「名問の森」徹底解説（40〜42問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題40 (名古屋大+静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な磁場の中を扇形のコイルが回転することで生じる電磁誘導を扱います。コイルが回転することで、磁場を貫く面積が時間的に変化し、それによって誘導起電力と誘導電流が発生します。さらに、その電流が磁場から受ける力（トルク）と、回転を維持するための外力やエネルギーの関係まで問われる、電磁誘導の総合的な理解を試す問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、電磁誘導に関する2つの重要な法則です。

1. ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)): コイルという「面」を貫く磁束Φが時間変化するとき、その変化を妨げる向きに起電力が生じるというマクロな視点です。この問題では、回転によって磁場内の面積が変化するため、磁束が変化します。
2. ローレンツ力と誘導起電力 (\(V=vBl\)): 導体辺が磁場を横切って運動するとき、その辺自体が電池になるというミクロな視点です。回転運動では、辺の各点の速度が異なるため、少し工夫が必要になります。

この問題では、(1)で磁束変化を考え、(2)でその結果から電流を求めるという、ファラデーの法則を主軸とした流れになっています。等速円運動を維持するための力のモーメント（トルク）のつり合いや、エネルギー保存則も重要な役割を果たします。

問 (1)

思考の道筋とポイント
コイルを貫く磁束 \(\Phi\) は、磁束密度Bと、コイルが磁場内にある面積Sの積、\(\Phi = BS\) で計算できます。コイルが角速度ωで回転するのに伴い、磁場（x≧0の領域）に入っている部分の面積Sが時間とともにどう変化するかを、1周期（\(T=2\pi/\omega\)）にわたって4つの期間に分けて追いかけます。

具体的な解説と立式
時刻tのとき、コイルは角度 \(\theta = \omega t\) だけ回転しています。

1. 期間I (\(0 \le t \le \frac{\pi}{2\omega}\)): コイルが磁場に進入していく期間。
   磁場内にある部分の面積Sは、中心角が \(\theta = \omega t\) の扇形の面積です。
   $$S = (\text{円の面積}) \times \frac{\text{中心角}}{2\pi} = \pi l^2 \times \frac{\omega t}{2\pi} = \frac{1}{2}l^2\omega t$$
   したがって、磁束\(\Phi\)は、tに比例して直線的に増加します。
   $$\Phi(t) = BS = \frac{1}{2}Bl^2\omega t \quad \cdots ①$$
2. 期間II (\(\frac{\pi}{2\omega} \le t \le \frac{\pi}{\omega}\)): コイル全体が完全に磁場内にある期間。
   磁場内にある面積は、コイル全体の面積（4分の1円の面積 \(\frac{1}{4}\pi l^2\)）で一定です。
   $$\Phi(t) = \Phi_{max} = B \cdot \frac{1}{4}\pi l^2 \quad (\text{一定})$$
3. 期間III (\(\frac{\pi}{\omega} \le t \le \frac{3\pi}{2\omega}\)): コイルが磁場から退出していく期間。
   磁束は、期間Iと対称的に直線的に減少していきます。
4. 期間IV (\(\frac{3\pi}{2\omega} \le t \le \frac{2\pi}{\omega}\)): コイルが完全に磁場外にある期間。
   磁束はゼロです。
   $$\Phi(t) = 0$$

期間Iにおいて、\(t=\frac{\pi}{2\omega}\) のときの最大値を確認します。
$$\Phi_{max} = \Phi\left(\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}Bl^2\omega \left(\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{4}\pi Bl^2$$
これは期間IIの値と一致しており、グラフが連続的につながることがわかります。

これらの結果をグラフにすると、台形のような形になります。原点から直線的に増加し、一定値を保ち、その後直線的に減少して0に戻り、しばらく0が続く、という形になります。（模範解答のグラフを参照し、縦軸の最大値などを明記して描く）

問 (2)

思考の道筋とポイント
誘導電流Iは、誘導起電力Vを抵抗Rで割ることで求まります(\(I=V/R\))。誘導起電力Vは、ファラデーの法則 \(V = \left| \frac{d\Phi}{d t} \right|\) から計算できます。これは、(1)で考えた\(\Phi-t\)グラフの「傾きの大きさ」に相当します。電流の向き（符号）は、磁束の変化を妨げる向き、というレンツの法則で決定します。

具体的な解説と立式
\(\Phi-t\)グラフの傾きから、各期間の誘導起電力Vと電流Iを求めます。

• 期間I (\(0 < t < \frac{\pi}{2\omega}\)):
  \(\Phi(t) = \frac{1}{2}Bl^2\omega t\) なので、傾きは一定です。
  $$V = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \frac{1}{2}Bl^2\omega$$
  向き: 裏向き(\(\otimes\))の磁束が増加しているので、レンツの法則より、それを打ち消す表向き(\(\odot\))の磁場を作る向き、すなわち反時計回りに電流が流れます。これは問題の定義（O→Pが正）ではP→Oの向きなので、電流は負の値をとります。
  $$I = -\frac{V}{R} = -\frac{Bl^2\omega}{2R}$$
• 期間II (\(\frac{\pi}{2\omega} < t < \frac{\pi}{\omega}\)):
  \(\Phi\)が一定なので傾きはゼロ。誘導起電力、誘導電流ともにゼロです。 \(I=0\)
• 期間III (\(\frac{\pi}{\omega} < t < \frac{3\pi}{2\omega}\)):
  傾きの大きさは期間Iと同じで、\(V\)の大きさも同じです。
  向き: 裏向きの磁束が減少しているので、レンツの法則より、それを補う裏向き(\(\otimes\))の磁場を作る向き、すなわち時計回りに電流が流れます。これはO→Pの向きなので、電流は正の値をとります。
  $$I = +\frac{V}{R} = +\frac{Bl^2\omega}{2R}$$
• 期間IV (\(\frac{3\pi}{2\omega} < t < \frac{2\pi}{\omega}\)): \(\Phi\)が一定（ゼロ）なので、電流もゼロです。 \(I=0\)

別解: 導体棒の起電力から求める
辺OPに着目します。OP上の中心から距離r’の点は、速さ \(v’ = r’\omega\) で動いています。この点での微小な起電力は \(dV = (v’)B(dr’)\)。これを辺全体で積分すると、
$$V = \int_0^l (r’\omega)B dr’ = \omega B \left[ \frac{1}{2}r’^2 \right]_0^l = \frac{1}{2}Bl^2\omega$$
これは、棒の平均の速さ \(\bar{v} = \frac{0+l\omega}{2}\) を使って \(V = \bar{v}Bl\) と計算するのと同じ結果です。この起電力が期間IとIIIで生じ、向きが逆転します。

これらの結果をグラフにすると、負の値で一定、ゼロ、正の値で一定、ゼロ、を繰り返す方形波（矩形波）のグラフになります。（模範解答のグラフを参照）

問 (3)

思考の道筋とポイント
ジュール熱は、電流が流れている間に抵抗で消費されるエネルギーです。電力（単位時間あたりの熱量）は \(P = RI^2\) で計算できます。電流が流れるのは期間Iと期間IIIだけであり、それぞれの時間は \(\frac{\pi}{2\omega}\) です。

具体的な解説と立式
1. 電力Pの計算:
電流が流れる期間（IとIII）では、電流の大きさは \(|I| = \frac{Bl^2\omega}{2R}\) で一定です。
消費電力Pは、
$$P = RI^2 = R \left( \frac{Bl^2\omega}{2R} \right)^2 \quad \cdots ①$$
2. ジュール熱Qの計算:
電流が流れる時間の合計は、\(\Delta t_{total} = (\text{期間Iの長さ}) + (\text{期間IIIの長さ}) = \frac{\pi}{2\omega} + \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}\)。
発生するジュール熱の総量Qは、電力Pにこの時間を掛けることで求まります。
$$Q = P \times \Delta t_{total} \quad \cdots ②$$

まず式①で電力を計算します。
$$P = R \frac{B^2l^4\omega^2}{4R^2} = \frac{B^2l^4\omega^2}{4R}$$
次に式②でジュール熱の総量を計算します。
$$Q = \left( \frac{B^2l^4\omega^2}{4R} \right) \times \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}$$

一回転する間に発生するジュール熱は \(\displaystyle\frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}\) [J] です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
コイルが等速回転を続けるためには、外部から力を加えて、電磁力によるブレーキトルク（力のモーメント）とつり合わせる必要があります。

1. 電流が流れる辺OP（またはOQ）にはたらく電磁力の大きさを計算します。
2. この電磁力が生み出す、回転を妨げる向きのトルクを計算します。
3. 外力fが加えるトルクと、電磁力によるトルクがつり合う、という式を立ててfを求めます。
4. 外力のする仕事Wは、(外力のトルク)×(回転角) または (外力f)×(移動距離) で計算します。

具体的な解説と立式
1. 電磁力Fとトルク\(\tau_B\):
電流Iが流れる辺OP（長さl）が受ける電磁力Fの大きさは \(F = IBl\)。この力は、一様な棒に働く重力と同様に、辺OPの中点（Oからl/2の距離）に作用すると考えられます。電磁力が作るトルク \(\tau_B\) は、
$$\tau_B = F \times \frac{l}{2} = (IBl) \frac{l}{2} = \frac{1}{2}IBl^2$$
2. 外力fとトルク\(\tau_{ext}\):
外力fが点P（Oからlの距離）で接線方向に加えられるので、そのトルク \(\tau_{ext}\) は、
$$\tau_{ext} = f \times l$$
3. トルクのつり合い:
等速回転なのでトルクはつり合っています: \(\tau_{ext} = \tau_B\)。
$$fl = \frac{1}{2}IBl^2 \quad \rightarrow \quad f = \frac{1}{2}IBl \quad \cdots ①$$
4. 仕事W:
外力fが必要なのは、電流が流れる期間IとIIIのみです。それぞれの期間で回転する角度は \(\pi/2\) なので、合計の回転角は\(\pi\)です。
$$W = (\text{外力のトルク}) \times (\text{回転角}) = \tau_{ext} \times \pi = (fl)\pi \quad \cdots ②$$

• 外力fの大きさ:
  式①に \(|I| = \frac{Bl^2\omega}{2R}\) を代入します。
  $$f = \frac{1}{2} \left( \frac{Bl^2\omega}{2R} \right) Bl = \frac{B^2l^3\omega}{4R}$$
  外力fは常に回転を助ける向き（反時計回り）なので正です。f-tグラフは、期間IとIIIでこの一定値をとり、他では0となります。
• 仕事Wの計算:
  式②にfの値を代入します。
  $$W = \left( \frac{B^2l^3\omega}{4R} \cdot l \right) \pi = \frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}$$

外力fの時間変化は、正の値で一定、ゼロ、正の値で一定、ゼロを繰り返す方形波のグラフになります。一回転の間に外力がする仕事Wは \(\displaystyle\frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}\) [J] です。この値は、(3)で求めたジュール熱と完全に一致します。これは「外力がした仕事が、すべてジュール熱に変換された」というエネルギー保存則が成り立っていることを示しています。

【コラム】Q: 外力を加える位置をOP上でOからrだけ離れた点Aとした場合の外力fᵣと仕事Wᵣを求めよ。

思考の道筋とポイント
外力を加える位置が変わっても、一定の角速度で回転を維持するために必要な「トルク」は変わりません。これは電磁力によるブレーキトルクが同じだからです。しかし、力を加える腕の長さが変わるので、必要な「力」の大きさは変わります。

具体的な解説と立式
1. トルクのつり合い:
電磁力によるブレーキトルク \(\tau_B = \frac{1}{2}IBl^2\) は変化しません。
新しい外力\(f_r\)を点A（Oからrの距離）に加えるので、外力のトルクは \(\tau_{ext}’ = f_r \times r\) となります。
つり合いの式 \(\tau_{ext}’ = \tau_B\) より、
$$f_r \cdot r = \frac{1}{2}IBl^2 \quad \cdots ①$$
2. 仕事\(W_r\)の計算:
仕事は (力)×(移動距離) で計算します。外力\(f_r\)が働く間、点Aは半径rの円周上を動きます。仕事をする合計の道のりは、半径rの円周の半分（\(\frac{1}{4}\)回転×2回）なので、\(\pi r\) です。
$$W_r = f_r \times (\pi r) \quad \cdots ②$$

• 外力\(f_r\)の計算:
  式①から \(f_r\) を求め、電流Iの値を代入します。
  $$f_r = \frac{IBl^2}{2r} = \left( \frac{Bl^2\omega}{2R} \right) \frac{Bl^2}{2r} = \frac{B^2l^4\omega}{4Rr}$$
• 仕事\(W_r\)の計算:
  式②に上で求めた\(f_r\)を代入します。
  $$W_r = \left( \frac{B^2l^4\omega}{4Rr} \right) \times (\pi r) = \frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}$$

外力の大きさ \(f_r\) は、加える点までの距離rに反比例して変化しますが、外力がする仕事 \(W_r\) はrによらず、(4)の仕事Wと全く同じ値になりました。これは、エネルギー保存則（外力がした仕事はすべてジュール熱に等しい）から考えれば当然の結果です。力が小さくて済む場所（rが大きい）ではたくさん動かなければならず、大きな力が必要な場所（rが小さい）では少し動くだけで済むため、結果的に仕事の量は同じになる、という美しい関係が成り立っています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの電磁誘導の法則: この問題全体の根幹をなす法則です。特に、コイルを貫く磁束\(\Phi\)が時間変化し、その変化率に比例した起電力Vが生じる(\(V = |d\Phi/dt|\))こと、そしてその向きは変化を妨げる向きである（レンツの法則）ことが核心です。
• 回転運動における誘導起電力: 直線運動の\(V=vBl\)と異なり、回転運動では辺の各点の速度が異なります。そのため、積分するか、または線形に速度が変化することを利用して「平均の速さ」で代表させて起電力を求める、という応用的な考え方が必要になります。
• トルク（力のモーメント）のつり合い: 「等速回転」という条件は、直線運動の「等速」とは異なり、「力のつり合い」ではなく「トルクのつり合い」を意味します。電磁力が作る回転を妨げるトルクと、外力が加える回転を促すトルクがつり合っている、という式を立てることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 発電機やモーターの動作解析: この問題は、コイルを回転させて電気エネルギーを取り出す「発電機」の最も単純なモデルです。発生する電力や、回転に必要なトルクを計算する問題全般に応用できます。
  • 時間変化する物理量のグラフ化問題: 磁束\(\Phi\)、起電力V、電流I、外力fといった様々な物理量が時間とともにどう変化するかをグラフにする問題は頻出です。ある量のグラフ（例：\(\Phi-t\)）から、その時間微分（傾き）である別の量のグラフ（例：\(V-t\)）を導き出す、という関係性を理解することが鍵となります。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 運動の種類を特定する: まず、運動が「直線運動」か「回転運動」かを見極めます。回転運動なら、角速度ω、トルク、回転角といった特有の物理量に着目します。
  2. 磁束\(\Phi\)の時間変化を追う: 電磁誘導の問題では、まず「コイルを貫く磁束\(\Phi\)が、時間tの関数としてどう書けるか」を考えるのが王道です。これが分かれば、微分することで起電力Vが、さらに抵抗で割ることで電流Iが、芋づる式に求まります。
  3. 「等速回転」のキーワード: これを見たら「トルクのつり合い」を考えます。直線運動の「等速」が「力のつり合い」に対応するのと同様です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 回転運動での誘導起電力の計算ミス:
  • 現象: 回転する辺の起電力を、単純に先端の速さ\(v=l\omega\)を使って \(V=(l\omega)Bl\) と計算してしまう。
  • 対策: 回転運動では速度が中心からの距離に比例することを思い出し、平均の速さ\(\bar{v}=(0+l\omega)/2\)を用いるか、積分計算を行う必要があると理解する。
• 力とトルクの混同:
  • 現象: 問(4)で、力のつり合い（\(f=F\)）を考えてしまう。
  • 対策: 回転運動では、力の作用点（腕の長さ）が重要であり、力の大きさそのものではなく「力のモーメント（トルク）」がつり合う、という原理を明確に区別して適用する。
• グラフの傾きと値の関係:
  • 現象: \(\Phi-t\)グラフから\(V-t\)グラフを描く際に、傾きが正なのにVを正の値にしてしまうなど、符号や対応関係を間違える。
  • 対策: \(V = -d\Phi/dt\) という関係を思い出す。「マイナス」はレンツの法則に対応し、\(d\Phi/dt\)はグラフの傾き。傾きが正ならVは負（またはその逆の向き）、傾きがゼロならVもゼロ、という関係を機械的に適用する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • グラフの連携を意識する: \(\Phi\) →（傾き）→ \(V\) →（\(\div R\)）→ \(I\) →（トルク計算）→ \(\tau\) →（つり合い）→ \(f\) というように、各物理量が数珠つなぎに関係していることを意識する。特に、あるグラフの「傾き」が次の物理量になる、という関係は微分積分の本質であり、これを視覚的に捉えることが重要です。
  • トルクを「てこ」でイメージする: 問(4)やQでは、原点Oを支点とした「てこ」をイメージします。電磁力Fが腕の長さl/2の位置を下向きに押し、外力fが腕の長さl（またはr）の位置を上向きに押して、てこが釣り合っている（等速回転）と考えると、トルクのつり合いが直感的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\Phi = BS\):
  • 選定理由: 磁束そのものを計算する、基本定義式。面積Sが時間変化するこの問題では、まず\(\Phi(t)\)を求めることが全ての出発点となるため。
  • 適用根拠: 磁束は、磁場の強さとそれを貫く面積に比例するという定義に基づきます。
• \(V = |d\Phi/dt|\):
  • 選定理由: 磁束の時間変化から、誘導起電力の大きさを求めるための、ファラデーの法則そのもの。グラフの傾きからVを求める際に使用。
  • 適用根拠: 電磁誘導の最も根本的な法則。磁場の時間変化が電場を生み出すことを示しています。
• \(\tau = Fr\):
  • 選定理由: 回転運動のつり合いを考えるため。力だけでなく、力が働く位置（腕の長さ）を考慮する必要があるから。
  • 適用根拠: 力のモーメント（トルク）の定義。
• \(W = \tau\theta\):
  • 選定理由: 回転運動において、トルクがした仕事を計算するため。
  • 適用根拠: 仕事の定義（力×距離）を、回転運動の物理量（トルク×回転角）で書き直したもの。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 運動の分析: コイルの回転に伴い、磁場内の面積\(S(t)\)がどう変化するかを4つの期間に分けて分析する。
2. 磁束の計算: \(S(t)\)から、磁束\(\Phi(t)=BS(t)\)を計算し、\(\Phi-t\)グラフを作成する。
3. 起電力・電流の計算: \(\Phi-t\)グラフの傾きから起電力\(V(t)\)を求め、オームの法則で電流\(I(t)=V(t)/R\)を計算し、グラフ化する。レンツの法則で向き（符号）を決定する。
4. ジュール熱の計算: 電流が流れる期間の電力\(P=RI^2\)と時間から、熱量\(Q=P\Delta t\)を計算する。
5. トルクと外力の計算: ①電磁力\(F=IBl\)を計算。②電磁力のトルク\(\tau_B\)を計算。③「等速回転」なのでトルクのつり合い \(\tau_{ext}=\tau_B\) を適用し、外力fを求める。
6. 仕事の計算: 外力がした仕事を \(W=\tau_{ext}\theta\) または \(W=f \cdot s\) で計算し、ジュール熱と等しくなることを確認する（エネルギー保存）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定数と変数の区別: \(B, l, \omega, R\)は定数で、\(t\)が変数です。微分(\(d/dt\))を行う際は、何が定数で何が変数かを明確に意識する。
• 単位系の確認: 角度がラジアン(\(\theta=\omega t\))で計算されていることを確認する。度数法と混同しないように注意。
• グラフの軸と値: グラフを描く際は、横軸が時間tか角度θかを確認する。縦軸の最大値や、変化が起こる時刻（例:\(\pi/2\omega\)）などを正確に記入する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• エネルギー保存則による検算: 問(3)で計算したジュール熱の総量と、問(4)で計算した外力がした仕事が、完全に一致することを確認する。これは非常に強力な検算方法であり、計算全体の信頼性を保証します。
• 次元の確認（ディメンショナル・アナリシス）: 例えば、(3)で求めたジュール熱の答え \(\frac{\pi B^2l^4\omega}{4R}\) の単位が、本当にエネルギーの単位[J]になっているかを確認する。(\( [T]^2[m]^4[s^{-1}]/[\Omega] = [N/Am]^2[m]^4[s^{-1}]/[V/A] = \dots \))。複雑な式ほど、こうしたチェックが有効です。
• Qの考察: 外力を加える点rを変えても、最終的な仕事Wが変わらなかった。これはなぜか？「エネルギー保存則によれば、発生する熱は同じはずだから、仕事も同じになるはずだ」と物理的な意味を考えることで、計算結果への確信が深まります。

問題41 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、電磁誘導に関する2つの異なるタイプの現象を1つの設定で扱う、思考力を問う良問です。

• パートI は、一定の磁場の中を導体棒が動くことで起電力が生じる「ローレンツ力による電磁誘導」です。
• パートII, III は、導体は静止しているが、磁場そのものが時間変化することで起電力が生じる「ファラデーの電磁誘導の法則」です。

これらの状況で、回路に流れる電流や、発生する熱、必要な外力などを計算していきます。回路が並列接続になっている点や、複数のループに分割して考える点など、回路解析の知識も合わせて問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、電磁誘導の2つの側面を正しく理解し、使い分けることです。

1. 導体棒が動く場合 (パートI): 磁場中で動く導体棒は「電池」になります。起電力の大きさは \(V=vBb\)、向きはフレミングの右手の法則で決まります。導体棒を電池に置き換えてしまえば、問題は単純な直流回路の解析に帰着します。
2. 磁場が変化する場合 (パートII, III): 回路を貫く磁束\(\Phi\)が時間変化することで、回路全体に起電力が生じます。これはファラデーの電磁誘導の法則 \(V = |\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|\) で計算します。向きは、磁束の変化を妨げる向きに電流を流そうとする、レンツの法則で決まります。

パートIIIのように、回路が複数のループに分割できる場合は、それぞれのループについてファラデーの法則を適用し、キルヒホッフの法則を使って全体の電流を解析します。

問 (1)

思考の道筋とポイント

1. 右へ速さvで動く金属棒Mを、起電力を生む「電池」と見なします。起電力の大きさと向きを決定します。
2. この「電池M」に対して、抵抗Rと抵抗rが並列に接続された回路として考えます。
3. それぞれの抵抗に流れる電流をオームの法則で計算し、それらを足し合わせることでMを流れる電流を求めます。

具体的な解説と立式
1. Mに生じる誘導起電力V:
Mが速さvで磁場Bを横切るため、誘導起電力が生じます。大きさは、
$$V = vBb \quad \cdots ①$$
向きは、フレミングの右手の法則（運動v:右、磁場B:表向き）より、電流はS→Tの向きに流そうとされます。つまり、T側が高電位（正極）、S側が低電位（負極）の電池になります。
2. 並列回路の解析:
この起電力Vを持つ電池Mに対し、抵抗Rと抵抗rが並列に接続されています。したがって、Rとrの両方に電圧Vがかかります。

• 抵抗Rを流れる電流I: \(I = \frac{V}{R}\) （向きは Q₁→P₁）
• 抵抗rを流れる電流i: \(i = \frac{V}{r}\) （向きは Q₂→P₂）

3. Mを流れる電流:
Mを流れる電流 \(I_M\) は、キルヒホッフの第一法則より、Iとiの和になります。向きは、電池の負極Sから正極Tへ向かう向き、すなわちSからTの向きです。
$$I_M = I + i = \frac{V}{R} + \frac{V}{r} = \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{r}\right)V \quad \cdots ②$$

式②に式①のVを代入します。
$$I_M = \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{r}\right)vBb$$
カッコの中を通分して整理します。
$$I_M = \left(\frac{r+R}{Rr}\right)vBb = \frac{R+r}{Rr}vBb$$

Mを流れる電流の向きはSからT、大きさは \(\displaystyle\frac{R+r}{Rr}vBb\) です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
単位時間あたりのジュール熱とは、消費電力[W]のことです。回路で電力を消費しているのは抵抗Rと抵抗rの2つです。それぞれの消費電力を計算し、合計すれば回路全体の消費電力が求まります。

具体的な解説と立式
1. 各抵抗での消費電力:
電力の公式 \(P = RI^2 = \frac{V^2}{R}\) を使います。Rとrにはどちらも電圧Vがかかっているので、後者の公式が便利です。

• 抵抗Rでの消費電力 \(P_R\): \(P_R = \frac{V^2}{R}\)
• 抵抗rでの消費電力 \(P_r\): \(P_r = \frac{V^2}{r}\)

2. 全体の消費電力Q:
求める単位時間あたりのジュール熱Qは、これらの和です。
$$Q = P_R + P_r = \frac{V^2}{R} + \frac{V^2}{r} = \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{r}\right)V^2 \quad \cdots ①$$

式①に \(V=vBb\) を代入します。
$$Q = \left(\frac{r+R}{Rr}\right)(vBb)^2 = \frac{R+r}{Rr}(vBb)^2$$

単位時間あたりのジュール熱は \(\displaystyle\frac{R+r}{Rr}(vBb)^2\) です。

問 (3)

思考の道筋とポイント
Mが一定の速さvで動いているので、力はつり合っています。Mには、電流が流れることによる電磁力（ブレーキ力）が働きます。したがって、これを打ち消すために、運動方向と同じ向きに同じ大きさの外力を加え続ける必要があります。

具体的な解説と立式
1. 電磁力\(F_B\)の計算:
Mには(1)で求めた電流 \(I_M = I+i\) がS→Tの向きに流れています。磁場Bは表向きです。フレミングの左手の法則（電流:下、磁場:表）を適用すると、電磁力\(F_B\)は左向きに働きます。その大きさは、
$$F_B = I_M \cdot B \cdot b \quad \cdots ①$$
2. 力のつり合い:
Mを等速で右に動かすための外力Fは、この左向きの電磁力とつり合う、右向きの力である必要があります。
$$F = F_B \quad \cdots ②$$

式①、②に、(1)で求めた \(I_M = \frac{R+r}{Rr}vBb\) を代入します。
$$F = F_B = \left( \frac{R+r}{Rr}vBb \right) \cdot Bb = \frac{R+r}{Rr}vB^2b^2$$
別解: エネルギー保存則
等速運動なので、外力がする仕事率(\(Fv\))は、すべて回路で消費される電力（単位時間のジュール熱 Q）に変換されます。
$$Fv = Q$$
(2)で求めたQを代入すると、
$$Fv = \frac{R+r}{Rr}(vBb)^2$$
両辺をvで割ると、
$$F = \frac{R+r}{Rr}vB^2b^2$$
これはメインの解法と一致します。

外力の大きさFは \(\displaystyle\frac{R+r}{Rr}vB^2b^2\) です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
今度は磁場そのものが時間変化します。このような場合は、ファラデーの電磁誘導の法則 \(V = |\frac{d\Phi}{dt}|\) を使います。

1. 回路全体を貫く磁束\(\Phi\)を、時間tの関数として表します。
2. \(\Phi\)を時間tで微分して、誘導起電力Vの大きさを求めます。
3. レンツの法則で起電力（と電流）の向きを決定します。
4. 回路全体の抵抗を考え、オームの法則で電流の大きさを求めます。

具体的な解説と立式
1. 磁束\(\Phi\)の計算:
回路の面積は \(A = ab\)。磁束密度は \(B=kt\)。したがって、時刻tでの磁束は、
$$\Phi(t) = B(t) \cdot A = (kt) \cdot (ab) = kabt \quad \cdots ①$$
2. 誘導起電力Vの大きさ:
ファラデーの法則より、
$$V = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = \left| \frac{d(kabt)}{dt} \right| = kab \quad \cdots ②$$
3. 電流の向き:
磁束B（表向き）は時間とともに増加しています。レンツの法則より、この増加を妨げるために、回路には裏向き(\(\otimes\))の磁場を作るような電流が流れます。右ネジの法則から、これは時計回りの電流です。したがって、P₁Q₁の部分を流れる電流の向きは、Q₁からP₁の向きになります。
4. 電流の大きさ:
このとき、回路は抵抗Rと抵抗rが直列につながった一つのループと見なせます。全体の抵抗は \(R+r\) です。オームの法則より、
$$I = \frac{V}{R+r} \quad \cdots ③$$

式③に式②のVを代入します。
$$I = \frac{kab}{R+r}$$

誘導起電力の大きさは \(kab\)、P₁Q₁を流れる電流の向きはQ₁からP₁、大きさは \(\displaystyle\frac{kab}{R+r}\) です。

問 (5)

思考の道筋とポイント
問(4)と同様に、ファラデーの法則を使いますが、今度は回路がMによって左右2つのループに分割されています。左半分のループ `P₁STQ₁` についてのみ考え、その面積で磁束変化を計算します。

具体的な解説と立式
1. 左ループの面積と磁束:
Mは中央にあるので、左ループの面積は \(A_1 = \frac{a}{2} \cdot b\)。
このループを貫く磁束 \(\Phi_1\) は、
$$\Phi_1(t) = B(t) \cdot A_1 = (kt) \cdot \frac{ab}{2} = \frac{1}{2}kabt \quad \cdots ①$$
2. 左ループの誘導起電力 \(V_1\):
ファラデーの法則より、
$$V_1 = \left| \frac{d\Phi_1}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}kabt\right)\right| = \frac{1}{2}kab \quad \cdots ②$$

左半分に生じる誘導起電力の大きさは \(\displaystyle\frac{1}{2}kab\) です。

問 (6)

思考の道筋とポイント
左右のループそれぞれに誘導起電力が生じ、それぞれが電流を流そうとします。金属棒Mは、この2つのループで共有されています。Mを流れる電流は、左のループがMに流そうとする電流と、右のループがMに流そうとする電流の競合（差）によって決まります。

1. 左ループに生じる起電力\(V_1\)と、それによって抵抗Rに流れる電流Iを計算します。
2. 右ループに生じる起電力\(V_2\)と、それによって抵抗rに流れる電流iを計算します。
3. Mが接続されている点S（またはT）でのキルヒホッフの第一法則（ノード則）を考え、Mを流れる正味の電流を求めます。

具体的な解説と立式
1. 左ループの電流I:
(5)より、左ループには時計回りの起電力 \(V_1 = \frac{1}{2}kab\) が生じます。このループを一つの閉回路と見なすと、キルヒホッフの第二法則より、
$$V_1 = RI \quad \rightarrow \quad I = \frac{V_1}{R} = \frac{kab}{2R}$$
この電流は、ループ内を時計回りに、つまりMにおいてはS→Tの向きに流れようとします。
2. 右ループの電流i:
右ループ `SP₂Q₂T` も、面積は同じ \(\frac{ab}{2}\) なので、生じる起電力 \(V_2\) は\(V_1\)と全く同じ大きさ、同じ向き（時計回り）です。
$$V_2 = V_1 = \frac{1}{2}kab$$
このループを一つの閉回路と見なすと、
$$V_2 = ri \quad \rightarrow \quad i = \frac{V_2}{r} = \frac{kab}{2r}$$
この電流は、ループ内を時計回りに、つまりMにおいてはT→Sの向きに流れようとします。
3. Mを流れる電流 \(I_M\):
Mには、左ループによるS→T向きの電流と、右ループによるT→S向きの電流が同時に流れようとします。実際に流れる電流は、これらの差になります。
問題の条件より \(R>r\) なので、\(I = \frac{V_1}{R} < \frac{V_1}{r} = i\)。
したがって、電流iの方が大きいので、正味の電流はiの向き、すなわちTからSの向きに流れます。大きさは、
$$I_M = i – I$$

求めたIとiを代入します。
$$I_M = \frac{kab}{2r} – \frac{kab}{2R} = \frac{kab}{2}\left(\frac{1}{r} – \frac{1}{R}\right)$$
通分して、
$$I_M = \frac{kab(R-r)}{2Rr}$$

Mを流れる電流の向きはTからS、大きさは \(\displaystyle\frac{kab(R-r)}{2Rr}\) です。もしR=rなら、左右の電流が打ち消し合ってMには電流が流れない、という直感とも一致する結果です。

【コラム】Q: MをP₁Q₁から距離xの位置に固定しB=ktとしたとき、Mを流れる電流が0になるxを求めよ。

思考の道筋とポイント
(6)の考察から、Mを流れる電流が0になるのは、左ループがMに流そうとする電流Iと、右ループがMに流そうとする電流iが、大きさが等しくなるときです（\(I=i\)）。それぞれの電流は、各ループの起電力と抵抗で決まります。起電力はループの面積に比例するので、面積の比が抵抗の比と等しくなるような位置xを探します。

具体的な解説と立式
1. 電流ゼロの条件:
Mを流れる電流がゼロになるのは、\(I=i\) のときです。
2. 各ループの起電力と電流:

• 左ループ: 面積 \(xb\)、起電力 \(V_L = kxb\)、電流 \(I = \frac{V_L}{R} = \frac{kxb}{R}\)
• 右ループ: 面積 \((a-x)b\)、起電力 \(V_R = k(a-x)b\)、電流 \(i = \frac{V_R}{r} = \frac{k(a-x)b}{r}\)

3. 方程式:
\(I=i\) の条件より、
$$\frac{kxb}{R} = \frac{k(a-x)b}{r}$$

両辺の共通項 \(kb\) を消去します。
$$\frac{x}{R} = \frac{a-x}{r}$$
クロスに乗算（たすき掛け）します。
$$xr = R(a-x) = Ra – Rx$$
xを含む項を左辺に集めます。
$$xr + Rx = Ra$$
$$x(R+r) = Ra$$
xについて解くと、
$$x = \frac{R}{R+r}a$$

Mを流れる電流が0になる位置は \(x = \displaystyle\frac{R}{R+r}a\) です。これは、回路全体の抵抗R+rのうち、抵抗Rが占める割合で、全長aを「抵抗比で内分」した点に相当します。ホイートストンブリッジ回路の平衡条件に似た、物理的に非常に興味深く、美しい結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁誘導の2つの原因: この問題の核心は、誘導起電力が生じる原因が2種類あることを明確に区別し、それぞれに合った法則を適用することです。
  1. 導体が動く場合 (Motional EMF): \(V=vBl\) で計算する。（パートI）
  2. 磁場が変化する場合 (Faraday’s Law): \(V=|d\Phi/dt|\) で計算する。（パートII, III）
• 重ね合わせと回路解析: パートIIIのように、複数の起電力が同時に存在する場合、それぞれのループで独立に起電力を考え、キルヒホッフの法則を用いて回路全体を解析する、という考え方が重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 複数の起電力が存在する回路: パートIIIは、電池が2つある複雑な回路と同じ構造をしています。誘導起電力を電池と見なすことで、どんな電磁誘導の問題も直流回路の問題として解くことができます。
  • ブリッジ回路: Qで問われた「電流がゼロになる条件」は、ホイートストンブリッジの平衡条件と同じ考え方です。「ブリッジ部分（金属棒M）の電位差がゼロになる」→「左右の電圧降下が等しくなる」という流れで解くことができます。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 「何が変化しているか？」を特定する: まず、起電力の原因が「導体の運動」なのか「磁場の時間変化」なのか、あるいはその両方なのかを問題文から読み取ります。
  2. 「ループ」を意識する: ファラデーの法則は、閉じた「ループ」に対して成り立つ法則です。回路が複雑な場合は、どのループに着目して法則を適用するかを明確に定めることが第一歩です。
  3. 並列か直列か: 回路全体の抵抗を考える際、各要素が直列接続なのか並列接続なのかを正確に判断します。パートIでは並列、パートIIでは直列でした。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 2種類の電磁誘導の混同:
  • 現象: 磁場が変化しているのに \(V=vBl\) を使おうとしたり、導体が動いているのに磁束変化を考えようとして混乱したりする。
  • 対策: 問題の冒頭で「原因は運動？磁場変化？」と自問自答する癖をつける。原因に応じて使う公式を明確に分ける。
• 回路の接続の勘違い:
  • 現象: パートIで抵抗Rとrが並列であることや、パートIIで直列であることを見抜けない。
  • 対策: 誘導起電力を生む部分を「電池」の記号に置き換えて、回路図を自分で描き直してみる。すると、接続関係がクリアになります。
• レンツの法則の適用ミス:
  • 現象: 磁束が増えているのに、変化を助ける向きに電流を流してしまうなど、電流の向きを逆にしてしまう。
  • 対策: 「変化を妨げる（変化する前の状態を維持しようとする）」という、レンツの法則の「あまのじゃく」な性質をしっかり理解する。磁束が増えれば減らす向き、減れば増やす向き、と覚える。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 動く導体棒＝電池への置き換え: パートIで、金属棒Mを、T側がプラス極の電池記号に置き換えて回路図を描くと、単純な並列回路であることが一目瞭然になります。
  • ループごとの色分け: パートIIIでは、左のループと右のループを異なる色で塗り分けると、それぞれのループで独立に起電力が発生し、金属棒Mを共有している関係性が視覚的に理解しやすくなります。
  • 磁力線の増減をイメージする: パートII, IIIでは、時間とともに紙面を貫く磁力線の本数が増えていく様子をイメージします。その「増えすぎ」を嫌がって、回路が逆向きの磁力線を作ろうとする結果、時計回りの電流が流れる、と考えるとレンツの法則が直感的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=vBl\):
  • 選定理由: パートIのように、導体自体が磁場を横切って「運動」することで起電力が生じる場合に用いる。
  • 適用根拠: 導体内の荷電粒子が受けるローレンツ力に起因します。
• \(V = |d\Phi/dt|\):
  • 選定理由: パートII, IIIのように、回路（の面積）は固定で「磁場」自体が時間変化することで起電力が生じる場合に用いる。
  • 適用根拠: 電磁誘導のより根本的な法則で、磁場の時間変化が周囲に電場（渦電場）を生み出す現象を記述しています。
• キルヒホッフの法則:
  • 選定理由: パートIII(6)やQのように、回路内に複数のループや起電力が存在し、単純なオームの法則だけでは解けない場合に用いる、回路解析の万能ツール。
  • 適用根拠: 電荷保存則とエネルギー保存則という、物理学の揺るぎない基本法則に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 起電力の原因を特定する: 問題のパートごとに、「導体の運動」か「磁場の変化」か、起電力の原因を特定し、使用する公式（\(V=vBl\) or \(V=|d\Phi/dt|\)）を決定する。
2. 起電力の向きと大きさを計算する: フレミングの右手の法則やレンツの法則で向きを、各公式で大きさを計算する。
3. 回路図を単純化・解釈する: 起電力を「電池」と見なし、回路全体の接続関係（直列・並列・複数のループ）を正確に把握する。
4. 電気量を計算する: オームの法則やキルヒホッフの法則を用いて、問われている電流や電位差を求める。
5. 力学・エネルギー量を計算する: 必要であれば、求めた電流値から電磁力(\(F=IBl\))や消費電力(\(P=RI^2\))を計算し、力のつり合いやエネルギー保存則の式を立てる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 並列抵抗の合成抵抗の公式と混同しない: 問(1)で電流を求める際、並列部分の電流はそれぞれの枝で計算して「足し算」します。合成抵抗 \(R_{合成} = \frac{Rr}{R+r}\) を計算して \(I=V/R_{合成}\) としても同じ結果になりますが、各抵抗を流れる電流を問われた場合に備え、枝ごとに計算する癖をつけるのが安全です。
• 文字式の整理: \(a,b,k,R,r,v,B\)など多くの文字が出てくるため、式変形の際に混乱しないよう、丁寧に整理する。特に分数の計算は慎重に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• パートごとの比較検討:
  • パートI（Mが動く）とパートIII（Bが変化）では、Mを流れる電流の向きが逆になっています（S→T vs T→S）。なぜ向きが逆になったのか？「パートIではM自身が発電してT側をプラスにしたが、パートIIIでは左右のループの発電量の差で、rの小さい右ループの起電力が勝ち、T→S向きの電流を流した」というように、物理的な理由を考えることで理解が深まります。
• Qの答えの物理的意味:
  • 電流がゼロになる位置が \(x = \frac{R}{R+r}a\) となった。これは、全長aを抵抗比 \(R:r\) で「逆」に内分する点ではなく、「そのまま」内分する点です。なぜなら、起電力は面積（つまり距離x）に比例し、電流は抵抗に反比例するため、\(V_L/R = V_R/r \rightarrow kxb/R = k(a-x)b/r \rightarrow x/R = (a-x)/r\) という関係になるからです。この構造をブリッジ回路と比較してみると面白いでしょう。

問題42 (防衛大+名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、導体円板を磁場中で回転させることで起電力を生み出す「ファラデーの円盤（単極発電機）」に関する、電磁誘導の原理を深く掘り下げた問題です。導体棒の直線運動とは異なり、回転運動では場所によって速度が異なるため、その効果を正しく捉える必要があります。電子に働くローレンツ力から始まり、電場の発生、電位差の計算、そしてエネルギー保存則まで、一連の物理現象を体系的に理解することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、なぜ動く導体に起電力が生じるのか、その根本原理であるローレンツ力に立ち返って考えることで、電磁誘導への理解を深めることにあります。
円板が回転すると、内部の無数の自由電子も一緒に円運動します。磁場中で運動する荷電粒子である電子はローレンツ力を受け、円板内で移動を始めます。この電子の移動によって円板内に電荷の偏りが生じ、まるでコンデンサーのように電場と電位差が発生します。これが誘導起電力の正体です。

この一連のプロセスを、

1. 力のつり合い（ミクロな視点）: 電子1個に働くローレンツ力と静電気力のつり合い。
2. 電場の積分（マクロな視点）: つり合いから求めた電場を、円板の半径に沿って足し合わせる（積分する）ことで全体の電位差を求める。
3. エネルギー保存（巨視的な視点）: 回路全体でのエネルギーの収支を考える。

という流れで、丁寧に解き明かしていきます。

問 (1)

思考の道筋とポイント
円板上の一個の自由電子の動きに注目します。この電子は円板と共に円運動しており、速度ベクトルを持っています。磁場中で運動する荷電粒子なので、ローレンツ力を受けます。その力の向きをフレミングの左手の法則（またはローレンツ力のベクトル積）で決定します。ただし、電子は負の電荷を持つことに最大の注意が必要です。

具体的な解説と立式
1. 電子の速度\(\vec{v}\): 円板上の半径rの位置にある電子は、円の接線方向に速さ \(v=r\omega\) で運動しています。
2. 磁場\(\vec{B}\): 磁場は鉛直上向きです。
3. ローレンツ力の向き:
もし正電荷であれば、フレミングの左手の法則（電流（速度）:接線方向、磁場:上向き）により、力は円の中心から遠ざかる外向きに働きます。
しかし、電子の電荷は負(\(-e\))なので、正電荷とは逆向きの力を受けます。したがって、ローレンツ力は円の中心を向くことになります。

この設問は力の向きを問う定性的な問題のため、計算過程はありません。

電子は中心向きに移動しようとします。

問 (2)

思考の道筋とポイント
(1)の結果から、電荷の分布が決まります。電子（負電荷）が移動した先は負に帯電し、電子がいなくなった元々の場所は正に帯電します。電場は、この電荷の偏りによって生じ、正電荷から負電荷へ向かう向きに発生します。

具体的な解説と立式
1. 電荷の分布:
(1)より、負の電荷を持つ自由電子が円板の中心に集まります。したがって、中心は負に帯電します。
一方、電子が去った円板の縁は、相対的に正のイオンが残り、正に帯電します。
2. 電場の向き:
電場（電気力線）は、正電荷から出発し、負電荷へ向かいます。したがって、電場は円板の縁から中心への向き（半径方向内向き）に発生します。

この設問は定性的な問題のため、計算過程はありません。

中心には負電荷、縁には正電荷が現れ、電場は縁から中心への向きに生じます。この電場は、後から来る電子が中心へ移動するのを妨げる静電気力を及ぼし、やがて力のつり合い状態が生まれます。

問 (3)

思考の道筋とポイント
電子の移動は無限に続くわけではありません。(2)で生じた電場が、電子を中心から外向きに押し返す「静電気力」を生み出します。十分に時間が経つと、中心向きの「ローレンツ力」と、外向きの「静電気力」が完全につり合い、電子はそれ以上移動できなくなります。この力のつり合いの式から、電場の強さEを求めます。

具体的な解説と立式
1. 電子に働く力:
中心から距離rの位置にある電子（電荷-e）に働く力は以下の2つです。

• ローレンツ力（中心向き）: \(f_L = evB = e(r\omega)B\)
• 静電気力（外向き）: \(f_E = eE\)

2. 力のつり合い:
これらの力がつり合っているので、大きさが等しくなります。
$$eE = er\omega B \quad \cdots ①$$

式①の両辺を電気素量eで割ると、電場の強さEが求まります。
$$E = \omega Br$$
これは、Eがrに比例する一次関数であることを示しています。したがって、E-rグラフは原点を通る直線になります。

電場の強さは \(E=\omega Br\) で、中心からの距離rに比例して強くなります。グラフは原点(0,0)と点(a, \(\omega Ba\))を結ぶ直線です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
中心と縁の間の電位差Vは、(3)で求めた電場Eを、中心(r=0)から縁(r=a)まで足し合わせる（積分する）ことで求まります。数式 \(V = \int_0^a E(r) dr\) は、(3)で描いたE-rグラフの、r=0からr=aまでの「面積」に相当します。この考え方を使うと簡単に計算できます。

具体的な解説と立式
電位差Vは、E-rグラフとr軸、そしてr=aの直線で囲まれた部分の面積と等しくなります。
グラフは原点を通る直線なので、この面積は底辺がa、高さが \(E(a) = \omega Ba\) の三角形の面積として計算できます。
$$V = (\text{三角形の面積}) = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})$$
$$V = \frac{1}{2} \times a \times (\omega Ba) \quad \cdots ①$$

別解: 導体棒の起電力からの類推
この円板は、中心Oから無数の導体棒が放射状に集まったものと見なせます。そのうちの1本（長さa）が回転している状況を考えます。この棒の各点の速さは中心からの距離に比例するため、棒全体の平均の速さ\(\bar{v}\)は、中心(速さ0)と縁(速さaω)の算術平均で与えられます。
$$\bar{v} = \frac{0 + a\omega}{2} = \frac{1}{2}a\omega$$
この平均の速さを使って、誘導起電力の公式 \(V = \bar{v}Ba\) を適用すると、
$$V = \left(\frac{1}{2}a\omega\right)Ba = \frac{1}{2}\omega Ba^2$$
これはメインの解法と同じ結果になります。

式①を整理します。
$$V = \frac{1}{2}\omega Ba^2$$

中心と縁の間の電位差V（誘導起電力）は \(\displaystyle\frac{1}{2}\omega Ba^2\) です。角速度ωや磁束密度Bが強いほど、また円板の半径aが大きいほど、大きな電圧が発生することがわかります。

問 (5)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、(4)で求めた電位差Vを起電力とする電池（円板）に、抵抗Rが接続された回路が完成します。回路に流れる電流Iは、オームの法則で簡単に求まります。また、等速回転を維持するための外力の仕事率Pは、エネルギー保存則から、回路全体で消費される電力（この場合は抵抗Rでのジュール熱）に等しくなります。

具体的な解説と立式
1. 電流Iの計算:
回路は、起電力Vの電池に抵抗Rが接続されただけの単純な回路です。オームの法則 \(V=RI\) より、
$$I = \frac{V}{R} \quad \cdots ①$$
2. 仕事率Pの計算:
外力の仕事率は、消費電力に等しくなります。消費電力は \(P = RI^2\) で計算できます。
$$P = RI^2 \quad \cdots ②$$

• 電流I: 式①に(4)で求めた \(V=\frac{1}{2}\omega Ba^2\) を代入します。
  $$I = \frac{\frac{1}{2}\omega Ba^2}{R} = \frac{\omega Ba^2}{2R}$$
• 仕事率P: 式②に上で求めたIを代入します。
  $$P = R \left( \frac{\omega Ba^2}{2R} \right)^2 = R \frac{\omega^2 B^2 a^4}{4R^2} = \frac{\omega^2 B^2 a^4}{4R}$$

電流Iは \(\displaystyle\frac{\omega Ba^2}{2R}\)、外力の仕事率Pは \(\displaystyle\frac{\omega^2 B^2 a^4}{4R}\) です。

【コラム】Q: 中心から距離rの位置で回転方向に外力Fを加える場合、Fを求め、仕事率がrによらないことを示せ。

思考の道筋とポイント
(5)の状況で、電流Iが流れる円板には、回転を妨げる向きの電磁力による「ブレーキトルク」が働きます。等速回転を続けるには、外力がこれとつりあう「駆動トルク」を加える必要があります。このトルクのつり合いから外力Fを求め、仕事率を計算します。

具体的な解説と立式
1. 電磁力によるブレーキトルク\(\tau_B\):
電流Iは、円板の半径方向（中心から縁へ）に流れます。この電流が磁場Bから受ける電磁力の合力 \(F_B\) は \(F_B = IBa\) となります。この力が作るトルクは、力が作用する平均的な半径、つまり \(a/2\) を用いて、
$$\tau_B = F_B \times \frac{a}{2} = (IBa) \frac{a}{2} = \frac{1}{2}IBa^2$$
2. 外力による駆動トルク\(\tau_{ext}\):
外力Fを半径rの位置に加えるので、そのトルクは、
$$\tau_{ext} = F \times r$$
3. トルクのつり合い:
\(\tau_{ext} = \tau_B\) より、
$$Fr = \frac{1}{2}IBa^2 \quad \cdots ①$$
4. 外力の仕事率\(P_F\):
半径rの位置での速さは \(v_r = r\omega\) です。仕事率は \(P_F = Fv_r = F(r\omega)\) です。

• 外力Fの計算:
  式①からFを求め、(5)で計算した \(I = \frac{\omega Ba^2}{2R}\) を代入します。
  $$F = \frac{IBa^2}{2r} = \left(\frac{\omega Ba^2}{2R}\right) \frac{Ba^2}{2r} = \frac{\omega B^2 a^4}{4Rr}$$
• 仕事率の計算:
  $$P_F = F(r\omega) = \left(\frac{\omega B^2 a^4}{4Rr}\right)(r\omega) = \frac{\omega^2 B^2 a^4}{4R}$$

外力の大きさFは \(\displaystyle\frac{\omega B^2 a^4}{4Rr}\) となり、加える点までの距離rに反比例します。一方、仕事率Pはrが打ち消し合って消え、\(\displaystyle\frac{\omega^2 B^2 a^4}{4R}\) となり、rによらない一定値となります。これは(5)で求めた消費電力と一致し、エネルギー保存則が成り立っていることを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と誘導起電力の関係: この問題の核心は、磁場中で運動する導体内の電子がローレンツ力を受け、それによって電荷の偏り（電場）が生じ、最終的に電位差（誘導起電力）が生まれる、という電磁誘導の根本原理をミクロな視点から理解することです。
• 積分による電位差の計算: 場所によって強さが変わる電場から全体の電位差を求めるには、電場を距離で積分する(\(V = \int E dr\))必要がある、という考え方です。これは、E-rグラフの面積を求めることに相当し、電場と電位の関係を深く理解しているかが問われます。
• エネルギー保存則: 等速回転を維持するために外部から加える仕事（率）は、最終的に回路で消費されるジュール熱（電力）に等しくなる、というエネルギーの変換と保存の関係が、力やトルクの計算の妥当性を保証する重要な役割を果たしています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • ホール効果: 電流が流れている導体に垂直に磁場をかけると、ローレンツ力によって導体の側面に電位差が生じる「ホール効果」は、この問題の(1)～(3)と全く同じ原理に基づいています。
  • 回転体系の電磁誘導: ファラデーの円盤だけでなく、任意の形状の導体が磁場中で回転する問題に応用できます。「導体を無数の微小な導体棒の集まりと見なす」という考え方は、より複雑な問題への強力な武器になります。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 「導体が回転」というキーワード: これを見たら、各点の速度が中心からの距離rに比例すること(\(v=r\omega\))を即座に連想します。
  2. 「電位差を求めよ」という問い: 電場が場所によって変わる場合、単純な\(V=Ed\)ではなく、「グラフの面積」や「積分」が必要になる可能性を考えます。
  3. 「仕事率を求めよ」という問い: 力学的な仕事率(\(P=Fv\) or \(P=\tau\omega\))と、電気的な消費電力(\(P=VI=RI^2\))を結びつけるエネルギー保存則が使えないか、検討するのが定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ローレンツ力の向き:
  • 現象: 電子の電荷が負であることを忘れ、正電荷と同じ向きに力が働くと考えてしまう。
  • 対策: フレミングの法則を使う際、電流の向きは「正電荷の動く向き」と定義されていることを思い出す。電子の場合は、その運動と「逆向き」を電流の向きとして法則を適用するか、力の向きを最後に逆転させる。
• 回転運動での起電力計算:
  • 現象: 回転する円盤や棒の起電力を、先端の速さ\(v=a\omega\)を使って単純に\(V=vBa = (a\omega)Ba\)と計算してしまう。
  • 対策: 速度が一定でないことを認識し、(4)の別解で示したように「平均の速さ」を使うか、原理に立ち返って「電場を積分する」必要があると理解する。
• 力とトルクの混同:
  • 現象: Qで、力のつり合いを考えてしまう。
  • 対策: 回転運動では、力の大きさそのものではなく「力のモーメント（トルク）」がつり合う、という原理を明確に区別して適用する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • E-rグラフの面積＝電位差: 電場Eと電位Vの関係(\(E=-dV/dr\))を、グラフで視覚的に捉えることが極めて有効です。E-rグラフを描き、その「面積」がVになるという関係は、微積分を物理現象として理解する良い訓練になります。
  • 円板を「無数のスポーク」の集まりと見る: 模範解答の図dのように、円板を自転車の車輪のように無数の細い導体棒（スポーク）の集まりと見なすことで、なぜ円板全体で一つの起電力が生じるのかがイメージしやすくなります。各スポークが同じ起電力の電池となり、それらが並列に接続されていると解釈できます。
  • 力の作用点を意識する: Qのトルク計算では、電流全体に働く力\(F_B=IBa\)が、円板のどの位置に代表して働くと考えればよいか（この場合は半径の中点a/2）をイメージすることが、正しいトルク計算につながります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ローレンツ力 \(f=qvB\):
  • 選定理由: 電磁誘導の最も根本的な原因、つまり個々の荷電粒子が磁場から受ける力を考えるために用いる。全ての誘導起電力はこの力から出発している。
  • 適用根拠: 磁場中を運動する荷電粒子に働く力に関する基本法則。
• 電場と電位差の関係 \(V = \int E dr\):
  • 選定理由: 問(4)のように、場所によって強さが一定でない電場から、2点間の電位差を求めるために用いる。
  • 適用根拠: 電位の定義そのもの。電場に逆らって単位電荷を運ぶのに必要な仕事として電位差が定義されます。
• エネルギー保存則 \(P_{外力} = P_{ジュール熱}\):
  • 選定理由: 問(5)のように、力学的な仕事率と電気的な消費電力の関係を問われた場合に選択する。
  • 適用根拠: エネルギーは勝手に生まれたり消えたりしない、という物理学の大原則。外部から供給されたエネルギーは、必ず何かの形で消費・変換される。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. ミクロな力のつり合い: まず、円板内の電子1個に着目し、ローレンツ力と静電気力のつり合いの式を立てる。
2. 電場の導出: 力のつり合いから、電場の強さEを中心からの距離rの関数として求める。
3. 電位差の計算: 求めた電場E(r)を、中心から縁まで積分（グラフの面積を計算）して、円板全体の起電力Vを求める。
4. 回路解析: スイッチを閉じた場合、この起電力Vを持つ電池と抵抗Rからなる回路として、オームの法則を適用し電流Iを求める。
5. エネルギーと仕事率の計算: 求めた電流Iから、消費電力（ジュール熱）を計算する。エネルギー保存則から、これが外力の仕事率に等しいと考える。
6. （Qのような応用問題）トルクの計算: 電磁力によるブレーキトルクと、外力による駆動トルクのつり合いを考え、未知の力や仕事率を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 積分計算の基本: \(E=\omega Br\) のような一次関数を積分すると、\(\frac{1}{2}\omega Br^2\) という二次関数になる、という基本的な積分ルールを確実に実行する。グラフの面積（三角形）で計算する方が直感的でミスが少ない場合も多い。
• 文字の多さへの対応: \(a, \omega, B, R\) と定数が多いが、これらを一つの塊として扱ったり、計算の最後まで文字のまま進めたりすることで、途中の数値計算でのミスを防ぐ。
• 仕事率と仕事の区別: Pは仕事率[W=J/s]、Wは仕事[J]であり、両者は \(W = P \times t\) の関係にある。問題で何が問われているかを正確に把握する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 次元（単位）のチェック: 例えば、(4)で求めた電位差Vの単位が本当に[V]になるかを確認する。\([\text{s}^{-1}][\text{T}][\text{m}]^2 = [\text{s}^{-1}][\text{N/Am}][\text{m}]^2 = [\text{s}^{-1}][\text{N}\cdot\text{m}/\text{A}] = [\text{J/s}/\text{A}] = [\text{W/A}] = [\text{V}]\) となり、正しさが確認できる。
• 複数のアプローチでの一致確認: (4)で、「電場の積分」と「平均速度を用いた\(vBl\)」という全く異なる考え方から同じ答えが導出された。これは、解の正しさを強く裏付けるものです。
• Qの物理的解釈: 外力Fが \(1/r\) に比例するという結果について考える。「てこの原理」と同様に、支点から遠い場所（rが大きい）で力を加えれば、小さな力で同じトルクを生み出せる、という直感と一致していることを確認する。

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