「名問の森」徹底解説（58〜60問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題58 (名古屋大+東北大+大阪公立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光を「光子」という粒子の集まりと見なし、その光子が容器の壁に衝突することによって生じる圧力、すなわち「光圧」を導出するものです。気体の分子が壁に衝突して圧力を生み出す「気体分子運動論」と全く同じ考え方で解き進めることができる、物理学の重要な考え方を学ぶための良問です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の大きな流れは、一個の光子という「ミクロ」な視点から出発し、統計的な考え方（平均化）を用いて、圧力という「マクロ」な物理量を導き出す、という物理学の王道パターンです。問題文が思考のステップを丁寧に誘導してくれているので、一つ一つの意味を理解しながら進んでいきましょう。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子の運動量ベクトル \(\vec{p}\) は、その速度ベクトル \(\vec{c}\) と同じ向きを向いています。つまり、二つのベクトルは互いに平行です。このことから、ベクトルの成分同士の比は、ベクトルの大きさ同士の比に等しくなるはずです。この関係を利用して、運動量の \(x\) 成分 \(p_x\) を、速度の \(x\) 成分 \(c_x\) で表現することを目指します。
この設問における重要なポイント

• 光子の運動量の大きさの公式 \(p = h\nu/c\) を使う。
• 運動量ベクトルと速度ベクトルが平行であることを利用し、成分の比と大きさの比が等しいという関係式を立てる。

具体的な解説と立式
光子1個の運動量の大きさ \(p\) は、振動数 \(\nu\)、プランク定数 \(h\)、光速 \(c\) を用いて次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{h\nu}{c} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
運動量ベクトル \(\vec{p}\) と速度ベクトル \(\vec{c}\) は平行であるため、その \(x\) 成分の比と、大きさの比は等しくなります。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_x}{c_x} &= \frac{p}{c} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式②を変形すると、
$$
\begin{aligned}
p_x &= \frac{p}{c} c_x \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
この式③に、式①を代入することで、\(p_x\) を求めます。

式③に式①を代入して \(p\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
p_x &= \frac{1}{c} \left( \frac{h\nu}{c} \right) c_x \\[2.0ex]
&= \frac{h\nu}{c^2} c_x
\end{aligned}
$$
したがって、問題文の空欄(1)に当てはまる比例係数は \(\displaystyle\frac{h\nu}{c^2}\) となります。

光子の「運動量」と「速さ」は、同じ方向を向いている兄弟みたいなものです。兄である運動量が、弟である速さよりどれだけ大きいか、その「倍率」を計算する問題だと考えましょう。全体の大きさの比（兄の身長と弟の身長の比）と、\(x\)方向だけの大きさの比（兄の影の長さと弟の影の長さの比）は同じになる、という性質を使って計算します。

光子の運動量の\(x\)成分は、\(p_x = \displaystyle\frac{h\nu}{c^2} c_x\) と表せます。運動量成分が速度成分に比例するという、直感に合った関係式が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
1個の光子が、\(x\)軸に垂直な面S（位置 \(x=L\)）に \(t\) 秒間に何回衝突するかを考えます。光子は面Sに衝突した後、完全弾性衝突なので跳ね返り、反対側の壁(\(x=0\))に当たってから再び面Sに戻ってきます。つまり、面Sに衝突するたびに、容器を1往復することになります。この「1往復にかかる時間」を求めれば、\(t\) 秒間に何回往復できるか、すなわち衝突回数が計算できます。
この設問における重要なポイント

• 衝突から次の衝突までの移動距離は、片道 \(L\) ではなく往復 \(2L\) であることを理解する。
• \(x\) 方向の運動だけに着目し、速さは \(c_x\) を使う。

具体的な解説と立式
光子が面Sに1回衝突してから、次に面Sに衝突するまでに進む距離は、面Sから反対の壁までの距離 \(L\) と、その壁から面Sに戻る距離 \(L\) の合計、すなわち往復距離 \(2L\) です。
この間、光子の速さの \(x\) 成分の大きさは \(c_x\) で一定です。
したがって、1回の往復（衝突から次の衝突まで）にかかる時間 \(\Delta t\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} = \frac{2L}{c_x} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
\(t\) 秒間に衝突する回数 \(n\) は、\(t\) をこの時間間隔 \(\Delta t\) で割ることで求められます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{t}{\Delta t} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

式⑦に式⑥を代入します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{t}{\left(\displaystyle\frac{2L}{c_x}\right)} \\[2.0ex]
&= \frac{c_x t}{2L}
\end{aligned}
$$
これが空欄(2)の答えです。

ピンポン球が箱の右の壁に当たる頻度を考えてみましょう。右の壁に「カツン！」と当たった後、次にまた右の壁に当たるには、左の壁まで行って帰ってくる「往復旅行」が必要です。この往復旅行に何秒かかるかをまず計算し、「じゃあ \(t\) 秒間なら、この旅行を何回できるかな？」と割り算することで、衝突回数を求めます。

衝突回数 \(n = \displaystyle\frac{c_x t}{2L}\) が得られました。光子の \(x\) 方向の速さ \(c_x\) が大きいほど、また容器の幅 \(L\) が小さいほど、衝突回数が多くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
面Sが受ける力積を計算します。力積は運動量の変化量です。まず、光子1個が1回の衝突で「受ける」運動量の変化を求め、作用・反作用の法則から面Sが「与えられる」力積を導きます。そして、その1回あたりの力積に、(2)で求めた \(t\) 秒間での衝突回数を掛けることで、合計の力積を求めます。
この設問における重要なポイント

• 力積は運動量の変化量（後の運動量 – 前の運動量）である。
• 壁が受ける力積は、光子が受ける力積と大きさが同じで向きが逆（作用・反作用）。
• 総力積は「1回あたりの力積」×「衝突回数」で計算する。

具体的な解説と立式
衝突前の光子の運動量の \(x\) 成分は \(p_x\)、完全弾性衝突後の \(x\) 成分は \(-p_x\) です。
1回の衝突による光子の運動量の変化 \(\Delta p_x\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta p_x &= (\text{後の運動量}) – (\text{前の運動量}) \\[2.0ex]
&= (-p_x) – (p_x) \\[2.0ex]
&= -2p_x
\end{aligned}
$$
作用・反作用の法則により、面Sが1回の衝突で受ける力積 \(I_1\) は、光子が受けた力積と大きさが同じで向きが逆になります。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= -(\Delta p_x) = 2p_x
\end{aligned}
$$
\(t\) 秒間に \(n\) 回衝突するので、その間に面Sが受ける総力積 \(I_t\) は、
$$
\begin{aligned}
I_t &= I_1 \times n \\[2.0ex]
&= 2p_x \times n \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
この式に、問(1)の結果 \(p_x = \displaystyle\frac{h\nu}{c^2}c_x\) と、問(2)の結果 \(n = \displaystyle\frac{c_x t}{2L}\) を代入します。

式⑧に \(p_x\) と \(n\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_t &= 2 \left( \frac{h\nu}{c^2} c_x \right) \times \left( \frac{c_x t}{2L} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{h\nu c_x^2}{c^2 L} t
\end{aligned}
$$
これが空欄(3)の答えです。

壁が受けた衝撃の合計（総力積）を計算します。まず、ボールが壁に当たって跳ね返るように、光子1個が1回「カツン！」とぶつかったときに運動量がどれだけ変化したかを計算します。壁が受ける衝撃の大きさは、この運動量の変化と同じです。最後に、\(t\) 秒間に何回ぶつかるか（問(2)の答え）を掛けて、合計の衝撃を求めます。

\(t\) 秒間に面Sが受ける力積は \(I_t = \displaystyle\frac{h\nu c_x^2}{c^2 L} t\) となりました。力積が時間に比例し、また速度の2乗 \(c_x^2\) に比例していることがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
容器内の多数の光子は、あらゆる方向にランダムに運動しています。この「不規則性」あるいは「等方性」を数学的に扱うのがこの設問です。光子の速さ \(c\) は一定で、その2乗は三平方の定理から \(c^2 = c_x^2 + c_y^2 + c_z^2\) と書けます。多数の光子について平均をとることを考えます。運動は等方的、つまり \(x, y, z\) の各方向は同等なので、速度の2乗の平均値も \(\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2}\) となるはずです。この関係から \(\overline{c_x^2}\) を \(c^2\) で表します。
この設問における重要なポイント

• 速度の2乗について三平方の定理 \(c^2 = c_x^2 + c_y^2 + c_z^2\) が成り立つ。
• 運動が不規則（等方的）であるため、平均をとると \(\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2}\) となる。

具体的な解説と立式
光子の速さ \(c\) とその速度成分 \(c_x, c_y, c_z\) の間には、三平方の定理が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
c^2 = c_x^2 + c_y^2 + c_z^2
\end{aligned}
$$
多数の光子について平均をとります。光子の速さ \(c\) は全ての光子で等しいので、その平均 \(\overline{c^2}\) は \(c^2\) のままです。
$$
\begin{aligned}
\overline{c^2} &= \overline{c_x^2} + \overline{c_y^2} + \overline{c_z^2} \\[2.0ex]
c^2 &= \overline{c_x^2} + \overline{c_y^2} + \overline{c_z^2}
\end{aligned}
$$
光子の運動方向は十分不規則（等方的）なので、各方向は統計的に同等です。したがって、
$$
\begin{aligned}
\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2} \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$

\(c^2\) の式に、式⑪の関係 (\(\overline{c_y^2}\) と \(\overline{c_z^2}\) を \(\overline{c_x^2}\) で置き換える) を代入します。
$$
\begin{aligned}
c^2 &= \overline{c_x^2} + \overline{c_x^2} + \overline{c_x^2} \\[2.0ex]
&= 3\overline{c_x^2}
\end{aligned}
$$
この式から \(\overline{c_x^2}\) を求めると、
$$
\begin{aligned}
\overline{c_x^2} = \frac{1}{3} c^2
\end{aligned}
$$
よって、空欄(4)に入る係数は \(\displaystyle\frac{1}{3}\) です。

箱の中にはたくさんの光子が、デタラメな方向に飛び交っています。でも、全体としてみれば、特定の方向（例えば右向き）にだけ飛んでいく光子が多い、なんてことはないはずです。どの方向も平等。だから、光子全体の運動エネルギーは、縦・横・高さの3方向にきれいに3等分されている、と考えることができます。この「3等分」というのがポイントです。

\(\overline{c_x^2} = \displaystyle\frac{1}{3} c^2\) という関係が得られました。個々の光子の \(c_x\) はバラバラですが、多数の光子を集団として平均すれば、その2乗平均は \(c^2\) の \(1/3\) になるという、統計的な法則を表しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
いよいよ、容器内の全光子 \(N\) 個が面Sに及ぼす「力 \(F\)」を求めます。「力」とは「単位時間あたりの力積」のことです。(3)で求めた1個の光子による力積の式に、(4)で求めた平均の考え方を適用し、それを \(N\) 個分合計することで、全体の力を導き出します。「力積 = 力 × 時間」の関係式が最終的なゴールへの橋渡しとなります。
この設問における重要なポイント

• 力は単位時間あたりの力積である (\(F = I_t / t\))。
• 1個の光子の力積を、平均値 \(\overline{c_x^2}\) を使って表す。
• 全ての光子 \(N\) 個分の力を求めるために \(N\) 倍する。

具体的な解説と立式
(3)で求めた、1個の光子が \(t\) 秒間に与える力積 \(I_t\) の式で、\(c_x^2\) をその平均値 \(\overline{c_x^2}\) で置き換えることで、光子1個あたりの平均の力積 \(\overline{I_t}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\overline{I_t} = \frac{h\nu \overline{c_x^2}}{c^2 L} t
\end{aligned}
$$
ここに(4)の結果 \(\overline{c_x^2} = \displaystyle\frac{1}{3}c^2\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\overline{I_t} &= \frac{h\nu}{c^2 L} \left(\frac{1}{3}c^2\right) t \\[2.0ex]
&= \frac{h\nu}{3L} t
\end{aligned}
$$
容器内には光子が \(N\) 個あるので、全光子が面Sに与える総力積 \(I_{\text{全}}\) は、単純にこの \(N\) 倍です。
$$
\begin{aligned}
I_{\text{全}} = N \overline{I_t} = \frac{Nh\nu}{3L} t \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$
この総力積は、面Sが受ける平均的な力 \(F\) と時間 \(t\) の積 \(Ft\) に等しいはずです。
$$
\begin{aligned}
Ft = I_{\text{全}} \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$

式⑬に式⑫を代入します。
$$
\begin{aligned}
Ft = \frac{Nh\nu}{3L} t
\end{aligned}
$$
両辺の \(t\) を消去すると、力 \(F\) が求まります。
$$
\begin{aligned}
F = \frac{Nh\nu}{3L}
\end{aligned}
$$
これが空欄(5)の答えです。

いよいよ壁が常に感じている「力」を計算します。(3)で計算した「合計の衝撃」は \(t\) 秒間のものです。力は「1秒あたりの衝撃」なので、合計の衝撃を時間 \(t\) で割ってあげます。そして、(4)の「3等分」の考え方を使って、たくさんの光子の平均的な力を計算し、最後に光子の数 \(N\) を掛けて、壁が受ける総合的な力を求めます。

面Sが受ける力の合計は \(F = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3L}\) となりました。力は、光子の総数 \(N\) と光子1個のエネルギー \(h\nu\) の積（つまり全エネルギー）に比例し、容器の大きさ \(L\) に反比例します。理にかなった結果と言えるでしょう。

問(6)

思考の道筋とポイント
圧力 \(P\) を求めます。圧力の定義は「単位面積あたりに垂直に働く力」です。したがって、(5)で求めた面S全体に働く力 \(F\) を、面Sの面積で割るだけで計算できます。最後に、問題の指示に従い、立方体の体積 \(V\) を使って式を整理します。
この設問における重要なポイント

• 圧力の定義 \(P = F/S\) を使う。
• 面Sの面積は \(L^2\)、立方体の体積は \(V=L^3\) である。

具体的な解説と立式
圧力 \(P\) の定義式は次の通りです。
$$
\begin{aligned}
P = \frac{F}{\text{面積}}
\end{aligned}
$$
面Sは一辺 \(L\) の正方形なので、その面積は \(L^2\) です。(5)で求めた力 \(F = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3L}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
P &= \frac{1}{L^2} \left( \frac{Nh\nu}{3L} \right) \quad \cdots ⑭
\end{aligned}
$$
立方体の体積 \(V\) は \(V = L \times L \times L = L^3\) なので、この関係を用いて式⑭を書き換えます。

式⑭を計算します。
$$
\begin{aligned}
P = \frac{Nh\nu}{3L^3}
\end{aligned}
$$
分母の \(L^3\) を体積 \(V\) で置き換えると、
$$
\begin{aligned}
P = \frac{Nh\nu}{3V}
\end{aligned}
$$
これが空欄(6)の答えです。

(5)で求めたのは、壁全体を押す「力」です。圧力は、もっとミクロな視点で「\(1\text{m}^2\) の面積あたりに働く力」のことです。ですから、(5)で求めた力を壁の面積で割ってあげます。最後に、式の形をきれいにするために、箱の体積 \(V\) を使って書き直す、いわば「お化粧」をします。

光子気体の圧力は \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3V}\) と表せました。この式は \(PV = \displaystyle\frac{1}{3}Nh\nu\) とも書けます。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) と比較すると、光子気体の全エネルギー \(Nh\nu\) が温度のような役割を担っていることがわかりますね。

問(7)

思考の道筋とポイント
いよいよ最後の空欄です。圧力 \(P\) を「単位体積あたりのエネルギー」、すなわちエネルギー密度 \(U\) を用いて表します。物理法則を、個々の粒子の性質（\(\nu\) や \(h\)）に依存しない、より普遍的でマクロな量（\(P\) と \(U\)）だけの関係式で表現し直す、重要なステップです。
この設問における重要なポイント

• エネルギー密度 \(U\) の定義は「全エネルギー / 体積」である。
• (6)で求めた \(P\) の式と、\(U\) の定義式を比較する。

具体的な解説と立式
まず、問題文の定義に従い、エネルギー密度 \(U\) を数式で表します。
容器内の光子1個のエネルギーは \(h\nu\) です。光子は全部で \(N\) 個あるので、全エネルギー \(E_{\text{全}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} = N h\nu
\end{aligned}
$$
エネルギー密度 \(U\) は、この全エネルギーを容器の体積 \(V\) で割ったものです。
$$
\begin{aligned}
U = \frac{E_{\text{全}}}{V} = \frac{Nh\nu}{V} \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$
一方、(6)で求めた圧力 \(P\) の式は、
$$
\begin{aligned}
P = \frac{Nh\nu}{3V} \quad \cdots ⑯
\end{aligned}
$$
式⑮と式⑯の形をよく見比べれば、\(P\) を \(U\) で表すことは簡単です。

式⑯を次のように少し変形します。
$$
\begin{aligned}
P = \frac{1}{3} \left( \frac{Nh\nu}{V} \right)
\end{aligned}
$$
この式の括弧の中身 \(\displaystyle\frac{Nh\nu}{V}\) は、式⑮で定義したエネルギー密度 \(U\) そのものです。よって、置き換えると、
$$
\begin{aligned}
P = \frac{1}{3} U
\end{aligned}
$$
これが空欄(7)の答えです。

(6)で求めた圧力の式と、箱の中に詰まっている全エネルギーを体積で割った「エネルギー密度 \(U\)」の式は、実はうり二つです。分母に「3」があるかないかの違いしかありません。そこで、圧力の式の一部を \(U\) という記号で置き換えて、\(P\) と \(U\) の間のシンプルな関係式を作ります。

光子気体の圧力は、そのエネルギー密度の \(1/3\) に等しい (\(P = \displaystyle\frac{1}{3}U\)) という、非常にシンプルかつ重要な関係式が導かれました。この関係は、光子の詳細（振動数 \(\nu\) など）によらず、エネルギー密度というマクロな量だけで決まることを示しています。これは物理法則の美しさの一つですね。

【コラム】Q. 容器が半径 \(r\) の球形の場合の圧力

思考の道筋とポイント
容器の形が立方体から球に変わりました。一見、壁が曲面になっているため複雑に思えますが、最終的に得られる「圧力とエネルギー密度の関係」は、容器の形によらない普遍的な法則である可能性があります。これを確かめるため、立方体の時と同様の論理で圧力を計算してみましょう。衝突角度\(\theta\)が入ってきますが、最終的にうまい具合に消去されることを期待して計算を進めます。
この設問における重要なポイント

• 衝突による運動量変化は、壁に垂直な成分だけを考える。
• 衝突から次の衝突までの移動距離を図形的に正しく求める。
• 1個の光子が及ぼす平均の力は、衝突角度によらないことを示す。

具体的な解説と立式
光子が壁に法線から角度 \(\theta\) で衝突する状況を考えます。

1. 1回の衝突で壁が受ける力積 \(I_1\):
   衝突で変化するのは壁に垂直な方向の運動量成分です。運動量の大きさを \(p=h\nu/c\) とすると、垂直成分は衝突前後で \(p\cos\theta \rightarrow -p\cos\theta\) と変化します。よって、壁が受ける力積の大きさは、
   $$
   \begin{aligned}
   I_1 &= 2p\cos\theta \\[2.0ex]
   &= \frac{2h\nu}{c}\cos\theta \quad \cdots ⑰
   \end{aligned}
   $$
2. 単位時間あたりの衝突回数 \(f_{\text{col}}\):
   1回衝突した後、光子は速さ \(c\) で直進し、反対側の壁に衝突します。図形的に考えると、この間の移動距離は \(2r\cos\theta\) です。よって衝突の時間間隔 \(\Delta t\) は \(\frac{2r\cos\theta}{c}\)。単位時間あたりの衝突回数はその逆数です。
   $$
   \begin{aligned}
   f_{\text{col}} &= \frac{1}{\Delta t} = \frac{c}{2r\cos\theta} \quad \cdots ⑱
   \end{aligned}
   $$
3. 1個の光子が及ぼす平均の力 \(F_1\):
   力は単位時間あたりの力積なので、\(F_1 = I_1 \times f_{\text{col}}\) で計算できます。
4. 圧力 \(P\):
   全光子 \(N\) 個による力 \(F = N F_1\) を、球の表面積 \(S = 4\pi r^2\) で割ります。

まず、1個の光子が及ぼす平均の力 \(F_1\) を計算します。式⑰と⑱を掛け合わせます。
$$
\begin{aligned}
F_1 &= I_1 \times f_{\text{col}} \\[2.0ex]
&= \left( \frac{2h\nu}{c}\cos\theta \right) \times \left( \frac{c}{2r\cos\theta} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{h\nu}{r}
\end{aligned}
$$
驚くべきことに、衝突角度 \(\theta\) によらない一定値となりました。
したがって、全光子 \(N\) 個が及ぼす力 \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F = N F_1 = \frac{Nh\nu}{r}
\end{aligned}
$$
これを球の表面積 \(S=4\pi r^2\) で割って、圧力 \(P\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
P &= \frac{F}{S} \\[2.0ex]
&= \frac{Nh\nu/r}{4\pi r^2} \\[2.0ex]
&= \frac{Nh\nu}{4\pi r^3}
\end{aligned}
$$
これが求める圧力です。

容器がボールみたいに丸くなっても、実は圧力の計算結果は変わらないことを示す問題です。光子が斜めに当たると1回の衝撃は弱くなりますが、その分、壁との距離が近くなって衝突回数が増えます。この「衝撃の弱さ」と「頻度の多さ」が奇跡的に打ち消し合って、結局、どの角度で当たっても平均の力は同じになります。物理ってうまくできていますね！この事実さえ分かれば、あとは全光子分(\(N\)倍)の力を計算し、球の表面積で割るだけです。

球形容器の場合の圧力は \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{4\pi r^3}\) となります。ここで、球の体積 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) の関係を使うと、\(4\pi r^3 = 3V\) となるので、圧力の式は
$$
\begin{aligned}
P = \frac{Nh\nu}{3V}
\end{aligned}
$$
と変形できます。これは立方体容器の場合の結果と完全に一致します。つまり、圧力とエネルギー密度の関係 \(P = U/3\) は、容器の形によらない普遍的な法則であることが示されました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光子の粒子性と力積:
  • 核心: この問題の根幹は、光をエネルギー \(h\nu\) と運動量 \(p=h\nu/c\) を持つ「粒子」として捉え、その粒子が壁に衝突する際の「運動量変化（＝力積）」が圧力の起源であると理解することです。力学の基本法則が、ミクロな量子の世界にも適用されることを示しています。
  • 理解のポイント:
    1. ミクロな現象のモデル化: まずは1個の光子に着目し、「1回の衝突で壁に与える力積」と「単位時間あたりの衝突回数」をそれぞれ立式します。
    2. マクロな量への移行: 次に、多数の光子集団として捉え、統計的な「平均」操作を行います。これにより、個々の粒子のランダムな運動から、圧力という測定可能な物理量を導き出します。
• 統計力学的な考え方（等方性）:
  • 核心: 容器内の光子はあらゆる方向に不規則に運動しているため、特定の方向に偏りはない（等方的である）という仮定が重要です。これにより、速度の2乗の平均値について \(\overline{c_x^2} = \overline{c_y^2} = \overline{c_z^2} = \displaystyle\frac{1}{3}c^2\) という非常に強力な関係式が導かれます。
  • 理解のポイント: この「平均化」という操作は、複雑でランダムな多粒子系の問題を、シンプルな法則で記述するための統計力学の基本的な手法です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 理想気体の圧力の導出: この問題の光子を、質量\(m\), 速さ\(v\)の気体分子に置き換えるだけで、気体分子運動論の最重要公式 \(P=\displaystyle\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) を自力で導出できます。論理展開は全く同じです。
  • 熱放射（黒体放射）: 高温の物体から放出される電磁波（光子）が持つエネルギーや圧力を考える問題に応用されます。宇宙論などにもつながる重要なテーマです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「圧力」を問われたら「力積」を連想する: 多数の粒子の衝突が原因で生じる圧力を求める問題では、直接力を求めるのは難しい場合が多いです。その際は、「(1) 1回の衝突による力積」と「(2) 衝突頻度」を計算し、掛け合わせることで「(3) 単位時間あたりの力積（＝力）」を求める、という手順が定石です。
  2. 「不規則」「ランダム」という言葉を見たら「平均」を考える: 複雑な現象を単純化するための強力な武器が「平均化」です。特に方向のランダム性からは \(\overline{c_x^2} = c^2/3\) のような関係が使えないか疑ってみましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 衝突回数の計算ミス:
  • 誤解: 衝突回数の計算で、往復距離「\(2L\)」を片道「\(L\)」としてしまう。
  • 対策: 衝突後の光子の動きを必ず図や頭の中で追いかけること。「Sに衝突 → 反対側の壁に衝突 → Sに戻ってきて再び衝突」という一連の流れをイメージすれば、往復距離 \(2L\) であることが納得できます。
• 光子の運動量の誤解:
  • 誤解: 光子の運動量を \(p=mc\) のように、古典的な粒子のイメージで質量を使って考えてしまう。
  • 対策: 「光子の静止質量はゼロである」と明確に記憶し、光子に特有の公式 \(E=h\nu\), \(p=h\nu/c\) を使うことを徹底する。
• 複雑な設定での思考停止:
  • 誤解: 【コラム】の球形容器のように、角度 \(\theta\) が出てきただけで複雑に感じ、計算が止まってしまう。
  • 対策: 「1回の力積」と「衝突頻度」をそれぞれ立式してみることが重要です。一見複雑な項も、掛け合わせるとキャンセルされるのでは？と期待して計算を進める勇気を持ちましょう。物理法則はしばしば美しく単純な形に落ち着くものです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(p = h\nu/c\) (光子の運動量):
  • 選定理由: 問題の主役である「光子」の粒子としての性質（運動量）を記述するための、量子論の基本公式だからです。
  • 適用根拠: 問題文で光を粒子として扱うことが明示されており、その運動量を計算する必要があるため。
• 力積 \(I = \Delta p\) (運動量変化):
  • 選定理由: 「力」や「圧力」の根源は、壁との衝突による運動量の変化です。衝突のような瞬間的な現象では、力そのものより力積を考える方が有効であり、運動量の変化として計算できるため、この公式を選択します。
  • 適用根拠: 光子が壁と完全弾性衝突するという物理的状況。
• 気体分子運動論のモデル:
  • 選定理由: 多数の粒子が壁に及ぼす圧力を求める問題であるため。1個の粒子の運動を解析し、衝突頻度を求め、全粒子について平均・合計するという一連の論理展開（モデル）を適用するのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 容器内に多数の光子が不規則に運動しているという、気体分子運動論の前提と酷似した状況設定。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の丁寧な整理:
  • 特に注意すべき点: この問題では \(h, \nu, c, L, N, V, U\) など多くの文字が登場します。どの段階でどの変数を使って表すかを意識しながら、一行一行、丁寧に整理しましょう。特に、\(c_x^2\) を \(\overline{c_x^2}\) に置き換えるタイミングを間違えないように注意が必要です。
  • 日頃の練習: 複雑な文字式を含む問題では、最終的な答えの次元（単位）が合っているかを確認する次元解析を行う習慣をつけると、大きなミスを防げます。
• 往復距離の確認:
  • 特に注意すべき点: 衝突回数の計算では、距離が \(L\) なのか \(2L\) なのかが鍵になります。これは気体分子運動論でも頻出するポイントです。
  • 日頃の練習: 粒子が「次に同じ状態になるまで」の運動を、簡単な図を描いて追跡する癖をつけましょう。
• 平均化のタイミング:
  • 特に注意すべき点: 平均操作は、個々の粒子の性質を論じた後、集団全体としての性質に移るタイミングで行います。どの物理量（この場合は \(c_x^2\)）を平均値で置き換えるのかを明確に意識することが重要です。
  • 日頃の練習: 「1個の粒子」について論じている段階と、「N個の粒子集団」について論じている段階を、ノートの上で明確に分けて書くようにすると、思考が整理されます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 圧力 \(P = \displaystyle\frac{Nh\nu}{3V}\):
    • 吟味の視点: 光子の数 \(N\) やエネルギー \(h\nu\) が増えれば、圧力は大きくなるはず。容器の体積 \(V\) が大きくなれば、衝突頻度が減るので圧力は小さくなるはず。計算結果の式がこれらの直感と合っているか確認しましょう。
  • 関係式 \(P = \displaystyle\frac{1}{3}U\):
    • 吟味の視点: 圧力とエネルギー密度が比例関係にあるというのは、物理的に妥当な結果です。エネルギーが詰まっているほど、壁を押す力も強くなるという直感と一致します。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • 単原子分子理想気体との比較: 気体分子運動論から導かれる単原子分子理想気体の圧力は \(P = \displaystyle\frac{2}{3}U\) です。光子気体の場合と係数が \(2\) 倍違うのはなぜか？これは、運動エネルギーと運動量の関係が、気体分子(\(E_k = p^2/2m\))と光子(\(E=pc\))で異なることに起因します。この違いを考察することで、より深い理解につながります。
  • 容器の形状との比較: 【コラム】で計算したように、容器が立方体でも球でも \(P=U/3\) という同じ結果になりました。このことは、この関係式が容器の形状に依存しない、より普遍的な法則であることを示唆しています。この事実に気づくことは、物理現象をより深く理解する上で非常に重要です。

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問題59 (筑波大)

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【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この一問で、X線がどのようにして作られるのか（(1)）、そのX線を使って物質の結晶構造をどうやって調べるのか（(2)）、そして電子も波として振る舞うという不思議な現象（(3), (4)）まで、近代物理の核心に触れることができます。

問(1)