問題58 (名古屋大+東北大+大阪公立大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、光を「光子」という粒子の集まりと見なし、その光子が容器の壁に衝突することによって生じる圧力、すなわち「光圧」を導出するものです。気体の分子が壁に衝突して圧力を生み出す「気体分子運動論」と全く同じ考え方で解き進めることができる、物理学の重要な考え方を学ぶための良問です。
- 容器: 一辺の長さが \(L\) の立方体。
- 内部の粒子: 多数の光子。総数を \(N\) とする。
- 光子の性質:
- 振動数: \(\nu\)
- 速さ: \(c\)（光速）
- エネルギー: \(E=h\nu\)
- 運動量の大きさ: \(p=h\nu/c\)
- 運動の様子: 不規則に運動し、容器の面とは完全弾性衝突をする。
- 物理定数: プランク定数 \(h\)。
問題文中の空欄(1)から(7)までを適切な数式で埋める。
- (1) 光子の運動量のx成分 \(p_x\) を、速度のx成分 \(c_x\) を用いて表す。
- (2) 1個の光子が面Sに衝突する回数。
- (3) 1個の光子が \(t\) 秒間に面Sに与える力積。
- (4) 速度のx成分の2乗の平均値 \(\overline{c_x^2}\) と速さ \(c\) の関係。
- (5) 全光子から面Sが受ける力 \(F\)。
- (6) 光子気体の圧力 \(P\)。
- (7) 圧力 \(P\) とエネルギー密度 \(U\) の関係。
- 【コラム】Q. 容器が球形の場合の圧力を求める。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題の大きな流れは、一個の光子という「ミクロ」な視点から出発し、統計的な考え方（平均化）を用いて、圧力という「マクロ」な物理量を導き出す、という物理学の王道パターンです。問題文が思考のステップを丁寧に誘導してくれているので、一つ一つの意味を理解しながら進んでいきましょう。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子の運動量: 光は粒子としての性質も持ち、その運動量の大きさは \(p=h\nu/c\) で与えられます。
- 力積と運動量の関係: 物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しいという法則。壁が受ける力積は、作用・反作用の法則から光子の運動量変化として計算できます。
- 気体分子運動論の考え方: 個々の粒子は不規則に運動していても、多数の粒子集団として「平均」をとることで、全体の性質を論じることができます。特に、運動の「等方性」（どの方向も同等であること）が重要な仮定となります。
問 (1)
思考の道筋とポイント
光子の運動量ベクトル \(\vec{p}\) は、その速度ベクトル \(\vec{c}\) と同じ向きを向いています。 つまり、二つのベクトルは互いに平行です。このことから、ベクトルの成分同士の比は、ベクトルの大きさ同士の比に等しくなるはずです。この関係を利用して、運動量の \(x\) 成分 \(p_x\) を、速度の \(x\) 成分 \(c_x\) で表現することを目指します。
具体的な解説と立式
光子1個の運動量の大きさ \(p\) は、振動数 \(\nu\) とプランク定数 \(h\)、光速 \(c\) を用いて次のように表されます。
$$p = \frac{h\nu}{c} \quad \cdots ①$$運動量ベクトル \(\vec{p}\) と速度ベクトル \(\vec{c}\) は平行であるため、その \(x\) 成分の比と、大きさの比は等しくなります。$$\frac{p_x}{c_x} = \frac{p}{c} \quad \cdots ②$$式②を変形すると、$$p_x = \frac{p}{c} c_x \quad \cdots ③$$
この式③に、式①を代入することで、\(p_x\) を求めます。
使用した物理公式
- 光子の運動量: \(p = \displaystyle\frac{h\nu}{c}\)
- ベクトルの平行条件
式③に式①を代入して \(p\) を消去します。
$$p_x = \frac{1}{c} \left( \frac{h\nu}{c} \right) c_x$$これを整理すると、$$p_x = \frac{h\nu}{c^2} c_x$$
したがって、問題文の空欄(1)に当てはまる比例係数は \(\displaystyle\frac{h\nu}{c^2}\) となります。
光子の「運動量」と「速度」は、向きが同じで大きさが比例しています。その比例係数を求める問題です。まず運動量の大きさを \(p=h\nu/c\) という公式で表し、「全体の比率（\(p\) と \(c\) の比）」と「\(x\) 成分の比率（\(p_x\) と \(c_x\) の比）」が同じであることを利用して、式を立てて計算します。
光子の運動量の\(x\)成分は、\(p_x = \displaystyle\frac{h\nu}{c^2} c_x\) と表せます。 運動量成分が速度成分に比例するという、直感に合った関係式が得られました。
問 (2)
思考の道筋とポイント
1個の光子が、\(x\)軸に垂直な面S（位置 \(x=L\)）に \(t\) 秒間に何回衝突するかを考えます。光子は面Sに衝突した後、完全弾性衝突なので跳ね返り、反対側の壁(\(x=0\))に当たってから再び面Sに戻ってきます。つまり、面Sに衝突するたびに、容器を1往復することになります。この「1往復にかかる時間」を求めれば、\(t\) 秒間に何回往復できるか、すなわち衝突回数が計算できます。
具体的な解説と立式
光子が面Sに1回衝突してから、次に面Sに衝突するまでに進む距離は、面Sから反対の壁までの距離 \(L\) と、その壁から面Sに戻る距離 \(L\) の合計、すなわち往復距離 \(2L\) です。
この間、光子の速さの \(x\) 成分の大きさは \(c_x\) で一定です。
したがって、1回の往復（衝突から次の衝突まで）にかかる時間 \(\Delta t\) は、
$$\Delta t = \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} = \frac{2L}{c_x} \quad \cdots ④$$
\(t\) 秒間に衝突する回数 \(n\) は、\(t\) をこの時間間隔 \(\Delta t\) で割ることで求められます。
$$n = \frac{t}{\Delta t} \quad \cdots ⑤$$
使用した物理公式
- 時間 = 距離 / 速さ
式⑤に式④を代入します。
$$n = \frac{t}{\left(\displaystyle\frac{2L}{c_x}\right)}$$分数の割り算を整理すると、$$n = \frac{c_x t}{2L}$$
これが空欄(2)の答えです。
光子が壁Sに当たる頻度を計算します。壁に1回「タン！」と当たってから、次に「タン！」と当たるまでには、向こう側の壁まで行って帰ってくる必要があります。この往復（距離 \(2L\)）にかかる時間をまず計算し、「\(t\) 秒間には、この往復が何回できるかな？」と数えることで、衝突回数を求めます。
衝突回数 \(n = \displaystyle\frac{c_x t}{2L}\) が得られました。 光子の \(x\) 方向の速さ \(c_x\) が大きいほど、また容器の幅 \(L\) が小さいほど、衝突回数が多くなるという、物理的に妥当な結果です。
問 (3)
思考の道筋とポイント
面Sが受ける力積を計算します。力積は運動量の変化量です。まず、光子1個が1回の衝突で「受ける」運動量の変化を求め、作用・反作用の法則から面Sが「与えられる」力積を導きます。 そして、その1回あたりの力積に、(2)で求めた \(t\) 秒間での衝突回数を掛けることで、合計の力積を求めます。
具体的な解説と立式
衝突前の光子の運動量の \(x\) 成分は \(p_x\)、完全弾性衝突後の \(x\) 成分は \(-p_x\) です。
1回の衝突による光子の運動量の変化 \(\Delta p_x\) は、
$$\Delta p_x = (\text{後}) – (\text{前}) = (-p_x) – (p_x) = -2p_x$$
作用・反作用の法則により、面Sが1回の衝突で受ける力積 \(I_1\) は、光子が受けた力積と大きさが同じで向きが逆になります。
$$I_1 = -(\Delta p_x) = 2p_x$$
\(t\) 秒間に \(n\) 回衝突するので、その間に面Sが受ける総力積 \(I_t\) は、
$$I_t = I_1 \times n = 2p_x \times n \quad \cdots ⑥$$
この式に、問(1)の結果 \(p_x = \displaystyle\frac{h\nu}{c^2}c_x\) と、問(2)の結果 \(n = \displaystyle\frac{c_x t}{2L}\) を代入します。
使用した物理公式
- 力積 = 運動量の変化
- 作用・反作用の法則
式⑥に \(p_x\) と \(n\) の式を代入します。
$$I_t = 2 \left( \frac{h\nu}{c^2} c_x \right) \times \left( \frac{c_x t}{2L} \right)$$
係数の2を約分し、式を整理すると、
$$I_t = \frac{h\nu c_x^2}{c^2 L} t$$
これが空欄(3)の答えです。
壁が受けた衝撃（力積）を計算します。まず、光子1個が1回ぶつかったときに、運動量がどれだけ変化したかを計算します。壁が受ける衝撃の大きさは、この運動量の変化と同じです。最後に、\(t\) 秒間に何回ぶつかったか（衝突回数）を掛けて、合計の衝撃を求めます。
\(t\) 秒間に面Sが受ける力積は \(I_t = \displaystyle\frac{h\nu c_x^2}{c^2 L} t\) となりました。 力積が時間に比例し、また速度の2乗 \(c_x^2\) に比例していることがわかります。
問 (4)
思考の道筋とポイント
容器内の多数の光子は、あらゆる方向にランダムに運動しています。この「不規則性」あるいは「等方性」を数学的に扱うのがこの設問です。 光子の速さ \(c\) は一定で、その2乗は三平方の定理から \(c^2 = c_x^2 + c_y^2 + c_z^2\) と書けます。 多数の光子について平均をとることを考えます。運動は等方的、つまり \(x, y, z\) の各方向は同等なので、速度の2乗の平均値も \(\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2}\) となるはずです。 この関係から \(\overline{c_x^2}\) を \(c^2\) で表します。
具体的な解説と立式
光子の速さ \(c\) とその速度成分 \(c_x, c_y, c_z\) の間には、三平方の定理が成り立ちます。
$$c^2 = c_x^2 + c_y^2 + c_z^2 \quad \cdots ⑦$$
多数の光子（\(N\)個）について平均をとります。
$$\overline{c^2} = \overline{c_x^2} + \overline{c_y^2} + \overline{c_z^2}$$
光子の速さ \(c\) は全ての光子で等しいので、その平均 \(\overline{c^2}\) は \(c^2\) のままです。
また、光子の運動方向は十分不規則（等方的）なので、各方向は統計的に同等です。したがって、
$$\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2} \quad \cdots ⑧$$
使用した物理公式
- 三平方の定理
- 平均操作、等方性の仮定
式⑦に、式⑧の関係 (\(\overline{c_y^2}\) と \(\overline{c_z^2}\) を \(\overline{c_x^2}\) で置き換える) を代入します。
$$c^2 = \overline{c_x^2} + \overline{c_x^2} + \overline{c_x^2} = 3\overline{c_x^2}$$
この式から \(\overline{c_x^2}\) を求めると、
$$\overline{c_x^2} = \frac{1}{3} c^2$$
よって、空欄(4)に入る係数は \(\displaystyle\frac{1}{3}\) です。
光子全体の運動エネルギーが、空間の3つの方向（\(x, y, z\)）に平等に分配されている、とイメージしてください。そのため、\(x\) 方向のエネルギーの「分け前」は、全体の \(1/3\) になります。これは気体の分子運動を考えるときにも登場する、とても大切な考え方です。
\(\overline{c_x^2} = \displaystyle\frac{1}{3} c^2\) という関係が得られました。 個々の光子の \(c_x\) はバラバラですが、多数の光子を集団として平均すれば、その2乗平均は \(c^2\) の \(1/3\) になるという、統計的な法則を表しています。
問 (5)
思考の道筋とポイント
いよいよ、容器内の全光子 \(N\) 個が面Sに及ぼす「力 \(F\)」を求めます。 「力」とは「単位時間あたりの力積」のことです。(3)で求めた1個の光子による力積の式に、(4)で求めた平均の考え方を適用し、それを \(N\) 個分合計することで、全体の力を導き出します。「力積 = 力 × 時間」の関係式が最終的なゴールへの橋渡しとなります。
具体的な解説と立式
(3)で求めた、1個の光子が \(t\) 秒間に与える力積 \(I_t\) の式で、\(c_x^2\) をその平均値 \(\overline{c_x^2}\) で置き換えることで、光子1個あたりの平均の力積 \(\overline{I_t}\) を求めます。
$$\overline{I_t} = \frac{h\nu \overline{c_x^2}}{c^2 L} t$$
ここに(4)の結果 \(\overline{c_x^2} = \displaystyle\frac{1}{3}c^2\) を代入すると、
$$\overline{I_t} = \frac{h\nu}{c^2 L} \left(\frac{1}{3}c^2\right) t = \frac{h\nu}{3L} t$$
容器内には光子が \(N\) 個あるので、全光子が面Sに与える総力積 \(I_{\text{全}}\) は、単純にこの \(N\) 倍です。
$$I_{\text{全}} = N \overline{I_t} = \frac{Nh\nu}{3L} t \quad \cdots ⑨$$
この総力積は、面Sが受ける平均的な力 \(F\) と時間 \(t\) の積 \(Ft\) に等しいはずです。
$$Ft = I_{\text{全}} \quad \cdots ⑩$$
使用した物理公式
- 力積と力の関係: \(F = I/\Delta t\)
式⑩に式⑨を代入します。
$$Ft = \frac{Nh\nu}{3L} t$$
両辺の \(t\) を消去すると、力 \(F\) が求まります。
$$F = \frac{Nh\nu}{3L}$$
これが空欄(5)の答えです。
ここまでの結果を合体させます。(3)で求めた「1個の光子による衝撃」の式に、(4)で求めた「平均の値」を使い、「光子1個あたりの平均的な力」を計算します。あとは、光子が全部で \(N\) 個いるので、それを \(N\) 倍して、壁にかかる合計の力を求めます。
面Sが受ける力の合計は \(F = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3L}\) となりました。 力は、光子の総数 \(N\) と光子1個のエネルギー \(h\nu\) の積（つまり全エネルギー）に比例し、容器の大きさ \(L\) に反比例します。理にかなった結果と言えるでしょう。
問 (6)
思考の道筋とポイント
圧力 \(P\) を求めます。圧力の定義は「単位面積あたりに垂直に働く力」です。したがって、(5)で求めた面S全体に働く力 \(F\) を、面Sの面積で割るだけで計算できます。 最後に、問題の指示に従い、立方体の体積 \(V\) を使って式を整理します。
具体的な解説と立式
圧力 \(P\) の定義式は次の通りです。
$$P = \frac{F}{\text{面積}}$$
面Sは一辺 \(L\) の正方形なので、その面積は \(L^2\) です。 (5)で求めた力 \(F = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3L}\) を代入すると、
$$P = \frac{1}{L^2} \left( \frac{Nh\nu}{3L} \right) \quad \cdots ⑪$$
立方体の体積 \(V\) は \(V = L \times L \times L = L^3\) なので、この関係を用いて式⑪を書き換えます。
使用した物理公式
- 圧力の定義: \(P = F/S\)
- 立方体の体積: \(V=L^3\)
式⑪を計算します。
$$P = \frac{Nh\nu}{3L^3}$$
分母の \(L^3\) を体積 \(V\) で置き換えると、
$$P = \frac{Nh\nu}{3V}$$
これが空欄(6)の答えです。
(5)で求めたのは、あくまで「壁全体にかかる力」です。これを壁の「面積」で割ることで、\(1\text{m}^2\) あたりの力、すなわち「圧力」に変換します。最後に、式の見た目をシンプルにするために \(L^3\) の部分を \(V\) という記号で書き換えます。
光子気体の圧力は \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3V}\) と表せました。 この式は \(PV = \displaystyle\frac{1}{3}Nh\nu\) とも書けます。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) と比較すると、光子気体の全エネルギー \(Nh\nu\) が温度のような役割を担っていることがわかりますね。
問 (7)
思考の道筋とポイント
いよいよ最後の空欄です。圧力 \(P\) を「単位体積あたりのエネルギー」、すなわちエネルギー密度 \(U\) を用いて表します。 物理法則を、個々の粒子の性質（\(\nu\) や \(h\)）に依存しない、より普遍的でマクロな量（\(P\) と \(U\)）だけの関係式で表現し直す、重要なステップです。
具体的な解説と立式
まず、問題文の定義に従い、エネルギー密度 \(U\) を数式で表します。
容器内の光子1個のエネルギーは \(h\nu\) です。光子は全部で \(N\) 個あるので、全エネルギー \(E_{\text{全}}\) は、
$$E_{\text{全}} = N h\nu$$
エネルギー密度 \(U\) は、この全エネルギーを容器の体積 \(V\) で割ったものです。
$$U = \frac{E_{\text{全}}}{V} = \frac{Nh\nu}{V} \quad \cdots ⑫$$
一方、(6)で求めた圧力 \(P\) の式は、
$$P = \frac{Nh\nu}{3V} \quad \cdots ⑬$$
式⑫と式⑬の形をよく見比べれば、\(P\) を \(U\) で表すことは簡単です。
使用した物理公式
- エネルギー密度の定義: \(U = E_{\text{全}}/V\)
式⑬を次のように少し変形します。
$$P = \frac{1}{3} \left( \frac{Nh\nu}{V} \right)$$
この式の括弧の中身 \(\displaystyle\frac{Nh\nu}{V}\) は、式⑫で定義したエネルギー密度 \(U\) そのものです。よって、置き換えると、
$$P = \frac{1}{3} U$$
これが空欄(7)の答えです。
(6)で求めた圧力の式 \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3V}\) と、エネルギー密度の定義式 \(U = \displaystyle\frac{Nh\nu}{V}\) は、分母に「3」があるかないかだけの違いで、そっくりです。圧力の式の中にある \(\displaystyle\frac{Nh\nu}{V}\) の部分を、記号 \(U\) で置き換えるだけで、答えが導けます。
光子気体の圧力は、そのエネルギー密度の \(1/3\) に等しい (\(P = \displaystyle\frac{1}{3}U\)) という、非常にシンプルかつ重要な関係式が導かれました。 この関係は、光子の詳細（振動数 \(\nu\) など）によらず、エネルギー密度というマクロな量だけで決まることを示しています。これは物理法則の美しさの一つですね。
【コラム】Q. 容器が半径 \(r\) の球形の場合の圧力
思考の道筋とポイント
容器の形が立方体から球に変わりました。 一見、壁が曲面になっているため複雑に思えますが、最終的に得られる「圧力とエネルギー密度の関係」は、容器の形によらない普遍的な法則である可能性があります。これを確かめるため、立方体の時と同様の論理で圧力を計算してみましょう。衝突角度\(\theta\)が入ってきますが、最終的にうまい具合に消去されることを期待して計算を進めます。
具体的な解説と立式
光子が壁に法線から角度 \(\theta\) で衝突する状況を考えます。
- 1回の衝突で壁が受ける力積 \(I_1\):
衝突で変化するのは壁に垂直な方向の運動量成分です。運動量の大きさを \(p=h\nu/c\) とすると、垂直成分は衝突前後で \(p\cos\theta \rightarrow -p\cos\theta\) と変化します。 よって、壁が受ける力積の大きさは、
$$I_1 = 2p\cos\theta = \frac{2h\nu}{c}\cos\theta \quad \cdots ⑭$$ - 単位時間あたりの衝突回数 \(f_{\text{col}}\):
1回衝突した後、光子は速さ \(c\) で直進し、反対側の壁に衝突します。 図形的に考えると、この間の移動距離は \(2r\cos\theta\) です。 よって衝突の時間間隔 \(\Delta t\) は \(\frac{2r\cos\theta}{c}\)。単位時間あたりの衝突回数はその逆数です。
$$f_{\text{col}} = \frac{1}{\Delta t} = \frac{c}{2r\cos\theta} \quad \cdots ⑮$$ - 1個の光子が及ぼす平均の力 \(F_1\):
力は単位時間あたりの力積なので、\(F_1 = I_1 \times f_{\text{col}}\) で計算できます。 - 圧力 \(P\):
全光子 \(N\) 個による力 \(F = N F_1\) を、球の表面積 \(S = 4\pi r^2\) で割ります。
使用した物理公式
- 力積と運動量の関係
- 球の幾何学、表面積の公式
まず、1個の光子が及ぼす平均の力 \(F_1\) を計算します。式⑭と⑮を掛け合わせます。
$$F_1 = I_1 \times f_{\text{col}} = \left( \frac{2h\nu}{c}\cos\theta \right) \times \left( \frac{c}{2r\cos\theta} \right)$$
見事に \(c, 2, \cos\theta\) が全て約分で消去され、
$$F_1 = \frac{h\nu}{r}$$
驚くべきことに、衝突角度 \(\theta\) によらない一定値となりました。
したがって、全光子 \(N\) 個が及ぼす力 \(F\) は、
$$F = N F_1 = \frac{Nh\nu}{r}$$
これを球の表面積 \(S=4\pi r^2\) で割って、圧力 \(P\) を求めます。
$$P = \frac{F}{S} = \frac{Nh\nu/r}{4\pi r^2} = \frac{Nh\nu}{4\pi r^3}$$
これが求める圧力です。
球の壁では、光子は様々な角度で衝突しますが、物理はうまくできています。浅い角度で衝突するほど「1回あたりの衝撃」は弱くなりますが、その分「衝突の頻度」は高くなります。この二つの効果が完璧に打ち消しあい、結果として、1個の光子が壁に及ぼす平均的な力は角度に関係なく一定になります。この事実さえ分かれば、あとは全光子分(\(N\)倍)の力を計算し、球の表面積で割るだけです。
球形容器の場合の圧力は \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{4\pi r^3}\) となります。 ここで、球の体積 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) の関係を使うと、\(4\pi r^3 = 3V\) となるので、圧力の式は
$$P = \frac{Nh\nu}{3V}$$
と変形できます。これは立方体容器の場合の結果と完全に一致します。 つまり、圧力とエネルギー密度の関係 \(P = U/3\) は、容器の形によらない普遍的な法則であることが示されました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光子の粒子性: 光をエネルギー \(h\nu\) と運動量 \(p=h\nu/c\) を持つ粒子として扱うという、量子力学の基本的な考え方が土台にあります。
- 力積と運動量の関係: 壁が受ける圧力の根源は、無数の光子が壁に衝突し、運動量を変化させる際の「力積」の総和であるという、力学の基本法則です。
- 統計的な平均操作: 個々の粒子の複雑な運動も、「等方性」という仮定のもとで「平均化」(\(\overline{c_x^2} = c^2/3\))することで、集団全体のシンプルな法則を導き出すという、統計力学の強力な手法を体験できます。
- 法則の普遍性: 最終的に導かれた関係式 \(P=U/3\) は、容器の形状という個別の条件によらない、より根源的な物理法則であることを理解することが重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- 理想気体の圧力の導出: この問題の光子を、質量\(m\), 速さ\(v\)の気体分子に置き換えれば、気体分子運動論の最重要公式 \(P=\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) を自力で導出できます。
- 熱放射（黒体放射）: 高温の物体から放出される電磁波（光子）が持つエネルギーや圧力を考える問題に応用されます。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 「圧力」を問われたら「力積」を連想する: 圧力を直接求めるのは難しい場合でも、多数の粒子の衝突が原因であれば、「1回の衝突による力積」と「衝突頻度」から攻めるのが定石です。
- 「不規則」「ランダム」という言葉を見たら「平均」を考える: 複雑な現象を単純化するための強力な武器が「平均化」です。特に方向のランダム性からは \(\overline{c_x^2} = c^2/3\) のような関係が使えないか疑ってみましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- ミス: 衝突回数の計算で往復距離「2L」を片道「L」としてしまう。
- 現象: 面Sに衝突した後、すぐまたSに衝突するかのように錯覚してしまう。
- 対策: 衝突後の光子の動きを必ず図や頭の中で追いかけること。「Sに衝突 → 反対側の壁に衝突 → Sに戻ってきて再び衝突」という一連の流れをイメージすれば、往復距離 \(2L\) であることが納得できます。
- 誤解: 光子の運動量を \(p=mc\) のように質量を使って考えてしまう。
- 現象: 古典的な粒子のイメージに引きずられ、光子の質量を考えてしまう。
- 対策: 「光子の静止質量はゼロである」と明確に記憶し、光子に特有の公式 \(E=h\nu\), \(p=h\nu/c\) を使うことを徹底する。
- ミス: 球形容器の場合、角度 \(\theta\) の扱いが分からなくなり、計算が止まってしまう。
- 現象: 三角関数が出てきただけで複雑に感じてしまう。
- 対策: 「1回の力積」と「衝突頻度」をそれぞれ立式してみることが重要です。一見複雑な項も、掛け合わせるとキャンセルされるのでは？と期待して計算を進める勇気を持ちましょう。物理法則はしばしば美しく単純な形に落ち着くものです。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- ミクロとマクロの往復: この問題は、1個の光子の衝突という「ミクロ」な現象から出発し、それを多数集めて平均化することで、圧力という「マクロ」な量を導きます。この「ミクロとマクロを繋ぐ」視点は、物理学の様々な分野で共通する重要な考え方です。
- 等方性のイメージ: 「不規則に運動」という言葉から、特定の方向に偏りがなく、どの方向も平等な「球対称」な運動の集まりをイメージすることが重要です。これが \(\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2}\) という式の物理的な意味です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(p = h\nu/c\) (光子の運動量):
- 選定理由: 問題の主役である「光子」の粒子としての性質（運動量）を記述するための、量子論の基本公式だからです。
- 力積 \(I = \Delta p\) (運動量変化):
- 選定理由: 「力」や「圧力」の根源は、壁との衝突による運動量の変化です。衝突のような瞬間的な現象では、力そのものより力積を考える方が有効であり、運動量の変化として計算できるため、この公式を選択します。
- 気体分子運動論のモデル:
- 選定理由: 多数の粒子が壁に及ぼす圧力を求める問題であるため。1個の粒子の運動を解析し、衝突頻度を求め、全粒子について平均・合計するという一連の論理展開（モデル）を適用するのが最も合理的です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 【ミクロ: 1個の光子、1回の衝突】
- 光子の運動量 \(p_x\) を速度成分 \(c_x\) で表す。（問1）
- 1回の衝突で壁が受ける力積 \(2p_x\) を計算する。
- 【ミクロ: 1個の光子、時間 \(t\) の間】
- \(t\) 秒間の衝突回数 \(n\) を往復運動から計算する。（問2）
- 1個の光子が \(t\) 秒間に与える力積 \(I_t = 2p_x \times n\) を計算する。（問3）
- 【マクロ: 全光子、平均化】
- 運動の等方性から \(\overline{c_x^2} = c^2/3\) の関係を導く。（問4）
- \(I_t\) の式を平均化し、全光子 \(N\) 個分を合計して、全体の力 \(F\) を求める。（問5）
- 【マクロ: 物理量の定義】
- 圧力の定義 \(P=F/S\) を使って \(P\) を計算する。（問6）
- エネルギー密度の定義 \(U=E/V\) を使い、\(P\) と \(U\) の関係式を導く。（問7）
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の丁寧な整理: この問題では \(h, \nu, c, L, N, V, U\) など多くの文字が登場します。どの段階でどの変数を使って表すかを意識しながら、一行一行、丁寧に整理しましょう。
- 往復距離の確認: 衝突回数の計算では、距離が \(L\) なのか \(2L\) なのかが鍵になります。必ず「次の同じ状態になるまで」の運動を追跡し、安易に \(L\) としないように注意しましょう。
- 平均化のタイミング: 平均操作は、個々の粒子の性質を論じた後、集団全体としての性質に移るタイミングで行います。どの物理量（この場合は \(c_x^2\)）を平均値で置き換えるのかを明確に意識することが重要です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 定性的な予測との一致確認:
- 光子の数 \(N\) やエネルギー \(h\nu\) が増えれば、圧力は大きくなるはず。容器の体積 \(V\) が大きくなれば、圧力は小さくなるはず。計算結果の式がこれらの直感と合っているか確認しましょう。(\(P = Nh\nu/3V\) なのでOK)
- 他の物理法則との比較:
- 導出された \(P = U/3\) という結果を、単原子理想気体の圧力とエネルギー密度の関係 \(P = 2U/3\) と比較してみましょう。「なぜ係数が2倍違うのか？」と考えてみることで、光子（相対論的粒子）と気体分子（非相対論的粒子）の間の運動エネルギーと運動量の関係の違いという、より深い物理への理解につながります。
- 普遍性の確認:
- 【コラム】で計算したように、容器が立方体でも球でも \(P=U/3\) という同じ結果になりました。このことは、この関係式が容器の形状に依存しない、より普遍的な法則であることを示唆しています。この事実に気づくことは、物理現象をより深く理解する上で非常に重要です。
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