(+e\) があり、\(x\) 軸上の位置 \(x\) にある電子（電荷 \(-e\)）に働くクーロン力 \(F_C\) は、引力（負の向き）なので以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F_C &= – k \frac{e^2}{x^2}
\end{aligned}
$$
電子を無限遠（\(\infty\)）から距離 \(r\) までゆっくり運ぶために必要な外力 \(F_{\text{外}}\) は、クーロン力とつり合う力なので、正の向きに以下の大きさです。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{外}} &= – F_C = k \frac{e^2}{x^2}
\end{aligned}
$$
位置エネルギー \(U(r)\) は、この外力がする仕事に等しいです。
$$
\begin{aligned}
U(r) &= \int_{\infty}^{r} F_{\text{外}} \, dx \\[2.0ex]
&= \int_{\infty}^{r} k \frac{e^2}{x^2} \, dx
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 仕事の積分定義: \(W = \int F dx\)
- 積分の公式: \(\int x^{-2} dx = -x^{-1}\)
$$
\begin{aligned}
U(r) &= k e^2 \int_{\infty}^{r} x^{-2} \, dx \\[2.0ex]
&= k e^2 \left[ – \frac{1}{x} \right]_{\infty}^{r} \\[2.0ex]
&= k e^2 \left( – \frac{1}{r} – \left( – \frac{1}{\infty} \right) \right) \\[2.0ex]
&= – \frac{ke^2}{r}
\end{aligned}
$$
これにより、位置エネルギーの項が導かれました。あとはメイン解法と同様に運動エネルギーと足し合わせます。
プラスとマイナスは引き合うので、放っておくと勝手に近づいていきます。
逆に、無限に遠いところへ引き離すには仕事をしなければなりません。
「無限遠でエネルギーゼロ」と決めると、近づくにつれてエネルギーは借金のようにマイナスになっていきます。そのマイナスの深さを、力の積分で計算しました。
公式通りの結果が得られました。
問(3)
思考の道筋とポイント
ボーアの量子条件を数式にします。
電子が波として振る舞うとき、円軌道上で波がつながって定常波を作る条件です。
「円周の長さ」が「波長の整数倍」であれば、波は消えずに安定して存在できます。
この設問における重要なポイント
- ド・ブロイ波長: 電子の運動量を \(mv\) とすると、波長は \(\lambda = \frac{h}{mv}\) です。
- 円周の長さ: 半径 \(r\) の円周は \(2\pi r\) です。
具体的な解説と立式
円周の長さ \(2\pi r\) が、電子波の波長 \(\lambda\) の整数倍（\(n\)倍）になる条件を考えます。
$$
\begin{aligned}
2\pi r &= n \lambda
\end{aligned}
$$
ここで、\(\lambda = \frac{h}{mv}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2\pi r &= n \frac{h}{mv}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 円周の公式: \(L = 2\pi r\)
- ド・ブロイ波長: \(\lambda = \frac{h}{mv}\)
立式そのものが解答となります。
電子は粒ですが、波の性質も持っています。
円形のレールの上を波が走っていると想像してください。一周して戻ってきたときに、波の山と山がぴったり重ならないと、波は打ち消し合って消えてしまいます。
波が生き残るためには、レールの長さがちょうど波長の整数倍でなければなりません。これが、電子が特定の軌道しか回れない理由です。
\(n=1, 2, 3…\) という飛び飛びの値（量子数）が登場し、古典力学とは異なる量子論的な条件式となっています。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(1)の運動方程式と、問(3)の量子条件を連立させて、\(v\) を消去し、\(r\) について解きます。
これにより、許される軌道半径 \(r_n\) が飛び飛びの値になることが示されます。
この設問における重要なポイント
- 連立方程式の解法: 量子条件を \(v = \dots\) の形にして運動方程式に代入するのが定石です。
具体的な解説と立式
問(3)の式より、\(v\) を表します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{nh}{2\pi m r} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
これを問(1)の運動方程式① \(m\frac{v^2}{r} = k\frac{e^2}{r^2}\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{1}{r} \left( \frac{nh}{2\pi m r} \right)^2 &= k \frac{e^2}{r^2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし（代数計算）
左辺を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{m}{r} \cdot \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} &= \frac{ke^2}{r^2} \\[2.0ex]
\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} &= \frac{ke^2}{r^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(r^3\) を掛けて \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m} &= ke^2 r \\[2.0ex]
r &= \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 k m e^2}
\end{aligned}
$$
これを \(r_n\) とします。
「力のつりあい（運動方程式）」と「波のつながり（量子条件）」の両方を満たすような半径 \(r\) は、どんな値でも良いわけではありません。
計算してみると、\(r\) は \(n^2\) に比例する特定の値しか取れないことが分かります。これが原子の「殻」のような構造に対応しています。
\(r_n \propto n^2\) となっており、\(n\) が大きくなると軌道は外側に広がります。次元を確認すると長さの次元になっています。
問(5)
思考の道筋とポイント
問(2)で求めた全エネルギーの式 \(E = -\frac{ke^2}{2r}\) に、問(4)で求めた \(r_n\) を代入します。
これにより、エネルギー準位 \(E_n\) も飛び飛びの値になることが示されます。
この設問における重要なポイント
- 代入計算: 分母に分数が来るので、逆数を掛ける形になります。
具体的な解説と立式
エネルギーの式に \(r_n\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_n &= – \frac{ke^2}{2 r_n} \\[2.0ex]
&= – \frac{ke^2}{2} \cdot \frac{1}{r_n}
\end{aligned}
$$
これに \(r_n = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 k m e^2}\) を代入します。
使用した物理公式
- 特になし（代数計算）
$$
\begin{aligned}
E_n &= – \frac{ke^2}{2} \cdot \frac{4\pi^2 k m e^2}{n^2 h^2} \\[2.0ex]
&= – \frac{2\pi^2 k^2 m e^4}{n^2 h^2}
\end{aligned}
$$
軌道半径が決まっているので、その軌道にいる電子のエネルギーも決まった値になります。
計算結果を見ると、エネルギーは \(n^2\) に反比例してゼロに近づいていきます（マイナスの値なので、\(n\) が増えるとエネルギーは高くなります）。
これが「エネルギー準位」と呼ばれるもので、原子の中の電子は階段状のエネルギーしか持てないことを意味します。
\(E_n \propto -\frac{1}{n^2}\) です。\(n=1\) が最もエネルギーが低く（基底状態）、\(n \to \infty\) で \(E \to 0\)（イオン化状態）となります。
問(6)
思考の道筋とポイント
\(n=3\) の状態から \(n=2\) の状態へ遷移するとき、失ったエネルギーの分だけ光（光子）が放出されます。
このエネルギー差 \(\Delta E\) と光の波長 \(\lambda\) の関係式（振動数条件）を用いて計算します。
\(n=1\) のエネルギー \(E_1 = -13.6\,\text{eV}\) が与えられているので、\(E_n = \frac{E_1}{n^2}\) の関係を利用すると計算が楽になります。
この設問における重要なポイント
- 振動数条件: \(h\nu = h\frac{c}{\lambda} = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\)
- エネルギー準位の比例関係: \(E_n \propto \frac{1}{n^2}\) なので、\(E_n = \frac{E_1}{n^2}\) と書けます。
- 単位換算: \(1\,\text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}\) を用いて、ジュール単位に直してから波長を計算します。
具体的な解説と立式
放出される光子のエネルギー \(h\frac{c}{\lambda}\) は、準位間のエネルギー差に等しいです。
$$
\begin{aligned}
h \frac{c}{\lambda} &= E_3 – E_2
\end{aligned}
$$
ここで、\(E_n = \frac{E_1}{n^2}\) （\(E_1 = -13.6\,\text{eV}\)）を用います。
$$
\begin{aligned}
E_3 &= \frac{E_1}{3^2} = \frac{E_1}{9} \\[2.0ex]
E_2 &= \frac{E_1}{2^2} = \frac{E_1}{4}
\end{aligned}
$$
エネルギー差を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_3 – E_2 &= \frac{E_1}{9} – \frac{E_1}{4} \\[2.0ex]
&= E_1 \left( \frac{4 – 9}{36} \right) \\[2.0ex]
&= – \frac{5}{36} E_1
\end{aligned}
$$
\(E_1\) は負の値なので、全体としては正の値になります。
これを波長の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda} &= – \frac{5}{36} E_1 \\[2.0ex]
\lambda &= – \frac{36 hc}{5 E_1}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- 振動数条件: \(\frac{hc}{\lambda} = E_3 – E_2\)
数値を代入します。\(E_1 = -13.6\,\text{eV} = -13.6 \times 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= – \frac{36 \times (6.63 \times 10^{-34}) \times (3.00 \times 10^8)}{5 \times (-13.6 \times 1.60 \times 10^{-19})} \\[2.0ex]
&= \frac{36 \times 6.63 \times 3.00}{5 \times 13.6 \times 1.60} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-19}} \\[2.0ex]
&= \frac{716.04}{108.8} \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&\approx 6.581 \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
電子が3階（\(n=3\)）から2階（\(n=2\)）へ飛び降りるとき、余ったエネルギーを光として吐き出します。
そのエネルギーの大きさから光の色（波長）が決まります。
計算すると、約 \(6.6 \times 10^{-7}\,\text{m}\)（660 nm）となり、これは赤い光に対応します。
可視光領域（400〜700 nm）に含まれる波長であり、バルマー系列のH\(\alpha\)線（赤色）として知られる有名なスペクトル線と一致します。
思考の道筋とポイント
エネルギー準位の式から、波長の逆数（波数）を表す公式（リュードベリの公式）を導き、定数部分（リュードベリ定数 \(R\)）を先に計算してから波長を求めます。
この方法は、複数のスペクトル線を計算する場合などに効率的です。
この設問における重要なポイント
- リュードベリの公式: \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)\)
- リュードベリ定数: \(R = \frac{2\pi^2 k^2 m e^4}{ch^3}\) （理論値）
具体的な解説と立式
振動数条件 \(\frac{hc}{\lambda} = E_n – E_{n’}\) （\(n > n’\)）に、問(5)の \(E_n\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda} &= \left( – \frac{A}{n^2} \right) – \left( – \frac{A}{n’^2} \right) \quad (A = \frac{2\pi^2 k^2 m e^4}{h^2}) \\[2.0ex]
&= A \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)
\end{aligned}
$$
両辺を \(hc\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda} &= \frac{A}{hc} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right) \\[2.0ex]
&= R \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(R = \frac{-E_1}{hc}\) です。
\(E_1 = -13.6\,\text{eV}\) を用いて \(R\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{13.6 \times 1.60 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8} \\[2.0ex]
&\approx 1.09 \times 10^7\,\text{m}^{-1}
\end{aligned}
$$
これを用いて、\(n=3 \to n’=2\) の波長を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda} &= 1.09 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{3^2} \right) \\[2.0ex]
&= 1.09 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{9} \right) \\[2.0ex]
&= 1.09 \times 10^7 \times \frac{5}{36}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- リュードベリの公式: \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{n^2} \right)\) （バルマー系列）
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{36}{5 \times 1.09 \times 10^7} \\[2.0ex]
&= \frac{7.2}{1.09} \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&\approx 6.60 \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で \(6.6 \times 10^{-7}\,\text{m}\) となります。
水素原子が出す光の波長には、簡単な規則性があることが昔から知られていました（リュードベリの公式）。
ボーアの理論は、この定数 \(R\) を物理定数（\(e, m, h\) など）から理論的に導き出し、実験値とピタリと一致させたことで正しいと認められました。
この別解では、その歴史的な手順をなぞって計算しました。
メイン解法と同じ結果が得られました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 古典論と量子論の融合（ボーア模型の構造）
- 核心: ボーア模型は、「力学的な円運動（古典論）」と「ド・ブロイ波の干渉（量子論）」という、本来相容れない2つの概念を「量子条件」で無理やり繋ぎ合わせた半古典的なモデルです。
- 理解のポイント:
- 運動方程式: \(mv^2/r = ke^2/r^2\) （力がつり合って回る）
- 量子条件: \(2\pi r = n\lambda\) （波がつながって安定する）
- この2式を連立することで、連続的だった \(r\) や \(E\) が離散的（飛び飛び）になるという流れを完璧に押さえましょう。
- エネルギー準位とスペクトル
- 核心: 電子は特定のエネルギー \(E_n\) しか持てず、その間を移動（遷移）するときに、差額分のエネルギーを光としてやり取りします。
- 理解のポイント: \(E_n \propto -1/n^2\) という形は極めて重要です。\(n\) が増えると間隔が狭まりながら \(0\) に近づく様子をイメージできるようにしましょう。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 水素様イオン（\(\text{He}^+, \text{Li}^{2+}\)）: 原子核の電荷が \(+Ze\) に変わるだけです。クーロン力が \(Z\) 倍になり、エネルギーは \(Z^2\) 倍になります。式の \(e^2\) を \(Ze^2\) に置き換えるだけで対応できます。
- 重力によるボーア模型: 「重力で円運動する粒子が量子化されたら？」という思考実験問題。クーロン定数 \(k\) を万有引力定数 \(G\)、電荷積 \(e^2\) を質量積 \(Mm\) に置き換えるだけで解けます。
- 初見の問題での着眼点:
- 力の法則を確認: 何の力で円運動しているか？（クーロン力、ローレンツ力、重力など）
- 量子化の条件を確認: 通常は \(2\pi r = nh/mv\) ですが、問題によっては「角運動量が \(\hbar\) の整数倍」のように別の表現で与えられることもあります（物理的には同じ意味です）。
- エネルギーの基準: 位置エネルギーの基準が無限遠か、それとも別の場所かを確認します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 位置エネルギーの符号ミス:
- 誤解: \(U = k\frac{e^2}{r}\) と正の値にしてしまう。
- 対策: 引力の場合は必ず負（束縛状態）、斥力の場合は正です。異符号の電荷ならマイナス、と同符号ならプラス、と覚えましょう。
- エネルギー準位の計算ミス:
- 誤解: \(E_3 – E_2\) を計算するとき、\(\frac{1}{3^2} – \frac{1}{2^2}\) なのか \(\frac{1}{2^2} – \frac{1}{3^2}\) なのか混乱して符号を間違える。
- 対策: 「高いところから低いところへ落ちるときに光が出る」ので、エネルギー差は正になるはずです。計算結果が負になったら、絶対値をとれば波長になります（波長にマイナスはない）。
- 単位の混同:
- 誤解: \(\text{eV}\) のまま \(hc/\lambda\) の計算をしてしまう。
- 対策: 公式 \(E=h\nu\) や \(E=hc/\lambda\) を使うときは、必ずジュール \([\text{J}]\) に換算します。\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) は必須知識です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（運動方程式）:
- 選定理由: 円運動のダイナミクスを記述する唯一の基本法則だからです。
- 適用根拠: 電子は慣性系に対して加速度運動（円運動）をしており、その原因はクーロン力のみであるため、\(ma=F\) が成立します。
- 問(6)でのアプローチ（比例関係の利用）:
- 選定理由: \(E_n\) の複雑な式（\(m, e, h, k\) の塊）に毎回数値を代入するのは計算ミスの元です。
- 適用根拠: \(E_n\) の式において、\(n\) 以外の部分は全て定数であり、それが \(E_1\) に等しいことが分かっているため、\(E_n = E_1/n^2\) を使うのが最も賢い方法です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま最後まで進める:
- 問(4)(5)のように、複雑な定数の塊が出てくる問題では、途中で数値を代入してはいけません。最後まで文字式で整理し、約分できるものを消してから、最後に数値を代入します。
- 分数の引き算の通分:
- \(\frac{1}{4} – \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}\) のような計算は、暗算せず丁寧に書きましょう。ここでのミスが命取りになります。
問題147 (金沢大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)(2)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（保存則の導出）
- 模範解答は運動量保存則とエネルギー保存則を公式として適用していますが、別解1では運動方程式 \(M\frac{dV}{dt} = F\) を出発点とし、これを時間積分および空間積分することで、光子吸収時の力積と仕事の関係から保存則を原理的に導出します。
- 設問(2)の別解2: 重心系（相対論的視点）を用いた解法
- 模範解答は実験室系（静止系）でエネルギー保存則を立てていますが、別解2では重心系（原子と共に動く座標系）を意識し、光子のエネルギーが原子の内部エネルギー（励起エネルギー）と運動エネルギーに分配される様子を相対論的な質量欠損の視点も含めて考察します（高校物理の範囲内で近似的に扱います）。
- 設問(1)(2)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（保存則の導出）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「光子が力を及ぼす」という微視的な相互作用を、巨視的な保存則へと繋げる論理的プロセスを理解できます。
- 重心系の解法: 原子の反跳（リコイル）によるエネルギー損失がなぜ生じるのか、その物理的背景を深く理解できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「光子の吸収に伴う原子の反跳（リコイル）」です。通常は無視されることが多い「光子吸収時の原子の運動エネルギー変化」を考慮し、厳密な保存則を適用する点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子の運動量とエネルギー: 振動数 \(\nu\) の光子は、エネルギー \(E = h\nu\)、運動量 \(p = \frac{h\nu}{c}\) を持ちます。
- 運動量保存則: 光子と原子の系には外力が働かないため、衝突（吸収）前後で全運動量が保存されます。
- エネルギー保存則: 光子のエネルギーは、原子の内部エネルギー（準位の上昇）と、原子全体の運動エネルギーに分配されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、光子の運動量が原子の運動量に受け渡される過程を運動量保存則で記述します。
- (2)では、光子のエネルギーがどのように使われたかをエネルギー保存則で記述します。
問(1)
思考の道筋とポイント
光子（運動量 \(p = h\nu/c\)）が静止している水素原子（質量 \(M\)）に衝突し、吸収されます。
吸収後、原子は速さ \(V\) で動き出します。
この過程で外力は働かないため、運動量保存則が成立します。
この設問における重要なポイント
- 光子の運動量: \(p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c}\) です。
- 原子の運動量: 吸収後は \(MV\) です。
具体的な解説と立式
衝突前の全運動量は、光子の運動量のみです。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{前}} &= \frac{h\nu}{c}
\end{aligned}
$$
衝突後の全運動量は、運動を始めた原子の運動量です。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{後}} &= MV
\end{aligned}
$$
運動量保存則 \(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\) より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{h\nu}{c} &= MV
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子の運動量: \(p = \frac{h\nu}{c}\)
- 運動量保存則: \(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\)
立式そのものが解答となります。
光の粒（光子）が原子にぶつかって吸収されました。
光子は勢い（運動量）を持っているので、それを吸収した原子は、その勢いをそのまま受け継いで動き出します。
「光の勢い」＝「動き出した原子の勢い」という式です。
次元を確認すると、左辺は \([\text{J}\cdot\text{s} \cdot \text{s}^{-1} / (\text{m}\cdot\text{s}^{-1})] = [\text{J}\cdot\text{s}/\text{m}] = [\text{N}\cdot\text{s}]\) （運動量の次元）、右辺も \([\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}] = [\text{N}\cdot\text{s}]\) で一致しています。
思考の道筋とポイント
運動量保存則を公式として使うのではなく、原子が光子から受ける力 \(F(t)\) を考え、運動方程式から導出します。
光子の吸収にかかる時間を \(\Delta t\) とし、その間に原子には力が働くと仮定します。
この設問における重要なポイント
- 力積と運動量: 運動方程式を時間積分すると、力積が運動量の変化に等しいことが示されます。
- 作用・反作用: 光子が消滅する（運動量を失う）際、原子にはその分だけの力が働きます。
具体的な解説と立式
原子の運動方程式を立てます。光子から受ける力を \(F(t)\) とします。
$$
\begin{aligned}
M \frac{dV}{dt} &= F(t)
\end{aligned}
$$
これを吸収が始まってから終わるまでの時間（\(0\) から \(\Delta t\)）で積分します。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\Delta t} M \frac{dV}{dt} dt &= \int_{0}^{\Delta t} F(t) dt
\end{aligned}
$$
左辺は運動量の変化 \(MV – 0\) です。
右辺は原子が受けた力積です。作用・反作用の法則より、これは光子が失った運動量に等しいはずです。
光子の運動量は \(h\nu/c\) から \(0\) になったので、失った運動量は \(h\nu/c\) です。
したがって、
$$
\begin{aligned}
MV &= \frac{h\nu}{c}
\end{aligned}
$$
となり、運動量保存則が導かれます。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(F = ma\)
- 力積の原理: \(\int F dt = \Delta p\)
（導出過程に含まれます）
「保存則」というルールを天下り的に使うのではなく、「力が働いて加速した」という因果関係から考えました。
光子がぶつかって消えるまでの短い間に、原子をグッと押した（力積を与えた）と考えれば、原子が動き出すのも当然です。
メイン解法と同じ結果が得られました。
問(2)
思考の道筋とポイント
エネルギー保存則を立てます。
衝突前は「光子のエネルギー」と「原子の内部エネルギー \(E_1\)」があります。
衝突後は「原子の内部エネルギー \(E_2\)」と「原子の運動エネルギー」があります。
この設問における重要なポイント
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu\) です。
- 原子のエネルギー: 内部エネルギー（電子の準位）と、重心の運動エネルギーの和として表されます。
- 運動エネルギー: 質量 \(M\)、速さ \(V\) なので \(\frac{1}{2}MV^2\) です。
具体的な解説と立式
衝突前の全エネルギー \(E_{\text{前}}\) は、光子のエネルギーと原子の基底状態のエネルギーの和です。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{前}} &= h\nu + E_1
\end{aligned}
$$
衝突後の全エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、励起状態の原子のエネルギーと、原子全体の運動エネルギーの和です。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{後}} &= E_2 + \frac{1}{2}MV^2
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則 \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\) より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
h\nu + E_1 &= E_2 + \frac{1}{2}MV^2
\end{aligned}
$$
これを整理して、\(h\nu = \dots\) の形にするのが一般的です（模範解答に合わせます）。
$$
\begin{aligned}
h\nu &= E_2 – E_1 + \frac{1}{2}MV^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu\)
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}MV^2\)
- エネルギー保存則: \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)
立式そのものが解答となります。
入ってきた光のエネルギーは、2つのことに使われました。
1つは、原子の中の電子を高いレベルに持ち上げる（\(E_1 \to E_2\)）こと。
もう1つは、原子全体をドンと押して動かす（運動エネルギーを与える）こと。
「入ってきた分」＝「使われた分」という式です。
通常の問題では、原子が重すぎてほとんど動かないため、運動エネルギーの項 \(\frac{1}{2}MV^2\) は無視されますが、この問題ではそれを厳密に扱っています。
式変形すると \(h\nu – (E_2 – E_1) = \frac{1}{2}MV^2 > 0\) となり、光子のエネルギー \(h\nu\) は、単純な準位差 \(E_2 – E_1\) よりもわずかに大きくなければならないことが分かります。これは反跳によるエネルギー損失を補う必要があるためで、物理的に妥当です。
思考の道筋とポイント
運動方程式を空間積分（距離で積分）することで、仕事とエネルギーの関係を導きます。
光子が原子に対してした仕事が、原子の運動エネルギーの増加分となります。
この設問における重要なポイント
- 仕事と運動エネルギー: \(\int F dx = \Delta K\)
- エネルギー収支: 光子のエネルギー \(h\nu\) のうち、内部エネルギー上昇に使われなかった分が、仕事として運動エネルギーに変換されたと考えます。
具体的な解説と立式
原子の運動方程式 \(M\frac{dV}{dt} = F\) の両辺に速度 \(V = \frac{dx}{dt}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
M V \frac{dV}{dt} &= F \frac{dx}{dt}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}MV^2 \right) &= F \frac{dx}{dt}
\end{aligned}
$$
これを時間積分します。
$$
\begin{aligned}
\int \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}MV^2 \right) dt &= \int F dx
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}MV^2 – 0 &= W \quad (\text{された仕事})
\end{aligned}
$$
ここで、光子の全エネルギー \(h\nu\) は、「内部エネルギーを増やす仕事 \(E_2 – E_1\)」と「原子全体を加速する仕事 \(W\)」の合計に等しいはずです。
$$
\begin{aligned}
h\nu &= (E_2 – E_1) + W
\end{aligned}
$$
これに \(W = \frac{1}{2}MV^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
h\nu &= E_2 – E_1 + \frac{1}{2}MV^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式の空間積分: \(\int ma dx = \frac{1}{2}mv^2\)
（導出過程に含まれます）
力が物体を動かすと、その分だけエネルギーが移動します。
光子が原子を押して動かした分だけ、原子は運動エネルギーを得ました。
残りのエネルギーはどこへ行ったかというと、原子の中の電子を高い位置に持ち上げるのに使われました。
エネルギーの使い道を内訳として書き出したのがこの式です。
メイン解法と同じ結果が得られました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光子の運動量とエネルギーの保存則
- 核心: 光子は質量ゼロですが、エネルギー \(E=h\nu\) と運動量 \(p=h\nu/c\) を持ちます。原子による光子の吸収・放出は、光子と原子の「衝突」として扱われ、力学的な保存則（運動量・エネルギー）が厳密に成立します。
- 理解のポイント:
- 運動量保存: 光子が消滅しても、その運動量は原子に移り、原子全体が反跳（リコイル）します。
- エネルギー保存: 光子のエネルギーは、原子の内部状態の励起（\(E_1 \to E_2\)）だけでなく、原子全体の運動エネルギー（\(\frac{1}{2}MV^2\)）にも分配されます。
- 反跳エネルギー（リコイルエネルギー）の影響
- 核心: 通常の問題では原子質量 \(M\) が大きいため反跳エネルギー \(\frac{1}{2}MV^2\) は無視されますが、本問のように厳密に扱う場合、吸収に必要な光子のエネルギー \(h\nu\) は、準位差 \(E_2 – E_1\) よりもわずかに大きくなります。
- 理解のポイント: 「エネルギー準位差ちょうど」の光では、反跳によるロスがあるため励起できません。少し余分にエネルギーを持った光が必要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 原子核のガンマ線放出（メスバウアー効果）: 原子核がガンマ線を放出する際も同様に反跳が起き、エネルギーが目減りします。結晶中に埋め込んで反跳をなくすのがメスバウアー効果です。
- コンプトン効果: 電子と光子の弾性衝突。本問は「完全非弾性衝突（合体）」と見なせますが、保存則を立てる手順は全く同じです。
- 光圧（放射圧）: 光が反射・吸収される際に物体に与える力。運動量変化 \(\Delta p\) を時間で割れば力 \(F\) になります。
- 初見の問題での着眼点:
- 「静止していた」か確認: 初速度がゼロなら \(P_{\text{前}} = h\nu/c\) ですが、動いている原子が吸収する場合は \(P_{\text{前}} = MV_0 + h\nu/c\) となります。
- 近似の指示を探す: 「原子の運動エネルギーは無視できる」とあれば \(h\nu = E_2 – E_1\) でOKですが、本問のように \(V\) を求めさせる場合は厳密解が必要です。
- 相対論的効果の有無: 通常は \(V \ll c\) なので \(K = \frac{1}{2}MV^2\) で良いですが、超高速の場合は \(E = \sqrt{(Mc^2)^2 + (pc)^2}\) が必要になることもあります（高校物理では稀）。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量とエネルギーの混同:
- 誤解: 運動量保存則の式に \(h\nu\) （エネルギー）を書いてしまったり、エネルギー保存則に \(h\nu/c\) （運動量）を書いてしまう。
- 対策: 運動量は「ベクトル（向きあり）」で単位は \([\text{N}\cdot\text{s}]\)、エネルギーは「スカラー（向きなし）」で単位は \([\text{J}]\) です。式の次元を必ず確認しましょう。
- 符号のミス:
- 誤解: 光子が放出される場合（原子が逆向きに動く場合）、運動量保存則の符号を間違える。
- 対策: 図を描いて、右向きを正と決めたら、左向きの運動量はマイナスをつけることを徹底します。
- 近似の適用ミス:
- 誤解: \(h\nu = E_2 – E_1\) という「いつもの式」を無条件に使ってしまう。
- 対策: 問題文に \(V\) や \(M\) が与えられているときは、「反跳を考慮せよ」というサインです。必ず保存則から立式し直しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（運動量保存則）:
- 選定理由: 系（光子＋原子）に外力が働いていないため、運動量の総和は保存されるという力学の根本原理に基づきます。
- 適用根拠: 衝突現象において最も信頼できる法則です。
- 問(2)での公式選択（エネルギー保存則）:
- 選定理由: エネルギーの形態が変わる（光エネルギー \(\to\) 内部エネルギー ＋ 運動エネルギー）現象では、総量が保存されることを利用するのが定石です。
- 適用根拠: 熱の発生などがなく、エネルギー散逸がない孤立系であるため成立します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元チェック（ディメンションチェック）:
- \(h\nu/c = MV\) の式で、左辺を \(E/c\) と見れば \([\text{J}]/[\text{m/s}] = [\text{N}\cdot\text{m}]/[\text{m/s}] = [\text{N}\cdot\text{s}]\) となり、運動量の次元であることが確認できます。
- 極限の確認:
- もし \(M \to \infty\) （原子が無限に重い）なら？ \(\rightarrow\) \(V \to 0\) となり、運動エネルギー項 \(\frac{1}{2}MV^2 \approx \frac{1}{2M}(h\nu/c)^2 \to 0\) となります。このとき \(h\nu = E_2 – E_1\) となり、ボーアの振動数条件に一致します。この整合性は正しい立式の証拠です。
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問題148 (岡山大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（エネルギー保存則の導出）
- 模範解答はエネルギー保存則 \(eV = h\nu_{\text{max}}\) を公式として適用していますが、別解1では運動方程式 \(m\frac{dv}{dt} = eE\) を空間積分することで、電場による仕事が運動エネルギーに変換される過程を原理的に導出します。
- 設問(4)の別解2: 幾何学的作図による経路差の導出
- 模範解答はブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を既知としていますが、別解2では結晶格子面での反射を作図し、直角三角形の幾何学的性質から経路差 \(2d\sin\theta\) を導出するプロセスを解説します。
- 設問(1)の別解1: 微積分を用いた体系的解法（エネルギー保存則の導出）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「電圧 \(V\) で加速される」という現象が、力学的な仕事の結果であることを数式で確認でき、エネルギー保存則の物理的背景を深く理解できます。
- 幾何学的導出: 公式を忘れても図から自力で導けるようになり、応用問題（反射角が変わる場合など）への対応力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「X線の発生原理と結晶による回折（ブラッグ反射）」です。
X線管における電子の加速と衝突によるX線発生（連続X線・特性X線）のメカニズム、および発生したX線の波動性（干渉）を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- エネルギー保存則（X線発生）: 電子の運動エネルギー \(eV\) が、X線光子のエネルギー \(h\nu\) に変換されます。特に、全エネルギーが1個の光子になった場合が最短波長（最大エネルギー）に対応します。
- 特性X線（固有X線）: 原子の内殻電子が弾き飛ばされ、空いた軌道に外殻電子が遷移する際に放出される、元素固有の波長を持つX線です。エネルギー差 \(\Delta E\) が光子のエネルギーになります。
- ブラッグ反射: 結晶格子面で反射されたX線が干渉して強め合う現象です。条件式は \(2d\sin\theta = n\lambda\) です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、最短波長と加速電圧の関係式（デュアン・ハントの法則）を用いて計算します。
- (3)では、特性X線の波長からエネルギー準位差を求めます。
- (4)(5)では、ブラッグの条件式を用いて、特定の角度で反射されるX線の波長を特定します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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